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Quantum Field Theory
1시간 30분 기준 1 Class
학생들이 일반물리 수준의 Relativity와 Quantum Mechanics에 대해 충분히
알고 있다고 가정한다.
중반 이후에는 학생들이 전공 Quantum Mechanics를 최소 1학기 수강하였다
고 가정한다.
필요교재
1. Griffith Chapter 3, Chapter 7
2. Reinhardt Chapter 1,2,3,4,5,8
1
Quantum Field Theory
Class I : Functional Derivative and Integral
Function이란 무엇인가?
y( x)  x 2  4 x  5
주어진 input x에 대해 output y의 값을 결정할 수 있다
면, 이 y를 x의 함수라고 부른다.
당연히 함수의 인풋은 숫자(들)이고, 아웃풋도 숫자(들)이다.
A function maps a number (or several numbers) to a number (or several numbers).
Function을 어떻게 미분하나?
Function을 어떻게 적분하나?
y 
dy
 2x  4
dx
1 3
ydx

x  2 x 2  5x  C

3
2
Quantum Field Theory
그렇다면 Functional이란 무엇인가?
A functional maps a function to a number. 즉 함수처럼 생긴 어떤 것인데 인풋은
함수(들)이고, 아웃풋은 숫자(들)이다. 예를 들면
1
J [ y ]   y  4 xy  5x dx
2
0
2
f(x,y) = y2－4xy + 5x2 이라고 정의하면, J [ y] 
예를 들어 우리가 y(x) = 2 이라고 인풋을 주면, 아웃풋은 J 

1
0

1
0
f ( x, y) dx
4  8x  5x 2 dx  5 / 3
y(x) = 2x 이라고 인풋을 주면, 아웃풋은?
Functional을 일반적인 함수처럼 쓰는 방법이 사실 존재한다. 일단 위의 적분을 구분
구적법에 의해 n개의 구간으로 나눠 구한다고 생각해 보자. 각 구간에서의 x값이 x1 =
1/n, x2 = 2/n, … xn = 1 이라고 하면
1 n 
2
J   y  xk   4 xk y ( xk )  5 xk2 

n k 1 
일견 복잡해 보이지만, y(x1), y(x2), … y(xn) 을 y1, y2, … yn 이라고 쓰고, 이것을 n개의 변
수로 생각하면 J는 이 n개의 변수의 인풋에 따라 하나의 값을 돌려주는 함수가 된다.
J  y1 , y2 ,
1 n
1 n
2
2
, yn     yk  2 xk yk  3xk    f
n k 1
n k 1
k

,
y
k 

n

n이 무한으로 가는 limit에서 이 구분구적법은 정확한 적분값을 준다. 즉, J라는
functional은 무한개의 변수를 가진 function으로 생각하는 것이 가능하다.
3
Quantum Field Theory
Functional을 미분해 보자.
Functional의 미분이란 게 무엇인지에 앞서 대체 이게 왜 필요한지부터 생각해 보자.
y(x) 가 y = x2－4x + 5 로 주어졌을 때 이 y를 최소화시키는 x를 어떻게 구하나? 완전
제곱 형태로 바꾸는 등의 방법도 있지만, 미분해서 0이 되는 지점을 구하는 방법이
가장 일반적이다.
마찬가지로, 누군가 J를 최소화시키는 함수 y(x)가 무엇인지 물어봤다면?
J [ y]   y  4 xy  5x dx    y  2x   x 2 dx
1
0
2
2
1
2
0
이로부터 y(x) = 2x 이라면 J[y] = 1/3 이고, 이게 최소값임을 알 수 있다. 하지만 이런 방
법이 모든 일반적인 functional에 대해 가능하진 않을 것이다. 그렇다면 functional의 “미
분”이란 개념을 도입할 방법에 대해 생각해 보는 것이 자연스럽다.
4
Quantum Field Theory
Functional의 미분에 도달하는 두 가지 방법이 있다.
1. Functional을 Discrete 버전으로 쓴 함수의 미분을 생각해 보는 방법
2. Calculus of Variation을 사용하는 방법
먼저 1번 방법으로 시도를 해보자.
J  y1 , y2 ,
1 n
, yn     yk2  4 xk yk  5 xk2 
n k 1
이 함수를 최소화시키는 변수 y1, y2, ..., yn의 값을
어떻게 구해야 하나?
xk 
k
n
J J


y1 y2
J
0
yn
즉, 모든 k에 대해서 다음의 식을 만족하는 yk를 찾으면 된다.

