Download Сборник задач по гд 2 изд

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ
Учебное пособие
Казань - 2013
1
Печатается по решению Редакционно-издательского совета
ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»
методической комиссии механико-математического факультета
Протокол №2 от 15 ноября 2012 г.
заседания кафедры аэрогидромеханики
Протокол №2 от 14 ноября 2012 г.
Составитель
доцент Е.И.Филатов.
Рецензент
докт. физ.-мат. наук, проф. Р.Г.Зарипов
Сборник задач по газовой динамике: учебное пособие / Е.И. Филатов. –
Казань: Казанский университет, 2013. - 96с.
Издание второе исправленное и дополненное.
Учебное пособие предназначено для использования студентами специальности и направления «механика» при изучении основ газовой динамики
как для закрепления знаний по теоретическому курсу, так и для получения
навыков практического расчета простейших газовых течений.
© Казанский университет, 2013
2
Часть 1. Одномерные течения
1. Одномерные изэнтропические течения газа
В технике часто встречаются течения газа, которые в определенной системе координат можно считать не зависящими от времени – стационарными.
В таком случае существуют постоянные линии и поверхности тока и можно
выделить «струйку тока» настолько малого поперечного сечения, чтобы можно было считать параметры газа в струйке постоянными в каждом поперечном сечении и зависящими только от расстояния x вдоль струйки. Такие течения газа называются одномерными стационарными.
Газовая динамика по преимуществу рассматривает процессы, происходящие при движении газа с большими скоростями, такие как течение продуктов сгорания по соплу ракетного двигателя или обтекание крыла самолета.
Каждая частица газа участвует в этом процессе очень короткое время, поэтому предполагается, что процесс является адиабатическим, то есть частица не
обменивается теплом с окружающей средой (так как для теплообмена требуется значительное время). В этом случае энтропия частиц остаётся постоянной в промежутках между ударными волнами, и такое течение называется
изэнтропическим.
Практически важным примером течения газа, которое с хорошим приближением может считаться одномерным и изэнтропическим, является расчетное истечение из резервуара через сопло, когда давление на срезе сопла
равно давлению во внешней среде, внутри сопла нет скачков уплотнения и в
минимальном сечении сопла скорость газа равна скорости звука.
Система основных уравнений движения газа [1] в этом приближении
значительно упрощается. Вместо уравнения неразрывности записывается
уравнение сохранения расхода в струйке тока:
 vF = G = const.
(1)
Здесь  -плотность газа, v -скорость, F - площадь поперечного сечения
трубки тока, G - массовый расход.  , v и F - функции одной переменной координаты x .
Вместо уравнения движения идеальной жидкости используется его первый интеграл – уравнение Бернулли:
3
v2
(2)
+ i = i0 ,
2
дж
где i - энтальпия; i  =
;
кг
i0 - энтальпия газа в заторможенном состоянии (там, где v = 0 ); соответственно T0 , p0 , 0 - «параметры торможения» потока.
Уравнение притока тепла превращается в уравнение (изэнтропической)
адиабаты:
(3)
p = C k ,
где C - постоянная, выражающаяся через параметры начального состоc
яния газа ( C = p0 /  0 k ), k = p - показатель адиабаты, c p - теплоемкость при
cV
постоянном давлении, cV - теплоемкость при постоянном объеме.
Для одноатомных газов k = 1,66 , для двухатомных (воздух) k = 1,40 ,
для многоатомных k = 1,33 .
В дальнейшем везде используется международная система единиц SI
 н
(Sistem International). В этой системе размерность давления  3  , плотности
м 
 кг 
 м 3  , температуры  K  . Однако давление часто удобнее выражать в технических и физических атмосферах, или в миллиметрах ртутного или водяного
столба.
н
1ат (техническая атмосфера) = 0.980665  105 2 = 735,6 мм. рт.ст. ,
м
н
1атм (физическая атмосфера) = 1,01325  105 2 = 760 мм. рт.ст.
м
н
При нормальном атмосферном давлении на уровне моря 1,01325  105 2
м
кг
и температуре 288 К , плотность воздуха  = 1,23 3 , а его удельный вес
м
н
 = 12,07 3 .
м
Давление, плотность и температура идеального газа связаны между собой уравнением состояния (Клапейрона):
p = RT ,
(4)
4
дж
).
кг  град
Теплоемкости воздуха при умеренных температурах (меньше тысячи
градусов Цельсия):
дж
ккал
c p = 1003,2
= 0,24
кг  град
кг  град
дж
ккал
сv = 716
= 0,173
кг  град
кг  град
Скорость звука выражается в виде:
где R - удельная газовая постоянная (для воздуха R = 287,1
a=
kp

; a = kRT ;
(5)
дж
, a  20,1 T .
кг  град
Энтальпия может быть выражена в различных эквивалентных видах:
a2
k p kRT
,
(6)
i = c pT =
=
=
k −1 k −1  k −1
Из уравнения (2) в частности следует, что газ с энтальпией торможения
i0 теоретически может разогнаться за счет своих внутренних ресурсов до
максимальной скорости vmax :
Для воздуха, при k = 1,4 и R = 287
2kRT
0.
(7)
vmax = 2i0 =
k −1
При этом будет T = p =  = 0 .
Если в каком-то месте скорость движения газа и местная скорость звука
в газе совпадают по величине, то обе скорости называются критическими:
vкр = акр .
Критическими называются и другие параметры газа в этом месте
(  кр , pкр ,Tкр и т.д.). Критическая скорость звука может быть выражена через параметры торможения газа:
akp =
2kRT0
.
k +1
(8)
Скорость газа обычно характеризуется либо числом Маха M , либо коэффициентом скорости  . Число Маха – это отношение местной скорости гаv
за к местной скорости звука в нем: M = . При изменении скорости от нуля
a
до vmax число Маха изменяется от нуля до бесконечности, что не всегда удоб5
но. Коэффициент скорости – это отношение местной скорости газа к критичеv
ской скорости:  =
. При изменении скорости от нуля до vmax коэффициakp
ент скорости изменяется от нуля до максимального значения max =
 +1
.
 −1
Для изэнтропических процессов уравнение Бернулли (2) может быть
также записано в следующих эквивалентных формах:

=
1
p  k − 1 2  k −1
  k − 1 2  k −1
T
k −1 2
, (9)
= 1 −
  ; =
= 1−

= 1−
 ;=
p0  k + 1 
 0  k + 1 
T0
k +1
или:
−k
−1
 (M) =
T  k −1 2 
p  k − 1 2  k −1
= 1 +
M  ;  (M) =
= 1 +
M  ;
T0 
2
p0 
2


−1
  k − 1 2  k −1
= 1+
M  .
(10)
 0 
2

где  , и  - газодинамические функции соответственно от  или от M
(см. таблицу 4). Числа  и M связаны однозначной зависимостью (табл.4):
 k +1 2   k −1 2 
(11)
2 = 
M  1 +
M 
2
2

 

Критическим значениям параметров соответствует  = M = 1 . Из формул
 (M) =
(10) вытекает, что:
k
1
2
 2  k −1
 2  k −1
Tkp =
T0 ; pkp = 
p
;

=


 0 .
0
kp
k +1
k
+
1
k
+
1




При k = 1,4 имеем:
(12)
Tkp = 0 ,831T0 ; pkp = 0 ,528 p0 ;  kp = 0 ,636 0 ; akp = 18,3 T0 .
При подсчете секундного расхода газа через сопло удобно пользоваться
функцией q - приведенным секундным расходом:
q=
v
 kp akp
=
Fkp
F ,
(13)
где Fkp - площадь критического сечения сопла, F - площадь сечения, в
котором достигается скорость v :
6
k +1
 k + 1  2( k −1)  k − 1 2 
q( M ) = 
M 1 +
M 

2
 2 


1
1
k −1
k −1
−
k +1
2( k −1)
,
 k +1
 k −1 2 
(14)
q(  ) = 
 
  1 −
 2 
 k +1 
Значения q( M ) и q(  ) также даются в таблице 4.
Приведенный секундный расход можно выразить также через отношение давлений  ( ):
1
k −1
2
k +1
k +1
 k +1
k
(15)
q=
 − k

