Survey
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
2 Teori Peluang 1 Percobaan Acak Tujuan: untuk memahami, mengukur dan memodelkan keragaman yang mempengaruhi perilaku fisik suatu sistem. - Model digunakan untuk menganalisis/memprediksi perilaku sistem dan outputnya ketika input dirubah. - Dengan percobaan dilakukan verifikasi terhadap prediksi tsb. Figure 2-1 Continuous iteration between model and physical system. 2 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Gangguan/Noise yang Menghasilkan Keragaman Output Nilai random/acak dari variabel gangguan tidak dapat dikontrol Menyebabkan keragaman acak pada variabel output. Walaupun input konstan, output akan bervariasi. Figure 2-2 Noise variables affect the transformation of inputs to outputs. © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 3 Percobaan Acak • Percobaan yang dilakukan untuk memperoleh hasil yang tidak dapat diketahui • Percobaan tersebut sudah didasari pada hukum tertentu yang bisa dikontrol • Hasil percobaan akan selalu berbeda jika dilakukan berulang-ulang walaupun dilakukan dengan cara dan situasi yang sama. 4 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Sifat acak Mempengaruhi Hukum Alam/Fisika Menurut hukum Ohm, kekuatan arus adalah fungsi linier dari voltase (I=V/R) - Walaupun voltase dibuat konstan, arus akan tetap bervariasi akibat adanya variabel gangguan/noise Figure 2-3 A closer examination of the system identifies deviations from the model. 5 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Ruang Sampel • Percobaan acak mempunyai hasil yang unik. • Himpunan seluruh hasil yang mungkin disebut dengan ruang sampel S. • S bersifat diskrit ketika himpunan tersebut beranggotakan hasil yang dapat dicacah dengan jumlah terbatas. • S bersifat kontinyu jika himpunan tersebut berupa interval (terbatas maupun tak hingga) dari bilangan riil. Sec 2-1.2 Sample Spaces 6 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Contoh: Mendefinisikan ruang sampel • Memilih secara acak dan mengukur ketebalan suatu komponen: – S = R+ = {x|x > 0}, garis bilangan positif. – Ketebaan negatif tidak mungkin – Bersifat kontinyu • Diketahui bahwa ketebalannya di antara 10 dan 11 mm – S = {x|10 < x < 11} – Bersifat kontinyu • Diketahui bahwa ketebalan hanya punya tiga kategori: – S = {low, medium, high} – Bersifat diskrit • Jika yang diamati adalah spesifikasi dari ketebalan memenuhi standar atau tidak – S = {yes, no} – Diskrit 7 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Identifikasi Ruang Sampel dengan Diagram Pohon Contoh: Mobil baru dilengkapi dengan beberapa pilihan sbb: 1. Transmisi manul atau otomatis 2. Dengan atau tanpa AC 3. Tiga pilihan stereo sound systems 4. Empat pilihan warna interior Figure 2-6 Diagram pohon untuk konfigurasi/pilihan mobil yang berbeda. Maka S beranggotak 2*2*3*4 = 48 kemungkinan. © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 8 Kejadian adalah Himpunan dari Hasil Percobaan • Suatu kejadian (E) adalah himpunan bagian dari ruang sampel suatu percobaan: – Satu atau lebih hasil percobaan di dalam ruang sampel. • Kejadian-kejadian dapat dioperasikan sbb: – Gabungan (union) dari dua kejadian E dan F: E ⋃ F – Himpunan dari seluruh hasil percobaan di E atau di F atau di kedua-duanya – Irisan (intersection) dari dua kejadian E dan F : E ∩ F – Himpunan dari seluruh hasil percobaan yang berada di E dan di F – Komplemen