Download רויאב עיפומש לגעמה ןותנ , קספמה

‫נתון המעגל שמופיע באיור‪ ,‬המפסק ‪ S1‬סגור זמן רב‪ .‬כל הנגדים בעלי ערכים זהים )המספור הינו לצורך‬
‫חישובים בלבד‪ ,‬ניתן להתייחס למשרן כאל סלנואיד בעל ‪ N‬ליפופים‪ ,‬אורך ‪ l‬ורדיוס ‪(R‬‬
‫‪ .1‬מצא את הזרמים‪ ,‬מפלי המתחים‪ ,‬והשדות המגנטיים שישנם ברכיבים שמוצגים באיור‪.‬‬
‫‪ .2‬לאחר זמן מה המפסק ‪ S1‬נפתח‪ .‬מהו סוג התנועה שמבצע הזרם דרך הסליל בכל שלב? צייר איכותית‬
‫כגרף‪.‬‬
‫בפתרון נרחיב מעט את הבעיה ונראה כיצד המשרן נטען וכיצד הוא יתנהג עד להגעה ל"זמן רב לאחר"‪.‬‬
‫ניצור שתי לולאות קירכהוף שבהן המשרן הינו מקור מתח ‪ ,  L‬משוואה המעגל‪:‬‬
‫‪ .1‬על הלולאה השמאלית )מקור מתח‪ ,‬משרן ונגד ‪(R2‬‬
‫‪dI‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪  ( I L  I 1 ) R2  L‬‬
‫‪ .2‬על הלולאה החיצונית )מקור מתח והנגדים ‪(R1,R2‬‬
‫‪  I 1 R1  ( I L  I 1 ) R2  0‬‬
‫כאשר סימננו את הזרם על הנגד ‪ R1‬והמשרן ‪ L‬במשוואה‪ ,‬הזרם דרך ‪ R2‬הינו סכומם‪.‬‬
‫מחיסור שתי המשוואות נקבל‪:‬‬
‫‪L dI‬‬
‫‪R1 dt‬‬
‫‪I1 ‬‬
‫‪dI‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪I 1 R1  L‬‬
‫‪R1  R2‬‬
‫ונציב את ‪ I 1‬במשוואת הלולאה החיצונית‪ ,‬ניתן לחלק את הביטוי שיתקבל ב‬
‫‪R1‬‬
‫המשוואה‪:‬‬
‫‪dI‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ '  IR' L‬‬
‫ולקבל את‬
‫‪R1‬‬
‫‪RR‬‬
‫כאשר ‪ R'  1 2‬וכן‬
‫‪R1  R2‬‬
‫‪R1  R2‬‬
‫‪ ,  ' ‬משוואה דיפרנציאלית זו ניתן לפתור באופן כללי עבור מעגל‬
‫‪.RLC‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר המפסק סגור )זמן כללי( המשוואה לטעינת משרן הינה‬
‫‪1  EXP  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪R2‬‬
‫זמן רב‪ ,‬האקספוננט מתאפס‪ ,‬ומכאן הזרם במשרן‪ .‬חשוב לזים לב ש‪.   L :‬‬
‫'‪R‬‬
‫‪ . I L (t ) ‬לאחר‬
‫פתרון סעיף ‪.1‬‬
‫א‪.‬לפני פתיחת המפסק‪:‬‬
‫המתח על המשרן הינו ‪ – 0‬מכוון שאין עליו מפל מתח‪.‬‬
‫המתח על הנגד ‪ R1‬שווה למתח על המשרן‪ ,‬הם מחוברים במקביל‪.‬‬
‫המתח על הנגד ‪ R2‬הוא ‪. ‬‬
‫השדה המגנטי במשרן ‪. B   0 nI 0‬‬
‫ב‪ .‬לאחר פתיחת המפסק‪:‬‬
‫המשרן שהיה טעון עד עתה נתחיל להתפרק‪ ,‬הפתרון הידוע למעגלי ‪ RL‬מתפרק הוא‪:‬‬
‫‪ , I L (t )  I 0 EXP  t‬כאשר ‪ I 0‬הוא הזרם ההתחלתי על המשרן‪ .‬עתה מדובר במעגל ‪RL‬‬
‫‪‬‬
‫בסיסי מכוון שהנגד ‪ R2‬יצא מהמשחק )זרם ומתח ‪.(0‬‬
‫‪  ‬‬
‫הזרם דרך ‪ R1‬שווה לזרם דרך המשרן ‪ ,L‬המתח הוא ‪.  R1  I (t ) R1‬‬
‫באופן דומה השדה המגנטי במשרן הינו ) ‪B   0 nI (t‬‬
‫פתרון סעיף ‪.2‬‬
‫לאחר פתיחת המפסק הזרם המושרה יהיה בכיוון הזרם החיצוני שנעלם ‪ ,CW‬ניתן להחליף את המשרן‬
‫במקור מתח שבו ההדק החיובי )הארוך( כלפי מטה‪.‬‬
‫כיוון הזרם ימשיך עד לדעיכתו כאקספוננט‪.‬‬
RLC circuit
Submitted by: I.D. 066072570
The problem:
For the given RLC circle:
1. find the law of connecting inductances in series and in parallel in general.
What is the total induction of the given circle?
2. The switch is on the right hand side for 3τsec and after is moved to the left side.
• Find the resonance frequency of the system.
• find the current through the resistor as a function of time.