k −1
 2 
Тяга ракетного двигателя определяется импульсом истекающего из сопла газа и разностью давлений на срезе сопла:
R =   v 2 + ( p − pa )  F
(16)
Здесь v и p -скорость и давление газа на срезе сопла, pa -давление в
окружающей среде. Если p = pa , истечение газа называется расчетным. В
этом случае:
(17)
R = Gv ,
кг
где G
-секундный массовый расход газа.
с
При расчете тяги воздушно-реактивного двигателя надо из (16) вычесть
импульс, приносимый воздухом, который используется для горения топлива.
Задачи 1-50
1. Построить положения звуковой волны в момент времени t = 1,2 ,3сек
от ее возникновения для
случаев, когда звук распространяется в среде, движущейся
со
скоростью:
a
а) v = 0 , б) v = , в) v = a , г)
2
v = 2a ( a - скорость звука).
Рис. 1
7
Определить положение огибающей звуковых волн.
2. Звук работы двигателя зарегистрирован через 2.15 с после пролета
самолета над пунктом регистрации. Определить скорость полета, если высота
Н = 1 км (рис.1). Ударную волну считать волной Маха.
3. Определить максимальную скорость потока воздуха, при которой
воздух можно рассматривать как несжимаемую жидкость, если допустимо
пренебрегать изменениями его плотности до 1%. Параметры торможения –
стандартные на уровне моря.
м
4. На высоте Н = 11000м самолет достиг скорости 300
. С какой скосек
ростью происходит полет: с дозвуковой или со сверхзвуковой?
5. До и после изэнтропического сжатия в
некотором объеме воздуха произведены измерения скорости звука. Определить порядок изменения плотности воздуха, если скорость звука возросла на 3%.
Рис. 2
6. В двух полетах на высоте Н = 12км
махметр показывал число Маха полета М = 2,1 . В первом полете температура
воздуха отличалась от стандартной на + 15  , а в другом – на − 15  . Найти разницу истинных воздушных скоростей в полетах.
7. Найти соотношение между шириной сверхзвуковой струи l , длиной
модели тонкого тела b и числом М потока (рис.2), при котором будет корректной продувка модели. Условие корректности опыта. b < c .
8. Средняя по длине ЖРД температура продуктов сгорания
Tcp = 2000 K . Через какой промежуток времени  t малое изменение в подаче
топлива скажется на тяге двигателя, если длина двигателя от форсунок до
м
среза сопла L = 1500мм , скорость истечения Vист = 2500
. Считать,
сек
дж
что k = 1,2 ; R = 294,3
.
кг  град
9. Найти собственную акустическую частоту колебаний газового столба
в камере сгорания ПВРД, длина которой L = 1,5 м , если показатель адиабаты
для продуктов горения k = 1,35 ; газовая постоянная R = 289,4 ; средняя температура газов Tcp = 500 K .
8
10. В потоке воздуха без ударных волн махметр показывает в одной
точке угол Маха 1 = 27 ,7  , в другой -  2 = 35,8  . Каково соотношение между
статическими давлениями в этих точках?
11. По теневому фотоснимку обтекания иглы сверхзвуковым потоком
воздуха измерен угол  = 28  между поверхностью слабой конической волны и направлением невозмущенного потока (рис.3). Термопара, открытая навстречу потоку, показывает температуру 289 K . Найти скорость потока.
Рис. 3
12. Температура движущегося газа
t = −169 С . Найти величину составляющей
скорости газа, нормальной к линии Маха.
13.Найти скорость звука, числа M и  для струи воздуха, вытекающей
из баллона со скоростью, равной половине максимальной теоретической скорости истечения. Температура в котле 127  C .
14. Какие параметры (давление, температура) должен иметь воздух в
форкамере сверхзвуковой трубы, чтобы при расчетном расширении он вытем
кал в атмосферу со скоростью 800
при t = −70  C ? Каково при этом будет
сек
соотношение между плотностью воздуха в струи и плотностью при нормальных условиях?
Примечание. Здесь имеется в виду простейшая труба с соплом, отрытым
в атмосферу.
15. Какую максимальную скорость воздуха можно получить в сверхзвуковой трубе без подогрева, если учесть, что воздух сжижается при T = 78  К ?
16. Какой подогрев воздуха в баллоне при давлении p0 = 20ата надо
обеспечить, чтобы получить при расчетном истечении в атмосферу скорость
м
700
?
сек
17. По трубе, диаметр которой увеличивается от d 1 = 1см до d 2 = 1,8см ,
м
течет поток воздуха, имеющий в первом сечении скорость V1 = 400
, давсек
ление p1 = 0 ,84ата и температуру t1 = 20 C . Найти соотношение между числами Рейнольдса по диаметру трубки во втором и первом сечениях.
9
n
 T 
Указание: коэффициент вязкости вычислить по формуле 2 =  2  , где
1  T1 
n = 0,76 .
18. В сверхзвуковой трубе без подогрева с открытой рабочей частью
моделируется обтекание натурного объекта, предназначенного для полета на
км
высоте H = 30км со скоростью Vн = 3000
. Характерный линейный размер
час
натуры l н = 5 м . Допустимый максимальный размер модели l м = 0 ,2 м . Какое
давление в форкамере трубы обеспечивает правильное моделирование по
числам М ? Какова при этом будет скорость потока воздуха в рабочей части?
Как обеспечить моделирование по числам М и Re ?
19. Статическое давление в закрытой рабочей части дозвуковой трубы, в
сечении свободным от модели, равно нормальному атмосферному. Давление
торможения в потоке p0 = 1,57ата , температура торможения Т 0 = 288 K .
Какое минимальное число Рейнольдса при этом может быть достигнуто по
диаметру миделя осесимметричной модели, скорости и плотности невозмущенного потока, если диаметр рабочей части трубы D = 2 м ?
20. Сравнить секундные расходы и скорости истечения воздуха из баллона (в начальный момент), которые можно получить при расчетном расширении воздуха до атмосферного давления: 1) в случае, когда в баллоне
t10 = 15 C ; p01 = 10ата ; 2) в случае изохорического подогрева воздуха до
t 01 = 450 С от тех же начальных параметров. Критические сечения сопел в
обоих случаях одинаковые.
21. Решить предыдущую задачу, считая, что перед истечением воздух
нагревается изобарически.
22. Найти порядок величины объемного секундного расхода воздуха
при закритическом истечении через сопло с площадью критического сечения
Fкр = 0 ,1 м 2 , если термометр, помещенный в поток, показывает 15 С .
Примечание. Термометр, помещенный в поток газа, показывает температуру, весьма близкую к температуре торможения.
23. Воздух течет по трубе переменного сечения. Число Маха в первом
сечении трубы М 1 = 1 , а во втором сечении М 2 = 2 . Каково соотношение
между скоростями воздуха в первом и втором сечениях?
10
24. Как изменится кинетическая энергия единицы объема воздуха при
движении по расширяющейся трубе с увеличением числа М от М 1 = 1 до
М 2 = 2 ? Объяснить результат.
25. Найти соотношение мощностей, необходимых для работы аэродинамической трубы на одном и том же числе М , если рабочим газом служит:
1) воздух; 2) фреон, при одном и том же давлении (для фреона kф = 1,12 ;
 ф = 4,18  в ). Мощность, необходимая для работы трубы, пропорциональна
величине  V 3 .
26. В аэродинамической трубе больших дозвуковых скоростей установлены два манометра (рис.4):  - спиртовый, вертикальный, измеряющий разность между давлениями в форкамере и в рабочем помещении, и  - ртутный,
с наклоном трубки 30  , измеряющий разность давлений в рабочей части трубы и в помещении.
Найти скорость потока, скорость звука, температуру и плотность воздуха в рабочей части, если первом манометре h = 280 мм , а во втором l = 692 мм . Температура в форкамере t = 17  C , давление в рабочем помен
F
щении ра = 98066 2 . Степень поджатия 1 = 5 . Потери не учитывать.
F2
м
27. К трубке Пито, помещенной в дозвуковой поток воздуха, присоединены два U-образных ртутных манометра (рис.5).
:
Разность
уровней
в
манометре
h1 = 142 мм , в манометре  : h2 = 62 мм .
Неподвижный термометр, омываемый потоком, показывает 20  C . Найти скорость потока; р > ратм > р .
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
11
28. При каком показании  h ртутного U-образного манометра, присоединенного к трубке полного напора (рис.6), свободная струя воздуха течет
при числе M = 0,5 ?
29. Найти форму труб, в которых (при одномерной постановке задачи):
а) скорость потока растет линейно вдоль оси: V = nx , б) температура падает
линейно вдоль оси: T = T0 − mx .
Указание: массовый секундный расход m t считать заданным. Для решения воспользоваться: 1) уравнением неразрывности mt = VF ; 2) уравнением
V2
k p
энергии
+
= const ; 3) уравнением изэнтропической адиабаты
2 k −1 
p
p = 0k  k .
0
30. Вывести уравнение, определяющее закон повышения давления по
длине дозвукового конического диффузора.
31. Вывести уравнение обвода r( x ) изоградиентного дозвукового диффузора ВРД.
dp
Примечание. Изоградиентные диффузоры (т.е., для которых
= const )
dx
отличаются от конических более высокими коэффициентами восстановления
давления.
32. Сопло Лаваля работает в докритическом режиме. В минимальном
сечении сопла давление p1 = 0 ,8ата . В среде, куда происходит истечение,
давление рa = 1,0ата . Площади минимального и выходного сечений сопла
равны 0 ,1 м2 и 0 ,15 м 2 соответственно. Определить безразмерные скорости в
минимальном и выходном сечениях сопла.
33. Воздух истекает из баллона в атмосферу через конфузорное сопло с
диаметром выходного сечения 3см . В котле температура t = 127  C и давление р0 = 10ата . Найти массовый секундный расход воздуха через сопло.
34. Найти площади входного и выходного сечений F1 и F2 дозвукового
диффузора ВРД для полета при числе 1 = 0 ,8 на высоте Н = 2000м , если: 1)
кг
максимальный секундный расход воздуха через диффузор mt = 200
; 2) на
сек
выходе из диффузора безразмерная скорость не должна превышать 2 = 0 ,2 ;
3) потерями полного давления пренебречь.
12
35. Подобрать площадь критического сечения сверхзвукового сопла,
кг
обеспечивающую секундный расход воздуха mt = 1
, если истечение рассек
четное, давление торможения р0 = 5ата , температура торможения t 0 = 15 C .
36. Вычислить массовый секундный расход воздуха через сопло Лаваля
при следующих условиях: 1) площадь выходного сечения сопла Fвых = 10см 2 ;
2) давление торможения р0 = 1,3ата ; 3) температура торможения
Т 0 = 288 К ; 4) давление во внешней среде ра = 1,03ата .
37. Задано соотношение площадей выходного и минимального сечений
F
сопла 1 = 2 (рис.7). При каких соотношениях
Fмин
pa
можно применить для расчета масp0
сового секундного расхода воздуха через сопло
p
формулу mt = 0,0405 0 . Fмин =?
T0
давлений
38. Как изменится массовый секундный
расход воздуха через сопло, если в условиях
предыдущей задачи принять внешнее давление рa = 0 ,98 р0 ?
39. Оценить порядок объема баллонов   , необходимых для обеспечения работы в течении минимум 25сек сверхзвуковой трубы с открытой рабочей частью, на М1 = 1,5 ; М 2 = 2,0 ; М 3 = 2,5 . Площадь выходного сечения у
Рис. 7
всех сопел Fвых = 0 ,009 м 2 . Начальное давление в баллонах р .н = 150ата .
Считать для упрощения: 1) на пуск и остановку трубы уходит 5сек (с
полным расходом); 2) расширение воздуха в баллонах изотермическое, при
Т 0 = 290 К ; 3) минимальное давление в баллонах р .k связано с р0 (давлениp
ем в форкамере) соотношением ( p .k )i = 0 i , где n = 0,4 отражает потери
n
полного давления между баллонами и форкамерой.
40. Из баллона объемом  = 1м3 воздух вытекает в атмосферу через
конфузорное сопло с площадью Fвых = 0 ,5см 2 . Сколько времени будет продолжаться истечение с постоянным секундным объемным расходом, если
начальное давление в баллоне р0 н = 100ата и процесс понижения давления
можно считать изотермическим при температуре 288 К ?
13
41. Воздух истекает адиабатически в атмосферу из баллона через конфузорное сопло. Процесс расширения воздуха в баллоне тоже адиабатический.
Составить уравнение, отражающее зависимость весового секундного расхода
от времени для закритического режима истечения и по условиям задачи 40
найти время закритического истечения.
42. Воздух вытекает из камеры через конфузорное сопло. Давление в
камере р0 = 1,89ата , давление во внешней среде рa = 1ата . Как изменится
реактивная сила R , испытываемая камерой, если камеру и сопло погрузить в
воду на глубину 7.7 м , при сохранении прежнего давления в камере?
43. По трубе (рис.8) выбрасывается в атмосферу воздух с поворотом потока на 127  . В сечении 1 статическое давление
р1 = 1,3ата , в выходном сечении 2 давление
р2 = 1,0ата . Площадь первого сечения
F1 = 1м 2 ,
площадь
выходного
сечения
F2 = 0 ,5 м 2 . Температура торможения воздуха
Т 0 = 289 К .
Пренебрегая потерями, определить R –
результирующую силу потока, действующую
воздуховод между сечениями 1 и 2, и R раз –
Рис. 8
суммарную разрывающую силу, действующую на болты крепления воздуховода к фланцу.
Указание: применить теорему об изменении количества движения
.Решение провести графически.
44. ЖРД при расчетном истечении должен дать на уровне земли тягу
P = 50 т. В камере сгорания T0 = 2700 K , давление p0 = 30ата , k = 1,25 ;
дж
.
кг  град
Найти скорость истечения Vr , удельную тягу Pуд ,весовой секундный
R = 344
расход Gt , размеры сопла (угол конусности  = 24  ).
Р
Указание: P = mtVr ; Pуд =
.
Gt
45. Какую максимальную температуру должна выдерживать обшивка
км
корпуса ракеты при полете в стратосфере со скоростью V = 3816
?
час
14
46. Зарегистрированный рекорд скорости полета самолета 1956г., докм
стигнутый на высоте 11600м , составляет 1882
. Определить температуру
час
обшивки крыла самолета, пользуясь понятием коэффициента восстановления
температуры. Ввиду малой толщины крыльев считать местное число Маха
равным числу Маха полета.
47.Найти динамическую добавку давления в носовой точке фюзеляжа
самолета, летящего при М = 0,7 на уровне земли. Определить  - ошибку, которая получится, если определять рдин без учета сжимаемости воздуха.
48. Дать приближенную оценку относительному приращению скорости
в точке крыла, где относительное уменьшение давления составляет 10%.
Крыло обтекается потоком при М  = 0,6 (рис.9).
Указание: использовать линеаризованное уравнение Бернулли.
49. Турбореактивный двигатель имеет
сужающееся сопло с площадью выходного сечения Fвых = 0.3 м2 , полное давление p0 =3.2·105
Па, температура торможения T0 = 10000 К.
Определить тягу двигателя на старте у земли.
Принять R =287 Дж/кг·с,  = 1.33. Найти величину потери тяги за счет нерасчетности истеРис. 9
чения на высоте 10 км.
50. Сопло Лаваля в расчетном режиме на
уровне земли обеспечивает расход воздуха 2 кг/с. Давление торможения
p0 = 10 ати, T0 = 10000С. Определить площадь критического сечения сопла Fkp
и тягу. Найти величину потери тяги за счет нерасчетности истечения на высоте 10 км.
Примеры решения.
Задача 1. Самолет летит на высоте H = 3 км . Указатель насадка полного
напора зарегистрировал избыточное давление р0 = 28900 Па . Найти скорость и
число Маха полета.
Решение. Из таблицы 2 находим статическое давление и скорость звука
на высоте H :
м
Р = 525.8 мм рт. ст = 0.69  105 Па, а = 328.5 .
с
15
Избыточное давление – это разность между давлением торможения и
статическим давлением:
р0 = р0 − р.
Значение давления торможения
р0 = р0 + р = 0.289 105 Па + 0.69 105 Па = 0.98 105 Па.
5
Газодинамическая функция  ( М ) = р = 0.69 105 Па  0.7 . Пользуясь табли-
р0
0.98 10 Па
цей 4, находим число Маха М = 0.76 .
Зная число Маха М и скорость звука а , можем найти скорость полета:
V = M  a = 0.76  328.5
м
м
= 249.7 .
с
с
Задача 2. Определить полное давление в критической точке крыла самолета с учетом сжимаемости и без учета сжимаемости, если известно, что
самолет летит на высоте H = 9 км при М = 0.8 .
Решение. Из таблицы 5 находим статическое давление р , температуру
Т , скорость звука а и относительную плотность воздуха на высоте H :
р = 230.5 мм рт. ст. = 0.3 105 Па,
Т = 229.5 ,
а = 303.7
м
,
с

= 0.381.
 зем
 зем = 1.2
кг
.
м3
Полное давление с учетом сжимаемости находится использованием газодинамической функции  ( М ) .
р0 =
р
230.5 мм рт. ст.
344 5
=
= 344 мм рт. ст. =
10 Па = 0.45 105 Па .
 (М )
0.67
760
Если сделать расчет без учета сжимаемости, можно использовать уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости
V 2
1.2  2422
р0 = р +
= 0.3 10 +
= 0.65 105 Па .
2
2
5
Скорость V нашли как произведение числа М на скорость звука a :
V = M  a = 0.8  303.7 = 242
м
.
c
16
Видно, что результаты расчета без учета сжимаемости значительно отличаются от более точного расчета с учетом сжимаемости. Т. о., учет сжимаемости при значении числа М = 0.8 необходим.
Задача 3. Сопло Лаваля в расчетном режиме обеспечивает расход воздуха 2 кг . Давление торможения р0 = 10 ати = 11105 Па , Т 0 = 0 С . Определить Fкр .
с
Решение. Расход воздуха в критическом сечении определяется формулой
G = VF = крVкр Fкр .
Зная давления торможения р0 и температуру торможения
найти плотность  0 из уравнения Клапейрона:
0 =
р0
11105 Па
кг
=
= 14 3
RT0 287 Дж  273 K
м
кг  К
Т0 ,
можно
,
где R – газовая постоянная воздуха. Зная  0 и имея в виду  = 1 в критическом сечении, можем найти кр , пользуясь газодинамической функцией
 ( ) =