yk2  4 xk yk  5 xk2   0  2 yk  4 xk  0

yk
yk  2 xk
n 이 무한으로 가는 리밋을 생각하면 우리가 원하는 함수는 y ( x )  2 x
정확한 답을 찾을 수 있음이 확인되었다.
5
Quantum Field Theory
이러한 과정을 일반화해보면,
1
J [ y]   f ( x, y) dx 의 극값(extremum)을 주는 함수를 구하는 방법은
0
f ( x, y)
 0 f(x,y)를 x,y의 함수로 보고, y방향의 편미분을 가해서 나오는 함수방정
식의 해를 구하는 것이다. (실제 극값이 아닌 saddle point일 수도 있다.)
y
어떤 함수 y = y(x)가 존재하여 J[y(x)] 가 이 함수의 functional인 경
우, functional derivative는 다음과 같이 표현된다.
 J [ y]
y
그리고 functional derivative가 0이라는 것은
J
f ( x, y )
 0  모든 x에 대해
0
y
y
이러한 방법으로 앞에서 소개한 functional의 극값을 주는 함수 y(x)를 구할 수 있다.
1
J [ y]   y 2  4 xy  5x2 dx  y( x)  2 x
0
6
Quantum Field Theory
만약 f가 x,y만이 아니라 y′의 함수라면 어떻게 될까?
y 가 정해지면 y′이 결정되므로 이러한 표현이 적합한지에 대한 의문이 있을 수 있다.
현재로서는 f의 표현식에 y의 미분 항이 explicit하게 포함되어 있다는 뜻으로 이해를 하
자.
이 때는 다음과 같은 계산을 하면 된다.
J
f ( x, y, y) d f ( x, y, y)
 0  모든 x에 대해

0
y
y
dx
y
Euler’s equation
이 경우에도 유한한 점에서의 y값을 input으로 생각하고, 미분은 이들의 finite
difference를 이용해 나타내면, 같은 방법으로 functional derivative를 유도할 수 있겠지
만, 여기서는 보다 광범위하게 사용되는 calculus of variation을 사용해서 증명해 보자.
7
Quantum Field Theory
The expression that y(x) provides
an extremum for J means for any
path infinitesimally away from y(x)
J is a either local maximum or
minimum. More mathematical
definition can be given by
introducing a function y(α,x)
y ( , x)  y ( x)   ( x)
where η is some function of x that has a continuous derivatives (to the desired
level) and that vanishes at x1 and x2 (or any other conditions necessary to satisfy
the boundary conditions). Then, our original y becomes y(0,x).
J is in principle a functional of y. However,
x2
J     f  y ( , x), y, y, ; x dx
once we use y(α,x) instead of y(x), we may
x1
think J as a normal function of α.
The condition that the integral have a stationary
value is that for all possible functions η(x), the
following equations are satisfied:
dJ  
0
d   0
Usually it is the extremum, though it is not guaranteed in a strict sense.
8
Quantum Field Theory
Rather than following the abstract algebra, let us solve a simple problem to
understand the general strategy of calculus of variation.
Example Problem: Find the shortest path between (x1,y1) and (x2,y2)
The infinitesimal segment length is
ds 
 dx    dy 
2
2
J 
x2 , y2
x1 , y1
ds  
x2
x1
where the function y satisfies y  x1   y1
f  y, y; x   1   y
1   y dx
2
2
y  x2   y2
Let us use y  , x   y( x)   ( x)  ( x1 )   ( x2 )  0
J    
x2
x1
1  y  , x  dx
2
x2  f y
x2
dJ  
f y 
y
 

dx

 dx


2

x
x
1
1

d
1   y 
 y  y  
x2
Using partial integral


x2 d
dJ   
y
y


  
2
x1 dx 
 1   y 2 
d

1

y



 x1

What is the condition that the above expression
vanishes for all possible functions η?

