Download 5000zada4 geom

и. Ф. Шарыгин
Р. К. Гордин
Сборник
задач
по геометрии
5000 задач
с ответами
МОСКВА
Асгрель • лет
2001
УДК
ББК
373.167.1:514
22.151я721
Ш26
Ш 26
Ш арыгин И. Ф.
Сборник задач по геом етри и . 5000 задач с ответами /
И. Ф. Шарыгин, Р. К. Гордин. — М.: ООО «Издательство Астрель»:
ООО «Издательство А С Т », 2001. — 400 с.: ил.
ISBN 5-17-005419-Х (ООО «Издательство А С Т »)
ISBN 5-271-01560-2 (ООО «Издательство А с тр е ль »)
К н и г а с о д е р ж и т д о с т а т о ч н о п о л н у ю п о д б о р к у у ч е б н ы х з ад ач по в с е м у
к у р с у ге о м е т р и и .
В сб о рни к , к р ом е у ч е б н ы х задач, в к л ю ч е н ы к о н к у р с н ы е и ол и м п п а д н ы е
з а д а ч и . К о н к у р с н ы е з а д а ч и п о л е з н ы у ч а щ и м с я , к о т о р ы е го т о в я т с я к
п о с т у п л е н и ю в вуз, а за д ач и о л и м п п а д н о г о р а з д е л а п о м о г у т п од го тов иться
к у ч а с т и ю в ш к о л ь н ы х , р а й о н н ы х , г о р о д с к и х о л и м п и а д а х . Сбор н ик м о ж н о
использовать ирим е-нительно к л ю б о м у ш к о ль н о м у учебнику.
П особи е предназначено для у ч а щ и х ся общ еобр азов ательн ы х
у ч р е ж д е н и й , м о ж е т б ы т ь п о л е з н о у ч и т е л я м » с п е ц и а л и с т а м по под го товк е
математических олимпиад.
З а д а 'ш и к с о о т в е гс т в у е т тр е б о в а н и я м о б я з а т е л ь н о г о м и н и м у м а
с о д е р ж а н и я с р е д н е г о ( п о л н о г о ) о о р а .ю в а н п я по м а т е м а т и к е .
УДК 373.1(57.1:514
Б В К 22 .1 5 1 я 7 2 1
I S B N 5 - 1 7 - 0 0 5 1 19-Х
(О О О «И з дате .'п .с гн о А С Т » )
I S B N 5-2 71 -0 1 5 6 0-2
(О О О « И з д а т е л ь с т в о А с т р е л ь » )
О ОО « И з д а т е л ь с т в о А с т р е л ь » , 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ
в сборнике собрано 5000 задач по
геометрии. Из них более 3500 задач по
планиметрии и примерно 1500 задач
по стереометрии. Возможно, это ре­
корд. Мы не знаем, существует ли се­
годня где-нибудь более полная к ол­
лекция геометрических задач. Но не
ради установления рекорда создана
эта книга. Эта книга многоцелевая.
Прежде всего, в ней содержится до­
статочно полная подборка учебных
задач. Задачи разбиты по темам, и
учитель сможет найти задачи по лю ­
бой теме и для лю бых учебных целей,
в зависимости от его опыта и квалифи­
кации.
Как известно, в последнее десяти­
летие в результате реформы нашей
школы появились альтернативные и
разноуровневые учебники. Эти учеб­
ники значительно отличаются друг от
друга, в том числе и последовательно­
стью изложения тем. Отсюда следует,
что такие учебники требуют различ­
ных систем учебных задач. Мы же, не
отдавая предпочтения какому-либо
учебнику (вернее, стараясь не отда­
вать предпочтения), предлагаем свое­
го рода «конструктор», из которого
можно составить систему учебных за­
дач под любой курс, действующий или
даже предполагаемый.
Среди учебных задач встречаются
задачи, отмеченные знаком °. Это
ключевые задачи. На них следует об­
ратить особое внимание. И х надо не
только решать, но и знать, т. е. уметь
применять содержащийся в задаче
факт или используемый при решении
прием.
Кроме учебных задач сборник со­
держит конкурсные и олимпиадные
задачи.
Коллекция конкурсных задач впол­
не представительна и включает задачи
разного уровня: от самых простых до
задач, предлагаемых на механико­
математическом факультете МГУ.
Все или почти все задачи этого раздела
предлагались на конкурсных экзаме­
нах в разные вузы и в разное время.
Мы не стали указывать первоисточни­
ки. Надеемся, что опытный препода­
ватель сумеет сам найти для задачи
нужную «п о л о ч к у ». Эта работа для не­
го облегчается тем, что все задачи это­
го раздела, как и остальных, располо­
жены по возрастанию сложности. Ко­
нечно, сложность задачи — это дело
опыта и вкуса, и, возможно, другие ав­
торы могли бы расположить задачи
иначе.
В разделе олимпиадных задач прак­
тически нет супертрудных. Поэтому
возможно использовать эту книгу для
подготовки к математическим олим­
пиадам, прежде всего школьным, рай­
онным, городским. Кроме того, толь­
ко достаточно сильный и хорошо под­
готовленный ученик может занимать­
ся олимпиадными задачами само­
стоятельно. Лучш е всего, если подго­
товкой к олимпиаде руководит опыт­
ный и сильный преподаватель, не
только умеющий решать олимпиадные задачи, знающий специфические
методы и приемы, но и знакомый с до­
статочно большим числом олимпиадных задач, так что значительная
часть задач, собранных в нашей кни­
ге, — это его «старые знакомые».
Кому предназначена эта книга? От­
вет достаточно очевиден: учащимся и
учителям математики (причем препо­
дающим в средней и старшей школе).
репетиторам и специалистам по прове­
дению математических олимпиад и
подготовке к ним школьников. Мы,
конечно, не исключаем и даже надеем­
ся, что данным сборником заинтересу­
ются и родители школьников, желаю­
щие, чтобы их дети получили хоро­
шую геометрическую подготовку. По
нашему глубокому убеждению, всем
им этот сборник не только может ока­
заться полезным, но и очень полез­
ным. Он сможет стать им помощником
в работе на многие годы.
Авторы
Планиметоия
Раздел I
УЧЕБНЫЕ ЗАДАЧИ
1. ВВОДНЫЕ З А Д А Ч И
1°. На прямой последовательно от­
кладываются точки А , В, С, D , Е и F,
причем А В = ВС = CD = D E = E F . Най­
дите отношения A D : D F , АС : A F,
B D : CF.
2. На прямой последовательно от­
мечаются точки А , В , С и D , причем
А В = ВС = CD = 6 . Найдите расстояние
между серединами отрезков А В и CD.
3°. Точка К отрезка АВ, равного 12,
расположена на 5 ближе к А , чем к В.
Найдите А К и В К .
4. Точка М расположена на отрез­
ке A N , а точка N — на отрезке В М .
Известно, что А В = 18 и А М ; M N : N B ^
= 1 : 2 : 3. Найдите MTV.
5. На прямой взяты точки А , О и В.
Точки А^ и B j симметричны соответ­
ственно точкам А и В относительно
точки О. Найдите A jB , если АВ^ = 2.
6 °. Один из двух смежных углов на
30° больше другого. Найдите эти углы.
7. Один из двух смежных углов в
3 раза меньше другого. Найдите эти
углы.
8 °. Один
из четырех углов, обра­
зующихся при пересечении двух пря­
мых, равен 41°. Чему равны три ос­
тальных угла?
9. На прямой выбраны три точки А,
В и С, причем А В = 3, ВС = 5. Чему мо­
жет быть равно АС?
10. Точка В лежит на отрезке АС,
равном 5. Найдите расстояние между
серединами отрезков А В и ВС.
11.
Вдоль прямолинейной дороги
стоят две избы А и В на расстоянии
50 м друг от друга. В какой точке доро­
ги надо построить колодец, чтобы сум­
ма расстояний от колодца до изб была
наименьшей?
12°. На прямой даны точки А, В и С.
Известно, что А В = 5, а отрезок АС
длиннее ВС на 1. Найдите АС и ВС.
13. На прямой даны точки А , В и С.
Известно, что А В = 5, а отрезок АС
длиннее ВС в 1,5 раза. Найдите отрез­
ки АС и ВС.
14. Точки М , А и В расположены на
одной прямой, причем отрезок A M
вдвое больше отрезка В М . Найдите
A M , если А В = 6 .
15. Точка М — середина отрезка АВ,
а точка N — середзана отрезка M B . Най­
дите отношения A M : M N , B N : A M и
M N -.A B .
16. На прямой выбраны три точки
А , В и С, причем А В = 1, ВС = 3. Чему
может быть равно АС? Укажите все
возможности.
17°. Прямой угол разделен двумя
лучами на три угла. Один из них на 10°
больше другого и на 1 0 ° меньше
третьего. Найдите эти углы.
18. Точки А , В, С последовательно
расположены на одной прямой и
А В : ВС = 3 : 4 . Найдите отношения
А В : АС и ВС : АС.
19°. Вдоль прямолинейной дороги с
интервалами в 50 м стоят три избы А , В
и С. В какой точке дороги надо постро­
ить колодец, чтобы сумма расстояний
от колодца до изб была наименьшей?
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
20°. На линейке отмечены три деле­
30. Точка В делит отрезок АС в от­
ния: О, 2 и 5. Как отложить с ее по­
ношении А В : ВС = 2 : 1 . Точка D де­
мощью отрезок длиной 6 см?
лит отрезок А В в отношении A D : DB =
21. Имеется угольник с углом в 70°.
= 3 : 2. В каком отношении делит точ­
Как построить с его помощью угол в
ка D отрезок АС?
40°?
31. Точка М лежит вне угла АОВ,
22. Имеется угольник с углом в 40°.
ОС — биссектриса этого угла. Докажи­
Как с его помощью построить угол в:
те, что угол М О С равен полусумме уг­
а) 80°; б) 160°; в) 2 0 °?
лов А О М и ВОМ ?
23°. Точки А , В, С расположены на
32. Из точки на листе бумаги прове­
одной прямой и АС : ВС = 2 : 5 . Найди­
ли четыре луча, делящ их плоскость на
те отношения АС : А В и ВС : АВ.
четыре угла. Затем лист разрезали по
24.
Л уч света, пущенный из точкибиссектрисам этих углов на четыре
М , зеркально отразившись от прямой
части (которые также являются угла­
А В в точке С, попал в точку N (рис. 1).
ми). Докажите, что два из этих углов
Докажите, что биссектриса угла M C N
образуют в сумме 180° и два других —
перпендикулярна прямой А В . (У гол
тоже.
падения равен у гл у отражения.)
33. На сколько градусов поворачи­
Рис. 1
вается за минуту минутная стрелка?
часовая стрелка?
34. Точки С, £ и D делят отрезок А В
в отношениях 1 : 2,1 : Зи 1 : 4 соответ­
ственно (считая от точки А ). В каком
отношении точка Е делит отрезок DC?
35. Один из углов, образованных
пересекающимися прямыми а и Ь , ра­
вен 15°. Прямая
симметрична пря­
мой а относительно прямой Ь, а пря­
25.
На прямой выбраны четыре точ­
мая bi симметрична прямой Ь относи­
ки А , В ,С u D , причем А В = 1, ВС = 2,
тельно прямой а. Найдите углы , обра­
CD = 4. Чему может быть равно AD ?
зованные
прямыми а^иЬ^.
26°. На деревянной линейке отме­
36. Даны точки А и В. Где на пря­
чены три деления: О, 7 и 11 см. Как
мой А В расположены точки, расстоя­
отложить с ее помощью отрезок в:
ние от которых до точки А : а) вдвое
а) 8 см; б) 5 см?
больше, чем до точки В; б) втрое мень­
27°. Точка С — середина отрезка
ше, чем до точки В?
А В . На отрезках А С и ВС взяты точки
37. Через точку на плоскости про­
М и N , причем A M : М С = CN : N B .
вели 1 0 прямых, после чего плоскость
Докажите, что отрезок M N равен по­
разрезали по этим прямым на углы.
ловине отрезкаАВ.
Докажите, что хотя бы один из этих
28. Точка М лежит внутри угла
углов меньше 2 0 °.
А О В , ОС — биссектриса этого угла.
Докажите, что угол М О С равен моду­
38. Какой угол образуют минутная
лю полуразности углов А О М и В О М .
и часовая стрелка в 3 часа 05 минут?
29. Точки А , В, С расположены на
39. Из точки О на плоскости выхо­
одной прямой и А С : ВС = т : п (т и
дят три луча ОА, ОВ, ОС. Известно,
п — натуральные). Найдите отноше­
что Z АО В = 91°, Z в о е = 90°. Найди­
ния АС : А В и ВС : АВ.
те Z A O C .
8
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
40. В деревне у прямой дороги с ин­
тервалами в 50 м стоят четыре избы А ,
Б, С и D. В какой точке дороги надо по­
строить колодец, чтобы сумма рас­
стояний от колодца до изб была на­
именьшей?
41. Даны точки А и В. Где на пря­
мой А В расположены точки, расстоя­
ние от которых до точки В больше, чем
до точки А?
42. Имеется угольник с углом в 19°.
Как построить с его помош;ью угол в
ков. Расстояние между деревнями
3 км. В какой точке дороги из А в В
надо построить ш колу, чтобы суммар­
ное расстояние, проходимое всеми
школьниками, было как можно мень­
ше?
48.
На прямой выбрали четыре
точки А , В , С, D u измерили расстоя­
ния А В , АС, A D , ВС, B D и CD. М огут
ли они быть равными (в порядке воз­
растания): а) 1; 2; 3; 4; 5; 6 ; б) 1; 1; 1;
2; 2; 4?
1° ?
43. В полдень минутная и часовая
стрелки совпали. Когда они совпадут в
следующ;ий раз?
44. Из точки О на плоскости выхо­
дят четыре луча, следуюш;ие друг за
другом по часовой стрелке: ОА, ОВ, ОС
и O D (рис. 2). Известно, что сумма уг­
лов ЛО В и COD равна 180°. Докажите,
что биссектрисы углов АОС и B O D пер­
пендикулярны .
45. Даны точки А и В. Д ля каждой
точки М , не совпадаюш;ей с точкой В и
лежащ;ей на прямой А В , рассмотрим
отношение A M : В М . Где расположе­
ны точки, для которых это отношение;
а) больше 2 ; б) меньше 2 ?
46. Сколько раз в течение суток ча­
совая и минутная стрелки совпадают?
образуют развернутый угол? образуют
прямой угол?
47. В деревне А живет 100 ш коль­
ников, в деревне В живет 50 ш кольни­
2. П Р И З Н А К И РАВЕ Н СТВА
ТРЕ УГО Л ЬН И К О В . П РИ З Н А К И
И СВОЙСТВА П А Р А Л Л Е Л Ь Н Ы Х
П Р Я М Ы Х . С У М М А У ГЛ О В
ТРЕУГО ЛЬН И КА
49°. Докажите, что серединный
перпендикуляр к отрезку есть геомет­
рическое место точек, равноудален­
ных от концов этого отрезка.
50. Докажите, что биссектриса уг­
ла есть геометрическое место внутрен­
них точек угла, равноудаленных от его
сторон.
51. Докажите, что биссектрисы
треугольника пересекаются в одной
точке.
52. Докажите, что серединные пер­
пендикуляры к сторонам треугольни­
ка пересекаются в одной точке.
53. Докажите, что около любого
треугольника можно описать окруж­
ность, и притом единственную.
54. Через точку, не лежащую на
данной прямой, проведите с помощью
циркуля и линейки прямую, парал­
лельную данной.
55°. Докажите, что в прямоуголь­
ном треугольнике катет, лежащий
против угла в 30°, равен половине ги­
потенузы.
56. Катет
прямоугольного
тре­
угольника равен половине гипотену­
зы. Докажите, что угол, противолежа­
щий этому катету, равен 30°.
9
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
57°. Отрезки AC и B D пересекаются
в точке О. Докажите равенство тре­
угольников ВАО и DCO, если извест­
но, что Z ВАО = Z. DCO и А О = ОС.
58. Докажите, что у равнобедрен­
ного треугольника высота, опущенная
на основание, является медианой и
биссектрисой.
59. Треугольники ЛВС и AB Cj —
67.
Треугольники ACCj и BCCj на
рис. 3 равны. И х вершины А и В лежат
по разные стороны от прямой CCj. До­
кажите, что треугольники ABC
АВС-^ — равнобедренные.
и
равнобедренные с общим основанием
А В . Докажите равенство треугольни­
ков АСС^ и BCCj.
60. Два отрезка А В и CD пересе­
каются в точке О, которая является
серединой каждого из них. Д окаж и­
те равенство треугольников A C D и
В ВС .
61. Медиана треугольника делит
пополам его периметр. Докажите, что
этот треугольник равнобедренный.
62. Отрезки А В и CD пересекаются
в точке О, которая является серединой
каждого из них. Чем у равен отрезок
BD, если отрезок АС = 10?
63. На основании А В равнобедрен­
ного треугольника ABC даны точки A j
и В^. Известно, что АВ^ = ВА^. Дока­
жите, что треугольник АВ^С равен
треугольнику ВА^С.
64. На стороне А В треугольника
AB C взята точка D , а на стороне A j B j
треугольника AjB^Ci взята точка D j.
Известно, что треугольники A DC и
A jD jC i равны и отрезки D B и D^B^
также равны. Докажите равенство
треугольников А_ВС и А^В^С^.
65. Отрезки А В и CD пересекаются
в точке О. Докажите равенство тре­
угольников АСО и DBO, если извест­
но, что Z. АСО = Z D B O и ВО = ОС.
6 6 . Докажите,
что у равных тре­
угольников AB C и A iB jC j:
а) медианы, проведенные из вер­
шин А и А^, равны;
б) биссектрисы, проведенные
вершин А и A j, равны.
из
Рис. 3
6 8 . Докажите
признак равенства
треугольников по углу, биссектрисе
этого угла и стороне, прилежащей к
этому углу.
69. Докажите, что в равнобедрен­
ном треугольнике медиана, проведен­
ная к основанию, является биссектри­
сой и высотой.
70. В равнобедренном треугольни­
ке А_ВС с основанием АС проведена ме­
диана В М . На ней взята точка D. Дока­
жите
равенство
треугольников:
а) A B D и CBD; б) A M D и C M D .
71. Докажите, что треугольник
ABC равнобедренный, если у него:
а) медиана B D является высотой;
б) высота B D является биссектри­
сой.
72. Докажите, что биссектриса рав­
нобедренного треугольника, прове­
денная из вершины, противолежащей
основанию, является медианой и вы­
сотой.
73. Докажите равенство треуголь­
ников по двум сторонам и медиане,
проведенной к одной из них.
74. На сторонах А_В, ВС и СА равно­
стороннего треугольникаАВС отложе­
ны равные отрезки AD , B E и CF. Точки
D, Е и F соединены отрезками. Дока­
10
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
жите, что треугольник D E F — равно­
сторонний.
75. Отрезки А В и CD пересекаются
под прямым углом и АС = A D . Докажи­
те, что ВС ~ B D и /_ А С В = Z. A D B .
76. Даны два треугольника; ABC и
A iB ^C i- Известно, что A S =
АС =
= A jC j, Z А = Z A j. На сторонах AC и
ВС треугольника A B C взяты соответ­
ственно точки К м L , а
сторонах
А^С^ и B^Ci треугольника А^В^С^ —
точки
и 1 -1 , t & k 4 t o A K = A iK i, L C =
= L^Ci- Д окаж ите, что K L =
и
A L = Ai L i .
77. В равнобедренном треугольни­
ке ABC с основанием АС и углом при
вершине В, равным 36°, проведена
биссектриса A D . Докажите, что тре­
угольники CDA k A D B — равнобедрен­
ные.
78. В равнобедренном треугольни­
ке АБС с основанием АС, равным 37,
внешний угол при вершине В равен
60°. Найдите расстояние от вершины С
до прямой А-В.
79°. На сторонах ВС и B^Cj равных
треугольников AB C и А^В^С^ взяты со­
ответственно точки М и M j, причем
В М : М С = B ^ M i : М^С^. Докажите,
что A M = A ^ M i.
80. Внешние углы треугольника
ABC при вершинах А и С равны 115° и
140°. Прямая, параллельная прямой
АС, пересекает стороны А В и АС в точ­
ках М и N . Найдите углы треугольни­
ка BMiV.
81. От вершины С равнобедренного
треугольника ABC с основанием А В
отложены равные отрезки: СА^ на сто­
роне СА и СВ^ на стороне СВ. Докажи­
те равенство треугольников: 1 ) САВ^ и
CBAi; 2 )A B B i h B AA i .
82. На сторонах АС и ВС треуголь­
ника A B C взяты точки С^ и С£. Дока­
жите, что треугольник ABC равнобед­
ренный, если треугольники AB Cj и
ВАС 2 равны.
83°. Докажите, что у равнобедрен­
ного треугольника;
а) биссектрисы, проведенные из
вершин при основании, равны;
б) медианы, проведенные из тех же
вершин, также равны.
84°. Точки А , В, С, D лежат на од­
ной прямой. Докажите, что если треугольникиАВЕ^ V1 A B E 2 равны, то тре­
угольники CDE^ и C D E 2 также равны.
85. Отрезки А В и CD пересекаются.
Докажите, что если отрезки АС, СВ,
B D и A D равны, то луч А В является
биссектрисой угла CAD, луч CD — бис­
сектрисой угла АСВ, а CD перпендику­
лярно АВ.
8 6 . Треугольники ABC и B A D рав­
ны, причем точки С vlD лежат по раз­
ные стороны от прямой А В (рис. 4).
Докажите, что;
а) треугольники CBD и DAC равны;
б) прямая CD делит отрезок А В по­
полам.
Рис. 4
87°. Равные отрезки А В и CD пере­
секаются в точке О так, что АО = OD.
Докажите равенство треугольников
ABCuDCB.
8 8 . Найдите
углы треугольника,
если известно, что его стороны лежат
на прямых, углы между которыми
равны 20°, 30° и 50°.
89. В треугольнике проведены две
высоты. Докажите, что если их отрез­
ки от точки пересечения до вершин
равны, то треугольник равнобедрен­
ный.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
90. В треугольнике AB C проведены
биссектрисы из вершин A v i В. Точка
их пересечения обозначена через D.
Найдите угол A D B , если:
1 )/ 1 А = 5 0 °, Z £ = 1 0 0 °;
2 ) Z A = a , Z B = (3;
3)ZC=130°;
4) Л С - Y91. Дан равнобедренный треуголь­
ник A B C с основанием АС; CD — бис­
сектриса угла С; Z AD C == 150°. Найди­
те угол В.
92. В треугольнике известны вели­
чины углов А , В, С. Найдите углы шес­
ти треугольников, на которые данный
треугольник разбивается его биссект­
рисами.
93°. Биссектрисы двух углов тре­
угольника пересекаются под углом 70°.
Найдите третий угол треугольника.
94. Через вершину В треугольника
A B C проведена прямая, параллельная
прямой АС. Образовавшиеся при этом
три угла с вершиной В относятся как
3 : 1 0 : 5 . Найдите углы треугольника
ABC.
95. Через точку М , лежащую вну­
три угла с вершиной А, проведены
прямые, параллельные сторонам угла
и пересекающие эти стороны в точках
В и С. Известно, что Z.A C B = 50°, а
угол, смежный с углом A C M , равен
40°. Найдите углы треугольников
ВСМ иАВС.
96. Прямая, проходящая через вер­
шину А треугольника ABC, пересекает
сторону ВС в точке М . При этом В М =
= АВ , Z В А М = 35°, Z САМ = 15°. Най­
дите углы треугольника ABC.
97. Точки А , В, С, D лежат на одной
прямой, причем отрезки А В и CD
имеют общую середину. Докажите,
что если треугольник А В Е равнобед­
ренный с основанием А В , то треуголь­
ник CDE также равнобедренный с ос­
нованием CD.
98. Докажите равенство треуголь­
ников по стороне, медиане, проведен­
ной к этой стороне, и углам, которые
образует медиана с этой стороной.
11
99. Докажите равенство треуголь­
ников по стороне и высотам, опущен­
ным на две другие стороны.
100. Докажите, что если высота
треугольника проходит через центр
описанной около него окружности, то
этот треугольник равнобедренный.
101. Дан треугольник ABC. На про­
должении стороны АС за точку А отло­
жен отрезок A D = А В , а за точку С —
отрезок СЕ = СВ. Найдите углы тре­
угольника D B E , зная углы треуголь­
ника ABC.
102. Высоты треугольника ABC,
проведенные из вершин А и С, пересе­
каются в точке М . Найдите А А М С , ес­
ли . 1 А = 70°, Z С = 80°.
103. Если на гипотенузе ВС равно­
бедренного прямоугольного треуголь­
ника ABC отметить две точки Е и D
так, что B E = В А и CD = СА, то Z D A E =
= 45°. Докажите.
104. В равнобедренном треугольни­
ке ABC высоты A D и СЕ, опущенные
на боковые стороны, образуют угол
А М С , равный 48°. Найдите углы тре­
угольника ABC.
105. Из середины гипотенузы вос­
ставлен перпендикуляр до пересече­
ния с катетом, и полученная точка со­
единена с концом другого катета отрез­
ком, который делит угол треугольника
в отношении 2 : 5 (меньшая часть —
при гипотенузе). Найдите этот угол.
106. Дан угол А . От его вершины А
отложим на одной из сторон угла отре­
зок АВ ; из точки В проведем прямую,
параллельную второй стороне данного
угла; на этой прямой отложим внутри
угла отрезок B D , равный ВА, и соеди­
ним точку D с вершиной А , Докажите,
что прямая A D делит данный угол по­
полам.
107. Две параллельные прямые пе­
ресечены третьей. Найдите угол меж­
ду биссектрисами внутренних одно­
сторонних углов.
108. В треугольнике ABC медиана
B D равна половине стороны АС. Най­
дите угол в треугольника.
12
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
109.
В треугольнике ABC из верши­
сектриса треугольника. Докажите,
ны С проведены биссектрисы внутрен­
ч тоА О = ВС.
117. Два угла треугольника равны
него и внешнего углов (рис. 5). Первая
10° и 70°. Найдите угол между высо­
биссектриса образует со стороной АВ
той и биссектрисой, проведенными из
угол, равный 40°. Какой угол образует
вершины третьего угла треугольника.
с продолжением стороны А В вторая
118. Острый угол прямоугольного
биссектриса?
треугольника равен 30°, а гипотенуза
равна 8 . Найдите отрезки, на которые
делит гипотенузу высота, проведен­
ная из вершины прямого угла.
119. Прямая, проведенная через
вершину С треугольника ABC парал­
лельно его биссектрисе B D , пересекает
продолжение стороны А В в точке М .
Найдите углы треугольника М В С , ес­
ли Z AB C =1 10 °.
120°. Докажите, что геометричес­
кое место точек, удаленных на данное
Рис. 5
расстояние от данной прямой, есть две
параллельные прямые, находящиеся
110. Точки А и D лежат на одной из
на данном расстоянии от этой прямой.
двух параллельных прямых, точки В
121. Одна из сторон треугольника
и С — на другой, причем прямые А В и
вдвое больше другой, а угол между
CD также параллельны. Докажите,
этими сторонами равен 60°. Докажи­
что противоположные углы четырех­
те, что треугольник прямоугольный.
угольника АВСХ) равны.
122. Даны два равнобедренных тре­
111. Через середину М отрезка с
угольника с общим основанием. Дока­
концами на двух параллельных пря­
жите, что их медианы, проведенные к
мых проведена прямая, пересекаю­
основанию, лежат на одной прямой.
щая эти прямые в точках А и В. Дока­
123. Докажите, что если две сторо­
жите, что М также середина A S .
ны и угол против меньшей из них од­
112°. У глы треугольника относят­
ного треугольника соответственно
ся как 2 : 3 : 4 . Найдите отношение
равны двум сторонам и углу против
внешних углов треугольника.
меньшей из них другого треугольни­
113. Докажите, что высота равно­
ка, то треугольники могут быть как
бедренного прямоугольного треуголь­
равными, так и не равными.
ника, проведенная из вершины прямо­
124. Медиана A M
треугольника
го угла, вдвое меньше гипотенузы.
ABC перпендикулярна его биссектри­
114°. У гол треугольника равен сум­
се В К . Найдите АВ , если ВС = 12.
ме двух других его углов. Докажите,
125. Прямая, проведенная через
что треугольник прямоугольный.
вершину А треугольника ABC перпен­
115. Точки М l i N лежат на стороне
дикулярно его медиане B D, делит эту
А С треугольника ABC, причем /LABM =
медиану пополам. Найдите отношение
= Z АСВ и Z C B N = Z ВАС. Докажите,
сторон А В и АС.
что треугольник B M N равнобедрен­
126°. В треугольнике ABC медиана
ный.
A M продолжена за точку М на рас­
116. У гол при основании ВС равно­
стояние, равное A M . Найдите расстоя­
бедренного треугольника ABC вдвое
ние от полученной точки до вершин В
больше угла при вершине, B D — бис­
и С, если А В = 4, АС = 5.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
13
ана, проведенная к его гипотенузе, де­
лит прямой угол в отношении 1 : 2 .
136. Известно, что при пересечении
прямых а и Ь третьей прямой образова­
лось восемь углов. Четыре из этих уг­
лов равны 80°, а четыре других равны
100°. Следует ли из этого, что прямые
а и Ь параллельны?
137. Пусть А Е и CD — биссектрисы
равнобедренного треугольника ABC
(АВ = ВС). Докажите, что zl B E D =
= 2/LAED.
138. В прямоугольном треугольни­
ке один из углов равен 30°. Докажите,
что в этом треугольнике отрезок пер­
пендикуляра, проведенного к гипоте­
нузе через ее середину до пересечения
с катетом, втрое меньше большего ка­
тета.
139. На боковых сторонах А В и АС
равнобедренного треугольника ABC
отмечены точки Р и Q так, что Z Р Х В =
= Z. QXC, где X — середина основания
ВС. Докажите, что BQ = СР.
140. Докажите, что две прямые, па­
раллельные третьей, параллельны
между собой.
141. Докажите, что прямая, пере­
секающая одну из двух параллельных
прямых, пересекает и другую.
142. Докажите, что если в тре­
угольниках AB C n A jB iC j имеют место
равенства А В = A j B j , ВС = В^С^ и
М
/LABC = ^ А^В^С^, причем ВС > АВ ,
то эти треугольники равны.
143. На сторонах АС и ВС треуголь­
ника ABC взяты соответственно точки
М к N , причем M N II А В и M N = A M .
Найдите угол B A N , если Z В = 45° и
/ 1 С = 60°.
144. Прямая, проходящая через
вершину А треугольника ABC, пере­
секает сторону ВС в точке М , причем
В М = А В . Найдите разность углов
Рис. 6
В А М и С А М , если Z АСВ = 25°.
в точке М . Докажите, что треугольник
145. В К — биссектриса треуголь­
ника
ABC.
Известно,
что
D M В равнобедренный.
135.
Найдите острые углы прямо­
/LAKB ; Z С К В = 4 : 5 . Найдите раз­
ность углов А и С треугольника ABC.
угольного треугольника, если меди­
127, Две различные окружности
пересекаются в точках А и В . Докажи­
те, что прямая, проходящая через
центры окружностей, делит отрезок
А В пополам и перпендикулярна ему.
128°. Разделите отрезок пополам с
помощью циркуля и линейки.
129. Докажите, что диагонали че­
тырехугольника с равными сторонами
взаимно перпендикулярны.
130. Две высоты треугольника рав­
ны. Докажите, что треугольник равно­
бедренный.
131. A D — биссектриса треуголь­
ника A B C. Точка М лежит на стороне
А В , причем A/Vf = M D . Докажите, что
M D II АС.
132. Точки A n D лежат на одной из
двух параллельных прямых, точки В
и С — на другой, причем прямые А В и
CD также параллельны. Докажите,
4 T o A B ^ C D u A D = BC.
133. Некоторая прямая пересекает
параллельные прямые а и Ь в точках А
и В соответственно. Биссектриса одно­
го из образовавшихся углов с верши­
ной В пересекает прямую а в точке С.
Найдите АС, если А В = 1.
134. Равные отрезки А В и CD пере­
секаются в точке О (рис. 6 ) и делятся
ею в отношении А О : ОВ = СО : OD =
= 1 : 2. Прямые A D и Б С пересекаются
14
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
146. Докажите, что биссектриса
внешнего угла при вершине равнобед­
ренного треугольника параллельна ос­
нованию. Верно ли обратное?
147. Отрезки А В и CD пересекаются
в точке О и делятся этой точкой попо­
лам. Докажите, чтоАС II B D n A D II ВС.
148. Один из углов треугольника
равен а. Найдите угол между биссект­
рисами внешних углов, проведенны­
ми из вершин двух других углов.
149. Докажите, что биссектрисы
равностороннего треугольника делят­
ся точкой пересечения в отношении
2
: 1 , считая от вершин треугольника.
150. На стороне А В квадрата ABCD
построен равносторонний треуголь­
ник А В М . Найдите угол В М С .
151. Острый угол прямоугольного
треугольника равен 30°. Докажите,
что высота и медиана, проведенные из
вершины прямого угла, делят прямой
угол на три равные части.
152. Основание Н высоты СН пря­
моугольного треугольника ABC соеди­
нили с серединами М и N катетов АС и
ВС. Докажите, что периметр четырех­
угольника C M H N равен сумме кате­
тов треугольника ABC.
153. На боковых сторонах А В и АС
равнобедренного треугольника ABC
расположены точки N и М соответ­
ственно, причем AZV = N M = M B = ВС.
Найдите углы треугольника ABC.
154. В треугольнике ABC известно,
что А В = ВС, АС = 10. Из точки D, сов­
падающей с серединой АВ , проведен
перпендикуляр D E к стороне АВ до пе­
ресечения со стороной ВС в точке Е.
Периметр треугольника ABC равен 40.
Найдите периметр треугольника АЕС.
155. Можно ли расположить на
плоскости три круга так, что любые
два из них имели бы общие точки, а
все три — нет?
156. Докажите, что центр окруж­
ности, описанной около прямоуголь­
ного треугольника, совпадает с сере­
диной гипотенузы.
157. Докажите, что радиус окруж­
ности, описанной около прямоуголь­
ного треугольника, равен медиане,
проведенной к большей стороне (к ги­
потенузе). Верно ли обратное утвер­
ждение? (Е сли радиус описанной
около треугольника окружности ра­
вен медиане, то треугольник прямо­
угольны й.)
158. В прямоугольном треугольни­
ке ABC проведена высота С К из верши­
ны прямого угла С, а в треугольнике
А С К — биссектриса СЕ. Докажите,
что СВ = B E.
159°. Расстояние
от точки
до
прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного из этой точки на прямую.
Докажите, что расстояние от каждой
точки одной из двух параллельных
прямых до второй прямой постоянно.
160. Треугольник ABC — равнобед­
ренный (АВ = ВС). Отрезок A M делит
его на два равнобедренных треуголь­
ника с основаниями А В и М С. Найдите
угол В.
161. Через верш ины Аи С треуголь­
ника ABC проведены прямые, перпен­
дикулярные биссектрисе угла ABC,
пересекающие прямые СВ и ВА в точ­
ках К и М соответственно. Найдите
А В . если В М = 8 , isTC = 1.
162. Треугольники AB C n A B D рав­
ны, причем точки С и D не совпадают.
Докажите, что прямая CD перпенди­
кулярна прямой АВ.
163. Треугольники ЛВС n A D C име­
ют общую сторону АС; стороны A D и
ВС пересекаются в точке М . У глы В и
D равны по 40°. Расстояние между вер­
шинами D VI В равно стороне АВ;
Z А М С = 70°. Найдите углы треуголь­
ников ABC жADC .
164. У треугольников ABC иА^В^С^
заданы: А В = А^В^, АС = А^С^, Z С =
= Z Cj = 90°. Докажите, что треуголь­
ники ABC h A jB^Ci равны.
165. На луче О Х отложены после­
довательно точки А и С, а на луче
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
O Y — B u D (рис. 7). При этом ОА = ОВ
и АС = B D . Прямые A D и ВС пересека­
ются в точке Е. Докажите, что луч
ОЕ — биссектриса угла X O Y .
166. В треугольнике с неравными
сторонами А В и АС проведены высота
А Н и биссектриса A D . Докажите, что
угол H A D равен полуразности углов В
и С.
167. В треугольнике ABC высоты
ВВ^ и CCj пересекаются в точке М . И з­
вестно, ч то M B j = M C i- Докажите, что
треугольник ABC — равнобедренный.
168. Биссектрисы ВВ^ и СС^ тре­
угольника ABC пересекаются в точке
М , биссектрисы B^B 2 и
треуголь­
ника A B jC j пересекаются в точке N .
Докажите, что точки А , М к N лежат
на одной прямой.
169. Высоты остроугольного тре­
угольника ABC, проведенные из вер­
шин А и Б, пересекаются в точке Н ,
причем Z^AHB = 120°, а биссектрисы,
проведенные из вершин В и С, — в точ­
ке К , причем / 1 В К С = 130°. Найдите
угол ABC.
170. Постройте
прямоугольный
треугольник по катету и медиане, про­
веденной из вершины прямого угла.
171. А £ ) — биссектриса треуголь­
ника ABC, Е — основание перпенди­
куляра, опущенного из центра О впи­
санной окружности на сторону ВС. Д о­
кажите, что Z В О Е = Z COD.
172. На продолжениях гипотенузы
А В прямоугольного треугольникаАВС
за точки А VI В соответственно взяты
точки К и М , причем А К = АС и В М =
= ВС. Найдите угол М С К .
15
173.
В прямоугольном треугольни­
ке ABC на гипотенузе А В взяты точки
К к М , причем А К = АС и В М = ВС.
Найдите угол М С К .
174°. Через данную точку проведи­
те прямую, пересекающую две данные
прямые под равными углами.
175. Дана незамкнутая ломаная
AB CD , причем А В
CD и Z. ABC =
= Z BCD. Докажите, что A D ||ВС.
176. На сторонах АС и ВС равносто­
роннего треугольника AB C построены
внешним образом равнобедренные
прямоугольные треугольники A C N и
ВСМ с прямыми углами при верши­
нах А и С соответственно. Докажите,
что В М _L B N .
177. Докажите, что биссектрисы
двух внешних углов и третьего внут­
реннего угла треугольника пересека­
ются в одной точке.
178. Найдите сумму внутренних
углов:
а) четырехугольника;
б) выпуклого пятиугольника;
в) выпуклого п-угольника.
179. Биссектрисы
треугольника
AB C пересекаются в точке О. Через
точку О проходят две прямые, кото­
рые параллельны прямым А В и АС и
пересекаются с ВС в точках D n E . Д о­
кажите, что периметр треугольника
O ED равен отрезку ВС.
180. Точка К — середина стороны
А В квадрата АВС£), а точка!/делит ди­
агональ АС в отношении A L : LC = 3 : 1.
Докажите, что угол K L D — прямой.
181. Биссектрисы углов А и В тре­
угольника AB C одинаково наклонены
к сторонам ВС и АС. Найдите зависи­
мость между углами А и В.
182. Постройте прямоугольный тре­
угольник по острому углу и сумме ка­
тетов.
183. Существует ли треугольник,
две биссектрисы которого перпенди­
кулярны?
184. У гол при вершине В равнобед­
ренного треугольника ABC равен 108°.
16
ПЛАНИМЕТРИЯ
Перпендикуляр к биссектрисе A D это­
го треугольника, проходящий через
точку D , пересекает сторону АС в точ­
ке Е . Докажите, что D E = BD.
185. Равные отрезки А В и CD пере­
секаются в точке К . Известно, что
АС II BD. Докажите, что треугольники
А К С и B K D равнобедренные.
186. Высота прямоугольного тре­
угольника, опущенная на гипотенузу,
равна 1 , один из острых углов равен
15°. Найдите гипотенузу.
187. На каждой стороне правильно­
го треугольника взято по точке. Сторо­
ны треугольника с вершинами в этих
точках перпендикулярны сторонам
исходного треугольника (рис. 8 ), В ка­
ком отношении каждая из взятых то­
чек делит сторону исходного треуголь­
ника?
188. Найдите углы равнобедренно­
го треугольника, если известно, что
угол между биссектрисой, проведен­
ной к основанию, и биссектрисой, про­
веденной к боковой стороне, равен уг­
л у при вершине.
189. Отрезок постоянной длины
движется по плоскости так, что его
концы скользят по сторонам прямого
угла. По какой траектории движется
середина этого отрезка?
190. Докажите равенство треуголь­
ников по двум сторонам и медиане, ис­
ходящим из одной вершины.
191. Докажите равенство треуголь­
ников по медиане и углам, на которые
медиана разбивает угол треугольника.
192. На сторонах ВС и CD квадрата
A B C D построены внешним образом
правильные треугольники В СК и
DC L. Докажите, что треугольник
A K L — правильный.
193. На катетах АС и ВС прямо­
угольного треугольника вне его по­
строены квадраты A C D E и B C K F. Из
точек £ и на продолжение гипотену­
зы опущены перпендикуляры Е М и
F N . Докажите, что Е М + F N = А В .
194. Найдите сумму углов при вер­
шинах самопересекающейся пятико­
нечной звезды.
195. Докажите, что в прямоуголь­
ном треугольнике медиана, проведен­
ная к гипотенузе, равна ее половине.
196. Докажите признак равенства
прямоугольных треугольников по ка­
тету и противолежащему углу.
197. Диагонали АС и B D четырехугольникаАБСГ) пересекаются в точке
О. Периметр треугольника AB C равен
периметру треугольника АВ£>, а пери­
метр треугольника A C D — периметру
треугольника BCD. Докажите, что
АО = ВО.
198. Точки М n N — середины рав­
ных сторон A D и ВС четырехугольни­
ка ABCD. Серединные перпендикуля­
ры к сторонам А Б и CD пересекаются в
точке Р . Докажите, что серединный
перпендикуляр к отрезку M N прохо­
дит через точку Р .
199. Докажите, что две различные
окружности на могут иметь более трех
общих точек.
200. В треугольнике ABC угол А ра­
вен 60°, а биссектриса угла А , меди­
ана, проведенная из вершины В, и вы­
сота, проведенная из вершины С, пере­
секаются в одной точке. Найдите ос­
тальные углы треугольника.
201. В треугольнике АБ С сторона
А В равна 2, а у г л ы А и В равны соответ­
ственно 60° и 70°. На стороне АС взята
точка D так, что A D = 1. Найдите углы
треугольника В DC.
202. Найдите сумму внешних углов
выпуклого тг-угольника,
203. Продолжения двух противопо­
ложных сторон А В и CD четырех­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
угольника А В CD пересекаются под у г­
лом а, продолжения двух других про­
тивоположных сторон пересекаются
под тем же углом. Докажите, что два
угла в четырехугольнике равны, и най­
дите разность двух других его углов.
204. Биссектрисы ВВ^ и ССу тре­
угольника ABC пересекаются в точке
О. Известно, что А О _L В^С^. Докажи­
те, что треугольник ABC — равнобед­
ренный.
205. Биссектриса угла при основа­
нии равнобедренного треугольника
делит противолежащую сторону так,
что отрезок, прилежащий к вершине
треугольника, равен его основанию.
Докажите, что эта биссектриса также
равна основанию треугольника.
206. Величины углов А , В, С тре­
угольника ABC составляют арифмети­
ческую прогрессию с разностью
2
.
Биссектрисы этого треугольника пере­
секаются в точке D . Точки A j, В^, С^
находятся на продолжениях отрезков
D A, D B , DC за точки А , В, С соответ­
ственно на одинаковом расстоянии от
точки D . Докажите, что величины у г­
лов A j, B j, Cj также образуют арифме­
тическую прогрессию. Найдите ее раз­
ность.
207. Прямая пересекает боковую
сторону АС, основание ВС и продолже­
ние боковой стороны А В равнобедрен­
ного треугольника ABC в точках К , Ь к
М соответственно. При этом треуголь­
ники C K L и B M L также равнобедрен­
ные. Найдите их углы .
208. Биссектриса внутреннего угла
при вершине А и биссектриса внешне­
го угла при вершине С треугольника
AB C пересекаются в точке М . Найдите
Z В М С , если Z ВАС = 40°.
209. Возможно ли, чтобы одна бис­
сектриса треугольника делила попо­
лам другую биссектрису?
210. Сторона A D прямоугольника
A B C D в три раза больше стороны АВ.
17
Точки М к N делят A J) на три равные
части (рис. 9). Найдите Z А М В +
+ /LANB + /LADB.
211. Найдите углы треугольника,
если известно, что медиана и высота,
выходящие из вершины одного из его
углов, делят этот угол на три равные
части.
212. Дан
равнобедренный
тре­
угольник AB C с вершиной А . Длина
прыжка кузнечика равна основанию
ВС. Известно, что, начиная движение
из точки С, кузнечик за 23 прыжка
оказался в точке А, приземляясь после
каждого прыжка на боковой стороне
треугольника AB C и чередуя стороны
при каждом прыжке, кроме последне­
го. Найдите углы треугольника ABC,
если известно, что с каждым прыжком
кузнечик приближался к точке А .
213. Какие значения может прини­
мать: а) наибольший угол треугольни­
ка; б) наименьший угол треугольника;
в) средний по величине угол треуголь­
ника?
214. В треугольнике ABC угол В ра­
вен 20°, угол С равен 40°. Биссектриса
A D равна 2. Найдите разность сторон
В С -А В .
215. Внутри квадрата A B C D взята
точка М так, что Z М А В = 60°,
Z M C D = 15°. Найдите Z М В С .
216. На стороне ВС равносторонне­
го треугольника AB C взята точка М , а
на продолжении стороны АС за точку
С — точка N , причем A M = M N . Дока­
жите, что В М = C N .
217°. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника A B C D пересекаются в
18
ПЛАНИМЕТРИЯ
точке Е , А В = A D , СА — биссектриса
угла С, Z ЙАВ = 140°, Z В Е А = 110°.
Найдите угол CDB.
218°. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E известно, чтоАБ = A D ,A C = А В
и Z DAC = Z А Е В + Z А В Е . Докажите,
что DC в два раза больше медианы AST
треугольника А В Е .
219°. Внутри квадрата A B C D взята
точка Ртак, что Z Р В А = Z Р А В = 15°.
Докажите, что С Р В — равносторон­
ний треугольник.
220. На двух сторонах треугольни­
ка вне его построены квадраты. Дока­
жите, что отрезок, соединяющий кон­
цы сторон квадратов, выходящих из
одной вершины треугольника, в два
раза больше медианы треугольника,
выходящей из той же вершины.
221. Биссектриса равнобедренного
треугольника, проведенная из верши­
ны, вдвое меньше другой биссектри­
сы. Найдите углы треугольника.
222. В треугольнике ABC известны
углы Z А = 45°, Z В = 15°. На продол­
жении стороны А С за точку С взята
точка М так, что С М = 2ЛС. Найдите
/LAM B.
223. Дан треугольник ABC, причем
А В = АС и Z А = 80°. Внутри треуголь­
ника ABC взята точка М такая, что
Z М В С = 30°, а Z М С В = 10°. Найдите
ААМС.
224. Дан треугольник ABC, причем
АВ = АС и Z A = 110°. Внутри тре­
угольника взята точка М такая, что
Z М В С = 30°, а Z М С В = 25°. Найдите
ААМС.
225. Докажите, что если в тре­
угольнике один угол равен 1 2 0 °, то тре­
угольник, образованный основаниями
его биссектрис, прямоугольный.
226. На сторонах А В , ВС и СА остро­
угольного треугольника ABC взяты
точки С^, Ау и
соответственно. Д о­
кажите, что если Z B jA jC = Z ВА^С^,
АА^В^С = Z^AB-fi^ и A A ^ C iB =
= /^АС^В^, то точки A j, B i и С^ явля­
ются основаниями высот треугольни­
ка ABC.
227.
В треугольнике ABC угол В ра­
вен 36°, угол С равен 42°. На стороне
ВС взята точка М так, что В М = R, где
R — радиус окружности, описанной
около треугольника ABC. Найдите
угол M AC.
3. О К РУЖ Н О СТЬ. Д И АМ Е ТР,
П Е Р П Е Н Д И К У Л Я Р Н Ы Й ХОРДЕ.
З А М Е Ч А ТЕ Л ЬН О Е СВОЙСТВО
О КРУЖ Н О СТИ . К А С А Т Е Л Ь Н А Я
К О КРУЖ НОСТИ.
К АСАЮ Щ И Е СЯ О КРУЖ Н О СТИ .
О П И САН Н Ы Й
ЧЕТЫ РЕХУГО ЛЬН И К
228. Докажите, что диаметр ок­
ружности, перпендикулярный хорде,
делит эту хорду пополам.
229. Докажите, что у четырех­
угольника, описанного около окруж­
ности, суммы противоположных сто­
рон равны.
230. Через точку М проведены две
касательные М А и M B к окружности
(А и В — точки касания). Докажите,
что М А = M B .
231. Докажите, что центр окруж­
ности, вписанной в угол, лежит на бис­
сектрисе этого угла.
232. Докажите, что около четырех­
угольника, сумма противоположных
углов которого равна 180°, можно опи­
сать окружность.
233. Из точки, данной на окруж­
ности, проведены диаметр и хорда,
равная радиусу. Найдите угол между
ними.
234. Из точки, данной на окруж­
ности, проведены две хорды, каждая
из которых равна радиусу. Найдите
угол между ними.
235. У гол между радиусами ОА и
ОВ окружности равен 60°. Найдите
хорду А В , если радиус окружности ра­
вен R.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
19
245. Три последовательные сторо­
236°. Постройте окружность, кото­
ны описанного четырехугольника от­
рая проходила бы через две данные
носятся, как 1 : 2 : 3 . Найдите его сто­
точки и центр которой находился бы
роны, если известно, что периметр ра­
на данной прямой.
237.
Из внешней точки проведенывен 24.
246. Докажите, что равные хорды
к кругу две взаимно перпендикуляр­
удалены от центра окружности на рав­
ные касательные (рис. 10). Радиус
ные расстояния.
круга R = 10. Найдите длину каждой
247. Докажите, что хорды, удален­
касательной.
ные от центра окружности на равные
расстояния, равны.
248. Постройте окружность данно­
го радиуса, высекающую на данной
прямой отрезок, равный данному.
249. Через точку А окружности с
центром О проведены диаметр А В и
хорда АС. Докажите, что угол ВАС
вдвое меньше угла ВОС.
250. У го л с вершиной С равен 120°.
Окружность радиуса R касается сто­
рон угла в точках А а В. Найдите АВ .
238. Дан сектор, равный четверти
251. Точки А и В лежат на окруж­
круга радиуса R. Найдите длину каса­
ности. Касательные к окружности,
тельной, проведенной в середине его
проведенные через эти точки, пересе­
дуги до пересечения с продолжениями
каются в точке С. Найдите углы тре­
крайних радиусов сектора.
угольника ABC, если А В = А С .
239. А В и АС — касательные к од­
252. Окружность, вписанная в тре­
ной окружности, Z ВАС = 60°, длина
угольник ABC, касается сторон А В , ВС
ломаной ВАС равна 1. Найдите рас­
и АС в точках С^, А^ и В^ соответствен­
стояние между точками касания В и С.
но. Известно, чтоA C j = ВА^ = СВ^. До­
240. Хорда стягивает дугу в 90° и
кажите, что треугольник ABC — пра­
равна 16. Найдите до нее расстояние от
вильный.
центра окружности.
253. В прямой угол вписан круг.
241. Радиусы двух концентриче­
Хорда, соединяющая точки касания,
ских окружностей относятся, как
равна 2. Найдите расстояние от центра
7 : 4, а ширина кольца равна 12. Най­
круга до этой хорды.
дите радиус меньшей окружности.
254. Даны два круга радиусами R и
242. Докажите, что касательные к
г (i? > г), один вне другого. К ним про­
окружности, проведенные через кон­
ведены две общие внешние касатель­
цы диаметра, параллельны.
ные. Найдите их длину (между точка­
243. Хорда пересекает диаметр под
ми касания), если их продолжения об­
углом 30° и делит его на два отрезка
разуют прямой угол.
длинами 2 и 6 . Найдите расстояние от
255. Две прямые проходят через
центра окружности до этой хорды.
точку М и касаются окружности в точ­
244°. Радиус окружности, вписан­
ках А и Б. Проведя радиус ОВ, продол­
ной в равнобедренный прямоуголь­
жают его за точку В на расстояние
ный треугольник, равен г, а полупериВС = ОВ. Докажите, что Z А М С =
метр — р. Найдите гипотенузу.
= Z ВМС.
20
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
256. Гипотенуза
прямоугольного
треугольника равна 4. Найдите радиус
описанной окружности.
257. Боковая сторона равнобедрен­
ного треугольника равна 2 , угол при
вершине равен 120°. Найдите диаметр
описанной окружности.
258. В равнобедренном треугольни­
ке боковая сторона делится точкой ка­
сания вписанного круга в отношении
7 : 5 (начиная от вершины). Найдите
отношение боковой стороны к основа­
нию.
259. Укажите все точки М внутри
круга, через которые можно провести
две различные хорды, делящиеся в
точке М пополам.
260. Докажите, что если пересечь
два концентрических круга секущей,
то части секущей, лежащие между ок­
ружностями, равны между собой.
261. Через точку А , лежащую на
окружности, проведены диаметр А В и
хорда АС, причем АС = 8 и Z ВАС =
= 30°. Найдите хорду С М , перпенди­
кулярную АВ .
262. Хорда большей из двух кон­
центрических окружностей касается
меньшей. Докажите, что точка каса­
ния делит эту хорду пополам.
263. В круге даны две взаимно пер­
пендикулярные хорды. Каждая из
них делится другой хордой на два от­
резка в 3 и 7. Найдите расстояние от
центра окружности до каждой хорды.
264. В круге с центром О проведена
хорда А В и продолжена на расстояние
ВС, равное радиусу (рис. 11). Через
точку с и центр О проведена секущая
CD {D — точка пересечения с окруж ­
ностью, лежащая вне отрезка СО). До­
кажите, что угол AO D равен утроенно­
му углу ACD.
265. Докажите, что середины всех
хорд данной длины, проведенных в
данной окружности, лежат на некото­
рой окружности.
266. Постройте
прямоугольный
треугольник по гипотенузе и высоте,
опущенной из вершины прямого угла
на гипотенузу.
267. Три равных круга радиуса R
касаются друг друга внешним обра­
зом. Найдите стороны и углы тре­
угольника, вершинами которого слу­
жат точки касания.
268. Два равных круга касаются
изнутри третьего круга и касаются
между собой. Соединив три центра,
получим треугольник с периметром,
равным 18. Найдите радиус большего
круга.
269. Около круга, радиус которого
равен 4, описан прямоугольный тре­
угольник, гипотенуза которого равна
26. Найдите периметр треугольника.
270. Окружность, построенная на
катете прямоугольного треугольника
как на диаметре, делит гипотенузу по­
полам. Найдите углы треугольника.
271. Расстояние от точки М до
центра О окружности равно диаметру
этой окружности. Через точку М про­
ведены две прямые, касающиеся ок­
ружности в точках А и В. Найдите у г­
лы треугольника АОВ.
272. В круге на расстоянии 1 от
центра даны две взаимно перпендику­
лярные хорды. Каждая из них равна 6 .
На какие части одна хорда делит дру­
гую?
273. В круге радиуса R даны два
взаимно , перпендикулярных
диа­
метра. Произвольная точка окружнос­
ти спроецирована на эти диаметры.
Найдите расстояние между проекция­
ми точки.
21
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
274. Сторона ромба равна 8 , острый
угол равен 30°. Найдите радиус впи­
санного круга.
275. Две касающиеся окружности с
центрами
и О 2 касаются внутрен­
ним образом окружности радиуса R с
центром О. Найдите периметр тре­
угольника OOjOa276. Центры трех попарно касаю­
щихся друг друга внешним образом
окружностей расположены в точках
А , В , С, А AB C = 90°. Точки касания —
К , Р VL М {Р па стороне А С ). Найдите
угол К Р М .
277. Разделите окружность с дан­
ным центром на 6 равных частей,
пользуясь только циркулем.
278. Найдите угол между радиуса­
ми ОА и ОБ, если расстояние от центра
О окружности до хорды А В : а) вдвое
меньше А В ; б) вдвое меньше ОА.
279. На катете АС прямоугольного
треугольника ABC как на диаметре по­
строена окружность, пересекающая
гипотенузу А В в точке К . Найдите СК,
если АС = 2 и Z А = 30°.
280. Докажите, что окружность,
построенная на стороне равносторон­
него треугольника как на диаметре,
проходит через середины двух других
сторон треугольника.
281. Докажите, что окружность,
построенная на боковой стороне рав­
нобедренного треугольника как на
диаметре, проходит через середину ос­
нования.
282. Окружность, построенная на
стороне треугольника как на диа­
метре, проходит через середину дру­
гой стороны. Докажите, что треуголь­
ник равнобедренный.
283. Окружности, центры которых
расположены по разные стороны от не­
которой прямой, касаются этой пря­
мой. Линия центров пересекает пря­
мую под углом , равным 30°. Найдите
расстояние между центрами окруж­
ностей, если их радиусы равны r u R .
284. Две прямые касаются окруж­
ности с центром О в точках А и Б и пе­
ресекаются в точке С. Найдите угол
между этими прямыми, если Z А В О =
= 40°.
285. Две прямые, пересекающ ие­
ся в точке С, касаются окруж ности с
центром О в точках А и В . Известно,
что А А С В = 120°. Докажите, что
сумма отрезков А С и ВС равна отрез­
к у ОС.
286. Прямая, параллельная хорде
АВ , касается окружности в точке С.
Докажите, что треугольник ABC —
равнобедренный.
287. Точка А леж ит вне данной ок­
ружности с центром О. Окружность с
диаметром ОА пересекается с данной в
точках В и С. Докажите, что прямые
А В и АС — касательные к данной ок­
ружности.
288. Прямая касается окружности
с центром О в точке А . Точка С на этой
прямой и точка D на окружности рас­
положены по разные стороны от пря­
мой ОА. Найдите угол CAD, если угол
A O D равен 110°.
289. Прямая касается окружности
с центром О в точке А . Точка С на этой
прямой и точка D на окружности рас­
положены по одну сторону от прямой
ОА (рис. 12). Докажите, что угол CAD
вдвое меньше угла АО£).
Р и с . 12
290.
Диагонали четырехугольника
делят его углы пополам. Докажите,
что в такой четырехугольник можно
вписать окружность.
22
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
291. Радиусы двух кругов равны 2
и 4. Их общие внутренние касатель­
ные взаимно перпендикулярны. Най­
дите длины каждой из них.
292. Центр окружности, описанной
около треугольника, совпадает с цент­
ром вписанной окружности. Найдите
углы треугольника.
293. Центральный угол сектора ра­
вен 60°, а радиус равен R. Найдите ра­
диус круга, вписанного в этот сектор.
294. В острый угол, равный 60°,
вписаны две окружности, извне ка­
сающиеся друг друга. Радиус мень­
шей окружности равен г. Найдите ра­
диус большей окружности.
295. Даны два круга — один внутри
другого. Через их центры проведен в
большем круге диаметр, который ок­
ружностью меньшего круга делится
на три части: 5, 8 и 1. Найдите расстоя­
ние между центрами кругов.
296. И з конца А диаметра АС ок­
ружности опущен перпендикуляр А Р
на касательную, проведенную через
лежащую на окружности точку В, от­
личную от А и С. Докажите, что А В —
биссектриса угла РАС.
297. Две хорды окружности взаим­
но перпендикулярны. Докажите, что
расстояние от точки их пересечения до
центра окружности равно расстоянию
между их серединами.
298. Окружность касается двух па­
раллельных прямых и их секущей.
Докажите, что отрезок секущей, за­
ключенный между параллельными
прямыми, виден из центра окружнос­
ти под прямым углом.
299. Окружность касается одной
стороны прямого угла с вершиной О и
пересекает вторую сторону в точках А
и В. Найдите радиус окружности, если
ОА = а и ОВ = Ь.
300. Четырехугольник A B C D опи­
сан около окружности с центром О.
Докажите, что Z А О В + Z. COD = 180°.
301. В данный круг, радиус которо­
го равен 3, вписано шесть равных кру­
гов, из которых каждый касается дан­
ного круга; кроме того, каждый из
этих шести кругов касается двух со­
седних. Найдите радиусы кругов.
302. Ш есть равных кругов касают­
ся внешним образом круга радиуса 1
и, кроме того, каждый из этих шести
кругов касается двух соседних. Най­
дите радиусы кругов.
303. Стороны треугольника отно­
сятся, как 5 : 4 : 3 . Найдите отноше­
ния отрезков сторон, на которые они
делятся точками касания с вписанной
окружностью.
304. Даны две концентрические ок­
ружности радиусов 1 и 3 с общим цент­
ром О. Третья окружность касается их
обеих. Найдите угол между касатель­
ными к третьей окружности, выходя­
щими из точки О.
305. Через центр окружности, впи­
санной в трапецию, проведена пря­
мая, параллельная основаниям. Д о­
кажите, что отрезок этой прямой, за­
ключенный между боковыми сторо­
нами, равен четверти периметра тра­
пеции.
306. На отрезке А В как на диаметре
построена окружность. Докажите, что
из всех точек окружности, отличных
о тА и В, отрезок А В виден под прямым
углом.
307. Равные хорды окружности с
центром О пересекаются в точке М .
Докажите, что М О — биссектриса у г­
ла между ними.
308. Через концы диаметра окруж­
ности проведены две хорды, пересе­
кающиеся на окружности и равные 1 2
и 16. Найдите расстояния от центра
окружности до этих хорд.
309°. Продолжения равных хорд
А В и CD окружности соответственно
за точки В а С пересекаются в точке Р.
Докажите, что треугольники A P D и
В РС — равнобедренные.
310°. Биссектрисы внутреннего и
внешнего углов при вершине А тре­
угольника AB C пересекают прямую
23
ПЛАНИМЕТРИЯ
ВС в точках Р и Q (рис. 13). Докажите,
что окружность, построенная на от­
резке P Q как на диаметре, проходит
через точку А .
311. Докажите, что отличная от А
точка пересечения окружностей, по­
строенных на сторонах А В и А С тре­
угольника ABC как на диаметрах, ле ­
жит на прямой ВС.
312°. Из точки М , лежащей вне
двух концентрических окружностей,
проведены четыре прямые, касающие­
ся окружностей в точках А , В , С и D.
Докажите, что точки М , А , В , С, D рас­
положены на одной окружности.
313°. Две прямые, проходящие че­
рез точку М , лежащую вне окружнос­
ти с центром О, касаются окружности
в точках А и В. Отрезок О М делится ок­
ружностью пополам. В каком отноше­
нии отрезок О М делится прямой АВ?
314. Окружность проходит через
вершину С и середины D u E сторон ВС
и АС равностороннего треугольника
ABC. Докажите, что прямая, проходя­
щая через середины сторон А В и
ВС, — касательная к окружности.
315. Хорда,
перпендикулярная
диаметру окружности, делит его в от­
ношении 1 : 3 . Под какими углами
видна хорда из концов этого диа­
метра?
316. Окружность, построенная на
стороне треугольника как на диа­
метре, высекает на двух других сторо­
нах равные отрезки. Докажите, что
треугольник равнобедренный.
317. Даны две равные касающиеся
окружности. Под каким углом пересе­
каются прямые, одна из которых каса­
ется этих окружностей в разных точ­
ках, а вторая проходит через центр од­
ной из окружностей и касается дру­
гой?
318. Через данную в круге точку
проведите хорду, которая делилась бы
этой точкой пополам.
319. В данном круге проведены две
равные параллельные хорды, расстоя­
ние между которыми равно радиусу
данного круга. Найдите острый угол
между прямыми, соединяющими кон­
цы хорд.
320. Даны две круга. Их общие
внутренние касательные взаимно пер­
пендикулярны. Хорды, соединяющие
точки касания, равны 3 и 5. Найдите
расстояние между центрами кругов.
321. Пусть г — радиус окружности,
вписанной в прямоугольный треуголь­
ник с катетами а, Ь м. гипотенузой с.
Докажите, что г =
^— .
322. Пусть г — радиус окружности,
касающейся гипотенузы и продолже­
ний катетов прямоугольного треуголь­
ника со сторонами а, Ъ, с. Докажите,
чтог=^±|±^.
323. В треугольник ABC вписана
окружность. Пусть X — расстояние от
вершины А до ближайшей точки каса­
ния, ВС = а. Докажите, что х ==р - а,
где р — полупериметр треугольника.
324. Через точку касания двух ок­
ружностей проведена секущая. Дока­
жите, что радиусы и касательные,
проведенные через концы образовав­
шихся хорд, попарно параллельны.
325. На сторонах ОА и ОВ четверти
А О В круга построены как на диа­
метрах полуокружности АС О и ОСВ,
пересекающиеся в точке С. Докажите,
что:
1) прямая ОС делит Z А О В пополам;
2) точки А , С и В лежат на одной
прямой;
3) дуги АС, СО и СВ равны между
собой.
24
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
326. В шестиугольнике, описанном
около окружности, даны пять после­
довательных сторон; а, Ь, с, d, е. Най­
дите шестую сторону.
327. Стороны треугольника ABC
касаются некоторой окружности в
точках k, Р к М , причем точка М рас­
положена на стороне ВС. Найдите угол
К М Р , если Z ВАС = 2а.
328. А В — диаметр окружности,
АС и B D — параллельные хорды этой
окружности. Докажите, что АС = B D и
CD также диаметр окружности.
329. Докажите, что прямая, прохо­
дящая через центры вневписанных
окружностей треугольника ABC, касающ,ихся сторон А В и АС, перпенди­
кулярна прямой, проходящей через
центр вписанной окружности и вер­
шину А.
330. Две окружности пересекаются
в точках А и В; A M и A N — диаметры
окружностей. Докажите, что точки
М , N и В леж ат на одной прямой.
331. Найдите центр данной окруж­
ности с помощью чертежного угольни­
ка.
332. В М и CN — высоты треуголь­
ника АБС. Докажите, что точки Б, N ,
М и С лежат на одной окружности.
333. Окружность, построенная на
биссектрисе A i ) треугольника АБ С как
на диаметре, пересекает стороны А Б и
АС соответственно в точках М n N , от­
личны х от А . Докажите, что A M = A N .
334. Через точку А проведена пря­
мая, пересекающая окружность с диа­
метром А Б в точке К , отличной от А , а
окружность с центром В — в точках М
и N . Докажите, что М К = K N .
335. Докажите, что точка пересече­
ния биссектрис треугольника ABC,
точки Б и С, а также точка пересече­
ния биссектрис внешних углов с вер­
шинами Б и С лежат на одной окруж­
ности.
336. Точки А , В, С и D последова­
тельно расположены на окружности.
причем центр О окружности располо­
жен внутри четырехугольника A B C D
(рис. 14). Точки К , L , M u N — середи­
ны отрезков АБ , ВС, CD и A D соответ­
ственно. Докажите, что
Z K O N + Z . M O L - 180°.
337. У гол при вершине А треуголь­
ника АБС равен 120°. Окружность ка­
сается стороны ВС и продолжений сто­
рон А Б и АС. Докажите, что расстоя­
ние от вершины А до центра окружнос­
ти равно периметру треугольника
ABC.
338. Точка D леж ит на стороне ВС
треугольника ABC. В треугольники
A B D и ACjD вписаны окружности с
центрами Oj и О 2 . Докажите, что тре­
угольник OjjDOg прямоугольный.
339. В прямой угол вписана окруж­
ность радиуса R, касающаяся сторон
угла в точках А п В . Через некоторую
точку на меньшей дуге А Б окружности
проведена касательная, отсекающая
от данного угла треугольник. Найдите
его периметр.
340. Постройте прямую, касаю­
щуюся данной окружности в данной
точке, не используя центр окружнос­
ти.
341. Окружность касается стороны
ВС треугольника АБС в точке М и про­
должений двух других сторон. Дока­
жите, что прямая A M делит периметр
треугольника пополам.
342. Окружность с центром О каса­
ется в точке А внутренним образом
больш ей окруж ности. И з точки В
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
большей окружности, диаметрально
противоположной точке А,.проведена
хорда ВС большей окружности, ка­
сающаяся меньшей окружности в точ­
ке М . Докажите, что О М ЦАС.
343. Две окружности с центрами 0 {
и О2 касаются внешним образом, а так­
же касаются некоторой прямой соот­
ветственно в точках А и В. На продол­
жении за точку А радиуса О-^А мень­
шей окружности отложен отрезок АК",
равный О 2 В. Докажите, что О 2 К —
биссектриса угла
0
^0 2 В.
344. Окружность касается стороны
ВС треугольника A B C и продолжений
сторон А В и АС. Докажите, что рас­
стояние от вершины А до точки каса­
ния с прямой А В равно половине пери­
метра треугольника АБС.
345. В прямоугольном треугольни­
ке на гипотенузе А В от вершины А от­
ложим отрезок AJ), равный катету АС,
а от вершины В — отрезок B E , равный
катету ВС. Докажите, что отрезок D E
равен диаметру окружности, вписан­
ной в треугольник ABC.
346. Две окружности радиусов г и р
(г < р) касаются внешним образом, а
также обе касаются внутренним обра­
зом окружности радиуса R. Известно,
что треугольник с вершинами в цент­
рах окружностей является равнобед­
ренным, а угол между боковыми сто­
ронами больше 5 . Найдите основание
О
этого треугольника.
347. Наибольший угол треугольни­
ка равен 100°. Построены три попарно
касающиеся внешним образом окруж­
ности с центрами в вершинах этого
треугольника. Найдите наименьший
угол треугольника с вершинами в точ­
ках касания построенных окружнос­
тей.
348. В равнобедренный треуголь­
ник с основанием 1 2 вписана окруж­
ность и к ней проведены три касатель­
25
ные так, что они отсекают от данного
треугольника три маленьких тре­
угольника. Сумма периметров отсе­
ченных треугольников равна 48. Най­
дите боковую сторону данного тре­
угольника.
349. Прямые Р А и Р В касаются ок­
ружности с центром О {А и В — точки
касания). Проведена третья касатель­
ная к окружности, пересекающая пря­
мые Р А и Р В в точках X и Y . Докажи­
те, что величина угла X O Y не зависит
от выбора третьей касательной.
350. Дан круг радиуса 1. Из внеш­
ней точки М к нему проведены две вза­
имно перпендикулярные касательные
М А и M B . Между точками касания А
и В на дуге А-В взята произвольная точ­
ка С и через нее проведена третья каса­
тельная K L , образующая с касатель­
ными М А и M B треугольник K L M .
Найдите периметр этого треугольника.
351. Расстояние между центрами
непересекающихся окружностей рав­
но а. Докажите, что точки пересече­
ния общих внешних касательных с об­
щими внутренними касательными ле ­
жат на одной окружности, и найдите
ее радиус.
352. Каково взаимное расположе­
ние двух окружностей, если:
а) расстояние между центрами рав­
но 1 0 , а радиусы равны 8 и 2 ?
б) расстояние между центрами рав­
но 4, а радиусы равны 11 и 17?
в) расстояние между центрами рав­
но 12, а радиусы равны 5 и 3?
353. Окружность, построенная на
основании ВС трапеции A B C D как на
диаметре, проходит через середины
диагоналей АС и B D трапеции и каса­
ется основания AJ). Найдите углы тра­
пеции.
354. Прямая, проходящая через об­
щую точку А двух окружностей, пере­
секает вторично эти окружности в точ­
ках В и С соответственно. Расстояние
между проекциями центров окруж­
26
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ностей на эту прямую равно 12. Най­
дите ВС, если известно, что точка А ле ­
жит на отрезке ВС.
355. Найдите геометрическое место
точек М , из которых данный отрезок
А В виден под прямым углом (т. е.
ZAM 7V = 90°).
356. Окружность, построенная на
катете прямоугольного треугольника
как на диаметре, делит гипотенузу в
отношении 1 : 3 . Найдите острые углы
треугольника.
357. Точка D — середина гипотену­
зы А В прямоугольного треугольника
ЛВС. Окружность, вписанная в тре­
угольник A C D , касается отрезка в его
середине. Найдите острые углы тре­
угольника ABC.
358. Окружность, вписанная в тре­
угольник ABC, касается его сторон АВ,
ВС и АС соответственно в точках К , М
и N . Найдите угол K M N , если Z А =
= 70°.
359. Две окружности
касаются
друг друга внутренним образом. И з­
вестно, что два радиуса большей ок­
ружности, угол между которыми ра­
вен 60°, касаются меньшей окружнос­
ти. Найдите отношение радиусов ок­
ружностей.
360. Одна вершина правильного
треугольника леж ит на окружности, а
две другие делят некоторую хорду на
три равные части. Под каким углом
видна хорда из центра окружности?
361. Пусть O j, О2 и О3 — центры
вневписанных окружностей треуголь­
ника А-ВС, касающихся сторон ВС, АС
и А В соответственно. Докажите, что
точки А , В и С — основания высот тре­
угольника О 1 О 2 О 3 .
362. Докажите, что сторона ВС тре­
угольника AB C видна из центра О впи­
санной окружности под углом 90° -f+ I Z. А , а из центра Oj вневписанной
окружности,
касающейся
ВС, — под углом 90°
стороны
363.
Окружность касается двух сто­
рон треугольника и двух его медиан
(рис. 15). Докажите, что этот тре­
угольник равнобедренный.
364°. Проведите через данную точ­
ку касательную к данной окружности.
365°. Окружность высекает на сто­
ронах четырехугольника равные хор­
ды. Докажите, что в этот четырех­
угольник можно вписать окружность.
366°. Треугольник ABC — равно­
сторонний; A j, B i, Cj — середины сто­
рон ВС, АС, А В соответственно. Дока­
жите, что прямая A j Cj касается ок­
ружности, проходящей через точки
A j, B j, С.
367. Две окружности
касаются
внешним образом. К ним проведена
общая внешняя касательная. На от­
резке этой касательной, заключенном
между точками касания, как на диа­
метре построена окружность. Дока­
жите, что она касается линии центров
первых двух окружностей.
368. В вершинах А , В, С и D четы­
рехугольника AB C D находятся цент­
ры четырех окружностей. Любые две
окружности, центры которых распо­
ложены в соседних вершинах, касают­
ся друг друга внешним образом. И з­
вестны три стороны четырехугольни­
ка; А В = 2, ВС = 3, C D = 5. Найдите сто­
рону AD.
369. К окружности, вписанной в
равносторонний треугольник со сторо­
ной, равной а, проведена касательная.
27
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
пересекающая две его стороны. Най­
дите периметр отсеченного треуголь­
ника.
370. К окружности, вписанной в
квадрат со стороной, равной а, прове­
дена касательная, пересекающая две
его стороны. Найдите периметр отсе­
ченного треугольника.
371. Докажите, что прямая, прохо­
дящая через некоторую точку окруж­
ности и перпендикулярная радиусу,
проведенному в этой точке, имеет
единственную общую точку с окруж­
ностью, т. е. является касательной к
окружности.
372. На листе бумаги вырезана
круглая дырка. Через данную точку
плоскости проведите касательную к
окружности, ограничивающую эту
дырку. (Запрещаются любые построе­
ния внутри дырки.)
373. Постройте хорду данной ок­
ружности, равную и параллельную за­
данному отрезку.
374. Окружность вписана в тре­
угольник со сторонами, равными а, Ь и
с. Найдите отрезки, на которые точка
касания делит сторону, равную а.
375°. Прямая, проходящая через
центры двух окружностей, называет­
ся их линией центров. Докажите, что
общие внешние (внутренние) каса­
тельные к двум окружностям пересе­
каются на линии центров этих окруж­
ностей.
