Download 5000zada4 geom

и. Ф. Шарыгин
Р. К. Гордин
Сборник
задач
по геометрии
5000 задач
с ответами
МОСКВА
Асгрель • лет
2001
УДК
ББК
373.167.1:514
22.151я721
Ш26
Ш 26
Ш арыгин И. Ф.
Сборник задач по геом етри и . 5000 задач с ответами /
И. Ф. Шарыгин, Р. К. Гордин. — М.: ООО «Издательство Астрель»:
ООО «Издательство А С Т », 2001. — 400 с.: ил.
ISBN 5-17-005419-Х (ООО «Издательство А С Т »)
ISBN 5-271-01560-2 (ООО «Издательство А с тр е ль »)
К н и г а с о д е р ж и т д о с т а т о ч н о п о л н у ю п о д б о р к у у ч е б н ы х з ад ач по в с е м у
к у р с у ге о м е т р и и .
В сб о рни к , к р ом е у ч е б н ы х задач, в к л ю ч е н ы к о н к у р с н ы е и ол и м п п а д н ы е
з а д а ч и . К о н к у р с н ы е з а д а ч и п о л е з н ы у ч а щ и м с я , к о т о р ы е го т о в я т с я к
п о с т у п л е н и ю в вуз, а за д ач и о л и м п п а д н о г о р а з д е л а п о м о г у т п од го тов иться
к у ч а с т и ю в ш к о л ь н ы х , р а й о н н ы х , г о р о д с к и х о л и м п и а д а х . Сбор н ик м о ж н о
использовать ирим е-нительно к л ю б о м у ш к о ль н о м у учебнику.
П особи е предназначено для у ч а щ и х ся общ еобр азов ательн ы х
у ч р е ж д е н и й , м о ж е т б ы т ь п о л е з н о у ч и т е л я м » с п е ц и а л и с т а м по под го товк е
математических олимпиад.
З а д а 'ш и к с о о т в е гс т в у е т тр е б о в а н и я м о б я з а т е л ь н о г о м и н и м у м а
с о д е р ж а н и я с р е д н е г о ( п о л н о г о ) о о р а .ю в а н п я по м а т е м а т и к е .
УДК 373.1(57.1:514
Б В К 22 .1 5 1 я 7 2 1
I S B N 5 - 1 7 - 0 0 5 1 19-Х
(О О О «И з дате .'п .с гн о А С Т » )
I S B N 5-2 71 -0 1 5 6 0-2
(О О О « И з д а т е л ь с т в о А с т р е л ь » )
О ОО « И з д а т е л ь с т в о А с т р е л ь » , 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ
в сборнике собрано 5000 задач по
геометрии. Из них более 3500 задач по
планиметрии и примерно 1500 задач
по стереометрии. Возможно, это ре­
корд. Мы не знаем, существует ли се­
годня где-нибудь более полная к ол­
лекция геометрических задач. Но не
ради установления рекорда создана
эта книга. Эта книга многоцелевая.
Прежде всего, в ней содержится до­
статочно полная подборка учебных
задач. Задачи разбиты по темам, и
учитель сможет найти задачи по лю ­
бой теме и для лю бых учебных целей,
в зависимости от его опыта и квалифи­
кации.
Как известно, в последнее десяти­
летие в результате реформы нашей
школы появились альтернативные и
разноуровневые учебники. Эти учеб­
ники значительно отличаются друг от
друга, в том числе и последовательно­
стью изложения тем. Отсюда следует,
что такие учебники требуют различ­
ных систем учебных задач. Мы же, не
отдавая предпочтения какому-либо
учебнику (вернее, стараясь не отда­
вать предпочтения), предлагаем свое­
го рода «конструктор», из которого
можно составить систему учебных за­
дач под любой курс, действующий или
даже предполагаемый.
Среди учебных задач встречаются
задачи, отмеченные знаком °. Это
ключевые задачи. На них следует об­
ратить особое внимание. И х надо не
только решать, но и знать, т. е. уметь
применять содержащийся в задаче
факт или используемый при решении
прием.
Кроме учебных задач сборник со­
держит конкурсные и олимпиадные
задачи.
Коллекция конкурсных задач впол­
не представительна и включает задачи
разного уровня: от самых простых до
задач, предлагаемых на механико­
математическом факультете МГУ.
Все или почти все задачи этого раздела
предлагались на конкурсных экзаме­
нах в разные вузы и в разное время.
Мы не стали указывать первоисточни­
ки. Надеемся, что опытный препода­
ватель сумеет сам найти для задачи
нужную «п о л о ч к у ». Эта работа для не­
го облегчается тем, что все задачи это­
го раздела, как и остальных, располо­
жены по возрастанию сложности. Ко­
нечно, сложность задачи — это дело
опыта и вкуса, и, возможно, другие ав­
торы могли бы расположить задачи
иначе.
В разделе олимпиадных задач прак­
тически нет супертрудных. Поэтому
возможно использовать эту книгу для
подготовки к математическим олим­
пиадам, прежде всего школьным, рай­
онным, городским. Кроме того, толь­
ко достаточно сильный и хорошо под­
готовленный ученик может занимать­
ся олимпиадными задачами само­
стоятельно. Лучш е всего, если подго­
товкой к олимпиаде руководит опыт­
ный и сильный преподаватель, не
только умеющий решать олимпиадные задачи, знающий специфические
методы и приемы, но и знакомый с до­
статочно большим числом олимпиадных задач, так что значительная
часть задач, собранных в нашей кни­
ге, — это его «старые знакомые».
Кому предназначена эта книга? От­
вет достаточно очевиден: учащимся и
учителям математики (причем препо­
дающим в средней и старшей школе).
репетиторам и специалистам по прове­
дению математических олимпиад и
подготовке к ним школьников. Мы,
конечно, не исключаем и даже надеем­
ся, что данным сборником заинтересу­
ются и родители школьников, желаю­
щие, чтобы их дети получили хоро­
шую геометрическую подготовку. По
нашему глубокому убеждению, всем
им этот сборник не только может ока­
заться полезным, но и очень полез­
ным. Он сможет стать им помощником
в работе на многие годы.
Авторы
Планиметоия
Раздел I
УЧЕБНЫЕ ЗАДАЧИ
1. ВВОДНЫЕ З А Д А Ч И
1°. На прямой последовательно от­
кладываются точки А , В, С, D , Е и F,
причем А В = ВС = CD = D E = E F . Най­
дите отношения A D : D F , АС : A F,
B D : CF.
2. На прямой последовательно от­
мечаются точки А , В , С и D , причем
А В = ВС = CD = 6 . Найдите расстояние
между серединами отрезков А В и CD.
3°. Точка К отрезка АВ, равного 12,
расположена на 5 ближе к А , чем к В.
Найдите А К и В К .
4. Точка М расположена на отрез­
ке A N , а точка N — на отрезке В М .
Известно, что А В = 18 и А М ; M N : N B ^
= 1 : 2 : 3. Найдите MTV.
5. На прямой взяты точки А , О и В.
Точки А^ и B j симметричны соответ­
ственно точкам А и В относительно
точки О. Найдите A jB , если АВ^ = 2.
6 °. Один из двух смежных углов на
30° больше другого. Найдите эти углы.
7. Один из двух смежных углов в
3 раза меньше другого. Найдите эти
углы.
8 °. Один
из четырех углов, обра­
зующихся при пересечении двух пря­
мых, равен 41°. Чему равны три ос­
тальных угла?
9. На прямой выбраны три точки А,
В и С, причем А В = 3, ВС = 5. Чему мо­
жет быть равно АС?
10. Точка В лежит на отрезке АС,
равном 5. Найдите расстояние между
серединами отрезков А В и ВС.
11.
Вдоль прямолинейной дороги
стоят две избы А и В на расстоянии
50 м друг от друга. В какой точке доро­
ги надо построить колодец, чтобы сум­
ма расстояний от колодца до изб была
наименьшей?
12°. На прямой даны точки А, В и С.
Известно, что А В = 5, а отрезок АС
длиннее ВС на 1. Найдите АС и ВС.
13. На прямой даны точки А , В и С.
Известно, что А В = 5, а отрезок АС
длиннее ВС в 1,5 раза. Найдите отрез­
ки АС и ВС.
14. Точки М , А и В расположены на
одной прямой, причем отрезок A M
вдвое больше отрезка В М . Найдите
A M , если А В = 6 .
15. Точка М — середина отрезка АВ,
а точка N — середзана отрезка M B . Най­
дите отношения A M : M N , B N : A M и
M N -.A B .
16. На прямой выбраны три точки
А , В и С, причем А В = 1, ВС = 3. Чему
может быть равно АС? Укажите все
возможности.
17°. Прямой угол разделен двумя
лучами на три угла. Один из них на 10°
больше другого и на 1 0 ° меньше
третьего. Найдите эти углы.
18. Точки А , В, С последовательно
расположены на одной прямой и
А В : ВС = 3 : 4 . Найдите отношения
А В : АС и ВС : АС.
19°. Вдоль прямолинейной дороги с
интервалами в 50 м стоят три избы А , В
и С. В какой точке дороги надо постро­
ить колодец, чтобы сумма расстояний
от колодца до изб была наименьшей?
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
20°. На линейке отмечены три деле­
30. Точка В делит отрезок АС в от­
ния: О, 2 и 5. Как отложить с ее по­
ношении А В : ВС = 2 : 1 . Точка D де­
мощью отрезок длиной 6 см?
лит отрезок А В в отношении A D : DB =
21. Имеется угольник с углом в 70°.
= 3 : 2. В каком отношении делит точ­
Как построить с его помощью угол в
ка D отрезок АС?
40°?
31. Точка М лежит вне угла АОВ,
22. Имеется угольник с углом в 40°.
ОС — биссектриса этого угла. Докажи­
Как с его помощью построить угол в:
те, что угол М О С равен полусумме уг­
а) 80°; б) 160°; в) 2 0 °?
лов А О М и ВОМ ?
23°. Точки А , В, С расположены на
32. Из точки на листе бумаги прове­
одной прямой и АС : ВС = 2 : 5 . Найди­
ли четыре луча, делящ их плоскость на
те отношения АС : А В и ВС : АВ.
четыре угла. Затем лист разрезали по
24.
Л уч света, пущенный из точкибиссектрисам этих углов на четыре
М , зеркально отразившись от прямой
части (которые также являются угла­
А В в точке С, попал в точку N (рис. 1).
ми). Докажите, что два из этих углов
Докажите, что биссектриса угла M C N
образуют в сумме 180° и два других —
перпендикулярна прямой А В . (У гол
тоже.
падения равен у гл у отражения.)
33. На сколько градусов поворачи­
Рис. 1
вается за минуту минутная стрелка?
часовая стрелка?
34. Точки С, £ и D делят отрезок А В
в отношениях 1 : 2,1 : Зи 1 : 4 соответ­
ственно (считая от точки А ). В каком
отношении точка Е делит отрезок DC?
35. Один из углов, образованных
пересекающимися прямыми а и Ь , ра­
вен 15°. Прямая
симметрична пря­
мой а относительно прямой Ь, а пря­
25.
На прямой выбраны четыре точ­
мая bi симметрична прямой Ь относи­
ки А , В ,С u D , причем А В = 1, ВС = 2,
тельно прямой а. Найдите углы , обра­
CD = 4. Чему может быть равно AD ?
зованные
прямыми а^иЬ^.
26°. На деревянной линейке отме­
36. Даны точки А и В. Где на пря­
чены три деления: О, 7 и 11 см. Как
мой А В расположены точки, расстоя­
отложить с ее помощью отрезок в:
ние от которых до точки А : а) вдвое
а) 8 см; б) 5 см?
больше, чем до точки В; б) втрое мень­
27°. Точка С — середина отрезка
ше, чем до точки В?
А В . На отрезках А С и ВС взяты точки
37. Через точку на плоскости про­
М и N , причем A M : М С = CN : N B .
вели 1 0 прямых, после чего плоскость
Докажите, что отрезок M N равен по­
разрезали по этим прямым на углы.
ловине отрезкаАВ.
Докажите, что хотя бы один из этих
28. Точка М лежит внутри угла
углов меньше 2 0 °.
А О В , ОС — биссектриса этого угла.
Докажите, что угол М О С равен моду­
38. Какой угол образуют минутная
лю полуразности углов А О М и В О М .
и часовая стрелка в 3 часа 05 минут?
29. Точки А , В, С расположены на
39. Из точки О на плоскости выхо­
одной прямой и А С : ВС = т : п (т и
дят три луча ОА, ОВ, ОС. Известно,
п — натуральные). Найдите отноше­
что Z АО В = 91°, Z в о е = 90°. Найди­
ния АС : А В и ВС : АВ.
те Z A O C .
8
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
40. В деревне у прямой дороги с ин­
тервалами в 50 м стоят четыре избы А ,
Б, С и D. В какой точке дороги надо по­
строить колодец, чтобы сумма рас­
стояний от колодца до изб была на­
именьшей?
41. Даны точки А и В. Где на пря­
мой А В расположены точки, расстоя­
ние от которых до точки В больше, чем
до точки А?
42. Имеется угольник с углом в 19°.
Как построить с его помош;ью угол в
ков. Расстояние между деревнями
3 км. В какой точке дороги из А в В
надо построить ш колу, чтобы суммар­
ное расстояние, проходимое всеми
школьниками, было как можно мень­
ше?
48.
На прямой выбрали четыре
точки А , В , С, D u измерили расстоя­
ния А В , АС, A D , ВС, B D и CD. М огут
ли они быть равными (в порядке воз­
растания): а) 1; 2; 3; 4; 5; 6 ; б) 1; 1; 1;
2; 2; 4?
1° ?
43. В полдень минутная и часовая
стрелки совпали. Когда они совпадут в
следующ;ий раз?
44. Из точки О на плоскости выхо­
дят четыре луча, следуюш;ие друг за
другом по часовой стрелке: ОА, ОВ, ОС
и O D (рис. 2). Известно, что сумма уг­
лов ЛО В и COD равна 180°. Докажите,
что биссектрисы углов АОС и B O D пер­
пендикулярны .
45. Даны точки А и В. Д ля каждой
точки М , не совпадаюш;ей с точкой В и
лежащ;ей на прямой А В , рассмотрим
отношение A M : В М . Где расположе­
ны точки, для которых это отношение;
а) больше 2 ; б) меньше 2 ?
46. Сколько раз в течение суток ча­
совая и минутная стрелки совпадают?
образуют развернутый угол? образуют
прямой угол?
47. В деревне А живет 100 ш коль­
ников, в деревне В живет 50 ш кольни­
2. П Р И З Н А К И РАВЕ Н СТВА
ТРЕ УГО Л ЬН И К О В . П РИ З Н А К И
И СВОЙСТВА П А Р А Л Л Е Л Ь Н Ы Х
П Р Я М Ы Х . С У М М А У ГЛ О В
ТРЕУГО ЛЬН И КА
49°. Докажите, что серединный
перпендикуляр к отрезку есть геомет­
рическое место точек, равноудален­
ных от концов этого отрезка.
50. Докажите, что биссектриса уг­
ла есть геометрическое место внутрен­
них точек угла, равноудаленных от его
сторон.
51. Докажите, что биссектрисы
треугольника пересекаются в одной
точке.
52. Докажите, что серединные пер­
пендикуляры к сторонам треугольни­
ка пересекаются в одной точке.
53. Докажите, что около любого
треугольника можно описать окруж­
ность, и притом единственную.
54. Через точку, не лежащую на
данной прямой, проведите с помощью
циркуля и линейки прямую, парал­
лельную данной.
55°. Докажите, что в прямоуголь­
ном треугольнике катет, лежащий
против угла в 30°, равен половине ги­
потенузы.
56. Катет
прямоугольного
тре­
угольника равен половине гипотену­
зы. Докажите, что угол, противолежа­
щий этому катету, равен 30°.
9
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
57°. Отрезки AC и B D пересекаются
в точке О. Докажите равенство тре­
угольников ВАО и DCO, если извест­
но, что Z ВАО = Z. DCO и А О = ОС.
58. Докажите, что у равнобедрен­
ного треугольника высота, опущенная
на основание, является медианой и
биссектрисой.
59. Треугольники ЛВС и AB Cj —
67.
Треугольники ACCj и BCCj на
рис. 3 равны. И х вершины А и В лежат
по разные стороны от прямой CCj. До­
кажите, что треугольники ABC
АВС-^ — равнобедренные.
и
равнобедренные с общим основанием
А В . Докажите равенство треугольни­
ков АСС^ и BCCj.
60. Два отрезка А В и CD пересе­
каются в точке О, которая является
серединой каждого из них. Д окаж и­
те равенство треугольников A C D и
В ВС .
61. Медиана треугольника делит
пополам его периметр. Докажите, что
этот треугольник равнобедренный.
62. Отрезки А В и CD пересекаются
в точке О, которая является серединой
каждого из них. Чем у равен отрезок
BD, если отрезок АС = 10?
63. На основании А В равнобедрен­
ного треугольника ABC даны точки A j
и В^. Известно, что АВ^ = ВА^. Дока­
жите, что треугольник АВ^С равен
треугольнику ВА^С.
64. На стороне А В треугольника
AB C взята точка D , а на стороне A j B j
треугольника AjB^Ci взята точка D j.
Известно, что треугольники A DC и
A jD jC i равны и отрезки D B и D^B^
также равны. Докажите равенство
треугольников А_ВС и А^В^С^.
65. Отрезки А В и CD пересекаются
в точке О. Докажите равенство тре­
угольников АСО и DBO, если извест­
но, что Z. АСО = Z D B O и ВО = ОС.
6 6 . Докажите,
что у равных тре­
угольников AB C и A iB jC j:
а) медианы, проведенные из вер­
шин А и А^, равны;
б) биссектрисы, проведенные
вершин А и A j, равны.
из
Рис. 3
6 8 . Докажите
признак равенства
треугольников по углу, биссектрисе
этого угла и стороне, прилежащей к
этому углу.
69. Докажите, что в равнобедрен­
ном треугольнике медиана, проведен­
ная к основанию, является биссектри­
сой и высотой.
70. В равнобедренном треугольни­
ке А_ВС с основанием АС проведена ме­
диана В М . На ней взята точка D. Дока­
жите
равенство
треугольников:
а) A B D и CBD; б) A M D и C M D .
71. Докажите, что треугольник
ABC равнобедренный, если у него:
а) медиана B D является высотой;
б) высота B D является биссектри­
сой.
72. Докажите, что биссектриса рав­
нобедренного треугольника, прове­
денная из вершины, противолежащей
основанию, является медианой и вы­
сотой.
73. Докажите равенство треуголь­
ников по двум сторонам и медиане,
проведенной к одной из них.
74. На сторонах А_В, ВС и СА равно­
стороннего треугольникаАВС отложе­
ны равные отрезки AD , B E и CF. Точки
D, Е и F соединены отрезками. Дока­
10
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
жите, что треугольник D E F — равно­
сторонний.
75. Отрезки А В и CD пересекаются
под прямым углом и АС = A D . Докажи­
те, что ВС ~ B D и /_ А С В = Z. A D B .
76. Даны два треугольника; ABC и
A iB ^C i- Известно, что A S =
АС =
= A jC j, Z А = Z A j. На сторонах AC и
ВС треугольника A B C взяты соответ­
ственно точки К м L , а
сторонах
А^С^ и B^Ci треугольника А^В^С^ —
точки
и 1 -1 , t & k 4 t o A K = A iK i, L C =
= L^Ci- Д окаж ите, что K L =
и
A L = Ai L i .
77. В равнобедренном треугольни­
ке ABC с основанием АС и углом при
вершине В, равным 36°, проведена
биссектриса A D . Докажите, что тре­
угольники CDA k A D B — равнобедрен­
ные.
78. В равнобедренном треугольни­
ке АБС с основанием АС, равным 37,
внешний угол при вершине В равен
60°. Найдите расстояние от вершины С
до прямой А-В.
79°. На сторонах ВС и B^Cj равных
треугольников AB C и А^В^С^ взяты со­
ответственно точки М и M j, причем
В М : М С = B ^ M i : М^С^. Докажите,
что A M = A ^ M i.
80. Внешние углы треугольника
ABC при вершинах А и С равны 115° и
140°. Прямая, параллельная прямой
АС, пересекает стороны А В и АС в точ­
ках М и N . Найдите углы треугольни­
ка BMiV.
81. От вершины С равнобедренного
треугольника ABC с основанием А В
отложены равные отрезки: СА^ на сто­
роне СА и СВ^ на стороне СВ. Докажи­
те равенство треугольников: 1 ) САВ^ и
CBAi; 2 )A B B i h B AA i .
82. На сторонах АС и ВС треуголь­
ника A B C взяты точки С^ и С£. Дока­
жите, что треугольник ABC равнобед­
ренный, если треугольники AB Cj и
ВАС 2 равны.
83°. Докажите, что у равнобедрен­
ного треугольника;
а) биссектрисы, проведенные из
вершин при основании, равны;
б) медианы, проведенные из тех же
вершин, также равны.
84°. Точки А , В, С, D лежат на од­
ной прямой. Докажите, что если треугольникиАВЕ^ V1 A B E 2 равны, то тре­
угольники CDE^ и C D E 2 также равны.
85. Отрезки А В и CD пересекаются.
Докажите, что если отрезки АС, СВ,
B D и A D равны, то луч А В является
биссектрисой угла CAD, луч CD — бис­
сектрисой угла АСВ, а CD перпендику­
лярно АВ.
8 6 . Треугольники ABC и B A D рав­
ны, причем точки С vlD лежат по раз­
ные стороны от прямой А В (рис. 4).
Докажите, что;
а) треугольники CBD и DAC равны;
б) прямая CD делит отрезок А В по­
полам.
Рис. 4
87°. Равные отрезки А В и CD пере­
секаются в точке О так, что АО = OD.
Докажите равенство треугольников
ABCuDCB.
8 8 . Найдите
углы треугольника,
если известно, что его стороны лежат
на прямых, углы между которыми
равны 20°, 30° и 50°.
89. В треугольнике проведены две
высоты. Докажите, что если их отрез­
ки от точки пересечения до вершин
равны, то треугольник равнобедрен­
ный.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
90. В треугольнике AB C проведены
биссектрисы из вершин A v i В. Точка
их пересечения обозначена через D.
Найдите угол A D B , если:
1 )/ 1 А = 5 0 °, Z £ = 1 0 0 °;
2 ) Z A = a , Z B = (3;
3)ZC=130°;
4) Л С - Y91. Дан равнобедренный треуголь­
ник A B C с основанием АС; CD — бис­
сектриса угла С; Z AD C == 150°. Найди­
те угол В.
92. В треугольнике известны вели­
чины углов А , В, С. Найдите углы шес­
ти треугольников, на которые данный
треугольник разбивается его биссект­
рисами.
93°. Биссектрисы двух углов тре­
угольника пересекаются под углом 70°.
Найдите третий угол треугольника.
94. Через вершину В треугольника
A B C проведена прямая, параллельная
прямой АС. Образовавшиеся при этом
три угла с вершиной В относятся как
3 : 1 0 : 5 . Найдите углы треугольника
ABC.
95. Через точку М , лежащую вну­
три угла с вершиной А, проведены
прямые, параллельные сторонам угла
и пересекающие эти стороны в точках
В и С. Известно, что Z.A C B = 50°, а
угол, смежный с углом A C M , равен
40°. Найдите углы треугольников
ВСМ иАВС.
96. Прямая, проходящая через вер­
шину А треугольника ABC, пересекает
сторону ВС в точке М . При этом В М =
= АВ , Z В А М = 35°, Z САМ = 15°. Най­
дите углы треугольника ABC.
97. Точки А , В, С, D лежат на одной
прямой, причем отрезки А В и CD
имеют общую середину. Докажите,
что если треугольник А В Е равнобед­
ренный с основанием А В , то треуголь­
ник CDE также равнобедренный с ос­
нованием CD.
98. Докажите равенство треуголь­
ников по стороне, медиане, проведен­
ной к этой стороне, и углам, которые
образует медиана с этой стороной.
11
99. Докажите равенство треуголь­
ников по стороне и высотам, опущен­
ным на две другие стороны.
100. Докажите, что если высота
треугольника проходит через центр
описанной около него окружности, то
этот треугольник равнобедренный.
101. Дан треугольник ABC. На про­
должении стороны АС за точку А отло­
жен отрезок A D = А В , а за точку С —
отрезок СЕ = СВ. Найдите углы тре­
угольника D B E , зная углы треуголь­
ника ABC.
102. Высоты треугольника ABC,
проведенные из вершин А и С, пересе­
каются в точке М . Найдите А А М С , ес­
ли . 1 А = 70°, Z С = 80°.
103. Если на гипотенузе ВС равно­
бедренного прямоугольного треуголь­
ника ABC отметить две точки Е и D
так, что B E = В А и CD = СА, то Z D A E =
= 45°. Докажите.
104. В равнобедренном треугольни­
ке ABC высоты A D и СЕ, опущенные
на боковые стороны, образуют угол
А М С , равный 48°. Найдите углы тре­
угольника ABC.
105. Из середины гипотенузы вос­
ставлен перпендикуляр до пересече­
ния с катетом, и полученная точка со­
единена с концом другого катета отрез­
ком, который делит угол треугольника
в отношении 2 : 5 (меньшая часть —
при гипотенузе). Найдите этот угол.
106. Дан угол А . От его вершины А
отложим на одной из сторон угла отре­
зок АВ ; из точки В проведем прямую,
параллельную второй стороне данного
угла; на этой прямой отложим внутри
угла отрезок B D , равный ВА, и соеди­
ним точку D с вершиной А , Докажите,
что прямая A D делит данный угол по­
полам.
107. Две параллельные прямые пе­
ресечены третьей. Найдите угол меж­
ду биссектрисами внутренних одно­
сторонних углов.
108. В треугольнике ABC медиана
B D равна половине стороны АС. Най­
дите угол в треугольника.
12
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
109.
В треугольнике ABC из верши­
сектриса треугольника. Докажите,
ны С проведены биссектрисы внутрен­
ч тоА О = ВС.
117. Два угла треугольника равны
него и внешнего углов (рис. 5). Первая
10° и 70°. Найдите угол между высо­
биссектриса образует со стороной АВ
той и биссектрисой, проведенными из
угол, равный 40°. Какой угол образует
вершины третьего угла треугольника.
с продолжением стороны А В вторая
118. Острый угол прямоугольного
биссектриса?
треугольника равен 30°, а гипотенуза
равна 8 . Найдите отрезки, на которые
делит гипотенузу высота, проведен­
ная из вершины прямого угла.
119. Прямая, проведенная через
вершину С треугольника ABC парал­
лельно его биссектрисе B D , пересекает
продолжение стороны А В в точке М .
Найдите углы треугольника М В С , ес­
ли Z AB C =1 10 °.
120°. Докажите, что геометричес­
кое место точек, удаленных на данное
Рис. 5
расстояние от данной прямой, есть две
параллельные прямые, находящиеся
110. Точки А и D лежат на одной из
на данном расстоянии от этой прямой.
двух параллельных прямых, точки В
121. Одна из сторон треугольника
и С — на другой, причем прямые А В и
вдвое больше другой, а угол между
CD также параллельны. Докажите,
этими сторонами равен 60°. Докажи­
что противоположные углы четырех­
те, что треугольник прямоугольный.
угольника АВСХ) равны.
122. Даны два равнобедренных тре­
111. Через середину М отрезка с
угольника с общим основанием. Дока­
концами на двух параллельных пря­
жите, что их медианы, проведенные к
мых проведена прямая, пересекаю­
основанию, лежат на одной прямой.
щая эти прямые в точках А и В. Дока­
123. Докажите, что если две сторо­
жите, что М также середина A S .
ны и угол против меньшей из них од­
112°. У глы треугольника относят­
ного треугольника соответственно
ся как 2 : 3 : 4 . Найдите отношение
равны двум сторонам и углу против
внешних углов треугольника.
меньшей из них другого треугольни­
113. Докажите, что высота равно­
ка, то треугольники могут быть как
бедренного прямоугольного треуголь­
равными, так и не равными.
ника, проведенная из вершины прямо­
124. Медиана A M
треугольника
го угла, вдвое меньше гипотенузы.
ABC перпендикулярна его биссектри­
114°. У гол треугольника равен сум­
се В К . Найдите АВ , если ВС = 12.
ме двух других его углов. Докажите,
125. Прямая, проведенная через
что треугольник прямоугольный.
вершину А треугольника ABC перпен­
115. Точки М l i N лежат на стороне
дикулярно его медиане B D, делит эту
А С треугольника ABC, причем /LABM =
медиану пополам. Найдите отношение
= Z АСВ и Z C B N = Z ВАС. Докажите,
сторон А В и АС.
что треугольник B M N равнобедрен­
126°. В треугольнике ABC медиана
ный.
A M продолжена за точку М на рас­
116. У гол при основании ВС равно­
стояние, равное A M . Найдите расстоя­
бедренного треугольника ABC вдвое
ние от полученной точки до вершин В
больше угла при вершине, B D — бис­
и С, если А В = 4, АС = 5.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
13
ана, проведенная к его гипотенузе, де­
лит прямой угол в отношении 1 : 2 .
136. Известно, что при пересечении
прямых а и Ь третьей прямой образова­
лось восемь углов. Четыре из этих уг­
лов равны 80°, а четыре других равны
100°. Следует ли из этого, что прямые
а и Ь параллельны?
137. Пусть А Е и CD — биссектрисы
равнобедренного треугольника ABC
(АВ = ВС). Докажите, что zl B E D =
= 2/LAED.
138. В прямоугольном треугольни­
ке один из углов равен 30°. Докажите,
что в этом треугольнике отрезок пер­
пендикуляра, проведенного к гипоте­
нузе через ее середину до пересечения
с катетом, втрое меньше большего ка­
тета.
139. На боковых сторонах А В и АС
равнобедренного треугольника ABC
отмечены точки Р и Q так, что Z Р Х В =
= Z. QXC, где X — середина основания
ВС. Докажите, что BQ = СР.
140. Докажите, что две прямые, па­
раллельные третьей, параллельны
между собой.
141. Докажите, что прямая, пере­
секающая одну из двух параллельных
прямых, пересекает и другую.
142. Докажите, что если в тре­
угольниках AB C n A jB iC j имеют место
равенства А В = A j B j , ВС = В^С^ и
М
/LABC = ^ А^В^С^, причем ВС > АВ ,
то эти треугольники равны.
143. На сторонах АС и ВС треуголь­
ника ABC взяты соответственно точки
М к N , причем M N II А В и M N = A M .
Найдите угол B A N , если Z В = 45° и
/ 1 С = 60°.
144. Прямая, проходящая через
вершину А треугольника ABC, пере­
секает сторону ВС в точке М , причем
В М = А В . Найдите разность углов
Рис. 6
В А М и С А М , если Z АСВ = 25°.
в точке М . Докажите, что треугольник
145. В К — биссектриса треуголь­
ника
ABC.
Известно,
что
D M В равнобедренный.
135.
Найдите острые углы прямо­
/LAKB ; Z С К В = 4 : 5 . Найдите раз­
ность углов А и С треугольника ABC.
угольного треугольника, если меди­
127, Две различные окружности
пересекаются в точках А и В . Докажи­
те, что прямая, проходящая через
центры окружностей, делит отрезок
А В пополам и перпендикулярна ему.
128°. Разделите отрезок пополам с
помощью циркуля и линейки.
129. Докажите, что диагонали че­
тырехугольника с равными сторонами
взаимно перпендикулярны.
130. Две высоты треугольника рав­
ны. Докажите, что треугольник равно­
бедренный.
131. A D — биссектриса треуголь­
ника A B C. Точка М лежит на стороне
А В , причем A/Vf = M D . Докажите, что
M D II АС.
132. Точки A n D лежат на одной из
двух параллельных прямых, точки В
и С — на другой, причем прямые А В и
CD также параллельны. Докажите,
4 T o A B ^ C D u A D = BC.
133. Некоторая прямая пересекает
параллельные прямые а и Ь в точках А
и В соответственно. Биссектриса одно­
го из образовавшихся углов с верши­
ной В пересекает прямую а в точке С.
Найдите АС, если А В = 1.
134. Равные отрезки А В и CD пере­
секаются в точке О (рис. 6 ) и делятся
ею в отношении А О : ОВ = СО : OD =
= 1 : 2. Прямые A D и Б С пересекаются
14
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
146. Докажите, что биссектриса
внешнего угла при вершине равнобед­
ренного треугольника параллельна ос­
нованию. Верно ли обратное?
147. Отрезки А В и CD пересекаются
в точке О и делятся этой точкой попо­
лам. Докажите, чтоАС II B D n A D II ВС.
148. Один из углов треугольника
равен а. Найдите угол между биссект­
рисами внешних углов, проведенны­
ми из вершин двух других углов.
149. Докажите, что биссектрисы
равностороннего треугольника делят­
ся точкой пересечения в отношении
2
: 1 , считая от вершин треугольника.
150. На стороне А В квадрата ABCD
построен равносторонний треуголь­
ник А В М . Найдите угол В М С .
151. Острый угол прямоугольного
треугольника равен 30°. Докажите,
что высота и медиана, проведенные из
вершины прямого угла, делят прямой
угол на три равные части.
152. Основание Н высоты СН пря­
моугольного треугольника ABC соеди­
нили с серединами М и N катетов АС и
ВС. Докажите, что периметр четырех­
угольника C M H N равен сумме кате­
тов треугольника ABC.
153. На боковых сторонах А В и АС
равнобедренного треугольника ABC
расположены точки N и М соответ­
ственно, причем AZV = N M = M B = ВС.
Найдите углы треугольника ABC.
154. В треугольнике ABC известно,
что А В = ВС, АС = 10. Из точки D, сов­
падающей с серединой АВ , проведен
перпендикуляр D E к стороне АВ до пе­
ресечения со стороной ВС в точке Е.
Периметр треугольника ABC равен 40.
Найдите периметр треугольника АЕС.
155. Можно ли расположить на
плоскости три круга так, что любые
два из них имели бы общие точки, а
все три — нет?
156. Докажите, что центр окруж­
ности, описанной около прямоуголь­
ного треугольника, совпадает с сере­
диной гипотенузы.
157. Докажите, что радиус окруж­
ности, описанной около прямоуголь­
ного треугольника, равен медиане,
проведенной к большей стороне (к ги­
потенузе). Верно ли обратное утвер­
ждение? (Е сли радиус описанной
около треугольника окружности ра­
вен медиане, то треугольник прямо­
угольны й.)
158. В прямоугольном треугольни­
ке ABC проведена высота С К из верши­
ны прямого угла С, а в треугольнике
А С К — биссектриса СЕ. Докажите,
что СВ = B E.
159°. Расстояние
от точки
до
прямой — это длина перпендикуляра,
опущенного из этой точки на прямую.
Докажите, что расстояние от каждой
точки одной из двух параллельных
прямых до второй прямой постоянно.
160. Треугольник ABC — равнобед­
ренный (АВ = ВС). Отрезок A M делит
его на два равнобедренных треуголь­
ника с основаниями А В и М С. Найдите
угол В.
161. Через верш ины Аи С треуголь­
ника ABC проведены прямые, перпен­
дикулярные биссектрисе угла ABC,
пересекающие прямые СВ и ВА в точ­
ках К и М соответственно. Найдите
А В . если В М = 8 , isTC = 1.
162. Треугольники AB C n A B D рав­
ны, причем точки С и D не совпадают.
Докажите, что прямая CD перпенди­
кулярна прямой АВ.
163. Треугольники ЛВС n A D C име­
ют общую сторону АС; стороны A D и
ВС пересекаются в точке М . У глы В и
D равны по 40°. Расстояние между вер­
шинами D VI В равно стороне АВ;
Z А М С = 70°. Найдите углы треуголь­
ников ABC жADC .
164. У треугольников ABC иА^В^С^
заданы: А В = А^В^, АС = А^С^, Z С =
= Z Cj = 90°. Докажите, что треуголь­
ники ABC h A jB^Ci равны.
165. На луче О Х отложены после­
довательно точки А и С, а на луче
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
O Y — B u D (рис. 7). При этом ОА = ОВ
и АС = B D . Прямые A D и ВС пересека­
ются в точке Е. Докажите, что луч
ОЕ — биссектриса угла X O Y .
166. В треугольнике с неравными
сторонами А В и АС проведены высота
А Н и биссектриса A D . Докажите, что
угол H A D равен полуразности углов В
и С.
167. В треугольнике ABC высоты
ВВ^ и CCj пересекаются в точке М . И з­
вестно, ч то M B j = M C i- Докажите, что
треугольник ABC — равнобедренный.
168. Биссектрисы ВВ^ и СС^ тре­
угольника ABC пересекаются в точке
М , биссектрисы B^B 2 и
треуголь­
ника A B jC j пересекаются в точке N .
Докажите, что точки А , М к N лежат
на одной прямой.
169. Высоты остроугольного тре­
угольника ABC, проведенные из вер­
шин А и Б, пересекаются в точке Н ,
причем Z^AHB = 120°, а биссектрисы,
проведенные из вершин В и С, — в точ­
ке К , причем / 1 В К С = 130°. Найдите
угол ABC.
170. Постройте
прямоугольный
треугольник по катету и медиане, про­
веденной из вершины прямого угла.
171. А £ ) — биссектриса треуголь­
ника ABC, Е — основание перпенди­
куляра, опущенного из центра О впи­
санной окружности на сторону ВС. Д о­
кажите, что Z В О Е = Z COD.
172. На продолжениях гипотенузы
А В прямоугольного треугольникаАВС
за точки А VI В соответственно взяты
точки К и М , причем А К = АС и В М =
= ВС. Найдите угол М С К .
15
173.
В прямоугольном треугольни­
ке ABC на гипотенузе А В взяты точки
К к М , причем А К = АС и В М = ВС.
Найдите угол М С К .
174°. Через данную точку проведи­
те прямую, пересекающую две данные
прямые под равными углами.
175. Дана незамкнутая ломаная
AB CD , причем А В
CD и Z. ABC =
= Z BCD. Докажите, что A D ||ВС.
176. На сторонах АС и ВС равносто­
роннего треугольника AB C построены
внешним образом равнобедренные
прямоугольные треугольники A C N и
ВСМ с прямыми углами при верши­
нах А и С соответственно. Докажите,
что В М _L B N .
177. Докажите, что биссектрисы
двух внешних углов и третьего внут­
реннего угла треугольника пересека­
ются в одной точке.
178. Найдите сумму внутренних
углов:
а) четырехугольника;
б) выпуклого пятиугольника;
в) выпуклого п-угольника.
179. Биссектрисы
треугольника
AB C пересекаются в точке О. Через
точку О проходят две прямые, кото­
рые параллельны прямым А В и АС и
пересекаются с ВС в точках D n E . Д о­
кажите, что периметр треугольника
O ED равен отрезку ВС.
180. Точка К — середина стороны
А В квадрата АВС£), а точка!/делит ди­
агональ АС в отношении A L : LC = 3 : 1.
Докажите, что угол K L D — прямой.
181. Биссектрисы углов А и В тре­
угольника AB C одинаково наклонены
к сторонам ВС и АС. Найдите зависи­
мость между углами А и В.
182. Постройте прямоугольный тре­
угольник по острому углу и сумме ка­
тетов.
183. Существует ли треугольник,
две биссектрисы которого перпенди­
кулярны?
184. У гол при вершине В равнобед­
ренного треугольника ABC равен 108°.
16
ПЛАНИМЕТРИЯ
Перпендикуляр к биссектрисе A D это­
го треугольника, проходящий через
точку D , пересекает сторону АС в точ­
ке Е . Докажите, что D E = BD.
185. Равные отрезки А В и CD пере­
секаются в точке К . Известно, что
АС II BD. Докажите, что треугольники
А К С и B K D равнобедренные.
186. Высота прямоугольного тре­
угольника, опущенная на гипотенузу,
равна 1 , один из острых углов равен
15°. Найдите гипотенузу.
187. На каждой стороне правильно­
го треугольника взято по точке. Сторо­
ны треугольника с вершинами в этих
точках перпендикулярны сторонам
исходного треугольника (рис. 8 ), В ка­
ком отношении каждая из взятых то­
чек делит сторону исходного треуголь­
ника?
188. Найдите углы равнобедренно­
го треугольника, если известно, что
угол между биссектрисой, проведен­
ной к основанию, и биссектрисой, про­
веденной к боковой стороне, равен уг­
л у при вершине.
189. Отрезок постоянной длины
движется по плоскости так, что его
концы скользят по сторонам прямого
угла. По какой траектории движется
середина этого отрезка?
190. Докажите равенство треуголь­
ников по двум сторонам и медиане, ис­
ходящим из одной вершины.
191. Докажите равенство треуголь­
ников по медиане и углам, на которые
медиана разбивает угол треугольника.
192. На сторонах ВС и CD квадрата
A B C D построены внешним образом
правильные треугольники В СК и
DC L. Докажите, что треугольник
A K L — правильный.
193. На катетах АС и ВС прямо­
угольного треугольника вне его по­
строены квадраты A C D E и B C K F. Из
точек £ и на продолжение гипотену­
зы опущены перпендикуляры Е М и
F N . Докажите, что Е М + F N = А В .
194. Найдите сумму углов при вер­
шинах самопересекающейся пятико­
нечной звезды.
195. Докажите, что в прямоуголь­
ном треугольнике медиана, проведен­
ная к гипотенузе, равна ее половине.
196. Докажите признак равенства
прямоугольных треугольников по ка­
тету и противолежащему углу.
197. Диагонали АС и B D четырехугольникаАБСГ) пересекаются в точке
О. Периметр треугольника AB C равен
периметру треугольника АВ£>, а пери­
метр треугольника A C D — периметру
треугольника BCD. Докажите, что
АО = ВО.
198. Точки М n N — середины рав­
ных сторон A D и ВС четырехугольни­
ка ABCD. Серединные перпендикуля­
ры к сторонам А Б и CD пересекаются в
точке Р . Докажите, что серединный
перпендикуляр к отрезку M N прохо­
дит через точку Р .
199. Докажите, что две различные
окружности на могут иметь более трех
общих точек.
200. В треугольнике ABC угол А ра­
вен 60°, а биссектриса угла А , меди­
ана, проведенная из вершины В, и вы­
сота, проведенная из вершины С, пере­
секаются в одной точке. Найдите ос­
тальные углы треугольника.
201. В треугольнике АБ С сторона
А В равна 2, а у г л ы А и В равны соответ­
ственно 60° и 70°. На стороне АС взята
точка D так, что A D = 1. Найдите углы
треугольника В DC.
202. Найдите сумму внешних углов
выпуклого тг-угольника,
203. Продолжения двух противопо­
ложных сторон А В и CD четырех­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
угольника А В CD пересекаются под у г­
лом а, продолжения двух других про­
тивоположных сторон пересекаются
под тем же углом. Докажите, что два
угла в четырехугольнике равны, и най­
дите разность двух других его углов.
204. Биссектрисы ВВ^ и ССу тре­
угольника ABC пересекаются в точке
О. Известно, что А О _L В^С^. Докажи­
те, что треугольник ABC — равнобед­
ренный.
205. Биссектриса угла при основа­
нии равнобедренного треугольника
делит противолежащую сторону так,
что отрезок, прилежащий к вершине
треугольника, равен его основанию.
Докажите, что эта биссектриса также
равна основанию треугольника.
206. Величины углов А , В, С тре­
угольника ABC составляют арифмети­
ческую прогрессию с разностью
2
.
Биссектрисы этого треугольника пере­
секаются в точке D . Точки A j, В^, С^
находятся на продолжениях отрезков
D A, D B , DC за точки А , В, С соответ­
ственно на одинаковом расстоянии от
точки D . Докажите, что величины у г­
лов A j, B j, Cj также образуют арифме­
тическую прогрессию. Найдите ее раз­
ность.
207. Прямая пересекает боковую
сторону АС, основание ВС и продолже­
ние боковой стороны А В равнобедрен­
ного треугольника ABC в точках К , Ь к
М соответственно. При этом треуголь­
ники C K L и B M L также равнобедрен­
ные. Найдите их углы .
208. Биссектриса внутреннего угла
при вершине А и биссектриса внешне­
го угла при вершине С треугольника
AB C пересекаются в точке М . Найдите
Z В М С , если Z ВАС = 40°.
209. Возможно ли, чтобы одна бис­
сектриса треугольника делила попо­
лам другую биссектрису?
210. Сторона A D прямоугольника
A B C D в три раза больше стороны АВ.
17
Точки М к N делят A J) на три равные
части (рис. 9). Найдите Z А М В +
+ /LANB + /LADB.
211. Найдите углы треугольника,
если известно, что медиана и высота,
выходящие из вершины одного из его
углов, делят этот угол на три равные
части.
212. Дан
равнобедренный
тре­
угольник AB C с вершиной А . Длина
прыжка кузнечика равна основанию
ВС. Известно, что, начиная движение
из точки С, кузнечик за 23 прыжка
оказался в точке А, приземляясь после
каждого прыжка на боковой стороне
треугольника AB C и чередуя стороны
при каждом прыжке, кроме последне­
го. Найдите углы треугольника ABC,
если известно, что с каждым прыжком
кузнечик приближался к точке А .
213. Какие значения может прини­
мать: а) наибольший угол треугольни­
ка; б) наименьший угол треугольника;
в) средний по величине угол треуголь­
ника?
214. В треугольнике ABC угол В ра­
вен 20°, угол С равен 40°. Биссектриса
A D равна 2. Найдите разность сторон
В С -А В .
215. Внутри квадрата A B C D взята
точка М так, что Z М А В = 60°,
Z M C D = 15°. Найдите Z М В С .
216. На стороне ВС равносторонне­
го треугольника AB C взята точка М , а
на продолжении стороны АС за точку
С — точка N , причем A M = M N . Дока­
жите, что В М = C N .
217°. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника A B C D пересекаются в
18
ПЛАНИМЕТРИЯ
точке Е , А В = A D , СА — биссектриса
угла С, Z ЙАВ = 140°, Z В Е А = 110°.
Найдите угол CDB.
218°. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E известно, чтоАБ = A D ,A C = А В
и Z DAC = Z А Е В + Z А В Е . Докажите,
что DC в два раза больше медианы AST
треугольника А В Е .
219°. Внутри квадрата A B C D взята
точка Ртак, что Z Р В А = Z Р А В = 15°.
Докажите, что С Р В — равносторон­
ний треугольник.
220. На двух сторонах треугольни­
ка вне его построены квадраты. Дока­
жите, что отрезок, соединяющий кон­
цы сторон квадратов, выходящих из
одной вершины треугольника, в два
раза больше медианы треугольника,
выходящей из той же вершины.
221. Биссектриса равнобедренного
треугольника, проведенная из верши­
ны, вдвое меньше другой биссектри­
сы. Найдите углы треугольника.
222. В треугольнике ABC известны
углы Z А = 45°, Z В = 15°. На продол­
жении стороны А С за точку С взята
точка М так, что С М = 2ЛС. Найдите
/LAM B.
223. Дан треугольник ABC, причем
А В = АС и Z А = 80°. Внутри треуголь­
ника ABC взята точка М такая, что
Z М В С = 30°, а Z М С В = 10°. Найдите
ААМС.
224. Дан треугольник ABC, причем
АВ = АС и Z A = 110°. Внутри тре­
угольника взята точка М такая, что
Z М В С = 30°, а Z М С В = 25°. Найдите
ААМС.
225. Докажите, что если в тре­
угольнике один угол равен 1 2 0 °, то тре­
угольник, образованный основаниями
его биссектрис, прямоугольный.
226. На сторонах А В , ВС и СА остро­
угольного треугольника ABC взяты
точки С^, Ау и
соответственно. Д о­
кажите, что если Z B jA jC = Z ВА^С^,
АА^В^С = Z^AB-fi^ и A A ^ C iB =
= /^АС^В^, то точки A j, B i и С^ явля­
ются основаниями высот треугольни­
ка ABC.
227.
В треугольнике ABC угол В ра­
вен 36°, угол С равен 42°. На стороне
ВС взята точка М так, что В М = R, где
R — радиус окружности, описанной
около треугольника ABC. Найдите
угол M AC.
3. О К РУЖ Н О СТЬ. Д И АМ Е ТР,
П Е Р П Е Н Д И К У Л Я Р Н Ы Й ХОРДЕ.
З А М Е Ч А ТЕ Л ЬН О Е СВОЙСТВО
О КРУЖ Н О СТИ . К А С А Т Е Л Ь Н А Я
К О КРУЖ НОСТИ.
К АСАЮ Щ И Е СЯ О КРУЖ Н О СТИ .
О П И САН Н Ы Й
ЧЕТЫ РЕХУГО ЛЬН И К
228. Докажите, что диаметр ок­
ружности, перпендикулярный хорде,
делит эту хорду пополам.
229. Докажите, что у четырех­
угольника, описанного около окруж­
ности, суммы противоположных сто­
рон равны.
230. Через точку М проведены две
касательные М А и M B к окружности
(А и В — точки касания). Докажите,
что М А = M B .
231. Докажите, что центр окруж­
ности, вписанной в угол, лежит на бис­
сектрисе этого угла.
232. Докажите, что около четырех­
угольника, сумма противоположных
углов которого равна 180°, можно опи­
сать окружность.
233. Из точки, данной на окруж­
ности, проведены диаметр и хорда,
равная радиусу. Найдите угол между
ними.
234. Из точки, данной на окруж­
ности, проведены две хорды, каждая
из которых равна радиусу. Найдите
угол между ними.
235. У гол между радиусами ОА и
ОВ окружности равен 60°. Найдите
хорду А В , если радиус окружности ра­
вен R.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
19
245. Три последовательные сторо­
236°. Постройте окружность, кото­
ны описанного четырехугольника от­
рая проходила бы через две данные
носятся, как 1 : 2 : 3 . Найдите его сто­
точки и центр которой находился бы
роны, если известно, что периметр ра­
на данной прямой.
237.
Из внешней точки проведенывен 24.
246. Докажите, что равные хорды
к кругу две взаимно перпендикуляр­
удалены от центра окружности на рав­
ные касательные (рис. 10). Радиус
ные расстояния.
круга R = 10. Найдите длину каждой
247. Докажите, что хорды, удален­
касательной.
ные от центра окружности на равные
расстояния, равны.
248. Постройте окружность данно­
го радиуса, высекающую на данной
прямой отрезок, равный данному.
249. Через точку А окружности с
центром О проведены диаметр А В и
хорда АС. Докажите, что угол ВАС
вдвое меньше угла ВОС.
250. У го л с вершиной С равен 120°.
Окружность радиуса R касается сто­
рон угла в точках А а В. Найдите АВ .
238. Дан сектор, равный четверти
251. Точки А и В лежат на окруж­
круга радиуса R. Найдите длину каса­
ности. Касательные к окружности,
тельной, проведенной в середине его
проведенные через эти точки, пересе­
дуги до пересечения с продолжениями
каются в точке С. Найдите углы тре­
крайних радиусов сектора.
угольника ABC, если А В = А С .
239. А В и АС — касательные к од­
252. Окружность, вписанная в тре­
ной окружности, Z ВАС = 60°, длина
угольник ABC, касается сторон А В , ВС
ломаной ВАС равна 1. Найдите рас­
и АС в точках С^, А^ и В^ соответствен­
стояние между точками касания В и С.
но. Известно, чтоA C j = ВА^ = СВ^. До­
240. Хорда стягивает дугу в 90° и
кажите, что треугольник ABC — пра­
равна 16. Найдите до нее расстояние от
вильный.
центра окружности.
253. В прямой угол вписан круг.
241. Радиусы двух концентриче­
Хорда, соединяющая точки касания,
ских окружностей относятся, как
равна 2. Найдите расстояние от центра
7 : 4, а ширина кольца равна 12. Най­
круга до этой хорды.
дите радиус меньшей окружности.
254. Даны два круга радиусами R и
242. Докажите, что касательные к
г (i? > г), один вне другого. К ним про­
окружности, проведенные через кон­
ведены две общие внешние касатель­
цы диаметра, параллельны.
ные. Найдите их длину (между точка­
243. Хорда пересекает диаметр под
ми касания), если их продолжения об­
углом 30° и делит его на два отрезка
разуют прямой угол.
длинами 2 и 6 . Найдите расстояние от
255. Две прямые проходят через
центра окружности до этой хорды.
точку М и касаются окружности в точ­
244°. Радиус окружности, вписан­
ках А и Б. Проведя радиус ОВ, продол­
ной в равнобедренный прямоуголь­
жают его за точку В на расстояние
ный треугольник, равен г, а полупериВС = ОВ. Докажите, что Z А М С =
метр — р. Найдите гипотенузу.
= Z ВМС.
20
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
256. Гипотенуза
прямоугольного
треугольника равна 4. Найдите радиус
описанной окружности.
257. Боковая сторона равнобедрен­
ного треугольника равна 2 , угол при
вершине равен 120°. Найдите диаметр
описанной окружности.
258. В равнобедренном треугольни­
ке боковая сторона делится точкой ка­
сания вписанного круга в отношении
7 : 5 (начиная от вершины). Найдите
отношение боковой стороны к основа­
нию.
259. Укажите все точки М внутри
круга, через которые можно провести
две различные хорды, делящиеся в
точке М пополам.
260. Докажите, что если пересечь
два концентрических круга секущей,
то части секущей, лежащие между ок­
ружностями, равны между собой.
261. Через точку А , лежащую на
окружности, проведены диаметр А В и
хорда АС, причем АС = 8 и Z ВАС =
= 30°. Найдите хорду С М , перпенди­
кулярную АВ .
262. Хорда большей из двух кон­
центрических окружностей касается
меньшей. Докажите, что точка каса­
ния делит эту хорду пополам.
263. В круге даны две взаимно пер­
пендикулярные хорды. Каждая из
них делится другой хордой на два от­
резка в 3 и 7. Найдите расстояние от
центра окружности до каждой хорды.
264. В круге с центром О проведена
хорда А В и продолжена на расстояние
ВС, равное радиусу (рис. 11). Через
точку с и центр О проведена секущая
CD {D — точка пересечения с окруж ­
ностью, лежащая вне отрезка СО). До­
кажите, что угол AO D равен утроенно­
му углу ACD.
265. Докажите, что середины всех
хорд данной длины, проведенных в
данной окружности, лежат на некото­
рой окружности.
266. Постройте
прямоугольный
треугольник по гипотенузе и высоте,
опущенной из вершины прямого угла
на гипотенузу.
267. Три равных круга радиуса R
касаются друг друга внешним обра­
зом. Найдите стороны и углы тре­
угольника, вершинами которого слу­
жат точки касания.
268. Два равных круга касаются
изнутри третьего круга и касаются
между собой. Соединив три центра,
получим треугольник с периметром,
равным 18. Найдите радиус большего
круга.
269. Около круга, радиус которого
равен 4, описан прямоугольный тре­
угольник, гипотенуза которого равна
26. Найдите периметр треугольника.
270. Окружность, построенная на
катете прямоугольного треугольника
как на диаметре, делит гипотенузу по­
полам. Найдите углы треугольника.
271. Расстояние от точки М до
центра О окружности равно диаметру
этой окружности. Через точку М про­
ведены две прямые, касающиеся ок­
ружности в точках А и В. Найдите у г­
лы треугольника АОВ.
272. В круге на расстоянии 1 от
центра даны две взаимно перпендику­
лярные хорды. Каждая из них равна 6 .
На какие части одна хорда делит дру­
гую?
273. В круге радиуса R даны два
взаимно , перпендикулярных
диа­
метра. Произвольная точка окружнос­
ти спроецирована на эти диаметры.
Найдите расстояние между проекция­
ми точки.
21
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
274. Сторона ромба равна 8 , острый
угол равен 30°. Найдите радиус впи­
санного круга.
275. Две касающиеся окружности с
центрами
и О 2 касаются внутрен­
ним образом окружности радиуса R с
центром О. Найдите периметр тре­
угольника OOjOa276. Центры трех попарно касаю­
щихся друг друга внешним образом
окружностей расположены в точках
А , В , С, А AB C = 90°. Точки касания —
К , Р VL М {Р па стороне А С ). Найдите
угол К Р М .
277. Разделите окружность с дан­
ным центром на 6 равных частей,
пользуясь только циркулем.
278. Найдите угол между радиуса­
ми ОА и ОБ, если расстояние от центра
О окружности до хорды А В : а) вдвое
меньше А В ; б) вдвое меньше ОА.
279. На катете АС прямоугольного
треугольника ABC как на диаметре по­
строена окружность, пересекающая
гипотенузу А В в точке К . Найдите СК,
если АС = 2 и Z А = 30°.
280. Докажите, что окружность,
построенная на стороне равносторон­
него треугольника как на диаметре,
проходит через середины двух других
сторон треугольника.
281. Докажите, что окружность,
построенная на боковой стороне рав­
нобедренного треугольника как на
диаметре, проходит через середину ос­
нования.
282. Окружность, построенная на
стороне треугольника как на диа­
метре, проходит через середину дру­
гой стороны. Докажите, что треуголь­
ник равнобедренный.
283. Окружности, центры которых
расположены по разные стороны от не­
которой прямой, касаются этой пря­
мой. Линия центров пересекает пря­
мую под углом , равным 30°. Найдите
расстояние между центрами окруж­
ностей, если их радиусы равны r u R .
284. Две прямые касаются окруж­
ности с центром О в точках А и Б и пе­
ресекаются в точке С. Найдите угол
между этими прямыми, если Z А В О =
= 40°.
285. Две прямые, пересекающ ие­
ся в точке С, касаются окруж ности с
центром О в точках А и В . Известно,
что А А С В = 120°. Докажите, что
сумма отрезков А С и ВС равна отрез­
к у ОС.
286. Прямая, параллельная хорде
АВ , касается окружности в точке С.
Докажите, что треугольник ABC —
равнобедренный.
287. Точка А леж ит вне данной ок­
ружности с центром О. Окружность с
диаметром ОА пересекается с данной в
точках В и С. Докажите, что прямые
А В и АС — касательные к данной ок­
ружности.
288. Прямая касается окружности
с центром О в точке А . Точка С на этой
прямой и точка D на окружности рас­
положены по разные стороны от пря­
мой ОА. Найдите угол CAD, если угол
A O D равен 110°.
289. Прямая касается окружности
с центром О в точке А . Точка С на этой
прямой и точка D на окружности рас­
положены по одну сторону от прямой
ОА (рис. 12). Докажите, что угол CAD
вдвое меньше угла АО£).
Р и с . 12
290.
Диагонали четырехугольника
делят его углы пополам. Докажите,
что в такой четырехугольник можно
вписать окружность.
22
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
291. Радиусы двух кругов равны 2
и 4. Их общие внутренние касатель­
ные взаимно перпендикулярны. Най­
дите длины каждой из них.
292. Центр окружности, описанной
около треугольника, совпадает с цент­
ром вписанной окружности. Найдите
углы треугольника.
293. Центральный угол сектора ра­
вен 60°, а радиус равен R. Найдите ра­
диус круга, вписанного в этот сектор.
294. В острый угол, равный 60°,
вписаны две окружности, извне ка­
сающиеся друг друга. Радиус мень­
шей окружности равен г. Найдите ра­
диус большей окружности.
295. Даны два круга — один внутри
другого. Через их центры проведен в
большем круге диаметр, который ок­
ружностью меньшего круга делится
на три части: 5, 8 и 1. Найдите расстоя­
ние между центрами кругов.
296. И з конца А диаметра АС ок­
ружности опущен перпендикуляр А Р
на касательную, проведенную через
лежащую на окружности точку В, от­
личную от А и С. Докажите, что А В —
биссектриса угла РАС.
297. Две хорды окружности взаим­
но перпендикулярны. Докажите, что
расстояние от точки их пересечения до
центра окружности равно расстоянию
между их серединами.
298. Окружность касается двух па­
раллельных прямых и их секущей.
Докажите, что отрезок секущей, за­
ключенный между параллельными
прямыми, виден из центра окружнос­
ти под прямым углом.
299. Окружность касается одной
стороны прямого угла с вершиной О и
пересекает вторую сторону в точках А
и В. Найдите радиус окружности, если
ОА = а и ОВ = Ь.
300. Четырехугольник A B C D опи­
сан около окружности с центром О.
Докажите, что Z А О В + Z. COD = 180°.
301. В данный круг, радиус которо­
го равен 3, вписано шесть равных кру­
гов, из которых каждый касается дан­
ного круга; кроме того, каждый из
этих шести кругов касается двух со­
седних. Найдите радиусы кругов.
302. Ш есть равных кругов касают­
ся внешним образом круга радиуса 1
и, кроме того, каждый из этих шести
кругов касается двух соседних. Най­
дите радиусы кругов.
303. Стороны треугольника отно­
сятся, как 5 : 4 : 3 . Найдите отноше­
ния отрезков сторон, на которые они
делятся точками касания с вписанной
окружностью.
304. Даны две концентрические ок­
ружности радиусов 1 и 3 с общим цент­
ром О. Третья окружность касается их
обеих. Найдите угол между касатель­
ными к третьей окружности, выходя­
щими из точки О.
305. Через центр окружности, впи­
санной в трапецию, проведена пря­
мая, параллельная основаниям. Д о­
кажите, что отрезок этой прямой, за­
ключенный между боковыми сторо­
нами, равен четверти периметра тра­
пеции.
306. На отрезке А В как на диаметре
построена окружность. Докажите, что
из всех точек окружности, отличных
о тА и В, отрезок А В виден под прямым
углом.
307. Равные хорды окружности с
центром О пересекаются в точке М .
Докажите, что М О — биссектриса у г­
ла между ними.
308. Через концы диаметра окруж­
ности проведены две хорды, пересе­
кающиеся на окружности и равные 1 2
и 16. Найдите расстояния от центра
окружности до этих хорд.
309°. Продолжения равных хорд
А В и CD окружности соответственно
за точки В а С пересекаются в точке Р.
Докажите, что треугольники A P D и
В РС — равнобедренные.
310°. Биссектрисы внутреннего и
внешнего углов при вершине А тре­
угольника AB C пересекают прямую
23
ПЛАНИМЕТРИЯ
ВС в точках Р и Q (рис. 13). Докажите,
что окружность, построенная на от­
резке P Q как на диаметре, проходит
через точку А .
311. Докажите, что отличная от А
точка пересечения окружностей, по­
строенных на сторонах А В и А С тре­
угольника ABC как на диаметрах, ле ­
жит на прямой ВС.
312°. Из точки М , лежащей вне
двух концентрических окружностей,
проведены четыре прямые, касающие­
ся окружностей в точках А , В , С и D.
Докажите, что точки М , А , В , С, D рас­
положены на одной окружности.
313°. Две прямые, проходящие че­
рез точку М , лежащую вне окружнос­
ти с центром О, касаются окружности
в точках А и В. Отрезок О М делится ок­
ружностью пополам. В каком отноше­
нии отрезок О М делится прямой АВ?
314. Окружность проходит через
вершину С и середины D u E сторон ВС
и АС равностороннего треугольника
ABC. Докажите, что прямая, проходя­
щая через середины сторон А В и
ВС, — касательная к окружности.
315. Хорда,
перпендикулярная
диаметру окружности, делит его в от­
ношении 1 : 3 . Под какими углами
видна хорда из концов этого диа­
метра?
316. Окружность, построенная на
стороне треугольника как на диа­
метре, высекает на двух других сторо­
нах равные отрезки. Докажите, что
треугольник равнобедренный.
317. Даны две равные касающиеся
окружности. Под каким углом пересе­
каются прямые, одна из которых каса­
ется этих окружностей в разных точ­
ках, а вторая проходит через центр од­
ной из окружностей и касается дру­
гой?
318. Через данную в круге точку
проведите хорду, которая делилась бы
этой точкой пополам.
319. В данном круге проведены две
равные параллельные хорды, расстоя­
ние между которыми равно радиусу
данного круга. Найдите острый угол
между прямыми, соединяющими кон­
цы хорд.
320. Даны две круга. Их общие
внутренние касательные взаимно пер­
пендикулярны. Хорды, соединяющие
точки касания, равны 3 и 5. Найдите
расстояние между центрами кругов.
321. Пусть г — радиус окружности,
вписанной в прямоугольный треуголь­
ник с катетами а, Ь м. гипотенузой с.
Докажите, что г =
^— .
322. Пусть г — радиус окружности,
касающейся гипотенузы и продолже­
ний катетов прямоугольного треуголь­
ника со сторонами а, Ъ, с. Докажите,
чтог=^±|±^.
323. В треугольник ABC вписана
окружность. Пусть X — расстояние от
вершины А до ближайшей точки каса­
ния, ВС = а. Докажите, что х ==р - а,
где р — полупериметр треугольника.
324. Через точку касания двух ок­
ружностей проведена секущая. Дока­
жите, что радиусы и касательные,
проведенные через концы образовав­
шихся хорд, попарно параллельны.