 dx



d 
y
dx  1   y 2


0


9
Quantum Field Theory
Example Problem: Find the shortest path between (x1,y1) and (x2,y2)
y
1   y 
2
C
This is satisfied by
y  ax  b
To complete the answer, a and b must be determined by the boundary conditions.
y2  y1
y  y1 
 x  x1 
x2  x1
Hence we proved that the straight line is the shortest path. Of course,
mathematicians may complain that the proof completes only after considering
all the non-differentiable functions. (and for functions with diverging y′)
10
Quantum Field Theory
Euler’s Equation
y ( , x)  y ( x)   ( x)
Let us find the general solution:
dJ   d

d
d
 f y f y 

f
y
,
y
;
x
dx



x1
x1  y   y   dx
y
y d
We have
  ( x);


 dx
x2  f
dJ  
f d 
    ( x) 
 dx
x
1

d
y dx 
 y
x2
x2
Integrating by parts
2
x2  f

dJ    f

d  f 
   ( x)      ( x)  
 ( x)  dx
x1


d

y

y
dx

y

 x1




x
The integrated term vanishes due to the boundary conditions η(x1) = η(x2) = 0.
(Be careful that for the free boundary condition, this argument does not work.)
11
Quantum Field Theory
x2  f
dJ  
d  f  
        ( x) dx  0
x1
d
 y dx  y  
This equation must be true for all possible differentiable functions η(x).
f d  f 
 
0
y dx  y 
Euler’s equation
at α = 0, which means the function y(0,x) goes back to the original y(x).
Example 6.3 : Consider the surface generated by
revolving a line connecting two fixed points (x1, y1)
and (x2, y2) about an axis coplanar with the two points.
Find the equation of the line connecting the points
such that the surface area generated by the revolution
(i. e. the area of the surface of revolution) is a
minimum.
Assume the equation of curve is y = y(x)
dA  2 xds  2 x
 dx    dy 
2
2
A  2  x 1   y dx
x2
2
x1
12
Quantum Field Theory
We let f  x 1   y 
f
0
y
2
and use the Euler’s equation
f
xy

2
y
1   y 
Rearranging terms y 
xy
1   y 
a
x a
2
2
change integral variable x  a cosh 
x
y b
 cosh
y  a  b
a
a
2
 constant  a
y
a
x a
2
2
dx
dx  a sinh  d
y  a cosh 1
x
b
a
The constants a and b must be determined so that the curve y(x) passes through the
two given points. (The general solution is difficult to obtain analytically.) Anyway,
it is an equation of a catenary.
One may try the same problem after changing
the axis. The result, eq. 6.36 turns out to be
more difficult to solve. It is your choice to find
and use easier method.
13
Quantum Field Theory
x에 대한 함수의 경우, x로 적분하는 작업이 가능하다.
마찬가지로 y(x)에 대한 functional의 경우 y(x)로 적분한다는 게 가능할까?
Simple Harmonic Oscillator의 경우 partition function을 계산하려면

Z   exp  nh / kBT  가능한 에너지 값이 continuous할 경우에는, Sum 대신
적분을 사용하여 계산을 할 수 있을 것이다.
n 0
하지만 partition function에서 더하는 모든 가능한 configuration이 하나의 숫자 (위에
서는 n)이 아니라 임의의 함수의 형태로 표현될 때는 어떨까?
어떠한 functional G[y]에 대해 함수 y로 functional integral을
하는 것을 다음과 같이 쓴다.
 G[ y]Dy
적분을 미분의 역이라는 개념으로 생각한다면, discrete 버전으로 이해해 보자.
y(x)라는 함수가 x1, x2, ..., xn에서 y1, y2, ..., yn 라는 값을 가진다면




 G[ y]Dy   dy1  dy2



dynG  y1 , y2 ,
, yn 
이라고 생각할 수 있다. 각 yi들은 어떤 값이든 취할 수 있기 때문에, 적분의 범위는 무
한이다. 물론 정확하게 계산하려면 n이 무한으로 가는 리밋을 취해야만 한다.
14
Quantum Field Theory
예를 들어, partition function을 계산하다 보면 자주 이런 형태의 식이 나온다.
G  y   exp
  y( x) dx
G  y1 , y2 ,
1 n

, yn   exp    yk2 
 n k 1

1
2
0




 1 2
2
dy
exp

y

y


n
1
2


 n

 G[ y]Dy   dy1  dy2
n
 
 y12  
   dy1 exp     

 n 


n


yn2  

n
계산 결과는 나왔는데, 이것은 n이 무한으로 갈 때 발산하는 식이다.
사실, functional integral은 normalization을 특별히 신경 써서 하지 않으면 이런 문제가
발생한다. 문제의 종류에 따라 발산식이 되지 않도록 적당한 normalization factor A를
정의해 줘야 한다. (문제에 따라 다른 factor가 요구되는데 실제 문제를 풀다 보면 자
연스럽게 찾을 수 있다.)
n
dyi 