376. Окружности с центрами
и
О 2 касаются внешним образом в точке
К . Некоторая прямая касается этих
окружностей в различных точках А и
В и пересекает их общую касатель­
ную, проходящую через точку К , в
точке М . Докажите, что Z. О 1 М О 2 =
= Z A ii:B = 90°.
377. Хорда окружности пересекает
некоторый диаметр под углом, рав­
ным 30°, и делит его на отрезки, рав­
ные а и 6 . Найдите расстояние от цент­
ра окружности до этой хорды.
378. Хорда окружности пересекает
некоторый диаметр под углом, рав­
ным 45°, и делится им на отрезки, рав­
ные а и 6 . Найдите расстояние от цент­
ра окружности до этой хорды.
379. Окружность с центром О впи­
сана в треугольник ABC. Через точки
пересечения окружности с отрезками
А О , ВО и СО проведены к ней каса­
тельные. Найдите углы треугольника,
образованного этими касательными,
если углы треугольника ABC равны а,
Р иу .
380. Прямая касается двух окруж­
ностей в точках А и В. Линия центров
пересекает первую окружность в точ­
ках £ и С, а вторую — в точках D u F .
Докажите, что АС либо параллельна,
либо перпендикулярна B D.
381. Докажите, что если существу­
ют окружность, касающаяся всех сто­
рон выпуклого четырехугольника
ABCD, и окружность, касающаяся
продолжений всех его сторон, то ди­
агонали такого четырехугольника вза­
имно перпендикулярны.
382. В данную окружность впиши­
те прямоугольный треугольник, кате­
ты которого проходят через две дан­
ные точки внутри окружности.
383. Прямые, делящие один угол
треугольника на три равные части,
делят сам треугольник на три равно­
бедренных треугольника. Найдите уг­
лы данного треугольника.
384. Продолжения биссектрис ост­
роугольного треугольника ABC пере­
секают описанную окружность в точK axA i, В^,
соответственно (рис. 16).
Докажите, что высоты треугольника
Ai Bj Cj лежат на прямых
CCj.
Р и с . 16
28
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
385°. Продолжения высот остро­
угольного треугольника ABC пересе­
кают описанную окружность в точках
A j, B j,
соответственно. Докажите,
что биссектрисы треугольника
лежат на прямых A 4 j, ВВ^, CCj.
386°. В равнобедренном треуголь­
нике ABC на основании АС взята точка
М т а к , что A M = а, М С = Ь. В треуголь­
ники А В М и С В М вписаны окружнос­
ти. Найдите расстояние между точка­
ми касания этих окружностей со сто­
роной В М .
387. В треугольник А-ВС со сторона­
ми А Б = 5, ВС = 7, СА = 10 вписана ок­
ружность. Прямая, пересекающая
стороныА-В и ВС в точках М и К , каса­
ется этой окружности. Найдите пери­
метр треугольника М В К .
388. Докажите, что если через точ­
ку М внутри круга можно провести
три различные хорды, делящиеся точ­
кой М в равном отношении, то М —
центр круга.
389. Найдите внутри треугольника
AB C такую точку Р , чтобы общие хор­
ды каждой пары окружностей, по­
строенных на отрезках Р А , Р В и PC
как на диаметрах, были равны.
390. Постройте прямую, перпенди­
кулярную данной прямой и проходя­
щую через данную на ней точку, про­
ведя не более трех линий.
391. Даны прямая и точка вне ее.
Постройте прямую, перпендикуляр­
ную данной прямой и проходящую че­
рез данную точку, проведя не более
трех линий циркулем и линейкой.
392°. Окружность вписана в пяти­
угольник со сторонами, равными а, Ь,
с, d и е. Найдите отрезки, на которые
точка касания делит сторону, равную а.
393. В треугольник вписана окруж­
ность. Три касательные к этой окруж­
ности отсекают три треугольника, сум­
ма периметров которых равна а. Най­
дите периметр данного треугольника.
394. С Н — высота прямоугольного
треугольника ABC, проведенная из
вершины прямого угла. Докажите,
что сумма радиусов окружностей, впи­
санных в треугольники А С Н , В С Н и
ABC, равна СН.
395. CD — медиана треугольника
ABC. Окружности, вписанные в тре­
угольники A C D и BCD, касаются от­
резка CD в точках М и N . Найдите
M N , если АС - ВС 2.
396. На основании А_В равнобедрен­
ного треугольника А-ВС взята точка D ,
причем B D —A D = 4. Найдите расстоя­
ние между точками, в которых окруж­
ности, вписанные в треугольники АС£)
и BCD, касаются отрезка CD.
397. Окружность касается двух па­
раллельных прямых и их секущей. От­
резок секущей, заключенный между
параллельными прямыми, делится
точкой касания в отношении 1 : З.Под
каким углом секущая пересекает каж­
дую из параллельных прямых?
398. Одна окружность описана око­
ло равностороннего треугольника АБС,
а вторая касается прямых А В и АС и
первой окружности. Найдите отноше­
ние радиусов окружностей.
399. Каждая из трех прямых, па­
раллельны х сторонам и проходящих
через центр вписанной окружности
треугольника, отсекает от него неко­
торый треугольник. Докажите, что
сумма периметров отсеченных тре­
угольников вдвое больше периметра
исходного треугольника.
400. Пусть р — полупериметр тре­
угольника, а — длина наибольшей
стороны, г — радиус вписанной ок­
ружности. Докажите, что треуголь­
ник будет остроугольным, прямо­
угольным или тупоугольным в зависи­
мости от того, будет ли р - а меньше,
равно или больше г.
401. Через точку пересечения двух
окружностей проведите секущую так,
чтобы часть ее, заключенная внутри
окружностей, имела данную длину.
402. В треугольник со сторонами 6 ,
10 и 12 вписана окружность. К окруж­
ности проведена касательная так, что
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
она пересекает две большие стороны.
Найдите периметр отсеченного тре­
угольника.
403. Окружность, построенная на
основании A D трапеции A B CD как на
диаметре, проходит через середины
боковых сторон А В и CD трапеции и
касается основания ВС. Найдите углы
трапеции.
404. Центр описанной окружности
треугольника симметричен его центру
вписанной окружности относительно
одной из сторон. Найдите углы тре­
угольника.
405. Через данную точку окруж­
ности проведите хорду, которая бы де­
лилась данной хордой пополам.
406. Даны окружность и две нерав­
ные параллельные хорды. Используя
только линейку, разделите эти хорды
пополам.
407. Постройте центр данной ок­
ружности с помощью двусторонней л и ­
нейки, если известно, что ширина л и ­
нейки меньше диаметра окружности.
408. Четырехугольник A B C D обла­
дает тем свойством, что существует ок­
ружность, вписанная в угол BAD и ка­
сающаяся продолжений сторон ВС и
CD. Докажите, чт оА В +В С = A D + DC.
409. Докажите, что дуги окружнос­
ти, заключенные между параллельны­
ми хордами, равны.
410. На сторонах четырехугольни­
ка как на диаметрах построены четыре
окружности (рис. 17). Докажите, что
общая хорда окружностей, построен­
29
ных на двух соседних сторонах, парал­
лельна общей хорде двух других ок­
ружностей либо эти хорды лежат на
одной прямой.
411. Две окружности
касаются
внешним (внутренним) образом. До­
кажите, что сумма (разность) их ради­
усов равна расстоянию между центра­
ми. Верно ли обратное?
412. Докажите, что отрезок общей
внешней касательной к двум окруж­
ностям, заключенный между общими
внутренними касательными, равен
отрезку общей внутренней касатель­
ной.
413°. В четырехугольнике M N P Q
расположены две непересекающиеся
окружности так, что одна из них каса­
ется сторон M N , N P , PQ , а другая —
сторон M N , M Q , PQ. Точки В и А ле­
жат соответственно на сторонах M N и
PQ , причем отрезок А В касается обеих
окружностей. Найдите длину стороны
M Q , если N P = Ь и периметр четырех­
угольника B A Q M больше периметра
четырехугольника A B N P на величину
2р.
414. Окружность касается стороны
ВС треугольника ABC в точке М , а про­
должения сторон А В и АС — в точках
N и Р соответственно. Вписанная ок­
ружность этого треугольника касается
стороны ВС в точке К , а стороны А В —
в точке L . Докажите, что: а) отрезок
A N равен полупериметру треугольни­
ка ABC; б) В К = СМ ; в) N L = ВС.
415. Говорят, что две окружности
касаются, если они имеют единствен­
ную общую точку (точка касания ок­
ружностей). Докажите, что линия
центров двух касающихся окружнос­
тей проходит через точку их касания.
416. На сторонах ВС, СА и А В тре­
угольника AB C взяты точки A j, B j и
Cj, причем A C i = A B j, B A i = ВС^ и
CAi = CBi. Докажите, что A i, В^ и
Cj — точки касания вписанной ок­
ружности со сторонами треугольника.
30
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
417. Докажите, что катет прямо­
угольного треугольника равен сумме
радиуса вписанной окружности и ра­
диуса вневписанной окружности, ка­
сающейся этого катета.
418. Окружность, вписанная в тре­
угольник ABC, касается стороны ВС в
точке М . Докажите, что окружности,
вписанные в треугольники А В М и
A C M , касаются отрезка A M в одной
точке.
419. Даны окружность, ее центр О и
две точки А и В, не лежащие на окруж­
ности. П ользуясь только циркулем,
постройте точки пересечения окруж­
ности с прямой АВ .
420. Докажите, что две окружнос­
ти касаются тогда и только тогда, ког­
да они касаются некоторой прямой в
одной и той же точке.
421. Три окружности попарно каса­
ются друг друга внешним образом в
точках А , В и С. Докажите, что каса­
тельные к этим окружностям в точках
А , В и С пересекаются в одной точке.
422. Докажите, что основания вы­
сот, середины сторон и середины от­
резков от ортоцентра до вершин тре­
угольника леж ат на одной окружнос­
ти (окружность девяти точек).
423. К двум окружностям различ­
ного радиуса проведены общие внеш­
ние касательные А В и CD. Докажите,
что четырехугольник A B C D описан­
ный тогда и только тогда, когда ок­
ружности касаются.
424. Через данную точку проведите
прямую, отсекающую от данного угла
треугольник заданного периметра.
425. Докажите, что в четырех­
угольник, суммы противоположных
сторон которого равны между собой,
можно вписать окружность.
426. Пусть в выпуклом четырех­
угольнике A B C D нет параллельных
сторон. Обозначим через Е и F точки
пересечения прямых А В и ВС, ВС u A D
соответственно (точка А лежит на от­
резке B E , а точка С — на отрезке B F).
Докажите, что четырехугольник ASCD
является описанным тогда и только
тогда, когда E D + B F = D F + BE.
4. П А Р А Л Л Е Л О Г Р А М М .
Т Р А П Е Ц И Я . С РЕД Н ЯЯ Л И Н И Я
Т Р Е У Г О Л Ь Н И К А И ТРАП Е Ц И И .
ТЕО РЕМ А Ф А Л Е С А
427. Докажите, что медианы тре­
угольника пересекаются в одной точке
и делятся ею в отношении 2 : 1 , считая
от вершин треугольника.
428. Докажите, что прямая, содер­
жащая среднюю линию треугольника,
параллельна стороне треугольника, а
средняя линия треугольника равна по­
ловине этой стороны.
429. Докажите, что высоты тре­
угольника пересекаются в одной точке.
430. Докажите, что средняя линия
трапеции параллельна основаниям и
равна их полусумме.
431. Сторона
параллелограмма
втрое больше другой его стороны. Най­
дите стороны параллелограмма, если
его периметр равен 24.
432. Один из углов параллелограм­
ма на 50° меньше другого. Найдите уг­
лы параллелограмма.
433. A B C D — данный прямоуголь­
ник; М — середина стороны ВС. Дано,
что прямые М А и M D взаимно перпен­
дикулярны и что периметр прямо­
угольника A B C D равен 24. Найдите
его стороны.
434. Периметр треугольника равен
28, середины сторон соединены отрез­
ками (рис. 18). Найдите периметр по­
лученного треугольника.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
435. В треугольнике ABC медиана
A M продолжена за точку М до точки D
на расстояние, равное A M (так что
A M = M D ). Докажите, что A B D C —
параллелограмм.
436. Периметр треугольника равен
6 .
Найдите периметр треугольника,
стороны которого параллельны сторо­
нам данного и проходят через его вер­
шины.
437. Боковые стороны трапеции
равны 7 и 11, а основания — 5 и 15.
Прямая, проведенная через вершину
меньшего основания параллельно
большей боковой стороне, отсекает от
трапеции треугольник. Найдите его
стороны.
438. Найдите углы ромба, если вы­
сота, проведенная из вершины тупого
угла, делит противолежащую сторону
пополам.
439. Периметр ромба равен 8 , высо­
та равна 1. Найдите тупой угол ромба.
440. Постройте ромб по данным ди­
агоналям.
441. Докажите, что три средние л и ­
нии разбивают треугольник на четыре
равных треугольника.
442. Наибольший
угол
прямо­
угольной трапеции равен 1 2 0 °, а боль­
шая боковая сторона равна с. Найдите
разность оснований.
443. Средняя линия, параллельная
стороне А С треугольника ABC, равна
половине стороны А В . Докажите, что
треугольник равнобедренный.
444. Около круга описана трапе­
ция, периметр которой равен 12. Най­
дите среднюю линию трапеции.
445. Докажите, что если в паралле­
лограмм можно вписать окружность,
то этот параллелограмм — ромб.
446. На диагонали А С квадрата
ABCD взята точка М так, чтоA M = А В .
Через точку М проведена прямая, пер­
пендикулярная прямой АС и пересе­
кающая ВС в точке Н . Докажите, что
ВН = Н М = МС.
31
447. На сторонах А В , ВС, CD и DA
четырехугольника ABCD отмечены со­
ответственно точки М , N , Р и Q так,
что A M = СР, B N = DQ, В М = D P ,
N C = QA. Докажите, что ABCD и
M N P Q — параллелограммы.
448. В прямоугольный треуголь­
ник, каждый катет которого равен 6 ,
вписан прямоугольник, имеющий с
треугольником общий угол. Найдите
периметр прямоугольника.
449. В
равнобедренный
прямо­
угольный треугольник вписан прямо­
угольник так,что две его вершины на­
ходятся на гипотенузе, а две другие —
на катетах. Найдите стороны прямо­
угольника, если известно, что они от­
носятся, как 5 : 2, а гипотенуза тре­
угольника равна 45.
450. Определите вид четырехуголь­
ника, вершинами которого служат се­
редины сторон данного: 1 ) произволь­
ного четырехугольника; 2 ) паралле­
лограмма; 3) прямоугольника; 4) ром­
ба; 5) квадрата; 6 ) трапеции.
451. Точки М n N — середины про­
тивоположных сторон ВС k A D парал­
лелограмма ABCD. Докажите, что че­
тырехугольник A M C N — параллело­
грамм.
452°. Постройте
параллелограмм
по двум соседним сторонам и углу
между ними.
453. Постройте параллелограмм по
диагоналям и у гл у между ними.
454. Диагонали параллелограмма
A B CD пересекаются в точке О. Пери­
метр параллелограмма равен 1 2 , а раз­
ность периметров треугольников ВОС
и COD равна 2. Найдите стороны па­
раллелограмма.
455. Постройте прямоугольник по
диагонали и одной из сторон.
456. У гол при вершине А ромба
A BCD равен 20°. Точки M u N — осно­
вания перпендикуляров, опущенных
из вершины В на стороны A D и CD.
Найдите углы треугольника B M N .
32
ПЛАНИМЕТРИЯ
457. Стороны треугольника равны
а mb. Через середину третьей стороны
проведены прямые, параллельные
двум другим сторонам. Найдите пери­
метр полученного четырехугольника.
458. Из произвольной точки осно­
вания равнобедренного треугольника
проведены прямые, параллельные бо­
ковым сторонам. Докажите, что пери­
метр получившегося параллелограмма
не зависит от положения точки и равен
сумме боковых сторон треугольника.
459. Докажите, что середины сто­
рон любого четырехугольника явля­
ются вершинами параллелограмма.
460. Постройте треугольник по сто­
роне и медианам, проведенным к двум
другим сторонам.
461. У четырехугольника диагона­
ли равны а и Ь. Найдите периметр че­
тырехугольника, вершинами которо­
го являются середины сторон данного
четырехугольника.
462. Найдите периметр паралле­
лограмма, если биссектриса одного из
его углов делит сторону параллело­
грамма на отрезки 7 и 14.
463. Дан прямоугольник (рис. 19);
перпендикуляр, опущенный из вер­
шины на диагональ, делит прямой
угол на две части в отношении 1 : 3 .
Найдите угол между этим перпенди­
куляром и другой диагональю.
464. Точки пересечения биссектрис
внутренних углов параллелограмма
являются вершинами некоторого че­
тырехугольника. Докажите, что этот
четырехугольник — прямоугольник.
465. Высота, проведенная из вер­
шины тупого угла равнобедренной
трапеции, делит большее основание на
отрезки, равные о и Ь (а > fc). Найдите
среднюю линию трапеции.
466. Высота
параллелограмма,
проведенная из вершины тупого угла,
равна 2 и делит сторону параллело­
грамма пополам. Острый угол парал­
лелограмма равен 30°. Найдите диаго­
наль, проведенную из вершины тупого
угла, и углы , которые она образует со
сторонами.
467. Т о ч к и М h N расположены со­
ответственно на сторонах А В к АС тре­
угольника ABC, причем В М = З А М и
C N = 3AN. Докажите, что M N ЦВС, и
найдите M N , если ВС = 12.
468. Пусть Р — основание перпен­
дикуляра. опущенного из вершины С
меньшего основания ВС равнобедрен­
ной трапеции AB CD на ее большее ос­
нование AD. Найдите D P и А Р , если ос­
нования трапеции равны а и Ь (а > Ь).
469. Найдите углы и стороны четы­
рехугольника с вершинами в середи­
нах сторон равнобедренной трапеции,
диагонали которой равны 1 0 и пересе­
каются под углом, равным 40°.
470. Около круга описана равно­
бедренная трапеция с углом в 30°.
Средняя линия ее равна 1. Найдите ра­
диус круга.
471. Стороны
параллелограмма
равны 8 и 3; биссектрисы двух углов
параллелограмма,
прилежащих
к
большей стороне, делят противолежа­
щую сторону на 3 части. Найдите каж­
дую из них.
472. Параллелограмм с перимет­
ром 44 разделен диагоналями на
4 треугольника. Разность между пери­
метрами двух смежных треугольни­
ков равна 6 . Найдите длины сторон па­
раллелограмма.
473. В круг вписан прямоугольник.
Середины сторон последовательно со­
единены отрезками. Докажите, что
периметр образовавшегося четырех­
угольника равен удвоенному диа­
метру данного круга.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
474. Каждая из боковых сторон
равнобедренного треугольника равна
7. Из точки, взятой на основании этого
треугольника, проведены две прямые,
параллельные боковым
сторонам.
Найдите периметр получившегося па­
раллелограмма.
475. Через вершину А остроуголь­
ного треугольника A B C проведена
прямая, параллельная стороне ВС,
равной а, и пересекающая окружнос­
ти, построенные на сторонах А В и АС
как на диаметрах, в точках М n N , от­
личных от А . Найдите M N .
476. Точки К , L , М и М — середины
сторон соответственно А В , ВС, CD и
A D паралелограмма ABCD. Докажите,
что четырехугольник с вершинами в
точках пересечения прямых A L , В М ,
C N и D K — параллелограмм.
477. Из произвольной точки осно­
вания равнобедренного треугольника
с боковой стороной, равной а, проведе­
ны прямые, параллельные боковым
сторонам. Найдите периметр получив­
шегося четырехугольника.
478. Диагонали
прямоугольника
равны 8 и пересекаются под углом в
60°. Найдите меньшую сторону прямо­
угольника.
479. Дан четырехугольник, сумма
диагоналей которого равна 18. Найди­
те периметр четырехугольника с вер­
шинами в серединах сторон данного.
480°. Найдите периметр четырех­
угольника с вершинами в серединах
сторон прямоугольника с диагональю,
равной 8 .
481. Найдите стороны и углы четы­
рехугольника с вершинами в середи­
нах сторон ромба, диагонали которого
равны 6 и 1 0 .
482. Докажите, что медиана пря­
моугольного треугольника, проведен­
ная из вершины прямого угла, равна
отрезку, соединяющему середины ка­
тетов.
483. Высота равнобедренной трапе­
ции, проведенная из вершины мень­
2 С борник задач по геометрии
33
шего основания, делит ее большее ос­
нование на отрезки, равные 4 и 8 . Най­
дите основания трапеции.
484. Найдите меньшее основание
равнобедренной трапеции, если высо­
та, проведенная из вершины меньшего
основания, делит большее основание
на отрезки, один из которых на 5 боль­
ше другого.
485. В равнобедренной трапеции
острый угол равен 60°. Докажите, что
меньшее основание равно разности
большего основания и боковой стороны.
486. Расстояния от концов диа­
метра окружности до некоторой каса­
тельной равны а к Ь. Найдите радиус
окружности.
487. Окружность касается всех сто­
рон равнобедренной трапеции. Дока­
жите, что боковая сторона трапеции
равна средней линии.
488. Пусть M k N — середины осно­
ваний трапеции. Докажите, что если
прямая M N образует равные углы с
боковыми сторонами трапеции, то эта
трапеция равнобочная.
489. Пусть в трапецию вписана ок­
ружность (рис. 20). Докажите, что от­
резки, соединяющие центр этой ок­
ружности с концами боковой стороны,
взаимно перпендикулярны.
490.
Через вершины А, В к С тре­
угольника AB C проведены прямые,
параллельные противолежащим сто­
ронам. Эти прямые пересекаются в
точках Cl, A j и
Докажите, что сто­
роны треугольника ABC являются сред­
ними линиями треугольника A jB jC i.
34
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
491. В треугольнике ABC биссект­
риса угла А пересекает сторону ВС в
точке D ; прямая, проведенная из точ­
ки D параллельно СА, пересекает А В в
точке £ ; прямая, проведенная из Е па­
раллельно ВС, пересекает АС в F. До­
кажите, что Е А = FC.
492. В трапеции ABCD (AD — боль­
шее основание) диагональ А С перпен­
дикулярна стороне CD и делит угол
B AD пополам;
CDA = 60°; периметр
трапеции равен 2. Найдите AD .
493. В равнобедренной трапеции
высота равна 1 0 , а диагонали взаимно
перпендикулярны. Найдите среднюю
линию трапеции.
494. В четырехугольнике ABCD от­
резок, соединяющий середины сторон
А В и CD, равен 1. Прямые ВС viAD пер­
пендикулярны. Найдите длину отрез­
ка, соединяющего середины диагона­
лей ЛС и BD.
495. Через точку на стороне четы­
рехугольника проведена прямая, па­
раллельная диагонали, до пересече­
ния с соседней стороной четырех­
угольника. Через полученную точку
проведена прямая, параллельная дру­
гой диагонали, и т. д. Докажите, что
пятая точка, полученная таким спосо­
бом, совпадает с исходной.
496. Диагонали вписанного четы­
рехугольника взаимно перпендику­
лярны. Докажите, что расстояние от
точки пересечения диагоналей до
центра описанной окружности равно
расстоянию между серединами диаго­
налей.
497. Биссектриса угла параллело­
грамма делит сторону параллелограм­
ма на отрезки, равные а и Ь. Найдите
стороны параллелограмма.
498. Треугольники A B C и АВ^С^
имеют общую медиану A M . Докажи­
те, что BCj = BjC.
499. Докажите, что концы двух
различных диаметров окружности яв­
ляются вершинами прямоугольника.
500. Докажите, что около любого
прямоугольника можно описать ок­
ружность, Где расположен ее центр?
501. Около данной окружности
опишите ромб с данным углом.
502. Докажите, что отрезок, соеди­
няющий середины противоположных
сторон параллелограмма, проходит
через его центр.
503. Две медианы треугольника
равны. Докажите, что треугольник
равнобедренный.
504. Докажите, что углы при осно­
вании равнобедренной трапеции рав­
ны.
505. У глы при одном из оснований
трапеции равны. Докажите, что тра­
пеция равнобедренная.
506. Высота равнобедренной трапе­
ции, опущенная из вершины меньше­
го основания, делит большее основа­
ние в отношении 1 : 3 . Найдите отно­
шение оснований трапеции.
507. Докажите равенство треуголь­
ников по стороне и медианам, прове­
денным к двум другим сторонам.
508. Вершины
параллелограмма
A jB iC iD i лежат на сторонах паралле­
лограмма AB CD (точка А^ лежит на
стороне А В , точка
— на стороне ВС
и т. д.). Докажите, что центры обоих
параллелограммов совпадают.
509. Середины E vlF параллельных
сторон ВС и A D параллелограмма
A B C D соединены прямыми с вершина­
ми D и В. Докажите, что эти прямые
делят диагональ АС на три равные
части.
510. Постройте треугольник по се­
рединам трех его сторон.
511. Меньшее основание равнобед­
ренной трапеции равно боковой сторо­
не, а диагональ перпендикулярна бо­
ковой стороне. Найдите углы трапе­
ции.
512. Перпендикуляр, опущенный
из вершины прямоугольника на его
диагональ, делит ее в отношении 1 : 3
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
(рис. 21). Найдите длину диагонали,
если известно, что точка ее пересече­
ния с другой диагональю удалена от
большей стороны на расстояние, рав­
ное 2 .
513. Найдите отношение меньшего
основания трапеции к большему, если
известно, что углы при большем осно­
вании равны 90° и 60° и что в трапе­
цию можно вписать окружность.
514. Один из углов трапеции равен
30°, а прямые, содержащие боковые
стороны трапеции, пересекаются под
прямым углом. Найдите меньшую бо­
ковую сторону трапеции, если ее сред­
няя линия равна 1 0 , а одно из основа­
ний равно 8 .
515. В квадрат вписан прямоуголь­
ник так, что на каждой стороне квад­
рата находится одна вершина прямо­
угольника и стороны прямоугольника
параллельны диагоналям квадрата.
Найдите стороны этого прямоуголь­
ника, зная, что одна из них вдвое боль­
ше другой и что диагональ квадрата
равна 1 2 .
516. Сторона ВС параллелограмма
AB CD вдвое больше стороны АВ . Бис­
сектрисы углов А и В пересекают пря­
мую CD в точках М n N , причем M N =
= 12. Найдите стороны параллело­
грамма.
517. Две равные окружности с
центрами
и О 2 пересекаются в точ­
ках А и В. Отрезок О 1 О 2 пересекает эти
окружности в точках М h N . Докажи­
те, что четырехугольники О 1 А О 2 В и
A M B N — ромбы.
518. Острый угол Л ромба ABCZ) ра­
вен 45°, проекция стороны А В на сто­
35
рону A D равна 12. Найдите расстояние
от центра ромба до стороны CD.
519. Расстояние между серединами
взаимно перпендикулярных хорд АС и
ВС некоторой окружности равно 10.
Найдите диаметр окружности.
520. Расстояние от середины хорды
ВС до диаметра А В равно 1. Найдите
хорду АС, если Z ВАС = 30°.
521. Биссектрисы углов при одном
основании трапеции пересекаются на
втором ее основании. Докажите, что
второе основание равно сумме боко­
вых сторон.
522. Боковая сторона трапеции
равна одному основанию и вдвое мень­
ше другого. Докажите, что вторая бо­
ковая сторона перпендикулярна од­
ной из диагоналей трапеции.
523. Постройте трапецию по осно­
ваниям и боковым сторонам.
524. Докажите, что середины двух
противоположных сторон любого че­
тырехугольника и середины его диаго­
налей являются вершинами паралле­
лограмма.
525. В трапеции A B C D известно,
что А В = а, ВС Ь (а Ф Ь). Определите,
что пересекает биссектриса угла А : ос­
нование ВС или боковую сторону CD.
526. Биссектрисы углов, прилежа­
щих к одной из боковых сторон трапе­
ции, пересекаются под прямым углом.
Докажите, что точка их пересечения
принадлежит средней линии трапе­
ции.
527. Пусть О, Q, М и Н соответ­
ственно центры описанной, вписанной
окружности, точка пересечения меди­
ан и точка пересечения высот тре­
угольника ABC. Докажите, что если
две любые из этих точек совпадают, то
этот треугольник — равносторонни!!.
528. Докажите, что в любой ромб
можно вписать окружность. Где рас­
положен ее центр?
529. Квадрат вписан в равнобедрен­
ный прямоугольный треугольник,
36
ПЛАНИМЕТРИЯ
причем одна вершина квадрата распо­
ложена на гипотенузе, противополож­
ная ей вершина совпадает с вершиной
прямого угла треугольника, а осталь­
ные лежат на катетах. Найдите сторо­
ну квадрата, если катет треугольника
равен а.
530. Две вершины квадрата распо­
ложены на гипотенузе равнобедренно­
го прямоугольного треугольника, а две
другие — на катетах. Найдите сторону
квадрата, если гипотенуза равна а.
531. На каждой стороне квадрата
взяли по одной точке. При этом оказа­
лось, что эти точки являются верши­
нами прямоугольника, стороны кото­
рого параллельны диагоналям квадра­
та. Найдите периметр прямоугольни­
ка, если диагональ квадрата равна 6 .
532. Найдите расстояние от центра
ромба до его стороны, если острый угол
ромба равен 30°, а сторона равна 4.
533°. На сторонах А В и CD прямо­
угольника A B C D взяты точки К к М
так, что А К С М — ромб. ДиагональЛС
составляет со стороной А В угол 30°.
Найдите сторону ромба, если наиболь­
шая сторона прямоугольника A B CD
равна 3.
534. Через середину диагонали К М
прямоугольника K L M N перпендику­
лярно этой диагонали проведена пря­
мая, пересекающая стороны K L и M N
в точках Л и В соответственно. Извест­
но, что А В = В М = 6 . Найдите большую
сторону прямоугольника.
535. Прямая, проходящая через
центр прямоугольника перпендику­
лярно диагонали, пересекает большую
сторону прямоугольника под углом,
равным 60°. Отрезок этой прямой, за­
ключенный внутри прямоугольника,
равен 10. Найдите большую сторону
прямоугольника.
536. Через произвольную точку Р
внутри квадрата проведены две взаим­
но перпендикулярные прямые, каждая
из которых пересекает две противопо­
ложные стороны квадрата (рис. 2 2 ).
Докажите, что отрезки этих прямых,
заключенные внутри квадрата, равны.
Р и с . 22
537. Докажите, что отрезок, соеди­
няющий середины сторон А В и АС тре­
угольника ABC, и медиана, проведен­
ная из вершины А , делят друг друга
пополам.
538. Высоты остроугольного тре­
угольника ABC, проведенные из вер­
шин В и С, равны 7 и 9, а медиана A M
равна 8 . Точки Р и Q симметричны
точке М относительно сторон АС и А В
соответственно. Найдите периметр че­
тырехугольника A P M Q .
539. Диагонали
равнобедренной
трапеции взаимно перпендикулярны.
Докажите, что средняя линия трапе­
ции равна высоте.
540. Диагонали трапеции взаимно
перпендикулярны, а средняя линия
равна 5. Найдите отрезок, соединяю­
щий середины оснований.
541. Диагональ
равнобедренной
трапеции равна 1 0 и образует угол,
равный 60°, с основанием трапеции.
Найдите среднюю линию трапеции.
542. Меньшая боковая сторона пря­
моугольной трапеции равна 3, а боль­
шая образует угол, равный 30°, с од­
ним из оснований. Найдите это основа­
ние, если на нем леж ит точка пересе­
чения биссектрис углов при другом ос­
новании.
543. В трапеции ABCD меньшее ос­
нование ВС равно 3, боковые стороны
А В и CD равны по 3. Диагонали трапе­
ции образуют между собой угол в 60°.
Найдите основание AD.
37
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
544. Прямая, проходящая через
точку Oj, касается окружности с цент­
ром О 2 в точке М , а прямая, проходя­
щая через точку О^, касается окруж­
ности с центром Oj в точке N . Прямые
О^М и O 2 N пересекаются в точке Р , а
прямые Oj^V и O 2 N — в точке Q. Дока­
жите, что PQ ± 0^0 2 545. Медианы B B i и СС^ треуголь­
ника AB C пересекаются в точке М . И з­
вестно, что A M _L B jC j. Докажите, что
треугольник ABC — равнобедренный.
546. Докажите, что биссектрисы
углов прямоугольника (не являюще­
гося квадратом) своим пересечением
образуют квадрат.
547. Внутри произвольного угла
взята точка М . Проведите через точку
М прямую так, чтобы отрезок ее, за­
ключенный между сторонами угла,
делился точкой М пополам.
548. Докажите, что если отрезки,
соединяющие середины противопо­
ложных сторон четырехугольника:
а) равны, то диагонали четырех­
угольника перпендикулярны;
б) перпендикулярны, то диагонали
четырехугольника равны.
549. Пусть Р и Q — середины сто­
рон А В и CD четырехугольника ABCZ),
М к N — середины диагоналей АС и
B D. Докажите, что если M N и PQ пер­
пендикулярны, то ВС = AD .
550. На сторонах АВ , ВС, CD, D A
квадрата A B C D взяты соответственно
точки N , К , L , М , делящие эти сторо­
ны в одном и том же отношении (при
обходе почасовой стрелке). Докажите,
что K L M N также квадрат.
551. Середины сторон выпуклого
пятиугольника последовательно со­
единены отрезками. Найдите пери­
метр полученного пятиугольника, ес­
ли сумма всех диагоналей данного рав­
на а.
552. Докажите, что диагонали рав­
нобедренной трапеции равны.
553. Диагонали трапеции равны.
Докажите, что трапеция равнобедрен­
ная.
554. Докажите, что сумма противо­
положных углов равнобедренной тра­
пеции равна 180°. Верно ли обратное:
если сумма противоположных углов
трапеции равна 180°, то она равнобед­
ренная?
555. Точки М к N — середины бо­
ковых сторон А В и CD трапеции
A B CD . Могут ли прямые B N и D M
быть параллельными?
556. Диагонали трапеции взаимно
перпендикулярны. Одна из них равна
6 , а вторая образует с основанием угол,
равный 30°. Найдите среднюю линию
трапеции.
557. Точка М — середина отрезка
АВ . Точки A j, M l к В I — проекции то­
чек А , М и В на некоторую прямую.
Докажите, что
— середина отрезка
A iB j.
558. На прямую, проходящую че­
рез вершину А треугольника ABC,
опущены перпендикуляры BD и СЕ
(рис. 23). Докажите, что середина сто­
роны ВС равноудалена от точек D и Е.
Рис. 23
559. В ромбе A B C D угол А равен
60°. Точки М и N лежат на сторонах
CD и A D соответственно. Докажите,
что если один из углов треугольника
B M N равен 60°, то и остальные тоже
равны по 60°.
560. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника делят его на четыре тре­
угольника. Известно, что любые два
противоположных треугольника по­
добны, но не все они равны. Верно ли.
38
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
что этот четырехугольник является
равнобочной трапецией?
561. Основания трапеции равны а и
Ь (а > Ь). Найдите отрезок, соединяю­
щий середины диагоналей трапеции.
562. Сумма углов при одном из ос­
нований трапеции равна 90°. Докажи­
те, что отрезок, соединяющий середи­
ны оснований трапеции, равен их полуразности.
563. Найдите отношение основа­
ний трапеции, если известно, что ее
средняя линия делится диагоналями
на три равные части.
564. Диагонали параллелограмма
AB CD пересекаются в точке О. Дока­
жите, что точки пересечения биссект­
рис каждого из треугольников АВ О ,
ВСО, CDO и DAO являются верщинами ромба.
565. На сторонах АВ , ВС, CD, DA
параллелограмма A B CD взяты соот­
ветственно точки М , N , К , L , делящие
эти стороны в одном и том же отноше­
нии (при обходе по часовой стрелке).
Докажите, что K L M N — параллело­
грамм, причем его центр совпадает с
центром параллелограмма ABCD.
566. Через центр параллелограмма
AB CD проведены две прямые. Одна из
них пересекает стороны А В и CD соот­
ветственно в точках М и К , вторая —
стороны ВС h A D соответственно в точ­
ках N VL L . Докажите, что четырех­
угольник M N K L — параллелограмм.
567. Окружность, построенная на
стороне A D параллелограмма ABCD
как на диаметре, проходит через вер­
шину В и середину стороны ВС. Най­
дите углы параллелограмма.
568. Окружность проходит через
середины гипотенузы А В и катета ВС
прямоугольного треугольника ABC и
касается катета АС. В каком отноше­
нии точка касания делит катет АС7
569. Точки М и N — середины со­
седних сторон ВС и CD параллелограм­
ма ABCD. Докажите, что прямые D M и
B N пересекаются на диагонали АС.
570. Точки М и N — середины со­
седних сторон ВС и CD параллело­
грамма ABCD. Докажите, что прямые
A M и A N делят диагональ BD на три
равные части.
571. Один из углов прямоугольной
трапеции равен 1 2 0 °, большее основа­
ние равно 1 2 . Найдите отрезок, соеди­
няющий середины диагоналей, если
известно, что меньшая диагональ тра­
пеции равна ее большему основанию.
572. Две окружности касаются
внешним образом в точке К . Одна пря­
мая касается этих окружностей в раз­
личных точках А и В, а вторая — соот­
ветственно в различных точках С и D.
Общая касательная к окружностям,
проходящая через точку К , пересека­
ется с этими прямыми в точках М и М .
Найдите M N , если АС = а, BD = Ь.
573. Постройте треугольник по
двум сторонам и медиане, проведен­
ной к третьей.
574. Стороны прямоугольника рав­
ны 1 и 3. Найдите диагонали четырех­
угольника, образованного биссектри­
сами внутренних углов.
575. Постройте трапецию по осно­
ваниям и диагоналям.
576. Большее основание трапеции
равно 2 4 . Найдите ее меньшее основа­
ние, зная, что расстояние между сере­
динами ее диагоналей равно 4.
577. Дана трапеция ABCD с основа­
нием AD . Биссектрисы внешних углов
при вершинах А и В пересекаются в
точке Р , а при вершинах С и D — в точ­
ке Q. Докажите, что длина отрезка PQ
равна полупериметру трапеции.
578. В прямоугольнике ABCD точ­
ка М — середина стороны ВС, точка
N — середина стороны CD, Р — точка
пересечения отрезков D M и B N . Дока­
жите, что угол M A N равен углу В Р М .
579. Из вершины А треугольника
ABC опушены перпендикуляры A M и
А Р на биссектрисы внешних углов В и
С. Докажите, что отрезок Р М равен по­
ловине периметра треугольника ABC.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
580. Через точку на стороне тре­
угольника проведена прямая, парал­
лельная другой стороне, до пересече­
ния с третьей стороной треугольника.
Через полученную точку проведена
прямая, параллельная первой стороне
треугольника, и т. д. Докажите, что:
а) если исходная точка совпадает с
серединой стороны треугольника, то
четвертая точка, полученная таким
способом, совпадет с исходной;
б) если исходная точка отлична от
середины стороны треугольника, то
седьмая точка, полученная таким спо­
собом, совпадет с исходной.
581. Диагонали ромба A B C D пере­
секаются в точке О. Докажите, что
точки пересечения биссектрис каждо­
го из треугольников АВ О , ВСО, CDO и
DAO являются вершинами квадрата.
582. Вершины М и N равносторон­
него треугольника B M N лежат соот­
ветственно на сторонах A D и CD квад­
рата ABCZ). Докажите, что MTV ||АС.
583. Прямая имеет с параллело­
граммом A B C D единственную общую
точку в . Вершины А и С удалены от
этой прямой на расстояния, равные а
и Ь. На какое расстояние удалена от
этой прямой вершина £)?
584. Докажите, что середины сто­
рон равнобочной трапеции служат
вершинами ромба.
585. Через точку, расположенную
внутри треугольника, проведены пря­
мые, параллельные его сторонам
(рис. 24). Эти прямые разбивают тре­
39
угольник на три треугольника и три
четырехугольника. Пусть а, Ь и с —
параллельные высоты этих трех тре­
угольников. Найдите параллельную
им высоту исходного треугольника.
586. Докажите, что сумма расстоя­
ний от произвольной точки основания
равнобедренного треугольника до бо­
ковых сторон постоянна.
587. Через каждую вершину парал­
лелограмма проведена прямая, пер­
пендикулярная диагонали, не прохо­
дящей через эту вершину. Докажите,
что диагонали четырехугольника, об­
разованного пересечениями четырех
проведенных прямых, перпендику­
лярны сторонам параллелограмма.
588. Две окружности пересекаются
в точкахЛ и В. Через точку А проведе­
ны диаметры АС и A D этих окружнос­
тей. Найдите сумму отрезков ВС и BD,
если расстояние между центрами ок­
ружностей равно а, а центры окруж­
ностей лежат по разные стороны от об­
щей хорды АВ.
589. Две окружности пересекаются
в точках Л и В. Через точку Л проведе­
ны диаметры АС и A D этих окружнос­
тей. Найдите модуль разности отрез­
ков ВС и B D, если расстояние между
центрами окружностей равно а, а
центры окружностей лежат по одну
сторону от общей хорды АВ.
590. Сторона треугольника равна а.
Найдите отрезок, соединяющий сере­
дины медиан, проведенных к двум
другим сторонам.
591. Найдите геометрическое место
середин всех отрезков, один конец ко­
торых лежит на данной прямой, а вто­
рой совпадает с данной точкой, не ле­
жащей на этой прямой.
592. Докажите, что если отрезок,
соединяющий середины оснований тра­
пеции, равен ее средней линии, то диа­
гонали трапеции перпендикулярны.
593. В выпуклом четырехугольни­
ке ABCD отрезок, соединяющий сере­
дины диагоналей, равен отрезку, со­
единяющему середины сторон A D и
40
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ВС. Найдите угол, образованный про­
должением сторон А В и CD.
594. Средняя линия трапеции рав­
на 5, а отрезок, соединяющий середи­
ны оснований, равен 3. У глы при боль­
шем основании трапеции равны 30° и
60°. Найдите основания и меньшую
боковую сторону трапеции.
595. Дан четырехугольник ABCZ), в
котором ВС II A D . Точки К и М — сере­
дины сторон CD и A D соответственно.
Известно, что отрезки АК" и С М пересе­
каются на диагонали B D . Докажите,
что ABCD — параллелограмм.
596. Постройте общие касательные
к двум данным окружностям.
597. Точки А и В высекают на ок­
ружности с центром О дугу величиной
60°. На этой дуге взята точка М . Дока­
жите, что прямая, проходящая через
середины отрезков М А и ОВ, перпен­
дикулярна прямой, проходящей через
середины отрезков M B и ОА.
598. Внутри треугольника ABC взя­
та произвольная точка О и построены
точки A j, B j и Cj, симметричные точке
О относительно середин сторон ВС, СА
и А В . Докажите, что треугольники
AB C и A j B j C j равны и прямые A 4 j,
B B i и CCj пересекаются в одной точке.
599. От параллелограмма с по­
мощью прямой, пересекающей две его
противоположные стороны, отрезали
ромб. От оставшегося параллелограм­
ма таким же образом вновь отрезали
ромб. И от этого вновь оставшегося па­
раллелограмма опять отрезали ромб.
В результате остался параллелограмм
со сторонами 1 и 2. Найдите стороны
исходного параллелограмма.
600. Докажите, что биссектрисы
внешних углов параллелограмма при
пересечении образуют прямоуголь­
ник, диагональ которого равна сумме
двух соседних сторон параллелограм­
ма.
601. Докажите, что если радиус
вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот
треугольник — прямоугольный.
602. В четырехугольнике ABCD
точка Е — середина АВ , F — середина
CD. Докажите, что середины отрезков
A F , СЕ, B F и D E являются вершинами
параллелограмма.
603. Противоположные
стороны
шестиугольника попарно равны и па­
раллельны. Докажите, что отрезки,
соединяющие противоположные вер­
шины, пересекаются в одной точке.
604. На сторонах АВ , ВС, CD, DA
параллелограмма AB CD взяты соот­
ветственно точки М , N , К , L , делящие
эти стороны в одном и том же отноше­
нии (при обходе по часовой стрелке).
Докажите, что при пересечении пря­
мых A N , В К , CL и D M получится па­
раллелограмм, причем его центр сов­
падает с центром параллелограмма
AB CD .
605. B B i и CCj — медианы тре­
угольника AB C. На продолжении ме­
дианы CCi за точку Cj отложен отре­
зок С^Сг, равный i CCj. Оказалось, что
О
CgBi = A B j. Докажите, что медианы
CCj и ВВ^ взаимно перпендикулярны.
606. И з вершины А треугольника
ABC опущены перпендикуляры A M и
А Р на биссектрисы внешних углов В
и С. Найдите отрезок Р М , если пери­
метр треугольника AB C равен 10.
607. Диагональ АС параллелограм­
ма AB CD втрое больше диагонали BD
и пересекается с ней под углом в 60°.
Найдите отрезок, соединяющий вер­
шину D с серединой стороны ВС, если
АС = 24, а угол BDC — тупой.
608. Докажите, что отрезок, соеди­
няющий середины оснований трапе­
ции, меньше полусуммы ее боковых
сторон.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
609. Дана трапеция ABCJD с основа­
ниями A D и ВС. Биссектрисы углов
при вершинах А vl В пересекаются в
точке М , а биссектрисы углов при вер­
шинах С и D — в точке N . Найдите
M N , если известно, что А В = а, ВС = Ь,
CD = cu A D = = d.
610. Одна из боковых сторон трапе­
ции (рис. 25) равна сумме оснований.
Докажите, что биссектрисы углов при
этой стороне пересекаются на другой
боковой стороне.
611. Высоты B B i и CCi остроуголь­
ного треугольника ABC пересекаются
в точке Н , причем С Н = С^Н и В Н =
= 2B^H. Найдите угол ВАС.
612. Докажите равенство треуголь­
ников по трем медианам.
613. Через середину S отрезка M N ,
концы которого лежат на боковых сто­
ронах равнобедренного треугольника,
проведена прямая, параллельная ос­
нованию треугольника и пересекаю­
щая боковые стороны в точках К к L.
Докажите, что проекция отрезка M N
на основание треугольника равна от­
резку
614. Средняя линия трапеции рав­
на 4, углы при одном из оснований
равны 40° и 50°. Найдите основания
трапеции, если отрезок, соединяющий
середины этих оснований, равен 1 .
615. Пусть Б и С — две точки на сто­
ронах угла с вершиной А . Окружности
с диаметрамиАС и А В вторично пересе­
каются в точке D . Прямая АВ вторично
пересекает окружность с диаметром
АС в точке К , а прямая АС вторично пе­
41
ресекает окружность с диаметром АВ в
точке М . Докажите, что прямые В М ,
С К и A D пересекаются в одной точке.
616. На боковых сторонах АВ и ВС
равнобедренного треугольника ABC
взяты соответственно точки М и N
так, что В М = CN. Докажите, что сере­
дина отрезка M N леж ит на средней ли ­
нии треугольника ABC, параллельной
его основанию.
617. Докажите, что биссектрисы
внутренних углов параллелограмма
при пересечении образуют прямо­
угольник, диагональ которого равна
разности двух соседних сторон парал­
лелограмма.
618. А В — диаметр окружности,
CD — хорда этой окружности. Перпен­
дикуляры к хорде, проведенные через
ее концы С п D , пересекают прямую
АВ в точках К и М соответственно. До­
кажите, что А К = В М .
619. Пусть М — основание перпен­
дикуляра, опущенного из вершины D
параллелограмма AB CD на диагональ
АС. Докажите, что перпендикуляры к
прямым АВ и ВС, проведенные через
точки А и С соответственно, пересекут­
ся на прямой D M .
620. Сторона АВ треугольника ABC
больше стороны АС, а zl А = 40°. Точка
D леж ит на стороне АВ , причем BD =
= АС. Точки M vlN ~ середины отрез­
ков ВС и A D соответственно. Найдите
угол B N M .
621. Востроугольном треугольнике
AB C проведены высоты B D и СЕ. Из
вершин В и С на прямую E D опущены
перпендикуляры B F и CG. Докажите,
что E F = DG.
622. На сторонах ВС и CD паралле­
лограмма A B C D построены внешним
образом правильные треугольники
в е к и DC L. Докажите, что треуголь­
ник AiCL — правильный.
623. Постройте треугольник по
трем медианам.
42
ПЛАНИМЕТРИЯ
624. В треугольнике A B C проведе­
ны медиана В М и высота
Извест­
но, что В М ^ А Н . Найдите угол М В С .
625. Четырехугольник A BCD, диа­
гонали которого взаимно перпендику­
лярны, вписан в окружность с цент­
ром О. Найдите расстояние от точки О
до стороны А В , если известно, что
CD^a.
626. Точка М — середина стороны
CD параллелограмма A B CD , точка
Н — проекция вершины В на прямую
A M . Докажите, что треугольник
С В Н — равнобедренный.
627. Одна из сторон вписанного че­
тырехугольника является диаметром
окружности. Докажите, что проекции
сторон, прилегающих к этой стороне,
на четвертую сторону (на прямую, за­
дающую четвертую сторону) равны
между собой.
628. На сторонах параллелограмма
вне его построены квадраты. Докажи­
те, что их центры сами образуют квад­
рат.
629. Постройте пятиугольник по
серединам его сторон.
630. Докажите, что расстояние от
вершины треугольника до точки пере­
сечения высот вдвое больше, чем рас­
стояние от центра описанного круга до
противоположной стороны.
631. Два равносторонних треуголь­
ника AB C и C DE расположены по одну
сторону от прямой А £ и имеют единст­
венную общую точку С (рис. 26). Пусть
M , N VIК — середины отрезков BD, АС
и СЕ соответственно. Докажите, что
треугольник M N K — равносторонний.
632. Сторона ВС параллелограмма
A B C D вдвое больше стороны CD, Р —
проекция вершины С на прямую АВ,
М — середина стороны AD . Докажите,
что Z D M P = 3 • Z А Р М .
633. Внутри треугольника ABC взя­
та точкаР так, что Z РАС = Z. РВС. Из
точки Р на стороны ВС и СА опущены
перпендикуляры Р М и Р К соответ­
ственно. Пусть D — середина стороны
АВ. Докажите, что D K == D M .
5. У Г Л Ы , СВЯЗАННЫ Е
С ОКРУЖ НОСТЬЮ .
ВПИ САН Н Ы Й
ЧЕТЫ РЕХУГО ЛЬН И К.
В С П О М О ГА ТЕ Л ЬН А Я
О К РУ Ж Н О С ТЬ
634. Докажите, что вписанный
угол равен половине соответствующе­
го центрального угла (или дуги) ок­
ружности.
635. Докажите, что у четырех­
угольника, вписанного в окружность,
суммы противоположных углов равны
180°.
636. Найдите геометрическое место
точек, из которых данный отрезок ви­
ден под данным углом.
637. Докажите, что угол, заклю­
ченный между касательной и хордой,
проведенной через точку касания, ра­
вен половине угловой величины дуги,
заключенной между ними.
638. Какова угловая величина ду­
ги, если радиус, проведенный в ее
конец, составляет с ее хордой угол в
40°?
639. Углов£ 1я величина дуги содер­
жит 110°. Найдите величины вписан­
ных углов, опирающихся на эту хорДУ-
Р и с . 26
640. Хорда делит окружность в от­
ношении 7 : 1 1 . Найдите величины
вписанных углов, опирающихся на
эту хорду.
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
641. Хорда А В делит окружность на
две дуги, из которых меньшая равна
130°, а большая делится хордой А С в
отношении 31 : 15, считая от А. Най­
дите угол ВАС.
642. Через конец хорды, делящей
окружность в отношении 3 : 5, прове­
дена касательная. Найдите острый
угол между хордой и касательной.
643. Окружность разделена в отно­
шении 5 : 9 ; 10, и через точки деле­
ния проведены касательные. Найдите
наибольший угол в полученном тре­
угольнике.
644. Меньшая сторона прямоуголь­
ника равна 1 , острый угол между ди­
агоналями равен 60°. Найдите радиус
описанного круга.
645. В прямоугольнике диагональ
образует со стороной угол в 20°. На ка­
кие четыре части делится вершинами
этого прямоугольника описанная око­
ло него окружность?
646. С — точка на продолжении
диаметра А В , CD — касательная, угол
ADC равен 110°. Найдите угловую ве­
личину дуги BD.
647. А В — диаметр окружности,
ВС — касательная. Секущая А С де­
лится окружностью в точке D попо­
лам. Найдите угол DAB.
648. Из концов дуги в 200° проведе­
ны касательные до взаимного пересе­
чения. Найдите угол между ними.
649. У гол между двумя касатель­
ными, проведенными из одной точки к
окружности, равен 70°. Найдите угло­
вые величины дуг, заключенных меж­
ду точками касания.
650. Хорда делит окружность в от­
ношении 11 : 16. Найдите угол между
касательными, проведенными из кон­
цов этой хорды.
651. Внутри данной окружности
находится другая окружность. A B C и
A D E — хорды большей окружности,
касающиеся меньшей окружности в
43
точках В VI D-, B M D — меньшая из
двух дуг между точками касания;
C N E — дуга между концами хорд.
Найдите угловую величину дуги CNE,
если дуга B M D содержит 130°.
652. В ромб вписана окружность.
На какие четыре части она делится
точками касания сторон, если острый
угол ромба равен 37°?
653. Можно ли описать окружность
около четырехугольника, углы кото­
рого по порядку относятся, как;
а) 2 : 4 : 5 : 3; б) 5 : 7 : 8 : 9?
654. Три последовательных угла
вписанного четырехугольника отно­
сятся, как 1 : 2 : 3 . Найдите все углы
четырехугольника.
655. Найдите углы четырехуголь­
ника ABCD, вершины которого распо­
ложены на окружности, если Z. AB D =
= 74°, Z DBC = 38°, Z B DC = 65°.
656. Окружность касается одной из
сторон угла в его вершине А и пересе­
кает другую сторону в точке В. У гол
равен 40°; М — точка на меньшей дуге
АВ . Найдите угол А М Б .
657. Окружность разделена в отно­
шении 7 : 1 1 : 6 , и точки деления со­
единены между собой. Найдите углы
полученного треугольника.
658. М — середина высоты B D в рав­
нобедренном треугольнике ABC. Точка
М служит центром окружности ради­
уса M D . Найдите угловую величину ду­
ги окружности, заключенной между
сторонами ВА и ВС, если Z ВАС = 65°.
659. А В и АС — две хорды, обра­
зующие угол ВАС, равный 70°. Через
точки В и С проведены касательные до
пересечения в точке М . Найдите
^ВМ С.
660. Окружность с центром в точке
О делит отрезок А О пополам. Найдите
угол между касательными, проведен­
ными из точки А .
661. Угловая величина дуги АВ
равна а < 90°. На продолжении ради-
44
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
уса ОА отложен отрезок АС, равный
хорде A S , и точка С соединена с В
(рис. 27). Найдите угол л е в .
662. В треугольнике A B C угол С —
прямой. Из центра С радиусом АС опи­
сана дуга A D E , пересекающая гипоте­
нузу в точке D, а катет СВ — в точке Е .
Найдите угловые величины дуг A D и
D £ , если Л В = 40°.
663. ABC — секущая, А — внешняя
точка окружности, угловая величина
дуги B D равна 42°, а угловая величина
дуги BDC равна 220°. Найдите угол
ABD.
664. Найдите градусную меру дуги,
если перпендикуляр, проведенный к
хорде из ее конца, делит дополнитель­
ную (до окружности) дугу в отноше­
нии 5 ; 2.
665. Найдите углы при большем ос­
новании трапеции, вписанной в ок­
ружность, если ее основания видны из
центра окружности под углами 80° и
100 ° .
6 6 6 . В круговой сегмент А М В впи­
сана трапеция A C B D , у которой АС =
= CD и Л САВ = 51°20'. Найдите угло ­
вую величину дуги А М В .
667. А В и АС — равные хорды,
M A N — касательная, угловая вели­
чина дуги ВС, не содержащей точки А,
равна 200°. Найдите углы М А В и
N AC.
6 6 8 . Один из острых углов прямо­
угольного треугольника равен 25°. Под
каким углом виден каждый его катет
из центра описанной окружности?
669. Два угла треугольника равны
50° и 100°. Под каким углом видна
каждая сторона треугольника из цент­
ра вписанной окружности?
670. А В и ВС — хорды окружности;
u A B = 110°, uAC = 40°. Найдите угол
ВАС.
671. Основание
равностороннего
треугольника служит диаметром ок­
ружности. На какие части делятся
стороны треугольника полуокружно­
стью, а полуокружность — сторонами
треугольника?
672. Секущая ABC отсекает дугу
ВС, содержащую 112°; касательная
A D точкой касания D делит эту дугу в
отношении 7 : 9 . Найдите Z BAD.
673. Пусть О — центр круга, опи­
санного около треугольника ABC.
Найдите угол ОАС, если: а) Z В = 50°;
б) Z В = 126°.
674. Во вписанном четырехуголь­
нике ABCJ9 диагональАС перпендику­
лярна диагонали BD и делит ее попо­
лам. Найдите углы четырехугольни­
ка, если Z BAD = а.
675. Внутри данной окружности
находится другая окружность. САЕ и
D B F — две хорды большей окружнос­
ти (непересекающиеся), касающиеся
меньшей окружности в точках А и В;
C N D , E P F — дуги между концами
хорд. Найдите угловую величину дуги
C N D , если дуги А М В и E P F содержат
соответственно 154° и 70°.
676. Треугольник ABC — равнобед­
ренный. Радиус ОА описанного круга
образует с основанием АС угол ОАС,
равный 20°. Найдите угол ВАС.
677. Две окружности пересекаются
в точках А и В. Через точк уА проведе­
на прямая, пересекающая окружнос­
ти в точках С и D, и через точку В —
прямая, пересекающая окружности в
точках E v l F ( т о ч к и С и £ — на одной
окружности, D VL F — на другой). До­
кажите, что Z CBD =
EAF.
678. Если в треугольнике медиана
равна половине стороны, к которой
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
она проведена, то угол против этой
стороны — прямой. Докажите это с
помощью вспомогательной окружнос­
ти.
679. Точки А и В соединены двумя
дугами окружностей, обращенными
выпуклостями в разные стороны:
^А С В = 117°23' и uAD B = 42°3 7'. Сере­
дины С и D этих дуг соединены с А .
Найдите угол CAD.
680. У гол при вершине равнобед­
ренного треугольника равен 40°. Одна
из боковых сторон служ ит диаметром
полуокружности, которая делится
другими сторонами на три части. Най­
дите эти части.
681. Окружность разделена точ­
ками
А,
В,
С,
D
так,
что
u A B ; uBC : uCD ; u D A = 2 : 3 : 5 : 6 .
Проведены хорды AC и B D , пересекаю­
щиеся в точке М . Найдите угол A M D .
682. Диаметр А В и хорда CD пересе­
каются в точке М , Z- С М В = 73°, угло­
вая величина дуги ВС равна 110°. Най­
дите величину дуги B D .
683. Из произвольной точки М вну­
три острого угла с вершиной А опуще­
ны перпендикуляры М Р и M Q на его
стороны. Из вершины А проведен пер­
пендикуляр AiC на PQ . Докажите, что
Л РА К = Z MAQ.
684. Два угла треугольника равны
40° и 80°. Найдите углы треугольника
с вершинами в точках касания вписан­
ной окружности со сторонами данного
треугольника.
685. Из точки Р , расположенной
внутри острого угла ВАС, опущены
перпендикуляры РС^ и РВ^ на прямые
А В и АС. Докажите, что угол С^АР ра­
вен у гл у C^BiP.
6 8 6 . Из произвольной точки М
ка­
тета ВС прямоугольного треугольника
A B C опущен на гипотенузу А В перпен­
дикуляр M N . Докажите, что угол
M A N равен у гл у M C N .
687. Две окружности пересекаются
в точках А п В. Через точку В прово­
дится прямая, пересекающая окруж­
45
ности в точках С и D, а затем через точ­
ки С и D проводятся касательные к
этим окружностям (рис. 28). Докажи­
те, что точки А , С, D и точка Р пересе­
чения касательных лежат на одной ок­
ружности.
6 8 8 . Окружность
разделена точ­
ками
А,
В,
С,
D
так,
что
u A B : uB C : uCD : uD A = 3 : 2 : 1 3 : 7 .
Хорды A D и ВС продолжены до пересе­
чения в точке М . Найдите угол А М В .
689. На данной прямой M7V построй­
те точку, из которой данный отрезок АВ
был бы виден под данным углом.
690. В равнобедренной трапеции
угол при основании равен 50°, а угол
между диагоналями, обращенный к
боковой стороне, равен 40°. Где лежит
центр описанной окружности: внутри
или вне трапеции?
691. Через точку К , лежащую на
окружности с центром О, проведены
хорда К А (дуга К А больше 90°) и каса­
тельная М К Р . Прямая, проведенная
через центр О перпендикулярно ради­
усу ОА, пересекает хорду А-ЙГ в точке В
и касательную М Р в точке С. Докажи­
те, что отрезок К С равен отрезку ВС,
692. Окружность касается стороны
ВС треугольника AB C в точке М , сто­
роны АС — в точке N , а сторону А В пе­
ресекает в точках К VI L , причем
K L M N — квадрат. Найдите углы тре­
угольника ABC.
693. В круге провели три хорды АВ,
ВС и CD и отметили их середины — М ,
46
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
N , К . Докажите, что Z. B M N = Z. N K C
или ^ B M N + Z. N K C = 180°.
694. Постройте треугольник по сто­
роне, противолежащему углу и высоте,
проведенной из вершины этого угла.
695. Две окружности пересекаются
в точках Л и В. Продолжения хордЛС
и B D первой окружности пересекают
вторую окружность в точках E u F . До­
кажите, что прямые CD и E F парал­
лельны.
696. Угловы е величины противопо­
ложных дуг, высекаемых на окруж­
ности пересекающимися хордами, рав­
ны а и р. Найдите угол между хордами.
697. Угловы е величины дуг, заклю ­
ченных между двумя хордами, про­
должения которых пересекаются вне
круга, равны а и Р (а, > Р). Под каким
углом
пересекаются продолжения
хорд?
698. Во вписанном четырехуголь­
нике ABCD известны углы : Z. DAB = а,
Z AB C = Р, Z. В К С — у, где К — точка
пересечения диагоналей. Найдите
угол ACD.
699. Из концов дуги А В , содержа­
щей т°, проведены хор д ы А С и B D так,
что угол D M C , образованный их пере­
сечением, равен углу D N C , вписанно­
му в дугу CD. Найдите градусную меру
этой дуги.
700. В четырехугольнике A B C D у г ­
лы B v iD — прямые. Диагональ А С об­
разует со стороной А В острый угол в
40°, а со стороной A D — угол в 30°.
Найдите острый угол между диагона­
лями ЛС и B D .
701. В выпуклом четырехугольни­
ке ABC дано: А ABC = 116°, Z ADC =
= 64°, Л CAB = 35° и Z CAD = 52°. Най­
дите угол между диагоналями, опи­
рающийся на сторону A S .
702. Стороны пятиугольника в по­
рядке обхода равны 5, б, 7, 8 и 9. Сто­
роны этого пятиугольника касаются
одной окружности. На какие отрезки
точка касания со стороной, равной 5,
делит эту сторону?
703. Две окружности пересекаются
в точках А и В. Прямая, проходящая
через точку А , пересекает окружности
в точках М и N , отличных от А , а па­
раллельная ей прямая, проходящая
через В, — соответственно в точк£1х Р
и Q, отличных от Б. Докажите, что
M N = PQ.
704. В треугольнике ABC проведе­
ны медианы A A j и ВВ^. Докажите, что
если /L САА -1 = Z СВВ^, то АС = ВС.
705. Диагонали четырехугольника
A B C D , вписанного в окружность, пе­
ресекаются в точке Е. На прямой АС
взята точка М , причем Z В М Е == 70°,
А A D B = 50°, Z CDB = 60°. Где распо­
ложена точка М : на диагонали АС или
на ее продолжении? Ответ обосновать
706. Докажите, что прямая, соеди
няющая середины дуг А В и АС, где А
В и С — три точки одной окружности
отсекает на хордах А В и АС равные от
резки, считая от точки А.
707. Докажите, что биссектрисы
углов выпуклого четырехугольника об­
разуют вписанный четырехугольник.
708. О — центр окружности, опи­
санной около треугольника ABC,
Z АОС = 60°. Найдите угол А М С , где
М — центр окружности, вписанной в
треугольник ABC.
709. На гипотенузе А В прямоуголь­
ного треугольника AB C во внешнюю
сторону встроен квадрат с центром в
точке О. Докажите, что СО есть бис­
сектриса прямого угла.
710. На окружности даны точки А,
В ,С , D b указанном порядке; М — се­
редина дуги АВ . Обозначим точки пе­
ресечения хорд М С и M D с хордой А В
через Е и К . Докажите, что K E C D —
вписанный четырехугольник.
711. Окружности S j и § 2 пересека­
ются в точке А . Через точку А проведе­
на прямая, пересекающая
в точке
В, S 2 в точке С. В точках С и В прове­
дены касательные к окружностям, пе­
ресекающиеся в точке D. Докажите,
47
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
что угол ВВС не зависит от выбора
прямой, проходящей через точку А.
712. Четырехугольник ABCD, диа­
гонали которого взаимно перпендику­
лярны, вписан в окружность. Перпен­
дикуляры, опущенные на сторону AD
из вершин Б и С, пересекают диагонали
АС и B D в точках E v iF соответственно
(рис. 29). Найдите E F , если ВС = 1.
713. К двум окружностям, пересе­
кающимся в точках К и М , проведена
общая касательная. Докажите, что
если А и В — точки касания, то сумма
углов А М В и А Х В равна 180°.
714. В треугольнике ABC точка
О — центр вписанной окружности,
A i — точка пересечения прямой А О с
описанной окружностью. Докажите,
что ВА^ = O A i = CAi715. Четыре точки окружности сле­
дуют в порядке А , В, С, D . Продолже­
ния хорды А В за точку В и хорды CD за
точку С пересекаются в точке Е , при­
чем угол A E D равен 60°. У гол A B D в
три раза больше угла ВАС. Докажите,
что A D — диаметр окружности.
716. Пусть А В — диаметр окруж­
ности, С — некоторая точка плоскос­
ти. Прямые А С и ВС пересекают ок­
ружность в точках М и N соответ­
ственно. Прямые M B и N A пересека­
ются в точке К . Найдите угол между
прямыми С К VI АВ.
717. В треугольнике ABC угол В —
прямой, угол А равен а
а < ^ , точка
D — середина гипотенузы. Точка
симметрична точке С относительно
прямой B D . Найдите угол АС^В.
718. В треугольнике ABC угол В —
прямой, угол с равен а
а >
Г)
точка
D — середина гипотенузы. Точка A j
симметрична точке А относительно
прямой B D . Найдите угол ВА^С.
719. Продолжение биссектрисы AD
треугольника A B C пересекает описан­
ную окружность в точке М . Пусть Q —
центр окружности, вписанной в тре­
угольник ABC. Докажите, что тре­
угольники M B Q и M C Q — равнобед­
ренные.
720. Биссектриса внешнего угла
при вершине С треугольника ABC пе­
ресекает описанную окружность в точ­
ке D . Докажите, что AZ) = BD.
721. Через вершину С равносторон­
него треугольника ABC проведена про­
извольная прямая, K v iM — проекции
точек А и В на эту прямую, Р — сере­
дина АВ . Докажите, что треугольник
К М Р — равносторонний.
722. Внутри угла с вершиной О взята
некоторая точка М . Л уч О М образует со
сторонами угла углы, один из которого
больше другого на 10°; А и В — проек­
ции точки М на стороны угла. Найдите
угол между прямыми А В и О М .
723. Две прямые пересекаются в
точке А ; В и С — проекции точки М на
эти прямые. Найдите угол между пря­
мой ВС и прямой, проходящей через
середины отрезков A M и ВС.
724. В квадрате A B C D из точки D
как из центра проведена внутри квад­
рата дуга через вершины А и С. На AD
как на диаметре построена внутри
квадрата полуокружность. Отрезок
прямой, соединяющей произвольную
точку Р дуги АС с точкой D , пересекает
полуокружность A D в точке К . Дока­
жите, что длина отрезка Р К равна рас­
стоянию от точки Р до стороны АВ.
725. Около треугольника ABC опи­
сана окружность с центром 0 : М — се-
48
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
редина дуги, не содержащей точки А .
Докажите, что угол О М А равен полуразности углов С и В треугольника ABC.
726. Равносторонние треугольники
ABC и P Q R расположены так, что вер­
шина С леж ит на стороне P Q , а верши­
на Д — на стороне А В . Докажите, что
А Р II BQ.
727. Трапеция с высотой h впис£1на
в окружность. Боковая сторона трапе­
ции видна из центра окружности под
углом 120°. Найдите среднюю линию
трапеции.
728. A M — биссектриса треуголь­
ника ABC. Точка D принадлежит сто­
роне АС, причем Z В М С = А ВАС. Д о­
кажите, что В М = M D .
729. Окружность S 2 проходит через
центр О окружности
и пересекает ее
в точках А и В. Через точку А проведе­
на касательная к окружности Sg. Точ­
ка £) — вторая точка пересечения этой
касательной с окружностью S^. Дока­
жите, что A D = АВ.
730. В треугольнике ABC биссект­
рисы В Р и С Т пересекаются в точке О.
Известно, что точки А , P , O vlT лежат
на одной окружности. Найдите вели­
чину угла А.
731. Дан вписанный четырехуголь­
ник AB CD . Противоположные сторо­
ны А В и CD при продолжении пересе­
каются в точке К , стороны ВС и A D —
в точке L. Докажите, что биссектрисы
углов ВКС и B LA перпендикулярны.
732. А В — диаметр окружности; С,
D ,E — точки на одной полуокружнос­
ти A C D E B . На диаметре А В взяты:
точка F так, что /. CFA = Z_ D F B , и точ­
ка G так, что Z DGA = Z EGB. Найдите
Z FD G , если дуга А С равна 60°, а дуга
B E равна 20°.
733. Даны окружность и точка А
вне ее; А В и АС — касательные к ок­
ружности (В и С — точки касания).
Докажите, что центр окружности,
вписанной в треугольник ABC, лежит
на данной окружности.
734. На продолжении (за точку А )
стороны АС правильного треугольни­
ка AB C взята точка М , и около тре­
угольников А В М и М В С описаны ок­
ружности. Точка А делит дугу М А В в
отношении М А : А В = п. В каком отно­
шении точка С делит дугу МСВ1
735. На стороне АС правильного
треугольника ABC взята точка М , и
около треугольников А В М и М В С опи­
саны окружности. Точка С делит дугу
М С В в отношении и М С : иСВ = п. В
каком отношении точка А делит дугу
МАВ?
736. Две
окружности касаются
друг друга внутренним образом в точ­
ке А ; А В — диаметр большей окруж­
ности. Хорда В К большей окружности
касается меньшей окружности в точке
С (рис. 30). Докажите, что АС — бис­
сектриса треугольника ABJ?^.
737. Докажите, что если стороны
пятиугольника в порядке обхода рав­
ны 4 , 6 , 8 ,7 и 9, то его стороны не могут
касаться одной окружности.
738. Вершина угла в 70° служит на­
чалом луча, образующего с его сторо­
нами углы 30° и 40°. Из некоторой точ­
ки М на этот луч опущены перпенди­
куляры, основания которых А , В и С.
Найдите углы треугольника ABC.
739. Через точку О на стороне пра­
вильного треугольника ABC проведе­
ны прямые, параллельные сторонам
А В и АС и пересекающие стороны АС и
А В в точках K v i L соответственно. Ок­
ружность, проходящая через точки О,
K vlL , пересекает стороны АС и А В со­
ответственно в точках Q и Р , отличных
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
К v lL . Докажите, что треугольник
OPQ — равносторонний.
740. Через одну из точек пересече­
ния двух равных окружностей прове­
дена общая секущая. Докажите, что
отрезок этой секущей, заключенный
между окружностями, делится попо­
лам окружностью, построенной на об­
щей хорде этих окружностей как на
диаметре.
741. Четырехугольник вписан в ок­
ружность. Докажите, что сумма уг­
лов, вписанных в сегменты, прилежа­
щие к сторонам четырехугольника и
расположенные вне его, равна 540°.
742. Ш естиугольник
ABCDEF —
вписанный,
причем
А В ||D E
и
ВС II E F . Докажите, что CD li E F .
743. Касательная в точке А к опи­
санной окружности треугольника ABC
пересекает прямую ВС в точке Е;
A D — биссектриса треугольника ABC.
Докажите, что А Е = E D .
744. В треугольнике AB C проведена
высота АН', О — центр описанной
окружности. Докажите, что Z О А Н =
= |Z Б - Z С|.
745. Из точки А проведены каса­
тельные А В и АС к окружности с цент­
ром О. Докажите, что если из точки М
отрезок АО виден под углом 90°, то от­
резки ОВ и ОС видны из нее под равны­
ми углами.
746. Точки С VL D лежат на окруж­
ности с диаметром АВ. Прямые АС и
BD, A D и ВС пересекаются в точках Р
и Q. Докажите, что А В перпендику­
лярна PQ .
747. На отрезке А В взята точка М .
На отрезках A M и M B как на сторонах
построены по одну сторону от А В квад­
раты. Около квадратов описаны ок­
ружности, пересекающиеся в точке С
(отличной от М ). Докажите, что:
а) угол АСВ — прямой; б) точка F ле ­
жит на отрезке АС.
748. Точки А , В, С VI D лежат на
окружности. Точки М , N , К и L — се­
редины дуг А В , ВС, CD и DA. Докажи­
0 1
49
те, что хорды М К и N L перпендику­
лярны.
749. Радиус окружности, описан­
ной около остроугольного треугольни­
ка ABC, равен 1. Известно, что на этой
окружности леж ит центр другой ок­
ружности, проходящей через верши­
ны А , С и точку пересечения высот тре­
угольника ABC. Найдите АС.
750. В треугольнике А-ВС угол В ра­
вен 60°, биссектрисы A D и СЕ пересе­
каются в точке О. Докажите, что OD =
= ОЕ.
751. Три равные окружности име­
ют общую точку Н , а точки их пересе­
чения, отличные отН, образуют остро­
угольный треугольник ABC. Докажи­
те, что Н — точка пересечения высот
треугольника А-ВС.
752. Три окружности имеют общую
точку М и попарно пересекаются в
точках Р , Q, R. Через произвольную
точку А одной из окружностей, леж а­
щую на дуге PQ , не содержащей точки
М , и точки Р и Q, в которых окруж­
ность пересекает две другие окруж­
ности, проведены прямые, пересекаю­
щие эти же две окружности в точках В
и С. Докажите, что точки В, Cvi R ле­
жат на одной прямой.
753. Докажите, что в любом тре­
угольнике ABC середина стороны ВС
леж ит на отрезке, соединяющем точку
пересечения высот с точкой окружнос­
ти, описанной около этого треугольни­
ка, диаметрально противоположной
вершине А , и делит этот отрезок попо­
лам.
754. Две окружности пересекаются
в точках А и Б. Через точку К первой
окружности проводятся прямые К А и
К В , пересекающие вторую окруж­
ность в точках Р VL Q. Докажите, что
хорда P Q второй окружности перпен­
дикулярна диаметру К М первой ок­
ружности.
755. Окружности
и Sg пересека­
ются в точках А VI В, причем центр О
окружности S j леж ит на окружности
50
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
S 2 . ХордаЛС окружности
пересека­
ет окружность S 2 в точке D . Докажите,
что отрезки O D и ВС перпендикуляр­
ны.
756. Диагонали четырехугольника
A B C D , вершины которого расположе­
ны на окружности, пересекаются в
точке М . Известно, что ^ А В С = 72°,
Z B C D = 102°, Z A M D = 110°. Найдите
AACD.