325. На сторонах ОА и ОВ четверти
А О В круга построены как на диа­
метрах полуокружности АС О и ОСВ,
пересекающиеся в точке С. Докажите,
что:
1) прямая ОС делит Z А О В пополам;
2) точки А , С и В лежат на одной
прямой;
3) дуги АС, СО и СВ равны между
собой.
24
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
326. В шестиугольнике, описанном
около окружности, даны пять после­
довательных сторон; а, Ь, с, d, е. Най­
дите шестую сторону.
327. Стороны треугольника ABC
касаются некоторой окружности в
точках k, Р к М , причем точка М рас­
положена на стороне ВС. Найдите угол
К М Р , если Z ВАС = 2а.
328. А В — диаметр окружности,
АС и B D — параллельные хорды этой
окружности. Докажите, что АС = B D и
CD также диаметр окружности.
329. Докажите, что прямая, прохо­
дящая через центры вневписанных
окружностей треугольника ABC, касающ,ихся сторон А В и АС, перпенди­
кулярна прямой, проходящей через
центр вписанной окружности и вер­
шину А.
330. Две окружности пересекаются
в точках А и В; A M и A N — диаметры
окружностей. Докажите, что точки
М , N и В леж ат на одной прямой.
331. Найдите центр данной окруж­
ности с помощью чертежного угольни­
ка.
332. В М и CN — высоты треуголь­
ника АБС. Докажите, что точки Б, N ,
М и С лежат на одной окружности.
333. Окружность, построенная на
биссектрисе A i ) треугольника АБ С как
на диаметре, пересекает стороны А Б и
АС соответственно в точках М n N , от­
личны х от А . Докажите, что A M = A N .
334. Через точку А проведена пря­
мая, пересекающая окружность с диа­
метром А Б в точке К , отличной от А , а
окружность с центром В — в точках М
и N . Докажите, что М К = K N .
335. Докажите, что точка пересече­
ния биссектрис треугольника ABC,
точки Б и С, а также точка пересече­
ния биссектрис внешних углов с вер­
шинами Б и С лежат на одной окруж­
ности.
336. Точки А , В, С и D последова­
тельно расположены на окружности.
причем центр О окружности располо­
жен внутри четырехугольника A B C D
(рис. 14). Точки К , L , M u N — середи­
ны отрезков АБ , ВС, CD и A D соответ­
ственно. Докажите, что
Z K O N + Z . M O L - 180°.
337. У гол при вершине А треуголь­
ника АБС равен 120°. Окружность ка­
сается стороны ВС и продолжений сто­
рон А Б и АС. Докажите, что расстоя­
ние от вершины А до центра окружнос­
ти равно периметру треугольника
ABC.
338. Точка D леж ит на стороне ВС
треугольника ABC. В треугольники
A B D и ACjD вписаны окружности с
центрами Oj и О 2 . Докажите, что тре­
угольник OjjDOg прямоугольный.
339. В прямой угол вписана окруж­
ность радиуса R, касающаяся сторон
угла в точках А п В . Через некоторую
точку на меньшей дуге А Б окружности
проведена касательная, отсекающая
от данного угла треугольник. Найдите
его периметр.
340. Постройте прямую, касаю­
щуюся данной окружности в данной
точке, не используя центр окружнос­
ти.
341. Окружность касается стороны
ВС треугольника АБС в точке М и про­
должений двух других сторон. Дока­
жите, что прямая A M делит периметр
треугольника пополам.
342. Окружность с центром О каса­
ется в точке А внутренним образом
больш ей окруж ности. И з точки В
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
большей окружности, диаметрально
противоположной точке А,.проведена
хорда ВС большей окружности, ка­
сающаяся меньшей окружности в точ­
ке М . Докажите, что О М ЦАС.
343. Две окружности с центрами 0 {
и О2 касаются внешним образом, а так­
же касаются некоторой прямой соот­
ветственно в точках А и В. На продол­
жении за точку А радиуса О-^А мень­
шей окружности отложен отрезок АК",
равный О 2 В. Докажите, что О 2 К —
биссектриса угла
0
^0 2 В.
344. Окружность касается стороны
ВС треугольника A B C и продолжений
сторон А В и АС. Докажите, что рас­
стояние от вершины А до точки каса­
ния с прямой А В равно половине пери­
метра треугольника АБС.
345. В прямоугольном треугольни­
ке на гипотенузе А В от вершины А от­
ложим отрезок AJ), равный катету АС,
а от вершины В — отрезок B E , равный
катету ВС. Докажите, что отрезок D E
равен диаметру окружности, вписан­
ной в треугольник ABC.
346. Две окружности радиусов г и р
(г < р) касаются внешним образом, а
также обе касаются внутренним обра­
зом окружности радиуса R. Известно,
что треугольник с вершинами в цент­
рах окружностей является равнобед­
ренным, а угол между боковыми сто­
ронами больше 5 . Найдите основание
О
этого треугольника.
347. Наибольший угол треугольни­
ка равен 100°. Построены три попарно
касающиеся внешним образом окруж­
ности с центрами в вершинах этого
треугольника. Найдите наименьший
угол треугольника с вершинами в точ­
ках касания построенных окружнос­
тей.
348. В равнобедренный треуголь­
ник с основанием 1 2 вписана окруж­
ность и к ней проведены три касатель­
25
ные так, что они отсекают от данного
треугольника три маленьких тре­
угольника. Сумма периметров отсе­
ченных треугольников равна 48. Най­
дите боковую сторону данного тре­
угольника.
349. Прямые Р А и Р В касаются ок­
ружности с центром О {А и В — точки
касания). Проведена третья касатель­
ная к окружности, пересекающая пря­
мые Р А и Р В в точках X и Y . Докажи­
те, что величина угла X O Y не зависит
от выбора третьей касательной.
350. Дан круг радиуса 1. Из внеш­
ней точки М к нему проведены две вза­
имно перпендикулярные касательные
М А и M B . Между точками касания А
и В на дуге А-В взята произвольная точ­
ка С и через нее проведена третья каса­
тельная K L , образующая с касатель­
ными М А и M B треугольник K L M .
Найдите периметр этого треугольника.
351. Расстояние между центрами
непересекающихся окружностей рав­
но а. Докажите, что точки пересече­
ния общих внешних касательных с об­
щими внутренними касательными ле ­
жат на одной окружности, и найдите
ее радиус.
352. Каково взаимное расположе­
ние двух окружностей, если:
а) расстояние между центрами рав­
но 1 0 , а радиусы равны 8 и 2 ?
б) расстояние между центрами рав­
но 4, а радиусы равны 11 и 17?
в) расстояние между центрами рав­
но 12, а радиусы равны 5 и 3?
353. Окружность, построенная на
основании ВС трапеции A B C D как на
диаметре, проходит через середины
диагоналей АС и B D трапеции и каса­
ется основания AJ). Найдите углы тра­
пеции.
354. Прямая, проходящая через об­
щую точку А двух окружностей, пере­
секает вторично эти окружности в точ­
ках В и С соответственно. Расстояние
между проекциями центров окруж­
26
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ностей на эту прямую равно 12. Най­
дите ВС, если известно, что точка А ле ­
жит на отрезке ВС.
355. Найдите геометрическое место
точек М , из которых данный отрезок
А В виден под прямым углом (т. е.
ZAM 7V = 90°).
356. Окружность, построенная на
катете прямоугольного треугольника
как на диаметре, делит гипотенузу в
отношении 1 : 3 . Найдите острые углы
треугольника.
357. Точка D — середина гипотену­
зы А В прямоугольного треугольника
ЛВС. Окружность, вписанная в тре­
угольник A C D , касается отрезка в его
середине. Найдите острые углы тре­
угольника ABC.
358. Окружность, вписанная в тре­
угольник ABC, касается его сторон АВ,
ВС и АС соответственно в точках К , М
и N . Найдите угол K M N , если Z А =
= 70°.
359. Две окружности
касаются
друг друга внутренним образом. И з­
вестно, что два радиуса большей ок­
ружности, угол между которыми ра­
вен 60°, касаются меньшей окружнос­
ти. Найдите отношение радиусов ок­
ружностей.
360. Одна вершина правильного
треугольника леж ит на окружности, а
две другие делят некоторую хорду на
три равные части. Под каким углом
видна хорда из центра окружности?
361. Пусть O j, О2 и О3 — центры
вневписанных окружностей треуголь­
ника А-ВС, касающихся сторон ВС, АС
и А В соответственно. Докажите, что
точки А , В и С — основания высот тре­
угольника О 1 О 2 О 3 .
362. Докажите, что сторона ВС тре­
угольника AB C видна из центра О впи­
санной окружности под углом 90° -f+ I Z. А , а из центра Oj вневписанной
окружности,
касающейся
ВС, — под углом 90°
стороны
363.
Окружность касается двух сто­
рон треугольника и двух его медиан
(рис. 15). Докажите, что этот тре­
угольник равнобедренный.
364°. Проведите через данную точ­
ку касательную к данной окружности.
365°. Окружность высекает на сто­
ронах четырехугольника равные хор­
ды. Докажите, что в этот четырех­
угольник можно вписать окружность.
366°. Треугольник ABC — равно­
сторонний; A j, B i, Cj — середины сто­
рон ВС, АС, А В соответственно. Дока­
жите, что прямая A j Cj касается ок­
ружности, проходящей через точки
A j, B j, С.
367. Две окружности
касаются
внешним образом. К ним проведена
общая внешняя касательная. На от­
резке этой касательной, заключенном
между точками касания, как на диа­
метре построена окружность. Дока­
жите, что она касается линии центров
первых двух окружностей.
368. В вершинах А , В, С и D четы­
рехугольника AB C D находятся цент­
ры четырех окружностей. Любые две
окружности, центры которых распо­
ложены в соседних вершинах, касают­
ся друг друга внешним образом. И з­
вестны три стороны четырехугольни­
ка; А В = 2, ВС = 3, C D = 5. Найдите сто­
рону AD.
369. К окружности, вписанной в
равносторонний треугольник со сторо­
ной, равной а, проведена касательная.
27
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
пересекающая две его стороны. Най­
дите периметр отсеченного треуголь­
ника.
370. К окружности, вписанной в
квадрат со стороной, равной а, прове­
дена касательная, пересекающая две
его стороны. Найдите периметр отсе­
ченного треугольника.
371. Докажите, что прямая, прохо­
дящая через некоторую точку окруж­
ности и перпендикулярная радиусу,
проведенному в этой точке, имеет
единственную общую точку с окруж­
ностью, т. е. является касательной к
окружности.
372. На листе бумаги вырезана
круглая дырка. Через данную точку
плоскости проведите касательную к
окружности, ограничивающую эту
дырку. (Запрещаются любые построе­
ния внутри дырки.)
373. Постройте хорду данной ок­
ружности, равную и параллельную за­
данному отрезку.
374. Окружность вписана в тре­
угольник со сторонами, равными а, Ь и
с. Найдите отрезки, на которые точка
касания делит сторону, равную а.
375°. Прямая, проходящая через
центры двух окружностей, называет­
ся их линией центров. Докажите, что
общие внешние (внутренние) каса­
тельные к двум окружностям пересе­
каются на линии центров этих окруж­
ностей.
376. Окружности с центрами
и
О 2 касаются внешним образом в точке
К . Некоторая прямая касается этих
окружностей в различных точках А и
В и пересекает их общую касатель­
ную, проходящую через точку К , в
точке М . Докажите, что Z. О 1 М О 2 =
= Z A ii:B = 90°.
377. Хорда окружности пересекает
некоторый диаметр под углом, рав­
ным 30°, и делит его на отрезки, рав­
ные а и 6 . Найдите расстояние от цент­
ра окружности до этой хорды.
378. Хорда окружности пересекает
некоторый диаметр под углом, рав­
ным 45°, и делится им на отрезки, рав­
ные а и 6 . Найдите расстояние от цент­
ра окружности до этой хорды.
379. Окружность с центром О впи­
сана в треугольник ABC. Через точки
пересечения окружности с отрезками
А О , ВО и СО проведены к ней каса­
тельные. Найдите углы треугольника,
образованного этими касательными,
если углы треугольника ABC равны а,
Р иу .
380. Прямая касается двух окруж­
ностей в точках А и В. Линия центров
пересекает первую окружность в точ­
ках £ и С, а вторую — в точках D u F .
Докажите, что АС либо параллельна,
либо перпендикулярна B D.
381. Докажите, что если существу­
ют окружность, касающаяся всех сто­
рон выпуклого четырехугольника
ABCD, и окружность, касающаяся
продолжений всех его сторон, то ди­
агонали такого четырехугольника вза­
имно перпендикулярны.
382. В данную окружность впиши­
те прямоугольный треугольник, кате­
ты которого проходят через две дан­
ные точки внутри окружности.
383. Прямые, делящие один угол
треугольника на три равные части,
делят сам треугольник на три равно­
бедренных треугольника. Найдите уг­
лы данного треугольника.
384. Продолжения биссектрис ост­
роугольного треугольника ABC пере­
секают описанную окружность в точK axA i, В^,
соответственно (рис. 16).
Докажите, что высоты треугольника
Ai Bj Cj лежат на прямых
CCj.
Р и с . 16
28
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
385°. Продолжения высот остро­
угольного треугольника ABC пересе­
кают описанную окружность в точках
A j, B j,
соответственно. Докажите,
что биссектрисы треугольника
лежат на прямых A 4 j, ВВ^, CCj.
386°. В равнобедренном треуголь­
нике ABC на основании АС взята точка
М т а к , что A M = а, М С = Ь. В треуголь­
ники А В М и С В М вписаны окружнос­
ти. Найдите расстояние между точка­
ми касания этих окружностей со сто­
роной В М .
387. В треугольник А-ВС со сторона­
ми А Б = 5, ВС = 7, СА = 10 вписана ок­
ружность. Прямая, пересекающая
стороныА-В и ВС в точках М и К , каса­
ется этой окружности. Найдите пери­
метр треугольника М В К .
388. Докажите, что если через точ­
ку М внутри круга можно провести
три различные хорды, делящиеся точ­
кой М в равном отношении, то М —
центр круга.
389. Найдите внутри треугольника
AB C такую точку Р , чтобы общие хор­
ды каждой пары окружностей, по­
строенных на отрезках Р А , Р В и PC
как на диаметрах, были равны.
390. Постройте прямую, перпенди­
кулярную данной прямой и проходя­
щую через данную на ней точку, про­
ведя не более трех линий.
391. Даны прямая и точка вне ее.
Постройте прямую, перпендикуляр­
ную данной прямой и проходящую че­
рез данную точку, проведя не более
трех линий циркулем и линейкой.
392°. Окружность вписана в пяти­
угольник со сторонами, равными а, Ь,
с, d и е. Найдите отрезки, на которые
точка касания делит сторону, равную а.
393. В треугольник вписана окруж­
ность. Три касательные к этой окруж­
ности отсекают три треугольника, сум­
ма периметров которых равна а. Най­
дите периметр данного треугольника.
394. С Н — высота прямоугольного
треугольника ABC, проведенная из
вершины прямого угла. Докажите,
что сумма радиусов окружностей, впи­
санных в треугольники А С Н , В С Н и
ABC, равна СН.
395. CD — медиана треугольника
ABC. Окружности, вписанные в тре­
угольники A C D и BCD, касаются от­
резка CD в точках М и N . Найдите
M N , если АС - ВС 2.
396. На основании А_В равнобедрен­
ного треугольника А-ВС взята точка D ,
причем B D —A D = 4. Найдите расстоя­
ние между точками, в которых окруж­
ности, вписанные в треугольники АС£)
и BCD, касаются отрезка CD.
397. Окружность касается двух па­
раллельных прямых и их секущей. От­
резок секущей, заключенный между
параллельными прямыми, делится
точкой касания в отношении 1 : З.Под
каким углом секущая пересекает каж­
дую из параллельных прямых?
398. Одна окружность описана око­
ло равностороннего треугольника АБС,
а вторая касается прямых А В и АС и
первой окружности. Найдите отноше­
ние радиусов окружностей.
399. Каждая из трех прямых, па­
раллельны х сторонам и проходящих
через центр вписанной окружности
треугольника, отсекает от него неко­
торый треугольник. Докажите, что
сумма периметров отсеченных тре­
угольников вдвое больше периметра
исходного треугольника.
400. Пусть р — полупериметр тре­
угольника, а — длина наибольшей
стороны, г — радиус вписанной ок­
ружности. Докажите, что треуголь­
ник будет остроугольным, прямо­
угольным или тупоугольным в зависи­
мости от того, будет ли р - а меньше,
равно или больше г.
401. Через точку пересечения двух
окружностей проведите секущую так,
чтобы часть ее, заключенная внутри
окружностей, имела данную длину.
402. В треугольник со сторонами 6 ,
10 и 12 вписана окружность. К окруж­
ности проведена касательная так, что
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
она пересекает две большие стороны.
Найдите периметр отсеченного тре­
угольника.
403. Окружность, построенная на
основании A D трапеции A B CD как на
диаметре, проходит через середины
боковых сторон А В и CD трапеции и
касается основания ВС. Найдите углы
трапеции.
404. Центр описанной окружности
треугольника симметричен его центру
вписанной окружности относительно
одной из сторон. Найдите углы тре­
угольника.
405. Через данную точку окруж­
ности проведите хорду, которая бы де­
лилась данной хордой пополам.
406. Даны окружность и две нерав­
ные параллельные хорды. Используя
только линейку, разделите эти хорды
пополам.
407. Постройте центр данной ок­
ружности с помощью двусторонней л и ­
нейки, если известно, что ширина л и ­
нейки меньше диаметра окружности.
408. Четырехугольник A B C D обла­
дает тем свойством, что существует ок­
ружность, вписанная в угол BAD и ка­
сающаяся продолжений сторон ВС и
CD. Докажите, чт оА В +В С = A D + DC.
409. Докажите, что дуги окружнос­
ти, заключенные между параллельны­
ми хордами, равны.
410. На сторонах четырехугольни­
ка как на диаметрах построены четыре
окружности (рис. 17). Докажите, что
общая хорда окружностей, построен­
29
ных на двух соседних сторонах, парал­
лельна общей хорде двух других ок­
ружностей либо эти хорды лежат на
одной прямой.
411. Две окружности
касаются
внешним (внутренним) образом. До­
кажите, что сумма (разность) их ради­
усов равна расстоянию между центра­
ми. Верно ли обратное?
412. Докажите, что отрезок общей
внешней касательной к двум окруж­
ностям, заключенный между общими
внутренними касательными, равен
отрезку общей внутренней касатель­
ной.
413°. В четырехугольнике M N P Q
расположены две непересекающиеся
окружности так, что одна из них каса­
ется сторон M N , N P , PQ , а другая —
сторон M N , M Q , PQ. Точки В и А ле­
жат соответственно на сторонах M N и
PQ , причем отрезок А В касается обеих
окружностей. Найдите длину стороны
M Q , если N P = Ь и периметр четырех­
угольника B A Q M больше периметра
четырехугольника A B N P на величину
2р.
414. Окружность касается стороны
ВС треугольника ABC в точке М , а про­
должения сторон А В и АС — в точках
N и Р соответственно. Вписанная ок­
ружность этого треугольника касается
стороны ВС в точке К , а стороны А В —
в точке L . Докажите, что: а) отрезок
A N равен полупериметру треугольни­
ка ABC; б) В К = СМ ; в) N L = ВС.
415. Говорят, что две окружности
касаются, если они имеют единствен­
ную общую точку (точка касания ок­
ружностей). Докажите, что линия
центров двух касающихся окружнос­
тей проходит через точку их касания.
416. На сторонах ВС, СА и А В тре­
угольника AB C взяты точки A j, B j и
Cj, причем A C i = A B j, B A i = ВС^ и
CAi = CBi. Докажите, что A i, В^ и
Cj — точки касания вписанной ок­
ружности со сторонами треугольника.
30
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
417. Докажите, что катет прямо­
угольного треугольника равен сумме
радиуса вписанной окружности и ра­
диуса вневписанной окружности, ка­
сающейся этого катета.
418. Окружность, вписанная в тре­
угольник ABC, касается стороны ВС в
точке М . Докажите, что окружности,
вписанные в треугольники А В М и
A C M , касаются отрезка A M в одной
точке.
419. Даны окружность, ее центр О и
две точки А и В, не лежащие на окруж­
ности. П ользуясь только циркулем,
постройте точки пересечения окруж­
ности с прямой АВ .
420. Докажите, что две окружнос­
ти касаются тогда и только тогда, ког­
да они касаются некоторой прямой в
одной и той же точке.
421. Три окружности попарно каса­
ются друг друга внешним образом в
точках А , В и С. Докажите, что каса­
тельные к этим окружностям в точках
А , В и С пересекаются в одной точке.
422. Докажите, что основания вы­
сот, середины сторон и середины от­
резков от ортоцентра до вершин тре­
угольника леж ат на одной окружнос­
ти (окружность девяти точек).
423. К двум окружностям различ­
ного радиуса проведены общие внеш­
ние касательные А В и CD. Докажите,
что четырехугольник A B C D описан­
ный тогда и только тогда, когда ок­
ружности касаются.
424. Через данную точку проведите
прямую, отсекающую от данного угла
треугольник заданного периметра.
425. Докажите, что в четырех­
угольник, суммы противоположных
сторон которого равны между собой,
можно вписать окружность.
426. Пусть в выпуклом четырех­
угольнике A B C D нет параллельных
сторон. Обозначим через Е и F точки
пересечения прямых А В и ВС, ВС u A D
соответственно (точка А лежит на от­
резке B E , а точка С — на отрезке B F).
Докажите, что четырехугольник ASCD
является описанным тогда и только
тогда, когда E D + B F = D F + BE.
4. П А Р А Л Л Е Л О Г Р А М М .
Т Р А П Е Ц И Я . С РЕД Н ЯЯ Л И Н И Я
Т Р Е У Г О Л Ь Н И К А И ТРАП Е Ц И И .
ТЕО РЕМ А Ф А Л Е С А
427. Докажите, что медианы тре­
угольника пересекаются в одной точке
и делятся ею в отношении 2 : 1 , считая
от вершин треугольника.
428. Докажите, что прямая, содер­
жащая среднюю линию треугольника,
параллельна стороне треугольника, а
средняя линия треугольника равна по­
ловине этой стороны.
429. Докажите, что высоты тре­
угольника пересекаются в одной точке.
430. Докажите, что средняя линия
трапеции параллельна основаниям и
равна их полусумме.
431. Сторона
параллелограмма
втрое больше другой его стороны. Най­
дите стороны параллелограмма, если
его периметр равен 24.
432. Один из углов параллелограм­
ма на 50° меньше другого. Найдите уг­
лы параллелограмма.
433. A B C D — данный прямоуголь­
ник; М — середина стороны ВС. Дано,
что прямые М А и M D взаимно перпен­
дикулярны и что периметр прямо­
угольника A B C D равен 24. Найдите
его стороны.
434. Периметр треугольника равен
28, середины сторон соединены отрез­
ками (рис. 18). Найдите периметр по­
лученного треугольника.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
435. В треугольнике ABC медиана
A M продолжена за точку М до точки D
на расстояние, равное A M (так что
A M = M D ). Докажите, что A B D C —
параллелограмм.
436. Периметр треугольника равен
6 .
Найдите периметр треугольника,
стороны которого параллельны сторо­
нам данного и проходят через его вер­
шины.
437. Боковые стороны трапеции
равны 7 и 11, а основания — 5 и 15.
Прямая, проведенная через вершину
меньшего основания параллельно
большей боковой стороне, отсекает от
трапеции треугольник. Найдите его
стороны.
438. Найдите углы ромба, если вы­
сота, проведенная из вершины тупого
угла, делит противолежащую сторону
пополам.
439. Периметр ромба равен 8 , высо­
та равна 1. Найдите тупой угол ромба.
440. Постройте ромб по данным ди­
агоналям.
441. Докажите, что три средние л и ­
нии разбивают треугольник на четыре
равных треугольника.
442. Наибольший
угол
прямо­
угольной трапеции равен 1 2 0 °, а боль­
шая боковая сторона равна с. Найдите
разность оснований.
443. Средняя линия, параллельная
стороне А С треугольника ABC, равна
половине стороны А В . Докажите, что
треугольник равнобедренный.
444. Около круга описана трапе­
ция, периметр которой равен 12. Най­
дите среднюю линию трапеции.
445. Докажите, что если в паралле­
лограмм можно вписать окружность,
то этот параллелограмм — ромб.
446. На диагонали А С квадрата
ABCD взята точка М так, чтоA M = А В .
Через точку М проведена прямая, пер­
пендикулярная прямой АС и пересе­
кающая ВС в точке Н . Докажите, что
ВН = Н М = МС.
31
447. На сторонах А В , ВС, CD и DA
четырехугольника ABCD отмечены со­
ответственно точки М , N , Р и Q так,
что A M = СР, B N = DQ, В М = D P ,
N C = QA. Докажите, что ABCD и
M N P Q — параллелограммы.
448. В прямоугольный треуголь­
ник, каждый катет которого равен 6 ,
вписан прямоугольник, имеющий с
треугольником общий угол. Найдите
периметр прямоугольника.
449. В
равнобедренный
прямо­
угольный треугольник вписан прямо­
угольник так,что две его вершины на­
ходятся на гипотенузе, а две другие —
на катетах. Найдите стороны прямо­
угольника, если известно, что они от­
носятся, как 5 : 2, а гипотенуза тре­
угольника равна 45.
450. Определите вид четырехуголь­
ника, вершинами которого служат се­
редины сторон данного: 1 ) произволь­
ного четырехугольника; 2 ) паралле­
лограмма; 3) прямоугольника; 4) ром­
ба; 5) квадрата; 6 ) трапеции.
451. Точки М n N — середины про­
тивоположных сторон ВС k A D парал­
лелограмма ABCD. Докажите, что че­
тырехугольник A M C N — параллело­
грамм.
452°. Постройте
параллелограмм
по двум соседним сторонам и углу
между ними.
453. Постройте параллелограмм по
диагоналям и у гл у между ними.
454. Диагонали параллелограмма
A B CD пересекаются в точке О. Пери­
метр параллелограмма равен 1 2 , а раз­
ность периметров треугольников ВОС
и COD равна 2. Найдите стороны па­
раллелограмма.
455. Постройте прямоугольник по
диагонали и одной из сторон.
456. У гол при вершине А ромба
A BCD равен 20°. Точки M u N — осно­
вания перпендикуляров, опущенных
из вершины В на стороны A D и CD.
Найдите углы треугольника B M N .
32
ПЛАНИМЕТРИЯ
457. Стороны треугольника равны
а mb. Через середину третьей стороны
проведены прямые, параллельные
двум другим сторонам. Найдите пери­
метр полученного четырехугольника.
458. Из произвольной точки осно­
вания равнобедренного треугольника
проведены прямые, параллельные бо­
ковым сторонам. Докажите, что пери­
метр получившегося параллелограмма
не зависит от положения точки и равен
сумме боковых сторон треугольника.
459. Докажите, что середины сто­
рон любого четырехугольника явля­
ются вершинами параллелограмма.
460. Постройте треугольник по сто­
роне и медианам, проведенным к двум
другим сторонам.
461. У четырехугольника диагона­
ли равны а и Ь. Найдите периметр че­
тырехугольника, вершинами которо­
го являются середины сторон данного
четырехугольника.
462. Найдите периметр паралле­
лограмма, если биссектриса одного из
его углов делит сторону параллело­
грамма на отрезки 7 и 14.
463. Дан прямоугольник (рис. 19);
перпендикуляр, опущенный из вер­
шины на диагональ, делит прямой
угол на две части в отношении 1 : 3 .
Найдите угол между этим перпенди­
куляром и другой диагональю.
464. Точки пересечения биссектрис
внутренних углов параллелограмма
являются вершинами некоторого че­
тырехугольника. Докажите, что этот
четырехугольник — прямоугольник.
465. Высота, проведенная из вер­
шины тупого угла равнобедренной
трапеции, делит большее основание на
отрезки, равные о и Ь (а > fc). Найдите
среднюю линию трапеции.
466. Высота
параллелограмма,
проведенная из вершины тупого угла,
равна 2 и делит сторону параллело­
грамма пополам. Острый угол парал­
лелограмма равен 30°. Найдите диаго­
наль, проведенную из вершины тупого
угла, и углы , которые она образует со
сторонами.
467. Т о ч к и М h N расположены со­
ответственно на сторонах А В к АС тре­
угольника ABC, причем В М = З А М и
C N = 3AN. Докажите, что M N ЦВС, и
найдите M N , если ВС = 12.
468. Пусть Р — основание перпен­
дикуляра. опущенного из вершины С
меньшего основания ВС равнобедрен­
ной трапеции AB CD на ее большее ос­
нование AD. Найдите D P и А Р , если ос­
нования трапеции равны а и Ь (а > Ь).
469. Найдите углы и стороны четы­
рехугольника с вершинами в середи­
нах сторон равнобедренной трапеции,
диагонали которой равны 1 0 и пересе­
каются под углом, равным 40°.
470. Около круга описана равно­
бедренная трапеция с углом в 30°.
Средняя линия ее равна 1. Найдите ра­
диус круга.
471. Стороны
параллелограмма
равны 8 и 3; биссектрисы двух углов
параллелограмма,
прилежащих
к
большей стороне, делят противолежа­
щую сторону на 3 части. Найдите каж­
дую из них.
472. Параллелограмм с перимет­
ром 44 разделен диагоналями на
4 треугольника. Разность между пери­
метрами двух смежных треугольни­
ков равна 6 . Найдите длины сторон па­
раллелограмма.
473. В круг вписан прямоугольник.
Середины сторон последовательно со­
единены отрезками. Докажите, что
периметр образовавшегося четырех­
угольника равен удвоенному диа­
метру данного круга.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
474. Каждая из боковых сторон
равнобедренного треугольника равна
7. Из точки, взятой на основании этого
треугольника, проведены две прямые,
параллельные боковым
сторонам.
Найдите периметр получившегося па­
раллелограмма.
475. Через вершину А остроуголь­
ного треугольника A B C проведена
прямая, параллельная стороне ВС,
равной а, и пересекающая окружнос­
ти, построенные на сторонах А В и АС
как на диаметрах, в точках М n N , от­
личных от А . Найдите M N .
476. Точки К , L , М и М — середины
сторон соответственно А В , ВС, CD и
A D паралелограмма ABCD. Докажите,
что четырехугольник с вершинами в
точках пересечения прямых A L , В М ,
C N и D K — параллелограмм.
477. Из произвольной точки осно­
вания равнобедренного треугольника
с боковой стороной, равной а, проведе­
ны прямые, параллельные боковым
сторонам. Найдите периметр получив­
шегося четырехугольника.
478. Диагонали
прямоугольника
равны 8 и пересекаются под углом в
60°. Найдите меньшую сторону прямо­
угольника.
479. Дан четырехугольник, сумма
диагоналей которого равна 18. Найди­
те периметр четырехугольника с вер­
шинами в серединах сторон данного.
480°. Найдите периметр четырех­
угольника с вершинами в серединах
сторон прямоугольника с диагональю,
равной 8 .
481. Найдите стороны и углы четы­
рехугольника с вершинами в середи­
нах сторон ромба, диагонали которого
равны 6 и 1 0 .
482. Докажите, что медиана пря­
моугольного треугольника, проведен­
ная из вершины прямого угла, равна
отрезку, соединяющему середины ка­
тетов.
483. Высота равнобедренной трапе­
ции, проведенная из вершины мень­
2 С борник задач по геометрии
33
шего основания, делит ее большее ос­
нование на отрезки, равные 4 и 8 . Най­
дите основания трапеции.
484. Найдите меньшее основание
равнобедренной трапеции, если высо­
та, проведенная из вершины меньшего
основания, делит большее основание
на отрезки, один из которых на 5 боль­
ше другого.
485. В равнобедренной трапеции
острый угол равен 60°. Докажите, что
меньшее основание равно разности
большего основания и боковой стороны.
486. Расстояния от концов диа­
метра окружности до некоторой каса­
тельной равны а к Ь. Найдите радиус
окружности.
487. Окружность касается всех сто­
рон равнобедренной трапеции. Дока­
жите, что боковая сторона трапеции
равна средней линии.
488. Пусть M k N — середины осно­
ваний трапеции. Докажите, что если
прямая M N образует равные углы с
боковыми сторонами трапеции, то эта
трапеция равнобочная.
489. Пусть в трапецию вписана ок­
ружность (рис. 20). Докажите, что от­
резки, соединяющие центр этой ок­
ружности с концами боковой стороны,
взаимно перпендикулярны.
490.
Через вершины А, В к С тре­
угольника AB C проведены прямые,
параллельные противолежащим сто­
ронам. Эти прямые пересекаются в
точках Cl, A j и
Докажите, что сто­
роны треугольника ABC являются сред­
ними линиями треугольника A jB jC i.
34
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
491. В треугольнике ABC биссект­
риса угла А пересекает сторону ВС в
точке D ; прямая, проведенная из точ­
ки D параллельно СА, пересекает А В в
точке £ ; прямая, проведенная из Е па­
раллельно ВС, пересекает АС в F. До­
кажите, что Е А = FC.
492. В трапеции ABCD (AD — боль­
шее основание) диагональ А С перпен­
дикулярна стороне CD и делит угол
B AD пополам;
CDA = 60°; периметр
трапеции равен 2. Найдите AD .
493. В равнобедренной трапеции
высота равна 1 0 , а диагонали взаимно
перпендикулярны. Найдите среднюю
линию трапеции.
494. В четырехугольнике ABCD от­
резок, соединяющий середины сторон
А В и CD, равен 1. Прямые ВС viAD пер­
пендикулярны. Найдите длину отрез­
ка, соединяющего середины диагона­
лей ЛС и BD.
495. Через точку на стороне четы­
рехугольника проведена прямая, па­
раллельная диагонали, до пересече­
ния с соседней стороной четырех­
угольника. Через полученную точку
проведена прямая, параллельная дру­
гой диагонали, и т. д. Докажите, что
пятая точка, полученная таким спосо­
бом, совпадает с исходной.
496. Диагонали вписанного четы­
рехугольника взаимно перпендику­
лярны. Докажите, что расстояние от
точки пересечения диагоналей до
центра описанной окружности равно
расстоянию между серединами диаго­
налей.
497. Биссектриса угла параллело­
грамма делит сторону параллелограм­
ма на отрезки, равные а и Ь. Найдите
стороны параллелограмма.
498. Треугольники A B C и АВ^С^
имеют общую медиану A M . Докажи­
те, что BCj = BjC.
499. Докажите, что концы двух
различных диаметров окружности яв­
ляются вершинами прямоугольника.
500. Докажите, что около любого
прямоугольника можно описать ок­
ружность, Где расположен ее центр?
501. Около данной окружности
опишите ромб с данным углом.
502. Докажите, что отрезок, соеди­
няющий середины противоположных
сторон параллелограмма, проходит
через его центр.
503. Две медианы треугольника
равны. Докажите, что треугольник
равнобедренный.
504. Докажите, что углы при осно­
вании равнобедренной трапеции рав­
ны.
505. У глы при одном из оснований
трапеции равны. Докажите, что тра­
пеция равнобедренная.
506. Высота равнобедренной трапе­
ции, опущенная из вершины меньше­
го основания, делит большее основа­
ние в отношении 1 : 3 . Найдите отно­
шение оснований трапеции.
507. Докажите равенство треуголь­
ников по стороне и медианам, прове­
денным к двум другим сторонам.
508. Вершины
параллелограмма
A jB iC iD i лежат на сторонах паралле­
лограмма AB CD (точка А^ лежит на
стороне А В , точка
— на стороне ВС
и т. д.). Докажите, что центры обоих
параллелограммов совпадают.
509. Середины E vlF параллельных
сторон ВС и A D параллелограмма
A B C D соединены прямыми с вершина­
ми D и В. Докажите, что эти прямые
делят диагональ АС на три равные
части.
510. Постройте треугольник по се­
рединам трех его сторон.
511. Меньшее основание равнобед­
ренной трапеции равно боковой сторо­
не, а диагональ перпендикулярна бо­
ковой стороне. Найдите углы трапе­
ции.
512. Перпендикуляр, опущенный
из вершины прямоугольника на его
диагональ, делит ее в отношении 1 : 3
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
(рис. 21). Найдите длину диагонали,
если известно, что точка ее пересече­
ния с другой диагональю удалена от
большей стороны на расстояние, рав­
ное 2 .
513. Найдите отношение меньшего
основания трапеции к большему, если
известно, что углы при большем осно­
вании равны 90° и 60° и что в трапе­
цию можно вписать окружность.
514. Один из углов трапеции равен
30°, а прямые, содержащие боковые
стороны трапеции, пересекаются под
прямым углом. Найдите меньшую бо­
ковую сторону трапеции, если ее сред­
няя линия равна 1 0 , а одно из основа­
ний равно 8 .
515. В квадрат вписан прямоуголь­
ник так, что на каждой стороне квад­
рата находится одна вершина прямо­
угольника и стороны прямоугольника
параллельны диагоналям квадрата.
Найдите стороны этого прямоуголь­
ника, зная, что одна из них вдвое боль­
ше другой и что диагональ квадрата
равна 1 2 .
516. Сторона ВС параллелограмма
AB CD вдвое больше стороны АВ . Бис­
сектрисы углов А и В пересекают пря­
мую CD в точках М n N , причем M N =
= 12. Найдите стороны параллело­
грамма.
517. Две равные окружности с
центрами
и О 2 пересекаются в точ­
ках А и В. Отрезок О 1 О 2 пересекает эти
окружности в точках М h N . Докажи­
те, что четырехугольники О 1 А О 2 В и
A M B N — ромбы.
518. Острый угол Л ромба ABCZ) ра­
вен 45°, проекция стороны А В на сто­
35
рону A D равна 12. Найдите расстояние
от центра ромба до стороны CD.
519. Расстояние между серединами
взаимно перпендикулярных хорд АС и
ВС некоторой окружности равно 10.
Найдите диаметр окружности.
520. Расстояние от середины хорды
ВС до диаметра А В равно 1. Найдите
хорду АС, если Z ВАС = 30°.
521. Биссектрисы углов при одном
основании трапеции пересекаются на
втором ее основании. Докажите, что
второе основание равно сумме боко­
вых сторон.
522. Боковая сторона трапеции
равна одному основанию и вдвое мень­
ше другого. Докажите, что вторая бо­
ковая сторона перпендикулярна од­
ной из диагоналей трапеции.
523. Постройте трапецию по осно­
ваниям и боковым сторонам.
524. Докажите, что середины двух
противоположных сторон любого че­
тырехугольника и середины его диаго­
налей являются вершинами паралле­
лограмма.
525. В трапеции A B C D известно,
что А В = а, ВС Ь (а Ф Ь). Определите,
что пересекает биссектриса угла А : ос­
нование ВС или боковую сторону CD.
526. Биссектрисы углов, прилежа­
щих к одной из боковых сторон трапе­
ции, пересекаются под прямым углом.
Докажите, что точка их пересечения
принадлежит средней линии трапе­
ции.
527. Пусть О, Q, М и Н соответ­
ственно центры описанной, вписанной
окружности, точка пересечения меди­
ан и точка пересечения высот тре­
угольника ABC. Докажите, что если
две любые из этих точек совпадают, то
этот треугольник — равносторонни!!.
528. Докажите, что в любой ромб
можно вписать окружность. Где рас­
положен ее центр?
529. Квадрат вписан в равнобедрен­
ный прямоугольный треугольник,
36
ПЛАНИМЕТРИЯ
причем одна вершина квадрата распо­
ложена на гипотенузе, противополож­
ная ей вершина совпадает с вершиной
прямого угла треугольника, а осталь­
ные лежат на катетах. Найдите сторо­
ну квадрата, если катет треугольника
равен а.
530. Две вершины квадрата распо­
ложены на гипотенузе равнобедренно­
го прямоугольного треугольника, а две
другие — на катетах. Найдите сторону
квадрата, если гипотенуза равна а.
531. На каждой стороне квадрата
взяли по одной точке. При этом оказа­
лось, что эти точки являются верши­
нами прямоугольника, стороны кото­
рого параллельны диагоналям квадра­
та. Найдите периметр прямоугольни­
ка, если диагональ квадрата равна 6 .
532. Найдите расстояние от центра
ромба до его стороны, если острый угол
ромба равен 30°, а сторона равна 4.
533°. На сторонах А В и CD прямо­
угольника A B C D взяты точки К к М
так, что А К С М — ромб. ДиагональЛС
составляет со стороной А В угол 30°.
Найдите сторону ромба, если наиболь­
шая сторона прямоугольника A B CD
равна 3.
534. Через середину диагонали К М
прямоугольника K L M N перпендику­
лярно этой диагонали проведена пря­
мая, пересекающая стороны K L и M N
в точках Л и В соответственно. Извест­
но, что А В = В М = 6 . Найдите большую
сторону прямоугольника.
535. Прямая, проходящая через
центр прямоугольника перпендику­
лярно диагонали, пересекает большую
сторону прямоугольника под углом,
равным 60°. Отрезок этой прямой, за­
ключенный внутри прямоугольника,
равен 10. Найдите большую сторону
прямоугольника.
536. Через произвольную точку Р
внутри квадрата проведены две взаим­
но перпендикулярные прямые, каждая
из которых пересекает две противопо­
ложные стороны квадрата (рис. 2 2 ).
Докажите, что отрезки этих прямых,
заключенные внутри квадрата, равны.
Р и с . 22
537. Докажите, что отрезок, соеди­
няющий середины сторон А В и АС тре­
угольника ABC, и медиана, проведен­
ная из вершины А , делят друг друга
пополам.
538. Высоты остроугольного тре­
угольника ABC, проведенные из вер­
шин В и С, равны 7 и 9, а медиана A M
равна 8 . Точки Р и Q симметричны
точке М относительно сторон АС и А В
соответственно. Найдите периметр че­
тырехугольника A P M Q .
539. Диагонали
равнобедренной
трапеции взаимно перпендикулярны.
Докажите, что средняя линия трапе­
ции равна высоте.
540. Диагонали трапеции взаимно
перпендикулярны, а средняя линия
равна 5. Найдите отрезок, соединяю­
щий середины оснований.
541. Диагональ
равнобедренной
трапеции равна 1 0 и образует угол,
равный 60°, с основанием трапеции.
Найдите среднюю линию трапеции.
542. Меньшая боковая сторона пря­
моугольной трапеции равна 3, а боль­
шая образует угол, равный 30°, с од­
ним из оснований. Найдите это основа­
ние, если на нем леж ит точка пересе­
чения биссектрис углов при другом ос­
новании.
543. В трапеции ABCD меньшее ос­
нование ВС равно 3, боковые стороны
А В и CD равны по 3. Диагонали трапе­
ции образуют между собой угол в 60°.
Найдите основание AD.
37
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
544. Прямая, проходящая через
точку Oj, касается окружности с цент­
ром О 2 в точке М , а прямая, проходя­
щая через точку О^, касается окруж­
ности с центром Oj в точке N . Прямые
О^М и O 2 N пересекаются в точке Р , а
прямые Oj^V и O 2 N — в точке Q. Дока­
жите, что PQ ± 0^0 2 545. Медианы B B i и СС^ треуголь­
ника AB C пересекаются в точке М . И з­
вестно, что A M _L B jC j. Докажите, что
треугольник ABC — равнобедренный.
546. Докажите, что биссектрисы
углов прямоугольника (не являюще­
гося квадратом) своим пересечением
образуют квадрат.
547. Внутри произвольного угла
взята точка М . Проведите через точку
М прямую так, чтобы отрезок ее, за­
ключенный между сторонами угла,
делился точкой М пополам.
548. Докажите, что если отрезки,
соединяющие середины противопо­
ложных сторон четырехугольника:
а) равны, то диагонали четырех­
угольника перпендикулярны;
б) перпендикулярны, то диагонали
четырехугольника равны.
549. Пусть Р и Q — середины сто­
рон А В и CD четырехугольника ABCZ),
М к N — середины диагоналей АС и
B D. Докажите, что если M N и PQ пер­
пендикулярны, то ВС = AD .
550. На сторонах АВ , ВС, CD, D A
квадрата A B C D взяты соответственно
точки N , К , L , М , делящие эти сторо­
ны в одном и том же отношении (при
обходе почасовой стрелке). Докажите,
что K L M N также квадрат.
551. Середины сторон выпуклого
пятиугольника последовательно со­
единены отрезками. Найдите пери­
метр полученного пятиугольника, ес­
ли сумма всех диагоналей данного рав­
на а.
552. Докажите, что диагонали рав­
нобедренной трапеции равны.
553. Диагонали трапеции равны.
Докажите, что трапеция равнобедрен­
ная.
554. Докажите, что сумма противо­
положных углов равнобедренной тра­
пеции равна 180°. Верно ли обратное:
если сумма противоположных углов
трапеции равна 180°, то она равнобед­
ренная?
555. Точки М к N — середины бо­
ковых сторон А В и CD трапеции
A B CD . Могут ли прямые B N и D M
быть параллельными?
556. Диагонали трапеции взаимно
перпендикулярны. Одна из них равна
6 , а вторая образует с основанием угол,
равный 30°. Найдите среднюю линию
трапеции.
557. Точка М — середина отрезка
АВ . Точки A j, M l к В I — проекции то­
чек А , М и В на некоторую прямую.
Докажите, что
— середина отрезка
A iB j.
558. На прямую, проходящую че­
рез вершину А треугольника ABC,
опущены перпендикуляры BD и СЕ
(рис. 23). Докажите, что середина сто­
роны ВС равноудалена от точек D и Е.
Рис. 23
559. В ромбе A B C D угол А равен
60°. Точки М и N лежат на сторонах
CD и A D соответственно. Докажите,
что если один из углов треугольника
B M N равен 60°, то и остальные тоже
равны по 60°.
560. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника делят его на четыре тре­
угольника. Известно, что любые два
противоположных треугольника по­
добны, но не все они равны. Верно ли.
38
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
что этот четырехугольник является
равнобочной трапецией?
561. Основания трапеции равны а и
Ь (а > Ь). Найдите отрезок, соединяю­
щий середины диагоналей трапеции.
562. Сумма углов при одном из ос­
нований трапеции равна 90°. Докажи­
те, что отрезок, соединяющий середи­
ны оснований трапеции, равен их полуразности.
563. Найдите отношение основа­
ний трапеции, если известно, что ее
средняя линия делится диагоналями
на три равные части.
564. Диагонали параллелограмма
AB CD пересекаются в точке О. Дока­
жите, что точки пересечения биссект­
рис каждого из треугольников АВ О ,
ВСО, CDO и DAO являются верщинами ромба.
565. На сторонах АВ , ВС, CD, DA
параллелограмма A B CD взяты соот­
ветственно точки М , N , К , L , делящие
эти стороны в одном и том же отноше­
нии (при обходе по часовой стрелке).
Докажите, что K L M N — параллело­
грамм, причем его центр совпадает с
центром параллелограмма ABCD.
566. Через центр параллелограмма
AB CD проведены две прямые. Одна из
них пересекает стороны А В и CD соот­
ветственно в точках М и К , вторая —
стороны ВС h A D соответственно в точ­
ках N VL L . Докажите, что четырех­
угольник M N K L — параллелограмм.
567. Окружность, построенная на
стороне A D параллелограмма ABCD
как на диаметре, проходит через вер­
шину В и середину стороны ВС. Най­
дите углы параллелограмма.
568. Окружность проходит через
середины гипотенузы А В и катета ВС
прямоугольного треугольника ABC и
касается катета АС. В каком отноше­
нии точка касания делит катет АС7
569. Точки М и N — середины со­
седних сторон ВС и CD параллелограм­
ма ABCD. Докажите, что прямые D M и
B N пересекаются на диагонали АС.
570. Точки М и N — середины со­
седних сторон ВС и CD параллело­
грамма ABCD. Докажите, что прямые
A M и A N делят диагональ BD на три
равные части.
571. Один из углов прямоугольной
трапеции равен 1 2 0 °, большее основа­
ние равно 1 2 . Найдите отрезок, соеди­
няющий середины диагоналей, если
известно, что меньшая диагональ тра­
пеции равна ее большему основанию.
572. Две окружности касаются
внешним образом в точке К . Одна пря­
мая касается этих окружностей в раз­
личных точках А и В, а вторая — соот­
ветственно в различных точках С и D.
Общая касательная к окружностям,
проходящая через точку К , пересека­
ется с этими прямыми в точках М и М .
Найдите M N , если АС = а, BD = Ь.
573. Постройте треугольник по
двум сторонам и медиане, проведен­
ной к третьей.
574. Стороны прямоугольника рав­
ны 1 и 3. Найдите диагонали четырех­
угольника, образованного биссектри­
сами внутренних углов.
575. Постройте трапецию по осно­
ваниям и диагоналям.
576. Большее основание трапеции
равно 2 4 . Найдите ее меньшее основа­
ние, зная, что расстояние между сере­
динами ее диагоналей равно 4.
577. Дана трапеция ABCD с основа­
нием AD . Биссектрисы внешних углов
при вершинах А и В пересекаются в
точке Р , а при вершинах С и D — в точ­
ке Q. Докажите, что длина отрезка PQ
равна полупериметру трапеции.
578. В прямоугольнике ABCD точ­
ка М — середина стороны ВС, точка
N — середина стороны CD, Р — точка
пересечения отрезков D M и B N . Дока­
жите, что угол M A N равен углу В Р М .
579. Из вершины А треугольника
ABC опушены перпендикуляры A M и
А Р на биссектрисы внешних углов В и
С. Докажите, что отрезок Р М равен по­
ловине периметра треугольника ABC.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
580. Через точку на стороне тре­
угольника проведена прямая, парал­
лельная другой стороне, до пересече­
ния с третьей стороной треугольника.
Через полученную точку проведена
прямая, параллельная первой стороне
треугольника, и т. д. Докажите, что:
а) если исходная точка совпадает с
серединой стороны треугольника, то
четвертая точка, полученная таким
способом, совпадет с исходной;
б) если исходная точка отлична от
середины стороны треугольника, то
седьмая точка, полученная таким спо­
собом, совпадет с исходной.
581. Диагонали ромба A B C D пере­
секаются в точке О. Докажите, что
точки пересечения биссектрис каждо­
го из треугольников АВ О , ВСО, CDO и
DAO являются вершинами квадрата.
582. Вершины М и N равносторон­
него треугольника B M N лежат соот­
ветственно на сторонах A D и CD квад­
рата ABCZ). Докажите, что MTV ||АС.
583. Прямая имеет с параллело­
граммом A B C D единственную общую
точку в . Вершины А и С удалены от
этой прямой на расстояния, равные а
и Ь. На какое расстояние удалена от
этой прямой вершина £)?
584. Докажите, что середины сто­
рон равнобочной трапеции служат
вершинами ромба.
585. Через точку, расположенную
внутри треугольника, проведены пря­
мые, параллельные его сторонам
(рис. 24). Эти прямые разбивают тре­
39
угольник на три треугольника и три
четырехугольника. Пусть а, Ь и с —
параллельные высоты этих трех тре­
угольников. Найдите параллельную
им высоту исходного треугольника.
586. Докажите, что сумма расстоя­
ний от произвольной точки основания
равнобедренного треугольника до бо­
ковых сторон постоянна.
587. Через каждую вершину парал­
лелограмма проведена прямая, пер­
пендикулярная диагонали, не прохо­
дящей через эту вершину. Докажите,
что диагонали четырехугольника, об­
разованного пересечениями четырех
проведенных прямых, перпендику­
лярны сторонам параллелограмма.
588. Две окружности пересекаются
в точкахЛ и В. Через точку А проведе­
ны диаметры АС и A D этих окружнос­
тей. Найдите сумму отрезков ВС и BD,
если расстояние между центрами ок­
ружностей равно а, а центры окруж­
ностей лежат по разные стороны от об­
щей хорды АВ.
589. Две окружности пересекаются
в точках Л и В. Через точку Л проведе­
ны диаметры АС и A D этих окружнос­
тей. Найдите модуль разности отрез­
ков ВС и B D, если расстояние между
центрами окружностей равно а, а
центры окружностей лежат по одну
сторону от общей хорды АВ.
590. Сторона треугольника равна а.
Найдите отрезок, соединяющий сере­
дины медиан, проведенных к двум
другим сторонам.
591. Найдите геометрическое место
середин всех отрезков, один конец ко­
торых лежит на данной прямой, а вто­
рой совпадает с данной точкой, не ле­
жащей на этой прямой.
592. Докажите, что если отрезок,
соединяющий середины оснований тра­
пеции, равен ее средней линии, то диа­
гонали трапеции перпендикулярны.
593. В выпуклом четырехугольни­
ке ABCD отрезок, соединяющий сере­
дины диагоналей, равен отрезку, со­
единяющему середины сторон A D и
40
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ВС. Найдите угол, образованный про­
должением сторон А В и CD.
594. Средняя линия трапеции рав­
на 5, а отрезок, соединяющий середи­
ны оснований, равен 3. У глы при боль­
шем основании трапеции равны 30° и
60°. Найдите основания и меньшую
боковую сторону трапеции.
595. Дан четырехугольник ABCZ), в
котором ВС II A D . Точки К и М — сере­
дины сторон CD и A D соответственно.
Известно, что отрезки АК" и С М пересе­
каются на диагонали B D . Докажите,
что ABCD — параллелограмм.
596. Постройте общие касательные
к двум данным окружностям.
597. Точки А и В высекают на ок­
ружности с центром О дугу величиной
60°. На этой дуге взята точка М . Дока­
жите, что прямая, проходящая через
середины отрезков М А и ОВ, перпен­
дикулярна прямой, проходящей через
середины отрезков M B и ОА.
598. Внутри треугольника ABC взя­
та произвольная точка О и построены
точки A j, B j и Cj, симметричные точке
О относительно середин сторон ВС, СА
и А В . Докажите, что треугольники
AB C и A j B j C j равны и прямые A 4 j,
B B i и CCj пересекаются в одной точке.
599. От параллелограмма с по­
мощью прямой, пересекающей две его
противоположные стороны, отрезали
ромб. От оставшегося параллелограм­
ма таким же образом вновь отрезали
ромб. И от этого вновь оставшегося па­
раллелограмма опять отрезали ромб.
В результате остался параллелограмм
со сторонами 1 и 2. Найдите стороны
исходного параллелограмма.
600. Докажите, что биссектрисы
внешних углов параллелограмма при
пересечении образуют прямоуголь­
ник, диагональ которого равна сумме
двух соседних сторон параллелограм­
ма.
601. Докажите, что если радиус
вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот
треугольник — прямоугольный.
602. В четырехугольнике ABCD
точка Е — середина АВ , F — середина
CD. Докажите, что середины отрезков
A F , СЕ, B F и D E являются вершинами
параллелограмма.
603. Противоположные
стороны
шестиугольника попарно равны и па­
раллельны. Докажите, что отрезки,
соединяющие противоположные вер­
шины, пересекаются в одной точке.
604. На сторонах АВ , ВС, CD, DA
параллелограмма AB CD взяты соот­
ветственно точки М , N , К , L , делящие
эти стороны в одном и том же отноше­
нии (при обходе по часовой стрелке).
Докажите, что при пересечении пря­
мых A N , В К , CL и D M получится па­
раллелограмм, причем его центр сов­
падает с центром параллелограмма
AB CD .
605. B B i и CCj — медианы тре­
угольника AB C. На продолжении ме­
дианы CCi за точку Cj отложен отре­
зок С^Сг, равный i CCj. Оказалось, что
О
CgBi = A B j. Докажите, что медианы
CCj и ВВ^ взаимно перпендикулярны.
606. И з вершины А треугольника
ABC опущены перпендикуляры A M и
А Р на биссектрисы внешних углов В
и С. Найдите отрезок Р М , если пери­
метр треугольника AB C равен 10.
607. Диагональ АС параллелограм­
ма AB CD втрое больше диагонали BD
и пересекается с ней под углом в 60°.
Найдите отрезок, соединяющий вер­
шину D с серединой стороны ВС, если
АС = 24, а угол BDC — тупой.
608. Докажите, что отрезок, соеди­
няющий середины оснований трапе­
ции, меньше полусуммы ее боковых
сторон.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
609. Дана трапеция ABCJD с основа­
ниями A D и ВС. Биссектрисы углов
при вершинах А vl В пересекаются в
точке М , а биссектрисы углов при вер­
шинах С и D — в точке N . Найдите
M N , если известно, что А В = а, ВС = Ь,
CD = cu A D = = d.
610. Одна из боковых сторон трапе­
ции (рис. 25) равна сумме оснований.
Докажите, что биссектрисы углов при
этой стороне пересекаются на другой
боковой стороне.
611. Высоты B B i и CCi остроуголь­
ного треугольника ABC пересекаются
в точке Н , причем С Н = С^Н и В Н =
= 2B^H. Найдите угол ВАС.
612. Докажите равенство треуголь­
ников по трем медианам.
613. Через середину S отрезка M N ,
концы которого лежат на боковых сто­
ронах равнобедренного треугольника,
проведена прямая, параллельная ос­
нованию треугольника и пересекаю­
щая боковые стороны в точках К к L.
Докажите, что проекция отрезка M N
на основание треугольника равна от­
резку
614. Средняя линия трапеции рав­
на 4, углы при одном из оснований
равны 40° и 50°. Найдите основания
трапеции, если отрезок, соединяющий
середины этих оснований, равен 1 .
615. Пусть Б и С — две точки на сто­
ронах угла с вершиной А . Окружности
с диаметрамиАС и А В вторично пересе­
каются в точке D . Прямая АВ вторично
пересекает окружность с диаметром
АС в точке К , а прямая АС вторично пе­
41
ресекает окружность с диаметром АВ в
точке М . Докажите, что прямые В М ,
С К и A D пересекаются в одной точке.
616. На боковых сторонах АВ и ВС
равнобедренного треугольника ABC
взяты соответственно точки М и N
так, что В М = CN. Докажите, что сере­
дина отрезка M N леж ит на средней ли ­
нии треугольника ABC, параллельной
его основанию.
617. Докажите, что биссектрисы
внутренних углов параллелограмма
при пересечении образуют прямо­
угольник, диагональ которого равна
разности двух соседних сторон парал­
лелограмма.
618. А В — диаметр окружности,
CD — хорда этой окружности. Перпен­
дикуляры к хорде, проведенные через
ее концы С п D , пересекают прямую
АВ в точках К и М соответственно. До­
кажите, что А К = В М .
619. Пусть М — основание перпен­
дикуляра, опущенного из вершины D
параллелограмма AB CD на диагональ
АС. Докажите, что перпендикуляры к
прямым АВ и ВС, проведенные через
точки А и С соответственно, пересекут­
ся на прямой D M .
620. Сторона АВ треугольника ABC
больше стороны АС, а zl А = 40°. Точка
D леж ит на стороне АВ , причем BD =
= АС. Точки M vlN ~ середины отрез­
ков ВС и A D соответственно. Найдите
угол B N M .
621. Востроугольном треугольнике
AB C проведены высоты B D и СЕ. Из
вершин В и С на прямую E D опущены
перпендикуляры B F и CG. Докажите,
что E F = DG.
622. На сторонах ВС и CD паралле­
лограмма A B C D построены внешним
образом правильные треугольники
в е к и DC L. Докажите, что треуголь­
ник AiCL — правильный.
623. Постройте треугольник по
трем медианам.
42
ПЛАНИМЕТРИЯ
624. В треугольнике A B C проведе­
ны медиана В М и высота
Извест­
но, что В М ^ А Н . Найдите угол М В С .
625. Четырехугольник A BCD, диа­
гонали которого взаимно перпендику­
лярны, вписан в окружность с цент­
ром О. Найдите расстояние от точки О
до стороны А В , если известно, что
CD^a.
626. Точка М — середина стороны
CD параллелограмма A B CD , точка
Н — проекция вершины В на прямую
A M . Докажите, что треугольник
С В Н — равнобедренный.
627. Одна из сторон вписанного че­
тырехугольника является диаметром
окружности. Докажите, что проекции
сторон, прилегающих к этой стороне,
на четвертую сторону (на прямую, за­
дающую четвертую сторону) равны
между собой.
628. На сторонах параллелограмма
вне его построены квадраты. Докажи­
те, что их центры сами образуют квад­
рат.
629. Постройте пятиугольник по
серединам его сторон.
630. Докажите, что расстояние от
вершины треугольника до точки пере­
сечения высот вдвое больше, чем рас­
стояние от центра описанного круга до
противоположной стороны.
631. Два равносторонних треуголь­
ника AB C и C DE расположены по одну
сторону от прямой А £ и имеют единст­
венную общую точку С (рис. 26). Пусть
M , N VIК — середины отрезков BD, АС
и СЕ соответственно. Докажите, что
треугольник M N K — равносторонний.
632. Сторона ВС параллелограмма
A B C D вдвое больше стороны CD, Р —
проекция вершины С на прямую АВ,
М — середина стороны AD . Докажите,
что Z D M P = 3 • Z А Р М .
633. Внутри треугольника ABC взя­
та точкаР так, что Z РАС = Z. РВС. Из
точки Р на стороны ВС и СА опущены
перпендикуляры Р М и Р К соответ­
ственно. Пусть D — середина стороны
АВ. Докажите, что D K == D M .
5. У Г Л Ы , СВЯЗАННЫ Е
С ОКРУЖ НОСТЬЮ .
ВПИ САН Н Ы Й
ЧЕТЫ РЕХУГО ЛЬН И К.
В С П О М О ГА ТЕ Л ЬН А Я
О К РУ Ж Н О С ТЬ
634. Докажите, что вписанный
угол равен половине соответствующе­
го центрального угла (или дуги) ок­
ружности.
635. Докажите, что у четырех­
угольника, вписанного в окружность,
суммы противоположных углов равны
180°.
636. Найдите геометрическое место
точек, из которых данный отрезок ви­
ден под данным углом.
637. Докажите, что угол, заклю­
ченный между касательной и хордой,
проведенной через точку касания, ра­
вен половине угловой величины дуги,
заключенной между ними.
638. Какова угловая величина ду­
ги, если радиус, проведенный в ее
конец, составляет с ее хордой угол в
40°?
639. Углов£ 1я величина дуги содер­
жит 110°. Найдите величины вписан­
ных углов, опирающихся на эту хорДУ-
Р и с . 26
640. Хорда делит окружность в от­
ношении 7 : 1 1 . Найдите величины
вписанных углов, опирающихся на
эту хорду.
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
641. Хорда А В делит окружность на
две дуги, из которых меньшая равна
130°, а большая делится хордой А С в
отношении 31 : 15, считая от А. Най­
дите угол ВАС.
642. Через конец хорды, делящей
окружность в отношении 3 : 5, прове­
дена касательная. Найдите острый
угол между хордой и касательной.
643. Окружность разделена в отно­
шении 5 : 9 ; 10, и через точки деле­
ния проведены касательные. Найдите
наибольший угол в полученном тре­
угольнике.
644. Меньшая сторона прямоуголь­
ника равна 1 , острый угол между ди­
агоналями равен 60°. Найдите радиус
описанного круга.
645. В прямоугольнике диагональ
образует со стороной угол в 20°. На ка­
кие четыре части делится вершинами
этого прямоугольника описанная око­
ло него окружность?
646. С — точка на продолжении
диаметра А В , CD — касательная, угол
ADC равен 110°. Найдите угловую ве­
личину дуги BD.
647. А В — диаметр окружности,
ВС — касательная. Секущая А С де­
лится окружностью в точке D попо­
лам. Найдите угол DAB.
648. Из концов дуги в 200° проведе­
ны касательные до взаимного пересе­
чения. Найдите угол между ними.
649. У гол между двумя касатель­
ными, проведенными из одной точки к
окружности, равен 70°. Найдите угло­
вые величины дуг, заключенных меж­
ду точками касания.
650. Хорда делит окружность в от­
ношении 11 : 16. Найдите угол между
касательными, проведенными из кон­
цов этой хорды.
651. Внутри данной окружности
находится другая окружность. A B C и
A D E — хорды большей окружности,
касающиеся меньшей окружности в
43
точках В VI D-, B M D — меньшая из
двух дуг между точками касания;
C N E — дуга между концами хорд.
Найдите угловую величину дуги CNE,
если дуга B M D содержит 130°.
652. В ромб вписана окружность.
На какие четыре части она делится
точками касания сторон, если острый
угол ромба равен 37°?
653. Можно ли описать окружность
около четырехугольника, углы кото­
рого по порядку относятся, как;
а) 2 : 4 : 5 : 3; б) 5 : 7 : 8 : 9?
654. Три последовательных угла
вписанного четырехугольника отно­
сятся, как 1 : 2 : 3 . Найдите все углы
четырехугольника.