.
0
кр = 0   (  ) = 14
кг
кг
 0.63 = 8.82 3
3
м
м
.
Критическая скорость звука через температуру торможения
ется приближенной формулой
акр  18.3 Т = 18.3 273 = 302
Т0
выража-
м
.
с
Зная кр и акр , находим Fкр из уравнения сохранения расхода:
Fкр =
2
кг
с
G
=
= 0.75 10−3 м 2 .
 кр  акр 8.82 кг  302 м
м3
с
Fкр = 7.5см2 .
Задача 4. Турбореактивный двигатель имеет сужающееся сопло с площадью выходного сечения Fвых = 0.3 м 2 , полное давление p0 = 3.2  105 Па , температура торможения T0 = 1000 K . Определить тягу двигателя на старте у земли. Принять R = 287
Дж
, k = 1.4 .
кг  с
17
Решение. Так как сопло сужающееся, то скорость потока на выходе из
сопла Vвых не может превышать скорости звука. Т. е., Vвых  акр . Vвых = акр , если
рвых
  (1) = 0.5283 . В данной задаче, так как давление на
р
выходе равно атмосферному давлению на уровне земли, то отношение
р
105
=
  (1) . Следовательно, скорость на выходе равна критической
р0 3.2  105
скорости: Vвых = акр . А, следовательно, плотность и давление тоже принимают
перепад давления
критические значения:  = кр , р = ркр . Имея значения
 0 , используя
уравнение Клапейрона
р =  RT
р0
и
Т0 ,
можем посчитать
,
p0
3.2 105 Па
кг
=
= 1.11 3 .
RТ 0 287 Дж 103 К
м
кг  К
кг
кр = 0 (1) = 1.11 0.634 = 0.7 3 .
м
0 =
Зная
Т0 ,
можем найти акр по формуле (8) (из §1):
2kRT0
2 1.33  287 103
м
акр = V =
=
= 564 .
k +1
2.4
с
Так как на выходе Vвых = Vкр , то Fвых = Fкр . Тогда, с помощью уравнения расхода можем посчитать расход
G = крVкр Fкр = 0.7  564  0.3 = 118.4
кг
.
с
Тяга двигателя определяется по формуле
R = ( р − ра ) F + V 2 F = ( р − ра ) + V 2  F .
 = кр , р = ркр , F = Fкр ,V = aкр .
Подставляя значения, получаем
R = ( ркр − ра ) F + VFVкр = 0.69 105  0.3 + 118.4  564 = 0.88 105 Н
,
где ркр = р0 (1) = 3.2 105  0.5283 = 1.69 105 .
2. Течения газа с ударными волнами
Торможение сверхзвукового потока газа происходит посредством скачков уплотнения (ударных волн). При расчётах скачки уплотнения приближенно заменяют поверхностями разрыва параметров потока.
18
Плоские поверхности разрыва, нормальные к направлению скорости невозмущенного потока, называются прямыми скачками уплотнения. При переходе через прямой скачок направление потока газа не изменяется.
Основные законы сохранения механики для элемента объёма газа при
его переходе через прямой скачок можно записать в виде:
уравнения сохранения массы:
(1)
1v1 =  2 v2 ,
уравнения изменения количества движения:
(2)
 1v12 −  2 v22 = p2 − p1 ,
уравнения энергии:
v12
v2
+ i1 = 2 + i2 = i0 .
2
2
(3)
Здесь и в дальнейшем индексом «1» отмечаются параметры потока газа
до скачка, а индексом «2» – после скачка.
Из этих уравнений получаются следующие выражения для изменения на
скачке статического давления и плотности газа:
k +1 2
M1
p2
2k
k −1
2
2
2
.,
(4)
=
M1 −
;
=
p1 k + 1
k +1
1 1 + k − 1 M 2
1
2
А также основное соотношение теории прямого скачка:
v1 v2 = akp2 или  1  2 = 1 .
(5)
Для чисел Маха имеем:
k −1 2
M1
2
2
M2 =
.
(6)
k −1
2
kM 1 −
2
При переходе газа через скачок температура торможения T0 и связанные
p
с нею величины: vm , a0 , akp , i0 , o не изменяются, скорость газа, числа M и  1+
0
уменьшаются, плотность, давление, температура и энтропия - увеличиваются.
Торможение потока газа при переходе через скачок уплотнения происходит адиабатически, но не изэнтропически. Плотность и давление газа до
скачка связаны уравнением изэнтропической адиабаты, после скачка – таким
же уравнением, но с другой константой, а при переходе через скачок – уравнением ударной адиабаты Гюгонио:
19
k + 1 p1
+
2
k − 1 p2
.
(7)
=
 1 k + 1 p1 + 1
k − 1 p2
Давление торможения и плотность торможения уменьшаются на скачках. Необратимые потери механической энергии на скачке характеризуются
коэффициентом восстановления полного давления:
=
p02  02 
2
k − 1
=
=
+
2
p01  01  ( k + 1 ) M 1 k + 1 
−
k
k −1
k −1
 2k
M 12 −


k + 1
k +1
−
k
k −1
(8)
Коэффициент восстановления давления торможения может быть также
выражен через приведенный секундный расход q(  ):
1
 1 
k −1



q
k −1 2
1 −


1

q(  1 ) q(  1 )
2

2 
k
+
1


 = 1
=
=
=
.
k −1 1 

q(  2 )
q
(

)


2
1 
1 − k + 1  2 
q
 

1 
 1
(9)
Для нахождения давления торможения после скачка удобно пользоваться формулой Рэлея:
k
1
p02  k + 1 2  k −1  2k
k − 1  k −1
=
M1  
M 12 −
 .
p1  2
k + 1
  k +1
Задачи 51 – 92
51. В потоке воздуха с нормальными параметрами
(10)
р = 1,03ата ,
Т = 288 К при числе Маха М 1 = 1,5 возник прямой скачок уплотнения.
Найти порядок толщины скачка  , предположив, что вязкостное нормальное
напряжение на толщине скачка имеет порядок перепада давления на скачке.
52. Сравнить увеличение плотности: 1) при ударном и 2) изэнтропическом сжатии воздуха, если в том и в другом случаях давление возрастает в 10
раз. Объяснить разницу.
53. Допустимая ошибка в вычислении давления за скачком уплотнения
составляет 1% от давления в невозмущенном потоке воздуха. При каком максимальном относительном изменении плотности можно пользоваться изэнтропической адиабатой вместо ударной для вычисления давления?
20
54. Температура воздуха в форкамере сверхзвуковой трубы T0 = 288 K .
м
Поток на срезе сопла трубы имеет скорость V1 = 530
и обтекает препятсек
ствие с образованием прямого скачка. Найти V2 - скорость воздуха после
скачка.
м
55. Скорость воздуха, замеренная после прямого скачка V2 = 280
.
сек
Термопара в кожухе (рис. 1) показала температуру + 77  C . Найти температуру воздуха в потоке до скачка.
56. Найти величины максимально возможных на прямом скачке уплотнения: 1) уменьшения скорости; 2) относительного изменения количества
движения массы воздуха, протекающей через единичную площадь на скачке
за единицу времени.
57. Интерферограмма показывает рост плотности на прямом скачке в
два раза. При каком числе  1 возник скачок уплотнения? Как изменится кинетическая энергия единицы объема газа на скачке?
Примечание. Интерферометр – прибор, позволяющий оптическим способом определить плотность газа в различных точках потока.
58. При переходе воздуха через скачок уплотнения давление торможения уменьшилось в 5,2 раза, статическое давление увеличилось в 15 раз, температура увеличилась в 3,46 раза. Как
изменится плотность потока и плотность торможения потока на скачке?
Как изменится объемная плотность
полной энергии (полная энергия единицы объема газа) плотностью заторРис. 1
Рис.2
моженного газа при переходе его через
скачок?
59. Воздух на расчетном режиме истекает из баллона, где он имеет температуру 16 C , через сопло с отношением площадей выходного и критичеF
ского сечений вых = 4.23 . Найти скорость, которую поток будет иметь, пройFkp
дя прямой скачок?
60. Давление, измеренное в сверхзвуковом потоке трубкой полного
напора, в 12 раз больше давления, измеренного на щеке клина (рис. 2). Найти
коэффициент восстановления давления торможения  в прямом скачке.
21
61. Подсчитать давление p02 в камере ВРД самолета, летящего на высоте
км
, при наличии прямого скачка на вхоH = 10000м со скоростью V = 2160
час
де, и давление p01 , которое получилось бы в камере, если бы торможение было изэнтропическим.
Указание: использовать Стандартную атмосферу.
62. Интерферограмма показывает рост плотности воздуха на скачке
уплотнения в 3,81 раза. Найти коэффициент восстановления давления торможения на скачке.
63. Измерения в простом сверхзвуковом диффузоре (после прямого
м
скачка на входе; рис.3) дали скорость воздуха V2 = 260
и температуру
сек
торможения T0 = 400 K . Определить коэффициент восстановления давления
торможения на входе в диффузор.
64. Как изменится коэффициент восстановления давления торможения на прямом скачке, если
число Маха потока до скачка M 1 >>1 увеличить
вдвое?
Рис. 3
65. Какое число Маха до прямого скачка нельзя
превысить, чтобы на скачке потери давления торможения в газе не превзошли
одного процента? Показатель адиабаты газа k = 1,3 .
66. Воздух истекает из сопла при числе Маха M 1 = 2,5 под
действием давления в форкамере
p01 = 16ата . Температура в форкамере T0 = 288 K . Расширение
Рис.4
воздуха расчетное. Определить
(см. рис. 4) p1 , M 2 , p2 , p02 , ,T1 , T2 ,  1 ,  2 ,  01 ,  02 .
67. Определить скорость сверхзвукового потока, текущего при температуре t = −50  C и давление p = 1ата , если давление в критической точке
трубки Пито равно 12ата .
22
68. Трубка полного напора, установленная на самолете, показывает на
н
высоте 15000м абсолютное давление 71100 2 . Найти скорость полета.
м
69. Температура торможения, замеренная в полете на высоте 4000 м ,
оказалось равной t 0 = 107 C . Определить число Маха M 1 и скорость полета
V1 , число Маха M 2 и относительную скорость воздуха за прямым скачком
впереди крыла V2 , значение критической скорости aкp и давление в критической точке крыла р02 .
70. В расширяющейся части сверхзвукового сопла (рис 5) возник прям
мой скачок уплотнения, в котором скорость воздуха падает с V1 = 600
до
сек
м
. В некотором сечении сужающейся части сопла скорость
V2 = 200
сек
V ( 1 ) =V2 . Сравнить статические давления p ( 1 ) и p2 в тех сечениях до и после
скачка, где скорости равны.
71. В расширяющейся части сверхзвукового сопла возник прямой скачок уплотнения, в котором статическое давление возрастает в 6 раз. В некотором сечении сопла до скачка давление p ( 1 ) = p2 (см. рис. 5). Сравнить скорости V ( 1 ) и V2 в тех сечениях до и после скачка, где скорости равны.
72. Самолет летит на высоте H = 5000м со скокм
ростью V = 1500
. 1. Какова скорость самолета отчас
Рис. 5
носительно частиц воздуха, по которым только что
прошла прямая ударная волна, вызванная носовой частью фюзеляжа? 2. Какова абсолютная (по отношению к земле) скорость спутного движения воздуха вслед за волной?
73. Найти соотношения между скоростью спутного движения за прямой
ударной волной и скоростью N распространения волны в неподвижном воз 