757. Найдите расстояние между
точками касания окружностей, впи­
санных в треугольники AB C и CDA, со
стороной АС, если;
&)АВ = 5 ,В С = 7, CD = DA;
б) А В = 7, БС = CD, D A = 9.
758. Точки А , В, С, D , Е к F распо­
ложены на окружности. Хорды ЕС и
A D пересекаются в точке М , а хорды
B E и D F — в точке N . Докажите, что
если хорды А В и CF параллельны, то
они параллельны также прямой M N .
759. Через концы основания A D тра­
пеции A B CD проведена окружность,
пересекающая прямые А В и CD в точ­
ках К VI М . Докажите, что точки В , С, К
и М лежат на одной окружности.
760. В окружность вписан равно­
сторонний треугольник. Докажите,
что хорда, соединяющая середины
дуг, отсекаемых сторонами треуголь­
ника, делится этими сторонами на три
равные части.
761. Вершины В , С, D четырех­
угольника A B C D расположены на ок­
ружности с центром О, которая пере­
секает сторону А В в точке F , а сторону
A D — в точке Е . Известно, что угол
B A D — прямой, хорда E F равна хорде
F B и хорды ВС, CD, E D равны между
собой. Найдите угол ASO .
762. Докажите, что точки, симмет­
ричные точке пересечения высот (ор­
тоцентру) треугольника A B C относи­
тельно его сторон, лежат на описанной
окружности этого треугольника.
763. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника A B C D пересекаются в
точке Е , А В = A D , СА — биссектриса
угла С, Z B A D = 140°, Z ВЕА = 110°.
Найдите угол CDB.
764.
Окружности S i и S 2 пересека­
ются в точках А VL Р (рис. 31). Через
точку А проведена касательная А В к
окружности S-1 , а через точку Р — пря­
мая CD, параллельная прямойАВ (точ­
ки Б и С лежат на S 2 , точк а!) — на S i).
Докажите, что AB CD — параллело­
грамм.
765. (Теорема Коперника.) По непо­
движной окружности, касаясь ее из­
нутри, катится без скольжения окруж­
ность вдвое меньшего радиуса. Какую
траекторию описывает фиксирован­
ная точка К подвижной окружности?
766. Вершина А остроугольного
треугольника AB C соединена отрез­
ком с центром О описанной окружнос­
ти. Из вершины А проведена высота
А Н . Докажите, что Z Б А Я = Z ОАС.
767. В окружность вписан четырех­
угольник ABCD, диагонали которого
взаимно перпендикулярны и пересе­
каются в точке Е . Прямая, проходя­
щая через точку Е и перпендикуляр­
ная к А В , пересекает сторону CD в точ­
ке М . Докажите, что Е М — медиана
треугольника CED, и найдите ее дли­
ну, если A D = 8 , А В = 4 и Z CBD = а.
768. Докажите, что окружности,
описанные около трех треугольников,
отсекаемых от остроугольного тре­
угольника средними линиями, имеют
общую точку.
769. На сторонах АС и ВС треуголь­
ника ABC во внешнюю сторону постро­
ены квадраты ACA^Ag и BCB^Bg. Дока­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
жите, что прямые
-AgSg тлАВ-^ пе­
ресекаются в одной точке.
770. На сторонах произвольного
треугольника AB C во внешнюю сторо­
ну построены равносторонние тре­
угольники A B C j, А^ВС и A B jC . Дока­
жите, что прямые A A j,
и CCj пере­
секаются в одной точке.
771. Во вписанном четырехуголь­
нике A B C D через вершины А , В и точ­
ку Р пересечения диагоналей проведе­
на окружность, пересекающая сторо­
ну ВС в точке Е . Докажите, что если
A B = A D , то CD = СЕ.
772. На хорде А В окружности S с
центром в точке О взята точка С\ D —
вторая точка пересечения окружности
S с окружностью, описанной около
треугольника АСО. Докажите, что
CD = СВ.
773. На плоскости расположены
два квадрата A B C D и B K L N так, что
точка К леж ит на продолжении А В за
точку B ,& N леж ит на луче ВС. Найди­
те угол между прямыми D L и A N .
774. Три прямые проходят через
одну точку и образуют попарно углы в
60°. Из произвольной точки М опуще­
ны перпендикуляры на эти прямые.
Докажите, что основания перпендику­
ляров являются вершинами правиль­
ного треугольника.
775. Две
окружности
касаются
внутренним образом в точке А . Из О —
центра большей окружности — прове­
ден радиус ОБ, касающийся меньшей
окружности в точке С. Найдите Z. ВАС.
776. Окружности S j и Sg пересека­
ются в точках А и В, причем центр О
окружности Sg леж ит на окружности
S i. Хорда ОС окружности
пересека­
ет окружность ^ 2 в точке D. Докажите,
что точка D является точкой пересече­
ния биссектрис треугольника ABC.
777. Два равных равнобедренных
треугольника AB C и D B E (А В = ВС =
= D B = B E ) имеют общую вершину Б и
леж ат в одной плоскости так, что точ­
51
ки А и С находятся по разные стороны
от прямой B D , а отрезки АС и D E пере­
секаются в точке К . Известно, что
А ABC = А D B E = а < 5, AAK D ==
= Р < а. В каком отношении прямая
В К делит угол ABC?
778. Два равных ромба ABCD
(А В II CD, A D II СВ) и A P Q R (А Р ||QR,
A R II P Q ) имеют общую вершину А и
лежат в одной плоскости. Известно,
ч т о Z. BAD = ^ P A R = а < 5 ^ Q AC = р.
Продолжения сторон ВС и QR пересе­
каются в точке К . Ромбы расположе­
ны в разных полуплоскостях относи­
тельно прямой A D . Найдите величину
угла K A D .
779. Отрезок, соединяющий вер­
шину А треугольника ABC с центром Q
вневписанной окружности, касаю­
щейся стороны ВС, пересекает описан­
ную окружность треугольника ABC в
точке D. Докажите, что треугольник
BDQ — равнобедренный.
780. Докажите, что четыре точки
пересечения окружностей, построен­
ных на сторонах вписанного четырех­
угольника как на хордах и отличные
от вершин этого четырехугольника,
лежат на одной окружности.
781. Треугольник AB C вписан в ок­
ружность с центром О. Т очк и D n E ди­
аметрально противоположны верши­
нам А VI В соответственно. Прямая ЕО
пересекает сторону АС в точке G, а сто­
рону ВС — в точке Н (рис. 32). Дока­
жите, что OG II ВС и E G = G H = GC.
52
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
790.
В параллелограмме ABCD угол
A C D равен 30°. Известно, что центры
окружностей, описанных около тре­
угольников A B D и BCD, расположены
5 2 — окружностей S j и S 3 , S 3 — ок­
на диагонали АС . Найдите угол AB D .
ружностей Sg и S 4 , a S 4 — окружностей
791°. В окружности с центром О
5 3 и S^. Докажите, что точки касания
проведен диаметр; А и В — точки ок­
этих окружностей являются вершина­
ружности, расположенные по одну
ми вписанного четырехугольника.
сторону от этого диаметра. На диа­
783. Вне правильного треугольни­
метре взята такая точка М , что A M и
ка ABC, но внутри угла БАС взята точ­ В М образуют равные углы с диамет­
ка М так, что угол С М А равен 30° и
ром. Докажите, что Z АО В = Z. A M В.
угол В М А равен а. Чему равен угол
792. Четырехугольник A B C D впи­
АВМ?
сан в окружность с центром О. Дока­
784. На сторонах выпуклого четы­
жите, что четыре точки, в которых
рехугольника как на диаметрах по­
перпендикуляры, опущенные из О на
строены четыре круга. Докажите, что
стороны А В и CD, пересекают диаго­
они покрывают весь четырехуголь­
нали АС и B D , леж ат на одной окруж­
ник.
ности.
785. Диагонали выпуклого четы­
793. Продолжение биссектрисы уг­
рехугольника взаимно перпендику­
ла В треугольника ABC пересекает
лярны. Докажите, что четыре проек­
описанную окружность в точке М ;
ции точки пересечения диагоналей на
О — центр вписанной окружности,
стороны четырехугольника лежат на
— центр вневписанной окружнос­
одной окружности.
ти, касающейся стороны АС. Докажи­
786. В треугольнике ABC проведе­
те, что точки А , С, О и Oj лежат на ок­
ны высоты ВВ^ и АА^; О — центр опи­
ружности с центром в точке М .
санной около треугольника ABC ок­
794. Окружности S^ и S 2 пересека­
ружности. Докажите, что прямые
ются в точках А и В. Через точкуА про­
A jS j и СО перпендикулярны.
ведена произвольная прямая, пересе­
787. Две окружности S j и Sg с цент­
кающая эти окружности соответствен­
рами
и О 2 пересекаются в точке А.
но в точках C l и С 2 , отличных от А . До­
Прямая О^А пересекает окружность S 2
кажите, что отрезок C^Cg виден из точ­
в точке К 2 , а прямая О 2 А пересекает
ки В под одним и тем же углом для лю ­
окружность S j в точке К^. Докажите,
бой прямой С 1 С2 .
что Z О 1 О 2 А = Z К 1 К 2 А.
795. A B C D — вписанный четырех­
угольник, продолжения сторон кото­
788°. Из точки А , расположенной
рого пересекаются в точках ЕтлК. До­
вне окружности, проведены две каса­
кажите, что точки пересечения бис­
тельные A M и A N (М и N — точки ка­
сектрис углов A E D и А К В со сторона­
сания) и секущая, пересекающая ок­
ми четырехугольника ABCD являются
ружность в точках P n Q . Пусть L — се­
вершинами ромба.
редина P Q . Докажите, что Z M L A =
796. В треугольнике ABC стороны
= ^NLA.
АС и ВС не равны. Докажите, что бис­
789.
Докажите, что высоты остро­
сектриса угла С делит пополам угол
угольного треугольника являются
между медианой и высотой, проведен­
биссектрисами углов его ортотре­
ными из вершины С, тогда и только
угольника (т. е. треугольника с вер­
тогда, когда Z С = 90°.
шинами в основаниях высот данного).
782. Четыре окружности
S2 , S3
и S 4 расположены так, что
касается
внешним образом окружностей Sg и S 4 ,
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
797. Постройте треугольник по точ­
кам пересечения с описанной окруж­
ностью его высоты, медианы и бис­
сектрисы, проведенных из одной вер­
шины.
798. (Задача Архимеда.) В дугу А В
окружности вписана ломаная А М Б из
двух отрезков (A M > M B ). Докажите,
что основание перпендикуляра К Н ,
опущенного из середины К дуги А В на
отрезок A M , делит ломаную пополам,
т. е .А Н = Н М + М В .
799. В трапеции A B C D (с основа­
ниями ВС и A D ) на сторонах А Б и CD
выбраны точки К и М . Докажите, что
если Z В А М = Z. C D K , то Z В М А =
= Z CKD.
800. В выпуклом четырехугольни­
ке A B C D известно, что Z CBD = 58°,
A A B D = 44°, Z A D C = 78°. Найдите
угол CAD.
801. Внутри треугольникаАВС взя­
та точка М так, что А .А М С = 60° -f+ /LABC, А С М В = 60° -f- А CAB,
А В М А = 60° -f- Z ВСА. Докажите, что
проекции точки М на стороны тре­
угольника служат вершинами пра­
вильного треугольника.
802. Даны две окружности одина­
кового радиуса. Они пересекаются в
точках А и В. Через точку А проведена
их общая секущая, пересекающая ок­
ружности еще в точках С и Z). Через
точку В проведена прямая, перпенди­
кулярная этой секущей. Она пересе­
кает окружности еще в точках Е и F.
Докажите, что точки С, Е , D и F явля­
ются вершинами ромба.
803. В выпуклом четырехугольни­
ке A B C D противоположные углы А и
С — прямые. На диагональ АС опуще­
ны перпендикуляры B E и D F . Дока­
жите, что СЕ = FA.
804. Точка Е леж ит на продолже­
нии стороны А С правильного тре­
угольника AB C за точку С. Точка К —
середина отрезка СЕ. Прямая, прохо­
дящая через точку А перпендикуляр­
но А В , и прямая, проходящая через
53
точку Е перпендикулярно ВС, пересе­
каются в точке D . Найдите углы тре­
угольника B K D .
805. Обязательно ли треугольник
равнобедренный, если центр вписан­
ной в него окружности одинаково уда­
лен от середин двух сторон?
806. В треугольнике AB C проведе­
ны высоты ВВ^ и CCj.
а) Докажите, что касательная в
точке А к описанной окружности па­
раллельна прямой В^С^.
б) Докажите, что В^С^ _L ОА, где
О — центр описанной окружности.
807. Сторона A D вписанного четы­
рехугольника A B C D является диа­
метром описанной окружности, М —
точка пересечения диагоналей, Р —
проекция М на AD . Докажите, что
М — центр окружности, вписанной в
треугольник ВСР.
808. Отрезки, соединяющие осно­
вания высот остроугольного треуголь­
ника, равны 8 , 15 и 17. Найдите ради­
ус описанной около треугольника ок­
ружности.
809. Известно, что в четырехуголь­
ник можно вписать и около него мож­
но описать окружность. Докажите,
что отрезки, соединяющие точки каса­
ния противоположных сторон с впи­
санной окружностью, взаимно пер­
пендикулярны.
810. Диагонали
равнобедренной
трапеции ABCD с боковой стороной А В
пересекаются в точке Р . Докажите,
что центр О ее описанной окружности
леж ит на описанной окружности тре­
угольника А Р Б .
811. Через точку Р , лежащую на об­
щей хорде двух пересекающихся ок­
ружностей, проведены хорда К М пер­
вой окружности и хорда L N второй ок­
ружности. Докажите, что четырех­
угольник K L M N — вписанный.
812. Докажите, что проекции точ­
ки пересечения диагоналей вписанно­
го четырехугольника на его стороны
54
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
818. Все углы треугольника ABC
являются вершинами описанного че­
меньше 120°. Докажите, что внутри
тырехугольника, если только они не
него существует точка, из которой все
попадают на продолжения сторон.
813.
Три равные окружности ради­стороны треугольника видны под уг­
лом 1 2 0 °.
уса R пересекаются в точке М (рис. 33).
819. Через вершины А , B ,C ,D впи­
Пусть А , В и С — три другие точки их
санного четырехугольника, диагона­
попарного пересечения. Докажите, что:
ли которого взаимно перпендикуляр­
а) радиус окружности, описанной
ны, проведены касательные к описан­
около треугольника ABC, равен R;
ной окружности. Докажите, что обра­
б ) М — точка пересечения высот
зованный ими четырехугольник —
треугольника A B C .
вписанный.
820. В остроугольном треугольнике
ABC известно, что С Н = А В , где Н —
точка пересечения высот. Найдите
угол С.
821. Пусть Н — точка пересечения
высот остроугольного треугольника
ABC и С Н = R, где R — радиус описан­
ного круга. Найдите угол С.
822. Докажите, что основания пер­
пендикуляров, опущенных из произ­
вольной точки описанной окружности
на стороны треугольника (или их про­
должения), лежат на одной прямой
814. С помощью одной линейки
(прямая Симеона).
опустите перпендикуляр из данной
823. Докажите, что если диагонали
точки на данный диаметр данной ок­
вписанного четырехугольника пер­
ружности (точка не лежит ни на ок­
пендикулярны, то середины его сто­
ружности, ни на диаметре).
рон и основания перпендикуляров,
815. Две
окружности касаются
опущенных из точки пересечения его
внутренним образом в точке М . Пусть
диагоналей на стороны, лежат на од­
А В — хорда большей окружности, ка­
ной окружности.
сающаяся меньшей окружности в точ­
824. Точки К VI Р симметричны ос­
ке Т . Докажите, что М Т — биссектри­
нованию Н высоты В Н треугольника
са угла А М В .
ABC относительно его сторон А В и ВС.
816. Точка Е леж ит на стороне АС
Докажите, что точки пересечения от­
правильного треугольника ABC; точка
резка
со сторонами А В и ВС (или их
К — середина отрезка А Е . Прямая,
продолжениями) — основания высот
проходящая через точку Е перпенди­
треугольника A B C .
кулярно прямой А В , и прямая, прохо­
825. Докажите, что в любом нерав­
дящая через точку С перпендикуляр­
нобедренном треугольнике биссектри­
са леж ит между медианой и высотой,
но прямой ВС, пересекаются в точке
D . Найдите углы треугольника B K D .
проведенными из той же вершины.
817. В шестиугольнике AB C D E F
826. Основание каждой высоты
известно,
что А В ||D E ,
ВС ||E F ,
треугольника проецируется на боко­
вые стороны треугольника. Докажи­
CD II F A и A D = B E = CF. Докажите,
что около этого шестиугольника мож­
те, что шесть полученных точек лежат
на одной окружности.
но описать окружность.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
827. В выпуклом четырехугольни­
ке ABCD известны углы : Z ВАС — 20°,
/1 ВСА = 35°, Z В В С = 40°, Z. B D A =
= 70°. Найдите угол между диагоналя­
ми этого четырехугольника.
828. В выпуклом четырехугольни­
ке A B C D угол Z А = 90°, а угол /.С <
< 90°. Из вершин Б и D на диагональ
АС опущены перпендикуляры B E и DF.
Известно, что А Е = CF. Докажите, что
угол С — прямой.
829. На сторонах А В , ВС и АС тре­
угольника A B C взяты соответственно
точки D , E v iF так, что D E = B E , F E =
= СЕ. Докажите, что центр описанной
около треугольника A D F окружности
леж ит на биссектрисе угла D E F .
830. Докажите, что если для впи­
санного четырехугольника A B C D вы­
полнено равенство CD = AJD 4- ВС, то
биссектрисы его углов А и В пересека­
ются на стороне CD.
831. В четырехугольнике K L M N ,
вписанном в окружность, биссектри­
сы углов K v iN пересекаются в точке Р ,
лежащей на стороне L M . Известно,
что K L : M N = Ъ. Найдите:
а) отношение расстояний от точки
Р до прямых K L и MN\
б) отношение хорд L M и M N .
832. Докажите, что точка пересече­
ния диагоналей описанного вокруг ок­
ружности четырехугольника совпада­
ет с точкой пересечения диагоналей че­
тырехугольника, вершинами которого
служат точки касания сторон первого
четырехугольника с окружностью.
55
метрическое) проекций катетов на ги­
потенузу, а каждый катет есть среднее
пропорциональное гипотенузы и сво­
ей проекции на нее.
834. (Теорема Пифагора.) Докажи­
те, что квадрат гипотенузы прямо­
угольного треугольника равен сумме
квадратов катетов.
835. (Ф ормула Герона.) Пусть S —
площадь треугольника со сторонами
а, Ь и с; р — его полупериметр. Дока­
жите, что S = J p (j) - а ){р - Ъ)(р - с ) .
836. Сформулируйте и докажите
теорему, обратную теореме Пифагора.
837. Диагонали ромба равны 24 и
70. Найдите сторону ромба.
838. Радиус круга равен 13, хорда
равна 10. Найдите ее расстояние от
центра.
839. К окружности радиуса 36 про­
ведена касательная из точки, удален­
ной от центра на 85. Найдите длину ка­
сательной.
840. Из общей точки проведены к
окружности две касательные. Радиус
окружности равен 1 1 , а сумма касатель­
ных равна 120. Найдите расстояние от
центра до общей точки касательных.
841. В прямоугольном треугольни­
ке ABC (/ -С = 90°) известно, что Z А =
= а, ВС = о. Найдите гипотенузу и вто­
рой катет.
842. Найдите диагональ прямо­
угольника со сторонами 5 и 12.
843. Прямая, проходящая через
точку М , удаленную от центра окруж­
ности радиуса 1 0 на расстояние, рав­
ное 26, касается окружности в точке А.
Найдите A M .
6 . ТЕО РЕМ А П И Ф А Г О Р А .
844. Найдите высоту равнобедрен­
ТРИ ГО Н О М ЕТРИ ЧЕСКИ Е
ного треугольника, проведенную к ос­
СООТНОШ ЕНИЯ
нованию, если стороны треугольника
В П РЯ М О У ГО Л ЬН О М
равны 1 0,13,13.
Т Р Е У ГО Л Ь Н И К Е
845. Найдите диагонали ромба, ес­
ли они относятся как 3 : 4, а периметр
833.
Докажите, что высота прямо­равен 1 .
угольного треугольника, проведенная
846. В равнобедренной трапеции
из вершины прямого угла, есть сред­
основания равны 10 и 24, боковая сто­
нее пропорциональное (среднее гео­
рона 25. Найдите высоту трапеции.
56
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
847. Найдите высоту прямоуголь­
ного треугольника, проведенную из
вершины прямого угла, если гипоте­
нуза равна 8 , а один из острых углов
равен 60°.
848. Найдите расстояние от центра
окружности радиуса 1 0 до хорды, рав­
ной 1 2 .
849. Найдите сторону квадрата,
вписанного в окружность радиуса 8 .
850. Найдите высоту трапеции со
сторонами, равными 1 0 , 1 0 , 1 0 и 26.
851. Вершина М правильного тре­
угольника А В М со стороной о располо­
жена на стороне CD прямоугольника
AB CD . Найдите диагональ прямо­
угольника A B CD .
852. Докажите, что высота прямо­
угольного треугольника, опущенная
на гипотенузу, равна произведению
катетов, деленному на гипотенузу.
853. А В и CD — две параллельные
хорды, расположенные по разные сто­
роны от центра О окружности радиуса
15; А В = 18, CD = 24. Найдите расстоя­
ние между хордами.
854. Две параллельные хорды А В и
CD расположены по одну сторону от
центра О окружности радиуса 30; А В =
= 48, CD = 36. Найдите расстояние
между хордами.
855. В равнобедренном треугольни­
ке центр вписанного круга делит высо­
ту в отношении 17 : 15. Основание рав­
но 60. Найдите радиус этого круга.
856. Гипотенуза
прямоугольного
треугольника равна с, один из острых
углов равен а. Найдите высоту, прове­
денную из вершины прямого угла.
857. В равнобедренном треугольни­
ке ABC угол при вершине В равен 120°,
а основание равно 8 . Найдите боковые
стороны.
858. Высота прямоугольного тре­
угольника, проведенная из вершины
прямого угла, делит гипотенузу на
отрезки, равные о и Ь. Найдите ка­
теты.
859. Основания
равнобедренной
трапеции равны а и Ь (а > Ь), острый
угол равен 45°. Найдите площадь тра­
пеции.
860. Из одной точки А проведены к
данной прямой перпендикуляр и две
наклонные (рис. 34). Найдите длину
перпендикуляра, если наклонные рав­
ны 41 и 50, а их проекции на данную
прямую относятся как 3 : 1 0 .
Р и с . 34
861. В равнобедренной трапеции
боковая сторона равна 41, высота рав­
на 40 и средняя линия равна 45. Най­
дите основания.
862. Докажите, что в прямоуголь­
ной трапеции разность квадратов ди­
агоналей равна разности квадратов ос­
нований.
863. В трапеции A B C D основание
A D = 2, основание ВС = 1. Боковые сто­
роны А В = CD = 1. Найдите диагонали.
864. Один из катетов прямоуголь­
ного треугольника больше другого на
10, но меньше гипотенузы на 10. Най­
дите гипотенузу треугольника.
865. В треугольнике ЛВС угол
ВАС — прямой, стороны А В и ВС рав­
ны соответственно 5 и 6 . Точка делит
сторону А С в отношении 3 : 1 , считая
от точки А , А Н — высота треугольни­
ка ABC. Что больше: 2 или отношение
ВКкАЛ?
8 6 6 . Найдите периметр правильно­
го треугольника, вписанного в окруж­
ность, если известно, что хорда этой
окружности длиной 2 удалена от цент­
ра на расстояние, равное 3.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
867. Два круга радиусов г и i? внеш­
не касаются. И з центра одного круга
проведена касательная к другому кру­
гу, а из полученной точки касания
проведена касательная к первому кру­
гу. Найдите длину последней каса­
тельной.
8 6 8 . В равнобедренном треугольни­
ке основание равно 30, а боковая сто­
рона равна 39. Найдите радиус впи­
санного круга.
869. Найдите радиус круга, опи­
санного около равнобедренного тре­
угольника с основанием 6 и боковой
стороной 5.
870. Найдите периметр правильно­
го треугольника, вписанного в окруж­
ность, если известно, что хорда дли­
ной 2 этой окружности удалена от ее
центра на 3.
871. Найдите длину стороны квад­
рата, вписанного в окружность, если
известно, что хорда длиной 2 этой ок­
ружности удалена от ее центра на 3.
872. На каком расстоянии от сто­
рон правильного шестиугольника на­
ходится центр окружности, описан­
ной около данного шестиугольника,
если известно, что хорда длиной 3 этой
окружности удалена от ее центра на
0,5?
873. Вершина М правильного тре­
угольника А В М со стороной о располо­
жена на стороне CD прямоугольника
AB CD . Найдите диагональ прямо­
угольника АВС£).
874. Найдите высоту и радиусы
вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника со сто­
роной, равной а.
875. Точка М расположена на сто­
роне CD квадрата A B C D с центром О,
причем С М : M D = 1 : 2 . Найдите сто­
роны треугольника А О М , если сторо­
на квадрата равна 6 .
876. Большее основание прямо­
угольной трапеции вдвое больше ее
меньшего основания, а боковые сторо­
57
ны равны 4 и 5. Найдите диагонали
трапеции.
877. Катеты прямоугольного тре­
угольника относятся как 3 : 7, а высо­
та, опущенная на гипотенузу, равна
42. Найдите отрезки гипотенузы.
878. В треугольнике больший угол
при основании равен 45°, а высота делит
основание на отрезки, равные 2 0 и 2 1 .
Найдите большую боковую сторону.
879. В прямоугольном треугольни­
ке биссектриса острого угла делит ка­
тет на отрезки т и п { т > п). Найдите
другой катет и гипотенузу.
880. Периметр
параллелограмма
равен 90, а острый угол равен 60°. Ди­
агональ параллелограмма делит его
тупой угол на части в отношении 1 : 3 .
Найдите стороны параллелограмма.
881. В треугольнике АБС известно,что А В = 3, высота CD = J s . Осно­
вание D высоты CD лежит на стороне
АВ и A D = ВС. Найдите АС.
882. Окружность радиуса R, по­
строенная на большем основании A D
трапеции ABCD как на диаметре, каса­
ется меньшего основания ВС в точке С,
а боковой стороны А В — в точке А .
Найдите диагонали трапеции.
883. Сторона
правильного
тре­
угольника равна о. Найдите радиус
вневписанной окружности.
884. На основании равнобедренно­
го треугольника, равном 8 , как на хор­
де построена окружность, касающая­
ся боковых сторон треугольника. Най­
дите радиус окружности, если высота,
опущенная на основание треугольни­
ка, равна 3.
885. В окружности радиуса R про­
веден диаметр и на нем взята точка А
на расстоянии а от центра. Найдите
радиус второй окружности, которая
касается диаметра в точке А и изнутри
касается данной окружности.
8 8 6 . В сектор А О В с радиусом R и
углом 90° вписана окружность, касаю-
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
58
щаяся отрезков ОА, ОВ и дуги А В
(рис. 35). Найдите радиус окруж­
ности.
Рис. 35
887. О — центр окружности, С —
точка пересечения хорды А В и радиуса
0 D , перпендикулярного ей, ОС = 9,
CD = 32. Найдите хорду.
8 8 8 . А В — диаметр круга; ВС — ка­
сательная; D — точка пересечения
прямой АС с окружностью. Дано: A D =
= 32 и D C = 1 8 . Найдите радиус круга.
889. Радиус круга равен i?. Найдите
длину хорды, проведенной из конца
данного диаметра через середину пер­
пендикулярного ему радиуса.
890. В прямоугольном треугольнике
острый угол равен а, а радиус окруж­
ности, описанной около этого треуголь­
ника, равен R. Найдите высоту тре­
угольника, опущенную на гипотенузу.
891. Медиана, проведенная к гипо­
тенузе прямоугольного треугольника,
равна т и делит прямой угол в отноше­
нии 1 : 2 . Найдите стороны треуголь­
ника.
892. Хорда АС окружности радиуса
R образует с диаметром А В угол, рав­
ный а. Найдите расстояние от точки С
до диаметра АВ.
893. Основания
прямоугольной
трапеции равны 6 и 8 . Один из углов
при меньшем основании равен 1 2 0 °.
Найдите диагонали трапеции.
894. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 12 и 16. Найдите ме­
диану, проведенную к гипотенузе.
895. Даны отрезки о и Ь. Постройте
отрезки
896. Найдите основание равнобед­
ренного треугольника, если его боко­
вая сторона равна о, а высота, опущен­
ная на основание, равна отрезку, со­
единяющему середину основания с се­
рединой боковой стороны.
897. Боковые стороны треугольни­
ка равны 25 и 30, а высота, проведен­
ная к основанию, равна 24. Найдите
основание.
898. В треугольнике ABC проведена
высотаАО. Докажите, что АВ^ - АС^ =
= Б1)2 - СХ)2 и АБ2 - АС2 = БМ2 - с м 2 ,
где М — произвольная точка высоты
AD.
899. В равнобедренном треугольни­
ке AB C боковая сторона А В равна 10 и
основание АС равно 12. Биссектрисы
углов А и С пересекаются в точке Z).
Найдите B D .
900. В прямоугольный треуголь­
ник с углом 60° вписан ромб со сторо­
ной, равной 6, так, что угол в 60° у них
общий и все вершины ромба лежат на
сторонах треугольника. Найдите сто­
роны треугольника.
901. В треугольнике ЛВС сторона
А В равна 6. Основание D высоты CD
леж ит на стороне АВ . Известно, что
A D = 4, ВС = 4. Найдите высотуАЕ, ко­
торая опущена из вершины А на сторо­
ну ВС.
902. Даны две параллельные пря­
мые на расстоянии 15 одна от другой;
между ними дана точка М на расстоя­
нии 3 от одной из них. Через точку М
проведена окружность, касающаяся
обеих прямых. Найдите расстояние
между проекциями центра и точки М
на одну из данных прямых.
903. Периметр
равнобедренной
трапеции, описанной около круга, ра­
вен р. Найдите радиус этого круга, ес­
ли известно, что острый угол при осно­
вании трапеции равен а.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
904. В равнобедренную трапецию с
основаниями а и Ь вписана окруж­
ность. Найдите диагональ трапеции.
905. Три окружности разных ради­
усов попарно касаются друг друга
внешним образом. Отрезки, соеди­
няющие их центры, образуют прямо­
угольный треугольник. Найдите ради­
ус меньшей окружности, если ради­
усы большей и средней равны 6 и 4.
906. В равносторонний треуголь­
ник вписана окружность. Этой окруж­
ности и сторон треугольника касаются
три малые окружности. Найдите сто­
рону треугольника, если радиус малой
окружности равен г.
907. Из одной точки проведены к
окружности две касательные. Длина
каждой касательной равна 12, а рас­
стояние между точками касания рав­
но 14,4. Найдите радиус окружности.
908. Через концы дуги окружнос­
ти, содержащей 120°, проведены каса­
тельные, и в фигуру, ограниченную
этими касательными и данной дугой,
вписана окружность. Докажите, что
ее длина равна длине исходной дуги.
909. В окружности радиуса R проведена хорда, равная —. Через один
конец хорды проведена касательная к
окружности, а через другой — секу­
щая, параллельная касательной. Най­
дите расстояние между касательной и
секущей.
910. В сегменте хорда равна о, а вы­
сота равна Л. Найдите радиус круга.
911. Радиус круга равен 25; две па­
раллельные хорды равны 14 и 40. Най­
дите расстояние между ними.
912. Из одной точки проведены к
кругу две касательные. Длина каса­
тельной равна 156, а расстояние меж­
ду точками касания равно 120. Найди­
те радиус круга.
913. А В и А С — касательные к од­
ному кругу с центром О, М — точка
59
пересечения прямой А О с окружно­
стью; D M E — отрезок касательной,
проведенной через точку М , между АВ
и АС. Найдите D E , если радиус круга
равен 15, а расстояние А О равно 39.
914.
К окружности радиуса, равно­
го 7, проведены две касательные из од­
ной точки, удаленной от центра на 25
(рис. 36). Найдите расстояние между
точками касания.
915. Данного круга касаются два
равных меньших круга — один изнут­
ри, другой извне, причем дуга между
точками касания содержит 60°. Ради­
усы меньших кругов равны г, радиус
большего круга равен R. Найдите рас­
стояние между центрами меньших
кругов.
916. На катете ВС прямоугольного
треугольника ABC как на диаметре по­
строена окружность, которая пересе­
кает гипотенузу А В в точке К . Найди­
те площадь треугольника СКВ, если
катет ВС равен о и катет АС равен Ь.
917. Трапеция K L M N с основания­
ми K N и L M вписана в окружность,
центр которой леж ит на основании
K N . Диагональ К М трапеции равна 4,
а боковая сторона K L равна 3. Найдите
основание L M .
918. В треугольнике AB C угол
ВАС — прямой, стороны А В и ВС рав­
ны соответственно 1 и 2. Биссектриса
угла AB C пересекает сторону АС в точ­
ке L, G — точка пересечения медиан
60
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
треугольника ABC. Что больше: B L
и ли Б С ?
919. В прямоугольнике A B C D от­
резки А В и B D равны соответственно 3
и 6. На продолжении биссектрисы B L
треугольника A B D взята точка N та­
кая, что точка L делит отрезок B N в от­
ношении 1 0 : 3 , считая от точки В. Что
больше: B N или CL?
920. Косинус угла при основании
равнобедренного треугольника равен
О
- ; высота, опущенная на основание,
5
равна Л. Найдите высоту, опущенную
на боковую сторону.
921. Гипотенуза
прямоугольного
треугольника равна о, один из острых
углов равен а. Найдите расстояния от
основания высоты, опущенной на ги­
потенузу, до катетов треугольника.
922. И з точки М проведены каса­
тельные М А и M B к окружности с
центром О (А и В — точки касания).
Найдите радиус окружности, если
А А М В = а и А В = а.
923. Площ адь
прямоугольника
равна 120, синус угла между диаго­
налью и одной из сторон равен -5-.
13
Найдите стороны прямоугольника.
924. Прямые, касающиеся окруж­
ности с центром О в точках А и В, пере­
секаются в точке М . Найдите хорду
А В , если отрезок М О делится ею на от­
резки, равные 2 и 18.
925. Докажите, что произведение
стороны треугольника на проведен­
ную к ней высоту для данного тре­
угольника постоянно.
926. Дан треугольник со сторонами
13, 14, 15. Найдите высоту, проведен­
ную к большей стороне.
927. Один из катетов прямоуголь­
ного треугольника равен 15, а проек­
ция другого катета на гипотенузу рав­
на 16. Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник.
928. В прямоугольной трапеции
меньшая диагональ равна большей бо­
ковой стороне. Найдите большую диа­
гональ, если большая боковая сторона
равна а, а меньшее основание равно Ь.
929. В прямоугольном треугольни­
ке медианы, проведенные к катетам,
равны
и л/ТЗ . Найдите гипотену­
зу треугольника.
930. В прямоугольном треугольни­
ке медианы, проведенные из вершин
острых углов, равны
И 789.
Найдите гипотенузу треугольника.
931. В прямоугольном треугольни­
ке ABC гипотенуза А В равна с и
Z ABC = а. Найдите все медианы в
этом треугольнике.
932. В большем из двух концентри­
ческих кругов проведена хорда, рав­
ная 32 и касающаяся меньшего круга.
Определите радиус каждого из кругов,
если ширина образовавшегося кольца
равна 8.
933. В треугольник вписана окруж­
ность радиуса 3. Найдите стороны тре­
угольника, если одна из них разделена
точкой касания на отрезки с длинами
4 и 3.
934. Радиусы вписанной и описан­
ной окружностей прямоугольного тре­
угольника равны 2 и 5 соответственно.
Найдите катеты треугольника.
935. Около окружности с диаметром
15 описана равнобедренная трапеция с
боковой стороной, равной 17. Найдите
основания трапеции.
936. Расстояния от одного конца
диаметра до концов параллельной ему
хорды равны 13 и 84. Найдите радиус
круга.
937. Два круга касаются внешним
образом (рис. 37). Найдите длину их
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
общей внешней касательной (между
точками касания), если радиусы рав­
ны 16 и 25.
938. Катет АС = 1 5 , катет СБ = 8. Из
центра С радиусом СВ описана дуга,
отсекающая от гипотенузы часть BD.
Найдите B D .
939. В прямоугольном треугольни­
ке AB C катет А С равен 16 и катет ВС
равен 12. Из центра В радиусом ВС
описана окружность и к ней проведена
касательная, параллельная гипотену­
зе (причем касательная и треугольник
лежат по разные стороны от гипотену­
зы). Катет ВС продолжен до пересече­
ния с проведенной касательной. Опре­
делите, насколько продолжен катет.
940. Расстояние между центрами
двух окружностей, лежащих одна вне
другой, равно 65; длина их общей
внешней касательной (между точками
касания) равна 63; длина их общей
внутренней касательной равна 25.
Найдите радиусы окружностей.
941. В прямоугольном треугольни­
ке A B C из вершины С прямого угла
опущен перпендикуляр на гипотену­
зу , и на нем как на диаметре построена
окружность, которая на катетах СА и
СВ высекает внутренние отрезки т и п .
Найдите катеты, если т = 12, п = 18.
942. В равнобедренном треугольни­
ке основание равно 48, а боковая сто­
рона равна 30. Найдите радиусы опи­
санного и вписанного кругов и рас­
стояние между их центрами.
943. В треугольнике A B C угол А —
прямой, /L В = 30°. В треугольник впи­
сана окружность, радиус которой ра­
вен V3 . Найдите расстояние от верши­
ны С до точки касания этой окружнос­
ти с катетом АВ .
944. Найдите радиус окружности,
вписанной в ромб со стороной а и ост­
рым углом 60°.
945. Радиус окружности, вписан­
ной в прямоугольный треугольник с
острым углом 60°, равен ^3 . Найдите
стороны треугольника.
61
946. Высота
параллелограмма,
проведенная из вершины тупого угла,
равна а и делит сторону пополам. Ост­
рый угол параллелограмма равен 30^.
Найдите диагонали параллелограм­
ма.
947. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 12 и 16. Найдите вы­
соту, проведенную из вершины прямо­
го угла.
948. Сформулируйте теорему, обрат­
ную теореме Пифагора. Верна ли она?
949. Высота ромба, проведенная из
вершины тупого угла, делит его сторо­
ну на отрезки длиной с и Ь. Найдите
диагонали ромба.
950. Прямые, содержащие боковые
стороны трапеции, пересекаются под
прямым углом. Большая боковая сто­
рона трапеции равна 8 , а разность ос­
нований равна 10. Найдите меньшую
боковую сторону.
951. Из точки М проведены каса­
тельные М А и M B к окружности с
центром О (А и В — точки касания).
Найдите радиус окружности, если
А А М В = а и А В = а.
952. На боковой стороне равнобед­
ренного треугольника как на диаметре
построена окружность, делящая вто­
рую боковую сторону на отрезки, рав­
ные а и Ь. Найдите основание треуголь­
ника.
953. В тупоугольном равнобедрен­
ном треугольнике AB C основание АС
равно 32, а боковая сторона равна 20.
Из вершины В проведен перпендику­
ляр к боковой стороне до пересечения
с основанием. На какие отрезки он де­
лит основание?
954. Найдите биссектрисы острых
углов прямоугольного треугольника с
катетами 24 и 18.
955. В треугольнике ABC высота
CD = 7, а высота А Е = 6 . Точка Е делит
сторону ВС так, что B E : ЕС = 3 : 4 .
Найдите сторону АВ.
956. Докажите, что обратная вели­
чина квадрата высоты прямоугольно­
го треугольника, проведенной к гипо­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
62
тенузе, равна сумме обратных вели­
чин квадратов катетов.
957. Найдите площадь квадрата,
вписанного в прямоугольный тре­
угольник с катетами а и 6 (сторона
квадрата леж ит на гипотенузе, а две
вершины — на катетах треугольника).
958. Окружности радиусов 8 и 3 ка­
саются внутренним образом. Из цент­
ра большей окружности проведена ка­
сательная к меньшей окружности.
Найдите длину этой касательной.
959. Точка В расположена вне ок­
ружности, а точки А и С — две диамет­
рально противоположные точки этой
окружности. Отрезок А В пересекается
с окружностью в точке Р , а отрезок
СВ — в точке Q. Известно, что А В = 2,
PC = 72 ,A Q = Vs . Найдите AC.
960. В треугольнике AB C известно,
что А В = 6 , А В = ВС. На сторонеАВ как
на диаметре построена окружность,
пересекающая сторону ВС в точке D
так, что B D : D C = 2 : 1 . Найдите АС.
961. В прямоугольном треугольни­
ке точка касания вписанной окруж­
ности делит гипотенузу на отрезки
длиной 5 и 12. Найдите катеты тре­
угольника.
962. Дана прямоугольная трапеция.
Окружность, построенная на меньшей
боковой стороне как на диаметре, ка­
сается другой боковой стороны и делит
ее на отрезки с длинами а и &(рис. 38).
Найдите радиус окружности.
Рис. 38
963. Найдите радиус окружности,
описанной около прямоугольного тре­
угольника, если радиус окружности.
вписанной в него, равен 3, а катет ра­
вен 1 0 .
964. Дан круг радиуса R. Четыре
круга равных радиусов касаются дан­
ного круга внешним образом, и каж­
дый из этих четырех кругов касается
двух других. Найдите радиусы этих
четырех кругов.
965. Дан квадрат, две вершины ко­
торого лежат на окружности радиуса
R, а две другие — на касательной к
этой окружности. Найдите диагонали
квадрата.
966. Окружность радиуса г касает­
ся некоторой прямой в точке М . На
этой прямой по разные стороны от М
взяты точки А и В так, что М А = M B = а. Найдите радиус окружности, про­
ходящей через точки А и В и касаю­
щейся данной окружности.
967. В круговой сектор с централь­
ным углом 120° вписан круг. Найдите
его радиус, если радиус данного круга
равен R.
968. Радиусы двух пересекающих­
ся окружностей равны 13 и 15, а общая
хорда равна 24. Найдите расстояние
между центрами.
969. Радиусы двух кругов равны 27
и 13, а расстояние между центрами
равно 50. Найдите длины их общих ка­
сательных.
970. Окружность с центром в вер­
шине прямого угла прямоугольного
треугольника радиусом, равным мень­
шему катету, делит гипотенузу на от­
резки 98 и 527 (начиная от меньшего
катета). Найдите катеты.
971. Длины двух параллельных
хорд равны 40 и 48, расстояние между
ними равно 22. Найдите радиус круга.
972. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 15 и 20. Найдите рас­
стояние от центра вписанного круга до
высоты, опущенной на гипотенузу.
973. В прямоугольном треугольни­
ке катеты равны 75 и 100. На отрезках
гипотенузы, образуемых основанием
высоты, построены полуокружности
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
по одну сторону с данным треугольни­
ком. Найдите отрезки катетов, заклю­
ченные внутри полукругов.
974. Точка удалена от прямой M N
на расстояние а. Данным радиусом г
описана окружность так, что она про­
ходит через точку А и касается прямой
M N . Найдите расстояние между полу­
ченной точкой касания и данной точ­
кой А .
975. Сторона А В треугольника ABC
равна 1. На стороне А В как на диа­
метре построена окружность, которая
делит сторону А С точкой D пополам, а
сторону ВС точкой Е в отношении
B E ; ЕС = 7 : 2 . Найдите сторону АС.
976. В прямоугольный треуголь­
ник, периметр которого равен 36, впи­
сана окружность. Гипотенуза делится
точкой касания в отношении 2 : 3 .
Найдите стороны треугольника.
977. В прямоугольный треуголь­
ник вписана окружность. Гипотенуза
делится точкой касания на отрезки
длиной 5 и 12. Найдите площадь тре­
угольника.
978. В прямоугольный треуголь­
ник, периметр которого равен 30, впи­
сана окружность. Один из катетов де­
лится точкой касания в отношении
2 : 3 , считая от вершины прямого у г­
ла. Найдите стороны треугольника.
979. Сторона A D четырехугольни­
ка A B C D является диаметром окруж­
ности, описанной около этого четы­
рехугольника. Найдите ВС, еслиАХ) =
= 6, Б£) = 3 73 , Z ВАС : /- CAD = 1 : 3 .
980. Три стороны четырехугольни­
ка в порядке обхода равны 7, 1 и 4.
Найдите четвертую сторону этого че­
тырехугольника, если известно, что
его диагонали перпендикулярны.
981. Две вершины квадрата распо­
ложены на основании равнобедренно­
го треугольника, а две другие — на его
боковых сторонах. Найдите сторону
квадрата, если основание треугольни­
ка равно а, а угол при основании равен
30°.
63
982. Общая хорда двух пересекаю­
щихся окружностей видна из их цент­
ров под углами 90° и 60°. Найдите ра­
диусы окружностей, если расстояние
между их центрами равно а.
983. Высота треугольника АБС,
опущенная на сторону ВС, равна h,
^ В = Р, Z. С = Y- Найдите остальные
высоты этого треугольника.
984. Радиус окружности, описан­
ной около равнобедренного треуголь­
ника, равен R. У го л при основании ра­
вен а. Найдите стороны треугольника.
985. В равнобедренной трапеции
AB CD боковая сторона равна 10, боль­
шее основание равно 24, а высота рав­
на 8. Определите, что пересекает бис­
сектриса острого угла трапеции: мень­
шее основание или его продолжение.
986. Найдите высоту трапеции, бо­
ковые стороны которой равны 6 и 8, а
основания равны 4 и 14.
987. Основание
равнобедренного
треугольника равно 1, а углы при ос­
новании 30°. Найдите сторону пра­
вильного треугольника, вписанного в
данный равнобедренный, одна сторо­
на которого перпендикулярна основа­
нию данного.
988. Найдите диагональ и боковую
сторону равнобедренной трапеции с
основаниями 20 и 12, если известно,
что центр ее описанной окружности
лежит на большем основании (рис. 39).
Рис. 39
989.
Отрезок, соединяющий цент­
ры двух пересекающихся окружнос­
тей, делится их общей хордой на от­
резки, равные 5 и 2. Найдите общую
64
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
хорду, если известно, что радиус од­
ной окружности вдвое больше радиуса
другой.
990. Сторона треугольника равна 2,
прилежащие к ней углы равны 30° и
45°. Найдите остальные стороны тре­
угольника.
991. Косинус угла при основании
равнобедренного треугольника равен
999. В равнобедренном треугольни­
ке высоты, опущенные на основание и
боковую сторону, равны соответствен­
но /я и п, Найдите стороны треуголь­
ника.
1000. Окружности с центрами
и
О 2 имеют общую хорду АВ, Z АО^В =
= 60°. Отношение длины первой ок­
ружности к длине второй окружности
I ; высота, опущенная на основание,
равно JZ . Найдите уголАО гВ.
1001. Сторона ВС треугольника
ABC равна 12. Около треугольника
описана окружность радиуса 10. Най­
дите стороны А В и АС треугольника,
если известно, что радиус ОА окруж­
ности делит сторону ВС на два равных
отрезка.
1002. Окружности радиусов 2 и 3
внешним образом касаются друг друга
в точке А . И х общая касательная, про­
ходящая через точку А , пересекает две
другие их общие касательные в точках
Б и С. Найдите ВС.
1003. В треугольнике ABC на сторо­
не А С как на диаметре построена ок­
ружность, которая пересекает сторону
А В в точке М и сторону БС в точке N .
Известно, чтоАС = 2, А В = 3 ,А М : M B =
= 2 : 3 . Найдите A/V.
1004. На катете ВС прямоугольно­
го треугольника AB C как на диаметре
построена окружность, пересекающая
гипотенузу в точке D так, что A D : B D =
= 1 : 3 . Высота, опущенная из верши­
ны С прямого угла на гипотенузу, рав­
на 3. Найдите катет БС.
1005. Четырехугольник АВС£) впи­
сан в окружность радиуса R. Его ди­
агонали взаимно перпендикулярны и
пересекаются в точке Р . Найдите
5
равна h. Найдите высоту, опущенную
на боковую сторону.
992. На катете ВС прямоугольного
треугольника AB C как на диаметре по­
строена окружность, которая пересе­
кает гипотенузу А В в точке К . Найди­
те С К , если ВС = а и А С = Ь.
993. В трапеции A B C D основание
A D = 2, основание БС = 1. Боковые сто­
роны А В = CD = 1. Найдите диагонали
трапеции.
994. Через середину гипотенузы
прямоугольного треугольника прове­
ден к ней перпендикуляр. Отрезок это­
го перпендикуляра, заключенный вну­
три треугольника, равен с, а отрезок,
заключенный между одним катетом и
продолжением другого, равен Зс. Най­
дите гипотенузу.
995. Длины параллельных сторон
трапеции равны 25 и 4, а непараллель­
ных — 20 и 13. Найдите высоту трапе­
ции.
996. Основания равнобедренной тра­
пеции а и Ь, боковая сторона равна с, а
диагональ равна d. Докажите, что
—
= аЬ + с^.
997. В трапеции A B CD одно основа­
ние в два раза больше другого. Мень­
шее основание равно с. Диагонали тра­
пеции пересекаются под прямым уг­
лом, а отношение боковых сторон равно
к. Найдите боковые стороны трапеции.
998. В прямоугольный треуголь­
ник вписан квадрат так, что одна из
его сторон находится на гипотенузе.
Боковые отрезки гипотенузы равны т
и п. Найдите площадь квадрата.
АР2 +
ВР^
4- с р 2 4- £)р2 и А В 2 4- БС2 +
+ CD^ + AD^.
1006. Прямая, перпендикулярная
двум сторонам параллелограмма, де­
лит его на две трапеции, в каждую из
которых можно вписать окружность.
Найдите острый угол параллелограм­
ма, если его стороны равны а и Ь (а < Ь ).
65
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
1007.
Окружности радиусов г и
(R > г) касаются внешним образом в
точке К . К ним проведены две общие
внешние касательные (рис. 40). Их
точки касания с меньшей окружно­
стью — A u D , с большей — Б и С соот­
ветственно.
а) Найдите А В и отрезок M N общей
внутренней касательной, заключен­
ный между внешними касательными.
б) Докажите, что углы А К Б и
О 1 М О 2 — прямые (О^ и О 2 — центры
окружностей).
1008. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке С.
Радиусы окружностей равны 2 и 7.
Общая касательная к обеим окружнос­
тям, проведенная через точку С, пере­
секается с другой их общей касатель­
ной в точке D . Найдите расстояние от
центра меньшей окруж ности до точ­
ки D .
1009. Найдите отношение радиу­
сов двух окружностей, касающихся
между собой, если каждая из них ка­
сается сторон угла, величина которо­
го равна а.
1010°. Сторона треугольника равна
48, а высота, проведенная к этой сто­
роне, равна 8,5. Найдите расстояние
от центра окружности, вписанной в
этот треугольник, до вершины, проти­
воположной данной стороне, если ра­
диус вписанной окружности равен 4.
1011°. Выпуклый
четырехуголь­
ник A B C D описан вокруг окружности
с центром в точке О, при этом А О =
3 С борник задач по геометрии
R= ОС = 1, ВО = O D = 2. Найдите пери­
метр четырехугольника ABCZ).
1012. В прямоугольном треуголь­
нике гипотенуза равна с. Центры трех
окружностей радиуса | находятся в
5
его вершинах. Найдите радиус четвер­
той окружности, которая касается
трех данных и не содержит их внутри
себя.
1013. В равнобедренном треуголь­
нике ABC известно, что Z А = а > 90° и
ВС = а. Найдите расстояние между
точкой пересечения высот и центром
описанной окружности.
1014°. В окружность радиуса 3 4- 7 з
вписан правильный шестиугольник
A B C D E K . Найдите радиус круга, впи­
санного в треугольник ACZ).
1015. Окружность радиуса 1 + ^ 2
описана около равнобедренного пря­
моугольного треугольника. Найдите
радиус окружности, которая касается
катетов этого треугольника и внутрен­
ним образом касается окружности,
описанной около него.
1016°. На плоскости даны две ок­
ружности радиусов 12 и 7 с центрами в
точках Oj ИО 2 , касающиеся некоторой
прямой в точках
и М 2 и лежащие
по одну сторону от этой прямой. И з­
вестно, что М 1 М 2 : О 1 О 2 = 2 V 5 : 5.
Найдите
1017. На плоскости даны две ок­
ружности радиусов 4 и 3 с центрами в
точках
и О2 , касающиеся некоторой
прямой в точках
и
и лежащие
по разные стороны от этой прямой. И з­
вестно, что О 1 О 2 : М-^М 2 = 2 : J3 . Най­
дите О 1 О 2 .
1018°. Дана трапеция A B C D , у ко­
торой угол БАО — прямой. На стороне
А В как на диаметре построена окруж­
ность, которая пересекает диагональ
B D в точке М . Известно, что А В = 3,
A D = 4, ВС — 1. Найдите угол С АМ .
66
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1019. Точка пересечения медиан
прямоугольного треугольника удале­
на от катетов на расстояния соответ­
ственно 3 и 4. Найдите расстояние от
этой точки до гипотенузы.
1020°. Точки А , В и С расположены
на одной прямой. Через точку В прохо­
дит некоторая прямая. Пусть М —
произвольная точка на этой прямой.
Докажите, что расстояние между
центрами окружностей, описанных
около треугольников А В М и С В М , не
зависит от положения точки М . Най­
дите это расстояние, если А С = а,
/- М В С = а.
1021. Радиус окружности, вписан­
ной в ромб, равен г, а острый угол ром­
ба равен а. Найдите сторону ромба.
1022. Высота прямоугольного тре­
угольника, проведенная из вершины
прямого угла, равна а и образует угол
а с медианой, проведенной из той же
вершины. Найдите катеты треуголь­
ника.
1023. В трапеции A B C D большее
основание A D = 19, боковая сторона
А В = 13, а другая боковая сторона
CD = 12 и перпендикулярна основани­
ям. Биссектриса острого угла B A D пе­
ресекает прямую DC в точке М . Опре­
делите, где леж ит точка М ; на отрезке
DC или вне его.
1024. Найдите высоту равнобед­
ренного треугольника, проведенную к
боковой стороне, если основание равно
а, а боковая сторона равна Ь.
1025. Вершины М и АГ равносторон­
него треугольника B M N лежат соот­
ветственно на сторонах A D и CD квад­
рата ABCZ) со стороной, равной о. Най­
дите M N .
1026. Даны отрезки а и Ь . Построй­
те отрезок J a b .
1027. Высота CD треугольника AB C
делит сторону А В на отрезки A D и B D ,
причем A D ■B D = CD^. Верно ли, что
треугольник ABC — прямоугольный?
1028. Две стороны треугольника
равны 6 и 8. Медианы, проведенные к
этим сторонам, взаимно перпендику­
лярны. Найдите третью сторону тре­
угольника.
1029. В треугольнике ABC известно, что B D — медиана, B D
л '-АВ, а
Z- DBC = 90°. Найдите угол ABZ).
1030. На продолжении стороны AD
прямоугольника ABCZ) за точку D взя­
та точка Е , причем D E = 0,5AD и
^ ВЕС = 30°. Найдите отношение сто­
рон прямоугольника ABCZ).
1031. На продолжении стороны АВ
ромба ABCD за точку В взята точка М ,
причем M D = М С и Z. M D C == arctg | .
5
Найдите отношение отрезков М А и M B .
1032. В трапеции AB CD большее
основание A D равно а, ВС перпендику­
лярно CD, А В = ВС, диагональ B D пер­
пендикулярна А В (рис. 41). Найдите
стороны трапеции.
1033. В треугольнике ABC медианы
А Е и B D , проведенные к сторонам ВС
и АС, пересекаются под прямым уг­
лом. Сторона ВС равна а. Найдите дру­
гие стороны треугольника ABC, если
А Б 2 4= d^.
1034. В трапеции A B C D диагонали
пересекаются под прямым углом, а од­
но основание в два раза больше друго­
го. Отношение боковых сторон трапе­
ции равно т. Найдите боковые сторо­
ны трапеции, если сумма квадратов
диагоналей равна d^.
1035. В треугольнике известны сто­
роны; А В = 1 5 , ВС = 13 и АС = 14. Че­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
рез точку С проведен перпендикуляр к
стороне АС до пересечения в точке К с
продолжением стороны А В . Найдите
В К и СК.
1036. Медиана
прямоугольного
треугольника, проведенная к гипоте­
нузе, разбивает его на два треугольни­
ка с периметрами 8 и 9. Найдите сторо­
ны треугольника.
1037. Боковая сторона, меньшее ос­
нование и диагональ равнобедренной
трапеции равны соответственно 10,6 и
14. Найдите большее основание.
1038. АА^, ВВ^ и CCi — высоты тре­
угольника ABC. Докажите, что
А В 1 + ВС1 + Са1 =
= A c f + ВА\ + СВ\ .
1039. Четырехугольник A B C D та­
ков, что в него можно вписать и около
него можно описать окружности. Диа­
метр описанной окружности совпада­
ет с диагональю АС. Докажите, что мо­
дули разностей его противоположных
сторон равны.
1040. В прямоугольный треуголь­
ник с гипотенузой, равной 26, вписана
окружность радиуса 4. Найдите пери­
метр треугольника.
1041. Диаметр А В окружности ра­
вен 1. На нем отложен отрезок АС, рав­
ный а. Проведена также хорда AD ,
равная Ь. Из точки С восставлен пер­
пендикуляр к А В , пересекающий хор­
ду A D в точке £ , а из точки D опущен
перпендикуляр D F на А_В. Оказалось,
что А Е = A F . Докажите, что а == Ь^.
1042. В прямоугольную трапецию
вписана окружность радиуса R. Най­
дите стороны трапеции, если ее мень­
шее основание равно ^
.
1043. Центр окружности, вписан­
ной в прямоугольную трапецию, уда­
лен от концов ее боковой стороны на
расстояния 15 и 20. Найдите стороны
трапеции.
67
1044. Окружность радиуса 2 каса­
ется внешним образом другой окруж ­
ности в точке А . Общая касательная к
обеим окружностям, проведенная че­
рез точку А , пересекается с другой их
общей касательной в точке В. Найди­
те радиус второй окружности, если
А В = 4.
1045. Окружности радиусов г и R
касаются внешним образом. К ним
проведена общая внешняя касатель­
ная; А и Б — точки касания. Найдите
радиус
окружности,
касающейся
внешним образом данных окружнос­
тей и касающейся прямой А_В.
1046. Даны окружности радиусов г
n R ( R > г). Расстояние между их цент­
рами равно а (а > R + г). Найдите отрез­
ки общих внешних и общих внутрен­
них касательных, заключенные меж­
ду точками касания.
1047. В круге с центром О хорда АВ
пересекает радиус ОС в точке D , при­
чем Z CDA = 120°. Найдите радиус ок­
ружности, касающейся отрезков AD,
DC и дуги АС, если ОС = 2, OD = V3 .
1048. Дана окружность с центром в
точке О и радиусом 2. Из конца отрез­
ка ОА, пересекающегося с окружно­
стью в точке М , проведена касатель­
ная А К к окружности, Z. О А К = 60°.
Найдите радиус окружности, касаю­
щейся отрезков AJ^', A M и дуги М К .
1049. Сторона А В прямоугольника
A B C D равна 12, а сторона А£) равна 5.
Диагонали прямоугольника пересека­
ются в точке Е . Найдите отношение
расстояния от точки Е до центра ок­
ружности, вписанной в треугольник
A E D , к расстоянию от точки Е до цент­
ра окружности, вписанной в треуголь­
ник DEC.
1050. Найдите
площадь
ромба
A B CD , если радиусы окружностей,
описанных около треугольников ABC
n A B D , равны R u r .
1051. Найдите сумму квадратов
расстояний от точки М , взятой на диа­
68
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
метре некоторой окружности, до кон­
цов любой из параллельных этому
диаметру хорд, если радиус окружнос­
ти равен R , а расстояние от точки М до
центра окружности равно а.
1052. В окружность радиуса 17
вписан четырехугольник, диагонали
которого взаимно перпендикулярны и
находятся на расстоянии 8 и 9 от цент­
ра окружности. Найдите стороны че­
тырехугольника.
1053. Две окружности с центрами
О^, О 2 и радиусами 32, пересекаясь,
делят отрезок
1059.
В прямоугольной трапеции
верхнее основание равно высоте, а
нижнее основание равно о. Найдите
боковые стороны трапеции, если из­
вестно, что одна из них касается ок­
ружности, проходящей через обе верх­
ние вершины, и касается нижнего ос­
нования (рис. 42).
на три равные час­
ти. Найдите радиус окружности, кото­
рая касается изнутри обеих окружнос­
тей и касается отрезка О^Ог.
1054. В равнобедренный треуголь­
ник с основанием а и углом при осно­
вании а вписана окружность. Кроме
того, построена вторая окружность,
касающаяся боковых сторон треуголь­
ника и вписанной в него окружности.
Найдите радиус второй окружности.
1055. В прямоугольном треуголь­
нике A B C с катетами 3 и 4 вершина С
прямого угла соединена с серединой D
гипотенузы А В . Найдите расстояние
между центрами окружностей, впи­
санных в треугольники ACZ) и BCD.
1056. В прямоугольном треуголь­
нике ЛВС с острым углом 30° проведе­
на высота CD из вершины прямого уг­
ла С. Найдите расстояние между цент­
рами окружностей, вписанных в тре­
угольники ACD и BCD, если меньший
катет треугольника AB C равен 1.
1057. Медиана прямоугольного тре­
угольника, проведенная к гипотенузе,
разбивает его на два треугольника с
периметрами т и п . Найдите стороны
треугольника.
1058. Длины боковой стороны A D и
основания CD трапеции A B C D равны
k, а длина основания А В = 2й. Длина
диагонали А С равна I. Найдите длину
боковой стороны ВС.
1060. В треугольнике ABC меди­
аны, проведенные к сторонам АС и ВС,
пересекаются под прямым углом. Най­
дите АВ , если АВ , если АС = Ь, ВС = а.
1061. Диагональ равнобедренной
трапеции равна а, а средняя линия
рав1 ^а Ь. Найдите высоту трапеции.
1062. В равнобедренной трапеции
A B C D основания A D = 12, ВС = 6, вы­
сота равна 4. Диагональ АС делит угол
B A D трапеции на две части. Какая из
них больше?
1063. В прямоугольный треуголь­
ник с гипотенузой а и острым углом
30° вписан прямоугольник, одна из
сторон которого вдове больше другой.
Большая сторона прямоугольника на­
ходится на гипотенузе, а противопо­
ложные ей вершины — на катетах.
Найдите стороны прямоугольника.
1064. Докажите, что в прямоуголь­
ном треугольнике проекции катетов
на гипотенузу пропорциональны квад­
ратам катетов.
1065. Дан треугольник со сторона­
ми а, Ь и с. Докажите, что если меди­
аны, проведенные к сторонам а и ft,
взаимно перпендикулярны, то а^ + Ь^ =
= 5с^.
1066. Диагональ
равнобедренной
трапеции равна с, а средняя линия
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
равна Ь. Найдите высоту этой трапе­
ции.
1067. Найдите радиусы вписанной
и вневписанных окружностей тре­
угольника со сторонами 5, 12,13.
1068. В трапеции A B C D меньшая
диагональ B D перпендикулярна осно­
ваниям A D и ВС, сумма острых углов
А и С равна 90°. Основания A D = а,
ВС = Ь. Найдите боковые стороны тра­
пеции.
1069. В прямоугольной трапеции
основания равны 17 и 25, а большая
боковая сторона равна 10. Из середи­
ны этой стороны проведен перпенди­
куляр к ней до пересечения с продол­
жением другой стороны. Найдите дли­
ну этого перпендикуляра.
1070. Биссектрисы тупых углов
при основании трапеции пересекают­
ся на другом ее основании. Найдите
стороны трапеции, если ее высота рав­
на 12, а длины биссектрис — 15 и 13.
1071. Докажите, что сумма квадра­
тов расстояний от произвольной точки
плоскости до двух противоположных
вершин прямоугольника равна сумме
квадратов расстояний от этой точки до
двух других вершин прямоугольника.
1072. В сегмент с дугой 120° и высо­
той h вписан прямоугольник A B CD
так, что А В : ВС = 1 : 4 {ВС лежит на
хорде). Найдите площадь прямоуголь­
ника.
1073. В сегмент, дуга которого рав­
на 60°, вписан квадрат. Найдите пло­
щадь квадрата, если радиус круга ра­
вен 273 + -Д 7 .
1074. Вне
прямоугольного
тре­
угольника AB C на его катетах АС и ВС
построены квадраты A C D E и BCFG.
Продолжение медианы С М треуголь­
ника AB C пересекает прямую D F в точ­
ке N . Найдите отрезок C N , если кате­
ты равны 1 и 4.
1075. В равнобедренной трапеции
лежат две касающиеся окружности
69
радиусов R, каждая из которых каса­
ется обоих оснований и одной из боко­
вых сторон, а центры окружностей ле­
жат на диагоналях. Найдите стороны
трапеции.
1076. К данной окружности прове­
дены две параллельные касательные и
третья касательная, пересекающая
их. Докажите, что радиус окружности
есть среднее геометрическое отрезков
третьей касательной.
1077. В окружность вписан прямо­
угольник A B C D , сторона А В которого
равна а. Из конца К диаметра К Р , па­
раллельного стороне А В , сторона ВС
видна под углом (3. Найдите радиус ок­
ружности.
1078. Две окружности радиусов 4 и
3 касаются друг друга внешним обра­
зом. К этим окружностям проведены
общие внешние касательные PQ и RS
таким образом, что точки Р и S при­
надлежат окружности большего ради­
уса, а точки Q u R принадлежат окруж­
ности меньшего радиуса. Найдите ра­
диус окружности, касающейся отрез­
ков RS, S P и PQ.
1079. Стороны треугольника равны
10, 10, 12. Найдите радиусы вписан­
ной и вневписанных окружностей.
1080. Окружность, вписанная в
трапецию A B C D , касается боковой
стороны А В в точке F . Найдите пло­
щадь трапеции, если A F = т, F B = п, а
меньшее основание трапеции ВС рав­
но Ь.
1081. В прямоугольной трапеции
лежат две окружности. Одна из них,
радиуса 4 , вписана в трапецию, а вто­
рая, радиуса 1 , касается двух сторон
трапеции и первой окружности. Най­
дите площадь трапеции.
1082. В прямоугольном треуголь­
нике AB C катеты А В и АС равны 4 и 3
соответственно. Т о ч к а !) делит гипоте­
нузу БС пополам. Найдите расстояние
между центрами окружностей, впи­
санных в треугольники ADC и ABD.
70
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1083. В треугольнике AB C со сторо­
в треугольник, и окружности радиуса
3, касающейся продолжений сторон
нами А В = 73 , ВС = 4, АС = 7 ? прове­
P Q и PR .
дена медиана B D . Окружности, впи­
1089. К окружности проведены ка­
санные в треугольники A B D и BDC,
сательные, касающиеся ее в концах
касаются B D в точках М и N соответ­
диаметра АВ . Произвольная касатель­
ственно. Найдите M N .
ная к окружности пересекает эти каса­
1084. Радиус О М окружности с
тельные в точках К и М . Докажите,
центром в точке О и хорда K Q пересе­
что произведение АК" •В М постоянно.
каются в точке А . Отрезки О М и ОА
1090. В окружность вписан равно­
равны соответственно г и а, Z. К А М = а
бедренный треугольник с основанием
(а < 90°). Найдите радиус окружности,
а и углом при основании а. Кроме то­
касающейся отрезков А К , A M и дуги
го, построена вторая окружность, ка­
МК.
сающаяся обеих боковых сторон тре­
1085. Найдите косинус угла при ос­
угольника и первой окружности. Най­
новании равнобедренного треугольни­
дите радиус второй окружности.
ка, если точка пересечения его высот
1091. Сторона треугольника равна
леж ит на вписанной в треугольник ок­
2, прилежащие к ней углы равны 30° и
ружности.
45°. Найдите остальные стороны тре­
1086. Найдите длину хорды, если
угольника.
даны радиус г и расстояние а от одного
1092. Диагональ АС равнобедрен­
конца хорды до касательной, прове­
ной трапеции ABCZ) равна а и образует
денной через другой ее конец.
углы а и Р с большим основанием A D и
1087. В окружность вписан четы­
боковой стороной АВ . Найдите основа­
рехугольник A B CD , диагонали кото­
ния трапеции.
рого взаимно перпендикулярны и пе­
1093. Стороны
параллелограмма
ресекаются в точке Е (рис. 43). П ря­
равны а и Ь, а угол между ними равен
мая, проходящая через точку Е и пер­
а. Найдите стороны и диагонали четы­
пендикулярная к ВС, пересекает сто­
рехугольника, образованного пересе­
рону A D в точке М . Докажите, что
чением биссектрис внутренних углов
Е М — медиана треугольника A E D , и
параллелограмма.
найдите ее длину, если А В = 7, СЕ = 3,
1094. Найдите sin 15° и tg 75°.
Z A D B = а.
1095. Катет прямоугольного тре­
угольника равен 2, а противолежащий
ему угол равен 30°. Найдите расстоя­
ние между центрами окружностей,
вписанных в треугольники, на кото­
рые данный треугольник делится ме­
дианой, проведенной из вершины пря­
мого угла.
1096. А В и CD — параллельные
прямые, АС — секущая,
— точки
пересечения прямых А В и CD с бис­
сектрисами углов С и А . Дано: A F = 96,
СЕ = 110. Найдите АС.
1097. Из вершины тупого угла ром­
1088.
В треугольнике P Q R уголба A_BCZ) проведены высоты В М и BN.
Q R P равен 60°. Найдите расстояние
В четырехугольник B M D N вписана
между точками касания со стороной
окружность радиуса 1. Найдите сторо­
QR окружности радиуса 2, вписанной
ну ромба, если Z ABC = 2 arctg 2.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1098. Из вершины А острого угла
ромба A B C D опущены перпендикуля­
ры A M и A N на продолжения сторон
ВС и CD. В четырехугольник A M C N
вписана окружность радиуса 1. Най­
дите сторону ромба, если Z ВАС =
= 2 arctg I .
1099. Окружность, центр которой
лежит вне квадрата AB CD , проходит
через точки В и С . Найдите угол между
касательными к окружности, прове­
денными из точки D , если отношение
стороны квадрата к диаметру окруж­
ности равно 3 : 5 .
1100. Окружность, центр которой
лежит внутри квадрата PQ R S , прохо­
дит через точки Q к R. Найдите угол
между касательными к окружности,
проведенными из точки S, если отно­
шение стороны квадрата к радиусу ок­
ружности равно 24 : 13.
1101°. В прямоугольном треуголь­
нике отношение радиуса вписанной
окружности к радиусу описанной ок­
ружности равно I . Найдите острые уг5
лы треугольника.
1102. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 36 и 48. Найдите рас­
стояние от центра вписанной в тре­
угольник окружности до высоты, про­
веденной к гипотенузе.
1103. В треугольнике P Q R угол
Q PR равен 60°. Через вершины Р и R
проведены перпендикуляры к сторо­
нам QR и P Q соответственно. Точка
пересечения этих перпендикуляров
находится от вершин Р и Q на расстоя­
нии, равном 1. Найдите стороны тре­
угольника P Q R .
1104. В прямоугольном треуголь­
нике ABC из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Найдите рас­
стояние между центрами окружнос­
тей, вписанных в треугольники ЛС£) и
BCD, если ВС = 4, а радиус окружнос­
ти, описанной около треугольника
ABC, равен | .
71
1105°. Диагонали прямоугольника
A B C D пересекаются в точке О. Найди­
те расстояние между центрами окруж­
ностей, вписанных в треугольники
А О В и в о е , если ВС = 8, B D = 10.
1106. Около окружности описана
равнобедренная трапеция ABCD. Бо­
ковые стороны А В и CD касаются ок­
ружности в точках M n N , K — середи­
на AD . В каком отношении прямая В К
делит отрезок M N ?
1107. В прямоугольном треуголь­
нике ABC с острым углом А , равным
30°, проведена биссектриса B D друго­
го острого угла. Найдите расстояние
между центрами двух окружностей,
вписанных в треугольники ABC и
CBD, если меньший катет равен 1.
1108. В треугольнике ABC проведе­
ны биссектрисы A D и BE, пересекаю­
щиеся в точке О. Известно, что ОЕ = 1,
а вершина С лежит на окружности,
проходящей через точки Е, D и О.
Найдите стороны и углы треугольника
ED O .
1109°. На отрезке А В длины 2R как
на диаметре построена окружность.
Вторая окружность того же радиуса,
что и первая, имеет центр в точке А.
Третья окружность касается первой
окружности внутренним образом, вто­
рой окружности — внешним образом,
а также касается отрезка АВ . Найдите
радиус третьей окружности.
1110. В равнобедренной трапеции с
острым углом а при основании окруж­
ность, построенная на боковой сторо­
не как на диаметре, касается другой
боковой стороны. В каком отношении
она делит большее основание трапе­
ции?
1111. Две равные окружности пе­
ресекаются в точке С. Через точку С
проведены две прямые, пересекаю­
щие данные окружности в точках
А , Б и М , N соответственно. Прямая
А В параллельна линии центров, а
прямая M N образует угол а с линией
центров. Известно, что А В = а. Най­
дите N M .
72
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1112.
На отрезке А В длины 2R какнальные проекции этой медианы на
на диаметре построена окружность.
стороны А В и ВС равны 6 и 5л/2 соот­
Вторая окружность, радиус которой
ветственно. Найдите сторону АС.
равен половине радиуса первой ок­
1118. Окружность, построенная на
ружности, касается ее внутренним об­
стороне A D параллелограмма ABCD
разом в точке А . Третья окружность
как на диаметре, проходит через сере­
касается первой окружности внутрен­
дину диагонали АС и пересекает сторо­
ним образом, второй окружности —
ну А В в точке М . Найдите отношение
внешним образом, а также касается
A M : А В , если АС = 3BD.
отрезка А В (рис. 44). Найдите радиус
1119. Окружность, построенная на
третьей окружности.
стороне A D параллелограмма AB CD
1113. В равнобедренной трапеции
AB C D боковая сторона в J2 раз мень­
ше основания ВС, СЕ — высота. Най­
дите периметр трапеции, если B E =
= Л , BD= Л Ь .
1114. В ромбе АВС£) из вершины D
на сторону ВС опущен перпендикуляр
D K . Найдите сторону ромба, если А С =
= 2 Л .А К = Л Л .
1115. На прямой расположены три
точки А , В VL С, причем А В = ВС = 3.
Три окружности радиуса R имеют
центры в точках Л , В и С. Найдите ра­
диус четвертой окружности, касаю­
щейся всех трех данных, если:
а ) Д = l ; 6 ) i ? = 2 ; B ) i ? = 5.
1116. Вне
прямоугольного
тре­
угольника ABC на его катетах АС и ВС
построены квадраты A C D E и BCFG.
Продолжение медианы С М треуголь­
ника ABC пересекает прямую D F в точ­
ке N . Найдите отрезок C N , если кате­
ты равны 1 и 4.
1117. Медиана B D остроугольного
треугольника AB C равна 8. Ортого­
как на диаметре, проходит через сере­
дину диагонали B D и пересекает сто­
рону CD в точке К . Найдите отноше­
ние K D : CD, если B D = 2ЛС.
1120. В окружности радиуса 5 про­
ведены две взаимно перпендикуляр­
ные хорды А В и CD. Найдите АС, если
BD = 8 .
1121. Длины основания CD, диаго­
нали B D и боковой стороны A D трапе­
ции АВС£) равны р. Длина боковой сто­
роны ВС равна д. Найдите длину ди­
агонали АС.
