Download Document 8894670

Mutual Inductance
Submitted by: I.D. 043423755
The problem:
Two loops of radius a are at a distance b from each other, such that the planes of the loops are
parallel, and perpendicular to the axis connecting them.
1. Assuming b a, what is the mutual inductance of the system?
2. In one loop there is a constant current I and the other loop rotates at the angular velocity
along its diameter. What is the induced EMF in the rotating loop?
The solution:
The method: We assume that there is a changing current in one of the loops and we will calculate
the e.m.f in the second loop and thus extract the inductance coefficient.
~ that is created along the z axis of the ring
1. The magnetic field B
B=
(µ0 I)a2
ẑ
2(a2 + b2 )3/2
(1)
b a - meaning that inside the area of the second ring, the magnetic field is approximately the
same. Using the Taylor expansion.
B=
µ0 Ia2
µ0 Ia2
=
+ O((a/b)2 )
2b3
2b3 (1 + (a/b)2 )3/2
(2)
Let’s calculate the flux
Φ=B·A=
µ0 Ia2 2 µ0 πIa4
πa =
2b3
2b3
(3)
Now we use the Faraday’s law
= −Φ̇ = −
µ0 πa4 ˙
I
2b3
(4)
Finally the mutual inductance coefficient M is the expression multiplying the time derivative of the
current.
M=
µ0 πa4
2b3
(5)
2. The magnetic flux through the loop now changes because the area changes with time
A = πa2 cos(ωt)
(6)
Thus
µ0 πa4 I(t)
cos(ωt)
2b3
µ0 πa4 ˙
= −Φ̇ = −
(I cos(ωt) − ωI sin(ωt))
2b3
Φ = B·A=
1
(7)
(8)
Mutual Inductance
Submitted by: I.D. 043423755
The problem:
Inside an infinite solenoid with n windings per unit length, there is a closed planar loop of area S
which is placed at an angle to the axis of symmetry of the solenoid.
What is the mutual inductance of the system?
The solution:
Lets define a few parameters:
1. n - the density of windings per unit of length
2. θ - the angle that the z axis creates with the solenoid
3. S - the surface of the solenoid
The magnetic field in the solenoid is
~ = µ0 Inẑ
B
(1)
And the flux is
~ · ~s = µ0 Inẑ · S n̂ = µ0 IS cos θ
Φ=B
(2)
Thus the induced e.m.f is
= −Φ̇ = −µ0 nS cos θI˙
(3)
Therefore, the mutual inductance coefficient is
M = µ0 nS cos θ
(4)
1
RLC circuit
Submitted by: I.D. 066072570
The problem:
For the given RLC circle:
1. find the law of connecting inductances in series and in parallel in general.
What is the total induction of the given circle?
2. The switch is on the right hand side for 3τsec and after is moved to the left side.
• Find the resonance frequency of the system.
• find the current through the resistor as a function of time.
The solution:
a. inductance in series:
I1 = I2 ⇒ ε = (L1 + L2 )I˙1 = Lef f I˙ ⇒ L1 + L2 = Lef f
(1)
inductance in parallel:
I1 + I2 =
ε
ε
ε(L1 + L2 )
ε
L1 L2
1
1
1
+
=
⇒
=
= Lef f ⇒
=
+
L1 L2
L1 L2
I1 + I2
L1 + L2
Lef f
L1 L2
(2)
in our case:
Lef f =
(L1 + L2 ) · L3
L1 + L2 + L3
(3)
after 3τ (RC) we get:
−t
V = ε(1 − e Rc ) = ε(1 − e−3 ) ≈ 4.75v
(4)
and the equation of the circuit is:
q
q
+ IR + LI˙ = 0 ⇒ + Rq̇ + Lq̈ = 0
c
c
(5)
we shall start analysis with the simplest case- R=0, in this case we have:
q̈ = −
1
q
Lc
(6)
1
and the solution is:
q = Aeiω0 t
(7)
where
s
ω0 =
2
1
= 8 · 106 Hrz
Lef f c
3
(8)
substitute q = Aeiωt in the equation we get:
r
iR
Γ2
i
2
2
−ω +
ω + ω0 = 0 ⇒ ω = Γ ± ω02 −
L
2
4
(9)
where
Γ=
R
L
(10)
the solution is
i
h
0 i
q = Re Aei(ω + 2 Γ)t
(11)
where
r
0
ω =
ω02 −
Γ2
4
(12)
substitute
q(t = 0) = c · v(3τ )
(13)
we get
A = 4.75 · 10−9
(14)
to find the curent:
Γ
i
Γ
0 i
I = q̇ = RE i(ω 0 + Γ)Aei(ω + 2 Γ)t = −Ae− 2 t · ( cos(ω 0 t) + ω 0 sin(ω 0 t))
2
2
eventually substitute the given parameters we get:
2
2
2
I = −4.75 · 10−9 e−37509t 37509 · cos(8 · 106 t) + 8 · 106 sin(8 · 106 t)
3
3
3
Amper
(15)
(16)
The first plot presents a voltage on the resistor R and on the second one the current through it as
a function of time.