Dy

lim
 

n  
 i 1 A 
Partition function 등의 다양한 물리량을 다룰 때는 분자, 분모 양쪽에 비슷한 functional
integral이 존재할 때가 많은데, 이 경우 normalization 문제는 자연스럽게 해결된다.
15
Quantum Field Theory
Functional Derivative와 Integral은 Action의 계산, Euler-Lagrange Equation 계산,
Path Integral 계산, Partition Function 계산 등 물리학의 다양한 영역에서 등장한다.
물리학에서 이러한 방법론이 개발된 과정을 잠깐 따라가 보자.
뉴튼의 운동법칙은 흔히 F = ma 라고 표현된다. 그런데 뉴튼의 운동법칙에 이르
는 또 하나의 방법이 존재한다.
In 1834, Hamilton’s principle is given as follows:
Of all the possible paths along which a dynamical system may move from one point to
another within a specified time interval (consistent with any constraints), the actual path
followed is that which minimizes the time integral of the difference between the kinetic and
potential energies.
실제 계산하는 방법은 다음과 같다. 가장 간단한 1차원 경우를 생각하면, 먼저 라그
랑지안을 다음과 같이 정의한다.
1
L  T  U  mx 2  U ( x)
2
x
dx
dt
그 다음에 액션(Action)을 다음과 같이 정의된다. (출발시간이 t1, 도착시간이 t2라고 할 때)
S   L  t , x, x  dt
t2
t1
16
Quantum Field Theory
액션을 최소화시키는 path는 어떻게 찾을 수 있을까?
이미 유도한 바와 같이
0
L d  L 
  0
x dt  x 
이를 Euler-Lagrangian Equation이라 부른다.
 1 2
 d   1 2

mx

U
(
x
)

mx

U
(
x
)
 F ( x)  mx






x  2
 dt  x  2

F  ma
간단한 계산을 길게 돌아가서 하는 것 같지만, 복잡한 좌표계나 constraint가 있는 문
제 등을 풀 때 이 방법이 유용하다. 무엇보다 중요한 것은, 이 방법을 사용하면 양자
역학으로의 자연스러운 확장이 가능하다는 것이다.
17
Quantum Field Theory
 : 어떠한 사건의 probability amplitude (현 단계에서는
wavefunction과 비슷한 개념이라고 생각해도 무방)
P 
2
시간 ta에 xa 지점에서 출발, 시간 tb에 xb 지점에 도착할 probability amplitude는
K (b, a) 

( x(t ))
all paths from a to b
예를 들어 더블슬릿 실험에 대해 생각해 보면
저 summation은 슬릿 1을 통과하는 amplitude와
슬릿 2를 통과하는 amplitude를 더하는 작업이
다.
  
1
2
P    1  2  2Re  1*2 
2
2
2
고전역학에서는 액션을 최소화하는 단 하나의 path가 유일하게 가능하고, 입자는 더
블 슬릿 중 하나만 통과할 수 있다. 하지만 양자역학에서는 모든 path가 다 인정된다,
단, 각 path의 contribution은 동일하지 않다. 그 weighting factor는
 iS  x(t ) 
( x(t ))  const exp 



18
Quantum Field Theory
일반적으로는 무한히 많은 path가 가능한데, 모
든 path의 가능성을 더하는 방법은
b
K (b, a)   eiS [ x ]/ Dx
a
이 functional integral을 path integral이라고 부른다.
앞에 설명한 discretization을 이용하여, path integral을 다음과 같은 보통의 적분으로 쓸
수 있다.
i
K (b, a )   exp 
a


L
t
,
x
,
x
dt


 Dx
t1

 i n 1  t j 1  t j x j 1  x j x j 1  x j   dx1 dx2
L
,
,
 A A
xn1 exp  
2
2

j 1 

b

x1

x2
t2
dxn 1
A
A는 발산을 피하기 위한 적절한 비례상수이다.
19
Quantum Field Theory
Classical Limit에 대해 생각해 보자. 하나의 path, x(t)를 중심으로 이 조금 옆의 path, x(t) +
η(t)의 amplitude 덧셈을 해보자. 즉, η(t)는 아주 작다고 가정한다.
S  x  t     t    S  x  t      t 
S
dt
x
x(t) 근처에서의 테일러 전개를 함수
버전으로 한 것.
Amplitude 덧셈은 (원래 모든 path에 대해 더해야 하지만 간단히 표현해 보자.)

