Download 3- Sebaran Peluang Diskrit

3
Peubah Acak Diskrit
dan Sebaran
Peluangnya
1
Peubah Acak Diskrit
• Jika ruang sampel suatu percobaan bersifat
diskrit
• Peubah acak yang memetakan hasil percobaan
tsb akan bersifat diskrit pula.
2
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Voice Lines
• Suatu sistem komunikasi telepon pada
perusahaan terdiri dari 48 jalur eksternal.
• Pada suatu waktu, sistem tsb diamati, dan
terdapat beberapa jalur yang sedang
digunakan.
• X: jumlah jalur yang sedang terpakai.
• X bilangan bulat dari 0, 1, 2, …, 48.
• Jika pada suatu waktu sistem diamati dan
terdapat 10 jalur yang terpakai, maka x = 10.
3
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Keping Konduktor
• Pada suatu sistem produksi
keping konduktor, 2 keping
diambil secara acak.
• Setiap keping
diklasifikasikan sebagai
cacat atau tidak cacat.
• Diasumsikan peluang
terpilihnya satu keping yang
tidak cacat adalah 0.8, dan
masing-masing
pengambilan saling bebas
• X: jumlah keping cacat pada
dua pengambilan
Table 3-1 Uji Keping Konduktor
Hasil
Keping ke1
2 Probability
TC TC
0.64
C
TC
0.16
TC
C
0.16
C
C
0.04
1.00
x
2
1
1
0
4
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Keping Konduktor
• Ruang sampel dari
percobaan dan
peluangnya tersaji pada
Tabel 3-1.
• Peluang bahwa keping
1 tidak cacat dan
keping 2 cacat:
• P(TC,C) = 0.8 * 0.2 =
0.16.
Table 3-1 Uji Keping Konduktor
Hasil
Keping ke1
2 Probability
TC TC
0.64
C
TC
0.16
TC
C
0.16
C
C
0.04
1.00
x
2
1
1
0
5
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sebaran Peluang
• Sebaran peluang dari peubah acak X adalah
suatu gambaran nilai peluang untuk masingmasing nilai yang mungkin bagi X.
• Untuk suatu peubah acak diskrit, sebaran
peluang dapat berupa:
1. Daftar/tabel seluruh nilai yang mungkin bagi X
dengan peluangnya masing-masing.
2. Rumus/fungsi yang digunakan untuk menghitung
peluang dengan menggunakan nilai peubah acak X
sebagai input.
6
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Digital Channel
• Terdapat peluang terjadi
kesalahan penerimaan
transmisi (satuan bit: kode
0 atau 1) dari suatu
channel pengiriman.
• X: jumlah bit yang diterima
secara salah pada 4
transmisi berikutnya.
• Sebaran peluang yang
bersesuaian dapat disajikan
dalam bentuk grafik atau
tabel.
Figure 3-1 Probability
distribution for bits in error.
P(X =0) =
P(X =1) =
P(X =2) =
P(X =3) =
P(X =4) =
0.6561
0.2916
0.0486
0.0036
0.0001
1.0000
7
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Fungsi Massa Peluang
• Penyajian sebaran peluang dalam bentuk
fungsi dengan X sebagai input atau daerah
asal untuk X peubah acak diskrit
8
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sifat Fungsi Massa Peluang
For a discrete random variable X with possible values x1 ,x 2 , ... x n ,
a probability mass function is a function such that:
(1) f  xi   0
n
(2)
 f x  1
i 1
i
(3) f  xi   P  X  xi 
Sec 3-2 Probability Distributions & Probability Mass Functions
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
9
Contoh: Kontaminasi Keping
• X adalah peubah acak yang menyatakan jumlah keping konduktor yang harus
diperiksa sampai diperolehnya keping dengan partikel kontaminan.
• Asumsi: peluang bahwa keping mengandung partikel kontaminan adalah
