Download Individual EA 1.1. Distribución Normal 20210728

ESTADÍSTICA APLICADA
TRABAJO INDIVIDUAL 1.1
DISTRIBUCIÓN NORMAL
APROXIMACIÓN DE BINOMIAL Y POISSON CON NORMAL
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
G. Carvajal-Chávez
2021.07.28
1. The effective life of a component used in a jet-turbine aircraft engine is a random
variable with mean 5000 hours and standard deviation 40 hours. The distribution of
effective life is fairly close to a normal distribution. The engine manufacturer introduces
an improvement into the manufacturing process for this component that increases the
mean life to 5050 hours and decreases the standard deviation to 30 hours. Suppose
that a random sample of n1 = 16 components is selected from the “old” process and a
random sample of n2 = 25 components is selected from the “improved” process. What
is the probability that the difference in the two samples means Xmedia2 - Xmedia1 is at
least 25 hours? Assume that the old and improved processes can be regarded as
independent populations.
2. La lectura de temperatura de un termopar colocado en un medio de temperatura
constante tiene una distribución normal con media (temperatura real del entorno) y
desviación estándar. ¿Cuál tendría que ser el valor de  para asegurar que el 90 %
de lecturas están dentro de 0,1° de ?
3. Para un auto que corre a 30 millas por hora (mph), la distancia necesaria de frenado
hasta detenerse por completo está normalmente distribuida con media de 50 pies y
desviación estándar de 8 pies. Suponga que usted está viajando a 30 mph en una zona
residencial y un auto se mueve en forma abrupta en el camino de usted, a una distancia
de 60 pies. a. Si usted aplica los frenos, ¿cuál es la probabilidad de que frene hasta
detenerse en no más de 40 pies o menos? ¿Y en no más de 50 pies o menos? b. Si la
única forma de evitar una colisión es frenar hasta detenerse por completo, ¿cuál es la
probabilidad de que evite la colisión?
4. Suppose the sediment density (g/cm3) of a randomly selected specimen from a certain
region is normally distributed with mean 2,65 and standard deviation 0,85 (suggested
in “Modeling Sediment and Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants,”
Water Research, 1984: 1169–1174). a. If a random sample of 25 specimens is selected,
what is the probability that the sample average sediment density is at most 3.00?
Between 2,65 and 3,00? b. How large a sample size would be required to ensure that
the first probability in part (a) is at least 0,99?
5. An article in International Journal of Electrical Power & Energy Systems [“Stochastic
Optimal Load Flow Using a Combined Quasi–Newton and Conjugate Gradient
Technique” (1989, Vol.11(2), pp. 85–93)] considered the problem of optimal power flow
in electric power systems and included the effects of uncertain variables in the problem
formulation. The method treats the system power demand as a normal random variable
with 0 mean and unit variance. (a) What is the power demand value exceeded with 95
% probability? (b) What is the probability that the power demand is positive? (c) What
is the probability that the power demand is more tan – 1 and less than 1?
6. Se ha diseñado un nuevo proceso para fabricar lozas de cerámica. El objetivo es que
no haya más de 5 % que no sea satisfactorio debido a defectos en la superficie. Se
revisa una muestra de 1000 lozas. Sea X el número de lozas no satisfactorio en la
muestra. a) Si 5 % de las lozas producidas no es satisfactorio, ¿a qué es igual P(X ≥
75)? b) Con base en la respuesta al inciso a), si 5 % de las lozas no es satisfactorio,
¿75 no satisfactorias de las 1 000 sería un número inusualmente grande? Explique. c)
Si 75 de las lozas de la muestra no fueran satisfactorias, ¿sería factible que se haya
alcanzado el objetivo? Explique. d) Si 5% de las lozas producidas no es satisfactorio,
¿a qué es igual P(X ≥ 53)? e) Con base en la respuesta al inciso d), si 5% de las lozas
no es satisfactorio, ¿53 lozas no satisfactorias de las 1000 sería un número
inusualmente grande? f ) Si 53 de las lozas de la muestra no fueran satisfactorias, ¿sería
factible que se haya alcanzado el objetivo? Utilice la aproximación de la distribución
binomial mediante la normal.
