Download VIII. Изгиб призматического тела, закрепленного одним концом

ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО ТЕЛА, ЗАКРЕПЛЕННОГО
ОДНИМ КОНЦОМ.
Постановка задачи.
Пусть призматическое тело длиной l закреплено одним концом,
а на свободном конце несет нагрузку, статически эквивалентную силе
P , перпендикулярной к оси тела. Массовые силы и силы на боковой
поверхности тела отсутствуют. Начало координат поместим в
произвольной точке какого-либо сечения. При этом ось ox3 направим
параллельно осп тела, а ось ox1 – параллельно силе P (рис. 1).
Сечение предполагается односвязным.
Рис.1
Решение задачи дается в напряжениях полуобратным методов
Сен-Венана. Исходя из физических соображений, примем
11   22  12  0 ,
(1)
 33  P  ax1  bx2  e   l  x3  ,
(2)
компоненты же тензора напряжений  31 и  32 должны быть определены. Ниже покажем, что коэффициенты a, b, e однозначно определяются формой и размерами поперечного сечения тела и выбором
системы координат.
Компоненты тензора напряжений  33 ,  31 и  32 в сечении x3 в
данной задаче должны удовлетворять условиям равновесия
d  P  0,   32 d  0,   x1 32  x2 31  d  0 , (3)
 
31
 
33


d  0,   33 x2 d  0,   33 x1d  P  l  x3   0 .

(4)

Подставим выражение (2) в условия (4); тогда для коэффициентов a, b, e получим систему трех линейных уравнений
aS2  bS1  e  0,
aI12  bI11  eS1  0,
(5)
aI 22  bI12  eS2  1,
где I11 , I 22 , I12 , S1 , S2 – моменты инерции и статические моменты
площади поперечного сечения тела относительно осей, a  – площадь
сечения.
Корни системы (5) будут
I11  S12
I   S1S2
I S I S
a
, b  12
, e  11 2 12 1 ,
B
B
B
(6)
причем
I 22
B  I12
S2
I12
I11
S1
S2
S1 .

На основании формул S1   x2C , S2   x1C формуле для
коэффициента e придадим вид
e  ax1C  bx2C .
Здесь
x1C , x2C – координаты центра тяжести площади
поперечного сечения.
Подставив (1) и (2) в дифференциальные уравнения равновесия, с
учетом Fj  0 получим
 31

 0, 32  0 ,
x3
x3
(7)
 31  32

 P  ax1  bx2  e   0 .
x1
x2
(8)
Из (7) следует, что  31 и  32 не зависят от координаты x3 , следовательно они одинаково распределены во всех поперечных сечениях.
Уравнению (8) придадим вид
 
1

2


P
ax

ex



31
1
1


x1 
2



x2
1


2


P
ax

ex


2
2   0.
 32 2

(9)
Из этого уравнения следует, что существует функция   x1 , x2  ,
связанная с  31 и  32 равенствами


P  
P  
2
2
 31  
 ax1  ex1  ,  32   
 bx2  ex2  . (10)
2  x2
2  x1


Действительно, при подстановке (10) в равенство (9) последнее
удовлетворяется тождественно.
Выведем условия, которым должна удовлетворять функция
  x1 , x2  . Для этого подчиним (1), (2) и (10) соотношениям
Бельтрами-Митчелла и граничному условию на боковой поверхности
тела.
Из шести соотношений Бельтрами-Митчелла четыре соотношения удовлетворяются тождественно, а два соотношения приводят к
уравнениям

2

2




a
,



b,
 
 
x2
1   x1
1 
откуда
 2
d      
 1 
2

a  dx2 
bdx1 .
1



Тогда
2
(11)
 bx1  ax2   2C .
1 
Здесь C — постоянная интегрирования, которая должна быть
 
определена.
Условия отсутствия на боковой поверхности тела нагрузки в
данном случае дают
 31n1   32 n2  0 на L .
(11а)
Учитывая формулы (10), а также формулы
n1 
dx2
dx
, n2   1 ,
dl
dl
из (11а) будем иметь граничное условие для функции   x1 , x2  на L

x
x
  bx22  ex2  1   ax12  ex1  2 .
l
dl
dl
(12)
Затем задачу (11), (12) заменим двумя задачами; для этого
функцию   x1 , x2  представим следующим образом:
    C ,
(13)
где  и  — новые функции, подлежащие определению.
Подставляя последнее соотношение в (11) и (12), задачу (11), (12)
разобьем на две следующие задачи:
  2,

 0,
l L
2
 bx1  ax2  ,
1 
.