 S 
i
eiS [ x ]/  eiS [ x  ]/  eiS [ x ]/ 1  exp    t 
dt  
 x 


플랑크 상수가 0으로 가는 리밋에서 어떤 일이 벌어지는가? 얼핏 보면 exp 함수의
oscillation이 극심해지므로 여러 경로가 소멸간섭하여 amplitude가 0으로 수렴할 것처럼
보인다. (엄밀히는 Riemann–Lebesgue lemma를 배워야 한다.)
단, amplitude가 0이 되는 것을 피하는 경로가 하나 있다. 그 조건은 바로
S
0
x
즉, amplitude가 0이 아닌 유일한 사건은 바로 액션이 최소가 되는 path, 즉 고전역학이
예측하는 바로 그 path이다. (functional 미분이 0이라도 최소가 아닐 수도 있는데, 이에
대한 설명은 생략한다.)
간단히 말하자면, 고전역학이란 액션이 최소가 되는 사건만 일어난다는 역학, 양자역학은
액션이 Smin+ħ 정도가 되는 사건까지는 쉽게 일어날 수 있다는 역학이다. (액션의 차이가
커질 수록 그 확률은 작아진다.)
20
Quantum Field Theory
그렇다면 path integral이 우리가 알고 있는 양자역학과 동일하다는 것은 어떻게 확인
할 수 있을까?
b
 i t2

K (b, a)   exp 
a

 L  t , x, x  dt  Dx
t1
양자역학적인 wave function은 위에서 정의한 커널 K를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

( x2 , t2 )   K (2,1)( x1 , t1 )dx1

즉, (x2,t2)에서의 amplitude는, t2－t1의 시간동안 x1에서 x2에 움직이는 모든 가능성을
더해서 구하여야 한다. 출발점이 명시되지 않았으므로 x1은 모든 지점이 될 수 있다.
시간차가 아주 작은 리밋에서 이 계산을 시도해 보자. 앞에 사용했던 discretization의
간격 하나 만큼의 시간차라면 v   / 
 i
( x, t   )   exp 



 m 2

d

U
(
x
)

(
x


,
t
)
 2

2

A


양변의 적절한 테일러 전개를 생각해 보자. (이후에는 ε에 대한 1차항까지만 계산)

 i

 
 exp 
t 

 m 2

  2  2   d

 2 U     

2


x
2 x 2  A


η에 대한 odd power 항은 무시할 수 있다.
21
Quantum Field Theory
 im 2 
  iU  
 2  2   d
 
 1 
  
  exp 
2 
t 
2

2

x



 A
Integral의 첫째 항은
 im 2  d 1 2 
 exp  2   A  A im

A
2 
im
이어야만 normalization이
맞게 된다.
Integral의 두번째 항은



2
 im 2  d
 1 2 

exp 




2
2

2im

 A 2im A im
  iU  
  2 
iU
  2
 
 1 


  
2 
t 
2im x 
2im x 2

ε이 작은 limit에서 일차항의 계수를 비교하면

iU
2
 
t
2im x 2
2
2



2
2
i

U   
U  
2
t
2m x 2
2
m

x


22
Quantum Field Theory
같은 계산을 3차원에서 수행하여 보면,
2

 
i
 
2  U  
t  2m

즉, path integral은 슈뢰딩거 방정식과 동일한 결과를 준다. 하이젠베르그 (1925), 슈
뢰딩거(1926) 에 이어 세번째 양자역학의 formalism으로 1940년대 말에 Feynmann
이 주도적으로 개발하였다.
Path integral은 이후 상대론적인 양자역학(Quantum Field Theory)의 개발의 주요한
방법을 제공하였다.
23
Quantum Field Theory
Class II: Relativity and Tensor Formalism
From Griffiths Chapter 3.1 ~ 3.3.
3.1 Lorentz Transformations
Imagine that we have two inertial frames, S and S′, with S′ moving at uniform
velocity v = (v , 0 , 0 ) with respect to S.
Suppose that some event occurs at position (x , y , z)
and time t in S. In the new frame S′ the event is
observed at
x    x  vt 
y  y
z  z
 