655. Найдите углы четырехуголь­
ника ABCD, вершины которого распо­
ложены на окружности, если Z. AB D =
= 74°, Z DBC = 38°, Z B DC = 65°.
656. Окружность касается одной из
сторон угла в его вершине А и пересе­
кает другую сторону в точке В. У гол
равен 40°; М — точка на меньшей дуге
АВ . Найдите угол А М Б .
657. Окружность разделена в отно­
шении 7 : 1 1 : 6 , и точки деления со­
единены между собой. Найдите углы
полученного треугольника.
658. М — середина высоты B D в рав­
нобедренном треугольнике ABC. Точка
М служит центром окружности ради­
уса M D . Найдите угловую величину ду­
ги окружности, заключенной между
сторонами ВА и ВС, если Z ВАС = 65°.
659. А В и АС — две хорды, обра­
зующие угол ВАС, равный 70°. Через
точки В и С проведены касательные до
пересечения в точке М . Найдите
^ВМ С.
660. Окружность с центром в точке
О делит отрезок А О пополам. Найдите
угол между касательными, проведен­
ными из точки А .
661. Угловая величина дуги АВ
равна а < 90°. На продолжении ради-
44
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
уса ОА отложен отрезок АС, равный
хорде A S , и точка С соединена с В
(рис. 27). Найдите угол л е в .
662. В треугольнике A B C угол С —
прямой. Из центра С радиусом АС опи­
сана дуга A D E , пересекающая гипоте­
нузу в точке D, а катет СВ — в точке Е .
Найдите угловые величины дуг A D и
D £ , если Л В = 40°.
663. ABC — секущая, А — внешняя
точка окружности, угловая величина
дуги B D равна 42°, а угловая величина
дуги BDC равна 220°. Найдите угол
ABD.
664. Найдите градусную меру дуги,
если перпендикуляр, проведенный к
хорде из ее конца, делит дополнитель­
ную (до окружности) дугу в отноше­
нии 5 ; 2.
665. Найдите углы при большем ос­
новании трапеции, вписанной в ок­
ружность, если ее основания видны из
центра окружности под углами 80° и
100 ° .
6 6 6 . В круговой сегмент А М В впи­
сана трапеция A C B D , у которой АС =
= CD и Л САВ = 51°20'. Найдите угло ­
вую величину дуги А М В .
667. А В и АС — равные хорды,
M A N — касательная, угловая вели­
чина дуги ВС, не содержащей точки А,
равна 200°. Найдите углы М А В и
N AC.
6 6 8 . Один из острых углов прямо­
угольного треугольника равен 25°. Под
каким углом виден каждый его катет
из центра описанной окружности?
669. Два угла треугольника равны
50° и 100°. Под каким углом видна
каждая сторона треугольника из цент­
ра вписанной окружности?
670. А В и ВС — хорды окружности;
u A B = 110°, uAC = 40°. Найдите угол
ВАС.
671. Основание
равностороннего
треугольника служит диаметром ок­
ружности. На какие части делятся
стороны треугольника полуокружно­
стью, а полуокружность — сторонами
треугольника?
672. Секущая ABC отсекает дугу
ВС, содержащую 112°; касательная
A D точкой касания D делит эту дугу в
отношении 7 : 9 . Найдите Z BAD.
673. Пусть О — центр круга, опи­
санного около треугольника ABC.
Найдите угол ОАС, если: а) Z В = 50°;
б) Z В = 126°.
674. Во вписанном четырехуголь­
нике ABCJ9 диагональАС перпендику­
лярна диагонали BD и делит ее попо­
лам. Найдите углы четырехугольни­
ка, если Z BAD = а.
675. Внутри данной окружности
находится другая окружность. САЕ и
D B F — две хорды большей окружнос­
ти (непересекающиеся), касающиеся
меньшей окружности в точках А и В;
C N D , E P F — дуги между концами
хорд. Найдите угловую величину дуги
C N D , если дуги А М В и E P F содержат
соответственно 154° и 70°.
676. Треугольник ABC — равнобед­
ренный. Радиус ОА описанного круга
образует с основанием АС угол ОАС,
равный 20°. Найдите угол ВАС.
677. Две окружности пересекаются
в точках А и В. Через точк уА проведе­
на прямая, пересекающая окружнос­
ти в точках С и D, и через точку В —
прямая, пересекающая окружности в
точках E v l F ( т о ч к и С и £ — на одной
окружности, D VL F — на другой). До­
кажите, что Z CBD =
EAF.
678. Если в треугольнике медиана
равна половине стороны, к которой
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
она проведена, то угол против этой
стороны — прямой. Докажите это с
помощью вспомогательной окружнос­
ти.
679. Точки А и В соединены двумя
дугами окружностей, обращенными
выпуклостями в разные стороны:
^А С В = 117°23' и uAD B = 42°3 7'. Сере­
дины С и D этих дуг соединены с А .
Найдите угол CAD.
680. У гол при вершине равнобед­
ренного треугольника равен 40°. Одна
из боковых сторон служ ит диаметром
полуокружности, которая делится
другими сторонами на три части. Най­
дите эти части.
681. Окружность разделена точ­
ками
А,
В,
С,
D
так,
что
u A B ; uBC : uCD ; u D A = 2 : 3 : 5 : 6 .
Проведены хорды AC и B D , пересекаю­
щиеся в точке М . Найдите угол A M D .
682. Диаметр А В и хорда CD пересе­
каются в точке М , Z- С М В = 73°, угло­
вая величина дуги ВС равна 110°. Най­
дите величину дуги B D .
683. Из произвольной точки М вну­
три острого угла с вершиной А опуще­
ны перпендикуляры М Р и M Q на его
стороны. Из вершины А проведен пер­
пендикуляр AiC на PQ . Докажите, что
Л РА К = Z MAQ.
684. Два угла треугольника равны
40° и 80°. Найдите углы треугольника
с вершинами в точках касания вписан­
ной окружности со сторонами данного
треугольника.
685. Из точки Р , расположенной
внутри острого угла ВАС, опущены
перпендикуляры РС^ и РВ^ на прямые
А В и АС. Докажите, что угол С^АР ра­
вен у гл у C^BiP.
6 8 6 . Из произвольной точки М
ка­
тета ВС прямоугольного треугольника
A B C опущен на гипотенузу А В перпен­
дикуляр M N . Докажите, что угол
M A N равен у гл у M C N .
687. Две окружности пересекаются
в точках А п В. Через точку В прово­
дится прямая, пересекающая окруж­
45
ности в точках С и D, а затем через точ­
ки С и D проводятся касательные к
этим окружностям (рис. 28). Докажи­
те, что точки А , С, D и точка Р пересе­
чения касательных лежат на одной ок­
ружности.
6 8 8 . Окружность
разделена точ­
ками
А,
В,
С,
D
так,
что
u A B : uB C : uCD : uD A = 3 : 2 : 1 3 : 7 .
Хорды A D и ВС продолжены до пересе­
чения в точке М . Найдите угол А М В .
689. На данной прямой M7V построй­
те точку, из которой данный отрезок АВ
был бы виден под данным углом.
690. В равнобедренной трапеции
угол при основании равен 50°, а угол
между диагоналями, обращенный к
боковой стороне, равен 40°. Где лежит
центр описанной окружности: внутри
или вне трапеции?
691. Через точку К , лежащую на
окружности с центром О, проведены
хорда К А (дуга К А больше 90°) и каса­
тельная М К Р . Прямая, проведенная
через центр О перпендикулярно ради­
усу ОА, пересекает хорду А-ЙГ в точке В
и касательную М Р в точке С. Докажи­
те, что отрезок К С равен отрезку ВС,
692. Окружность касается стороны
ВС треугольника AB C в точке М , сто­
роны АС — в точке N , а сторону А В пе­
ресекает в точках К VI L , причем
K L M N — квадрат. Найдите углы тре­
угольника ABC.
693. В круге провели три хорды АВ,
ВС и CD и отметили их середины — М ,
46
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
N , К . Докажите, что Z. B M N = Z. N K C
или ^ B M N + Z. N K C = 180°.
694. Постройте треугольник по сто­
роне, противолежащему углу и высоте,
проведенной из вершины этого угла.
695. Две окружности пересекаются
в точках Л и В. Продолжения хордЛС
и B D первой окружности пересекают
вторую окружность в точках E u F . До­
кажите, что прямые CD и E F парал­
лельны.
696. Угловы е величины противопо­
ложных дуг, высекаемых на окруж­
ности пересекающимися хордами, рав­
ны а и р. Найдите угол между хордами.
697. Угловы е величины дуг, заклю ­
ченных между двумя хордами, про­
должения которых пересекаются вне
круга, равны а и Р (а, > Р). Под каким
углом
пересекаются продолжения
хорд?
698. Во вписанном четырехуголь­
нике ABCD известны углы : Z. DAB = а,
Z AB C = Р, Z. В К С — у, где К — точка
пересечения диагоналей. Найдите
угол ACD.
699. Из концов дуги А В , содержа­
щей т°, проведены хор д ы А С и B D так,
что угол D M C , образованный их пере­
сечением, равен углу D N C , вписанно­
му в дугу CD. Найдите градусную меру
этой дуги.
700. В четырехугольнике A B C D у г ­
лы B v iD — прямые. Диагональ А С об­
разует со стороной А В острый угол в
40°, а со стороной A D — угол в 30°.
Найдите острый угол между диагона­
лями ЛС и B D .
701. В выпуклом четырехугольни­
ке ABC дано: А ABC = 116°, Z ADC =
= 64°, Л CAB = 35° и Z CAD = 52°. Най­
дите угол между диагоналями, опи­
рающийся на сторону A S .
702. Стороны пятиугольника в по­
рядке обхода равны 5, б, 7, 8 и 9. Сто­
роны этого пятиугольника касаются
одной окружности. На какие отрезки
точка касания со стороной, равной 5,
делит эту сторону?
703. Две окружности пересекаются
в точках А и В. Прямая, проходящая
через точку А , пересекает окружности
в точках М и N , отличных от А , а па­
раллельная ей прямая, проходящая
через В, — соответственно в точк£1х Р
и Q, отличных от Б. Докажите, что
M N = PQ.
704. В треугольнике ABC проведе­
ны медианы A A j и ВВ^. Докажите, что
если /L САА -1 = Z СВВ^, то АС = ВС.
705. Диагонали четырехугольника
A B C D , вписанного в окружность, пе­
ресекаются в точке Е. На прямой АС
взята точка М , причем Z В М Е == 70°,
А A D B = 50°, Z CDB = 60°. Где распо­
ложена точка М : на диагонали АС или
на ее продолжении? Ответ обосновать
706. Докажите, что прямая, соеди
няющая середины дуг А В и АС, где А
В и С — три точки одной окружности
отсекает на хордах А В и АС равные от
резки, считая от точки А.
707. Докажите, что биссектрисы
углов выпуклого четырехугольника об­
разуют вписанный четырехугольник.
708. О — центр окружности, опи­
санной около треугольника ABC,
Z АОС = 60°. Найдите угол А М С , где
М — центр окружности, вписанной в
треугольник ABC.
709. На гипотенузе А В прямоуголь­
ного треугольника AB C во внешнюю
сторону встроен квадрат с центром в
точке О. Докажите, что СО есть бис­
сектриса прямого угла.
710. На окружности даны точки А,
В ,С , D b указанном порядке; М — се­
редина дуги АВ . Обозначим точки пе­
ресечения хорд М С и M D с хордой А В
через Е и К . Докажите, что K E C D —
вписанный четырехугольник.
711. Окружности S j и § 2 пересека­
ются в точке А . Через точку А проведе­
на прямая, пересекающая
в точке
В, S 2 в точке С. В точках С и В прове­
дены касательные к окружностям, пе­
ресекающиеся в точке D. Докажите,
47
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
что угол ВВС не зависит от выбора
прямой, проходящей через точку А.
712. Четырехугольник ABCD, диа­
гонали которого взаимно перпендику­
лярны, вписан в окружность. Перпен­
дикуляры, опущенные на сторону AD
из вершин Б и С, пересекают диагонали
АС и B D в точках E v iF соответственно
(рис. 29). Найдите E F , если ВС = 1.
713. К двум окружностям, пересе­
кающимся в точках К и М , проведена
общая касательная. Докажите, что
если А и В — точки касания, то сумма
углов А М В и А Х В равна 180°.
714. В треугольнике ABC точка
О — центр вписанной окружности,
A i — точка пересечения прямой А О с
описанной окружностью. Докажите,
что ВА^ = O A i = CAi715. Четыре точки окружности сле­
дуют в порядке А , В, С, D . Продолже­
ния хорды А В за точку В и хорды CD за
точку С пересекаются в точке Е , при­
чем угол A E D равен 60°. У гол A B D в
три раза больше угла ВАС. Докажите,
что A D — диаметр окружности.
716. Пусть А В — диаметр окруж­
ности, С — некоторая точка плоскос­
ти. Прямые А С и ВС пересекают ок­
ружность в точках М и N соответ­
ственно. Прямые M B и N A пересека­
ются в точке К . Найдите угол между
прямыми С К VI АВ.
717. В треугольнике ABC угол В —
прямой, угол А равен а
а < ^ , точка
D — середина гипотенузы. Точка
симметрична точке С относительно
прямой B D . Найдите угол АС^В.
718. В треугольнике ABC угол В —
прямой, угол с равен а
а >
Г)
точка
D — середина гипотенузы. Точка A j
симметрична точке А относительно
прямой B D . Найдите угол ВА^С.
719. Продолжение биссектрисы AD
треугольника A B C пересекает описан­
ную окружность в точке М . Пусть Q —
центр окружности, вписанной в тре­
угольник ABC. Докажите, что тре­
угольники M B Q и M C Q — равнобед­
ренные.
720. Биссектриса внешнего угла
при вершине С треугольника ABC пе­
ресекает описанную окружность в точ­
ке D . Докажите, что AZ) = BD.
721. Через вершину С равносторон­
него треугольника ABC проведена про­
извольная прямая, K v iM — проекции
точек А и В на эту прямую, Р — сере­
дина АВ . Докажите, что треугольник
К М Р — равносторонний.
722. Внутри угла с вершиной О взята
некоторая точка М . Л уч О М образует со
сторонами угла углы, один из которого
больше другого на 10°; А и В — проек­
ции точки М на стороны угла. Найдите
угол между прямыми А В и О М .
723. Две прямые пересекаются в
точке А ; В и С — проекции точки М на
эти прямые. Найдите угол между пря­
мой ВС и прямой, проходящей через
середины отрезков A M и ВС.
724. В квадрате A B C D из точки D
как из центра проведена внутри квад­
рата дуга через вершины А и С. На AD
как на диаметре построена внутри
квадрата полуокружность. Отрезок
прямой, соединяющей произвольную
точку Р дуги АС с точкой D , пересекает
полуокружность A D в точке К . Дока­
жите, что длина отрезка Р К равна рас­
стоянию от точки Р до стороны АВ.
725. Около треугольника ABC опи­
сана окружность с центром 0 : М — се-
48
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
редина дуги, не содержащей точки А .
Докажите, что угол О М А равен полуразности углов С и В треугольника ABC.
726. Равносторонние треугольники
ABC и P Q R расположены так, что вер­
шина С леж ит на стороне P Q , а верши­
на Д — на стороне А В . Докажите, что
А Р II BQ.
727. Трапеция с высотой h впис£1на
в окружность. Боковая сторона трапе­
ции видна из центра окружности под
углом 120°. Найдите среднюю линию
трапеции.
728. A M — биссектриса треуголь­
ника ABC. Точка D принадлежит сто­
роне АС, причем Z В М С = А ВАС. Д о­
кажите, что В М = M D .
729. Окружность S 2 проходит через
центр О окружности
и пересекает ее
в точках А и В. Через точку А проведе­
на касательная к окружности Sg. Точ­
ка £) — вторая точка пересечения этой
касательной с окружностью S^. Дока­
жите, что A D = АВ.
730. В треугольнике ABC биссект­
рисы В Р и С Т пересекаются в точке О.
Известно, что точки А , P , O vlT лежат
на одной окружности. Найдите вели­
чину угла А.
731. Дан вписанный четырехуголь­
ник AB CD . Противоположные сторо­
ны А В и CD при продолжении пересе­
каются в точке К , стороны ВС и A D —
в точке L. Докажите, что биссектрисы
углов ВКС и B LA перпендикулярны.
732. А В — диаметр окружности; С,
D ,E — точки на одной полуокружнос­
ти A C D E B . На диаметре А В взяты:
точка F так, что /. CFA = Z_ D F B , и точ­
ка G так, что Z DGA = Z EGB. Найдите
Z FD G , если дуга А С равна 60°, а дуга
B E равна 20°.
733. Даны окружность и точка А
вне ее; А В и АС — касательные к ок­
ружности (В и С — точки касания).
Докажите, что центр окружности,
вписанной в треугольник ABC, лежит
на данной окружности.
734. На продолжении (за точку А )
стороны АС правильного треугольни­
ка AB C взята точка М , и около тре­
угольников А В М и М В С описаны ок­
ружности. Точка А делит дугу М А В в
отношении М А : А В = п. В каком отно­
шении точка С делит дугу МСВ1
735. На стороне АС правильного
треугольника ABC взята точка М , и
около треугольников А В М и М В С опи­
саны окружности. Точка С делит дугу
М С В в отношении и М С : иСВ = п. В
каком отношении точка А делит дугу
МАВ?
736. Две
окружности касаются
друг друга внутренним образом в точ­
ке А ; А В — диаметр большей окруж­
ности. Хорда В К большей окружности
касается меньшей окружности в точке
С (рис. 30). Докажите, что АС — бис­
сектриса треугольника ABJ?^.
737. Докажите, что если стороны
пятиугольника в порядке обхода рав­
ны 4 , 6 , 8 ,7 и 9, то его стороны не могут
касаться одной окружности.
738. Вершина угла в 70° служит на­
чалом луча, образующего с его сторо­
нами углы 30° и 40°. Из некоторой точ­
ки М на этот луч опущены перпенди­
куляры, основания которых А , В и С.
Найдите углы треугольника ABC.
739. Через точку О на стороне пра­
вильного треугольника ABC проведе­
ны прямые, параллельные сторонам
А В и АС и пересекающие стороны АС и
А В в точках K v i L соответственно. Ок­
ружность, проходящая через точки О,
K vlL , пересекает стороны АС и А В со­
ответственно в точках Q и Р , отличных
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
К v lL . Докажите, что треугольник
OPQ — равносторонний.
740. Через одну из точек пересече­
ния двух равных окружностей прове­
дена общая секущая. Докажите, что
отрезок этой секущей, заключенный
между окружностями, делится попо­
лам окружностью, построенной на об­
щей хорде этих окружностей как на
диаметре.
741. Четырехугольник вписан в ок­
ружность. Докажите, что сумма уг­
лов, вписанных в сегменты, прилежа­
щие к сторонам четырехугольника и
расположенные вне его, равна 540°.
742. Ш естиугольник
ABCDEF —
вписанный,
причем
А В ||D E
и
ВС II E F . Докажите, что CD li E F .
743. Касательная в точке А к опи­
санной окружности треугольника ABC
пересекает прямую ВС в точке Е;
A D — биссектриса треугольника ABC.
Докажите, что А Е = E D .
744. В треугольнике AB C проведена
высота АН', О — центр описанной
окружности. Докажите, что Z О А Н =
= |Z Б - Z С|.
745. Из точки А проведены каса­
тельные А В и АС к окружности с цент­
ром О. Докажите, что если из точки М
отрезок АО виден под углом 90°, то от­
резки ОВ и ОС видны из нее под равны­
ми углами.
746. Точки С VL D лежат на окруж­
ности с диаметром АВ. Прямые АС и
BD, A D и ВС пересекаются в точках Р
и Q. Докажите, что А В перпендику­
лярна PQ .
747. На отрезке А В взята точка М .
На отрезках A M и M B как на сторонах
построены по одну сторону от А В квад­
раты. Около квадратов описаны ок­
ружности, пересекающиеся в точке С
(отличной от М ). Докажите, что:
а) угол АСВ — прямой; б) точка F ле ­
жит на отрезке АС.
748. Точки А , В, С VI D лежат на
окружности. Точки М , N , К и L — се­
редины дуг А В , ВС, CD и DA. Докажи­
0 1
49
те, что хорды М К и N L перпендику­
лярны.
749. Радиус окружности, описан­
ной около остроугольного треугольни­
ка ABC, равен 1. Известно, что на этой
окружности леж ит центр другой ок­
ружности, проходящей через верши­
ны А , С и точку пересечения высот тре­
угольника ABC. Найдите АС.
750. В треугольнике А-ВС угол В ра­
вен 60°, биссектрисы A D и СЕ пересе­
каются в точке О. Докажите, что OD =
= ОЕ.
751. Три равные окружности име­
ют общую точку Н , а точки их пересе­
чения, отличные отН, образуют остро­
угольный треугольник ABC. Докажи­
те, что Н — точка пересечения высот
треугольника А-ВС.
752. Три окружности имеют общую
точку М и попарно пересекаются в
точках Р , Q, R. Через произвольную
точку А одной из окружностей, леж а­
щую на дуге PQ , не содержащей точки
М , и точки Р и Q, в которых окруж­
ность пересекает две другие окруж­
ности, проведены прямые, пересекаю­
щие эти же две окружности в точках В
и С. Докажите, что точки В, Cvi R ле­
жат на одной прямой.
753. Докажите, что в любом тре­
угольнике ABC середина стороны ВС
леж ит на отрезке, соединяющем точку
пересечения высот с точкой окружнос­
ти, описанной около этого треугольни­
ка, диаметрально противоположной
вершине А , и делит этот отрезок попо­
лам.
754. Две окружности пересекаются
в точках А и Б. Через точку К первой
окружности проводятся прямые К А и
К В , пересекающие вторую окруж­
ность в точках Р VL Q. Докажите, что
хорда P Q второй окружности перпен­
дикулярна диаметру К М первой ок­
ружности.
755. Окружности
и Sg пересека­
ются в точках А VI В, причем центр О
окружности S j леж ит на окружности
50
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
S 2 . ХордаЛС окружности
пересека­
ет окружность S 2 в точке D . Докажите,
что отрезки O D и ВС перпендикуляр­
ны.
756. Диагонали четырехугольника
A B C D , вершины которого расположе­
ны на окружности, пересекаются в
точке М . Известно, что ^ А В С = 72°,
Z B C D = 102°, Z A M D = 110°. Найдите
AACD.
757. Найдите расстояние между
точками касания окружностей, впи­
санных в треугольники AB C и CDA, со
стороной АС, если;
&)АВ = 5 ,В С = 7, CD = DA;
б) А В = 7, БС = CD, D A = 9.
758. Точки А , В, С, D , Е к F распо­
ложены на окружности. Хорды ЕС и
A D пересекаются в точке М , а хорды
B E и D F — в точке N . Докажите, что
если хорды А В и CF параллельны, то
они параллельны также прямой M N .
759. Через концы основания A D тра­
пеции A B CD проведена окружность,
пересекающая прямые А В и CD в точ­
ках К VI М . Докажите, что точки В , С, К
и М лежат на одной окружности.
760. В окружность вписан равно­
сторонний треугольник. Докажите,
что хорда, соединяющая середины
дуг, отсекаемых сторонами треуголь­
ника, делится этими сторонами на три
равные части.
761. Вершины В , С, D четырех­
угольника A B C D расположены на ок­
ружности с центром О, которая пере­
секает сторону А В в точке F , а сторону
A D — в точке Е . Известно, что угол
B A D — прямой, хорда E F равна хорде
F B и хорды ВС, CD, E D равны между
собой. Найдите угол ASO .
762. Докажите, что точки, симмет­
ричные точке пересечения высот (ор­
тоцентру) треугольника A B C относи­
тельно его сторон, лежат на описанной
окружности этого треугольника.
763. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника A B C D пересекаются в
точке Е , А В = A D , СА — биссектриса
угла С, Z B A D = 140°, Z ВЕА = 110°.
Найдите угол CDB.
764.
Окружности S i и S 2 пересека­
ются в точках А VL Р (рис. 31). Через
точку А проведена касательная А В к
окружности S-1 , а через точку Р — пря­
мая CD, параллельная прямойАВ (точ­
ки Б и С лежат на S 2 , точк а!) — на S i).
Докажите, что AB CD — параллело­
грамм.
765. (Теорема Коперника.) По непо­
движной окружности, касаясь ее из­
нутри, катится без скольжения окруж­
ность вдвое меньшего радиуса. Какую
траекторию описывает фиксирован­
ная точка К подвижной окружности?
766. Вершина А остроугольного
треугольника AB C соединена отрез­
ком с центром О описанной окружнос­
ти. Из вершины А проведена высота
А Н . Докажите, что Z Б А Я = Z ОАС.
767. В окружность вписан четырех­
угольник ABCD, диагонали которого
взаимно перпендикулярны и пересе­
каются в точке Е . Прямая, проходя­
щая через точку Е и перпендикуляр­
ная к А В , пересекает сторону CD в точ­
ке М . Докажите, что Е М — медиана
треугольника CED, и найдите ее дли­
ну, если A D = 8 , А В = 4 и Z CBD = а.
768. Докажите, что окружности,
описанные около трех треугольников,
отсекаемых от остроугольного тре­
угольника средними линиями, имеют
общую точку.
769. На сторонах АС и ВС треуголь­
ника ABC во внешнюю сторону постро­
ены квадраты ACA^Ag и BCB^Bg. Дока­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
жите, что прямые
-AgSg тлАВ-^ пе­
ресекаются в одной точке.
770. На сторонах произвольного
треугольника AB C во внешнюю сторо­
ну построены равносторонние тре­
угольники A B C j, А^ВС и A B jC . Дока­
жите, что прямые A A j,
и CCj пере­
секаются в одной точке.
771. Во вписанном четырехуголь­
нике A B C D через вершины А , В и точ­
ку Р пересечения диагоналей проведе­
на окружность, пересекающая сторо­
ну ВС в точке Е . Докажите, что если
A B = A D , то CD = СЕ.
772. На хорде А В окружности S с
центром в точке О взята точка С\ D —
вторая точка пересечения окружности
S с окружностью, описанной около
треугольника АСО. Докажите, что
CD = СВ.
773. На плоскости расположены
два квадрата A B C D и B K L N так, что
точка К леж ит на продолжении А В за
точку B ,& N леж ит на луче ВС. Найди­
те угол между прямыми D L и A N .
774. Три прямые проходят через
одну точку и образуют попарно углы в
60°. Из произвольной точки М опуще­
ны перпендикуляры на эти прямые.
Докажите, что основания перпендику­
ляров являются вершинами правиль­
ного треугольника.
775. Две
окружности
касаются
внутренним образом в точке А . Из О —
центра большей окружности — прове­
ден радиус ОБ, касающийся меньшей
окружности в точке С. Найдите Z. ВАС.
776. Окружности S j и Sg пересека­
ются в точках А и В, причем центр О
окружности Sg леж ит на окружности
S i. Хорда ОС окружности
пересека­
ет окружность ^ 2 в точке D. Докажите,
что точка D является точкой пересече­
ния биссектрис треугольника ABC.
777. Два равных равнобедренных
треугольника AB C и D B E (А В = ВС =
= D B = B E ) имеют общую вершину Б и
леж ат в одной плоскости так, что точ­
51
ки А и С находятся по разные стороны
от прямой B D , а отрезки АС и D E пере­
секаются в точке К . Известно, что
А ABC = А D B E = а < 5, AAK D ==
= Р < а. В каком отношении прямая
В К делит угол ABC?
778. Два равных ромба ABCD
(А В II CD, A D II СВ) и A P Q R (А Р ||QR,
A R II P Q ) имеют общую вершину А и
лежат в одной плоскости. Известно,
ч т о Z. BAD = ^ P A R = а < 5 ^ Q AC = р.
Продолжения сторон ВС и QR пересе­
каются в точке К . Ромбы расположе­
ны в разных полуплоскостях относи­
тельно прямой A D . Найдите величину
угла K A D .
779. Отрезок, соединяющий вер­
шину А треугольника ABC с центром Q
вневписанной окружности, касаю­
щейся стороны ВС, пересекает описан­
ную окружность треугольника ABC в
точке D. Докажите, что треугольник
BDQ — равнобедренный.
780. Докажите, что четыре точки
пересечения окружностей, построен­
ных на сторонах вписанного четырех­
угольника как на хордах и отличные
от вершин этого четырехугольника,
лежат на одной окружности.
781. Треугольник AB C вписан в ок­
ружность с центром О. Т очк и D n E ди­
аметрально противоположны верши­
нам А VI В соответственно. Прямая ЕО
пересекает сторону АС в точке G, а сто­
рону ВС — в точке Н (рис. 32). Дока­
жите, что OG II ВС и E G = G H = GC.
52
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
790.
В параллелограмме ABCD угол
A C D равен 30°. Известно, что центры
окружностей, описанных около тре­
угольников A B D и BCD, расположены
5 2 — окружностей S j и S 3 , S 3 — ок­
на диагонали АС . Найдите угол AB D .
ружностей Sg и S 4 , a S 4 — окружностей
791°. В окружности с центром О
5 3 и S^. Докажите, что точки касания
проведен диаметр; А и В — точки ок­
этих окружностей являются вершина­
ружности, расположенные по одну
ми вписанного четырехугольника.
сторону от этого диаметра. На диа­
783. Вне правильного треугольни­
метре взята такая точка М , что A M и
ка ABC, но внутри угла БАС взята точ­ В М образуют равные углы с диамет­
ка М так, что угол С М А равен 30° и
ром. Докажите, что Z АО В = Z. A M В.
угол В М А равен а. Чему равен угол
792. Четырехугольник A B C D впи­
АВМ?
сан в окружность с центром О. Дока­
784. На сторонах выпуклого четы­
жите, что четыре точки, в которых
рехугольника как на диаметрах по­
перпендикуляры, опущенные из О на
строены четыре круга. Докажите, что
стороны А В и CD, пересекают диаго­
они покрывают весь четырехуголь­
нали АС и B D , леж ат на одной окруж­
ник.
ности.
785. Диагонали выпуклого четы­
793. Продолжение биссектрисы уг­
рехугольника взаимно перпендику­
ла В треугольника ABC пересекает
лярны. Докажите, что четыре проек­
описанную окружность в точке М ;
ции точки пересечения диагоналей на
О — центр вписанной окружности,
стороны четырехугольника лежат на
— центр вневписанной окружнос­
одной окружности.
ти, касающейся стороны АС. Докажи­
786. В треугольнике ABC проведе­
те, что точки А , С, О и Oj лежат на ок­
ны высоты ВВ^ и АА^; О — центр опи­
ружности с центром в точке М .
санной около треугольника ABC ок­
794. Окружности S^ и S 2 пересека­
ружности. Докажите, что прямые
ются в точках А и В. Через точкуА про­
A jS j и СО перпендикулярны.
ведена произвольная прямая, пересе­
787. Две окружности S j и Sg с цент­
кающая эти окружности соответствен­
рами
и О 2 пересекаются в точке А.
но в точках C l и С 2 , отличных от А . До­
Прямая О^А пересекает окружность S 2
кажите, что отрезок C^Cg виден из точ­
в точке К 2 , а прямая О 2 А пересекает
ки В под одним и тем же углом для лю ­
окружность S j в точке К^. Докажите,
бой прямой С 1 С2 .
что Z О 1 О 2 А = Z К 1 К 2 А.
795. A B C D — вписанный четырех­
угольник, продолжения сторон кото­
788°. Из точки А , расположенной
рого пересекаются в точках ЕтлК. До­
вне окружности, проведены две каса­
кажите, что точки пересечения бис­
тельные A M и A N (М и N — точки ка­
сектрис углов A E D и А К В со сторона­
сания) и секущая, пересекающая ок­
ми четырехугольника ABCD являются
ружность в точках P n Q . Пусть L — се­
вершинами ромба.
редина P Q . Докажите, что Z M L A =
796. В треугольнике ABC стороны
= ^NLA.
АС и ВС не равны. Докажите, что бис­
789.
Докажите, что высоты остро­
сектриса угла С делит пополам угол
угольного треугольника являются
между медианой и высотой, проведен­
биссектрисами углов его ортотре­
ными из вершины С, тогда и только
угольника (т. е. треугольника с вер­
тогда, когда Z С = 90°.
шинами в основаниях высот данного).
782. Четыре окружности
S2 , S3
и S 4 расположены так, что
касается
внешним образом окружностей Sg и S 4 ,
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
797. Постройте треугольник по точ­
кам пересечения с описанной окруж­
ностью его высоты, медианы и бис­
сектрисы, проведенных из одной вер­
шины.
798. (Задача Архимеда.) В дугу А В
окружности вписана ломаная А М Б из
двух отрезков (A M > M B ). Докажите,
что основание перпендикуляра К Н ,
опущенного из середины К дуги А В на
отрезок A M , делит ломаную пополам,
т. е .А Н = Н М + М В .
799. В трапеции A B C D (с основа­
ниями ВС и A D ) на сторонах А Б и CD
выбраны точки К и М . Докажите, что
если Z В А М = Z. C D K , то Z В М А =
= Z CKD.
800. В выпуклом четырехугольни­
ке A B C D известно, что Z CBD = 58°,
A A B D = 44°, Z A D C = 78°. Найдите
угол CAD.
801. Внутри треугольникаАВС взя­
та точка М так, что А .А М С = 60° -f+ /LABC, А С М В = 60° -f- А CAB,
А В М А = 60° -f- Z ВСА. Докажите, что
проекции точки М на стороны тре­
угольника служат вершинами пра­
вильного треугольника.
802. Даны две окружности одина­
кового радиуса. Они пересекаются в
точках А и В. Через точку А проведена
их общая секущая, пересекающая ок­
ружности еще в точках С и Z). Через
точку В проведена прямая, перпенди­
кулярная этой секущей. Она пересе­
кает окружности еще в точках Е и F.
Докажите, что точки С, Е , D и F явля­
ются вершинами ромба.
803. В выпуклом четырехугольни­
ке A B C D противоположные углы А и
С — прямые. На диагональ АС опуще­
ны перпендикуляры B E и D F . Дока­
жите, что СЕ = FA.
804. Точка Е леж ит на продолже­
нии стороны А С правильного тре­
угольника AB C за точку С. Точка К —
середина отрезка СЕ. Прямая, прохо­
дящая через точку А перпендикуляр­
но А В , и прямая, проходящая через
53
точку Е перпендикулярно ВС, пересе­
каются в точке D . Найдите углы тре­
угольника B K D .
805. Обязательно ли треугольник
равнобедренный, если центр вписан­
ной в него окружности одинаково уда­
лен от середин двух сторон?
806. В треугольнике AB C проведе­
ны высоты ВВ^ и CCj.
а) Докажите, что касательная в
точке А к описанной окружности па­
раллельна прямой В^С^.
б) Докажите, что В^С^ _L ОА, где
О — центр описанной окружности.
807. Сторона A D вписанного четы­
рехугольника A B C D является диа­
метром описанной окружности, М —
точка пересечения диагоналей, Р —
проекция М на AD . Докажите, что
М — центр окружности, вписанной в
треугольник ВСР.
808. Отрезки, соединяющие осно­
вания высот остроугольного треуголь­
ника, равны 8 , 15 и 17. Найдите ради­
ус описанной около треугольника ок­
ружности.
809. Известно, что в четырехуголь­
ник можно вписать и около него мож­
но описать окружность. Докажите,
что отрезки, соединяющие точки каса­
ния противоположных сторон с впи­
санной окружностью, взаимно пер­
пендикулярны.
810. Диагонали
равнобедренной
трапеции ABCD с боковой стороной А В
пересекаются в точке Р . Докажите,
что центр О ее описанной окружности
леж ит на описанной окружности тре­
угольника А Р Б .
811. Через точку Р , лежащую на об­
щей хорде двух пересекающихся ок­
ружностей, проведены хорда К М пер­
вой окружности и хорда L N второй ок­
ружности. Докажите, что четырех­
угольник K L M N — вписанный.
812. Докажите, что проекции точ­
ки пересечения диагоналей вписанно­
го четырехугольника на его стороны
54
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
818. Все углы треугольника ABC
являются вершинами описанного че­
меньше 120°. Докажите, что внутри
тырехугольника, если только они не
него существует точка, из которой все
попадают на продолжения сторон.
813.
Три равные окружности ради­стороны треугольника видны под уг­
лом 1 2 0 °.
уса R пересекаются в точке М (рис. 33).
819. Через вершины А , B ,C ,D впи­
Пусть А , В и С — три другие точки их
санного четырехугольника, диагона­
попарного пересечения. Докажите, что:
ли которого взаимно перпендикуляр­
а) радиус окружности, описанной
ны, проведены касательные к описан­
около треугольника ABC, равен R;
ной окружности. Докажите, что обра­
б ) М — точка пересечения высот
зованный ими четырехугольник —
треугольника A B C .
вписанный.
820. В остроугольном треугольнике
ABC известно, что С Н = А В , где Н —
точка пересечения высот. Найдите
угол С.
821. Пусть Н — точка пересечения
высот остроугольного треугольника
ABC и С Н = R, где R — радиус описан­
ного круга. Найдите угол С.
822. Докажите, что основания пер­
пендикуляров, опущенных из произ­
вольной точки описанной окружности
на стороны треугольника (или их про­
должения), лежат на одной прямой
814. С помощью одной линейки
(прямая Симеона).
опустите перпендикуляр из данной
823. Докажите, что если диагонали
точки на данный диаметр данной ок­
вписанного четырехугольника пер­
ружности (точка не лежит ни на ок­
пендикулярны, то середины его сто­
ружности, ни на диаметре).
рон и основания перпендикуляров,
815. Две
окружности касаются
опущенных из точки пересечения его
внутренним образом в точке М . Пусть
диагоналей на стороны, лежат на од­
А В — хорда большей окружности, ка­
ной окружности.
сающаяся меньшей окружности в точ­
824. Точки К VI Р симметричны ос­
ке Т . Докажите, что М Т — биссектри­
нованию Н высоты В Н треугольника
са угла А М В .
ABC относительно его сторон А В и ВС.
816. Точка Е леж ит на стороне АС
Докажите, что точки пересечения от­
правильного треугольника ABC; точка
резка
со сторонами А В и ВС (или их
К — середина отрезка А Е . Прямая,
продолжениями) — основания высот
проходящая через точку Е перпенди­
треугольника A B C .
кулярно прямой А В , и прямая, прохо­
825. Докажите, что в любом нерав­
дящая через точку С перпендикуляр­
нобедренном треугольнике биссектри­
са леж ит между медианой и высотой,
но прямой ВС, пересекаются в точке
D . Найдите углы треугольника B K D .
проведенными из той же вершины.
817. В шестиугольнике AB C D E F
826. Основание каждой высоты
известно,
что А В ||D E ,
ВС ||E F ,
треугольника проецируется на боко­
вые стороны треугольника. Докажи­
CD II F A и A D = B E = CF. Докажите,
что около этого шестиугольника мож­
те, что шесть полученных точек лежат
на одной окружности.
но описать окружность.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
827. В выпуклом четырехугольни­
ке ABCD известны углы : Z ВАС — 20°,
/1 ВСА = 35°, Z В В С = 40°, Z. B D A =
= 70°. Найдите угол между диагоналя­
ми этого четырехугольника.
828. В выпуклом четырехугольни­
ке A B C D угол Z А = 90°, а угол /.С <
< 90°. Из вершин Б и D на диагональ
АС опущены перпендикуляры B E и DF.
Известно, что А Е = CF. Докажите, что
угол С — прямой.
829. На сторонах А В , ВС и АС тре­
угольника A B C взяты соответственно
точки D , E v iF так, что D E = B E , F E =
= СЕ. Докажите, что центр описанной
около треугольника A D F окружности
леж ит на биссектрисе угла D E F .
830. Докажите, что если для впи­
санного четырехугольника A B C D вы­
полнено равенство CD = AJD 4- ВС, то
биссектрисы его углов А и В пересека­
ются на стороне CD.
831. В четырехугольнике K L M N ,
вписанном в окружность, биссектри­
сы углов K v iN пересекаются в точке Р ,
лежащей на стороне L M . Известно,
что K L : M N = Ъ. Найдите:
а) отношение расстояний от точки
Р до прямых K L и MN\
б) отношение хорд L M и M N .
832. Докажите, что точка пересече­
ния диагоналей описанного вокруг ок­
ружности четырехугольника совпада­
ет с точкой пересечения диагоналей че­
тырехугольника, вершинами которого
служат точки касания сторон первого
четырехугольника с окружностью.
55
метрическое) проекций катетов на ги­
потенузу, а каждый катет есть среднее
пропорциональное гипотенузы и сво­
ей проекции на нее.
834. (Теорема Пифагора.) Докажи­
те, что квадрат гипотенузы прямо­
угольного треугольника равен сумме
квадратов катетов.
835. (Ф ормула Герона.) Пусть S —
площадь треугольника со сторонами
а, Ь и с; р — его полупериметр. Дока­
жите, что S = J p (j) - а ){р - Ъ)(р - с ) .
836. Сформулируйте и докажите
теорему, обратную теореме Пифагора.
837. Диагонали ромба равны 24 и
70. Найдите сторону ромба.
838. Радиус круга равен 13, хорда
равна 10. Найдите ее расстояние от
центра.
839. К окружности радиуса 36 про­
ведена касательная из точки, удален­
ной от центра на 85. Найдите длину ка­
сательной.
840. Из общей точки проведены к
окружности две касательные. Радиус
окружности равен 1 1 , а сумма касатель­
ных равна 120. Найдите расстояние от
центра до общей точки касательных.
841. В прямоугольном треугольни­
ке ABC (/ -С = 90°) известно, что Z А =
= а, ВС = о. Найдите гипотенузу и вто­
рой катет.
842. Найдите диагональ прямо­
угольника со сторонами 5 и 12.
843. Прямая, проходящая через
точку М , удаленную от центра окруж­
ности радиуса 1 0 на расстояние, рав­
ное 26, касается окружности в точке А.
Найдите A M .
6 . ТЕО РЕМ А П И Ф А Г О Р А .
844. Найдите высоту равнобедрен­
ТРИ ГО Н О М ЕТРИ ЧЕСКИ Е
ного треугольника, проведенную к ос­
СООТНОШ ЕНИЯ
нованию, если стороны треугольника
В П РЯ М О У ГО Л ЬН О М
равны 1 0,13,13.
Т Р Е У ГО Л Ь Н И К Е
845. Найдите диагонали ромба, ес­
ли они относятся как 3 : 4, а периметр
833.
Докажите, что высота прямо­равен 1 .
угольного треугольника, проведенная
846. В равнобедренной трапеции
из вершины прямого угла, есть сред­
основания равны 10 и 24, боковая сто­
нее пропорциональное (среднее гео­
рона 25. Найдите высоту трапеции.
56
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
847. Найдите высоту прямоуголь­
ного треугольника, проведенную из
вершины прямого угла, если гипоте­
нуза равна 8 , а один из острых углов
равен 60°.
848. Найдите расстояние от центра
окружности радиуса 1 0 до хорды, рав­
ной 1 2 .
849. Найдите сторону квадрата,
вписанного в окружность радиуса 8 .
850. Найдите высоту трапеции со
сторонами, равными 1 0 , 1 0 , 1 0 и 26.
851. Вершина М правильного тре­
угольника А В М со стороной о располо­
жена на стороне CD прямоугольника
AB CD . Найдите диагональ прямо­
угольника A B CD .
852. Докажите, что высота прямо­
угольного треугольника, опущенная
на гипотенузу, равна произведению
катетов, деленному на гипотенузу.
853. А В и CD — две параллельные
хорды, расположенные по разные сто­
роны от центра О окружности радиуса
15; А В = 18, CD = 24. Найдите расстоя­
ние между хордами.
854. Две параллельные хорды А В и
CD расположены по одну сторону от
центра О окружности радиуса 30; А В =
= 48, CD = 36. Найдите расстояние
между хордами.
855. В равнобедренном треугольни­
ке центр вписанного круга делит высо­
ту в отношении 17 : 15. Основание рав­
но 60. Найдите радиус этого круга.
856. Гипотенуза
прямоугольного
треугольника равна с, один из острых
углов равен а. Найдите высоту, прове­
денную из вершины прямого угла.
857. В равнобедренном треугольни­
ке ABC угол при вершине В равен 120°,
а основание равно 8 . Найдите боковые
стороны.
858. Высота прямоугольного тре­
угольника, проведенная из вершины
прямого угла, делит гипотенузу на
отрезки, равные о и Ь. Найдите ка­
теты.
859. Основания
равнобедренной
трапеции равны а и Ь (а > Ь), острый
угол равен 45°. Найдите площадь тра­
пеции.
860. Из одной точки А проведены к
данной прямой перпендикуляр и две
наклонные (рис. 34). Найдите длину
перпендикуляра, если наклонные рав­
ны 41 и 50, а их проекции на данную
прямую относятся как 3 : 1 0 .
Р и с . 34
861. В равнобедренной трапеции
боковая сторона равна 41, высота рав­
на 40 и средняя линия равна 45. Най­
дите основания.
862. Докажите, что в прямоуголь­
ной трапеции разность квадратов ди­
агоналей равна разности квадратов ос­
нований.
863. В трапеции A B C D основание
A D = 2, основание ВС = 1. Боковые сто­
роны А В = CD = 1. Найдите диагонали.
864. Один из катетов прямоуголь­
ного треугольника больше другого на
10, но меньше гипотенузы на 10. Най­
дите гипотенузу треугольника.
865. В треугольнике ЛВС угол
ВАС — прямой, стороны А В и ВС рав­
ны соответственно 5 и 6 . Точка делит
сторону А С в отношении 3 : 1 , считая
от точки А , А Н — высота треугольни­
ка ABC. Что больше: 2 или отношение
ВКкАЛ?
8 6 6 . Найдите периметр правильно­
го треугольника, вписанного в окруж­
ность, если известно, что хорда этой
окружности длиной 2 удалена от цент­
ра на расстояние, равное 3.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
867. Два круга радиусов г и i? внеш­
не касаются. И з центра одного круга
проведена касательная к другому кру­
гу, а из полученной точки касания
проведена касательная к первому кру­
гу. Найдите длину последней каса­
тельной.
8 6 8 . В равнобедренном треугольни­
ке основание равно 30, а боковая сто­
рона равна 39. Найдите радиус впи­
санного круга.
869. Найдите радиус круга, опи­
санного около равнобедренного тре­
угольника с основанием 6 и боковой
стороной 5.
870. Найдите периметр правильно­
го треугольника, вписанного в окруж­
ность, если известно, что хорда дли­
ной 2 этой окружности удалена от ее
центра на 3.
871. Найдите длину стороны квад­
рата, вписанного в окружность, если
известно, что хорда длиной 2 этой ок­
ружности удалена от ее центра на 3.
872. На каком расстоянии от сто­
рон правильного шестиугольника на­
ходится центр окружности, описан­
ной около данного шестиугольника,
если известно, что хорда длиной 3 этой
окружности удалена от ее центра на
0,5?
873. Вершина М правильного тре­
угольника А В М со стороной о располо­
жена на стороне CD прямоугольника
AB CD . Найдите диагональ прямо­
угольника АВС£).
874. Найдите высоту и радиусы
вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника со сто­
роной, равной а.
875. Точка М расположена на сто­
роне CD квадрата A B C D с центром О,
причем С М : M D = 1 : 2 . Найдите сто­
роны треугольника А О М , если сторо­
на квадрата равна 6 .
876. Большее основание прямо­
угольной трапеции вдвое больше ее
меньшего основания, а боковые сторо­
57
ны равны 4 и 5. Найдите диагонали
трапеции.
877. Катеты прямоугольного тре­
угольника относятся как 3 : 7, а высо­
та, опущенная на гипотенузу, равна
42. Найдите отрезки гипотенузы.
878. В треугольнике больший угол
при основании равен 45°, а высота делит
основание на отрезки, равные 2 0 и 2 1 .
Найдите большую боковую сторону.
879. В прямоугольном треугольни­
ке биссектриса острого угла делит ка­
тет на отрезки т и п { т > п). Найдите
другой катет и гипотенузу.
880. Периметр
параллелограмма
равен 90, а острый угол равен 60°. Ди­
агональ параллелограмма делит его
тупой угол на части в отношении 1 : 3 .
Найдите стороны параллелограмма.
881. В треугольнике АБС известно,что А В = 3, высота CD = J s . Осно­
вание D высоты CD лежит на стороне
АВ и A D = ВС. Найдите АС.
882. Окружность радиуса R, по­
строенная на большем основании A D
трапеции ABCD как на диаметре, каса­
ется меньшего основания ВС в точке С,
а боковой стороны А В — в точке А .
Найдите диагонали трапеции.
883. Сторона
правильного
тре­
угольника равна о. Найдите радиус
вневписанной окружности.
884. На основании равнобедренно­
го треугольника, равном 8 , как на хор­
де построена окружность, касающая­
ся боковых сторон треугольника. Най­
дите радиус окружности, если высота,
опущенная на основание треугольни­
ка, равна 3.
885. В окружности радиуса R про­
веден диаметр и на нем взята точка А
на расстоянии а от центра. Найдите
радиус второй окружности, которая
касается диаметра в точке А и изнутри
касается данной окружности.
8 8 6 . В сектор А О В с радиусом R и
углом 90° вписана окружность, касаю-
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
58
щаяся отрезков ОА, ОВ и дуги А В
(рис. 35). Найдите радиус окруж­
ности.
Рис. 35
887. О — центр окружности, С —
точка пересечения хорды А В и радиуса
0 D , перпендикулярного ей, ОС = 9,
CD = 32. Найдите хорду.
8 8 8 . А В — диаметр круга; ВС — ка­
сательная; D — точка пересечения
прямой АС с окружностью. Дано: A D =
= 32 и D C = 1 8 . Найдите радиус круга.
889. Радиус круга равен i?. Найдите
длину хорды, проведенной из конца
данного диаметра через середину пер­
пендикулярного ему радиуса.
890. В прямоугольном треугольнике
острый угол равен а, а радиус окруж­
ности, описанной около этого треуголь­
ника, равен R. Найдите высоту тре­
угольника, опущенную на гипотенузу.
891. Медиана, проведенная к гипо­
тенузе прямоугольного треугольника,
равна т и делит прямой угол в отноше­
нии 1 : 2 . Найдите стороны треуголь­
ника.
892. Хорда АС окружности радиуса
R образует с диаметром А В угол, рав­
ный а. Найдите расстояние от точки С
до диаметра АВ.
893. Основания
прямоугольной
трапеции равны 6 и 8 . Один из углов
при меньшем основании равен 1 2 0 °.
Найдите диагонали трапеции.
894. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 12 и 16. Найдите ме­
диану, проведенную к гипотенузе.
895. Даны отрезки о и Ь. Постройте
отрезки
896. Найдите основание равнобед­
ренного треугольника, если его боко­
вая сторона равна о, а высота, опущен­
ная на основание, равна отрезку, со­
единяющему середину основания с се­
рединой боковой стороны.
897. Боковые стороны треугольни­
ка равны 25 и 30, а высота, проведен­
ная к основанию, равна 24. Найдите
основание.
898. В треугольнике ABC проведена
высотаАО. Докажите, что АВ^ - АС^ =
= Б1)2 - СХ)2 и АБ2 - АС2 = БМ2 - с м 2 ,
где М — произвольная точка высоты
AD.
899. В равнобедренном треугольни­
ке AB C боковая сторона А В равна 10 и
основание АС равно 12. Биссектрисы
углов А и С пересекаются в точке Z).
Найдите B D .
900. В прямоугольный треуголь­
ник с углом 60° вписан ромб со сторо­
ной, равной 6, так, что угол в 60° у них
общий и все вершины ромба лежат на
сторонах треугольника. Найдите сто­
роны треугольника.
901. В треугольнике ЛВС сторона
А В равна 6. Основание D высоты CD
леж ит на стороне АВ . Известно, что
A D = 4, ВС = 4. Найдите высотуАЕ, ко­
торая опущена из вершины А на сторо­
ну ВС.
902. Даны две параллельные пря­
мые на расстоянии 15 одна от другой;
между ними дана точка М на расстоя­
нии 3 от одной из них. Через точку М
проведена окружность, касающаяся
обеих прямых. Найдите расстояние
между проекциями центра и точки М
на одну из данных прямых.
903. Периметр
равнобедренной
трапеции, описанной около круга, ра­
вен р. Найдите радиус этого круга, ес­
ли известно, что острый угол при осно­
вании трапеции равен а.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
904. В равнобедренную трапецию с
основаниями а и Ь вписана окруж­
ность. Найдите диагональ трапеции.
905. Три окружности разных ради­
усов попарно касаются друг друга
внешним образом. Отрезки, соеди­
няющие их центры, образуют прямо­
угольный треугольник. Найдите ради­
ус меньшей окружности, если ради­
усы большей и средней равны 6 и 4.
906. В равносторонний треуголь­
ник вписана окружность. Этой окруж­
ности и сторон треугольника касаются
три малые окружности. Найдите сто­
рону треугольника, если радиус малой
окружности равен г.
907. Из одной точки проведены к
окружности две касательные. Длина
каждой касательной равна 12, а рас­
стояние между точками касания рав­
но 14,4. Найдите радиус окружности.
908. Через концы дуги окружнос­
ти, содержащей 120°, проведены каса­
тельные, и в фигуру, ограниченную
этими касательными и данной дугой,
вписана окружность. Докажите, что
ее длина равна длине исходной дуги.
909. В окружности радиуса R проведена хорда, равная —. Через один
конец хорды проведена касательная к
окружности, а через другой — секу­
щая, параллельная касательной. Най­
дите расстояние между касательной и
секущей.
910. В сегменте хорда равна о, а вы­
сота равна Л. Найдите радиус круга.
911. Радиус круга равен 25; две па­
раллельные хорды равны 14 и 40. Най­
дите расстояние между ними.
912. Из одной точки проведены к
кругу две касательные. Длина каса­
тельной равна 156, а расстояние меж­
ду точками касания равно 120. Найди­
те радиус круга.
913. А В и А С — касательные к од­
ному кругу с центром О, М — точка
59
пересечения прямой А О с окружно­
стью; D M E — отрезок касательной,
проведенной через точку М , между АВ
и АС. Найдите D E , если радиус круга
равен 15, а расстояние А О равно 39.
914.
К окружности радиуса, равно­
го 7, проведены две касательные из од­
ной точки, удаленной от центра на 25
(рис. 36). Найдите расстояние между
точками касания.
915. Данного круга касаются два
равных меньших круга — один изнут­
ри, другой извне, причем дуга между
точками касания содержит 60°. Ради­
усы меньших кругов равны г, радиус
большего круга равен R. Найдите рас­
стояние между центрами меньших
кругов.
916. На катете ВС прямоугольного
треугольника ABC как на диаметре по­
строена окружность, которая пересе­
кает гипотенузу А В в точке К . Найди­
те площадь треугольника СКВ, если
катет ВС равен о и катет АС равен Ь.
917. Трапеция K L M N с основания­
ми K N и L M вписана в окружность,
центр которой леж ит на основании
K N . Диагональ К М трапеции равна 4,
а боковая сторона K L равна 3. Найдите
основание L M .
918. В треугольнике AB C угол
ВАС — прямой, стороны А В и ВС рав­
ны соответственно 1 и 2. Биссектриса
угла AB C пересекает сторону АС в точ­
ке L, G — точка пересечения медиан
60
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
треугольника ABC. Что больше: B L
и ли Б С ?
919. В прямоугольнике A B C D от­
резки А В и B D равны соответственно 3
и 6. На продолжении биссектрисы B L
треугольника A B D взята точка N та­
кая, что точка L делит отрезок B N в от­
ношении 1 0 : 3 , считая от точки В. Что
больше: B N или CL?
920. Косинус угла при основании
равнобедренного треугольника равен
О
- ; высота, опущенная на основание,
5
равна Л. Найдите высоту, опущенную
на боковую сторону.
921. Гипотенуза
прямоугольного
треугольника равна о, один из острых
углов равен а. Найдите расстояния от
основания высоты, опущенной на ги­
потенузу, до катетов треугольника.
922. И з точки М проведены каса­
тельные М А и M B к окружности с
центром О (А и В — точки касания).
Найдите радиус окружности, если
А А М В = а и А В = а.
923. Площ адь
прямоугольника
равна 120, синус угла между диаго­
налью и одной из сторон равен -5-.
13
Найдите стороны прямоугольника.
924. Прямые, касающиеся окруж­
ности с центром О в точках А и В, пере­
секаются в точке М . Найдите хорду
А В , если отрезок М О делится ею на от­
резки, равные 2 и 18.
925. Докажите, что произведение
стороны треугольника на проведен­
ную к ней высоту для данного тре­
угольника постоянно.
926. Дан треугольник со сторонами
13, 14, 15. Найдите высоту, проведен­
ную к большей стороне.
927. Один из катетов прямоуголь­
ного треугольника равен 15, а проек­
ция другого катета на гипотенузу рав­
на 16. Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник.
928. В прямоугольной трапеции
меньшая диагональ равна большей бо­
ковой стороне. Найдите большую диа­
гональ, если большая боковая сторона
равна а, а меньшее основание равно Ь.
929. В прямоугольном треугольни­
ке медианы, проведенные к катетам,
равны
и л/ТЗ . Найдите гипотену­
зу треугольника.
930. В прямоугольном треугольни­
ке медианы, проведенные из вершин
острых углов, равны
И 789.
Найдите гипотенузу треугольника.
931. В прямоугольном треугольни­
ке ABC гипотенуза А В равна с и
Z ABC = а. Найдите все медианы в
этом треугольнике.
932. В большем из двух концентри­
ческих кругов проведена хорда, рав­
ная 32 и касающаяся меньшего круга.
Определите радиус каждого из кругов,
если ширина образовавшегося кольца
равна 8.
933. В треугольник вписана окруж­
ность радиуса 3. Найдите стороны тре­
угольника, если одна из них разделена
точкой касания на отрезки с длинами
4 и 3.
934. Радиусы вписанной и описан­
ной окружностей прямоугольного тре­
угольника равны 2 и 5 соответственно.
Найдите катеты треугольника.
935. Около окружности с диаметром
15 описана равнобедренная трапеция с
боковой стороной, равной 17. Найдите
основания трапеции.
936. Расстояния от одного конца
диаметра до концов параллельной ему
хорды равны 13 и 84. Найдите радиус
круга.
937. Два круга касаются внешним
образом (рис. 37). Найдите длину их
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
общей внешней касательной (между
точками касания), если радиусы рав­
ны 16 и 25.
938. Катет АС = 1 5 , катет СБ = 8. Из
центра С радиусом СВ описана дуга,
отсекающая от гипотенузы часть BD.
Найдите B D .
939. В прямоугольном треугольни­
ке AB C катет А С равен 16 и катет ВС
равен 12. Из центра В радиусом ВС
описана окружность и к ней проведена
касательная, параллельная гипотену­
зе (причем касательная и треугольник
лежат по разные стороны от гипотену­
зы). Катет ВС продолжен до пересече­
ния с проведенной касательной. Опре­
делите, насколько продолжен катет.
940. Расстояние между центрами
двух окружностей, лежащих одна вне
другой, равно 65; длина их общей
внешней касательной (между точками
касания) равна 63; длина их общей
внутренней касательной равна 25.
Найдите радиусы окружностей.
941. В прямоугольном треугольни­
ке A B C из вершины С прямого угла
опущен перпендикуляр на гипотену­
зу , и на нем как на диаметре построена
окружность, которая на катетах СА и
СВ высекает внутренние отрезки т и п .
Найдите катеты, если т = 12, п = 18.
942. В равнобедренном треугольни­
ке основание равно 48, а боковая сто­
рона равна 30. Найдите радиусы опи­
санного и вписанного кругов и рас­
стояние между их центрами.
943. В треугольнике A B C угол А —
прямой, /L В = 30°. В треугольник впи­
сана окружность, радиус которой ра­
вен V3 . Найдите расстояние от верши­
ны С до точки касания этой окружнос­
ти с катетом АВ .
944. Найдите радиус окружности,
вписанной в ромб со стороной а и ост­
рым углом 60°.
945. Радиус окружности, вписан­
ной в прямоугольный треугольник с
острым углом 60°, равен ^3 . Найдите
стороны треугольника.
61
946. Высота
параллелограмма,
проведенная из вершины тупого угла,
равна а и делит сторону пополам. Ост­
рый угол параллелограмма равен 30^.
Найдите диагонали параллелограм­
ма.
947. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 12 и 16. Найдите вы­
соту, проведенную из вершины прямо­
го угла.
948. Сформулируйте теорему, обрат­
ную теореме Пифагора. Верна ли она?
949. Высота ромба, проведенная из
вершины тупого угла, делит его сторо­
ну на отрезки длиной с и Ь. Найдите
диагонали ромба.
950. Прямые, содержащие боковые
стороны трапеции, пересекаются под
прямым углом. Большая боковая сто­
рона трапеции равна 8 , а разность ос­
нований равна 10. Найдите меньшую
боковую сторону.
951. Из точки М проведены каса­
тельные М А и M B к окружности с
центром О (А и В — точки касания).
Найдите радиус окружности, если
А А М В = а и А В = а.
952. На боковой стороне равнобед­
ренного треугольника как на диаметре
построена окружность, делящая вто­
рую боковую сторону на отрезки, рав­
ные а и Ь. Найдите основание треуголь­
ника.
953. В тупоугольном равнобедрен­
ном треугольнике AB C основание АС
равно 32, а боковая сторона равна 20.
Из вершины В проведен перпендику­
ляр к боковой стороне до пересечения
с основанием. На какие отрезки он де­
лит основание?
954. Найдите биссектрисы острых
углов прямоугольного треугольника с
катетами 24 и 18.
955. В треугольнике ABC высота
CD = 7, а высота А Е = 6 . Точка Е делит
сторону ВС так, что B E : ЕС = 3 : 4 .
Найдите сторону АВ.
956. Докажите, что обратная вели­
чина квадрата высоты прямоугольно­
го треугольника, проведенной к гипо­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
62
тенузе, равна сумме обратных вели­
чин квадратов катетов.
957. Найдите площадь квадрата,
вписанного в прямоугольный тре­
угольник с катетами а и 6 (сторона
квадрата леж ит на гипотенузе, а две
вершины — на катетах треугольника).
958. Окружности радиусов 8 и 3 ка­
саются внутренним образом. Из цент­
ра большей окружности проведена ка­
сательная к меньшей окружности.
Найдите длину этой касательной.
959. Точка В расположена вне ок­
ружности, а точки А и С — две диамет­
рально противоположные точки этой
окружности. Отрезок А В пересекается
с окружностью в точке Р , а отрезок
СВ — в точке Q. Известно, что А В = 2,
PC = 72 ,A Q = Vs . Найдите AC.
960. В треугольнике AB C известно,
что А В = 6 , А В = ВС. На сторонеАВ как
на диаметре построена окружность,
пересекающая сторону ВС в точке D
так, что B D : D C = 2 : 1 . Найдите АС.
961. В прямоугольном треугольни­
ке точка касания вписанной окруж­
ности делит гипотенузу на отрезки
длиной 5 и 12. Найдите катеты тре­
угольника.
962. Дана прямоугольная трапеция.
Окружность, построенная на меньшей
боковой стороне как на диаметре, ка­
сается другой боковой стороны и делит
ее на отрезки с длинами а и &(рис. 38).
Найдите радиус окружности.
Рис. 38
963. Найдите радиус окружности,
описанной около прямоугольного тре­
угольника, если радиус окружности.
вписанной в него, равен 3, а катет ра­
вен 1 0 .
964. Дан круг радиуса R. Четыре
круга равных радиусов касаются дан­
ного круга внешним образом, и каж­
дый из этих четырех кругов касается
двух других. Найдите радиусы этих
четырех кругов.
965. Дан квадрат, две вершины ко­
торого лежат на окружности радиуса
R, а две другие — на касательной к
этой окружности. Найдите диагонали
квадрата.
966. Окружность радиуса г касает­
ся некоторой прямой в точке М . На
этой прямой по разные стороны от М
взяты точки А и В так, что М А = M B = а. Найдите радиус окружности, про­
ходящей через точки А и В и касаю­
щейся данной окружности.
967. В круговой сектор с централь­
ным углом 120° вписан круг. Найдите
его радиус, если радиус данного круга
равен R.
968. Радиусы двух пересекающих­
ся окружностей равны 13 и 15, а общая
хорда равна 24. Найдите расстояние
между центрами.
969. Радиусы двух кругов равны 27
и 13, а расстояние между центрами
равно 50. Найдите длины их общих ка­
сательных.
970. Окружность с центром в вер­
шине прямого угла прямоугольного
треугольника радиусом, равным мень­
шему катету, делит гипотенузу на от­
резки 98 и 527 (начиная от меньшего
катета). Найдите катеты.