x

x
  bx22  ex2  1   ax12  ex1  2 .
dl
dl
(14)
 

l
L
(15)
Следовательно, функция  представляет собой функцию
напряжения Прандтля.
Таким образом, задача (11)-(12) о поперечном изгибе призматического тела разбита на задачу (14) о его кручении и задачу (15)
об отыскании вспомогательной функции  , называемой функцией
изгиба.
Для односвязных поперечных сечений граничные условия на L
приводятся к виду
  0,
(16)
x
x 

    bx22  ex2  1   ax12  ex1  2  dl .
dl
dl 
0
(17)
l
Легко убедиться, что при полном обходе контура L значение
интеграла (17) равно нулю. Действительно, взяв интеграл (17) по
замкнутому контуру поперечного сечения и применяя к нему формулу
Гаусса-Остроградского, а также учитывая первое уравнение системы
(5), получим


    bx22  ex2   dx1     ax12  ex1   dx2 
L
 2  ax1  bx2  e  d  2  aS 2  bS1  e   0.
(18)

Аналогичным образом можно также убедиться, что при полном
обходе контура L значение интеграла (12) равно нулю. Это положение и равенство (18) в дальнейшем будут использованы.
Нетрудно проверить, что найденные компоненты тензора напряжений  31 и  32 на конце x3  l тождественно удовлетворяют первым двум условиям (3). Действительно,

P  
 ax12  ex1  d 

 2  x2
  31d   

 P  

  
 ax12  ex1  


 2  x2
 
 

 x1  31  32  P  ax1  bx2  e    d
x2
 x1
 
или

P     
2
  31d  2   x1  x1  x2  ax1  ex1  




x2
  
  
2
 bx2  ex2    d  P  aI 22  bI12  eS 2  .
 x1  
  
  x1
Применяя формулу Гаусса-Остроградского и учитывая условие
(12), а также третье уравнение (5), получим
 
d  P .
31
Аналогичным образом
 
32
d  0 .
Третье же условие (3) позволяет определить входящую в (13)
постоянную C . Подставив в это условие, согласно (10), значения  31
и  32 , получим
M 3    x1 32  x2 31  d 

P   
 

x

x
  1

2

2    x1
x2 
P  x1   x2   
  bx2  ax1  x1 x2  d    

  d 
2   x1   x2  
 P   d 

P
 bx2  ax1  x1x2d
2 
или
M3  
P
  x1dx2  x2 dx1  

2
 P   d 

P
 bx2  ax1  x1x2d.
2 
Введем обозначение
l 
1
 x1dx2  x2dx1  ,

2
тогда
M3  
dl
P

dl 
2  dl
 P   d 

P
 bx2  ax1  x1x2d.

2
Произведя интегрирование по частям, найдем
M 3  P  l
L

P
dl  P   d    bx2  ax1  x1x2d .
l
2

(19)
Учитывая в (19) формулы (12), (13), будем иметь

1
M 3  P C  d   d    bx2  ax1  x1 x2 d  
2

 

dx
dx 

   bx22  ex2  1   ax12  ex1  2 l dl .
dl
dl 
L

(20)
Из условия M 3  0 следует
 d  
C 
1
 bx2  ax1  x1x2d   Qdl

2
L
 d
,
где
dx
dx 

Q   bx22  ex2  1   ax12  ex1  2  l .
dl
dl 

Если в качестве координатных осей взять главные центральные
оси, то S1  S2  I12  0 . Следовательно, из формул (6) получим
a  1 I 22 , b  e  0 . В этом случае вышеприведенные формулы
заметно упрощаются.
Центр изгиба
По формулам закона Гука
 ij 
1 
3
 ij   ij
E
E
компоненты тензора деформаций, соответствующие компонентам
тензора напряжений (1), (2) и (10), равны
11   22  
P
E
 ax1  bx2  e   l  x3  , 12  0,
P
 ax1  bx2  e   l  x3  ,
E
1   P    ax 2  ex  ,
 31 

1
1
2 E  x2

 33 
 32 
1    P     bx 2  ex
2E

 x1
2

2 .

Угол поворота элемента тела вокруг оси ox3 будет
1  u2 u1 

.
2  x1 x2 
3  
В силу этой формулы и соотношений Коши найдем
3 12 11 3  22 12 3  23  31
.


,


,


x1
x1 x2 x2
x1 x2 x3
x1 x2
Аналогичным образом можно вывести подобные формулы для
частных производных по координатам xk от остальных углов поворота 1 и 2 . Величина
3
представляет собой кручение волокон
x3
призматического тела, параллельных оси ox3 .
Среднее значение кручения для всего поперечного сечения, обозначаемое через  определяется формулой
1   P 

1 3


 
d 
C

bx

ax


1C
2C  .

  x3
E
1 

(20в)
Таким образом, выясняется, что под действием поперечной силы,
приложенной к свободному концу призматического тела, изгиб сопровождается кручением. Как видно из формулы (20а), чтобы под
действием упомянутой силы призматическое тело испытывало только
изгиб без участия кручения, постоянную С следует определить
формулой
C