7. El requerimiento normal diario de potasio en seres humanos está en el intervalo de
2000 a 6000 (mg), con cantidades grandes necesarias durante los meses calurosos
de verano. La cantidad de potasio en alimentos varía, dependiendo de éstos. Por
ejemplo, hay alrededor de 7 mg en un refresco de cola, 46 mg en una cerveza, 630 mg
en un plátano (banano), 300 mg en una zanahoria y 440 mg en un vaso de jugo de
naranja. Suponga que la distribución de potasio en un plátano está distribuida
normalmente, con media igual a 630 mg y desviación estándar de 40 mg por plátano.
Usted toma n = 3 plátanos al día y T es el número total de miligramos de potasio que
recibe de ellos. A) Encuentre la media y desviación estándar de T. B) Encuentre la
probabilidad de que su ingesta diaria de potasio de los tres plátanos exceda de 2000
mg.
8. Una planta fabricante utiliza 3000 bombillas eléctricas cuyas duraciones están
normalmente distribuidas, con media y desviación estándar igual a 500 y 50 horas,
respectivamente. Para reducir al mínimo el número de bombillas que se queman
durante las horas de operación, todas las bombillas se cambian después de un periodo
determinado de operación. ¿Con qué frecuencia deben cambiarse las bombillas si se
desea que no más de 1% de ellas se quemen entre periodos de cambio?
9. Un fabricante de papel que se usa para empaque exige una resistencia mínima de 20
libras por pulgada cuadrada. Para verificar la calidad del papel, cada hora se selecciona
una muestra aleatoria de 10 piezas de papel de entre la producción de la hora previa,
registrándose la medición de su resistencia para cada una. La desviación estándar s
de las mediciones de resistencia, calculada al agrupar la suma de cuadrados de
desviaciones de muchas muestras, se sabe que es igual a 2 libras por pulgada
cuadrada y las mediciones de resistencia están normalmente distribuidas. a. ¿Cuál es
la distribución muestral aproximada de la media muestral de n = 10 piezas de papel de
prueba? b. Si la media de la población de mediciones de resistencia es 21 libras por
pulgada cuadrada, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que, para una muestra
aleatoria de n = 10 piezas de papel, Xmedia < 20? c. ¿Qué valor se seleccionaría para
la resistencia media del papel, m, para que P(Xmedia < 20) sea igual a 0,001?
10. Suponga que el diámetro a la altura del pecho (in) de árboles de un tipo está
normalmente distribuido con artículo “Simulating a Harvester-Forwarder Softwood
Thinning” (Forest Products J. mayo de 1997; 36-41). a. ¿Cuál es la probabilidad de que
el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea por lo menos de 10 in? ¿Mayor de 10
in? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea
de más de 20 in? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol
seleccionado al azar esté entre 5 y 10 in? d. ¿Qué valor c es tal que el intervalo (8.8 +
c, 8.8 - c) incluya 98% de todos los valores de diámetro? e. Si se seleccionan cuatro
árboles al azar, cuál es la probabilidad de que por lo menos uno tenga un diámetro de
más de 10 in?
11. La frecuencia de pulsaciones es una medida del número de pulsaciones del corazón
en un minuto. Se puede medir en varios lugares del cuerpo, donde una arteria pasa
cerca de la piel. Una vez que encuentre el pulso, cuente el número de pulsaciones por
minuto, es decir, cuente durante 30 segundos y multiplique por dos. ¿Cuál es una
frecuencia de pulsaciones normal? Eso depende de varios factores. Las frecuencias de
pulsaciones entre 60 y 100 pulsaciones por minuto se consideran normales para niños
de más de 10 años de edad y en adultos. Suponga que estas frecuencias de
pulsaciones están distribuidas normalmente en forma aproximada, con una media de
78 y una desviación estándar de 12. a. ¿Qué proporción de adultos tendrá frecuencias
de pulsaciones entre 60 y 100? b. ¿Cuál es el 95avo percentil para las frecuencias de
pulsaciones de adultos? c. ¿Una frecuencia de pulsaciones de 110 sería considerada
poco común? Explique.
12. Una máquina que envasa refrescos puede ser regulada para descargar un promedio
de m onzas por vaso. Si las onzas de líquido están normalmente distribuidas, con
desviación estándar igual a 0,3 de onza, dé el ajuste para de modo que vasos de 8
onzas (¼ de litro) se rebosen sólo 1% del tiempo.