971. Длины двух параллельных
хорд равны 40 и 48, расстояние между
ними равно 22. Найдите радиус круга.
972. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 15 и 20. Найдите рас­
стояние от центра вписанного круга до
высоты, опущенной на гипотенузу.
973. В прямоугольном треугольни­
ке катеты равны 75 и 100. На отрезках
гипотенузы, образуемых основанием
высоты, построены полуокружности
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
по одну сторону с данным треугольни­
ком. Найдите отрезки катетов, заклю­
ченные внутри полукругов.
974. Точка удалена от прямой M N
на расстояние а. Данным радиусом г
описана окружность так, что она про­
ходит через точку А и касается прямой
M N . Найдите расстояние между полу­
ченной точкой касания и данной точ­
кой А .
975. Сторона А В треугольника ABC
равна 1. На стороне А В как на диа­
метре построена окружность, которая
делит сторону А С точкой D пополам, а
сторону ВС точкой Е в отношении
B E ; ЕС = 7 : 2 . Найдите сторону АС.
976. В прямоугольный треуголь­
ник, периметр которого равен 36, впи­
сана окружность. Гипотенуза делится
точкой касания в отношении 2 : 3 .
Найдите стороны треугольника.
977. В прямоугольный треуголь­
ник вписана окружность. Гипотенуза
делится точкой касания на отрезки
длиной 5 и 12. Найдите площадь тре­
угольника.
978. В прямоугольный треуголь­
ник, периметр которого равен 30, впи­
сана окружность. Один из катетов де­
лится точкой касания в отношении
2 : 3 , считая от вершины прямого у г­
ла. Найдите стороны треугольника.
979. Сторона A D четырехугольни­
ка A B C D является диаметром окруж­
ности, описанной около этого четы­
рехугольника. Найдите ВС, еслиАХ) =
= 6, Б£) = 3 73 , Z ВАС : /- CAD = 1 : 3 .
980. Три стороны четырехугольни­
ка в порядке обхода равны 7, 1 и 4.
Найдите четвертую сторону этого че­
тырехугольника, если известно, что
его диагонали перпендикулярны.
981. Две вершины квадрата распо­
ложены на основании равнобедренно­
го треугольника, а две другие — на его
боковых сторонах. Найдите сторону
квадрата, если основание треугольни­
ка равно а, а угол при основании равен
30°.
63
982. Общая хорда двух пересекаю­
щихся окружностей видна из их цент­
ров под углами 90° и 60°. Найдите ра­
диусы окружностей, если расстояние
между их центрами равно а.
983. Высота треугольника АБС,
опущенная на сторону ВС, равна h,
^ В = Р, Z. С = Y- Найдите остальные
высоты этого треугольника.
984. Радиус окружности, описан­
ной около равнобедренного треуголь­
ника, равен R. У го л при основании ра­
вен а. Найдите стороны треугольника.
985. В равнобедренной трапеции
AB CD боковая сторона равна 10, боль­
шее основание равно 24, а высота рав­
на 8. Определите, что пересекает бис­
сектриса острого угла трапеции: мень­
шее основание или его продолжение.
986. Найдите высоту трапеции, бо­
ковые стороны которой равны 6 и 8, а
основания равны 4 и 14.
987. Основание
равнобедренного
треугольника равно 1, а углы при ос­
новании 30°. Найдите сторону пра­
вильного треугольника, вписанного в
данный равнобедренный, одна сторо­
на которого перпендикулярна основа­
нию данного.
988. Найдите диагональ и боковую
сторону равнобедренной трапеции с
основаниями 20 и 12, если известно,
что центр ее описанной окружности
лежит на большем основании (рис. 39).
Рис. 39
989.
Отрезок, соединяющий цент­
ры двух пересекающихся окружнос­
тей, делится их общей хордой на от­
резки, равные 5 и 2. Найдите общую
64
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
хорду, если известно, что радиус од­
ной окружности вдвое больше радиуса
другой.
990. Сторона треугольника равна 2,
прилежащие к ней углы равны 30° и
45°. Найдите остальные стороны тре­
угольника.
991. Косинус угла при основании
равнобедренного треугольника равен
999. В равнобедренном треугольни­
ке высоты, опущенные на основание и
боковую сторону, равны соответствен­
но /я и п, Найдите стороны треуголь­
ника.
1000. Окружности с центрами
и
О 2 имеют общую хорду АВ, Z АО^В =
= 60°. Отношение длины первой ок­
ружности к длине второй окружности
I ; высота, опущенная на основание,
равно JZ . Найдите уголАО гВ.
1001. Сторона ВС треугольника
ABC равна 12. Около треугольника
описана окружность радиуса 10. Най­
дите стороны А В и АС треугольника,
если известно, что радиус ОА окруж­
ности делит сторону ВС на два равных
отрезка.
1002. Окружности радиусов 2 и 3
внешним образом касаются друг друга
в точке А . И х общая касательная, про­
ходящая через точку А , пересекает две
другие их общие касательные в точках
Б и С. Найдите ВС.
1003. В треугольнике ABC на сторо­
не А С как на диаметре построена ок­
ружность, которая пересекает сторону
А В в точке М и сторону БС в точке N .
Известно, чтоАС = 2, А В = 3 ,А М : M B =
= 2 : 3 . Найдите A/V.
1004. На катете ВС прямоугольно­
го треугольника AB C как на диаметре
построена окружность, пересекающая
гипотенузу в точке D так, что A D : B D =
= 1 : 3 . Высота, опущенная из верши­
ны С прямого угла на гипотенузу, рав­
на 3. Найдите катет БС.
1005. Четырехугольник АВС£) впи­
сан в окружность радиуса R. Его ди­
агонали взаимно перпендикулярны и
пересекаются в точке Р . Найдите
5
равна h. Найдите высоту, опущенную
на боковую сторону.
992. На катете ВС прямоугольного
треугольника AB C как на диаметре по­
строена окружность, которая пересе­
кает гипотенузу А В в точке К . Найди­
те С К , если ВС = а и А С = Ь.
993. В трапеции A B C D основание
A D = 2, основание БС = 1. Боковые сто­
роны А В = CD = 1. Найдите диагонали
трапеции.
994. Через середину гипотенузы
прямоугольного треугольника прове­
ден к ней перпендикуляр. Отрезок это­
го перпендикуляра, заключенный вну­
три треугольника, равен с, а отрезок,
заключенный между одним катетом и
продолжением другого, равен Зс. Най­
дите гипотенузу.
995. Длины параллельных сторон
трапеции равны 25 и 4, а непараллель­
ных — 20 и 13. Найдите высоту трапе­
ции.
996. Основания равнобедренной тра­
пеции а и Ь, боковая сторона равна с, а
диагональ равна d. Докажите, что
—
= аЬ + с^.
997. В трапеции A B CD одно основа­
ние в два раза больше другого. Мень­
шее основание равно с. Диагонали тра­
пеции пересекаются под прямым уг­
лом, а отношение боковых сторон равно
к. Найдите боковые стороны трапеции.
998. В прямоугольный треуголь­
ник вписан квадрат так, что одна из
его сторон находится на гипотенузе.
Боковые отрезки гипотенузы равны т
и п. Найдите площадь квадрата.
АР2 +
ВР^
4- с р 2 4- £)р2 и А В 2 4- БС2 +
+ CD^ + AD^.
1006. Прямая, перпендикулярная
двум сторонам параллелограмма, де­
лит его на две трапеции, в каждую из
которых можно вписать окружность.
Найдите острый угол параллелограм­
ма, если его стороны равны а и Ь (а < Ь ).
65
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
1007.
Окружности радиусов г и
(R > г) касаются внешним образом в
точке К . К ним проведены две общие
внешние касательные (рис. 40). Их
точки касания с меньшей окружно­
стью — A u D , с большей — Б и С соот­
ветственно.
а) Найдите А В и отрезок M N общей
внутренней касательной, заключен­
ный между внешними касательными.
б) Докажите, что углы А К Б и
О 1 М О 2 — прямые (О^ и О 2 — центры
окружностей).
1008. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке С.
Радиусы окружностей равны 2 и 7.
Общая касательная к обеим окружнос­
тям, проведенная через точку С, пере­
секается с другой их общей касатель­
ной в точке D . Найдите расстояние от
центра меньшей окруж ности до точ­
ки D .
1009. Найдите отношение радиу­
сов двух окружностей, касающихся
между собой, если каждая из них ка­
сается сторон угла, величина которо­
го равна а.
1010°. Сторона треугольника равна
48, а высота, проведенная к этой сто­
роне, равна 8,5. Найдите расстояние
от центра окружности, вписанной в
этот треугольник, до вершины, проти­
воположной данной стороне, если ра­
диус вписанной окружности равен 4.
1011°. Выпуклый
четырехуголь­
ник A B C D описан вокруг окружности
с центром в точке О, при этом А О =
3 С борник задач по геометрии
R= ОС = 1, ВО = O D = 2. Найдите пери­
метр четырехугольника ABCZ).
1012. В прямоугольном треуголь­
нике гипотенуза равна с. Центры трех
окружностей радиуса | находятся в
5
его вершинах. Найдите радиус четвер­
той окружности, которая касается
трех данных и не содержит их внутри
себя.
1013. В равнобедренном треуголь­
нике ABC известно, что Z А = а > 90° и
ВС = а. Найдите расстояние между
точкой пересечения высот и центром
описанной окружности.
1014°. В окружность радиуса 3 4- 7 з
вписан правильный шестиугольник
A B C D E K . Найдите радиус круга, впи­
санного в треугольник ACZ).
1015. Окружность радиуса 1 + ^ 2
описана около равнобедренного пря­
моугольного треугольника. Найдите
радиус окружности, которая касается
катетов этого треугольника и внутрен­
ним образом касается окружности,
описанной около него.
1016°. На плоскости даны две ок­
ружности радиусов 12 и 7 с центрами в
точках Oj ИО 2 , касающиеся некоторой
прямой в точках
и М 2 и лежащие
по одну сторону от этой прямой. И з­
вестно, что М 1 М 2 : О 1 О 2 = 2 V 5 : 5.
Найдите
1017. На плоскости даны две ок­
ружности радиусов 4 и 3 с центрами в
точках
и О2 , касающиеся некоторой
прямой в точках
и
и лежащие
по разные стороны от этой прямой. И з­
вестно, что О 1 О 2 : М-^М 2 = 2 : J3 . Най­
дите О 1 О 2 .
1018°. Дана трапеция A B C D , у ко­
торой угол БАО — прямой. На стороне
А В как на диаметре построена окруж­
ность, которая пересекает диагональ
B D в точке М . Известно, что А В = 3,
A D = 4, ВС — 1. Найдите угол С АМ .
66
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1019. Точка пересечения медиан
прямоугольного треугольника удале­
на от катетов на расстояния соответ­
ственно 3 и 4. Найдите расстояние от
этой точки до гипотенузы.
1020°. Точки А , В и С расположены
на одной прямой. Через точку В прохо­
дит некоторая прямая. Пусть М —
произвольная точка на этой прямой.
Докажите, что расстояние между
центрами окружностей, описанных
около треугольников А В М и С В М , не
зависит от положения точки М . Най­
дите это расстояние, если А С = а,
/- М В С = а.
1021. Радиус окружности, вписан­
ной в ромб, равен г, а острый угол ром­
ба равен а. Найдите сторону ромба.
1022. Высота прямоугольного тре­
угольника, проведенная из вершины
прямого угла, равна а и образует угол
а с медианой, проведенной из той же
вершины. Найдите катеты треуголь­
ника.
1023. В трапеции A B C D большее
основание A D = 19, боковая сторона
А В = 13, а другая боковая сторона
CD = 12 и перпендикулярна основани­
ям. Биссектриса острого угла B A D пе­
ресекает прямую DC в точке М . Опре­
делите, где леж ит точка М ; на отрезке
DC или вне его.
1024. Найдите высоту равнобед­
ренного треугольника, проведенную к
боковой стороне, если основание равно
а, а боковая сторона равна Ь.
1025. Вершины М и АГ равносторон­
него треугольника B M N лежат соот­
ветственно на сторонах A D и CD квад­
рата ABCZ) со стороной, равной о. Най­
дите M N .
1026. Даны отрезки а и Ь . Построй­
те отрезок J a b .
1027. Высота CD треугольника AB C
делит сторону А В на отрезки A D и B D ,
причем A D ■B D = CD^. Верно ли, что
треугольник ABC — прямоугольный?
1028. Две стороны треугольника
равны 6 и 8. Медианы, проведенные к
этим сторонам, взаимно перпендику­
лярны. Найдите третью сторону тре­
угольника.
1029. В треугольнике ABC известно, что B D — медиана, B D
л '-АВ, а
Z- DBC = 90°. Найдите угол ABZ).
1030. На продолжении стороны AD
прямоугольника ABCZ) за точку D взя­
та точка Е , причем D E = 0,5AD и
^ ВЕС = 30°. Найдите отношение сто­
рон прямоугольника ABCZ).
1031. На продолжении стороны АВ
ромба ABCD за точку В взята точка М ,
причем M D = М С и Z. M D C == arctg | .
5
Найдите отношение отрезков М А и M B .
1032. В трапеции AB CD большее
основание A D равно а, ВС перпендику­
лярно CD, А В = ВС, диагональ B D пер­
пендикулярна А В (рис. 41). Найдите
стороны трапеции.
1033. В треугольнике ABC медианы
А Е и B D , проведенные к сторонам ВС
и АС, пересекаются под прямым уг­
лом. Сторона ВС равна а. Найдите дру­
гие стороны треугольника ABC, если
А Б 2 4= d^.
1034. В трапеции A B C D диагонали
пересекаются под прямым углом, а од­
но основание в два раза больше друго­
го. Отношение боковых сторон трапе­
ции равно т. Найдите боковые сторо­
ны трапеции, если сумма квадратов
диагоналей равна d^.
1035. В треугольнике известны сто­
роны; А В = 1 5 , ВС = 13 и АС = 14. Че­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
рез точку С проведен перпендикуляр к
стороне АС до пересечения в точке К с
продолжением стороны А В . Найдите
В К и СК.
1036. Медиана
прямоугольного
треугольника, проведенная к гипоте­
нузе, разбивает его на два треугольни­
ка с периметрами 8 и 9. Найдите сторо­
ны треугольника.
1037. Боковая сторона, меньшее ос­
нование и диагональ равнобедренной
трапеции равны соответственно 10,6 и
14. Найдите большее основание.
1038. АА^, ВВ^ и CCi — высоты тре­
угольника ABC. Докажите, что
А В 1 + ВС1 + Са1 =
= A c f + ВА\ + СВ\ .
1039. Четырехугольник A B C D та­
ков, что в него можно вписать и около
него можно описать окружности. Диа­
метр описанной окружности совпада­
ет с диагональю АС. Докажите, что мо­
дули разностей его противоположных
сторон равны.
1040. В прямоугольный треуголь­
ник с гипотенузой, равной 26, вписана
окружность радиуса 4. Найдите пери­
метр треугольника.
1041. Диаметр А В окружности ра­
вен 1. На нем отложен отрезок АС, рав­
ный а. Проведена также хорда AD ,
равная Ь. Из точки С восставлен пер­
пендикуляр к А В , пересекающий хор­
ду A D в точке £ , а из точки D опущен
перпендикуляр D F на А_В. Оказалось,
что А Е = A F . Докажите, что а == Ь^.
1042. В прямоугольную трапецию
вписана окружность радиуса R. Най­
дите стороны трапеции, если ее мень­
шее основание равно ^
.
1043. Центр окружности, вписан­
ной в прямоугольную трапецию, уда­
лен от концов ее боковой стороны на
расстояния 15 и 20. Найдите стороны
трапеции.
67
1044. Окружность радиуса 2 каса­
ется внешним образом другой окруж ­
ности в точке А . Общая касательная к
обеим окружностям, проведенная че­
рез точку А , пересекается с другой их
общей касательной в точке В. Найди­
те радиус второй окружности, если
А В = 4.
1045. Окружности радиусов г и R
касаются внешним образом. К ним
проведена общая внешняя касатель­
ная; А и Б — точки касания. Найдите
радиус
окружности,
касающейся
внешним образом данных окружнос­
тей и касающейся прямой А_В.
1046. Даны окружности радиусов г
n R ( R > г). Расстояние между их цент­
рами равно а (а > R + г). Найдите отрез­
ки общих внешних и общих внутрен­
них касательных, заключенные меж­
ду точками касания.
1047. В круге с центром О хорда АВ
пересекает радиус ОС в точке D , при­
чем Z CDA = 120°. Найдите радиус ок­
ружности, касающейся отрезков AD,
DC и дуги АС, если ОС = 2, OD = V3 .
1048. Дана окружность с центром в
точке О и радиусом 2. Из конца отрез­
ка ОА, пересекающегося с окружно­
стью в точке М , проведена касатель­
ная А К к окружности, Z. О А К = 60°.
Найдите радиус окружности, касаю­
щейся отрезков AJ^', A M и дуги М К .
1049. Сторона А В прямоугольника
A B C D равна 12, а сторона А£) равна 5.
Диагонали прямоугольника пересека­
ются в точке Е . Найдите отношение
расстояния от точки Е до центра ок­
ружности, вписанной в треугольник
A E D , к расстоянию от точки Е до цент­
ра окружности, вписанной в треуголь­
ник DEC.
1050. Найдите
площадь
ромба
A B CD , если радиусы окружностей,
описанных около треугольников ABC
n A B D , равны R u r .
1051. Найдите сумму квадратов
расстояний от точки М , взятой на диа­
68
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
метре некоторой окружности, до кон­
цов любой из параллельных этому
диаметру хорд, если радиус окружнос­
ти равен R , а расстояние от точки М до
центра окружности равно а.
1052. В окружность радиуса 17
вписан четырехугольник, диагонали
которого взаимно перпендикулярны и
находятся на расстоянии 8 и 9 от цент­
ра окружности. Найдите стороны че­
тырехугольника.
1053. Две окружности с центрами
О^, О 2 и радиусами 32, пересекаясь,
делят отрезок
1059.
В прямоугольной трапеции
верхнее основание равно высоте, а
нижнее основание равно о. Найдите
боковые стороны трапеции, если из­
вестно, что одна из них касается ок­
ружности, проходящей через обе верх­
ние вершины, и касается нижнего ос­
нования (рис. 42).
на три равные час­
ти. Найдите радиус окружности, кото­
рая касается изнутри обеих окружнос­
тей и касается отрезка О^Ог.
1054. В равнобедренный треуголь­
ник с основанием а и углом при осно­
вании а вписана окружность. Кроме
того, построена вторая окружность,
касающаяся боковых сторон треуголь­
ника и вписанной в него окружности.
Найдите радиус второй окружности.
1055. В прямоугольном треуголь­
нике A B C с катетами 3 и 4 вершина С
прямого угла соединена с серединой D
гипотенузы А В . Найдите расстояние
между центрами окружностей, впи­
санных в треугольники ACZ) и BCD.
1056. В прямоугольном треуголь­
нике ЛВС с острым углом 30° проведе­
на высота CD из вершины прямого уг­
ла С. Найдите расстояние между цент­
рами окружностей, вписанных в тре­
угольники ACD и BCD, если меньший
катет треугольника AB C равен 1.
1057. Медиана прямоугольного тре­
угольника, проведенная к гипотенузе,
разбивает его на два треугольника с
периметрами т и п . Найдите стороны
треугольника.
1058. Длины боковой стороны A D и
основания CD трапеции A B C D равны
k, а длина основания А В = 2й. Длина
диагонали А С равна I. Найдите длину
боковой стороны ВС.
1060. В треугольнике ABC меди­
аны, проведенные к сторонам АС и ВС,
пересекаются под прямым углом. Най­
дите АВ , если АВ , если АС = Ь, ВС = а.
1061. Диагональ равнобедренной
трапеции равна а, а средняя линия
рав1 ^а Ь. Найдите высоту трапеции.
1062. В равнобедренной трапеции
A B C D основания A D = 12, ВС = 6, вы­
сота равна 4. Диагональ АС делит угол
B A D трапеции на две части. Какая из
них больше?
1063. В прямоугольный треуголь­
ник с гипотенузой а и острым углом
30° вписан прямоугольник, одна из
сторон которого вдове больше другой.
Большая сторона прямоугольника на­
ходится на гипотенузе, а противопо­
ложные ей вершины — на катетах.
Найдите стороны прямоугольника.
1064. Докажите, что в прямоуголь­
ном треугольнике проекции катетов
на гипотенузу пропорциональны квад­
ратам катетов.
1065. Дан треугольник со сторона­
ми а, Ь и с. Докажите, что если меди­
аны, проведенные к сторонам а и ft,
взаимно перпендикулярны, то а^ + Ь^ =
= 5с^.
1066. Диагональ
равнобедренной
трапеции равна с, а средняя линия
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
равна Ь. Найдите высоту этой трапе­
ции.
1067. Найдите радиусы вписанной
и вневписанных окружностей тре­
угольника со сторонами 5, 12,13.
1068. В трапеции A B C D меньшая
диагональ B D перпендикулярна осно­
ваниям A D и ВС, сумма острых углов
А и С равна 90°. Основания A D = а,
ВС = Ь. Найдите боковые стороны тра­
пеции.
1069. В прямоугольной трапеции
основания равны 17 и 25, а большая
боковая сторона равна 10. Из середи­
ны этой стороны проведен перпенди­
куляр к ней до пересечения с продол­
жением другой стороны. Найдите дли­
ну этого перпендикуляра.
1070. Биссектрисы тупых углов
при основании трапеции пересекают­
ся на другом ее основании. Найдите
стороны трапеции, если ее высота рав­
на 12, а длины биссектрис — 15 и 13.
1071. Докажите, что сумма квадра­
тов расстояний от произвольной точки
плоскости до двух противоположных
вершин прямоугольника равна сумме
квадратов расстояний от этой точки до
двух других вершин прямоугольника.
1072. В сегмент с дугой 120° и высо­
той h вписан прямоугольник A B CD
так, что А В : ВС = 1 : 4 {ВС лежит на
хорде). Найдите площадь прямоуголь­
ника.
1073. В сегмент, дуга которого рав­
на 60°, вписан квадрат. Найдите пло­
щадь квадрата, если радиус круга ра­
вен 273 + -Д 7 .
1074. Вне
прямоугольного
тре­
угольника AB C на его катетах АС и ВС
построены квадраты A C D E и BCFG.
Продолжение медианы С М треуголь­
ника AB C пересекает прямую D F в точ­
ке N . Найдите отрезок C N , если кате­
ты равны 1 и 4.
1075. В равнобедренной трапеции
лежат две касающиеся окружности
69
радиусов R, каждая из которых каса­
ется обоих оснований и одной из боко­
вых сторон, а центры окружностей ле­
жат на диагоналях. Найдите стороны
трапеции.
1076. К данной окружности прове­
дены две параллельные касательные и
третья касательная, пересекающая
их. Докажите, что радиус окружности
есть среднее геометрическое отрезков
третьей касательной.
1077. В окружность вписан прямо­
угольник A B C D , сторона А В которого
равна а. Из конца К диаметра К Р , па­
раллельного стороне А В , сторона ВС
видна под углом (3. Найдите радиус ок­
ружности.
1078. Две окружности радиусов 4 и
3 касаются друг друга внешним обра­
зом. К этим окружностям проведены
общие внешние касательные PQ и RS
таким образом, что точки Р и S при­
надлежат окружности большего ради­
уса, а точки Q u R принадлежат окруж­
ности меньшего радиуса. Найдите ра­
диус окружности, касающейся отрез­
ков RS, S P и PQ.
1079. Стороны треугольника равны
10, 10, 12. Найдите радиусы вписан­
ной и вневписанных окружностей.
1080. Окружность, вписанная в
трапецию A B C D , касается боковой
стороны А В в точке F . Найдите пло­
щадь трапеции, если A F = т, F B = п, а
меньшее основание трапеции ВС рав­
но Ь.
1081. В прямоугольной трапеции
лежат две окружности. Одна из них,
радиуса 4 , вписана в трапецию, а вто­
рая, радиуса 1 , касается двух сторон
трапеции и первой окружности. Най­
дите площадь трапеции.
1082. В прямоугольном треуголь­
нике AB C катеты А В и АС равны 4 и 3
соответственно. Т о ч к а !) делит гипоте­
нузу БС пополам. Найдите расстояние
между центрами окружностей, впи­
санных в треугольники ADC и ABD.
70
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1083. В треугольнике AB C со сторо­
в треугольник, и окружности радиуса
3, касающейся продолжений сторон
нами А В = 73 , ВС = 4, АС = 7 ? прове­
P Q и PR .
дена медиана B D . Окружности, впи­
1089. К окружности проведены ка­
санные в треугольники A B D и BDC,
сательные, касающиеся ее в концах
касаются B D в точках М и N соответ­
диаметра АВ . Произвольная касатель­
ственно. Найдите M N .
ная к окружности пересекает эти каса­
1084. Радиус О М окружности с
тельные в точках К и М . Докажите,
центром в точке О и хорда K Q пересе­
что произведение АК" •В М постоянно.
каются в точке А . Отрезки О М и ОА
1090. В окружность вписан равно­
равны соответственно г и а, Z. К А М = а
бедренный треугольник с основанием
(а < 90°). Найдите радиус окружности,
а и углом при основании а. Кроме то­
касающейся отрезков А К , A M и дуги
го, построена вторая окружность, ка­
МК.
сающаяся обеих боковых сторон тре­
1085. Найдите косинус угла при ос­
угольника и первой окружности. Най­
новании равнобедренного треугольни­
дите радиус второй окружности.
ка, если точка пересечения его высот
1091. Сторона треугольника равна
леж ит на вписанной в треугольник ок­
2, прилежащие к ней углы равны 30° и
ружности.
45°. Найдите остальные стороны тре­
1086. Найдите длину хорды, если
угольника.
даны радиус г и расстояние а от одного
1092. Диагональ АС равнобедрен­
конца хорды до касательной, прове­
ной трапеции ABCZ) равна а и образует
денной через другой ее конец.
углы а и Р с большим основанием A D и
1087. В окружность вписан четы­
боковой стороной АВ . Найдите основа­
рехугольник A B CD , диагонали кото­
ния трапеции.
рого взаимно перпендикулярны и пе­
1093. Стороны
параллелограмма
ресекаются в точке Е (рис. 43). П ря­
равны а и Ь, а угол между ними равен
мая, проходящая через точку Е и пер­
а. Найдите стороны и диагонали четы­
пендикулярная к ВС, пересекает сто­
рехугольника, образованного пересе­
рону A D в точке М . Докажите, что
чением биссектрис внутренних углов
Е М — медиана треугольника A E D , и
параллелограмма.
найдите ее длину, если А В = 7, СЕ = 3,
1094. Найдите sin 15° и tg 75°.
Z A D B = а.
1095. Катет прямоугольного тре­
угольника равен 2, а противолежащий
ему угол равен 30°. Найдите расстоя­
ние между центрами окружностей,
вписанных в треугольники, на кото­
рые данный треугольник делится ме­
дианой, проведенной из вершины пря­
мого угла.
1096. А В и CD — параллельные
прямые, АС — секущая,
— точки
пересечения прямых А В и CD с бис­
сектрисами углов С и А . Дано: A F = 96,
СЕ = 110. Найдите АС.
1097. Из вершины тупого угла ром­
1088.
В треугольнике P Q R уголба A_BCZ) проведены высоты В М и BN.
Q R P равен 60°. Найдите расстояние
В четырехугольник B M D N вписана
между точками касания со стороной
окружность радиуса 1. Найдите сторо­
QR окружности радиуса 2, вписанной
ну ромба, если Z ABC = 2 arctg 2.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1098. Из вершины А острого угла
ромба A B C D опущены перпендикуля­
ры A M и A N на продолжения сторон
ВС и CD. В четырехугольник A M C N
вписана окружность радиуса 1. Най­
дите сторону ромба, если Z ВАС =
= 2 arctg I .
1099. Окружность, центр которой
лежит вне квадрата AB CD , проходит
через точки В и С . Найдите угол между
касательными к окружности, прове­
денными из точки D , если отношение
стороны квадрата к диаметру окруж­
ности равно 3 : 5 .
1100. Окружность, центр которой
лежит внутри квадрата PQ R S , прохо­
дит через точки Q к R. Найдите угол
между касательными к окружности,
проведенными из точки S, если отно­
шение стороны квадрата к радиусу ок­
ружности равно 24 : 13.
1101°. В прямоугольном треуголь­
нике отношение радиуса вписанной
окружности к радиусу описанной ок­
ружности равно I . Найдите острые уг5
лы треугольника.
1102. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 36 и 48. Найдите рас­
стояние от центра вписанной в тре­
угольник окружности до высоты, про­
веденной к гипотенузе.
1103. В треугольнике P Q R угол
Q PR равен 60°. Через вершины Р и R
проведены перпендикуляры к сторо­
нам QR и P Q соответственно. Точка
пересечения этих перпендикуляров
находится от вершин Р и Q на расстоя­
нии, равном 1. Найдите стороны тре­
угольника P Q R .
1104. В прямоугольном треуголь­
нике ABC из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Найдите рас­
стояние между центрами окружнос­
тей, вписанных в треугольники ЛС£) и
BCD, если ВС = 4, а радиус окружнос­
ти, описанной около треугольника
ABC, равен | .
71
1105°. Диагонали прямоугольника
A B C D пересекаются в точке О. Найди­
те расстояние между центрами окруж­
ностей, вписанных в треугольники
А О В и в о е , если ВС = 8, B D = 10.
1106. Около окружности описана
равнобедренная трапеция ABCD. Бо­
ковые стороны А В и CD касаются ок­
ружности в точках M n N , K — середи­
на AD . В каком отношении прямая В К
делит отрезок M N ?
1107. В прямоугольном треуголь­
нике ABC с острым углом А , равным
30°, проведена биссектриса B D друго­
го острого угла. Найдите расстояние
между центрами двух окружностей,
вписанных в треугольники ABC и
CBD, если меньший катет равен 1.
1108. В треугольнике ABC проведе­
ны биссектрисы A D и BE, пересекаю­
щиеся в точке О. Известно, что ОЕ = 1,
а вершина С лежит на окружности,
проходящей через точки Е, D и О.
Найдите стороны и углы треугольника
ED O .
1109°. На отрезке А В длины 2R как
на диаметре построена окружность.
Вторая окружность того же радиуса,
что и первая, имеет центр в точке А.
Третья окружность касается первой
окружности внутренним образом, вто­
рой окружности — внешним образом,
а также касается отрезка АВ . Найдите
радиус третьей окружности.
1110. В равнобедренной трапеции с
острым углом а при основании окруж­
ность, построенная на боковой сторо­
не как на диаметре, касается другой
боковой стороны. В каком отношении
она делит большее основание трапе­
ции?
1111. Две равные окружности пе­
ресекаются в точке С. Через точку С
проведены две прямые, пересекаю­
щие данные окружности в точках
А , Б и М , N соответственно. Прямая
А В параллельна линии центров, а
прямая M N образует угол а с линией
центров. Известно, что А В = а. Най­
дите N M .
72
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1112.
На отрезке А В длины 2R какнальные проекции этой медианы на
на диаметре построена окружность.
стороны А В и ВС равны 6 и 5л/2 соот­
Вторая окружность, радиус которой
ветственно. Найдите сторону АС.
равен половине радиуса первой ок­
1118. Окружность, построенная на
ружности, касается ее внутренним об­
стороне A D параллелограмма ABCD
разом в точке А . Третья окружность
как на диаметре, проходит через сере­
касается первой окружности внутрен­
дину диагонали АС и пересекает сторо­
ним образом, второй окружности —
ну А В в точке М . Найдите отношение
внешним образом, а также касается
A M : А В , если АС = 3BD.
отрезка А В (рис. 44). Найдите радиус
1119. Окружность, построенная на
третьей окружности.
стороне A D параллелограмма AB CD
1113. В равнобедренной трапеции
AB C D боковая сторона в J2 раз мень­
ше основания ВС, СЕ — высота. Най­
дите периметр трапеции, если B E =
= Л , BD= Л Ь .
1114. В ромбе АВС£) из вершины D
на сторону ВС опущен перпендикуляр
D K . Найдите сторону ромба, если А С =
= 2 Л .А К = Л Л .
1115. На прямой расположены три
точки А , В VL С, причем А В = ВС = 3.
Три окружности радиуса R имеют
центры в точках Л , В и С. Найдите ра­
диус четвертой окружности, касаю­
щейся всех трех данных, если:
а ) Д = l ; 6 ) i ? = 2 ; B ) i ? = 5.
1116. Вне
прямоугольного
тре­
угольника ABC на его катетах АС и ВС
построены квадраты A C D E и BCFG.
Продолжение медианы С М треуголь­
ника ABC пересекает прямую D F в точ­
ке N . Найдите отрезок C N , если кате­
ты равны 1 и 4.
1117. Медиана B D остроугольного
треугольника AB C равна 8. Ортого­
как на диаметре, проходит через сере­
дину диагонали B D и пересекает сто­
рону CD в точке К . Найдите отноше­
ние K D : CD, если B D = 2ЛС.
1120. В окружности радиуса 5 про­
ведены две взаимно перпендикуляр­
ные хорды А В и CD. Найдите АС, если
BD = 8 .
1121. Длины основания CD, диаго­
нали B D и боковой стороны A D трапе­
ции АВС£) равны р. Длина боковой сто­
роны ВС равна д. Найдите длину ди­
агонали АС.
1122. В некоторый угол вписана ок­
ружность радиуса 5. Хорда, соединяю­
щая точки касания, равна 8. К окруж­
ности проведены две касательные, па­
раллельные хорде. Найдите стороны
полученной трапеции.
1123. Во вписанном в окружность
четырехугольнике две противополож­
ные стороны взаимно перпендикуляр­
ны, одна из них равна а, а прилежа­
щий к ней угол делится диагональю на
части а и Р (угол а прилежит к данной
стороне). Найдите диагонали четырех­
угольника.
1124. Две окружности радиусов R
и г ( Е > г) касаются внешним образом.
Найдите радиусы окружностей, ка­
сающихся обеих данных окружностей
и прямой, проходящей через центры
данных.
1125. На сторонах прямоугольного
треугольника, вне его, построены квад­
раты. Известно, что шесть вершин
квадратов, не принадлежащих тре­
угольнику, лежат на окружности ради­
уса 1. Найдите стороны треугольника.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1126. Гипотенуза прямоугольного
треугольника служ ит стороной квад­
рата, расположенного вне треугольни­
ка. Найдите расстояние между верши­
ной прямого угла треугольника и
центром квадрата, если сумма катетов
треугольника равна d.
1127. Гипотенуза прямоугольного
треугольника служ ит стороной квад­
рата, расположенного вне треугольни­
ка. Найдите расстояние между верши­
ной прямого угла треугольника и
центром квадрата, если катеты тре­
угольника равны а mb.
1128°. ЦваквадратйA B C D и K L M N
расположены так, что вершины В, С,
К и N лежат на одной прямой, а четыре
оставшиеся расположены по разные
стороны от ВС и лежат на одной ок­
ружности. Известно, что сторона одно­
го из квадратов на 1 больше стороны
другого. Найдите расстояние от цент­
ра окружности до прямой ВС.
1129°. В равнобедренной трапеции
K L M N основание K N равно 9, основа­
ние L M равно 5. Точки P n Q лежат на
диагонали L N , причем точка Р распо­
ложена между точками L n Q , а отрез­
ки К Р и M Q перпендикулярны диаго­
нали L N . Найдите площадь трапеции
K L M N , если Q N : L P 5.
ИЗО. в плоскости даны квадрат с
последовательно расположенными вер­
шинами Л , В , С, D u точка О. Известно,
что ОВ = O D = 1 3 , ОС = 5 л/2 и что пло­
щадь квадрата больше 225. Найдите
сторону квадрата и выясните, где рас­
положена точка О — вне или внутри
квадрата.
1131°. Из произвольной точки М ,
лежащей внутри правильного тре­
угольника A B C , опущены перпенди­
куляры МС^, М А^, M B i на стороны
А В , ВС и СА соответственно. Докажи­
те, что
A C i + B A i + СВ^ =
= C iB + A iC + B^A.
73
1132. В квадрат, площадь которого
равна 18, вписан прямоугольник так,
что на каждой стороне квадрата лежит
одна вершина прямоугольника. Сторо­
ны прямоугольника относятся как 1 : 2.
Найдите площадь прямоугольника.
1133. В окружности пересекаю­
щиеся хорды А В и CD перпендикуляр­
ны, A D = т, ВС = п. Найдите диаметр
окружности.
1134. Четырехугольник
KLM N
вписан в окружность радиуса R, L M =
= п, диагонали К М и L N перпендику­
лярны. Найдите
1135. Две окружности, радиусы ко­
торых относятся как 9 : 4 //З , касают­
ся друг друга внутренним образом
(рис. 45). Проведены две равные хор­
ды большей окружности, касающиеся
меньшей окружности. Одна из этих
хорд перпендикулярна отрезку, сое­
диняющему центры окружностей, а
другая нет. Найдите угол между этими
хордами.
1136. Две окружности, радиусы ко­
торых относятся как 5 : 2 j 2 , касают­
ся друг друга внутренним образом.
Проведены две равные хорды окруж­
ности, касающиеся меньшей окруж­
ности. Одна из этих хорд перпендику­
лярна отрезку, соединяющему центры
окружностей, а другая нет. Найдите
угол между этими хордами.
1137. Вокруг
четырехугольника
A B C D с взаимно перпендикулярными
74
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
диагоналями ЛС и B D описана окруж­
ность радиуса 2. Найдите сторону CD,
если А В = 3.
1138°. Четырехугольник
ABCD,
диагонали которого взаимно перпен­
дикулярны, вписан в окружность с
центром О. Найдите расстояние от точ­
ки О до стороны А В , если известно, что
CD = 8 .
1139. В четырехугольнике A B CD
расположены две непересекающиеся
окружности так, что одна из них каса­
ется сторон А В , ВС и CD, а другая —
сторонАВ, А О и С Г ). Прямая M N пере­
секает стороны А В и CD соответствен­
но в точкахM u N n касается обеих ок­
ружностей. Найдите расстояние меж­
ду центрами окружностей, если пери­
метр четырехугольника M B C N равен
2р, ВС = а и разность радиусов окруж­
ностей равна г.
1140°. Через точку А окружности
радиуса 1 0 проведены две взаимно
перпендикулярные хорды А В и АС.
Вычислите радиус окружности, ка­
сающейся данной окружности и по­
строенных хорд, если А В = 16.
1141. В равнобедренную трапецию,
длины оснований которой равны а и Ь
(о > Ь), можно вписать окружность.
Найдите расстояние между центрами
вписанной и описанной около этой
трапеции окружностей.
1142°. Дана равнобедренная трапе­
ция, в которую вписана окружность и
около которой описана окружность.
Отношение высоты трапеции к ради­
усу описаннои окружности равно
.
Найдите углы трапеции.
1143°. Из точки К , расположенной
вне окружности с центром в точке О,
проведены к этой окружности две ка­
сательные М К и N K (М и N — точки
касания). На хорде M N взята точка С
(М С < C N ). Через точку С перпендику­
лярно отрезку ОС проведена прямая,
пересекающая отрезок N K в точке В.
Известно, что радиус окружности ра­
вен R, Z. M K N = а, М С = Ь. Найдите
СВ.
1144. Докажите, что прямые АВ и
К М перпендикулярны тогда и только
тогда, когда Ай : 2 - В К ^=А М '^ - ВМ^.
1145. Докажите, что диагонали че­
тырехугольника
перпендикулярны
тогда и только тогда, когда суммы
квадратов его противоположных сто­
рон равны.
1146°. Вершины прямоугольника,
не являющегося квадратом, располо­
жены по одной на каждой стороне не­
которого квадрата. Докажите, что сто­
роны прямоугольника параллельны
диагоналям квадрата.
1147. Гипотенуза К М прямоуголь­
ного треугольника К М Р является хор­
дой окружности радиуса V? . Вершина
Р находится на диаметре, который па­
раллелен гипотенузе. Расстояние от
центра окружности до гипотенузы
равно /Уз . Найдите острые углы тре­
угольника К М Р .
1148°. В остроугольном треуголь­
нике ABC проведены биссектриса A L и
медиана С М . Точки К и N являются
ортогональными проекциями на сто­
рону АС точек L и М соответственно,
причем А К -.К С = 4 : 1 , A N : N C =
= 3 : 7 . Найдите отношение A L : СМ.
1149°. В трапеции K L M N длина ос­
нования L M равна 17, а угол L K N ост­
рый и вдвое больше угла K N M . Ок­
ружность с центром на прямой L M ка­
сается прямых К М , K N и отрезка M7V.
Найдите периметр трапеции K L M N ,
если известно, что радиус окружности
равен 15.
1150. В круге проведены два диа­
метра А В и CD, М — некоторая точка.
Известно, что A M = 1 5 , В М = 20, С М =
= 24. Найдите D M .
1151. К двум непересекающимся
окружностям проведены общие каса­
тельные прямые. У го л между внеш­
ними касательными равен а, а угол
между внутренними касательными
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
равен р. Найдите угол между прямы­
ми, проведенными из центра окруж­
ности большего радиуса и касающи­
мися второй окружности.
1152. Две окружности касаются
друг друга внешним образом. Четыре
точки А , В, С и D касания их общих
внешних касательных последователь­
но соединены. Докажите, что в четы­
рехугольник АВС£) можно вписать ок­
ружность, и найдите ее радиус, если
радиусы данных окружностей равны
Лиг.
1153. Найдите отношение сторон
прямоугольного треугольника, если
известно, что одна половина гипотену­
зы (от вершины до середины гипотену­
зы) видна из центра вписанной окруж­
ности под прямым углом.
1154. Хорда окружности удалена
от центра на расстояние h. В каждый
из сегментов, стягиваемых хордой,
вписан квадрат так, что две соседние
вершины квадрата лежат на дуге, две
другие — на хорде. Чем у равна раз­
ность сторон квадратов?
1155. Три окружности радиусов 1,
2 и 3 касаются друг друга внешним об­
разом. Найдите радиус окружности,
проходящей через точки касания этих
окружностей.
1156°. Радиус вписанной в треуголь­
75
ены полуокружности в одной полу­
плоскости относительно прямой АВ.
Найдите радиус окружности, касаю­
щейся всех трех полуокружностей.
1159. Точка К лежит на стороне ВС
треугольника ABC. Докажите, что со­
отношение
= А В -АС - К В ■К С вы­
полнено тогда и только тогда, когда
А В = А С или Z В А К = Z. САК.
1160. В прямоугольном секторе
А О В проведена хорда А В и в образовав­
шийся сегмент вписан квадрат. Най­
дите отношение стороны квадрата к
радиусу окружности, которая касает­
ся хорды АВ , дуги А В и стороны квад­
рата, перпендикулярной хорде АВ.
1161°. Диагональ B D
трапеции
A B C D равна т, а боковая сторона AD
равна п. Найдите основание CD, если
известно, что основание, диагональ и
боковая сторона трапеции, выходящие
из вершины С, равны между собой.
1162. Две окружности радиусов R
и г касаются внешне в точке А . На ок­
ружности радиуса г взята точка В, ди­
аметрально противоположная точке
А , и в этой точке построена касатель­
ная I (рис. 46). Найдите радиус окруж­
ности, касающейся внешним образом
двух данных окружностей и прямой I.
ник ABC окружности равен J s - 1.
У гол ВАС этого треугольника равен
60°, а радиус окружности, касающей­
ся стороны ВС и продолжений сторон
А В и АС, равен J3 + 1. Найдите углы
ABC жАС В данного треугольника.
1157. В четырехугольник ABCD
можно вписать и вокруг него можно
описать окружность. Диагонали этого
четырехугольника взаимно перпенди­
кулярны. Найдите его площадь, если
радиус описанной окружности равен R
п А В = 2ВС.
1158. На отрезке А С дана точка В,
причем А В = 1 4 , ВС = 28. На отрезках
А В , ВС, А С как на диаметрах постро­
1163°. На биссектрисе угла с вер­
шиной L взята точка А . Точки К и М —
основания перпендикуляров, опущен­
ных из точки А на стороны угла. На от­
резке К М взята точка Р (К Р < Р М ) и
через точку Р перпендикулярно отрез­
к у А Р проведена прямая, пересекаю­
76
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
щая прямую K L в точке Q {К между Q
и L ), а прямую M L — в точке S. И з­
вестно, что Z K L M = а, К М = а, QS =
= Ь. Найдите K Q .
1164. В прямоугольнике АВС£), где
АВ =
6
ЛЛ
,А В = 3{ 1 + ^
расположены
2
две окружности. Окружность радиуса
2 с центром в точке К касается сторон
А В h A D . Окружность радиуса 1 с цент­
ром в точке L касается стороны CD и
первой окружности. Найдите площадь
треугольника C L M , если М — основа­
ние перпендикуляра, опущенного из
вершины В на прямую, проходящую
через точки К и Ь .
1165. В треугольнике K M N прове­
дены высота N A , биссектриса N B и ме­
диана N C , которые делят угол K N M на
четыре равные части. Найдите высоту
N A , биссектрису
и медиану ЛТ^С, ес­
ли радиус описанной около треуголь­
ника K M N окружности равен R.
1166. Две окружности радиусов г и
R с центрами в точках О ^ и О внешне
касаются в точке К . В точке А окруж­
ности радиуса R проведена касатель­
ная, пересекающая окружность ради­
уса г в точках В и С. Известно, что
ВС : А В = р и отрезокЛС пересекает от­
резок О^К. Определите:
а) при каких условиях ка. г, R и р
возможна такая геометрическая кон­
фигурация;
б) отрезок ВС.
1167. В прямоугольном треуголь­
нике ABC катет ЛБ = 3,Л С = 6 . Центры
окружностей радиусов 1, 2 и 3 нахо­
дятся соответственно в точкахА, Б и С.
Найдите радиус окружности, касаю­
щейся каждой из трех данных окруж­
ностей внешним образом.
1168. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 6 и 8 . На всех его сто­
ронах как на диаметрах построены по­
луокружности, лежащие вне тре­
угольника. Найдите радиус окружнос­
ти, касающейся построенных полуок­
ружностей.
1169.
У глы при основании A D тра­
пеции АВС£) равны 2а и 2р. Докажите,
что трапеция описанная тогда и только тогда, когда В С
AD
tg а tg р.
1170. Дан
прямоугольный
тре­
угольник ABC с катетами АС = 3 и
ВС = 4. Через точку С проведена пря­
мая, лежащая вне треугольника и об­
разующая с катетами углы , равные
45°. Найдите радиус окружности, про­
ходящей через точки А , В и касающей­
ся этой прямой.
1171. Точка С расположена на от­
резке АВ. По одну сторону от прямой
АВ на отрезках АВ , АС и ВС построены
как на диаметрах полуокружности S,
S i и 8 2 - Через точку С проведена пря­
мая CD, перпендикулярная АВ (D —
точка на полуокружности S). Окруж­
ность
касается отрезка CD и полу­
окружностей S и S^, а окружность
К 2 — отрезка CD и полуокружностей
S и S 2 - Докажите, что окружности
и К 2 равны.
1172. На отрезке А С взята точка В,
и на отрезках АВ , ВС и СА построены
полуокружности S^, S 2 и S 3 по одну
сторону от АС. D — точка на S 3 , проек­
ция которой на АС совпадает с точкой
В. Общая касательная к S^ и S 2 касает­
ся этих полуокружностей в точках F и
Е соответственно.
а) Докажите, что прямая E F парал­
лельна касательной к S 3 , проведенной
через точку D .
б) Докажите, что B F D E — прямо­
угольник.
1173. В прямоугольном секторе
А О В из точки В как из центра проведе­
на дуга ОС (С — точка пересечения
этой дуги с дугой А В ) радиуса ВО. Ок­
ружность S i касается дуги АВ , дуги
ОС и прямой ОА, а окруж ность Sg ка­
сается дуги ОС, прямой ОА и окруж­
ности S i. Найдите отношение радиуса
окружности S i к радиусу окружности
S2 -
77
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1174. В треугольнике A BC перпен­
дикуляр, проходящий через середину
стороны А В , пересекает прямую АС в
точке М , а перпендикуляр, проходя­
щий через середину стороны ЛС, пере­
секает прямую А В в точке N . Извест­
но, что M N = ВС и прямая M N перпен­
дикулярна прямой ВС. Найдите углы
треугольника ABC.
1175. В треугольнике ABC проведе­
ны высотаA f f , равная h, медианаA/Vf,
равная т, и биссектриса A N . Точка
N — середина отрезка М Н . Найдите
расстояние от вершины А до точки пе­
ресечения высот треугольника ABC.
1176°. Даны две окружности с
центрами
и О 2 . Докажите, что гео­
метрическим местом точек М , для ко­
торых касательные к данным окруж­
ностям равны, есть прямая, перпенди­
кулярная O^Og, или часть такой пря­
мой. В каких случаях искомым гео­
метрическим местом является вся
прямая?
1177. Трапеция A E F G (EF\\AG)
расположена в квадрате A B C D со сто­
роной 14 так, что точки Е , F и G лежат
на сторонах А В , ВС и CD соответствен­
но. Диагонали A F и EG перпендику­
лярны, E G = \ 0 j 2 . Найдите периметр
трапеции.
1178. В трапеции A B C D (AD ||ВС)
на диагонали B D расположена точка К
так, что В К : K D = 1 : 2. Найдите углы
треугольника АйГС, если АС = A D —2BC,
Z. CAD = а.
7. ПОДОБНЫ Е Т Р Е У Г О Л Ь Н И К И
1179°. Докажите, что отношение
периметров подобных треугольников
равно коэффициенту подобия.
1180. Докажите, что высота прямо­
угольного треугольника, проведенная
из вершины прямого угла, делит тре­
угольник на два подобных треуголь­
ника.
1181°. В параллелограмме ABCD
сторона А В = 420. На стороне ВС взята
точка Е так, что B E : ВС = 5 : 7, и про­
ведена прямая D E , пересекающая про­
должение А В в точке F . Найдите BF.
1182. Даны треугольники ABC и
А^В^С^. Известно, что Z B = Z B ^ , Z C =
= Z Cj и А В втрое большеА^Б^. Найди­
те медиану А-^М^ треугольника А^В ^С^,
если медиана A M треугольника ABC
равна 1 2 .
1183. Хорды А В и CD пересекаются
в точке М , лежащей внутри круга. До­
кажите, что треугольники A M D и
C M D подобны.
1184. Боковая сторона треугольни­
ка разделена на пять равных частей;
из точек деления проведены прямые,
параллельные основанию. Основание
равно 20. Найдите отрезки параллель­
ных прямых, заключенные между бо­
ковыми сторонами.
1185. Боковые стороны треуголь­
ника разделены на 7 равных частей;
соответствующие точки деления со­
единены отрезками. Найдите длины
этих отрезков, если основание равно
28.
1186. Пусть М — середина стороны
ВС параллелограмма ABCD. В каком
отношении отрезок A M делит диаго­
наль BD1
1187. В треугольнике ABC угол
ВАС — прямой, стороны А В и ВС рав­
ны соответственно 1 и 3. Точка ii”делит
сторону АС в отношении 7 : 1 , считая
от точки А . Что больше: АС или ВК1
1188. Через точку О пересечения
диагоналей трапеции проведена пря­
мая, параллельная основанию. Най­
дите отрезок этой прямой между боко­
выми сторонами трапеции, если сред­
няя линия трапеции равна | , а точка
О
О делит диагональ трапеции на части,
отношение которых равно 1 : 3 .
1189. Основания трапеции равны
1 , 8 и 1 , 2 ; боковые стороны ее длиной
78
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1,5 и 1,2 продолжены до взаимного пе­
1197.
В треугольнике AB C прове­
дены высоты АА^ и ВВ^. Найдите АС,
ресечения. На сколько продолжены
боковые стороны?
если:
1190.
Дан треугольник ABC. На а) A A i = 4, B B i - Ъ , В С = 6 ;
продолжении стороны А С за точку С
б) A iC == 8 , В^С = 5, ВВ^ = 12.
взята точка N так, что C N = АС; точка
1198°. Дан квадрат АВС£) со сторо­
К — середина стороны А В (рис. 47).
ной 1. Точка К принадлежит стороне
В каком отношении прямая K N делит
CD и С К : K D = 1 : 2 . Найдите расстоя­
сторону ЕС?
ние от вершины С до прямой АЙГ.
1199. Окружность касается одного
из катетов равнобедренного прямо­
угольного треугольника и проходит
через вершину противолежащего ост­
рого угла. Найдите радиус окружнос­
ти, если ее центр лежит на гипотенузе
треугольника, а катет треугольника
равен а.
1191.
Продолжения боковых сто­ 1200. Боковая сторона трапеции
рон А В и CD трапеции АВС£) пересека­
разделена на пять равных частей, и че­
ются в точке Е . Найдите стороны тре­
рез третью точку деления (считая от
угольника АЕ£), если А В = 3, ВС = 1 0 ,
вершины меньшего основания) прове­
C£) = 4 , A D = 12.
дена прямая, параллельная основани­
1192°. Окружность касается боль­
ям трапеции. Найдите отрезок пря­
шего катета прямоугольного треуголь­
мой, заключенный между сторонами
ника, проходит через вершину проти­
трапеции, если основания трапеции
волежащего острого угла и имеет
равны а н Ь {а > Ь).
центр на гипотенузе треугольника.
1201. В треугольнике ABC с данны­
Найдите радиус окружности, если ка­
ми сторонами а, Ь НС проведена парал­
теты равны 5 и 12.
лельно АС прямая M N так, что A M =
1193. В равнобедренном треуголь­
= B N . Найдите M N .
нике высота равна 2 0 , а основание от­
1202. В треугольник ABC вписан
носится к боковой стороне, как 4 : 3 .
ромб A D E F так, что угол А у них об­
Найдите радиус вписанного круга.
щий, а вершина Е находится на сторо­
1194. В равнобедренном треуголь­
не ВС. Найдите сторону ромба, если
нике центр вписанного круга делит
А В = с и АС = Ь.
высоту в отношении 12 : 5, а боковая
1203. Прямая, проведенная через
сторона равна 60. Найдите основание.
вершину ромба вне его, отсекает на
1195. В равнобедренном треуголь­
продолжении двух сторон отрезки р и
нике радиус вписанного круга составд. Найдите сторону ромба.
О
1204°. В треугольник с основанием
ляет - высоты, а периметр этого треа и высотой h вписан квадрат так, что
угольника равен 56. Найдите его сто­
две его вершины лежат на основании
роны.
треугольника, а две другие — на боко­
1196. Хорда А В = 15, хордаАС = 21
вых сторонах. Найдите сторону квад­
и хорда ВС = 24. Точка D — середина
рата.
дуги СВ. На какие части B E и ЕС де­
1205.
В треугольник, основание
лится хорда ВС прямой AD ?
которого равно 48, а высота 16, вписан
79
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
прямоугольник с отношением сторон
5 : 9 , причем большая сторона лежит
на основании треугольника. Найдите
стороны прямоугольника.
1206. В треугольник, у которого ос­
нование равно 30, а высота равна 10,
вписан прямоугольный равнобедрен­
ный треугольник так, что его гипоте­
нуза параллельна основанию данного
треугольника, а вершина прямого у г­
ла лежит на этом основании. Найдите
гипотенузу.
1207. A B C — данный треугольник;
CD — биссектриса угла С; точка Е л е ­
жит на ВС, причем D E ЦАС. Найдите
D E , если ВС = а и А С = Ь.
1208. A B CD — данный параллело­
грамм. Через точку пересечения его
диагоналей проведена перпендику­
лярная к ВС прямая, которая пересе­
кает ВС в точке Е , а продолжение
А В — в точке F . Найдите B E , если
А В = а, ВС = Ь и B F = с.
1209°. В треугольник вписан ромб
так, что один угол у них общий, а про­
тивоположная вершина делит сторону
треугольника в отношении 2 : 3 . Ди­
агонали ромба равны / п и п . Найдите
стороны треугольника, содержащие
стороны ромба.
1210. В равнобедренный треуголь­
ник ABC вписан ромб D E C F так, что
вершина Е леж ит на отрезке ВС, вер­
шина F леж ит на отрезке АС и верши­
на D лежит на отрезке А В . Найдите
сторону ромба, если А В = ВС = 1 2 ,
АС = 6 .
1211. Найдите биссектрисы острых
углов прямоугольного треугольника,
катеты которого равны 6 и 8 .
1212. Две окружности касаются
внешним образом. Прямая, проведен­
ная через точку касания, образует в
окружностях хорды, из которых одна
1 Ч
равна
другой. Найдите радиусы, ес5
ли расстояние между центрами равно
36.
1213.
В треугольник вписан полу­
круг, у которого полуокружность ка­
сается основания, а диаметр (с конца­
ми на боковых сторонах треугольни­
ка) параллелен основанию (рис. 48).
Найдите радиус, если основание тре­
угольника равно а, а высота h.
Рис. 48
1214. В равнобедренный треуголь­
ник, у которого боковая сторона равна
100, а основание 60, вписан круг. Най­
дите расстояние между точками каса­
ния, находящимися на боковых сторо­
нах.
1215. В равнобедренном треуголь­
нике AB C сторона АС = Ь, сторона В А =
= ВС = а; A N и С М — биссектрисы уг­
лов А и С. Найдите M N .
1216. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = 15,-ВС = 1 2 ,А С = 18. В ка­
ком отношении центр вписанной ок­
ружности треугольника делит бис­
сектрису угла С?
1217. В треугольнике ABC стороны
А В = 15 и АС = 10; A D — биссектриса
угла А . И з точки D проведена прямая,
параллельная АВ , до пересечения с АС
в точке Е . Найдите А Е , ЕС и D E .
1218. В треугольнике ABC проведе­
на прямая B D так, что A B D = Z ВСА.
Найдите отрезки A D и DC, если А В = 2
и А С = 4.
1219. В треугольник вписан ромб со
стороной т так, что один угол у них об­
щий, а противоположная вершина
ромба леж ит на стороне треугольника
и делит эту сторону на отрезки длиной
р и д . Найдите стороны треугольника.
80
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1220. На каждой стороне ромба на­
ходится по одной вершине квадрата,
стороны которого параллельны диаго­
налям ромба. Найдите сторону квадра­
та, если диагонали ромба равны 8 и 1 2 .
1221. С помощью циркуля и линей­
ки разделите данный отрезок на п рав­
ных частей.
1222°. К окружности, вписанной в
равнобедренный треугольник с осно­
ванием 1 2 и высотой 8 , проведена ка­
сательная, параллельная основанию.
Найдите длину отрезка этой касатель­
ной, заключенного между сторонами
треугольника.
1223. В
угол
вписаны
три
окружности — малая, средняя и боль­
шая. Большая окружность проходит
через центр средней, а средняя — че­
рез центр малой. Вычислите радиусы
средней и большой окружности, если
радиус малой равен г и расстояние от
ее центра до вершины угла равно о.
1224. Две окружности радиуса г ка­
саются друг друга. Кроме того, каж­
дая из них касается извне третьей ок­
ружности радиуса R в точках Л и В со­
ответственно. Найдите радиус г, если
А В = 12,Д=8.
1225. Две окружности радиуса г ка­
саются друг друга. Кроме того, каж­
дая из них касается изнутри третьей
окружности радиуса R в точках Л и В
соответственно. Найдите радиус R, есл и А В = 11, г = 5.
1226°. Радиус сектора равен г, а
хорда его дуги равна а. Найдите ради­
ус круга, вписанного в этот сектор.
1227°. В прямоугольном треуголь­
нике ABC длина катета А В равна 21, а
длина катета ВС равна 28. Окруж­
ность, центр О которой лежит на гипо­
тенузе АС, касается обоих катетов.
Найдите радиус окружности.
1228°. Через вершину С паралле­
лограмма АВС£) проведена произволь­
ная прямая, пересекающая продолже­
ния сторон А В и A D в точках К и М со­
ответственно. Докажите, что произве­
дение В К • D M не зависит от того, как
проведена эта прямая.
1229°. Дана прямоугольная трапе­
ция АВС£), в которой
С = Z. В = 90°.
На стороне A D как на диаметре постро­
ена окружность, которая пересекает
сторону ВС в точках M u N . Докажите,
что В М - М С = А В - CD.
1230. Каждая из боковых сторон
трапеции разделена на 5 равных час­
тей. Пусть М и. N — вторые точки де­
ления на боковых сторонах, считая от
вершин меньшего основания. Найдите
M N , если основания трапеции равны а
и 6 (а > Ь),
1231. В параллелограмм вписан
ромб так, что его стороны параллель­
ны диагоналям параллелограмма.
Найдите сторону ромба, если диагона­
ли параллелограмма равны I и т.
1232°. Точки K vlM лежат на сторо­
нах А В и ВС треугольника ABC, при­
чем А К : Bii: = 3 : 2, В М : М С = 3 : 1.
Через точку В проведена прямая I, па­
раллельная АС. Прямая JiLM пересека­
ет прямую I в точке Р , а прямую АС —
в точке N . Найдите В Р и CN, если АС = а.
1233. На сторонах А В и АС тре­
угольника ABC взяты точки М и N
так, что M N II ВС. На отрезке M N взя­
та точка Р так, что М Р = - M N . Пря8
мая А Р пересекает сторону ВС в точке
Q. Докажите, что BQ = \ ВС.
3
1234°. Сторона A D параллелограм­
ма A B C D разделена на п равных час­
тей. Первая точка деления Р соедине­
на с вершиной В. Докажите, что пря­
мая В Р отсекает на диагонали АС
часть AQ, которая равна
1
п+ 1
всей ди­
агонали.
1235.
Диагонали четырехугольни­
ка A B CD пересекаются в точке О. До­
кажите, что А О • ВО — СО ■DO тогда и
только тогда, когда ВС ||AD.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
81
1242. Б прямоугольный треуголь­
ник с катетами, равными 6 и 8 , вписан
квадрат, имеющий с треугольником
общий прямой угол. Найдите сторону
квадрата.
1243. Окружность, центр которой
леж ит на гипотенузе А В прямоуголь­
ного треугольникаАБС, касается двух
катетов А С и ВС соответственно в точ­
ках E vi.D . Найдите угол АБС, если из­
вестно, что А £ = 1, B D = 3.
1244. В треугольнике AB C проведе­
на биссектриса CD прямого угла АСВ;
D M и D N являются соответственно
высотами треугольников A D C и BDC.
Найдите АС, если известно, что A M =
- = A ,B N ^ 9.
1245. В параллелограмме ABCD
точки Е и F лежат соответственно на
сторонах А В и ВС, М — точка пересе­
чения прямых A F и D E , причем А Е =
= 2ВЕ, а B F = 3CF. Найдите отноше­
ние A M : M F .
1246. Диагональ АС вписанного че­
тырехугольника A B C D является бис­
сектрисой угла D AB . Докажите, что
один из двух треугольников, отсекае­
мых от треугольника ABC диагональю
B D , подобен треугольнику ABC.
1247. В равнобедренном треуголь­
нике боковая сторона равна 2 0 , а диа­
1239. Точка на гипотенузе, равно­
метр описанной окружности равен 25.
удаленная от обоих катетов, делит ги­
Найдите радиус вписанной окруж ­
потенузу на отрезки длиной 30 и 40.
ности.
Найдите катеты треугольника.
1248. В параллелограмме ABCD
1240. В равнобедренной трапеции
точки Е и F лежат соответственно на
AB CD с основаниями ВС vlA D диагона­
сторонах А В и ВС, М — точка пересе­
ли пересекаются в точке О. Найдите
чения прямых A F и D E , причем А Е =
периметр трапеции, если ВО = | , OD =
8
= 2ВЕ, B F = 3CF. Найдите отношение
A M :M F .
, ^ A B D = 9Q°.
1249. В круге проведены две хорды
А В и CD, пересекающиеся в точке М ;
1241.
В равнобедренном треуголь­
К — точка пересечения биссектрисы
нике ABC основание А В является диа­
угла B M D с хордой B D . Найдите от­
метром окружности, которая пересе­
резки В К и K D , если B D = 3, а площа­
кает боковые стороны АС и СВ в точ­
ди треугольников С М В и A M D отно­
ках D и Е соответственно. Найдите
сятся как 1 : 4 .
периметр треугольника ABC, если
1250. Две окружности радиусов R и
A D = 2 ,A E = 5 .
О
г касаются сторон данного угла и друг
1236. Дан равнобедренный тре­
угольник с основанием 1 2 и боковой
стороной 18. Отрезки какой длины
нужно отлож ить от вершины тре­
угольника на его боковых сторонах,
чтобы, соединив их концы, получить
трапецию с периметром, равным 40?