1122. В некоторый угол вписана ок­
ружность радиуса 5. Хорда, соединяю­
щая точки касания, равна 8. К окруж­
ности проведены две касательные, па­
раллельные хорде. Найдите стороны
полученной трапеции.
1123. Во вписанном в окружность
четырехугольнике две противополож­
ные стороны взаимно перпендикуляр­
ны, одна из них равна а, а прилежа­
щий к ней угол делится диагональю на
части а и Р (угол а прилежит к данной
стороне). Найдите диагонали четырех­
угольника.
1124. Две окружности радиусов R
и г ( Е > г) касаются внешним образом.
Найдите радиусы окружностей, ка­
сающихся обеих данных окружностей
и прямой, проходящей через центры
данных.
1125. На сторонах прямоугольного
треугольника, вне его, построены квад­
раты. Известно, что шесть вершин
квадратов, не принадлежащих тре­
угольнику, лежат на окружности ради­
уса 1. Найдите стороны треугольника.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1126. Гипотенуза прямоугольного
треугольника служ ит стороной квад­
рата, расположенного вне треугольни­
ка. Найдите расстояние между верши­
ной прямого угла треугольника и
центром квадрата, если сумма катетов
треугольника равна d.
1127. Гипотенуза прямоугольного
треугольника служ ит стороной квад­
рата, расположенного вне треугольни­
ка. Найдите расстояние между верши­
ной прямого угла треугольника и
центром квадрата, если катеты тре­
угольника равны а mb.
1128°. ЦваквадратйA B C D и K L M N
расположены так, что вершины В, С,
К и N лежат на одной прямой, а четыре
оставшиеся расположены по разные
стороны от ВС и лежат на одной ок­
ружности. Известно, что сторона одно­
го из квадратов на 1 больше стороны
другого. Найдите расстояние от цент­
ра окружности до прямой ВС.
1129°. В равнобедренной трапеции
K L M N основание K N равно 9, основа­
ние L M равно 5. Точки P n Q лежат на
диагонали L N , причем точка Р распо­
ложена между точками L n Q , а отрез­
ки К Р и M Q перпендикулярны диаго­
нали L N . Найдите площадь трапеции
K L M N , если Q N : L P 5.
ИЗО. в плоскости даны квадрат с
последовательно расположенными вер­
шинами Л , В , С, D u точка О. Известно,
что ОВ = O D = 1 3 , ОС = 5 л/2 и что пло­
щадь квадрата больше 225. Найдите
сторону квадрата и выясните, где рас­
положена точка О — вне или внутри
квадрата.
1131°. Из произвольной точки М ,
лежащей внутри правильного тре­
угольника A B C , опущены перпенди­
куляры МС^, М А^, M B i на стороны
А В , ВС и СА соответственно. Докажи­
те, что
A C i + B A i + СВ^ =
= C iB + A iC + B^A.
73
1132. В квадрат, площадь которого
равна 18, вписан прямоугольник так,
что на каждой стороне квадрата лежит
одна вершина прямоугольника. Сторо­
ны прямоугольника относятся как 1 : 2.
Найдите площадь прямоугольника.
1133. В окружности пересекаю­
щиеся хорды А В и CD перпендикуляр­
ны, A D = т, ВС = п. Найдите диаметр
окружности.
1134. Четырехугольник
KLM N
вписан в окружность радиуса R, L M =
= п, диагонали К М и L N перпендику­
лярны. Найдите
1135. Две окружности, радиусы ко­
торых относятся как 9 : 4 //З , касают­
ся друг друга внутренним образом
(рис. 45). Проведены две равные хор­
ды большей окружности, касающиеся
меньшей окружности. Одна из этих
хорд перпендикулярна отрезку, сое­
диняющему центры окружностей, а
другая нет. Найдите угол между этими
хордами.
1136. Две окружности, радиусы ко­
торых относятся как 5 : 2 j 2 , касают­
ся друг друга внутренним образом.
Проведены две равные хорды окруж­
ности, касающиеся меньшей окруж­
ности. Одна из этих хорд перпендику­
лярна отрезку, соединяющему центры
окружностей, а другая нет. Найдите
угол между этими хордами.
1137. Вокруг
четырехугольника
A B C D с взаимно перпендикулярными
74
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
диагоналями ЛС и B D описана окруж­
ность радиуса 2. Найдите сторону CD,
если А В = 3.
1138°. Четырехугольник
ABCD,
диагонали которого взаимно перпен­
дикулярны, вписан в окружность с
центром О. Найдите расстояние от точ­
ки О до стороны А В , если известно, что
CD = 8 .
1139. В четырехугольнике A B CD
расположены две непересекающиеся
окружности так, что одна из них каса­
ется сторон А В , ВС и CD, а другая —
сторонАВ, А О и С Г ). Прямая M N пере­
секает стороны А В и CD соответствен­
но в точкахM u N n касается обеих ок­
ружностей. Найдите расстояние меж­
ду центрами окружностей, если пери­
метр четырехугольника M B C N равен
2р, ВС = а и разность радиусов окруж­
ностей равна г.
1140°. Через точку А окружности
радиуса 1 0 проведены две взаимно
перпендикулярные хорды А В и АС.
Вычислите радиус окружности, ка­
сающейся данной окружности и по­
строенных хорд, если А В = 16.
1141. В равнобедренную трапецию,
длины оснований которой равны а и Ь
(о > Ь), можно вписать окружность.
Найдите расстояние между центрами
вписанной и описанной около этой
трапеции окружностей.
1142°. Дана равнобедренная трапе­
ция, в которую вписана окружность и
около которой описана окружность.
Отношение высоты трапеции к ради­
усу описаннои окружности равно
.
Найдите углы трапеции.
1143°. Из точки К , расположенной
вне окружности с центром в точке О,
проведены к этой окружности две ка­
сательные М К и N K (М и N — точки
касания). На хорде M N взята точка С
(М С < C N ). Через точку С перпендику­
лярно отрезку ОС проведена прямая,
пересекающая отрезок N K в точке В.
Известно, что радиус окружности ра­
вен R, Z. M K N = а, М С = Ь. Найдите
СВ.
1144. Докажите, что прямые АВ и
К М перпендикулярны тогда и только
тогда, когда Ай : 2 - В К ^=А М '^ - ВМ^.
1145. Докажите, что диагонали че­
тырехугольника
перпендикулярны
тогда и только тогда, когда суммы
квадратов его противоположных сто­
рон равны.
1146°. Вершины прямоугольника,
не являющегося квадратом, располо­
жены по одной на каждой стороне не­
которого квадрата. Докажите, что сто­
роны прямоугольника параллельны
диагоналям квадрата.
1147. Гипотенуза К М прямоуголь­
ного треугольника К М Р является хор­
дой окружности радиуса V? . Вершина
Р находится на диаметре, который па­
раллелен гипотенузе. Расстояние от
центра окружности до гипотенузы
равно /Уз . Найдите острые углы тре­
угольника К М Р .
1148°. В остроугольном треуголь­
нике ABC проведены биссектриса A L и
медиана С М . Точки К и N являются
ортогональными проекциями на сто­
рону АС точек L и М соответственно,
причем А К -.К С = 4 : 1 , A N : N C =
= 3 : 7 . Найдите отношение A L : СМ.
1149°. В трапеции K L M N длина ос­
нования L M равна 17, а угол L K N ост­
рый и вдвое больше угла K N M . Ок­
ружность с центром на прямой L M ка­
сается прямых К М , K N и отрезка M7V.
Найдите периметр трапеции K L M N ,
если известно, что радиус окружности
равен 15.
1150. В круге проведены два диа­
метра А В и CD, М — некоторая точка.
Известно, что A M = 1 5 , В М = 20, С М =
= 24. Найдите D M .
1151. К двум непересекающимся
окружностям проведены общие каса­
тельные прямые. У го л между внеш­
ними касательными равен а, а угол
между внутренними касательными
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
равен р. Найдите угол между прямы­
ми, проведенными из центра окруж­
ности большего радиуса и касающи­
мися второй окружности.
1152. Две окружности касаются
друг друга внешним образом. Четыре
точки А , В, С и D касания их общих
внешних касательных последователь­
но соединены. Докажите, что в четы­
рехугольник АВС£) можно вписать ок­
ружность, и найдите ее радиус, если
радиусы данных окружностей равны
Лиг.
1153. Найдите отношение сторон
прямоугольного треугольника, если
известно, что одна половина гипотену­
зы (от вершины до середины гипотену­
зы) видна из центра вписанной окруж­
ности под прямым углом.
1154. Хорда окружности удалена
от центра на расстояние h. В каждый
из сегментов, стягиваемых хордой,
вписан квадрат так, что две соседние
вершины квадрата лежат на дуге, две
другие — на хорде. Чем у равна раз­
ность сторон квадратов?
1155. Три окружности радиусов 1,
2 и 3 касаются друг друга внешним об­
разом. Найдите радиус окружности,
проходящей через точки касания этих
окружностей.
1156°. Радиус вписанной в треуголь­
75
ены полуокружности в одной полу­
плоскости относительно прямой АВ.
Найдите радиус окружности, касаю­
щейся всех трех полуокружностей.
1159. Точка К лежит на стороне ВС
треугольника ABC. Докажите, что со­
отношение
= А В -АС - К В ■К С вы­
полнено тогда и только тогда, когда
А В = А С или Z В А К = Z. САК.
1160. В прямоугольном секторе
А О В проведена хорда А В и в образовав­
шийся сегмент вписан квадрат. Най­
дите отношение стороны квадрата к
радиусу окружности, которая касает­
ся хорды АВ , дуги А В и стороны квад­
рата, перпендикулярной хорде АВ.
1161°. Диагональ B D
трапеции
A B C D равна т, а боковая сторона AD
равна п. Найдите основание CD, если
известно, что основание, диагональ и
боковая сторона трапеции, выходящие
из вершины С, равны между собой.
1162. Две окружности радиусов R
и г касаются внешне в точке А . На ок­
ружности радиуса г взята точка В, ди­
аметрально противоположная точке
А , и в этой точке построена касатель­
ная I (рис. 46). Найдите радиус окруж­
ности, касающейся внешним образом
двух данных окружностей и прямой I.
ник ABC окружности равен J s - 1.
У гол ВАС этого треугольника равен
60°, а радиус окружности, касающей­
ся стороны ВС и продолжений сторон
А В и АС, равен J3 + 1. Найдите углы
ABC жАС В данного треугольника.
1157. В четырехугольник ABCD
можно вписать и вокруг него можно
описать окружность. Диагонали этого
четырехугольника взаимно перпенди­
кулярны. Найдите его площадь, если
радиус описанной окружности равен R
п А В = 2ВС.
1158. На отрезке А С дана точка В,
причем А В = 1 4 , ВС = 28. На отрезках
А В , ВС, А С как на диаметрах постро­
1163°. На биссектрисе угла с вер­
шиной L взята точка А . Точки К и М —
основания перпендикуляров, опущен­
ных из точки А на стороны угла. На от­
резке К М взята точка Р (К Р < Р М ) и
через точку Р перпендикулярно отрез­
к у А Р проведена прямая, пересекаю­
76
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
щая прямую K L в точке Q {К между Q
и L ), а прямую M L — в точке S. И з­
вестно, что Z K L M = а, К М = а, QS =
= Ь. Найдите K Q .
1164. В прямоугольнике АВС£), где
АВ =
6
ЛЛ
,А В = 3{ 1 + ^
расположены
2
две окружности. Окружность радиуса
2 с центром в точке К касается сторон
А В h A D . Окружность радиуса 1 с цент­
ром в точке L касается стороны CD и
первой окружности. Найдите площадь
треугольника C L M , если М — основа­
ние перпендикуляра, опущенного из
вершины В на прямую, проходящую
через точки К и Ь .
1165. В треугольнике K M N прове­
дены высота N A , биссектриса N B и ме­
диана N C , которые делят угол K N M на
четыре равные части. Найдите высоту
N A , биссектрису
и медиану ЛТ^С, ес­
ли радиус описанной около треуголь­
ника K M N окружности равен R.
1166. Две окружности радиусов г и
R с центрами в точках О ^ и О внешне
касаются в точке К . В точке А окруж­
ности радиуса R проведена касатель­
ная, пересекающая окружность ради­
уса г в точках В и С. Известно, что
ВС : А В = р и отрезокЛС пересекает от­
резок О^К. Определите:
а) при каких условиях ка. г, R и р
возможна такая геометрическая кон­
фигурация;
б) отрезок ВС.
1167. В прямоугольном треуголь­
нике ABC катет ЛБ = 3,Л С = 6 . Центры
окружностей радиусов 1, 2 и 3 нахо­
дятся соответственно в точкахА, Б и С.
Найдите радиус окружности, касаю­
щейся каждой из трех данных окруж­
ностей внешним образом.
1168. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 6 и 8 . На всех его сто­
ронах как на диаметрах построены по­
луокружности, лежащие вне тре­
угольника. Найдите радиус окружнос­
ти, касающейся построенных полуок­
ружностей.
1169.
У глы при основании A D тра­
пеции АВС£) равны 2а и 2р. Докажите,
что трапеция описанная тогда и только тогда, когда В С
AD
tg а tg р.
1170. Дан
прямоугольный
тре­
угольник ABC с катетами АС = 3 и
ВС = 4. Через точку С проведена пря­
мая, лежащая вне треугольника и об­
разующая с катетами углы , равные
45°. Найдите радиус окружности, про­
ходящей через точки А , В и касающей­
ся этой прямой.
1171. Точка С расположена на от­
резке АВ. По одну сторону от прямой
АВ на отрезках АВ , АС и ВС построены
как на диаметрах полуокружности S,
S i и 8 2 - Через точку С проведена пря­
мая CD, перпендикулярная АВ (D —
точка на полуокружности S). Окруж­
ность
касается отрезка CD и полу­
окружностей S и S^, а окружность
К 2 — отрезка CD и полуокружностей
S и S 2 - Докажите, что окружности
и К 2 равны.
1172. На отрезке А С взята точка В,
и на отрезках АВ , ВС и СА построены
полуокружности S^, S 2 и S 3 по одну
сторону от АС. D — точка на S 3 , проек­
ция которой на АС совпадает с точкой
В. Общая касательная к S^ и S 2 касает­
ся этих полуокружностей в точках F и
Е соответственно.
а) Докажите, что прямая E F парал­
лельна касательной к S 3 , проведенной
через точку D .
б) Докажите, что B F D E — прямо­
угольник.
1173. В прямоугольном секторе
А О В из точки В как из центра проведе­
на дуга ОС (С — точка пересечения
этой дуги с дугой А В ) радиуса ВО. Ок­
ружность S i касается дуги АВ , дуги
ОС и прямой ОА, а окруж ность Sg ка­
сается дуги ОС, прямой ОА и окруж­
ности S i. Найдите отношение радиуса
окружности S i к радиусу окружности
S2 -
77
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1174. В треугольнике A BC перпен­
дикуляр, проходящий через середину
стороны А В , пересекает прямую АС в
точке М , а перпендикуляр, проходя­
щий через середину стороны ЛС, пере­
секает прямую А В в точке N . Извест­
но, что M N = ВС и прямая M N перпен­
дикулярна прямой ВС. Найдите углы
треугольника ABC.
1175. В треугольнике ABC проведе­
ны высотаA f f , равная h, медианаA/Vf,
равная т, и биссектриса A N . Точка
N — середина отрезка М Н . Найдите
расстояние от вершины А до точки пе­
ресечения высот треугольника ABC.
1176°. Даны две окружности с
центрами
и О 2 . Докажите, что гео­
метрическим местом точек М , для ко­
торых касательные к данным окруж­
ностям равны, есть прямая, перпенди­
кулярная O^Og, или часть такой пря­
мой. В каких случаях искомым гео­
метрическим местом является вся
прямая?
1177. Трапеция A E F G (EF\\AG)
расположена в квадрате A B C D со сто­
роной 14 так, что точки Е , F и G лежат
на сторонах А В , ВС и CD соответствен­
но. Диагонали A F и EG перпендику­
лярны, E G = \ 0 j 2 . Найдите периметр
трапеции.
1178. В трапеции A B C D (AD ||ВС)
на диагонали B D расположена точка К
так, что В К : K D = 1 : 2. Найдите углы
треугольника АйГС, если АС = A D —2BC,
Z. CAD = а.
7. ПОДОБНЫ Е Т Р Е У Г О Л Ь Н И К И
1179°. Докажите, что отношение
периметров подобных треугольников
равно коэффициенту подобия.
1180. Докажите, что высота прямо­
угольного треугольника, проведенная
из вершины прямого угла, делит тре­
угольник на два подобных треуголь­
ника.
1181°. В параллелограмме ABCD
сторона А В = 420. На стороне ВС взята
точка Е так, что B E : ВС = 5 : 7, и про­
ведена прямая D E , пересекающая про­
должение А В в точке F . Найдите BF.
1182. Даны треугольники ABC и
А^В^С^. Известно, что Z B = Z B ^ , Z C =
= Z Cj и А В втрое большеА^Б^. Найди­
те медиану А-^М^ треугольника А^В ^С^,
если медиана A M треугольника ABC
равна 1 2 .
1183. Хорды А В и CD пересекаются
в точке М , лежащей внутри круга. До­
кажите, что треугольники A M D и
C M D подобны.
1184. Боковая сторона треугольни­
ка разделена на пять равных частей;
из точек деления проведены прямые,
параллельные основанию. Основание
равно 20. Найдите отрезки параллель­
ных прямых, заключенные между бо­
ковыми сторонами.
1185. Боковые стороны треуголь­
ника разделены на 7 равных частей;
соответствующие точки деления со­
единены отрезками. Найдите длины
этих отрезков, если основание равно
28.
1186. Пусть М — середина стороны
ВС параллелограмма ABCD. В каком
отношении отрезок A M делит диаго­
наль BD1
1187. В треугольнике ABC угол
ВАС — прямой, стороны А В и ВС рав­
ны соответственно 1 и 3. Точка ii”делит
сторону АС в отношении 7 : 1 , считая
от точки А . Что больше: АС или ВК1
1188. Через точку О пересечения
диагоналей трапеции проведена пря­
мая, параллельная основанию. Най­
дите отрезок этой прямой между боко­
выми сторонами трапеции, если сред­
няя линия трапеции равна | , а точка
О
О делит диагональ трапеции на части,
отношение которых равно 1 : 3 .
1189. Основания трапеции равны
1 , 8 и 1 , 2 ; боковые стороны ее длиной
78
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1,5 и 1,2 продолжены до взаимного пе­
1197.
В треугольнике AB C прове­
дены высоты АА^ и ВВ^. Найдите АС,
ресечения. На сколько продолжены
боковые стороны?
если:
1190.
Дан треугольник ABC. На а) A A i = 4, B B i - Ъ , В С = 6 ;
продолжении стороны А С за точку С
б) A iC == 8 , В^С = 5, ВВ^ = 12.
взята точка N так, что C N = АС; точка
1198°. Дан квадрат АВС£) со сторо­
К — середина стороны А В (рис. 47).
ной 1. Точка К принадлежит стороне
В каком отношении прямая K N делит
CD и С К : K D = 1 : 2 . Найдите расстоя­
сторону ЕС?
ние от вершины С до прямой АЙГ.
1199. Окружность касается одного
из катетов равнобедренного прямо­
угольного треугольника и проходит
через вершину противолежащего ост­
рого угла. Найдите радиус окружнос­
ти, если ее центр лежит на гипотенузе
треугольника, а катет треугольника
равен а.
1191.
Продолжения боковых сто­ 1200. Боковая сторона трапеции
рон А В и CD трапеции АВС£) пересека­
разделена на пять равных частей, и че­
ются в точке Е . Найдите стороны тре­
рез третью точку деления (считая от
угольника АЕ£), если А В = 3, ВС = 1 0 ,
вершины меньшего основания) прове­
C£) = 4 , A D = 12.
дена прямая, параллельная основани­
1192°. Окружность касается боль­
ям трапеции. Найдите отрезок пря­
шего катета прямоугольного треуголь­
мой, заключенный между сторонами
ника, проходит через вершину проти­
трапеции, если основания трапеции
волежащего острого угла и имеет
равны а н Ь {а > Ь).
центр на гипотенузе треугольника.
1201. В треугольнике ABC с данны­
Найдите радиус окружности, если ка­
ми сторонами а, Ь НС проведена парал­
теты равны 5 и 12.
лельно АС прямая M N так, что A M =
1193. В равнобедренном треуголь­
= B N . Найдите M N .
нике высота равна 2 0 , а основание от­
1202. В треугольник ABC вписан
носится к боковой стороне, как 4 : 3 .
ромб A D E F так, что угол А у них об­
Найдите радиус вписанного круга.
щий, а вершина Е находится на сторо­
1194. В равнобедренном треуголь­
не ВС. Найдите сторону ромба, если
нике центр вписанного круга делит
А В = с и АС = Ь.
высоту в отношении 12 : 5, а боковая
1203. Прямая, проведенная через
сторона равна 60. Найдите основание.
вершину ромба вне его, отсекает на
1195. В равнобедренном треуголь­
продолжении двух сторон отрезки р и
нике радиус вписанного круга составд. Найдите сторону ромба.
О
1204°. В треугольник с основанием
ляет - высоты, а периметр этого треа и высотой h вписан квадрат так, что
угольника равен 56. Найдите его сто­
две его вершины лежат на основании
роны.
треугольника, а две другие — на боко­
1196. Хорда А В = 15, хордаАС = 21
вых сторонах. Найдите сторону квад­
и хорда ВС = 24. Точка D — середина
рата.
дуги СВ. На какие части B E и ЕС де­
1205.
В треугольник, основание
лится хорда ВС прямой AD ?
которого равно 48, а высота 16, вписан
79
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
прямоугольник с отношением сторон
5 : 9 , причем большая сторона лежит
на основании треугольника. Найдите
стороны прямоугольника.
1206. В треугольник, у которого ос­
нование равно 30, а высота равна 10,
вписан прямоугольный равнобедрен­
ный треугольник так, что его гипоте­
нуза параллельна основанию данного
треугольника, а вершина прямого у г­
ла лежит на этом основании. Найдите
гипотенузу.
1207. A B C — данный треугольник;
CD — биссектриса угла С; точка Е л е ­
жит на ВС, причем D E ЦАС. Найдите
D E , если ВС = а и А С = Ь.
1208. A B CD — данный параллело­
грамм. Через точку пересечения его
диагоналей проведена перпендику­
лярная к ВС прямая, которая пересе­
кает ВС в точке Е , а продолжение
А В — в точке F . Найдите B E , если
А В = а, ВС = Ь и B F = с.
1209°. В треугольник вписан ромб
так, что один угол у них общий, а про­
тивоположная вершина делит сторону
треугольника в отношении 2 : 3 . Ди­
агонали ромба равны / п и п . Найдите
стороны треугольника, содержащие
стороны ромба.
1210. В равнобедренный треуголь­
ник ABC вписан ромб D E C F так, что
вершина Е леж ит на отрезке ВС, вер­
шина F леж ит на отрезке АС и верши­
на D лежит на отрезке А В . Найдите
сторону ромба, если А В = ВС = 1 2 ,
АС = 6 .
1211. Найдите биссектрисы острых
углов прямоугольного треугольника,
катеты которого равны 6 и 8 .
1212. Две окружности касаются
внешним образом. Прямая, проведен­
ная через точку касания, образует в
окружностях хорды, из которых одна
1 Ч
равна
другой. Найдите радиусы, ес5
ли расстояние между центрами равно
36.
1213.
В треугольник вписан полу­
круг, у которого полуокружность ка­
сается основания, а диаметр (с конца­
ми на боковых сторонах треугольни­
ка) параллелен основанию (рис. 48).
Найдите радиус, если основание тре­
угольника равно а, а высота h.
Рис. 48
1214. В равнобедренный треуголь­
ник, у которого боковая сторона равна
100, а основание 60, вписан круг. Най­
дите расстояние между точками каса­
ния, находящимися на боковых сторо­
нах.
1215. В равнобедренном треуголь­
нике AB C сторона АС = Ь, сторона В А =
= ВС = а; A N и С М — биссектрисы уг­
лов А и С. Найдите M N .
1216. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = 15,-ВС = 1 2 ,А С = 18. В ка­
ком отношении центр вписанной ок­
ружности треугольника делит бис­
сектрису угла С?
1217. В треугольнике ABC стороны
А В = 15 и АС = 10; A D — биссектриса
угла А . И з точки D проведена прямая,
параллельная АВ , до пересечения с АС
в точке Е . Найдите А Е , ЕС и D E .
1218. В треугольнике ABC проведе­
на прямая B D так, что A B D = Z ВСА.
Найдите отрезки A D и DC, если А В = 2
и А С = 4.
1219. В треугольник вписан ромб со
стороной т так, что один угол у них об­
щий, а противоположная вершина
ромба леж ит на стороне треугольника
и делит эту сторону на отрезки длиной
р и д . Найдите стороны треугольника.
80
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1220. На каждой стороне ромба на­
ходится по одной вершине квадрата,
стороны которого параллельны диаго­
налям ромба. Найдите сторону квадра­
та, если диагонали ромба равны 8 и 1 2 .
1221. С помощью циркуля и линей­
ки разделите данный отрезок на п рав­
ных частей.
1222°. К окружности, вписанной в
равнобедренный треугольник с осно­
ванием 1 2 и высотой 8 , проведена ка­
сательная, параллельная основанию.
Найдите длину отрезка этой касатель­
ной, заключенного между сторонами
треугольника.
1223. В
угол
вписаны
три
окружности — малая, средняя и боль­
шая. Большая окружность проходит
через центр средней, а средняя — че­
рез центр малой. Вычислите радиусы
средней и большой окружности, если
радиус малой равен г и расстояние от
ее центра до вершины угла равно о.
1224. Две окружности радиуса г ка­
саются друг друга. Кроме того, каж­
дая из них касается извне третьей ок­
ружности радиуса R в точках Л и В со­
ответственно. Найдите радиус г, если
А В = 12,Д=8.
1225. Две окружности радиуса г ка­
саются друг друга. Кроме того, каж­
дая из них касается изнутри третьей
окружности радиуса R в точках Л и В
соответственно. Найдите радиус R, есл и А В = 11, г = 5.
1226°. Радиус сектора равен г, а
хорда его дуги равна а. Найдите ради­
ус круга, вписанного в этот сектор.
1227°. В прямоугольном треуголь­
нике ABC длина катета А В равна 21, а
длина катета ВС равна 28. Окруж­
ность, центр О которой лежит на гипо­
тенузе АС, касается обоих катетов.
Найдите радиус окружности.
1228°. Через вершину С паралле­
лограмма АВС£) проведена произволь­
ная прямая, пересекающая продолже­
ния сторон А В и A D в точках К и М со­
ответственно. Докажите, что произве­
дение В К • D M не зависит от того, как
проведена эта прямая.
1229°. Дана прямоугольная трапе­
ция АВС£), в которой
С = Z. В = 90°.
На стороне A D как на диаметре постро­
ена окружность, которая пересекает
сторону ВС в точках M u N . Докажите,
что В М - М С = А В - CD.
1230. Каждая из боковых сторон
трапеции разделена на 5 равных час­
тей. Пусть М и. N — вторые точки де­
ления на боковых сторонах, считая от
вершин меньшего основания. Найдите
M N , если основания трапеции равны а
и 6 (а > Ь),
1231. В параллелограмм вписан
ромб так, что его стороны параллель­
ны диагоналям параллелограмма.
Найдите сторону ромба, если диагона­
ли параллелограмма равны I и т.
1232°. Точки K vlM лежат на сторо­
нах А В и ВС треугольника ABC, при­
чем А К : Bii: = 3 : 2, В М : М С = 3 : 1.
Через точку В проведена прямая I, па­
раллельная АС. Прямая JiLM пересека­
ет прямую I в точке Р , а прямую АС —
в точке N . Найдите В Р и CN, если АС = а.
1233. На сторонах А В и АС тре­
угольника ABC взяты точки М и N
так, что M N II ВС. На отрезке M N взя­
та точка Р так, что М Р = - M N . Пря8
мая А Р пересекает сторону ВС в точке
Q. Докажите, что BQ = \ ВС.
3
1234°. Сторона A D параллелограм­
ма A B C D разделена на п равных час­
тей. Первая точка деления Р соедине­
на с вершиной В. Докажите, что пря­
мая В Р отсекает на диагонали АС
часть AQ, которая равна
1
п+ 1
всей ди­
агонали.
1235.
Диагонали четырехугольни­
ка A B CD пересекаются в точке О. До­
кажите, что А О • ВО — СО ■DO тогда и
только тогда, когда ВС ||AD.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
81
1242. Б прямоугольный треуголь­
ник с катетами, равными 6 и 8 , вписан
квадрат, имеющий с треугольником
общий прямой угол. Найдите сторону
квадрата.
1243. Окружность, центр которой
леж ит на гипотенузе А В прямоуголь­
ного треугольникаАБС, касается двух
катетов А С и ВС соответственно в точ­
ках E vi.D . Найдите угол АБС, если из­
вестно, что А £ = 1, B D = 3.
1244. В треугольнике AB C проведе­
на биссектриса CD прямого угла АСВ;
D M и D N являются соответственно
высотами треугольников A D C и BDC.
Найдите АС, если известно, что A M =
- = A ,B N ^ 9.
1245. В параллелограмме ABCD
точки Е и F лежат соответственно на
сторонах А В и ВС, М — точка пересе­
чения прямых A F и D E , причем А Е =
= 2ВЕ, а B F = 3CF. Найдите отноше­
ние A M : M F .
1246. Диагональ АС вписанного че­
тырехугольника A B C D является бис­
сектрисой угла D AB . Докажите, что
один из двух треугольников, отсекае­
мых от треугольника ABC диагональю
B D , подобен треугольнику ABC.
1247. В равнобедренном треуголь­
нике боковая сторона равна 2 0 , а диа­
1239. Точка на гипотенузе, равно­
метр описанной окружности равен 25.
удаленная от обоих катетов, делит ги­
Найдите радиус вписанной окруж ­
потенузу на отрезки длиной 30 и 40.
ности.
Найдите катеты треугольника.
1248. В параллелограмме ABCD
1240. В равнобедренной трапеции
точки Е и F лежат соответственно на
AB CD с основаниями ВС vlA D диагона­
сторонах А В и ВС, М — точка пересе­
ли пересекаются в точке О. Найдите
чения прямых A F и D E , причем А Е =
периметр трапеции, если ВО = | , OD =
8
= 2ВЕ, B F = 3CF. Найдите отношение
A M :M F .
, ^ A B D = 9Q°.
1249. В круге проведены две хорды
А В и CD, пересекающиеся в точке М ;
1241.
В равнобедренном треуголь­
К — точка пересечения биссектрисы
нике ABC основание А В является диа­
угла B M D с хордой B D . Найдите от­
метром окружности, которая пересе­
резки В К и K D , если B D = 3, а площа­
кает боковые стороны АС и СВ в точ­
ди треугольников С М В и A M D отно­
ках D и Е соответственно. Найдите
сятся как 1 : 4 .
периметр треугольника ABC, если
1250. Две окружности радиусов R и
A D = 2 ,A E = 5 .
О
г касаются сторон данного угла и друг
1236. Дан равнобедренный тре­
угольник с основанием 1 2 и боковой
стороной 18. Отрезки какой длины
нужно отлож ить от вершины тре­
угольника на его боковых сторонах,
чтобы, соединив их концы, получить
трапецию с периметром, равным 40?
1237. В равнобедренной трапеции
AB C D дано: А В = CD = 3, основание
A D = 7, Z B A D равен 60°. На диагона­
ли B D расположена точка М так, что
В М : M D = 3 : 5 . Какую из сторон тра­
пеции, ВС или CD, пересекает продол­
жение отрезка A M ?
1238. На сторонах A D и DC парал­
лелограмма AjBC£) взяты соответствен­
но точки N и. М так, что A N : A D =
= 1 : 3 , D M : DC = 1 : 4 . Отрезки В М и
C N пересекаются в точке О (рис. 49).
Найдите отношение О М : ОВ.
82
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
друга. Найдите радиус третьей окруж­
ности, касающейся сторон того же у г­
ла, центр которой находится в точке
касания окружностей между собой.
1251. В равнобедренный треуголь­
ник ABC вписан квадрат так, что две
его вершины лежат на основании ВС,
а две другие — на боковых сторонах
треугольника. Сторона квадрата отно­
сится к радиусу круга, вписанного в
треугольник, как 8 : 5. Найдите углы
треугольника.
1252. В прямоугольный треуголь­
ник AB C вписан квадрат А Е К М так,
что точка К леж ит на гипотенузе, а £ и
М — на катетах. Сторона этого квад­
рата относится к радиусу круга, впи­
санного в треугольник ABC, как
(2 4- л/2 ) : 2. Найдите углы треуголь­
ника.
1253. Большее основание A D трапе­
ции AjBCD равно а, меньшее — ВС = Ь.
Диагональ АС разделена на три равные
части и через ближайшую к А точку
деления М проведена прямая, парал­
лельная основаниям. Найдите отрезок
этой прямой, заключенный между
диагоналями.
1254. На диагоналях А С и B D тра­
пеции A B C D взяты соответственно
точки М и. N так, что A M : М С =
= D N : N B = 1 : 4 . Найдите M N , если
основания A D = а, ВС = Ъ {а > Ь).
1255. Точки М VL N находятся на
сторонах А В и A D параллелограмма
AB CD , причем A M : M B = 1 : 2 ,
A N : N D = 3 : 2 . Отрезки D M и CN пе­
ресекаются в точке К . Найдите отно­
шения D K : К М и С К : K N .
1256°. На медиане A A i треугольни­
ка AB C взята точка М так, что
A M : M A i = 1 : 3. В каком отношении
прямая В М делит сторону АС?
1257°. Отрезок прямой, параллель­
ной основаниям трапеции, заключен­
ный внутри трапеции, разбивается ее
диагоналями на три части. Докажите,
что отрезки, прилегающие к боковым
сторонам, равны между собой.
1258. Точки М VIК лежат на сторо­
нах А В и ВС треугольника ABC соот­
ветственно, отрезки А К и СМ пересе­
каются в точке Р . Известно, что каж­
дый из отрезков АЙГ и С М делится точ­
кой Р в отношении 2 : 1 , считая от вер­
шин. Докажите, что А К ”и СМ — меди­
аны треугольника.
1259. На стороны ВС и CD паралле­
лограмма AjBCD (и ли на их продолже­
ния) опущены перпендикуляры A M и
A N . Докажите, что треугольник M A N
подобен треугольнику AjBC.
1260. В трапеции точка пересече­
ния диагоналей равноудалена от пря­
мых, на которых лежат боковые сторо­
ны. Докажите, что трапеция равнобед­
ренная.
1261. В равнобедренном треуголь­
нике АБС (АВ = ВС) на стороне ВС взя­
та точка D так, что B D : DC = 1 : 4. В
каком отношении прямая A D делит
высоту B E треугольника ABC, считая
от вершины В?
1262. В равнобедренной трапеции
A B C D большее основание A D = 12,
А В = 6 (рис. 50). Найдите расстояние
от точки О пересечения диагоналей до
точки К пересечения продолжений бо­
ковых сторон, если продолжения боко­
вых сторон пересекаются под прямым
углом.
К
D
Рис. 50
1263. На диагонали B D паралле­
лограмма A B C D взята точка К . Пря­
мая А К пересекает прямые ВС и CD в
точках L vl М . Докажите, что
АК^ = L K • К М .
1264. Найдите радиусы двух рав­
ных окружностей, касающихся друг
83
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
друга внешним образом, при этом одна
из них касается двух катетов прямо­
угольного треугольника, а другая —
меньшего катета и гипотенузы, если
один из острых углов теугольника
равен 30°, а противолежащий катет
равен 1 .
1265. Высота В К ромба AjBCD, опущ;енная на сторону A D , пересекает ди­
агональ А С в точке М . Найдите M D ,
если известно, что В К = 4, А К : K D =
= 1 :2 .
1266. В равнобедренном треуголь­
нике боковая сторона равна Ъ. Рас­
стояние между основаниями биссект­
рис треугольника, проведенных к бо­
ковым сторонам, равно т. Найдите ос­
нование треугольника.
1267. На стороне А В треугольника
ЛВС взята точка К , а на стороне ВС —
точки М VIN так, что А В = 4АК, С М =
= B N , M N = 2BN. Найдите отношения
А О : O N и К О : О М , где О — точка пе­
ресечения прямых A/V и К М .
1268. В треугольнике AjBC проведе­
на биссектриса B E , которую центр О
вписанной окружности делит в отно­
шении ВО : О Е = 2. Найдите сторону
А В , если АС = 1 ,В С = 8 .
1269. Биссектриса угла 7Vтреуголь­
ника M N P делит сторону М Р на отрез­
ки, равные 28 и 12. Найдите периметр
треугольника M N P , если известно,
что
- Л^Р = 18.
1270. В треугольнике AjBC со сторо­
нами AjB = 3, ВС = 4 и А С = 5 проведена
биссектриса B D. В треугольники АВ£)
и BCD вписаны окружности, которые
касаются B D в точках М и. N соответ­
ственно. Найдите M N .
1271. В трапеции A B C D с основа­
ниями A D и ВС длина боковой стороны
А В равна 2. Биссектриса угла B A D пе­
ресекает прямую ВС в точке Е . В тре­
угольник А В Е вписана окружность,
касающаяся стороны А В в точке М и
стороны B E в точке Н ; М Н = 1 . Найди­
те угол BAD.
1272. На стороне СВ треугольника
AB C взята точка М , а на стороне СА —
точка Р . Известно, что ^
= 2^^.
С/.А
С/Х5
Через точку М проведена прямая, па­
раллельная СА, а через Р — прямая,
параллельная А В . Докажите, что по­
строенные прямые пересекаются на
медиане, выходящей из вершины С.
1273. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. В каждой из этих ок­
ружностей проведены хорды АС и A D
так, что хорда одной окружности каса­
ется другой окружности. Найдите A S ,
если СВ = а, D B = Ь.
1274. Докажите, что биссектриса
треугольника делит основание на от­
резки, пропорциональные боковым
сторонам.
1275. Дан треугольник ABC. На
продолжении стороны АС за точку С
р
взята точка N так, что C N = - АС. ТочО
ка К находится на стороне AJ3, причем
А К : К В = 3 : 2 . В каком отношении
прямая K N делит сторону ВС?
1276. Дан треугольник ABC. На
продолжении стороны АС за точку С
взята точка N так, что АС = 2CN. Точ­
ка М находится на стороне ВС, причем
В М : М С = 1 : 3. В каком отношении
прямая M N делит сторону АВ?
1277. Точки и М расположены на
сторонах А В и ВС треугольника ABC,
причем В К : К А = 1 : 4 , В М : М С =
= 3 : 2 . Прямая М К пересекает пря­
мую АС в точке N . Найдите отношение
А С : CN.
1278. A A i — медиана треугольника
ABC. Точка Cj лежит на стороне АВ,
причем A C j : CjB = 1 : 2 . Отрезки A A j
и CCi пересекаются в точке М . Найди­
те отношения A M : МА^ и С М : МС^.
1279. В треугольнике ABC точка К
на стороне AJ3 и точка М на стороне АС
расположены так, что А К : К В = 3 : 2 ,
а A M : М С = 4 : 5 . Найдите отноше­
ние, в котором прямая, проходящая
через точку К параллельно стороне
ВС, делит отрезок В М .
84
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1280. В треугольнике ABC точка М
леж ит на стороне АС, а точка L на
стороне ВС расположена так, что
B L : LC = 2 : 5. Прямая, проходящая
через точку L параллельно стороне АВ,
пересекает отрезок В М в точке О, при­
чем В О : О М = 7 : 4 . Найдите отноше­
ние, в котором точка М делит сторону
АС.
1281. Точки A i и B i делят стороны
ВС и АС треугольника A B C в отноше­
ниях; B A i : A iC = 1 : р и АВ^ : BjC =
= 1 : Q. В каком отношении отрезок
АА^ делится отрезком
1282. Высота B L ромба AjBCD, опу­
щенная на сторону A D , пересекает ди­
агональ А С в точке Е . Найдите А Е , ес­
ли известно, что B L = 8 , A L : L D = 3 : 2.
1283. В треугольнике ABC биссект­
риса А Р угла А делится центром О впи­
санной окружности в отношении
А О : О Р = л/З :
в
. Найдите углы
18
если известно, что угол А равен
2
s in
и с,
5л
9 ■
1284. Дана трапеция A B CD , при­
чем ВС = а, A D = Ъ (рис. 51). Парал­
лельно основаниям трапеции ВС и A D
проведена прямая, пересекающая сто­
рону А В в точке Р , диагональ АС в точ­
ке L, диагональ BD в точке R и сторону
CD в точке Q. Известно, что P L = LR .
Найдите PQ .
шины. К окружности проведены три
касательные, параллельные каждой
из сторон треугольника. Найдите от­
резки касательных, заключенных
между сторонами треугольника.
1286. A A i и B B i — высоты остро­
угольного треугольника ABC. Дока­
жите, что:
а) треугольник АА^С подобен тре­
угольнику ВВ^С;
б) треугольник ABC подобен тре­
угольнику A jB jC .
1287. Медианы A M и B E треуголь­
ника AB C пересекаются в точке О.
Точки О, М , Е, С лежат на одной ок­
ружности. Найдите АВ , если B E =
= А М = 3.
1288. В треугольнике ABC сторона
ВС равна а, радиус вписанной окруж­
ности равен г. Определите радиусы
двух равных окружностей, касаю­
щихся друг друга, если одна из них ка­
сается сторон ВС и ВА, а другая — ВС
иСА.
1289. Около прямоугольного тре­
угольника AB C описана окружность.
Расстояния от концов гипотенузы А В
до прямой, касающейся окружности в
точке С, равны т и п соответственно.
Найдите катеты АС и ВС.
1290. Окружность радиуса 1 каса­
ется окружности радиуса 3 в точке С.
Прямая, проходящая через точку С,
пересекает окружность меньшего ра­
диуса в точке А , а большего радиуса —
в точке В. Найдите АС, если А В = 2 ^5 .
1291. И з вершины С остроугольно­
го треугольника ABC опущена высота
СН , а из точки Н опущены перпенди­
куляры Н М и H N на стороны ВС и АС
соответственно. Докажите, что тре­
угольники M N C и. ABC подобны.
1292. На стороне ВС треугольника
Рис. 51
ABC взята точка D так, что B D : АВ =
1285.
В равнобедренный треуголь­= DC : АС. Докажите, что A D — бис­
сектриса треугольника ABC.
ник вписана окружность. Точки каса­
ния делят каждую боковую сторону на
1293. Диагональ
АС
трапеции
отрезки длиной т и п , считая от вер­ AB CD делит ее на два подобных тре­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
угольника. Докажите, что АС^ = аЪ,
где а и fc — основания трапеции.
1294. (Замечательное свойство тра­
пеции.) Докажите, что точка пересече­
ния продолжений боковых сторон тра­
пеции, середины оснований и точка
пересечения диагоналей лежат на од­
ной прямой.
1295. Точки A j и
находятся на
сторонах ВС и А В треугольника ЛВС.
Отрезки
и СС^ пересекаются в точ­
ке М . В каком отношении прямая Е М
делит сторону АС, если A C i : С^В =
= 2 : 3 и ВА^ : A iC = 1 : 2 ?
1296. В треугольнике A BC на осно­
вании АС взяты точки Р и Q так, что
А Р < A Q . Прямые В Р и BQ делят меди­
ану A M на три равные части. Извест­
но, что P Q = 3. Найдите АС.
1297. Точки А , В и С лежат на одной
прямой, а точки А^,
и
— на дру­
гой. Докажите, что если АВ^ ||ВА^ и
ACi II CAi, то BCi II CBj.
1298. Точки D VI Е делят стороны
АС и А В правильного треугольника ABC
в отношениях A D : DC = B E : Е А =
= 1 : 2 . Прямые BD и СЕ пересекаются
в точке О. Докажите, что угол АОС —
прямой.
1299. Через точку, взятую внутри
произвольного треугольника, парал­
лельно его сторонам проведены отрез­
ки с концами на сторонах треугольни­
ка. Докажите, что сумма трех отноше­
ний длин этих отрезков к длинам па­
раллельных им сторон треугольника
равна 2 .
1300. Медиана В К и биссектриса
CL треугольника ABC пересекаются в
точке Р . Докажите равенство
85
1302. Точки и N расположены со­
ответственно на сторонах А В и АС тре­
угольника ABC, причем А К = В К и
A N = 2NC. В каком отношении отре­
зок K N делит медиану A M треуголь­
ника ABC?
1303. Через точку пересечения ди­
агоналей трапеции проведена прямая,
параллельная основанию и пересекаю­
щая боковые стороны в точках E vlF.
Отрезок E F равен 2. Найдите основа­
ния, если их отношение равно 4.
1304°. В трапеции A B C D с основа­
ниями A_D и ВС диагонали АС и BD пе­
ресекаются в точке Е . Вокруг тре­
угольника £С В описана окружность, а
касательная к этой окружности, про­
веденная в точке Е, пересекает пря­
мую A D в точке F таким образом, что
точки А , D vlF лежат последовательно
на этой прямой. Известно, что A F = а,
A D = Ь. Найдите E F.
1305. В четырехугольнике ABCD
диагонали АС и B D перпендикулярны
и пересекаются в точке Р . Отрезок, со­
единяющий вершину С с точкой М , яв­
ляющейся серединой отрезка A D , ра­
вен - . Расстояние от точки Р до отрез4
ка ВС равно i и А Р = 1. Найдите AD,
если известно, что вокруг четырех­
угольника AB C D можно описать ок­
ружность.
1306. Около окружности радиуса 1
описаны ромб и треугольник, две сто­
роны которого параллельны диагона­
лям ромба, а третья параллельна од­
ной из сторон ромба и равна 5. Найди­
те сторону ромба.
1307. Дан параллелограмм ABCD с
P C _ АС _
= 1.
острым углом при вершине А . На л у ­
PL
ВС
чах А В и СВ отмечены точки Н и К со­
1301.
В треугольнике ABC проведе­
ответственно так, что С Н = ВС м А К =
ны три высоты: А Н , В К и CL. Докажи­
==АВ.
те равенства:
а) Докажите, что D H = D K .
A K -B L -C H = A L -B H -C K =
б) Докажите, что треугольники
= H K -K L - LH .
D K H И.АВК подобны.
86
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1308. Прямоугольный
треуголь­
ник AB C разделен высотой CD, прове­
денной к гипотенузе, на два треуголь­
ника BCD и A C D. Радиусы окружнос­
тей, вписанных в эти треугольники,
равны 4 и 3 соответственно. Найдите
радиус окружности, вписанной в тре­
угольник ЛВС.
1309. В прямоугольном треуголь­
нике ABC к гипотенузе А В проведена
высота C D . На отрезках CD и D A взяты
точки E taF так, что СЕ : CD = A F : A D
(рис. 52). Докажите, что прямые B E и
CF перпендикулярны.
1310. Точка М , лежащая вне круга
с диаметром А В , соединена с точками
Л и В. Отрезки М А и M B пересекают
окружность в токах С и D соответ­
ственно. Площадь круга, вписанного в
треугольник А М В , в четыре раза боль­
ше, чем площадь круга, вписанного в
треугольник C M D . Найдите углы тре­
угольника А М В , если известно, что
один из них в два раза больше другого.
1311. Постройте прямую, парал­
лельную основаниям трапеции, так,
чтобы отрезок этой прямой внутри
трапеции делился диагоналями на три
равные части.
1312. Основание равнобедренного
треугольника равно 1 2 , а боковая сто­
рона равна 18. К боковым сторонам
треугольника
проведены
высоты.
Найдите длину отрезка, концы кото­
рого совпадают с основанием высот.
1313. В прямоугольной трапеции
отношение диагоналей равно 2 , а отно­
шение оснований равно 4. Найдите у г­
лы трапеции.
1314. В равнобедренном треуголь­
нике AB C точки D т Е делят боковые
стороны в отношении B D : D A =
= B E : ЕС = п. Найдите углы треуголь­
ника, если А Е перпендикулярна С£).
1315. Непараллельные
стороны
трапеции продолжены до взаимного
пересечения и через полученную точ­
ку проведена прямая, параллельная
основаниям трапеции. Найдите длину
отрезка этой прямой, ограниченного
продолжениями диагоналей, если дли­
ны оснований трапеции равны а и Ь.
1316. В точках А и В прямой, по од­
ну сторону от нее, восставлены два
перпендикуляра АА^ = а и ВВ^ = Ь.
Докажите, что точка пересечения пря­
мых
h A jB будет находиться на од­
ном и том же расстоянии от прямой А В
независимо от положения точек А и В.
1317. В треугольнике ABC высота
B D равна 6 , медиана СЕ равна 5, рас­
стояние от точки пересечения отрез­
ков B D и СЕ до стороны АС равно 1.
Найдите сторону АВ.
1318. В треугольнике ABC сторона
АС равна Ъ, сторона А В равна с, а бис­
сектриса внутреннего у гл а А пересека­
ется со стороной ВС в точке D такой,
что D A = D B . Найдите сторону ВС.
1319. Через точку Р медианы СС^
треугольника ABC проведены прямые
A A i и BB j (точки А^ и B j лежат на
сторонах ВС и СА). Докажите, что
A iB i II АВ.
1320. Основания трапеции равны а
и Ь (а > Ь). Прямые, соединяющие се­
редину большего основания с концами
меньшего основания, пересекают ди­
агонали трапеции в точках М м N .
Найдите отрезок M N .
1321. Через точку D , взятую на сторонеАВ треугольникаАВС, проведена
прямая, параллельная АС и пересе­
кающая сторону ВС в точке Е . Дока­
жите, что А £ , CD и медиана, проведен­
ная через вершину В, пересекаются в
одной точке.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1322. На основании A D трапеции
AB C D взяты точки K vlL так, что А К ”=
= L D . Отрезки АС и B L пересекаются в
точке М , отрезки К С и B D — в точке
N . Докажите, что отрезок M N парал­
лелен основаниям трапеции.
1323. (Теорема Ван-Обеля.) Точки
A i,B i,C ^ лежат соответственно на сто­
ронах ВС, АС, А В треугольника ABC,
причем отрезки АА^, B B i, СС^ пересе­
каются в точке К . Докажите, что
А К _ ABi ^ ACi
КА,
в,с с,в
1324. На стороне А В треугольника
AB C как на диаметре построена ок­
ружность, пересекающая стороны АС
и ВС в точках D м Е соответственно.
Прямая D E делит площадь треуголь­
ника AjBC пополам и образует с прямой
А В угол 15°. Найдите углы треуголь­
ника АБС.
1325. В окружности проведены
диаметр M N м. хорда А В , параллель­
ная диаметру M N . Касательная к ок­
ружности в точке М пересекает пря­
мые N A и N B соответственно в точках
Р и Q. Известно, что М Р = р , M Q = q.
Найдите M N .
1326. Биссектриса одного из ост­
рых углов прямоугольного треуголь­
ника в точке пересечения с высотой,
опущенной на гипотенузу, делится на
отрезки, отношение которых равно
1 : Л
, считая от вершины. Найдите
острые углы треугольника.
1327. Сторона А В треугольника
AjBC равна 3, ВС = 2АС, Е — точка пе­
ресечения продолжения биссектрисы
CD данного треугольника с описанной
около него окружностью, D E = 1. Най­
дите АС.
1328. Прямая, проходящая через
точку пересечения медиан треуголь­
ника ABC, пересекает стороны В А и
ВС в точках А ' и С' соответственно.
При этом ВА' < В А = 3, ВС = 2,
В А ' ■В С = 3. Найдите ВА'.
87
1329. На стороне PQ треугольника
P Q R взята точка N , а на стороне P R —
точка L , причем N Q = L R . Точка пере­
сечения отрезков QL и N R делит отре­
зок QL в отношении т : п, считая от
точки Q. Найдите отношение P N : PR.
1330. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. Через точку В прове­
дена прямая, пересекающая окруж­
ности в точках С и D, лежащих по раз­
ные стороны от прямой АВ . Касатель­
ные к этим окружностям в точках С и
D пересекаются в точке Е . Найдите
А Е , если А В = 10, АС = 16, A D = 15.
1331. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. Через точку В прове­
дена прямая, пересекающая окруж­
ности в точках С и D, лежащих по раз­
ные стороны от прямой АВ. Касатель­
ные к этим окружностям в точках С и
D пересекаются в точке Е. Найдите
АВ, если АС = 16, A D = 21, А Е = 24.
1332. В трапеции ABCD с боковыми
сторонами А Б = 9 и CD = 5 биссектриса
угла D пересекает биссектрисы углов
А и С в точках М и. N соответственно, а
биссектриса угла В пересекает те же
две биссектрисы в точках L и К , при­
чем точка К леж ит на основании А£).
а) В каком отношении прямая L N
делит сторону АБ , а прямая
— сто­
рону ВС?
б) Найдите отношение M7V ; K L , ес­
ли L M : IfTV = 3 : 7.
1333. Трапеция разделена на три
трапеции прямыми, параллельными
основаниям. Известно, что в каждую
их трех получившихся трапеций мож­
но вписать окружность. Найдите ра­
диус окружности, вписанной в сред­
нюю трапецию, если радиусы окруж­
ностей, вписанных в две оставшиеся,
равны R u r .
1334. В угол, равный 2а, вписаны
две касающиеся окружности. Найдите
отношение радиуса меньшей окруж­
ности к радиусу третьей окружности,
касающейся первых двух и одной из
сторон угла.
88
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1335. Две окружности радиусов R и
r { R > г ) касаются внешне в точке С. К
ним проведена общая внешняя каса­
тельная А В , где А и В — точки каса­
ния. Найдите стороны треугольника
АБС.
1336. В треугольник вписана ок­
ружность радиуса г. Касательные к
этой окружности, параллельные сто­
ронам треугольника, отсекают от него
три маленьких треугольника (рис. 53).
Пусть г^, Г2 , Гз — радиусы вписанных
в эти треугольники окружностей. Д о­
кажите, что г^ + Г2 + г^ = г.
ного внутри трапеции, если основания
равны а и fc.
1340. В треугольнике ЛВС точки Р
и Q лежат на стороне АС, а прямые В Р
и BQ делят медиану A/Vf на три равные
части. Известно, что В Р = BQ, А В = 9,
ВС = 1 1 . Найдите АС.
1341. В трапеции AjBCD сторона AjB
перпендикулярна основаниям A D и
ВС. Точка Е — середина стороны CD.
Найдите отношение A D : ВС, если
А Е = 2АВ н А Е перпендикулярно CD.
1342. В равнобедренном треуголь­
нике A B C (А В = В С ) на высоте B D как
на диаметре построена окружность.
Через точки А и С к окружности прове­
дены касательные A M и C N, продол­
жения которых пересекаются в точке
О. Найдите отношение А В : АС, если
О М : АС = /г и высота B D больше осно­
вания АС.
1343°. (Теорема М енелая.) Дан тре­
угольник ABC. Некоторая прямая пе­
ресекает его стороны A S , ВС и продол­
жение стороны АС в точках С^, А^,
соответственно. Докажите, что
ВА^
СВ^
В^
^
С^В
1344. На основании A D трапеции
A
B
C
D взята точка Е так, что А Е = ВС.
1337.
Около окружности описана
Отрезки
СА и СЕ пересекают диаго­
равнобедренная трапеция. Боковая
наль
B
D
в
точках О и Р соответствен­
сторона трапеции равна а, отрезок, со­
но.
Докажите,
что если ВО = P D , то
единяющий точки касания боковых
AD^ = B C ^ + A D -B C .
сторон с окружностью, равен Ь. Най­
дите диаметр окружности.
1345. Точки А , В и С лежат на одной
1338°. В выпуклом четырехуголь­
прямой, а точки А^, В^ и
таковы, что
нике AjBCD известно, что площадь тре­
A B i II B A i, AC I II CAi и ВС I ||СВ^. До­
угольника ODC (О — точка пересече­
кажите, что точкиА^, B i и C l лежат на
ния диагоналей) есть среднее пропор­
одной прямой.
циональное между площадями тре­
1346. Отрезок B E разбивает тре­
угольников в о е и A O D . Докажите,
угольник ABC на два подобных тре­
что A B C D — трапеция или паралле­
угольника, причем коэффициент по­
лограмм.
1339.
Через точку пересечения ди­добия равен л/З . Найдите углы тре­
агоналей трапеции проведена прямая,
угольника ABC.
параллельная основаниям. Найдите
1347. Биссектриса внешнего у гл а А
длину отрезка этой прямой, заключен­
треугольника AB C пересекает продол­
89
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
жение стороны ВС в точке М . Докажи­
те, что В М : М С ^ А В : АС.
1348. Дана
трапеция
ABCD
{ВС IIA D ). Точки Р , М , Q , N — середи­
ны сторон А В , ВС, CD и D A соответ­
ственно. Докажите, что отрезки AQ,
P D и M N пересекаются в одной точке.
1349. Точки A j, B i, Cl лежат соот­
ветственно на сторонах ВС, АС, АВ
треугольника A B C , причем отрезки
A A i, B B i, CCi пересекаются в точке К .
KAj
АА,
,
Докажите, что -r-r^ +
АК
АА,
ВВ,
KBi
BBi
,
KCj
сс,
,
= 1и
^
^ 2
СС,
1356. Из двух точек прямой прове­
дены по две касательные к окружнос­
ти. В образованные углы с вершинами
в этих точках вписаны окружности
равного радиуса. Докажите, что их ли­
ния центров параллельна данной пря­
мой.
1357. Три окружности
S 2 и S3
попарно касаются друг друга в трех
различных точках (рис. 54). Докажи­
те, что прямые, соединяющие точку
касания окружностей
и S 2 с двумя
другими точками касания, пересека­
ют окружность S 3 в точках, являю­
щихся концами ее диаметра.
1350. Даны отрезки а, Ь, с, d и е. С
помощью циркуля и линейки построй­
те отрезок, равный
.
ае
1351. На сторонах AjB, ВС и АС тре­
угольника A B C взяты соответственно
точки М , N и К так, что A M : M B =
= 2 : 3 , А К : К С = 2 : 1 ,B N : N C = 1 : 2.
В каком отношении прямая М К делит
отрезок A N ?
1352. На сторонах А В , ВС и АС тре­
угольника A B C взяты соответственно
Т О Ч К М .К , L u M так, чтоАК ” : К В = 2 : 3 ,
B L : LC = 1 : 2, С М : М А = 3 : 1. В ка­
ком отношении отрезок K L делит от­
резок В М 7
1353. В треугольнике A jBC биссект­
риса
и медиана A D перпендикуляр­
ны и равны 4. Найдите стороны тре­
угольника ABC.
1354. На окружности даны точки
А , В и С, причем точка В более удалена
от прямой I, касающейся окружности
в точке А , чем С. Прямая АС пересека­
ет прямую, проведенную через точку В
параллельно I, в точке D . Докажите,
что А В 2 = А С -AD.
1355. В треугольнике AB C проведе­
на высота А Н , а из вершин В и С опу­
щены перпендикуляры ВВ^ и СС^ на
прямую, проходящую через точку А.
Докажите, что треугольник НВ^С^
подобен треугольнику ABC.
1358. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = с, АС = 6 (Ь > с), A_D — бис­
сектриса. Через точку D проведена
прямая, перпендикулярная A-D и пере­
секающая АС в точке Е . Найдите АЕ.
1359. Продолжение медианы тре­
угольника ABC, проведенной из вер­
шины А , пересекает описанную около
треугольника A B C окружность в точ­
ке D. Найдите ВС, если АС = DC = 1.
1360. Продолжения высот A M и CN
остроугольного треугольника ABC пе­
ресекают описанную около него ок­
ружность в точках Р и Q. Найдите ра­
диус описанной окружности, если
АС = а, PQ = 6а
5 ■
90
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1361. Периметр треугольника AjBC
равен 8 . В треугольник вписана ок­
ружность и к ней проведена касатель­
ная, параллельная стороне А В . Отре­
зок этой касательной, заключенный
между сторонами А С и СВ, равен 1.
Найдите сторону АБ .
1362. Точки М VL N принадлежат
боковым сторонам А В и А С равнобед­
ренного треугольника ABC, причем
M N параллельно ВС, а в трапецию
B M N C можно вписать окружность.
Ее радиус равен R, а радиус окружнос­
ти, вписанной в треугольник A/VfTV, ра­
вен г. Найдите:
а) основание ВС;
б) расстояние от точки А до бли­
жайшей точки касания;
в) расстояние между хордами ок­
ружностей, соединяющими точки ка­
сания с боковыми сторонами трапеции
BMNC.
1363. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке А.
Найдите радиусы окружностей, если
хорды, соединяющие точку А с точка­
ми касания с одной из общих внешних
касательных, равны 6 и 8 .
1364. На боковых сторонах P Q и. S T
равнобедренной трапеции P Q S T вы­
браны соответственно точки М м. N
так, что отрезок M N параллелен осно­
ваниям трапеции. Известно, что в
каждую из трапеций P M N T и M Q S N
можно вписать окружность. Найдите
основания исходной трапеции, если
PQ = с, M N = d ( c > 2d).
1365. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника AjBCD, вписанного в ок­
ружность, пересекаются в точке Е . И з­
вестно, что диагональ B D является
биссектрисой угла AB C и что отрезок
B D равен 25, а отрезок CD равен 15.
Найдите В £ .
1366. В треугольнике A B C отрезок
M N с концами на отрезках АС и ВС па­
раллелен основанию А В и касается
вписанной окружности. Предполагая,
что углы А и В известны и равны соот­
ветственно 2 а и 2 Р, найдите коэффи­
циент подобия треугольников ABC и
MNC.
1367. Из вершины тупого угла А
треугольника A B C опущена высота
A D . И з точки D радиусом, равным A_D,
описана окружность, пересекающая
стороны треугольника А В и АС в точ­
ках М VL N соответственно. Найдите
АС, если известно, что А В = с, A M = т
vlA N = п.
1368. Около окружности описана
равнобедренная трапеция ABCD. Бо­
ковая сторона А В касается окружнос­
ти в точке М , а основание A_D — в точ­
ке N . Отрезки M N и АС пересекаются
в точке Р так, что N P : Р М = 2. Найди­
те отношение A-D : ВС.
1369. Две окружности радиусов 5 и
3 внутренне касаются. Хорда большей
окружности касается меньшей окруж­
ности и делится точкой касания в от­
ношении 3 : 1 . Найдите эту хорду.
1370. Две окружности радиусов Jb
и 42 пересекаются в точке А . Расстоя­
ние между центрами окружностей
равно 3. Через точку А проведена пря­
мая, пересекающая окружности в точ­
ках В и С так, что А В = АС (точка В не
совпадает с С). Найдите АВ.
1371. Около треугольника ABC
описана окружность. Диаметр A D пе­
ресекает сторону ВС в точке Е , при
этом А Е = АС = B E : СЕ = т. Найдите
отношение D E к А Е .
1372. Равнобедренный
треуголь­
ник ABC (АВ = ВС) вписан в окруж­
ность. Диаметр А£) пересекает сторону
ВС в точке Е , при этом D E : ЕА = к.
Найдите СЕ : ВС.
1373. Окружность радиуса 4 вписа­
на в равнобедренную трапецию, длина
меньшего основания которой равно 4.
Найдите расстояние между точками, в
которых окружность касается боко­
вых сторон трапеции.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1374. Во вписанном четырехуголь­
нике A B C D известны отношения
A B : D C = l : 2 v i B D - . A C = 2 : Z . Най­
дите D A : ВС.
1375. В треугольнике ABC точка О
является центром описанной окруж­
ность. Через вершину В проведена
прямая, перпендикулярная А О , пере­
секающая прямую АС в точке К , а че­
рез вершину С проведена прямая, так­
же перпендикулярная АО , пересекаю­
щая А В в точке М . Найдите ВС, если
В К = а ,С М = Ь.
1376. Биссектриса угла С треуголь­
ника ABC делит сторону А В на отрез­
ки, равные а и Ь (а > Ь). Касательная к
описанной окружности треугольника
ABC, проходящая через точку С, пере­
секает прямую А В в точке D . Найдите
CD.
1377. Треугольник AB C не имеет
тупых углов. На стороне А С этого тре­
угольника взята точка D так, что A D =
О
= - АС. Найдите угол ВАС, если из4
вестно, что прямая B D разбивает тре­
угольник A B C на два подобных тре­
угольника.
1378. (Теорема Чевы.) Пусть точки
A j, B i и C l принадлежат соответствен­
но сторонам ВС, А С и А В треугольника
ABC. Докажите, что отрезкиАА^, ВВ^,
CCi пересекаются в одной точке тогда
и только тогда, когда
ABi
CAi
BCi _
1379. Каждая сторона выпуклого
четырехугольника поделена на три
равные части. Соответствующие точ­
ки деления на противоположных сто­
ронах соединены отрезками. Докажи­
те, что эти отрезки делят друг друга на
три равные части.
1380. Дан треугольник со сторона­
ми, равными а, Ь и с. Прямая, парал­
лельная стороне, равной а, касается
вписанной окружности треугольника
91
и пересекает две другие стороны в точ­
ках М и N . Найдите M N .
1381. В треугольник с периметром,
равным 20, вписана окружность. От­
резок касательной, проведенный к ок­
ружности параллельно основанию, за­
ключенный между сторонами тре­
угольника, равен 2,4. Найдите основа­
ние треугольника.
1382. В трапеции A B C D известно,
что ВС II А В , Z. ABC = 90°. Прямая,
перпендикулярная стороне CD, пере­
секает сторону А_В в точке М , а сторону
CD — в точке N . Известно также, что
М С = а, B N = fc, а расстояние от точки
D до прямой М С равно с. Найдите рас­
стояние от точки А до прямой B N .
1383. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. Через точку В прове­
дена прямая, пересекающая окруж­
ности в точках C vlD , лежащ их по раз­
ные стороны от прямой А_В. Касатель­
ные к этим окружностям в точках С и
D пересекаются в точке Е. Найдите
А Е , если А В = 10, АС = 16, А£> = 15.
1384. Из точки М , лежащей вне ок­
ружности, проведены к этой окруж­
ности две касательные. Расстояния от
точки С, лежащей на окружности, до
касательных равны а и Ь. Найдите рас­
стояние от точки С до прямой А В , где
А и В — точки касания.
1385. Дана окружность с диа­
метром А_В. Вторая окружность с цент­
ром в точке А пересекает первую в точ­
ках С и £), а диаметр А В — в точке Е
(рис. 55). На дуге СЕ, не содержащей
точ к и £), взята т о ч к а м , отличная от
92
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точек С и £ . Л уч В М пересекает пер­
вую окружность в точке N . Известно,
что C N = а, D N = Ъ. Найдите M N .
1386. Дана прямоугольная трапе­
ция. Известно, что некоторая прямая,
параллельная основаниям, рассекает
ее на две трапеции, в каждую из кото­
рых можно вписать окружность. Най­
дите основания исходной трапеции,
если ее боковые стороны равны e n d
(с < d).
1387. В треугольник ABC помеще­
ны три равных окружности, каждая
из которых касается двух сторон тре­
угольника. Все три окружности имеют
одну общую точку. Найдите радиусы
этих окружностей, если радиусы впи­
санной и описанной окружностей тре­
угольника ABC равны Д и г.
1388. Дана прямоугольная трапе­
ция, основания которой равны а и &
(а < Ь). Известно, что некоторая пря­
мая, параллельная основаниям, рассе­
кает ее на две трапеции, в каждую из
которых можно вписать окружность.
Найдите радиусы этих окружностей.
1389. В остроугольном треугольни­
ке ABC сторона А В меньше стороны
АС, D — точка пересечения прямой
D B , перпендикулярной к А В , и пря­
мой £>С, перпендикулярной к АС. Пря­
мая, проходящая через точку В пер­
пендикулярно AD , пересекает АС в точ­
ке М . Известно, что A M = т, М С = п.
Найдите АВ.
1390. Высота прямоугольного тре­
угольника, опущенная на гипотенузу,
делит этот треугольник на два тре­
угольника. Расстояние между центра­
ми вписанных окружностей этих тре­
угольников равно 1. Найдите радиус
вписанной окружности исходного тре­
угольника.
1391. В остроугольном треугольни­
ке ABC на высоте A D взята точка М , а
на высоте В Р — точка N так, что углы
В М С и A N C — прямые. Расстояние
между точками М и N равно А + 2 J z ,
угол M C N равен 30°. Найдите биссект­
рису CL треугольника C M N .
1392. Через произвольную точку Р
стороны АС треугольника ABC парал­
лельно его медианам AisT и CL проведе­
ны прямые, пересекающие стороны
ВС VIА В в точках E v iF соответственно.
Докажите, что мeдиaныAJ^: и CL делят
отрезок E F на три равные части.
1393. (Теорема Карно.) Некоторая
прямая пересекает стороны A jA 2 ,
А 2 А 3 , ..., А ^ 1 (или их продолжения)
многоугольника А^Аг.-^А^ в точках
M l, М 2 ,
соответственно. Докажите, что
...
=
1
.
1394. Через точку О проведены две
прямые, касающиеся окружности в
точках М и N . На окружности взята
точка К (точки O v iK — по разные сто­
роны от прямой M N ). Расстояния от
точки К до прямых о м и M N равны
соответственноp n q . Найдите расстоя­
ние от точки k до прямой ON.
1395. В угол с вершиной А , равный
60°, вписана окружность с центром О.
К этой окружности проведена каса­
тельная, пересекающая стороны угла
в точках ВтлС. Отрезок ВС пересекает­
ся с отрезком А О в точке М . Найдите
радиус окружности, вписанной в тре­
угольник ABC, если A M : М О = 2 ; 3 и
ВС =^7.
1396. Окружности S i и S 2 касаются
окружности S внутренним образом в
точках А п В , причем одна из точек пе­
ресечения окружностей S j и S 2 лежит
на отрезке АВ . Докажите, что сумма
радиусов окружностей S j и Sg равна
радиусу окружности S. Верно ли об­
ратное?
1397. Пятиугольник A B C D E впи­
сан в окружность. Расстояния от точ­
ки А до прямых ВС, DC и D E равны со­
ответственно а, Ь, с. Найдите расстоя­
ние от вершины А до прямой BE.
1398. Дана окружность с диа­
метром K L . Вторая окружность с цент­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ром в точке К пересекает первую ок­
ружность в точках М и N , а диаметр
K L — в точке А . На дуге A/V, не содер­
жащей точки М , взята точка В, отлич­
ная от точек А и N . Л уч L B пересекает
первую окружность в точке С. Извест­
но, что C N = а, С М = Ь. Найдите ВС.
1399. Дана окружность с диа­
метром ВС. Вторая окружность с цент­
ром в точке С пересекает первую ок­
ружность в точках D и Е , а диаметр
ВС — в точке F , F K — диаметр второй
окружности. На дуге Е К , не содержа­
щей точки D , взята точка L , отличная
от точек Е и К . Отрезок B L пересекает
первую окружность в точке М . Извест­
но, что M L = т, Е М = п. Найдите D M .
1400. Верно ли утверждение: «Е с­
ли две стороны и три угла одного тре­
угольника равны двум сторонам и
трем углам другого треугольника, то
такие треугольники равны»?
1401. В треугольник вписана ок­
ружность. Точки касания соединены с
противоположными вершинами тре­
угольника. Докажите, что полученные
отрезки пересекаются в одной точке.
1402. В равнобедренной трапеции
AB C D (AD II ВС) расстояние от верши­
ны А до прямой CD равно длине боко­
вой стороны. Найдите углы трапеции,
если А В ; ВС = 5.
1403. В треугольнике ABC проведе­
ны В К — медиана, B E — биссектриса,
A D — высота. Найдите сторону АС, ес­
ли известно, что прямые В К и B E де­
лят отрезок A D на три равные части и
А В = 4.
1404. Прямая, соединяющая точку
Р пересечения диагоналей четырех­
угольника A B C D с точкой Q пересече­
ния прямых А В и CD, делит сторону
A D пополам. Докажите, что она делит
пополам и сторону ВС.
1405. На высотах ВВ^ и СС^ тре­
угольника A B C взяты точки
и Cg
так, что Z. А В 2 С = Z. АС^В = 90°. Дока­
жите,
4
T0 A S 2 = А С 2 .
93
1406. На сторонах остроугольного
треугольника A S C взяты точки А^,
C l так, что отрезки A A j, ВВ^, СС^ пере­
секаются в точке Н . Докажите, что
А Н ■А^Н = В Н ■В^Н = С Н ■C iH тогда
и только тогда, когда Н — точка пере­
сечения высот треугольника ASC.
1407. В треугольнике А_ВС проведе­
ны высоты A A j, ВВ^ и СС^, B^viC^ —
середины высот ВВ^ и СС^. Докажите,
что треугольник А 1 В 2 С2 подобен тре­
угольнику A B C .
1408. Через центр окружности,
описанной около треугольника АБЛ^'С,
проведены прямые, перпендикуляр­
ные сторонам АС и ВС. Эти прямые пе­
ресекают высоту СН треугольника
или ее продолжение в точках Р и Q.
Известно, что СР = р, CQ = q. Найдите
радиус окружности, описанной около
треугольника ABC.
1409. Радиус окружности, описан­
ной около треугольника K L M , равен
R. Через вершину L проведена пря­
мая, перпендикулярная стороне К М .
Эту прямую пересекают в точках А и В
серединные перпендикуляры к сторо­
нам K L и L M . Известно, что A L = а.
Найдите B L.
1410. Около окружности описана
трапеция ABCD, боковая сторона А В
перпендикулярна основаниям, М —
точка пересечения диагоналей трапе­
ции. Площадь треугольника СМ£) рав­
на S. Найдите радиус окружности.
1411. В треугольнике ASC, все сто­
роны которого различны, биссектриса
угла ВАС пересекает сторону ВС в
точке D . Известно, что А В - B D = а,
А С -НCD = Ь. Найдите А£).
1412. На стороне А В параллело­
грамма A B C D расположена точка К ,
на продолжении стороны CD за точку
D — точка L . Прямые K D и B L пересе­
каются в точке N , а прямые L A и СК —
в точке М . Докажите, что отрезок M N
параллелен стороне A_D.
94
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1413. (Теорема Птолемея.) Докажи­
те, что если четырехугольник вписан в
окружность, то сумма произведений
длин двух пар его противоположных
сторон равна произведению длин его
диагоналей.
1414. В полукруг помещены две ок­
ружности диаметрами d т D (d < D )
так, что каждая окружность касается
дуги и диаметра полукруга, а также
другой окружности (рис. 56). Через
A B CD взаимно перпендикулярны и
пересекаются в точке М . Известно, что
A M = 3, В М = 4 и С М = 6 . Найдите CD.
1419. Через точку М проведены две
прямые. Одна из них касается некото­
рой окружности в точке А , а вторая пе­
ресекает эту окружность в точках В и
С, причем ВС = 7 и В М = 9. Найдите
AM.
1420. Из внешней точки проведены
к окружности секущая длиной 1 2 и ка­
сательная, длина которой составляет
р
- внутреннего отрезка секущей. Най3
Р и с . 56
центры окружностей проведена пря­
мая, пересекающая продолжение диа­
метра полукруга в точке М . Из точки
М проведена касательная к дуге полу­
круга (N — точка касания). Найдите
MN.
8
. П РО П О Р Ц И О Н А Л ЬН Ы Е
ОТРЕЗКИ В К Р У Г Е
1415. (Теорема о касательной и се­
кущ ей.) Из одной точки проведены ка­
сательная и секущая к некоторой ок­
ружности. Докажите, что произведе­
ние всей секущей на ее внешнюю часть
равно квадрату длины отрезка каса­
тельной.
1416. Докажите, что произведения
отрезков пересекающихся хорд ок­
ружности равны между собой.