suatu kejadian E: seluruh komponen ruang sampel yang tidak termasuk di E: E’ 9 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. DiagramVenn Menunjukkan Hubungan antar Kejadian Figure 2-8 Venn diagrams © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 10 Diagram Venn untuk Kejadian Saling Lepas •Jika kejadian A dan B tidak mempunyai komponen atau hasil yang sama maka keduanya saling lepas (mutually exclusive). •A B=Ø Figure 2-9 Mutually exclusive events 11 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Counting Techniques (Mencacah ruang sampel) • Untuk mencacah komponen suatu kejadian dan ruang sampel. • Tiga metode: 1. Kaidah perkalian 2. Kaidah permutasi 3. Kaidah kombinasi 12 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Kaidah Perkalian • Misal: suatu prosedur operasi dengan k langkah di mana setiap langkah terdiri dari: • n1 cara menyelesaikan langkah 1, • n2 cara menyelesaikan langkah 2, … dan • nk cara menyelesaikan cara k. • Maka terdapat • n1 * n2*…*nk cara untuk melakukan prosedur operasi tsb. Sec 2-1.4 Counting Techniques © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 13 Contoh: • Dalam mendesain gear housing, dapat dipilih: – 4 diameter bolt yang berbeda, – 3 panjang bolt, – 2 posisi meletakkan bolt. • Berapa banyak desain yang mungkin dapat dibuat? • 4 *3 * 2 = 24 Sec 2-1.4 Counting Techniques © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 14 Aturan Permutasi • Urutan yang berbeda dari beberapa komponen yang dapat dibedakan. • Jika S = {a, b, c}, maka terdapat 6 permutasi – abc, acb, bac, bca, cab, cba (urutan penting) • # permutasi dari sekumpulan n komponen adalah n! • Secara definisi: 0! = 1 Sec 2-1.4 Counting Techniques © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 15 Sub-set Permutasi • Cara mengurutkan r komponen dari n komponen: n! P n(n 1)(n 2)...(n r 1) (n r )! 7! 7! 7 *6*5* 4! 7 P3 7 *6*5 210 4! 7 3! 4! n r In Excel: permut(7,3) = 210 Sec 2© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 16 Contoh: Desain Circuit Board • Cetakan circuit board mempunyai 8 lokasi penempatan komponen. • Jika 4 komponen berbeda akan diletakkan pada circuit board tersebut, berapa desain yang mungkin terbentuk? • Urutan penting, permutasi dengan n = 8, r = 4. 8! 8*7*6*5*4! P 8*7*6*5 1,680 4! 8 4 ! 8 4 17 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Aturan Kombinasi • Kombinasi adalah pemilihan r komponen dari sekumpulan n komponen di mana urutan tidak penting. • Jika S = {a, b, c}, n =3, maka akan diperoleh 1 kombinasi saja. – Jika r =3, terdapat 1 kombinasi: abc – Jika r=2, terdapat 3 kombinasi: ab, ac, bc • # permutasi ≥ # kombinasi n! C r ! n r ! n r © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. (2-4) 18 Contoh: • Sebuah circuit board dengan 8 lokasi penempatan komponen. • Akan diletakkan 5 komponen yang tidak dapat dibedakan pada circuit board tersebut. • Berapa desain yang mungkin dapat dibuat? • Karena tidak dapat dibedakan, maka urutan tidak penting: aturan kombinasi 8! 8*7*6*5! C 56 5!8 5! 3*2*1*5! 