Survey
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
Mutual Inductance Submitted by: I.D. 043423755 The problem: Two loops of radius a are at a distance b from each other, such that the planes of the loops are parallel, and perpendicular to the axis connecting them. 1. Assuming b a, what is the mutual inductance of the system? 2. In one loop there is a constant current I and the other loop rotates at the angular velocity along its diameter. What is the induced EMF in the rotating loop? The solution: The method: We assume that there is a changing current in one of the loops and we will calculate the e.m.f in the second loop and thus extract the inductance coefficient. ~ that is created along the z axis of the ring 1. The magnetic field B B= (µ0 I)a2 ẑ 2(a2 + b2 )3/2 (1) b a - meaning that inside the area of the second ring, the magnetic field is approximately the same. Using the Taylor expansion. B= µ0 Ia2 µ0 Ia2 = + O((a/b)2 ) 2b3 2b3 (1 + (a/b)2 )3/2 (2) Let’s calculate the flux Φ=B·A= µ0 Ia2 2 µ0 πIa4 πa = 2b3 2b3 (3) Now we use the Faraday’s law = −Φ̇ = − µ0 πa4 ˙ I 2b3 (4) Finally the mutual inductance coefficient M is the expression multiplying the time derivative of the current. M= µ0 πa4 2b3 (5) 2. The magnetic flux through the loop now changes because the area changes with time A = πa2 cos(ωt) (6) Thus µ0 πa4 I(t) cos(ωt) 2b3 µ0 πa4 ˙ = −Φ̇ = − (I cos(ωt) − ωI sin(ωt)) 2b3 Φ = B·A= 1 (7) (8) Mutual Inductance Submitted by: I.D. 043423755 The problem: Inside an infinite solenoid with n windings per unit length, there is a closed planar loop of area S which is placed at an angle to the axis of symmetry of the solenoid. What is the mutual inductance of the system? The solution: Lets define a few parameters: 1. n - the density of windings per unit of length 2. θ - the angle that the z axis creates with the solenoid 3. S - the surface of the solenoid The magnetic field in the solenoid is ~ = µ0 Inẑ B (1) And the flux is ~ · ~s = µ0 Inẑ · S n̂ = µ0 IS cos θ Φ=B (2) Thus the induced e.m.f is = −Φ̇ = −µ0 nS cos θI˙ (3) Therefore, the mutual inductance coefficient is M = µ0 nS cos θ (4) 1 RLC circuit Submitted by: I.D. 066072570 The problem: For the given RLC circle: 1. find the law of connecting inductances in series and in parallel in general. What is the total induction of the given circle? 2. The switch is on the right hand side for 3τsec and after is moved to the left side. • Find the resonance frequency of the system. • find the current through the resistor as a function of time. The solution: a. inductance in series: I1 = I2 ⇒ ε = (L1 + L2 )I˙1 = Lef f I˙ ⇒ L1 + L2 = Lef f (1) inductance in parallel: I1 + I2 = ε ε ε(L1 + L2 ) ε L1 L2 1 1 1 + = ⇒ = = Lef f ⇒ = + L1 L2 L1 L2 I1 + I2 L1 + L2 Lef f L1 L2 (2) in our case: Lef f = (L1 + L2 ) · L3 L1 + L2 + L3 (3) after 3τ (RC) we get: −t V = ε(1 − e Rc ) = ε(1 − e−3 ) ≈ 4.75v (4) and the equation of the circuit is: q q + IR + LI˙ = 0 ⇒ + Rq̇ + Lq̈ = 0 c c (5) we shall start analysis with the simplest case- R=0, in this case we have: q̈ = − 1 q Lc (6) 1 and the solution is: q = Aeiω0 t (7) where s ω0 = 2 1 = 8 · 106 Hrz Lef f c 3 (8) substitute q = Aeiωt in the equation we get: r iR Γ2 i 2 2 −ω + ω + ω0 = 0 ⇒ ω = Γ ± ω02 − L 2 4 (9) where Γ= R L (10) the solution is i h 0 i q = Re Aei(ω + 2 Γ)t (11) where r 0 ω = ω02 − Γ2 4 (12) substitute q(t = 0) = c · v(3τ ) (13) we get A = 4.75 · 10−9 (14) to find the curent: Γ i Γ 0 i I = q̇ = RE i(ω 0 + Γ)Aei(ω + 2 Γ)t = −Ae− 2 t · ( cos(ω 0 t) + ω 0 sin(ω 0 t)) 2 2 eventually substitute the given parameters we get: 2 2 2 I = −4.75 · 10−9 e−37509t 37509 · cos(8 · 106 t) + 8 · 106 sin(8 · 106 t) 3 3 3 Amper (15) (16) The first plot presents a voltage on the resistor R and on the second one the current through it as a function of time. 2 3 מעגל RL נתון מעגל RLשבאיור ,ברגע Tמפסק S1שהיה סגור זמן רב נפתח ומפסק S2שהיה פתוח נסגר. .1מצאו את האנרגיה במעגל ה ,RL-המתח והזרם על המשרן והנגד ברגע .t=T .2מהו כיוון הזרם במשרן Lברגע ?T=0האם כיוונו ישתנה עבור ?t>T .3מהו הביטוי המתמטי לזרם כפונקציה של הזמן עבור t<Tוכן עבור ?t>Tמה נגזרת הזרם כפונקציה של הזמן? .4מצאו את האנרגיה במעגל ה RLבזמן .t>T .5כיצד יראה מעגל חשמלי בו יוחלף המשרן במקור מתח משתנה בזמן? פתרון: .1ברגע t=Tהזרם במעגל הוא: 2 1 2 1 ε LI = L 2 2 R ε R = , Iלכן האנרגיה במעגל ה RL-הינה של המשרן בלבד: = . U Bהמתח על המשרן הוא 0מכוון שמדובר בתיל אידיאלי )חסר התנגדות( ,הזרם דרכו קבוע ε בזמן ושווה ל . Iהמתח על הנגד הוא R = −ε R בלולאה סגורה יהיה ,0בדומה לתרגילים בנושא חוקי קירכהוף. ∆V = −כפי שניתן היה לצפות מהדרישה לכך שסך המתחים .2ברגל החלפת המפסקים הזרם שנע בכיוון השעון עד עתה מפסיק ,יווצר זרם מושרה בכיוון הפוך – .CWכיוון הזרם לא ישתנה. .3בזמן t<Tהזרם קבוע ונסמנו כ , I 0 -נגזרתו לפי הזמן היא .0בזמן t>Tננסח את המשוואה הדיפרנציאלית: dI R dI =0 − IR − Lננסח בצורץ משוואת פרדה= − dt : dt I L .פתרון משוואה זו הינו: R − t R L R ln( I ) = − t → I (t ) = I 0 e Lנהוג לסמן את = t ,τ L R L τ −t בתור t τ ,אז הזרם כפונקציה של הזמן הינו . I (t ) = I 0 eגרף שמציג את תלות הזרם בזמן מוצג באיור .1 איור 1תאור סכמטי של הזרם של פריקת משרן. ) dI (t 1 −t נגזרת הזרם בזמן הינה= − I 0 e τ : dt τ . .4האנרגיה של מעגל ה RLאינה קבועה בזמן ,ההספק של שני הרכיבים במעגל ניתן לתאור על ידי שימוש בחוק dI , ΣIε = I 2 R + LIביטויים עבור ערכים אלו נפתרו בסעיפים קודמים. אוהם וב EMFהמושרה במעגל: dt dI .5ניתן לתאר את המשרן כמקור מתח תלוי זמן dt המתח יהיו מסודרים כך שההדק החיובי )הארוך( יהיה כלפי מטה. . ε L (t ) = Lמכוון שכיוון הזרם בזמן t>Tהינו CWהדקי מקור RLC circuit Submitted by: I.D. 066072570 The problem: For the given RLC circle: 1. find the law of connecting inductances in series and in parallel in general. What is the total induction of the given circle? 