Download Dasar-dasar probabilitas - SI-35-02

Review probabilitas
Tutun Juhana
[email protected]
2
Sample space, sample points, events

Sample space,, adalah sekumpulan semua sample points,, yang mungkin;
dimana 





Contoh
Contoh
Contoh
Contoh
1.
2.
3.
4.
Melemparkan satu buah koin:={Gambar,Angka}
Menggelindingkan dadu: ={1,2,3,4,5,6}
Jumlah pelanggan dalam antrian: ={0,1,2,…}
Waktu pendudukan panggilan (call holding time): ={xx>0}
Events A,B,C,…   adalah himpunan bagian (yang dapat diukur) dari sample
space



Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6}
Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0}
Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={xx>3}

Event yang pasti : sample space 

Event yang tidak mungkin : himpunan kosong ()
3
Kombinasi event





Union (gabungan) :“A atau B” : AB={A atau
B}
Irisan: “A dan B” : AB={A dan B}
Komplemen : “bukan A”:Ac={A}
Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila :
AB=
Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event
A jika


(i) Bi  Bj= untuk semua ij
(ii) iBi =A
4
Probabilitas (peluang)



Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A)
P(A)[0,1]
Sifat-sifat peluang
5
Conditional Probability
(Peluang bersyarat)

Asumsikan bahwa P(B)>0
Definisi : Conditional probability dari suatu
event A bila diketahui event B terjadi
didefinisikan sebagai berikut

Dengan demikian

6
Teorema Probabilitas Total



Bila {Bi} merupakan partisi dari sample
space 
Lalu {ABi} merupakan partisi dari event A,
maka berdasarkan sifat probabilitas yang
ketujuh pada slide nomor 4
Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk
semua i. Maka berdasarkan uraian pada
slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema
probabilitas total sbb
7
Teorema Bayes




Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space 
Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i.
Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5
Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita
peroleh
Ini merupakan teorema Bayes


Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi
Peluang P(BiA) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila
diketahui event A terjadi)
8
Kesalingbebasan statistik dari event
(Statistical independence of event)

Definisi : Event A dan B saling bebas
(independent) jika

Dengan demikian

Demikian pula
9
Peubah acak (random variables)

Definisi : Peubah acak X (yang merupakan
bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai
riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada
sample space ;X:   

Setiap titik sample (sample points)  dihubungkan
dengan sebuah bilangan riil X()
10
Contoh



Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan
akan menghasilkan head (H) atau tail (T)
Sample space:
Misalnya peubah acak X merupakan jumlah
total tail (T) dalam ketiga eksperimen
pelemparan koin tersebut, maka :
11
Probability Distribution Function
(PDF)



Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi
FX:   [0,1] yang didefinisikan sebagai berikut
PDF menentukan distribusi dari peubah acak
Sifat
12
Kesalingbebasan statistik dari peubah
acak (Statistical independence of random
variables)


Definisi : Peubah acak X dan Y saling
bebas jika untuk semua x dan y
Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling
bebas jika untuk semua i dan xi
13
Peubah acak diskrit

Definisi : himpunan A disebut diskrit bila




Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat
sebuah himpunan diskrit Sx sedemikian hingga
Maka



Terbatas : A={x1,…,xn}, atau
Tak terbatas : A={x1,x2,…}
P{X=x}  0 untuk semua x  Sx
P{X=x} = 0 untuk semua x  Sx
Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)
14
Peluang titik (point probabilities)




Misalkan X adalah peubah acak diskrit
Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi
Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah
merupakan fungsi pX:   [0,1] yang didefinisikan sbb
Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step
15
Contoh
16
Kesalingbebasan peubah acak

Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan
saling bebas jika dan hanya jika untuk
semua xiSX dan yjSy
17
Ekspektasi (harapan,rataan)


Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X
dinyatakan oleh
Sifat-sifat
18
Variance

Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb

Rumus yang bermanfaat

Sifat-sifat
19
Covariance

Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan
sbb

Rumus yang bermanfaat

Sifat-sifat
20
Parameter lain yang berhubungan dengan
distribusi

Deviasi standard dari X

Momen ke-k dari X
21
Distribusi Bernoulli
Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang
mungkin


Sukses (1)
Gagal (0)
Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))
22
Distribusi binomial
Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang
saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli);


n = jumlah total eksperimen
p = peluang sukses dalam suatu eksperimen
23
Distribusi geometrik
Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan
kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling
bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli)

p = peluang sukses dalam suatu eksperimen
24
Distribusi Poisson
Limit dari distribusi binomial dimana n  dan p  0,
sedemikian hingga np  a
25
Contoh

Asumsikan






200 pelanggan terhubung ke sentral lokal
Trafik setiap pelanggan adalah 0.01
Pelanggan saling bebas
Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01)
Pendekatan Poisson X  Poisson(2,0)
Peluang titik
26
Peubah acak kontinu


Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat
diintegralkan fX:+, sedemikian hingga untuk semua x
Fungsi fX disebut probability density function (pdf)


Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set
Sifat-sifat
27
Contoh
28
Ekspektasi dan parameter lain

Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan
sbb



Note 2: Jika
, maka
Sifat sama dengan distribusi diskrit
Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat
yang sama seperti pada distribusi diskrit
29
Distribusi Uniform (X~U(a,b), a<b)
30
Distribusi Eksponensial (X~Exp(l), l>0)

Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal  ldt)