1417. Касательная и секущая, про­
веденные из одной точки к одной ок­
ружности, взаимно перпендикуляр­
ны. Касательная равна 12, а внутрен­
няя часть секущей равна 10. Найдите
радиус окружности.
1418. Диагонали А С и B D вписан­
ного в окружность четырехугольника
дите длину касательной.
1421. На одной стороне прямого у г­
ла с вершиной в точке О взяты две точ­
ки А и В, причем ОА - а, ОВ = Ь. Най­
дите радиус окружности, проходящей
через точки А и В и касающейся дру­
гой стороны угла.
1422. Из точки А проведены два л у ­
ча, пересекающие данную окруж­
ность: один — в точках В и С,
другой — в точках D л Е . Известно,
что А В = 7, ВС = 7, A D = 10. Найдите
DE.
1423. Из точки А проведены два л у ­
ча, пересекающие данную окруж­
ность: один — в точках В и С,
другой — в точках D и £ . Известно,
что А В = 7, B D = 7, СЕ = 10. Найдите
АЕ.
1424. Дана точка Р , удаленная на
расстояние, равное 7, от центра ок­
ружности, радиус которой равен 1 1 .
Через точку Р проведена хорда, рав­
ная 18. Каковы длины отрезков, на ко­
торые делится хорда точкой Р?
1425. Во вписанном четырехуголь­
нике ABCD, диагонали которого пере­
секаются в точке К , известно, что
А В = о, В К = Ь, А К = с, CD = d. Найди­
те AC.
1426. Гипотенуза А В прямоуголь­
ного треугольника А_ВС равна 2 и явля­
ется хордой некоторой окружности.
Катет А С равен 1 и лежит внутри ок­
ружности, а его продолжение пересе­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
кает окружность в точке D , причем
CD = 3. Найдите радиус окружности.
1427. Докажите, что прямая, про­
ходящая через точки пересечения
двух окружностей, делит пополам об­
щую касательную к ним.
1428. В квадрат АВС£) со стороной а
вписана окружность, которая касает­
ся стороны CD в точке Е . Найдите ве­
личину хорды, соединяющей точки, в
которых окружность пересекается с
прямой А Е .
1429. В прямоугольном треуголь­
нике AB C угол А — прямой, катет АВ
равен а, радиус вписанной окружнос­
ти равен г. Вписанная окружность ка­
сается катета А С в точке D. Найдите
хорду, соединяющую точки пересече­
ния окружности с прямой BD.
1430. Точка М внутри окружности
делит хорду этой окружности на отрез­
ки, равные а и fc. Через точку М прове­
дена хорда АВ , делящаяся точкой М
пополам. Найдите АВ .
1431. Пересекающиеся хорды ок­
ружности делятся точкой пересечения
в одном и том же отношении. Докажи­
те, что эти хорды равны между собой.
1432. Через точку А , находящуюся
внутри окружности на расстоянии,
равном 7 от ее центра, проведена пря­
мая, пересекающая окружность в точ­
ках В и С. Найдите радиус окружнос­
ти, если известно, что А В = 3, ВС = 5.
1433. Через точку А , находящуюся
внутри окружности на расстоянии,
равном 7 от ее центра, проведена пря­
мая, пересекающая окружность в точ­
ках В и С. Найдите радиус окружнос­
ти, если известно, что А В = 3, ВС = 5.
1434. Из точки А , лежащей вне ок­
ружности, проведены к окружности
касательная и секущая. Расстояние от
точки А до точки касания равно 16, а
расстояние от точки А до одной из то­
чек пересечения секущей с окружно­
стью равно 32. Найдите радиус окруж­
ности, если секущая удалена от ее
центра на 5.
95
1435. А В — диаметр окружности,
ВС и CDA — касательная и секущая.
Найдите отношение CD : D A , если ВС
равно радиусу.
1436. На прямой расположены точ­
ки А , В , С VI D , причем А В = ВС = CD
(рис. 57). Отрезки АВ , ВС и С£> служат
диаметрами окружностей. Из точки А
к окружности с диаметром CD прове­
дена касательная I. Найдите отноше­
ние хорд, высекаемых на прямой I ок­
ружностями с диаметрами А В и ВС.
1437. Из точки М , расположенной
вне окружности на расстоянии
от
центра, проведены касательная М А
(А — точка касания) и секущая, внут­
ренняя часть которой вдвое меньше
внешней и равна радиусу окружности.
Найдите радиус окружности.
1438. Хорды А В и CD пересекаются
в точке Р . Известно, что А В = CD = 12,
А Р С = 60° и АС = 2BD. Найдите сто­
роны треугольника B P D .
1439. Радиусы двух концентриче­
ских окружностей относятся, как
1 : 2 . Хорда большей окружности де­
лится меньшей окружностью на три
равные части. Найдите отношение
этой хорды к диаметру большей ок­
ружности.
1440. Точка М леж ит внутри ок­
ружности радиуса R и удалена от цент­
ра на расстояние d. Докажите, что для
любой хорды А В этой окружности,
проходящей через точку М , произве­
дение A M •В М одно и то же. Чему оно
равно?
1441. Через точку К , находящуюся
вне окружности радиуса 4, проведена
96
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
прямая, пересекающая окружность в
точках L и М . Найдите расстояние от
точки К до центра окружности, если
известно, что K L = 4, К М = 5.
1442. Каждая из сторон А В и ВС
равнобедренного треугольника АБС
разделена на три равные части, и через
четыре точки деления на этих сторо­
нах проведена окружность, высекаю­
щая на основании А С хорду D E . Най­
дите отношение площадей треуголь­
ников A B C и B D E , если А В = ВС = 3 и
АС = 4.
1443. Около треугольника ABC, в
котором ВС = а, Z. В = а, А С =
опи­
сана окружность. Биссектриса угла А
пересекает эту окружность в точке К .
Найдите
1444. На катете ВС прямоугольно­
го треугольника A BC как на диаметре
построена окружность, пересекающая
гипотенузу, если известно, что катет
ВС равен 10.
1445. Окружность касается сторо­
ны ВС треугольника ABC в ее середи­
не, проходит через точку А , а отрезки
А В и АС пересекает в точках D ^ E со­
ответственно. Найдите угол ВАС, если
известно, что ВС = 12, А В = 3,5 и
ЕС =
Л
1446. Дан треугольник AB C. Ок­
ружность радиуса R касается стороны
АС в точке М и стороны ВС в точке Р.
Сторона А В пересекает эту окруж­
ность в точках К и Е (точка Е лежит на
отрезке В К ). Найдите B E , зная, что
ВС = а ,С М = Ь < а , А К М Е = а.
1447. В угол вписаны две окруж­
ности; у них есть общая внутренняя
касательная Т ^Т 2 {Т^ и Т 2 — точки ка­
сания), которая пересекает стороны
угла в точках А^ и А 2 . Докажите, что
= А 2 Т 2 (или, что эквивалентно,
А ^Т 2 = A 2 T j).
1448. В угол вписаны две окруж­
ности; одна из них касается сторон у г­
ла в точках
К 2 , а другая — в точ­
ках L j и L 2 - Докажите, что прямая
K^L 2 высекает на этих двух окружнос­
тях равные хорды.
1449. Окружность, проходящая че­
рез точку D и касающаяся сторон А В и
ВС равнобедренной трапеции ABCD,
пересекает стороны A D и CD соответ­
ственно в точках М и N . Известно, что
A M : D M = 1 : 3 , C N : D N = 4 ::3 . Най­
дите основание ВС, если А В = 7 и
AD = 6 .
1450. В параллелограмме K L M N
сторона K L равна 8 . Окружность, ка­
сающаяся сторон N K и N M , проходит
через точку L и пересекает стороны K L
и M L в точках С и Z) соответственно.
Известно, что К С : LC = 4 : 5 и
L D : M D = 8 : 1 . Найдите сторону
1451. В окружности с центром О
проведены хорды А В и CD, пересекаю­
щиеся в точке М , причем A M = 4,
M B = 1, C M = 2. Найдите угол ОМ С.
1452. Каждая из двух равных пере­
секающихся хорд окружности делит­
ся точкой пересечения на две отрезка.
Докажите, что отрезки первой хорды
соответственно равны отрезкам вто­
рой.
1453. Докажите, что если точка пе­
ресечения высот остроугольного тре­
угольника делит высоты в одном и том
же отношении, то треугольник пра­
вильный.
1454. На отрезке АС взята точка В.
На А В и АС как на диаметрах постро­
ены окружности. К отрезку АС в точке
В проведен перпендикуляр B D до пе­
ресечения с большей окружностью в
точке D. Из точки С проведена каса­
тельная СК к меньшей окружности.
Докажите, что СВ = СК.
1455. Даны две окружности, пере­
секающиеся в точках А и D ; А В и CD —
касательные к первой и второй окруж­
ностям (В и С — точки на окружнос­
тях). Докажите, что —
BD
=
АВ^
.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1456. Сторона квадрата A B C D рав­
на 1 и является хордой некоторой ок­
ружности, причем остальные стороны
квадрата лежат вне этой окружности.
Касательная СК, проведенная из верши­
ны С к этой же окружности, равна 2.
Найдите диаметр окружности.
1457. СторонаАВ правильного шес­
тиугольника A B C D E F равна JZ и яв­
ляется хордой некоторой окружности,
причем остальные стороны шести­
угольника лежат вне этой окружнос­
ти. Длина касательной С М , проведен­
ной к той же окружности из вершины
С (соседней с вершиной В ), равна 3.
Найдите диаметр окружности.
1458. Сторона А В треугольника
ABC является хордой некоторой ок­
ружности. Стороны АС и ВС лежат
внутри окружности, продолжение сто­
роны АС пересекает окружность в точ­
ке D , а продолжение стороны ВС — в
точке Е , причем А В = А С = CD = 2,
СЕ = л/2 . Найдите радиус окружности.
1459. В прямоугольном треуголь­
нике ABC с катетами А В = 3 и ВС = 4
через середины сторон А В и А С прове­
дена окружность, касающаяся катета
ВС. Найдите длину отрезка гипотену­
зы АС, который лежит внутри этой ок­
ружности.
1460. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = л/14 и Б С = 2. Окружность
проведена через точку В, через середи­
ну D отрезка ВС, через точку Е на от­
резке А В и касается стороны АС. Най­
дите отношение, в котором эта окруж­
ность делит отрезок А В , если D E —
диаметр этой окружности.
1461. Дан ромб со стороной а и ост­
рым углом а. Найдите радиус окруж­
ности, проходящей через две соседние
вершины ромба, и касающейся проти­
воположной стороны ромба или ее
продолжения.
1462. В равнобедренном треуголь­
нике AB C угол В — прямой, а А В =
= ВС = 2. Окружность касается обоих
4 С борник задач по геометрии
97
катетов в их серединах и высекает на
гипотенузе хорду
(рис. 58). Найди­
те площадь треугольника B DE.
1463. В окружности проведены три
попарно
пересекающиеся
хорды.
Каждая хорда разделена точками пе­
ресечения на три равные части. Най­
дите радиус окружности, если одна из
хорд равна а.
1464. В треугольнике ABC угол при
вершине А равен 60°. Через точки Б, С
и точку D , лежащ ую на стороне АВ,
проведена окружность, пересекающая
сторону АС в точке Е . Найдите А Е , ес­
ли A D = 3, B D = 1 и Е С = 4. Найдите
радиус окружности.
1465. Точка М находится на про­
должении хорды АВ . Докажите, что
если точка С окружности такова, что
МС^ = М А ■M B , то М С — касательная
к окружности.
1466. Окружность делит каждую
из сторон треугольника на три равные
части. Докажите, что этот треуголь­
ник — правильный.
1467. Касательная,
проведенная
через вершину С вписанного в окруж­
ность треугольника ABC, пересекает
продолжение стороны А В за вершину
В в точке D. Известно, что радиус ок­
ружности равен 2, АС = J l2 и Z CDA +
+ Z.A C B = 2Z. ВАС. Найдите секущую
AD .
1468. Окружность касается сторон
А В и ВС треугольника AB C соответ­
ственно в точках D VIЕ. Найдите высо­
ту треугольника ABC, опущенную из
98
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точки А , если А В = 5, АС = 2, а точки
A , D , E , C лежат на одной окружности.
1469. Из точки А проведены секу­
щая и касательная радиуса R. Пусть
В — точка касания, а D тл С — точки
пересечения секущей с окружностью,
причем точка D лежит между А и С.
Известно, что B D — биссектриса угла
В треугольника AB C и B D = R. Найди­
те расстояние от точки А до центра ок­
ружности.
1470. В равнобедренном треуголь­
нике ABC {АВ = А С ) проведены бис­
сектрисы A D , B E , CF. Найдите ВС, ес­
ли известно, что АС = 1, а вершина А
леж ит на окружности, проходящей
через точки D , Е , F.
1471. Отрезок K L является диа­
метром некоторой окружности. Через
его концы К и L проведены две пря­
мые, пересекающие окружность соот­
ветственно в точках Р и Q, леж ащ их по
одну сторону от прямой K L . Найдите
радиус окружности, если Z P K L = 60°
и точка пересечения прямых К Р и QL
удалена от точек Р и Q на расстояние 1.
1472. Окружность радиуса г вписа­
на в угол величины а. Другая окруж­
ность радиуса R касается одной сторо­
ны угла в той же точке, что и первая,
пересекая вторую сторону угла в точ­
ках А и В. Найдите АВ.
1473. В окружность вписан тре­
угольник. Вторая окружность, кон­
центрическая с первой, касается од­
ной стороны треугольника и делит
каждую из двух других сторон на три
равные части. Найдите отношение ра­
диусов этих окружностей.
1474. Окружность, диаметр кото­
рой равен /До , проходит через сосед­
ние вершины А W. В прямоугольника
ABCD. Длина касательной, проведен­
ной из точки С к окружности, равна 3,
А В = 1. Найдите все возможные значе­
ния, которые может принимать длина
стороны ВС.
1475. Окружность проходит через
соседние вершины М к N прямоуголь­
ника
Длина касательной, про­
веденной из точки Q к окружности,
равна 1, PQ = 2. Найдите все возмож­
ные значения, которые может прини­
мать
площадь
прямоугольника
M N P Q , если диаметр окружности ра­
вен V s .
1476. Одна из двух прямых, прохо­
дящих через точку М , касается ок­
ружности в точке С, а вторая пересека­
ет эту окружность в точках А и В, при­
чем А — середина отрезка В М . Извест­
но, 4 t o M C = 2 h Z В М С = 4:5°. Найдите
радиус окружности.
1477. Точка М лежит вне окруж­
ности радиуса R и удалена от центра на
расстояние d. Докажите, что для лю ­
бой прямой, проходящей через точку
М и пересекающей окружность в точ­
ках А и D , произведение М А ■M B одно
и то же. Чему оно равно?
1478. В окружности радиуса R про­
ведены хорда А В и диаметр АС. Хорда
PQ , перпендикулярная диаметру АС,
пересекает хорду А В в точке М . Из­
вестно, что А В = а, Р М : M Q = 3. Най­
дите A M .
1479. В окружности радиуса J l9
проведены хорды АВ, CD, E F . Хорды
А В и CD пересекаются в точке К , хор­
ды CD и E F пересекаются в точке L , а
хорды А В и E F пересекаются в точке
М , причем A M = В К , СК = D L , L F = 3,
M L = 2. Найдите величину угла СКВ,
если известно, что он тупой.
1480. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке А.
И х общая касательная касается пер­
вой окружности в точке В, а второй —
в точке С. Прямая, проходящая через
точки А и В, пересекает вторую окруж­
ность в точке D . Известно, что А В = 5,
A D = 4. Найдите CD.
1481. В окружности радиуса R про­
ведены диаметр ВС и хорда B D. Хорда
99
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
PQ , перпендикулярная диаметру ВС,
пересекает хорду B D в точке М . И з­
вестно, что B D = а, Р М : M Q = 1 : 3 .
Найдите В М .
1482. Постройте окружность, про­
ходящую через две данные точки и ка­
сающуюся данной прямой.
1483. Точки
и В^ принадлежат
этой стороне, равна 3 (рис. 59). Найдите
длину общей хорды двух окружностей,
каждая из которых проходит через точ­
ку А и касается ВС, причем одна каса­
ется ВС в точке В, а вторая — в точке С.
соответственно сторонам ОА и ОВ угла
АО В (не равного 180°) и ОА ■ ОА^ =
= ОВ • ОВ^. Докажите, что точки А , В,
A ^ ,B i принадлежат одной окружности.
1484. На окружности взяты две ди­
аметрально противоположные точки
А и С, а точка В расположена вне ок­
ружности. Отрезок А В пересекается с
окружностью в точке Р , отрезок СВ —
в точке Q. Известно, что Z A B C = 45° и
отрезки А В и А С относятся как 1 : /Уз .
Найдите отношение отрезков СР и AQ.
1485. Две окружности внутренне
касаются. Прямая, проходящая через
центр большей окружности, пересека­
ет ее в точках А и £), а меньшую
окружность — в точках В и С. Найдите
отношение радиусов окружностей, ес­
ли А В : БС : С£» = 3 : 7 : 2 .
1486. В прямоугольном треуголь­
нике ABC угол С — прямой, А С : А В =
= 4 : 5 . Окружность с центром на ка­
тете А С касается гипотенузы А В и
пересекает катет ВС в точке Р так,
что В Р : P C = 2 : 3 . Найдите отно­
шение радиуса окруж ности к кате­
ту ВС.
1487. В треугольнике AB C извест­
но, 4 T o Z A = 1 2 0 ° , A C = l , B C = V 7 .H a
продолжении стороны СА взята точка
М так, что В М является высотой тре­
угольника ABC. Найдите радиус ок­
ружности, проходящей через точки А
и М и касающейся в точке М окруж­
ности, проходящей через точки М , В
и С.
1488. В треугольнике ABC сторона
ВС равна 4, а медиана, проведенная к
1489. Хорды А В и CD окружности
пересекаются в точке М , причем A M =
= АС. Докажите, что продолжения вы­
сот A A i и D D i треугольников С А М и
B D M пересекаются на окружности.
1490. На дуге ВС окружности, опи­
санной около равностороннего тре­
угольника ABC, взята точка Р . Отрез­
ки А Р и ВС пересекаются в точке Q.
Докажите, что ^
= ^
+ ^
.
1491. Окружность касается сторон
А В u A D прямоугольника АВС£) и про­
ходит через вершину С. Сторону DC
она пересекает в точке N . Найдите
площадь трапеции А_ВЛ^"£), если АВ = 9
uAD = 8 .
1492. Окружность и прямая каса­
ются в точке М . Из точек А и В этой ок­
ружности опущены перпендикуляры
на прямую, равные а и Ь соответствен­
но. Найдите расстояние от точки М до
прямой А_В.
1493. Дан равнобедренный тре­
угольник ABC с основанием АС. Ок­
ружность радиуса R с центром в точке
О проходит через точки А и В и пере­
секает прямую ВС в точке М , отлич­
ной от В и С. Найдите расстояние от
100
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
точки о до центра окружности, опи­
санной около треугольника AC M .
1494. Четырехугольник ABCD впи­
сан в окружность. Диагональ АС явля­
ется биссектрисой угла B A D и пересе­
кается с диагональю B D в точке К .
Найдите К С, если ВС = 4, а А К = 6 .
1495. В трапеции A B C D боковая
сторона А В перпендикулярна основа­
нию ВС. Окружность проходит через
точки с и £) и касается прямой А В в
точке Е . Найдите расстояние от точки
Е до прямой CD, если A D = 4, ВС = 3.
1496. Окружность, проведенная че­
рез вершины А , В и D прямоугольной
трапецииАБС£) ( А А = А В = 90°) пере­
секает продолжение основания ВС и
продолжение боковой стороны CD в
точках М и N соответственно, причем
С М : СВ = C N : CD = 1 : 2 . Найдите от­
ношение диагоналей B D и А С трапе­
ции.
1497. В трапеции A B C D основание
А В = а, основание CD = Ъ {а < Ъ). Ок­
ружность, проходящая через верши­
ны А , Б и С, касается стороныА_0. Най­
дите диагональ АС.
1498. На прямой расположены точ­
ки А , B , C h D , следующие друг за дру­
гом в указанном порядке. Известно,
что ВС = 3, А В = 2CD. Через точки А и
С проведена некоторая окружность, а
через точки B u D — другая. Их общая
хорда пересекает отрезок ВС в точке
К . Найдите В К .
1499. В треугольнике ABC проведе­
на биссектриса А Р . Известно, что
В Р = 1 6 , P C = 20 и что центр окруж­
ности, описанной около треугольника
А В Р , леж ит на отрезке АС. Найдите
сторону А_В.
1500. Две окружности пересекают­
ся в точках Aw. В. Из точки А к этим
окружностям проведены касательные
A M и A N (М и N — точки окружнос­
тей). Докажите, что:
а) Z. A B N + Z. M A N = 180°;
б)
вм
глп/г\^
(АМ\^
BN
.A N ) ■
1501. Радиусы окружностей
и
S 2 , касающихся в точке А, равны Д и г
(R > г). Найдите длину касательной,
проведенной к окружности S 2 из точ­
ки В окружности S j, если известно,
что А_В = а. (Разберите случаи внутрен­
него и внешнего касания.)
1502. Касательные к описанной во­
круг треугольника AB C окружности,
проведенные в точках А и В , пересека­
ются в точке Р . Докажите, что прямая
P C пересекает сторону А В в точке К ,
делящей ее в отношении АС^ ; ВС^.
1503. Даны угол с вершиной О и ок­
ружность, касающаяся его сторон в
точках А и В. Из точки А параллельно
ОВ проведен луч, пересекающий ок­
ружность в точке С. ОС пересекает ок­
ружность в точке Е. Прямые А Е и ОВ
пересекаются в точке К . Докажите,
что О К = К В .
1504. Две окружности радиусов 5 и
4 касаются внешне. Прямая, касаю­
щаяся меньшей окружности в точке А,
пересекает большую в точках Б и С
так, что A S = ВС. Найдите АС.
1505. Окружность, вписанная в
треугольник ABC, делит медиану В М
на три равные части. Найдите отноше­
ние ВС :С А : АВ.
1506. В трапеции AB CD основание
A D вдвое больше основания ВС, угол А
равен 45°, угол D равен 60°. На диаго­
налях трапеции как на диаметрах по­
строены окружности, пересекающие­
ся в точках М и N . Хорда M N пересе­
кает основание AZ) в точке Е . Найдите
отношение А Е : E D .
1507. Окружность с центром, рас­
положенным внутри прямого угла, ка­
сается одной стороны угла, пересекает
другую сторону в точках А и В и пере­
секает биссектрису угла в точках С и
D. Хорда А_В равна Jb , хорда CD равна
/У? . Найдите радиус окружности.
1508. В треугольнике ABC угол В
равен 45°, угол С равен 30°. На медиа­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
101
ностей, описанных около треугольни­
нах В М и C N как на диаметрах постро­
ков А Б М и А В М .
ены окружности, пересекающиеся в
1514. Докажите, что квадрат бис­
точках Р и Q . Хорда PQ пересекает сто­
сектрисы
треугольника равен произ­
рону БС в точке D . Найдите отношение
ведению
сторон,
ее заключающих, без
B D : DC.
произведения
отрезков
третьей сторо­
1509°. На плоскости даны три по­
ны,
на
которые
она
разделена
биссект­
парно пересекающиеся окружности,
рисой.
центры которых не лежат на одной
1515. На продолжении стороны А£>
прямой. Докажите, что три общие хор­
ромба A B C D за точку D взята точка К .
ды каждой пары этих окружностей пе­
Прямые АС и Б^Г пересекаются в точке
ресекаются в одной точке.
1510.
Окружность S i касается сто­Q. Известно, что А К = 14 и что точки
A , B n Q лежат на окружности радиуса
рон угла АБС в точках А и С. Окруж­
6 , центр которой принадлежит отрез­
ность ^ 2 касается прямойЛС в точке С,
ку АК". Найдите В К .
проходит через точку В и пересекает
1516. Дан ромб K L M N . На продол­
окружность
в точке М (рис. 60). До­
жении стороны K N за точку N взята
кажите, что прямая A/W делит отрезок
точка Р так, что К Р = 40. Прямые К М
ВС пополам.
и L P пересекаются в точке О. Точки К ,
L и О лежат на окружности радиуса 15
с центром на отрезке К Р . Найдите
КМ.
1517. Две окружности пересекают­
ся в точках А и Б. Хорда CD первой ок­
ружности имеет с хордой E F второй
окружности общую точку М . Отрезок
А В в три раза больше отрезка С М , ко­
торый, в свою очередь, в два раза мень­
ше отрезка M D и в шесть раз меньше
отрезка M F . Какие значения может
принимать длина отрезка A M , если из­
вестно, что В М = 2, а отрезок А Б в де­
1511.
Прямая ОА касается окруж­
вять раз больше отрезка Е М ?
ности в точке А , а хорда БС параллель­
1518. В ромбе A B C D угол B A D —
на ОА. Прямые ОВ и ОС вторично пе­
острый. Окружность, вписанная в этот
ресекают окружность в точках К и L.
ромб, касается сторон А В и CD в точ­
Докажите, что прямая K L делит отре­
ках M n N соответственно и пересекает
зок ОА пополам.
отрезок С М в точке Р , а отрезок B N —
1512°. На продолжении хорды K L
в точке Q. Найдите B Q : QN, если
окружности с центром О взята точка
С Р : Р М = 9 : 16.
А , и из нее проведены касательные А Р
1519. На боковых сторонах трапе­
h AQ; М — середина отрезкаPQ. Дока­
ции как на диаметрах построены ок­
жите, что Z М К О = Z M L O .
ружности. Докажите, что отрезки ка­
1513°. В параллелограмме A B CD
сательных, проведенных из точки пе­
диагональ А С больше диагонали BD.
ресечения диагоналей трапеции к
Точка М на диагонали АС такова, что
этим окружностям, равны между со­
бой.
около четырехугольника B C D M мож­
но описать окружность. Докажите,
1520. Две окружности радиусов г и
R {г < К ) внешним образом касаются
что B D — общая касательная окруж­
102
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
друг друга. Прямая касается этих ок­
ружностей в точках М и iV. В точках А
и В окружности касаются внешним об­
разом третьей окружности. Прямые
А В и M N пересекаются в точке С. Из
точки С проведена касательная к
третьей окружности {D — точка каса­
ния). Найдите CD.
1521. Прямая, проходящая через
центры вписанной и описанной ок­
ружностей треугольника, перпенди­
кулярна одной из его биссектрис. И з­
вестно, что отношение расстояния
между центрами вписанной и описан­
ной окружностей к радиусу описанной
окружности равно Л. Найдите углы
треугольника.
1522. В треугольнике P Q R точка
А — центр вписанной окружности, а
точка В — центр окружности, описан­
ной около треугольника PQ R . Прямая
А В перпендикулярна биссектрисе QA
треугольника PQ R . Известно, что
Z.A B Q = р. Найдите углы треугольни­
ка PQ R.
1523. Пусть R — радиус описанной
окружности треугольника A B C,
—
радиус вневписанной окружности это­
го треугольника, касающейся сторо­
ны ВС. Докажите, что квадрат рас­
стояния между центрами этих окруж­
ностей равен R^ + 2 Rr^.
9. М ЕТРИ ЧЕСКИ Е
СООТНОШ ЕНИЯ
В Т Р Е У ГО Л Ь Н И К Е
1524. (Обобщенная теорема сину­
сов.) Докажите, что отношение сторо­
ны треугольника к синусу противоле­
жащего угла равно диаметру окруж­
ности, описанной около треугольника.
1525. Докажите, что сумма квадра­
тов диагоналей параллелограмма рав­
на сумме квадратов всех его сторон.
1526. Сторона треугольника равна
2 1 , а две другие стороны образуют угол
в 60° и относятся, как 3 : 8 . Найдите
эти стороны.
1527. В треугольнике основание
равно 1 2 ; один из углов при нем равен
1 2 0 °; сторона против этого угла равна
28. Найдите третью сторону.
1528. В равнобедренном прямо­
угольном треугольнике ABC на про­
должении гипотенузы АВ за точку В
отложен отрезок B D , равный БС. Най­
дите стороны треугольника ADC, если
катет ВС = а.
1529. В прямоугольном треуголь­
нике ABC катет АС = 15 и катет ВС =
= 20. На гипотенузе АВ отложен отре­
зок AD , равный 4. Найдите CD.
1530. На сторонах углаАВС, равно­
го 120°, отложены отрезки
= ВС = 4.
Проведите окружность через точки А ,
Б, С и найдите ее радиус.
1531. У го л при вершине D трапе­
ции A B C D с основаниями A D и ВС ра­
вен 60°. Найдите диагонали трапеции,
если A D = 10, ВС = 3 и CD = 4.
1532. В треугольнике боковая сто­
рона равна 16 и образует с основанием
угол в 60°; другая боковая сторона рав­
на 14. Найдите основание.
1533. Гипотенуза АВ прямоуголь­
ного треугольника А 5 С равна 9, катет
ВС = 3. На гипотенузе взята точка М ,
причем A/Vf : M B = 1 : 2 . Найдите СМ .
1534. Дан равносторонний тре­
угольник со стороной, равной а. Най­
дите отрезок, соединяющий вершину
треугольника с точкой, делящей про­
тивоположную сторону в отношении
2 ; 1.
1535. Стороны
параллелограмма
равны 2 и 4, а угол между ними равен
60° (рис. 61). Через вершину этого уг­
ла проведены прямые, проходящие че-
Р и с . 61
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
рез середины двух других сторон па­
раллелограмма. Найдите косинус угла
между этими прямыми.
1536. Диагональ параллелограмма
делит его угол на части в 30° и 45°.
Найдите отношение сторон паралле­
лограмма.
1537. Определите вид треугольни­
ка (относительно его углов), если даны
три стороны или их отношения:
1 )2 , 3, 4; 2) 3,4, 5; 3) 4, 5, 6 ;
4 )1 0 ,1 5 ,1 8 ; 5 )6 8 ,1 1 9 ,1 7 0 .
1538. Сторона треугольника равна
2
j l , а две другие стороны образуют
угол в 30° и относятся, как 1 : 2 ^ 3 .
Найдите эти стороны.
1539. Одна из сторон параллело­
грамма равна 1 0 , а диагонали равны
20 и 24. Найдите косинус острого угла
между диагоналями.
1540. Одна из сторон треугольника
равна 6 , вторая сторона равна 2 л/7, а
противолежащий ей угол равен 60°.
Найдите третью сторону треугольника.
1541. В треугольнике A B C дана
точка D на стороне А В . Найдите CD,
если известно, что ВС = 37, АС = 1 5 ,
АВ = и , А О = Ы .
1542. В треугольнике ABC извест­
но, что А С = 13, А В = 14, ВС = 15. На
стороне ВС взята точка М так, что
С М -.M B = 1 : 2 . Найдите УЩ-.
1543. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника со сто­
ронами 5 и 8 и углом между ними, рав­
ным 60°.
1544. В прямоугольном треуголь­
нике AB C /-С = 90°. На продолжении
гипотенузы А В отложен отрезок B D,
равный катету ВС, и точка D соедине­
на с С. Найдите CD, если ВС = 7 и
АС = 24.
1545. В прямоугольном треуголь­
нике даны катеты а и Ь. Найдите рас­
стояние от вершины прямого угла до
ближайшей к ней точки вписанной ок­
ружности.
103
1546. Хорда окружности равна 10.
Через один конец хорды проведена ка­
сательная к окружности, а через дру­
гой — секущая, параллельная каса­
тельной. Найдите радиус окружности,
если внутренний отрезок секущей ра­
вен 1 2 .
1547. В четырехугольнике ABCD
известны углы : Z D AB = 90°, Z BDC =
= 90°. Кроме того, D B = а, DC = Ъ. Най­
дите расстояние между центрами двух
окружностей, одна из которых прохо­
дит через точки D ,A ,B ,a другая — че­
рез точки В, С, D.
1548. Трапеция K L M N с основа­
ниями L M и K N вписана в окруж­
ность, центр которой лежит на основа­
нии K N . Диагональ L N трапеции рав­
на 4, а угол M N K равен 60°. Найдите
основание L M трапеции.
1549. На боковой стороне ВС равно­
бедренного треугольника А 5 С как на
диаметре построена окружность, пере­
секающая основание этого треуголь­
ника в точке D . Найдите расстояние от
вершины А до центра окружности, ес­
ли A D = -Уз , а угол А 5 С равен 120°.
1550. В ромбе
точки M n N —
середины сторон ВС и CD соответ­
ственно. Найдите угол M A N , если
Z B A D = 60°.
1551. В квадрате A B C D точка М —
середина ВС, а О — точка пересечения
D M и АС. Найдите величину угла
М О С.
■1552. В выпуклом четырехуголь­
нике M N L Q углы при вершинах N и
L — прямые, а угол при вершине М рап
вен arctg - . Найдите диагональ NQ,
О
если известно, что сторона LQ вдвое
меньше стороны M N и на 2 больше сто­
роны L N .
1553. Найдите косинусы углов тра­
пеции с основаниями, равными 3 и 7,
и боковыми сторонами, равными 2 и 5.
1554. В треугольнике даны два угла
а и Р и радиус R описанной окружное-
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
104
ка ABC за вершину А взята точка D ,
ти. Найдите высоту, опущенную из
причем A D = 2АВ (рис. 62). Известно,
вершины третьего угла треугольника.
1555.
Стороны треугольника равнычто Z ВАС = 120°. Докажите, что тре­
угольник ВВС — равнобедренный.
а, Ь, с. Докажите, что медиана т,
проведенная к стороне с, равна
D
1 72с2+2Ь2_с2.
1556. В треугольнике две стороны
равны 11 и 23, а медиана, проведенная
к третьей, равна 10. Найдите третью
сторону.
1557. Докажите
справедливость
следующих формул для площади
треугольника: S =
2 sin а
. s =
= 2Д2 sin а sin |3sin у, где а, |3, у — уг­
лы треугольника, а — сторона, леж а­
щая против угла о., R — радиус опи­
санного круга.
1558. В ромбе A B C D угол при вер­
шине А равен 60°. Точка N делит сто­
рону А В в отношении A N : B N = 2 : 1 .
Найдите тангенс угла D N C .
1559. Можно ли около четырехугольникаА5С£) описать окружность,
если Z.A D C = 30°, А В = 3, БС = 4,
АС = 6 ?
1560. Прямая, пересекающая осно­
вание равнобедренного треугольника
и проходящая через противополож­
ную вершину, делит этот треугольник
на два. Докажите, что радиусы окруж­
ностей, описанных около этих тре­
угольников, равны.
1561. Найдите периметр четырехугольникаЛБСХ), в котором А В = CD =
= а ,А В А 1 ) = А В С В = а < Ж , В С ^ А О .
1562. Докажите, что если стороны
а, Ь и противолежащие им углы а и |3
треугольника связаны соотношения­
ми —
cos а
^
cos (3
, то треугольник равно-
бедренный.
1563. В треугольнике ABC высота
B D равна 11,2, а высота А Е равна 12.
Точка Е лежит на стороне ВС и
B E : ЕС = 5 : 9 . Найдите сторону АС.
1564. На продолжении боковой сто­
роны
равнобедренного треугольни­
Р и с . 62
1565. Точки М п N лежат соответ­
ственно на сторонах A D и ВС ромба
A B CD , причем D M : A M = B N : N C =
= 2 : 1 . Найдите M N , если известно,
что сторона ромба равна а, а Л BAD =
= 60°.
1566. Диагональ параллелограмма,
равная Ь, перпендикулярна стороне
параллелограмма, равной а. Найдите
вторую диагональ параллелограмма.
1567. В треугольнике ABC извест­
но, что ZLА = а, Z С = Р, А В = а; A D —
биссектриса. Найдите BD.
1568. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника со сто­
ронами, равными а, а и Ь.
1569. Дан треугольникАБС, в кото­
ром АС = 72 , БС = 1, А ABC = 45°.
Найдите угол ВАС.
1570. Найдите площадь треуголь­
ника А 5 С , если известно, что А В = а,
А А = а , А В = ^.
1571. В прямоугольном треуголь­
нике гипотенуза равна с, а острый угол
равен а. Найдите биссектрису прямого
угла.
1572. Две стороны треугольника
равны 2 V 2 и 3, площадь треугольника
равна 3. Найдите третью сторону.
1573. Стороны треугольника равны
11, 13 и 12. Найдите медиану, прове­
денную к большей стороне.
105
ПЛАНИМЕТРИЯ
1574. Около
четырехугольника
A B C D можно описать окружность.
Кроме того, А В = 3, ВС = 4, CD = 5 и
A D = 2. Найдите АС.
1575. Дан угол, равный а, с верши­
ной в точке Л . Расстояние между осно­
ваниями перпендикуляров, опущен­
ных из некоторой точки В на стороны
угла, равно о. Найдите А В .
1576. В треугольнике А 5 С на сторо­
не АС как на диаметре описана окруж­
ность, которая пересекает сторону
в точке М , а сторону ВС — в точке N .
Известно, ч ю А С = 2, А В = 3 ,A N = 1,8.
Найдите косинус угла ВАС.
1577. Диаметр А В окружности про­
долж или за точку Б и на продолжении
отметили точку С. Из точки С провели
секущую под углом к АС в 7°, пересе­
кающую окружность в точках D и R,
считая от точки С. Известно, что DC =
= 3, а угол DAC равен 30°. Найдите
диаметр окружности.
1578. В окружности диаметра 4
проведены диаметр А В и хорда CD, пе­
ресекающиеся в точке Е . Известно,
что углы AB C и ВСЕ равны соответ­
ственно 60° и 8 °. Найдите СЕ.
1579. В выпуклом четырехуголь­
нике отрезки, соединяющие середины
противоположных сторон, равны со­
ответственно а и Ь и пересекаются под
углЬм 60°. Найдите диагонали четы­
рехугольника.
1580. В выпуклом четырехуголь­
нике A B C i) точки Е , F , Н , G являются
соответственно серединами отрезков
А В , ВС, CD, A D ; О — точка пересече­
ния отрезков Е Н и FG. Известно, что
Е Н = a ,F G = b ,A F O H = 60°. Найдите
диагонали четы рехугольникаАВС!).
1581. В прямоугольной трапеции
A B C D углы А ж D прямые, сторона А В
параллельна стороне CD', длины сто­
рон равны; А В = 1, CD = 4, A D = 5. На
стороне A D взята точка М так, что
угол C M D вдвое больше угла В М А . В
каком отношении точка М делит сто­
рону A_D?
1582. В треугольнике ABC меди­
аны, проведенные к сторонам АС и БС,
пересекаются под прямым углом. Сто­
рона АС равна Ъ, сторона ВС равна а.
Найдите сторону АВ.
1583. Найдите гипотенузу прямо­
угольного треугольника с острым уг­
лом, равным 30°, если известно, что
биссектриса, проведенная из вершины
прямого угла, равна а.
1584. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника со сто­
ронами, равными 13, 14, 15.
1585. Прямая, проходящая через
точки G n K , делит пополам угол FGH ,
K F ± G F, К Н J_ G H , K F = К Н = 8 ,
G K = 1 7 . Отрезок GL содержит точку-F
и F L = 2. Отрезок G M содержит точку
Я и Н М = 19. Найдите L M .
1586. В остроугольном треугольни­
ке ABC известно, что ВС = с, АС = Ь,
А А С В = а. Найдите высоту CD и угол
ABC.
1587. В равнобедренном треуголь­
нике основание и боковая сторона рав­
ны соответственно 5 и 20. Найдите
биссектрису угла при основании тре­
угольника.
1588. В треугольник с боковыми
сторонами 9 и 15 вписан параллело­
грамм так, что одна из его сторон, рав­
ная 6 , лежит на основании треуголь­
ника, а диагонали параллелограмма
параллельны боковым сторонам тре­
угольника (рис. 63). Найдите другую
сторону параллелограмма и основание
треугольника.
Р и с . 63
1589.
В треугольник вписан парал­
лелограмм со сторонами 3 и 5 и диаго­
налью, равной 6 . Найдите стороны
треугольника, если известно, что ди­
агонали параллелограмма параллель­
106
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ны боковым сторонам треугольника, а
меньшая из его сторон лежит на осно­
вании треугольника.
1590. В треугольнике известны од­
на сторона а и два прилежащих к ней
угла (3 и у. Найдите биссектрису
третьего угла.
1591. Основание равнобедренного
треугольника равно а, угол при вер­
шине равен а. Найдите биссектрису,
проведенную к боковой стороне.
1592. Дан параллелограмм, в кото­
ром острый угол равен 60°. Найдите
отношение сторон параллелограмма,
если отношение квадратов диагоналей
равно i .
3
1593. В треугольнике ЛВС на сторо­
нах АВ, БС и A D взяты соответственно
точки К , L n М . Известно, что АК" = 5,
КВ =
= 2, LC ^ 7 , С М = 1, М А =
= 6 . Найдите расстояние от точки М до
середины K L .
1594. В параллелограмме АВС£) из­
вестны длины диагоналей АС = 15,
B D = 9. Радиус окружности, описан­
ной около треугольника ADC, равен 10.
Найдите радиус окружности, описан­
ной около треугольника АБ£).
1595. Основания равнобедренной
трапеции относятся как 5 : 12, а ее вы­
сота равна 17. Найдите радиус окруж­
ности, описанной около трапеции, ес­
ли известно, что ее средняя линия рав­
на высоте.
1596. Окружность касается двух
параллельных прямых Z и m в точках
А и В соответственно; CD — диаметр
окружности, параллельный этим пря­
мым. Прямая ВС пересекает прямую I
в точке Е , а прямая E D — прямую т в
точке F . Найдите углы треугольника
BRF.
1597. В треугольнике АБС извест­
ны стороны; ВС = АС = 12, А В = 6 ;
AD — биссектриса. Найдите радиус R
окружности, описанной около тре­
угольника ABC. Выясните, что боль­
ше: R или 6,5.
1598. Медианы A M и C N треугольникаАВС пересекаются в точке О. Из­
вестно, что Z- ВАС = а, Z ВСА = Р, АС =
= Ь. Найдите расстояние от точки О до
прямой ЛС.
1599. В треугольнике ABC со сторо­
ной А В = Vs из вершины В к стороне
А С проведены медиана В М = 2^2 и
высота В Н = 2. Найдите сторону ВС,
если известно, что Z_ABC + Z. АСВ < 90°.
1600. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = А С , высота A f f равна 9, а
диаметр описанной окружности равен
25. Найдите радиус вписанной окруж­
ности.
1601. В треугольнике ABC длина
А В = 4, длина ВС равна 5. Из вершины
В проведен отрезок В М (М на АС),
причем Z А В М = 45° и Z М ВС = 30°.
а) В каком отношении точка М де­
лит сторону АС?
б) Найдите отрезки А М и МС.
1602. Отношение длин двух пересе­
кающихся окружностей равно JZ . Об­
щая хорда этих окружностей стягива­
ет в меньшей из них дугу в 120°. Най­
дите стягиваемую этой хордой дугу
большей окружности.
1603. Окружность радиуса R с
центром в точке О проходит через вер­
шины А и В треугольника ABC, пересе­
кает отрезок ВС в точке М и касается
прямой АС в точке А . Найдите СМ,
зная, что Z АСО = а, Z М А В = р.
1604. В параллелограмме A B CD с
углом А , равным 60°, проведена бис­
сектриса угла В, пересекающая сторо­
ну CD в точке Е. В треугольник ЕСВ
вписана окружность радиуса R. Дру­
гая окружность вписана в трапецию
A B E D . Найдите расстояние между
центрами этих окружностей.
1605. В треугольник ABC вписана
окружность, которая касается сторон
АВ , ВС , АС соответственно в точках
М , D , N . Известно, что N A = 2, N C = 3,
Z ВСА = 60°. Найдите M D .
107
ПЛАНИМЕТРИЯ
1606. На стороне А В треугольника
ABC во внешнюю сторону построен
равносторонний треугольник. Найди­
те расстояние между его центром и
вершиной С, если
= с и Z С = 120°.
1607. В треугольнике АБ С заданы:
ВС = а, Z Л = а, ZL Б = р. Найдите ради­
ус окружности, касающейся стороны
АС в точке А и касающейся стороны
ВС.
1608. В треугольнике ABC к сторо­
не АС проведены высота
и медиана
M B , причем A/W = В М . Найдите коси­
нус угла К В М , если
= 1, ВС = 2.
1609. В параллелограмме PQ R S
биссектриса угла при вершине Р , рав­
ного 80°, пересекает сторону RS в точ­
ке L . Найдите радиус окружности, ка­
сающейся отрезка PQ и лучей QR и P L ,
если известно, что P Q = 7.
1610. Дана равнобедренная трапе­
ция AB CD . Известно, что A D = 10,
ВС = 2 ,А В = CD = 5. Биссектриса угла
B AD пересекает продолжение основа­
ния ВС в точке К . Найдите биссектри­
су утлаАВК в треугольнике
1611. Б треугольнике ABC сторона
ВС = 5. Окружность проходит через
вершины Б и С и пересекает сторону
А С в точке К так, что С К = 3, К А = 1.
Известно, что косинус углаА С Б равен
^ . Найдите отношение радиуса данной окружности к радиусу окружнос­
ти, вписанной в треугольник А В К .
1612. В ромбе A B C D со стороной
(1
V s ) и острым углом BAD, равным
60°, расположена окружность, вписан­
ная в треугольник A B D (рис. 64). Из
точки С к окружности проведена каса­
тельная, пересекающая сторону А В в
точке Е . Найдите А Е .
1613. Окружность проходит через
вершины Л и С треугольника ABC, пе­
ресекая сторону А Б в точке Е и сторону
ВС в точке F . У го л АЕ С в 5 раз больше
угла BAF, а угол АБ С равен 72°. Най­
дите радиус окружности, если АС = 6 .
1614. Точка О лежит на отрезке АВ
так, что АО = 13, ОБ = 7. С центром в
точке О проведена окружность ради­
уса 5. Из А и Б к ней проведены каса­
тельные, пересекающиеся в точке М ,
причем точки касания лежат по одну
сторону от прямой А Б . Найдите ради­
ус окружности, описанной вокруг тре­
угольника А М Б .
1615. Окружность проходит через
вершины А и С треугольника АБС, пе­
ресекает сторону А Б в точке D и сторо­
ну ВС в точке £ . Найдите угол CDB, есл и A D = 5, АС = 2^7 , Б £ = 4 ,Б £ »: С£ =
= 3:2.
1616. Из одной точки окружности
проведены две хорды длинами 9 и 17.
Найдите радиус окружности, если рас­
стояние между серединами данных
хорд равно 5.
1617. Из одной точки окружности
проведены две хорды длинами 1 0 и 1 2 .
Найдите радиус окружности, если рас­
стояние от середины меньшей хорды
до большей хорды равно 4.
1618. В четырехугольнике ABCD
известно, что Z .A B D = A A C D = 45°,
ZL ВАС = 30°, БС = 1. Найдите AD.
1619. Б треугольнике АБС угол А
равен 60°, А Б = 1, БС = а. Найдите АС.
1620. Б треугольнике АБС дано:
Z САБ = 75°, Z АБС = 45°. На стороне
СА берется точка К так, что СК : АВ =
= 3. На стороне СВ берется точка М .
Найдите К М :А В , если известно, что
Q
ЭТО отношение меньше - и что прямая
4
М К отсекает от треугольника АБС тре­
угольник, ему подобный.
108
1621. В
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
окружности
проведены
хорды ЛБ иБ С , причем А В =
, ВС =
= Зл/З, А A B C = 60°. Найдите длину
той хорды окружности, которая делит
угол АБС пополам.
1622. Медианы
прямоугольного
треугольника, проведенные к кате­
там, относятся, как J2 : 1. Найдите
углы треугольника.
1623. Стороны треугольника равны
11, 13 и 12. Найдите медиану, прове­
денную к большей стороне.
1624. В треугольнике две стороны
равны 11 и 23, а медиана, проведенная
к третьей, равна 10. Найдите третью
сторону.
1625. Окружность, вписанная в тре­
угольник ABC, касается стороны А 5 в
точке М , при этом A M = 1, В М = 4.
Найдите С М , если известно, что
/1 БАС = 1 20 °.
1626. Основания трапеции равны 1
и 6 , а диагонали — 3 и 5. Под каким уг­
лом видны основания из точки пересе­
чения диагоналей?
1627. Дан треугольник ABC, в кото­
ром Z А = а, Z. Б = р. На стороне А В
взята точка Z), а на стороне АС — точка
М , причем CD — биссектриса тре­
угольника ABC, D M II ВС и A M = а.
Найдите СМ.
1628. У глы треугольника равны а,
Р и Y, а периметр равен Р . Найдите сто­
роны треугольника.
1629. Одна из боковых сторон тра­
пеции образует с большим основанием
угол, равный а, а вторая равна а и об­
разует с меньшим основанием угол,
равный Р (Р > а). Найдите среднюю л и ­
нию трапеции, если меньшее основа­
ние равно Ъ.
1630. В окружность радиуса R впи­
сан равнобедренный треугольник ABC
(АВ = В С) с углом БАС, равным а. Най­
дите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC.
1631. Трапеция A B C D {ВС II A D )
вписана в окружность. Известно, что
ВС = о, AD = b,Z. CAD = а. Найдите ра­
диус окружности.
1632. Касательная к окружности
(К — точка касания) параллельна хор­
де L M . Известно, что L M = 6 , К М = 5.
Найдите радиус окружности.
1633. Найдите биссектрису A D тре­
угольника АБС со сторонами ВС = 18,
АС = 15, А Б = 12.
1634. В треугольнике ABC угол
ВАС равен 60°, высота, опущенная из
вершины С на сторону АБ , равна J s , а
радиус окружности, описанной около
треугольника АБС, равен 5. Найдите
стороны треугольникаАБС.
1635. В параллелограмме ABCD
высота, проведенная из вершины В ту­
пого угла на сторону DA, делит ее в от­
ношении 5 : 3 , считая от вершины D.
Найдите отношение А С ; B D , если
А0:АБ=2.
1636. Докажите, что отношение сум­
мы квадратов медиан треугольника к
О
сумме квадратов его сторон равно - .
1637. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны а и Ь. Найдите бис­
сектрису прямого угла этого треуголь­
ника.
1638. Докажите, что для произ­
вольного треугольника выполняется
равенство г
“
2
C O
2
а
S -
, где г — ра­
диус вписанной окружности, а, Р и у —
углы треугольника АБС, а = ВС.
1639.
В треугольнике АБС прове­
дены высота В М , биссектриса B N и
медиана B L (рис. 65). Известно, что
В
109
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
A M = M N = N L . Найдите тангенс
угла Л этого треугольника.
1640. Через точку L окружности
проведены касательная и хорда L M ,
равная 5. Хорда M N параллельна ка­
сательной и равна 6 . Найдите радиус
окружности.
1641. В окружность вписаны две
равнобедренные трапеции с соответ­
ственно параллельными сторонами.
Докажите, что диагональ одной из них
равна диагонали другой трапеции.
1642. Отрезки А В и CD — диа­
метры одной окружности. Из точки М
этой окружности опущены перпенди­
куляры М Р и M Q на прямые А В и CD.
Докажите, что длина отрезкаPQ не за­
висит от положения точки М .
1643. Через вершины А п В тре­
угольника А 5 С проходит окружность
радиуса г, пересекающая сторону ВС в
точке D . Найдите радиус окружности,
проходящей через точки Л , D u С, если
А В = с и А С = Ь.
1644. В прямоугольный треуголь­
ник A S C с углом А , равным 30°, вписа­
на окружность радиуса R. Вторая ок­
ружность, лежащая вне треугольни­
ка, касается стороны ВС и продолже­
ний двух других сторон. Найдите рас­
стояние между центрами этих окруж­
ностей.
1645°. Найдите радиус окружнос­
ти, которая высекает на обеих сторо­
нах угла, равного а, хорды длины а,
если известно, что расстояние между
ближайшими концами этих хорд рав­
но Ь.
1646. В окружности проведены две
хорды А В = а и АС = Ь. Длина дуги АС
вдвое больше длины дуги АВ . Найдите
радиус окружности.
1647. Правильный
треугольник
A B C со стороной, равной 3, вписан в
окружность. Точка Z) лежит на окруж­
ности, причем хорда A D равна л/З.
Найдите хорды B D и CD.
1648. В равнобедренном треуголь­
нике основание равно 24, а боковая
сторона равна 15. Найдите радиусы
вписанной и описанной окружнос­
тей.
1649. Дан
прямоугольный
тре­
угольник ABC с прямым углом при
вершине С. У го л САВ равен а. Бис­
сектриса угла ABC пересекает катет
АС в точке К . На стороне ВС как на
диаметре построена окружность, кото­
рая пересекает гипотенузу А В в точке
М . Найдите угол А М К .
1650. В окружности радиуса Д = 4
проведены хорда А В и диаметр AiC, об­
разующий с хордой угол ^ . В точке В
О
проведена касательная к окружности,
пересекающая продолжение диаметра
А К в точке С. Найдите медиану A M
треугольника ABC.
1651. В треугольник ABC со сторо­
ной ВС = 9 вписана окружность, ка­
сающаяся стороны ВС в точке D. Из­
вестно, что A D = DC и косинус угла
ВСА равен | . Найдите сторону АС.
О
1652. В параллелограмме со сторо­
нами 2 и 4 проведена диагональ дли­
ной 3. В каждый из получившихся
треугольников вписано по окружнос­
ти. Найдите расстояние между цент­
рами окружностей.
1653. В равнобедренном треуголь­
нике высота, проведенная к основа­
нию, делится точкой пересечения вы­
сот пополам. Найдите угла этого тре­
угольника.
1654. В треугольнике AB C на сторо­
не АС взята точка D так, что отрезок
A D равен 3, косинус угла BDC равен
1о
— , а сумма углов ABC и A D B равна
Zi\j
180°. Найдите периметр треугольника
ABC, если ВС = 2.
1655°. В прямоугольном треуголь­
нике AB C биссектриса А Р острого уг­
ла А делится центром О вписанной
110
ПЛАНИМЕТРИЯ
окружности в отношении А О : О Р =
= (л/З + 1) ; ( 73 - 1). Найдите острые
углы треугольника.
1656. В прямоугольном треуголь­
нике А 5 С с гипотенузой ЛС, равной 2,
проведены медианы A M и CN. Около
четырехугольника A/VMC можно опи­
сать окружность. Найдите радиус этой
окружности.
1657. Правильный
треугольник
ABC со стороной а и два ромба ACMJV и
A B F E расположены так, что точки М
и В лежат по разные стороны от прямойЛС, а точки F u C — по разные сто­
роны от прямой А В . Найдите расстоя­
ние между центрами ромбов, если
Z ЕАВ = Z A C M = а (а < 90°).
1658. В параллелограмме АВС£) бис­
сектриса угла B A D пересекает сторону
CD в точке М такой, что D M : М С =
= 2 : 1 . Известно, что Z С А М = а. Най­
дите угол BAD.
1659. Б параллелограмме PQRS бис­
сектриса угла Q P S пересекает сторону
QR в точке А такой, что QA : A R = 3 : 1 .
Известно, что Z Q PS = а. Найдите
угол между биссектрисой Р А и диаго­
налью Р Е .
1660. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника равны с и d и пересека­
ются под углом 45°. Найдите отрезки,
соединяющие середины противопо­
ложных сторон четырехугольника.
1661. Центр окружности, вписан­
ной в прямоугольный треугольник,
удален от вершин острых углов на
расстояния а и Ь. Найдите гипоте­
нузу.
1662. Точка М леж и т на стороне
ВС параллелограм м а A B C D с углом
45° при вершине А , причем Z A M D =
= 90° и В М : М С = 2 : 3 . Найдите от­
ношение соседних сторон паралле­
лограмма.
1663. Окружность, вписанная в
прямоугольный треугольник с катета­
ми, равными 6 и 8 , касается гипотену­
зы в точке М (рис. 6 6 ). Найдите рас­
стояние от точки М до вершины пря­
мого угла.
Р и с . 66
1664. Боковая сторона равнобед­
ренной трапеции равна с, средняя ли ­
ния равна Ь, а один углов при большем
основании равен 30°. Найдите радиус
окружности, описанной около этой
трапеции.
1665. Медиана A M треугольника
ABC равна т и образует со сторонами
АВ и АС углы , равные а и |3 соответ­
ственно. Найдите эти стороны.
1666. Б треугольнике даны два угла
Р и Y и радиус R описанной окружнос­
ти. Найдите радиус окружности, впи­
санной в треугольник.
1667. Б выпуклом четырехуголь­
нике A B C D отрезки, соединяющие се­
редины противоположных сторон, пе­
ресекаются под углом 60°, а их длины
относятся, как 1 : 3 . Чему равна мень­
шая диагональ четырехугольника
AB CD , если большая равна
?
1668. Б треугольнике A B C извест­
ны высоты Лц = i ,
3
= i , /г^ = i . Най4
5
дите отношение биссектрисы CD к ра­
диусу описанной окружности.
1669. Около треугольника ABC
описана окруж ность. Продолж ение
биссектрисы С К треугольника ABC
пересекает эту окруж ность в точке L,
причем CL — диаметр данной ок­
ружности. Найдите отношение от­
111
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
резков B L а A C , если синус у гл а ВАС
равен - .
4
1670. В треугольнике АБС сторона
А В = 6 , Z ВАС = 30°, радиус описанной
окружности равен 5. Найдите сторону
АС.
1671. Биссектриса A D равнобед­
ренного треугольника A B C (А В = ВС)
делит сторону ВС на отрезки B D = Ь и
DC = с. Найдите биссектрису AD .
1672. Дан треугольник ABC. И з­
вестно, что А В = 4, АС = 2, ВС = 3. Бис­
сектриса угла А пересекает сторону ВС
в точке К . Прямая, проходящая через
точку В параллельно АС, пересекает
продолжение биссектрисы А К в точке
М . Найдите К М .
1673°. В равнобедренной трапеции
даны основания а = 21,Ь = 9 и высота
Л = 8 . Найдите радиус описанного кру­
га.
1674°. Найдите радиус окружнос­
ти, описанной около равнобедренной
трапеции с основаниями 2 и 14 и боко­
вой стороной 1 0 .
1675. В треугольнике ABC стороны
А В и АС равны соответственно J\Q и
^/2
, а радиус окружности, описанной
около треугольника ABC, равен Jb .
Найдите сторону ВС и угол АСБ, если
известно, что угол АСВ — острый.
1676. В треугольник AB C вписана
окружность, которая касается сторон
АВ , ВС, АС соответственно в точках М ,
D , N . Найдите отрезок M D , если из­
вестно, что N A = 2, N C = 3, А ВСА =
= 60°.
1677°. В треугольник JsTLM вписана
окружность, которая касается сторо­
ны K L в точке А , а стороны К М — в
точке В. Найдите угол L M K , если из­
вестно, что В М = 5, A L = 10, а
cos ^ L K M = ^ .
26
1678°. Две стороны треугольника
равны а л Ь . Найдите третью сторону с
треугольника, если его угол, лежащий
против третьей стороны, в два раза
больше угла, лежащего против сторо­
ны, равной Ь.
1679°. Высоты треугольника ABC
пересекаются в точке Н . Докажите,
что радиусы окружностей, описанных
около треугольников ABC, А Я Б , ВНС
и А Н С , равны между собой,
1680.
Известно, что расстояние от
центра описанной окружности до сто­
роны А В треугольника AB C равно по­
ловине радиуса этой окружности.
Найдите высоту треугольника ABC,
опущенную на сторону АВ , если она
меньше
/!■
а две другие стороны тре­
угольника равны 2 и 3.
1681. В треугольнике ABC угол С
равен 60°, а биссектриса угла С равна
5 7 з . Длины сторон АС и ВС относятся
как 5 : 2 соответственно. Найдите тан­
генс угла А и сторону ВС.
1682. Окружность проходит через
вершины А и С треугольника ABC и пе­
ресекает сторону А В в точке D , а сторо­
ну ВС — в точке £ . Найдите угол ВВС,
если B D : ЕС = 1 : 2, B E : A D = 2 : 7,
угол ABC равен 60°.
1683. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 36 и 48. Найдите рас­
стояние от центра вписанной в тре­
угольник окружности до высоты, про­
веденной к гипотенузе.
1684. Гипотенуза и катет прямо­
угольного треугольника равны соот­
ветственно 60 и 36. Найдите расстоя­
ние от точки пересечения биссектрис
треугольника до высоты, проведенной
к гипотенузе.
1685. Прямая, проходящая через
точку пересечения медиан треуголь­
ника ABC, пересекает стороны ВА и
ВС в точках А ' и С' соответственно.
При этом В А ' < В А = 3, ВС = 2,
В А ' ■В С = 3. Найдите ВА'.
1686. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = 3, АС = 3 j 7 , Z . ABC = 60°.
112
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
Биссектриса угла A BC продолжена до
тей, вписанной в трапецию и описан­
ной около нее, если известно, что эти
пересечения в точке D с окружностью,
окружности существуют.
описанной вокруг треугольника. Най­
1692. В трапеции АВ СЕ основание
дите BD.
1687.
Во вписанном в окружность
А Е равно 16, СЕ = 8 J s . Окружность,
четырехугольнике K L M N известно,
проходящая через точки А, В и С, вто­
что K L = 2, L M = 3, Z K L M = 120°, а
рично пересекает прямую А Е в точке
диагональ L N является отрезком бис­
Я , Л А Н В = 60°. Найдите АС.
сектрисы угла
(рис. 67). Найдите
1693. В треугольнике ABC на сред­
эту диагональ.
ней линии D E , параллельной А В , как
на диаметре построена окружность,
пересекающая стороны АС и ВС в точ­
ках М и N . Найдите M N , если ВС = а,
А С ^ Ь ,А В = с.
1694. У гол при основании равно­
бедренного треугольника равен ф.
Найдите отношение радиуса вписан­
ной в данный треугольник окружнос­
ти к радиусу описанной окружности.
1695. В треугольнике ABC заданы;
АС = Ь, А ABC = а. Найдите радиус ок­
ружности, проходящей через центр
Р и с . 67
вписанного в треугольник ABC круга и
вершины А и С.
1688.
В угол с вершиной А , равный 1696. В равнобедренном треуголь­
60°, вписана окружность с центром в
нике ABC (АВ = ВС) сторонаАС = 10. В
точке О. Через точку К этой окружнос­
угол ABC вписана окружность, диа­
ти проведена к ней касательная, пере­
метр которой равен 15, так, что она ка­
секающая сторону угла в точках Б и С.
сается стороны АС в ее середине. Най­
Отрезок ВС пересекается с отрезком
дите радиус окружности, вписанной в
А О в точке М . Найдите радиус окруж­
треугольник ABC.
ности, вписанной в треугольник ABC,
1697. В прямоугольном треуголь­
если A M : М 0 = 2 : З и В С = 7.
нике ABC из точки Е, расположенной
1689°. Сторона АС в треугольнике
в середине катета ВС, опущен перпен­
AB C в четыре раза больше радиуса
дикуляр E L на гипотенузу АВ . Найди­
вписанной в треугольник ABC окруж­
те углы треугольника ABC, если А Е =
ности. Найдите, в каком отношении
= ^ E L hBOAC.
центр этой окружности делит биссект­
1698. В ромбе A B C D из вершины В
рису угла В, если ^ ABC = 60°.
на сторону А£) опущен перпендикуляр
1690. Из произвольной точки Р , не
BE. Найдите углы ромба, если 2 J s СЕ =
лежащей на описанной окружности,
опущены перпендикуляры РА^, РВ^,
= J7 A C .
РС^ на стороны треугольника АБС или
1699. Стороны треугольника равны
их продолжения. Известно, что А В = с,
1 и 2, а угол между ними равен 60°. Ч е­
ВС = о. АС = Ь, Р А - ^ х , Р В = у, PC = 2 .
рез центр вписанной окружности это­
Найдите стороны треугольника
го треугольника и концы третьей сто­
если радиус окружности, описанной
роны проведена окружность. Найдите
около треугольника ABC, равен R.
ее радиус.
1691°. Основания трапеции равны
1700. В равнобедренном треуголь­
4 и 16. Найдите радиусы окружнос­
нике AB C с основанием АС точка D де­
113
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
лит сторону ВС в отношении 3 : 1 , счи­
тая от вершины В, а точка Е — середи­
на отрезка AD . Известно, что B E = 4ч ,
СЕ = 3. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника ABC.
1701. В треугольнике ABC сторона
АС равна 7, угол ВСА равен 60°. Точка
Е , лежаш;ая на стороне ВС, удалена от
вершины В на расстояние, равное 6 ,
F — точка пересечения А Е с медианой
BD. Найдите сторону АВ, ecлиБF : F D =
= 3:2.
1702. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = В С ) медиана A D и бис­
сектриса СЕ перпендикулярны. Най­
дите угол АО Б .
1703. Стороны треугольника равны
1
и 2 , а угол между ними равен 1 2 0 °.
Окружность с центром на третьей сто­
роне треугольника касается двух дру­
гих сторон. Вторая окружность каса­
ется этих сторон и первой окружнос­
ти. Найдите радиусы окружностей.
1704. Точка О — центр окружнос­
ти, вписанной в треугольник ABC. И з­
вестно, что ВС = а, АС = Ъ, /- А О В =
= 120°. Найдите сторону АВ.
1705. Т о ч к а м леж ит на стороне АС
равностороннего треугольника ABC со
стороной, равной За, причем A M : М С =
= 1 : 2 . Точки К и L на сторонах А В и
ВС являются вершинами другого рав­
ностороннего треугольника M K L .
Найдите его стороны.
1706. Стороны треугольника равны
1 и 2, а угол между ними равен 60°. Ч е­
рез центр вписанной окружности это­
го треугольника и концы третьей сто­
роны проведена окружность. Найдите
ее радиус.
1707. В трапеции с основаниями 3 и
4 диагональ равна 6 и является бис­
сектрисой одного из углов. Может ли
эта трапеция быть равнобедренной?
1708. В остроугольном треугольни­
ке ABC проведены высоты СС^ viAA^.
Известно, что А С = 1 и Z С^СА^ = а.
Найдите плош;адь круга, описанного
около треугольника С^ВА^.
1709. В трапеции A B CD даны осно­
вания A D = 4, ВС = 1 и углы А и D при
основании, равные соответственно
arctg 2 и acrtg 3. Найдите радиус ок­
ружности, вписанной в треугольник
СВЕ, где Е — точка пересечения ди­
агоналей трапеции.
1710. В трапеции K L M N известны
боковые стороны K L = 36, M N = 34,
верхнее основание L M
=
10 и
cos
K LM =
3
. Найдите диагональ
LN.
1711. В остроугольном треугольни­
ке ABC из основания D высоты B D опу­
щены перпендикуляры D M и D N на
стороны А В и ВС. Известно, что
M N = а, B D = Ъ. Найдите угол ABC.
1712. В треугольнике ABC извест­
но, чтоБС = 3 ,Б А = З Т7 ,/^А Б С = 60°.
Биссектриса угла ABC продолжена до
пересечения в точке D с окружностью,
описанной
вокруг
треугольника
(рис. 68). Найдите Б£).
1713. Окружность проходит через
вершины А и С треугольника ABC и пе­
ресекает сторону А В в точке D , а сторо­
ну ВС — в точке Е . Найдите угол ВВС,
если ВС : Е С = 1 : 2 , B E :A D = 2 : 7,
А ABC = 60°.
1714. В треугольнике ABC на сторо­
не А В взята точка L так, что A L = 1,
BL = 3, а на стороне ВС взята точка К ,
деляш;ая эту сторону в отношении
В К : K C = S : 2. Т о ч к а Q пересечения
114
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
прямых AisT и CL отстоит от прямой ВС
на расстоянии 1,5. Вычислите синус
угла ABC.
1715. Внутри угла в 60° расположе­
на точка, отстоящая на расстояния
и 2 /У? от сторон угла. Найдите рас­
стояние этой точки от вершины угла.
1716. В треугольнике AB C точка D
делит сторону А В пополам, а точка Е
лежит на стороне ВС, причем отрезок
B E в 3 раза меньше стороны ВС. Отрез­
ки А Е и CD пересекаются в точке О.
Найдите сторону АБ , если отрезок АЕ
равен 5, отрезок ОС равен 4, ауголА О С
равен 1 2 0 °.
1717. Из точки М на окружности
проведены три хорды: M N = 1, М Р = 6 ,
M Q = 2. При этом углы N M P и P M Q
равны. Найдите радиус окружности.
1718. В равнобедренном треуголь­
нике ABC из точки С, являющейся
вершиной прямого угла, опущена на
гипотенузу высота СС^. Из точки С^
проведены две взаимно перпендику­
лярные прямые, пересекающие сторо­
ны ВС и АС в точках А^ и В^ соответ­
ственно. Известно, что Z С^А^Б = 60°,
а гипотенуза А В =
+ 2 j6 . Найдите
длину отрезка А^В^. Укажите ее при­
ближенное значение с точностью до
0 ,0 1 .
1719. В окружность с центром О
вписана трапеция K L M N , в которой
K L параллельна M N , K L = 8 , M N = 2,
Z N K L = 45°. Хорда М А окружности
пересекает отрезок K L в точке В та­
кой, что К В = 3. Найдите расстояние
от точки О до прямой А-ЙГ.
1720. Окружность, вписанная в
равнобедренный треугольник ABC,
касается основания АС в точке D и бо­
ковой стороны А В в точке Е. Точка
F — середина стороны А В , а точка G —
точка пересечения окружности и от­
резка F D , отличная от D . Касательная
к окружности, проходящая через точ­
ку G, пересекает сторону А В в точке Н .
Найдите угол ВСА, если известно, что
F H : H E = 2:3.
1721. Пусть М — точка пересече­
ния диагоналей выпуклого четырех­
угольника AB CD , в котором стороны
А В , A D и ВС равны между собой. Най­
дите угол C M D , если известно, что
D M = М С , а Z САВ Z DBA.
1722. В выпуклом четырехуголь­
нике АВС£> сторона A D равна 4, сторо­
на CD равна 7, косинус углаАХ>С равен
1 , синус угла ВСА равен - . Найдите
2
3
сторону ВС, если известно, что окруж­
ность, описанная около треугольника
ABC, проходит также и через точку D.
1723°. В треугольнике ABC прове­
дена средняя линия M N , соединяю­
щая стороны А В и ВС. Окружность,
проведенная через точки М , iV и С, ка­
сается стороны А В , а ее радиус равен
J 2 . Сторона АС равна 2. Найдите си­
нус угла АСВ.
1724°. В окружность радиуса 5 впи­
сан треугольник ABC, у которого А В =
= ВС, B D — высота. Найдите BD, если
B D + | а с = 10.
1725. В треугольнике ABC извест­
но, что ВС = 4, Z АСВ = 30°, радиус
описанной окружности равен 6 . Най­
дите среднюю линию, параллельную
стороне АС, и расстояние между точ­
ками, в которых прямая, содержащая
эту среднюю линию, пересекает опи­
санную окружность.
1726. В прямоугольном треуголь­
нике ABC из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Около тре­
угольника АС£) вписана окружность, а
в треугольник BCD вписана окруж­
ность. Найдите расстояние между
центрами этих окружностей, если
ВС = 3, а радиус описанной около тре­
угольника ABC окружности равен | .
1727. Сторона ромба ABCD равна 6 .
Расстояние между центрами окруж­
115
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ностей, описанных около треугольни­
ков ABC и B CD , равно 8 . Найдите ра­
диусы этих окружностей.
1728. В равнобедренный треуголь­
ник ABC {АВ = ВС) вписана окруж­
ность с центром О. Касательная к ок­
ружности пересекает стороны ВС и СА
в точках M u N соответственно. Найди­
те радиус окружности, если
MNC =
= 2Z N M C , О М = JTO , O N
4
1729. Около окружности с центром
О описана трапеция AB CD , в которой
ВС IIA D , ВС < A D . Продолжения боко­
вых сторон трапеции пересекаются в
точке М . Найдите радиус окружности,
е с л и М В = В С ,О В = Л , ОС = J 2 1730. В трапеции АВС£) сторона АВ
перпендикулярна основаниям A D и
ВС. Окружность касается стороны АВ
в точке К , лежащей между точками А
и В, имеет с отрезком ВС единствен­
ную общую точку С, проходит через
точку £) и пересекает отрезок A D в точ­
ке Е , отличной от точки D . Найдите
расстояние от точки К до прямой CD,
если A D = 48, ВС = 12.
1731. В параллелограмме ABCZ) из­
вестно: А В = а, ВС = b,Z. АБС = а. Най­
дите расстояние между центрами ок­
ружностей, описанных около тре­
угольников B CD и DAB.
1732. В окружность вписан равно­
бедренный треугольник ABC, в кото­
ром А В = Б С и /- В — р. Средняя линия
треугольника продолжена до пересе­
чения с окружностью в точках D и Е
(D E II А С ). Найдите отношение площа­
дей треугольников AB C и D B E .
1733. В выпуклом четырехуголь­
нике A B C D заключены две равные ок­
ружности, касающиеся друг друга.
Центр первой окружности находится
на отрезке, соединяющем вершину £) с
серединой Е стороны А В , а центр вто­
рой окружности — на отрезке СЕ.
Первая окружность касается сторон
АВ , A D и CD, а вторая окружность ка­
сается сторон А В , ВС и CD. Найдите
синус угла между диагоналями четы­
рехугольника ABCD.
1734.
Дана равнобедренная трапе­
ция, в которую вписана окружность и
около которой описана окружность.
Отношение длины описанной окруж­
ности к длине вписанной окружности
равно 2
. Найдите углы трапеции.
1735°. В равнобедренный треуголь­
ник ABC (АВ = ВС) вписана окруж­
ность радиуса 3. Прямая I касается
этой окружности и параллельна пря­
мой АС. Расстояние от точки В до пря­
мой I равно 3. Найдите расстояние
между точками, в которых данная ок­
ружность касается сторон А В и ВС.
1736.
В треугольник ABC вписана
окружность. Касательная к этой ок­
ружности, параллельная стороне ВС,
пересекает сторону А В в точке D и сто­
рону АС в точке Е (рис. 69). Перимет­
ры треугольников AB C и A D E равны
соответственно 40 и 30, а угол ABC ра­
вен а. Найдите радиус окружности.
Р и с . 69
1737.
В трапецию AB C D вписана
окружность. Продолжения боковых
сторон трапеции A D и ВС за точки D и
С пересекаются в точке Е . Периметр
треугольника D C E и длина основания
трапеции А В равны соответственно 60
и 20, угол ADC равен |3. Найдите ради­
ус окружности.
116
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1738°. Окружность с центром в точ­
ке О лежит на гипотенузе АС прямо­
угольного треугольника ABC, касается
его катетов А В и ВС. Найдите АС, если
известно, что A M = — , A N : M N =
9
= 6 : 1 , где М — точка касания А В с
окружностью, а N — точка пересече­
ния окружности с АС, расположенная
между точками А и О.
1739. На гипотенузе К М прямо­
угольного треугольника K L M распо­
ложен центр О окружности, которая
касается катетов K L и L M в точках А и
В соответственно. Найдите А К , если
известно, что В М = ^ , А К : АС =
16
= 5 : 23, где С — точка пересечения
окружности с
лежащая между
точками О н М .
1740. Найдите периметр треуголь­
ника, один из углов которого равен а,
а радиусы вписанной и описанной ок­
ружностей равны m R .
1741. На гипотенузе А В прямо­
угольного треугольника ABC выбраны
точки К VL L так, что А К = K L = LB .
Найдите углы треугольника ABC, если
км,
известно, что СК = J 2 C L .
1742. Медиана AJD остроугольного
треугольника A jBC равна 5. Ортого­
нальные проекции этой медианы на
стороны А В и АС равны 4 и 2 /УВ соот­
ветственно. Найдите сторону ВС.
