Download Energy of a disc and a rod

Energy of a disc and a rod
Submitted by: I.D. 040439358
The problem:
A disc of a radius R is charged uniformly with charge density σ. A rod of a length b is charged
uniformly with charge density λ. The rod is perpendicular to the disc (which is in the x − y plane)
and positioned on the axis of symmetry of the disc. The center of the rod is at z > 2b .
1. Calculate, from the direct integration of the field, the force between the objects.
The solution:
1. The force between the objects
Let ~r1 , ~r2 be the positions of charge elements on the disc and the rod, respectively.
~r1 = (r cos θ, r sin θ, 0)
(1)
~r2 = (0, 0, z)
(2)
~r = ~r2 − ~r1 = (−r cos θ, −r sin θ, z)
(3)
Because of the symmetry of the problem the force is in the z direction only. The electric field due
to the charge element dq on the disc is
dq z
r3
dq = σdA = σrdrdθ
(4)
dEz = k
(5)
The electric field of the disc is
Z R Z 2π
Z R
Z 2π
kσrdrdθz
rdr
Ez =
= kσz
dθ
3
3
0
0
0 (r 2 + z 2 ) 2 0
((r cos θ)2 + (r sin θ)2 + z 2 ) 2 )
Z R
z
rdr
1− √
= 2πkσz
3 = 2πkσ
R2 + z 2
0 (r 2 + z 2 ) 2
(6)
(7)
The force acting on the rod is
F~ =
Z
z+ 2b
z− 2b

Ez ẑλdz = 2πkσλ b +
s
R2 + z −
b
2
s
2
−
R2 + z +
The force acting on the disc is the same but in the opposite direction.
1
b
2
2

 ẑ
(8)
‫שאלה ‪ :‬תייל אינסופי מקופל כ
ששני חלקיו מקבילי והכיפו יוצר חצי מעגל בעל רדיוס ‪,R‬‬
‫כמתואר בשרטוט‪.‬‬
‫התייל טעו בצפיפות אחידה ‪ . λ‬מהו הכוח הפועל על מטע נקודתי ‪ q‬הנמצא במעגל?‬
‫‪R‬‬
‫‪q‬‬
‫פתרו ‪:‬‬
‫נחלק את הבעיה לשני מקרי ‪ 2 :‬תיילי אינסופיי מקבילי ושאר התייל המכופ‪.‬‬
‫חלק א'! שני תיילי מקבילי‬
‫נמצא את הכח השקול שיוצרי שני התיילי האינסופיי המקבילי על מטע ‪.q‬‬
‫מטעמי סימטריה הכח השקול האנכי יתאפס והכח השקול האופקי שיוצר התייל העליו שווה לכח‬
‫השקול האופקי שיוצר התייל התחתו‪.‬‬
‫נמצא את הכח השקול אשר יוצר התייל העליו‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪dx, dQ λ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Fx‬‬
‫‪X‬‬
‫‪q‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪F‬‬
‫‪dQ=λdx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2 + R2‬‬
‫= ‪cos θ‬‬
‫‪r = x2 + R2‬‬
‫נמצא את הכוח השקול האופקי שיוצר תייל באור
‪ x‬ונשאי אותו לאינסו‪.‬‬
‫)*( =‬
‫‪x‬‬
‫‪xdx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 2‬‬
‫)‬
‫‪+R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪1 dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪3‬‬
‫∫‬
‫‪2 2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪−‬‬
‫‪x2 + R2 R‬‬
‫=‬
‫‪kqdQ‬‬
‫∫ ‪• cos θ = kqλ‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t = x2 + R2‬‬
‫‪dt = 2 x‬‬
‫( ‪|0x = −kqλ‬‬
‫=‬
‫‪xdx‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 2‬‬
‫)‬
‫‪kqλ‬‬
‫‪x2 + R2‬‬
‫‪kqλ‬‬
‫‪R‬‬
‫∫ = ‪Fx‬‬
‫‪+R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫∫‬
‫‪(*) = −‬‬
‫= ‪lim x →∞ Fx‬‬
‫‪ 2kqλ‬‬
‫= ‪ F‬תיילי ישרי‬
‫) ˆ‪( − x‬‬
‫‪R‬‬
‫חלק ב'! התייל המכופ‬
‫מטעמי סימטריה הרכיב האנכי של הכוח השקול יתאפס‪,‬כמו כ הכח השקול שיוצר רבע המעגל‬
‫העליו בציר ה!‪ x‬שווה לכוח שיוצר רבע המעגל התחתו בכיוו ציר ה!‪.x‬‬
‫נמצא את הכוח השקול האופקי שיוצר רבע המעגל העליו‪.‬‬
Y
λ
dl,dQ
R
θ
Fx
X
q θ
F
Fx = ∫
kqdQ
cos θ = dQ = dl λ = Rdθλ =
R2
π
2
Rkqλ π2
kqλ
kqλ
cos θ dθ =
sin θ =
2
∫
0
R
R
R
0
2kqλ
F=
xˆ
R
‫חלק מכופף‬
F
∑ =F+F =0
‫חלק תיילים שקול‬
‫מכופף ישרים‬
Dipole moment of a ring
Submitted by: I.D. 039120068
The problem:
What is the dipole moment of a ring charged with charge density λ = λo sin θ?
The solution:
Using the definition of the electric dipole moment we write
Z
p~ =
~rdq
(1)
dq = λdl
(2)
dl = Rdθ
(3)
dq = λo sin θRdθ
(4)
where r is the position of the element charge dq.
Since the totla charge of the system is zero, the dipole moment is independent of the origin. Then
if we choose the origin in the center of the ring
~r = (R cos θ, R sin θ, 0)
Z 2π
R2 λo sin θdθ(cos θ, sin θ, 0)
p~ =
0
Z 2π
Z 2π
2
2
px = R λ o
sin θ cos θdθ = 0.5λo R
sin(2θ)dθ = −0.5λo R2 [cos(2θ)]2π
0 =0
0
0
Z 2π
Z 2π
2
2
2
py = R λ o
sin θdθ = 0.5R λo
(1 − cos(2θ))dθ = R2 λo π
0
(5)
(6)
(7)
(8)
0
pz = 0
(9)
Finally
p~ = R2 λo π ŷ
(10)
1