Download :ןמקלדכ תוכילומ הנותנ 1. V .בחרמה לכב םרזה תופיפצו לאיצנטופ j

‫‪ 1.‬נתונה מוליכות כדלקמן‪:‬‬
‫‪σ = 0, |x| > a,‬‬
‫‪σ = σ0 , |x| < a, |y| < b,‬‬
‫‪σ = 1, |x| < a, |y| > b‬‬
‫בין שני האיזורים עם מוליכות אינסופית מופעל מתח קבוע ‪ .V‬מצא‬
‫פוטנציאל וצפיפות הזרם בכל המרחב‪.‬‬
‫‪ 2.‬זרם ‪ I‬זורם בצורה אחידה ̂‪) j = j(r)r‬בקואורדינטות כדוריות(‬
‫מראשית הקואורדינטות בתוך חרוט אינסופי ‪ .θ ≤ θ0‬לקודקוד הזרם‬
‫מגיע לאורך תייל חצי‪-‬אינסופי ‪ .x = y = 0, z < 0‬מצא את צפיפות‬
‫הזרם בתוך החרוט ושדה מגנטי בכל המרחב‪.‬‬
‫‪ 3.‬על פני מעטפת כדורית בעלת רדיוס ‪ a‬זורם זרם‬
‫̂‪j = i0 sin θϕ‬‬
‫מצא שדה מגנטי‪.‬‬
‫‪ 4.‬נתון סליל אינסופי בעל רדיוס ‪ a‬ומספר כריכות ליחידת אורך‬
‫‪ .n‬לאורך צירו ישנו תייל אינסופי‪ .‬הכל נמצא בתווך עם קבוע מגנטי‬
‫)‪ .µ = µ(ϕ‬הזרם בסליל ‪ I1‬ובתייל ‪ .I2‬מצא שדה מגנטי‪.‬‬
‫‪ 5.‬בהתחלה ‪ ,t = 0‬לוחות הקבל טעונים במטענים ‪ q‬ו ‪ .−q‬המרחב‬
‫בין הלוחות ממולא חומר בעל קבוע דיאלקטרי ≤ ומוליכות סגולית ‪.σ‬‬
‫מצא זרם ושדה מגנטי בין הלוחות כפונקציות הזמן‪.‬‬
‫‪ 6.‬דיסקה עשויה מוליך מושלם ובעלת רדיוס ‪ a‬ועובי ‪,d, d ø a‬‬
‫נופלת בשדה מגנטי אופקי ‪ B‬כך שמישור הדיסקה מקביל לשדה המגנטי‬
‫ומאונך לקרקע‪ .‬מסת הדיסקה ‪ ,m‬מצא את התאוצה שלה‪.‬‬
‫‪ 7.‬למצוא פתרון של משוואת גלים חד מימדית )גלים אלקטרומגנטיים(‬
‫אם‬
‫‪E(x, t = 0) = E0 exp(−x2 /l2 )ŷ,‬‬
‫‪B(x, t = 0) = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 8.‬נתון‬
‫‪/ω02‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ẽ(k, ω) = E0 δ(k − ω n̂/c)e−ω‬‬
‫מצא )‪.E(r, t‬‬
‫הערה‪ :‬הכוונה ל‬
‫‪Ẽ(k, ω)ei(kr−ωt) d3 kdω‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪E(r, t‬‬
‫‪(2π)2‬‬
‫‪ 9.‬שני גלים בעלי אותה תדירות מתקדמים באותו כיוון‪ .‬אחד מקוטב‬
‫קיטוב ליניארי‪ ,‬השני ‪ -‬מעגלי‪ .‬אמפליטודות ‪ E1‬ו ‪ .E2‬מה הקיטוב של‬
‫הגל השקול ?‬
‫‪2‬‬
Solutions.
1. Since j = σE and div j = 0 one has div E = 0 in each
region where σ = const separately. Thus, one has to solve the
Laplace equation 4φ = 0 in each region separately, with the
following boundary conditions:
• φ = V /2 for |x| < a and y < −b, and φ = −V /2 for |x| < a
and y > b(for σ = 1 the electric field vanishes and the
potential difference is given as V , thus E = 0 for |x| < a
and |y| > b);
• continuity of the tangential component of the electric field
requires Ex = 0 at y = ±b;
• absence of the current in the regions σ = 0 requires that
the normal current at the boundary be zero, jx = 0 at
|y| < b and x = ±a, which means that Ex = 0 at |y| < b and
x = ±a;
• the potential should be bound, φ < 1 when |x| → 1.
