Download Document 8930279

2419
:‫פתרון‬
.‫א‬
dq = σ0 sin φrdrdφ
∫2π ∫R
Qtotal =
σ0 sin φrdrdφ = 0
0
0
.‫ב‬
⃗r = z ẑ
⃗r′ = rr̂ = r(cos φ, sin φ, 0)
dq = σ0 sin φrdrdφ
∫2π ∫R
kσ0 sin φrdrdφ
⃗ r) =
E(⃗
· (−r cos φ, −r sin φ, z)
(r2 + z 2 )3/2
0
0
.y ‫ השדה הוא אפס לכן נתעניין רק בכיוון‬z ‫ וציר‬x ‫בציר‬
∫2π ∫R
Ey = −
[
kσ0 sin2 φr2 drdφ
= −πkσ0
(r2 + z 2 )3/2
r]
x=
z
0
0
∫R
(r2 + z 2 − z 2 )dr
(r2 + z 2 )3/2
0
∫R/z
1
1
−
dx
2
1/2
(1 + x )
(1 + x2 )3/2
0
[
]R/z
x
−1
= −πkσ0 sign(z) sinh (x) − √
1 + x2 0
[
]
R/z
= −πkσ0 sign(z) sinh−1 (R/z) − √
1 + R2 /z 2
= −πkσ0 sign(z)
‫ הדרך הקשה נפתח לפי טיילור את התוצאה הסופית בסעיף‬,‫ אפשר לפתור בשני דרכים‬.‫ג‬
:‫הקודם‬
x << 1
x3
sinh (x) ≈ x −
6
x3
x
√
≈x−
2
1 + x2
−1
]
R3
R
R3
R3
R3
R
− 3 − + 3 = −πkσ0 sign(z) 3 = −πkσ0
⇒ Ey ≈ −πkσ0 sign(z)
z
6z
z
2z
3z
3|z|3
[
‫א‬
‫‪2419‬‬
‫הדרך היותר פשוטה להתחיל חזרה באינטגרל ולפתח את האינטגרנט ולקבל את התשובה‬
‫בקלות‪:‬‬
‫‪kσ0 sin2 φr2 drdφ‬‬
‫‪R3‬‬
‫=‬
‫‪−πkσ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪|z|3‬‬
‫‪3|z|3‬‬
‫‪∫2π ∫R‬‬
‫‪0‬‬
‫‪kσ0 sin2 φr2 drdφ‬‬
‫‪≈−‬‬
‫‪(r2 + z 2 )3/2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∫2π ∫R‬‬
‫‪Ey = −‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫יש לציין כי המטען מתפלג לשנים כאשר חצי חיובי וחצי שלילי לפי פונקציית הסינוס‪,‬‬
‫שזה אנלוג לדיפול‪ ,‬וכמו בדיפול כאשר אנחנו רחוקים מאוד אנחנו מקבלים התנהגות של‬
‫חזקה שלישית מהמרחק מהדיפול‪ .‬וכך גם קיבלנו‪.‬‬
‫ב‬
Energy of a disc and a rod
Submitted by: I.D. 040439358
The problem:
A disc of a radius R is charged uniformly with charge density σ. A rod of a length b is charged
uniformly with charge density λ. The rod is perpendicular to the disc (which is in the x − y plane)
and positioned on the axis of symmetry of the disc. The center of the rod is at z > 2b .
1. Calculate, from the direct integration of the field, the force between the objects.
The solution:
1. The force between the objects
Let ~r1 , ~r2 be the positions of charge elements on the disc and the rod, respectively.
~r1 = (r cos θ, r sin θ, 0)
(1)
~r2 = (0, 0, z)
(2)
~r = ~r2 − ~r1 = (−r cos θ, −r sin θ, z)
(3)
Because of the symmetry of the problem the force is in the z direction only. The electric field due
to the charge element dq on the disc is
dq z
r3
dq = σdA = σrdrdθ
(4)
dEz = k
(5)
The electric field of the disc is
Z R Z 2π
Z R
Z 2π
kσrdrdθz
rdr
Ez =
= kσz
dθ
3
3
0
0
0 (r 2 + z 2 ) 2 0
((r cos θ)2 + (r sin θ)2 + z 2 ) 2 )
Z R
z
rdr
1− √
= 2πkσz
3 = 2πkσ
R2 + z 2
0 (r 2 + z 2 ) 2
(6)
(7)
The force acting on the rod is
F~ =
Z
z+ 2b
z− 2b

Ez ẑλdz = 2πkσλ b +
s
R2 + z −
b
2
s
2
−
R2 + z +
The force acting on the disc is the same but in the opposite direction.
1
b
2
2

 ẑ
(8)