0.01, and that the wafers are independent.
• p menyatakan keping mengandung partikel & a menyatakan keping tidak
mengandung partikel atau absent.
• Ruang sampel: S = {p, ap, aap, aaap, …}
• Kemungkinan nilai X : x = 1, 2, 3, 4, …
Probability Distribution
P(X =1) =
0.1 0.1
P(X =2) = (0.9)*0.1 0.09
P(X =3) = (0.9)2*0.1 0.081
P(X =4) = (0.9)3*0.2 0.0729
0.3439
10
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Fungsi Sebaran Kumulatif
• Dari contoh transmisi
• Dapat dinyatakan peluang terjadinya 3
bit atau kurang jumlah kesalahan
penerimaan: P(X ≤ 3).
• Kejadian (X ≤ 3) adalah gabungan dari
kejadian yang mutually exclusive/saling
lepas (X=0), (X=1), (X=2), (X=3).
• Dari tabel:
x
0
1
2
3
4
P(X =x ) P(X ≤x )
0.6561
0.2916
0.0486
0.0036
0.0001
1.0000
0.6561
0.9477
0.9963
0.9999
1.0000
P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.9999
P(X = 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 2) = 0.0036
Sec 3-3 Cumulative Distribution Functions
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
11
Sifat Fungsi Sebaran Kumulatif
Fungsi sebaran kumulatif dibentuk dari fungsi massa
peluang
The cumulative distribution function of a discrete random variable X ,
denoted as F ( x), is:
F  x   F  X  x    xi
xi  x
For a discrete random variable X , F  x  satisfies the following properties:
(1) F  x   P  X  x    f  xi 
xi  x
(2) 0  F  x   1
(3) If x  y, then F  x   F  y 
12
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Fungsi Sebaran Peluang
• Fungsi massa peluang dapat ditentukan dari
fungsi sebaran kumulatif
F (x) = 0.0
0.2
0.7
1.0
x < -2
-2 ≤ x < 0
0≤x <2
2≤x
PMF
f (2) = 0.2
f (0) = 0.5
f (2) = 0.3
Figure 3-3 Graph of the CDF
13
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Ukuran-ukuran Penting Pada Suatu Sebaran Peluang
• Mean adalah ukuran pemusatan dari suatu
sebaran peluang.
• Varians adalah ukuran ketersebaran dari suatu
sebaran peluang.
– Akarnya adalah simpangan baku
14
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sebaran Seragam Diskrit
• Sebaran diskrit yang paling mudah.
• Peubah acak X diasumsikan terbatas untuk
nilai-nilai tertentu, dengan peluang sama bagi
masing-masing nilai.
• Untuk setiap kemungkinan nilai X: x1, x2, …, xn,
fungsi peluangnya:
f(xi) = 1/n
(3-5)
15
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Sebaran Seragam Diskrit
Digit-digit pertama dari suatu nomor serial, dapat
saja berupa angka angka 0 s/d 9 masing-masing
dengan kemungkinan yang sama.
X : angka pada digit pertama nomor serial
X mempunyai sebaran seragam diskrit.
Figure 3-7 Fungsi massa peluang f(x) = 1/10 untuk x = 0, 1, 2, …, 9
16
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sebaran Seragam Diskrit secara Umum
• X adalah peubah acak diskrit dengan kemungkinan
nilai a sampai dengan b untuk a < b.
• Terdapat b – (a-1) nilai pada selang tersebut.
Sehingga:
f(x) = 1/(b-a+1)
• Ukuran pemusatan dan penyebaran:
μ = E(x) = 1/(b-a)
σ2 = V(x) = [(b-a+1)2–1]/12
17
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Jumlah jalur telepon
X: jumlah jalur telepon yang sedang digunakan
dari 48 jalur yang ada.
X diasumsikan menyebar secara seragam
(diskrit) pada selang 0, 1, …, 48.
Tentukan ukuran pemusatan dan penyebaran
bagi X.
48  0