духе в случаях: 1) 2 = 1,01 ; 2) 2 = 2 ; 3) 2 =  2  . Зависимость тепло1
1
1
  1  max
емкости от температуры не учитывать.
74. Вычислить скорость спутного движения воздуха за фронтом прямой
ударной волны, если избыточное давление за волной на уровне земли составляет 1,32атм .
23
p2
скорость спутного движения
p1
за прямой ударной волной, распространяющейся в воздухе при нормальных
м
атмосферных условиях, будет достигать 100
.
сек
76. Перед поршнем, движущимся в трубе с постоянной скоростью
м
, возникла ударная волна. Правый конец трубы (рис. 15) открыт
uП = 400
сек
в атмосферу. Найти N – скорость волны относительно стенок трубы и скорость волны относительно поршня.
77. Во сколько раз скорость распространения волны сжатия будет превосходить скорость движения поршня в трубе (см. рис. 6), если плотность газа
возрастает на волне в три раза?
78. Статическое давление за фронтом плоской ударной волны, распространяющейся в неподвижном воздухе на уровне земли, 100атм . Найти температуру воздуха за фронтом волны.
79. Определить порядок скорости распространения плоской ударной
волны в воздухе на уровне земли, если за фронтом волны зарегистрировано
давление 30ата .
80. Сравнить N – скорость распространения сильной ударной волны в
воздухе на уровне земли при нормальных атмосферных условиях, со скоростью звука a1 перед ударной волной и a2 - за ударной волной, если за фронтом
ударной волны давление 20атм .
81. В ударной трубе по аргону, имеющему температуру 288 К , распространяется ударная волна. 1. При каком соотношении давлений в камерах
трубы скорость распространения волны в два раза больше скорости звука в
неподвижном аргоне? 2. Какова скорость спутного движения частиц аргона за
дж
волной в условиях пункта 1? kарг = 1,67 ; Rарг = 208
.
кг  град
75. При каком соотношении давлений
Рис. 6
Рис. 7
24
82. В камере А ударной трубы (рис. 7) давление p5 = 55,2ата ; в камере
Б давление p1 = 0 ,1ата . В обоих камерах находится воздух при температуре
T1 = Т 5 = 289 К . Рассчитать и изобразить в координатах ( x , t ) распад разрыва
давления. Построить эпюры давления, температуры и скорости газа через
0,003c после разрушения диафрагмы. Отражение волн от концов трубы не
рассматривать.
83. Плоская ударная волна падает по нормали на твердую стенку (рис.8).
Между стенкой и волной неподвижный воздух имеет температуру
Т 1 = 288 К ; давление р1 = 1ата . За волной, в спутном потоке давление
р2 = 10ата . Найти N 1 - скорость движения падающей волны по отношению к
стенке и давление на стенке после отражения волны.
84. На основании формулы Измайлова-Крюссера (см. решение предыдущей задачи) оценить величину избыточного давления за отраженной от
стенки плоской волной (рис.8), по сравнению с избыточным давлением за падающей волной
p − p1
.
p= 3
p2 − p1
Задачу решить в предельных случаях весьма слабой и весьма сильной
ударных волн.
Рис. 8
Рис. 9
85. Провести приближенный газодинамический расчет прямоточного
ВРД с простым входом (прямой скачок уплотнения на входе в двигатель) в
м
полете со скоростью V1 = 510
, при температуре окружающего воздуха
сек
t1 = 12 C и давление p1 = 0 ,92ата . Конструктивные параметры двигателя
(рис. 9): диаметр входного сечения d 2 = 480 мм , диаметр камеры сгорания
d 4 = 800 мм . Сгорание топлива происходит при постоянном давлении и вы25
зывает в сечении 4 рост температуры смеси на 1800 . В области 2-3 считать
показатель адиабаты k = 1,4 , в области 4-5 считать k = 1,33 .
Найти: а) V2 и p2 - скорость и давление воздуха со скачком; б) V3 , p3 ,
T3 - скорость, давление и температуру воздуха перед впрыском горючего; в)
V4 и p4 - скорость и давление газов после сгорания топлива; г) площадь критического сечения сопла Fкp , площадь выходного сечения сопла F5 , скорость
истечения газа V5 ; д) тягу двигателя P .
Указание: для упрощения считать:
1) что топливо сгорает мгновенно в сечении 4, не вызывая повышение давления;
2) что весовой секундный расход топлива
мал по сравнению с весовым секундным
расходом воздуха через двигатель.
86. Провести газодинамический
расчет ПВРД для полета на высоте
Рис. 10
м
.
H = 10км со скоростью М = 500
сек
Исходные данные: диффузор с простым входом (рис. 10); площадь
входного сечения диффузора F = 1м 2 ; на выходе из диффузора скорость возм
духа V2 = 100
; камера сгорания цилиндрическая; подогрев происходит
сек
при постоянном давлении; для сгорания 1кг горючего необходимо L = 15кг
воздуха; коэффициент избытка воздуха  = 1,8 . Площадь выходного сечения
сопла равна площади внутреннего миделя. Истечение из сопла расчетное.
Давление на срезе равно внешнему давлению на заданной высоте.
Определить: 1) площади F2 = F3 = Fмид , Fkp ; 2) давления p1 , p2 , p01 , p0 H ; 3)
температуры T0 H ,T03 ; 4) секундный расход топлива Gt ; 5) тягу двигателя Р .
Указание: Расчет до сечения 3 вести, принимая k = 1,4 от сечения 3 до
сечения 4 считать k=1,33.
87. Сравнить весовые секундные расходы воздуха в двух аэродинамических сверхзвуковых трубах с одинаковыми соплами, рассчитанными на число
M = 2 . Первая труба с открытой рабочей частью, выходное сечение которой
замыкает прямой скачок уплотнения (рис. 11).
88. 1. Найти минимально возможное соотношение между площадями
горла сверхзвукового диффузора и рабочей части аэродинамической трубы,
при котором в рабочей части будет сверхзвуковое течение с числом Маха
26
M = 2 , а перед входом в диффузор имеется прямой скачок уплотнения – момент перед запуском диффузора (рис. 12). 2. Каков будет вид течения, если
F 
F
взять Д <  Д  ?
Fр .ч  Fр .ч  min
Рис. 11
Рис. 12
89. Пользуясь условиями и результатами задач 87 и 88, сравнить давление в форкамере, необходимые для расчетной работы сверхзвуковых труб  и
 задачи 87 и трубы  , схема и условия которой видны на рис. 13. Решить с
помощью таблиц газодинамических функций.
p
90. Найти при каком соотношении давлений 01 (см. рис. 14) прямой
pa
скачок уплотнения будет находиться в сечении сопла, площадь которого равна 0,7 от площади выходного сечения и 1,7 от площади критического сечения
сопла. Сравнить с p0  задачи 117. Решить с помощью таблиц газодинамических функций.
Рис. 13
Рис. 14
91. Сверхзвуковое сопло рассчитано на получение потока воздуха с безразмерной скоростью  1C = 2 ,0 . В рамках одномерной теории найти относительную площадь (по отношению площади критического сечения) сечения, в
котором находится прямой скачок уплотнения, если давление в камере перед
соплом p10 = 2,0ата , а в среде, куда истекает воздух из сопла, pa = 1,0ата .
92. Сопло Лаваля имеет коническую сверхзвуковую часть с полууглом
раствора  = 10  . Диаметр выходного сечения сопла в два раза больше диа27
метра критического сечения. Допустив, что нерасчетный режим истечения
характеризуется наличием одного прямого скачка в конической части сопла и
безотрывным течением воздуха после скачка, найти в рамках одномерной
теории зависимость положения скачка от перепада давления в камере и во
внешней среде.
3 .Расчет течений газа с учетом трения и энергообмена
Влияние различных внешних факторов на одномерный поток газа приближённо описывается уравнением «обращения воздействия»:
(M
2
− 1)
dv dF dG 1
 −1

=
−
− 2 dL − 2 dQ − 2 dLтр ,
v
F
G a
a
a
(1)
где dF -изменение площади сечения трубки тока, dG - изменение расхода газа, dQ - тепло, сообщаемое газу или отнимаемое у него; dL - механическая работа, совершаемая газом ( dL >0), или работа, совершаемая над газом
( dL <0), dLтр - работа трения.
В частности качественные выводы о влиянии трения и изменения сечения газовода на скорость одномерного потока газа можно сделать, представив
это уравнение в виде:
(
2
) d =  1 − kk +− 11 
−1

2
−
k
2
 dF
,
−


d
x

F
k
+
1

(2)
где  , F и x - соответственно коэффициент скорости газа, площадь
поперечного сечения и безразмерная координата данного сечения трубы,  v 2 dx
коэффициент сопротивления трубы. dLтр = 
, D -средний диаметр
2 D
трубы.
Для цилиндрической трубы ( dF = 0 ) и постоянного коэффициента сопротивления (  = const ) получим:

− 2 − ln 2 =  ,
2
1 
1
1
1
2
(3)
В уравнении (3)  1 - коэффициент скорости в начальном сечении трубы,
−
2k
 x - приведенная длина трубы. Скорость газа на входе определяет
k +1
величину
=
28
 max =
1
1
2
− 1 − ln
1
.
1
2
(4)
Пусть  1 <1. Тогда, если
 =  max , то  =1;
 <  max , то  <1;
 >  max , то течение с числом  1 на входе невозможно.
Пусть  1 >1. Тогда, если
 =  max , то  =1;
 <  max , то  >1;
 >  max , то торможение посредством скачков
уплотнения приведет к  =1 на выходе.
В ряде задач учет потерь механической энергии на трение и расширение
вводится формально путем задания величины коэффициента восстановления
p
давления торможения  = 02 . Конечно, определение величины  представp01
ляет собой в каждом случае самостоятельную задачу.
Для течений с подводом и отводом тепла в цилиндрических трубах имеет место следующие зависимости между параметрами потока газа:
уравнение неразрывности:
v = const t;
уравнение сохранения полного импульса:
p + v 2 = const
и следствия этих уравнений:
(5)
(6)
p2 1 + kM 12
,
=
p1 1 + kM 22
(7)
2
T2  M 2 1 + kM 12 
=

 ,
T1  M 1 1 + kM 22 
(8)
2
 2  M 1  1 + kM 22
=

,
 1  M 2  1 + kM 12
k −1 2
M2
T02
2
=
k −1 2
T01
1+
M1
2
1+
(9)
2
 M 2 1 + kM 12 


 .
2 
M
1
+
+
kM
 1
2 
29
(10)
Задачи 93 – 119
−
93. В трубу длиной x = 100 калибров воздух втекает с безразмерной
скоростью  1 = 0 ,4 . Приняв коэффициент трения  = 0,015 , определить режим истечения из трубы (  > 1 ).
94. Найти длину трубы, из которой воздух будет истекать со скоростью
звука, если на входе в трубу безразмерная скорость  1 = 0 ,6 ;  = 0,015 .
95. Найти максимальную дозвуковую безразмерную скорость, которая
−
может быть реализована на входе в трубу длиной x = 91 , если  = 0,015 .
−
96. Поток воздуха входит в трубу x = 50 калибров. Найти минимальную
сверхзвуковую скорость на входе, при которой в трубе появится скачок
уплотнения. Считать  = 0,015 .
−
97. Поток воздуха на входе в цилиндрическую трубу длиной x = 45 калибров имеет безразмерную скорость  1 = 1,9 . Предположив, что в трубе
−
имеется один прямой скачок уплотнения, найти его координату x ск . Считать
 = 0,015 .
98. В начальном сечении цилиндрической трубы манометр, присоединенный к трубке полного напора, показывает избыточное давление
h01 = −5 мм рт . ст . Показание манометра, присоединенного к отверстию
стенки h1 = −189 мм рт . ст . . Барометрическое давление 760 мм рт . ст .
Найти безразмерную скорость потока воздуха в том сечении, где благодаря
потерям на трение избыточное давление упало до h2 = −284 мм рт . ст .
99. В какую сторону от минимального сдвигается критическое сечение
сопла, если процесс истечения считать адиабатическим, но учитывать влияние трения?
100. На входе в диффузор статическое давление p1 = 1,82ата , давление
торможения p01 = 2ата . Найти безразмерную скорость воздуха в выходном
F
сечении диффузора, если отношение площади входа 2 = 1,5 и потери энерF1
гии на трение и расширение характеризуются падением давления торможения
p
 = 02 = 0 ,96 .
p01
30
101. Воздух течет через сопло Лаваля с дозвуковой скоростью. Площадь
выходного сечения сопла F2 в 1,7 раза больше площади минимального сечения F1 . Трубкой полного напора в выходном сечении определено давление
p02 = 1,085ата . В минимальном сечении через отверстие в стенке измерено
давление p1 = 0 ,978ата .
Определить коэффициент восстановления давления торможения между
минимальным и выходным сечениями.
102. Определить потери давления торможения в потоке воздуха при
внезапном расширении трубы от сечения с площадью F1 = 0 ,1 м 2 до сечения
F2 = 0 ,16 м 2 , если в узкой части трубы  1 = 0 ,7 . Найти скорость потока в широкой части трубы. Трение не учитывать.
103. Конический переходник 1-2 (рис. 1) соединяет трубы диаметром
D1 = 357 мм и D2 = 564 мм . В сечении 1 давление торможения p01 = 3ата , а
безразмерная скорость  1 = 0 ,8 . Найти R – силу воздействия на фундамент в
сечении 1, возникающую за счет течения воздуха по переходнику. Потери
p
давления торможения отразить, положив  = 02 = 0.95 .
p01
104. Определить результирующую силу давления, действующую на выхлопной патрубок (рис.2), по которому
воздух из емкости выводится в атмосферу с поворотом на
90 . В начальном сечении патрубка скорость воздуха
м
V1 = 222
, температура торможения Т 0 = 289 K , коэфсек
фициент восстановления давления торможения  = 0.94 .
Рис.1
Площадь поперечного сечения патрубка F постоянна и
равна 0 ,1 м 2 . Внешнее давление pa = 1,03ата .
105. Определить результирующую силу, действующую на внутренние
стенки дозвукового диффузора ВРД в полете на высоте 8000 м со скоростью
км
650
. Диаметр входа D1 = 0 ,76 м ; диаметр выхода D = 1,705 м (рис.3). Кочас
эффициент восстановления давления торможения  = 0,97 .
106. Найти реакцию потока газа на стенки канала ПВРД при скорости
км
полёта V = 2000
на высоте H = 11км . Площадь потока, захватываемого
час
31
двигателем, F = 0,7 м 2 , температура торможения газов на выходе из двигателя 2000 К ; k = 1,3 . Принять  вых = 0 ,98вх .
Рис. 2
Рис. 3
107. Найти перепад давлений pтр = p2 − p1 , при котором в трубе длиной
l = 500 м и диаметром D = 0.2 м течёт воздух с постоянной температурой
T = 300 K и массовым расходом mt = 5 кг / c . Давление на выходе p2 = 105 Па .
Коэффициент трения  считать постоянным и равным 0.02. Найти скорости
воздуха на входе и на выходе из трубы.
108. При движении газа по соплу ЖРД происходит догорание топлива.
Как влияет выделяющееся при этом тепло на положение критического сечения по отношению к минимальному сечению сопла?
109. Природный газ перекачивается по горизонтальной трубе диаметром
D = 0.5 м на расстояние l = 100 км . Давление на входе в трубу p1 = 3 * 106 Па ,
на выходе - p2 = 3 * 105 Па . Считая течение изотермическим при температуре
T = 300 K и автомодельным с коэффициентом трения  = 0.015 , найти массовый секундный расход. R = 520 Дж кг * К .
110. Температура газа, текущего по цилиндрической трубе с малой дозвуковой скоростью ( M <<1), возрастает в 10 раз за счет подогрева. Найти соотношение между числами Маха и скоростями в начале и в конце участка подогрева.
Указание: воспользоваться асимптотической оценкой M ( T ) при
M → 0.
111. Показать, что при подогреве газа, текущего по цилиндрической
трубе с большой сверхзвуковой скоростью ( M >>1), скорость газа изменяется
весьма слабо.
32
112. Выяснить характер зависимости давления в газе от температуры
при подогреве газа, движущегося по цилиндрической трубе, для двух случаев:
1) M <<1 и 2) M >>1.
113. На входе в цилиндрическую подогревательную трубу поток воздуха имеет температуру торможения T01 = 300 K и безразмерную скорость
 1 = 0 ,5 . Найти температуру торможения T02 после подогрева, обеспечивающую на выходе из трубы скорость  2 = 0 ,9 .
114. Определить максимальное повышение температуры торможения
воздуха подогревом в трубе, возможное без изменения параметров потока в
начальном сечении, если начальная температура торможения T0 = 400 К , а
начальная безразмерная скорость воздуха  1 = 0 ,3 .
115. Поток воздуха подогревается в цилиндрической трубе сжиганием в
ней горючего, расход которого составляет 5 % от расхода воздуха. До подом
грева скорость воздуха V1 = 50
, давление p1 = 9 ,89ата , температура торсек
можения T0 = 400 К . Найти скорость и давление газа в сечении трубы, где темдж
пература торможения T02 = 1500 К . Принять k = 1,33 , R = 291
. Трекг  град
нием пренебречь.
116. Сделать одномерный расчет степени подогрева, скорости воздуха и
поперечных размеров для полутеплового сопла (тепловое воздействие на дозвуковую часть потока в цилиндрической трубе, геометрическое– на сверхзвуковую) по следующим данным: до подогрева в камере температура торможения T01 = 289 К , давление торможения p01 = 20ата , скорость потока
м
кг
,секундный весовой расход воздуха через сопло G t = 9
, исV1 = 62,2
сек
сек
течение расчетное в атмосферу при давлении pa = 1,03ата . Определить тягу
сопла R .
117. В результате отвода тепла от воздуха, движущегося по цилиндрической трубе, давление, измеряемое на стенки трубы, уменьшилось на участке охлаждения в 1,8 раза. Найти число Маха потока в конце участка охлаждения, если в начале участка М = 2,16 .
118. На входе в цилиндрическую трубу скорость потока воздуха
м
V1 = 400
при М 1 = 1 . Поток в трубе ускоряется компрессором без теплосек
33
обмена с внешней средой (рис. 4). С какой скоростью воздух истекает из трубы, если на выходе из трубы М 2 = 3 ?
Рис. 4
Рис. 5
119. Эжектор с цилиндрической камерой смешения (рис. 5) должен поддерживать в котле А давление p02 = 0 ,35ата . Коэффициент эжекции
G
n = t 2 = 0 ,1 . Температуры торможения эжектируемого и эжектирующего
Gt 1
воздуха одинаковы. Во внешней среде давление pa = 1ата .
Приняв
коэффициент
восстановления
давления
торможения
p
 Д = 04 = 0 ,96 и безразмерную скорость эжектируемого воздуха в сечении
p03