1237. В равнобедренной трапеции
AB C D дано: А В = CD = 3, основание
A D = 7, Z B A D равен 60°. На диагона­
ли B D расположена точка М так, что
В М : M D = 3 : 5 . Какую из сторон тра­
пеции, ВС или CD, пересекает продол­
жение отрезка A M ?
1238. На сторонах A D и DC парал­
лелограмма AjBC£) взяты соответствен­
но точки N и. М так, что A N : A D =
= 1 : 3 , D M : DC = 1 : 4 . Отрезки В М и
C N пересекаются в точке О (рис. 49).
Найдите отношение О М : ОВ.
82
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
друга. Найдите радиус третьей окруж­
ности, касающейся сторон того же у г­
ла, центр которой находится в точке
касания окружностей между собой.
1251. В равнобедренный треуголь­
ник ABC вписан квадрат так, что две
его вершины лежат на основании ВС,
а две другие — на боковых сторонах
треугольника. Сторона квадрата отно­
сится к радиусу круга, вписанного в
треугольник, как 8 : 5. Найдите углы
треугольника.
1252. В прямоугольный треуголь­
ник AB C вписан квадрат А Е К М так,
что точка К леж ит на гипотенузе, а £ и
М — на катетах. Сторона этого квад­
рата относится к радиусу круга, впи­
санного в треугольник ABC, как
(2 4- л/2 ) : 2. Найдите углы треуголь­
ника.
1253. Большее основание A D трапе­
ции AjBCD равно а, меньшее — ВС = Ь.
Диагональ АС разделена на три равные
части и через ближайшую к А точку
деления М проведена прямая, парал­
лельная основаниям. Найдите отрезок
этой прямой, заключенный между
диагоналями.
1254. На диагоналях А С и B D тра­
пеции A B C D взяты соответственно
точки М и. N так, что A M : М С =
= D N : N B = 1 : 4 . Найдите M N , если
основания A D = а, ВС = Ъ {а > Ь).
1255. Точки М VL N находятся на
сторонах А В и A D параллелограмма
AB CD , причем A M : M B = 1 : 2 ,
A N : N D = 3 : 2 . Отрезки D M и CN пе­
ресекаются в точке К . Найдите отно­
шения D K : К М и С К : K N .
1256°. На медиане A A i треугольни­
ка AB C взята точка М так, что
A M : M A i = 1 : 3. В каком отношении
прямая В М делит сторону АС?
1257°. Отрезок прямой, параллель­
ной основаниям трапеции, заключен­
ный внутри трапеции, разбивается ее
диагоналями на три части. Докажите,
что отрезки, прилегающие к боковым
сторонам, равны между собой.
1258. Точки М VIК лежат на сторо­
нах А В и ВС треугольника ABC соот­
ветственно, отрезки А К и СМ пересе­
каются в точке Р . Известно, что каж­
дый из отрезков АЙГ и С М делится точ­
кой Р в отношении 2 : 1 , считая от вер­
шин. Докажите, что А К ”и СМ — меди­
аны треугольника.
1259. На стороны ВС и CD паралле­
лограмма AjBCD (и ли на их продолже­
ния) опущены перпендикуляры A M и
A N . Докажите, что треугольник M A N
подобен треугольнику AjBC.
1260. В трапеции точка пересече­
ния диагоналей равноудалена от пря­
мых, на которых лежат боковые сторо­
ны. Докажите, что трапеция равнобед­
ренная.
1261. В равнобедренном треуголь­
нике АБС (АВ = ВС) на стороне ВС взя­
та точка D так, что B D : DC = 1 : 4. В
каком отношении прямая A D делит
высоту B E треугольника ABC, считая
от вершины В?
1262. В равнобедренной трапеции
A B C D большее основание A D = 12,
А В = 6 (рис. 50). Найдите расстояние
от точки О пересечения диагоналей до
точки К пересечения продолжений бо­
ковых сторон, если продолжения боко­
вых сторон пересекаются под прямым
углом.
К
D
Рис. 50
1263. На диагонали B D паралле­
лограмма A B C D взята точка К . Пря­
мая А К пересекает прямые ВС и CD в
точках L vl М . Докажите, что
АК^ = L K • К М .
1264. Найдите радиусы двух рав­
ных окружностей, касающихся друг
83
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
друга внешним образом, при этом одна
из них касается двух катетов прямо­
угольного треугольника, а другая —
меньшего катета и гипотенузы, если
один из острых углов теугольника
равен 30°, а противолежащий катет
равен 1 .
1265. Высота В К ромба AjBCD, опущ;енная на сторону A D , пересекает ди­
агональ А С в точке М . Найдите M D ,
если известно, что В К = 4, А К : K D =
= 1 :2 .
1266. В равнобедренном треуголь­
нике боковая сторона равна Ъ. Рас­
стояние между основаниями биссект­
рис треугольника, проведенных к бо­
ковым сторонам, равно т. Найдите ос­
нование треугольника.
1267. На стороне А В треугольника
ЛВС взята точка К , а на стороне ВС —
точки М VIN так, что А В = 4АК, С М =
= B N , M N = 2BN. Найдите отношения
А О : O N и К О : О М , где О — точка пе­
ресечения прямых A/V и К М .
1268. В треугольнике AjBC проведе­
на биссектриса B E , которую центр О
вписанной окружности делит в отно­
шении ВО : О Е = 2. Найдите сторону
А В , если АС = 1 ,В С = 8 .
1269. Биссектриса угла 7Vтреуголь­
ника M N P делит сторону М Р на отрез­
ки, равные 28 и 12. Найдите периметр
треугольника M N P , если известно,
что
- Л^Р = 18.
1270. В треугольнике AjBC со сторо­
нами AjB = 3, ВС = 4 и А С = 5 проведена
биссектриса B D. В треугольники АВ£)
и BCD вписаны окружности, которые
касаются B D в точках М и. N соответ­
ственно. Найдите M N .
1271. В трапеции A B C D с основа­
ниями A D и ВС длина боковой стороны
А В равна 2. Биссектриса угла B A D пе­
ресекает прямую ВС в точке Е . В тре­
угольник А В Е вписана окружность,
касающаяся стороны А В в точке М и
стороны B E в точке Н ; М Н = 1 . Найди­
те угол BAD.
1272. На стороне СВ треугольника
AB C взята точка М , а на стороне СА —
точка Р . Известно, что ^
= 2^^.
С/.А
С/Х5
Через точку М проведена прямая, па­
раллельная СА, а через Р — прямая,
параллельная А В . Докажите, что по­
строенные прямые пересекаются на
медиане, выходящей из вершины С.
1273. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. В каждой из этих ок­
ружностей проведены хорды АС и A D
так, что хорда одной окружности каса­
ется другой окружности. Найдите A S ,
если СВ = а, D B = Ь.
1274. Докажите, что биссектриса
треугольника делит основание на от­
резки, пропорциональные боковым
сторонам.
1275. Дан треугольник ABC. На
продолжении стороны АС за точку С
р
взята точка N так, что C N = - АС. ТочО
ка К находится на стороне AJ3, причем
А К : К В = 3 : 2 . В каком отношении
прямая K N делит сторону ВС?
1276. Дан треугольник ABC. На
продолжении стороны АС за точку С
взята точка N так, что АС = 2CN. Точ­
ка М находится на стороне ВС, причем
В М : М С = 1 : 3. В каком отношении
прямая M N делит сторону АВ?
1277. Точки и М расположены на
сторонах А В и ВС треугольника ABC,
причем В К : К А = 1 : 4 , В М : М С =
= 3 : 2 . Прямая М К пересекает пря­
мую АС в точке N . Найдите отношение
А С : CN.
1278. A A i — медиана треугольника
ABC. Точка Cj лежит на стороне АВ,
причем A C j : CjB = 1 : 2 . Отрезки A A j
и CCi пересекаются в точке М . Найди­
те отношения A M : МА^ и С М : МС^.
1279. В треугольнике ABC точка К
на стороне AJ3 и точка М на стороне АС
расположены так, что А К : К В = 3 : 2 ,
а A M : М С = 4 : 5 . Найдите отноше­
ние, в котором прямая, проходящая
через точку К параллельно стороне
ВС, делит отрезок В М .
84
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1280. В треугольнике ABC точка М
леж ит на стороне АС, а точка L на
стороне ВС расположена так, что
B L : LC = 2 : 5. Прямая, проходящая
через точку L параллельно стороне АВ,
пересекает отрезок В М в точке О, при­
чем В О : О М = 7 : 4 . Найдите отноше­
ние, в котором точка М делит сторону
АС.
1281. Точки A i и B i делят стороны
ВС и АС треугольника A B C в отноше­
ниях; B A i : A iC = 1 : р и АВ^ : BjC =
= 1 : Q. В каком отношении отрезок
АА^ делится отрезком
1282. Высота B L ромба AjBCD, опу­
щенная на сторону A D , пересекает ди­
агональ А С в точке Е . Найдите А Е , ес­
ли известно, что B L = 8 , A L : L D = 3 : 2.
1283. В треугольнике ABC биссект­
риса А Р угла А делится центром О впи­
санной окружности в отношении
А О : О Р = л/З :
в
. Найдите углы
18
если известно, что угол А равен
2
s in
и с,
5л
9 ■
1284. Дана трапеция A B CD , при­
чем ВС = а, A D = Ъ (рис. 51). Парал­
лельно основаниям трапеции ВС и A D
проведена прямая, пересекающая сто­
рону А В в точке Р , диагональ АС в точ­
ке L, диагональ BD в точке R и сторону
CD в точке Q. Известно, что P L = LR .
Найдите PQ .
шины. К окружности проведены три
касательные, параллельные каждой
из сторон треугольника. Найдите от­
резки касательных, заключенных
между сторонами треугольника.
1286. A A i и B B i — высоты остро­
угольного треугольника ABC. Дока­
жите, что:
а) треугольник АА^С подобен тре­
угольнику ВВ^С;
б) треугольник ABC подобен тре­
угольнику A jB jC .
1287. Медианы A M и B E треуголь­
ника AB C пересекаются в точке О.
Точки О, М , Е, С лежат на одной ок­
ружности. Найдите АВ , если B E =
= А М = 3.
1288. В треугольнике ABC сторона
ВС равна а, радиус вписанной окруж­
ности равен г. Определите радиусы
двух равных окружностей, касаю­
щихся друг друга, если одна из них ка­
сается сторон ВС и ВА, а другая — ВС
иСА.
1289. Около прямоугольного тре­
угольника AB C описана окружность.
Расстояния от концов гипотенузы А В
до прямой, касающейся окружности в
точке С, равны т и п соответственно.
Найдите катеты АС и ВС.
1290. Окружность радиуса 1 каса­
ется окружности радиуса 3 в точке С.
Прямая, проходящая через точку С,
пересекает окружность меньшего ра­
диуса в точке А , а большего радиуса —
в точке В. Найдите АС, если А В = 2 ^5 .
1291. И з вершины С остроугольно­
го треугольника ABC опущена высота
СН , а из точки Н опущены перпенди­
куляры Н М и H N на стороны ВС и АС
соответственно. Докажите, что тре­
угольники M N C и. ABC подобны.
1292. На стороне ВС треугольника
Рис. 51
ABC взята точка D так, что B D : АВ =
1285.
В равнобедренный треуголь­= DC : АС. Докажите, что A D — бис­
сектриса треугольника ABC.
ник вписана окружность. Точки каса­
ния делят каждую боковую сторону на
1293. Диагональ
АС
трапеции
отрезки длиной т и п , считая от вер­ AB CD делит ее на два подобных тре­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
угольника. Докажите, что АС^ = аЪ,
где а и fc — основания трапеции.
1294. (Замечательное свойство тра­
пеции.) Докажите, что точка пересече­
ния продолжений боковых сторон тра­
пеции, середины оснований и точка
пересечения диагоналей лежат на од­
ной прямой.
1295. Точки A j и
находятся на
сторонах ВС и А В треугольника ЛВС.
Отрезки
и СС^ пересекаются в точ­
ке М . В каком отношении прямая Е М
делит сторону АС, если A C i : С^В =
= 2 : 3 и ВА^ : A iC = 1 : 2 ?
1296. В треугольнике A BC на осно­
вании АС взяты точки Р и Q так, что
А Р < A Q . Прямые В Р и BQ делят меди­
ану A M на три равные части. Извест­
но, что P Q = 3. Найдите АС.
1297. Точки А , В и С лежат на одной
прямой, а точки А^,
и
— на дру­
гой. Докажите, что если АВ^ ||ВА^ и
ACi II CAi, то BCi II CBj.
1298. Точки D VI Е делят стороны
АС и А В правильного треугольника ABC
в отношениях A D : DC = B E : Е А =
= 1 : 2 . Прямые BD и СЕ пересекаются
в точке О. Докажите, что угол АОС —
прямой.
1299. Через точку, взятую внутри
произвольного треугольника, парал­
лельно его сторонам проведены отрез­
ки с концами на сторонах треугольни­
ка. Докажите, что сумма трех отноше­
ний длин этих отрезков к длинам па­
раллельных им сторон треугольника
равна 2 .
1300. Медиана В К и биссектриса
CL треугольника ABC пересекаются в
точке Р . Докажите равенство
85
1302. Точки и N расположены со­
ответственно на сторонах А В и АС тре­
угольника ABC, причем А К = В К и
A N = 2NC. В каком отношении отре­
зок K N делит медиану A M треуголь­
ника ABC?
1303. Через точку пересечения ди­
агоналей трапеции проведена прямая,
параллельная основанию и пересекаю­
щая боковые стороны в точках E vlF.
Отрезок E F равен 2. Найдите основа­
ния, если их отношение равно 4.
1304°. В трапеции A B C D с основа­
ниями A_D и ВС диагонали АС и BD пе­
ресекаются в точке Е . Вокруг тре­
угольника £С В описана окружность, а
касательная к этой окружности, про­
веденная в точке Е, пересекает пря­
мую A D в точке F таким образом, что
точки А , D vlF лежат последовательно
на этой прямой. Известно, что A F = а,
A D = Ь. Найдите E F.
1305. В четырехугольнике ABCD
диагонали АС и B D перпендикулярны
и пересекаются в точке Р . Отрезок, со­
единяющий вершину С с точкой М , яв­
ляющейся серединой отрезка A D , ра­
вен - . Расстояние от точки Р до отрез4
ка ВС равно i и А Р = 1. Найдите AD,
если известно, что вокруг четырех­
угольника AB C D можно описать ок­
ружность.
1306. Около окружности радиуса 1
описаны ромб и треугольник, две сто­
роны которого параллельны диагона­
лям ромба, а третья параллельна од­
ной из сторон ромба и равна 5. Найди­
те сторону ромба.
1307. Дан параллелограмм ABCD с
P C _ АС _
= 1.
острым углом при вершине А . На л у ­
PL
ВС
чах А В и СВ отмечены точки Н и К со­
1301.
В треугольнике ABC проведе­
ответственно так, что С Н = ВС м А К =
ны три высоты: А Н , В К и CL. Докажи­
==АВ.
те равенства:
а) Докажите, что D H = D K .
A K -B L -C H = A L -B H -C K =
б) Докажите, что треугольники
= H K -K L - LH .
D K H И.АВК подобны.
86
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1308. Прямоугольный
треуголь­
ник AB C разделен высотой CD, прове­
денной к гипотенузе, на два треуголь­
ника BCD и A C D. Радиусы окружнос­
тей, вписанных в эти треугольники,
равны 4 и 3 соответственно. Найдите
радиус окружности, вписанной в тре­
угольник ЛВС.
1309. В прямоугольном треуголь­
нике ABC к гипотенузе А В проведена
высота C D . На отрезках CD и D A взяты
точки E taF так, что СЕ : CD = A F : A D
(рис. 52). Докажите, что прямые B E и
CF перпендикулярны.
1310. Точка М , лежащая вне круга
с диаметром А В , соединена с точками
Л и В. Отрезки М А и M B пересекают
окружность в токах С и D соответ­
ственно. Площадь круга, вписанного в
треугольник А М В , в четыре раза боль­
ше, чем площадь круга, вписанного в
треугольник C M D . Найдите углы тре­
угольника А М В , если известно, что
один из них в два раза больше другого.
1311. Постройте прямую, парал­
лельную основаниям трапеции, так,
чтобы отрезок этой прямой внутри
трапеции делился диагоналями на три
равные части.
1312. Основание равнобедренного
треугольника равно 1 2 , а боковая сто­
рона равна 18. К боковым сторонам
треугольника
проведены
высоты.
Найдите длину отрезка, концы кото­
рого совпадают с основанием высот.
1313. В прямоугольной трапеции
отношение диагоналей равно 2 , а отно­
шение оснований равно 4. Найдите у г­
лы трапеции.
1314. В равнобедренном треуголь­
нике AB C точки D т Е делят боковые
стороны в отношении B D : D A =
= B E : ЕС = п. Найдите углы треуголь­
ника, если А Е перпендикулярна С£).
1315. Непараллельные
стороны
трапеции продолжены до взаимного
пересечения и через полученную точ­
ку проведена прямая, параллельная
основаниям трапеции. Найдите длину
отрезка этой прямой, ограниченного
продолжениями диагоналей, если дли­
ны оснований трапеции равны а и Ь.
1316. В точках А и В прямой, по од­
ну сторону от нее, восставлены два
перпендикуляра АА^ = а и ВВ^ = Ь.
Докажите, что точка пересечения пря­
мых
h A jB будет находиться на од­
ном и том же расстоянии от прямой А В
независимо от положения точек А и В.
1317. В треугольнике ABC высота
B D равна 6 , медиана СЕ равна 5, рас­
стояние от точки пересечения отрез­
ков B D и СЕ до стороны АС равно 1.
Найдите сторону АВ.
1318. В треугольнике ABC сторона
АС равна Ъ, сторона А В равна с, а бис­
сектриса внутреннего у гл а А пересека­
ется со стороной ВС в точке D такой,
что D A = D B . Найдите сторону ВС.
1319. Через точку Р медианы СС^
треугольника ABC проведены прямые
A A i и BB j (точки А^ и B j лежат на
сторонах ВС и СА). Докажите, что
A iB i II АВ.
1320. Основания трапеции равны а
и Ь (а > Ь). Прямые, соединяющие се­
редину большего основания с концами
меньшего основания, пересекают ди­
агонали трапеции в точках М м N .
Найдите отрезок M N .
1321. Через точку D , взятую на сторонеАВ треугольникаАВС, проведена
прямая, параллельная АС и пересе­
кающая сторону ВС в точке Е . Дока­
жите, что А £ , CD и медиана, проведен­
ная через вершину В, пересекаются в
одной точке.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1322. На основании A D трапеции
AB C D взяты точки K vlL так, что А К ”=
= L D . Отрезки АС и B L пересекаются в
точке М , отрезки К С и B D — в точке
N . Докажите, что отрезок M N парал­
лелен основаниям трапеции.
1323. (Теорема Ван-Обеля.) Точки
A i,B i,C ^ лежат соответственно на сто­
ронах ВС, АС, А В треугольника ABC,
причем отрезки АА^, B B i, СС^ пересе­
каются в точке К . Докажите, что
А К _ ABi ^ ACi
КА,
в,с с,в
1324. На стороне А В треугольника
AB C как на диаметре построена ок­
ружность, пересекающая стороны АС
и ВС в точках D м Е соответственно.
Прямая D E делит площадь треуголь­
ника AjBC пополам и образует с прямой
А В угол 15°. Найдите углы треуголь­
ника АБС.
1325. В окружности проведены
диаметр M N м. хорда А В , параллель­
ная диаметру M N . Касательная к ок­
ружности в точке М пересекает пря­
мые N A и N B соответственно в точках
Р и Q. Известно, что М Р = р , M Q = q.
Найдите M N .
1326. Биссектриса одного из ост­
рых углов прямоугольного треуголь­
ника в точке пересечения с высотой,
опущенной на гипотенузу, делится на
отрезки, отношение которых равно
1 : Л
, считая от вершины. Найдите
острые углы треугольника.
1327. Сторона А В треугольника
AjBC равна 3, ВС = 2АС, Е — точка пе­
ресечения продолжения биссектрисы
CD данного треугольника с описанной
около него окружностью, D E = 1. Най­
дите АС.
1328. Прямая, проходящая через
точку пересечения медиан треуголь­
ника ABC, пересекает стороны В А и
ВС в точках А ' и С' соответственно.
При этом ВА' < В А = 3, ВС = 2,
В А ' ■В С = 3. Найдите ВА'.
87
1329. На стороне PQ треугольника
P Q R взята точка N , а на стороне P R —
точка L , причем N Q = L R . Точка пере­
сечения отрезков QL и N R делит отре­
зок QL в отношении т : п, считая от
точки Q. Найдите отношение P N : PR.
1330. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. Через точку В прове­
дена прямая, пересекающая окруж­
ности в точках С и D, лежащих по раз­
ные стороны от прямой АВ . Касатель­
ные к этим окружностям в точках С и
D пересекаются в точке Е . Найдите
А Е , если А В = 10, АС = 16, A D = 15.
1331. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. Через точку В прове­
дена прямая, пересекающая окруж­
ности в точках С и D, лежащих по раз­
ные стороны от прямой АВ. Касатель­
ные к этим окружностям в точках С и
D пересекаются в точке Е. Найдите
АВ, если АС = 16, A D = 21, А Е = 24.
1332. В трапеции ABCD с боковыми
сторонами А Б = 9 и CD = 5 биссектриса
угла D пересекает биссектрисы углов
А и С в точках М и. N соответственно, а
биссектриса угла В пересекает те же
две биссектрисы в точках L и К , при­
чем точка К леж ит на основании А£).
а) В каком отношении прямая L N
делит сторону АБ , а прямая
— сто­
рону ВС?
б) Найдите отношение M7V ; K L , ес­
ли L M : IfTV = 3 : 7.
1333. Трапеция разделена на три
трапеции прямыми, параллельными
основаниям. Известно, что в каждую
их трех получившихся трапеций мож­
но вписать окружность. Найдите ра­
диус окружности, вписанной в сред­
нюю трапецию, если радиусы окруж­
ностей, вписанных в две оставшиеся,
равны R u r .
1334. В угол, равный 2а, вписаны
две касающиеся окружности. Найдите
отношение радиуса меньшей окруж­
ности к радиусу третьей окружности,
касающейся первых двух и одной из
сторон угла.
88
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1335. Две окружности радиусов R и
r { R > г ) касаются внешне в точке С. К
ним проведена общая внешняя каса­
тельная А В , где А и В — точки каса­
ния. Найдите стороны треугольника
АБС.
1336. В треугольник вписана ок­
ружность радиуса г. Касательные к
этой окружности, параллельные сто­
ронам треугольника, отсекают от него
три маленьких треугольника (рис. 53).
Пусть г^, Г2 , Гз — радиусы вписанных
в эти треугольники окружностей. Д о­
кажите, что г^ + Г2 + г^ = г.
ного внутри трапеции, если основания
равны а и fc.
1340. В треугольнике ЛВС точки Р
и Q лежат на стороне АС, а прямые В Р
и BQ делят медиану A/Vf на три равные
части. Известно, что В Р = BQ, А В = 9,
ВС = 1 1 . Найдите АС.
1341. В трапеции AjBCD сторона AjB
перпендикулярна основаниям A D и
ВС. Точка Е — середина стороны CD.
Найдите отношение A D : ВС, если
А Е = 2АВ н А Е перпендикулярно CD.
1342. В равнобедренном треуголь­
нике A B C (А В = В С ) на высоте B D как
на диаметре построена окружность.
Через точки А и С к окружности прове­
дены касательные A M и C N, продол­
жения которых пересекаются в точке
О. Найдите отношение А В : АС, если
О М : АС = /г и высота B D больше осно­
вания АС.
1343°. (Теорема М енелая.) Дан тре­
угольник ABC. Некоторая прямая пе­
ресекает его стороны A S , ВС и продол­
жение стороны АС в точках С^, А^,
соответственно. Докажите, что
ВА^
СВ^
В^
^
С^В
1344. На основании A D трапеции
A
B
C
D взята точка Е так, что А Е = ВС.
1337.
Около окружности описана
Отрезки
СА и СЕ пересекают диаго­
равнобедренная трапеция. Боковая
наль
B
D
в
точках О и Р соответствен­
сторона трапеции равна а, отрезок, со­
но.
Докажите,
что если ВО = P D , то
единяющий точки касания боковых
AD^ = B C ^ + A D -B C .
сторон с окружностью, равен Ь. Най­
дите диаметр окружности.
1345. Точки А , В и С лежат на одной
1338°. В выпуклом четырехуголь­
прямой, а точки А^, В^ и
таковы, что
нике AjBCD известно, что площадь тре­
A B i II B A i, AC I II CAi и ВС I ||СВ^. До­
угольника ODC (О — точка пересече­
кажите, что точкиА^, B i и C l лежат на
ния диагоналей) есть среднее пропор­
одной прямой.
циональное между площадями тре­
1346. Отрезок B E разбивает тре­
угольников в о е и A O D . Докажите,
угольник ABC на два подобных тре­
что A B C D — трапеция или паралле­
угольника, причем коэффициент по­
лограмм.
1339.
Через точку пересечения ди­добия равен л/З . Найдите углы тре­
агоналей трапеции проведена прямая,
угольника ABC.
параллельная основаниям. Найдите
1347. Биссектриса внешнего у гл а А
длину отрезка этой прямой, заключен­
треугольника AB C пересекает продол­
89
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
жение стороны ВС в точке М . Докажи­
те, что В М : М С ^ А В : АС.
1348. Дана
трапеция
ABCD
{ВС IIA D ). Точки Р , М , Q , N — середи­
ны сторон А В , ВС, CD и D A соответ­
ственно. Докажите, что отрезки AQ,
P D и M N пересекаются в одной точке.
1349. Точки A j, B i, Cl лежат соот­
ветственно на сторонах ВС, АС, АВ
треугольника A B C , причем отрезки
A A i, B B i, CCi пересекаются в точке К .
KAj
АА,
,
Докажите, что -r-r^ +
АК
АА,
ВВ,
KBi
BBi
,
KCj
сс,
,
= 1и
^
^ 2
СС,
1356. Из двух точек прямой прове­
дены по две касательные к окружнос­
ти. В образованные углы с вершинами
в этих точках вписаны окружности
равного радиуса. Докажите, что их ли­
ния центров параллельна данной пря­
мой.
1357. Три окружности
S 2 и S3
попарно касаются друг друга в трех
различных точках (рис. 54). Докажи­
те, что прямые, соединяющие точку
касания окружностей
и S 2 с двумя
другими точками касания, пересека­
ют окружность S 3 в точках, являю­
щихся концами ее диаметра.
1350. Даны отрезки а, Ь, с, d и е. С
помощью циркуля и линейки построй­
те отрезок, равный
.
ае
1351. На сторонах AjB, ВС и АС тре­
угольника A B C взяты соответственно
точки М , N и К так, что A M : M B =
= 2 : 3 , А К : К С = 2 : 1 ,B N : N C = 1 : 2.
В каком отношении прямая М К делит
отрезок A N ?
1352. На сторонах А В , ВС и АС тре­
угольника A B C взяты соответственно
Т О Ч К М .К , L u M так, чтоАК ” : К В = 2 : 3 ,
B L : LC = 1 : 2, С М : М А = 3 : 1. В ка­
ком отношении отрезок K L делит от­
резок В М 7
1353. В треугольнике A jBC биссект­
риса
и медиана A D перпендикуляр­
ны и равны 4. Найдите стороны тре­
угольника ABC.
1354. На окружности даны точки
А , В и С, причем точка В более удалена
от прямой I, касающейся окружности
в точке А , чем С. Прямая АС пересека­
ет прямую, проведенную через точку В
параллельно I, в точке D . Докажите,
что А В 2 = А С -AD.
1355. В треугольнике AB C проведе­
на высота А Н , а из вершин В и С опу­
щены перпендикуляры ВВ^ и СС^ на
прямую, проходящую через точку А.
Докажите, что треугольник НВ^С^
подобен треугольнику ABC.
1358. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = с, АС = 6 (Ь > с), A_D — бис­
сектриса. Через точку D проведена
прямая, перпендикулярная A-D и пере­
секающая АС в точке Е . Найдите АЕ.
1359. Продолжение медианы тре­
угольника ABC, проведенной из вер­
шины А , пересекает описанную около
треугольника A B C окружность в точ­
ке D. Найдите ВС, если АС = DC = 1.
1360. Продолжения высот A M и CN
остроугольного треугольника ABC пе­
ресекают описанную около него ок­
ружность в точках Р и Q. Найдите ра­
диус описанной окружности, если
АС = а, PQ = 6а
5 ■
90
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1361. Периметр треугольника AjBC
равен 8 . В треугольник вписана ок­
ружность и к ней проведена касатель­
ная, параллельная стороне А В . Отре­
зок этой касательной, заключенный
между сторонами А С и СВ, равен 1.
Найдите сторону АБ .
1362. Точки М VL N принадлежат
боковым сторонам А В и А С равнобед­
ренного треугольника ABC, причем
M N параллельно ВС, а в трапецию
B M N C можно вписать окружность.
Ее радиус равен R, а радиус окружнос­
ти, вписанной в треугольник A/VfTV, ра­
вен г. Найдите:
а) основание ВС;
б) расстояние от точки А до бли­
жайшей точки касания;
в) расстояние между хордами ок­
ружностей, соединяющими точки ка­
сания с боковыми сторонами трапеции
BMNC.
1363. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке А.
Найдите радиусы окружностей, если
хорды, соединяющие точку А с точка­
ми касания с одной из общих внешних
касательных, равны 6 и 8 .
1364. На боковых сторонах P Q и. S T
равнобедренной трапеции P Q S T вы­
браны соответственно точки М м. N
так, что отрезок M N параллелен осно­
ваниям трапеции. Известно, что в
каждую из трапеций P M N T и M Q S N
можно вписать окружность. Найдите
основания исходной трапеции, если
PQ = с, M N = d ( c > 2d).
1365. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника AjBCD, вписанного в ок­
ружность, пересекаются в точке Е . И з­
вестно, что диагональ B D является
биссектрисой угла AB C и что отрезок
B D равен 25, а отрезок CD равен 15.
Найдите В £ .
1366. В треугольнике A B C отрезок
M N с концами на отрезках АС и ВС па­
раллелен основанию А В и касается
вписанной окружности. Предполагая,
что углы А и В известны и равны соот­
ветственно 2 а и 2 Р, найдите коэффи­
циент подобия треугольников ABC и
MNC.
1367. Из вершины тупого угла А
треугольника A B C опущена высота
A D . И з точки D радиусом, равным A_D,
описана окружность, пересекающая
стороны треугольника А В и АС в точ­
ках М VL N соответственно. Найдите
АС, если известно, что А В = с, A M = т
vlA N = п.
1368. Около окружности описана
равнобедренная трапеция ABCD. Бо­
ковая сторона А В касается окружнос­
ти в точке М , а основание A_D — в точ­
ке N . Отрезки M N и АС пересекаются
в точке Р так, что N P : Р М = 2. Найди­
те отношение A-D : ВС.
1369. Две окружности радиусов 5 и
3 внутренне касаются. Хорда большей
окружности касается меньшей окруж­
ности и делится точкой касания в от­
ношении 3 : 1 . Найдите эту хорду.
1370. Две окружности радиусов Jb
и 42 пересекаются в точке А . Расстоя­
ние между центрами окружностей
равно 3. Через точку А проведена пря­
мая, пересекающая окружности в точ­
ках В и С так, что А В = АС (точка В не
совпадает с С). Найдите АВ.
1371. Около треугольника ABC
описана окружность. Диаметр A D пе­
ресекает сторону ВС в точке Е , при
этом А Е = АС = B E : СЕ = т. Найдите
отношение D E к А Е .
1372. Равнобедренный
треуголь­
ник ABC (АВ = ВС) вписан в окруж­
ность. Диаметр А£) пересекает сторону
ВС в точке Е , при этом D E : ЕА = к.
Найдите СЕ : ВС.
1373. Окружность радиуса 4 вписа­
на в равнобедренную трапецию, длина
меньшего основания которой равно 4.
Найдите расстояние между точками, в
которых окружность касается боко­
вых сторон трапеции.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1374. Во вписанном четырехуголь­
нике A B C D известны отношения
A B : D C = l : 2 v i B D - . A C = 2 : Z . Най­
дите D A : ВС.
1375. В треугольнике ABC точка О
является центром описанной окруж­
ность. Через вершину В проведена
прямая, перпендикулярная А О , пере­
секающая прямую АС в точке К , а че­
рез вершину С проведена прямая, так­
же перпендикулярная АО , пересекаю­
щая А В в точке М . Найдите ВС, если
В К = а ,С М = Ь.
1376. Биссектриса угла С треуголь­
ника ABC делит сторону А В на отрез­
ки, равные а и Ь (а > Ь). Касательная к
описанной окружности треугольника
ABC, проходящая через точку С, пере­
секает прямую А В в точке D . Найдите
CD.
1377. Треугольник AB C не имеет
тупых углов. На стороне А С этого тре­
угольника взята точка D так, что A D =
О
= - АС. Найдите угол ВАС, если из4
вестно, что прямая B D разбивает тре­
угольник A B C на два подобных тре­
угольника.
1378. (Теорема Чевы.) Пусть точки
A j, B i и C l принадлежат соответствен­
но сторонам ВС, А С и А В треугольника
ABC. Докажите, что отрезкиАА^, ВВ^,
CCi пересекаются в одной точке тогда
и только тогда, когда
ABi
CAi
BCi _
1379. Каждая сторона выпуклого
четырехугольника поделена на три
равные части. Соответствующие точ­
ки деления на противоположных сто­
ронах соединены отрезками. Докажи­
те, что эти отрезки делят друг друга на
три равные части.
1380. Дан треугольник со сторона­
ми, равными а, Ь и с. Прямая, парал­
лельная стороне, равной а, касается
вписанной окружности треугольника
91
и пересекает две другие стороны в точ­
ках М и N . Найдите M N .
1381. В треугольник с периметром,
равным 20, вписана окружность. От­
резок касательной, проведенный к ок­
ружности параллельно основанию, за­
ключенный между сторонами тре­
угольника, равен 2,4. Найдите основа­
ние треугольника.
1382. В трапеции A B C D известно,
что ВС II А В , Z. ABC = 90°. Прямая,
перпендикулярная стороне CD, пере­
секает сторону А_В в точке М , а сторону
CD — в точке N . Известно также, что
М С = а, B N = fc, а расстояние от точки
D до прямой М С равно с. Найдите рас­
стояние от точки А до прямой B N .
1383. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. Через точку В прове­
дена прямая, пересекающая окруж­
ности в точках C vlD , лежащ их по раз­
ные стороны от прямой А_В. Касатель­
ные к этим окружностям в точках С и
D пересекаются в точке Е. Найдите
А Е , если А В = 10, АС = 16, А£> = 15.
1384. Из точки М , лежащей вне ок­
ружности, проведены к этой окруж­
ности две касательные. Расстояния от
точки С, лежащей на окружности, до
касательных равны а и Ь. Найдите рас­
стояние от точки С до прямой А В , где
А и В — точки касания.
1385. Дана окружность с диа­
метром А_В. Вторая окружность с цент­
ром в точке А пересекает первую в точ­
ках С и £), а диаметр А В — в точке Е
(рис. 55). На дуге СЕ, не содержащей
точ к и £), взята т о ч к а м , отличная от
92
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точек С и £ . Л уч В М пересекает пер­
вую окружность в точке N . Известно,
что C N = а, D N = Ъ. Найдите M N .
1386. Дана прямоугольная трапе­
ция. Известно, что некоторая прямая,
параллельная основаниям, рассекает
ее на две трапеции, в каждую из кото­
рых можно вписать окружность. Най­
дите основания исходной трапеции,
если ее боковые стороны равны e n d
(с < d).
1387. В треугольник ABC помеще­
ны три равных окружности, каждая
из которых касается двух сторон тре­
угольника. Все три окружности имеют
одну общую точку. Найдите радиусы
этих окружностей, если радиусы впи­
санной и описанной окружностей тре­
угольника ABC равны Д и г.
1388. Дана прямоугольная трапе­
ция, основания которой равны а и &
(а < Ь). Известно, что некоторая пря­
мая, параллельная основаниям, рассе­
кает ее на две трапеции, в каждую из
которых можно вписать окружность.
Найдите радиусы этих окружностей.
1389. В остроугольном треугольни­
ке ABC сторона А В меньше стороны
АС, D — точка пересечения прямой
D B , перпендикулярной к А В , и пря­
мой £>С, перпендикулярной к АС. Пря­
мая, проходящая через точку В пер­
пендикулярно AD , пересекает АС в точ­
ке М . Известно, что A M = т, М С = п.
Найдите АВ.
1390. Высота прямоугольного тре­
угольника, опущенная на гипотенузу,
делит этот треугольник на два тре­
угольника. Расстояние между центра­
ми вписанных окружностей этих тре­
угольников равно 1. Найдите радиус
вписанной окружности исходного тре­
угольника.
1391. В остроугольном треугольни­
ке ABC на высоте A D взята точка М , а
на высоте В Р — точка N так, что углы
В М С и A N C — прямые. Расстояние
между точками М и N равно А + 2 J z ,
угол M C N равен 30°. Найдите биссект­
рису CL треугольника C M N .
1392. Через произвольную точку Р
стороны АС треугольника ABC парал­
лельно его медианам AisT и CL проведе­
ны прямые, пересекающие стороны
ВС VIА В в точках E v iF соответственно.
Докажите, что мeдиaныAJ^: и CL делят
отрезок E F на три равные части.
1393. (Теорема Карно.) Некоторая
прямая пересекает стороны A jA 2 ,
А 2 А 3 , ..., А ^ 1 (или их продолжения)
многоугольника А^Аг.-^А^ в точках
M l, М 2 ,
соответственно. Докажите, что
...
=
1
.
1394. Через точку О проведены две
прямые, касающиеся окружности в
точках М и N . На окружности взята
точка К (точки O v iK — по разные сто­
роны от прямой M N ). Расстояния от
точки К до прямых о м и M N равны
соответственноp n q . Найдите расстоя­
ние от точки k до прямой ON.
1395. В угол с вершиной А , равный
60°, вписана окружность с центром О.
К этой окружности проведена каса­
тельная, пересекающая стороны угла
в точках ВтлС. Отрезок ВС пересекает­
ся с отрезком А О в точке М . Найдите
радиус окружности, вписанной в тре­
угольник ABC, если A M : М О = 2 ; 3 и
ВС =^7.
1396. Окружности S i и S 2 касаются
окружности S внутренним образом в
точках А п В , причем одна из точек пе­
ресечения окружностей S j и S 2 лежит
на отрезке АВ . Докажите, что сумма
радиусов окружностей S j и Sg равна
радиусу окружности S. Верно ли об­
ратное?
1397. Пятиугольник A B C D E впи­
сан в окружность. Расстояния от точ­
ки А до прямых ВС, DC и D E равны со­
ответственно а, Ь, с. Найдите расстоя­
ние от вершины А до прямой BE.
1398. Дана окружность с диа­
метром K L . Вторая окружность с цент­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ром в точке К пересекает первую ок­
ружность в точках М и N , а диаметр
K L — в точке А . На дуге A/V, не содер­
жащей точки М , взята точка В, отлич­
ная от точек А и N . Л уч L B пересекает
первую окружность в точке С. Извест­
но, что C N = а, С М = Ь. Найдите ВС.
1399. Дана окружность с диа­
метром ВС. Вторая окружность с цент­
ром в точке С пересекает первую ок­
ружность в точках D и Е , а диаметр
ВС — в точке F , F K — диаметр второй
окружности. На дуге Е К , не содержа­
щей точки D , взята точка L , отличная
от точек Е и К . Отрезок B L пересекает
первую окружность в точке М . Извест­
но, что M L = т, Е М = п. Найдите D M .
1400. Верно ли утверждение: «Е с­
ли две стороны и три угла одного тре­
угольника равны двум сторонам и
трем углам другого треугольника, то
такие треугольники равны»?
1401. В треугольник вписана ок­
ружность. Точки касания соединены с
противоположными вершинами тре­
угольника. Докажите, что полученные
отрезки пересекаются в одной точке.
1402. В равнобедренной трапеции
AB C D (AD II ВС) расстояние от верши­
ны А до прямой CD равно длине боко­
вой стороны. Найдите углы трапеции,
если А В ; ВС = 5.
1403. В треугольнике ABC проведе­
ны В К — медиана, B E — биссектриса,
A D — высота. Найдите сторону АС, ес­
ли известно, что прямые В К и B E де­
лят отрезок A D на три равные части и
А В = 4.
1404. Прямая, соединяющая точку
Р пересечения диагоналей четырех­
угольника A B C D с точкой Q пересече­
ния прямых А В и CD, делит сторону
A D пополам. Докажите, что она делит
пополам и сторону ВС.
1405. На высотах ВВ^ и СС^ тре­
угольника A B C взяты точки
и Cg
так, что Z. А В 2 С = Z. АС^В = 90°. Дока­
жите,
4
T0 A S 2 = А С 2 .
93
1406. На сторонах остроугольного
треугольника A S C взяты точки А^,
C l так, что отрезки A A j, ВВ^, СС^ пере­
секаются в точке Н . Докажите, что
А Н ■А^Н = В Н ■В^Н = С Н ■C iH тогда
и только тогда, когда Н — точка пере­
сечения высот треугольника ASC.
1407. В треугольнике А_ВС проведе­
ны высоты A A j, ВВ^ и СС^, B^viC^ —
середины высот ВВ^ и СС^. Докажите,
что треугольник А 1 В 2 С2 подобен тре­
угольнику A B C .
1408. Через центр окружности,
описанной около треугольника АБЛ^'С,
проведены прямые, перпендикуляр­
ные сторонам АС и ВС. Эти прямые пе­
ресекают высоту СН треугольника
или ее продолжение в точках Р и Q.
Известно, что СР = р, CQ = q. Найдите
радиус окружности, описанной около
треугольника ABC.
1409. Радиус окружности, описан­
ной около треугольника K L M , равен
R. Через вершину L проведена пря­
мая, перпендикулярная стороне К М .
Эту прямую пересекают в точках А и В
серединные перпендикуляры к сторо­
нам K L и L M . Известно, что A L = а.
Найдите B L.
1410. Около окружности описана
трапеция ABCD, боковая сторона А В
перпендикулярна основаниям, М —
точка пересечения диагоналей трапе­
ции. Площадь треугольника СМ£) рав­
на S. Найдите радиус окружности.
1411. В треугольнике ASC, все сто­
роны которого различны, биссектриса
угла ВАС пересекает сторону ВС в
точке D . Известно, что А В - B D = а,
А С -НCD = Ь. Найдите А£).
1412. На стороне А В параллело­
грамма A B C D расположена точка К ,
на продолжении стороны CD за точку
D — точка L . Прямые K D и B L пересе­
каются в точке N , а прямые L A и СК —
в точке М . Докажите, что отрезок M N
параллелен стороне A_D.
94
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1413. (Теорема Птолемея.) Докажи­
те, что если четырехугольник вписан в
окружность, то сумма произведений
длин двух пар его противоположных
сторон равна произведению длин его
диагоналей.
1414. В полукруг помещены две ок­
ружности диаметрами d т D (d < D )
так, что каждая окружность касается
дуги и диаметра полукруга, а также
другой окружности (рис. 56). Через
A B CD взаимно перпендикулярны и
пересекаются в точке М . Известно, что
A M = 3, В М = 4 и С М = 6 . Найдите CD.
1419. Через точку М проведены две
прямые. Одна из них касается некото­
рой окружности в точке А , а вторая пе­
ресекает эту окружность в точках В и
С, причем ВС = 7 и В М = 9. Найдите
AM.
1420. Из внешней точки проведены
к окружности секущая длиной 1 2 и ка­
сательная, длина которой составляет
р
- внутреннего отрезка секущей. Най3
Р и с . 56
центры окружностей проведена пря­
мая, пересекающая продолжение диа­
метра полукруга в точке М . Из точки
М проведена касательная к дуге полу­
круга (N — точка касания). Найдите
MN.
8
. П РО П О Р Ц И О Н А Л ЬН Ы Е
ОТРЕЗКИ В К Р У Г Е
1415. (Теорема о касательной и се­
кущ ей.) Из одной точки проведены ка­
сательная и секущая к некоторой ок­
ружности. Докажите, что произведе­
ние всей секущей на ее внешнюю часть
равно квадрату длины отрезка каса­
тельной.
1416. Докажите, что произведения
отрезков пересекающихся хорд ок­
ружности равны между собой.
1417. Касательная и секущая, про­
веденные из одной точки к одной ок­
ружности, взаимно перпендикуляр­
ны. Касательная равна 12, а внутрен­
няя часть секущей равна 10. Найдите
радиус окружности.
1418. Диагонали А С и B D вписан­
ного в окружность четырехугольника
дите длину касательной.
1421. На одной стороне прямого у г­
ла с вершиной в точке О взяты две точ­
ки А и В, причем ОА - а, ОВ = Ь. Най­
дите радиус окружности, проходящей
через точки А и В и касающейся дру­
гой стороны угла.
1422. Из точки А проведены два л у ­
ча, пересекающие данную окруж­
ность: один — в точках В и С,
другой — в точках D л Е . Известно,
что А В = 7, ВС = 7, A D = 10. Найдите
DE.
1423. Из точки А проведены два л у ­
ча, пересекающие данную окруж­
ность: один — в точках В и С,
другой — в точках D и £ . Известно,
что А В = 7, B D = 7, СЕ = 10. Найдите
АЕ.
1424. Дана точка Р , удаленная на
расстояние, равное 7, от центра ок­
ружности, радиус которой равен 1 1 .
Через точку Р проведена хорда, рав­
ная 18. Каковы длины отрезков, на ко­
торые делится хорда точкой Р?
1425. Во вписанном четырехуголь­
нике ABCD, диагонали которого пере­
секаются в точке К , известно, что
А В = о, В К = Ь, А К = с, CD = d. Найди­
те AC.
1426. Гипотенуза А В прямоуголь­
ного треугольника А_ВС равна 2 и явля­
ется хордой некоторой окружности.
Катет А С равен 1 и лежит внутри ок­
ружности, а его продолжение пересе­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
кает окружность в точке D , причем
CD = 3. Найдите радиус окружности.
1427. Докажите, что прямая, про­
ходящая через точки пересечения
двух окружностей, делит пополам об­
щую касательную к ним.
1428. В квадрат АВС£) со стороной а
вписана окружность, которая касает­
ся стороны CD в точке Е . Найдите ве­
личину хорды, соединяющей точки, в
которых окружность пересекается с
прямой А Е .
1429. В прямоугольном треуголь­
нике AB C угол А — прямой, катет АВ
равен а, радиус вписанной окружнос­
ти равен г. Вписанная окружность ка­
сается катета А С в точке D. Найдите
хорду, соединяющую точки пересече­
ния окружности с прямой BD.
1430. Точка М внутри окружности
делит хорду этой окружности на отрез­
ки, равные а и fc. Через точку М прове­
дена хорда АВ , делящаяся точкой М
пополам. Найдите АВ .
1431. Пересекающиеся хорды ок­
ружности делятся точкой пересечения
в одном и том же отношении. Докажи­
те, что эти хорды равны между собой.
1432. Через точку А , находящуюся
внутри окружности на расстоянии,
равном 7 от ее центра, проведена пря­
мая, пересекающая окружность в точ­
ках В и С. Найдите радиус окружнос­
ти, если известно, что А В = 3, ВС = 5.
1433. Через точку А , находящуюся
внутри окружности на расстоянии,
равном 7 от ее центра, проведена пря­
мая, пересекающая окружность в точ­
ках В и С. Найдите радиус окружнос­
ти, если известно, что А В = 3, ВС = 5.
1434. Из точки А , лежащей вне ок­
ружности, проведены к окружности
касательная и секущая. Расстояние от
точки А до точки касания равно 16, а
расстояние от точки А до одной из то­
чек пересечения секущей с окружно­
стью равно 32. Найдите радиус окруж­
ности, если секущая удалена от ее
центра на 5.
95
1435. А В — диаметр окружности,
ВС и CDA — касательная и секущая.
Найдите отношение CD : D A , если ВС
равно радиусу.
1436. На прямой расположены точ­
ки А , В , С VI D , причем А В = ВС = CD
(рис. 57). Отрезки АВ , ВС и С£> служат
диаметрами окружностей. Из точки А
к окружности с диаметром CD прове­
дена касательная I. Найдите отноше­
ние хорд, высекаемых на прямой I ок­
ружностями с диаметрами А В и ВС.
1437. Из точки М , расположенной
вне окружности на расстоянии
от
центра, проведены касательная М А
(А — точка касания) и секущая, внут­
ренняя часть которой вдвое меньше
внешней и равна радиусу окружности.
Найдите радиус окружности.
1438. Хорды А В и CD пересекаются
в точке Р . Известно, что А В = CD = 12,
А Р С = 60° и АС = 2BD. Найдите сто­
роны треугольника B P D .
1439. Радиусы двух концентриче­
ских окружностей относятся, как
1 : 2 . Хорда большей окружности де­
лится меньшей окружностью на три
равные части. Найдите отношение
этой хорды к диаметру большей ок­
ружности.
1440. Точка М леж ит внутри ок­
ружности радиуса R и удалена от цент­
ра на расстояние d. Докажите, что для
любой хорды А В этой окружности,
проходящей через точку М , произве­
дение A M •В М одно и то же. Чему оно
равно?
1441. Через точку К , находящуюся
вне окружности радиуса 4, проведена
96
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
прямая, пересекающая окружность в
точках L и М . Найдите расстояние от
точки К до центра окружности, если
известно, что K L = 4, К М = 5.
1442. Каждая из сторон А В и ВС
равнобедренного треугольника АБС
разделена на три равные части, и через
четыре точки деления на этих сторо­
нах проведена окружность, высекаю­
щая на основании А С хорду D E . Най­
дите отношение площадей треуголь­
ников A B C и B D E , если А В = ВС = 3 и
АС = 4.
1443. Около треугольника ABC, в
котором ВС = а, Z. В = а, А С =
опи­
сана окружность. Биссектриса угла А
пересекает эту окружность в точке К .
Найдите
1444. На катете ВС прямоугольно­
го треугольника A BC как на диаметре
построена окружность, пересекающая
гипотенузу, если известно, что катет
ВС равен 10.
1445. Окружность касается сторо­
ны ВС треугольника ABC в ее середи­
не, проходит через точку А , а отрезки
А В и АС пересекает в точках D ^ E со­
ответственно. Найдите угол ВАС, если
известно, что ВС = 12, А В = 3,5 и
ЕС =
Л
1446. Дан треугольник AB C. Ок­
ружность радиуса R касается стороны
АС в точке М и стороны ВС в точке Р.
Сторона А В пересекает эту окруж­
ность в точках К и Е (точка Е лежит на
отрезке В К ). Найдите B E , зная, что
ВС = а ,С М = Ь < а , А К М Е = а.
1447. В угол вписаны две окруж­
ности; у них есть общая внутренняя
касательная Т ^Т 2 {Т^ и Т 2 — точки ка­
сания), которая пересекает стороны
угла в точках А^ и А 2 . Докажите, что
= А 2 Т 2 (или, что эквивалентно,
А ^Т 2 = A 2 T j).
1448. В угол вписаны две окруж­
ности; одна из них касается сторон у г­
ла в точках
К 2 , а другая — в точ­
ках L j и L 2 - Докажите, что прямая
K^L 2 высекает на этих двух окружнос­
тях равные хорды.
1449. Окружность, проходящая че­
рез точку D и касающаяся сторон А В и
ВС равнобедренной трапеции ABCD,
пересекает стороны A D и CD соответ­
ственно в точках М и N . Известно, что
A M : D M = 1 : 3 , C N : D N = 4 ::3 . Най­
дите основание ВС, если А В = 7 и
AD = 6 .
1450. В параллелограмме K L M N
сторона K L равна 8 . Окружность, ка­
сающаяся сторон N K и N M , проходит
через точку L и пересекает стороны K L
и M L в точках С и Z) соответственно.
Известно, что К С : LC = 4 : 5 и
L D : M D = 8 : 1 . Найдите сторону
1451. В окружности с центром О
проведены хорды А В и CD, пересекаю­
щиеся в точке М , причем A M = 4,
M B = 1, C M = 2. Найдите угол ОМ С.
1452. Каждая из двух равных пере­
секающихся хорд окружности делит­
ся точкой пересечения на две отрезка.
Докажите, что отрезки первой хорды
соответственно равны отрезкам вто­
рой.
1453. Докажите, что если точка пе­
ресечения высот остроугольного тре­
угольника делит высоты в одном и том
же отношении, то треугольник пра­
вильный.
1454. На отрезке АС взята точка В.
На А В и АС как на диаметрах постро­
ены окружности. К отрезку АС в точке
В проведен перпендикуляр B D до пе­
ресечения с большей окружностью в
точке D. Из точки С проведена каса­
тельная СК к меньшей окружности.
Докажите, что СВ = СК.
1455. Даны две окружности, пере­
секающиеся в точках А и D ; А В и CD —
касательные к первой и второй окруж­
ностям (В и С — точки на окружнос­
тях). Докажите, что —
BD
=
АВ^
.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1456. Сторона квадрата A B C D рав­
на 1 и является хордой некоторой ок­
ружности, причем остальные стороны
квадрата лежат вне этой окружности.
Касательная СК, проведенная из верши­
ны С к этой же окружности, равна 2.
Найдите диаметр окружности.
1457. СторонаАВ правильного шес­
тиугольника A B C D E F равна JZ и яв­
ляется хордой некоторой окружности,
причем остальные стороны шести­
угольника лежат вне этой окружнос­
ти. Длина касательной С М , проведен­
ной к той же окружности из вершины
С (соседней с вершиной В ), равна 3.
Найдите диаметр окружности.
1458. Сторона А В треугольника
ABC является хордой некоторой ок­
ружности. Стороны АС и ВС лежат
внутри окружности, продолжение сто­
роны АС пересекает окружность в точ­
ке D , а продолжение стороны ВС — в
точке Е , причем А В = А С = CD = 2,
СЕ = л/2 . Найдите радиус окружности.
1459. В прямоугольном треуголь­
нике ABC с катетами А В = 3 и ВС = 4
через середины сторон А В и А С прове­
дена окружность, касающаяся катета
ВС. Найдите длину отрезка гипотену­
зы АС, который лежит внутри этой ок­
ружности.
1460. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = л/14 и Б С = 2. Окружность
проведена через точку В, через середи­
ну D отрезка ВС, через точку Е на от­
резке А В и касается стороны АС. Най­
дите отношение, в котором эта окруж­
ность делит отрезок А В , если D E —
диаметр этой окружности.
1461. Дан ромб со стороной а и ост­
рым углом а. Найдите радиус окруж­
ности, проходящей через две соседние
вершины ромба, и касающейся проти­
воположной стороны ромба или ее
продолжения.
1462. В равнобедренном треуголь­
нике AB C угол В — прямой, а А В =
= ВС = 2. Окружность касается обоих
4 С борник задач по геометрии
97
катетов в их серединах и высекает на
гипотенузе хорду
(рис. 58). Найди­
те площадь треугольника B DE.
1463. В окружности проведены три
попарно
пересекающиеся
хорды.
Каждая хорда разделена точками пе­
ресечения на три равные части. Най­
дите радиус окружности, если одна из
хорд равна а.
1464. В треугольнике ABC угол при
вершине А равен 60°. Через точки Б, С
и точку D , лежащ ую на стороне АВ,
проведена окружность, пересекающая
сторону АС в точке Е . Найдите А Е , ес­
ли A D = 3, B D = 1 и Е С = 4. Найдите
радиус окружности.
1465. Точка М находится на про­
должении хорды АВ . Докажите, что
если точка С окружности такова, что
МС^ = М А ■M B , то М С — касательная
к окружности.
1466. Окружность делит каждую
из сторон треугольника на три равные
части. Докажите, что этот треуголь­
ник — правильный.
1467. Касательная,
проведенная
через вершину С вписанного в окруж­
ность треугольника ABC, пересекает
продолжение стороны А В за вершину
В в точке D. Известно, что радиус ок­
ружности равен 2, АС = J l2 и Z CDA +
+ Z.A C B = 2Z. ВАС. Найдите секущую
AD .
1468. Окружность касается сторон
А В и ВС треугольника AB C соответ­
ственно в точках D VIЕ. Найдите высо­
ту треугольника ABC, опущенную из
98
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точки А , если А В = 5, АС = 2, а точки
A , D , E , C лежат на одной окружности.
1469. Из точки А проведены секу­
щая и касательная радиуса R. Пусть
В — точка касания, а D тл С — точки
пересечения секущей с окружностью,
причем точка D лежит между А и С.
Известно, что B D — биссектриса угла
В треугольника AB C и B D = R. Найди­
те расстояние от точки А до центра ок­
ружности.
1470. В равнобедренном треуголь­
нике ABC {АВ = А С ) проведены бис­
сектрисы A D , B E , CF. Найдите ВС, ес­
ли известно, что АС = 1, а вершина А
леж ит на окружности, проходящей
через точки D , Е , F.
1471. Отрезок K L является диа­
метром некоторой окружности. Через
его концы К и L проведены две пря­
мые, пересекающие окружность соот­
ветственно в точках Р и Q, леж ащ их по
одну сторону от прямой K L . Найдите
радиус окружности, если Z P K L = 60°
и точка пересечения прямых К Р и QL
удалена от точек Р и Q на расстояние 1.
1472. Окружность радиуса г вписа­
на в угол величины а. Другая окруж­
ность радиуса R касается одной сторо­
ны угла в той же точке, что и первая,
пересекая вторую сторону угла в точ­
ках А и В. Найдите АВ.
1473. В окружность вписан тре­
угольник. Вторая окружность, кон­
центрическая с первой, касается од­
ной стороны треугольника и делит
каждую из двух других сторон на три
равные части. Найдите отношение ра­
диусов этих окружностей.
1474. Окружность, диаметр кото­
рой равен /До , проходит через сосед­
ние вершины А W. В прямоугольника
ABCD. Длина касательной, проведен­
ной из точки С к окружности, равна 3,
А В = 1. Найдите все возможные значе­
ния, которые может принимать длина
стороны ВС.
1475. Окружность проходит через
соседние вершины М к N прямоуголь­
ника
Длина касательной, про­
веденной из точки Q к окружности,
равна 1, PQ = 2. Найдите все возмож­
ные значения, которые может прини­
мать
площадь
прямоугольника
M N P Q , если диаметр окружности ра­
вен V s .
1476. Одна из двух прямых, прохо­
дящих через точку М , касается ок­
ружности в точке С, а вторая пересека­
ет эту окружность в точках А и В, при­
чем А — середина отрезка В М . Извест­
но, 4 t o M C = 2 h Z В М С = 4:5°. Найдите
радиус окружности.
1477. Точка М лежит вне окруж­
ности радиуса R и удалена от центра на
расстояние d. Докажите, что для лю ­
бой прямой, проходящей через точку
М и пересекающей окружность в точ­
ках А и D , произведение М А ■M B одно
и то же. Чему оно равно?
1478. В окружности радиуса R про­
ведены хорда А В и диаметр АС. Хорда
PQ , перпендикулярная диаметру АС,
пересекает хорду А В в точке М . Из­
вестно, что А В = а, Р М : M Q = 3. Най­
дите A M .
1479. В окружности радиуса J l9
проведены хорды АВ, CD, E F . Хорды
А В и CD пересекаются в точке К , хор­
ды CD и E F пересекаются в точке L , а
хорды А В и E F пересекаются в точке
М , причем A M = В К , СК = D L , L F = 3,
M L = 2. Найдите величину угла СКВ,
если известно, что он тупой.
1480. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке А.
И х общая касательная касается пер­
вой окружности в точке В, а второй —
в точке С. Прямая, проходящая через
точки А и В, пересекает вторую окруж­
ность в точке D . Известно, что А В = 5,
A D = 4. Найдите CD.
1481. В окружности радиуса R про­
ведены диаметр ВС и хорда B D. Хорда
99
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
PQ , перпендикулярная диаметру ВС,
пересекает хорду B D в точке М . И з­
вестно, что B D = а, Р М : M Q = 1 : 3 .
Найдите В М .
1482. Постройте окружность, про­
ходящую через две данные точки и ка­
сающуюся данной прямой.
1483. Точки
и В^ принадлежат
этой стороне, равна 3 (рис. 59). Найдите
длину общей хорды двух окружностей,
каждая из которых проходит через точ­
ку А и касается ВС, причем одна каса­
ется ВС в точке В, а вторая — в точке С.
соответственно сторонам ОА и ОВ угла
АО В (не равного 180°) и ОА ■ ОА^ =
= ОВ • ОВ^. Докажите, что точки А , В,
A ^ ,B i принадлежат одной окружности.
1484. На окружности взяты две ди­
аметрально противоположные точки
А и С, а точка В расположена вне ок­
ружности. Отрезок А В пересекается с
окружностью в точке Р , отрезок СВ —
в точке Q. Известно, что Z A B C = 45° и
отрезки А В и А С относятся как 1 : /Уз .
Найдите отношение отрезков СР и AQ.
1485. Две окружности внутренне
касаются. Прямая, проходящая через
центр большей окружности, пересека­
ет ее в точках А и £), а меньшую
окружность — в точках В и С. Найдите
отношение радиусов окружностей, ес­
ли А В : БС : С£» = 3 : 7 : 2 .
1486. В прямоугольном треуголь­
нике ABC угол С — прямой, А С : А В =
= 4 : 5 . Окружность с центром на ка­
тете А С касается гипотенузы А В и
пересекает катет ВС в точке Р так,
что В Р : P C = 2 : 3 . Найдите отно­
шение радиуса окруж ности к кате­
ту ВС.
1487. В треугольнике AB C извест­
но, 4 T o Z A = 1 2 0 ° , A C = l , B C = V 7 .H a
продолжении стороны СА взята точка
М так, что В М является высотой тре­
угольника ABC. Найдите радиус ок­
ружности, проходящей через точки А
и М и касающейся в точке М окруж­
ности, проходящей через точки М , В
и С.
1488. В треугольнике ABC сторона
ВС равна 4, а медиана, проведенная к
1489. Хорды А В и CD окружности
пересекаются в точке М , причем A M =
= АС. Докажите, что продолжения вы­
сот A A i и D D i треугольников С А М и
B D M пересекаются на окружности.
1490. На дуге ВС окружности, опи­
санной около равностороннего тре­
угольника ABC, взята точка Р . Отрез­
ки А Р и ВС пересекаются в точке Q.
Докажите, что ^
= ^
+ ^
.
1491. Окружность касается сторон
А В u A D прямоугольника АВС£) и про­
ходит через вершину С. Сторону DC
она пересекает в точке N . Найдите
площадь трапеции А_ВЛ^"£), если АВ = 9
uAD = 8 .
1492. Окружность и прямая каса­
ются в точке М . Из точек А и В этой ок­
ружности опущены перпендикуляры
на прямую, равные а и Ь соответствен­
но. Найдите расстояние от точки М до
прямой А_В.
1493. Дан равнобедренный тре­
угольник ABC с основанием АС. Ок­
ружность радиуса R с центром в точке
О проходит через точки А и В и пере­
секает прямую ВС в точке М , отлич­
ной от В и С. Найдите расстояние от
100
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
точки о до центра окружности, опи­
санной около треугольника AC M .
1494. Четырехугольник ABCD впи­
сан в окружность. Диагональ АС явля­
ется биссектрисой угла B A D и пересе­
кается с диагональю B D в точке К .
Найдите К С, если ВС = 4, а А К = 6 .
1495. В трапеции A B C D боковая
сторона А В перпендикулярна основа­
нию ВС. Окружность проходит через
точки с и £) и касается прямой А В в
точке Е . Найдите расстояние от точки
Е до прямой CD, если A D = 4, ВС = 3.
1496. Окружность, проведенная че­
рез вершины А , В и D прямоугольной
трапецииАБС£) ( А А = А В = 90°) пере­
секает продолжение основания ВС и
продолжение боковой стороны CD в
точках М и N соответственно, причем
С М : СВ = C N : CD = 1 : 2 . Найдите от­
ношение диагоналей B D и А С трапе­
ции.
1497. В трапеции A B C D основание
А В = а, основание CD = Ъ {а < Ъ). Ок­
ружность, проходящая через верши­
ны А , Б и С, касается стороныА_0. Най­
дите диагональ АС.
1498. На прямой расположены точ­
ки А , B , C h D , следующие друг за дру­
гом в указанном порядке. Известно,
что ВС = 3, А В = 2CD. Через точки А и
С проведена некоторая окружность, а
через точки B u D — другая. Их общая
хорда пересекает отрезок ВС в точке
К . Найдите В К .
1499. В треугольнике ABC проведе­
на биссектриса А Р . Известно, что
В Р = 1 6 , P C = 20 и что центр окруж­
ности, описанной около треугольника
А В Р , леж ит на отрезке АС. Найдите
сторону А_В.
