Download VII. Кручение призматического тела произвольного поперечного сечения

КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО ТЕЛА ПРОИЗВОЛЬНОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ.
Постановка задачи.
Пусть к основаниям однородного изотропного призматического
тела приложены силы, приводящиеся к скручивающим парам. Кроме
того, массовые силы отсутствуют, и боковая поверхность тела
свободна от внешних сил.
Направим
ось
ox3
параллельно
образующим
боковой
поверхности, а оси ox1 и ox2 возьмем на одном из оснований бруса
(рис. 1)
Рис.1
Задача об упругом равновесии призматического тела при
указанных
условиях
сводится
к
нахождению
величин  ki ,
удовлетворяющих в области, занятой телом, дифференциальным
уравнениям равновесия
 ij
xi
0
(1)
при отсутствии массовых сил и формулам закона Гука
 ij   ij  2 ij ,
(2)
а также граничным условиям на боковой поверхности и основаниях
призматического тела.
Поставленная в таком виде задача представляет большие
математические
трудности.
Поэтому
на
основании
принципа
Сен-Венана, при достаточно большой длине призматического тела по
сравнению с размерами его оснований, мы можем смягчить граничные
условия на основаниях таким образом, чтобы главный вектор и
главный момент сил, приложенных к основаниям, имели заданные
значения. При этом действительное распределение сил на основаниях
практически не оказывает влияния на части тела, находящиеся вдали
от них. Такое интегральное удовлетворение условий на основаниях
создает довольно широкий произвол в выборе решения.
Сен-Венан, исходя из вышеуказанных предположений, своим
полуобратным методом решил указанную проблему в перемещениях,
Решение в перемещениях поставленной проблемы Сен-Венан ищет в
виде
u1   x2 x3 , u2   x3 x1 , u3    x1x2  ,
(3)
где  – постоянная величина, называемая степенью закручивания, а
  x1 , x2  некоторая функция, подлежащая определению.
Перемещения (3) показывают, что поперечные сечения не
остаются «плоскими», а искривляются, причем все сечения одинаково,
Из формул закона Гука (2) с учетом линейных соотношений Коши для
компонентов
тензора
напряжений
перемещениям (3), получим
 ij
,
соответствующих
 

 

 31   
 x2  ,  32   
 x1 

x

x
 1

 2

(4)
11   22   33  12  0 .
(5)
и
Подставляя (4) в дифференциальные уравнения равновесия (2),
когда массовые силы отсутствуют, мы увидим, что первые два из них
удовлетворяются тождественно, а третье уравнение дает
 2  2

 0.
x12 x22
(6)
Последнее соотношение показывает, что функция   x1 , x2  ,
называемая
функцией
кручения
Сен-Венана,
должна
быть
гармонической функцией переменных x1 и x2 области S , занятой
поперечным сечением тела. Из третьей формулы (3) вытекает, что
перемещение u3 также должно быть гармонической функцией.
Учитывая,
что
внешняя
нормаль n
к
контуру
любого
поперечного сечения перпендикулярна к оси ox3 , имеем n3  0 . Тогда
первые два условия
t j   ij ni ,
(7)
ввиду отсутствия внешних сил на боковой поверхности и по условию
(5), будут удовлетворены тождественно; третье условие (7) на L с
учетом (4) примет вид
 

 


x
n


x


2 1
1  n2  0 ,
 x1

 x2

где через L обозначена граница области S . Учитывая, что
(8)



,
n1 
n2 
x1
x2
n
вместо (8) на L получим

 x2 n1  x1n2 ,
n
где
(9)

– производная  по нормали n .
n
Задача определения функции   x1 , x2  есть, таким образом,
задача Неймана для уравнения Лапласа. Легко показать, что в нашем
случае условие существования решения задачи Неймана выполняется.
Действительно,

x1 
 x2
dl

x
n

x
n
dl

x

x
L n L  2 1 1 2  L  2 l 1 l  dl 
 d
L
1 2
x1  x22  0.