The solution:
a. inductance in series:
I1 = I2 ⇒ ε = (L1 + L2 )I˙1 = Lef f I˙ ⇒ L1 + L2 = Lef f
(1)
inductance in parallel:
I1 + I2 =
ε
ε
ε(L1 + L2 )
ε
L1 L2
1
1
1
+
=
⇒
=
= Lef f ⇒
=
+
L1 L2
L1 L2
I1 + I2
L1 + L2
Lef f
L1 L2
(2)
in our case:
Lef f =
(L1 + L2 ) · L3
L1 + L2 + L3
(3)
after 3τ (RC) we get:
−t
V = ε(1 − e Rc ) = ε(1 − e−3 ) ≈ 4.75v
(4)
and the equation of the circuit is:
q
q
+ IR + LI˙ = 0 ⇒ + Rq̇ + Lq̈ = 0
c
c
(5)
we shall start analysis with the simplest case- R=0, in this case we have:
q̈ = −
1
q
Lc
(6)
1
and the solution is:
q = Aeiω0 t
(7)
where
s
ω0 =
2
1
= 8 · 106 Hrz
Lef f c
3
(8)
substitute q = Aeiωt in the equation we get:
r
iR
Γ2
i
2
2
−ω +
ω + ω0 = 0 ⇒ ω = Γ ± ω02 −
L
2
4
(9)
where
Γ=
R
L
(10)
the solution is
i
h
0 i
q = Re Aei(ω + 2 Γ)t
(11)
where
r
0
ω =
ω02 −
Γ2
4
(12)
substitute
q(t = 0) = c · v(3τ )
(13)
we get
A = 4.75 · 10−9
(14)
to find the curent:
Γ
i
Γ
0 i
I = q̇ = RE i(ω 0 + Γ)Aei(ω + 2 Γ)t = −Ae− 2 t · ( cos(ω 0 t) + ω 0 sin(ω 0 t))
2
2
eventually substitute the given parameters we get:
2
2
2
I = −4.75 · 10−9 e−37509t 37509 · cos(8 · 106 t) + 8 · 106 sin(8 · 106 t)
3
3
3
Amper
(15)
(16)
The first plot presents a voltage on the resistor R and on the second one the current through it as
a function of time.
2
3
‫מנורה עם השראה‬
‫בידכם נורת ליבון שרשום עליה ‪ .120V 60W‬מה גודל המשרן שעליכם לחבר על מנת להפעילה‬
‫במתח חילופין של ‪? 220V 50Hz‬‬
‫יש לנו מעגל של מקור מתח‪ ,‬משרן ‪ L‬ונורה שמחוברים בטור‪ .‬נתייחס לנורה כאל נגד עם התנגדות‬
‫‪.R‬‬
‫ננצל את התרגיל הזה בשביל כמה הבהרות בקשר לרשת החשמל‪ .‬נתון המתח שקיבלנו‪220V ,‬‬
‫הוא אינו האמפליטודה‪ ,‬אלא ערך ה ‪ .RMS - Root Mean Square‬הממוצע של מתח חילופין סטנדרטי‬
‫הוא אפס‪ ,‬ולכן משתמשים בממוצע של הריבוע‪ .‬במקרה של גל סינוסואידלי‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫√‬
‫‪∫ T‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= > ⟩ ‪VRMS ≡ ⟨V‬‬
‫‪(V0 sin(ωt))2 = √ V0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 T‬‬
‫כלומר במקרה שלנו‪:‬‬
‫‪2VRMS ≈ 310 V‬‬
‫√‬
‫= ‪V0‬‬
‫במקרה של מתח ‪ DC‬ערך ה ‪ RMS‬שווה למתח עצמו‪ .‬שימו לב שההגדרה שימושית גם למתחים שאינם‬
‫סינוסואידלים‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬ההספק הממוצע על נגד הוא‪:‬‬
‫⟩‪⟨ 2‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V2‬‬
‫= ⟩ ‪⟨P‬‬
‫‪= RMS‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫וזו אחת הסיבות שמשתמשים ב ‪ .RMS‬דבר נוסף שצריך לזכור הוא שאנחנו משתמשים בדרך כלל‬
‫בתדירות הזוויתית ופה קיבלנו את התדירות הרגילה‪ .‬נמיר את הנתון‪:‬‬
‫‪ω = 2πf = π(2 · 50 Hz) ≈ 314 Hz‬‬
‫מכיוון שמדובר במעגל טורי‪ ,‬העכבה שלו הוא פשוט חיבור העכבות‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪Z = R + iωL‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪|Z| = Z ⋆ Z = R2 + ω 2 L2‬‬
‫ה ‪RMS‬של הזרם שעובר במעגל הוא‪:‬‬
‫‪VRMS‬‬
‫|‪|Z‬‬
‫= ‪IRMS‬‬
‫נחלץ את ההשראות הדרושה מההספק על הנורה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪VRMS‬‬
‫‪R‬‬
‫‪VRMS‬‬
‫=‬
‫‪R= 2‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪|Z‬‬
‫‪R + ω 2 L2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪IRMS‬‬
‫‪2‬‬
‫‪VRMS‬‬
‫‪R‬‬
‫‪− R2‬‬
‫‪P‬‬
‫√‬
‫= ‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪L‬‬
‫‪ω‬‬
‫רק חסרה לנו ההתנגדות‪ ,‬אותה ניתן להסיק מההספק והמתח המקוריים‪:‬‬
‫‪Vi2‬‬
‫√‪P‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪1 VRMS‬‬
‫‪Vi‬‬
‫‪Vi2 Vi4‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪L‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪VRMS‬‬
‫‪− Vi2 ≈ 1.19H‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪P2‬‬
‫‪P2‬‬
‫‪ωP‬‬
‫=‪R‬‬
‫א‬
For Question 4, see 5 in “hw3”.
For Question 5, see 4 in “hw4”.