равных давлений 2 = 1 , определить геометрические параметры эжектора
F
F
 = 1 и f = 4 , где F1 и F2 - площади выходных сечений сопел эжектируеF2
F3
мого воздуха; F3 и F4 - площади входного и выходного сечений диффузора.
Примеры решения
Задача 1. Сухой воздух, движущийся при температуре 15 C и давлении
кг
в двухдюймовой трубе, имеет в первом сечении число M = 1.8 . Засм 2
тем его скорость уменьшается до M = 1 за счет теплообмена со стенками.
1.033
Найти изменение температуры воздуха и количество тепла, сообщенное единице его массы.
Решение. Если знаем числа М 1 и М 2 , то по формуле (8) (из §3)
Т 2  М 2 1 + kM 12 
=


Т1  М 1 1 + kM 22 
2
можно найти
 1 1 + 1.4  3.24 
T2 = 288  

 = 473 K .
1 + 1.4 
 1.8
2
Т2 :
Изменение температуры воздуха
T2 − T1 = 473 − 288 = 185 K .
34
Количество тепла, сообщенное единице массы, определяется как
q ( e ) = c p (T20 − T10 ) .
Температуры торможения
T10
и
найдем, используя газодинамическую
T20
функцию  ( M ) : T10 = T1 = 288 = 476.3 K , T20 = T2 = 473 = 567.6 K .
 ( M 1 ) 0.6047
 ( M 2 ) 0.8333
Теплоемкость c p = 1003.2 Дж . Подставляя значения, получим количекг  К
ство тепла, сообщенное единице массы
q ( e ) = 1003.2
Дж
Дж
.
 (567.6 − 476.3) K = 0.9 105
кг  К
кг
Задача 2. Воздух поступает в трубу постоянного диаметра при температуре T1 = 15 C , давлении p1 = 2 атм со скоростью V1 = 86
м
. Трением пренебрес
гаем. Потоку сообщается максимально возможное количество тепла. Найти
давление и температуру на выходе, а также количество подведенного тепла.
Решение. Получив максимально возможное количество тепла, поток
разгоняется до скорости звука, т. е. M 2 = 1 . Зная температуру T1 , можем найти
a1 .
a1 = 20.1 T
м
с
при k = 1.4 : a1 = 20.1 288 = 341 .
Следовательно:
Зная
М1
и
М2 ,
М1 =
V1 86
=
= 0.252 .
a1 341
можем найти
T2
по формуле (8):
2
 1 1 + 1.4  0.2522 
T2 = 288  

 = 933.6 K .
0.252
1
+
1.4


p2
находим из формулы (7)
p2 1 + kM12 1 + 1.4  0.2522
=
=
= 0.39 , p2 = 0.8 105 Па . 1атм = 1.0325 105 Па  .
2
p1 1 + kM 2
1 + 1.4
Как и в предыдущей задаче
T10 =
T1
288
T2
933.6
=
= 291 K , T20 =
=
= 1120 K .
 ( M1 ) 0.989
 ( M 2 ) 0.8333
q ( e ) = c p (T20 − T10 ) = 10003.2  829 = 0.8 106
Дж
.
кг
35
Задача 3. В цилиндрическую камеру сгорания поступает воздух с темм
. Определить темперас
в конце камеры сгорания ( k = 1.4 ).
пературой торможения T0 = 370 K и скоростью V1 = 88
туру критического нагрева потока T2кр
Решение. Из условия задачи, в конце камеры сгорания скорость становится критической V2 = aкр . Следовательно, M 2 = 1 , 2 = 1 . Зная Т10 , можем найти
а1кр .
а1кр  18,3 370 = 352 .
1 =
V1
88
=
= 0.25 .
a1кр 352
находим из таблицы 4
М1 ( 0, 25) = 0.23 .
М1
Т 2кр
определяется по формуле (8)
Т 2 кр
 М 1 + kM 12 
 1 1 + 1.4  0.232 
= Т1  2 
=
366


 = 1385.7 K ,
2 
1 + 1.4 
 0.23
 М1 1 + kM 2 
где
T1
2
определяется как
2
T1 = T01 (1 ) = 370  0.99 = 366 .
36
Часть 2. Двумерные течения
1. Изэнтропические стационарные сверхзвуковые
течения газа
Общим методом численного решения задач газовой динамики, в тех
случаях, когда в рассматриваемой области поток газа сверхзвуковой, является
метод характеристик.
Характеристиками в плоскости течения, называются линии, на которых терпят разрыв производные от параметров газа по координатам. Через
каждую точку плоскости течения проходят две характеристики, принадлежащие к разным семействам (рис.4). Назовем их характеристиками ( x, y ) . Они
расположены симметрично по отношению к вектору скорости образуя с ним
угол Маха. В общем случае форма характеристик ( x, y ) определяется видом
течения.
В плоскости (v x , v y ) им соответствуют соотношения, отражающие изменение скорости при перемещении вдоль характеристик ( x, y ) . Назовём их характеристиками в плоскости годографа (v x , v y ). Форма характеристик в
плоскости годографа одна и та же для всех плоских безвихревых течений:
2
2


−1

−1 
 + C1 , 2 ,
 =  m arctg
−
arctg

(1)
2
2
m
2
2 

−


−

m
m



где  - угол наклона вектора скорости v к направлению оси x , значение
постоянной C1 , 2 выделяет определённую характеристику (v x , v y ) из двух се-
мейств, различаемых по знаку перед скобкой. Геометрически это два семейства эпициклоид, заключённых в кольце 1    m .
Сетки характеристик ( x , y) и (v x , v y ) взаимны в том смысле, что в любых соответственных точках обеих плоскостей касательная  1c к характеристике ( x , y) первого семейства перпендикулярна касательной  2l к характеристике (v x , v y ) второго семейства и наоборот (рис.1).
37
Рис.1
Для практического использования уравнения эпициклоид (1) приводят к
виду:
(2)
S +  = 2(n1 + 100) ; S −  = 2(n2 − 100) ,
180
 (  ) - характеристичегде  берётся в градусах, S = S (  ) = 1000 −

ский индекс (см. табл. 6), n1 и n2 - новые обозначения произвольных постоянных.
Отсюда в частности следует, что
 = n1 − n2 + 200 ; S = n1 + n2 .
(3)
Таким образом, если значения постоянных n1 и n2 принять за номера
эпициклоид, то на радиусах  = const пересекаются пары эпициклоид, разность номеров которых постоянна, а на окружностях  = const (  (  ) = const )
– эпициклоиды, сумма номеров которых постоянна.
Принцип применения метода характеристик к определению поля скоростей двумерного сверхзвукового течения газа иллюстрируется далее на одной
из «типовых» задач теории характеристик. Пусть в близких точках А и В
(рис.2), не лежащих на одной характеристике, заданы безразмерные скорости
по величине и по направлению: A , A ; B , B . Из табл.6 найдём числа Маха в
точках А и В, а по ним - углы Маха  A и  B . Пользуясь близостью точек А и
В, заменим выходящие из них характеристики ( x , y) касательными и найдём
точку С пересечения касательной к характеристике первого семейства, выхо38
дящей из точки В, с касательной к характеристике второго семейства, выходящей из точки А.
Рис.2
Перемещениям в плоскости ( x , y) вдоль характеристик ВС и АС соответствуют перемещения в плоскости годографа вдоль эпициклоид с номерами
n1 и n2 . Значения индексов S A = S (  A ) и SB = S ( B ) определяются из табл. 6.
Применяя равенства (9) к точкам B и А, получим:
S +  = SB +  B ; S −  = S A −  A ,
(4)
но в точке С пересечения характеристик должны выполняться оба эти
равенства и, следовательно, из них можно найти SC и  C .Давление в точке C
можно определить, пользуясь изэнтропическими формулами параграфа 1, в
частности, используя таблицу 4 для газодинамической функции  ( ).
Ошибка, возникающая в вычислении за счет замены характеристик линиями Маха тем меньше, чем ближе точки А и В.
Особенности применения метода характеристик вблизи контуров обтекаемых тел и вблизи свободных поверхностей струй выясняются в задачах
этого параграфа.
Очень важным случаем плоского стационарного течения является обтекание равномерным сверхзвуковым потоком газа тупого внешнего угла
39
(рис.3). При этом, как легко показать методом характеристик, происходит
увеличение скорости газа, а, следовательно, расширение, понижение в нем
давления, температуры и плотности. Область, в которой газ расширяется, заключенная между прямолинейными характеристиками первого семейства ОА
(соответствующей числу Маха M 1 до поворота) и ОВ (соответствующей числу Маха M 2 после разворота), называется простой центрированной волной
расширения.
рис.3
рис.4
В отличие от волн сжатия конечной интенсивности – скачков уплотнения, волны расширения являются областями непрерывного изэнтропического
изменения параметров газа.
Расчет простых волн расширения входит как элемент в решение многих
более сложных задач.
Параметры газа в волне расширения постоянны вдоль каждой характеристики первого семейства. Вследствие этого всем характеристикам второго
семейства соответствует одна и та же эпициклоида второго семейства и, если
поток газа до расширения имеет звуковую скорость v = a , то она имеет вид:
 = m arctg

M 2 −1
m
где m =
− arctg M 2 − 1 ,
Vm
k +1
.,
=
akp
k −1
(5)
и даёт однозначную связь угла поворота потока в волне   (см. рис.4) с
числом Маха потока после поворота. Угол   , определяющий область занятую волной расширения, можно найти из формулы:
 = m arctg

M 2 −1
m
.
(6)
Если поток газа до расширения имеет скорость сверхзвуковую ( M1 >1 ),
то при решении задач удобно считать, что эта скорость приобретена газом в
40

процессе некоторого фиктивного поворота на угол  1 , до которого скорость

газа была звуковой. Угол 1 вычисляется по формуле (1) при M = M1 .
Угол  , на который повернется поток с увеличением числа Маха от
M = M1 до M = M 2 может быть найден как разность фиктивных углов поворота, соответствующих числам M1 и M 2 :  =   ( M 2 ) −   ( M 1 ) .
Таким образом, каждому числу M соответствует угол   , характеризующий
«израсходованную часть способности газа к расширению».
Аналогично, угол  , занятый волной расширения, можно найти как




разность  =  2 −  1 , где  1 и  2 вычисляются по формуле (6) при M = M1 и
M 2 - соответственно. Значения   ( M ) и   ( M ) для воздуха при k = 1,4 даны
в табл. 6.
Между углами   ,   и  имеется соотношение:   =   +  − 90 .
Полагая в формуле (5) М =  , получим угол ( max )M =1 , на который споH
собен повернуться в волне расширения поток газа, имеющий до поворота
начальное число Маха М Н = 1 :
(  max )M
Для воздуха: (  max )M
Н
=1

= ( m − 1 ) ,
(7)
2
= 130,4  . Максимальный угол поворота в волне
Н
=1
расширения потока с начальным числом М П = М1  1 получим как
(  max )M
Н
= М1
= (  max )M
Н
=1
−   ( М1 ).
Рис.5
Для отыскания линии тока в области волны расширения можно использовать формулу (см. табл. 6):
r 
k −1 
= cos

rкр 
k + 1 
где rкр =АО, r =ВО (см. рис. 5).
−
k +1
k −1
41
,
(8)
Соотношение между давлениями на двух каких-либо лучах в волне
расширения получим, зная числа M на этих лучах:
k
k − 1 2  k −1