1500. Две окружности пересекают­
ся в точках Aw. В. Из точки А к этим
окружностям проведены касательные
A M и A N (М и N — точки окружнос­
тей). Докажите, что:
а) Z. A B N + Z. M A N = 180°;
б)
вм
глп/г\^
(АМ\^
BN
.A N ) ■
1501. Радиусы окружностей
и
S 2 , касающихся в точке А, равны Д и г
(R > г). Найдите длину касательной,
проведенной к окружности S 2 из точ­
ки В окружности S j, если известно,
что А_В = а. (Разберите случаи внутрен­
него и внешнего касания.)
1502. Касательные к описанной во­
круг треугольника AB C окружности,
проведенные в точках А и В , пересека­
ются в точке Р . Докажите, что прямая
P C пересекает сторону А В в точке К ,
делящей ее в отношении АС^ ; ВС^.
1503. Даны угол с вершиной О и ок­
ружность, касающаяся его сторон в
точках А и В. Из точки А параллельно
ОВ проведен луч, пересекающий ок­
ружность в точке С. ОС пересекает ок­
ружность в точке Е. Прямые А Е и ОВ
пересекаются в точке К . Докажите,
что О К = К В .
1504. Две окружности радиусов 5 и
4 касаются внешне. Прямая, касаю­
щаяся меньшей окружности в точке А,
пересекает большую в точках Б и С
так, что A S = ВС. Найдите АС.
1505. Окружность, вписанная в
треугольник ABC, делит медиану В М
на три равные части. Найдите отноше­
ние ВС :С А : АВ.
1506. В трапеции AB CD основание
A D вдвое больше основания ВС, угол А
равен 45°, угол D равен 60°. На диаго­
налях трапеции как на диаметрах по­
строены окружности, пересекающие­
ся в точках М и N . Хорда M N пересе­
кает основание AZ) в точке Е . Найдите
отношение А Е : E D .
1507. Окружность с центром, рас­
положенным внутри прямого угла, ка­
сается одной стороны угла, пересекает
другую сторону в точках А и В и пере­
секает биссектрису угла в точках С и
D. Хорда А_В равна Jb , хорда CD равна
/У? . Найдите радиус окружности.
1508. В треугольнике ABC угол В
равен 45°, угол С равен 30°. На медиа­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
101
ностей, описанных около треугольни­
нах В М и C N как на диаметрах постро­
ков А Б М и А В М .
ены окружности, пересекающиеся в
1514. Докажите, что квадрат бис­
точках Р и Q . Хорда PQ пересекает сто­
сектрисы
треугольника равен произ­
рону БС в точке D . Найдите отношение
ведению
сторон,
ее заключающих, без
B D : DC.
произведения
отрезков
третьей сторо­
1509°. На плоскости даны три по­
ны,
на
которые
она
разделена
биссект­
парно пересекающиеся окружности,
рисой.
центры которых не лежат на одной
1515. На продолжении стороны А£>
прямой. Докажите, что три общие хор­
ромба A B C D за точку D взята точка К .
ды каждой пары этих окружностей пе­
Прямые АС и Б^Г пересекаются в точке
ресекаются в одной точке.
1510.
Окружность S i касается сто­Q. Известно, что А К = 14 и что точки
A , B n Q лежат на окружности радиуса
рон угла АБС в точках А и С. Окруж­
6 , центр которой принадлежит отрез­
ность ^ 2 касается прямойЛС в точке С,
ку АК". Найдите В К .
проходит через точку В и пересекает
1516. Дан ромб K L M N . На продол­
окружность
в точке М (рис. 60). До­
жении стороны K N за точку N взята
кажите, что прямая A/W делит отрезок
точка Р так, что К Р = 40. Прямые К М
ВС пополам.
и L P пересекаются в точке О. Точки К ,
L и О лежат на окружности радиуса 15
с центром на отрезке К Р . Найдите
КМ.
1517. Две окружности пересекают­
ся в точках А и Б. Хорда CD первой ок­
ружности имеет с хордой E F второй
окружности общую точку М . Отрезок
А В в три раза больше отрезка С М , ко­
торый, в свою очередь, в два раза мень­
ше отрезка M D и в шесть раз меньше
отрезка M F . Какие значения может
принимать длина отрезка A M , если из­
вестно, что В М = 2, а отрезок А Б в де­
1511.
Прямая ОА касается окруж­
вять раз больше отрезка Е М ?
ности в точке А , а хорда БС параллель­
1518. В ромбе A B C D угол B A D —
на ОА. Прямые ОВ и ОС вторично пе­
острый. Окружность, вписанная в этот
ресекают окружность в точках К и L.
ромб, касается сторон А В и CD в точ­
Докажите, что прямая K L делит отре­
ках M n N соответственно и пересекает
зок ОА пополам.
отрезок С М в точке Р , а отрезок B N —
1512°. На продолжении хорды K L
в точке Q. Найдите B Q : QN, если
окружности с центром О взята точка
С Р : Р М = 9 : 16.
А , и из нее проведены касательные А Р
1519. На боковых сторонах трапе­
h AQ; М — середина отрезкаPQ. Дока­
ции как на диаметрах построены ок­
жите, что Z М К О = Z M L O .
ружности. Докажите, что отрезки ка­
1513°. В параллелограмме A B CD
сательных, проведенных из точки пе­
диагональ А С больше диагонали BD.
ресечения диагоналей трапеции к
Точка М на диагонали АС такова, что
этим окружностям, равны между со­
бой.
около четырехугольника B C D M мож­
но описать окружность. Докажите,
1520. Две окружности радиусов г и
R {г < К ) внешним образом касаются
что B D — общая касательная окруж­
102
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
друг друга. Прямая касается этих ок­
ружностей в точках М и iV. В точках А
и В окружности касаются внешним об­
разом третьей окружности. Прямые
А В и M N пересекаются в точке С. Из
точки С проведена касательная к
третьей окружности {D — точка каса­
ния). Найдите CD.
1521. Прямая, проходящая через
центры вписанной и описанной ок­
ружностей треугольника, перпенди­
кулярна одной из его биссектрис. И з­
вестно, что отношение расстояния
между центрами вписанной и описан­
ной окружностей к радиусу описанной
окружности равно Л. Найдите углы
треугольника.
1522. В треугольнике P Q R точка
А — центр вписанной окружности, а
точка В — центр окружности, описан­
ной около треугольника PQ R . Прямая
А В перпендикулярна биссектрисе QA
треугольника PQ R . Известно, что
Z.A B Q = р. Найдите углы треугольни­
ка PQ R.
1523. Пусть R — радиус описанной
окружности треугольника A B C,
—
радиус вневписанной окружности это­
го треугольника, касающейся сторо­
ны ВС. Докажите, что квадрат рас­
стояния между центрами этих окруж­
ностей равен R^ + 2 Rr^.
9. М ЕТРИ ЧЕСКИ Е
СООТНОШ ЕНИЯ
В Т Р Е У ГО Л Ь Н И К Е
1524. (Обобщенная теорема сину­
сов.) Докажите, что отношение сторо­
ны треугольника к синусу противоле­
жащего угла равно диаметру окруж­
ности, описанной около треугольника.
1525. Докажите, что сумма квадра­
тов диагоналей параллелограмма рав­
на сумме квадратов всех его сторон.
1526. Сторона треугольника равна
2 1 , а две другие стороны образуют угол
в 60° и относятся, как 3 : 8 . Найдите
эти стороны.
1527. В треугольнике основание
равно 1 2 ; один из углов при нем равен
1 2 0 °; сторона против этого угла равна
28. Найдите третью сторону.
1528. В равнобедренном прямо­
угольном треугольнике ABC на про­
должении гипотенузы АВ за точку В
отложен отрезок B D , равный БС. Най­
дите стороны треугольника ADC, если
катет ВС = а.
1529. В прямоугольном треуголь­
нике ABC катет АС = 15 и катет ВС =
= 20. На гипотенузе АВ отложен отре­
зок AD , равный 4. Найдите CD.
1530. На сторонах углаАВС, равно­
го 120°, отложены отрезки
= ВС = 4.
Проведите окружность через точки А ,
Б, С и найдите ее радиус.
1531. У го л при вершине D трапе­
ции A B C D с основаниями A D и ВС ра­
вен 60°. Найдите диагонали трапеции,
если A D = 10, ВС = 3 и CD = 4.
1532. В треугольнике боковая сто­
рона равна 16 и образует с основанием
угол в 60°; другая боковая сторона рав­
на 14. Найдите основание.
1533. Гипотенуза АВ прямоуголь­
ного треугольника А 5 С равна 9, катет
ВС = 3. На гипотенузе взята точка М ,
причем A/Vf : M B = 1 : 2 . Найдите СМ .
1534. Дан равносторонний тре­
угольник со стороной, равной а. Най­
дите отрезок, соединяющий вершину
треугольника с точкой, делящей про­
тивоположную сторону в отношении
2 ; 1.
1535. Стороны
параллелограмма
равны 2 и 4, а угол между ними равен
60° (рис. 61). Через вершину этого уг­
ла проведены прямые, проходящие че-
Р и с . 61
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
рез середины двух других сторон па­
раллелограмма. Найдите косинус угла
между этими прямыми.
1536. Диагональ параллелограмма
делит его угол на части в 30° и 45°.
Найдите отношение сторон паралле­
лограмма.
1537. Определите вид треугольни­
ка (относительно его углов), если даны
три стороны или их отношения:
1 )2 , 3, 4; 2) 3,4, 5; 3) 4, 5, 6 ;
4 )1 0 ,1 5 ,1 8 ; 5 )6 8 ,1 1 9 ,1 7 0 .
1538. Сторона треугольника равна
2
j l , а две другие стороны образуют
угол в 30° и относятся, как 1 : 2 ^ 3 .
Найдите эти стороны.
1539. Одна из сторон параллело­
грамма равна 1 0 , а диагонали равны
20 и 24. Найдите косинус острого угла
между диагоналями.
1540. Одна из сторон треугольника
равна 6 , вторая сторона равна 2 л/7, а
противолежащий ей угол равен 60°.
Найдите третью сторону треугольника.
1541. В треугольнике A B C дана
точка D на стороне А В . Найдите CD,
если известно, что ВС = 37, АС = 1 5 ,
АВ = и , А О = Ы .
1542. В треугольнике ABC извест­
но, что А С = 13, А В = 14, ВС = 15. На
стороне ВС взята точка М так, что
С М -.M B = 1 : 2 . Найдите УЩ-.
1543. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника со сто­
ронами 5 и 8 и углом между ними, рав­
ным 60°.
1544. В прямоугольном треуголь­
нике AB C /-С = 90°. На продолжении
гипотенузы А В отложен отрезок B D,
равный катету ВС, и точка D соедине­
на с С. Найдите CD, если ВС = 7 и
АС = 24.
1545. В прямоугольном треуголь­
нике даны катеты а и Ь. Найдите рас­
стояние от вершины прямого угла до
ближайшей к ней точки вписанной ок­
ружности.
103
1546. Хорда окружности равна 10.
Через один конец хорды проведена ка­
сательная к окружности, а через дру­
гой — секущая, параллельная каса­
тельной. Найдите радиус окружности,
если внутренний отрезок секущей ра­
вен 1 2 .
1547. В четырехугольнике ABCD
известны углы : Z D AB = 90°, Z BDC =
= 90°. Кроме того, D B = а, DC = Ъ. Най­
дите расстояние между центрами двух
окружностей, одна из которых прохо­
дит через точки D ,A ,B ,a другая — че­
рез точки В, С, D.
1548. Трапеция K L M N с основа­
ниями L M и K N вписана в окруж­
ность, центр которой лежит на основа­
нии K N . Диагональ L N трапеции рав­
на 4, а угол M N K равен 60°. Найдите
основание L M трапеции.
1549. На боковой стороне ВС равно­
бедренного треугольника А 5 С как на
диаметре построена окружность, пере­
секающая основание этого треуголь­
ника в точке D . Найдите расстояние от
вершины А до центра окружности, ес­
ли A D = -Уз , а угол А 5 С равен 120°.
1550. В ромбе
точки M n N —
середины сторон ВС и CD соответ­
ственно. Найдите угол M A N , если
Z B A D = 60°.
1551. В квадрате A B C D точка М —
середина ВС, а О — точка пересечения
D M и АС. Найдите величину угла
М О С.
■1552. В выпуклом четырехуголь­
нике M N L Q углы при вершинах N и
L — прямые, а угол при вершине М рап
вен arctg - . Найдите диагональ NQ,
О
если известно, что сторона LQ вдвое
меньше стороны M N и на 2 больше сто­
роны L N .
1553. Найдите косинусы углов тра­
пеции с основаниями, равными 3 и 7,
и боковыми сторонами, равными 2 и 5.
1554. В треугольнике даны два угла
а и Р и радиус R описанной окружное-
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
104
ка ABC за вершину А взята точка D ,
ти. Найдите высоту, опущенную из
причем A D = 2АВ (рис. 62). Известно,
вершины третьего угла треугольника.
1555.
Стороны треугольника равнычто Z ВАС = 120°. Докажите, что тре­
угольник ВВС — равнобедренный.
а, Ь, с. Докажите, что медиана т,
проведенная к стороне с, равна
D
1 72с2+2Ь2_с2.
1556. В треугольнике две стороны
равны 11 и 23, а медиана, проведенная
к третьей, равна 10. Найдите третью
сторону.
1557. Докажите
справедливость
следующих формул для площади
треугольника: S =
2 sin а
. s =
= 2Д2 sin а sin |3sin у, где а, |3, у — уг­
лы треугольника, а — сторона, леж а­
щая против угла о., R — радиус опи­
санного круга.
1558. В ромбе A B C D угол при вер­
шине А равен 60°. Точка N делит сто­
рону А В в отношении A N : B N = 2 : 1 .
Найдите тангенс угла D N C .
1559. Можно ли около четырехугольникаА5С£) описать окружность,
если Z.A D C = 30°, А В = 3, БС = 4,
АС = 6 ?
1560. Прямая, пересекающая осно­
вание равнобедренного треугольника
и проходящая через противополож­
ную вершину, делит этот треугольник
на два. Докажите, что радиусы окруж­
ностей, описанных около этих тре­
угольников, равны.
1561. Найдите периметр четырехугольникаЛБСХ), в котором А В = CD =
= а ,А В А 1 ) = А В С В = а < Ж , В С ^ А О .
1562. Докажите, что если стороны
а, Ь и противолежащие им углы а и |3
треугольника связаны соотношения­
ми —
cos а
^
cos (3
, то треугольник равно-
бедренный.
1563. В треугольнике ABC высота
B D равна 11,2, а высота А Е равна 12.
Точка Е лежит на стороне ВС и
B E : ЕС = 5 : 9 . Найдите сторону АС.
1564. На продолжении боковой сто­
роны
равнобедренного треугольни­
Р и с . 62
1565. Точки М п N лежат соответ­
ственно на сторонах A D и ВС ромба
A B CD , причем D M : A M = B N : N C =
= 2 : 1 . Найдите M N , если известно,
что сторона ромба равна а, а Л BAD =
= 60°.
1566. Диагональ параллелограмма,
равная Ь, перпендикулярна стороне
параллелограмма, равной а. Найдите
вторую диагональ параллелограмма.
1567. В треугольнике ABC извест­
но, что ZLА = а, Z С = Р, А В = а; A D —
биссектриса. Найдите BD.
1568. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника со сто­
ронами, равными а, а и Ь.
1569. Дан треугольникАБС, в кото­
ром АС = 72 , БС = 1, А ABC = 45°.
Найдите угол ВАС.
1570. Найдите площадь треуголь­
ника А 5 С , если известно, что А В = а,
А А = а , А В = ^.
1571. В прямоугольном треуголь­
нике гипотенуза равна с, а острый угол
равен а. Найдите биссектрису прямого
угла.
1572. Две стороны треугольника
равны 2 V 2 и 3, площадь треугольника
равна 3. Найдите третью сторону.
1573. Стороны треугольника равны
11, 13 и 12. Найдите медиану, прове­
денную к большей стороне.
105
ПЛАНИМЕТРИЯ
1574. Около
четырехугольника
A B C D можно описать окружность.
Кроме того, А В = 3, ВС = 4, CD = 5 и
A D = 2. Найдите АС.
1575. Дан угол, равный а, с верши­
ной в точке Л . Расстояние между осно­
ваниями перпендикуляров, опущен­
ных из некоторой точки В на стороны
угла, равно о. Найдите А В .
1576. В треугольнике А 5 С на сторо­
не АС как на диаметре описана окруж­
ность, которая пересекает сторону
в точке М , а сторону ВС — в точке N .
Известно, ч ю А С = 2, А В = 3 ,A N = 1,8.
Найдите косинус угла ВАС.
1577. Диаметр А В окружности про­
долж или за точку Б и на продолжении
отметили точку С. Из точки С провели
секущую под углом к АС в 7°, пересе­
кающую окружность в точках D и R,
считая от точки С. Известно, что DC =
= 3, а угол DAC равен 30°. Найдите
диаметр окружности.
1578. В окружности диаметра 4
проведены диаметр А В и хорда CD, пе­
ресекающиеся в точке Е . Известно,
что углы AB C и ВСЕ равны соответ­
ственно 60° и 8 °. Найдите СЕ.
1579. В выпуклом четырехуголь­
нике отрезки, соединяющие середины
противоположных сторон, равны со­
ответственно а и Ь и пересекаются под
углЬм 60°. Найдите диагонали четы­
рехугольника.
1580. В выпуклом четырехуголь­
нике A B C i) точки Е , F , Н , G являются
соответственно серединами отрезков
А В , ВС, CD, A D ; О — точка пересече­
ния отрезков Е Н и FG. Известно, что
Е Н = a ,F G = b ,A F O H = 60°. Найдите
диагонали четы рехугольникаАВС!).
1581. В прямоугольной трапеции
A B C D углы А ж D прямые, сторона А В
параллельна стороне CD', длины сто­
рон равны; А В = 1, CD = 4, A D = 5. На
стороне A D взята точка М так, что
угол C M D вдвое больше угла В М А . В
каком отношении точка М делит сто­
рону A_D?
1582. В треугольнике ABC меди­
аны, проведенные к сторонам АС и БС,
пересекаются под прямым углом. Сто­
рона АС равна Ъ, сторона ВС равна а.
Найдите сторону АВ.
1583. Найдите гипотенузу прямо­
угольного треугольника с острым уг­
лом, равным 30°, если известно, что
биссектриса, проведенная из вершины
прямого угла, равна а.
1584. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника со сто­
ронами, равными 13, 14, 15.
1585. Прямая, проходящая через
точки G n K , делит пополам угол FGH ,
K F ± G F, К Н J_ G H , K F = К Н = 8 ,
G K = 1 7 . Отрезок GL содержит точку-F
и F L = 2. Отрезок G M содержит точку
Я и Н М = 19. Найдите L M .
1586. В остроугольном треугольни­
ке ABC известно, что ВС = с, АС = Ь,
А А С В = а. Найдите высоту CD и угол
ABC.
1587. В равнобедренном треуголь­
нике основание и боковая сторона рав­
ны соответственно 5 и 20. Найдите
биссектрису угла при основании тре­
угольника.
1588. В треугольник с боковыми
сторонами 9 и 15 вписан параллело­
грамм так, что одна из его сторон, рав­
ная 6 , лежит на основании треуголь­
ника, а диагонали параллелограмма
параллельны боковым сторонам тре­
угольника (рис. 63). Найдите другую
сторону параллелограмма и основание
треугольника.
Р и с . 63
1589.
В треугольник вписан парал­
лелограмм со сторонами 3 и 5 и диаго­
налью, равной 6 . Найдите стороны
треугольника, если известно, что ди­
агонали параллелограмма параллель­
106
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ны боковым сторонам треугольника, а
меньшая из его сторон лежит на осно­
вании треугольника.
1590. В треугольнике известны од­
на сторона а и два прилежащих к ней
угла (3 и у. Найдите биссектрису
третьего угла.
1591. Основание равнобедренного
треугольника равно а, угол при вер­
шине равен а. Найдите биссектрису,
проведенную к боковой стороне.
1592. Дан параллелограмм, в кото­
ром острый угол равен 60°. Найдите
отношение сторон параллелограмма,
если отношение квадратов диагоналей
равно i .
3
1593. В треугольнике ЛВС на сторо­
нах АВ, БС и A D взяты соответственно
точки К , L n М . Известно, что АК" = 5,
КВ =
= 2, LC ^ 7 , С М = 1, М А =
= 6 . Найдите расстояние от точки М до
середины K L .
1594. В параллелограмме АВС£) из­
вестны длины диагоналей АС = 15,
B D = 9. Радиус окружности, описан­
ной около треугольника ADC, равен 10.
Найдите радиус окружности, описан­
ной около треугольника АБ£).
1595. Основания равнобедренной
трапеции относятся как 5 : 12, а ее вы­
сота равна 17. Найдите радиус окруж­
ности, описанной около трапеции, ес­
ли известно, что ее средняя линия рав­
на высоте.
1596. Окружность касается двух
параллельных прямых Z и m в точках
А и В соответственно; CD — диаметр
окружности, параллельный этим пря­
мым. Прямая ВС пересекает прямую I
в точке Е , а прямая E D — прямую т в
точке F . Найдите углы треугольника
BRF.
1597. В треугольнике АБС извест­
ны стороны; ВС = АС = 12, А В = 6 ;
AD — биссектриса. Найдите радиус R
окружности, описанной около тре­
угольника ABC. Выясните, что боль­
ше: R или 6,5.
1598. Медианы A M и C N треугольникаАВС пересекаются в точке О. Из­
вестно, что Z- ВАС = а, Z ВСА = Р, АС =
= Ь. Найдите расстояние от точки О до
прямой ЛС.
1599. В треугольнике ABC со сторо­
ной А В = Vs из вершины В к стороне
А С проведены медиана В М = 2^2 и
высота В Н = 2. Найдите сторону ВС,
если известно, что Z_ABC + Z. АСВ < 90°.
1600. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = А С , высота A f f равна 9, а
диаметр описанной окружности равен
25. Найдите радиус вписанной окруж­
ности.
1601. В треугольнике ABC длина
А В = 4, длина ВС равна 5. Из вершины
В проведен отрезок В М (М на АС),
причем Z А В М = 45° и Z М ВС = 30°.
а) В каком отношении точка М де­
лит сторону АС?
б) Найдите отрезки А М и МС.
1602. Отношение длин двух пересе­
кающихся окружностей равно JZ . Об­
щая хорда этих окружностей стягива­
ет в меньшей из них дугу в 120°. Най­
дите стягиваемую этой хордой дугу
большей окружности.
1603. Окружность радиуса R с
центром в точке О проходит через вер­
шины А и В треугольника ABC, пересе­
кает отрезок ВС в точке М и касается
прямой АС в точке А . Найдите СМ,
зная, что Z АСО = а, Z М А В = р.
1604. В параллелограмме A B CD с
углом А , равным 60°, проведена бис­
сектриса угла В, пересекающая сторо­
ну CD в точке Е. В треугольник ЕСВ
вписана окружность радиуса R. Дру­
гая окружность вписана в трапецию
A B E D . Найдите расстояние между
центрами этих окружностей.
1605. В треугольник ABC вписана
окружность, которая касается сторон
АВ , ВС , АС соответственно в точках
М , D , N . Известно, что N A = 2, N C = 3,
Z ВСА = 60°. Найдите M D .
107
ПЛАНИМЕТРИЯ
1606. На стороне А В треугольника
ABC во внешнюю сторону построен
равносторонний треугольник. Найди­
те расстояние между его центром и
вершиной С, если
= с и Z С = 120°.
1607. В треугольнике АБ С заданы:
ВС = а, Z Л = а, ZL Б = р. Найдите ради­
ус окружности, касающейся стороны
АС в точке А и касающейся стороны
ВС.
1608. В треугольнике ABC к сторо­
не АС проведены высота
и медиана
M B , причем A/W = В М . Найдите коси­
нус угла К В М , если
= 1, ВС = 2.
1609. В параллелограмме PQ R S
биссектриса угла при вершине Р , рав­
ного 80°, пересекает сторону RS в точ­
ке L . Найдите радиус окружности, ка­
сающейся отрезка PQ и лучей QR и P L ,
если известно, что P Q = 7.
1610. Дана равнобедренная трапе­
ция AB CD . Известно, что A D = 10,
ВС = 2 ,А В = CD = 5. Биссектриса угла
B AD пересекает продолжение основа­
ния ВС в точке К . Найдите биссектри­
су утлаАВК в треугольнике
1611. Б треугольнике ABC сторона
ВС = 5. Окружность проходит через
вершины Б и С и пересекает сторону
А С в точке К так, что С К = 3, К А = 1.
Известно, что косинус углаА С Б равен
^ . Найдите отношение радиуса данной окружности к радиусу окружнос­
ти, вписанной в треугольник А В К .
1612. В ромбе A B C D со стороной
(1
V s ) и острым углом BAD, равным
60°, расположена окружность, вписан­
ная в треугольник A B D (рис. 64). Из
точки С к окружности проведена каса­
тельная, пересекающая сторону А В в
точке Е . Найдите А Е .
1613. Окружность проходит через
вершины Л и С треугольника ABC, пе­
ресекая сторону А Б в точке Е и сторону
ВС в точке F . У го л АЕ С в 5 раз больше
угла BAF, а угол АБ С равен 72°. Най­
дите радиус окружности, если АС = 6 .
1614. Точка О лежит на отрезке АВ
так, что АО = 13, ОБ = 7. С центром в
точке О проведена окружность ради­
уса 5. Из А и Б к ней проведены каса­
тельные, пересекающиеся в точке М ,
причем точки касания лежат по одну
сторону от прямой А Б . Найдите ради­
ус окружности, описанной вокруг тре­
угольника А М Б .
1615. Окружность проходит через
вершины А и С треугольника АБС, пе­
ресекает сторону А Б в точке D и сторо­
ну ВС в точке £ . Найдите угол CDB, есл и A D = 5, АС = 2^7 , Б £ = 4 ,Б £ »: С£ =
= 3:2.
1616. Из одной точки окружности
проведены две хорды длинами 9 и 17.
Найдите радиус окружности, если рас­
стояние между серединами данных
хорд равно 5.
1617. Из одной точки окружности
проведены две хорды длинами 1 0 и 1 2 .
Найдите радиус окружности, если рас­
стояние от середины меньшей хорды
до большей хорды равно 4.
1618. В четырехугольнике ABCD
известно, что Z .A B D = A A C D = 45°,
ZL ВАС = 30°, БС = 1. Найдите AD.
1619. Б треугольнике АБС угол А
равен 60°, А Б = 1, БС = а. Найдите АС.
1620. Б треугольнике АБС дано:
Z САБ = 75°, Z АБС = 45°. На стороне
СА берется точка К так, что СК : АВ =
= 3. На стороне СВ берется точка М .
Найдите К М :А В , если известно, что
Q
ЭТО отношение меньше - и что прямая
4
М К отсекает от треугольника АБС тре­
угольник, ему подобный.
108
1621. В
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
окружности
проведены
хорды ЛБ иБ С , причем А В =
, ВС =
= Зл/З, А A B C = 60°. Найдите длину
той хорды окружности, которая делит
угол АБС пополам.
1622. Медианы
прямоугольного
треугольника, проведенные к кате­
там, относятся, как J2 : 1. Найдите
углы треугольника.
1623. Стороны треугольника равны
11, 13 и 12. Найдите медиану, прове­
денную к большей стороне.
1624. В треугольнике две стороны
равны 11 и 23, а медиана, проведенная
к третьей, равна 10. Найдите третью
сторону.
1625. Окружность, вписанная в тре­
угольник ABC, касается стороны А 5 в
точке М , при этом A M = 1, В М = 4.
Найдите С М , если известно, что
/1 БАС = 1 20 °.
1626. Основания трапеции равны 1
и 6 , а диагонали — 3 и 5. Под каким уг­
лом видны основания из точки пересе­
чения диагоналей?
1627. Дан треугольник ABC, в кото­
ром Z А = а, Z. Б = р. На стороне А В
взята точка Z), а на стороне АС — точка
М , причем CD — биссектриса тре­
угольника ABC, D M II ВС и A M = а.
Найдите СМ.
1628. У глы треугольника равны а,
Р и Y, а периметр равен Р . Найдите сто­
роны треугольника.
1629. Одна из боковых сторон тра­
пеции образует с большим основанием
угол, равный а, а вторая равна а и об­
разует с меньшим основанием угол,
равный Р (Р > а). Найдите среднюю л и ­
нию трапеции, если меньшее основа­
ние равно Ъ.
1630. В окружность радиуса R впи­
сан равнобедренный треугольник ABC
(АВ = В С) с углом БАС, равным а. Най­
дите радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC.
1631. Трапеция A B C D {ВС II A D )
вписана в окружность. Известно, что
ВС = о, AD = b,Z. CAD = а. Найдите ра­
диус окружности.
1632. Касательная к окружности
(К — точка касания) параллельна хор­
де L M . Известно, что L M = 6 , К М = 5.
Найдите радиус окружности.
1633. Найдите биссектрису A D тре­
угольника АБС со сторонами ВС = 18,
АС = 15, А Б = 12.
1634. В треугольнике ABC угол
ВАС равен 60°, высота, опущенная из
вершины С на сторону АБ , равна J s , а
радиус окружности, описанной около
треугольника АБС, равен 5. Найдите
стороны треугольникаАБС.
1635. В параллелограмме ABCD
высота, проведенная из вершины В ту­
пого угла на сторону DA, делит ее в от­
ношении 5 : 3 , считая от вершины D.
Найдите отношение А С ; B D , если
А0:АБ=2.
1636. Докажите, что отношение сум­
мы квадратов медиан треугольника к
О
сумме квадратов его сторон равно - .
1637. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны а и Ь. Найдите бис­
сектрису прямого угла этого треуголь­
ника.
1638. Докажите, что для произ­
вольного треугольника выполняется
равенство г
“
2
C O
2
а
S -
, где г — ра­
диус вписанной окружности, а, Р и у —
углы треугольника АБС, а = ВС.
1639.
В треугольнике АБС прове­
дены высота В М , биссектриса B N и
медиана B L (рис. 65). Известно, что
В
109
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
A M = M N = N L . Найдите тангенс
угла Л этого треугольника.
1640. Через точку L окружности
проведены касательная и хорда L M ,
равная 5. Хорда M N параллельна ка­
сательной и равна 6 . Найдите радиус
окружности.
1641. В окружность вписаны две
равнобедренные трапеции с соответ­
ственно параллельными сторонами.
Докажите, что диагональ одной из них
равна диагонали другой трапеции.
1642. Отрезки А В и CD — диа­
метры одной окружности. Из точки М
этой окружности опущены перпенди­
куляры М Р и M Q на прямые А В и CD.
Докажите, что длина отрезкаPQ не за­
висит от положения точки М .
1643. Через вершины А п В тре­
угольника А 5 С проходит окружность
радиуса г, пересекающая сторону ВС в
точке D . Найдите радиус окружности,
проходящей через точки Л , D u С, если
А В = с и А С = Ь.
1644. В прямоугольный треуголь­
ник A S C с углом А , равным 30°, вписа­
на окружность радиуса R. Вторая ок­
ружность, лежащая вне треугольни­
ка, касается стороны ВС и продолже­
ний двух других сторон. Найдите рас­
стояние между центрами этих окруж­
ностей.
1645°. Найдите радиус окружнос­
ти, которая высекает на обеих сторо­
нах угла, равного а, хорды длины а,
если известно, что расстояние между
ближайшими концами этих хорд рав­
но Ь.
1646. В окружности проведены две
хорды А В = а и АС = Ь. Длина дуги АС
вдвое больше длины дуги АВ . Найдите
радиус окружности.
1647. Правильный
треугольник
A B C со стороной, равной 3, вписан в
окружность. Точка Z) лежит на окруж­
ности, причем хорда A D равна л/З.
Найдите хорды B D и CD.
1648. В равнобедренном треуголь­
нике основание равно 24, а боковая
сторона равна 15. Найдите радиусы
вписанной и описанной окружнос­
тей.
1649. Дан
прямоугольный
тре­
угольник ABC с прямым углом при
вершине С. У го л САВ равен а. Бис­
сектриса угла ABC пересекает катет
АС в точке К . На стороне ВС как на
диаметре построена окружность, кото­
рая пересекает гипотенузу А В в точке
М . Найдите угол А М К .
1650. В окружности радиуса Д = 4
проведены хорда А В и диаметр AiC, об­
разующий с хордой угол ^ . В точке В
О
проведена касательная к окружности,
пересекающая продолжение диаметра
А К в точке С. Найдите медиану A M
треугольника ABC.
1651. В треугольник ABC со сторо­
ной ВС = 9 вписана окружность, ка­
сающаяся стороны ВС в точке D. Из­
вестно, что A D = DC и косинус угла
ВСА равен | . Найдите сторону АС.
О
1652. В параллелограмме со сторо­
нами 2 и 4 проведена диагональ дли­
ной 3. В каждый из получившихся
треугольников вписано по окружнос­
ти. Найдите расстояние между цент­
рами окружностей.
1653. В равнобедренном треуголь­
нике высота, проведенная к основа­
нию, делится точкой пересечения вы­
сот пополам. Найдите угла этого тре­
угольника.
1654. В треугольнике AB C на сторо­
не АС взята точка D так, что отрезок
A D равен 3, косинус угла BDC равен
1о
— , а сумма углов ABC и A D B равна
Zi\j
180°. Найдите периметр треугольника
ABC, если ВС = 2.
1655°. В прямоугольном треуголь­
нике AB C биссектриса А Р острого уг­
ла А делится центром О вписанной
110
ПЛАНИМЕТРИЯ
окружности в отношении А О : О Р =
= (л/З + 1) ; ( 73 - 1). Найдите острые
углы треугольника.
1656. В прямоугольном треуголь­
нике А 5 С с гипотенузой ЛС, равной 2,
проведены медианы A M и CN. Около
четырехугольника A/VMC можно опи­
сать окружность. Найдите радиус этой
окружности.
1657. Правильный
треугольник
ABC со стороной а и два ромба ACMJV и
A B F E расположены так, что точки М
и В лежат по разные стороны от прямойЛС, а точки F u C — по разные сто­
роны от прямой А В . Найдите расстоя­
ние между центрами ромбов, если
Z ЕАВ = Z A C M = а (а < 90°).
1658. В параллелограмме АВС£) бис­
сектриса угла B A D пересекает сторону
CD в точке М такой, что D M : М С =
= 2 : 1 . Известно, что Z С А М = а. Най­
дите угол BAD.
1659. Б параллелограмме PQRS бис­
сектриса угла Q P S пересекает сторону
QR в точке А такой, что QA : A R = 3 : 1 .
Известно, что Z Q PS = а. Найдите
угол между биссектрисой Р А и диаго­
налью Р Е .
1660. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника равны с и d и пересека­
ются под углом 45°. Найдите отрезки,
соединяющие середины противопо­
ложных сторон четырехугольника.
1661. Центр окружности, вписан­
ной в прямоугольный треугольник,
удален от вершин острых углов на
расстояния а и Ь. Найдите гипоте­
нузу.
1662. Точка М леж и т на стороне
ВС параллелограм м а A B C D с углом
45° при вершине А , причем Z A M D =
= 90° и В М : М С = 2 : 3 . Найдите от­
ношение соседних сторон паралле­
лограмма.
1663. Окружность, вписанная в
прямоугольный треугольник с катета­
ми, равными 6 и 8 , касается гипотену­
зы в точке М (рис. 6 6 ). Найдите рас­
стояние от точки М до вершины пря­
мого угла.
Р и с . 66
1664. Боковая сторона равнобед­
ренной трапеции равна с, средняя ли ­
ния равна Ь, а один углов при большем
основании равен 30°. Найдите радиус
окружности, описанной около этой
трапеции.
1665. Медиана A M треугольника
ABC равна т и образует со сторонами
АВ и АС углы , равные а и |3 соответ­
ственно. Найдите эти стороны.
1666. Б треугольнике даны два угла
Р и Y и радиус R описанной окружнос­
ти. Найдите радиус окружности, впи­
санной в треугольник.
1667. Б выпуклом четырехуголь­
нике A B C D отрезки, соединяющие се­
редины противоположных сторон, пе­
ресекаются под углом 60°, а их длины
относятся, как 1 : 3 . Чему равна мень­
шая диагональ четырехугольника
AB CD , если большая равна
?
1668. Б треугольнике A B C извест­
ны высоты Лц = i ,
3
= i , /г^ = i . Най4
5
дите отношение биссектрисы CD к ра­
диусу описанной окружности.
1669. Около треугольника ABC
описана окруж ность. Продолж ение
биссектрисы С К треугольника ABC
пересекает эту окруж ность в точке L,
причем CL — диаметр данной ок­
ружности. Найдите отношение от­
111
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
резков B L а A C , если синус у гл а ВАС
равен - .
4
1670. В треугольнике АБС сторона
А В = 6 , Z ВАС = 30°, радиус описанной
окружности равен 5. Найдите сторону
АС.
1671. Биссектриса A D равнобед­
ренного треугольника A B C (А В = ВС)
делит сторону ВС на отрезки B D = Ь и
DC = с. Найдите биссектрису AD .
1672. Дан треугольник ABC. И з­
вестно, что А В = 4, АС = 2, ВС = 3. Бис­
сектриса угла А пересекает сторону ВС
в точке К . Прямая, проходящая через
точку В параллельно АС, пересекает
продолжение биссектрисы А К в точке
М . Найдите К М .
1673°. В равнобедренной трапеции
даны основания а = 21,Ь = 9 и высота
Л = 8 . Найдите радиус описанного кру­
га.
1674°. Найдите радиус окружнос­
ти, описанной около равнобедренной
трапеции с основаниями 2 и 14 и боко­
вой стороной 1 0 .
1675. В треугольнике ABC стороны
А В и АС равны соответственно J\Q и
^/2
, а радиус окружности, описанной
около треугольника ABC, равен Jb .
Найдите сторону ВС и угол АСБ, если
известно, что угол АСВ — острый.
1676. В треугольник AB C вписана
окружность, которая касается сторон
АВ , ВС, АС соответственно в точках М ,
D , N . Найдите отрезок M D , если из­
вестно, что N A = 2, N C = 3, А ВСА =
= 60°.
1677°. В треугольник JsTLM вписана
окружность, которая касается сторо­
ны K L в точке А , а стороны К М — в
точке В. Найдите угол L M K , если из­
вестно, что В М = 5, A L = 10, а
cos ^ L K M = ^ .
26
1678°. Две стороны треугольника
равны а л Ь . Найдите третью сторону с
треугольника, если его угол, лежащий
против третьей стороны, в два раза
больше угла, лежащего против сторо­
ны, равной Ь.
1679°. Высоты треугольника ABC
пересекаются в точке Н . Докажите,
что радиусы окружностей, описанных
около треугольников ABC, А Я Б , ВНС
и А Н С , равны между собой,
1680.
Известно, что расстояние от
центра описанной окружности до сто­
роны А В треугольника AB C равно по­
ловине радиуса этой окружности.
Найдите высоту треугольника ABC,
опущенную на сторону АВ , если она
меньше
/!■
а две другие стороны тре­
угольника равны 2 и 3.
1681. В треугольнике ABC угол С
равен 60°, а биссектриса угла С равна
5 7 з . Длины сторон АС и ВС относятся
как 5 : 2 соответственно. Найдите тан­
генс угла А и сторону ВС.
1682. Окружность проходит через
вершины А и С треугольника ABC и пе­
ресекает сторону А В в точке D , а сторо­
ну ВС — в точке £ . Найдите угол ВВС,
если B D : ЕС = 1 : 2, B E : A D = 2 : 7,
угол ABC равен 60°.
1683. Катеты прямоугольного тре­
угольника равны 36 и 48. Найдите рас­
стояние от центра вписанной в тре­
угольник окружности до высоты, про­
веденной к гипотенузе.
1684. Гипотенуза и катет прямо­
угольного треугольника равны соот­
ветственно 60 и 36. Найдите расстоя­
ние от точки пересечения биссектрис
треугольника до высоты, проведенной
к гипотенузе.
1685. Прямая, проходящая через
точку пересечения медиан треуголь­
ника ABC, пересекает стороны ВА и
ВС в точках А ' и С' соответственно.
При этом В А ' < В А = 3, ВС = 2,
В А ' ■В С = 3. Найдите ВА'.
1686. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = 3, АС = 3 j 7 , Z . ABC = 60°.
112
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
Биссектриса угла A BC продолжена до
тей, вписанной в трапецию и описан­
ной около нее, если известно, что эти
пересечения в точке D с окружностью,
окружности существуют.
описанной вокруг треугольника. Най­
1692. В трапеции АВ СЕ основание
дите BD.
1687.
Во вписанном в окружность
А Е равно 16, СЕ = 8 J s . Окружность,
четырехугольнике K L M N известно,
проходящая через точки А, В и С, вто­
что K L = 2, L M = 3, Z K L M = 120°, а
рично пересекает прямую А Е в точке
диагональ L N является отрезком бис­
Я , Л А Н В = 60°. Найдите АС.
сектрисы угла
(рис. 67). Найдите
1693. В треугольнике ABC на сред­
эту диагональ.
ней линии D E , параллельной А В , как
на диаметре построена окружность,
пересекающая стороны АС и ВС в точ­
ках М и N . Найдите M N , если ВС = а,
А С ^ Ь ,А В = с.
1694. У гол при основании равно­
бедренного треугольника равен ф.
Найдите отношение радиуса вписан­
ной в данный треугольник окружнос­
ти к радиусу описанной окружности.
1695. В треугольнике ABC заданы;
АС = Ь, А ABC = а. Найдите радиус ок­
ружности, проходящей через центр
Р и с . 67
вписанного в треугольник ABC круга и
вершины А и С.
1688.
В угол с вершиной А , равный 1696. В равнобедренном треуголь­
60°, вписана окружность с центром в
нике ABC (АВ = ВС) сторонаАС = 10. В
точке О. Через точку К этой окружнос­
угол ABC вписана окружность, диа­
ти проведена к ней касательная, пере­
метр которой равен 15, так, что она ка­
секающая сторону угла в точках Б и С.
сается стороны АС в ее середине. Най­
Отрезок ВС пересекается с отрезком
дите радиус окружности, вписанной в
А О в точке М . Найдите радиус окруж­
треугольник ABC.
ности, вписанной в треугольник ABC,
1697. В прямоугольном треуголь­
если A M : М 0 = 2 : З и В С = 7.
нике ABC из точки Е, расположенной
1689°. Сторона АС в треугольнике
в середине катета ВС, опущен перпен­
AB C в четыре раза больше радиуса
дикуляр E L на гипотенузу АВ . Найди­
вписанной в треугольник ABC окруж­
те углы треугольника ABC, если А Е =
ности. Найдите, в каком отношении
= ^ E L hBOAC.
центр этой окружности делит биссект­
1698. В ромбе A B C D из вершины В
рису угла В, если ^ ABC = 60°.
на сторону А£) опущен перпендикуляр
1690. Из произвольной точки Р , не
BE. Найдите углы ромба, если 2 J s СЕ =
лежащей на описанной окружности,
опущены перпендикуляры РА^, РВ^,
= J7 A C .
РС^ на стороны треугольника АБС или
1699. Стороны треугольника равны
их продолжения. Известно, что А В = с,
1 и 2, а угол между ними равен 60°. Ч е­
ВС = о. АС = Ь, Р А - ^ х , Р В = у, PC = 2 .
рез центр вписанной окружности это­
Найдите стороны треугольника
го треугольника и концы третьей сто­
если радиус окружности, описанной
роны проведена окружность. Найдите
около треугольника ABC, равен R.
ее радиус.
1691°. Основания трапеции равны
1700. В равнобедренном треуголь­
4 и 16. Найдите радиусы окружнос­
нике AB C с основанием АС точка D де­
113
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
лит сторону ВС в отношении 3 : 1 , счи­
тая от вершины В, а точка Е — середи­
на отрезка AD . Известно, что B E = 4ч ,
СЕ = 3. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника ABC.
1701. В треугольнике ABC сторона
АС равна 7, угол ВСА равен 60°. Точка
Е , лежаш;ая на стороне ВС, удалена от
вершины В на расстояние, равное 6 ,
F — точка пересечения А Е с медианой
BD. Найдите сторону АВ, ecлиБF : F D =
= 3:2.
1702. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = В С ) медиана A D и бис­
сектриса СЕ перпендикулярны. Най­
дите угол АО Б .
1703. Стороны треугольника равны
1
и 2 , а угол между ними равен 1 2 0 °.
Окружность с центром на третьей сто­
роне треугольника касается двух дру­
гих сторон. Вторая окружность каса­
ется этих сторон и первой окружнос­
ти. Найдите радиусы окружностей.
1704. Точка О — центр окружнос­
ти, вписанной в треугольник ABC. И з­
вестно, что ВС = а, АС = Ъ, /- А О В =
= 120°. Найдите сторону АВ.
1705. Т о ч к а м леж ит на стороне АС
равностороннего треугольника ABC со
стороной, равной За, причем A M : М С =
= 1 : 2 . Точки К и L на сторонах А В и
ВС являются вершинами другого рав­
ностороннего треугольника M K L .
Найдите его стороны.
1706. Стороны треугольника равны
1 и 2, а угол между ними равен 60°. Ч е­
рез центр вписанной окружности это­
го треугольника и концы третьей сто­
роны проведена окружность. Найдите
ее радиус.
1707. В трапеции с основаниями 3 и
4 диагональ равна 6 и является бис­
сектрисой одного из углов. Может ли
эта трапеция быть равнобедренной?
1708. В остроугольном треугольни­
ке ABC проведены высоты СС^ viAA^.
Известно, что А С = 1 и Z С^СА^ = а.
Найдите плош;адь круга, описанного
около треугольника С^ВА^.
1709. В трапеции A B CD даны осно­
вания A D = 4, ВС = 1 и углы А и D при
основании, равные соответственно
arctg 2 и acrtg 3. Найдите радиус ок­
ружности, вписанной в треугольник
СВЕ, где Е — точка пересечения ди­
агоналей трапеции.
1710. В трапеции K L M N известны
боковые стороны K L = 36, M N = 34,
верхнее основание L M
=
10 и
cos
K LM =
3
. Найдите диагональ
LN.
1711. В остроугольном треугольни­
ке ABC из основания D высоты B D опу­
щены перпендикуляры D M и D N на
стороны А В и ВС. Известно, что
M N = а, B D = Ъ. Найдите угол ABC.
1712. В треугольнике ABC извест­
но, чтоБС = 3 ,Б А = З Т7 ,/^А Б С = 60°.
Биссектриса угла ABC продолжена до
пересечения в точке D с окружностью,
описанной
вокруг
треугольника
(рис. 68). Найдите Б£).
1713. Окружность проходит через
вершины А и С треугольника ABC и пе­
ресекает сторону А В в точке D , а сторо­
ну ВС — в точке Е . Найдите угол ВВС,
если ВС : Е С = 1 : 2 , B E :A D = 2 : 7,
А ABC = 60°.
1714. В треугольнике ABC на сторо­
не А В взята точка L так, что A L = 1,
BL = 3, а на стороне ВС взята точка К ,
деляш;ая эту сторону в отношении
В К : K C = S : 2. Т о ч к а Q пересечения
114
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
прямых AisT и CL отстоит от прямой ВС
на расстоянии 1,5. Вычислите синус
угла ABC.
1715. Внутри угла в 60° расположе­
на точка, отстоящая на расстояния
и 2 /У? от сторон угла. Найдите рас­
стояние этой точки от вершины угла.
1716. В треугольнике AB C точка D
делит сторону А В пополам, а точка Е
лежит на стороне ВС, причем отрезок
B E в 3 раза меньше стороны ВС. Отрез­
ки А Е и CD пересекаются в точке О.
Найдите сторону АБ , если отрезок АЕ
равен 5, отрезок ОС равен 4, ауголА О С
равен 1 2 0 °.
1717. Из точки М на окружности
проведены три хорды: M N = 1, М Р = 6 ,
M Q = 2. При этом углы N M P и P M Q
равны. Найдите радиус окружности.
1718. В равнобедренном треуголь­
нике ABC из точки С, являющейся
вершиной прямого угла, опущена на
гипотенузу высота СС^. Из точки С^
проведены две взаимно перпендику­
лярные прямые, пересекающие сторо­
ны ВС и АС в точках А^ и В^ соответ­
ственно. Известно, что Z С^А^Б = 60°,
а гипотенуза А В =
+ 2 j6 . Найдите
длину отрезка А^В^. Укажите ее при­
ближенное значение с точностью до
0 ,0 1 .
1719. В окружность с центром О
вписана трапеция K L M N , в которой
K L параллельна M N , K L = 8 , M N = 2,
Z N K L = 45°. Хорда М А окружности
пересекает отрезок K L в точке В та­
кой, что К В = 3. Найдите расстояние
от точки О до прямой А-ЙГ.
1720. Окружность, вписанная в
равнобедренный треугольник ABC,
касается основания АС в точке D и бо­
ковой стороны А В в точке Е. Точка
F — середина стороны А В , а точка G —
точка пересечения окружности и от­
резка F D , отличная от D . Касательная
к окружности, проходящая через точ­
ку G, пересекает сторону А В в точке Н .
Найдите угол ВСА, если известно, что
F H : H E = 2:3.
1721. Пусть М — точка пересече­
ния диагоналей выпуклого четырех­
угольника AB CD , в котором стороны
А В , A D и ВС равны между собой. Най­
дите угол C M D , если известно, что
D M = М С , а Z САВ Z DBA.
1722. В выпуклом четырехуголь­
нике АВС£> сторона A D равна 4, сторо­
на CD равна 7, косинус углаАХ>С равен
1 , синус угла ВСА равен - . Найдите
2
3
сторону ВС, если известно, что окруж­
ность, описанная около треугольника
ABC, проходит также и через точку D.
1723°. В треугольнике ABC прове­
дена средняя линия M N , соединяю­
щая стороны А В и ВС. Окружность,
проведенная через точки М , iV и С, ка­
сается стороны А В , а ее радиус равен
J 2 . Сторона АС равна 2. Найдите си­
нус угла АСВ.
1724°. В окружность радиуса 5 впи­
сан треугольник ABC, у которого А В =
= ВС, B D — высота. Найдите BD, если
B D + | а с = 10.
1725. В треугольнике ABC извест­
но, что ВС = 4, Z АСВ = 30°, радиус
описанной окружности равен 6 . Най­
дите среднюю линию, параллельную
стороне АС, и расстояние между точ­
ками, в которых прямая, содержащая
эту среднюю линию, пересекает опи­
санную окружность.
1726. В прямоугольном треуголь­
нике ABC из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Около тре­
угольника АС£) вписана окружность, а
в треугольник BCD вписана окруж­
ность. Найдите расстояние между
центрами этих окружностей, если
ВС = 3, а радиус описанной около тре­
угольника ABC окружности равен | .
1727. Сторона ромба ABCD равна 6 .
Расстояние между центрами окруж­
115
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ностей, описанных около треугольни­
ков ABC и B CD , равно 8 . Найдите ра­
диусы этих окружностей.
1728. В равнобедренный треуголь­
ник ABC {АВ = ВС) вписана окруж­
ность с центром О. Касательная к ок­
ружности пересекает стороны ВС и СА
в точках M u N соответственно. Найди­
те радиус окружности, если
MNC =
= 2Z N M C , О М = JTO , O N
4
1729. Около окружности с центром
О описана трапеция AB CD , в которой
ВС IIA D , ВС < A D . Продолжения боко­
вых сторон трапеции пересекаются в
точке М . Найдите радиус окружности,
е с л и М В = В С ,О В = Л , ОС = J 2 1730. В трапеции АВС£) сторона АВ
перпендикулярна основаниям A D и
ВС. Окружность касается стороны АВ
в точке К , лежащей между точками А
и В, имеет с отрезком ВС единствен­
ную общую точку С, проходит через
точку £) и пересекает отрезок A D в точ­
ке Е , отличной от точки D . Найдите
расстояние от точки К до прямой CD,
если A D = 48, ВС = 12.
1731. В параллелограмме ABCZ) из­
вестно: А В = а, ВС = b,Z. АБС = а. Най­
дите расстояние между центрами ок­
ружностей, описанных около тре­
угольников B CD и DAB.
1732. В окружность вписан равно­
бедренный треугольник ABC, в кото­
ром А В = Б С и /- В — р. Средняя линия
треугольника продолжена до пересе­
чения с окружностью в точках D и Е
(D E II А С ). Найдите отношение площа­
дей треугольников AB C и D B E .
1733. В выпуклом четырехуголь­
нике A B C D заключены две равные ок­
ружности, касающиеся друг друга.
Центр первой окружности находится
на отрезке, соединяющем вершину £) с
серединой Е стороны А В , а центр вто­
рой окружности — на отрезке СЕ.
Первая окружность касается сторон
АВ , A D и CD, а вторая окружность ка­
сается сторон А В , ВС и CD. Найдите
синус угла между диагоналями четы­
рехугольника ABCD.
1734.
Дана равнобедренная трапе­
ция, в которую вписана окружность и
около которой описана окружность.
Отношение длины описанной окруж­
ности к длине вписанной окружности
равно 2
. Найдите углы трапеции.
1735°. В равнобедренный треуголь­
ник ABC (АВ = ВС) вписана окруж­
ность радиуса 3. Прямая I касается
этой окружности и параллельна пря­
мой АС. Расстояние от точки В до пря­
мой I равно 3. Найдите расстояние
между точками, в которых данная ок­
ружность касается сторон А В и ВС.
1736.
В треугольник ABC вписана
окружность. Касательная к этой ок­
ружности, параллельная стороне ВС,
пересекает сторону А В в точке D и сто­
рону АС в точке Е (рис. 69). Перимет­
ры треугольников AB C и A D E равны
соответственно 40 и 30, а угол ABC ра­
вен а. Найдите радиус окружности.
Р и с . 69
1737.
В трапецию AB C D вписана
окружность. Продолжения боковых
сторон трапеции A D и ВС за точки D и
С пересекаются в точке Е . Периметр
треугольника D C E и длина основания
трапеции А В равны соответственно 60
и 20, угол ADC равен |3. Найдите ради­
ус окружности.
116
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1738°. Окружность с центром в точ­
ке О лежит на гипотенузе АС прямо­
угольного треугольника ABC, касается
его катетов А В и ВС. Найдите АС, если
известно, что A M = — , A N : M N =
9
= 6 : 1 , где М — точка касания А В с
окружностью, а N — точка пересече­
ния окружности с АС, расположенная
между точками А и О.
1739. На гипотенузе К М прямо­
угольного треугольника K L M распо­
ложен центр О окружности, которая
касается катетов K L и L M в точках А и
В соответственно. Найдите А К , если
известно, что В М = ^ , А К : АС =
16
= 5 : 23, где С — точка пересечения
окружности с
лежащая между
точками О н М .
1740. Найдите периметр треуголь­
ника, один из углов которого равен а,
а радиусы вписанной и описанной ок­
ружностей равны m R .
1741. На гипотенузе А В прямо­
угольного треугольника ABC выбраны
точки К VL L так, что А К = K L = LB .
Найдите углы треугольника ABC, если
км,
известно, что СК = J 2 C L .
1742. Медиана AJD остроугольного
треугольника A jBC равна 5. Ортого­
нальные проекции этой медианы на
стороны А В и АС равны 4 и 2 /УВ соот­
ветственно. Найдите сторону ВС.
1743. В равнобедренном треуголь­
нике ABC с основанием АС точка D де­
лит сторону ВС в отношении 2 : 1 , счи­
тая от вершины В , а точка Е — середи­
на стороны AjB. Известно, что медиана
CQ треугольника CED равна
£)Е =
и
. Найдите радиус окружное-
ти, описанной около треугольника
ABC.
1744. В ромбе A B C D точка Q делит
сторону ВС в отношении 1 : 3 , считая
от вершины В , а точка Е — середина
стороны АВ . Известно, что медиана CG
треугольника CEQ равна 2 л/2 , а EQ =
= J2 . Найдите радиус окружности,
вписанной в ромб ABCZ).
1745. В треугольнике ABC со сторо­
нами ВС = 7, АС = 5, А В = 3 проведена
биссектриса AJD. Вокруг треугольника
A B D описана окружность, а в тре­
угольник ACD вписана окружность.
Найдите произведение их радиусов.
1746. В треугольнике ABC проведе­
ны биссектрисы B L и А Е углов ABC и
ВАС соответственно, которые пересе­
каются в точке О. Известно, что А В =
= B L, периметр треугольника равен 28,
ВО = 2 0L. Найдите АВ.
1747. В треугольнике ABC извест­
но, что ВС = 4, /LABC = 30°, радиус
описанной окружности равен 6 . Най­
дите среднюю линию, параллельную
стороне АС, и расстояние между точ­
ками, в которых прямая, содержащая
эту среднюю линию, пересекает опи­
санную окружность.
1748. В ромбе AB CD угол BCD ра­
вен 135°, а стороны равны 8 . Окруж­
ность касается прямой CD и пересека­
ет сторону А В в двух точках, располо­
женных на расстоянии 1 от А и В. Най­
дите радиус этой окружности.
1749. Прямая, проходящая через
точку М основания А В равнобедренно­
го треугольника ABC, пересекает пря­
мые АС и ВС в точках А^ и В^ соответ­
ственно. Докажите, что АА^ : А ^М =
= B B i : B iM .
1750. На сторонах острого угла с
вершиной О взяты точки А и В. На л у ­
че ОВ взята точка М на расстоянии
ЗОА от прямой ОА, а на луче ОА — точ­
ка N на расстоянии ЗОВ от прямой ОВ.
Радиус окружности, описанной около
треугольника АОВ, равен 3. Найдите
MN.
1751. На сторонах тупого угла с
вершиной Т взяты точки Р и Q. На про­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
должении луча Т Р за точку Т взята
точка А на расстоянии Ь Р Т от прямой
Q T, а на продолжении луча TQ за точ­
ку Г — точка В на расстоянии 5QT от
прямой Р Т . Радиус окружности, опи­
санной около треугольника P Q T , ра­
вен 2. Найдите АВ.
1752. У глы
треугольника
ABC
удовлетворяют равенству
cos2 А + cos2 В + cos2 С = 1.
117
ке £) и касающейся окружности, опи­
санной около треугольника АБС.
1757.
В остроугольном треугольни­
ке АБС из вершин А и С на стороны ВС
и А В опущены высоты А Р и CQ. Най­
дите сторону АС, если известно, что пе­
риметр треугольника АБС равен 15,
периметр треугольника Б Р© равен 9, а
радиус окружности, описанной около
треугольника Б Р© , равен | .
Найдите площадь этого треугольника,
если известны радиусы вписанной г =
= /Уз и описанной R = 3^2 окружнос­
тей.
1753. У глы
тупоугольного
тре­
угольника ABC удовлетворяют равен­
ству
sin (А - £ ) = sin^ А - sin^ В.
Найдите периметр этого треугольни­
ка, если известен радиус описанной ок­
ружности R , а один из углов равен ^ .
О
1754. На стороне ВС треугольника
ABC взята точка D такая, что
CAD =
= 2 /_ DAB. Радиусы окружностей,
вписанных в треугольники ADC и
A B D , равны соответственно 8 и 4, а
расстояние между точками касания
этих окружностей с прямой ВС равно
л/129 .
Найдите AD .
1755. В треугольнике ABC угол С
равен я - arcsin ^ . На стороне А В
13
взята точка £) так, ч т о А О = 18, Б£) = 6 .
Найдите радиус окружности, прохо­
дящей черех вершину С, касающейся
стороны А В в точке D и касающейся
окружности, описанной около тре­
угольника ABC.
1756. В треугольнике ABC угол А
Q
равен п —arcsin ^ , сторона БС равна 8 .
На продолжении СВ за точку В взята
точка D так, что B D = 1. Найдите ради­
ус окружности, проходящей через вер­
шину А , касающейся прямой ВС в точ­
1758°. Докажите, что для любого
треугольника проекция диаметра опи­
санной окружности, перпендикуляр­
ного одной стороне треугольника, на
прямую, содержащую вторую сторо­
ну, равна по длине третьей стороне.
1759. Окружность радиуса 1 вписа­
на в треугольник АБС, в котором
cos А В = 0,8. Эта окружность касает­
ся средней линии треугольника АБС,
параллельной стороне АС. Найдите
сторону АС.
1760. Трапеция ABCD с основания­
ми БС = 2 и AJD = 1 0 такова, что в нее
можно вписать окружность и около
нее можно описать окружность. Опре­
делите, где находится центр описан­
ной окружности, т. е. расположен он
внутри, или вне ее, или же на одной из
сторон трапеции A B CD . Найдите так­
же отношение радиусов описанной и
вписанной окружностей.
1761. Каждое из оснований высот
треугольника проецируется на его сто­
роны. Докажите, что длина отрезка,
соединяющего эти проекции, не зави­
сит от выбора высоты.
1762. Б треугольнике K L M угол
L — тупой, а сторона К М равна 6 . Най­
дите радиус описанной около тре­
угольника K L M окружности, если из­
вестно, что на этой окружности лежит
центр окружности, проходящей через
вершины К , М и точку пересечения
высот треугольника K L M .
1763. Трапеция A B C D с основа­
ниями БС и AJD вписана в окружность
118
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
(рис. 70), На дуге CD взята точка Е и
соединена со всеми вершинами трапе­
ции. Известно, что
CED = 120°,
Z A B E - Z B A E = a. Найдите отноше­
ние периметра треугольника A B £ к ра­
диусу вписанной в него окружности.
1768. В треугольнике ABC проведе­
ны высоты A D и СЕ. Найдите АС, если
B C - a , A B = b ,D E :A C -^ k .
1769. В треугольнике ABC дано:
АС = 2^3 , А В = 77 , ВС = 1. Вне тре­
угольника взята точка К так, что отре­
зок КС пересекает отрезок А В в точке,
отличной от Б, и треугольник с верши­
нами К ,А и С подобен исходному. Най­
дите угол А-ЙГС, если известно, что угол
КАС — тупой.
1770. Биссектрисы A M и B N тре­
угольника ABC пересекаются в точке
О. Известно, что А О = J s М О , N 0 =
1764. ЧетырехугольникАВСГ)вписан в окружность так, что хорда D E ,
параллельная А В , пересекает ВС. И з­
вестно, что
А С Е = 60° и
ВВС +
+ ЗА CBD = а. Найдите отношение ра­
диуса вписанной в треугольник BCD
окружности к радиусу окружности,
описанной около этого треугольника.
1765. Длина окружности, описан­
ной около равнобедренного треуголь­
ника, в три раза больше длины окруж­
ности, вписанной в этот треугольник.
Найдите углы треугольника.
1766. Сумма сторон А В и ВС тре­
угольника ABC равна 11, /1ABC = 60°.
Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен — . Известно
Л
также, что сторона А В больше стороны
ВС. Найдите высоту треугольника
ABC, опуш,енную из вершины А.
1767. Плош;адь параллелограмма
A B C D равна 80 J s . Расстояние от точ­
ки Q пересечения диагоналей паралле­
лограмма A B CD до центра окружнос­
ти, вписанной в треугольник AQB,
равно 2. Величина yvnaAQB равна 60°,
а угол B AD — тупой. Найдите диаго­
наль АС.
= (л/З - 1)БО. Найдите углы треуголь­
ника ABC.
1771. В ромбе AB CD угол /.ABC =
= 60°. Окружность касается прямой
A D в точке А , центр окружности ле­
жит внутри ромба. Касательные к ок­
ружности, проведенные из точки С,
перпендикулярны. Найдите отноше­
ние периметра ромба к длине окруж­
ности.
1772. В ромбе A B C D угол Z BCD =
= 120°. Окружность касается прямой
ВС в точке С, центр окружности лежит
вне ромба. Касательные к окружнос­
ти, проведенные из точки А, перпенди­
кулярны. Найдите отношение радиуса
окружности к стороне ромба.
1773. Сторона ромбаАВС!) равна а,
а острый угол равен а. На отрезках AD
и ВС построены как на сторонах вне
ромба
правильные
треугольники.
Найдите расстояние между центрами
этих треугольников.
1774. (Теорема Стюарта.) Точка D
расположена на стороне ВС треуголь­
ника ABC. Докажите, что
АВ2 •DC -ЬАС2 ■B D - AD^ •ВС =
= BC D C - BD.
1775. Отрезки, соединяюш,ие осно­
вания высот остроугольного треуголь­
ника, равны 5, 12 и 13. Найдите ради­
ус описанной около треугольника ок­
ружности.