2. The switch is on the right hand side for 3τsec and after is moved to the left side. • Find the resonance frequency of the system. • find the current through the resistor as a function of time. The solution: a. inductance in series: I1 = I2 ⇒ ε = (L1 + L2 )I˙1 = Lef f I˙ ⇒ L1 + L2 = Lef f (1) inductance in parallel: I1 + I2 = ε ε ε(L1 + L2 ) ε L1 L2 1 1 1 + = ⇒ = = Lef f ⇒ = + L1 L2 L1 L2 I1 + I2 L1 + L2 Lef f L1 L2 (2) in our case: Lef f = (L1 + L2 ) · L3 L1 + L2 + L3 (3) after 3τ (RC) we get: −t V = ε(1 − e Rc ) = ε(1 − e−3 ) ≈ 4.75v (4) and the equation of the circuit is: q q + IR + LI˙ = 0 ⇒ + Rq̇ + Lq̈ = 0 c c (5) we shall start analysis with the simplest case- R=0, in this case we have: q̈ = − 1 q Lc (6) 1 and the solution is: q = Aeiω0 t (7) where s ω0 = 2 1 = 8 · 106 Hrz Lef f c 3 (8) substitute q = Aeiωt in the equation we get: r iR Γ2 i 2 2 −ω + ω + ω0 = 0 ⇒ ω = Γ ± ω02 − L 2 4 (9) where Γ= R L (10) the solution is i h 0 i q = Re Aei(ω + 2 Γ)t (11) where r 0 ω = ω02 − Γ2 4 (12) substitute q(t = 0) = c · v(3τ ) (13) we get A = 4.75 · 10−9 (14) to find the curent: Γ i Γ 0 i I = q̇ = RE i(ω 0 + Γ)Aei(ω + 2 Γ)t = −Ae− 2 t · ( cos(ω 0 t) + ω 0 sin(ω 0 t)) 2 2 eventually substitute the given parameters we get: 2 2 2 I = −4.75 · 10−9 e−37509t 37509 · cos(8 · 106 t) + 8 · 106 sin(8 · 106 t) 3 3 3 Amper (15) (16) The first plot presents a voltage on the resistor R and on the second one the current through it as a function of time. 2 3 מעגל ,RLCבחינה 2006 נתון המעגל שמופיע באיור כאשר הקבל נטען זה זמן רב. .1כאשר המתג עובר למצב ימני )הנקודות b,cמחוברות( .איזה סוג תנועה מבצע הזרם ,מה תדר התנודה האלקטרומגנטית? .2לאחר כמה זמן ,באופן מעשי ,ידעך הזרם? ε=3.6V, R1=25Ω, R2=100Ω, C=15µF, L=100mH, נתונים פרמטרי המערכת: הזרם 7µSלאחר העברת המתג? מה יהיה .1כאשר ההדקים a,bמחוברים הקבל נטען .המתח על הקבל והנגד שמתחתיו שווה לערך הנגד שבמקביל להם ,מכוון שאין זרם בענף של הקבל ,אין מפל מתחים על הנגד התחתון .מכוון שהנגד העליון והנגד שבמקביל לקבל שווים בהתנגדותם ,המתח ε מתחלק שווה בשווה על שניהם .המתח על הקבל אם כן הוא: ε 2 = , VCולכן המטען על הקבל . Q0 = C εעל הלוח העליון של הקבל ישנו מטען חיובי ,ועל הלוח התחתון מטען שלילי, ברגע תחילת פריקתו הינו: 2 תנועת הזרם ברגע החלפת הדקי המתד תהיה עם כיוון השעון .CWעתה תנועת הזרם תלויה ביחסים בין רכיבי המערכת ,תיתכן תנועה הרמונית דועכת ) (underdampingאו דעיכה ללא החלפת סימן ) overdampingאו critical R = γוכן .(dampingהביטוי הכללי לתנועת המטען בבעיה הינו ) Q(t ) = Q0 exp[−γt ]Cos (ω ' t + φכאשר 2L 1 ω ' = ω 02 − γ 2והתדירות LC = ω0הינה של מעגל ה LCלולא היה נגד .אם ישנה תנודה אזי תדירותה היא ' . ω .2ההגדרה לדעיכה מעשית הינה כאשר פקטור האקספוננט שווה ל -5אז ערך האקספוננט קטן מ 0.01-וניתן להזניחו. 5 10 L בבעיה זו נדרוש γt = 5כלומר = =t γ R