2
3
‫מעגל ‪RL‬‬
‫נתון מעגל ‪ RL‬שבאיור‪ ,‬ברגע ‪ T‬מפסק ‪ S1‬שהיה סגור זמן רב נפתח ומפסק ‪ S2‬שהיה פתוח נסגר‪.‬‬
‫‪ .1‬מצאו את האנרגיה במעגל ה‪ ,RL-‬המתח והזרם על המשרן והנגד ברגע ‪.t=T‬‬
‫‪ .2‬מהו כיוון הזרם במשרן ‪ L‬ברגע ‪ ?T=0‬האם כיוונו ישתנה עבור ‪?t>T‬‬
‫‪ .3‬מהו הביטוי המתמטי לזרם כפונקציה של הזמן עבור ‪ t<T‬וכן עבור ‪ ?t>T‬מה נגזרת הזרם כפונקציה של הזמן?‬
‫‪ .4‬מצאו את האנרגיה במעגל ה‪ RL‬בזמן ‪.t>T‬‬
‫‪ .5‬כיצד יראה מעגל חשמלי בו יוחלף המשרן במקור מתח משתנה בזמן?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ .1‬ברגע ‪ t=T‬הזרם במעגל הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2 1 ε ‬‬
‫‪LI = L ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 R‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪ , I‬לכן האנרגיה במעגל ה‪ RL-‬הינה של המשרן בלבד‪:‬‬
‫= ‪ . U B‬המתח על המשרן הוא ‪ 0‬מכוון שמדובר בתיל אידיאלי )חסר התנגדות(‪ ,‬הזרם דרכו קבוע‬
‫‪ε‬‬
‫בזמן ושווה ל ‪ . I‬המתח על הנגד הוא ‪R = −ε‬‬
‫‪R‬‬
‫בלולאה סגורה יהיה ‪ ,0‬בדומה לתרגילים בנושא חוקי קירכהוף‪.‬‬
‫‪ ∆V = −‬כפי שניתן היה לצפות מהדרישה לכך שסך המתחים‬
‫‪ .2‬ברגל החלפת המפסקים הזרם שנע בכיוון השעון עד עתה מפסיק‪ ,‬יווצר זרם מושרה בכיוון הפוך – ‪ .CW‬כיוון‬
‫הזרם לא ישתנה‪.‬‬
‫‪ .3‬בזמן ‪ t<T‬הזרם קבוע ונסמנו כ‪ , I 0 -‬נגזרתו לפי הזמן היא ‪ .0‬בזמן ‪ t>T‬ננסח את המשוואה הדיפרנציאלית‪:‬‬
‫‪dI‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dI‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪ − IR − L‬ננסח בצורץ משוואת פרדה‪= − dt :‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪I‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ .‬פתרון משוואה זו הינו‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪− t‬‬
‫‪R‬‬
‫‪L‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ ln( I ) = − t → I (t ) = I 0 e L‬נהוג לסמן את = ‪t ,τ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪R‬‬
‫‪L‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪−t‬‬
‫בתור‬
‫‪t‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪ ,‬אז הזרם כפונקציה של הזמן הינו‬
‫‪ . I (t ) = I 0 e‬גרף שמציג את תלות הזרם בזמן מוצג באיור ‪.1‬‬
‫איור ‪ 1‬תאור סכמטי של הזרם של פריקת משרן‪.‬‬
‫) ‪dI (t‬‬
‫‪1 −t‬‬
‫נגזרת הזרם בזמן הינה‪= − I 0 e τ :‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .4‬האנרגיה של מעגל ה‪ RL‬אינה קבועה בזמן‪ ,‬ההספק של שני הרכיבים במעגל ניתן לתאור על ידי שימוש בחוק‬
‫‪dI‬‬
‫‪ , ΣIε = I 2 R + LI‬ביטויים עבור ערכים אלו נפתרו בסעיפים קודמים‪.‬‬
‫אוהם וב‪ EMF‬המושרה במעגל‪:‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dI‬‬
‫‪ .5‬ניתן לתאר את המשרן כמקור מתח תלוי זמן‬
‫‪dt‬‬
‫המתח יהיו מסודרים כך שההדק החיובי )הארוך( יהיה כלפי מטה‪.‬‬
‫‪ . ε L (t ) = L‬מכוון שכיוון הזרם בזמן ‪ t>T‬הינו ‪ CW‬הדקי מקור‬
RLC circuit
Submitted by: I.D. 066072570
The problem:
For the given RLC circle:
1. find the law of connecting inductances in series and in parallel in general.
What is the total induction of the given circle?
2. The switch is on the right hand side for 3τsec and after is moved to the left side.
• Find the resonance frequency of the system.
• find the current through the resistor as a function of time.