119
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1776. В треугольнике A BC сторона
А В равна 21, биссектриса B D равна
8 j 7 , а DC = 8 . Найдите периметр тре­
угольника ABC.
1777. В треугольнике ЛВС точка D
лежит на стороне ВС, прямая A D пере­
секается с биссектрисой угла АСВ в
точке О. Известно, что точки С, D u О
лежат на окружности, центр которой
находится на стороне АС, АС : А В =
= 3 : 2, а угол DAC в три раза больше
угла DAB. Найдите косинус углаЛС-В.
1778. В треугольнике ABC точка D
лежит на стороне ВС, а точка О — на
отрезке AD . Известно, что точки С, D u
О лежат на окружности, центр кото­
рой находится на стороне АС, 4АС =
= З ^ А В , угол DAC в два раза больше
угла B A D , а угол ОСА в два раза мень­
ше угла ОСВ. Найдите косинус угла
ABC. 1779. Периметр параллелограмма
AB CD равен 26. У го л ABC равен 120°.
Радиус окружности, вписанной в тре­
угольник BCD, равен
. Найдите
стороны параллелограмма, если из­
вестно, что сторона A D больше сторо­
ны АВ.
1780. В прямоугольнике ABCZ) сто­
рона А В втрое больше стороны ВС.
Внутри прямоугольника расположена
точка N , причем AiV = ^2 , B N = 4^/2 ,
D N = 2. Найдите косинус угла B A N и
площадь прямоугольника ABCD.
1781. В трапеции средняя линия
равна 7, высота равна 15л/з , а угол
1783. В треугольнике AB C точка D
лежит на стороне ВС, причем прямая
A D пересекается с биссектрисой угла
АСВ в точке О. Известно, что точки С,
£) и О лежат на окружности, центр ко­
торой находится на стороне АС,
АС : А В = 3 ; 2, а угол DAC в три раза
больше угла DAB. Найдите косинус уг­
ла АСБ.
1784. Внутри треугольника ABC
выбрана точка О так, что радиусы опи­
санных около треугольников АОС и
А О В окружностей равны соответ­
ственно 5 и 4. Известно, что расстоя­
ние между центрами этих окружнос­
тей равно 6 , А В = 6 , АС = 7. Найдите
ОС.
1785. Внутри треугольникаАВС вы­
брана точка О так, что sin Z ВОС = i ,
sin /_АОС = i . Известно, что ВО = 2,
3
ВС = 3, АС = 4. Найдите расстояние
между центрами окружностей, опи­
санных около треугольников АОС и
ВОС.
1786. В равнобедренном треуголь­
нике B CD (ВС = CD) проведена бис­
сектриса B E . Известно, что СЕ = с,
D E = d. Найдите BE.
1787. В окружность радиуса 2
вписан правильный шестиугольник
A B C D E F. Из точки К , лежащей на
продолжении стороны A F так, что
К А < K F и К А = J \ i - 1, проведена
секущая К Н , пересекающая окруж­
ность в точках и Н (рис. 71). Извест­
между диагоналями против основания
равен 120°. Найдите диагонали трапе­
ции.
1782.
В треугольнике AB C извест­
но, что
ВАС = а, АС = Ъ. Вписанная
окружность касается сторон А В и ВС в
точках М и N , биссектриса угла ВАС
пересекает прямую M N в точке К .
Найдите расстояние от точки К до пря­
мой АС.
Р и с . 71
120
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
но, что внешняя часть секущей K N
равна 2 {K N = 2), а угол N F H — тупой.
Найдите угол H K F .
1788. Известно, что в треугольнике
ABC Z. БАС = 75°. А В = 1 , Л С = 7б . На
стороне ВС выбрана точка М так, что
Z В А М = 30°. Прямая A M пересекает
окружность, описанную около тре­
угольника АБС в точке N , отличной от
А. Найдите AiV.
1789. Окружность, проходящая че­
рез вершины А , В и С параллелограм­
ма АВС£), пересекает прямые AZ) и CD
в точках М и N . Точка М удалена от
вершин В , C v iD иа расстояния 4, 3 и 2
соответственно. Найдите M N .
1790. В треугольнике ABC сторона
А В равна 4,
CAB = 30°, а радиус опи­
санной окружности равен 3. Докажи­
те, что высота, опущенная из верши­
ны С на сторону АВ , меньше 3.
1791. Площ адь
прямоугольника
A B C D равна 48, а диагональ равна 10.
На плоскости, в которой расположен
прямоугольник, выбрана точка О так,
что ОВ = O D = 1 3 . Найдите расстояние
от точки О до наиболее удаленной от
нее вершины прямоугольника.
1792. О треугольнике AB C извест­
но, что AB C = а, Z. ВСА = |3, АС = Ъ.
На стороне ВС взята точка D так, что
B D = 3DC. Через точки В и D проведе­
на окружность, касающаяся стороны
АС или ее продолжения за точку А.
Найдите радиус этой окружности.
1793. На стороне угла с вершиной О
взяты точки А и В (А между О и В ) так,
что ОА = ВАВ. Через точки А и В про­
ведена окружность, касающаяся дру­
гой стороны угла в точке D. На луче
O D взята точка Е (D между О и £ ).
Известно, что ОЕ = т, А В О Е = а,
В Е О = р. Найдите радиус окруж ­
ности.
1794. О треугольнике AB C извест­
но, что Z ABC = а, Z АСВ = |3, ВС = а.
На стороне АС взята точка D так, что
A D = 3DC. Через точки А и £) проведе­
на окружность, касающаяся стороны
ВС или ее продолжения за точку В.
Найдите радиус этой окружности.
1795. В круге радиуса 12 хорда
А В = 6 , а хорда ВС = 4. Найдите хорду,
соединяющую концы дуги АС.
1796. В окружность вписана трапе­
ция ABCZ) (AD — большее основание).
Из вершины С проведен перпендику­
ляр к AD , пересекающий окружность
в точке Е. Отношение длины дуги ВС
(не содержащей точки D ) к длине дуги
CDE равно - . Радиус окружности равен высоте трапеции. Найдите отно­
шение A D : ВС.
1797. Найдите радиус наименьше­
го круга, в котором можно разместить
треугольник со сторонами 7, 9 и 12.
1798. Пусть Н — точка пересече­
ния высот треугольника ABC. Дока­
жите, что треугольник с вершинами в
центрах описанных окружностей тре­
угольников в н е , А Н С и А Н В равен
тр еуго л ьнику А В С.
1799. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = 2, АС = 5, ВС = 6 . Найдите
расстояние от вершины В до точки пе­
ресечения высот треугольника ABC.
1800. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. Прямая, проходя­
щая через точку А , вторично пересека­
ет эти окружности в точках С и £), при­
чем точка А лежит между С и D, а хор­
ды АС и A D пропорциональны ради­
усам своих окружностей. Докажите,
что биссектрисы углов ADB и АСВ пе­
ресекаются на отрезке АВ.
1801. Через точку С проведены две
прямые, касающиеся заданной ок­
ружности в точках А и В. На большей
из дуг А В взята точка D , для которой
CD = 2 и sin Z A C D • sin
BCD = | .
3
Найдите расстояние от точки D до хор­
ды АВ.
1802. Из вершины L ромба K L M N
проведена прямая,
пересекающая
прямую K N в точке Р . Диагональ К М
делит в точке Q отрезок L P так, что
LQ : Q P = 9 : 10. Найдите синус угла
121
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
L K N , если треугольник K L P тупо­
угольный, а Z P L M = 60°.
1803. Найдите высоту трапеции, у
которой основания равны а и Ь {а < Ь),
угол между диагоналями равен 90°, а
угол между продолжениями боковых
сторон равен 45°.
1804. Диагональ
АС
квадрата
A B C D совпадает с гипотенузой прямо­
угольного треугольника
причем
точки В к К лежат по одну сторону от
прямой АС. Докажите, что В К =
_ \АК-СК\ ^
_ А К + СК
72
1805. В параллелограмме A B C D
угол BCD равен 150°, а основание A D
равно 8 . Найдите радиус окружности,
касающейся прямой CD и проходящей
через вершину А , а также пересекаю­
щей основание A D на расстоянии 2 от
точки D.
1806. Точки М и N лежат на сторо­
не АС треугольника ABC на расстояни­
ях соответственно 2 и 6 от вершины А.
Найдите радиус окружности, прохо­
дящей через M vlN тлкасающейся пря­
мой А В , если угол ВАС равен 30°.
1807. В треугольнике ABC выпол­
нено соотношение между сторонами
-
ж М -
описанной окружности, если расстоя­
ние от ее центра до точки пересечения
медиан равно d, а сторона А £ равна с.
1808. В остроугольном треугольни­
ке BCD проведена высота СЕ и из точ­
ки Е опущены перпендикуляры Е М и
E N на стороны ВС и CD. Известно, что
СЕ = Ь, M N = а. Найдите угол BCD.
1809. В треугольнике А 5 С даны уг­
лы В и С. Биссектриса внутреннего у г­
ла ВАС пересекает сторону ВС в точке
D , а окружность, описанную около
треугольника ABC, — в точке Е . Най­
дите отношение А_Е : D E .
1810. В равнобедренном треуголь­
нике ABC А В = 120°. Найдите общую
хорду окружности, описанной около
треугольника AB C, и окружности.
проходящей через центр вписаннои
окружности и основания биссектрис
у г л о в А и С, если АС = 1.
1811. В треугольнике ABC извест­
но, что А Б = 20, АС = 24. Известно так­
же, что вершина С, центр вписанного
в треугольник AB C круга и точка пере­
сечения биссектрисы угла А со сторо­
ной ВС лежат на окружности, центр
которой леж ит на стороне АС. Найдите
радиус описанной около треугольника
ABC окружности.
1812. В треугольникеАВ С уголС —
тупой; биссектриса B E угла В делит
сторону АС на отрезки А_Е = 3, ЕС = 2.
Известно, что точка К , лежащая на
продолжении стороны ВС за вершину
С, является центром окружности, про­
ходящей через точки С, £ и точку пе­
ресечения биссектрисы угла В с бис­
сектрисой угла ACJiT. Найдите расстоя­
ние от точки Е до стороны АВ.
1813. Прямоугольный
треуголь­
ник ABC (Z А = 90°) и два квадрата
B EFC и A M N C расположены так, что
точки Е и А лежат по разные стороны
от прямой ВС, а точки М и В — по раз­
ные стороны от прямой АС. Найдите
расстояние между центрами квадра­
тов, если А В = а, АС = Ъ.
1814°. Прямоугольный
треуголь­
ник ABC ( Z A = 90°) и два квадрата
B EFC vlA M N C расположены так, что
точки Е VLА лежат по разные стороны
от прямой ВС, а точки М и В — по одну
сторону от прямой АС (рис. 72). Най-
Р и с . 72
122
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
дите расстояние между центрами
квадратов, если А В = а.
1815. Через вершины А и С тре­
угольника AB C проведена окружность
К , центр которой леж ит на окружнос­
ти, описанной около треугольника
ABC. Окружность К пересекает про­
должение стороны ВА (за точку А ) в
точке М . Найдите угол ВСА, если
М А : А В = 2 : 5 , а Z ABC = arcsin | .
5
1816. В треугольнике ABC угол
AB C равен а, угол ВСА равен 2а. Ок­
ружность, проходящая через точки А ,
С и центр описанной около треуголь­
ника AB C окружности, пересекает сто­
рону А В в точке М . Найдите отноше­
ние A M к А В .
1817. Равнобедренная трапеция с
основаниями A D и ВС (A D > ВС) описа­
на около окружности, которая касает­
ся стороны CD в точке М . Отрезок A M
пересекает окружность в точке N .
Найдите отношение A D : ВС, если
A N : N M = k.
1818. Точка D — центр окружнос­
ти, описанной около остроугольного
треугольника ABC. Окружность, про­
ходящая через точки А , Б и £), пересе­
кает стороны АС и ВС в точках М u N
соответственно. Докажите, что ок­
ружности, описанные около треуголь­
ников AB D и M N C , равны.
1819. На стороне ВС треугольника
BCD взята точка А так, что ВА = АС,
Z CDB = а, г. BCD = р, Б£) = Ь; СЕ —
высота треугольника BCD. Окруж­
ность проходит через точку А и касает­
ся стороны B D в точке Е . Найдите ра­
диус этой окружности.
1820. На окружности, описанной
около треугольника ABC, взята точка
М . Прямая М А пересекается с прямой
ВС в точке L , а прямая С М — с прямой
А В в точке К . Известно, что A L = а,
В К = Ь, С К — с. Найдите B L.
1821. В окружность вписан четы­
рехугольник AB CD , диагонали кото­
рого пересекаются в точке М . Извест­
но, что А В = а, CD = b,Z. A N B = а. Най­
дите радиус окружности.
1822. На одной из сторон угла, рав­
ного а (а < 90°), с вершиной в точке О
взяты точки А и В, причем ОА = а,
ОВ = Ь. Найдите радиус окружности,
проходящей через точки А и Б и ка­
сающейся другой стороны угла.
1823. Внутри треугольника ABC
взята точка К . Известно, что А К = 1,
К С = JS , а углы А К С , А В К и К В С рав­
ны 120°, 15° и 15° соответственно.
Найдите В К .
1824. В остроугольном треугольни­
ке АБС высота A D , медиана B E и бис­
сектриса C F пересекаются в точке О.
Найдите ZL С, если О Е = 20С.
1825. В треугольнике АБС сторона
А В равна
, сторона ВС равна
.
Z
4
Точка М лежит на стороне АВ, точка О
леж ит на стороне ВС, причем прямые
М О и А С параллельны. Отрезок В М в
1,5 раза длиннее отрезка A M . Бис­
сектриса угла ВАС пересекает прямую
М О в точке Р , лежащей между точка­
ми М и О, причем радиус окружности,
описанной около треугольника А М Р ,
равен J 2 + J z . Найдите сторону АС.
1826. В треугольнике АБС отноше­
ние стороны ВС к стороне АС равно 3,
а Z АС Б = а. Из вершины С проведены
два луча, делящие угол АСБ на три
равные части. Найдите отношение от­
резков этих лучей, заключенных вну­
три треугольника АБС.
1827. В треугольнике АБ С на сторо­
не АС взята точка!?. Окружности, впи­
санные в треугольники A B D и BCD,
касаются стороны АС в точках М к N
соответственно. Известно, что A M = 3,
M D = 2, D N = 2, N C = 4. Найдите сто­
роны треугольника АБС.
1828. В треугольнике АБ С на сторо­
не АС взята точка D так, что окружнос­
ти, вписанные в треугольники АБ£) и
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
BCD, касаются. Известно, что A D = 2,
CD = 4, B D = 5. Найдите радиусы ок­
ружностей.
1829. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD проведены диагонали АС и
B D . Известно, что A D = 2, A A B D =
= Z A C D = 90° и расстояние между
центрами окружностей, вписанных в
треугольники A B D и A C D , равно
.
Найдите ВС.
1830. В треугольнике ABC угол
ВСА равен а, а угол ABC равен 2а. Ок­
ружность, проходящая через точки А ,
С и центр описанной около треуголь­
ника AB C окружности, пересекает
продолжение стороны А В (за точку А )
в точке М . Найдите отношение
А М -.А В .
1831. В остроугольном треугольни­
ке AB C высоты пересекаются в точке
М . Площадь треугольника А В М равна
JG . Расстояния от центра окружнос­
ти, описанной около треугольника
ABC, до сторон А С и ВС равны J2 и \
соответственно. Найдите угол С.
1832. Отрезки, соединяющие осно­
вания высот остроугольного треуголь­
ника, равны 8 , 15 и 17. Найдите пло­
щадь треугольника.
1833. Равнобедренные треугольни­
ки ABC (АВ = В С ) и A iB iC j (А^Б^ =
= В ]С {) подобны и АС : А^С^ = 5 : 73 .
Вершины Ах и
расположены соот­
1834. В треугольнике ABC перпен­
дикуляр, проходящий через середину
стороны АВ , пересекает продолжение
стороны ВС в точке М так, что
М С : M B = 1 : 5 . Перпендикуляр, про­
ходящий через середину стороны ВС,
пересекает сторону АС в точке N так,
что A N : N C = 1 : 2 . Найдите углы тре­
угольника ABC.
1835. В выпуклом четырехугольQС
нике A B C D сторона А В равна — , стоо4
рона ВС равна 1 2 , сторона A D равна
64
6
- . Известно, что угол DAB — острый,
4
угол AD C — тупой, причем синус угла
DAB равен | , косинус угла ABC равен
5
65
. Окружность с центром в точке О
касается сторон ВС, CD и A D . Найдите
ОС.
1836. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD отрезок С М , соединяющий
вершину С с точкой М , расположен­
ной на стороне A D , пересекает диаго­
наль B D в точке К . Известно, что
СК : К М = 2 : 1 , CD : D K = 5 : 3 и
Z A B D -t- Z_ A C D = 180°. Найдите отно­
шение стороны А В к диагонали АС.
1837. Докажите, что длину бис­
сектрисы треугольника, проведенной
к стороне, равной а, можно вычислить
по формуле
ветственно на сторонах АС и ВС, а вер­
шина Cl — на продолжении стороны
А В за точку В , причем A j B j перпенди­
кулярна ВС (рис. 73). Найдите угол
ABC.
123
I = ^4р{р-а)Ьс
Ь+ с
гдер^
’
а + Ь+ с
1838.
В остроугольном треугольни­
ке ABC биссектриса A D делит пополам
отрезок О Н , где О — центр описанной
окружности, Н — точка пересечения
высот. Известно, что АС = 2, A D =
= 73 + л/2 - 1. Найдите радиус опи­
санной около треугольника ABC ок­
ружности.
124
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1839. Две окружности радиусов R и
г пересекаются в точках А и В и каса­
ются прямой в точках C vlD . N — точ­
ка пересечения прямых А В и CD (В
между А и Л^). Найдите:
1 ) радиус
окружности, описанной
около треугольникаАС£);
2 ) отношение высот треугольников
N AC и N A D , опущенных из вершины
N.
1840. Точка D леж ит на стороне АС
треугольника ABC. Окружность радио
уса — , вписанная в треугольник ABD,
Л
касается стороны А В в точке М , а ок­
ружность радиуса J z , вписанная в
треугольник BCD, касается стороны
ВС в точке N . Известно, что В М = 6 ,
B N = 5. Найдите стороны треугольни­
ка ABC.
1841. Точка D лежит на стороне АС
треугольника ABC. Окружность S^,
вписанная в треугольник AB D , касает­
ся отрезка B D в точке М ; окружность
S 2 , вписанная в треугольник BCD, — в
точке N . Отношение радиусов окружIT
ностей S j и S 2 равно - . Известно, что
В М = 3, M N = N D = 1. Найдите сторо­
ны треугольника ABC.
1842. В остроугольном треугольни­
ке ABC Z A B C = 7 5 °, а высота, опущен­
ная из вершины этого угла, равна 1 .
Найдите радиус описанной окружнос­
ти, если известно, что периметр тре­
угольника ABC равен 4 +
- J2 .
1843. Докажите формулу Эйлера:
0^0\ =
- 2rR, где О^,
— центры
вписанной и описанной окружностей
треугольника AB C; г, R — радиусы
этих окружностей.
1844. (Теорема Штейнера— Лемуса.)
Докажите, что если две биссектрисы
треугольника равны, то он равнобед­
ренный.
1845. В треугольнике K L M прове­
дена биссектриса M N . Через вершину
М проходят окружность, касающаяся
стороны K L в точке М и пересекающая
сторону К М в точке Р , а сторону L M —
в точке Q. Отрезки К Р , Q M и LQ соот­
ветственно равны k, т к q. Найдите
MN.
1846. В выпуклом четырехуголь­
нике А В К С сторона А В = JS , диаго­
наль ВС равна 1, а углы ABC, В К А и
В К С равны 120°, 30° и 60° соответ­
ственно. Найдите сторону В К .
1847. Два равнобедренных тре­
угольника AB C (АВ = ВС) и M N P
(М Р = N P ) подобны и расположены
так, что точки М , N u P лежат соответ­
ственно на сторонах АВ , ВС и СА. Най­
дите
отношение
М Р : АВ,
если
N C : B N = 2, а угол ВАС равен arctg 4.
1848. Сторона ВС треугольника
ABC равна 4, сторона А В равна 2^19 .
Известно, что центр окружности, про­
ходящей через середины сторон тре­
угольника, леж ит на биссектрисе угла
С. Найдите АС.
1849. В окружности с центром О
проведены параллельные хорды PQ и
RS, диаметр SE и хорда D E . Хорда D E
пересекает хорду PQ в точке F , из точ­
ки F опущен перпендикуляр F H на
SE. Известно, что радиус окружности
равен г, а Е Н = ^ . Найдите расстоя8
ние от середины отрезка ЕО до середи­
ны хорды RQ.
1850. Около окружности описана
равнобедренная трапеция с основа­
ниями AZ) и ВС (A D > ВС). Прямая, па­
раллельная диагонали АС, пересекает
стороныAZ) и CD в точках М u N соот­
ветственно и касается окружности в
точке Р . Найдите углы трапеции, если
МР = k (k < l).
PN
1851.
Около треугольника ABC
описана окружность с центром в точке
О. Касательная к окружности в точке
С пересекается с прямой, делящей по­
полам угол В треугольника, в точке К ,
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
причем угол В К С равен половине раз­
ности утроенного угла А и угла С тре­
угольника. Сумма сторон АС и А В равна 2
^ , а сумма расстояний от точ­
ки О до сторон А С и А В равна 2. Най­
дите радиус окружности.
125
раллельные стороне АС (рис. 74). Най­
дите площадь части треугольника, за­
ключенной между этими прямыми, ес­
ли площадь треугольника А-ВС равна 1.
В
10. П Л О Щ А Д Ь . МЕТОД П Л О Щ А Д Е Й
1852. Докажите, что медиана раз­
бивает треугольник на два равновели­
ких треугольника.
1853. Докажите, что площадь тре­
угольника равна его полупериметру,
умноженному на радиус вписанной
окружности.
1854. Докажите, что площадь тра­
пеции равна произведению средней
линии на высоту.
1855. Точка М делит сторону А В
треугольника A B C в отношении 2 : 5 .
В каком отношении отрезок С М делит
площадь треугольника ABC?
1856. Докажите, что отношение
площадей подобных треугольников
равно квадрату их коэффициента по­
добия.
1857. В треугольнике основание на
4 меньше высоты, а площадь этого тре­
угольника равна 96. Найдите основа­
ние и высоту треугольника.
1858. Какую часть площади, счи­
тая от вершины, отсекает средняя л и ­
ния треугольника?
1859. Проекция диагонали равно­
бедренной трапеции на ее большее ос­
нование равна а, боковая сторона рав­
на Ь. Найдите площадь трапеции, если
угол при ее меньшем основании равен
150°.
1860. Разделите данный треуголь­
ник на три равновеликих треугольни­
ка прямыми, выходящими из одной
вершины,
1861. Через точки М n N , делящие
сторону А В треугольника ABC на три
равные части, проведены прямые, па­
Р и с . 74
1862. Через точку Е, делящую сто­
рону А В треугольника АБС в отноше­
нии — , считая от вершины А , провели
п
прямую, параллельную ВС, В каком
отношении находятся площадь отсе­
ченного треугольника и площадь по­
лучившейся трапеции?
1863. Три средних линии треуголь­
ника разбивают его на четыре части.
Площадь одной из них равна S. Най­
дите площадь данного треугольника.
1864. Сумма двух противополож­
ных сторон описанного четырехуголь­
ника равна 1 0 , а его площадь равна 1 2 .
Найдите радиус окружности, вписан­
ной в этот четырехугольник.
1865. Сумма двух противополож­
ных сторон описанного четырехуголь­
ника равна 1 2 , а радиус вписанной ок­
ружности равен 5. Найдите площадь
четырехугольника.
1866. Каждая из трех окружностей
радиуса г касается двух других. Най­
дите площадь треугольника, образо­
ванного общими внешними касатель­
ными к этим окружностям.
1867. Каждая из трех окружностей
радиуса г касается двух других. Най­
дите площадь фигуры, расположен­
ной вне окружностей и ограниченной
их дугами, заключенными между точ­
ками касания.
126
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1868. Дан треугольник со сторона­
ми 12, 15, 18. Проведена окружность,
касающаяся обеих меньших сторон и
имеющая центр на большей стороне.
Найдите отрезки, на которые центр
окружности делит большую сторону
треугольника.
1869. Катеты прямоугольного тре­
угольника относятся, как 5 : 6 , а гипо­
тенуза равна 122. Найдите отрезки ги­
потенузы, отсекаемые высотой.
1870. В равнобедренном треуголь­
нике угол при вершине равен а, а пло­
щадь равна S. Найдите основание.
1871. Высота, проведенная к осно­
ванию равнобедренного треугольни­
ка, равна h и вдвое больше своей про­
екции на боковую сторону. Найдите
площадь треугольника.
1872. Данный параллелограмм раз­
делите на четыре равновеликих части
прямыми, выходящими из одной вер­
шины.
1873. На сторонах А В и АС тре­
угольника ЛВС, площадь которого
равна 36, взяты соответственно точки
М и К так, что A M : M B = 1 : 3 , а
А К ; К С = 2 : 1 . Найдите площадь тре­
угольника A M К .
1874. На стороне А В треугольника
ABC взяты точки М и N так, что
A M : M N : N B = 2 : 2 :1, а на стороне
А С — точка К так, что А К : К С = 1 : 2 .
Найдите
площадь
треугольника
M N K , если площадь треугольника
ABC равна 1.
1875. На сторонах А В , ВС и АС треугольникаАВС взяты точки C^,A i иВ^
соответственно, причем АС^ : С^В =
=
: A iC = CBi : В^А = 2 : 1 . Найди­
те площадь треугольника
если
площадь треугольника ABC равна 1.
1876. Трапеция разбита диагоналя­
ми на четыре треугольника. Докажи­
те, что треугольники, прилежащие к
боковым сторонам, равновелики.
1877. Боковая сторона треугольни­
ка разделена в отношении 2 : 3 : 4 ,
считая от вершины, и из точек деле­
ния проведены прямые, параллель­
ные основанию. В каком отношении
разделилась площадь треугольника?
1878. Докажите, что если диаго­
наль какого-нибудь четырехугольни­
ка делит другую диагональ пополам,
то она делит пополам и площадь четы­
рехугольника.
1879. Докажите, что прямая, про­
ходящая через середины оснований
трапеции, делит ее на две равновели­
кие части.
1880°. В треугольнике ABC извест­
но, что Z ВАС = а, Z ВСА = у, А В = с.
Найдите площадь треугольника ABC.
1881. Три окружности радиусов 6 ,
7 и 8 попарно касаются друг друга
внешним образом. Найдите площадь
треугольника с вершинами в центрах
этих окружностей.
1882. Из точки А проведены две
прямые, касающиеся окружности ра­
диуса R в точках С VL В так, что тре­
угольник ABC — равносторонний.
Найдите его площадь.
1883. На катете АС прямоугольного
треугольника ABC как на диаметре по­
строена окружность, которая пересе­
кает гипотенузу А В в точке К . Найди­
те площадь треугольника СКВ, если
катет А С равен Ь, а Z ABC = р.
1884. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = ВС) проведена высота
CD. У гол ВАС равен а. Радиус окруж­
ности, проходящей через точки А , С и
D , равен R. Найдите площадь тре­
угольника ABC.
1885. Из точки А , находящейся вне
круга радиуса г, проведены касатель­
ные к окружности А В и АС (В и С —
точки касания), причем Z ВАС = а.
Найдите площадь треугольника АБС.
1886. В прямоугольном треуголь­
нике ABC из вершины В прямого угла
опущена высота B D на гипотенузу АС.
Известно, что А В = 13, B D = 12. Най­
дите площадь треугольника ABC.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1887. В прямоугольном треуголь­
нике АБС из вершины В прямого угла
опущена высота В К на гипотенузу ЛС.
Известно, что А К = 5, А В = 13. Найди­
те площадь треугольника ABC.
1888. На одной стороне угла взяты
точки А и В, на другой — точки С и D.
Найдите геометрическое место точек
М плоскости таких, что треугольники
А В М и C D M равновелики.
1889. Диагональ
прямоугольной
трапеции и ее боковая сторона равны
(рис. 75). Найдите среднюю линию
трапеции, если высота трапеции равна
2 , а боковая сторона равна 4.
1890. Зная большее основание рав­
нобедренной трапеции а, ее высоту h и
угол а при основании, найдите пло­
щадь трапеции.
1891. Средняя линия трапеции рав­
на 1 0 и делит площадь трапеции в от­
ношении 3 : 5 . Найдите основания
трапеции.
1892. Найдите площадь паралле­
лограмма, если одна из его сторон рав­
на 51, а диагонали равны 40 и 74.
1893. Из середины основания тре­
угольника проведены прямые, парал­
лельные боковым сторонам. Докажи­
те, что площадь полученного таким об­
разом параллелограмма равна полови­
не площади треугольника.
1894. Точка X расположена внутри
параллелограмма A B CD . Докажите,
что
S iA B X ) + S {C D X ) =
= S (B C X ) + S (A D X ).
1895. Докажите, что если в трапе­
ции середину М одной боковой сторо­
ны А В соединить с концами другой бо­
127
ковой стороны CD, то площадь полу­
ченного треугольника C M D составит
половину площади трапеции.
1896. Середина одной из диагона­
лей выпуклого четырехугольника со­
единена с концами другой диагонали.
Докажите, что полученная ломаная
делит четырехугольник на две равно­
великие части.
1897. Площ адь треугольника ABC
равна S, /- ВАС = а, АС = Ь. Найдите
ВС.
1898. В треугольнике ABC высота
А Н равна h, А ВАС = а, Z. ВСА = у.
Найдите площадь треугольника ABC.
1899. Около трапеции АВС£) с осно­
ваниями A D и ВС описана окружность
радиуса 6 . Центр этой окружности ле ­
жит на основании AD. Основание ВС
равно 4. Найдите площадь трапеции.
1900. В равнобедренную трапецию
вписан круг. Докажите, что отноше­
ние площади трапеции к площади
круга равно отношению периметра
трапеции к длине окружности.
1901. На окружности радиуса г вы­
браны три точки таким образом, что
окружность оказалась разделенной на
три дуги, которые относятся, как
3 : 4 : 5. В точках деления к окружнос­
ти проведены касательные. Найдите
площадь треугольника, образованного
этими касательными.
1902. Хорды А В и АС равны. Обра­
зованный ими вписанный в окруж­
ность угол равен 30°. Найдите отноше­
ние площади той части круга, которая
заключена в этом угле, к площади все­
го круга.
1903. На основании равносторонне­
го треугольника как на диаметре по­
строена полуокружность, рассекаю­
щая треугольник на две части. Сторо­
на треугольника равна с. Найдите пло­
щадь той части треугольника, которая
лежит вне круга.
1904. Прямая, проходящая через
точки А и В окружности, рассекает ее
на две дуги. Длины этих дуг относятся
128
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
как 1 : 11. В каком отношении хорда
АВ делит площадь круга, ограничен­
ного данной окружностью?
1905. Найдите площадь правиль­
ного шестиугольника, описанного
около окружности, если известно, что
хорда длиной 4 этой окружности уда­
лена от ее центра на 5.
1906. В равнобедренной трапеции
PQ R S диагонали перпендикулярны и
в точке пересечения О делятся в отно­
1912°. В параллелограмме ABCD
угол B A D равен 60°, а сторона А В рав­
на 3. Биссектриса угла А пересекает
сторону ВС в точке Е. Найдите пло­
щадь треугольника А В £ .
1913°. В выпуклом четырехуголь­
нике M N L Q углы при вершинах N и
L — прямые, а угол при вершине М ра­
вен arctg 3. Найдите площадь четы­
рехугольника, если известно, что сто­
рона N L вдвое больше стороны LQ и на
5 больше стороны N M .
шении 1 : V3 . Длина большего основа­
1914°. Периметр ромба равен 48, а
ния P S трапеции равна 1. Найдите
сумма длин диагоналей равна 26. Най­
площадь общей части кругов, описан­
дите площадь ромба.
ных около треугольников PQ O и PO S.
1915. В равнобедренном треуголь­
1907. В равнобедренную трапецию
нике ABC (АВ = ВС) высота А Е = 12, а
с боковой стороной, равной 9, вписана
основание АС = 1 5 . Найдите площадь
окружность радиуса 4, Найдите пло­
треугольника.
щадь трапеции.
1916. В равнобедренном треуголь­
1908. В равнобедренную трапецию
нике ABC с тупым углом А , равным а,
площадью 28 вписана окружность ра­
проведены высоты B N и С М . Найдите
диуса 2. Найдите боковую сторону тра­
отношение площади четырехугольни­
пеции.
ка B M N C к площади треугольника
1909. Точки М к N расположены
ABC.
на стороне ВС треугольника АБ С, а
1917. ДиагоналиАС и B D выпукло­
точка К — на стороне АС, причем
го четырехугольника ABCD, площадь
Е М : M N : N C = 1 : 1 : 2 к СК : А К =
которого равна 28, пересекаются в точ­
= 1 : 4 . Известно, что площадь тре­
ке О. Через середины отрезков ВО и
угольника AB C равна 1. Найдите пло­
DO проведены прямые, параллельные
щадь четырехугольника A/VfTVJsT.
диагонали АС. Найдите площадь час­
1910. Прямые, содержащие боко­
ти четырехугольника, заключенной
вые стороны равнобедренной трапе­
между этими прямыми.
ции, пересекаются под прямым углом
1918. Площ адь данного выпуклого
(рис. 76). Найдите стороны трапеции,
четырехугольника равна S. Найдите
если ее площадь равна 1 2 , а высота
площадь четырехугольника с верши­
равна 2 .
нами в серединах сторон данного.
1919°. Основание
треугольника
равно 36. Прямая, параллельная осно­
ванию, делит площадь треугольника
пополам. Найдите отрезок этой пря­
мой, заключенный между сторонами
треугольника.
1920. На сторонах АВ , ВС и A D па­
раллелограмма A B C D взяты соответ­
1911.
Основание равнобедренногоственно точки К , М п Ь таким образом,
треугольника равно Ь, а высота, опу­
что А К : К В = 2 : 1, В М : М С = 1 : 1,
щенная на боковую сторону, равна h.
A L : L D = 1 : 3 . Найдите отношение
Найдите площадь треугольника.
площадей треугольников K B L и B M L .
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
1921°. Через каждую вершину вы­
пуклого четырехугольника проведены
прямые, параллельные диагонали, не
проходящей через эту вершину. Дока­
жите, что площадь полученного таким
образом параллелограмма вдвое больше
площади данного четырехугольника.
1922. В четырехугольнике A B CD
площади треугольников ABC и ACD
равны. Докажите, что диагональ BD
делится другой диагональю пополам.
1923. Около окружности описана
равнобедренная трапеция с боковой
стороной I. Одно из оснований трапе­
ции равно а. Найдите площадь трапе­
ции.
1924. Площ адь
равнобедренной
трапеции, описанной около круга,
равна S. Найдите среднюю линию тра­
пеции, если острый угол при ее основа­
нии равен а.
1925. В равнобедренную трапецию
вписана окружность радиуса R. Верх­
нее основание трапеции в два раза
меньше ее высоты. Найдите площадь
трапеции.
1926. Площ адь
равнобедренной
трапеции, описанной около круга,
равна S, а высота трапеции в два раза
меньше ее боковой стороны. Найдите
радиус круга.
1927. В равнобедренную трапецию,
боковая сторона которой равна 5, а
одно из оснований 2 , можно вписать
окружность. Найдите высоту трапе­
ции.
1928°. На катете ВС прямоугольно­
го треугольника ЛВС как на диаметре
построена окружность, пересекающая
гипотенузу А В в точке К . Найдите пло­
щадь треугольника В С К , если ВС = а,
СА^Ъ.
1929. В окружность вписана трапе­
ция ABCD, причем ее основания А В = 1
и DC = 2. Обозначим точку пересече­
ния диагоналей этой трапеции через
F. Найдите отношение суммы площа­
дей треугольников A B F и C D F к сумме
площадей треугольников AF£) и BCF.
5 С борник задач по геометрии
129
1930°. Найдите площадь трапеции,
если ее диагонали равны 17 и 113, а
высота равна 15.
1931°. Стороны треугольника рав­
ны 10,17 и 21. Найдите высоту, прове­
денную к большей стороне.
1932. В трапеции большее основа­
ние равно 5, одна из боковых сторон
равна 3. Известно, что одна из диаго­
налей перпендикулярна заданной бо­
ковой стороне, а другая делит угол
между заданной боковой стороной и
основанием пополам. Найдите пло­
щадь трапеции.
1933. Одно из оснований трапеции
служ ит диаметром окружности ради­
уса R, а другое является хордой и отсе­
кает от окружности дугу в а радиан
(О < а < п). Найдите площадь трапе­
ции.
1934. Найдите площадь равнобед­
ренного треугольника, если высота,
опущенная на основание, равна 1 0 , а
высота, опущенная на боковую сторо­
ну, равна 1 2 .
1935. В прямоугольный равнобед­
ренный треугольник ABC с прямым
углом при вершине В вписан прямо­
угольник M N K B так, что две его сто­
роны M B и К В леж ат на катетах, а вер­
шина N — на гипотенузе АС. В каком
отношении точка N должна делить ги­
потенузу, чтобы площадь параллело­
грамма составляла 18% площади тре­
угольника?
1936. В треугольнике ABC даны
три стороны: А В = 26, ВС = 30 и АС =
= 28. Найдите часть площади этого
треугольника, заключенную между
высотой и биссектрисой, проведенны­
ми из вершины В.
1937. Данный
параллелограмм
разделите на три равновеликие части
прямыми, выходящими из одной вер­
шины.
1938. Точки M u N принадлежат со­
ответственно сторонам АВ и АС тре­
угольника ABC или их продолжени-
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
130
1945. Боковые стороны трапеции
равны 3 и 5. Известно, что в трапецию
можно вписать окружность. Диагона­
жите, что площади треугольников
ли трапеции делят ее на четыре тре­
A M N и ABC относятся как — : •2-.
п
q
угольника, причем наименьшая из
площадей этих треугольников в 7 раз
1939°. Докажите, что медианы тре­
угольника делят его на шесть равнове­
меньше среднего значения площади.
ликих треугольников.
Найдите основания трапеции.
1940.
Пусть М , N , К к L — середи­ 1946. Дан треугольник со сторона­
ны сторон CD, D A , А В и ВС квадрата
ми 10, 24 и 26. Две меньшие стороны
AB CD , площадь которого равна S
являются касательными к окружнос­
(рис. 77). Найдите площадь четырех­
ти, центр которой лежит на большей
угольника, образованного прямыми
стороне. Найдите радиус окружности.
A M , B N , СК и D L.
1947. В треугольник со сторонами а
и Ь и углом между ними а вписан полу­
круг, диаметр которого лежит на
третьей стороне. Найдите его радиус.
1948. Пятиугольник A B C D E впи­
сан в окружность единичного радиуса.
ям, причем A M ^ т A N _ £_ . ДокаАВ
п
АС
q
1941. Прямая, параллельная осно­
ванию треугольника, делит его на час­
ти, площади которых относятся как
2 : 1 , считая от вершины. В каком от­
ношении она делит боковые стороны?
1942. Через точки R u E , принадле­
жащие сторонам А В и A D параллелоо
грамма ABCD и такие, что A R = - АВ,
О
А Е = - A D , проведена прямая. Найди3
те отношение площади параллело­
грамма к площади полученного тре­
угольника.
1943. В прямоугольном треуголь­
нике ABC с прямым углом В биссект­
риса угла А пересекает сторону ВС в
точке D . Известно, что B D = 4, DC = 6 .
Найдите площадь треугольника ADC.
1944. Отрезок, соединяющий сере­
дины двух противоположных сторон
выпуклого четырехугольника, разде­
л и л его на два четырехугольника,
имеющих равные площади. Докажи­
те, что эти стороны параллельны.
Известно, что А В ^ J2 , А А В Е = 45°,
Z E B D = 30° и ВС = CD. Найдите пло­
щадь пятиугольника.
1949. В прямоугольный треуголь­
ник ABC вписан прямоугольник
D E K M вдвое меньшей площади. Вер­
шины D и Е лежат на гипотенузе ВС,
вершины К и М — на катетах. Найди­
те углы треугольника ABC, если сторо­
на D E прямоугольника относится к
стороне D M , как 5 : 2 .
1950. Дан равнобедренный тре­
угольник ABC, в котором А В = ВС,
Z. A B C = 120°. Расстояние от середины
стороны А В до основания АС равно а.
Найдите площадь круга, вписанного в
треугольник ABC.
1951. Боковые стороны трапеции
равны 3 и 5. Известно, что в трапе­
цию можно вписать окружность.
Средняя линия трапеции делит ее на
две части, отношение площадей кото­
рых равно ^ . Найдите основания тра­
пеции.
1952. Центр О окружности радиуса
3 леж ит на гипотенузе ЛС прямоуголь­
ного треугольника ABC. Катеты тре­
угольника касаются окружности. Най­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
дите площадь треугольника ABC, если
известно, что ОС = 5.
1953. В прямоугольном треуголь­
нике ABC биссектриса прямого угла В
пересекает гипотенузу АС в точке М .
Найдите площадь треугольника ABC,
если расстояние от точки М до катета
ВС равно 4, 8,A M = 5.
1954. В прямоугольном треуголь­
нике ABC биссектриса прямого угла В
пересекает гипотенузу АС в точке М .
Найдите расстояние от точки М до ка­
тета ВС, если катет А В равен 5, а катет
ВС равен 8 .
1955. Прямая делит длину дуги ок­
ружности в отношении 1 : 3. В каком
отношении делит она площадь круга?
1956. Даны две концентрические
окружности. Касательная к меньшей
окружности делит длину дуги боль­
шей окружности в отношении 1 : 5 .
Найдите отношение площадей кругов,
ограниченных этими окружностями.
1957. Дан ромб с острым углом а.
Какую часть площади ромба составля­
ет площадь вписанного в него круга?
1958. В равнобедренной трапеции
A B C D основание A D равно а, основа­
ние ВС равно Ь, А В = d. Через вершину
В проведена прямая, делящая попо­
лам диагональ АС и пересекающая A D
в точке К . Найдите площадь треуголь­
ника B D K .
1959. Площадь
равнобедренной
трапеции равна 32. Котангенс угла
между диагональю и основанием ра­
вен 2. Найдите высоту трапеции.
1960. Внутри прямого угла дана
точка М , расстояния которой от сто­
рон угла равны 4 и 8 . Прямая, прохо­
дящая через точку М , отсекает от пря­
мого угла треугольник площадью 1 0 0 .
Найдите катеты треугольника.
1961. Диагональ равнобедренной
трапеции делит ее тупой угол попо­
лам. Меньшее основание трапеции
равно 3, периметр равен 42. Найдите
площадь трапеции.
131
1962. Основания трапеции равны а
и Ь, углы при большем основании рав­
ны 30° и 45°. Найдите площадь трапе­
ции.
1963. В равнобедренной трапеции
A B C D (рис. 78) боковая сторона А В и
меньшее основание ВС равны 2, а BD
перпендикулярна АВ . Найдите пло­
щадь трапеции.
В_
D
Р и с . 78
1964. Найдите площадь равнобед­
ренной трапеции, зная ее диагональ I и
угол а между этой диагональю и боль­
шим основанием.
1965. Из точки А к окружности с
центром в точке N проведены две каса­
тельные, которые касаются окружнос­
ти в точках В и М . Хорда В М пересе­
кает отрезок N A в точке К . Отрезок N K
7
в - раза меньше отрезка К А ; А В = 4.
4
Найдите площадь треугольника ВАК.
1966. Найдите высоту равнобед­
ренной трапеции, если ее диагонали
взаимно перпендикулярны, а пло­
щадь трапеции равна S.
1967°. В прямоугольном треуголь­
нике ABC расположен прямоугольник
Е К М Р так, что сторона Е К лежит на
гипотенузе ВС, а вершины M vlP — на
катетахАС и А В соответственно. Катет
АС равен 3, а катет А В равен 4. Найди­
те стороны прямоугольника Е К М Р ,
если его площадь равна | , а периметр
и
меньше 9.
1968.
В равносторонний треуголь­
ника ABC вписан прямоугольник
PQ R S так, что основание прямоуголь­
ника R S лежит на стороне ВС, а вер­
шины P n Q — на сторонах А Б и АС со­
132
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ответственно. В каком отношении точ­
ка Q должна делить сторону АС, чтобы
площадь прямоугольника P Q R S составляла
45
— площади треугольника
ABC?
1969. В треугольнике А 6 С сторона
ВС равна 6 , сторона АС равна 5, а угол
при вершине В равен 30°. Найдите
площадь треугольника, если расстоя­
ние от вершины А до прямой ВС мень­
ше чем
.
Л
1970. Найдите площадь треуголь­
ника, если две стороны его соответ­
ственно равны 27 и 29, а медиана
третьей стороны равна 26.
1971. Прямоугольные треугольни­
ка АБС vlA B D имеют общую гипотену­
зу А Б = 5. Точки С vlD расположены по
разные стороны от прямой, проходя­
щей через точки А и Б, ВС = B D = 3.
Точка Е лежит на АС, ЕС — 1. Точка F
лежит на A D , F D = 2. Найдите пло­
щадь пятиугольника EC B DF.
1972°. Диагонали равнобедренной
трапеции перпендикулярны. Найдите
площадь трапеции, если ее средняя
линия равна 5.
1973. Диагональ
равнобедренной
трапеции перпендикулярна боковой
стороне. Найдите острый угол и боль­
шее основание трапеции, если мень­
шее основание равно 3 и высота трапе­
ции равна 2 .
1974. В треугольнике АБС точка D
лежит наАС, причем A D = 2DC. Точка
Е лежит на ВС. Площ адь треугольни­
ка АБ£) равна 3, площадь треугольни­
ка A E D равна 1. Отрезки А Е и B D пе­
ресекаются в точке О. Найдите отно­
шение площадей треугольников А В О
и O ED.
1975. В треугольнике АБС проведе­
ны высоты А Е и CD. Найдите сторону
А Б , если Б£) = 18, DC = 30, А Е = 20.
1976. В равнобедренном треуголь­
нике АБС боковые стороны ВС и АС в
два раза больше основания АБ . Бис­
сектрисы углов при основании пересе­
каются в точке М . Какую часть тре­
угольника АБС составляет площадь
треу гол ьника А М Б ?
1977. Докажите, что площадь вы­
пуклого четырехугольника равна по­
ловине произведения его диагоналей
на синус угла между ними.
1978. В треугольнике АБС проведе­
ны биссектрисы C F и A D . Найдите от­
ношение площадей треугольников
A F D и АБС, если АБ ; АС : ВС =
= 2 1 : 28 : 2 0 .
1979. Найдите площадь трапеции
A B C D (A D II ВС), если ее основания от­
носятся как 5 : 3, а площадь треуголь­
ника A D M равна 50, где М — точка пе­
ресечения прямых А Б и CD.
1980. Основание треугольника рав­
но 2 0 ; медианы, проведенные к боко­
вым сторонам, равны 18 и 24. Найдите
площадь треугольника.
1981. В треугольнике АБС проведе­
ны медианы B D и СЕ; М — их точка
пересечения. Докажите, что треуголь­
ник В М С равновелик четырехуголь­
нику А_ОМ£.
1982. В параллелограмме A B C D на
диагонали АС взята точка Е , где рас­
стояние А Е составляет треть АС, а на
стороне A D взята точка
где расстоя­
ние A F составляет четверть A D . Най­
дите
площадь
параллелограмма
A B C D , если известно, что площадь че­
тырехугольника А Б С £ , где G — точка
пересечения прямой F E со стороной
ВС, равна 8 .
1983. В выпуклом четырехуголь­
нике A C B D , площадь которого равна
25, проведены диагонали. Известно,
что площадь треугольника АБС вдвое
больше площади треугольника АС£), а
площадь треугольника B C D втрое
больше площади треугольника B D A .
Найдите
площади
треугольников
АБС, A C D , A D B и B C D .
1984. В ромбе A B C D , где
BAD =
= 60°, перпендикуляр к стороне A D ,
восставленный из середины A D , пере­
ПЛтШ ИМЕТРИЯ
133
они лежат. Найдите отношение пло­
секает диагональ АС в точке N . Найди­
щади четырехугольника E F P H к пло­
те отношение площади треугольника
щади параллелограмма АБС£).
M N D к площади ромба АВС£).
1985.
В параллелограмме A B CD 1990. В треугольнике АБС проведе­
ны биссектриса B D угла АБС и бис­
(рис. 79) сторона А В равна 6 , а высота,
сектриса
A F угла ВАС (точка D лежит
проведенная к основанию A D , равна 3.
на
стороне
АС, а точка F — на стороне
Биссектриса угла B A D пересекает сто­
ВС).
Найдите
отношение площадей
рону ВС в точке М так, что М С = 4;
треугольников
ABC
и CDF, если из­
N — точка пересечения биссектрисы
вестно,
что
А
Б
=
6
,
ВС
= 4 и А С = 3.
A M и диагонали B D . Найдите площадь
1991.
Через
точку,
взятую на ди­
треугольника B N M .
агонали АС параллелограмма ABCD,
проведены прямые, параллельные его
сторонам. Данный параллелограмм
делится, таким образом, на четыре па­
раллелограмма, из которых два имеют
своими диагоналями части диагонали
АС. Докажите, что два других парал­
Р и с . 79
лелограмма равновелики.
1992. На отрезке, соединяющем се­
1986. В параллелограмме A B C D на
редины оснований трапеции, взята
стороне АВ взята точка М так, что
точка и соединена со всеми вершина­
А В = З А М ; N — точка пересечения
ми трапеции. Докажите, что треуголь­
прямых АС vlD M . Найдите отношение
ники, прилежащие к боковым сторо­
площади треугольника АМ Л" к площа­
нам трапеции, равновелики.
ди всего параллелограмма.
1993. Медианы A N и В М треуголь­
1987. В параллелограмме АБС£) из­
ника
АБС равны 6 и 9 соответственно и
вестно, что А Б = 4 ,A D = 6 . Биссектри­
пересекаются в точке К , причем угол
са угла B A D пересекает сторону ВС в
А К В равен 30°. Найдите площадь тре­
точке М , при этом A M = 4 лУЗ . Найдите
угольника АБС.
площадь четырехугольникаАМ С£).
1994. Из внешней точки А проведе­
1988. Точки Е , F, М расположены
ны к кругу касательная А Б и секущая
соответственно насторонахАБ, ВС, АС
ACD. Найдите площадь треугольника
треу го л ьн ик а А_ВС. ОтрезокА-Е состав­
CBD, если АС : А Б = 2 : 3 и площадь
ляет одну треть стороны А В , отрезок
треугольника АБС равна 20.
B F составляет одну шестую стороны
1995. А Б и CD — две непересекаюВС, отрезок A M составляет две пятых
щиеся хорды, причем и А Б = 120° и
стороны АС. Найдите отношение пло­
иС£) = 90°; М — точка пересечения
щади треугольника E F M к площади
хорд A D и ВС. Найдите площади тре­
треугольника А Б С .
угольников A M В и C M D , если их сум­
1989. А , В , С, D — последователь­
ма равна 1 0 0 .
ные вершины параллелограмма. Точ­
1996. Докажите, что сумма рас­
ки Е , F , Р , Н лежат соответственно на
стояний от любой точки основания
сторонах АБ , ВС, CD, A D . Отрезок А Е
равнобедренного треугольника до бо­
ковых сторон равна высоте этого тре­
составляет | стороны АБ , отрезок B F
угольника, проведенной к боковой
стороне.
составляет ^ стороны ВС, а точки Р и
1997. Докажите, что сумма рас­
стояний от любой точки внутри равно­
Н делят пополам стороны, на которых
134
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
стороннего треугольника до его сторон
равна высоте этого треугольника.
1998. Точка D лежит на стороне СВ
прямоугольного треугольника ABC
(Z С = 90°), причем А В = 5, A A D C =
= arccos
, DB =
. Найдите
Ло
3
площадь треугольника ABC.
1999. Найдите площадь равнобед­
ренного треугольника, если высота,
опущенная на основание, равна 1 0 , а
высота, опущенная на боковую сторо­
ну, равна 1 2 .
2000. В треугольнике ABC биссект­
риса угла ABC пересекает сторону АС в
точке К . Известно, что ВС = 2, К С = 1,
ВК =
. Найдите площадь треуголь-
ника ABC.
2001°. В трапеции A B CD , описан­
ной около окружности, ВС IIA D , А В =
= CD, Z. BAD = 45°. Площадь трапе­
ции равна 10. Найдите АВ .
2002. Площ адь трапеции A B C D с
основаниями A D и ВС (AD > ВС) равна
48, а площадь треугольника АОБ, где
О — точка пересечения диагоналей
трапеции, равна 9. Найдите отноше­
ние оснований трапеции A D : ВС.
2003. Прямая, параллельная сто­
роне А В треугольника ABC, пересека­
ет сторону ВС в точке М , а сторону
АС — в точке N . Площадь треугольни­
ка M C N в два раза больше площади
трапеции AB M iV . Найдите С М : M B .
2004. Около трапеции K L M N опи­
сана окружность, причем основание
K N является ее диаметром. Известно,
что K N = 3, L M = 2. Хорда М Т пересе­
кает диаметр K N в точке S такой, что
K S : S N = 1 : 3 . Найдите площадь тре­
угольника S T N .
2005. В параллелограмме лежат
две окружности, касающиеся друг
друга и трех сторон параллелограмма
каждая. Радиус одной из окружностей
равен 1. Известно, что один из отрез­
ков стороны параллелограмма от вёр-
шины до точки касания равен J s .
Найдите площадь параллелограмма.
2006. В выпуклый четырехуголь­
ник ABCD вписана окружность с цент­
ром в точке О, причем АО = ОС, ВС = 5,
C D = 12, а угол DAB — прямой. Найди­
те площадь четырехугольника ABCD.
2007. В окружность радиуса 13
вписан четырехугольник, диагонали
которого взаимно перпендикулярны.
Одна из диагоналей равна 18, а рас­
стояние от центра окружности до точ­
ки пересечения диагоналей равно
4 л/б . Найдите площадь четырехуголь­
ника.
2008. Даны две непересекающиеся
окружности, к ним проведены общие
касательные, которые пересекаются в
точке А отрезка, соединяющего цент­
ры окружностей (рис. 80). Радиус
меньшей окружности равен R. Рас­
стояние от точки А до центра окруж­
ности большего радиуса равно 6R. Точ­
ка А делит длину отрезка касательной,
заключенного между точками каса­
ния, в отношении 1 : 3 . Найдите пло­
щадь фигуры, ограниченной отрезка­
ми касательных и большими дугами
окружностей, соединяющими точки
касания.
2009.
Равнобедренный
прямо­
угольный треугольник ABC (/ -В —
прямой), площадь которого равна
4 -t- 2л/2 , вписан в окружность. Точка
D лежит на этой окружности, причем
хорда B D равна 2. Найдите хорды AD
и CD.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2010. А , В , С, D — последователь­
ные вершины прямоугольника. Ок­
ружность проходит через А и В и каса­
ется стороны C D в ее середине. Через D
проведена прямая, которая касается
той же окружности в точке Е , а затем
пересекает продолжение стороны А В в
точке К . Найдите площадь трапеции
B C D K , если известно, что А В = 10 и
ч т о К Е : К А = 3 : 2.
2011. Вне прямого угла с вершиной
С, на продолжении его биссектрисы
взята точка О так, что ОС = 72 . С цент­
ром в точке О построена окружность
радиуса 2. Найдите площадь фигуры,
ограниченной сторонами угла и дугой
окружности, заключенной между ни­
ми.
2012. Внутри угла в 120° с верши­
ной С, на его биссектрисе взята точка
О так, что ОС ^ ^ • С центром в точке
О построена окружность радиуса 1.
Найдите площадь фигуры, ограничен­
ной сторонами угла и дугой окружнос­
ти, заключенной между ними.
2013. Дана трапеция A B C D с осно­
ваниями A D и В С . Диагонали АС и B D
пересекаются в точке О, а прямые А В
и C D — в точке К . Прямая К О пересе­
кает стороны В С и A D в точках М и N
соответственно, Z B A D = 30°. Извест­
но, что в трапеции A B M N и N M D C
можно вписать окружности. Найдите
отношение площадей треугольника
В К С и трапеции АВС£).
2014. В треугольнике A B C боковые
стороны А В и В С равны а, уголА В С ра­
вен 120°. В треугольник ABC вписана
окружность, касающаяся стороны АВ
в точке D . Вторая окружность имеет
центром точку В и проходит через точ­
ку D . Найдите площадь той части впи­
санного круга, которая находится вну­
три второго круга.
2015. В треугольнике B C D косинус
у гла B C D равен 2 , В С = 4, CD =
4
8
. Точ-
135
ка А лежит на стороне C D данного тре­
угольника так, что СА = 2. Найдите
отношение площади круга, описанно­
го около треугольника B C D , к площа­
ди круга, вписанного в треугольник
ABD.
2016. В правильном треугольнике
ABC проведена окружность, проходя­
щая через центр треугольника и ка­
сающаяся стороны ВС в ее середине D .
Из точки А проведена прямая, касаю­
щаяся окружности в точке Е так, что
Z В А Е < 30°. Найдите площадь тре­
угольника А В Е , если площадь тре­
угольника ABC равна —
.
4-V2
2017. В треугольнике ABC на сторо­
нах А В и АС выбраны соответственно
точки B i и C l так, что АВ^ : А В = 1 : 3
и АС^ : АС = 1 : 2 . Через точки А , В^ и
C l проведена окружность. Через точку
B i проведена прямая, пересекающая
отрезок A C j в точке D , а окружность —
в точке Е . Найдите площадь треуголь­
ника BjCjjE, если A C j = 4, A D = 1,
D E = 2, а площадь треугольника ABC
равна 1 2 .
2018. В круге радиуса г проведена
хорда длины а. Найдите площадь по­
лучившегося сегмента.
2019. В правильном треугольнике
A B C , сторона которого равна а, прове­
дена высота В К . В треугольники AB1!l
и в е к вписано по окружности и к ним
проведена общая внешняя касатель­
ная, отличная от стороны АС. Найдите
площадь треугольника, отсекаемого
этой касательной от треугольника
ABC.
2020. Найдите площадь треуголь­
ника, если две его стороны равны 1 и
/Дб , а медиана, проведенная к треть­
ей стороне, равна 2 .
2021. Найдите площадь треуголь­
ника, две стороны которого равны 8 и
8 , а медиана, заключенная между ни­
ми, равна 5.
136
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2022. В выпуклом четырехуголь­
нике АВС£) диагонали АС и B D равны
соответственно атл.Ъ. Точки Е , F , G vl
Н — середины сторон соответственно
А В , ВС, CD и DA. Площадь четырех­
угольника jBFGH равна S. Найдите ди­
агонали E G и H F четырехугольника
EFGH.
2023. Отрезки, соединяющие сере­
дины противоположных сторон вы­
пуклого четырехугольника, равны
между собой. Найдите площадь четы­
рехугольника, если его диагонали рав­
ны 8 и 1 2 .
2024. В трапеции A B C D основание
А В равно а, основание CD равно Ъ.
Найдите площадь трапеции, если из­
вестно, что диагонали трапеции явля­
ются биссектрисами углов DAB и ABC.
2025. В равнобедренной трапеции
отрезок, соединяющий середины осно­
ваний, равен 5, а диагонали взаимно
перпендикулярны. Найдите площадь
трапеции.
2026. В равнобедренной трапеции
основания равны 40 и 24, а ее диагона­
ли взаимно перпендикулярны. Найди­
те площадь трапеции.
2027. Расстояния от точки М , ле­
жащей внутри треугольника AB C, до
его сторон АС и ВС соответственно рав­
ны 2 и 4. Найдите расстояние от точки
М до прямой А В , если А В = 10, ВС =
= 17,АС = 21.
2028. На стороне A D ромба ABCD
взята точка М , причем M D = 0,3AD и
В М = М С = 1 1 . Найдите площадь тр>еугольника В С М .
2029. В трапеции A B C D /. BAD =
= 45°, /.A D C — 90°. Окружность,
центр которой леж ит на отрезке A D ,
касается прямых A S , ВС и CD. Найди­
те площадь трапеции, если известно,
что радиус окружности равен R.
2030. В полукруге расположен пря­
моугольник А Б С !) так, что его сторона
А В леж ит на диаметре, ограничиваю­
щем полукруг, а вершины С u D — на
ограничивающей полукруг дуге. Ра­
диус полукруга равен 5. Найдите стоpotibi прямоугольника ABCD, если его
площадь равна 24, а диагональ боль­
ше 8 .
2031. В прямоугольном треуголь­
нике ABC из вершины прямого угла С
проведены биссектриса CL и медиана
С М . Найдите площадь треугольника
АБС, если L M = а, С М = Ъ.
2032. В правильный треугольник
ABC вписан прямоугольный треуголь­
ник M N C так, что вершина прямого
угла N лежит на АС, а вершина М ле­
жит на стороне А В . В каком отноше­
нии точка N должна делить сторону
АС, чтобы площадь треугольника
M N C составляла ^ от площади треУ
угольника АВС7
2033. В прямоугольный равнобед­
ренный треугольник АБС с прямым
углом при вершине В вписан прямо­
угольный треугольник M N C так, что
M N C = 90°, точка N лежит на АС, а
точка М — на стороне АВ. В каком от­
ношении точка N должна делить гипо­
тенузу АС, чтобы площадь треугольО
ника M N C составляла - от площади
О
треугольника АБС?
2034. Около трапеции AjBCD описа­
на окружность, центр которой лежит
на основании A D . Найдите площадь
О
трапеции, если А Б = - , АС = 1.
4
2035. Найдите площадь треуголь­
ника АБС, если АС = 3, ВС = 4, а меди­
аны А К и B L взаимно перпендикуляр­
ны.
2036. Дан параллелограмм ABCD
со сторонами А Б = 2 и ВС = 3. Найдите
площадь этого параллелограмма, если
известно, что диагональ АС перпенди­
кулярна отрезку B E , соединяющему
вершину В с серединой Е стороны AD.
2037. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD биссектриса угла АБС пе­
ресекает сторону A D в точке М , а пер­
пендикуляр, опущенный из вершины
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
А на сторону ВС, пересекает ВС в точке
N так, что B N = N C и A M = 2 M D
(рис. 81). Найдите стороны и площадь
четырехугольника ABCD, если его пе­
риметр равен 5 +
Z A 6 C = 60°.
^ B A D = 90° и
Рис. 81
2038. В трапеции A B C D стороны
ВС n A D параллельны, ВС = a ,A D = Ъ,
Z CAD = а, Z ВАС = р. Найдите пло­
щадь трапеции.
2039. Высота трапеции, диагонали
которой взаимно перпендикулярны,
равна 4. Найдите площадь трапеции,
если известно, что одна из ее диагона­
лей равна 5.
2040. Стороны треугольника равны
13,14 и 15. Найдите радиус окружнос­
ти, которая имеет центр на средней
стороне и касается двух других сторон.
2041. Окружность, центр которой
расположен на стороне треугольника,
касается двух других его сторон, рав­
ных а и 6 . Найдите радиус этой окруж­
ности, если угол между данными сто­
ронами треугольника равен а.
2042. В параллелограмме A B CD
большая сторона A D равна 5. Биссект­
рисы углов А и В пересекаются в точке
М . Найдите площадь параллелограм­
ма, если В М = 2, а cos Z В А М = 0,8.
2043. В равнобедренной трапеции
средняя линия равна а, а диагонали
взаимно перпендикулярны. Найдите
площадь трапеции.
137
2044. Даны отрезки а, Ь к с. С по­
мощью циркуля и линейки постройте
такой отрезок х, что х : а = Ь : с.
2045. У треугольника известны две
стороны а = 2, Ь = 3 и площадь S =
=
. Медиана, проведенная к его
третьей стороне, меньше ее половины.
Найдите радиус описанной около это­
го треугольника окружности.
2046. На боковой стороне А В трапе­
ции A B C D взята такая точка М , что
A M : В М = 2 : 3 . На противоположной
стороне CD взята такая точка N , что
отрезок M N делит трапецию на части,
одна из которых по площади втрое
больше другой. Найдите отношение
CN : DN, еслиB C :A D = 1 :2 .
2047. В трапеции AB C D (ВС II A D )
диагонали пересекаются в точке М ,
ВС = Ъ, A D = а. Найдите отношение
площади треугольника А В М к площа­
ди трапеции ABCD.
2048. Площадь
равнобедренной
трапеции равна J z . У го л между ди­
агональю и основанием на 2 0 ° больше
угла между диагональю и боковой сто­
роной. Найдите острый угол трапе­
ции, если ее диагональ равна 2 .