13. Un experimentador que hace publicidad en la publicación Annals of Botany investigó si
los diámetros de tallos del girasol dicotiledónea cambiarían, dependiendo de si la planta
fue dejada para balancearse libremente en el viento o estaba artificialmente sostenida.
Suponga que los diámetros de tallos no soportados en la base, de una especie
particular de girasol, tienen una distribución normal con un diámetro promedio de 35
milímetros (mm) y una desviación estándar de 3 mm. a. ¿Cuál es la probabilidad de
que una planta de girasol tenga un diámetro de base de más de 40 mm? b. Si dos
plantas de girasol se seleccionan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas plantas
tengan un diámetro de base de más de 40 mm? c. ¿Dentro de qué límites esperaría
usted que se encuentren los diámetros de base, con probabilidad 0,95? d. ¿Qué
diámetro representa el percentil 90 de la distribución de diámetros?
14. Suponga que, para un individuo, la ingesta de calorías en el desayuno es una variable
aleatoria con valor esperado de 500 y desviación estándar de 50, la ingesta de calorías
en el almuerzo es aleatoria con valor esperado de 900 y desviación estándar de 100 y
la ingesta de calorías en la comida es una variable aleatoria con valor esperado de
2000 y desviación estándar de 180. Suponiendo que las ingestas en las diferentes
comidas son independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que la ingesta de
calorías promedio por día durante el siguiente año (365 días) sea cuando mucho de
3500?
15. La escala Rockwell sirve para estimar la dureza de un metal, en valores continuos. Si
la dureza Rockwell de una aleación en particular tiene una distribución normal con
media igual a 70,0 y desviación estándar igual a 3,0. A. Si un espécimen es aceptable
si tiene una dureza entre 67 y 75, B. ¿Cuál es la probabilidad de que un espécimen
seleccionado al azar sea considerado aceptable? Si el intervalo de dureza es (70 – c;
70 + c), C. para qué valor de c, 95% de los especímenes tendrá dureza aceptable? D.
Si el intervalo aceptable es el del literal a), y la dureza de cada diez especímenes
elegidos al azar se determina de manera independiente, E. ¿Cuál es el número de
especímenes aceptados de cada diez? F. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 8
de cada 10 especímenes seleccionados de forma independiente tengan una dureza
menor que 73,84?
16. Unos tambores, con una etiqueta de 30 L, son llenados con una solución proveniente
de una tina grande. Se agrega una cantidad aleatoriamente de la solución en cada
tambor con media de 30.01 L y desviación estándar de 0.1 L. a) ¿Cuál es la
probabilidad de que la cantidad total de la solución contenida en 50 tambores sea
mayor a 1 500 L? b) Si la cantidad total de la solución en la tina es de 2 401 L, ¿cuál
es la probabilidad de que puedan llenarse 80 tambores sin que se acabe la solución?
c) ¿Cuánta solución debe contener la tina para que la probabilidad sea 0.9 de que
puedan llenarse 80 tambores sin que se acabe la solución?
17. The elasticity of a polymer is affected by the concentration of a reactant. When low
concentration is used, the true mean elasticity is 55, and when high concentration is
used, the mean elasticity is 60. The standard deviation of elasticity is 4 regardless of
concentration. If two random samples of size 36 are taken, find the probability that
Xmedia high - Xmedia low >= 2.
18. La densidad de las partículas en una suspensión es de 50 por mL. Se extrae un volumen
de 5 mL de la suspensión. Aplique la distribución natural del experimento, y la
aproximación correspondiente utilizando la distribución normal. ¿Qué conclusiones
puede obtener para los siguientes casos? a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número
de partículas extraídas esté entre 235 y 265? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el
número promedio de partículas por mL en la muestra extraída esté entre 48 y 52?, c)
Si se toma una muestra de 10 mL, ¿cuál es la probabilidad de que el número promedio
por mL de partículas en la muestra extraída esté entre 48 y 52? d) ¿Qué tan grande
debe ser la muestra extraída para que el número promedio de partículas por mL en la
muestra esté entre 48 y 52 con probabilidad de 95 %?