1743. В равнобедренном треуголь­
нике ABC с основанием АС точка D де­
лит сторону ВС в отношении 2 : 1 , счи­
тая от вершины В , а точка Е — середи­
на стороны AjB. Известно, что медиана
CQ треугольника CED равна
£)Е =
и
. Найдите радиус окружное-
ти, описанной около треугольника
ABC.
1744. В ромбе A B C D точка Q делит
сторону ВС в отношении 1 : 3 , считая
от вершины В , а точка Е — середина
стороны АВ . Известно, что медиана CG
треугольника CEQ равна 2 л/2 , а EQ =
= J2 . Найдите радиус окружности,
вписанной в ромб ABCZ).
1745. В треугольнике ABC со сторо­
нами ВС = 7, АС = 5, А В = 3 проведена
биссектриса AJD. Вокруг треугольника
A B D описана окружность, а в тре­
угольник ACD вписана окружность.
Найдите произведение их радиусов.
1746. В треугольнике ABC проведе­
ны биссектрисы B L и А Е углов ABC и
ВАС соответственно, которые пересе­
каются в точке О. Известно, что А В =
= B L, периметр треугольника равен 28,
ВО = 2 0L. Найдите АВ.
1747. В треугольнике ABC извест­
но, что ВС = 4, /LABC = 30°, радиус
описанной окружности равен 6 . Най­
дите среднюю линию, параллельную
стороне АС, и расстояние между точ­
ками, в которых прямая, содержащая
эту среднюю линию, пересекает опи­
санную окружность.
1748. В ромбе AB CD угол BCD ра­
вен 135°, а стороны равны 8 . Окруж­
ность касается прямой CD и пересека­
ет сторону А В в двух точках, располо­
женных на расстоянии 1 от А и В. Най­
дите радиус этой окружности.
1749. Прямая, проходящая через
точку М основания А В равнобедренно­
го треугольника ABC, пересекает пря­
мые АС и ВС в точках А^ и В^ соответ­
ственно. Докажите, что АА^ : А ^М =
= B B i : B iM .
1750. На сторонах острого угла с
вершиной О взяты точки А и В. На л у ­
че ОВ взята точка М на расстоянии
ЗОА от прямой ОА, а на луче ОА — точ­
ка N на расстоянии ЗОВ от прямой ОВ.
Радиус окружности, описанной около
треугольника АОВ, равен 3. Найдите
MN.
1751. На сторонах тупого угла с
вершиной Т взяты точки Р и Q. На про­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
должении луча Т Р за точку Т взята
точка А на расстоянии Ь Р Т от прямой
Q T, а на продолжении луча TQ за точ­
ку Г — точка В на расстоянии 5QT от
прямой Р Т . Радиус окружности, опи­
санной около треугольника P Q T , ра­
вен 2. Найдите АВ.
1752. У глы
треугольника
ABC
удовлетворяют равенству
cos2 А + cos2 В + cos2 С = 1.
117
ке £) и касающейся окружности, опи­
санной около треугольника АБС.
1757.
В остроугольном треугольни­
ке АБС из вершин А и С на стороны ВС
и А В опущены высоты А Р и CQ. Най­
дите сторону АС, если известно, что пе­
риметр треугольника АБС равен 15,
периметр треугольника Б Р© равен 9, а
радиус окружности, описанной около
треугольника Б Р© , равен | .
Найдите площадь этого треугольника,
если известны радиусы вписанной г =
= /Уз и описанной R = 3^2 окружнос­
тей.
1753. У глы
тупоугольного
тре­
угольника ABC удовлетворяют равен­
ству
sin (А - £ ) = sin^ А - sin^ В.
Найдите периметр этого треугольни­
ка, если известен радиус описанной ок­
ружности R , а один из углов равен ^ .
О
1754. На стороне ВС треугольника
ABC взята точка D такая, что
CAD =
= 2 /_ DAB. Радиусы окружностей,
вписанных в треугольники ADC и
A B D , равны соответственно 8 и 4, а
расстояние между точками касания
этих окружностей с прямой ВС равно
л/129 .
Найдите AD .
1755. В треугольнике ABC угол С
равен я - arcsin ^ . На стороне А В
13
взята точка £) так, ч т о А О = 18, Б£) = 6 .
Найдите радиус окружности, прохо­
дящей черех вершину С, касающейся
стороны А В в точке D и касающейся
окружности, описанной около тре­
угольника ABC.
1756. В треугольнике ABC угол А
Q
равен п —arcsin ^ , сторона БС равна 8 .
На продолжении СВ за точку В взята
точка D так, что B D = 1. Найдите ради­
ус окружности, проходящей через вер­
шину А , касающейся прямой ВС в точ­
1758°. Докажите, что для любого
треугольника проекция диаметра опи­
санной окружности, перпендикуляр­
ного одной стороне треугольника, на
прямую, содержащую вторую сторо­
ну, равна по длине третьей стороне.
1759. Окружность радиуса 1 вписа­
на в треугольник АБС, в котором
cos А В = 0,8. Эта окружность касает­
ся средней линии треугольника АБС,
параллельной стороне АС. Найдите
сторону АС.
1760. Трапеция ABCD с основания­
ми БС = 2 и AJD = 1 0 такова, что в нее
можно вписать окружность и около
нее можно описать окружность. Опре­
делите, где находится центр описан­
ной окружности, т. е. расположен он
внутри, или вне ее, или же на одной из
сторон трапеции A B CD . Найдите так­
же отношение радиусов описанной и
вписанной окружностей.
1761. Каждое из оснований высот
треугольника проецируется на его сто­
роны. Докажите, что длина отрезка,
соединяющего эти проекции, не зави­
сит от выбора высоты.
1762. Б треугольнике K L M угол
L — тупой, а сторона К М равна 6 . Най­
дите радиус описанной около тре­
угольника K L M окружности, если из­
вестно, что на этой окружности лежит
центр окружности, проходящей через
вершины К , М и точку пересечения
высот треугольника K L M .
1763. Трапеция A B C D с основа­
ниями БС и AJD вписана в окружность
118
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
(рис. 70), На дуге CD взята точка Е и
соединена со всеми вершинами трапе­
ции. Известно, что
CED = 120°,
Z A B E - Z B A E = a. Найдите отноше­
ние периметра треугольника A B £ к ра­
диусу вписанной в него окружности.
1768. В треугольнике ABC проведе­
ны высоты A D и СЕ. Найдите АС, если
B C - a , A B = b ,D E :A C -^ k .
1769. В треугольнике ABC дано:
АС = 2^3 , А В = 77 , ВС = 1. Вне тре­
угольника взята точка К так, что отре­
зок КС пересекает отрезок А В в точке,
отличной от Б, и треугольник с верши­
нами К ,А и С подобен исходному. Най­
дите угол А-ЙГС, если известно, что угол
КАС — тупой.
1770. Биссектрисы A M и B N тре­
угольника ABC пересекаются в точке
О. Известно, что А О = J s М О , N 0 =
1764. ЧетырехугольникАВСГ)вписан в окружность так, что хорда D E ,
параллельная А В , пересекает ВС. И з­
вестно, что
А С Е = 60° и
ВВС +
+ ЗА CBD = а. Найдите отношение ра­
диуса вписанной в треугольник BCD
окружности к радиусу окружности,
описанной около этого треугольника.
1765. Длина окружности, описан­
ной около равнобедренного треуголь­
ника, в три раза больше длины окруж­
ности, вписанной в этот треугольник.
Найдите углы треугольника.
1766. Сумма сторон А В и ВС тре­
угольника ABC равна 11, /1ABC = 60°.
Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен — . Известно
Л
также, что сторона А В больше стороны
ВС. Найдите высоту треугольника
ABC, опуш,енную из вершины А.
1767. Плош;адь параллелограмма
A B C D равна 80 J s . Расстояние от точ­
ки Q пересечения диагоналей паралле­
лограмма A B CD до центра окружнос­
ти, вписанной в треугольник AQB,
равно 2. Величина yvnaAQB равна 60°,
а угол B AD — тупой. Найдите диаго­
наль АС.
= (л/З - 1)БО. Найдите углы треуголь­
ника ABC.
1771. В ромбе AB CD угол /.ABC =
= 60°. Окружность касается прямой
A D в точке А , центр окружности ле­
жит внутри ромба. Касательные к ок­
ружности, проведенные из точки С,
перпендикулярны. Найдите отноше­
ние периметра ромба к длине окруж­
ности.
1772. В ромбе A B C D угол Z BCD =
= 120°. Окружность касается прямой
ВС в точке С, центр окружности лежит
вне ромба. Касательные к окружнос­
ти, проведенные из точки А, перпенди­
кулярны. Найдите отношение радиуса
окружности к стороне ромба.
1773. Сторона ромбаАВС!) равна а,
а острый угол равен а. На отрезках AD
и ВС построены как на сторонах вне
ромба
правильные
треугольники.
Найдите расстояние между центрами
этих треугольников.
1774. (Теорема Стюарта.) Точка D
расположена на стороне ВС треуголь­
ника ABC. Докажите, что
АВ2 •DC -ЬАС2 ■B D - AD^ •ВС =
= BC D C - BD.
1775. Отрезки, соединяюш,ие осно­
вания высот остроугольного треуголь­
ника, равны 5, 12 и 13. Найдите ради­
ус описанной около треугольника ок­
ружности.
119
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1776. В треугольнике A BC сторона
А В равна 21, биссектриса B D равна
8 j 7 , а DC = 8 . Найдите периметр тре­
угольника ABC.
1777. В треугольнике ЛВС точка D
лежит на стороне ВС, прямая A D пере­
секается с биссектрисой угла АСВ в
точке О. Известно, что точки С, D u О
лежат на окружности, центр которой
находится на стороне АС, АС : А В =
= 3 : 2, а угол DAC в три раза больше
угла DAB. Найдите косинус углаЛС-В.
1778. В треугольнике ABC точка D
лежит на стороне ВС, а точка О — на
отрезке AD . Известно, что точки С, D u
О лежат на окружности, центр кото­
рой находится на стороне АС, 4АС =
= З ^ А В , угол DAC в два раза больше
угла B A D , а угол ОСА в два раза мень­
ше угла ОСВ. Найдите косинус угла
ABC. 1779. Периметр параллелограмма
AB CD равен 26. У го л ABC равен 120°.
Радиус окружности, вписанной в тре­
угольник BCD, равен
. Найдите
стороны параллелограмма, если из­
вестно, что сторона A D больше сторо­
ны АВ.
1780. В прямоугольнике ABCZ) сто­
рона А В втрое больше стороны ВС.
Внутри прямоугольника расположена
точка N , причем AiV = ^2 , B N = 4^/2 ,
D N = 2. Найдите косинус угла B A N и
площадь прямоугольника ABCD.
1781. В трапеции средняя линия
равна 7, высота равна 15л/з , а угол
1783. В треугольнике AB C точка D
лежит на стороне ВС, причем прямая
A D пересекается с биссектрисой угла
АСВ в точке О. Известно, что точки С,
£) и О лежат на окружности, центр ко­
торой находится на стороне АС,
АС : А В = 3 ; 2, а угол DAC в три раза
больше угла DAB. Найдите косинус уг­
ла АСБ.
1784. Внутри треугольника ABC
выбрана точка О так, что радиусы опи­
санных около треугольников АОС и
А О В окружностей равны соответ­
ственно 5 и 4. Известно, что расстоя­
ние между центрами этих окружнос­
тей равно 6 , А В = 6 , АС = 7. Найдите
ОС.
1785. Внутри треугольникаАВС вы­
брана точка О так, что sin Z ВОС = i ,
sin /_АОС = i . Известно, что ВО = 2,
3
ВС = 3, АС = 4. Найдите расстояние
между центрами окружностей, опи­
санных около треугольников АОС и
ВОС.
1786. В равнобедренном треуголь­
нике B CD (ВС = CD) проведена бис­
сектриса B E . Известно, что СЕ = с,
D E = d. Найдите BE.
1787. В окружность радиуса 2
вписан правильный шестиугольник
A B C D E F. Из точки К , лежащей на
продолжении стороны A F так, что
К А < K F и К А = J \ i - 1, проведена
секущая К Н , пересекающая окруж­
ность в точках и Н (рис. 71). Извест­
между диагоналями против основания
равен 120°. Найдите диагонали трапе­
ции.
1782.
В треугольнике AB C извест­
но, что
ВАС = а, АС = Ъ. Вписанная
окружность касается сторон А В и ВС в
точках М и N , биссектриса угла ВАС
пересекает прямую M N в точке К .
Найдите расстояние от точки К до пря­
мой АС.
Р и с . 71
120
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
но, что внешняя часть секущей K N
равна 2 {K N = 2), а угол N F H — тупой.
Найдите угол H K F .
1788. Известно, что в треугольнике
ABC Z. БАС = 75°. А В = 1 , Л С = 7б . На
стороне ВС выбрана точка М так, что
Z В А М = 30°. Прямая A M пересекает
окружность, описанную около тре­
угольника АБС в точке N , отличной от
А. Найдите AiV.
1789. Окружность, проходящая че­
рез вершины А , В и С параллелограм­
ма АВС£), пересекает прямые AZ) и CD
в точках М и N . Точка М удалена от
вершин В , C v iD иа расстояния 4, 3 и 2
соответственно. Найдите M N .
1790. В треугольнике ABC сторона
А В равна 4,
CAB = 30°, а радиус опи­
санной окружности равен 3. Докажи­
те, что высота, опущенная из верши­
ны С на сторону АВ , меньше 3.
1791. Площ адь
прямоугольника
A B C D равна 48, а диагональ равна 10.
На плоскости, в которой расположен
прямоугольник, выбрана точка О так,
что ОВ = O D = 1 3 . Найдите расстояние
от точки О до наиболее удаленной от
нее вершины прямоугольника.
1792. О треугольнике AB C извест­
но, что AB C = а, Z. ВСА = |3, АС = Ъ.
На стороне ВС взята точка D так, что
B D = 3DC. Через точки В и D проведе­
на окружность, касающаяся стороны
АС или ее продолжения за точку А.
Найдите радиус этой окружности.
1793. На стороне угла с вершиной О
взяты точки А и В (А между О и В ) так,
что ОА = ВАВ. Через точки А и В про­
ведена окружность, касающаяся дру­
гой стороны угла в точке D. На луче
O D взята точка Е (D между О и £ ).
Известно, что ОЕ = т, А В О Е = а,
В Е О = р. Найдите радиус окруж ­
ности.
1794. О треугольнике AB C извест­
но, что Z ABC = а, Z АСВ = |3, ВС = а.
На стороне АС взята точка D так, что
A D = 3DC. Через точки А и £) проведе­
на окружность, касающаяся стороны
ВС или ее продолжения за точку В.
Найдите радиус этой окружности.
1795. В круге радиуса 12 хорда
А В = 6 , а хорда ВС = 4. Найдите хорду,
соединяющую концы дуги АС.
1796. В окружность вписана трапе­
ция ABCZ) (AD — большее основание).
Из вершины С проведен перпендику­
ляр к AD , пересекающий окружность
в точке Е. Отношение длины дуги ВС
(не содержащей точки D ) к длине дуги
CDE равно - . Радиус окружности равен высоте трапеции. Найдите отно­
шение A D : ВС.
1797. Найдите радиус наименьше­
го круга, в котором можно разместить
треугольник со сторонами 7, 9 и 12.
1798. Пусть Н — точка пересече­
ния высот треугольника ABC. Дока­
жите, что треугольник с вершинами в
центрах описанных окружностей тре­
угольников в н е , А Н С и А Н В равен
тр еуго л ьнику А В С.
1799. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = 2, АС = 5, ВС = 6 . Найдите
расстояние от вершины В до точки пе­
ресечения высот треугольника ABC.
1800. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. Прямая, проходя­
щая через точку А , вторично пересека­
ет эти окружности в точках С и £), при­
чем точка А лежит между С и D, а хор­
ды АС и A D пропорциональны ради­
усам своих окружностей. Докажите,
что биссектрисы углов ADB и АСВ пе­
ресекаются на отрезке АВ.
1801. Через точку С проведены две
прямые, касающиеся заданной ок­
ружности в точках А и В. На большей
из дуг А В взята точка D , для которой
CD = 2 и sin Z A C D • sin
BCD = | .
3
Найдите расстояние от точки D до хор­
ды АВ.
1802. Из вершины L ромба K L M N
проведена прямая,
пересекающая
прямую K N в точке Р . Диагональ К М
делит в точке Q отрезок L P так, что
LQ : Q P = 9 : 10. Найдите синус угла
121
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
L K N , если треугольник K L P тупо­
угольный, а Z P L M = 60°.
1803. Найдите высоту трапеции, у
которой основания равны а и Ь {а < Ь),
угол между диагоналями равен 90°, а
угол между продолжениями боковых
сторон равен 45°.
1804. Диагональ
АС
квадрата
A B C D совпадает с гипотенузой прямо­
угольного треугольника
причем
точки В к К лежат по одну сторону от
прямой АС. Докажите, что В К =
_ \АК-СК\ ^
_ А К + СК
72
1805. В параллелограмме A B C D
угол BCD равен 150°, а основание A D
равно 8 . Найдите радиус окружности,
касающейся прямой CD и проходящей
через вершину А , а также пересекаю­
щей основание A D на расстоянии 2 от
точки D.
1806. Точки М и N лежат на сторо­
не АС треугольника ABC на расстояни­
ях соответственно 2 и 6 от вершины А.
Найдите радиус окружности, прохо­
дящей через M vlN тлкасающейся пря­
мой А В , если угол ВАС равен 30°.
1807. В треугольнике ABC выпол­
нено соотношение между сторонами
-
ж М -
описанной окружности, если расстоя­
ние от ее центра до точки пересечения
медиан равно d, а сторона А £ равна с.
1808. В остроугольном треугольни­
ке BCD проведена высота СЕ и из точ­
ки Е опущены перпендикуляры Е М и
E N на стороны ВС и CD. Известно, что
СЕ = Ь, M N = а. Найдите угол BCD.
1809. В треугольнике А 5 С даны уг­
лы В и С. Биссектриса внутреннего у г­
ла ВАС пересекает сторону ВС в точке
D , а окружность, описанную около
треугольника ABC, — в точке Е . Най­
дите отношение А_Е : D E .
1810. В равнобедренном треуголь­
нике ABC А В = 120°. Найдите общую
хорду окружности, описанной около
треугольника AB C, и окружности.
проходящей через центр вписаннои
окружности и основания биссектрис
у г л о в А и С, если АС = 1.
1811. В треугольнике ABC извест­
но, что А Б = 20, АС = 24. Известно так­
же, что вершина С, центр вписанного
в треугольник AB C круга и точка пере­
сечения биссектрисы угла А со сторо­
ной ВС лежат на окружности, центр
которой леж ит на стороне АС. Найдите
радиус описанной около треугольника
ABC окружности.
1812. В треугольникеАВ С уголС —
тупой; биссектриса B E угла В делит
сторону АС на отрезки А_Е = 3, ЕС = 2.
Известно, что точка К , лежащая на
продолжении стороны ВС за вершину
С, является центром окружности, про­
ходящей через точки С, £ и точку пе­
ресечения биссектрисы угла В с бис­
сектрисой угла ACJiT. Найдите расстоя­
ние от точки Е до стороны АВ.
1813. Прямоугольный
треуголь­
ник ABC (Z А = 90°) и два квадрата
B EFC и A M N C расположены так, что
точки Е и А лежат по разные стороны
от прямой ВС, а точки М и В — по раз­
ные стороны от прямой АС. Найдите
расстояние между центрами квадра­
тов, если А В = а, АС = Ъ.
1814°. Прямоугольный
треуголь­
ник ABC ( Z A = 90°) и два квадрата
B EFC vlA M N C расположены так, что
точки Е VLА лежат по разные стороны
от прямой ВС, а точки М и В — по одну
сторону от прямой АС (рис. 72). Най-
Р и с . 72
122
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
дите расстояние между центрами
квадратов, если А В = а.
1815. Через вершины А и С тре­
угольника AB C проведена окружность
К , центр которой леж ит на окружнос­
ти, описанной около треугольника
ABC. Окружность К пересекает про­
должение стороны ВА (за точку А ) в
точке М . Найдите угол ВСА, если
М А : А В = 2 : 5 , а Z ABC = arcsin | .
5
1816. В треугольнике ABC угол
AB C равен а, угол ВСА равен 2а. Ок­
ружность, проходящая через точки А ,
С и центр описанной около треуголь­
ника AB C окружности, пересекает сто­
рону А В в точке М . Найдите отноше­
ние A M к А В .
1817. Равнобедренная трапеция с
основаниями A D и ВС (A D > ВС) описа­
на около окружности, которая касает­
ся стороны CD в точке М . Отрезок A M
пересекает окружность в точке N .
Найдите отношение A D : ВС, если
A N : N M = k.
1818. Точка D — центр окружнос­
ти, описанной около остроугольного
треугольника ABC. Окружность, про­
ходящая через точки А , Б и £), пересе­
кает стороны АС и ВС в точках М u N
соответственно. Докажите, что ок­
ружности, описанные около треуголь­
ников AB D и M N C , равны.
1819. На стороне ВС треугольника
BCD взята точка А так, что ВА = АС,
Z CDB = а, г. BCD = р, Б£) = Ь; СЕ —
высота треугольника BCD. Окруж­
ность проходит через точку А и касает­
ся стороны B D в точке Е . Найдите ра­
диус этой окружности.
1820. На окружности, описанной
около треугольника ABC, взята точка
М . Прямая М А пересекается с прямой
ВС в точке L , а прямая С М — с прямой
А В в точке К . Известно, что A L = а,
В К = Ь, С К — с. Найдите B L.
1821. В окружность вписан четы­
рехугольник AB CD , диагонали кото­
рого пересекаются в точке М . Извест­
но, что А В = а, CD = b,Z. A N B = а. Най­
дите радиус окружности.
1822. На одной из сторон угла, рав­
ного а (а < 90°), с вершиной в точке О
взяты точки А и В, причем ОА = а,
ОВ = Ь. Найдите радиус окружности,
проходящей через точки А и Б и ка­
сающейся другой стороны угла.
1823. Внутри треугольника ABC
взята точка К . Известно, что А К = 1,
К С = JS , а углы А К С , А В К и К В С рав­
ны 120°, 15° и 15° соответственно.
Найдите В К .
1824. В остроугольном треугольни­
ке АБС высота A D , медиана B E и бис­
сектриса C F пересекаются в точке О.
Найдите ZL С, если О Е = 20С.
1825. В треугольнике АБС сторона
А В равна
, сторона ВС равна
.
Z
4
Точка М лежит на стороне АВ, точка О
леж ит на стороне ВС, причем прямые
М О и А С параллельны. Отрезок В М в
1,5 раза длиннее отрезка A M . Бис­
сектриса угла ВАС пересекает прямую
М О в точке Р , лежащей между точка­
ми М и О, причем радиус окружности,
описанной около треугольника А М Р ,
равен J 2 + J z . Найдите сторону АС.
1826. В треугольнике АБС отноше­
ние стороны ВС к стороне АС равно 3,
а Z АС Б = а. Из вершины С проведены
два луча, делящие угол АСБ на три
равные части. Найдите отношение от­
резков этих лучей, заключенных вну­
три треугольника АБС.
1827. В треугольнике АБ С на сторо­
не АС взята точка!?. Окружности, впи­
санные в треугольники A B D и BCD,
касаются стороны АС в точках М к N
соответственно. Известно, что A M = 3,
M D = 2, D N = 2, N C = 4. Найдите сто­
роны треугольника АБС.
1828. В треугольнике АБ С на сторо­
не АС взята точка D так, что окружнос­
ти, вписанные в треугольники АБ£) и
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
BCD, касаются. Известно, что A D = 2,
CD = 4, B D = 5. Найдите радиусы ок­
ружностей.
1829. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD проведены диагонали АС и
B D . Известно, что A D = 2, A A B D =
= Z A C D = 90° и расстояние между
центрами окружностей, вписанных в
треугольники A B D и A C D , равно
.
Найдите ВС.
1830. В треугольнике ABC угол
ВСА равен а, а угол ABC равен 2а. Ок­
ружность, проходящая через точки А ,
С и центр описанной около треуголь­
ника AB C окружности, пересекает
продолжение стороны А В (за точку А )
в точке М . Найдите отношение
А М -.А В .
1831. В остроугольном треугольни­
ке AB C высоты пересекаются в точке
М . Площадь треугольника А В М равна
JG . Расстояния от центра окружнос­
ти, описанной около треугольника
ABC, до сторон А С и ВС равны J2 и \
соответственно. Найдите угол С.
1832. Отрезки, соединяющие осно­
вания высот остроугольного треуголь­
ника, равны 8 , 15 и 17. Найдите пло­
щадь треугольника.
1833. Равнобедренные треугольни­
ки ABC (АВ = В С ) и A iB iC j (А^Б^ =
= В ]С {) подобны и АС : А^С^ = 5 : 73 .
Вершины Ах и
расположены соот­
1834. В треугольнике ABC перпен­
дикуляр, проходящий через середину
стороны АВ , пересекает продолжение
стороны ВС в точке М так, что
М С : M B = 1 : 5 . Перпендикуляр, про­
ходящий через середину стороны ВС,
пересекает сторону АС в точке N так,
что A N : N C = 1 : 2 . Найдите углы тре­
угольника ABC.
1835. В выпуклом четырехугольQС
нике A B C D сторона А В равна — , стоо4
рона ВС равна 1 2 , сторона A D равна
64
6
- . Известно, что угол DAB — острый,
4
угол AD C — тупой, причем синус угла
DAB равен | , косинус угла ABC равен
5
65
. Окружность с центром в точке О
касается сторон ВС, CD и A D . Найдите
ОС.
1836. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD отрезок С М , соединяющий
вершину С с точкой М , расположен­
ной на стороне A D , пересекает диаго­
наль B D в точке К . Известно, что
СК : К М = 2 : 1 , CD : D K = 5 : 3 и
Z A B D -t- Z_ A C D = 180°. Найдите отно­
шение стороны А В к диагонали АС.
1837. Докажите, что длину бис­
сектрисы треугольника, проведенной
к стороне, равной а, можно вычислить
по формуле
ветственно на сторонах АС и ВС, а вер­
шина Cl — на продолжении стороны
А В за точку В , причем A j B j перпенди­
кулярна ВС (рис. 73). Найдите угол
ABC.
123
I = ^4р{р-а)Ьс
Ь+ с
гдер^
’
а + Ь+ с
1838.
В остроугольном треугольни­
ке ABC биссектриса A D делит пополам
отрезок О Н , где О — центр описанной
окружности, Н — точка пересечения
высот. Известно, что АС = 2, A D =
= 73 + л/2 - 1. Найдите радиус опи­
санной около треугольника ABC ок­
ружности.
124
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1839. Две окружности радиусов R и
г пересекаются в точках А и В и каса­
ются прямой в точках C vlD . N — точ­
ка пересечения прямых А В и CD (В
между А и Л^). Найдите:
1 ) радиус
окружности, описанной
около треугольникаАС£);
2 ) отношение высот треугольников
N AC и N A D , опущенных из вершины
N.
1840. Точка D леж ит на стороне АС
треугольника ABC. Окружность радио
уса — , вписанная в треугольник ABD,
Л
касается стороны А В в точке М , а ок­
ружность радиуса J z , вписанная в
треугольник BCD, касается стороны
ВС в точке N . Известно, что В М = 6 ,
B N = 5. Найдите стороны треугольни­
ка ABC.
1841. Точка D лежит на стороне АС
треугольника ABC. Окружность S^,
вписанная в треугольник AB D , касает­
ся отрезка B D в точке М ; окружность
S 2 , вписанная в треугольник BCD, — в
точке N . Отношение радиусов окружIT
ностей S j и S 2 равно - . Известно, что
В М = 3, M N = N D = 1. Найдите сторо­
ны треугольника ABC.
1842. В остроугольном треугольни­
ке ABC Z A B C = 7 5 °, а высота, опущен­
ная из вершины этого угла, равна 1 .
Найдите радиус описанной окружнос­
ти, если известно, что периметр тре­
угольника ABC равен 4 +
- J2 .
1843. Докажите формулу Эйлера:
0^0\ =
- 2rR, где О^,
— центры
вписанной и описанной окружностей
треугольника AB C; г, R — радиусы
этих окружностей.
1844. (Теорема Штейнера— Лемуса.)
Докажите, что если две биссектрисы
треугольника равны, то он равнобед­
ренный.
1845. В треугольнике K L M прове­
дена биссектриса M N . Через вершину
М проходят окружность, касающаяся
стороны K L в точке М и пересекающая
сторону К М в точке Р , а сторону L M —
в точке Q. Отрезки К Р , Q M и LQ соот­
ветственно равны k, т к q. Найдите
MN.
1846. В выпуклом четырехуголь­
нике А В К С сторона А В = JS , диаго­
наль ВС равна 1, а углы ABC, В К А и
В К С равны 120°, 30° и 60° соответ­
ственно. Найдите сторону В К .
1847. Два равнобедренных тре­
угольника AB C (АВ = ВС) и M N P
(М Р = N P ) подобны и расположены
так, что точки М , N u P лежат соответ­
ственно на сторонах АВ , ВС и СА. Най­
дите
отношение
М Р : АВ,
если
N C : B N = 2, а угол ВАС равен arctg 4.
1848. Сторона ВС треугольника
ABC равна 4, сторона А В равна 2^19 .
Известно, что центр окружности, про­
ходящей через середины сторон тре­
угольника, леж ит на биссектрисе угла
С. Найдите АС.
1849. В окружности с центром О
проведены параллельные хорды PQ и
RS, диаметр SE и хорда D E . Хорда D E
пересекает хорду PQ в точке F , из точ­
ки F опущен перпендикуляр F H на
SE. Известно, что радиус окружности
равен г, а Е Н = ^ . Найдите расстоя8
ние от середины отрезка ЕО до середи­
ны хорды RQ.
1850. Около окружности описана
равнобедренная трапеция с основа­
ниями AZ) и ВС (A D > ВС). Прямая, па­
раллельная диагонали АС, пересекает
стороныAZ) и CD в точках М u N соот­
ветственно и касается окружности в
точке Р . Найдите углы трапеции, если
МР = k (k < l).
PN
1851.
Около треугольника ABC
описана окружность с центром в точке
О. Касательная к окружности в точке
С пересекается с прямой, делящей по­
полам угол В треугольника, в точке К ,
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
причем угол В К С равен половине раз­
ности утроенного угла А и угла С тре­
угольника. Сумма сторон АС и А В равна 2
^ , а сумма расстояний от точ­
ки О до сторон А С и А В равна 2. Най­
дите радиус окружности.
125
раллельные стороне АС (рис. 74). Най­
дите площадь части треугольника, за­
ключенной между этими прямыми, ес­
ли площадь треугольника А-ВС равна 1.
В
10. П Л О Щ А Д Ь . МЕТОД П Л О Щ А Д Е Й
1852. Докажите, что медиана раз­
бивает треугольник на два равновели­
ких треугольника.
1853. Докажите, что площадь тре­
угольника равна его полупериметру,
умноженному на радиус вписанной
окружности.
1854. Докажите, что площадь тра­
пеции равна произведению средней
линии на высоту.
1855. Точка М делит сторону А В
треугольника A B C в отношении 2 : 5 .
В каком отношении отрезок С М делит
площадь треугольника ABC?
1856. Докажите, что отношение
площадей подобных треугольников
равно квадрату их коэффициента по­
добия.
1857. В треугольнике основание на
4 меньше высоты, а площадь этого тре­
угольника равна 96. Найдите основа­
ние и высоту треугольника.
1858. Какую часть площади, счи­
тая от вершины, отсекает средняя л и ­
ния треугольника?
1859. Проекция диагонали равно­
бедренной трапеции на ее большее ос­
нование равна а, боковая сторона рав­
на Ь. Найдите площадь трапеции, если
угол при ее меньшем основании равен
150°.
1860. Разделите данный треуголь­
ник на три равновеликих треугольни­
ка прямыми, выходящими из одной
вершины,
1861. Через точки М n N , делящие
сторону А В треугольника ABC на три
равные части, проведены прямые, па­
Р и с . 74
1862. Через точку Е, делящую сто­
рону А В треугольника АБС в отноше­
нии — , считая от вершины А , провели
п
прямую, параллельную ВС, В каком
отношении находятся площадь отсе­
ченного треугольника и площадь по­
лучившейся трапеции?
1863. Три средних линии треуголь­
ника разбивают его на четыре части.
Площадь одной из них равна S. Най­
дите площадь данного треугольника.
1864. Сумма двух противополож­
ных сторон описанного четырехуголь­
ника равна 1 0 , а его площадь равна 1 2 .
Найдите радиус окружности, вписан­
ной в этот четырехугольник.
1865. Сумма двух противополож­
ных сторон описанного четырехуголь­
ника равна 1 2 , а радиус вписанной ок­
ружности равен 5. Найдите площадь
четырехугольника.
1866. Каждая из трех окружностей
радиуса г касается двух других. Най­
дите площадь треугольника, образо­
ванного общими внешними касатель­
ными к этим окружностям.
1867. Каждая из трех окружностей
радиуса г касается двух других. Най­
дите площадь фигуры, расположен­
ной вне окружностей и ограниченной
их дугами, заключенными между точ­
ками касания.
126
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1868. Дан треугольник со сторона­
ми 12, 15, 18. Проведена окружность,
касающаяся обеих меньших сторон и
имеющая центр на большей стороне.
Найдите отрезки, на которые центр
окружности делит большую сторону
треугольника.
1869. Катеты прямоугольного тре­
угольника относятся, как 5 : 6 , а гипо­
тенуза равна 122. Найдите отрезки ги­
потенузы, отсекаемые высотой.
1870. В равнобедренном треуголь­
нике угол при вершине равен а, а пло­
щадь равна S. Найдите основание.
1871. Высота, проведенная к осно­
ванию равнобедренного треугольни­
ка, равна h и вдвое больше своей про­
екции на боковую сторону. Найдите
площадь треугольника.
1872. Данный параллелограмм раз­
делите на четыре равновеликих части
прямыми, выходящими из одной вер­
шины.
1873. На сторонах А В и АС тре­
угольника ЛВС, площадь которого
равна 36, взяты соответственно точки
М и К так, что A M : M B = 1 : 3 , а
А К ; К С = 2 : 1 . Найдите площадь тре­
угольника A M К .
1874. На стороне А В треугольника
ABC взяты точки М и N так, что
A M : M N : N B = 2 : 2 :1, а на стороне
А С — точка К так, что А К : К С = 1 : 2 .
Найдите
площадь
треугольника
M N K , если площадь треугольника
ABC равна 1.
1875. На сторонах А В , ВС и АС треугольникаАВС взяты точки C^,A i иВ^
соответственно, причем АС^ : С^В =
=
: A iC = CBi : В^А = 2 : 1 . Найди­
те площадь треугольника
если
площадь треугольника ABC равна 1.
1876. Трапеция разбита диагоналя­
ми на четыре треугольника. Докажи­
те, что треугольники, прилежащие к
боковым сторонам, равновелики.
1877. Боковая сторона треугольни­
ка разделена в отношении 2 : 3 : 4 ,
считая от вершины, и из точек деле­
ния проведены прямые, параллель­
ные основанию. В каком отношении
разделилась площадь треугольника?
1878. Докажите, что если диаго­
наль какого-нибудь четырехугольни­
ка делит другую диагональ пополам,
то она делит пополам и площадь четы­
рехугольника.
1879. Докажите, что прямая, про­
ходящая через середины оснований
трапеции, делит ее на две равновели­
кие части.
1880°. В треугольнике ABC извест­
но, что Z ВАС = а, Z ВСА = у, А В = с.
Найдите площадь треугольника ABC.
1881. Три окружности радиусов 6 ,
7 и 8 попарно касаются друг друга
внешним образом. Найдите площадь
треугольника с вершинами в центрах
этих окружностей.
1882. Из точки А проведены две
прямые, касающиеся окружности ра­
диуса R в точках С VL В так, что тре­
угольник ABC — равносторонний.
Найдите его площадь.
1883. На катете АС прямоугольного
треугольника ABC как на диаметре по­
строена окружность, которая пересе­
кает гипотенузу А В в точке К . Найди­
те площадь треугольника СКВ, если
катет А С равен Ь, а Z ABC = р.
1884. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = ВС) проведена высота
CD. У гол ВАС равен а. Радиус окруж­
ности, проходящей через точки А , С и
D , равен R. Найдите площадь тре­
угольника ABC.
1885. Из точки А , находящейся вне
круга радиуса г, проведены касатель­
ные к окружности А В и АС (В и С —
точки касания), причем Z ВАС = а.
Найдите площадь треугольника АБС.
1886. В прямоугольном треуголь­
нике ABC из вершины В прямого угла
опущена высота B D на гипотенузу АС.
Известно, что А В = 13, B D = 12. Най­
дите площадь треугольника ABC.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1887. В прямоугольном треуголь­
нике АБС из вершины В прямого угла
опущена высота В К на гипотенузу ЛС.
Известно, что А К = 5, А В = 13. Найди­
те площадь треугольника ABC.
1888. На одной стороне угла взяты
точки А и В, на другой — точки С и D.
Найдите геометрическое место точек
М плоскости таких, что треугольники
А В М и C D M равновелики.
1889. Диагональ
прямоугольной
трапеции и ее боковая сторона равны
(рис. 75). Найдите среднюю линию
трапеции, если высота трапеции равна
2 , а боковая сторона равна 4.
1890. Зная большее основание рав­
нобедренной трапеции а, ее высоту h и
угол а при основании, найдите пло­
щадь трапеции.
1891. Средняя линия трапеции рав­
на 1 0 и делит площадь трапеции в от­
ношении 3 : 5 . Найдите основания
трапеции.
1892. Найдите площадь паралле­
лограмма, если одна из его сторон рав­
на 51, а диагонали равны 40 и 74.
1893. Из середины основания тре­
угольника проведены прямые, парал­
лельные боковым сторонам. Докажи­
те, что площадь полученного таким об­
разом параллелограмма равна полови­
не площади треугольника.
1894. Точка X расположена внутри
параллелограмма A B CD . Докажите,
что
S iA B X ) + S {C D X ) =
= S (B C X ) + S (A D X ).
1895. Докажите, что если в трапе­
ции середину М одной боковой сторо­
ны А В соединить с концами другой бо­
127
ковой стороны CD, то площадь полу­
ченного треугольника C M D составит
половину площади трапеции.
1896. Середина одной из диагона­
лей выпуклого четырехугольника со­
единена с концами другой диагонали.
Докажите, что полученная ломаная
делит четырехугольник на две равно­
великие части.
1897. Площ адь треугольника ABC
равна S, /- ВАС = а, АС = Ь. Найдите
ВС.
1898. В треугольнике ABC высота
А Н равна h, А ВАС = а, Z. ВСА = у.
Найдите площадь треугольника ABC.
1899. Около трапеции АВС£) с осно­
ваниями A D и ВС описана окружность
радиуса 6 . Центр этой окружности ле ­
жит на основании AD. Основание ВС
равно 4. Найдите площадь трапеции.
1900. В равнобедренную трапецию
вписан круг. Докажите, что отноше­
ние площади трапеции к площади
круга равно отношению периметра
трапеции к длине окружности.
1901. На окружности радиуса г вы­
браны три точки таким образом, что
окружность оказалась разделенной на
три дуги, которые относятся, как
3 : 4 : 5. В точках деления к окружнос­
ти проведены касательные. Найдите
площадь треугольника, образованного
этими касательными.
1902. Хорды А В и АС равны. Обра­
зованный ими вписанный в окруж­
ность угол равен 30°. Найдите отноше­
ние площади той части круга, которая
заключена в этом угле, к площади все­
го круга.
1903. На основании равносторонне­
го треугольника как на диаметре по­
строена полуокружность, рассекаю­
щая треугольник на две части. Сторо­
на треугольника равна с. Найдите пло­
щадь той части треугольника, которая
лежит вне круга.
1904. Прямая, проходящая через
точки А и В окружности, рассекает ее
на две дуги. Длины этих дуг относятся
128
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
как 1 : 11. В каком отношении хорда
АВ делит площадь круга, ограничен­
ного данной окружностью?
1905. Найдите площадь правиль­
ного шестиугольника, описанного
около окружности, если известно, что
хорда длиной 4 этой окружности уда­
лена от ее центра на 5.
1906. В равнобедренной трапеции
PQ R S диагонали перпендикулярны и
в точке пересечения О делятся в отно­
1912°. В параллелограмме ABCD
угол B A D равен 60°, а сторона А В рав­
на 3. Биссектриса угла А пересекает
сторону ВС в точке Е. Найдите пло­
щадь треугольника А В £ .
1913°. В выпуклом четырехуголь­
нике M N L Q углы при вершинах N и
L — прямые, а угол при вершине М ра­
вен arctg 3. Найдите площадь четы­
рехугольника, если известно, что сто­
рона N L вдвое больше стороны LQ и на
5 больше стороны N M .
шении 1 : V3 . Длина большего основа­
1914°. Периметр ромба равен 48, а
ния P S трапеции равна 1. Найдите
сумма длин диагоналей равна 26. Най­
площадь общей части кругов, описан­
дите площадь ромба.
ных около треугольников PQ O и PO S.
1915. В равнобедренном треуголь­
1907. В равнобедренную трапецию
нике ABC (АВ = ВС) высота А Е = 12, а
с боковой стороной, равной 9, вписана
основание АС = 1 5 . Найдите площадь
окружность радиуса 4, Найдите пло­
треугольника.
щадь трапеции.
1916. В равнобедренном треуголь­
1908. В равнобедренную трапецию
нике ABC с тупым углом А , равным а,
площадью 28 вписана окружность ра­
проведены высоты B N и С М . Найдите
диуса 2. Найдите боковую сторону тра­
отношение площади четырехугольни­
пеции.
ка B M N C к площади треугольника
1909. Точки М к N расположены
ABC.
на стороне ВС треугольника АБ С, а
1917. ДиагоналиАС и B D выпукло­
точка К — на стороне АС, причем
го четырехугольника ABCD, площадь
Е М : M N : N C = 1 : 1 : 2 к СК : А К =
которого равна 28, пересекаются в точ­
= 1 : 4 . Известно, что площадь тре­
ке О. Через середины отрезков ВО и
угольника AB C равна 1. Найдите пло­
DO проведены прямые, параллельные
щадь четырехугольника A/VfTVJsT.
диагонали АС. Найдите площадь час­
1910. Прямые, содержащие боко­
ти четырехугольника, заключенной
вые стороны равнобедренной трапе­
между этими прямыми.
ции, пересекаются под прямым углом
1918. Площ адь данного выпуклого
(рис. 76). Найдите стороны трапеции,
четырехугольника равна S. Найдите
если ее площадь равна 1 2 , а высота
площадь четырехугольника с верши­
равна 2 .
нами в серединах сторон данного.
1919°. Основание
треугольника
равно 36. Прямая, параллельная осно­
ванию, делит площадь треугольника
пополам. Найдите отрезок этой пря­
мой, заключенный между сторонами
треугольника.
1920. На сторонах АВ , ВС и A D па­
раллелограмма A B C D взяты соответ­
1911.
Основание равнобедренногоственно точки К , М п Ь таким образом,
треугольника равно Ь, а высота, опу­
что А К : К В = 2 : 1, В М : М С = 1 : 1,
щенная на боковую сторону, равна h.
A L : L D = 1 : 3 . Найдите отношение
Найдите площадь треугольника.
площадей треугольников K B L и B M L .
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1921°. Через каждую вершину вы­
пуклого четырехугольника проведены
прямые, параллельные диагонали, не
проходящей через эту вершину. Дока­
жите, что площадь полученного таким
образом параллелограмма вдвое больше
площади данного четырехугольника.
1922. В четырехугольнике A B CD
площади треугольников ABC и ACD
равны. Докажите, что диагональ BD
делится другой диагональю пополам.
1923. Около окружности описана
равнобедренная трапеция с боковой
стороной I. Одно из оснований трапе­
ции равно а. Найдите площадь трапе­
ции.
1924. Площ адь
равнобедренной
трапеции, описанной около круга,
равна S. Найдите среднюю линию тра­
пеции, если острый угол при ее основа­
нии равен а.
1925. В равнобедренную трапецию
вписана окружность радиуса R. Верх­
нее основание трапеции в два раза
меньше ее высоты. Найдите площадь
трапеции.
1926. Площ адь
равнобедренной
трапеции, описанной около круга,
равна S, а высота трапеции в два раза
меньше ее боковой стороны. Найдите
радиус круга.
1927. В равнобедренную трапецию,
боковая сторона которой равна 5, а
одно из оснований 2 , можно вписать
окружность. Найдите высоту трапе­
ции.
1928°. На катете ВС прямоугольно­
го треугольника ЛВС как на диаметре
построена окружность, пересекающая
гипотенузу А В в точке К . Найдите пло­
щадь треугольника В С К , если ВС = а,
СА^Ъ.
1929. В окружность вписана трапе­
ция ABCD, причем ее основания А В = 1
и DC = 2. Обозначим точку пересече­
ния диагоналей этой трапеции через
F. Найдите отношение суммы площа­
дей треугольников A B F и C D F к сумме
площадей треугольников AF£) и BCF.
5 С борник задач по геометрии
129
1930°. Найдите площадь трапеции,
если ее диагонали равны 17 и 113, а
высота равна 15.
1931°. Стороны треугольника рав­
ны 10,17 и 21. Найдите высоту, прове­
денную к большей стороне.
1932. В трапеции большее основа­
ние равно 5, одна из боковых сторон
равна 3. Известно, что одна из диаго­
налей перпендикулярна заданной бо­
ковой стороне, а другая делит угол
между заданной боковой стороной и
основанием пополам. Найдите пло­
щадь трапеции.
1933. Одно из оснований трапеции
служ ит диаметром окружности ради­
уса R, а другое является хордой и отсе­
кает от окружности дугу в а радиан
(О < а < п). Найдите площадь трапе­
ции.
1934. Найдите площадь равнобед­
ренного треугольника, если высота,
опущенная на основание, равна 1 0 , а
высота, опущенная на боковую сторо­
ну, равна 1 2 .
1935. В прямоугольный равнобед­
ренный треугольник ABC с прямым
углом при вершине В вписан прямо­
угольник M N K B так, что две его сто­
роны M B и К В леж ат на катетах, а вер­
шина N — на гипотенузе АС. В каком
отношении точка N должна делить ги­
потенузу, чтобы площадь параллело­
грамма составляла 18% площади тре­
угольника?
1936. В треугольнике ABC даны
три стороны: А В = 26, ВС = 30 и АС =
= 28. Найдите часть площади этого
треугольника, заключенную между
высотой и биссектрисой, проведенны­
ми из вершины В.
1937. Данный
параллелограмм
разделите на три равновеликие части
прямыми, выходящими из одной вер­
шины.
1938. Точки M u N принадлежат со­
ответственно сторонам АВ и АС тре­
угольника ABC или их продолжени-
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
130
1945. Боковые стороны трапеции
равны 3 и 5. Известно, что в трапецию
можно вписать окружность. Диагона­
жите, что площади треугольников
ли трапеции делят ее на четыре тре­
A M N и ABC относятся как — : •2-.
п
q
угольника, причем наименьшая из
площадей этих треугольников в 7 раз
1939°. Докажите, что медианы тре­
угольника делят его на шесть равнове­
меньше среднего значения площади.
ликих треугольников.
Найдите основания трапеции.
1940.
Пусть М , N , К к L — середи­ 1946. Дан треугольник со сторона­
ны сторон CD, D A , А В и ВС квадрата
ми 10, 24 и 26. Две меньшие стороны
AB CD , площадь которого равна S
являются касательными к окружнос­
(рис. 77). Найдите площадь четырех­
ти, центр которой лежит на большей
угольника, образованного прямыми
стороне. Найдите радиус окружности.
A M , B N , СК и D L.
1947. В треугольник со сторонами а
и Ь и углом между ними а вписан полу­
круг, диаметр которого лежит на
третьей стороне. Найдите его радиус.
1948. Пятиугольник A B C D E впи­
сан в окружность единичного радиуса.
ям, причем A M ^ т A N _ £_ . ДокаАВ
п
АС
q
1941. Прямая, параллельная осно­
ванию треугольника, делит его на час­
ти, площади которых относятся как
2 : 1 , считая от вершины. В каком от­
ношении она делит боковые стороны?
1942. Через точки R u E , принадле­
жащие сторонам А В и A D параллелоо
грамма ABCD и такие, что A R = - АВ,
О
А Е = - A D , проведена прямая. Найди3
те отношение площади параллело­
грамма к площади полученного тре­
угольника.
1943. В прямоугольном треуголь­
нике ABC с прямым углом В биссект­
риса угла А пересекает сторону ВС в
точке D . Известно, что B D = 4, DC = 6 .
Найдите площадь треугольника ADC.
1944. Отрезок, соединяющий сере­
дины двух противоположных сторон
выпуклого четырехугольника, разде­
л и л его на два четырехугольника,
имеющих равные площади. Докажи­
те, что эти стороны параллельны.
Известно, что А В ^ J2 , А А В Е = 45°,
Z E B D = 30° и ВС = CD. Найдите пло­
щадь пятиугольника.
1949. В прямоугольный треуголь­
ник ABC вписан прямоугольник
D E K M вдвое меньшей площади. Вер­
шины D и Е лежат на гипотенузе ВС,
вершины К и М — на катетах. Найди­
те углы треугольника ABC, если сторо­
на D E прямоугольника относится к
стороне D M , как 5 : 2 .
1950. Дан равнобедренный тре­
угольник ABC, в котором А В = ВС,
Z. A B C = 120°. Расстояние от середины
стороны А В до основания АС равно а.
Найдите площадь круга, вписанного в
треугольник ABC.
1951. Боковые стороны трапеции
равны 3 и 5. Известно, что в трапе­
цию можно вписать окружность.
Средняя линия трапеции делит ее на
две части, отношение площадей кото­
рых равно ^ . Найдите основания тра­
пеции.
1952. Центр О окружности радиуса
3 леж ит на гипотенузе ЛС прямоуголь­
ного треугольника ABC. Катеты тре­
угольника касаются окружности. Най­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
дите площадь треугольника ABC, если
известно, что ОС = 5.
1953. В прямоугольном треуголь­
нике ABC биссектриса прямого угла В
пересекает гипотенузу АС в точке М .
Найдите площадь треугольника ABC,
если расстояние от точки М до катета
ВС равно 4, 8,A M = 5.
1954. В прямоугольном треуголь­
нике ABC биссектриса прямого угла В
пересекает гипотенузу АС в точке М .
Найдите расстояние от точки М до ка­
тета ВС, если катет А В равен 5, а катет
ВС равен 8 .
1955. Прямая делит длину дуги ок­
ружности в отношении 1 : 3. В каком
отношении делит она площадь круга?
1956. Даны две концентрические
окружности. Касательная к меньшей
окружности делит длину дуги боль­
шей окружности в отношении 1 : 5 .
Найдите отношение площадей кругов,
ограниченных этими окружностями.
1957. Дан ромб с острым углом а.
Какую часть площади ромба составля­
ет площадь вписанного в него круга?
1958. В равнобедренной трапеции
A B C D основание A D равно а, основа­
ние ВС равно Ь, А В = d. Через вершину
В проведена прямая, делящая попо­
лам диагональ АС и пересекающая A D
в точке К . Найдите площадь треуголь­
ника B D K .
1959. Площадь
равнобедренной
трапеции равна 32. Котангенс угла
между диагональю и основанием ра­
вен 2. Найдите высоту трапеции.
1960. Внутри прямого угла дана
точка М , расстояния которой от сто­
рон угла равны 4 и 8 . Прямая, прохо­
дящая через точку М , отсекает от пря­
мого угла треугольник площадью 1 0 0 .
Найдите катеты треугольника.
1961. Диагональ равнобедренной
трапеции делит ее тупой угол попо­
лам. Меньшее основание трапеции
равно 3, периметр равен 42. Найдите
площадь трапеции.
131
1962. Основания трапеции равны а
и Ь, углы при большем основании рав­
ны 30° и 45°. Найдите площадь трапе­
ции.
1963. В равнобедренной трапеции
A B C D (рис. 78) боковая сторона А В и
меньшее основание ВС равны 2, а BD
перпендикулярна АВ . Найдите пло­
щадь трапеции.
В_
D
Р и с . 78
1964. Найдите площадь равнобед­
ренной трапеции, зная ее диагональ I и
угол а между этой диагональю и боль­
шим основанием.
1965. Из точки А к окружности с
центром в точке N проведены две каса­
тельные, которые касаются окружнос­
ти в точках В и М . Хорда В М пересе­
кает отрезок N A в точке К . Отрезок N K
7
в - раза меньше отрезка К А ; А В = 4.
4
Найдите площадь треугольника ВАК.
1966. Найдите высоту равнобед­
ренной трапеции, если ее диагонали
взаимно перпендикулярны, а пло­
щадь трапеции равна S.
1967°. В прямоугольном треуголь­
нике ABC расположен прямоугольник
Е К М Р так, что сторона Е К лежит на
гипотенузе ВС, а вершины M vlP — на
катетахАС и А В соответственно. Катет
АС равен 3, а катет А В равен 4. Найди­
те стороны прямоугольника Е К М Р ,
если его площадь равна | , а периметр
и
меньше 9.
1968.
В равносторонний треуголь­
ника ABC вписан прямоугольник
PQ R S так, что основание прямоуголь­
ника R S лежит на стороне ВС, а вер­
шины P n Q — на сторонах А Б и АС со­
132
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ответственно. В каком отношении точ­
ка Q должна делить сторону АС, чтобы
площадь прямоугольника P Q R S составляла
45
— площади треугольника
ABC?
1969. В треугольнике А 6 С сторона
ВС равна 6 , сторона АС равна 5, а угол
при вершине В равен 30°. Найдите
площадь треугольника, если расстоя­
ние от вершины А до прямой ВС мень­
ше чем
.
Л
1970. Найдите площадь треуголь­
ника, если две стороны его соответ­
ственно равны 27 и 29, а медиана
третьей стороны равна 26.
1971. Прямоугольные треугольни­
ка АБС vlA B D имеют общую гипотену­
зу А Б = 5. Точки С vlD расположены по
разные стороны от прямой, проходя­
щей через точки А и Б, ВС = B D = 3.
Точка Е лежит на АС, ЕС — 1. Точка F
лежит на A D , F D = 2. Найдите пло­
щадь пятиугольника EC B DF.
1972°. Диагонали равнобедренной
трапеции перпендикулярны. Найдите
площадь трапеции, если ее средняя
линия равна 5.
1973. Диагональ
равнобедренной
трапеции перпендикулярна боковой
стороне. Найдите острый угол и боль­
шее основание трапеции, если мень­
шее основание равно 3 и высота трапе­
ции равна 2 .
1974. В треугольнике АБС точка D
лежит наАС, причем A D = 2DC. Точка
Е лежит на ВС. Площ адь треугольни­
ка АБ£) равна 3, площадь треугольни­
ка A E D равна 1. Отрезки А Е и B D пе­
ресекаются в точке О. Найдите отно­
шение площадей треугольников А В О
и O ED.
1975. В треугольнике АБС проведе­
ны высоты А Е и CD. Найдите сторону
А Б , если Б£) = 18, DC = 30, А Е = 20.
1976. В равнобедренном треуголь­
нике АБС боковые стороны ВС и АС в
два раза больше основания АБ . Бис­
сектрисы углов при основании пересе­
каются в точке М . Какую часть тре­
угольника АБС составляет площадь
треу гол ьника А М Б ?
1977. Докажите, что площадь вы­
пуклого четырехугольника равна по­
ловине произведения его диагоналей
на синус угла между ними.
1978. В треугольнике АБС проведе­
ны биссектрисы C F и A D . Найдите от­
ношение площадей треугольников
A F D и АБС, если АБ ; АС : ВС =
= 2 1 : 28 : 2 0 .
1979. Найдите площадь трапеции
A B C D (A D II ВС), если ее основания от­
носятся как 5 : 3, а площадь треуголь­
ника A D M равна 50, где М — точка пе­
ресечения прямых А Б и CD.
1980. Основание треугольника рав­
но 2 0 ; медианы, проведенные к боко­
вым сторонам, равны 18 и 24. Найдите
площадь треугольника.
1981. В треугольнике АБС проведе­
ны медианы B D и СЕ; М — их точка
пересечения. Докажите, что треуголь­
ник В М С равновелик четырехуголь­
нику А_ОМ£.
1982. В параллелограмме A B C D на
диагонали АС взята точка Е , где рас­
стояние А Е составляет треть АС, а на
стороне A D взята точка
где расстоя­
ние A F составляет четверть A D . Най­
дите
площадь
параллелограмма
A B C D , если известно, что площадь че­
тырехугольника А Б С £ , где G — точка
пересечения прямой F E со стороной
ВС, равна 8 .
1983. В выпуклом четырехуголь­
нике A C B D , площадь которого равна
25, проведены диагонали. Известно,
что площадь треугольника АБС вдвое
больше площади треугольника АС£), а
площадь треугольника B C D втрое
больше площади треугольника B D A .
Найдите
площади
треугольников
АБС, A C D , A D B и B C D .
1984. В ромбе A B C D , где
BAD =
= 60°, перпендикуляр к стороне A D ,
восставленный из середины A D , пере­
ПЛтШ ИМЕТРИЯ
133
они лежат. Найдите отношение пло­
секает диагональ АС в точке N . Найди­
щади четырехугольника E F P H к пло­
те отношение площади треугольника
щади параллелограмма АБС£).
M N D к площади ромба АВС£).
1985.
В параллелограмме A B CD 1990. В треугольнике АБС проведе­
ны биссектриса B D угла АБС и бис­
(рис. 79) сторона А В равна 6 , а высота,
сектриса
A F угла ВАС (точка D лежит
проведенная к основанию A D , равна 3.
на
стороне
АС, а точка F — на стороне
Биссектриса угла B A D пересекает сто­
ВС).
Найдите
отношение площадей
рону ВС в точке М так, что М С = 4;
треугольников
ABC
и CDF, если из­
N — точка пересечения биссектрисы
вестно,
что
А
Б
=
6
,
ВС
= 4 и А С = 3.
A M и диагонали B D . Найдите площадь
1991.
Через
точку,
взятую на ди­
треугольника B N M .
агонали АС параллелограмма ABCD,
проведены прямые, параллельные его
сторонам. Данный параллелограмм
делится, таким образом, на четыре па­
раллелограмма, из которых два имеют
своими диагоналями части диагонали
АС. Докажите, что два других парал­
Р и с . 79
лелограмма равновелики.
1992. На отрезке, соединяющем се­
1986. В параллелограмме A B C D на
редины оснований трапеции, взята
стороне АВ взята точка М так, что
точка и соединена со всеми вершина­
А В = З А М ; N — точка пересечения
ми трапеции. Докажите, что треуголь­
прямых АС vlD M . Найдите отношение
ники, прилежащие к боковым сторо­
площади треугольника АМ Л" к площа­
нам трапеции, равновелики.
ди всего параллелограмма.
1993. Медианы A N и В М треуголь­
1987. В параллелограмме АБС£) из­
ника
АБС равны 6 и 9 соответственно и
вестно, что А Б = 4 ,A D = 6 . Биссектри­
пересекаются в точке К , причем угол
са угла B A D пересекает сторону ВС в
А К В равен 30°. Найдите площадь тре­
точке М , при этом A M = 4 лУЗ . Найдите
угольника АБС.
площадь четырехугольникаАМ С£).
1994. Из внешней точки А проведе­
1988. Точки Е , F, М расположены
ны к кругу касательная А Б и секущая
соответственно насторонахАБ, ВС, АС
ACD. Найдите площадь треугольника
треу го л ьн ик а А_ВС. ОтрезокА-Е состав­
CBD, если АС : А Б = 2 : 3 и площадь
ляет одну треть стороны А В , отрезок
треугольника АБС равна 20.
B F составляет одну шестую стороны
1995. А Б и CD — две непересекаюВС, отрезок A M составляет две пятых
щиеся хорды, причем и А Б = 120° и
стороны АС. Найдите отношение пло­
иС£) = 90°; М — точка пересечения
щади треугольника E F M к площади
хорд A D и ВС. Найдите площади тре­
треугольника А Б С .
угольников A M В и C M D , если их сум­
1989. А , В , С, D — последователь­
ма равна 1 0 0 .
ные вершины параллелограмма. Точ­
1996. Докажите, что сумма рас­
ки Е , F , Р , Н лежат соответственно на
стояний от любой точки основания
сторонах АБ , ВС, CD, A D . Отрезок А Е
равнобедренного треугольника до бо­
ковых сторон равна высоте этого тре­
составляет | стороны АБ , отрезок B F
угольника, проведенной к боковой
стороне.
составляет ^ стороны ВС, а точки Р и
1997. Докажите, что сумма рас­
стояний от любой точки внутри равно­
Н делят пополам стороны, на которых
134
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
стороннего треугольника до его сторон
равна высоте этого треугольника.
1998. Точка D лежит на стороне СВ
прямоугольного треугольника ABC
(Z С = 90°), причем А В = 5, A A D C =
= arccos
, DB =
. Найдите
Ло
3
площадь треугольника ABC.
1999. Найдите площадь равнобед­
ренного треугольника, если высота,
опущенная на основание, равна 1 0 , а
высота, опущенная на боковую сторо­
ну, равна 1 2 .
2000. В треугольнике ABC биссект­
риса угла ABC пересекает сторону АС в
точке К . Известно, что ВС = 2, К С = 1,
ВК =
. Найдите площадь треуголь-
ника ABC.
2001°. В трапеции A B CD , описан­
ной около окружности, ВС IIA D , А В =
= CD, Z. BAD = 45°. Площадь трапе­
ции равна 10. Найдите АВ .
2002. Площ адь трапеции A B C D с
основаниями A D и ВС (AD > ВС) равна
48, а площадь треугольника АОБ, где
О — точка пересечения диагоналей
трапеции, равна 9. Найдите отноше­
ние оснований трапеции A D : ВС.
2003. Прямая, параллельная сто­
роне А В треугольника ABC, пересека­
ет сторону ВС в точке М , а сторону
АС — в точке N . Площадь треугольни­
ка M C N в два раза больше площади
трапеции AB M iV . Найдите С М : M B .
2004. Около трапеции K L M N опи­
сана окружность, причем основание
K N является ее диаметром. Известно,
что K N = 3, L M = 2. Хорда М Т пересе­
кает диаметр K N в точке S такой, что
K S : S N = 1 : 3 . Найдите площадь тре­
угольника S T N .
2005. В параллелограмме лежат
две окружности, касающиеся друг
друга и трех сторон параллелограмма
каждая. Радиус одной из окружностей
равен 1. Известно, что один из отрез­
ков стороны параллелограмма от вёр-
шины до точки касания равен J s .
Найдите площадь параллелограмма.
2006. В выпуклый четырехуголь­
ник ABCD вписана окружность с цент­
ром в точке О, причем АО = ОС, ВС = 5,
C D = 12, а угол DAB — прямой. Найди­
те площадь четырехугольника ABCD.
2007. В окружность радиуса 13
вписан четырехугольник, диагонали
которого взаимно перпендикулярны.
Одна из диагоналей равна 18, а рас­
стояние от центра окружности до точ­
ки пересечения диагоналей равно
4 л/б . Найдите площадь четырехуголь­
ника.
2008. Даны две непересекающиеся
окружности, к ним проведены общие
касательные, которые пересекаются в
точке А отрезка, соединяющего цент­
ры окружностей (рис. 80). Радиус
меньшей окружности равен R. Рас­
стояние от точки А до центра окруж­
ности большего радиуса равно 6R. Точ­
ка А делит длину отрезка касательной,
заключенного между точками каса­
ния, в отношении 1 : 3 . Найдите пло­
щадь фигуры, ограниченной отрезка­
ми касательных и большими дугами
окружностей, соединяющими точки
касания.
2009.
Равнобедренный
прямо­
угольный треугольник ABC (/ -В —
прямой), площадь которого равна
4 -t- 2л/2 , вписан в окружность. Точка
D лежит на этой окружности, причем
хорда B D равна 2. Найдите хорды AD
и CD.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2010. А , В , С, D — последователь­
ные вершины прямоугольника. Ок­
ружность проходит через А и В и каса­
ется стороны C D в ее середине. Через D
проведена прямая, которая касается
той же окружности в точке Е , а затем
пересекает продолжение стороны А В в
точке К . Найдите площадь трапеции
B C D K , если известно, что А В = 10 и
ч т о К Е : К А = 3 : 2.
2011. Вне прямого угла с вершиной
С, на продолжении его биссектрисы
взята точка О так, что ОС = 72 . С цент­
ром в точке О построена окружность
радиуса 2. Найдите площадь фигуры,
ограниченной сторонами угла и дугой
окружности, заключенной между ни­
ми.
2012. Внутри угла в 120° с верши­
ной С, на его биссектрисе взята точка
О так, что ОС ^ ^ • С центром в точке
О построена окружность радиуса 1.
Найдите площадь фигуры, ограничен­
ной сторонами угла и дугой окружнос­
ти, заключенной между ними.
2013. Дана трапеция A B C D с осно­
ваниями A D и В С . Диагонали АС и B D
пересекаются в точке О, а прямые А В
и C D — в точке К . Прямая К О пересе­
кает стороны В С и A D в точках М и N
соответственно, Z B A D = 30°. Извест­
но, что в трапеции A B M N и N M D C
можно вписать окружности. Найдите
отношение площадей треугольника
В К С и трапеции АВС£).
2014. В треугольнике A B C боковые
стороны А В и В С равны а, уголА В С ра­
вен 120°. В треугольник ABC вписана
окружность, касающаяся стороны АВ
в точке D . Вторая окружность имеет
центром точку В и проходит через точ­
ку D . Найдите площадь той части впи­
санного круга, которая находится вну­
три второго круга.
2015. В треугольнике B C D косинус
у гла B C D равен 2 , В С = 4, CD =
4
8
. Точ-
135
ка А лежит на стороне C D данного тре­
угольника так, что СА = 2. Найдите
отношение площади круга, описанно­
го около треугольника B C D , к площа­
ди круга, вписанного в треугольник
ABD.
2016. В правильном треугольнике
ABC проведена окружность, проходя­
щая через центр треугольника и ка­
сающаяся стороны ВС в ее середине D .
Из точки А проведена прямая, касаю­
щаяся окружности в точке Е так, что
Z В А Е < 30°. Найдите площадь тре­
угольника А В Е , если площадь тре­
угольника ABC равна —
.
4-V2
2017. В треугольнике ABC на сторо­
нах А В и АС выбраны соответственно
точки B i и C l так, что АВ^ : А В = 1 : 3
и АС^ : АС = 1 : 2 . Через точки А , В^ и
C l проведена окружность. Через точку
B i проведена прямая, пересекающая
отрезок A C j в точке D , а окружность —
в точке Е . Найдите площадь треуголь­
ника BjCjjE, если A C j = 4, A D = 1,
D E = 2, а площадь треугольника ABC
равна 1 2 .
2018. В круге радиуса г проведена
хорда длины а. Найдите площадь по­
лучившегося сегмента.
2019. В правильном треугольнике
A B C , сторона которого равна а, прове­
дена высота В К . В треугольники AB1!l
и в е к вписано по окружности и к ним
проведена общая внешняя касатель­
ная, отличная от стороны АС. Найдите
площадь треугольника, отсекаемого
этой касательной от треугольника
ABC.
2020. Найдите площадь треуголь­
ника, если две его стороны равны 1 и
/Дб , а медиана, проведенная к треть­
ей стороне, равна 2 .
2021. Найдите площадь треуголь­
ника, две стороны которого равны 8 и
8 , а медиана, заключенная между ни­
ми, равна 5.
136
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2022. В выпуклом четырехуголь­
нике АВС£) диагонали АС и B D равны
соответственно атл.Ъ. Точки Е , F , G vl
Н — середины сторон соответственно
А В , ВС, CD и DA. Площадь четырех­
угольника jBFGH равна S. Найдите ди­
агонали E G и H F четырехугольника
EFGH.
2023. Отрезки, соединяющие сере­
дины противоположных сторон вы­
пуклого четырехугольника, равны
между собой. Найдите площадь четы­
рехугольника, если его диагонали рав­
ны 8 и 1 2 .
2024. В трапеции A B C D основание
А В равно а, основание CD равно Ъ.
Найдите площадь трапеции, если из­
вестно, что диагонали трапеции явля­
ются биссектрисами углов DAB и ABC.
2025. В равнобедренной трапеции
отрезок, соединяющий середины осно­
ваний, равен 5, а диагонали взаимно
перпендикулярны. Найдите площадь
трапеции.
2026. В равнобедренной трапеции
основания равны 40 и 24, а ее диагона­
ли взаимно перпендикулярны. Найди­
те площадь трапеции.
2027. Расстояния от точки М , ле­
жащей внутри треугольника AB C, до
его сторон АС и ВС соответственно рав­
ны 2 и 4. Найдите расстояние от точки
М до прямой А В , если А В = 10, ВС =
= 17,АС = 21.
2028. На стороне A D ромба ABCD
взята точка М , причем M D = 0,3AD и
В М = М С = 1 1 . Найдите площадь тр>еугольника В С М .
2029. В трапеции A B C D /. BAD =
= 45°, /.A D C — 90°. Окружность,
центр которой леж ит на отрезке A D ,
касается прямых A S , ВС и CD. Найди­
те площадь трапеции, если известно,
что радиус окружности равен R.
2030. В полукруге расположен пря­
моугольник А Б С !) так, что его сторона
А В леж ит на диаметре, ограничиваю­
щем полукруг, а вершины С u D — на
ограничивающей полукруг дуге. Ра­
диус полукруга равен 5. Найдите стоpotibi прямоугольника ABCD, если его
площадь равна 24, а диагональ боль­
ше 8 .
2031. В прямоугольном треуголь­
нике ABC из вершины прямого угла С
проведены биссектриса CL и медиана
С М . Найдите площадь треугольника
АБС, если L M = а, С М = Ъ.
2032. В правильный треугольник
ABC вписан прямоугольный треуголь­
ник M N C так, что вершина прямого
угла N лежит на АС, а вершина М ле­
жит на стороне А В . В каком отноше­
нии точка N должна делить сторону
АС, чтобы площадь треугольника
M N C составляла ^ от площади треУ
угольника АВС7
2033. В прямоугольный равнобед­
ренный треугольник АБС с прямым
углом при вершине В вписан прямо­
угольный треугольник M N C так, что
M N C = 90°, точка N лежит на АС, а
точка М — на стороне АВ. В каком от­
ношении точка N должна делить гипо­
тенузу АС, чтобы площадь треугольО
ника M N C составляла - от площади
О
треугольника АБС?
2034. Около трапеции AjBCD описа­
на окружность, центр которой лежит
на основании A D . Найдите площадь
О
трапеции, если А Б = - , АС = 1.
4
2035. Найдите площадь треуголь­
ника АБС, если АС = 3, ВС = 4, а меди­
аны А К и B L взаимно перпендикуляр­
ны.
2036. Дан параллелограмм ABCD
со сторонами А Б = 2 и ВС = 3. Найдите
площадь этого параллелограмма, если
известно, что диагональ АС перпенди­
кулярна отрезку B E , соединяющему
вершину В с серединой Е стороны AD.
2037. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD биссектриса угла АБС пе­
ресекает сторону A D в точке М , а пер­
пендикуляр, опущенный из вершины
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
А на сторону ВС, пересекает ВС в точке
N так, что B N = N C и A M = 2 M D
(рис. 81). Найдите стороны и площадь
четырехугольника ABCD, если его пе­
риметр равен 5 +
Z A 6 C = 60°.
^ B A D = 90° и
Рис. 81
2038. В трапеции A B C D стороны
ВС n A D параллельны, ВС = a ,A D = Ъ,
Z CAD = а, Z ВАС = р. Найдите пло­
щадь трапеции.
2039. Высота трапеции, диагонали
которой взаимно перпендикулярны,
равна 4. Найдите площадь трапеции,
если известно, что одна из ее диагона­
лей равна 5.
2040. Стороны треугольника равны
13,14 и 15. Найдите радиус окружнос­
ти, которая имеет центр на средней
стороне и касается двух других сторон.
2041. Окружность, центр которой
расположен на стороне треугольника,
касается двух других его сторон, рав­
ных а и 6 . Найдите радиус этой окруж­
ности, если угол между данными сто­
ронами треугольника равен а.
2042. В параллелограмме A B CD
большая сторона A D равна 5. Биссект­
рисы углов А и В пересекаются в точке
М . Найдите площадь параллелограм­
ма, если В М = 2, а cos Z В А М = 0,8.
2043. В равнобедренной трапеции
средняя линия равна а, а диагонали
взаимно перпендикулярны. Найдите
площадь трапеции.
137
2044. Даны отрезки а, Ь к с. С по­
мощью циркуля и линейки постройте
такой отрезок х, что х : а = Ь : с.
2045. У треугольника известны две
стороны а = 2, Ь = 3 и площадь S =
=
. Медиана, проведенная к его
третьей стороне, меньше ее половины.
Найдите радиус описанной около это­
го треугольника окружности.
2046. На боковой стороне А В трапе­
ции A B C D взята такая точка М , что
A M : В М = 2 : 3 . На противоположной
стороне CD взята такая точка N , что
отрезок M N делит трапецию на части,
одна из которых по площади втрое
больше другой. Найдите отношение
CN : DN, еслиB C :A D = 1 :2 .
2047. В трапеции AB C D (ВС II A D )
диагонали пересекаются в точке М ,
ВС = Ъ, A D = а. Найдите отношение
площади треугольника А В М к площа­
ди трапеции ABCD.
2048. Площадь
равнобедренной
трапеции равна J z . У го л между ди­
агональю и основанием на 2 0 ° больше
угла между диагональю и боковой сто­
роной. Найдите острый угол трапе­
ции, если ее диагональ равна 2 .
2049. Пусть г и В — радиусы впи­
санной и описанной окружностей пря­
моугольного треугольника. Докажи­
те, что площадь треугольника равна
г( 2 Д + г).
2050. Треугольник и вписанный в
него ромб имеют общий угол. Стороны
треугольника,
заключающие
этот
угол, относятся как m : п. Найдите от­
ношение площади ромба к площади
треугольника.
2051. В треугольнике ABC проведе­
на прямая D E , параллельная основа­
нию АС. Площадь треугольника ABC
равна 8 , а площадь треугольника DEC
равна 2. Найдите отношение отрезка
D E к основанию треугольника АБС.
2052. В трапеции A_BCD отрезки АБ
и CD являются основаниями. Диаго­
138
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
нали трапеции пересекаются в точке
Е. Найдите площадь треугольника
ВСЕ, если А В = 30, £)С = 24, A D = 3 и
^ DAB = 60°.
2053. В трапеции A B C D основание
А В в три раза больше основания CD.
На основании CD взята точка М так,
что М С = 2 M D . N — точка пересече­
ния прямых В М и АС. Найдите отно­
шение площади треугольника M N C к
площади всей трапеции.
2054. Дан треугольник ABC. На
сторонах А В и ВС взяты точки М vlN
соответственно; А В = ЗАМ, ВС = 5BN.
Отрезки A N и С М пересекаются в точ­
ке О. Найдите отношение площадей
треугольников АОС vlABC.
2055. В параллелограмме A B CD на
диагонали АС взята точка Е так, что
А Е : ЕС = 1 : 3, а на стороне A D взята
такаяT04KaF, ч то А Р : F D = 1 ; 2. Най­
дите
площадь
четырехугольника
A B G E , где G — точка пересечения пря­
мой F E со стороной ВС, если известно,
что площадь параллелограмма A B CD
равна 24.