8 5 Sec 2-1.4 Counting Techniques © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 19 Peluang • Peluang adalah kemungkinan bahwa suatu hasil atau kejadian dari suatu percobaan acak akan terjadi. • Berupa angka pada selang [0,1]. • Dapat dinyatakan sebagai – Proporsi (0.15) – Persentase (15%) – Pecahan (3/20) • Arti dari peluang bernilai – 1: kejadian pasti – 0: kejadian yang tidak mungkin 20 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Tipe Peluang • Peluang subyektif adalah tingkat/derajat kepercayaan – “terdapat 50% kemungkinan bahwa saya akan belajar malam ini” • Frekuensi relatif peluang yang didasarkan pada berapa sering suatu kejadian terjadi berdasarkan ruang sampel tertentu Figure 2-10 Relative frequency of corrupted pulses over a communications channel 21 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Peluang Berdasarkan Hasil Dengan Kemungkinan yang Sama • Ketika ruang sampel terdiri dari N hasil dengan kemungkinan yang sama, maka setiap hasil mempunyai peluang 1/N. • Contoh: Di dalam satu kotak berisi 100 bola lampu, 1 bola lampu diberi warna merah. Bola lampu tersebut dipilih secara acak dari kotak • Acak setiap bola lampu mempunyai peluang yang sama untuk terpilih. • Peluang untuk memilih bola lampu dengan warna merah adalah 0.01 (1/100), karena setiap hasil di dalam ruang sampel mempunyai kemungkinan yang sama. 22 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Contoh: • Diasumsikan bahwa 30% dari bola lampu di dalam kotak (berisi 100) tadi memenuhi kualifikasi yang dibutuhkan pelanggan. – 30 bola lampu memenuhi kualifikasi – 70 bola lampu tidak memenuhi kualifikasi • • Satu bola lampu dipilih acak. Setiap bola lampu mempunyai peluang sama untuk terpilih (sebesar 0.01). Peluang bahwa yang terpilih adalah bola lampu dengan kualifikasi baik adalah: 30 0.01 0.3 Figure 2-11 Probability of the event E is the sum of the probabilities of the outcomes in E. Sec 2-2 Interpretations & Axioms of Probability © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 23 Peluang suatu Kejadian • Untuk ruang sampel diskrit, peluang suatu kejadian E, dinotasikan dengan P(E): – Jumlah peluang seluruh kejadian yang ada di E. • Ruang sampel diskrit dapat berupa: – Hasil percobaan berupa himpunan berhingga. – Hasil percobaan berupa himpunan tak hingga akan tetapi dapat dicacah. • Penjelasan lebih detil dibutuhkan untuk menggambarkan peluang yang sehubungan dengan ruang sampel kontinyu. 24 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Contoh: Peluang Suatu Kejadian • Suatu percobaan acak mempunyai ruang sampel {w,x,y,z}. • Hasil di dalam ruang sampel ini tidak mempunyai kemungkinan yang sama, • Peluang masing-masing hasil secara berturutturut: 0.1, 0.3, 0.5, 0.1. • Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C = {z} • P(A) = 0.1 + 0.3 = 0.4 • P(B) = 0.3 + 0.5 + 0.1 = 0.9 • P(C) = 0.1 25 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. • S={w,x,y,z}. • Peluang masing-masing hasil secara berturut-turut: 0.1, 0.3, 0.5, 0.1. • Kejadian A ={w,x}, kejadian B = {x,y,z}, kejadian C = {z} • Kejadian A’ ={y,z}, kejadian B’ = {w}, kejadian C’ = {w,x,y} • P(A’) = 0.5+0.1 = 0.6 • P(B’) = 0.1 • P(C’) = 0.9 • Karena kejadian A B = {x}, maka: – P(A B) = 0.3 • Karena kejadian A B = {w,x,y,z}, maka: – P(A B) = 1.0 • Karena kejadia A C = {null}, maka: – P(A C ) = 0.0 Sec 2© John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 26 Contoh: Partikel Kontaminasi • Dilakukan pemeriksaan terhadap keping semikonduktor. • Sebuah keping semikonduktor diambil secara acak. • E adalah kejadian memilih keping tanpa partikel kontaminasi •P(E) = 0.40 •F adalahkejadian memilih keping dengan 3 atau lebih partikel kontaminasi: •P(F) = 0.10+0.05+0.10 = 0.25 Jumlah Partikel Proporsi kontaminasi keping 0 0.40 1 0.20 2 0.15 3 0.10 4 0.05 5 atau lebih 0.10 Total 1.00 27 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Aksioma Peluang • Peluang adalah angka yang bersesuaian dengan masing-masing anggota suatu kejadian hasil percobaan acak. • Dengan sifat-sifat berikut • 1. P(S) = 1 2. 