1
1  v2 / c2
t     t  vx c 2 
The Lorentz transformation may include a rotation of space; a rotation-free Lorentz
transformation is called a Lorentz boost.
Note that one may eventually set c = ħ = 1, but in the Griffith’s book, they remain
in the equations.
24
Quantum Field Theory
If two events occur simultaneously at different places in refarence frame S’.
vx 
vx

Simultaneity
t    t   2    2  0
c 
c

In frame S, they do not occur simultaneously.
If two events occur at the same place in S’
Time Dilation
t   0, x  0
t   0, x  0
t    t   vx c 2   t 
t  t0
The time measured in S′ is the proper time.
L0  x  0
In frame S, both ends must be measured simultaneously, t  0
Length Contraction x    x  vt  =x   L
If a rod is at rest in reference frame S’, its length is
L
L0

The length measured S′ is the proper length.
25
Quantum Field Theory
Velocity Addition
x    x  vt  
  vx 
t    t  2 
c 

x
x  vt 

t t   x c 2
u
x
t
and u 
u  v
u
1  uv c 2
u  u  v
x
t 
x
x t   v

t 1  v  x t   c 2
(relativistic velocity transformation)
(classical velocity transformation) By taking the limit c →∞.
26
Quantum Field Theory
3.2 Four Vectors
It is convenient at this point to introduce some simplifying notation. We define the
position-time four-vector xμ, μ = 0,1,2,3, as follows:
x0  ct
x1  x x 2  y
x3  z 3
Upon Lorentz transform, the 4 vector transforms as x      x   x
 0
The coefficients can be regarded as the elements of a matrix Λ:
For example, matrix for boost in x direction is given as
 
 
Λ
 0

 0


0
0
0
0
1
0
0
0 
0

1
 v/c
 00  11   ; 10  10   ;  22   33  1
All the rest are zero.
27
Quantum Field Theory
For the 3-vector, the square of a vector is a scalar. Upon arbitrary rotation,
x 2  y 2  z 2  x2  y2  z2
For the 4-vector, the corresponding concept is the Lorentz scalar.
Upon arbitrary boost and rotation, I is invariant.
I   ct   x 2  y 2  z 2   ct   x2  y 2  z 2
2
2
Note we chose a sign notation commonly accepted nowadays.
In order to define the dot product of 4-vectors, we introduce the metric
1 0 0 0 
0 1 0 0 

g
0 0 1 0 


0
0
0

1


I   ct   x 2  y 2  z 2  g  x  x
2
The covariant four-vector is defined as
x0  ct
x1   x x2   y
x3   z
x  g x
I  x x   x 2
In general, one may use non-trivial metric representing the curved space-time.
28
Quantum Field Theory
Other examples of four-vectors
 ct , x 
( E / c, p) (  c, j )
, A
A general four vector aμ satisfies the Lorentz transform
a    a
a  g  a
a   g  a
where gμν are technically the elements in the matrix g－1. However, since our
metric is its own inverse, we do not need to distinguish it from gμν.
Given any two four vectors aμ and bμ, the dot product is invariant:
a  b  a  b  a b  a0b0  a1b1  a 2b2  a3b3
a  a  a2
If a2 > 0, aμ is called timelike
If a2 < 0, aμ is called spacelike
If a2 = 0, aμ is called lightlike
Higher rank tensors transforms as
s  v  g s 
s      s
t      t 
s  g g s
sμμ is a scalar; tμνν is a vector; aμtμνλ is a second rank tensor.
29
Quantum Field Theory
3.3 Energy and Momentum
We may define a four vector from velocity,
dx 
dx 
 

   c, v x , v y , v z 
d
dt

 v2  2
     c  v  v  v    c 1  2   c
 c 

2
2
2
x
2
y
2
z
2 2
A more commonly used four vector is,
E

p   m    , px , p y , pz 
c

E2
p p  2  p 2  m2c 2
c

The energy and momentum of a massless particle is well defined, and the
momentum-energy four vector can be defined.
vc E  pc
30
Quantum Field Theory
3. Backgrounds : Klein-Gordon equation and Dirac Equation
Read Griffiths Chapter 7.1 ~ 7.4.
2
p
Starting from classical
V  E
energy-momentum relation: 2m
p 
i
E i
Letting the resulting operator act on the “wave function” (why?) 