 24
2
X 
 48  0  1
12
2
1
2400

 14.142
12
18
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh Peubah Acak Binomial
1. Melempar koin 10 kali. X= # gambar dari 10 kali
lemparan.
2. Suatu mesin menghasilkan produk dengan
jumlah cacat 1% dari keseluruhan produksi. X= #
jumlah cacat pada 25 unit yang diproduksi
secara berurutan.
3. Soal ujian pilihan berganda dengan 10
pertanyaan dan 4 pilihan jawaban setiap
pertanyaan. X = # jawaban yang benar dari 10
pertanyaan.
4. Dari 20 bayi yang baru lahir. X = # bayi
perempuan dari 20 bayi yang baru lahir tsb.
19
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sifat-sifat sebaran Binomial
1. Jumlah percobaan yang tetap (n).
2. Setiap percobaan hanya terdiri dari sukses
dan gagal. X adalah jumlah sukses dari n
percobaan tsb.
3. Peluang sukses dari setiap percobaan adalah
tetap, misalkan sebesar p.
4. Hasil dari percobaan yang dilakukan
berturut-turut saling bebas.
20
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Digital Channel
Peluang bahwa transmisi bit melalui channel digital
diterima secara salah adalah 0.1. Diasumsikan bahwa
Assume that the transmission trials are independent.
Let X = the number of bits in error in the next 4 bits
transmitted. Find P(X=2).
Answer:
Outcome x Outcome x
Let E denote a bit in error
Let O denote an OK bit.
Sample space & x listed in table.
6 outcomes where x = 2.
Prob of each is 0.12*0.92 = 0.0081
Prob(X=2) = 6*0.0081 = 0.0486
P  X  2   C24  0.1  0.9 
2
2
OOOO
OOOE
OOEO
OOEE
OEOO
OEOE
OEEO
OEEE
Sec 3=6 Binomial Distribution
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
0
1
1
2
1
2
2
3
EOOO
EOOE
EOEO
EOEE
EEOO
EEOE
EEEO
EEEE
1
2
2
3
2
3
3
4
21
Contoh: Digital Channel
• Peluang bahwa transmisi bit melalui channel
digital diterima secara salah adalah 0.1.
• Diasumsikan bahwa setiap transmisi terjadi
dengan saling bebas.
• X = jumlah bit yang salah diterima pada 4 bit
yang ditransmisikan.
• Tentukan P(X=2).
Sec 2-
22
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Dinotasikan bit yang salah dengan E dan bit yang benar
dengan O
• Ruang sampel dan nilai x (jumlah kesalahan pada 4
transmisi) ditampilkan pada tabel.
• Terdapat 6 hasil dengan x = 2.
Hasil
x Hasil
• Masing-masing dengan peluang:
OOOO 0 EOOO
2
2
0.1 *0.9 = 0.0081
OOOE 1 EOOE
• Prob(X=2) = 6*0.0081 = 0.0486
OOEO 1 EOEO
OOEE
OEOO
OEOE
OEEO
OEEE
2
1
2
2
3
x
1
2
2
3
2
3
3
4
EOEE
EEOO
EEOE
EEEO
EEEE
23
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Definisi Sebaran Binomial
• Sebaran dari peubah acak X di mana:
• X adalah jumlah sukses dari n percobaan
peluang sukses p, 0 < p < 1 and n = 0, 1, ....
• Fungsi massa peluangnya:
f  x   C p 1  p 
n
x
x
n x
for x  0,1,...n
(3-7)
24
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh: Polusi Organik
• Setiap sampel air yang diambil dari suatu
sungai mempunyai 10% kemungkinan
mengandung polutan.
• Diasumsikan bahwa sampel-sampel diambil
secara bebas.
• Tentukan peluang bahwa pada 18
pengambilan sampel berikutnya akan
diperoleh tepat 2 sampel yang mengandung
polutan.
25
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• X jumlah sampel yang mengandung polutan dari 18
sampel yang diambil.
• Masing-masing sampel hanya mungkin mengandung
atau tidak mengandung polutan.
• Maka X adalah peubah acak binomial dengan p = 0.1
dan n = 18
P  X  2   C218  0.1  0.9   153  0.1  0.9   0.2835
2
16
2
16
26
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Tentukan peluang bahwa paling sedikit
terdapat 4 sampel yang mengandung polutan.
18
P  X  4   C
x4
18
x
 0.1  0.9 
18 x
x
 1  P  X  4
3
 1 C
x 0
18
x
 0.1  0.9 
x
18 x
 0.098
Sec 2-
27
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Tentukan peluang bahwa akan ada 3 sampai
dengan 7 sampel dengan polutan .
7
P 3  X  7   C
x 3
18
x
 0.1  0.9 
x
18 x
 0.265
P  X  7   P  X  2
28
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Mean dan Varians Sebaran Binomial
X adalah peubah acak dengan parameter n dan
p
μ = E(X) = np
and σ2 = V(X) = np(1-p)
29
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:
Pada kasus transmisi bit, dengan n=4 dan p=0.1.
Tentukan mean (rata-rata) dan varians (ragam) dari
jumlah kesalahan transmisi!
Karena X adalah jumlah kesalahan dari 4 transmisi bit
menyebar binomial maka:
μ = E(X) = np = 4*0.1 = 0,4
σ2 = V(X) = np(1-p) = 4*0.1*0.9 = 3.6
σ = SD(X) = 1.9
30
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sebaran Poisson
Jika jumlah percobaan (n) pada percobaan binomial
semakin banyak (menuju tak hingga) dan rata-rata
binomial (np) tetap, maka sebaran binomial menjadi
sebaran Poisson.
Let   np  E  x  , so p   n


 n 
x 
n x
n
x
P  X  x 
p 1  p 
x
 
x

 1  
n 
n
n x

e   x

x!
31
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh Sebaran Poisson
Peubah acak X yang menyebar Poisson menyatakan
jumlah kejadian pada selang tertentu.
1. Jumlah partikel kontaminasi per keping
konduktor
2. Jumlah cacat di setiap gulungan tekstil.
3. Jumlah telepon masuk per jam.
4. Frekuensi listrik padam per bulan.
5. Jumlah partikel atom yang dipancarkan dari
suatu spesimen per detik.
6. Jumlah cacat pada setiap meter kabel.
Sec 3-9 Poisson Distribution
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
32
Definisi Sebaran Poisson
• Peubah acak X adalah jumlah kejadian pada
proses Poisson dengan parameter λ > 0, dan
fungsi massa peluang:
e   x
f  x 
x!
for
x  0,1, 2,3,...
(3-16)
33
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Mean (rata-rata) dan Varians (ragam) Sebaran
Poisson
Jika X adalah peubah acak Poisson dengan
parameter λ maka:
μ = E(X) = λ
and
σ2=V(X) = λ
34
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh Jumlah Kerusakan per Meter Kabel
• Diasumsikan bahwa jumlah kerusakan yang
terjadi di setiap meter kabel menyebar secara
Poisson dengan rata-rata 2.3 cacat per meter.
• X menyatakan jumlah cacat per meter kabel.
• Rata-rata berfungsi sebagai λ, sehingga λ = 2.3.
• Peluang bahwa terdapat tepat dua cacat pada
suatu meter kabel adalah:
e2.3 2.32
P  X  2 
 0.265
2!
Sec 2-
35
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.