There is no dependence on z and the Laplace equations takes
the form
@2
@2
φ + 2φ = 0
@x2
@y
Inside the box the variable separation gives φ(x, y) = X(x)Y (y)
and
d2
X = k 2 X,
dx2
d2
Y = −k 2 Y
2
dy
It is not difficult to check that the boundary conditions dX/dx =
0 at |y| = b and at |x| = a can be satisfied only if k = 0 and
3
φ = a + by . Therefore, φ = −(V /2b)y in the region |x| < a,
|y| < b. Respectively,
E = (V /2b)ŷ,
j = σ(V /2b)ŷ
In the regions |x| > a one has (from the same variable separation and boundary conditions at infinity)
Z 1
φ(x, y) =
A(k)eiky e−k|x| dk
−1
with the boundary conditions
Z 1
φ(|x| = a, y) =
A(k)eiky e−ka dk
−1
= (V /2)H(−y − b) − (V /2b)yH(b − |y|) − (V /2)H(y − b)
From here
Z b
V
A(k)e−ka = −
ye−iky dy
4πb −b
Z −b
Z 1
V
V
+
e−iky dy −
e−iky dy
4π −1
4π b
CALCULATE THE INTEGRALS !
4
2. The current density is obvious: j = (I/r2 ≠)r̂, where the
solid angle ≠ = 2π(1−cos θ0 ). Outside θ = θ0 the current density
vanishes. The magnetic field will have only ϕ component, so
that the Ampere's law gives Bϕ = 2I/% = 2I/r sin θ (spherical
coordinates) in the lower half-space and upper half space for
θ > θ0 . For θ < θ0 one has
Bϕ · 2πr sin θ =
4πI 1 − cos θ
c 1 − cos θ0
3. See section 11 in Lecture 4.
4. The wire produces Bϕ and div B = 0 requires that Bϕ =
Bϕ (r) (cylindrical coordinates). Then
I
Z 2π
1
dϕ 4π
B · dr = rBϕ
=
I
µ
µ
c
0
Z
4πI 2π dϕ −1
Bϕ =
[
]
cr 0 µ
The solenoid produces zero field outside and Bz inside. Since
Bz has to be independent from z one has
I
1
Bz
B · dr =
l = 4πInl/c
µ
µ
4πInµ
Bz (ϕ) =
c
5
5.
E = 4πq/≤S
J =σ
I = −q̇ = JS = 4πσq/≤
q = q0 e−t/τ
τ = ≤/4πσ
I = (q0 /τ )e−t/τ
4π
1@
rot B =
j+
(≤E) = 0
c
c @t
B=0
6. Let the velocity of the disc be v and is directed downward. Since the conductor is ideal there is charge separation
which results in the electric field such that E + (v/c) × B = 0.
This electric field is directed in the direction normal to the
disc. The two sides of the disc are working as a capacitor,
being charged with the surface charge densities σ and −σ ,
such that E = vB/c = 4πσ . The total charge on one side is
q = vBS/4πc, S = πa2 . Since v is changing the charge is changing and the current I = q̇ = (BS/4πc)v̇ flows in the horizontal
direction. This results in the magnetic force FB = BId/c =
(B 2 Sd/4πc2 )v̇ which is directed upward. Therefore, one has
mv̇ = mg − (B 2 Sd/4πc2 )v̇
v̇ = g[1 + (B 2 a2 d/4mc2 )]−1
6
7. The general solution for the one-dimensional electromagnetic waves is
Ey = f (x − ct) + g(x + ct)
Bz = f (x − ct) − g(x + ct)
The initial conditions give
2
f (x) + g(x) = E0 e−x
f (x) − g(x) = 0
/l2
which eventually gives
i
E0 h −(x−ct)2 /l2
−(x+ct)2 /l2
Ey =
e
+e
2
i
E0 h −(x−ct)2 /l2
−(x+ct)2 /l2
Bz =
e
−e
2
8. Let X = r · n̂, and T = t − X/c then
Z
2
2
E(r, t) = (2π)−4 E0 δ(k − ω n̂/c)e−ω /ω0 eikr−iωt d3 kdω
Z 1
2
2
= (2π)−4 E0
dωe−iωT −ω /ω0
r−1
π −ω02 T 2 /4
= (2π)−4 E0
e
ω0
9. Let us write
√1 E2 ei√ ,
2
i√
1
i √2 E2 e
Ex = E1 +
Ey =
The polarization (intensity) tensor is
√
I = |Ex |2 + |Ey |2 = E12 + E22 + E1 E2 2 cos √
√
Q = |Ex |2 − |Ey |2 = E12 + E1 E2 2 cos √
√
∗
U = 2 Re Ex Ey = −(E1 E2 2) sin √
√
V = −2 Im Ex Ey∗ = E22 + (E1 E2 2) cos √
7
Now one has
p
Q2 + U 2 + V 2
Π=
=1
I
p
E1 E12 + 2E22 + 2E1 E2 cos √
Πl =
√I
E2 (E2 + E1 2 cos √)
Πc =
I
8