The solution:
a. inductance in series:
I1 = I2 ⇒ ε = (L1 + L2 )I˙1 = Lef f I˙ ⇒ L1 + L2 = Lef f
(1)
inductance in parallel:
I1 + I2 =
ε
ε
ε(L1 + L2 )
ε
L1 L2
1
1
1
+
=
⇒
=
= Lef f ⇒
=
+
L1 L2
L1 L2
I1 + I2
L1 + L2
Lef f
L1 L2
(2)
in our case:
Lef f =
(L1 + L2 ) · L3
L1 + L2 + L3
(3)
after 3τ (RC) we get:
−t
V = ε(1 − e Rc ) = ε(1 − e−3 ) ≈ 4.75v
(4)
and the equation of the circuit is:
q
q
+ IR + LI˙ = 0 ⇒ + Rq̇ + Lq̈ = 0
c
c
(5)
we shall start analysis with the simplest case- R=0, in this case we have:
q̈ = −
1
q
Lc
(6)
1
and the solution is:
q = Aeiω0 t
(7)
where
s
ω0 =
2
1
= 8 · 106 Hrz
Lef f c
3
(8)
substitute q = Aeiωt in the equation we get:
r
iR
Γ2
i
2
2
−ω +
ω + ω0 = 0 ⇒ ω = Γ ± ω02 −
L
2
4
(9)
where
Γ=
R
L
(10)
the solution is
i
h
0 i
q = Re Aei(ω + 2 Γ)t
(11)
where
r
0
ω =
ω02 −
Γ2
4
(12)
substitute
q(t = 0) = c · v(3τ )
(13)
we get
A = 4.75 · 10−9
(14)
to find the curent:
Γ
i
Γ
0 i
I = q̇ = RE i(ω 0 + Γ)Aei(ω + 2 Γ)t = −Ae− 2 t · ( cos(ω 0 t) + ω 0 sin(ω 0 t))
2
2
eventually substitute the given parameters we get:
2
2
2
I = −4.75 · 10−9 e−37509t 37509 · cos(8 · 106 t) + 8 · 106 sin(8 · 106 t)
3
3
3
Amper
(15)
(16)
The first plot presents a voltage on the resistor R and on the second one the current through it as
a function of time.
2
3
‫מעגל ‪ ,RLC‬בחינה ‪2006‬‬
‫נתון המעגל שמופיע באיור כאשר הקבל נטען זה זמן רב‪.‬‬
‫‪ .1‬כאשר המתג עובר למצב ימני )הנקודות ‪ b,c‬מחוברות(‪ .‬איזה סוג תנועה מבצע הזרם‪ ,‬מה תדר התנודה‬
‫האלקטרומגנטית?‬
‫‪ .2‬לאחר כמה זמן‪ ,‬באופן מעשי‪ ,‬ידעך הזרם?‬
‫‪ε=3.6V, R1=25Ω, R2=100Ω, C=15µF, L=100mH,‬‬
‫נתונים פרמטרי המערכת‪:‬‬
‫הזרם ‪7µS‬לאחר העברת המתג?‬
‫מה יהיה‬
‫‪ .1‬כאשר ההדקים ‪ a,b‬מחוברים הקבל נטען‪ .‬המתח על הקבל והנגד שמתחתיו שווה לערך הנגד שבמקביל להם‪ ,‬מכוון‬
‫שאין זרם בענף של הקבל‪ ,‬אין מפל מתחים על הנגד התחתון‪ .‬מכוון שהנגד העליון והנגד שבמקביל לקבל שווים‬
‫בהתנגדותם‪ ,‬המתח ‪ε‬‬
‫מתחלק שווה בשווה על שניהם‪ .‬המתח על הקבל אם כן הוא‪:‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ , VC‬ולכן המטען על הקבל‬
‫‪ . Q0 = C ε‬על הלוח העליון של הקבל ישנו מטען חיובי‪ ,‬ועל הלוח התחתון מטען שלילי‪,‬‬
‫ברגע תחילת פריקתו הינו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫תנועת הזרם ברגע החלפת הדקי המתד תהיה עם כיוון השעון ‪ .CW‬עתה תנועת הזרם תלויה ביחסים בין רכיבי‬
‫המערכת‪ ,‬תיתכן תנועה הרמונית דועכת )‪ (underdamping‬או דעיכה ללא החלפת סימן )‪ overdamping‬או ‪critical‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪ γ‬וכן‬
‫‪ .(damping‬הביטוי הכללי לתנועת המטען בבעיה הינו ) ‪ Q(t ) = Q0 exp[−γt ]Cos (ω ' t + φ‬כאשר‬
‫‪2L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ω ' = ω 02 − γ 2‬והתדירות‬
‫‪LC‬‬
‫= ‪ ω0‬הינה של מעגל ה‪ LC‬לולא היה נגד‪ .‬אם ישנה תנודה אזי תדירותה היא ' ‪. ω‬‬
‫‪ .2‬ההגדרה לדעיכה מעשית הינה כאשר פקטור האקספוננט שווה ל‪ -5‬אז ערך האקספוננט קטן מ‪ 0.01-‬וניתן להזניחו‪.‬‬
‫‪5 10 L‬‬
‫בבעיה זו נדרוש ‪ γt = 5‬כלומר‬
‫= =‪t‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪R‬‬