t
2
2m
2  V  i
The Klein-Gordon equation can be obtained in exactly the same way, beginning
with the relativistic energy-momentum relation for a free particle
E 2  p2c 2  m2 c 4
p  p  m2c2  0
1  2
 mc 
 2 2  2  

c t


2
(Klein-Gordon equation)
Unfortunately, this equation fails to produce any meaningful wavefunction.
Problem 1: Because the differential equation is second order in t, positive and
negative energies are both allowed. (Can we find the ground state?)
Problem 2: People failed to define preserved density function. (Those who are
interested, please read Elster’s note, Ch. 3)
31

t
Quantum Field Theory
Dirac searched for an equation consistent with the relativistic energy-momentum
formula, and yet first order in time.
32
Quantum Field Theory

 1 0
 0 0
0 1
 0 i 
1 0 
1
2
3
1 
0








 0 0
 1 0
i 0 
 0 1
 0 1








33
Quantum Field Theory
It is a spinor, not a
four vector.
They describe, respectively, an electron with
spin up, an electron with spin down, a positron
with spin down, and a positrion with spin up.
In this way, the Dirac equation naturally describes spin ½ particles.
Dirac at first postulate an unseen infinite sea of negative energy particles (electrons).
Later, we tend to accept the lower two components as describing antiparticles
(positrons) with positive energy. (It is totally up to your interpretation.)
In this way, the presence of antiparticles is predicted, and later(!) it was confirmed
by experiments.
For the spinors, the invariant quantity is
34
Quantum Field Theory
One also needs the matrix γ5, which is necessary to make pseuodoscalars and
pseudovectors.
The matrix γ5 is not present in the spinor description itself.
If γ5 is included in the description of a physical interaction, it means our world is
not symmetric under parity inversion, r → – r.
Of course (?), our world is NOT symmetric. The weak interaction has maximally
broken parity symmetry. All other forces may not break this symmetry.
For the actual application of Dirac equation, see Elster’s note, Ch. 4. For example,
the g-factor is found to be 2.0. (But.. not accurate enough..)
35
Quantum Field Theory
Using the vector and scalar potential,
It turns out that the Maxwell equation can be generalized to Proca equation to
describe the motion of spin 1 particle. (We won’t discuss it in this course.)
36
Quantum Field Theory
Why do we need QFT?
The Klein-Gordon and Dirac equations has been partially successful. One may
feel like to proceed to search for “master equation” for a single particle dynamics
including 1) particle spin 2) quantum mechanics 3) relativity. Unfortunately, such
an attempt is hopeless.
Quantum field theory (QFT) is a subject that is absolutely essential for
understanding the current state of elementary particle physics. Most of the
currently accepted description of elementary particle behavior is based on some
formulation of quantized field.
Why QFT? In normal QM class, we learned how to quantize particles. Can’t we
just quantized relativistic particles? It is simply impossible, because we do not
explicitly know which particles should we quantize. E = mc2 suggests that at high
enough energy, particle-antiparticle pair creation is inevitable. Should we or
shouldn’t we include quantized wave equation for each of them?
One may try to describe only low energy particles so that such pair creation in
impossible. But the uncertainty principle, ΔEΔt = ħ, tells us that at short enough
time, such possibility can never be excluded. In fact, such virtual particles are
constantly created and annihilated, if we interpret QFT appropriately.
37
Quantum Field Theory
Another problem arises in the causality. Consider the amplitude for a free particle
to propagate from x0 to x:
The evaluation of this integral is somewhat complicated. In the limit x2 >> t2,
one can find,
It is exponentially small, but causality is still violated.
38
Quantum Field Theory
2. Backgrounds : Formalism of classical QM.
Read Elster Chapter 1. (Note that the chapter ends with the path integral, which I
already introduced in the earlier class.)
The time evolution operator is defined as
It can be shown that it satisfies the Schrödinger’s equation.
Its solution is
39
Quantum Field Theory
Time dependent Schrödinger’s equation for the wavefunction:
40
Quantum Field Theory
The rest of the note repeats my previous lecture on the path integral, with a more
rigorous derivation.
In short, the probability amplitude can be calculated by considering all the