1+
M1 
p2  ( M 2 ) 
2
 .
(9)
=
=
p1  ( M 1 )  1 + k − 1 M 2 

2 


2
Заменяя криволинейную стенку многоугольником, можно приближенно
рассчитать ее обтекание по приведенным выше формулам. Если же известно
уравнение кривой, образующей стенку, то задача может быть решена точно,
так как скорость и давление в любой точке поверхности будет определяться
углом касательной к поверхности в данной точке по отношению к направлению скорости потока в начале волны расширения.
В задачах, где происходит расширение потока в пучке бесконечно слабых волн, удобно приближенно заменять непрерывное расширение расширением в дискретных «линейных» волнах конечной интенсивности. Интенсивность каждой такой «линейной» волны определяется углом поворота на ней
потока.
Чтобы замена непрерывной волны «линейной» волной давала меньшую
ошибку, угол Маха «линейной» волны следует определять по числу Маха,
среднему для областей, разделенных волной, и откладывать осредненный таким образом угол Маха от среднего для этих областей направления течения.
Для волны сжатия, в которой отклонение потока невелико, годограф
скорости отличается от эпициклоиды лишь малыми третьего порядка. Поэтому слабые волны сжатия можно считать «почти изэнтропическими» и употреблять метод характеристик не только к расчету течений расширения, но и
течений, содержащих как волны расширения, так и слабые ударные волны
одновременно.
Для решения задач на взаимодействие волн с поверхностями необходимо учитывать, что: а) если давление вдоль свободной поверхности постоянно,
волна сжатия отражается от нее волной расширения, а волна расширения–
волной сжатия;
б) отражаясь от плоской стенки, волны сжатия и волны расширения, не
взаимодействующие с другими волнами, не меняют своего типа;
в) при наличии оси симметрии в течении, она может быть принята в
расчете за твердую стенку.
42
Задачи 121 – 144
121. На какой угол должен повернуться поток воздуха, обтекая тупой
внешний угол, для того, чтобы скорость течения возросла от V1 = akp до
V2 = 1,5akp ?
122. Найти угол   , который займет волна расширения, если при обтекании внешнего тупого угла движение воздуха ускоряется от М1 = 1 до
М 2 = 2,24 . Найти угол отклонения потока в волне.
123. Найти угол поворота воздуха и угол, занятый волной расширения,
если при повороте в волне число Маха возрастает от М1 = 2 до М 2 = 2,5 .
Найти положение линии начала отсчетов углов.
Указание: воспользоваться таблицами газодинамических функций.
124. По условию задачи 123 найти соотношение между радиусамивекторами точек одной линии тока в начале и в конце волны расширения.
125. Найти максимальный угол  max поворота сверхзвукового потока
воздуха в волне расширения, если до расширения число Маха М1 = 5 .
126. При истечении в пустоту поток воздуха повернулся в волне расширения на угол 90,5  . Найти число Маха потока до поворота.
127. Вдоль АВ (рис.6) течет поток воздуха со скоростью V1 = 500
м
сек
при
температуре T1 = 300 K и давление p1 = 1ата . Найти область, занятую
волной расширения, скорость, давление и температуру в потоке после поворота его на внешний угол  = 15  .
Рис.6
Рис.7
43
128. Воздух течет вдоль плоской стенки при числе Маха М1 = 1,2 . На
какой угол необходимо отклонить поток в волне расширения, чтобы понизить
давление в нем в два раза.
129. Поток воздуха течет вдоль АО (рис. 7) с критической скоростью
Vкр = 310
м
.
сек
В точке О течение отклоняется на угол  = 30 . Найти время
прохождения частицей воздуха волны расширения, если расстояние ОС 1 частицы от угловой точки ОС 2 =1,5 ОС 1 .
130. Воздух истекает из плоского сопла между плоскими стенками, имея
на срезе число Маха М1 = 2 и давление р1 = ата . Во внешней среде давление
рa = 1ата . Найти угол отклонения внешней границы струи от оси сопла за
срезом, область волны расширения и число Маха за волной расширения.
131. Спроектировать плоское сверхзвуковое сопло на число Маха
М = 1,51 с центральным телом и чисто внешним расширением в центрированной волне.
132. Поршень приведен внезапно в движение по трубе справа налево со
скоростью uП = −100
м
.
сек
В невозмущенном воздухе, заполняющем трубу,
давление р1 = 1ата =1, температура Т1 = 289 К . Рассмотреть состояние воздуха (скорость, давление) справа от поршня, через 0 ,02сек после начала движения.
133. При какой скорости движения поршня в трубе позади него образуется вакуум, если температура невозмущенного воздуха Т1 = 400 К ?
134. Разрушение мембраны, перегораживающей трубу в сечении x = 0 ,
создает слабый разрыв давления в воздухе. В левом отсеке трубы давление
p1 = 1,00ата ; в правом отсеке р2 = 1,02ата Температура воздуха в обоих отсеках одинакова: 289 К . В линейной постановке рассмотреть распад разрыва,
движение волны, скорость воздуха.
135. В характеристическом треугольнике АВС, образованном отрезком
АВ и характеристиками АС и ВС (рис.8) указать область определения и область влияния для начальных данных, заданных на отрезке А 1 В 1 , считая характеристики прямолинейными.
44
Рис.8
Рис.9
136. На рис. 9 изображены схемы трех элементарных типовых задач
теории характеристик:
а) в близких точках А и В заданы скорости потока воздуха:  A = 1,7 ;
 A = 5  ; B = 1,66 ;  B = 0 . Найти скорость в точке С, где пересекаются характеристики, проходящие через точки А и В.
б) скорость потока воздуха задана в точке А вблизи стенки:  A = 1,6 ;
 A = 10  . Найти скорость потока в точке В пересечения стенки с характеристикой, проходящей через точку А.
в) скорость потока воздуха задана в точке А вблизи свободной границы
струи:  A = 1,8 ;  A = 0. На свободной границе струи скорость задана по
модулю B = 1,9 . Определить направление свободной поверхности струи в
точке пересечения ее с характеристикой, проходящей через точку А.
137. Воздух течет по плоскому каналу, изображенному на рис.10. В сечении ВС давление р1 = 1,28ата , безразмерная скорость  1 = 1,3 . Во внешней среде (вдоль АВ) давление pa = 1,0ата . Верхняя стенка расширяет течение в точке С на угол C = 2  . С помощью характеристических чисел рассмотреть поля скоростей и давлений за отрезком ВС. Определить характер
отражения волн ВД и СF.
45
Рис.10
Рис.11
138. Рассчитать линию тока течения воздуха, обтекающего стенку
(рис.11) составленную из прямолинейных отрезков АВ и СД и дуги окружности ВС. Вдоль АВ число Маха потока M1 = 1,5 . Расстояние h1 считать заданным;  = 15 .
Указание: воспользоваться характеристическими числами (табл.6). Дугу
окружности заменить ломаной из трех прямолинейных отрезков. Решение
провести построением в угловых точках как точных волн расширения, так и
линейных волн.
139. Проанализировать с помощью характеристических чисел (табл.6)
или с помощью диаграммы эпициклоид течение воздуха в плоском канале,
форма которого указана на рис. 12 (отражение волны расширения от стенки).
Считать волны расширения линейными. Ширина канала в сечении АВ равна
единице. Продолжить нижнюю стенку так, чтобы погасить волну расширения. Число Маха на входе в канал M1 = 1,77 .
140. Проанализировать с помощью
характеристик нерасчетное истечение воздуха из плоского сопла при пониженном
противодавлении, линеаризуя волны сжатия
и расширения в пределах одного цикла
струи l . Число Маха на выходе M1 = 1,7 .
Перепад давлений
p1
= 1,31 (отражение волны расширения от свободной поpa
верхности).
Примечание. Изменением энтропии в скачках пренебречь и расчет течения вести по характеристической диаграмме.
46
141. Проанализировать с помощью характеристик нерасчетное истечение воздуха из плоского сопла при повышенном противодавлении, линеаризуя волны сжатия и расширения в пределах одного цикла струи l (отражение
волны сжатия от свободной поверхности). Число Маха на выходе M1 = 1,77 .
p
Перепад давлений 1 = 0 ,77 .
pa
142. Определить с помощью характеристик границы волны расширения
и ее отражение от стенки, поле чисел Маха и форму линий тока при течении
воздуха по каналу, форма которого показана на рис. 13. Число Маха на входе
в канал M1 = 1,5 .
Указание: представить волну расширения в виде трех дискретных волн
равной интенсивности.
Рис.13
Рис.14
143. Проанализировать с помощью характеристик отражение от свободной поверхности струи волны расширения, вызванной отклонением стенки
АВ на угол  = 10  (рис.14). Число Маха струи до расширения M1 = 1,5 . Давление в струе на срезе сопла – атмосферное.
Указание: представить волну расширения в виде двух дискретных волн
равной интенсивности.
144. Провести методом характеристик расчет сверхзвуковой части плоского сопла на M = 1,5 , заменяя стенку после критического сечения ломаной
из трех отрезков. Каждый отрезок осуществляет поворот потока на 2  .
Указание: 1. Длину первых двух отрезков взять 0,4а (а –половина ширины критического сечения). 2. Длина третьего отрезка определяется точкой падения на него первой волны от противоположной стенки. 3. Звуковая линия –
прямая.
47
2. Течения газа с ударными волнами.
Плоская поверхность разрыва параметров в газовом потоке, нормаль которой не совпадает по направлению со скоростью невозмущенного потока,
называется косым скачком уплотнения. Косые скачки уплотнения возникают,
на пример, при обтекании клиньев, при
нерасчетном истечении плоских сопел.
Скорость потока при переходе через косой
скачок меняется по величине и по направлению.
В дальнейшем обозначаются:  угол наклона фронта скачка к скорости
невозмущенного потока,  - угол отклонения потока на скачке (рис.1).
Разрывы параметров на косом скачке
являются функциями не только числа Маха М1 до скачка, но и одного из углов  или  .
Основные законы сохранения для элемента газа при его переходе через
косой скачок можно представить в виде следующих уравнений ( vn - нормальная, vt касательная к направлению скачка – составляющие скорости):
уравнение сохранения массы:
1vn1 =  2vn 2 ,
(1)
уравнение изменения количества движения в проекции на направление
скачка:
(2)
 1 vn 1 ( vt 1 − vt 2 ) = 0 ,
откуда следует неизменность проекции скорости до и после скачка на
направление скачка;
уравнение изменения количества движения в проекции на нормаль к
скачку:
 1vn21 −  2 vn22 = p2 − p1 ;
(3)
уравнение энергии:
vn21
vn22
vt2
+ i1 =
+ i2 = i0 − .
2
2
2
Из (10) - (13) следует основное соотношение косого скачка:
48
(4)
k −1 2
(5)
vt .
k +1
В ряде соотношений на косом скачке основным параметром служит величина М1 sin  :
vn1 vn 2 = akp2 −
 1 vn 2
2 
1
k − 1  tg(  −  )
,
=
=
+
 2
=
 2 vn1 k + 1  M1 sin2 
2 
tg
(6)
p2
2k
k −1
, (7)
=
M 12 sin2  −
p1 k + 1
k +1
T2
2 
1
k − 1  2 k
k −1
=
+
M12 sin2  −
 2

,
2
T1 k + 1  M1 sin 
2  k + 1
k +1
(8)
−1
k
1

k −1 
k −1 
k −1
2 
1
k − 1  
 2k
(9)
 = 
M 12 sin2  −
+
 2
  .
 
2
k
+
1
k
+
1
k
+
1
M
sin

2
 
 1
 


1
Из (6) - (9) следует, что при sin  →
косой скачок исчезает, выM1
рождаясь в линию Маха.
При sin  → 1 (6) - (9) переходят в соотношения для прямого скачка.
Связь угла наклона скачка с углом отклонения потока имеет вид:
 k +1