1 
 bx1C  ax2C  .
(21)
Подставляя (21) в формулу (20), для крутящего момента M 3
будем иметь
 
M3  P 
 bx1C  ax2C   d   d 


1  

1
   bx2  ax1  x1 x2 d   Qdl  .
2
L

(22)
Чтобы изгиб тела не сопровождался кручением, необходимо,
кроме силы P , действующей в точке o поперечного сечения, приложить к этому сечению еще крутящий момент M 3 , вычисляемый по
формуле (22). Сложив силу P и крутящий момент M 3 , получим силу
P , равную заданной силе, направленную параллельно ей и
o
находящуюся на расстоянии x2 , которое определяется по формуле
x20  

M3


 bx1C  ax2C   d   d 
P 1 


1
 bx2  ax1  x1x2d   Qdl.

2
L
(23)
Допустим теперь, что поперечная сила P , приложенная в начале
координат, направлена вдоль оси ox2 . Рассуждая аналогичным образом, получим силу P , равную заданной, направленную параллельно
0
ей и находящуюся на расстоянии x1 , которое определяется по
формуле
x10  


1 
 b* x1C  a* x2C   d   *d 


(24)
1
 b* x2  a* x1  x1x2d   Q*dl.

2
L
где
dx
dx 

Q*   b* x22  e* x2  1   a* x12  e* x1  2  l .
dl
dl 

В формуле (24) функция  * удовлетворяет уравнению
* 
2
 b* x1  a* x2 
1 
и граничному условию
dx
dx 

*    b* x22  e* x2  1   a* x12  e* x1  2  dl .
dl
dl 
0
l
В этих формулах
I12  S1S 2
S 22   I 22
a* 
, b* 
,
B
B
I S I S
e*  22 1 12 2  a* x1C  b* x2C .
B
Точка пересечения прямых x1  x1
0
центром изгиба.
и x2  x2 называется
0
Любая поперечная сила, приложенная к сечению свободного
конца, проходящая через центр изгиба, вызывает изгиб без участия
кручения. Чтобы определить положение центра изгиба, совершенно не
обязательно решать задачу об изгибе призматического тела, достаточно решить задачу о его кручении. Покажем, что выражения,
входящие в (24) и (23), могут быть вычислены с помощью функции
  x1 , x2  . Для доказательства применим известную формулу Грина
для функций  и  ; в качестве контура интегрирования возьмем
контур поперечного сечения тела




d







L


 

 dl .
n
n 
(25)
Учитывая первые уравнения (14), (15) и условие (16), вместо (25)
будем иметь
2
1 
  bx1  ax2  d  2 d   


L

dl .
n
(26)
На основании соотношений
 



,

x1 x2
x2
x1
и
x12  x22
  x1 , x2     x1 , x2  
2
имеем




 x2 
,
  x1 
.
x1
x2
x2
x1
Учитывая здесь формулы
(27)
n1 
dx2
dx
, n2   1 ,
dl
dl
найдем
d
 



n1 
n2  
2 l .
n x1
x2
l
dl
(28)
Подставив (28) в правую часть (26) и интегрируя по частям, с
учетом второго соотношения (15) получим

L


 
dl     
2 l
n
l
 n
L

dl 

(29)


  2l dl  I  2 Qdl ,
l
L
L
где I 
  bx
2
2
L

 ex2   dx1     ax12  ex1   dx2 .
На основании формулы Гаусса-Остроградского имеем
 

  2

I      ax12  ex1   
bx

ex


2
2    d

x2

  x1
или
I  2   ax1  bx2  e  d 



 
   ax12  ex1 
  bx22  ex2 
 d .

x

x
1
2

Подставим в эту формулу из (27) значения
 
и
; тогда
x1 x2
I  2   ax1  bx2  e  d    bx2  ax1  x1 x2d  


   bx22  ex2      ax12  ex1    

 
  d .
  


x

x
1
2



Интегрируя третье слагаемое по частям и учитывая, что на контуре L функция   0 , убедимся, что оно обращается в нуль. Следовательно,
I  2  ax1  bx2  e  d    bx2  ax1  x1x2d .

(30)

Учитывая (29) и (30) в (26), а затем подставляя полученный
результат в (23), окончательно получим формулу для координаты
центра изгиба
x20     ax1  bx2  e  d 



b  x1  x1C   a  x2  x2C   d.
1    
Аналогичным образом из (24) получим формулу для другой
координаты центра изгиба
x10    a* x1  b* x2  e*  d 



b  x  x   a  x

1  
*
1
1C
*
2
 x2C   d.
Как видно, в формулы для определения центра изгиба призматического тела с односвязным сечением входят функции  и  , связанные только с решением задачи о кручении тела. Следует отметить,
что если известна одна из функций  ,  , то другая определится путем
квадратур из (27).