0 ≤ P(E) ≤ 1 3. Untuk setiap kejadia E1 dan E2 di mana E1 E2 = Ø, P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) Berimplikasi: – P(Ø) =0 and P(E’) = 1 – P(E) – Jika E1 himpunan bagian dari E2, maka P(E1) ≤ P(E2). 28 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Aturan Lain • Beberapa kejadian dapat dioperasikan sbb: – Gabungan: A B – Irisan: A B – Komplemen: A’ • Peluang dari hasil operasi di atas dapat ditentukan dari peluang masing-masing kejadian yang menyusunnya. Sec 2-3 Addition Rules 29 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Contoh: • Dari 940 keping konduktor dengan karakteristik yang disajikan pada tabel 2-1. • Akan diambil 1 secara acak • H adalah kejadian di mana terdapat kontaminasi dengan konsentrasi tinggi. – Maka P(H) = 358/940. • Peluang bahwa keping terambil bertipe C: – P(C) = 626/940. Table 2-1 Kontaminasi Low High Total Tipe C 514 112 626 E 68 246 314 Total 582 358 940 30 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. • Peluang bahwa terambil keping dengan kontaminasi konsentrasi tinggi dan bertipe C: – P(H C) = 112/940 Peluang bahwa terambil keping dengan kontaminasi konsentrasi tinggi atau bertipe C: P(H C) = P(H) + P(C) - P(H C) = (358+626-112)/940 Table 2-1 Kontaminasi Low High Total Tipe C 514 112 626 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. E 68 246 314 Total 582 358 940 31 • Peluang gabungan dua kejadian P( A B) P A P B P A B (2-5) and, as rearranged: P A B P A P B P A B • Jika dua kejadian A dan B saling lepas maka P A B therefore: P A B P A P B (2-6) 32 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Contoh: • Proporsi keping konduktor dengan jumlah kontaminasi untuk setiap tipe disajikan pada Tabel 2-2. • E1 adalah kejadian bahwa keping mempunyai 4 atau lebih partikel kontaminasi: • P(E1) = 0.05+0.1=0.15 • E2 adalah kejadian bahwa keping terambil bertipe E. • P(E2) = 0.28 Jumlah Partikel Kontaminasi 0 1 2 3 4 5 atau lebih Totals Table 2-2 Tipe C E Total 0.30 0.10 0.40 0.15 0.05 0.20 0.10 0.05 0.15 0.06 0.04 0.10 0.04 0.01 0.05 0.07 0.03 0.10 0.72 0.28 1.00 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 33 – Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi 4 atau lebih partikel dan bertipe E adalah irisan antara E1 dan E2: • P(E1 E2) = 0.01+ 0.03=0.04 •Kejadian di mana keping terambil terkontaminasi >=4 partikel atau bertipe E adalah kejadian gabungan: •P(E1 E2) =0.15 + 0.28 – 0.04 = 0.39 Jumlah Partikel Kontaminasi 0 1 2 3 4 5 atau lebih Totals Table 2-2 Tipe C E Total 0.30 0.10 0.40 0.15 0.05 0.20 0.10 0.05 0.15 0.06 0.04 0.10 0.04 0.01 0.05 0.07 0.03 0.10 0.72 0.28 1.00 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. 34 Diagram Venn Dari Kejadian-kejadian Saling Lepas - Jika kejadian-kejadian tersebut saling lepas maka setiap hasil hanya terjadi pada satu kejadian - Tidak terdapat irisan dari dua atau lebih kejadian. 