1 + M 12 
− sin2  
 2
  tg .
ctg =
2
2
M 1 sin  − 1
(10)
Зависимость между параметрами потока воздуха на косом скачке для
ряда значений числа M 1 дана в табл. 7.
Для каждого числа Маха M1 существует предельный угол поворота потока в косом скачке, присоединенном к носику клина. Если угол раствора
клина, обтекаемого потоком газа, превышает предельный угол  max ( M1 ) , то
скачок становится отсоединенным и криволинейным.
Задачи 145 - 164
м
, истекающей из баллона,
сек
где температура T0 = 288 K , возник плоский скачок уплотнения, фронт которого наклонен под углом  = 50  к направлению скорости воздуха до скачка.
145. В струе воздуха со скоростью V1 = 700
49
Найти V2 - величину скорости потока после скачка и  - угол отклонения потока в скачке.
м
146. Поток воздуха, имеющий скорость V1 = 530
и M1 = 2 , обтекает
сек
внутренний тупой угол, поворачиваясь при этом на 20 . Определить V2 - скорость потока после скачка.
147. Скорость невозмущенного потока воздуха, обтекающего клин с пом
лууглом раствора 20 , равна V1 = 800
. Угол наклона косого скачка  = 53
сек
измерен по фотографии. Геометрическим построением найти V2 - скорость
потока за скачком.
148. Клин с углом полураствора  = 10,5 летит на уровне земли со ском
ростью 680
. Определить направление и величину абсолютной скорости
сек
спутного движения воздуха за головной ударной волной.
Указание: задачу решить, используя таблицы газодинамических функций и графическое построение.
149. Полуугол раствора клина  = 22 . Теневой фотоснимок показывает,
что угол наклона косого скачка на носике клина к скорости невозмущенного
потока  = 64 . Найти соотношение плотностей воздуха
1
до и после скач2
ка.
150. Воздух течет по плоскому каналу, форма и размеры которого указаны на рис.2. До поворота потока около точки А, коэффициент скорости потока 1 = 1,75 , давление p1 = 1ата , критическая скорость звука aкp = 400
м
.
сек
Найти поля скоростей, давлений и температур. Начертить расположение
скачков уплотнения, построить линий тока.
Рис.2
Рис.3
50
151. Для течения воздуха с числом М1 = 2,30 в плоском канале, форма
которого дана на рис.3, определить максимальный угол  поворота нижней
стенки, при котором еще возможно правильное отражение косого скачка от
верхней стенки.
152. Проанализировать с помощью ударной поляры взаимодействие
двух симметричных косых скачков уплотнения, показанных на рис. 4, если
коэффициент скорости в области   1 = 1,85 и скачки возникают под действием перепада давлений
p2
= 1,9 . (Задача об истечении из сопла с перерасp1
ширением).
Указание: плоскость симметрии течения при расчете можно считать
твердой стенкой.
153. Воздух течет по каналу, форма которого показана на рис. 5. В сечении АВ число Маха М1 = 2,3 ; давление p1 = pa равно атмосферному. За точкой А стенка отклоняется на угол 1 = 20  . Рассчитать течение. Продолжить
стенку АС таким образом, чтобы после волны расширения получить параллельный поток.
154. Дать качественную картину истечения воздуха из плоского сопла,
при числе Маха М1 = 2,5 и давлении р1 = 0 ,3ата , в среду, где давление
рa = 1 ата . Течение безотрывно.
Рис.4
Рис.5
155. Сравнить расчет обтекания контура ABCD (рис. 6) воздухом: а) с
учетом неизэнтропичности процесса в скачках уплотнения; б) по характеристическим числам.
Вдоль АВ число Маха М1 = 2,25 ; 1 = 6 ,8  ; 2 = 4 ,7  .
51
Рис.6
Рис.7
156. Воздух истекает из сопла с косым срезом (  = 45  ) при числе Маха
M1 = 2 . Рассчитать струю в областях 1, 2, 3, 4 (см. рис.7), если давление на
срезе сопла p1 = 0 ,775 pa . Течение плоское.
157. Определить коэффициент восстановления давления торможения в
потоке воздуха на косом скачке при M1 = 3 и  = 14,7  .
158. 1. Изучить поведение коэффициента восстановления давления торможения в зависимости от угла наклона скачка (  = 30  , 50  , 70  , 90  ) при
числах M1 = 2 и M 2 = 4 .
2. Какой выигрыш в восстановлении давления торможения дает замена
прямого скачка косым, за которым будет звуковая скорость при указанных
числах M до скачка?
159. Найти полуугол раствора клина, обеспечивающий при  1 = 2
наилучший коэффициент восстановления давления торможения на входе в
двухскачковый плоский диффузор (рис. 8) (косой скачок и прямой). Сравнить
с коэффициентом восстановления давления торможения диффузора, имеющего простой вход (прямой скачок уплотнения при входе).
52
Рис.8
Рис.9
Указание: решить задачу с помощью ударной поляры, составляя таблицу:
160. Рассчитать течение в трехскачковом плоском диффузоре (рис 9)
при условиях:  1 = 2 ,0 ; 1 = 10  ; а)  2 = 10  , б)  2 = 20  . В случаях а) и б)
найти  2 ,  3 ,  4 и  . Сравнить с простым входом.
161. Рассчитать оптимальный трехскачковый диффузор (два косых
скачка и один прямой) (см. рис. 9); считать M1 = 3,2 .
162. Проанализировать с помощью ударных поляр взаимодействие двух
несимметричных косых скачков уплотнения, показанных на рис. 10, если
 1 = 1,75 ;  a = 36,5  ;  b = 41  .
Рис.10
53
Указание: при решении воспользоваться тем, что 1) a + b = c + d .
2) p4 = p5 .
163. Воздух обтекает ломаную стенку АОВС (рис. 11). Угол 1 = 33  ,
угол  2 = 23,5  . Вдоль отрезка АО поток имеет число Маха M1 = 3 . Найти
форму скачка уплотнения ОО 1 в результате интерференции его с волной расширения в точке В. Завихренность потока за скачком и отраженную волну не
учитывать.
Рис.11
Рис.12
164. Воздух обтекает ломаную стенку АОВС (рис. 12) у которой
1 = 15  ,  2 = 35  . Вдоль АО число Маха M1 = 2,5 . Найти форму скачка
уплотнения (отходящего от точки В) в результате взаимодействия с волной
расширения, возникающей точке О.
3. Крылья в потоке идеального газа
Крыло в дозвуковом потоке
Для решения задач об обтекании тонкого профиля идеальным газом в
линейной постановке можно использовать следующее правило ПрандтляГлауэрта.
Пусть два одинаковых тонких профиля обтекаются при одном и том же
угле атаки. Первый обтекается сжимаемой жидкостью (газом) с числом Маха
в невозмущённом потоке M = M  , а второй – несжимаемой жидкостью. Тогда коэффициент давления с p и коэффициент подъёмной силы c y первого
профиля выражаются через коэффициент давления c p 1 и коэффициент подъёмной силы второго профиля c y 1 следующим образом:
54
cp =
Cy =
c p1
1 − M 2
c y1
1 − M 2
,
(1)
.
(2)
p − p
2 p − p
- коэффициент давления, p - давление
=

2
p
  V  kM 2


 2 
в данной точке профиля, p - давление в невозмущенном потоке.
Предполагается, что распределение давления по профилю и коэффициент подъемной силы в несжимаемой жидкости могут быть найдены теоретически или с помощью опыта в аэродинамической трубе малых скоростей.
Предполагается, что 1 − M 2 величина порядка единицы.
Здесь c p =
Задачи 165 – 169
165. Воздух обтекает синусоидальную стенку. Ее уравнение
x
y =  sin 2 , где  = 0 ,05 м , l = 1 м . Вдали от стенки М = 0,6 . По линейной
l
теории найти расстояния от оси x , на которых возмущения скорости не превышают а) 1%, б) 0,1% от V . Сравнить с затуханием возмущений в несжимаемой жидкости.
166. По линейной теории найти профиль y1 = y1 ( x ) и угол атаки  1 , под
которым его надо подвергнуть продувке в аэродинамической трубе малых
скоростей, чтобы узнать коэффициент подъемной силы симметричного профиля, заданного ниже таблицей, с учетом сжимаемости воздуха при М = 0,7
x
и угле атаки  = 7,1 . В верхней строке даны значения x = в процентах, в
b
−
−
y
нижней строке соответствующие значения yB = yH = , где b– длина хорды
b
профиля.
,0
,00
0
,5
0
,52
2
,0
1
,19
5
0
2
,0
1
5
3
,56
1
0
3
,92
2
0
3
,26
3
0
4
,22
4
0
4
,83
55
5
0
3
,44
6
0
3
,80
7
0
2
,03
8
0
2
,12
9
00
1
,00
1
1
167. Коэффициент давления с p без учёта сжимаемости воздуха для
верхней поверхности профиля ЦАГИ Д2-8% при угле атаки 1 = 3,5 дан в
таблице в зависимости от расстояния по хорде (в процентах):
Но
мер
точ
1
2
1
5
+
055
-
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
4
6
8
9
ки
x,
в%
сp
0,1
0
5
0
0,72
0
0,74
0
0,68
0,40
0
-
0,18
5
-
0,02
+
0,08
По линейной теории найти коэффициент давления с p с учётом сжимаемости для того же профиля, при том же угле атаки, если в набегающем потоке
M  = 0,56 . Сравнить эпюры с p 1 и с p .
168. Для профиля (рис. 1), геометрические параметры которого и распределение давления при  = 15 заданы ниже таблицей, найти коэффициент
подъемной силы C y с учетом сжимаемости по линейной теории, если
M  = 0,5 .
Т
очки
−
x ,00
−
y
сp
,06
,00
Верхняя поверхность
А
1
2
0
0
0
,07
,29
,46
0
0
0
,14
,20
,18
1
1,11
1,19
0,58
3
0
4
0
,72
,20
0
0
,16
,00
-
0,20
56
,11
Нижняя поверхность
5
6
7
0
0
0
,39
,51
,82
0
0
0
,00
,00
,00
0
0
0
,13
,18
,09
8
0
9
1
,00
0
0
,00
0
0,10
Рис.1
169. Модель прямоугольного крыла размахом l1 =1,0 м и с хордой
b1 =0,2м при продувке в аэродинамической трубе со скоростью V1 =30
м
сек
дала
подъемную силу 77,3 н. Условия в потоке были нормальные атмосферные.
Рассчитать подъемную силу крыла в натуре в полете при нормальных атмосферных условиях на уровне земли со скоростью V =239 м , если линейные
сек
размеры натуры в шесть раз больше соответствующих размеров модели. Углы атаки и углы нулевой подъемной силы равны соответственно 5  и –5,2  и
одинаковы для натуры и модели.
Крыло в сверхзвуковом потоке
В пределах линеаризованной теории, пригодной для тонких профилей
при малых углах атаки, коэффициент подъемной силы крыла
Y
,
Cy =
 V2
S
2
где Y - подъемная сила, S - площадь крыла, является функцией числа
Маха набегающего потока и угла атаки  . Он не зависит от формы профиля
4
Cy =
.
(1)
M 2 − 1
Коэффициент волнового сопротивления профиля
Х волн
C x волн =
,
 V2
S
2
57
где X волн - сопротивление, обусловленное наличием ударных волн в потоке, обтекающем профиль. В сверхзвуковом потоке C x вычисляется по формуле:
2
(2 2 + LB + LH ) .
C х волн =
(2)
2
М − 1
Здесь
−
1
−
1
LB =   d x 1 ; LH =   H2 d x 1
2
B
0
(3)
0
- интегралы формы, отражающие влияние на волновое сопротивление
−
x
геометрии профиля; x 1 = 1 ( b - хорда профиля;  B и  H см. рис. 2).
b
Рис.2
Аэродинамическое качество профиля
Cy
2
K=
=
(4)
2
C x волн 2 + LB + LH
в данном случае не зависит от числа Маха набегающего потока. Здесь
не учтено сопротивление трения.
Коэффициент момента относительно передней кромки профиля
M0
Cm =
pV2
Sb
2
( M 0 − момент аэродинамических сил) определяется соотношением:
58
Cm =
1
2
 + ( −  )x dx  .
0 H B 1 1 
M 2 − 1 
Для симметричных профилей (  H =  B ):
Cy
2
Cm =
=
M 2 − 1 2
(5)
(6).
Центр давления – точку на хорде, через которую проходит линия действия равнодействующей сил давления, можно найти из соотношения:
С
xЦ . Д = m  b .
(7)
Cy
x1 Ц . Д
= С Ц . Д называется коэффициентом центра давления.
b
По линеаризованной теории центр давления лежит на середине хорды для
всех симметричных профилей.
При определении C m линеаризованная теория дает большую ошибку,
чем при определении C y и C x волн .
Отношение
Линеаризованная теория профиля не применима при числах Маха, близких к единице (М  <1,1). Результаты более точные, чем по линейной теории
можно получить, используя теорию второго приближения. Эта теория основана на учете в выражении коэффициента давления вторых степеней малых
отклонений:
c p = C1 + C 2 2 .
(8)
Здесь
kM12 + (M 12 − 2)
2
; C2 =
.
2
M 12 − 1
2(M 12 − 1)
2
C1 =
Аэродинамические характеристики профилей во втором приближении
определяются по формулам:
коэффициент подъемной силы
C y = 2C1 ( −  0 ),
(9)
где угол нулевой подъемной силы  0 = −
коэффициент волнового сопротивления
С y2
C x волн =
− C y + C x 0 ,
2C1
59
1 C2
(LH − LB ) ;
2 C1
(10)
где C x 0 = C1 (LH + LB ) + C2 (N H + N B ) - коэффициент сопротивления при
нулевой подъемной силе;
коэффициент момента:
Cm =  C y + Cm 0 ,
где  =
(11)