2
При соблюдении этого условия решение задачи Неймана
определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Это слагаемое не существенно, ибо замена функции  на   c не
меняет напряженного состояния, что следует из формул (4), а
вызывает, как показывает третья формула (3), лишь жесткое
поступательное перемещение тела вдоль оси ox3 .
Для гармонической функции  справедливо тождество
     
  
   
x

x

x

x
 x2 ,
 1
 1
2 
1  
x1   x1
  x2   x2
  x1
(10)
на
основании
обнаруживаем,
которого,
что
с
учетом
главный вектор
граничного
касательных
условия
(9),
напряжений,
приложенных в поперечном сечении, равен нулю. Действительно,
 

V1    13ds    
 x2  ds 
x1

S
S
    
     
  
     x1 
 x2   
 x1    ds.
 x1 

x

x

x

x
2 

 2
  
S
 1  1
На основании формулы Гаусса-Остроградского из последнего
равенства получим
 

 
 
V1    x1 
 x2  n1  
 x1  n2  dl.

 x2
 
L
 x1
В последней формуле, учитывая граничное условие (9), мы будем
иметь V1  0 ; аналогично доказывается, что V2  0 . Поэтому
касательные напряжения, приложенные в поперечном сечении,
сводятся к паре сил, момент которой равен (рис.1)
M    x1 32  x2 31  ds .
(11)
S
Внося в эту формулу значения  32 ,  31 из формул (4),
окончательно получим
M  D .
В этой формуле


 
D     x12  x22  x1
 x2
 ds .

x

x
2
1 
S
(12)
Из условия равновесия на основаниях имеем M k  M  D ,
откуда

Mk
,
D
где M k называется крутящим моментом; D — жесткостью при
кручении.
Принимая
во
внимание
формулу
(9),
из
формулы
Гаусса-Остроградского найдем
    x2    x1  
 
 
x

x
ds

S  1 x2 2 x1  S  x1  x2  ds 
    x2 n1  x1 n2  dl      x2 n1  x1n2  dl    
L
L
L

dl.
n
С другой стороны, на основании первой формулы Грина
2
2







 
L  n dl  S  x2    x1   ds .


Следовательно,
  2    2

 
S  x2    x1   x1 x2  x2 x1  ds  0 .


Умножив последнее соотношения на  , и сложив его с (12),
получим
2
2
 
  
 
D    
 x1   
 x2   ds .
x
  x1
 
S
 2
Отсюда следует, что всегда D  0 .
Введем гармоническую функцию   x1 , x2  , сопряженную с
функцией   x1 , x2  , тогда по условиям Коши-Римана будем иметь
 


.

,

x1 x2
x2
x1
(13)
Граничное условие, которому удовлетворяет функция   x1 , x2  ,
получится из (9), если внести туда условия (13) и учесть (14)
n1 
dx2
dx
; n2   1 .
dl
dl
(14)
В результате получаем



dx
dx
 x2 n1  x1n2 
n1 
n2  x2 2  x1 1 
n
x1
x2
dl
dl
 dx2     dx1 
dx2
dx1




x

x
0

1
 2
x2 dl  x1   dl 
dl
dl
,
или
 dx2  dx1
dx
dx

 x2 2  x1 1 .
x2 dl x1 dl
dl
dl
Интегрируя обе части этого равенства по контуру поперечного
сечения, будем иметь

L
x12  x22

C.
2
(15)
Для компонентов тензора напряжений на основании (4) с учетом
условий (13) получим формулы
 

 

 x2  ,  32   
 x1  .
 x2

 x1

 31   
(16)
Из этих формул хорошо видно, что решение задачи не изменится,
если
в
функции   x1 , x2  прибавить
постоянную
величину.
Следовательно, определение функции сведено к задаче Дирихле для
уравнения Лапласа.
Часто вместо функции   x1 , x2  вводят другую функцию
  x1 , x2  , называемую функцией напряжений при кручении или
функцией
напряжений
Прандтля.
Эта
функция
определяется
формулой
x12  x22
.
  x1 , x2     x1 , x2  
2
(17)
В этом случае из (16) будем иметь
 31  


.
,  32   
x2
x1
(18)
Из (17), учитывая, что
 2  2
 2  0,
2
x1
x2
получим
 2  2
 2  2 .
2
x1
x2
(19)
Для функции Ф граничное условие на основании (15) примет вид
  x1 , x2  L  C .
(20)
Таким образом, задача определения   x1 , x2  есть задача
Дирихле для уравнения Пуассона (19) при граничном условии (20). Из
формулы (11) с учетом (18) для определения крутящего момента
будем иметь
 
 
M k      x1
 x2
 ds .

