Download 8- Statistical Intervals for a Single Sample

8
Statistik Selang untuk
Sampel Tunggal
1
•Sebelumnya telah dipelajari bagaimana menduga
parameter dari data/pengamatan di dalam sampel
•Selang kepercayaan dipelajari untuk mengetahui
seberapa baik penduga tersebut diperoleh.
•Batasan yang menyajikan selang bagi nilai-nilai yang
mungkin bagi parameter adalah “penduga selang”
•Tiga tipe selang:
•Selang kepercayaan,
•Selang prediksi,
•Selang toleransi (*)
2
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan
Ragam Diketahui
Rata-rata sampel menyebar secara normal dengan nilai
tengah μ dan ragam σ2/n
Sehingga dapat dibakukan menjadi normal baku: Z ~ N(0, 1)
3
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan
Ragam Diketahui
Akan dibentuk batas bawah dan batas atas bagi nilai μ,
dengan tingkat keyakinan/kebenaran 1 - α
Selang kepercayaan 100(1 – α)% bagi μ
dengan batas bawah l dan batas atas u
4
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan
Ragam Diketahui
Penentuan batas didasarkan pada sifat sebaran normal
baku yang melibatkan μ dan rata-rata sampel
Dengan sedikit manipulasi, maka peluang tersebut menjadi:
5
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan
Ragam Diketahui
Definisi:
Bagi sampel acak yang berasal dari populasi dengan
sebaran normal, berdasarkan rata-rata sampel dan ragam
σ2 yang diketahui, maka selang kepercayaan 100(1 – α)%
bagi μ adalah:
Dengan zα/2 nilai pada sebaran normal baku dengan ujung
kanan seluas α/2
6
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:
• Ingin diketahui kekuatan material logam yang diukur
pada suhu 600. Percobaan dilakukan pada sampel
logam sebanyak 10, dan diperoleh hasil pengukuran
kekuatan (dalam Joule) sbb: 64.1, 64.7, 64.5, 64.6,
64.5, 64.3, 64.6, 64.8, 64.2, dan 64.3.
• Diasumsikan bahwa kekuatan logam tadi menyebar
secara normal dengan σ = 1 Joule, ingin dibentuk
selang kepercayaan 95 % bagi μ, nilai tengah/rata-rata
kekuatan logam.
Selang
kepercayaan
95%:
7
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Nilai tengah kekuatan logam tersebut hampir
pasti (dengan peluang 95%) terletak di antara
63.84 Joule sampai dengan 65.08 Joule.
Sec 2-
8
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan
Ragam Diketahui
Interpretasi bagi Selang Kepercayaan
• Selang kepercayaan adalah selang yang bersifat acak
• Dari beberapa kali percobaan dengan setting yang sama,
terdapat 100(1-)% selang [l, u] yang memuat nilai .
9
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan
Ragam Diketahui
Selang Kepercayaan dan Ketepatan Pendugaan
Lebar selang kepercayaan adalah ukuran dari ketepatan
suatu pendugaan.
Semakin lebar suatu selang kepercayaan menunjukkan
kurang tepatnya suatu penduga, atau rendahnya tingkat
ketelitian percobaan (tingginya error)
Jarak antara rata-rata sampel dengan nilai μ yang
sebenarnya adalah ukuran error
Figure 8-2 Error in estimating  with x.
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
10
Selang Kepercayaan Bagi Nilai Tengah Sebaran Normal dengan
Ragam Diketahui
Ukuran sampel n dapat dipilih sedemikian sehingga error
tidak melebihi batasan E yang diinginkan.
11
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh:
• Dari contoh kekuatan logam sebelumnya, misalkan ingin
ditentukan berapa logam yang harus diuji (ukuran sampel)
untuk mendapatkan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah
kekuatan logam, dengan lebar selang paling banyak 1 Joule.
• Lebar selang 1 Joule menjadi batasan bagi error .
• Error diperoleh dari separuh lebar selang
n ≈ 16
12
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Selang Kepercayaan bagai Nilai Tengah Sebaran Normal, Ragam
dihitung dari Sampel berukuran Besar
Ketika ragam σ2 tidak diketahui, maka harus dihitung s2
dari sampel, dan ketika sampel berukuran besar, maka
berlaku:
Mendekati sebaran normal
baku
Sehingga selang kepercayaan 100(1 – α)% bagi μ dapat
didefinisikan sbb:
13
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh
Data berikut adalah tentang level kontaminasi merkuri
yang diukur dari sampel ikan di 53 danau di Florida
(dalam ppm):
14
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh (lanjut): Statistika deskriptif bagi 53 kadar
merkuri (sampel berukuran besar)
15
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh (lanjut):
Berdasarkan statistika deskriptif tsb, dapat dihitung
selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah kadar
merkuri
Diasumsikan kadar merkuri menyebar normal.
16
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sebaran t
Digunakan ketika sampel acak dengan ukuran n (kecil)
diambil dari sebaran normal dengan μ dan σ2 yang tidak
diketahui
17
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sebaran t pada beberapa k derajat bebas
Figure 8-4 Probability density functions of several t distributions.
18
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Sebaran t
Figure 8-5 Percentage points of the t distribution.
19
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Selang Kepercayaan bagai Nilai Tengah Sebaran
Normal, Ragam dihitung dari Sampel berukuran
Kecil
Dengan mengetahui rata-rata
tα/2
, ragam sampel s2 dan
Selang kepercayaan (1 – α)100% bagi μ adalah:
20
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh
Ketika dilakukan uji daya rekat spesimen logam yang
dilakukan pada 22 sampel, diperoleh hasil pengukuran
sbb:
Dari sampel tersebut diperoleh:
21
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
• Dengan derajat bebas n – 1 = 21, dapat dihitung
selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah daya rekat
spesimen logam tersebut:
22
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Selang Prediksi
Selang Prediksi untuk satu pengamatan yang akan datang
Xn+1
23
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.
Contoh Kasus daya rekat
Dari sampel 22 spesimen diperoleh:
Jika akan dilakukan pengukuran untuk spesimen ke-23,
maka dapat diprediksi bahwa daya rekat spesimen ke-23
95% akan berada di dalam selang prediksi berikut ini:
24
© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.