Download ליגרת תונורתפ 11

‫פתרונות תרגיל ‪11‬‬
‫‪.1‬נניח שב – ‪ t=0‬הזרם במעגל מקסימלי‪I = I 0 cos(ω t ) :‬‬
‫אנרגיה מגנטית מקסימלית מתקבלת כאשר הזרם בערכו המוחלט מקסימלי כלומר כל‬
‫חצי מחזור‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪T = 8 µs‬‬
‫‪T‬‬
‫⇒ ‪= 4 µs‬‬
‫‪2‬‬
‫נמצא את ההשראות‪:‬‬
‫‪1.6 mH‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪T2‬‬
‫=‪T‬‬
‫= ‪= 2π LC ⇒ L‬‬
‫=‬
‫‪ω‬‬
‫‪4π 2 C‬‬
‫אנרגיה מקסימלית בקבל תתקבל כאשר המטען על הקבל יגיע למקסימום בערכו‬
‫המוחלט‪.‬‬
‫) ‪Q = Q0 sin(ω t‬‬
‫‪π‬‬
‫המטען המקסימלי יתקבל כאשר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫= ‪ ω t‬כלומר כעבור רבע מחזור‪:‬‬
‫‪2 µs‬‬
‫= ‪t1‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪5 *10 F‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪T2‬‬
‫) ‪6.28 *10 −3‬‬
‫=‪⇒ C‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪4π 2 L‬‬
‫‪4π 2 * 0.2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪I = 0.5 cos(ω t‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪= 2π LC‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪= 1000‬‬
‫‪T‬‬
‫=‪T‬‬
‫=‪ω‬‬
‫‪dQ‬‬
‫) ‪= Q0ω cos(ω t‬‬
‫‪dt‬‬
‫= ‪Q = Q0 sin(ω t ) ⇒ I‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪= 5 *10 − 4 Cl‬‬
‫‪ω‬‬
‫= ‪⇒ Q0ω = 0.5 ⇒ Q0‬‬
‫) ‪Q = 5 *10 −4 sin(1000t‬‬
‫‪1 Q 2 Q02‬‬
‫= ‪Uc‬‬
‫=‬
‫) ‪sin 2 (ω t ) = 0.025 sin 2 (1000t‬‬
‫‪2 C‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪1 2 LI 02‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪U L = LI‬‬
‫) ‪cos(ω t ) = 0.025 cos (1000t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.2‬כל זמן שהזרם במעגל קטן מ – ‪ 3A‬הפיוז מהווה קצר כלומר התנגדותו שווה‬
‫לאפס ולכן כל הזרם יעבור דרכו כלומר‪ ,‬דרך הנגד לא יעבור זרם בכלל‪.‬‬
‫בשלב זה המעגל כולל מקור מתח וסליל‪:‬‬
‫‪dI‬‬
‫) קבוע ‪ε − L = 0 ⇒ εdt = LdI ⇒ εt + D = LI ( D −‬‬
‫‪dt‬‬
‫את גודלו של ‪ D‬ניתן למצוא מתנאי ההתחלה‪ :‬ב – ‪ t=0‬נתון‪ I=0 :‬לכן נקבל ש –‬
‫‪:D=0‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪10‬‬
‫‪t = t = 2t‬‬
‫‪L‬‬
‫‪5‬‬
‫נבדוק מתי הזרם יגיע ל – ‪:3A‬‬
‫⇒ ‪I max = 3 = 2t‬‬
‫=‪⇒ I‬‬
‫‪t = 1.5 sec‬‬
‫במהלך השניה וחצי הראשונות‪ , I=2t :‬לאחר שהפיוז נשרף מתקבל מעגל ‪ LR‬במצב‬
‫טעינה עם זרם התחלתי של ‪ 3A‬וזרם מקסימלי )לאחר זמן רב(‪:‬‬
‫‪ε 10 2‬‬
‫= = ‪I max‬‬
‫‪= A‬‬
‫‪R 15 3‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪I‬‬
‫‪+ 23‬‬
‫) ‪( t −1.5‬‬
‫‪0.33‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+ I max = ( 3 − 23 ) e‬‬
‫) ‪( t −1.5‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1.5 < t < ∞ I = ( I 0 − I max ) e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪I‬‬
‫‪3‬‬
‫⅔‬
‫⅔‬
‫‪tt‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
RLC circuit
Submitted by: I.D. 066072570
The problem:
For the given RLC circle:
1. find the law of connecting inductances in series and in parallel in general.
What is the total induction of the given circle?
2. The switch is on the right hand side for 3τsec and after is moved to the left side.
• Find the resonance frequency of the system.
• find the current through the resistor as a function of time.
The solution:
a. inductance in series:
I1 = I2 ⇒ ε = (L1 + L2 )I˙1 = Lef f I˙ ⇒ L1 + L2 = Lef f
(1)
inductance in parallel:
I1 + I2 =
ε
ε
ε(L1 + L2 )
ε
L1 L2
1
1
1
+
=
⇒
=
= Lef f ⇒
=
+
L1 L2
L1 L2
I1 + I2
L1 + L2
Lef f
L1 L2
(2)
in our case:
Lef f =
(L1 + L2 ) · L3
L1 + L2 + L3
(3)
after 3τ (RC) we get:
−t
V = ε(1 − e Rc ) = ε(1 − e−3 ) ≈ 4.75v
(4)
and the equation of the circuit is:
q
q
+ IR + LI˙ = 0 ⇒ + Rq̇ + Lq̈ = 0
c
c
(5)
we shall start analysis with the simplest case- R=0, in this case we have:
q̈ = −
1
q
Lc
(6)
1
and the solution is:
q = Aeiω0 t
(7)
where
s
ω0 =
2
1
= 8 · 106 Hrz
Lef f c
3
(8)
substitute q = Aeiωt in the equation we get:
r
iR
Γ2
i
2
2
−ω +
ω + ω0 = 0 ⇒ ω = Γ ± ω02 −
L
2
4
(9)
where
Γ=
R
L
(10)
the solution is
i
h
0 i
q = Re Aei(ω + 2 Γ)t
(11)
where
r
0
ω =
ω02 −
Γ2
4
(12)
substitute
q(t = 0) = c · v(3τ )
(13)
we get
A = 4.75 · 10−9
(14)
to find the curent:
Γ
i
Γ
0 i
I = q̇ = RE i(ω 0 + Γ)Aei(ω + 2 Γ)t = −Ae− 2 t · ( cos(ω 0 t) + ω 0 sin(ω 0 t))
2
2
eventually substitute the given parameters we get:
2
2
2
I = −4.75 · 10−9 e−37509t 37509 · cos(8 · 106 t) + 8 · 106 sin(8 · 106 t)
3
3
3
Amper
(15)
(16)
The first plot presents a voltage on the resistor R and on the second one the current through it as
a function of time.
2
3