x

x
1
2 
S
(21)
Эта формула показывает, что величина момента M k не меняется,
если к функции   x1 , x2  прибавить любую постоянную. Записав (21)
в виде
   x1    x2  
M k     

 ds  2  ds

x

x
1
2

S
S
и применив к первому интегралу формулу Гаусса-Остроградского,
получим
M k       x1n1  x2 n2  dl  2  ds .
L
(22)
S
Принимая в (20) постоянную С равной нулю, что допустимо, так
как изменение   x1 , x2  на постоянную величину не меняет решения
задачи, что видно из (18) и (21), вместо формулы (22) будем иметь
M k  2  ds .
(23)
S
Эта важная формула принадлежит Прандтлю.
Некоторые свойства касательных напряжений.
Покажем,
теперь,
что
вектор
касательного
напряжения
T   31e1   32e2 в произвольной точке M поперечного сечения
призматического
тела
направлен
по
касательной
к
кривой
  x1 , x2   const , проходящей через точку M . Действительно, вдоль
кривой   x1 , x2   const имеем
  dx1  dx2


 0.
l x1 dl x2 dl
Учитывая здесь формулы (14) и (18), находим
T  n   31n1   32 n2  
 dx2
  dx1 
 


x2 dl
x1  dl 
  dx2  dx1 
  

  0,

x
dl

x
dl
1
 2

откуда следует, что вектор T перпендикулярен вектору нормали n .
На основании доказанного кривые   x1 , x2   const называют
траекториями или линиями касательных напряжений. Так как на
контуре поперечного сечения   x1 , x2   const , то он является
траекторией касательных напряжений.
Легко доказать, что как  31 , так и  32 являются гармоническими
функциями в поперечном сечении. В самом деле, действуя
гармоническим оператором  на обе части формул (18) и допуская
законность перестановки дифференциальных операторов, с учетом
(19) будем иметь
 31  



 
  
  2   0,
x2
x2
x2
 32   



  
   
  2   0.
x1
x1
x1
Отсюда вытекает, что  31 и  32 достигают наибольших
значений на контуре поперечного сечения призматического тела.
Докажем, что вектор касательного напряжения T
также
достигает своего наибольшего значения на контуре; для этого
отправимся от противного: допустим, что вектор касательного
напряжения достигает наибольшего
значения
внутри
контура
поперечного сечения в точке M . Выберем в поперечном сечении
новую прямоугольную декартову систему координат ox1x2 и одну из
ее осей, например ось ox2 направим параллельно вектору T ,
приложенному в точке M . В этой системе координат в точке M
  0,  32
 0,
будем иметь тензор напряжений с компонентами  31
причем они относительно новой системы координат являются также
гармоническими. В силу этого  32 достигает своего наибольшего
значения на контуре, а не внутри контура, как это было допущено в
начале рассуждения.
Следовательно, вектор касательного напряжения достигает
своего максимального значения на контуре поперечного сечения
призматического тела.
Теорема о циркуляции касательного напряжения.
Циркуляция
вектора
напряжения
T   31e1   32e2
вдоль
замкнутой линии целиком лежащей в сечении, равна
Г   T  dr 
l
 
e   32e2   dr .
31 1
(24)
l
Учитывая в подынтегральном выражении формулы (4) и (3), для
Г будем иметь
Г   T  dr 
l
 
e   32e2   dr 
31 1
l
  

 
 
    
 x2  e1  
 x1  e2   dr 
x1

 x2
 
l 
 
 
    x1e2  x2e1   dr    
e1 
e2   dr 
x1
x2 
l
l 
 u

u
    x1dx2  x2 dx1      3 dx1  3 dx2  
x1
x2

l
l 
u
 2     3 dl.
l
l
(25)
Так как перемещение u3 должно быть однозначной функцией в
сечении, то

l
u3
dl  0 .
l
В силу последнего обстоятельства из (25) находим
Г  2 .
(26)
Здесь  — площадь, ограниченная линией интегрирования.
Формула (26) справедлива как для односвязных, так и для
многосвязных
сечений,
причем
линия
интегрирования
может
охватывать одну или несколько внутренних контуров сечения или
вовсе не охватывать их. Эта формула представляет теорему о
циркуляции касательных напряжений.
Циркуляцию касательных напряжений выразим через функцию
  x1 , x2  . С этой целью подставим (18) в подынтегральное
выражение (24), тогда
Г   T  dr 
l
 
e   32e2   dr 
31 1
l
 
 