35 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Contoh • Jika X adalah variabel yang menyatakan pH dari suatu sampel. • Peluang suatu kejadian di mana pH bernilai lebih dari 6.5 dan paling tinggi 7.5: • 6.5< X ≤ 7.5 • Dapat dibagi menjadi dua kejadian saling lepas – 6.5 < X ≤ 7.0 dan 7.0 < X ≤ 7.5 • Karena saling lepas maka peluangnya dapat ditambahkan: – P(6.5 < X ≤ 7.5) =P(6.5 < X ≤ 7.0) + P(7.0 < X ≤ 7.5) 36 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Kejadian Saling Bebas • Dua kejadian saling bebas jika berlaku: P(A B) = P(A)*P(B) Hal ini berarti bahwa terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi terjadinya kejadian lain. Sec 2-6 Independence 37 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Contoh: • Dari 850 produk hasil suatu proses produksi terdiri dari 50 produk cacat • Dua produk diambil satu per satu secara acak • Pengambilan pertama dikembalikan sebelum pengambilan produk kedua. • A adalah kejadian di mana pengambilan pertama adalah produk rusak: – P(A) = 50/850 • B adalah kejadian di amna pengambilan kedua adalah produk rusak: – P(B) = 50/850 • Karena dilakukan pengembalian sebelum diambil produk kedua maka apa yang terjadi di pengambilan pertama tidak mempengaruhi pengambilan kedua. • Hukum kebebasan berlaku: • Peluang bahwa produk rusak terambil pada pengambilan pertama dan kedua: – P(A)*P(B) = 50/850 *50/850 = 0.0035. 38 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Kebebasan Untuk Lebih dari Dua kejadian Kejadian E1, E2, … , Ek adalah saling bebas jika dan hanya jika: P(E1 E2 … , Ek) = P(E1)* P(E2)*…* P(Ek) (2-14) 39 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Contoh: Sirkuit Seri •Sirkuit ini hanya dapat bekerja jika masing-masing komponen berfungsi semua dari kiri ke kanan. Peluang berfungsi dengan baik untuk masing-masing komponen dapat dilihat pada gambar. •Jika diasumsikan bahwa kegagalan komponen tidak saling mempengaruhi satu sama lain, berapa peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi? Jika L & R menyatakan kejadian komponen kiri dan kanan dapat berfungsi. Maka peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah: P(L R) = P(L) * P(R) = 0.8 * 0.9 = 0.72. 40 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Contoh: Sirkuit Parallel Sirkuit pararel dapat beroperasi jika salah satu komponen dapat berfungsi. Sirkuit gagal bekerja jika semua komponen gagal berfungsi. Peluang komponen dapat bekerja disajikan pada gambar. Masing-masing beroperasi secara bebas. T & B adalah kejadian di mana komponen atas dan bawah berfungsi. Peluang bahwa sirkuit dapat berfungsi adalah komplemen dari semua komponen gagal berfungsi. 41 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. • Peluang komponen Atas gagal berfungsi: – P(T’)=1-0.95 = 0.05 • Peluang komponen Bawah gagal berfungsi: – P(B’)=1-0.95 = 0.05 • Peluang kedua komponen gagal berfungsi: – P(T’ B’) = P(T’)*P(B’) = 0.052 = 0.0025 42 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. • Peluang sirkuit dapat berfungsi adalah • P(T B) = 1 - P(T’∩ B’) =1- 0.052 = 0.9975 43 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger. Peubah acak (Random Variables) • Peubah yang memetakan hasil suatu percobaan acak pada suatu angka tertentu dinamakan peubah acak. • Peubah acak adalah fungsi yang memetakan bilangan riil pada setiap hasil percobaan acak yang ada di ruang sampel. • Dinotasikan dengan X. • Setelah percobaan dilakukan, hasil pengukuran/pengamatan dari variabel tersebut akan diketahui= • Dinyatakan dengan x = 70. – P(X=x)=P(X=70). Sec 2-8 Random Variables 44 © John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.