2056. На стороне А В треугольника
ABC взята точка Е , &на. стороне ВС —
точка D так, что отрезок А £ равен 2, а
отрезок CD равен 1. Прямые A D и СЕ
пересекаются в точке О. Найдите пло­
щадь четырехугольника B D O E, если
каждая из сторон А В и ВС равна 8 , а
сторонаАС равна 6 .
2057. На сторонах выпуклого четырехугольникаАВС£), площадь которо­
го равна 1, взяты точки: К — на A S ,
L — на ВС, М — на CD, N — на A D .
При этом А К -.К В = 2 : 1 , B L : LC =
= 1 : 3 , С М : M D = 1 : 1 , D N :N A = ^
= 1 : 5 . Найдите площадь шестиуголь­
ника AiCLCMA^.
2058. Диагональ трапеции делит ее
площадь в отношении 3 : 7. В каком
отношении разделится площадь этой
трапеции, если из конца меньшего ос­
нования провести прямую, параллель­
ную боковой стороне?
2059. В треугольнике ABC проведе­
ны высоты A D и СЕ. Найдите отноше­
ние площадей треугольников ABC и
A E D , если А В = 6 , АС = 5, СБ = 7.
2060. Известно, что А В — диаметр
окружности; ВС и АС — хорды, при­
чем иБС = 60°; D — точка пересечения
продолжения диаметраАБ и касатель­
ной CD (рис. 82). Найдите отношение
площадей треугольников DCB и DCA.
2061. В треугольнике АБС извест­
но, что А В = 8 , АС = 6 , Z ВАС = 60°.
Найдите биссектрису А М .
2062. Точка D лежит на стороне ВС
равнобедренного треугольника АБС
(АБ = СВ), причем CZ) = | СВ, Z АСБ =
= arccos ^ , A D = ? . Найдите площадь
Л
4
треугольника АБС.
2063. В треугольнике АБС биссект­
риса угла ВАС пересекает сторону ВС в
точке М . Известно, чтоАБ = ВС = 2АС,
A M = 4. Найдите площгда треугольникаАБС.
2064. В трапецию, у которой мень­
шее основание равно 6 , вписана ок­
ружность. Одна из боковых сторон де­
лится точкой касания на отрезки с
длинами 9 и 4. Найдите площадь тра­
пеции.
2065. Наименьший из углов прямо­
угольного треугольника равен а. Ч е­
рез середину меньшего катета п сере­
дину гипотенузы проведена окруж­
ность, касающаяся гипотенузы. Най­
дите отношение площадей круга и тре­
угольника.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2066. Радиус окружности, описан­
ной около прямоугольного треуголь­
ника, относится к радиусу вписанной
в него окружности, как 5 : 2. Найдите
площадь треугольника, если один из
его катетов равен а.
2067. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E диагонали B E и СЕ являются
биссектрисами углов при вершинах В
и С соответственно, / L A = 35°, /LD =
= 145°, а площадь треугольника ВСЕ
равна 11. Найдите площадь пяти­
угольника A B C D E .
2068. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E диагонали A D и B D являются
биссектрисами углов при вершинах А
и В соответственно, Z C = 1 1 5 ° , Z £ =
= 65°, а площадь треугольника A B D
равна 13. Найдите площадь пяти­
угольника A B C D E .
2069. В ромб, одна из диагоналей
которого равна 1 0 , вписан круг ради­
уса 3. Вычислите площадь части ром­
ба, расположенной вне круга. Будет
ли эта площадь больше 9? (Ответ обо­
снуйте.)
2070. В треугольнике F G H угол
G — прямой, FG = 8 , О Н = 2. Точка D
лежит на стороне F H , А и Б — точки
пересечения медиан треугольников
FG D и D G H . Найдите площадь тре­
угольника GAB.
2071. В трапеции B CD E (CD ||B E )
известно, что D E = Ь, а расстояние от
середины отрезка ВС до прямой D E
равно d. Найдите площадь трапеции.
2072. В окружность радиуса
вписана трапеция АВС£), причем ее ос­
нование A D является диаметром, а
угол B AD равен 60°. Хорда СЕ пересе­
кает диаметр A D в точке Р такой, что
А Р : P D = 1 : 3 . Найдите площадь тре­
угольника В Р Е .
2073. Четырехугольник ABCD впи­
сан в круг с центром в точке О;
Z. ВО А = Z COD = 60°. Перпендику­
ляр В К , опущенный из вершины В на
сторону A D , равен 6 ; ВС в три раза
139
меньше A D . Найдите площадь тре­
угольника COD.
2074. На стороне ВС треугольника
ABC как на диаметре построена ок­
ружность, пересекающая стороны АВ
и АС в точках M u N . Найдите площадь
треугольника A M N , если площадь
треугольника ABC равна S, а угол ВАС
равен а.
2075. Окружность радиуса R про­
ходит через вершины А п В треуголь­
ника АБС и касается прямой АС в точ­
ке А. Найдите площадь треугольника
АБС, зная, что Z АБС = Р, Z. САБ = а.
2076. Центр окружности, касаю­
щейся стороны ВС треугольника ABC
в точке В и проходящей через точку А,
лежит на отрезке АС. Найдите пло­
щадь треугольника ABC, если извест­
но, что ВС = 6 и АС = 9.
2077. В треугольнике АБС с пери­
метром 2р сторона АС равна а, острый
угол АБС равен а. Вписанная в тре­
угольник ABC окружность с центром
О касается стороны ВС в точке К . Най­
дите площадь треугольника ВОК.
2078. Окружность, вписанная в
треугольник, точкой касания делит
одну из сторон на отрезки длиной 3 и
4, а противолежащий этой стороне
угол равен 120°. Найдите площадь тре­
угольника.
2079. В параллелограмме ABCD
острый угол равен а. Окружность ра­
диуса г проходит через вершины А, В,
С и пересекает прямые A D и CD в точ­
ках М и N . Найдите площадь тре­
угольника B M N .
2080. Из точки С, лежащей вне ок­
ружности с центром в точке О, прове­
дены два луча, пересекающие окруж­
ность: первый — в точках М и А,
второй — в точках N и D . При этом
точка N лежит между точками Б и С.
У глы М О А и N O B равны 120°. Длина
перпендикуляра N L , опущенного из
точки Л" на прямую АБ , равна 12. Д ли­
на отрезка M N в 5 раз меньше длины
140
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
отрезка А В . Найдите площадь тре­
угольника M N C .
2081. Стороны K N и L M трапеции
K L M N параллельны, причем K N = 3,
а угол М равен 120°. Прямые L M и МЛ"
являются касательными к окружнос­
ти, описанной около треугольника
K L N . Найдите площадь треугольника
KLN.
2082. В параллелограмме A B CD
длина диагонали B D равна 2, угол С
равен 45°, причем прямая CD касается
окружности, описанной около тре­
угольника ABZ). Найдите площадь па­
раллелограмма ABCD.
2083. В треугольнике ABC биссект­
риса угла при вершине А пересекает
сторону ВС в точке М , а биссектриса
угла при вершине В пересекает сторо­
ну АС в точке Р . Биссектрисы A M и Б Р
пересекаются в точке О. Известно, что
треугольник В О М подобен треуголь­
нику Л О Р , ВО = (1 -t- 73 )О Р , ВС = 1 .
Найдите площадь треугольника АБС.
2084. В равносторонний треуголь­
ник AB C, сторона которого равна а,
вписана окружность, касающаяся сто­
роны А Б в точке D . Вторая окруж­
ность, расположенная внутри треугольникаАБС, касается внешним об­
разом первой (вписанной) окружности
в точке К , касается стороны А Б в точке
М и стороны ВС (рис. 83). Найдите
площадь фигуры D K M , ограниченной
меньшей из дуг D K , меньшей из дуг
К М и отрезком M D .
2085. В равнобедренном треуголь­
нике АБС известно, что АС = 4, А В =
= ВС = 6 . Биссектриса угла С пересека­
ет сторону А Б в точке D . Через точку D
проведена окружность, касающаяся
стороны АС в ее середине и пересекаю­
щая отрезок A D в точке Е. Найдите
площадь треугольника DEC.
2086. Из точки А , находящейся на
расстоянии 5 от центра окружности
радиуса 3, проведены две секущие
АЙГС h A L B , угол между которыми ра­
вен 30° (К , С, L , В — точки пересече­
ния секущих с окружностью). Найди­
те площадь треугольника A K L , если
площадь треугольника АБС равна 10.
2087. Основание
АБ
трапеции
A B C D вдвое длиннее основания CD и
вдвое длиннее боковой стороны AD.
Диагональ АС равна а, а боковая сто­
рона ВС равна Ь. Найдите площадь
трапеции.
2088. В параллелограмме со сторо­
нами а и Ь и углом а проведены бис­
сектрисы четырех углов. Найдите пло­
щадь четырехугольника, ограничен­
ного биссектрисами.
2089. Найдите площадь треуголь­
ника, если две его стороны равны 1 и
-УГЗ , а медиана, проведенная к треть­
ей, равна 2 .
2090. Докажите, что площадь пря­
моугольного треугольника с острым
углом в 15° равна | квадрата гипотеО
нузы.
2091. В треугольник со сторонами
10,17 и 2 1 вписан прямоугольник с пе­
риметром 24 так, что одна его сторона
лежит на большей стороне треуголь­
ника. Найдите стороны прямоуголь­
ника.
2092. Найдите площадь трапеции с
основаниями 18 и 13 и боковыми сто­
ронами 3 и 4.
2093. В треугольнике АБС угол В
равен 120°. На стороне А Б взята точка
М , а на стороне ВС — точка N так, что
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
A M = 2 M B , C N = 2BN. Около четырех­
угольника AM iVC описана окружность
радиуса 1. Найдите площадь треуголь­
ника ABC.
2094. В прямоугольном треуголь­
нике АБС (Z. С = 90°) проведены высо­
та CD и медиана СЕ. Площади тре­
угольников Л ВС и C DE равны соответ­
ственно 10 и 3. Найдите АВ.
2095. Периметр
прямоугольного
треугольника AB C { А С = 90°) равен
72, а разность между медианой СК и
высотой С М равна 7. Найдите пло­
щадь треугольника А 6 С.
2096. В круговом секторе ОАВ,
центральный угол которого равен 45°,
расположен прямоугольник К М Р Т .
Сторона К М прямоугольника лежит
на радиусе ОА, вершина Р — на дуге
А В , вершина Т — на радиусе ОВ. Сто­
рона /ГТ на 3 больше стороны К М .
Площадь прямоугольника К М Р Т рав­
на 18. Найдите радиус.
2097. В прямоугольном треуголь­
нике AB C высота, опущенная на гипо­
тенузу АБ , равна а, а биссектриса пря­
мого угла равна Ь. Найдите площадь
треугольника A B C .
2098. Высоты равнобедренного ост­
роугольного треугольника, в котором
А В = ВС, пересекаются в точке О. Най­
дите площадь треугольника ABC, если
АО = 5, а высота A D равна 8 .
2099. Вершины треугольника со­
единены с центром вписанного круга.
Проведенными отрезками площадь
этого треугольника разделилась на
три части; 28, 60 и 80. Найдите сторо­
ны треугольника.
2100. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника равны 1 2 и 18 и пересе­
каются в точке О. Найдите стороны че­
тырехугольника с вершинами в точ­
ках пересечения медиан треугольни­
ков АОБ, в о е , COD h A O D .
2101. Две стороны треугольника
равны 1 0 и 1 2 , а медиана, проведенная
к третьей, равна 5. Найдите площадь
треугольника.
141
2102. В треугольник со сторонами
А В = 4, ВС = 2, АС = 3 вписана окруж­
ность. Найдите площадь треугольника
A M N , где М , N — точки касания этой
окружности со сторонами А В и АС со­
ответственно.
2103. В треугольнике ABC медианы
A M и CL перпендикулярны, ВС = о,
АС = Ь. Найдите площадь треугольни­
ка А В М .
2104. Медианы В К и CL треуголь­
ника ABC пересекаются в точке М под
прямым углом, АС = Ь, А В = с. Найди­
те площадь четырехугольника AK"LM.
2105. В трапеции A B C D (ВС IIA D )
известно, что А В = с и расстояние от се­
редины отрезка CD до прямой А В рав­
но d. Найдите площадь трапеции.
2106. В трапеции A B C D боковая
сторона A D перпендикулярна основа­
ниям и равна 9, CD = 12, а отрезок АО,
где О — точка пересечения диагона­
лей трапеции, равен 6 . Найдите пло­
щадь треугольника ВОС.
2107. Через середину М стороны
ВС параллелограмма ABCD, площадь
которого равна 1, и вершину А прове­
дена прямая, пересекающая диаго­
наль B D в точке О. Найдите площадь
четырехугольника O M C D .
2108. На сторонах А В и A D парал­
лелограмма AB C D взяты точки М к N
так, что прямые М С и N C делят парал­
лелограмм на три равновеликие части.
Найдите M N , если B D = d.
2109. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника равны а и fc, а отрезки,
соединяющие середины противопо­
ложных сторон, равны между собой.
Найдите площадь четырехугольника.
2110. В трапеции AB C D боковая
сторона А В равна основанию ВС,
Z B A D = 60°. Диагональ B D равна 3.
Площадь треугольника A C D относит­
ся к площади треугольника ABC, как
2 : 1 . Найдите все стороны трапеции
A BCD.
2111. В треугольнике AB C угол А
равен 45°, а угол С — острый. Из сере­
142
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
дины стороны ВС опущен перпендику­
ляр N M на сторону АС. Площади тре­
угольников N M C и A B C относятся как
1 : 8 . Найдите углы треугольника ABC.
2112. В трапеции M P Q F основания
M F = 24, P Q = 4. Высота трапеции рав­
на 5. Точка N делит боковую сторону
на отрезки M N и N P . Отрезок M N в
три раза больше отрезка N P . Найдите
площадь треугольника N Q F.
2113. Высота трапеции A B C D рав­
на 7, основания A D и ВС равны соот­
ветственно 8 и 6 . Через точку £ , леж а­
щую на стороне CD, проведена прямая
B E , которая делит диагональ ЛС в точ­
ке О в отношении А О : ОС = 3 : 2 . Най­
дите площадь треугольника ОЕС.
2114. Площадь трапеции равна 3,
основания 1 и 2. Найдите площади
треугольников, на которые трапеция
разделена диагоналями.
2115. В равнобедренном треуголь­
нике AB C (АВ = ВС) биссектрисы B D и
A F пересекаются в точке О. Отноше­
ние площади треугольника DO A к плоО
щади треугольника S O F равно - . Най8
дите отношение
АВ
2116. В выпуклом четырехуголь­
нике AB CD точка L — середина сторо­
ны ВС, точка М — середина A D , точка
N — середина стороны АВ . Найдите
отношение площади треугольника
L M N к площади четырехугольника
A B CD .
2117. В параллелограмме A B C D
(рис. 84), где Z B A D = 60°, А В = 2,
A D = 5, биссектриса угла B A D пересе­
кается с биссектрисой угла AB C в точ­
ке JiC, с биссектрисой угла CDA — в точ­
ке I-, а биссектриса угла BCD пересека­
ется с биссектрисой угла CDA в точке
М , с биссектрисой угла ABC — в точке
N . Найдите отношение площади четы­
рехугольника K L M N к площади па­
раллелограмма ABCD.
2118. В треугольнике со сторонами
а, Ь и с проведены биссектрисы, точки
пересечения которых с противолежа­
щими сторонами являются верши­
нами второго треугольника. Докажи­
те, что отношение площадей этих тре­
угольников равно
^
2аЫ
(а + Ь)(а + с){Ь + с)
_
2119. В трапеции ABCZ) даны осно­
вания A D = 8 и ВС = 4. На продолже­
нии стороны ВС выбрана такая точка
М , что прямая A M отсекает от трапе­
ции треугольник, площадь которого в
четыре раза меньше площади трапе­
ции. Найдите СМ .
2120. В трапеции ABCD даны осно­
вания A D = 12 и ВС = 8 . На продолже­
нии стороны ВС выбрана такая точка
М , что С М = 2,4. В каком отношении
прямая A M делит площадь трапеции
ABCD?
2121. В выпуклом четырехуголь­
нике A B C D диагонали пересекаются в
точке О. Площади треугольников
в о е , COD, A O D равны соответственно
20, 40, 60. Найдите угол ВАО, если из­
вестно, чтоА В = 15,АО = 8 , ауголБ А О
больше 31°.
2122. В треугольнике ABC, пло­
щадь которого равна 1, на медиане В К
взята точка М так, что М К = - В К .
4
Прямая A M пересекает сторону ВС в
точке L . Найдите площадь треуголь­
ника ALC.
2123. На продолжениях медиан
А К , B L и С М треугольника ABC взяты
точки Р , Q и R так, что К Р
\а к .
LQ = ^ B L и M R = i C M . Найдите плоА
^
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
щадь треугольника PQ R , если пло­
щадь треугольника AB C равна 1.
2124. Дан треугольник ABC, пло­
щадь которого равна 1. На медианах
А К , B L и C N взяты точки P , Q u R так,
что А Р : Р К = 1 :1 , B Q -.Q L ^ 1 : 2,
CR : R N = 5 : 4 . Найдите площадь тре­
угольника PQ R .
2125. На сторонах А В и A D парал­
лелограмма A B C D взяты соответ­
ственно точки Е и F так, что отрезок
E F параллелен диагонали BD. Дока­
жите, что площади треугольников
ВСЕ и C DF равны.
2126. Докажите, что если два вы­
пуклы х четырехугольника располо­
жены так, что середины их сторон сов­
падают, то их площади равны.
2127. Докажите, что если а и Ь —
две стороны треугольника, у — угол
между ними, I — биссектриса этого уг2аЬ cos ^
ла, то Z= ----------- .
а+ Ь
2128. Около трапеции описана ок­
ружность. Основание составляет с бо­
ковой
стороной
угол
а,
а
с
диагональю — угол р. Найдите отно­
шение площади круга к площади тра­
пеции.
2129. В прямоугольной трапеции
A B C D основание А В в 1,5 раза больше
диагонали А С. У глы BAD и AD C —
прямые. У го л D CA равен углу ВСА.
Боковая сторона A D равна 4. Найдите
площадь трапеции АВСХ).
2130. Равнобедренная трапеция, у
которой угол при основании равен 60°,
описана около окружности. В каком
отношении прямая, соединяющая
точки касания окружности с боковы­
ми сторонами, делит площадь трапе­
ции?
2131. В треугольнике длины сторон
относятся как 2 : 3 : 4. В него вписан
полукруг с диаметром, лежащим на
большей стороне. Найдите отношение
площади полукруга к площади тре­
угольника.
143
2132. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке А.
Через точку В на их общей касатель­
ной А В проведены две прямые, одна из
которых пересекает первую окруж­
ность в точках М и N , а другая — вто­
рую окружность в точках Р и Q. И з­
вестно, что А В = 6 , В М = 9, В Р = 5.
Найдите отношение площадей тре­
угольников M N O и PQO, где точка
О — точка пересечения прямых N P и
NQ .
2133. Окружность С2 расположена
внутри окружности C l и касается ее в
точке Р . Секущая M N окружности
(М , N 6 C l) и секущая S T окружности
С2 (S, Т е Cg) пересекаются в точке Q,
причем PQ является касательной к ок­
ружности Cj. Отрезки N S и Т М пере­
секаются в точке О. Площадь тре­
угольника M O N в 16 раз больше пло­
щади треугольника O TS. Найдите
отрезок PQ, если SQ = 9, M Q = 6 и
TQ > SQ, N Q > M Q .
2134. В трапеции A B C D боковая
сторона А В перпендикулярна основа­
ниям и равна 6 . ОснованиеАО равно 8 ,
а отрезок D O , где О — точка пересече­
ния диагоналей трапеции, равен 6 .
Найдите площадь треугольника COD.
2135. В треугольнике PQR сторона
PQ не больше, чем 9, а сторона PR не
больше, чем 12. Площадь треугольни­
ка не меньше, чем 54. Найдите длину
его медианы, проведенной из верши­
ны Р.
2136. В треугольнике ABC точка D
лежит на АС, причем A D = 2DC. Точка
Е леж ит на ВС. Площ адь треугольни­
ка ABZ) равна 3, площадь треугольни­
ка A E D равна 1. Отрезки А Е и B D пе­
ресекаются в точке О . Найдите отно­
шение площадей треугольников АВО
и OED.
2137. Продолжения стороны L M за
точку М и стороны K N за точку N
выпуклого четырехугольника K L M N
пересекаются в точке Р , K N = N P
144
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
(рис. 85). Площади треугольников
K L M и K M N равны соответственно 2
и 1. Отрезки К М и L N пересекаются в
точке R. Найдите L R , если R N = | .
Р и с . 85
2138. Дан ромб A B C D с тупым уг­
лом при вершине А . На продолжении
стороны A D за точку D взята точка К .
Отрезки В К и CD пересекаются в точке
L. Найдите площадь треугольника
А В К , если B L = 2, K L = 5, а высота
ромба равна 1 .
2139. Медиана A D и высота СЕ рав­
нобедренного треугольника AB C (АВ =
= В С ) пересекаются в точке Р . Найди­
те площадь треугольника ABC, если
СР = 5,
= 2.
2140. Медиана A M и биссектриса
CD
прямоугольного
треугольника
AB C (/LB = 90°) пересекаются в точке
О. Найдите площадь треугольника
ABC, если СО = 9, O D = 5.
2141. Через вершины А , В и С тра­
пеции A B C D (A D II В С) проведена ок­
ружность. Известно, что окружность
касается прямой CD, а ее центр лежит
на диагонали АС. Найдите площадь
трапеции ABCD, если ВС = 2, A D = 8 .
2142. Окружность с центром О про­
ходит через вершину В ромба A B C D и
касается лучей СВ и CD. Найдите пло­
щадь ромба, если D O = - , ОС = - .
4
4
2143. В окружность вписан четы­
рехугольник A B C D , причем А В явля­
ется диаметром окружности. Диагона­
ли АС и B D пересекаются в точке М .
О
Известно, что ВС = 3, С М = - , а пло4
щадь треугольника ABC втрое больше
площади треугольника ACD. Найдите
AM.
2144. В треугольнике ABC извест­
ны стороны: А В = 6 , ВС = 4, АС = 8 .
Биссектриса угла С пересекает сторо­
ну А В в точке D. Через точки А , D и С
проведена окружность, пересекающая
сторону ВС в точке Е. Найдите пло­
щадь треугольника A D £ .
2145. Отрезок А В есть диаметр кру­
га, а точка С леж ит вне этого круга. От­
резки АС и ВС пересекаются с окруж­
ностью в точках D u M соответственно.
Найдите угол CBD, если площади тре­
угольников D C M к А С В относятся как
1 : 4.
2146. На стороне ВС треугольника
ABC как на диаметре построена ок­
ружность, пересекающая отрезок А В в
точке D . Найдите отношение площа­
дей треугольников ABC и BCD, если
известно, что АС = 15, ВС = 20 и
А А В С = Z.A C D .
2147. Окружность касается пря­
мых А В и ВС соответственно в точках
D и Е. Точка Л лежит между точками
B u D , а точка С — между точками В и
Е. Найдите площадь треугольника
ABC, если А В = 13, АС = 1, а точки А,
D , ЕтлС лежат на одной окружности.
2148. В трапецию A B C D с основа­
ниями ВС W.AD и боковыми сторонами
А В и CD вписана окружность с цент­
ром О. Найдите площадь трапеции,
если угол D AB — прямой, ОС = 2,
OD=4.
2149. Две окружности разных ра­
диусов касаются в точке А одной и той
же прямой и расположены по разные
стороны от нее. Отрезок А В — диаметр
меньшей окружности. Из точки В про­
ведены две прямые, касающиеся боль­
шей окружности в точках M u N . Пря­
мая, проходящая через точки М т
л.А,
пересекает меньшую окружность в
145
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точке К . Известно, что длина отрезка
М К равна ^2 + J s , а угол В М А равен
15°. Найдите площадь фигуры, огра­
ниченной отрезками касательной В М ,
B N и той дугой M N большей окруж­
ности, которая не содержит точку Л.
2150. Две окружности, радиусы ко­
торых равны R u r , расположены одна
вне другой. Отрезки общих внутрен­
них касательныхЛС и B D (А, B ,C ,D —
точки касания) равны а. Найдите пло­
щадь четырехугольника АВС£).
2151. Площадь круга, описанного
около равнобедренного треугольника,
в 36 раз больше площади вписанного
круга. Найдите углы треугольника.
2152. Около окружности радиуса R
описан параллелограмм. Площадь че­
тырехугольника с вершинами в точ­
ках касания окружности и паралле­
лограмма равна S. Найдите стороны
параллелограмма.
2153. Около окружности радиуса R
описана трапеция A B C D , меньшее ос­
нование ВС которой равно а. Пусть
Е — точка касания окружности со сто­
роной А В и отрезок B E равен Ь. Найди­
те площадь трапеции.
2154. Окружность касается сторон
А В и A D прямоугольника A B C D и пе­
ресекает сторону DC в единственной
точке F и сторону ВС в единственной
точке Е . Найдите площадь трапеции
A FC B , если А В = 32, AD== 40 и В Е = 1.
2155. Дан треугольник ABC. Из
вершины А проведена медиана A M , а
из вершины В — медиана В Р . Извест­
но, что угол А Р В равен у глу В М А . К о­
синус угла АСВ равен 0,8 и В Р = 1.
Найдите площадь треугольника ABC.
2156. В треугольнике ABC биссект­
риса А К перпендикулярна медиане
В М , а угол AB C равен 120°. Найдите
отношение площади треугольника
ABC к площади описанного около это­
го треугольника круга.
2157. Прямоугольный
треуголь­
ник с острым углом а расположен вну­
три окружности радиуса г так, что ги­
потенуза является хордой окружнос­
ти, а вершина прямого угла лежит на
диаметре, параллельном гипотенузе.
Найдите площадь треугольника.
2158. Даны два одинаковых касаю­
щихся круга. Отношение расстояния
между их центрами к радиусу равно
2т. Третий круг касается внешним об­
разом первых двух и их общей каса­
тельной. Найдите отношение площади
общей части первых двух кругов к
площади третьего круга.
2159. Точка О — центр окружнос­
ти, вписанной в равнобедренный тре­
угольник ABC (АВ = ВС). Прямая АО
пересекает отрезок ВС в точке М . Най­
дите углы и площадь треугольника
ABC, если АО = 3, О М = I I .
2160. В квадрате A B C D площади 1
сторона A D продолжена за точку D и
на продолжении взята точка О на рас­
стоянии 3 от точки D (рис. 8 6 ). Из точ­
ки О проведены два луча. Первый луч
пересекает отрезок CD в точке М и от­
резок А В в точке N , причем отрезок
O N равен а. Второй луч пересекает от­
резок CD в точке L и отрезок ВС в точке
К , причем Z B K L = а. Найдите пло­
щадь многоугольника B K L M N .
К
0
D
Р и с . 86
2161. Найдите площадь трапеции с
основаниями 11 и 4 и диагоналями 9 и
12 .
2162. Вычислите площадь трапе­
ции, параллельные стороны которой
равны 16 и 44, а непараллельные — 17
и 25.
2163. Вычислите площадь трапе­
ции по разности оснований, равной 14,
146
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
и двум непараллельным сторонам,
равным 13 и 15, если известно, что в
трапецию можно вписать окружность.
2164. Найдите площадь трапеции,
диагонали которой равны 7 и 8 , а
основания — 3 и 6 .
2165. Найдите площадь треуголь­
ника, если две его стороны равны 35 и
14, а биссектриса угла между ними
равна 1 2 .
2166. В трапеции A B C D углы А и D
при основании A D соответственно рав­
ны 60° и 30°. Точка N лежит на основа­
нии ВС, причем B N : N C = 2. Точка М
лежит на основании A D , прямая M N
перпендикулярна основаниям трапе­
ции и делит ее площадь пополам. Най­
дите отношение A/Vf : M D .
2167. Радиус окружности, вписан­
ной в треугольник, равен 2. Точка ка­
сания этой окружности делит одну из
сторон на отрезки длиной 4 и 6 . Опре­
делите вид треугольника и вычислите
его площадь.
2168. В трапеции основания равны
5 и 15, а диагонали — 12 и 16. Найдите
площадь трапеции.
2169°. Дан треугольник ABC. Ок­
ружность радиуса R касается прямых
А В и ВС в точках А и С соответственно
и пересекает медиану B D в точке L
АО = ОБ = 5 и O D = УТз . Найдите пло­
щадь квадрата.
2174. В прямоугольном треуголь­
нике AB C проведена биссектриса пря­
мого угла CL. Из вершины А (Z. А >
> 45°) на CL опущен перпендикуляр
A D . Найдите площадь треугольника
ABC, если A D = а, CL = Ъ.
2175. Внутри прямоугольного тре­
угольника AB C (угол В — прямой) взя­
та точка D так, что площади треуголь­
ников АВ£) и B CD соответственно в три
и четыре раза меньше площади тре­
угольника ABC. Отрезки A D и DC рав­
ны соответственно а и с. Найдите отре­
зок B D.
2176. В правильном треугольнике
ABC со стороной а точки E m D — сере­
дины сторон ВС и А С соответственно.
Точка F лежит на отрезке DC, отрезки
B F и D E пересекаются в точке М . Най­
дите M E , если известно, что площадь
четырехугольника A B M D составляет
так, что B L = I B D. Найдите площадь
I площади треугольника ABC.
У
О
треугольника.
2170. В параллелограмме AB CD
биссектриса угла А пересекает сторону
ВС в точке М , а биссектриса угла С пе­
ресекает сторону A D в точке N . П ло ­
щадь четырехугольника, образован­
ного пересечением биссектрис A M и
C N с отрезками B N и D M , равна 1,2.
Найдите
углы
параллелограмма
AB C D , если А В = S ,A D = 5.
2171. В окружность диаметра 1
вписан четырехугольник AB CD , у ко­
торого угол D — прямой, А В = ВС.
Найдите площадь четырехугольника
A B C D , если его периметр равен
2172. Найдите площадь трапеции,
диагонали которой равны 3 и 5, а сред­
няя линия равна 2 .
2173. В плоскости даны квадрат с
последовательно
расположенными
вершинами А , В , С, D и точка О, ле ­
жащая вне квадрата. Известно, что
5
.
2177. В ромбе A B C D со стороной а
угол при вершине А равен 60°, точки Е
и F — середины сторон А В и CD соот­
ветственно. Точка К леж ит на стороне
ВС, отрезки А К и E F пересекаются в
точке М . Найдите длину отрезка М К ,
если известно, что площадь четырехО
угольника МА'С^'составляет - площаО
ди ромба ABCD.
2178. В ромбе A B C D со стороной а
угол при вершине А равен 120°, точки
Е и F лежат на сторонах ВС h A D соот­
ветственно. Отрезок E F и диагональ
ромба АС пересекаются в точке М .
Площади четырехугольников В Е РА и
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
E C D F относятся, как 1 : 2 . Найдите
ЕМ.
2179. Докажите, что медиана A M
треугольника A B C делит пополам лю ­
бой отрезок с концами н аА В и АС, па­
раллельный стороне ВС.
2180. В окружность радиуса R впи­
сан четырехугольник A B C D , Р — точ­
ка пересечения его диагоналей, А В =
= CD = 5 ,A D > ВС. Высота, опущенная
из точки В на сторону A D , равна 3, а
147
надлежит отрезку А В и АС : CR = 2 : 1
(рис. 87). Найдите отношение площади
четырехугольника P Q S T к площади
треугольника ABC, если S и Т являют­
ся точками пересечения прямой BR с
прямыми LQ и А Р соответственно.
рс
площадь треугольника A D P равна — .
Найдите стороны A D , ВС и радиус ок­
ружности R.
2181. В прямоугольном треуголь­
нике AB C точки D и Е лежат соответ­
ственно на катетах ВС и А С так, что
CD = СЕ = 1. Точка О есть точка пере­
сечения отрезков A D и B E . Площадь
треугольника B O D больше площади
треугольника А О Е на | . Кроме того.
известно, что A D = УТО . Найдите ги­
потенузу АВ .
2182. В треугольнике ABC точка
О — центр описанной окружности,
точка R леж ит на отрезке ВС и B R =
RC. Описанная около треугольника
BRO окружность пересекает А В в точ^
ке Т. Найдите площадь треугольника
ABC, если Z B O R = 30°, R T = 8 , Б Т = 6 .
2183. Две прямые, параллельные
основаниям трапеции, делят каждую
из боковых сторон на три равные час­
ти. Вся трапеция разделена ими на три
части. Найдите площадь средней час­
ти, если площади крайних
и ,8 2 .
2184. Площади треугольников, об­
разованных отрезками диагоналей
трапеции и ее основаниями, равны
и S 2 . Найдите площадь трапеции.
2185. Точки Р и Q расположены на
стороне ВС треугольника ABC так, что
Б Р : Р С = 1 : 2 h 5 Q : Q C = 4: 1.ТочкаД
расположена на продолжении стороны
АС, а точка L является серединой той
же стороны. При этом точка С при­
2186. Площадь треугольника M N P
равна 7. Через точку Q на стороне M N
проведена прямая, параллельная сто­
роне М Р и пересекающая сторону N P
в точке R. На отрезке QR взяты точки
А и В. Найдите площадь треугольника
N A B , если известно, что QR : М Р =
= QA : QB = 1 : 5 и прямая N B прохо­
дит через точку пересечения прямых
M RuQ P.
2187. Докажите, что если диагона­
ли выпуклого четырехугольника рав­
ны, то его площадь равна произведе­
нию длин отрезков, соединяющих се­
редины противоположных сторон.
2188. В треугольнике ABC, пло­
щадь которого равна S, проведены
биссектриса СЕ и медиана B D , пересе­
кающиеся в точке О. Найдите пло­
щадь четырехугольника ADOJS, зная,
что ВС = а, АС = Ь.
2189. В параллелограмме ABCD
точка £ делит пополам сторону CD,
биссектриса угла AB C пересекает в
точке О отрезок А Е . Найдите площадь
четырехугольника ОВСЕ, зная, что
A D = а, D E = Ь, /. А В О = а.
2190. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD точка Е — пересечение ди­
агоналей. Известно, что площади тре­
угольников А В Е и CDE равны между
собой, диагональ АС является биссект­
рисой угла А , А В = 4. Найдите ВС.
148
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2191. В треугольнике ABC из вер­
шины А проведена прямая, пересе­
кающая сторону ВС в точке D, находя­
щейся между точками В и С, причем
^
ВС
= а Г а < i ) . На стороне ВС между
V
2J
точками В и £) взята точка Е и через
нее проведена прямая, параллельная
стороне АС и пересекающая сторону
АВ в точке F. Найдите отношение пло­
щадей трапеции ACJSF и треугольника
ADC, если известно, что CD = DE.
2192. В треугольнике AB C из точки
Е стороны ВС проведена прямая, па­
раллельная высоте BD и пересекаю­
щая сторону ЛС в точке F. Отрезок EF
делит треугольник ABC на две равно­
великие фигуры. Найдите EF, если
B£) = 6 , A D : £ ) C = 2 : 7 .
2193. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = АС) проведены бис­
сектрисы AAi, ВВ^ и CCj. Площадь
треугольника ABC относится к площа­
ди треугольникаЛ^Б^С^ как 9 : 2. Най­
дите отношение периметра треуголь­
ника А^Б^С^ к периметру треугольни­
ка ABC.
2194. В треугольнике AB C на сторо­
не АС взята точка М , а на стороне
ВС — точка
Отрезки A/V и Б М пере­
секаются в точке О. Найдите площадь
треугольника CMN, если площади
треугольников ОМА, ОАВ и OBN соот­
ветственно равны S j, § 2 и S 3 .
2195. В треугольнике ABC на сторо­
не А В взята точка 1(Гтак, что АЙГ : ВК =
= 1 ; 2, а на стороне ВС взята точка L
так, что CL : BL = 2 : 1 . Пусть Q — точ­
ка пересечения прямых A L и СК. Най­
дите площадь треугольника ABC, если
дано, что площадь треугольника BQC
равна 1 .
2196. В треугольнике ABC, пло­
щадь которого равна 6 , на стороне АС
взята точка К , делящая эту сторону в
отношении А К ": ВК = 2 : 3, а на сторо­
не АС взята точка L , делящая АС в от­
ношении A L : LC = 5 : 3 . Точка Q пере­
сечения прямых СК и BL отстоит от
прямой А В на расстоянии 1,5. Найди­
те сторону АВ .
2197. Диагональ
КМ
трапеции
K L M N в три раза больше отрезка К Р
этой диагонали. Основание K N трапе­
ции в три раза больше основания L M .
Найдите отношение площади трапе­
ции K L M N к площади треугольника
K P R , где R — точка пересечения пря­
мой P N и стороны K L .
2198. Дана трапеция AB CD с осно­
ваниями A D = 3
и ВС = V39 . Кро­
ме того, дано, что угол BAD равен 30°,
угол ADC равен 60°. Через точку D
проходит прямая, делящая трапецию
на две равновеликие фигуры. Найдите
отрезок этой прямой, находящийся
внутри трапеции.
2199. На стороне А В треугольника
ABC между точками А и Б взята точка
D так, что A D : А В = а (а < 1); на сторо­
не ВС между точками В и С взята точка
Е так, что B E : ВС = Р (Р < 1). Через
точку Е проведена прямая, параллель­
ная стороне АС и пересекающая сторо­
ну А В в точке F . Найдите отношение
площадей треугольников B D E и B EF.
2200. Дана трапеция ABCZ). Парал­
лельно ее основаниям проведена пря­
мая, пересекающая боковые стороны
трапеции А В и CD соответственно в
точках Р и Q, а диагонали АС и B D — в
точках L u R соответственно. Диагона­
ли А С и B D пересекаются в точке О.
Известно, что ВС = a ,A D = Ь, а площа­
ди треугольников ВОС и LO E равны.
Найдите отрезок PQ , если точка L ле­
жит между точками А и О.
2201. В треугольнике ABC медиана
A D и биссектриса B E перпендикуляр­
ны и пересекаются в точке F . Извест­
но, что площадь треугольника B EF
равна 5. Найдите площадь треуголь­
ника ABC,
2202. В треугольнике ABC проведе­
ны две высоты В М и C N, причем
A M : С М = 2 : 3 . Найдите отношение
площадей треугольников B M N иАВС,
если острый угол ВАС равен а.
149
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2203. В треугольнике ABC на сторо­
не А В взята точка^Г так, что АК" : В К =
= 1 : 2, а на стороне В С взята точка L
так, что C L : B L = 2 : 1 . Точка Q — точ­
ка пересечения прямых A L и С К . Най­
дите площадь треугольника ABC, если
известно, что площадь треугольника
BQ C равна 1.
2204. На сторонах АВ , В С , C D и A D
квадрата A B C D со стороной 1 (или на
их продолжениях за точки А , B , C u D )
расположены соответственно точки Р ,
Q, JR и S так, что А Р : Р В = B Q : QC =
= R C : D R — D S : S A = 1 : 3 . Отрезки
A Q , B R , SC и D P ограничивают четы­
рехугольник K L M N . Найдите его пло­
щадь.
2205. Каждая сторона треугольни­
ка поделена на три равные части. Точ­
ки деления служат вершинами двух
треугольников, пересечение кото­
рых — шестиугольник. Найдите пло­
щадь этого шестиугольника, если пло­
щадь данного треугольника равна S.
2206. В трапеции A B C D , в которой
В С и A D — основания, диагональ АС
является биссектрисой угла B A D , рав­
ного 120°. Радиус окружности, опи­
санной около треугольника A B D , ра­
вен -Уз . Диагонали А С и B D пересека­
ются в точке О. Площади треугольни­
ков A O D и в о е относятся как 4 : 1 .
Найдите все стороны трапеции ABCD.
2207. Точка М леж ит внутри рав­
ностороннего треугольника A B C . Вы­
числите площадь этого треугольника,
если известно, что A M = В М = 2, а
С М = 1.
2208. Площ адь треугольника ABC
равна S. У глы САВ, AB C и А С В равны
а, Р и у. Найдите высоты треугольника.
2209. В треугольник AB C вписана
окружность, которая касается сторо­
ны А В в точке D , а стороныАС — в точ­
ке Е . Найдите площадь треугольника
A D E , если известно, что отрезок A D
равен 6 , отрезок £ С равен 2, а угол ВСА
равен 60°.
2210. В трапеции A B C D основание
A D равно 16, сумма диагоналей АС и
B D равна 36. угол CAD равен 60°. От­
ношение площадей треугольников
A O D и в о е , где О — точка пересече­
ния диагоналей, равно 4. Найдите пло­
щадь трапеции.
2211. В прямоугольном треуголь­
нике AB C с прямым углом С, углом В ,
равным 30°, и катетом СА = 1, проведе­
на медиана C D . Кроме того, из точки D
под углом 15° к гипотенузе проведена
прямая, пересекающая отрезок В С в
точке F . Найдите площадь треуголь­
ника C D F . Укажите ее приближенное
значение в виде десятичной дроби с
точностью до 0 , 0 1 .
2212. В равносторонний треуголь­
ник AB C со стороной, равной 8 , вписан
прямоугольный треугольник А^Б^С^
таким образом, что вершина прямого
угла C l является серединой стороны
АВ , а один из катетов образует со сто­
роной А В угол 15° (рис. 8 8 ). Найдите
площадь треугольника А^В^С^. Ука­
жите приближенное значение в виде
десятичной дроби с точностью до 0 ,0 1 .
Р и с . 88
2213. Найдите площадь трапеции,
у которой основания равны 1 0 и 26, а
диагонали перпендикулярны боко­
вым сторонам.
2214. В окружность с центром О
вписана трапеция ABCZ), в которойАО
параллельно В С , A D = 7, В С = 3,
Z B C D = 120°. Хорда В М окружности
пересекает отрезок A D в точке N такой.
150
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
что N D = 2. Найдите площадь тре­
угольника В О М .
2215. Две окружности радиусов 3 и
4, расстояние между центрами кото­
рых равно 5, пересекаются в точках Л
и В. Через точку В проведена прямая,
пересекающая окружности в точках С
и D так, что CD = 8 и точка В лежит
между точками С и £). Найдите пло­
щадь треугольникаЛСХ).
2216. Около прямоугольного тре­
угольника A B C с катетами А С = 5 и
ВС = 12 описана окружность. Точки Е
и G — середины меньших дуг АС и ВС
этой окружности, точка F — середина
дуги А В , не содержащей точки С.
Найдите площадь четырехугольника
AEG F.
2217. Через точку М , расположен­
ную на диаметре окружности радиуса
4, проведена хорда А В , образующая с
диаметром угол 30°. Через точку В
проведена хорда ВС, перпендикуляр­
ная данному диаметру. Найдите пло­
щадь
треугольника
ABC,
если
AM : M B = 2:3.
2218. Диаметр А В и хорда CD ок­
ружности пересекаются в точке Е,
причем СЕ = D E . Касательные к ок­
ружности в точках В и С пересекаются
в точке К . Отрезки А К и СЕ пересека­
ются в точке М . Найдите площадь тре­
угольника С^ГМ, если А В = 1 Q ,A E = 1.
2219. На продолжении стороны ВС
параллелограмма A B C D за точку С
взята точка F . Отрезок A F пересекает
диагональ B D в точке Е , а сторону
CD — в точке G, причем GF = 2, аА Е на
1 больше EG . Какую часть площади
параллелограмма A B C D составляет
площадь треугольника A D £ ?
2220. В треугольнике ABC длина
биссектрисы A L равна Z; в треугольник
A B L вписана окружность, касающая­
ся стороны А В в точке К , В К = Ь. На
сторонах А В и ВС треугольника ABC
выбраны точки М is. N соответственно
так, что прямая M N проходит через
центр окружности, вписанной в тре­
угольник AB C, причем M B + B N = с.
Найдите отношение площадей тре­
угольников A B L и M B N .
2221. В четырехугольник AB CD
можно вписать окружность. Пусть
К — точка пересечения его диагона­
лей, Известно, что А В > ВС > КС,
В К = А + J 2 , а периметр и площадь
треугольника В К С равны соответ­
ственно 14 и 7. Найдите DC.
2222. В четырехугольник AB CD
можно вписать окружность. Пусть
К — точка пересечения его диагона­
лей. Известно, что ВС > А В > КС, К С =
= 6 + J T a , а периметр и площадь тре­
угольника В К С равны соответственно
22 и 11. Найдите DC.
2223. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке А.
Их общая касательная касается пер­
вой окружности в точке В, а второй —
в точке С. Прямая, проходящая через
точкиЛ и В, пересекает вторую окруж­
ность в точке D . Известно, что ВС =1 0,
А В = 8 . Найдите площадь треугольни­
ка BCD.
2224. Через вершины А и В тре­
угольника AB C проведена окруж­
ность, пересекающая стороны ВС и АС
в точках D и Е соответственно. П ло ­
щадь треугольника CDE в 7 раз мень­
ше
площади
четырехугольника
A B D E . Найдите D E и радиус окруж­
ности, если А В = 4 и Z С = 45°.
2225. В треугольнике ABC точка
О — центр описанной окружности,
точка R леж ит на отрезке ВС и B R =
= RC. Описанная около треугольника
BRO окружность пересекает А В в точ­
ке Т. Найдите площадь треугольника
ABC, если Z B O R = 30°,
= 8 ,ВГ = 6 .
2226. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = ВС) биссектрисы A M и
В К пересекаются в точке О. Площади
треугольников В О М и С О М соответ­
ственно равны 25 и 30. Найдите пло­
щадь треугольника AB C и проекцию
отрезка О М на прямую ВС.
2227. Через середину гипотенузы
А С прямоугольного треугольника ABC
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
проведена прямая, пересекающая ка­
тет В С в точке D , а продолжение кате­
та А В за точку Л — в точке Е . Найдите
площадь треугольника A B C , если
C D = \ ,А Е =2, Z С А В = arccos - .
5
2228. Через середину стороны А С
равнобедренного треугольника A B C
(А С = В С ) проведена прямая, пересе­
кающая сторону ВС в точке К , а про­
должение стороны А В за точку А — в
точке Р . Найдите площадь треуголь­
ника A B C , если С К = 2, А Р = 5,
Z. A B C = arccos i .
4
2229. В треугольнике AB C на сторо­
нах AC и В С расположены точки D m E
соответственно так, что B D — биссект­
риса треугольника ABC, D C = С Е = ^ ,
о
B D = 2, Z A B C = Z A D B . Найдите ВС и
площадь треугольника ABC.
2230. Четырехугольник A B C D , ди­
агонали которого взаимно перпенди­
кулярны, вписан в окружность с цент­
ром О. Докажите, что ломаная АОС де­
лит его на две равновеликие части.
2231. В равнобедренную трапецию,
периметр которой равен 8 , а площадь
2, можно вписать окружность. Найди­
те расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего
основания.
2232. Около окружности радиуса 1
описана равнобедренная трапеция,
площадь которой равна 5. Найдите
площадь четырехугольника, верши­
нами которого служат точки касания
окружности и трапеции.
2233. Около окружности радиуса R
описана трапеция. Хорда, соединяю­
щая точки касания окружности с бо­
ковыми сторонами трапеции, равна а.
Хорда параллельна основанию трапе­
ции. Найдите площадь трапеции.
2234. В треугольнике AB C с пери­
метром 2р острый угол В А С равен а.
Окружность с центром в точке О каса­
ется стороны В С и продолжений сто­
рон А В и АС в точках К тл L соответ­
151
ственно. Найдите площадь треуголь­
ника AO L.
2235. В равносторонний треуголь­
ник со стороной а вписана окружность.
К окружности проведена касательная
так, что ее отрезок внутри треугольни­
ка равен Ъ. Найдите площадь треуголь­
ника, отсеченного этой касательной.
2236. В равнобедренный треуголь­
ник AB C с основанием АС вписана ок­
ружность, которая касается боковой
стороны А В в точке М . Через точку М
проведен перпендикуляр N L к стороне
АС треугольника ABC (точка!/ — осно­
вание этого перпендикуляра). Найдите
угол ВСА, если известно, что площадь
треугольника ABC равна 1, а площадь
четырехугольника L M B C равна s.
2237. На стороне квадрата во внеш­
нюю сторону встроен прямоугольный
треугольник, гипотенуза которого сов­
падает со стороной квадрата. Докажи­
те, что биссектриса прямого угла этого
треугольника делит площадь квадрата
пополам.
2238. В круг радиуса R вписан шес­
тиугольник A B C D E F. Известно, что
А А = А С = A E ,A B = ^ a ,C D = b ,E F = c.
Найдите площадь шестиугольника
A B C D E F.
2239. В треугольнике ABC располо­
жены три окружности равных ради­
усов так, что каждая из окружностей
касается двух сторон треугольника
(рис. 89). Одна из окружностей (с цент­
ром 0 { ) касается двух других (с центра-
152
ПЛАНИМЕТРИЯ
ми О2 и О3 соответственно) и Z О2 О 1 О3 =
= 90°. Установите, что больше: пло­
щадь круга, ограниченного окруж ­
ностью с центром О^, или пятая часть
площади треугольника ABC.
2240. В треугольник A B C вписана
окружность радиуса R , касающаяся
стороны АС в точке D, стороны А В —
в точке Е и стороны ВС — в точке F.
Известно, что A D = R , DC = а. Найдите
площадь треугольника В Е Р .
2241. На стороне АС остроугольно­
го треугольника AB C взята точка D
так, что A D = 1, DC = 2 и B D является
высотой треугольника ABC. Окруж­
ность радиуса, равного 2 , проходящая
через точки А и D , касается в точке D
окружности, описанной около тре­
угольника BDC. Найдите площадь
треугольника ABC.
2242. Точки К , L , M делят стороны
выпуклого четы рехугольника A B CD
в отношении А К : В К = CL : B L =
= С М : D M = 1 : 2 . Радиус описанной
окружности треугольника K L M равен
I , JifL = 4, L M = 3. Какова площадь четырехугольника A B C D , если извест­
но, что К М < K L ?
2243. Трапеция A B C D с основания­
ми ВС = 1 и A D = 3 такова, что в нее
можно вписать окружность и вокруг
нее можно описать окружность. Опре­
делите, где находится центр описан­
ной вокруг трапеции АВС£> окружнос­
ти, т. е. расположен ли он внутри, или
вне, или же на одной из сторон трапе­
ции AB CD . Найдите также площадь
описанного круга.
2244. В треугольнике ЛВС основа­
ние высоты CD леж ит на стороне АВ,
медиана А £ равна 5, высота CD равна
6 .
Найдите площадь треугольника
ABC, если известно, что площадь тре­
угольника AD C в три раза больше пло­
щади треугольника BCD.
2245. В трапеции A B C D известны
длины оснований A D = 23 и ВС = 8 и
диагоналей АС = 1 3 , B D = 5^17 . Най­
дите площадь трапеции.
2246. В треугольник вписан круг
радиуса 4. Одна из сторон треугольни­
ка разделена точкой касания на отрез­
ки, равные 6 и 8 . Найдите две другие
стороны треугольника.
2247. Окружность с центром в точке
пересечения диагоналей АС к ВС равно­
бедренной трапеции A B C D касается
меньшего основания ВС и боковой сто­
роны АВ. Найдите площадь трапеции
A B C D , если известно, что ее высота рав­
на 16, а радиус окружности равен 3.
2248. Квадрат A B C D и окружность
расположены так, что окружность ка­
сается прямой АС в точке С, а центр ок­
ружности леж ит по ту же сторону от
прямой АС, что и точка D . Касатель­
ные к окружности, проведенные из
точки D , образуют угол 120°. Найдите
отношение площади квадрата к пло­
щади круга, ограниченного данной ок­
ружностью.
2249. Основание АС равнобедрен­
ного треугольника ABC является хор­
дой окружности, центр которой лежит
внутри треугольника ABC. Прямые,
проходящие через точку В, касаются
окружности в точках D и Е. Найдите
площадь треугольника D B E , если
А В - ВС = 2, Z AB C = 2 arcsin i . арал
диус окружности равен 1 .
2250. Окружность, построенная на
стороне АС треугольника ABC как на
диаметре, проходит через середину
стороны ВС и пересекает сторону А В в
точке D так, что A D = \ а В . Найдите
3
площадь треугольника ABC, если
А С = 1.
2251. В треугольнике ABC угол А
у
равен arccos - , ВС = а, а высота, опуО
щенная из вершины А , равна сумме
двух других высот. Найдите площадь
треугольника ABC.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
153
В круге радиуса 1 проведеныНайдите площадь данного четырех­
угольника.
хорды А В = л/2 и ВС = у . Найдите
2260. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = В С ) проведена бис­
площадь части круга, лежащей вну­
сектриса AD . Площади треугольников
три угла А Б С, если угол ВАС — ост­
A
B D n A D C равны соответственно
и
рый.
2253°. Через центр О вписанной в
Sg. Найдите АС.
треугольник ABC окружности прове­
2261. В треугольнике ABC угол С
дена прямая, параллельная стороне
равен 30°, а угол А — острый. Перпен­
ВС и пересекающая стороны А В и АС
дикулярно стороне ВС проведена пря­
соответственно в точках М n N . Пери­
мая, отсекающая от треугольника
ABC треугольник C N M (точка N ле ­
метр треугольника A M N равен 3 V 2 ,
жит между вершинами В и С). Площа­
ди треугольников C N M и ABC отно­
сторона ВС равна V2 , а отрезок А О в
сятся как 3 : 16. Отрезок MiV равен по­
три раза больше радиуса вписанной в
ловине высоты В Н треугольника ABC.
треугольник AB C окружности. Найди­
Найдите отношение A f f ; НС.
те площадь треугольника ABC.
2262. В равнобедренном треуголь­
2254. В окружности проведены хор­
нике ABC (АВ = В С ) проведены высоты
ды АС и B D , пересекающиеся в точке
АА^, ВВ^ и СС^. Найдите отношение
Е , причем касательная к окружности,
площади треугольника А^В^С^ к плопроходящая через точкуА, параллель­
на B D. Известно, что CD : E D = 3 : 2 и
АЙ
щади треугольника ABC, если —— ==
S (A B E ) = 8 . Найдите площадь тре­
угольника ABC.
= 7 з.
2255. В параллелограмме соедине­
2263. В окружность радиуса 7 впи­
ны середина каждой стороны с концом
сан
вьшуклый четырехугольник АВС£).
следующей стороны, отчего получил­
Стороны А В и ВС равны. Площадь тре­
ся внутренний параллелограмм. Дока­
угольника A B D относится к площади
жите, что его площадь составляет
треугольника ВС£) как 2 : 1 . У гол ADC
i площади данного параллелограмма.
равен 120°. Найдите все стороны четы­
О
рехугольника АВС£>.
2256. Площ адь трапеции A B CD
2264. Из точки А к окружности ра­
равна 30. Точка Р — середина боковой
диусом R проводится касательная A M
стороны АВ . Точка i? на стороне CD вы­
{ М — точка касания). Секущая, про­
брана так, что 2CD = 3jRD. Прямые A R
ходящая через точку А , пересекает ок­
и P D пересекаются в точке Q. Найдите
ружность в точках К и L , причем L —
площадь треугольника A P Q , если
середина отрезка А К , а угол А М К ра­
A D = 2ВС.
вен 60° (рис. 90). Найдите площадь
2257. Медианы треугольника рав­
треугольника А М К .
ны 3, 4 и 5. Найдите площадь тре­
угольника.
2258. Медианы треугольника рав­
ны 5, 6 и 5. Найдите площадь тре­
угольника.
2259. Произвольный
четырех­
угольник разделен диагоналями на че­
тыре треугольника; площади трех из
них равны 10, 20 и 30, и каждая мень­
ше площади четвертого треугольника.
Р и с . 90
2252.
154
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2265. Докажите, что произведение
отрезков, на которые гипотенуза пря­
моугольного треугольника делится
точкой касания вписанной в него ок­
ружности, равно площади этого тре­
угольника.
2266. На отрезке А В взята точка С,
отрезки А В и СВ служат диаметрами
окружностей. Хорда A M касается
меньшей окружности в точке D . Пря­
мая B D пересекает большую окруж­
ность в точке N , Z D A B = а, А В = 2R.
Найдите площадь четырехугольника
ABMN.
2267. Четырехугольник P Q R S впи­
сан в окружность. Диагонали P R и Q S
перпендикулярны и пересекаются в
точке М . Известно, что P S = 13, Q M =
= 10, Q R = 26. Найдите площадь четы­
рехугольника P Q R S .
2268. Даны две концентрические
окружности. В большей из них прове­
дены две пересекающиеся хорды K L и
M N , которые пересекают меньшую
окружность в точках К^,
и М^,
соответственно (точки с индексом 1
расположены ближе к одноименным
точкам без индекса). Хорды
и
меньшей окружности пересека­
ются в точке F . Найдите отношение
площадей треугольников K ^ F L i и
M ^ F N ^ , если K L = S N N ^, а хорда
равна среднему геометрическому от­
резков K L и М М ^ .
2269. В окружности проведены
хорды А С и B D , пересекающиеся в
точке Е , причем касательная к окруж­
ности, проходящая через точку А , па­
раллельна B D . Известно, что C D : E D =
= 3 : 2 и S (A B E ) = 8 . Найдите площадь
треугольника ABC.
2270. Диагонали вписанного в ок­
ружность четырехугольника A B C D
пересекаются в точке Е , причем
Z A D B = 1 , B D = & и A D -C E = D C •А Е .
О
Найдите площадь четырехугольника
ABCD.
2271. В треугольнике ABC сторона
А В равна 3, Z АСВ = arcsin - . Хорда
5
K N окружности, описанной около тре­
угольника ABC, пересекает отрезки
АС и ВС в точках М и L соответствен­
но. Известно, что Z ABC = Z C M L ,
площадь четырехугольника A B L M
равна 2, а L M = 1. Найдите высоту тре­
угольника K N C , опущенную из вер­
шины С, и его площадь.
2272. Через центр О вписанной в
треугольник ABC окружности про­
ведена прямая, параллельная стороне
ВС и пересекающая стороны А В и АС
соответственно в точкахМ u N . Пери­
метр треугольника A M N равен 3 \[2 ,
ВС = V2 , а отрезок А О в три раза боль­
ше радиуса вписанной в треугольник
ABC окружности. Найдите площадь
треугольника A B C .
2273. Около треугольника ABC
описана окружность. Медиана A D про­
должена до пересечения с этой окруж­
ностью в точке Е . Известно, что А В +
+ A D = D E , Z B AD = 60°, А £ = 6 . Най­
дите площадь треугольника ABC.
2274. В остроугольном треугольни­
ке ABC из вершин А и С опущены вы­
соты А Р и CQ на стороны ВС и А В . И з­
вестно, что площадь треугольника
ABC равна 18, площадь треугольника
B PQ равна 2, а P Q = 2 J z . Найдите ра­
диус окружности, описанной около
треугольника ABC.
2275. В трапеции A B C D {AD ||ВС)
угол А£)В в два раза меньше угла АСВ,
ВС = АС = 5 ,A D = 6 . Найдите площадь
трапеции.
2276. Около окружности радиуса
2
- - описана равнобедренная трапеция.
V3
У гол между диагоналями трапеции,
опирающийся на основание, равен
О
2 arctg — . Найдите отрезок, соеди-
Л
няющий точки касания окружности с
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
большим основанием трапеции и од­
ной из ее боковых сторон.
2277. В равнобедренную трапецию
вписана окружность. Расстояние от
центра окружности до точки пересече­
ния диагоналей трапеции относится к
радиусу, как 3 : 5. Найдите отношение
периметра трапеции к длине вписан­
ной окружности.
2278. Около окружности радиуса R
описана равнобедренная трапеция. Е
и К — точки касания этой окружности
с боковыми сторонами трапеции. У гол
между основанием А В и боковой сто­
роной A D трапеции равен 60°. Дока­
жите, что Е К параллельна А В , и най­
дите площадь трапеции AB iTfi.
2279. На прямой, проходящей че­
рез центр О окружности радиуса 12,
взяты точки А и Б так, что О А = 1 5 ,
А В = 5 и А леж ит между О и В. Из то­
чек А и В проведены касательные к ок­
ружности, точки касания которых л е ­
жат по одну сторону от прямой О В .
Найдите площадь треугольника A B C ,
где С — точка пересечения этих каса­
тельных.
2280. Вписанная в треугольник
A B C окружность касается его сторон
А С и В С в точках M vlN соответственно
и пересекает биссектрису B D в точках
Р и Q. Найдите отношение площадей
треугольников P Q M и P Q N , если
^ А = 5 , Z B = |.
155
СВ в точке М и отсекает от основания
отрезок К Е . Найдите площадь тре­
угольника К M B , если известно, что
точки А , К , Е , В следуют на основании
А В в указанном порядке.
2283. Около треугольника А Р К
описана окружность радиуса 1. Про­
должение стороны А Р за вершину Р от­
секает от касательной к окружности,
проведенной через вершину К , отре­
зок В К , равный 7. Найдите площадь
треугольника АРЛГ, если известно, что
о
угол А В К равен arctg - .
2284. Дана равнобедренная трапе­
ция, в которую вписана окружность и
около которой описана окружность.
Площадь описанного круга в 12 раз
больше площади вписанного круга.
Найдите углы трапеции.
2285. В параллелограмме A B C D
сторона А В равна 1 и равна диагонали
B D . Диагонали относятся как 1:^/3.
Найдите площадь той части круга,
описанного около треугольника BC D ,
которая не принадлежит кругу, опи­
санному около треугольника ADC.
2286. Две окружности разных ра­
диусов касаются в точке С одной и той
же прямой и расположены по одну сто­
рону от нее. Отрезок C D — диаметр
большей окружности (рис. 91). Из точ­
ки D проведены две прямые, касаю­
щиеся меньшей окружности в точках
2281. Б треугольник A B C вписана
окружность с центром О. Прямая В О
пересекает эту окружность в точках М
и Л^, а отрезки АО и СО пересекают ок­
ружность соответственно в точках Р и
Q. Найдите отношение площадей тре­
угольников M N P и M Q N , если Z А = а,
Z C = Y2282. В равнобедренном треуголь­
нике AB C с основанием А В угол В раО
вен arctg — . Окружность радиуса 1,
15
вписанная в угол С, касается стороны
Р и с . 91
ПЛАНИМЕТРИЯ
156
A n В . Прямая, проходящая через точ­
ки С и А , образует с общей касательной
к окружностям в точке С угол 75° и пе­
ресекает большую окружность в точке
М . Известно, что A M = ^2 - л/З . Най­
дите площадь фигуры, ограниченной
отрезками касательных D A , D B и ду­
гой АСВ меньшей окружности.
2287. Через вершины А и В тре­
угольника AB C проведена окружность
радиуса
2
Jb , отсекающая от прямой
В С отрезок 4 л/б и касающаяся прямой
А С в точке А . Из точки В проведен пер­
пендикуляр к прямой В С до пересече­
ния с прямой А С в точке F . Найдите
площадь треугольника А Б С , если
BF=2.
2288. На стороне В С треугольника
B C D выбрана точка £ , а на стороне
B D — точка F так, что угол B E F равен
у гл у В В С . Площадь круга, описанного
около треугольника C F D , в 5 раз мень­
ше площади круга, описанного около
треугольника B E F . Отношение пло­
щади четырехугольника C E F D к пло­
щади треугольника B E F равно
16
.
У гол F D E равен 45°. Найдите угол
СЕВ.
2289. В трапеции A B C D диагонали
А С и B D взаимно перпендикулярны,
Z В А С = Z C D B . Продолжения боко­
вых сторон А В и D C пересекаются в
точке К , образуя угол A K D , равный
30°. Найдите площадь треугольника
A K D , если площадь трапеции равна Р.
2290. В трапеции A B C D диагональ
А С перпендикулярна боковой стороне
C D , а диагональ D B перпендикулярна
боковой стороне А В . Продолжения бо­
ковых сторон А В и D C пересекаются в
точке К , образуя треугольник A K D с
углом 45° при вершине К . Площадь
трапеции АВС£) равна Р . Найдите пло­
щадь треугольника АйГХ).
2291. На продолжении основания
равнобедренного треугольника взята
точка. Докажите, что разность рас­
стояний от этой точки до прямых, со­
держащих боковые стороны треуголь­
ника, равна высоте, опущенной на бо­
ковую сторону.
2292. Остроугольный равнобедрен­
ный треугольник и трапеция вписаны
в окружность. Одно основание трапе­
ции является диаметром окружности,
а боковые стороны параллельны боко­
вым сторонам треугольника. Найдите
отношение площадей трапеции и тре­
угольника.
2293. В равнобедренном треуголь­
нике ABC точки М и N находятся на
боковых сторонах А В и ВС соответ­
ственно. Найдите площадь треуголь­
ника ABC, если известно, что A M = 5,
A V = 2л/37 , СМ = 11, CiV = 10.
2294. Диагонали трапеции равны 3
и 5, а отрезок, соединяющий середины
оснований, равен 2. Найдите площадь
трапеции.
2295. Диагонали трапеции взаимно
перпендикулярны. Одна из них равна
6 .
Отрезок, соединяющий середины
оснований, равен 4,5. Найдите пло­
щадь трапеции.
2296. Средняя линия трапеции рав­
на 5, а отрезок, соединяющий середи­
ны оснований, равен 3. У глы при боль­
шем основании трапеции равны 30° и
60°. Найдите площадь трапеции.
2297. Отношение оснований трапе­
ции равно 3 ; 2, а отношение боковых
сторон равно 5 : 3 . Точка пересечения
биссектрис углов при большем основа­
нии трапеции леж ит на меньшем осно­
вании. Найдите углы трапеции.
2298. В равнобедренной трапеции
A B C D углы при основании A D равны
30°, диагональ АС является биссект­
рисой угла B A D . Биссектриса угла
B C D пересекает основание A D в точке
М , а отрезок В М пересекает диагональ
АС в точке N . Найдите площадь тре­
угольника A/VM, если площадь трапе­
ции АВС£> равна 2 + J s .
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2299. В прямоугольной трапеции
A B C D (ВС параллельно AD , А В пер­
пендикулярно A D ) меньшее основание
A D равно 3, а боковая сторона CD рав­
на 6 . Точка Е, середина стороны CD,
соединена отрезком прямой с точкой
В. Известно, что Z СВЕ = а. Найдите
площадь трапеции АВС£).
2300. В параллелограмме A B C D
угол С — острый, сторона А В равна 3,
сторона ВС равна 6 . Из вершины С опу­
щен перпендикуляр СЕ на продолже­
ние стороны АВ. Точка Е , основание
перпендикуляра СЕ, соединена отрез­
ком прямой с точкой F, серединой сто­
роны A D . Известно, что Z A E F = а.
Найдите площадь четырехугольника
AECD.
2301. Прямая, параллельная осно­
ваниям трапеции, делит ее на две тра­
пеции, площади которых относятся,
как 1 : 2 . Найдите отрезок этой пря­
мой, заключенный внутри трапеции,
если основания равны а и fc.
2302. Вершины ромба расположе­
ны на сторонах параллелограмма, а
стороны ромба параллельны диагона­
лям параллелограмма. Найдите отно­
шение площадей ромба и параллело­
грамма, если отношение диагоналей
параллелограмма равно k.
2303. Через вершины А и В тре­
угольника Л В С проведена окруж­
ность, пересекающая стороны ВС и АС
в точках D и Е соответственно. П ло­
щадь треугольника CDE в семь раз
меньше площади четырехугольника
A B D E . Найдите хорду D E и радиус ок­
ружности, если А В = 4 и Z С = 45°.
2304. На стороне АС треугольника
AB C взята точка £ . Через точку Е про­
ведены прямая D E параллельно сторо­
не ВС и прямая E F параллельно сторо­
не А В (D а F — точки на сторонах тре­
угольника). Докажите, что S (B D E F ) =
= 2 J S (A D E )- S (E F C ).
2305. Трапеция ABC
разделена
прямой, параллельной ее основаниям
157
A D и ВС, на две равновеликие трапе­
ции. Найдите отрезок этой прямой, за­
ключенный между боковыми сторона­
ми, если основания трапеции равны а
и Ь.
2306. Точки Р h Q расположены на
стороне ВС треугольника ABC так, что
В Р : PQ : QC = 1 : 2 : 3 . Точка R делит
сторону АС этого треугольника так,
что AR : RC = 1 : 2 . Чему равно отно­
шение площади четырехугольника
P Q S T к площади треугольника ЛВС,
если iS и Г — точки пересечения пря­
мой BR с прямыми AQ и А Р соответ­
ственно?
2307. Площадь трапеции ABCD
равна 6 . Пусть Е — точка пересечения
продолжений боковых сторон этой
трапеции. Через точку Е и точку пере­
сечения диагоналей трапеции прове­
дена прямая, которая пересекает
меньшее основание ВС в точке Р , а
большее основание A D — в точке Q.
Точка F лежит на отрезке ЕС, причем
E F : FC = Е Р : EQ = 1 : 3 . Найдите пло­
щадь треугольника E P F .
2308. Внутри треугольника ЛВС
взята точка Р так, что площади тре­
угольников А В Р , В СР и А С Р равны.
Докажите, что Р — точка пересечения
медиан треугольника.
2309. Дан
выпуклый
четырех­
угольник площади S. Внутри него вы­
бирается точка и отображается сим­
метрично относительно середин его
сторон (рис. 92). Получаются четыре
вершины нового четырехугольника.
Найдите его площадь.
158
ПЛАНИМЕТРИЯ
2310. В треугольнике ABC биссект­
рисы A D и B E пересекаются в точке О.
Найдите отношение площади тре­
угольника А Б С к площади четырех­
угольника O DCE, зная, что ВС = а,
АС = Ь ,А В ^ с .
2311. Диагонали четырехугольни­
ка A B C D пересекаются в точке М , и
угол между ними равен а. Пусть О^,
Og, О3 и О4 — центры окружностей,
описанных соответственно около тре­
угольников А М Б , В С М , C D M и D A M .
Найдите отношение площадей четы­
рехугольников ABCD и OJO2 O3 O4 .
2312. В параллелограмме A B CD
угол B A D равен а. Пусть О — произ­
вольная точка внутри параллелограм­
ма, Oj, О 2 , 0 3 , 0 4 — точки, симметрич­
ные точке О относительно прямых АВ ,
ВС, CD и A D соответственно. Найдите
отношение площади четырехугольни­
ка О 1 О2 О 3 О4 к площади параллело­
грамма.
2313. Стороны
параллелограмма
равны 3 и 2, а угол между ними равен
arccos
16
. Две взаимно перпендику-
лярные прямые делят параллело­
грамм на четыре равновеликие части.
Найдите длины отрезков, на которые
эти прямые делят стороны паралле­
лограмма.
2314. Пусть Е , F , G — такие точки
на сторонах А В , ВС, СА треугольника
AB C, для которых А Е ; ЕВ = B F : FC =
= CG : GA = k, г д е О< А < 1. Найдите от­
ношение площади треугольника, об­
разованного прямыми A F , ВО и СЕ, к
площади треугольника ABC.
2315. Два треугольника А^Б^С^ и
А 2 В 2 С2 , площади которых равны
и
S 2 , расположены так, что лучи А^В^ и
А 2 В 2 , B^Ci и В 2 С 2 УC^Ai и С 2 А 2 парал­
лельны , но противоположно направ­
лены. Найдите площадь треугольника
с вершинами в серединах отрезков
A jA 2 , В 1 В 2 , C-jC2-
2316. Площадь треугольника ABC
равна 15^3- У гол ВАС равен 120°.
У гол ЛВС больше угла АСВ. Расстоя­
ние от вершины А до центра окружнос­
ти, вписанной в треугольникАВС, рав­
но 2. Найдите медиану треугольника
ABC, проведенную из вершины В.
2317. В трапеции ABCD основание
A D равно
. Диагонали АС и D B пе­
ресекаются в точке К . Известно, что
A K ^ 1 ,K D = 2 ,
ВАС = / 1 DAC. Най­
дите площадь треугольника ABC.
2318. В прямоугольнике ABCD сто­
рона A D вдвое больше стороны АВ.
Внутри прямоугольника расположена
точка М , причем A M = л/2 , В Ы = 2,
С М = 6 . Найдите косинус утла A M В и
площадь прямоугольника ABCD.
2319. В параллелограмме ABCD
угол А — тупой, A D > A B ,A -D = 7. Точ­
ка A j симметрична точке А относи­
тельно прямой B D , а точкаА 2 симмет­
рична точке A i относительно прямой
АС и леж ит на диагонали B D. Найдите
площадь параллелограмма ABCD, ес­
ли В А 2 = | b D .
2320. В треугольнике ABC извест­
но, что Z А = 60°, Z В = 45°. Продолже­
ния высот треугольника ABC пересе­
кают описанную около него окруж­
ность в точках М , N , Р . Найдите отно­
шение площадей треугольников ABC и
M NP.
2321. В круге проведены два пер­
пендикулярных друг другу диаметра
А Е и B F. На дуге E F взята точка С.
Хорды СА и СВ пересекают диаметры
B F н А Е в точках P n Q соответственно.
Докажите, что площадь четырех­
угольника A PQ B равна квадрату ради­
уса круга.
2322. Б равнобедренной трапеции
лежат две окружности. Одна из них, ра­
диуса 1 , вписана в трапецию, а вторая
касается двух сторон трапеции и пер­
вой окружности. Расстояние от верши­
159
ПЛАНИМЕТРИЯ
ны угла, образованного двумя сторона­
ми трапеции, касающимися второй ок­
ружности, до точки касания окружнос­
тей вдвое больше диаметра второй ок­
ружности. Найдите площадь трапеции.
2323. Дан угол, равный а. На его
биссектрисе взята точка L; Р и М —
проекции К на стороны угла. На отрез­
ке Р М взята точка А такая, что К А = а.
Прямая, проходящая через А перпен­
дикулярно К А , пересекает стороны у г­
ла в точках Б и С. Найдите площадь
треугольника ВКС.
2324. Площадь ромба A B C D равна
2. В треугольник A B D , образованный
сторонами А В , A D и диагональю B D
данного ромба, вписана окружность,
которая касается стороны А В в точке
К . Через точку К проведена прямая
K L , параллельная диагонали АС ром­
ба (точка L леж ит на стороне ВС). Най­
дите угол B AD, если известно, что пло­
щадь треугольника K L B равна а.
2325. В параллелограмме ABC-D ди­
агональ А С перпендикулярна стороне
АВ. Некоторая окружность касается
стороны ВС параллелограмма A B C D в
точке Р и касается прямой, проходя­
щей через вершины А и В этого же па­
раллелограмма, в точке А . Через точку
Р проведен перпендикуляр PQ к сторо­
не А В (точка Q — основание этого пер­
пендикуляра). Найдите угол AB C, ес­
ли известно, что площадь параллело­
грамма A B C D равна | , а площадь пя­
тиугольника Q PCDA равна S.
2326. Площадь
прямоугольника
A B C D равна 1. Некоторая окружность
касается диагонали А С прямоугольникаА В С В в точке Е и касается прямой,
проходящей через вершины С к В это­
го же прямоугольника, в точке D . Ч е­
рез точку Е проведен перпендикуляр
E F к стороне CD (точка F — основание
этого перпендикуляра). Найдите вели­
чину угла ВАС, если известно, что пло­
щадь трапеции A B f£ ) равна а.
2327. В треугольнике ABC сторона
АС равна 3, Z ВАС = 30° и радиус опи­
санной окружности равен 2. Докажи­
те, что площадь треугольника ABC
меньше 3.
2328. В треугольнике ABC длина
стороны А В равна 5, Z САВ = 30°, ра­
диус описанной окружности равен
2 J z . Докажите, что площадь тре­
угольника AB C строго меньше 5л/2.