1
C2
(
)
1
−
2
Q
+
Q
H
B
и
2 
C1

1
C m 0 = − C 2 ( LH − LB ) − C1 ( QH − QB ) + C2 ( PH − PB ) - коэффициент момен2
та при нулевой подъемной силе.
Величины L , N , P и Q в формулах (9), (10), (11) представляют собою
интегралы, учитывающие влияние формы профиля на его аэродинамические
характеристики:
2
3
1
1 −
1
−
 dy  − −
 dy  −
 dy  −
L =   1  d x 1 ; N =   1  d x 1 ; P =   1  x 1 d x 1 ; Q =  y1 d x 1
0  dx1 
0  dx1 
0  dx1 
0
1
−
−
здесь x1 и y1 - координаты профиля в связанных осях; x 1 и y1 - координаты, отнесенные к хорде профиля. Индексы “н” и “в” отличают интегралы,
вычисленные для нижней и верхней поверхностей профиля.
Отметим, что приведенные выше выражения для C x 0 и C m 0 - приближенные.
Для профилей простой формы аэродинамические коэффициенты могут
быть подсчитаны непосредственным интегрированием избыточного давления
с учетом потерь в скачках уплотнения.
При сходе с задней кромки течение несколько отклоняется от направления невозмущенного потока перед профилем. Угол скоса потока очень мал и
им можно, во многих случаях, пренебречь при расчете поля скоростей и давлений вокруг профиля.
Задачи 170 – 195
170. Для ромбовидного профиля с максимальной относительной толщиной 5% найти C x и C y на режиме максимального качества крыла, если
М  =2,2. Выяснить, как влияет на величину максимального качества профиля
учет сопротивления трения (считать коэффициент сопротивления трения
C f =0,005). Сравнить максимальное качество профиля с качеством плоской
пластинки при угле атаки, оптимальном для профиля.
60
Рис.3
Рис.4
171. Найти изменение коэффициента сопротивления профиля в форме
симметричного двойного клина (рис. 3) при смещении максимальной толщины с середины хорды на 0,15 длины хорды к носку. Угол атаки  =0.
172. Вычислить коэффициент волнового сопротивления профиля, изобb
c
b
раженного на рис. 4, если  =5  , =0,5, 1 =0,3, 2 =0,4. Сравнить с ромбом
b
b
b
той же относительной толщины.
173. Найти выражение коэффициента волнового сопротивления профиля в форме двойного клина, не симметричного относительно хорды (рис. 5).
Сравнить C x волн клиновидного и ромбовидного профилей одинаковой относительной толщины, если угол атаки  =0. Доказать, что ромб имеет минимальное сопротивление по сравнению с рассматриваемым классом профилей.
174. Найти выражение коэффициента волнового сопротивления несимметричного профиля (рис. 6) при нулевом угле атаки
Рис. 5
Рис. 6
175. Посчитать коэффициенты подъемной силы, сопротивления и момента 10-процентного профиля крыла, образованного снизу отрезком оси x
длиной L=1м., а сверху – параболой, в сверхзвуковом линеаризованном потоке при угле атаки пять градусов.
176. Посчитать коэффициенты подъемной силы, сопротивления и момента 5-процентного профиля крыла, образованного снизу отрезком оси x
длиной l=1м., а сверху – параболой, в сверхзвуковом линеаризованном потоке
при угле атаки пять градусов.
61
177. Посчитать коэффициенты подъемной силы, сопротивления и момента 10-процентного профиля крыла, образованного снизу отрезком оси x
длиной l=1м., а сверху – синусоидой y = h sin(x / l ) , в сверхзвуковом линеаризованном потоке при угле атаки пять градусов.
178. Найти выражение коэффициента волнового сопротивления профиля, составленного из дуг двух окружностей (рис. 7). Рассмотреть, как частный
случай, профиль, составленный из отрезка прямой и окружности. Сравнить
C x волн профилей в виде чечевицы и получечевицы с C x волн профиля в виде ромба.
Рис.7
Рис.8
179. Рассчитать коэффициенты C y , C x волн , C m для клиновидного профиля
10% толщины, обтекаемого потоком при М  =1,8;  =0, если профиль имеет
отклоненный элерон. Хорда элерона 0,15 b , угол отклонения (рис. 8),  Э =5  .
180. Плоская пластинка обтекается плоскопараллельным потоком воздуха при М  =2,02 под углом атаки  =15  . Найти поле чисел Маха. Сравнить
C y , C x волн , K , вычисленные по точной и по линеаризованной теории.
181. Найти поле чисел Маха и давлений вокруг плоской пластинки, обтекаемой плоско-параллельным потоком воздуха при М  =2,5 и  =8  . Построить по одной линии тока над пластинкой и под пластинкой. Задачу решить без линеаризации с помощью газодинамических таблиц.
182. Определить скос потока за плоской пластинкой, обтекаемый потоком при М  =2,5 под углом атаки  =26  .
62
183. Определить C y и C x волн для ромбовидного профиля 10,5% толщины,
обтекаемого воздухом при М  =1,53 и  =6  . Найти коэффициент центра давления и коэффициент момента относительно передней кромки. Задачу решить
без линеаризации.
184. Сравнить волновое сопротивление двух бипланов бесконечного
размаха, составленных из одинаковых треугольных профилей по схеме  и
схеме  - биплан Буземана (рис. 9). Профили симметричны относительно лиH
ний максимальных толщин. Углы кромок равны 4  . Отношение
=0,45. Коb
эффициент скорости набегающего потока воздуха  1 =1,45. Угол атаки обоих
бипланов равен 0  . Задачу решить в линейной постановке.
Рис.9
Рис.10
185. Рассмотреть обтекание сверхзвуковым потоком (  1 =1,52) треугольного профиля в присутствии плоской стенки (рис. 10). Углы  равны 6  .
H
Отношение
подобрать таким образом, чтобы отраженный скачок уплотb
нения попал в угловую точку верхней поверхности профиля. Волны сжатия
рассчитать без линеаризации. Волны расширения принять линейными. Объяснить результат.
186. Рассчитать биплан Буземана, состоящий из двух треугольных профилей с относительной толщиной 5%. Максимальная толщина нижнего профиля находится на расстоянии 0,4 длины хорды от передней кромки. Безразмерная скорость невозмущенного потока  1 =1,50. При нулевом угле атаки у
биплана должно полностью гаситься волновое сопротивление. Задачу решить
в линейной постановке.
187. Найти угол нулевой подъемной силы для клиновидного профиля с
−
относительной толщиной c =8%. Нижняя поверхность профиля плоская. Число Маха набегающего потока М 1 =2,5.
63
Указание: воспользоваться теорией профиля во втором приближении.
188. Воспользовавшись теорией профиля во втором приближении,
определить положение центра давления на клиновидном профиле с плоской
нижней поверхностью, если максимальная относительная толщина профиля
−
c =5% находится на расстоянии xC =0,7 b от передней кромки и в невозмущенном потоке М 1 =3,5; угол атаки профиля 6  .
189. По теории второго приближения рассчитать аэродинамические хаCy
рактеристики ( C y , C x волн ,  0 ,
, C m , х Ц . Д ) плосковыпуклого профиля,
C x волн
верхняя поверхность которого представляет собой синусоиду. Принять c =5%;
М 1 =3,5;  =5  .
190. Почему для числа Маха набегающего потока М 1 =1,33 кромку крыла со стреловидностью  =30  следует называть сверхзвуковой, а со стреловидностью  =50  - дозвуковой?
191. Определить характер кромок крыла, изображенного на рис.11 при
числах Маха набегающего потока M 1( 1 ) =1,37 и M 1( 2 ) =3,09.
Рис.11
Рис.12
192. Рассчитать подъемную силу, волновое сопротивление и положение
центра давления модели плоского прямоугольного изолированного крыла в
потоке воздуха. Размах крыла l =0,2 м; хорда b =0,04м; угол атаки
64
 =8  .Параметры потока воздуха: скорость V =458
м
; температура
сек
н
.
м2
Рассмотреть характер изменения давления в областях конического течения. Воспользоваться линейной теорией.
193. Построить изобары на плоском трапецевидном крыле при числе
Маха набегающего потока М1 = 1,22 ; l = 2b и  = 15 (рис.12).Угол атаки
Т =180  К; давление р =10 4
 < 4 .
194. Плоское треугольное крыло должно обеспечить горизонтальный
полет самолета весом G = 2  105 н на высоте H = 14000м в диапазоне скорокм
км
стей от V1 = 1850
до V2 = 2520
.Найти потребную площадь крыла и
час
час
угол атаки на скорости V2 , если угол атаки на обеих скоростях не должен
dC y
превышать 5  , а угол стреловидности передних кромок 60 . Определить
d
при скоростях V1 и V2 .
Указание: решение провести по линейной теории, считая крыло изолированным.
195. Найти эффективное удлинение, обеспечивающее минимальное
волновое сопротивление треугольного плоского крыла при заданных: нагрузке на квадратный метр крыла, скорости и высоте полета. Найти условие, при
котором волновое сопротивление крыла со сверхзуковыми передними кромками меньше сопротивления крыла с дозвуковыми кромками. Найти зависи l 
мость оптимального отношения   = f (M  ) . Здесь l - размах изолиро b0  опт
ванного  -крыла, b0 – максимальная хорда.
Большие сверхзвуковые скорости.
Течения газа с числами Маха, большими 4– 5, называются гиперзвуковыми. Критериями подобия для таких течений являются величины вида
−
M
K =
K
=
M
c
K = M ; c
 (последний - для тел вращения).
; K = M ;
−
Здесь M – число Маха;  – угол наклона элемента обтекаемой поверхности к
65
−
направлению набегающего потока; c – относительная толщина профиля;  –
угол атаки;  – удлинение тела. Между углом наклона косого скачка  и углом  при гиперзвуковом обтекании имеет место соотношение:
2
k + 1
1 
 k + 1
 =
+ 
+
.

2 
4
4
K


 


(1)
Коэффициент давления при переходе через косой скачок выражается
(для малых значений угла  ) формулой:
c p ск
2
k + 1
4  2
 k +1
=
+ 
+
 ,

2 
2
2
K


 


(2)
а в случае течения расширения:
2k

k −1 
2  k −1 
2
 1 +
(3)
cp =
K   .
2
kK 
2
 


Связь между поворотом потока в волне расширения и числами Маха,
начальным и текущим, имеет вид:
2  1
1 
(4)
=
 −
.
k − 1  M M 1 
«Ньютоновская» теория обтекания основана на предположении, что
нормальная, по отношению к обтекаемой поверхности, составляющая количества движения невозмущенного потока газа теряется полностью при неупругом ударе частиц газа о поверхность. Коэффициент давления по этой
теории определяется в виде:
c p = 2 2 ,
(5)
причем c p = 0 для части поверхности, находящейся в “аэродинамической тени”.
Разреженность газа (проскальзывание на обтекаемой поверхности) согласно классификации Тзяна необходимо учитывать, если
M
M
<0,01 ( Re >1) или
<0,01 ( Re <1).
Re
Re
Критерием степени разреженности газа является число Кнудсена
L
Kn = , где L – длина свободного пробега молекул газа, а d – характерный
d
линейный размер обтекаемого тела.
66
Задачи 196 – 207
196. Экспериментальная зависимость коэффициента подъемной силы
плоской пластинки от угла атаки при М  = 5 представлена на рис.13. Пользуясь законом подобия для гиперзвуковых скоростей, найти C y плоской пластинки при М = 10 и угле атаки  = 3 .
197. Для профиля с относительной толщи−
ной c мод =8% найдены из опыта при М  мод = 4 и
угле атаки  мод = 7 величины коэффициентов
подъемной силы и лобового сопротивления C y мод ;
С х мод . Воспользовавшись критериями гиперзвукового подобия, найти C y нат ; С х нат натуры при
−
c нат =4%; М  нат =8 и соответствующем угле атаки
 нат .
198. Пользуясь условием М >> 1 , вычислить результирующую силу,
приходящуюся на 1м 2 плоского прямоугольного крыла (вне концевых конусов Маха) в полете на высоте H = 30км , если число Маха полета М1 = 15 и
угол атаки крыла 20 .
199. Необходимо найти на опыте распределение давления по боковой
поверхности тела вращения, удлинение которого в натуре равно 8 и которое
предназначено для полета при М H = 7 и  H = 2 . Аэродинамическая труба
позволяет провести продувку модели при числе Маха М мод  4 . Каковы должны быть удлинение и угол атаки модели при продувке?
200. Найти асимптотическое соотношение между углом поворота гиперзвукового потока воздуха в косом скачке уплотнения и углом наклона косого
скачка, а также асимптотическое выражение коэффициента давления на косом скачке для больших значений параметра гиперзвукового подобия K .
201. Вывести приближенное выражение явной зависимости
p 
M1 = f  02  (обращение формулы Рэлея), пригодное для достаточно боль p1 
ших чисел Маха. Показатель изэнтропы взять равным 1,25 ; 1,33 ; 1,40 . Сравнить с точным значением при k = 1,4 для М1 = 2  4 .
67
Указание: воспользоваться тем, что коэффициент давления торможения
−
2( p02 − p1 )
за скачком p ск =
быстро стремится к пределу при возрастании М1 .
kp1 M12
202.Найти коэффициенты подъемной силы и волнового сопротивления
плоской пластинки при числе Маха набегающего потока воздуха М1 = 16 и
угле атаки 5  .
203. Найти коэффициент давления для верхней стороны плоской пластинки, движущейся при числе Маха М1 = 25 под углом атаки 12 .
Рис.14
204. По «ньютоновской» теории определить коэффициенты подъемной
силы, сопротивления давления и качество треугольного и ромбовидного профилей (рис. 14), если у обоих профилей угол атаки 4  , а относительная толщина 5%.
205. Найти коэффициент сопротивления давления тела вращения с па−
r x
раболической образующей r = ; m = 6 (рис. 15),при нулевом угле атаки.
rm 2rm
Расчет провести по «ньютоновской» теории.
Рис.15
206. Тело с характерным размером d = 3 м движется в воздухе со скокм
ростью 7 ,8
. Определить высоту Н над землей, при превышении которой
сек
необходимо применять для расчета модель обтекания со скольжением на поверхности тела. Указание: Использовать классификацию областей аэродинамики по Тзяну.
68
207. В аэродинамической трубе имитируются высотные условия полета.
Модель, размеры которой в 100 раз меньше натуры, продувается при темпен
ратуре воздуха Tмод = 160 К и давлении в рабочей части рмод = 50 2 . Осном
вываясь на подобии, по числам Кнудсена, определить, какой высоте над землей соответствуют условия продувки.
Литература:
1. Давидсон В.Е. Основы газовой динамики в задачах. «Высшая школа»,
Москва. 1965.
2. Давидсон В.Е. Основы гидрогазодинамики в примерах и задачах.
«Академия», Москва. 2008.
3. Самойлович Г.С., Нитусов В.В. Сборник задач по гидро-аэромеханике.
«Наука», Москва. 1986.
4. Черный Г.Г. Газовая динамика. «Наука», Москва. 1980.
5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. «Наука», Москва. 1970.
6. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. «Наука», Москва. 1969.
69
Таблицы
Таблица 1.
Международная система единиц (СИ)
70
Продолжение таблицы 1.
71
Таблица 2.
Стандартная атмосфера.
72
Таблица 3
73
Таблица 4
74
75
Таблица 4
76
Таблица 4 (продолжение)
77
Таблица 4 (продолжение)
78
Таблица 4 (продолжение)
79
Таблица 4 (продолжение)
80
Таблица 4 (продолжение)
81
Таблица 4 (продолжение)
82
Таблица 4 (продолжение)
83
Таблица 4 (продолжение)
84
Таблица 4 (продолжение)
Таблица 5
т
85
Таблица 5 (продолжение)
86
Таблица 5 (продолжение)
87
Таблица 6
88
Продолжение таблицы 6
89
Продолжение таблицы 6
90
Таблица 7
Соотношения между параметрами потока воздуха на косом скачке
91
Продолжение таблицы 7
92
Продолжение таблицы 7
93
Продолжение таблицы 7
94
Оглавление
Часть 1. Одномерные течения
1. Одномерные изэнтропические течения газа
Задачи 1-50
Примеры решения.
2. Течения газа с ударными волнами
Задачи 51 – 92
3 .Расчет течений газа с учетом трения и энергообмена
Задачи 93 – 119
Примеры решения
Часть 2. Двумерные течения
1. Изэнтропические стационарные сверхзвуковые
течения газа
Задачи 121 – 144
2. Течения газа с ударными волнами.
Задачи 145 - 164
3. Крылья в потоке идеального газа
Крыло в дозвуковом потоке
Задачи 165 – 169
Крыло в сверхзвуковом потоке
Задачи 170 – 195
Большие сверхзвуковые скорости.
Задачи 196 – 207
Литература:
Таблицы
Таблица 1.
Таблица 2.
Таблица 3
Таблица 4
Таблица 5
Таблица 6
Таблица 7
95
3
3
7
15
18
20
28
30
34
37
37
37
43
48
49
54
54
55
57
60
65
67
69
70
70
72
73
74
85
88
91