possible paths to achieve the given state. All paths are allowed, but the paths near
action minimizing one contributes strongly. In the limit ħ → 0, only the classical
path survives.
41
Quantum Field Theory
Reinhardt Chapter 1 : Classical and Quantum Mechanics of Particle Systems
Read pages 3 – 20. We do not go beyond the classical QM, but the quantization of
phonons are nicely done.
Reinhardt Chapter 2 : Classical Field Theory
Read pages 31 – 36. The Euler-Lagrange equation for field is
One simple example of Noether’s theorem: For each symmetry of the Lagrangian,
there is a conserved quantity.
Let the Lagrangian be invariant (to first order in the small number ε)
under the change of coordinates, qi  qi   Ki ( q)
Each Ki(q) may be a function of all the qi, which we collectively denote by the
shorthand, q.
The fact that the Lagrangian does not change at first order in ε means that
42
Quantum Field Theory
Therefore, the quantity
does not change with time. For a simple example that Ki(q) is nonzero constant for
a specific i, and zero for all other i’s, it indicates the conservation of momentum.
Here follows a general description of the Noether’s theorem.
43
Quantum Field Theory
44
Quantum Field Theory
45
Quantum Field Theory
46
Quantum Field Theory
Reinhardt Chapter 3 : Nonrelativistic Quantum Field Theory
Read pages 57 – 68.
Reinhardt Chapter 4 : The Klein-Gordon Field
Read pages 75 – 84, 91 – 95, 100 – 102, 106 – 109.
Reinhardt Chapter 5 : spin-1/2 Fields: The Dirac Equation
Read pages 117 – 119 (eq 5.13까지), 123 – 129.
Reinhardt Chapter 8 : interacting Quantum Fields
Read pages 211 – 220, 225 – 230, 233 – 240.
47
Quantum Field Theory
Why should there be interactions in the beginning?
Local gauge invariance: Read Griffiths Chapter 11.3 (or 10.3 in 2nd edition.)
What other forces exist in this world?
Strong Interaction : It is mediated by massless gluons.
Weak Interaction
It is mediated by three particles W+, W–, and Z0.
They are all massive: around 90 GeV/c2. The generic shape of the vertices are
The vertex factor includes γ5. The symmetry is maximally broken. As a result,
the neutrino has only one helicity (spin). (Unless you start to worry the
neutrino mass.)
48
Quantum Field Theory
Typical Feynman diagrams are
Fermi’s original suggestion:
The weak interaction allows the quark to change its
generation.
49
Quantum Field Theory
The neutral weak interaction is much harder to catch,
because it usually competes with QED interaction.
The vertex factor is not small (gw = 0.653),
but the large mass of the gauge particle
suppresses the interaction. Only when the
energy is large, the effect is noticeable.
50
Quantum Field Theory
What are the solved and unsolved problems?
1. Accuracy: QED and the weak interaction calculation are performed in a great
detail. For example, Dirac equation predicts that the g-factor is 2. The first order
correction QED gives is from the following vertex correction Feynman diagram:
The corrected value is a 
g 2
 0.011614
2
The experimental value is 0.00115965218073(28)
As higher order correction is added, the difference reduces.
As of now, the fine structure constant, counting 891 four-loop Feynmas diagrams,
is
 1  137.035999084(51)
Experimental value is  1  137.035999074(44)
51
Quantum Field Theory
Renormalization : Infinities often arises in the calculation of each Feynmann
diagram.
What are the remaining issues?
Mass of Neutrino (Almost definitely)
Higgs particle (Becoming likely)
Supersymmetry (Attractive but no evidence yet)
Origin of dark matter. Dark energy?
Symmetry of the world.
Unification of forces. (Electroweak unification was successful.)
New physics in the current energy scale is unlikely to be found, unless the most
fundamental assumptions of field theory breaks down. (But.. who knows?)
52
Quantum Field Theory
Even though some problems remain, it is likely that Quantum field theory can
successfully describe almost every physical phenomena we observe.
But where does the particles come from? Why do they have the current mass?
What is the meaning of the coupling constant? Is this universe just one of the
many possible candidates, or is it the only possible one?
Answers for those questions may be hidden in the last force – the gravity.
Then, our next step is to quantize gravity, but how? Efforts has been made to
quantize gravity. There are general agreements such that the gauge particle, the
graviton, is a massless spin 2 particle. But the quantized general relativity is not
renormalizable. Maybe string is the way to go, but nobody knows the answer.
53