2329. В четырехугольнике ABCD
сторона А В равна стороне ВС, диаго­
наль АС равна стороне CD, а Z.ACB =
= Z A C D. Радиусы окружностей, впи­
санных в треугольникиАСВ hACD, о т ­
н о с я т с я как 3 : 4 . Найдите отношение
площадей этих треугольников.
2330. (Формула Брахмагупты.) Дока­
жите, что если стороны вписанного че­
тырехугольника равны а, fc, с и d, то
его площадь < 8 может быть вычислена
по формуле
4 (p -a )(p -b )(p -c ){p -d ),
где р =
— полупериметр че­
тырехугольника.
2331. В круге проведены две взаим­
но перпендикулярные и пересекаю­
щиеся хорды А В и CD. Известно, что
А В = ВС = CD. Установите, что боль­
ше: площадь круга или площадь квад­
рата со стороной АВ.
2332. Окружность радиуса R, про­
веденная через вершины А , В и С пря­
моугольной трапеции A B C D ( Z A =
= А В ^ 90°), пересекает отрезки A D и
CD соответственно в точках M u N так,
что A M :A D = C N : C D = - 1 :3 (рис. 93).
Найдите площадь трапеции.
160
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2333. Стороны А В и CD четырех­
угольника A B C D перпендикулярны и
являются диаметрами двух равных
касающихся окружностей радиуса г.
Найдите площадь четырехугольника
A B C D , если ВС : A D = к.
2334. Равнобедренный
треуголь­
ник AB C {АВ = В С ) вписан в окруж­
ность. Диаметр CD пересекает сторону
А В в точке М . Отношение площади
треугольника М В С к площади тре­
угольника A M С равно к. Найдите
D M : DC.
2335. В треугольнике ABC биссект­
риса A f f пересекает высоты В Р и С Т в
точках К VL М соответственно, причем
эти точки лежат внутри треугольника.
Известно, что В К : К Р = 2 и М Г : К Р =
= 3 : 2 . Найдите отношение площади
треугольника РВ С к площади описан­
ного около этого треугольника круга.
2336. Через произвольную точку,
взятую внутри треугольника, проведе­
ны три прямые, параллельные сторо­
нам треугольника. При этом треуголь­
ник разбивается на три параллело­
грамма и три треугольника. Докажи­
те, что произведение площадей парал­
лелограммов в восемь раз больше про­
изведения площадей треугольников.
2337. В ромб A B C D вписана окруж­
ность радиуса R, касающаяся стороны
A D в точке М и пересекающая отрезок
М С в точке N такой, что M N = 2NC.
Найдите углы и площадь ромба.
2338. В трапеции основания равны
a v ib , диагонали перпендикулярны, а
угол между боковыми сторонами ра­
вен а. Найдите площадь трапеции.
2339. Боковые стороны А В и CD
трапеции АВС£) равны соответственно
8
и 10, а основание ВС равно 2. Бис­
сектриса угла ADC проходит через се­
редину стороны АВ . Найдите площадь
трапеции.
2340. Гипотенуза А В прямоуголь­
ного треугольника AB C является хор­
дой окружности радиуса 10. Вершина
С леж ит на диаметре окружности, ко­
торый параллелен гипотенузе. У гол
САВ равен 75°. Найдите площадь тре­
угольника ABC.
2341. В трапеции A B C D точки К и
М являются соответственно середина­
ми оснований А В = 5 и CD = 3. Найдите
площадь трапеции, если треугольник
A M В — прямоугольный, a D K есть вы­
сота трапеции.
2342. В трапеции AB C D (A D ||ВС)
угол A B D в два раза меньше угла А С В ;
ВС = АС = b ,A D = 6 . Найдите площадь
трапеции.
2343. В трапеции A B C D основание
ВС равно 13, а угол B AD острый и
вдвое больше угла ADC. Окружность с
центром на прямой ВС касается пря­
мых АС, A D и отрезка CD. Найдите
площадь трапеции АВС£>, если извест­
но, что радиус окружности равен 5.
2344. В треугольнике ABC проведе­
на биссектриса CQ. Около треугольни­
ка BCQ описана окружность радиуса
i , центр которой лежит на отрезке АС.
о
Найдите площадь треугольника ABC,
если A Q : А В = 2 : 3 .
2345. В трапеции АВС£) сторона A D
является большим основанием. И з­
вестно, чтоA D = CD = 4 - , Z B AD = 90°
3
и Z. BCD = 150°. На основании A D по­
строен треугольник АЕ£) так, что точ­
ки В и £ лежат по одну сторону от пря­
мой AD , причем А Е = D E . Длина высо­
ты этого треугольника, проведенная
О
из вершины £ , равна 1 - . Найдите плоО
щадь общей части трапеции ABCD и
треугольника A E D .
2346. Отрезки, соединяющие осно­
вания высот остроугольного треуголь­
ника, равны 5, 12 и 13. Найдите пло­
щадь треугольника.
2347. На сторонах АВ , ВС, CD и DA
параллелограмма ABCD взяты соот­
ветственно точки М , N , К и Ь , причем
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
A M :М В = СК :K D = 1 :2 ,a B N :N C =
= D L : L A = 1 : 3 . Найдите площадь
четырехугольника, вершины которо­
го — точки пересечения отрезков A N ,
В К , CL и D M , если площадь паралле­
лограмма ABCD равна 1.
2348. Площ адь треугольника ABC
равна S. Найдите площадь треуголь­
ника, стороны которого равны медиа­
нам треугольника ABC.
2349. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCZ) точка Е — пересечение ди­
агоналей. Известно, что площадь каж­
дого из треугольников А В £ и В С Е рав­
на 7, а площадь всего четырехугольни­
ка не превосходит 28; сторона A D рав­
на V5 . Найдите ВС.
2350. Дана трапеция M N P Q с осно­
ваниями M Q и N P . Прямая, парал­
лельная основаниям, пересекает боко­
вую сторону M N в точке А , а боковую
сторону P Q — в точке В . Отношение
площадей трапеций A N P B и M A B Q
р
равно - . Найдите А В , если N P = 4,
M Q=6.
2351. В четырехугольнике A N C D
острый угол между диагоналями ра­
вен а. Через каждую вершину прове­
дена прямая, перпендикулярная ди­
агонали, не содержащей эту вершину.
Найдите отношение площади четы­
рехугольника, ограниченного этими
прямыми, к площади четырехуголь­
ника ABCD.
2352. На сторонах А В , А С и БС пра­
вильного треугольника AB C располо­
жены соответственно точки С^, В^ иА^
так, что треугольник А^Б^С^ является
правильным. Высота B D треугольни­
ка AB C пересекает сторону А^С^ в точ­
ке О. Найдите отношение
AiB i
АВ
= п.
ВО
если
BD ’
161
и АС равно k. Найдите отношение пло­
щади этого четырехугольника к пло­
щади ромба, вершины которого лежат
на сторонах четырехугольника, а сто­
роны параллельны диагоналям четы­
рехугольника.
2354. Точка внутри правильного
2 п-угольника соединена с вершинами.
Возникшие 2п-треугольники раскра­
шены попеременно в голубой и крас­
ный цвет. Докажите, что сумма пло­
щадей голубых треугольников равна
сумме площадей красных: а) для п = 4,
б) для п = 3, в) для произвольного п.
2355. В треугольнике ABC дано:
Z АС Б = 60°, Z AB C = 45°. На продол­
жении А С за вершину С берется точка
К так, что АС = С К. На продолжении
ВС за вершину С берется точка М так,
что треугольник с вершинами С , М и К
подобен исходному. Найдите ВС : М К ,
если известно, что С М : М К < 1.
2356. Прямоугольный
треуголь­
ник AB C имеет периметр 54, причем
катет АС больше, чем 10. Окружность
радиуса 6 , центр которой леж ит на ка­
тете ВС, касается прямых А В и АС.
Найдите площадь треугольника АБС.
2357. Дана окружность, диаметр
M N которой равен 16. На касательной
к этой окружности в точке М отложен
отрезок М Р , длина которого больше,
чем 15. Из точки Р проведена вторая
касательная к окружности, пересе­
кающая прямую M N в точке Q. Най­
дите площадь треугольника MPQ, ес­
ли его периметр равен 72.
2358. Точки К , L, М , N, Р располо­
жены последовательно на окружности
радиуса 2 J 2 . Найдите площадь тре­
угольника K L M ,
если L M IIKN,
К М II NP, M N II LP, а угол L O M равен
45°, где О — точка пересечения хорд
LNnMP.
2359. Трапеции AB C D и A C D E с
2353.
В выпуклом четырехуголь­равными большими основаниями (со­
ответственно A D и А С ) вписаны в ок­
нике ABCZ) отношение диагоналей B D
6 С борн ик задач п о геометрии
162
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ружность (рис. 94). Чем у равен радиус
этой окружности, если площадь тре­
угольника A D E равна 1 + л/З , а угол
COD равен 60°, где О — точка пересе­
чения диагоналей трапеции ABCD.
DC = л/2 . Найдите площадь треуголь­
ника ABC.
2365. Точки К, L, М делят стороны
вы пуклого четырехугольника ABCD
в отношении А К : ВК = CL : BL =
= С М : D M = 1 : 2 . Радиус окружнос­
ти, описанной около треугольника
K L M , равен | , KL = 4 , L M = 3. Какова
площадь четырехугольника ABCZ), ес­
ли известно, что К М < KL?
2366. Дан прямоугольник ABCD, в
котором А В = 10. Окружность радиуса
4 — 2 V2 с центром в точке К касается
сторон А В и AD . Окружность радиуса
2360. Вокруг треугольника М К Н
описана окружность радиуса г с цент­
ром в точке О. Длина стороны Н М рав­
на а. Д ля сторон треугольника выпол­
нено соотношение Н К ^ - Н М ^ = Н М ^
- М К ^. Найдите площадь треугольни­
ка O L K , где L — точка пересечения
медиан треугольника М К Н .
2361. Докажите, что площадь тре­
угольника можно выразить по форму­
ле S = r j j ) - а), где г„ — радиус вневписанной окружности, касающейся сто­
роны, равной а, р — полупериметр
треугольника.
2362. Площ адь треугольника A B C
равна 2л/3 - 3, а угол ВАС равен 60°.
Радиус окружности, касающейся сто­
роны ВС и продолжения сторон А В и
АС, равен 1. Найдите углы A B C и АСВ
данного треугольника.
2363. Радиус вписанной в треуголь­
ник A B C окружности равен 4, причем
А С = ВС. На прямой А В взята точка D,
удаленная от прямых АС и ВС на рас­
стояния 11 и 3 соответственно. Найди­
те косинус угла ВВС.
2364. Хорда А В стягивает дугу ок­
ружности, равную 120°. Точка С ле­
жит на этой дуге, а точка D леж ит на
хорде А В . При этом A D = 2, B D = 1,
4 + 2 л/2 с центром в точке L , лежащей
на стороне CD, касается стороны A D и
первой окружности. Найдите площадь
треугольника CLM, если М — основа­
ние перпендикуляра, опущенного из
вершины В на прямую, проходящую
через точки К к L.
2367. В трапеции ABCD точки К и
М являются соответственно середина­
ми оснований А В и CD. Известно, что
A M перпендикулярно DK и СК пер­
пендикулярно ВМ , а угол CKD равен
6 0 °. Найдите площадь трапеции, если
ее высота равна 1.
2368. Дан ромб ABCD. Окружность
радиуса R касается прямых А В и A D в
точках B v iD соответственно и пересе­
кает сторону ВС в точке L так, что
4БХ = ВС. Найдите площадь ромба.
2369. Площадь треугольника ABC
равна 1, А С = 2ВС, точка — середина
стороны АС. Окружность с центром в
точке К пересекает сторону А В в точ­
ках М h N, при этом A M = M N = NB.
Найдите площадь части треугольника
ABC, заключенной внутри круга.
2370. Прямая, параллельная гипо­
тенузе А В прямоугольного треуголь­
ника ABC, пересекает катет АС в точке
D, а катет ВС — в точке Е, причем
DE = 2, а BE = 1. На гипотенузе взята
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точка F так, что B F = 1. Известно так­
же, что угол FCB равен а. Найдите
площадь треугольника ABC.
2371. На биссектрисе острого угла
АО С взята точка В . Через точку В про­
ведена прямая, перпендикулярная к
ОВ и пересекающая сторону А О в точ­
ке К , а сторону ОС — в точке L . Через
точку В проведена еще одна прямая,
пересекающая сторону А О в точке М
( М — между О я К ), сторону ОС — в
точке А? так, что Z. M O N = Z M N O . И з­
вестно, что М К = а, L N = ^ . Найдите
площадь треугольника M O N .
2372. Две окружности с центрамиЛ
и В и радиусами соответственно 2 и 1
касаются друг друга. Точка С леж ит на
прямой, касающейся каждой из ок­
ружностей, и находится на расстоя­
нии
от середины отрезкаАВ. Най2Л
дите площадь S треугольника ABC, ес­
ли известно, что S > 2.
2373. Через некоторую точку, взя­
тую внутри треугольника, проведены
три прямые, параллельные сторонам.
Эти прямые разбивают треугольник на
шесть частей, три из которых — тре­
угольники с площадями S j , Sg, Sg. Най­
дите площадь данного треугольника.
2374. На сторонах А В , ВС и А С тре­
угольника A B C взяты соответственно
точки Cj, A j и B i так, что АС^ : С^В =
= B A i : A iC = C B i : В^А = 2 : 1 . Найди­
те площадь треугольника, вершины
которого — попарные пересечения от­
резков A4.J, ВВ^, СС^, если площадь
треугольника AB C равна 1.
2375. Из точки Р , расположенной
внутри остроугольного треугольника
AB C, опущены перпендикуляры на его
стороны. Длины сторон и опущенных
на них перпендикуляров соответ­
ственно равны а и к, Ь и т, с п п . Най­
дите отношение площади треугольни­
ка AB C к площади треугольника, вер­
шинами которого служат основания
перпендикуляров.
163
2376. Дан параллелограмм ABCD.
Прямая, проходящая через вершину
С, пересекает прямые А В и A D в точ­
ках К VL L . Площади треугольников
К В С и C D L равны р n q . Найдите пло­
щадь параллелограмма ABCZ).
2377. В параллелограмме ABCD
острый угол B A D равен а. Пусть О^,
О 2 , О 3 , О 4 — центры окружностей,
описанных соответственно около тре­
угольников D AB , DAC, DBC, ABC.
Найдите отношение площади четы­
рехугольника 0 i 0 2 0 g0 4 к площади па­
раллелограмма ABCD.
2378. В равнобедренном треуголь­
нике AB C (АВ = В С ) медианы A D и ЕС
пересекаются в точке О. Отношение
радиуса окружности, вписанной в тре­
угольник АОС, к радиусу окружности,
вписанной в четырехугольник ODBE,
2
АС
равно - . Найдите отношение — .
3
ВС
2379. Продолжения сторон K N и
LM
выпуклого четырехугольника
K L M N пересекаются в точке Р , а про­
должения сторон K L и M N — в точке
Q. Отрезок P Q перпендикулярен бис­
сектрисе угла K Q N . Найдите сторону
M N , если K Q = 6 , N Q = 4, а площади
треугольника L Q M и четырехугольни­
ка K L M N равны.
2380. Пусть M n N — середины про­
тивоположных сторон ВС u A D выпук­
лого четырехугольника A B C D , отрез­
ки А М и B N пересекаются в точке Р , а
отрезки D M и C N — в точке Q. Дока­
жите, что сумма площадей треуголь­
ников А Р В и CQD равна площади че­
тырехугольника M P N Q .
2381. Пусть С^, A i, В^ — такие точ­
ки на сторонах А В , ВС, СА треуголь­
ника AB C, для которых
СВ,
АС,
В^А
CiB
_
А^С
Г. Найдите отношение
площади треугольника, образованно­
го прямыми АА^, ББ^ иСС^, кплощади
треугольника A B C .
164
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2382. На каждой стороне паралле­
лограмма взято по точке. Площадь че­
тырехугольника с вершинами в этих
точках равна половине площади па­
раллелограмма. Докажите, что хотя
бы одна из диагоналей четырехуголь­
ника параллельна одной из сторон па­
раллелограмма.
2383. Стороны остроугольного тре­
угольника A B C соответственно равны
а, Ь м с. Точка М находится внутри
треугольника. У глы А М В , В М С и
С М А равны между собой. Найдите
сумму отрезков A/Vf, В М и С М .
2384. В остроугольном треугольни­
ке AB C точка D выбрана на стороне А В
так, что Z D CA = 45°. Точка
сим­
метрична точке D относительно пря­
мой ВС, а точка Х> 2 симметрична точке
относительно прямой А С и лежит
на продолжении отрезка ВС за точку
С. Найдите площадь треугольника
ABC, если ВС = J z CD 2 , А В = 4.
2385. Две окружности пересекают­
ся в точках А и К”. И х центры располо­
жены по разные стороны от прямой, со­
держащей отрезок АК". Точки Б и С ле­
жат на разных окружностях (рис. 95).
2386. Пусть Р — середина стороны
АВ
выпуклого
четырехугольника
AB CD . Докажите, что если площадь
треугольника PD C равна половине
площади четырехугольника ABCZ), то
стороны ВС h A D параллельны.
2387. На плоскости дан угол вели­
чины § . Окружность касается одной
3
стороны этого угла, пересекает другую
сторону в точках А и Б и пересекает
биссектрису угла в точках С и £>. Хор­
да А В равна J6 , хорда CD равна
.
Найдите площадь круга, ограниченно­
го этой окружностью.
2388. В остроугольном треугольни­
ке AB C проведены высоты A M и CN,
О — центр описанной около ABC ок­
ружности. Известно, что Z AB C = Р, а
площадь четырехугольника N O M B
равна S. Найдите АС.
2389. В трапеции AB CD основание
A D вдвое больше основания ВС, угол А
равен 30°, угол D равен 60°. На диаго­
налях трапеции как на диаметрах по­
строены окружности, пересекающие­
ся в точках К и Ь . Найдите отношение
площадей четырехугольников, на ко­
торые хорда K L разбивает трапецию
A B CD .
2390. В остроугольном треугольни­
ке AB C с углом С, равным 30°, высоты
пересекаются в точке М . Найдите пло­
щадь треугольника А М В , если рас­
стояния от центра окружности, опи­
санной около треугольника ABC, до
сторон ВС и АС соответственно равны
72 и
Прямая, содержащая отрезок А В , ка­
сается одной окружности в точке А .
Прямая, содержащая отрезок АС, ка­
сается другой окружности также в точ­
ке А . Отрезок В К равен 1, отрезок СК
равен 4, а тангенс угла САВ равен
л/ГВ
Найдите площадь треугольника ABC.
2391. Сторона А В параллелограм­
ма ABCD равна 2, Z B A D = 45°. Точки
Е и F расположены на диагонали BD,
причем Z А Е В = Z CFD = 90°, B F =
= I B E . Найдите площадь параллелограмма.
2392. Вершина С прямоугольника
A B C D леж ит на стороне К М равно­
бедренной трапеции A B JlM {В К II A M ),
Р — точка пересечения отрезков A M и
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
CD. Найдите углы трапеции и отноше­
ние площадей прямоугольника и тра­
пеции, если А В = 2ВС, А Р = ЗВК.
2393. Вершина D квадрата A B CD
лежит на стороне E F равнобедренной
трапеции B C £ F (C £ ЦB F). Найдите уг­
лы трапеции и отношение площадей
трапеции и квадрата, если АСЕ = BF.
2394. На отрезке А В лежат точки С
и D , причем точка С — между точками
A m D . Точка М взята так, что прямые
A M и M D перпендикулярны и прямые
С М и M B тоже перпендикулярны.
Найдите площадь треугольника А М Б ,
если известно, что угол C M D равен а,
а площади треугольников A M D и С М В
равны S i и S 2 соответственно.
2395. Точки D n K расположены со­
ответственно на стороне А В и высоте
B E остроугольного треугольникаАВС.
Найдите площадь равностороннего
треугольника D K C , если известно, что
А Е = ^ , £ С = 2 , А 0 : 1 ) Б = 1 : 8.
8
2396. Равнобедренный
треуголь­
ник AB C (Z С = 90°) и треугольник
D E F расположены так, что точка D ле ­
жит на стороне А В , а точка Е — на про­
должении стороны А В за точку А . От­
резок K L является средней линией в
обоих треугольниках, и площадь че­
тырехугольника D K L B составляет
I площади треугольника ABC. Най8
дите угол D E F .
2397. Параллелограмм ABCD, в ко­
тором Z. B A D = arcsin - , и ромб B C E F
3
с острым углом СВЕ расположены так,
что точки E h F лежат на продолжении
стороны A D за точку D . Площадь че­
тырехугольника B D C E составляет
О
-- площади параллелограмма. Найди4
те углы ромба.
2398°. На окружности по разные
стороны от диаметра АС расположены
точки В п D . Известно, что А В =
,
CD = 1, а площадь треугольника ABC
165
втрое больше площади треугольника
BCD. Найдите радиус окружности.
2399°. Биссектрисы углов Б и С па­
раллелограмма A B C D пересекаются в
точке О. Найдите площадь параллелограмма, если Z А = 2 arcsin
2
Лз
О А = 2 j\ 0 , OD = 5. (Найдите все ре­
шения).
2400°. Стороны четырехугольника
равны а, Ь, с и d. Известно, что в этот
четырехугольник можно вписать ок­
ружность и около него можно описать
окружность. Докажите, что его пло­
щадь равна J a b c d .
2401°. На сторонах АВ , АС и ВС
правильного треугольника ABC распо­
ложены соответственно точки С^, В^ и
А^ так, что треугольник А^В-^С^ явля­
ется правильным. Отрезок ББ^ пересе­
кает сторону C^Aj в точке О, причем
= к. Найдите отношение площади
треугольника AB C к площади тре­
угольника А ]В jC j.
2402°. Продолжения сторон A D и
ВС
выпуклого
четырехугольника
A B CD пересекаются в точке М , а про­
должения сторон А В и CD — в точке О.
Отрезок М О перпендикулярен бис­
сектрисе угла A O D . Найдите отноше­
ние площадей треугольника AOZ) и че­
тырехугольника ABCZ), если ОА = 12,
O D = 8 ,C D = 2.
2403°. Через середину каждой диа­
гонали выпуклого четырехугольника
проведена прямая, параллельная дру­
гой диагонали; точка пересечения
этих прямых соединена с серединами
сторон четырехугольника. Докажите,
что четырехугольник разбивается та­
ким образом на четыре равновеликие
части.
2404°. Дан выпуклый пятиуголь­
ник ABCDE. Площадь каждого из тре­
угольников ABC, BCD, CDE, DEA,
E A B равна S. Найдите площадь данно­
го пятиугольника.
166
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2405°. На сторонах А В и CD выпук­
лого четырехугольника ABCD выбира­
ются произвольные точки Е и F соот­
ветственно. Докажите, что середины
отрезков A F , B F , СЕ и D E являются
вершинами выпуклого четырехуголь­
ника, причем его площадь не зависит
от выбора точек Е и Р .
2406. В трапеции A B C D точка К —
середина основания А В , М — середина
CD. Найдите площадь трапеции, если
известно, что D K — биссектриса угла
D ,B M — биссектриса угла В, н£1ибольший из углов при нижнем основании
равен 60°, а периметр равен 30.
2407. Две окружности пересекают­
ся в точках К к С. И х центры располо­
жены по одну сторону от прямой, со­
держащей отрезок К С . Т оч к и Л и В ле ­
жат на разных окружностях. Прямая,
содержащая отрезок А К , касается од­
ной окружности в точке К . Прямая,
содержащая отрезок В К , касается
другой окружности также в точке К .
Известно, что А К = 2, В К =
2410. Около треугольника ABC (Z. А
> 90°) описана окружность с центром
О. Продолжение биссектрисы A L этого
треугольника пересекает окружность в
точке F . Обозначим через Е точку пере­
сечения радиуса АО со стороной ВС.
Пусть А Н — высота треугольника
ABC. Найдите отношение площади че­
тырехугольника F O E L к площади тре­
угольника A E L , если известно, что А Н
= ^ , A F = 2V 3,ZA Ei/=30°.
2411. Два одинаковых правильных
треугольника AB C и CDE со стороной 1
расположены так, что имеют только
одну общую точку С и угол BCD мень­
ше, чем 60° (рис. 96). Точка К — сере­
дина АС, точка!/ — середина С£, точка
М — середина B D . Площадь треуголь/5
ника K L M равна ^ . Найдите BD.
5
л/З,
tg / L A K B =
i - . Найдите площадь
2 j2
треугольника ЛВС.
2408. Пусть а, Ь, с, d — последова­
тельные стороны четырехугольника.
Докажите, что если S — его площадь,
то S <
+
^причем равенство имеет
O E F L , если известно, что A L = А J2 ,
2412. В круг радиуса R с центром в
точке О вписана трапеция ABCD (ВС <
< A D и точка О лежит внутри трапе­
ции). Непараллельные стороны трапе­
ции А В и CD равны R. Точка К — сере­
дина радиуса ОА, точка L — середина
радиуса OD, точка М — середина сто­
роны ВС. Отношение площади трапе­
ции к площади треугольника K L M
равно 4. Найдите М С.
2413. У глы
треугольника
ABC
удовлетворяют
равенству cos^A +
-f cos^ В -f cos^ С = 1. Найдите площадь
этого треугольника, если радиусы
вписанной и описанной окружностей
А Н = J z S и Z .A E H = 60°.
равны V3 и 3 л/2 соответственно.
место только для вписанного четырех­
угольника, диагонали которого взаим­
но перпендикулярны.
2409. В окружность с центром О
вписан треугольник Л В С ( Z . A > 90°).
Продолжение биссектрисы A F угла А
этого треугольника пересекает окруж­
ность в точке L , а радиус А О пересека­
ет сторону ВС в точке Е . Пусть А Н —
высота треугольника AB C. Найдите
отношение площади треугольника
OAL к площади четырехугольника
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2414. Две прямые делят каждую из
двух противоположных сторон выпук­
лого четырехугольника на три равные
части. Докажите, что между этими
прямыми заключена треть площади
четырехугольника.
2415. В трапеции A B C D угол BAD
равен 60°, а меньшее основание ВС
равно 5. Найдите боковую сторону
CD, если площадь трапеции равна
\ {A D ■В С -¥ А В ■CD).
2416. Точка £ стороны БС и точка F
стороны A D выпуклого четырехуголь­
ника AB C D расположены так, что
B E = 2ЕС, A F = 2FD. На отрезке А Е
находится центр окружности радиуса
г, касающейся сторон А В , ВС и CD. На
отрезке B F находится центр окруж ­
ности такого же радиуса г, касающей­
ся сторон А В , A D и CD. Найдите пло­
щадь четырехугольника A B C D , зная,
что указанные окружности внешним
образом касаются друг друга.
2417. В остроугольном треугольни­
ке AB C (А В > ВС) проведены высоты
A M и CN. Точка О — центр описанной
около треугольника AB C окружности.
Известно, что угол AB C равен Р, а пло­
щадь четырехугольника N O M B равна
S. Найдите АС.
2418. Диагонали B D и А С выпукло­
го четырехугольника ABCD перпенди­
кулярны, пересекаются в точке О,
А О = 2, ОС = 3. Точка К леж ит на сто­
роне ВС, причем В К : К С = 1 : 2 . Тре­
угольник A K D — равносторонний.
Найдите его площадь.
2419. В треугольнике A B C извест­
но, что А В = АС и угол ВАС — тупой.
Пусть D — точка пересечения биссект­
рисы угла AB C со стороной АС, М —
основание перпендикуляра, опущен­
ного из А на сторону ВС, Е — основа­
ние перпендикуляра, опущенного из D
на сторону ВС. Через точку В проведен
также перпендикуляр к B D до пересе­
чения со стороной ВС в точке F. И з­
167
вестно, что M E = FC = а. Найдите пло­
щадь треугольника ABC.
2420. Из точки Р , расположенной
внутри остроугольного треугольника
AB C, опущены перпендикуляры на
стороны А В , ВС и СА. Длины перпен­
дикуляров соответственно равны I, т,
п. Вычислите площадь треугольника
A B C , если величины углов ВАС, ABC и
АСВ соответственно равны а, Р и у.
2421. Поделим каждую сторону
выпуклого четырехугольника ABCD
на три равные части и соединим отрез­
ками соответствующие точки на про­
тивоположных сторонах. Докажите,
что площадь «среднего» четырех­
угольника в 9 раз меньше площади че­
тырехугольника ABCD.
2422. Докажите, что прямая, деля­
щая пополам периметр и площадь тре­
угольника, проходит через центр его
вписанной окружности.
2423. Н а дуге окружности, стяги­
ваемой хордой K N , взяты точки L и М .
Биссектрисы углов K L M и L M N пере­
секаются в точке Р , лежащей на хорде
K N . Известно, что K L : K N = 2 : 5 .
Найдите:
а) отношение расстояний от точки
Р до прямых K L и M N ;
б) отношение площадей треуголь­
ников K L P и M P N .
2424. В остроугольном треугольни­
ке две высоты равны 3 и 2 ^2 , а их точ­
ка пересечения делит третью высоту в
отношении 5 : 1 , считая от вершины
треугольника. Найдите площадь тре­
угольника.
2425. Докажите, что прямая делит
периметр и площадь описанного много­
угольника в равных отношениях тогда
и только тогда, когда она проходит че­
рез центр вписанной окружности.
2426. Н аотрезкеА С взятаточкаБ и
на отрезках А В , ВС, СА как на диа­
метрах построены полуокружности
S i, S 2 , -Sg ПО одну сторону от АС. Най­
168
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
дите радиус окружности, касающейся
прямых дх + 2 у - 5 = 0 и х - З у + 2 = 0
всех трех полуокружностей, если из­
параллельно оси ординат.
вестно, что ее центр удален от прямой
2437. Найдите радиус и координа­
А С на расстояние, равное а.
ты центра окружности, заданной
2427.
Площадь трапеции ABCDуравнением:
равна S, отношение оснований —
а) (л: - 3)2-t-( у -f 2 ) 2 = 16;
A D : ВС = 2 : 1 . Отрезок M N располо­
б) х 2 -Ь у 2 - 2(х - Зу) - 1 5 = 0;
жен так, что он параллелен диагонали
в )х ^ + у^ = х + у + ^ .
B D , пересекает диагональ АС, а отре­
зок A M параллелен отрезку C N. Най­
2438. Дан
правильный
шести­
дите
площадь
четырехугольника
угольник A B C D E F. Известно, что
A M N D ,e c jm C N : A M = 3 : 1 , B D : M N =
А В — а , A F = Ь . Найдите векторы
= 6 : 1 . (Найдите все решения.)
—> — > —> — >
A D , B D , F D и В М , где М — середи­
на стороны E F .
11. К О О РД И Н АТЫ . ВЕКТОРЫ
2439. На рис. 97 данаточкаМ (-1,3).
Найдите координаты точки, симмет­
2428.
Точка М {х^, у^) — середина
ричной точке М относительно: а) оси х;
отрезка с концами в точках A(x^; у^) и
б) оси у; в) начала координат; г) точки
В (Х 2 ', Уг)- Докажите, что
К (3 ; 1); д) биссектрисы I и I I I коорди­
натных углов; е) биссектрисы I I и I V
Х-.+Х
Хп =
координатных углов.
2429. Пусть М — середина отрезка
А В , О — произвольная точка. Дока>
1
—> —>
жите, что О М = - (О А + О В ).
2430. Д аны точкиЛ(-1; 5)и Б (3; -7 ).
Найдите расстояние от начала коорди­
нат до середины отрезка АВ .
2431. Даны точкиЛ(3; 5), В(-6; -2 )
и С(0; ^ 6 ). Докажите, что треугольник
AB C — равнобедренный.
2432. Даны точкиЛ(2; 4), Б ( 6 ; - 4 ) и
С(—8 ; —1). Докажите, что треугольник
A B C — прямоугольный.
2433. Даны точкиЛ(0; -2 ), Б (-2 ; 1),
С(0; 0) и D(2; - 9 ). Укажите те из них,
которые лежат на прямой 2х —З у + 7 =
=
Р и с . 97
0.
2434. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку М (—3, 1 ) па­
раллельно: а) оси х; б) оси у.
2435. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку М (- 3 ; 2) па­
раллельно прямой 2х - Зу + 4 = 0.
2436. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку пересечения
2440. Найдите координаты вершин
треугольника, стороны которого лежат
на прямых 2 х 4 - у - 6 = 0, x - j / + 4 = 0
HJ/+ 1 = 0 .
2441. Даны точкиА(-2; 2), Б (-2 ; -2 )
и С ( 6 ; 6 ). Составьте уравнения прямых,
на которых лежат стороны треуголь­
ника ABC.
169
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2442. Даны точки А (4; 1), Б ( - 8 ; 0) и
С(0; —6 ). Составьте уравнение прямой,
на которой лежит медиана A M тре­
угольника A B C .
2443. Докажите, что то ч к и ^ -1 ; -2 ),
Б(2; - 1 ) и С( 8 ; 1) лежат на одной пря­
мой.
2444. Даны точки Л (- 2 ; 0), Б(1; 6 ),
С(5; 4) и В(2; —2). Докажите, что четы­
рехугольник ABCD — прямоугольник.
2445. Найдите расстояние между
точкой А(1; 7) и точкой пересечения
прямых x - j/ - 1 = 0 h x + 3 j/ - 1 2 = 0.
2446. Даны точки Л(0; 0), Б (-2 ; 1),
С(3; 3), £)(2 ; - 1 ) и окружность ( х - 1)2 4+ (г/ + 3)2 = 25. Выясните, где располо­
жены эти точки: на окружности, вну­
три или вне окружности.
2447. Точка М делит сторону ВС
треугольника AB C в отношении
ВМ
мс
Q
---------- ^
^
^
= - . Известно, что А В = а , А С = Ь .
5
Найдите вектор A M .
2448. Даны т о ч к и Л (-2 ; 1), Б(2; 5)
иС(4; -1 ). Т о ч к а !) лежит на продолже­
нии медианы A M за точку М , причем
четырехугольник A B D C — параллело­
грамм. Найдите координаты точки D.
2449. Окружность с центром в точ­
ке М (3 ; 1) проходит через начало коор­
динат. Составьте уравнение окруж­
ности.
2450. Пусть
ББ^, СС^ — меди­
аны треугольника AB C. Докажите,
2453. М^, M g, ..., M g — середины
сторон выпуклого шестиугольника
A i A z- . ^ q. Докажите, что существует
треугольник, стороны которого равны
и параллельны
отрезкам M^Mg,
М 3М 4 , М 5М 6 .
2454. Две взаимно перпендикуляр­
ные хорды А В и CD окружности с
центром О пересекаются в точке М .
Докажите, что
O N = | (О А 4- ^
+ ОС 4- ^ ) .
2455. Даны т о ч к и Л (- 6 ; -1 ), Б(1; 2)
и С (-3 ; -2 ). Найдите координаты вер­
шины М параллелограмма АВМ С.
2456. Докажите, что прямые, за­
данные уравнениями у = k^x + li п
у = fegX 4-1 2 , перпендикулярны тогда и
только тогда, когда
= - 1.
2457. Пусть М — точка пересече­
ния медиан треугольника ABC. Дока­
жите, что М А 4- М Б 4- М С = О .
2458.
Пусть М — точка пересече­
ния медиан АА^, ББ^ и СС^ треуголь­
ника ABC. Докажите, что
M A i 4- М Б 1 4- M C i = О .
2459. Даны два параллелограмма
A B C D пАуВуС-J)^, у которых О и
—
точки пересечения диагоналей. Дока­
жите равенство:
OOi = I
(^ 1
4-
4- C C i 4- Ш >-1).
что A A i 4- B B i + C C i = О .
2460. Даны точки А (0 ; 0), Б(4; 0) и
2451.
Пусть М — середина отрезкаС(0; 6 ). Составьте уравнение окруж­
А В , M l — середина отрезка А^Б^. Доности, описанной около треугольника
ABC.
кажите, что М М ^ = - (A A i 4- Б Б 1 ).
2461. На продолжениях сторон тре­
угольника
ABC взяты точки A j, Б 1 и Cj
2452.
Пусть М — точка пересече­
ния диагоналей АС и B D параллело­
грамма ABCZ), О — произвольная точ­
ка. Докажите, что
О М = \ {О А + О В + О С + O D ).
так, что А Б 1 = 2 А Б , Б С 1 = 2БС и
C A i = 2 А С . Найдите площадь тре­
угольника А^Б^С^, если известно, что
площадь треугольника ABC равна S.
170
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2462. Пусть точки
В^, С^ — се­
редины сторон ВС, АС и А В треугольникаАВС (рис. 98, а, б). Докажите, что
для любой точки О выполняется ра­
венство
О А] + O B i + O Ci = О А + O B + О С .
2463. Пусть М — точка пересече­
ния медиан треугольника AB C, О —
произвольная точка. Докажите, что
О М = 1 (О А + ОБ + ^ ) .
причемх^ФХ 2 П у 1 Фу 2 - Докажите, что
3
2464. Найдите длину хорды, кото­
рую на прямой у = 3х высекает окруж ­
ность (х -I-1)2 + ( у - 2)2 = 25.
2465. Докажите, что прямая Зх - 4i/ + 25 = О касается окружности
+
+ 1 / 2 = 25, и найдите координаты точки
касания.
2466. Составьте уравнение окруж­
ности, касающейся осей координат и
проходящей через точку Л ( 2 ; 1 ).
2467. Найдите координаты точек
пересечения окружностей (х - 2 ) 2 +
-t-(г/- 10)2 = 50 и х2 ч-Z/2+ 2(д: - 1/) - 18 =
=
пересечения медиан треугольника
ABC.
2470. Даны то ч к и А (-1 ; 3), Б(1; -2 ),
С( 6 ; 0) и Х)(4; 5). Докажите, что четы­
рехугольник AB C D — квадрат.
2471. Известно, что прямая с угло­
вым коэффициентом h проходит через
точку M ( xq, i/q). Докажите, что ее
уравнение имеет вид y —yQ = k {x ~ дсо).
2472. Известно, что прямая прохо­
дит через точки М{х-^-, i/j) и N^Xz', у^,
0.
2468. Даны т о ч к и Л (- 6 ; 1 )и Б (4 ; 6 ).
Найдите координаты точки С, деля­
щей отрезок А В в отношении 2 : 3 ,счи­
тая от точки Л .
2469. Даны точки Л (5 ; 5), Б ( 8 ; - 3 ) и
С(—4; 1). Найдите координаты точки
ее уравнение имеет вид У-У1
У2~У\
Х п — Хл
2473. Составьте уравнение окружпости, проходящей через точк и А (- 1 ; 1 ),
Б (9 ;3 )и С (1 ;7 ).
2474. Даны точки А (-2 ; 3), Б(2; 6 ),
С(6 ; - 1 ) и D (-3 ; -4 ). Докажите, что ди­
агонали четырехугольника ABCD вза­
имно перпендикулярны.
2475. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку М (- 1 ; 4) пер­
пендикулярно прямой я: - 2J/4- 4 = 0.
2476. Д аны точкиА ( 6 ; 1 ),Б (- 5 ;- 4 ),
С(—2; 5). Составьте уравнение прямой,
на которой леж ит высота треугольни­
ка ABC, проведенная из вершины А.
2477. С помощью метода координат
докажите, что суммы квадратов рас­
стояний от произвольной точки плос­
кости до противоположных вершин
прямоугольника равны между собой.
Рис. 98
ПЛАНИМ ЕТРИ Я
171
2478.
Пусть М и N — точки пересе­пересечения медиан треугольника
чения медиан треугольников ABC и
ABC.
P Q R соответственно. Докажите, что
2489. Даны точки А и В. Найдите
геометрическое место точек М , для ко­
M N = i ( A P + B Q + C R ).
торых A M = 2 В М .
3
2490. Даны точки А , В и положи­
2479. Докажите, что существует
тельное
число d. Найдите геометри­
треугольник, стороны которого равны
ческое
место
точек М , для которых
и параллельны медианам данного тре­
А М 2 + ВМ ^ = d.
угольника.
2491. На диагоналях А С и СЕ пра­
2480. Составьте уравнение прямой,
вильного шестиугольника A B C D E F
проходящей через точку А (0 ; 7) и ка­
сающейся окружности
взяты точки М и N соответственно та­
кие, что A M : АС = C N : СЕ = X. Из­
(x - 1 5 )2 + (z/ -2 ) = 25.
вестно, что точки В, М п N лежат на
2481. Даны точкиА(5; -1 ), В(4; - 8 ),
одной прямой. Найдите Л.
С(—4; —4). Найдите координаты точки
2492. Докажите, что при произ­
пересечения высот треугольника ABC.
вольном выборе точки О равенство
2482. С помощью метода координат
найдите геометрическое место точек
О С = k O A + (1 - k )O B является необ­
плоскости, разность квадратов рас­
ходимым и достаточным условием
стояний от которых до двух данных
принадлежности различных точек А,
точек постоянна.
В , С одной прямой.
2483. Докажите, что расстояние от
2493. Стороны
параллелограмма
точки M ( xq; i/q) до прямой, заданной
разделены по обходу в равных отноше­
ниях. Докажите, что точки деления
уравнением ах + by + с = О, равно
служат вершинами параллелограмма,
\ а Х о + Ь у о + с\
а центры этих параллелограммов сов­
Ja^ + b^
падают.
2484. Составьте уравнение окруж ­
2494. В четырехугольнике ABCD
ности с центром в точке М (3 ; 2), ка­
точка
Е — середина АВ , К — середина
сающейся прямой у = 2х + 6.
CD.
Докажите,
что середины отрезков
2485. Точка М леж ит на прямой
А
К
,
СЕ,
В
К
и
D
E являются вершина­
Зл: —4 у + 34 = О, а точка N — на окруж­
ми параллелограмма.
ности х^ +
- 8х + 2у - S = 0. Найдите
2495. На сторонах треугольника за­
наименьшее расстояние между точка­
даны точки, которые делят стороны в
ми М n N .
одном и том же отношении (в ка2486. Найдите расстояние между
ком-либо одном направлении обхода).
параллельными прямыми у = —Зл: + 5
Докажите, что точки пересечения ме­
и у = - З х - 4.
диан данного треугольника и тре­
2487. Даны две точки A (x i; у {) и
угольника, имеющего вершинами точ­
В {х 2 , У2) и неотрицательное число Л.
ки деления, совпадают.
Найдите координаты точки М луча
2496. В выпуклом пятиугольнике
А В , для которой A M : А В = X.
A B C D E с единичными сторонами сере­
2488. Даны треугольник Л В С и
дины Р , Q сторон А В , CD и середины S,
Т сторон ВС, D E соединены отрезками
точка М . Известно, что М А + M B +
PQ и S T . Пусть М W.N — середины от­
+ М С = О . Докажите, что М — точка
резков P Q и s r . Найдите отрезок M N .
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
172
2497.
Проведены четыре радиусатреугольника K M N — треугольник
PQ R. Докажите, что третий треуголь­
ОА, ОВ, ОС и OD окружности с цент­
ник подобен первому, и найдите коэф­
ром О. Докажите, что если
фициент подобия.
О А + О В + ОС + O D = Q ,
2503.
Из произвольной точки М
внутри
равностороннего
треугольника
то A B C D — прямоугольник.
опущены
перпендикуляры
МК-у,
2498. Дан квадрат ABCD, сторона
которого равна 4
. Точка О выбрана
в плоскости квадрата так, что ОВ = 10,
OD = 6 . Найдите угол между вектором
ОВ и вектором, направленным из точ­
ки О в наиболее удаленную от нее вер­
шину квадрата.
2499. Дан квадрат A B CD , сторона
которого равна 8 . Точка О выбрана в
плоскости квадрата так, что ОВ =
М К 2 , М К ^ на его стороны. Докажите,
что M K i + М К 2 + М К з = I М О , где
О — центр треугольника.
2504. Докажите, что сумма квадра­
тов расстояний от какой-нибудь точки
окружности до вершин правильного
вписанного треугольника есть величи­
на постоянная, не зависящая от поло­
жения точки на окружности.
= 10 л/2 , OD = 6 л/2 . Найдите угол меж­
2505. Даны т о ч к и 1/1 ), В (х 2 ; у 2 )
ду вектором ОВ и вектором, направ­
и прямая ax + by-\-c = Q. Известно, что
ленным из точки О в ближайшую к
a xi + Ъу1 -f с > О, а ajcg + Ъу2 + с < 0.
ней вершину квадрата.
Докажите, что точки А и Б располо­
2500. Пусть Н — точка пересече­
жены по разные стороны от этой пря­
ния высот треугольника ABC, О —
мой.
центр описанной окружности. Дока­
2506. Две окружности касаются
жите, что
внешним образом в точке А . Прямая,
проходящая через точку А , вторично
ОН = О А + О В + ОС.
пересекает окружности в точках В и С.
2501.
Точки М , К , N h L — середи­Найдите геометрическое место сере­
ны сторон А В , ВС, CD и D E пятиуголь­
дин отрезков ВС.
ника A B C D £, P h Q — середины отрез­
2507. О — центр правильного мно­
ков M N и K L (рис. 99). Докажите, что
гоугольника A iA 2 Ag...A„, X — произ­
вольная точка плоскости.
а) Докажите, что
OAi 4-... 4- ОАп — О .
б) Докажите, что
X A i + ... -Ь Х А п = п • Х о .
2508.
Найдите наименьшее значе­
ние выражения
Р и с . 99
|а + Ь| -t-
■
отрезок PQ в четыре раза меньше сто­
2509.
Точки К , N , L , М расположе­
роны А Е и параллелен ей.
ны соответственно на сторонах АВ,
2502.
Из медиан A 4 j, ВВ^ и СС^ тре­ВС, CD и A D выпуклого четырехуголь­
угольника AB C составлен треугольник
ника A B C D , причем А К
K M N , а из медиан КК^, М М ^ и
КВ
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
^
= p. Докажите, что точка
iWи
1уС/
пересечения Р отрезков K L и M N де­
лит их в тех же отношениях, т. е.
PN
=а
^
PL
=В
Р-
2510. Какую линию описывает се­
редина отрезка между двумя пешехо­
дами, равномерно идущими по пря­
мым дорогам?
2511. На сторонах треугольника
A B C во внешнюю сторону построены
подобные между собой треугольники
A D B , В ЕС и C FE ( ^
= BE ^ C F ^
ЕС
FA
\£)В
/L A B D = ^ ВЕС = Z CFA = а
. Дока­
жите, что:
1) середины отрезков АС, DC, ВС и
E F — вершины параллелограмма;
2 ) у этого параллелограмма два угла
равны а, а отношение сторон равно k.
2512. На координатной плоскости
нарисовали график функции у = х^, &
затем стерли оси координат. Восста­
новите их с помощью циркуля и л и ­
нейки.
2513. Назовем точку плоскости ра­
циональной, если ее обе координаты —
рациональные числа. Докажите, что
если на окружности х^‘ + у^‘ — R {R —
целое) есть хотя бы одна рациональная
точка, то на этой окружности беско­
нечно много рациональных точек.
12. ГЕОМ ЕТРИЧЕСКИЕ
П РЕО Б РА ЗО В АН И Я
2514. Докажите, что при централь­
ной симметрии окружность переходит
в окружность.
2515. Докажите, что при централь­
ной симметрии каждый луч переходит
в противоположно направленный луч.
2516. Пусть две прямые пересека­
ются под углом а. Докажите, что при
173
повороте на угол а (в одном из направ­
лений) относительно произвольной
точки одна из этих прямых перейдет в
прямую, параллельную другой.
2517. Докажите, что при повороте
окружность переходит в окружность.
2518. Докажите, что при парал­
лельном переносе окружность перехо­
дит в окружность.
2519. Докажите, что при гомотетии
окружность переходит в окружность.
2520. Верно ли следующее утверж­
дение: «Е сли четырехугольник имеет
ось симметрии, то это либо равнобед­
ренная трапеция, либо прямоуголь­
ник, либо ромб»?
2521. Равнобедренный
треуголь­
ник AB C с основанием ВС повернули
вокруг точки С так, что его вершинаА
оказалась в точке
на прямой ВС.
При этом вершина В перешла в неко­
торую точку В^, лежащую с точкой А
по одну сторону от прямой ВС. Дока­
жите, что прямые А В иВ^С параллель­
ны.
2522. На боковых сторонах А В и АС
равнобедренного треугольника ABC
построены вне его равные треугольни­
ки А М В vlA N C {A M = A N ). Докажите,
что точки М и N симметричны относи­
тельно биссектрисы угла ВАС.
2523. Существует ли фигура, не
имеющая осей симметрии, но перехо­
дящая в себя при некотором повороте?
2524. Докажите, что треугольник
ABC является правильным тогда и
только тогда, когда при повороте на
60° (либо по часовой стрелке, либо —
против) относительно точки А верши­
на В переходит в С.
2525. Равнобедренный треугольник
ABC с основанием ВС повернули во­
круг точки С так, что его вершина А
оказалась в точке А^ на прямой ВС.
При этом вершина В перешла в некото­
рую точку В^, лежащую с точкой А по
одну сторону от прямой ВС. Получен­
ный таким образом равнобедренный
треугольник А^В^С повернули вокруг
174
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точки A j так, что вершина
перешла
в точку Eg на прямой ВС (рис. 100).
При этом вершина С перешла в некото­
рую точку Cg, также лежащую с точ­
кой А по одну сторону от прямой ВС.
Докажите, что CgBg параллельна АС.
2526. Докажите, что ось симмет­
рии а) треугольника; б) ( 2 й + 1 )-угольника проходит через его вершину.
2527. Докажите, что если ось сим­
метрии а) четырехугольника; б) 2 тугольника проходит через какую-ни­
будь его вершину, то она проходит и
через другую вершину.
2528. Докажите, что для любого на­
турального п cymiecTByeT выпуклый
многоугольник, имеющий ровно п
осей симметрии.
2529. Даны угол A B C и прямая Z.
Параллельно прямой I проведите пря­
мую, на которой стороны углаА Б С вы­
секают отрезок, равный данному.
2530. Докажите,
что
четырех­
угольник, имеющий центр симмет­
рии, является параллелограммом.
2531. В данный треугольник впи­
шите ромб так, чтобы один из его углов
совпал с углом треугольника.
2532. Докажите, что две касаю­
щиеся окружности гомотетичны отно­
сительно их точки касания.
2533. Две окружности касаются в
точке К . Прямая, проходящая через
точку К , пересекает эти окружности в
точках А и В. Докажите, что касатель­
ные к окружностям, проведенные че­
рез точки А и В, параллельны.
2534. Докажите, что точки, сим­
метричные произвольной точке отно­
сительно середин сторон квадрата, яв­
ляется вершинами некоторого квад­
рата.
2535. На каждом из оснований A D
и ВС трапеции A B C D построены вне
трапеции равносторонние треугольни­
ки. Докажите, что прямая, соединяю­
щая третьи вершины этих треугольни­
ков, проходит через точку пересече­
ния диагоналей трапеции.
2536. На плоскости даны точки А и
В и прямая I. По какой траектории
движется точка пересечения медиан
треугольников ABC, если точка С дви­
жется по прямой 1 1
2537. Вершины К и N треугольни­
ка K M N перемещаются соответствен­
но по сторонам А В и АС угла ВАС, а
стороны треугольника K M N соответ­
ственно параллельны трем данным
прямым. Найдите геометрическое
место вершин М .
2538. Точки А и В лежат по разные
стороны от прямой I. Постройте на
этой прямой точку М так, чтобы пря­
мая I д ели ла А М В пополам.
2539. Существует л и фигура, не
имеющая ни осей симметрии, ни цент­
ров симметрии, но переходящая в себя
при некотором повороте?
2540. На плоскости дан угол а с вер­
шиной в точке О. Докажите, что ком­
позиция симметрий относительно сто­
рон угла является поворотом вокруг
точки О на угол 2а.
2541. Через точку внутри данного
круга проведите хорду, отсекающую
от окружности дугу заданной угловой
величины.
2542. Постройте отрезок, равный и
параллельный данному так, чтобы его
концы леж али на данной прямой и на
данной окружности.
2543. Проведите через общую точ­
ку А окружностей
и ^ 2 прямую так,
чтобы эти окружности высекали на
ней равные хорды.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
175
2544. На каждом основании трапе­
ружность в точках А и В, вторую — в
ции A B C D построены вне трапеции
точках C n D . Докажите, что А В ||CD.
квадраты. Докажите, что эти квадра­
2553. На окружности фиксирова­
ты гомотетичны относительно точки
ны точки А и В, а точка С движется по
пересечения диагоналей трапеции.
этой окружности. Найдите геометри­
2545. Четырехугольник разрезан
ческое место точек пересечения меди­
диагоналями на четыре треугольника.
ан треугольников ABC.
Докажите, что точки пересечения ме­
2554. Дан ромб A B C D с острым уг­
диан этих треугольников образуют па­
лом А в 60°. Прямая M N отсекает от
раллелограмм.
сторон А В и ВС отрезки M B и N B , сум­
2546. Четырехугольник имеет ось
ма которых равна стороне ромба. До­
симметрии. Докажите, что он либо яв­
кажите, что треугольник M D N — рав­
ляется равнобедренной трапецией, л и ­
носторонний.
бо прямоугольником, либо симметри­
2555. Прямые, касающиеся ок­
чен относительно диагонали.
ружности в точках А и В, пересекают­
2547. На плоскости даны точки О,
ся в точке М , а прямые, касающиеся
М и прямая I, проходящая через точку
той же окружности в точках C n D , пе­
О. Прямую I повернули вокруг точки О ресекаются в точке N ,
причем
против часовой стрелки на угол а, по­
N C X М А и N D X M B . Докажите, что
лучив прямую Zj. Докажите, что точ­ A B ± C D или А В II CD.
ка, симметричная точке М относи­
2556. Лист бумаги согнут пополам.
тельно прямой 1 ^, получается из точ­
Докажите, что линия сгиба — прямая.
2557. Четырехугольник имеет две
ки, симметричной точке М относи­
неперпендикулярные оси симметрии.
тельно прямой I, поворотом вокруг
Верно ли, что это — квадрат?
точки о против часовой стрелки на
2558. Фигура имеет две перпенди­
угол 2 а.
кулярные оси симметрии. Верно ли,
2548. Две окружности радиуса R
что она имеет центр симметрии?
касаются в точке К . На одной из них
2559. Серединный перпендикуляр
взята точка А , а на другой — точка В,
к стороне А В треугольника AB C пере­
причем А А К Б = 90°. Докажите, что
секает сторону АС в точке К , причем
A B = 2R.
точка К делит ломаную АСВ на две
2549. Даны параллелограмм A B CD
части равной длины. Докажите, что
и точка М . Через точки А , В , С и D про­
треугольник AB C — равнобедренный.
ведены прямые, параллельные пря­
2560. Постройте хорду данной ок­
мым М С , M D , М А и M B соответствен­
ружности, равную и параллельную
но. Докажите, что они пересекаются в
данному отрезку.
одной точке.
2561. Постройте четырехугольник
2550. Через центр квадрата прове­
A B C D по четырем углам и сторонам
дены две перпендикулярные прямые.
А В = а и CD = Ь.
Докажите, что их точки пересечения
со сторонами квадрата образуют квад­
2562. Противоположные стороны
рат.
выпуклого шестиугольника попарно
2551. Постройте на сторонах ВС и
равны и параллельны. Докажите, что
CD параллелограмма ABCD точки М и
он имеет центр симметрии.
N так, чтобы угол при вершине А рав­
2563. Докажите, что противопо­
нобедренного
треугольника
MAN
ложные стороны шестиугольника, об­
имел данную величину а.
разованного сторонами треугольника
2552. Две окружности касаются в
и касательными к его вписанной ок­
точке К . Через точку К проведены две
ружности, параллельными сторонам,
прямые, пересекающие первую ок­
равны между собой.
176
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2564.
Ш естиугольник A B C D E F — 2571. Постройте треугольник по
правильный, К и М — середины отрез­
двум сторонам и разности углов, при­
ков B D и E F (рис. 101). Докажите, что
лежащих к третьей.
треугольник АМЛГ — правильный.
2572. Постройте треугольник ABC
по углам А и Б и разности сторон А С и
ВС.
2573. Прямые I и т пересекаются в
точке О, прямые 1-^ и
получены из
прямых Zи /тг поворотом на некоторый
угол относительно точки О. Докажи­
те, что композиция симметрий отно­
сительно г и /тг и композиция симмет­
рий относительно
— одно и то
2565. Рассмотрим все окружности,
касающиеся данной прямой и данной
окружности (внешним образом). В
каждом случае проведем прямую че­
рез точки касания. Докажите, что все
эти прямые проходят через одну и ту
же точку. (Это же верно и для случая
внутреннего касания окружностей.)
2566. Точки M n N расположены по
одну сторону от прямой I. Как из точки
М направить луч света, чтобы он, от­
разившись от прямой I, попал в точку
т
2567. Даны прямая I и точки А и В
по одну сторону от нее. Найдите на
прямой I точку М такую, чтобы луч
М А был биссектрисой угла между л у ­
чом M B и одним из лучей с вершиной
М , принадлежащих данной прямой I.
2568. Постройте треугольник по
данным серединам двух его сторон и
прямой, на которой лежит биссектри­
са, проведенная к третьей стороне.
2569. Постройте треугольник по
данным серединам двух его сторон и
прямой, на которой лежит биссектри­
са, проведенная к одной из этих сторон.
2570. Докажите, что всякий четы­
рехугольник с осью симметрии либо
вписанный, либо описанный.
же преобразование.
2574. На сторонах параллелограм­
ма построены квадраты по ту же сторо­
ну от его сторон, по которую располо­
жен сам параллелограмм (рис. 1 0 2 ).
Докажите, что центры этих квадратов
сами образуют квадрат.
2575. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E углы AB C и C D E равны по 90°,
стороны ВС, CD и А Е равны по 1 и
сумма сторон А В и D E равна 1. Дока­
жите, что площадь пятиугольника
равна 1 .
2576. Медианы A A i, ВВ^ и СС^ тре­
угольника AB C пересекаются в точке
М ; Р — произвольная точка. Прямая
проходит через точку А параллельно
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
прямой P A j, прямые 1 ,^ и 1 ^ определя­
ются аналогично. Докажите, что:
а) прямые
If, и
пересекаются в
одной точке Q;
б) точка М леж ит на отрезке PQ,
причем Р М : M Q = 1 : 2 .
2577. Впишите в треугольник две
равные окружности, каждая из кото­
рых касается двух сторон треугольни­
ка и другой окружности.
2578. В данный треугольник впи­
шите другой треугольник, стороны ко­
торого соответственно параллельны
трем данным прямым.
2579. На дуге ВС окружности, опи­
санной около равностороннего тре­
угольника A B C , взята произвольная
точка Р . Докажите, что А Р = Е Р + СР.
2580. Внутри острого угла даны
точки М и N . Как из точки М напра­
вить луч света, чтобы он, отразившись
последовательно от сторон угла, попал
в точку N ?
2581. На сторонах А В , ВС и СА ост­
роугольного треугольника ABC взяты
соответственно точки Сц А^ и В^. И з­
вестно, что луч света, пущенный из
точки А^ в точку В^, отразившись от
стороны АС, попадает в точку С^, за­
тем, отразившись от стороны А В , —
в точку A j, оттуда — снова в точку
и т. д. Докажите, что А^,
и
— ос­
нования высот треугольника ABC.
2582. A B C — разносторонний ост­
роугольный треугольник. Сколько на
плоскости существует точек D таких,
что множество {А, В , С, D} имеет ось
симметрии?
2583. Постройте треугольник ABC,
если известно, что A N = с, ВС —А С = а,
^ С = у.
2584. Докажите, что композиция
двух симметрий относительно парал­
лельны х прямых есть параллельный
перенос в направлении, перпендику­
лярном этим прямым, на величину,
равную удвоенному расстоянию меж­
ду ними.
177
2585. На плоскости даны прямая I и
точка М . Пусть M i — точка, симмет­
ричная точке М относительно прямой
I. При параллельном переносе прямой
I в перпендикулярном ей направлении
на расстояние h прямая I перешла в
прямую li- Докажите, что образ Mg
точки М при симметрии относительно
прямой li получается из точки M j па­
раллельным переносом в том же на­
правлении на расстояние 2 Л.
2586. На плоскости даны две парал­
лельные прямые I и т. И х параллель­
но перенесли на некоторое расстояние
h, получив прямые li и т^. Докажите,
что композиция симметрий относи­
тельно прямых I и т и композиция
симметрий относительно прямых Zj и
m-i — одно и то же преобразование.
2587. Внутри
прямоугольника
A B CD взята точка М . Докажите, что
существует выпуклый четырехуголь­
ник с перпендикулярными диагоналя­
ми, равными А В и ВС, стороны которо­
го равны A M , В М , С М , D M .
2588. Докажите, что выпуклый
п-угольник является правильным тог­
да и только тогда, когда он переходит
в себя при повороте на угол 360'’ отно­
сительно некоторой точки.
2589. Докажите, что середины сто­
рон правильного многоугольника об­
разуют правильный многоугольник.
2590. Пусть М и N — середины сто­
рон CD u D E правильного шестиуголь­
ника A B C D E F. Найдите угол между
прямыми A M и B N .
2591. В ромбе ABCD угол ABC равен
120°. На сторонах А В и ВС взяты точ­
ки Р и Q так, что А Р = BQ. Найдите уг­
лы треугольника PQ D .
2592. Постройте хорду данной ок­
ружности, которую два данных ради­
уса разделили бы на три равные части.
2593. На каждой из сторон тре­
угольника A B C построено по прямо­
178
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
угольнику так, что они попарно каса­
ются вершинами (рис. 103). Докажи­
те, что прямые, соединяющие верши­
ны треугольника A B C с соответствую­
щими
вершинами
треугольника
А^Б^С^, пересекаются в одной точке.
2599. Постройте отрезок, равный и
параллельный данному, так, чтобы
его концы леж али на двух данных ок­
ружностях.
2600. Постройте
равносторонний
треугольник ABC так, чтобы его вер­
шины леж али на трех данных парал­
лельны х прямых.
2601. Постройте равносторонний
треугольник, одна вершина которого
леж ала бы на данной окружности,
другая — на данной прямой, а
третья — в данной точке.
2602°. Постройте равносторонний
треугольник, у которого одна из вершин
была в данной точке, а две другие — на
2594. На стороне ВС равносторон­
двух данных окружностях.
него треугольника A B C как на диа­
2603°. Постройте равносторонний
метре внешним образом построена по­
треугольник, вершины которого ле ­
луокружность, на которой взяты точ­
жат соответственно на трех данных
ки ЛГ и L , делящ ие полуокружность на
концентрических окружностях.
три равные дуги. Докажите, что пря­
2604°. Впишите в данный паралле­
мые А К и A L делят отрезок ВС на рав­
лограмм прямоугольник с заданным
ные части.
углом между диагоналями.
2595. Окружности радиусов г и R
2605. Впишите квадрат в данный
касаются друг друга внутренним обра­
параллелограмм.
зом. Найдите сторону правильного
2606. Постройте квадрат, три вер­
треугольника, у которого одна верши­
шины которого леж али бы на трех па­
на находится в точке касания данных
раллельных прямых.
окружностей, а две другие лежат на
2607. Постройте равнобедренный
разных данных окружностях.
прямоугольный
треугольник, гипоте­
2696.
На листе прозрачной бумаги
нуза
которого
опиралась
бы на две дан­
нарисован четырехугольник. Какое
ные
окружности,
а
вершина
прямого
наименьшее число раз нужно согнуть
угла
леж
ала
бы
в
данной
точке.
лист, чтобы убедиться в том, что это
2608°. Дан
остроугольный
тре­
квадрат?
угольник
AB
C.
Постройте
точки
X
иУ
2597. Докажите, что композиция
на
сторонах
А
В
и
ВС
так,
что
В
Х
=
параллельного переноса в направле­
= Х У = УС.
нии, перпендикулярном некоторой
2609. Даны две концентрические
прямой, и симметрии относительно
окружности S i и S 2 . Проведите пря­
этой прямой есть осевая симметрия.
2598. Две окружности радиуса R
пересекаются в точках M u N . Пусть А
к В — точки пересечения серединного
перпендикуляра к отрезку M N с эти­
ми окружностями, лежащие по одну
сторону от прямой M N . Докажите, что
MiV2 4-А В 2 = 4Д2.
мую, на которой эти окружности высе­
кают три равных отрезка.
2610. Даны две концентрические
окружности. Проведите прямую, пе­
ресекающую эти окружности так, что­
бы меньшая хорда была равна полови­
не большей.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2611. Постройте треугольник, если
даны одна его вершина и три прямых,
на которых лежат его биссектрисы.
2612. Ф игура имеет ровно две оси
симметрии. Докажите, что они пер­
пендикулярны .
2613. Выпуклый
многоугольник
имеет центр симметрии. Докажите,
что сумма градусных мер его углов де­
лится на 360°.
2614. Точка М леж ит на диаметре
А В окружности. Хорда CD окружнос­
ти проходит через точку М и пересека­
ет прямую А В под углом в 45°. Дока­
жите, что величина СМ^ + D M ^ не за­
висит от выбора точки М .
2615. Равные окружности
и Sg
касаются внутренним образом окруж­
ности S в точкахА^ и А з (рис. 104); С —
некоторая точка окружности S, пря­
мые А^С и А 2 С пересекают окружности
и S 2 в точках
и Б 2 соответствен­
но. Докажите, что В^В 2 II А^Аз.
Рис. 104
2616. Постройте четырехугольник
A B C D по четырем сторонам, если из­
вестно, что его диагональ А С является
биссектрисой угла А .
2617. Может ли фигура иметь
центр симметрии и ровно одну ось сим­
метрии?
2618. Из точки О на плоскости вы­
ходят 2п прямых. Могут ли они слу­
жить серединными перпендикулярами
к сторонам некоторого 2 п-угольника?
2619. Докажите, что композиция
трех симметрий относительно прямых
179
li, I 2 и ig, пересекающихся в точке О,
есть осевая симметрия.
2620. Докажите, что композиция
трех симметрий относительно прямых
^1 , ^ 2 и ^ 3 есть осевая симметрия.
2621. Докажите, что композиция п
осевых симметрий относительно пря­
мых 1 ^, I 2 , ...,
проходящих через
точку О, есть: а) поворот, если п четно;
б) осевая симметрия, если п нечетно.
2622. Существует л и а) ограничен­
ная, б) неограниченная фигура на
плоскости, имеющая среди своих осей
симметрии две параллельные несовпа­
дающие прямые?
2623. Параллельно данной прямой
проведите прямую, на которой две
данные окружности высекали бы хор­
ды равной длины.
2624. На сторонах ВС и CD квадра­
та A B CD взяты точки М п К соответ­
ственно, причем Z. В А М = Z М А К . До­
кажите, что В М + K D = А К .
2625. Постройте треугольник по ос­
нованиям двух его биссектрис и пря­
мой, на которой леж ит третья биссект­
риса.
2626. Пусть S — окружность, опи­
санная около треугольникаАВС. Дока­
жите, что три окружности, симметрич­
ные S относительно сторон треугольни­
ка, пересекаются в одной точке.
2627°. Какое максимальное число
осей симметрии может иметь объеди­
нение трех отрезков на плоскости?
2628. Какое максимальное число
осей симметрии может иметь объеди­
нение трех отрезков на плоскости?
2629. Дан треугольник ABC; О —
центр описанной окружности; О^, О2 и
О3 — точки, симметричные точке О
относительно прямых А В , ВС и АС.
Докажите, что середины сторон тре­
угольника О^ОзОз лежат на окружнос­
ти девяти точек треугольника ABC.
2630. Даны прямая I и точка О на
ней. Докажите, что композиция пово­
рота вокруг точки О на угол а и сим­
180
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
метрии относительно прямой I есть
осевая симметрия относительно пря­
мой, проходящей через точку О и со­
ставляющей с прямой I угол I .
2631. Докажите, что композиция
симметрий относительно п параллель­
ных прямых 1 ^, I 2 , ...,
есть:
а) параллельный перенос, если п четно;
б) осевая симметрия, если п нечетно.
2632. В каком месте следует по­
строить мост M N через реку, разде­
ляющ ую две данные деревни А и В,
чтобы путь A M N B из деревни А в де­
ревню В был кратчайшим (берега реки
считаются параллельными прямыми,
мост предполагается перпендикуляр­
ным реке)?
2633. Параллельно данной прямой
проведите прямую, на которой две
данные окружности высекали бы хор­
ды, сумма (и ли разность) длин кото­
рых имела бы заданную величину а.
2634. Существуют фигуры, имею­
щие бесконечное множество центров
симметрии (например, полоса между
двумя параллельными прямыми). Мо­
жет ли фигура иметь более одного, но
конечное число центров симметрии?
2635°. Внутри квадрата A-^AzA^^
взята точка Р . Из вершины
опущен
перпендикуляр на AgP, из А 2 — на
А 3 Р , из Ад — на А 4 Р, из А 4 — на А^Р.
Докажите, что все четыре перпенди­
куляра (и ли их продолжения) пересе­
каются в одной точке.
2636°. На отрезке А Е по одну сторо­
ну от него построены равносторонние
треугольники ABC и CDE; М п Р — се­
редины отрезков A D и B E . Докажите,
что треугольник С Р М — равносторон­
ний.
2637. Даны точки А и В и окруж­
ность S. Постройте на окружности S
такие точки С и D , что АС ||B D и дуга
CD имеет данную величину а.
2638. Даны две точки и окруж­
ность. Проведите через данные точки
две секущие, хорды которых внутри
данной окружности были бы равны и
пересекались бы под данным углом а.
2639.
Дан треугольник ABC. На его
сторонах А В и ВС построены внешним
образом квадраты A B M N и BCPQ
(рис. 105). Докажите, что центры этих
квадратов и середины отрезков M Q и
А С образуют квадрат.
М
2640. Из вершины А квадрата
A B C D внутрь квадрата проведены
два луча, на которые опущены пер­
пендикуляры В К , B L , D M , D N из
вершин B u D . Докажите, что отрезки
K L и M N равны и перпендикулярны
друг другу.
2641. Точка Р расположена внутри
квадрата ABCZ) так, что А Р : В Р : СР =
= 1 : 2 : 3 . Найдите угол А Р В .
2642. Дан остроугольный треуголь­
ник АБС. Постройте точки X и Y на
сторонах А В и ВС так, что А Х = X Y =
= УС.
2643. Дан прямоугольный билли­
ард со сторонами 1 и J2 . Из его угла
под углом 45° к стороне выпущен шар.
Попадет ли он когда-нибудь в лузу?
(Л узы находятся в углах биллиарда.)
2644. Постройте четырехугольник
A B C D по двум сторонам А В и A D и
двум углам В и D , если известно, что в
него можно вписать окружность.
2645. Постройте треугольник ABC
по стороне А В = с, высоте СС^ = Л и раз­
ности углов ф = Z А —Z. В.
2646. Даны прямые 1^, I 2 и 1^, пере­
секающиеся в одной точке. Постройте
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
треугольник AB C, для которого дан­
ные прямые были бы серединными
перпендикулярами к его сторонам.
2647. Два квадрата BCDA и B K M N
имеют общую вершину В. Докажите,
что медиана B E треугольника А В К и
высота B F треугольника C B N лежат
на одной прямой. (Вершины обоих
квадратов перечислены по часовой
стрелке.)
2648. (Точка Торричелли.) На сторо­
нах треугольника AB C построены вне
треугольника равносторонние тре­
угольники B C A i, САВ^, A B C i и прове­
дены отрезки A A j, ВВ^ и СС^. Докажи­
те, что:
а) эти отрезки равны между собой;
б) эти отрезки пересекаются в од­
ной точке;
в) если эта точка находится внутри
треугольника AB C, то сумма ее рас­
стояний до трех вершин треугольника
равна длине каждого из отрезков A A j,
ВВ-^,
2649. Постройте треугольник, если
дана прямая, на которой лежит его
сторона, и две точки — основания бис­
сектрис, проведенных к двум другим
сторонам.
2650. (Прямая Эйлера.) Докажите,
что в любом треугольнике точка Н пе­
ресечения высот (ортоцентр), центр О
описанной окружности и точка М пе­
ресечения медиан (центр тяжести) ле ­
жат на одной прямой, причем точка М
расположена между точками О vl Н vl
М Н = 2М О .
2651. Постройте треугольник по
точке i? пересечения его высот, центру
О описанной окружности и прямой I,
на которой леж ит одна из его сторон.
2652. Дан угол между двумя полу­
прямыми. В угле, отражаясь от его
сторон, путешествует луч света. М о­
жет ли он отразиться бесконечное чис­
л о раз?
2653. Стороны выпуклого п-уголь­
ника занумерованы числами от 1 до п.
181
Л уч света, выйдя из точки А внутри
многоугольника, отразившись после­
довательно от первой, второй, ..., п-й
стороны, попал в точку В. Как, зная
только положение точек А ч В внутри
многоугольника, построить траекто­
рию луча?
2654.
На плоскости даны треуголь­
ник AB C и т о ч к а м (рис. 106). Извест­
но, что точки, симметричные точке М
относительно двух сторон треугольни­
ка ABC, попадают на окружность, опи­
санную около треугольника ABC. До­
кажите, что точка, симметричная точ­
ке М относительно третьей стороны,
также попадает на эту окружность.
2655. Существует ли фигура, имею­
щая ровно две оси симметрии, но не
имеющая центра симметрии?
2656. Четырехугольник имеет ров­
но две оси симметрии. Верно ли, что
он — либо прямоугольник, либо ромб?
2657. Может
ли
пятиугольник
иметь ровно две оси симметрии?
2658. Постройте треугольник ABC,
если даны его вершины А и В, прямая
I, на которой леж ит вершина С, и раз­
ность углов Z А —Z -В = ф.
2659. Постройте треугольник по
центру его описанной окружности и
двум прямым, на которых лежат высо­
ты треугольника.
2660. На плоскости даны прямые
li, I 2 , ...,
пересекающиеся в одной
точке. Блоха сидит в некоторой точке
М плоскости и прыгает через прямую
l i , попадая в точку
, так, что М п М ^
182
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
симметричны относительно прямой
2669. Дан вписанный 2п-угольник
далее — через прямую I 2 и т. д. Дока­
с углами Pi, Р2 . •••. Ргп- Докажите, что
жите, что если через 2 п прыжков бло­
Pi + Рз + ••• + Ргл-1 = Рг + Р4 + ••• + Рглха оказалась в точке М , то, начиная
Верно ли обратное?
движение из любой точки плоскости,
2670. Даны
непересекающиеся
через 2 п прыжков блоха окажется на
хорды А В и CD некоторой окружнос­
прежнем месте.
ти. Постройте на этой окружности та­
2661. (Теорема Монжа.) Докажите,
кую точку X , чтобы хорды А Х и В Х
что прямые, проведенные через сере­
высекали на хорде C D отрезок E F , рав­
дины сторон вписанного четырех­
ный данному.
угольника перпендикулярно противо­
2671. На сторонах треугольника
положным сторонам, пересекаются в A B C внешним образом построены пра­
одной точке.
вильные треугольники AB C j, A B -fi и
2662. Пусть M u N — середины сто­ А^ВС. Пусть Р и Q — середины отрез­
рон CD и D E правильного шестиуголь­
ков AjB^ и A jC j. Докажите, что тре­
ник A B C D E F , Р — точка пересечения
угольник A P Q — правильный.
отрезков A M и B N . Докажите, что
2672. Докажите, что композиция
S {A B P ) = S {M D N P ).
двух поворотов на углы, в сумме не
2663°. Вокруг квадрата описан па­
кратные 360°, является поворотом. В
раллелограмм (вершины квадрата ле­
какой точке находится его центр и че­
жат на разных сторонах параллело­
му равен угол поворота? Исследуй