 

   
e1 
e2   dr    
dx1 
dx2  
x2
x1 
x2
x1

l 
l 
(27)
  dx1
 dx2 
   
dl 
dl  

x
dl

x
dl
2
1

l 
 
 

    
n2 
n1 dl    
dl ,
x2
x1 
n
l 
l
где n j — косинус угла между внешней нормалью к линии
интегрирования и осью ox j
 j  1,2  .
Из сравнения формул (26) и (27) получим

l

dl  2 .
n
(28)
Мембранная аналогия.
Мембраной
называется
тонкая
пленка,
не
оказывающая
сопротивления изгибу, а сопротивляющаяся только растяжению.
Пусть однородная мембрана постоянной толщины натянута одинаково
по всем направлениям силой T на плоский контур того же очертания,
что и контур поперечного сечения скручиваемого призматического
тела, и нагружена нормальной к ней равномерно распределенной
нагрузкой q на единицу площади. Пусть оси координат ox1 и ox2
лежат в плоскости мембраны, которая провисает под действием
нагрузки q на величину u0  x1 , x2  .
Рис.2
Выведем дифференциальное уравнение равновесия; для этого
вырежем элемент, имеющий форму прямоугольника со сторонами dx1
и dx2 (рис.2). Приравняем к нулю сумму проекций на ось ox3 всех
сил, действующих на него:
 u0   u0  
u0
u0
T
dx2  T

T
dx
dx

T
dx1 

 1 2
x1
x2
 x1 x1  x1  
 u
  u0  
 T 0 
T
 dx2  dx1  qdx1dx2  0.
 x2 x2  x2  
Отсюда
получим
уравнение
для
прогиба
равномерно
нагруженной мембраны
 2u0  2u0
q
.



2
2
x1
x2
T
(29)
Так как на контуре мембраны прогиб u0 равен нулю,
следовательно, контурное условие будет
u0  0 .
(30)
Таким образом, контурное условие (30) тождественно совпадает
с контурным условием для функции  . Если положить u0  k  ,
тогда дифференциальное уравнение (19) совпадет с (29). Внесем
u0  k  в уравнение (29), тогда
  2  2 
q
k 2  2    .
x2 
T
 x1
С другой стороны имеем
 2  2

 2 .
x12 x22
Из последних двух уравнений k 
u0 
q
. Тогда
2T
q
.
2T
(31)
Следовательно, задача кручения призматического тела может
быть решена путем измерения прогибов равномерно нагруженной
мембраны.
Если рассечь мембрану плоскостями u0  const , то полученные
линии равного перемещения в задаче кручения будут совпадать с
траекториями касательных напряжений   x1 , x2  . Уклон мембраны
u0
n
в
направлении
перемещения
в
внешней
некоторой
ее
нормали n
точке
к
линии
определяет
касательное
напряжение T в соответствующей точке сечения, т.е. T 
Действительно,
равного
 u0
k n
.
 
u0   k  
 

 k
n1 
n2  
n
n

x

x
2
 1


k

 32 n1   31n2  
k

T.
Согласно этой формуле наибольший угол наклона мембраны
определяет наибольшее касательное напряжение.
Жесткость призматического тела при кручении определяется
объемом V ,
ограниченным
поверхностью
деформированной
мембраны, и плоскостью ее до деформации. Действительно, т.к.
V   u0 ds 
S
q
ds ,

2T S
а также учитывая, что
2  ds  M k
S
и
M k  D ,
найдем V 
D
q
D , откуда
4T
2
V.
k
(32)
Ценность мембранной аналогии заключается не только в том, что
она позволяет экспериментально исследовать проблему кручения, но и
в том, что при помощи этой аналогии можно без какого-либо
эксперимента
в
каждой
конкретной
задаче
о
кручении
призматического тела составить качественное представление о виде
траекторий касательных напряжений и о наибольшем тангенциальном
напряжении.
Мембранная аналогия легко обобщается и на случай полых
призматических тел. В этом случае должны быть соблюдены
следующие условия:
1. Внешний контур мембраны должен быть подобным внешнему
контуру сечения призматического тела и закреплен неподвижно.
2. Все внутренние контуры сечения призматического тела должны
быть имитированы абсолютно жесткими плоскими невесомыми
дисками,
параллельными
друг
другу,
и
должны
получить
поступательные перемещения uv  kCv ( Cv — константы, входящие в
граничные условия на внутренних контурах сечения призматического
тела).
3. Эти диски должны быть загружены тем же равномерно
распределенным нормальным давлением, что и сама мембрана.
Последнее обстоятельство вытекает из теоремы о циркуляции
касательных напряжений в задаче о кручении.