2049. Пусть г и В — радиусы впи­
санной и описанной окружностей пря­
моугольного треугольника. Докажи­
те, что площадь треугольника равна
г( 2 Д + г).
2050. Треугольник и вписанный в
него ромб имеют общий угол. Стороны
треугольника,
заключающие
этот
угол, относятся как m : п. Найдите от­
ношение площади ромба к площади
треугольника.
2051. В треугольнике ABC проведе­
на прямая D E , параллельная основа­
нию АС. Площадь треугольника ABC
равна 8 , а площадь треугольника DEC
равна 2. Найдите отношение отрезка
D E к основанию треугольника АБС.
2052. В трапеции A_BCD отрезки АБ
и CD являются основаниями. Диаго­
138
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
нали трапеции пересекаются в точке
Е. Найдите площадь треугольника
ВСЕ, если А В = 30, £)С = 24, A D = 3 и
^ DAB = 60°.
2053. В трапеции A B C D основание
А В в три раза больше основания CD.
На основании CD взята точка М так,
что М С = 2 M D . N — точка пересече­
ния прямых В М и АС. Найдите отно­
шение площади треугольника M N C к
площади всей трапеции.
2054. Дан треугольник ABC. На
сторонах А В и ВС взяты точки М vlN
соответственно; А В = ЗАМ, ВС = 5BN.
Отрезки A N и С М пересекаются в точ­
ке О. Найдите отношение площадей
треугольников АОС vlABC.
2055. В параллелограмме A B CD на
диагонали АС взята точка Е так, что
А Е : ЕС = 1 : 3, а на стороне A D взята
такаяT04KaF, ч то А Р : F D = 1 ; 2. Най­
дите
площадь
четырехугольника
A B G E , где G — точка пересечения пря­
мой F E со стороной ВС, если известно,
что площадь параллелограмма A B CD
равна 24.
2056. На стороне А В треугольника
ABC взята точка Е , &на. стороне ВС —
точка D так, что отрезок А £ равен 2, а
отрезок CD равен 1. Прямые A D и СЕ
пересекаются в точке О. Найдите пло­
щадь четырехугольника B D O E, если
каждая из сторон А В и ВС равна 8 , а
сторонаАС равна 6 .
2057. На сторонах выпуклого четырехугольникаАВС£), площадь которо­
го равна 1, взяты точки: К — на A S ,
L — на ВС, М — на CD, N — на A D .
При этом А К -.К В = 2 : 1 , B L : LC =
= 1 : 3 , С М : M D = 1 : 1 , D N :N A = ^
= 1 : 5 . Найдите площадь шестиуголь­
ника AiCLCMA^.
2058. Диагональ трапеции делит ее
площадь в отношении 3 : 7. В каком
отношении разделится площадь этой
трапеции, если из конца меньшего ос­
нования провести прямую, параллель­
ную боковой стороне?
2059. В треугольнике ABC проведе­
ны высоты A D и СЕ. Найдите отноше­
ние площадей треугольников ABC и
A E D , если А В = 6 , АС = 5, СБ = 7.
2060. Известно, что А В — диаметр
окружности; ВС и АС — хорды, при­
чем иБС = 60°; D — точка пересечения
продолжения диаметраАБ и касатель­
ной CD (рис. 82). Найдите отношение
площадей треугольников DCB и DCA.
2061. В треугольнике АБС извест­
но, что А В = 8 , АС = 6 , Z ВАС = 60°.
Найдите биссектрису А М .
2062. Точка D лежит на стороне ВС
равнобедренного треугольника АБС
(АБ = СВ), причем CZ) = | СВ, Z АСБ =
= arccos ^ , A D = ? . Найдите площадь
Л
4
треугольника АБС.
2063. В треугольнике АБС биссект­
риса угла ВАС пересекает сторону ВС в
точке М . Известно, чтоАБ = ВС = 2АС,
A M = 4. Найдите площгда треугольникаАБС.
2064. В трапецию, у которой мень­
шее основание равно 6 , вписана ок­
ружность. Одна из боковых сторон де­
лится точкой касания на отрезки с
длинами 9 и 4. Найдите площадь тра­
пеции.
2065. Наименьший из углов прямо­
угольного треугольника равен а. Ч е­
рез середину меньшего катета п сере­
дину гипотенузы проведена окруж­
ность, касающаяся гипотенузы. Най­
дите отношение площадей круга и тре­
угольника.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2066. Радиус окружности, описан­
ной около прямоугольного треуголь­
ника, относится к радиусу вписанной
в него окружности, как 5 : 2. Найдите
площадь треугольника, если один из
его катетов равен а.
2067. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E диагонали B E и СЕ являются
биссектрисами углов при вершинах В
и С соответственно, / L A = 35°, /LD =
= 145°, а площадь треугольника ВСЕ
равна 11. Найдите площадь пяти­
угольника A B C D E .
2068. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E диагонали A D и B D являются
биссектрисами углов при вершинах А
и В соответственно, Z C = 1 1 5 ° , Z £ =
= 65°, а площадь треугольника A B D
равна 13. Найдите площадь пяти­
угольника A B C D E .
2069. В ромб, одна из диагоналей
которого равна 1 0 , вписан круг ради­
уса 3. Вычислите площадь части ром­
ба, расположенной вне круга. Будет
ли эта площадь больше 9? (Ответ обо­
снуйте.)
2070. В треугольнике F G H угол
G — прямой, FG = 8 , О Н = 2. Точка D
лежит на стороне F H , А и Б — точки
пересечения медиан треугольников
FG D и D G H . Найдите площадь тре­
угольника GAB.
2071. В трапеции B CD E (CD ||B E )
известно, что D E = Ь, а расстояние от
середины отрезка ВС до прямой D E
равно d. Найдите площадь трапеции.
2072. В окружность радиуса
вписана трапеция АВС£), причем ее ос­
нование A D является диаметром, а
угол B AD равен 60°. Хорда СЕ пересе­
кает диаметр A D в точке Р такой, что
А Р : P D = 1 : 3 . Найдите площадь тре­
угольника В Р Е .
2073. Четырехугольник ABCD впи­
сан в круг с центром в точке О;
Z. ВО А = Z COD = 60°. Перпендику­
ляр В К , опущенный из вершины В на
сторону A D , равен 6 ; ВС в три раза
139
меньше A D . Найдите площадь тре­
угольника COD.
2074. На стороне ВС треугольника
ABC как на диаметре построена ок­
ружность, пересекающая стороны АВ
и АС в точках M u N . Найдите площадь
треугольника A M N , если площадь
треугольника ABC равна S, а угол ВАС
равен а.
2075. Окружность радиуса R про­
ходит через вершины А п В треуголь­
ника АБС и касается прямой АС в точ­
ке А. Найдите площадь треугольника
АБС, зная, что Z АБС = Р, Z. САБ = а.
2076. Центр окружности, касаю­
щейся стороны ВС треугольника ABC
в точке В и проходящей через точку А,
лежит на отрезке АС. Найдите пло­
щадь треугольника ABC, если извест­
но, что ВС = 6 и АС = 9.
2077. В треугольнике АБС с пери­
метром 2р сторона АС равна а, острый
угол АБС равен а. Вписанная в тре­
угольник ABC окружность с центром
О касается стороны ВС в точке К . Най­
дите площадь треугольника ВОК.
2078. Окружность, вписанная в
треугольник, точкой касания делит
одну из сторон на отрезки длиной 3 и
4, а противолежащий этой стороне
угол равен 120°. Найдите площадь тре­
угольника.
2079. В параллелограмме ABCD
острый угол равен а. Окружность ра­
диуса г проходит через вершины А, В,
С и пересекает прямые A D и CD в точ­
ках М и N . Найдите площадь тре­
угольника B M N .
2080. Из точки С, лежащей вне ок­
ружности с центром в точке О, прове­
дены два луча, пересекающие окруж­
ность: первый — в точках М и А,
второй — в точках N и D . При этом
точка N лежит между точками Б и С.
У глы М О А и N O B равны 120°. Длина
перпендикуляра N L , опущенного из
точки Л" на прямую АБ , равна 12. Д ли­
на отрезка M N в 5 раз меньше длины
140
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
отрезка А В . Найдите площадь тре­
угольника M N C .
2081. Стороны K N и L M трапеции
K L M N параллельны, причем K N = 3,
а угол М равен 120°. Прямые L M и МЛ"
являются касательными к окружнос­
ти, описанной около треугольника
K L N . Найдите площадь треугольника
KLN.
2082. В параллелограмме A B CD
длина диагонали B D равна 2, угол С
равен 45°, причем прямая CD касается
окружности, описанной около тре­
угольника ABZ). Найдите площадь па­
раллелограмма ABCD.
2083. В треугольнике ABC биссект­
риса угла при вершине А пересекает
сторону ВС в точке М , а биссектриса
угла при вершине В пересекает сторо­
ну АС в точке Р . Биссектрисы A M и Б Р
пересекаются в точке О. Известно, что
треугольник В О М подобен треуголь­
нику Л О Р , ВО = (1 -t- 73 )О Р , ВС = 1 .
Найдите площадь треугольника АБС.
2084. В равносторонний треуголь­
ник AB C, сторона которого равна а,
вписана окружность, касающаяся сто­
роны А Б в точке D . Вторая окруж­
ность, расположенная внутри треугольникаАБС, касается внешним об­
разом первой (вписанной) окружности
в точке К , касается стороны А Б в точке
М и стороны ВС (рис. 83). Найдите
площадь фигуры D K M , ограниченной
меньшей из дуг D K , меньшей из дуг
К М и отрезком M D .
2085. В равнобедренном треуголь­
нике АБС известно, что АС = 4, А В =
= ВС = 6 . Биссектриса угла С пересека­
ет сторону А Б в точке D . Через точку D
проведена окружность, касающаяся
стороны АС в ее середине и пересекаю­
щая отрезок A D в точке Е. Найдите
площадь треугольника DEC.
2086. Из точки А , находящейся на
расстоянии 5 от центра окружности
радиуса 3, проведены две секущие
АЙГС h A L B , угол между которыми ра­
вен 30° (К , С, L , В — точки пересече­
ния секущих с окружностью). Найди­
те площадь треугольника A K L , если
площадь треугольника АБС равна 10.
2087. Основание
АБ
трапеции
A B C D вдвое длиннее основания CD и
вдвое длиннее боковой стороны AD.
Диагональ АС равна а, а боковая сто­
рона ВС равна Ь. Найдите площадь
трапеции.
2088. В параллелограмме со сторо­
нами а и Ь и углом а проведены бис­
сектрисы четырех углов. Найдите пло­
щадь четырехугольника, ограничен­
ного биссектрисами.
2089. Найдите площадь треуголь­
ника, если две его стороны равны 1 и
-УГЗ , а медиана, проведенная к треть­
ей, равна 2 .
2090. Докажите, что площадь пря­
моугольного треугольника с острым
углом в 15° равна | квадрата гипотеО
нузы.
2091. В треугольник со сторонами
10,17 и 2 1 вписан прямоугольник с пе­
риметром 24 так, что одна его сторона
лежит на большей стороне треуголь­
ника. Найдите стороны прямоуголь­
ника.
2092. Найдите площадь трапеции с
основаниями 18 и 13 и боковыми сто­
ронами 3 и 4.
2093. В треугольнике АБС угол В
равен 120°. На стороне А Б взята точка
М , а на стороне ВС — точка N так, что
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
A M = 2 M B , C N = 2BN. Около четырех­
угольника AM iVC описана окружность
радиуса 1. Найдите площадь треуголь­
ника ABC.
2094. В прямоугольном треуголь­
нике АБС (Z. С = 90°) проведены высо­
та CD и медиана СЕ. Площади тре­
угольников Л ВС и C DE равны соответ­
ственно 10 и 3. Найдите АВ.
2095. Периметр
прямоугольного
треугольника AB C { А С = 90°) равен
72, а разность между медианой СК и
высотой С М равна 7. Найдите пло­
щадь треугольника А 6 С.
2096. В круговом секторе ОАВ,
центральный угол которого равен 45°,
расположен прямоугольник К М Р Т .
Сторона К М прямоугольника лежит
на радиусе ОА, вершина Р — на дуге
А В , вершина Т — на радиусе ОВ. Сто­
рона /ГТ на 3 больше стороны К М .
Площадь прямоугольника К М Р Т рав­
на 18. Найдите радиус.
2097. В прямоугольном треуголь­
нике AB C высота, опущенная на гипо­
тенузу АБ , равна а, а биссектриса пря­
мого угла равна Ь. Найдите площадь
треугольника A B C .
2098. Высоты равнобедренного ост­
роугольного треугольника, в котором
А В = ВС, пересекаются в точке О. Най­
дите площадь треугольника ABC, если
АО = 5, а высота A D равна 8 .
2099. Вершины треугольника со­
единены с центром вписанного круга.
Проведенными отрезками площадь
этого треугольника разделилась на
три части; 28, 60 и 80. Найдите сторо­
ны треугольника.
2100. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника равны 1 2 и 18 и пересе­
каются в точке О. Найдите стороны че­
тырехугольника с вершинами в точ­
ках пересечения медиан треугольни­
ков АОБ, в о е , COD h A O D .
2101. Две стороны треугольника
равны 1 0 и 1 2 , а медиана, проведенная
к третьей, равна 5. Найдите площадь
треугольника.
141
2102. В треугольник со сторонами
А В = 4, ВС = 2, АС = 3 вписана окруж­
ность. Найдите площадь треугольника
A M N , где М , N — точки касания этой
окружности со сторонами А В и АС со­
ответственно.
2103. В треугольнике ABC медианы
A M и CL перпендикулярны, ВС = о,
АС = Ь. Найдите площадь треугольни­
ка А В М .
2104. Медианы В К и CL треуголь­
ника ABC пересекаются в точке М под
прямым углом, АС = Ь, А В = с. Найди­
те площадь четырехугольника AK"LM.
2105. В трапеции A B C D (ВС IIA D )
известно, что А В = с и расстояние от се­
редины отрезка CD до прямой А В рав­
но d. Найдите площадь трапеции.
2106. В трапеции A B C D боковая
сторона A D перпендикулярна основа­
ниям и равна 9, CD = 12, а отрезок АО,
где О — точка пересечения диагона­
лей трапеции, равен 6 . Найдите пло­
щадь треугольника ВОС.
2107. Через середину М стороны
ВС параллелограмма ABCD, площадь
которого равна 1, и вершину А прове­
дена прямая, пересекающая диаго­
наль B D в точке О. Найдите площадь
четырехугольника O M C D .
2108. На сторонах А В и A D парал­
лелограмма AB C D взяты точки М к N
так, что прямые М С и N C делят парал­
лелограмм на три равновеликие части.
Найдите M N , если B D = d.
2109. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника равны а и fc, а отрезки,
соединяющие середины противопо­
ложных сторон, равны между собой.
Найдите площадь четырехугольника.
2110. В трапеции AB C D боковая
сторона А В равна основанию ВС,
Z B A D = 60°. Диагональ B D равна 3.
Площадь треугольника A C D относит­
ся к площади треугольника ABC, как
2 : 1 . Найдите все стороны трапеции
A BCD.
2111. В треугольнике AB C угол А
равен 45°, а угол С — острый. Из сере­
142
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
дины стороны ВС опущен перпендику­
ляр N M на сторону АС. Площади тре­
угольников N M C и A B C относятся как
1 : 8 . Найдите углы треугольника ABC.
2112. В трапеции M P Q F основания
M F = 24, P Q = 4. Высота трапеции рав­
на 5. Точка N делит боковую сторону
на отрезки M N и N P . Отрезок M N в
три раза больше отрезка N P . Найдите
площадь треугольника N Q F.
2113. Высота трапеции A B C D рав­
на 7, основания A D и ВС равны соот­
ветственно 8 и 6 . Через точку £ , леж а­
щую на стороне CD, проведена прямая
B E , которая делит диагональ ЛС в точ­
ке О в отношении А О : ОС = 3 : 2 . Най­
дите площадь треугольника ОЕС.
2114. Площадь трапеции равна 3,
основания 1 и 2. Найдите площади
треугольников, на которые трапеция
разделена диагоналями.
2115. В равнобедренном треуголь­
нике AB C (АВ = ВС) биссектрисы B D и
A F пересекаются в точке О. Отноше­
ние площади треугольника DO A к плоО
щади треугольника S O F равно - . Най8
дите отношение
АВ
2116. В выпуклом четырехуголь­
нике AB CD точка L — середина сторо­
ны ВС, точка М — середина A D , точка
N — середина стороны АВ . Найдите
отношение площади треугольника
L M N к площади четырехугольника
A B CD .
2117. В параллелограмме A B C D
(рис. 84), где Z B A D = 60°, А В = 2,
A D = 5, биссектриса угла B A D пересе­
кается с биссектрисой угла AB C в точ­
ке JiC, с биссектрисой угла CDA — в точ­
ке I-, а биссектриса угла BCD пересека­
ется с биссектрисой угла CDA в точке
М , с биссектрисой угла ABC — в точке
N . Найдите отношение площади четы­
рехугольника K L M N к площади па­
раллелограмма ABCD.
2118. В треугольнике со сторонами
а, Ь и с проведены биссектрисы, точки
пересечения которых с противолежа­
щими сторонами являются верши­
нами второго треугольника. Докажи­
те, что отношение площадей этих тре­
угольников равно
^
2аЫ
(а + Ь)(а + с){Ь + с)
_
2119. В трапеции ABCZ) даны осно­
вания A D = 8 и ВС = 4. На продолже­
нии стороны ВС выбрана такая точка
М , что прямая A M отсекает от трапе­
ции треугольник, площадь которого в
четыре раза меньше площади трапе­
ции. Найдите СМ .
2120. В трапеции ABCD даны осно­
вания A D = 12 и ВС = 8 . На продолже­
нии стороны ВС выбрана такая точка
М , что С М = 2,4. В каком отношении
прямая A M делит площадь трапеции
ABCD?
2121. В выпуклом четырехуголь­
нике A B C D диагонали пересекаются в
точке О. Площади треугольников
в о е , COD, A O D равны соответственно
20, 40, 60. Найдите угол ВАО, если из­
вестно, чтоА В = 15,АО = 8 , ауголБ А О
больше 31°.
2122. В треугольнике ABC, пло­
щадь которого равна 1, на медиане В К
взята точка М так, что М К = - В К .
4
Прямая A M пересекает сторону ВС в
точке L . Найдите площадь треуголь­
ника ALC.
2123. На продолжениях медиан
А К , B L и С М треугольника ABC взяты
точки Р , Q и R так, что К Р
\а к .
LQ = ^ B L и M R = i C M . Найдите плоА
^
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
щадь треугольника PQ R , если пло­
щадь треугольника AB C равна 1.
2124. Дан треугольник ABC, пло­
щадь которого равна 1. На медианах
А К , B L и C N взяты точки P , Q u R так,
что А Р : Р К = 1 :1 , B Q -.Q L ^ 1 : 2,
CR : R N = 5 : 4 . Найдите площадь тре­
угольника PQ R .
2125. На сторонах А В и A D парал­
лелограмма A B C D взяты соответ­
ственно точки Е и F так, что отрезок
E F параллелен диагонали BD. Дока­
жите, что площади треугольников
ВСЕ и C DF равны.
2126. Докажите, что если два вы­
пуклы х четырехугольника располо­
жены так, что середины их сторон сов­
падают, то их площади равны.
2127. Докажите, что если а и Ь —
две стороны треугольника, у — угол
между ними, I — биссектриса этого уг2аЬ cos ^
ла, то Z= ----------- .
а+ Ь
2128. Около трапеции описана ок­
ружность. Основание составляет с бо­
ковой
стороной
угол
а,
а
с
диагональю — угол р. Найдите отно­
шение площади круга к площади тра­
пеции.
2129. В прямоугольной трапеции
A B C D основание А В в 1,5 раза больше
диагонали А С. У глы BAD и AD C —
прямые. У го л D CA равен углу ВСА.
Боковая сторона A D равна 4. Найдите
площадь трапеции АВСХ).
2130. Равнобедренная трапеция, у
которой угол при основании равен 60°,
описана около окружности. В каком
отношении прямая, соединяющая
точки касания окружности с боковы­
ми сторонами, делит площадь трапе­
ции?
2131. В треугольнике длины сторон
относятся как 2 : 3 : 4. В него вписан
полукруг с диаметром, лежащим на
большей стороне. Найдите отношение
площади полукруга к площади тре­
угольника.
143
2132. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке А.
Через точку В на их общей касатель­
ной А В проведены две прямые, одна из
которых пересекает первую окруж­
ность в точках М и N , а другая — вто­
рую окружность в точках Р и Q. И з­
вестно, что А В = 6 , В М = 9, В Р = 5.
Найдите отношение площадей тре­
угольников M N O и PQO, где точка
О — точка пересечения прямых N P и
NQ .
2133. Окружность С2 расположена
внутри окружности C l и касается ее в
точке Р . Секущая M N окружности
(М , N 6 C l) и секущая S T окружности
С2 (S, Т е Cg) пересекаются в точке Q,
причем PQ является касательной к ок­
ружности Cj. Отрезки N S и Т М пере­
секаются в точке О. Площадь тре­
угольника M O N в 16 раз больше пло­
щади треугольника O TS. Найдите
отрезок PQ, если SQ = 9, M Q = 6 и
TQ > SQ, N Q > M Q .
2134. В трапеции A B C D боковая
сторона А В перпендикулярна основа­
ниям и равна 6 . ОснованиеАО равно 8 ,
а отрезок D O , где О — точка пересече­
ния диагоналей трапеции, равен 6 .
Найдите площадь треугольника COD.
2135. В треугольнике PQR сторона
PQ не больше, чем 9, а сторона PR не
больше, чем 12. Площадь треугольни­
ка не меньше, чем 54. Найдите длину
его медианы, проведенной из верши­
ны Р.
2136. В треугольнике ABC точка D
лежит на АС, причем A D = 2DC. Точка
Е леж ит на ВС. Площ адь треугольни­
ка ABZ) равна 3, площадь треугольни­
ка A E D равна 1. Отрезки А Е и B D пе­
ресекаются в точке О . Найдите отно­
шение площадей треугольников АВО
и OED.
2137. Продолжения стороны L M за
точку М и стороны K N за точку N
выпуклого четырехугольника K L M N
пересекаются в точке Р , K N = N P
144
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
(рис. 85). Площади треугольников
K L M и K M N равны соответственно 2
и 1. Отрезки К М и L N пересекаются в
точке R. Найдите L R , если R N = | .
Р и с . 85
2138. Дан ромб A B C D с тупым уг­
лом при вершине А . На продолжении
стороны A D за точку D взята точка К .
Отрезки В К и CD пересекаются в точке
L. Найдите площадь треугольника
А В К , если B L = 2, K L = 5, а высота
ромба равна 1 .
2139. Медиана A D и высота СЕ рав­
нобедренного треугольника AB C (АВ =
= В С ) пересекаются в точке Р . Найди­
те площадь треугольника ABC, если
СР = 5,
= 2.
2140. Медиана A M и биссектриса
CD
прямоугольного
треугольника
AB C (/LB = 90°) пересекаются в точке
О. Найдите площадь треугольника
ABC, если СО = 9, O D = 5.
2141. Через вершины А , В и С тра­
пеции A B C D (A D II В С) проведена ок­
ружность. Известно, что окружность
касается прямой CD, а ее центр лежит
на диагонали АС. Найдите площадь
трапеции ABCD, если ВС = 2, A D = 8 .
2142. Окружность с центром О про­
ходит через вершину В ромба A B C D и
касается лучей СВ и CD. Найдите пло­
щадь ромба, если D O = - , ОС = - .
4
4
2143. В окружность вписан четы­
рехугольник A B C D , причем А В явля­
ется диаметром окружности. Диагона­
ли АС и B D пересекаются в точке М .
О
Известно, что ВС = 3, С М = - , а пло4
щадь треугольника ABC втрое больше
площади треугольника ACD. Найдите
AM.
2144. В треугольнике ABC извест­
ны стороны: А В = 6 , ВС = 4, АС = 8 .
Биссектриса угла С пересекает сторо­
ну А В в точке D. Через точки А , D и С
проведена окружность, пересекающая
сторону ВС в точке Е. Найдите пло­
щадь треугольника A D £ .
2145. Отрезок А В есть диаметр кру­
га, а точка С леж ит вне этого круга. От­
резки АС и ВС пересекаются с окруж­
ностью в точках D u M соответственно.
Найдите угол CBD, если площади тре­
угольников D C M к А С В относятся как
1 : 4.
2146. На стороне ВС треугольника
ABC как на диаметре построена ок­
ружность, пересекающая отрезок А В в
точке D . Найдите отношение площа­
дей треугольников ABC и BCD, если
известно, что АС = 15, ВС = 20 и
А А В С = Z.A C D .
2147. Окружность касается пря­
мых А В и ВС соответственно в точках
D и Е. Точка Л лежит между точками
B u D , а точка С — между точками В и
Е. Найдите площадь треугольника
ABC, если А В = 13, АС = 1, а точки А,
D , ЕтлС лежат на одной окружности.
2148. В трапецию A B C D с основа­
ниями ВС W.AD и боковыми сторонами
А В и CD вписана окружность с цент­
ром О. Найдите площадь трапеции,
если угол D AB — прямой, ОС = 2,
OD=4.
2149. Две окружности разных ра­
диусов касаются в точке А одной и той
же прямой и расположены по разные
стороны от нее. Отрезок А В — диаметр
меньшей окружности. Из точки В про­
ведены две прямые, касающиеся боль­
шей окружности в точках M u N . Пря­
мая, проходящая через точки М т
л.А,
пересекает меньшую окружность в
145
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точке К . Известно, что длина отрезка
М К равна ^2 + J s , а угол В М А равен
15°. Найдите площадь фигуры, огра­
ниченной отрезками касательной В М ,
B N и той дугой M N большей окруж­
ности, которая не содержит точку Л.
2150. Две окружности, радиусы ко­
торых равны R u r , расположены одна
вне другой. Отрезки общих внутрен­
них касательныхЛС и B D (А, B ,C ,D —
точки касания) равны а. Найдите пло­
щадь четырехугольника АВС£).
2151. Площадь круга, описанного
около равнобедренного треугольника,
в 36 раз больше площади вписанного
круга. Найдите углы треугольника.
2152. Около окружности радиуса R
описан параллелограмм. Площадь че­
тырехугольника с вершинами в точ­
ках касания окружности и паралле­
лограмма равна S. Найдите стороны
параллелограмма.
2153. Около окружности радиуса R
описана трапеция A B C D , меньшее ос­
нование ВС которой равно а. Пусть
Е — точка касания окружности со сто­
роной А В и отрезок B E равен Ь. Найди­
те площадь трапеции.
2154. Окружность касается сторон
А В и A D прямоугольника A B C D и пе­
ресекает сторону DC в единственной
точке F и сторону ВС в единственной
точке Е . Найдите площадь трапеции
A FC B , если А В = 32, AD== 40 и В Е = 1.
2155. Дан треугольник ABC. Из
вершины А проведена медиана A M , а
из вершины В — медиана В Р . Извест­
но, что угол А Р В равен у глу В М А . К о­
синус угла АСВ равен 0,8 и В Р = 1.
Найдите площадь треугольника ABC.
2156. В треугольнике ABC биссект­
риса А К перпендикулярна медиане
В М , а угол AB C равен 120°. Найдите
отношение площади треугольника
ABC к площади описанного около это­
го треугольника круга.
2157. Прямоугольный
треуголь­
ник с острым углом а расположен вну­
три окружности радиуса г так, что ги­
потенуза является хордой окружнос­
ти, а вершина прямого угла лежит на
диаметре, параллельном гипотенузе.
Найдите площадь треугольника.
2158. Даны два одинаковых касаю­
щихся круга. Отношение расстояния
между их центрами к радиусу равно
2т. Третий круг касается внешним об­
разом первых двух и их общей каса­
тельной. Найдите отношение площади
общей части первых двух кругов к
площади третьего круга.
2159. Точка О — центр окружнос­
ти, вписанной в равнобедренный тре­
угольник ABC (АВ = ВС). Прямая АО
пересекает отрезок ВС в точке М . Най­
дите углы и площадь треугольника
ABC, если АО = 3, О М = I I .
2160. В квадрате A B C D площади 1
сторона A D продолжена за точку D и
на продолжении взята точка О на рас­
стоянии 3 от точки D (рис. 8 6 ). Из точ­
ки О проведены два луча. Первый луч
пересекает отрезок CD в точке М и от­
резок А В в точке N , причем отрезок
O N равен а. Второй луч пересекает от­
резок CD в точке L и отрезок ВС в точке
К , причем Z B K L = а. Найдите пло­
щадь многоугольника B K L M N .
К
0
D
Р и с . 86
2161. Найдите площадь трапеции с
основаниями 11 и 4 и диагоналями 9 и
12 .
2162. Вычислите площадь трапе­
ции, параллельные стороны которой
равны 16 и 44, а непараллельные — 17
и 25.
2163. Вычислите площадь трапе­
ции по разности оснований, равной 14,
146
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
и двум непараллельным сторонам,
равным 13 и 15, если известно, что в
трапецию можно вписать окружность.
2164. Найдите площадь трапеции,
диагонали которой равны 7 и 8 , а
основания — 3 и 6 .
2165. Найдите площадь треуголь­
ника, если две его стороны равны 35 и
14, а биссектриса угла между ними
равна 1 2 .
2166. В трапеции A B C D углы А и D
при основании A D соответственно рав­
ны 60° и 30°. Точка N лежит на основа­
нии ВС, причем B N : N C = 2. Точка М
лежит на основании A D , прямая M N
перпендикулярна основаниям трапе­
ции и делит ее площадь пополам. Най­
дите отношение A/Vf : M D .
2167. Радиус окружности, вписан­
ной в треугольник, равен 2. Точка ка­
сания этой окружности делит одну из
сторон на отрезки длиной 4 и 6 . Опре­
делите вид треугольника и вычислите
его площадь.
2168. В трапеции основания равны
5 и 15, а диагонали — 12 и 16. Найдите
площадь трапеции.
2169°. Дан треугольник ABC. Ок­
ружность радиуса R касается прямых
А В и ВС в точках А и С соответственно
и пересекает медиану B D в точке L
АО = ОБ = 5 и O D = УТз . Найдите пло­
щадь квадрата.
2174. В прямоугольном треуголь­
нике AB C проведена биссектриса пря­
мого угла CL. Из вершины А (Z. А >
> 45°) на CL опущен перпендикуляр
A D . Найдите площадь треугольника
ABC, если A D = а, CL = Ъ.
2175. Внутри прямоугольного тре­
угольника AB C (угол В — прямой) взя­
та точка D так, что площади треуголь­
ников АВ£) и B CD соответственно в три
и четыре раза меньше площади тре­
угольника ABC. Отрезки A D и DC рав­
ны соответственно а и с. Найдите отре­
зок B D.
2176. В правильном треугольнике
ABC со стороной а точки E m D — сере­
дины сторон ВС и А С соответственно.
Точка F лежит на отрезке DC, отрезки
B F и D E пересекаются в точке М . Най­
дите M E , если известно, что площадь
четырехугольника A B M D составляет
так, что B L = I B D. Найдите площадь
I площади треугольника ABC.
У
О
треугольника.
2170. В параллелограмме AB CD
биссектриса угла А пересекает сторону
ВС в точке М , а биссектриса угла С пе­
ресекает сторону A D в точке N . П ло ­
щадь четырехугольника, образован­
ного пересечением биссектрис A M и
C N с отрезками B N и D M , равна 1,2.
Найдите
углы
параллелограмма
AB C D , если А В = S ,A D = 5.
2171. В окружность диаметра 1
вписан четырехугольник AB CD , у ко­
торого угол D — прямой, А В = ВС.
Найдите площадь четырехугольника
A B C D , если его периметр равен
2172. Найдите площадь трапеции,
диагонали которой равны 3 и 5, а сред­
няя линия равна 2 .
2173. В плоскости даны квадрат с
последовательно
расположенными
вершинами А , В , С, D и точка О, ле ­
жащая вне квадрата. Известно, что
5
.
2177. В ромбе A B C D со стороной а
угол при вершине А равен 60°, точки Е
и F — середины сторон А В и CD соот­
ветственно. Точка К леж ит на стороне
ВС, отрезки А К и E F пересекаются в
точке М . Найдите длину отрезка М К ,
если известно, что площадь четырехО
угольника МА'С^'составляет - площаО
ди ромба ABCD.
2178. В ромбе A B C D со стороной а
угол при вершине А равен 120°, точки
Е и F лежат на сторонах ВС h A D соот­
ветственно. Отрезок E F и диагональ
ромба АС пересекаются в точке М .
Площади четырехугольников В Е РА и
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
E C D F относятся, как 1 : 2 . Найдите
ЕМ.
2179. Докажите, что медиана A M
треугольника A B C делит пополам лю ­
бой отрезок с концами н аА В и АС, па­
раллельный стороне ВС.
2180. В окружность радиуса R впи­
сан четырехугольник A B C D , Р — точ­
ка пересечения его диагоналей, А В =
= CD = 5 ,A D > ВС. Высота, опущенная
из точки В на сторону A D , равна 3, а
147
надлежит отрезку А В и АС : CR = 2 : 1
(рис. 87). Найдите отношение площади
четырехугольника P Q S T к площади
треугольника ABC, если S и Т являют­
ся точками пересечения прямой BR с
прямыми LQ и А Р соответственно.
рс
площадь треугольника A D P равна — .
Найдите стороны A D , ВС и радиус ок­
ружности R.
2181. В прямоугольном треуголь­
нике AB C точки D и Е лежат соответ­
ственно на катетах ВС и А С так, что
CD = СЕ = 1. Точка О есть точка пере­
сечения отрезков A D и B E . Площадь
треугольника B O D больше площади
треугольника А О Е на | . Кроме того.
известно, что A D = УТО . Найдите ги­
потенузу АВ .
2182. В треугольнике ABC точка
О — центр описанной окружности,
точка R леж ит на отрезке ВС и B R =
RC. Описанная около треугольника
BRO окружность пересекает А В в точ^
ке Т. Найдите площадь треугольника
ABC, если Z B O R = 30°, R T = 8 , Б Т = 6 .
2183. Две прямые, параллельные
основаниям трапеции, делят каждую
из боковых сторон на три равные час­
ти. Вся трапеция разделена ими на три
части. Найдите площадь средней час­
ти, если площади крайних
и ,8 2 .
2184. Площади треугольников, об­
разованных отрезками диагоналей
трапеции и ее основаниями, равны
и S 2 . Найдите площадь трапеции.
2185. Точки Р и Q расположены на
стороне ВС треугольника ABC так, что
Б Р : Р С = 1 : 2 h 5 Q : Q C = 4: 1.ТочкаД
расположена на продолжении стороны
АС, а точка L является серединой той
же стороны. При этом точка С при­
2186. Площадь треугольника M N P
равна 7. Через точку Q на стороне M N
проведена прямая, параллельная сто­
роне М Р и пересекающая сторону N P
в точке R. На отрезке QR взяты точки
А и В. Найдите площадь треугольника
N A B , если известно, что QR : М Р =
= QA : QB = 1 : 5 и прямая N B прохо­
дит через точку пересечения прямых
M RuQ P.
2187. Докажите, что если диагона­
ли выпуклого четырехугольника рав­
ны, то его площадь равна произведе­
нию длин отрезков, соединяющих се­
редины противоположных сторон.
2188. В треугольнике ABC, пло­
щадь которого равна S, проведены
биссектриса СЕ и медиана B D , пересе­
кающиеся в точке О. Найдите пло­
щадь четырехугольника ADOJS, зная,
что ВС = а, АС = Ь.
2189. В параллелограмме ABCD
точка £ делит пополам сторону CD,
биссектриса угла AB C пересекает в
точке О отрезок А Е . Найдите площадь
четырехугольника ОВСЕ, зная, что
A D = а, D E = Ь, /. А В О = а.
2190. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD точка Е — пересечение ди­
агоналей. Известно, что площади тре­
угольников А В Е и CDE равны между
собой, диагональ АС является биссект­
рисой угла А , А В = 4. Найдите ВС.
148
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2191. В треугольнике ABC из вер­
шины А проведена прямая, пересе­
кающая сторону ВС в точке D, находя­
щейся между точками В и С, причем
^
ВС
= а Г а < i ) . На стороне ВС между
V
2J
точками В и £) взята точка Е и через
нее проведена прямая, параллельная
стороне АС и пересекающая сторону
АВ в точке F. Найдите отношение пло­
щадей трапеции ACJSF и треугольника
ADC, если известно, что CD = DE.
2192. В треугольнике AB C из точки
Е стороны ВС проведена прямая, па­
раллельная высоте BD и пересекаю­
щая сторону ЛС в точке F. Отрезок EF
делит треугольник ABC на две равно­
великие фигуры. Найдите EF, если
B£) = 6 , A D : £ ) C = 2 : 7 .
2193. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = АС) проведены бис­
сектрисы AAi, ВВ^ и CCj. Площадь
треугольника ABC относится к площа­
ди треугольникаЛ^Б^С^ как 9 : 2. Най­
дите отношение периметра треуголь­
ника А^Б^С^ к периметру треугольни­
ка ABC.
2194. В треугольнике AB C на сторо­
не АС взята точка М , а на стороне
ВС — точка
Отрезки A/V и Б М пере­
секаются в точке О. Найдите площадь
треугольника CMN, если площади
треугольников ОМА, ОАВ и OBN соот­
ветственно равны S j, § 2 и S 3 .
2195. В треугольнике ABC на сторо­
не А В взята точка 1(Гтак, что АЙГ : ВК =
= 1 ; 2, а на стороне ВС взята точка L
так, что CL : BL = 2 : 1 . Пусть Q — точ­
ка пересечения прямых A L и СК. Най­
дите площадь треугольника ABC, если
дано, что площадь треугольника BQC
равна 1 .
2196. В треугольнике ABC, пло­
щадь которого равна 6 , на стороне АС
взята точка К , делящая эту сторону в
отношении А К ": ВК = 2 : 3, а на сторо­
не АС взята точка L , делящая АС в от­
ношении A L : LC = 5 : 3 . Точка Q пере­
сечения прямых СК и BL отстоит от
прямой А В на расстоянии 1,5. Найди­
те сторону АВ .
2197. Диагональ
КМ
трапеции
K L M N в три раза больше отрезка К Р
этой диагонали. Основание K N трапе­
ции в три раза больше основания L M .
Найдите отношение площади трапе­
ции K L M N к площади треугольника
K P R , где R — точка пересечения пря­
мой P N и стороны K L .
2198. Дана трапеция AB CD с осно­
ваниями A D = 3
и ВС = V39 . Кро­
ме того, дано, что угол BAD равен 30°,
угол ADC равен 60°. Через точку D
проходит прямая, делящая трапецию
на две равновеликие фигуры. Найдите
отрезок этой прямой, находящийся
внутри трапеции.
2199. На стороне А В треугольника
ABC между точками А и Б взята точка
D так, что A D : А В = а (а < 1); на сторо­
не ВС между точками В и С взята точка
Е так, что B E : ВС = Р (Р < 1). Через
точку Е проведена прямая, параллель­
ная стороне АС и пересекающая сторо­
ну А В в точке F . Найдите отношение
площадей треугольников B D E и B EF.
2200. Дана трапеция ABCZ). Парал­
лельно ее основаниям проведена пря­
мая, пересекающая боковые стороны
трапеции А В и CD соответственно в
точках Р и Q, а диагонали АС и B D — в
точках L u R соответственно. Диагона­
ли А С и B D пересекаются в точке О.
Известно, что ВС = a ,A D = Ь, а площа­
ди треугольников ВОС и LO E равны.
Найдите отрезок PQ , если точка L ле­
жит между точками А и О.
2201. В треугольнике ABC медиана
A D и биссектриса B E перпендикуляр­
ны и пересекаются в точке F . Извест­
но, что площадь треугольника B EF
равна 5. Найдите площадь треуголь­
ника ABC,
2202. В треугольнике ABC проведе­
ны две высоты В М и C N, причем
A M : С М = 2 : 3 . Найдите отношение
площадей треугольников B M N иАВС,
если острый угол ВАС равен а.
149
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2203. В треугольнике ABC на сторо­
не А В взята точка^Г так, что АК" : В К =
= 1 : 2, а на стороне В С взята точка L
так, что C L : B L = 2 : 1 . Точка Q — точ­
ка пересечения прямых A L и С К . Най­
дите площадь треугольника ABC, если
известно, что площадь треугольника
BQ C равна 1.
2204. На сторонах АВ , В С , C D и A D
квадрата A B C D со стороной 1 (или на
их продолжениях за точки А , B , C u D )
расположены соответственно точки Р ,
Q, JR и S так, что А Р : Р В = B Q : QC =
= R C : D R — D S : S A = 1 : 3 . Отрезки
A Q , B R , SC и D P ограничивают четы­
рехугольник K L M N . Найдите его пло­
щадь.
2205. Каждая сторона треугольни­
ка поделена на три равные части. Точ­
ки деления служат вершинами двух
треугольников, пересечение кото­
рых — шестиугольник. Найдите пло­
щадь этого шестиугольника, если пло­
щадь данного треугольника равна S.
2206. В трапеции A B C D , в которой
В С и A D — основания, диагональ АС
является биссектрисой угла B A D , рав­
ного 120°. Радиус окружности, опи­
санной около треугольника A B D , ра­
вен -Уз . Диагонали А С и B D пересека­
ются в точке О. Площади треугольни­
ков A O D и в о е относятся как 4 : 1 .
Найдите все стороны трапеции ABCD.
2207. Точка М леж ит внутри рав­
ностороннего треугольника A B C . Вы­
числите площадь этого треугольника,
если известно, что A M = В М = 2, а
С М = 1.
2208. Площ адь треугольника ABC
равна S. У глы САВ, AB C и А С В равны
а, Р и у. Найдите высоты треугольника.
2209. В треугольник AB C вписана
окружность, которая касается сторо­
ны А В в точке D , а стороныАС — в точ­
ке Е . Найдите площадь треугольника
A D E , если известно, что отрезок A D
равен 6 , отрезок £ С равен 2, а угол ВСА
равен 60°.
2210. В трапеции A B C D основание
A D равно 16, сумма диагоналей АС и
B D равна 36. угол CAD равен 60°. От­
ношение площадей треугольников
A O D и в о е , где О — точка пересече­
ния диагоналей, равно 4. Найдите пло­
щадь трапеции.
2211. В прямоугольном треуголь­
нике AB C с прямым углом С, углом В ,
равным 30°, и катетом СА = 1, проведе­
на медиана C D . Кроме того, из точки D
под углом 15° к гипотенузе проведена
прямая, пересекающая отрезок В С в
точке F . Найдите площадь треуголь­
ника C D F . Укажите ее приближенное
значение в виде десятичной дроби с
точностью до 0 , 0 1 .
2212. В равносторонний треуголь­
ник AB C со стороной, равной 8 , вписан
прямоугольный треугольник А^Б^С^
таким образом, что вершина прямого
угла C l является серединой стороны
АВ , а один из катетов образует со сто­
роной А В угол 15° (рис. 8 8 ). Найдите
площадь треугольника А^В^С^. Ука­
жите приближенное значение в виде
десятичной дроби с точностью до 0 ,0 1 .
Р и с . 88
2213. Найдите площадь трапеции,
у которой основания равны 1 0 и 26, а
диагонали перпендикулярны боко­
вым сторонам.
2214. В окружность с центром О
вписана трапеция ABCZ), в которойАО
параллельно В С , A D = 7, В С = 3,
Z B C D = 120°. Хорда В М окружности
пересекает отрезок A D в точке N такой.
150
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
что N D = 2. Найдите площадь тре­
угольника В О М .
2215. Две окружности радиусов 3 и
4, расстояние между центрами кото­
рых равно 5, пересекаются в точках Л
и В. Через точку В проведена прямая,
пересекающая окружности в точках С
и D так, что CD = 8 и точка В лежит
между точками С и £). Найдите пло­
щадь треугольникаЛСХ).
2216. Около прямоугольного тре­
угольника A B C с катетами А С = 5 и
ВС = 12 описана окружность. Точки Е
и G — середины меньших дуг АС и ВС
этой окружности, точка F — середина
дуги А В , не содержащей точки С.
Найдите площадь четырехугольника
AEG F.
2217. Через точку М , расположен­
ную на диаметре окружности радиуса
4, проведена хорда А В , образующая с
диаметром угол 30°. Через точку В
проведена хорда ВС, перпендикуляр­
ная данному диаметру. Найдите пло­
щадь
треугольника
ABC,
если
AM : M B = 2:3.
2218. Диаметр А В и хорда CD ок­
ружности пересекаются в точке Е,
причем СЕ = D E . Касательные к ок­
ружности в точках В и С пересекаются
в точке К . Отрезки А К и СЕ пересека­
ются в точке М . Найдите площадь тре­
угольника С^ГМ, если А В = 1 Q ,A E = 1.
2219. На продолжении стороны ВС
параллелограмма A B C D за точку С
взята точка F . Отрезок A F пересекает
диагональ B D в точке Е , а сторону
CD — в точке G, причем GF = 2, аА Е на
1 больше EG . Какую часть площади
параллелограмма A B C D составляет
площадь треугольника A D £ ?
2220. В треугольнике ABC длина
биссектрисы A L равна Z; в треугольник
A B L вписана окружность, касающая­
ся стороны А В в точке К , В К = Ь. На
сторонах А В и ВС треугольника ABC
выбраны точки М is. N соответственно
так, что прямая M N проходит через
центр окружности, вписанной в тре­
угольник AB C, причем M B + B N = с.
Найдите отношение площадей тре­
угольников A B L и M B N .
2221. В четырехугольник AB CD
можно вписать окружность. Пусть
К — точка пересечения его диагона­
лей, Известно, что А В > ВС > КС,
В К = А + J 2 , а периметр и площадь
треугольника В К С равны соответ­
ственно 14 и 7. Найдите DC.
2222. В четырехугольник AB CD
можно вписать окружность. Пусть
К — точка пересечения его диагона­
лей. Известно, что ВС > А В > КС, К С =
= 6 + J T a , а периметр и площадь тре­
угольника В К С равны соответственно
22 и 11. Найдите DC.
2223. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке А.
Их общая касательная касается пер­
вой окружности в точке В, а второй —
в точке С. Прямая, проходящая через
точкиЛ и В, пересекает вторую окруж­
ность в точке D . Известно, что ВС =1 0,
А В = 8 . Найдите площадь треугольни­
ка BCD.
2224. Через вершины А и В тре­
угольника AB C проведена окруж­
ность, пересекающая стороны ВС и АС
в точках D и Е соответственно. П ло ­
щадь треугольника CDE в 7 раз мень­
ше
площади
четырехугольника
A B D E . Найдите D E и радиус окруж­
ности, если А В = 4 и Z С = 45°.
2225. В треугольнике ABC точка
О — центр описанной окружности,
точка R леж ит на отрезке ВС и B R =
= RC. Описанная около треугольника
BRO окружность пересекает А В в точ­
ке Т. Найдите площадь треугольника
ABC, если Z B O R = 30°,
= 8 ,ВГ = 6 .
2226. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = ВС) биссектрисы A M и
В К пересекаются в точке О. Площади
треугольников В О М и С О М соответ­
ственно равны 25 и 30. Найдите пло­
щадь треугольника AB C и проекцию
отрезка О М на прямую ВС.
2227. Через середину гипотенузы
А С прямоугольного треугольника ABC
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
проведена прямая, пересекающая ка­
тет В С в точке D , а продолжение кате­
та А В за точку Л — в точке Е . Найдите
площадь треугольника A B C , если
C D = \ ,А Е =2, Z С А В = arccos - .
5
2228. Через середину стороны А С
равнобедренного треугольника A B C
(А С = В С ) проведена прямая, пересе­
кающая сторону ВС в точке К , а про­
должение стороны А В за точку А — в
точке Р . Найдите площадь треуголь­
ника A B C , если С К = 2, А Р = 5,
Z. A B C = arccos i .
4
2229. В треугольнике AB C на сторо­
нах AC и В С расположены точки D m E
соответственно так, что B D — биссект­
риса треугольника ABC, D C = С Е = ^ ,
о
B D = 2, Z A B C = Z A D B . Найдите ВС и
площадь треугольника ABC.
2230. Четырехугольник A B C D , ди­
агонали которого взаимно перпенди­
кулярны, вписан в окружность с цент­
ром О. Докажите, что ломаная АОС де­
лит его на две равновеликие части.
2231. В равнобедренную трапецию,
периметр которой равен 8 , а площадь
2, можно вписать окружность. Найди­
те расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до ее меньшего
основания.
2232. Около окружности радиуса 1
описана равнобедренная трапеция,
площадь которой равна 5. Найдите
площадь четырехугольника, верши­
нами которого служат точки касания
окружности и трапеции.
2233. Около окружности радиуса R
описана трапеция. Хорда, соединяю­
щая точки касания окружности с бо­
ковыми сторонами трапеции, равна а.
Хорда параллельна основанию трапе­
ции. Найдите площадь трапеции.
2234. В треугольнике AB C с пери­
метром 2р острый угол В А С равен а.
Окружность с центром в точке О каса­
ется стороны В С и продолжений сто­
рон А В и АС в точках К тл L соответ­
151
ственно. Найдите площадь треуголь­
ника AO L.
2235. В равносторонний треуголь­
ник со стороной а вписана окружность.
К окружности проведена касательная
так, что ее отрезок внутри треугольни­
ка равен Ъ. Найдите площадь треуголь­
ника, отсеченного этой касательной.
2236. В равнобедренный треуголь­
ник AB C с основанием АС вписана ок­
ружность, которая касается боковой
стороны А В в точке М . Через точку М
проведен перпендикуляр N L к стороне
АС треугольника ABC (точка!/ — осно­
вание этого перпендикуляра). Найдите
угол ВСА, если известно, что площадь
треугольника ABC равна 1, а площадь
четырехугольника L M B C равна s.
2237. На стороне квадрата во внеш­
нюю сторону встроен прямоугольный
треугольник, гипотенуза которого сов­
падает со стороной квадрата. Докажи­
те, что биссектриса прямого угла этого
треугольника делит площадь квадрата
пополам.
2238. В круг радиуса R вписан шес­
тиугольник A B C D E F. Известно, что
А А = А С = A E ,A B = ^ a ,C D = b ,E F = c.
Найдите площадь шестиугольника
A B C D E F.
2239. В треугольнике ABC располо­
жены три окружности равных ради­
усов так, что каждая из окружностей
касается двух сторон треугольника
(рис. 89). Одна из окружностей (с цент­
ром 0 { ) касается двух других (с центра-
152
ПЛАНИМЕТРИЯ
ми О2 и О3 соответственно) и Z О2 О 1 О3 =
= 90°. Установите, что больше: пло­
щадь круга, ограниченного окруж ­
ностью с центром О^, или пятая часть
площади треугольника ABC.
2240. В треугольник A B C вписана
окружность радиуса R , касающаяся
стороны АС в точке D, стороны А В —
в точке Е и стороны ВС — в точке F.
Известно, что A D = R , DC = а. Найдите
площадь треугольника В Е Р .
2241. На стороне АС остроугольно­
го треугольника AB C взята точка D
так, что A D = 1, DC = 2 и B D является
высотой треугольника ABC. Окруж­
ность радиуса, равного 2 , проходящая
через точки А и D , касается в точке D
окружности, описанной около тре­
угольника BDC. Найдите площадь
треугольника ABC.
2242. Точки К , L , M делят стороны
выпуклого четы рехугольника A B CD
в отношении А К : В К = CL : B L =
= С М : D M = 1 : 2 . Радиус описанной
окружности треугольника K L M равен
I , JifL = 4, L M = 3. Какова площадь четырехугольника A B C D , если извест­
но, что К М < K L ?
2243. Трапеция A B C D с основания­
ми ВС = 1 и A D = 3 такова, что в нее
можно вписать окружность и вокруг
нее можно описать окружность. Опре­
делите, где находится центр описан­
ной вокруг трапеции АВС£> окружнос­
ти, т. е. расположен ли он внутри, или
вне, или же на одной из сторон трапе­
ции AB CD . Найдите также площадь
описанного круга.
2244. В треугольнике ЛВС основа­
ние высоты CD леж ит на стороне АВ,
медиана А £ равна 5, высота CD равна
6 .
Найдите площадь треугольника
ABC, если известно, что площадь тре­
угольника AD C в три раза больше пло­
щади треугольника BCD.
2245. В трапеции A B C D известны
длины оснований A D = 23 и ВС = 8 и
диагоналей АС = 1 3 , B D = 5^17 . Най­
дите площадь трапеции.
2246. В треугольник вписан круг
радиуса 4. Одна из сторон треугольни­
ка разделена точкой касания на отрез­
ки, равные 6 и 8 . Найдите две другие
стороны треугольника.
2247. Окружность с центром в точке
пересечения диагоналей АС к ВС равно­
бедренной трапеции A B C D касается
меньшего основания ВС и боковой сто­
роны АВ. Найдите площадь трапеции
A B C D , если известно, что ее высота рав­
на 16, а радиус окружности равен 3.
2248. Квадрат A B C D и окружность
расположены так, что окружность ка­
сается прямой АС в точке С, а центр ок­
ружности леж ит по ту же сторону от
прямой АС, что и точка D . Касатель­
ные к окружности, проведенные из
точки D , образуют угол 120°. Найдите
отношение площади квадрата к пло­
щади круга, ограниченного данной ок­
ружностью.
2249. Основание АС равнобедрен­
ного треугольника ABC является хор­
дой окружности, центр которой лежит
внутри треугольника ABC. Прямые,
проходящие через точку В, касаются
окружности в точках D и Е. Найдите
площадь треугольника D B E , если
А В - ВС = 2, Z AB C = 2 arcsin i . арал
диус окружности равен 1 .
2250. Окружность, построенная на
стороне АС треугольника ABC как на
диаметре, проходит через середину
стороны ВС и пересекает сторону А В в
точке D так, что A D = \ а В . Найдите
3
площадь треугольника ABC, если
А С = 1.
2251. В треугольнике ABC угол А
у
равен arccos - , ВС = а, а высота, опуО
щенная из вершины А , равна сумме
двух других высот. Найдите площадь
треугольника ABC.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
153
В круге радиуса 1 проведеныНайдите площадь данного четырех­
угольника.
хорды А В = л/2 и ВС = у . Найдите
2260. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = В С ) проведена бис­
площадь части круга, лежащей вну­
сектриса AD . Площади треугольников
три угла А Б С, если угол ВАС — ост­
A
B D n A D C равны соответственно
и
рый.
2253°. Через центр О вписанной в
Sg. Найдите АС.
треугольник ABC окружности прове­
2261. В треугольнике ABC угол С
дена прямая, параллельная стороне
равен 30°, а угол А — острый. Перпен­
ВС и пересекающая стороны А В и АС
дикулярно стороне ВС проведена пря­
соответственно в точках М n N . Пери­
мая, отсекающая от треугольника
ABC треугольник C N M (точка N ле ­
метр треугольника A M N равен 3 V 2 ,
жит между вершинами В и С). Площа­
ди треугольников C N M и ABC отно­
сторона ВС равна V2 , а отрезок А О в
сятся как 3 : 16. Отрезок MiV равен по­
три раза больше радиуса вписанной в
ловине высоты В Н треугольника ABC.
треугольник AB C окружности. Найди­
Найдите отношение A f f ; НС.
те площадь треугольника ABC.
2262. В равнобедренном треуголь­
2254. В окружности проведены хор­
нике ABC (АВ = В С ) проведены высоты
ды АС и B D , пересекающиеся в точке
АА^, ВВ^ и СС^. Найдите отношение
Е , причем касательная к окружности,
площади треугольника А^В^С^ к плопроходящая через точкуА, параллель­
на B D. Известно, что CD : E D = 3 : 2 и
АЙ
щади треугольника ABC, если —— ==
S (A B E ) = 8 . Найдите площадь тре­
угольника ABC.
= 7 з.
2255. В параллелограмме соедине­
2263. В окружность радиуса 7 впи­
ны середина каждой стороны с концом
сан
вьшуклый четырехугольник АВС£).
следующей стороны, отчего получил­
Стороны А В и ВС равны. Площадь тре­
ся внутренний параллелограмм. Дока­
угольника A B D относится к площади
жите, что его площадь составляет
треугольника ВС£) как 2 : 1 . У гол ADC
i площади данного параллелограмма.
равен 120°. Найдите все стороны четы­
О
рехугольника АВС£>.
2256. Площ адь трапеции A B CD
2264. Из точки А к окружности ра­
равна 30. Точка Р — середина боковой
диусом R проводится касательная A M
стороны АВ . Точка i? на стороне CD вы­
{ М — точка касания). Секущая, про­
брана так, что 2CD = 3jRD. Прямые A R
ходящая через точку А , пересекает ок­
и P D пересекаются в точке Q. Найдите
ружность в точках К и L , причем L —
площадь треугольника A P Q , если
середина отрезка А К , а угол А М К ра­
A D = 2ВС.
вен 60° (рис. 90). Найдите площадь
2257. Медианы треугольника рав­
треугольника А М К .
ны 3, 4 и 5. Найдите площадь тре­
угольника.
2258. Медианы треугольника рав­
ны 5, 6 и 5. Найдите площадь тре­
угольника.
2259. Произвольный
четырех­
угольник разделен диагоналями на че­
тыре треугольника; площади трех из
них равны 10, 20 и 30, и каждая мень­
ше площади четвертого треугольника.
Р и с . 90
2252.
154
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2265. Докажите, что произведение
отрезков, на которые гипотенуза пря­
моугольного треугольника делится
точкой касания вписанной в него ок­
ружности, равно площади этого тре­
угольника.
2266. На отрезке А В взята точка С,
отрезки А В и СВ служат диаметрами
окружностей. Хорда A M касается
меньшей окружности в точке D . Пря­
мая B D пересекает большую окруж­
ность в точке N , Z D A B = а, А В = 2R.
Найдите площадь четырехугольника
ABMN.
2267. Четырехугольник P Q R S впи­
сан в окружность. Диагонали P R и Q S
перпендикулярны и пересекаются в
точке М . Известно, что P S = 13, Q M =
= 10, Q R = 26. Найдите площадь четы­
рехугольника P Q R S .
2268. Даны две концентрические
окружности. В большей из них прове­
дены две пересекающиеся хорды K L и
M N , которые пересекают меньшую
окружность в точках К^,
и М^,
соответственно (точки с индексом 1
расположены ближе к одноименным
точкам без индекса). Хорды
и
меньшей окружности пересека­
ются в точке F . Найдите отношение
площадей треугольников K ^ F L i и
M ^ F N ^ , если K L = S N N ^, а хорда
равна среднему геометрическому от­
резков K L и М М ^ .
2269. В окружности проведены
хорды А С и B D , пересекающиеся в
точке Е , причем касательная к окруж­
ности, проходящая через точку А , па­
раллельна B D . Известно, что C D : E D =
= 3 : 2 и S (A B E ) = 8 . Найдите площадь
треугольника ABC.
2270. Диагонали вписанного в ок­
ружность четырехугольника A B C D
пересекаются в точке Е , причем
Z A D B = 1 , B D = & и A D -C E = D C •А Е .
О
Найдите площадь четырехугольника
ABCD.
2271. В треугольнике ABC сторона
А В равна 3, Z АСВ = arcsin - . Хорда
5
K N окружности, описанной около тре­
угольника ABC, пересекает отрезки
АС и ВС в точках М и L соответствен­
но. Известно, что Z ABC = Z C M L ,
площадь четырехугольника A B L M
равна 2, а L M = 1. Найдите высоту тре­
угольника K N C , опущенную из вер­
шины С, и его площадь.
2272. Через центр О вписанной в
треугольник ABC окружности про­
ведена прямая, параллельная стороне
ВС и пересекающая стороны А В и АС
соответственно в точкахМ u N . Пери­
метр треугольника A M N равен 3 \[2 ,
ВС = V2 , а отрезок А О в три раза боль­
ше радиуса вписанной в треугольник
ABC окружности. Найдите площадь
треугольника A B C .
2273. Около треугольника ABC
описана окружность. Медиана A D про­
должена до пересечения с этой окруж­
ностью в точке Е . Известно, что А В +
+ A D = D E , Z B AD = 60°, А £ = 6 . Най­
дите площадь треугольника ABC.
2274. В остроугольном треугольни­
ке ABC из вершин А и С опущены вы­
соты А Р и CQ на стороны ВС и А В . И з­
вестно, что площадь треугольника
ABC равна 18, площадь треугольника
B PQ равна 2, а P Q = 2 J z . Найдите ра­
диус окружности, описанной около
треугольника ABC.
2275. В трапеции A B C D {AD ||ВС)
угол А£)В в два раза меньше угла АСВ,
ВС = АС = 5 ,A D = 6 . Найдите площадь
трапеции.
2276. Около окружности радиуса
2
- - описана равнобедренная трапеция.
V3
У гол между диагоналями трапеции,
опирающийся на основание, равен
О
2 arctg — . Найдите отрезок, соеди-
Л
няющий точки касания окружности с
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
большим основанием трапеции и од­
ной из ее боковых сторон.
2277. В равнобедренную трапецию
вписана окружность. Расстояние от
центра окружности до точки пересече­
ния диагоналей трапеции относится к
радиусу, как 3 : 5. Найдите отношение
периметра трапеции к длине вписан­
ной окружности.
2278. Около окружности радиуса R
описана равнобедренная трапеция. Е
и К — точки касания этой окружности
с боковыми сторонами трапеции. У гол
между основанием А В и боковой сто­
роной A D трапеции равен 60°. Дока­
жите, что Е К параллельна А В , и най­
дите площадь трапеции AB iTfi.
2279. На прямой, проходящей че­
рез центр О окружности радиуса 12,
взяты точки А и Б так, что О А = 1 5 ,
А В = 5 и А леж ит между О и В. Из то­
чек А и В проведены касательные к ок­
ружности, точки касания которых л е ­
жат по одну сторону от прямой О В .
Найдите площадь треугольника A B C ,
где С — точка пересечения этих каса­
тельных.
2280. Вписанная в треугольник
A B C окружность касается его сторон
А С и В С в точках M vlN соответственно
и пересекает биссектрису B D в точках
Р и Q. Найдите отношение площадей
треугольников P Q M и P Q N , если
^ А = 5 , Z B = |.
155
СВ в точке М и отсекает от основания
отрезок К Е . Найдите площадь тре­
угольника К M B , если известно, что
точки А , К , Е , В следуют на основании
А В в указанном порядке.
2283. Около треугольника А Р К
описана окружность радиуса 1. Про­
должение стороны А Р за вершину Р от­
секает от касательной к окружности,
проведенной через вершину К , отре­
зок В К , равный 7. Найдите площадь
треугольника АРЛГ, если известно, что
о
угол А В К равен arctg - .
2284. Дана равнобедренная трапе­
ция, в которую вписана окружность и
около которой описана окружность.
Площадь описанного круга в 12 раз
больше площади вписанного круга.
Найдите углы трапеции.
2285. В параллелограмме A B C D
сторона А В равна 1 и равна диагонали
B D . Диагонали относятся как 1:^/3.
Найдите площадь той части круга,
описанного около треугольника BC D ,
которая не принадлежит кругу, опи­
санному около треугольника ADC.
2286. Две окружности разных ра­
диусов касаются в точке С одной и той
же прямой и расположены по одну сто­
рону от нее. Отрезок C D — диаметр
большей окружности (рис. 91). Из точ­
ки D проведены две прямые, касаю­
щиеся меньшей окружности в точках
2281. Б треугольник A B C вписана
окружность с центром О. Прямая В О
пересекает эту окружность в точках М
и Л^, а отрезки АО и СО пересекают ок­
ружность соответственно в точках Р и
Q. Найдите отношение площадей тре­
угольников M N P и M Q N , если Z А = а,
Z C = Y2282. В равнобедренном треуголь­
нике AB C с основанием А В угол В раО
вен arctg — . Окружность радиуса 1,
15
вписанная в угол С, касается стороны
Р и с . 91
ПЛАНИМЕТРИЯ
156
A n В . Прямая, проходящая через точ­
ки С и А , образует с общей касательной
к окружностям в точке С угол 75° и пе­
ресекает большую окружность в точке
М . Известно, что A M = ^2 - л/З . Най­
дите площадь фигуры, ограниченной
отрезками касательных D A , D B и ду­
гой АСВ меньшей окружности.
2287. Через вершины А и В тре­
угольника AB C проведена окружность
радиуса
2
Jb , отсекающая от прямой
В С отрезок 4 л/б и касающаяся прямой
А С в точке А . Из точки В проведен пер­
пендикуляр к прямой В С до пересече­
ния с прямой А С в точке F . Найдите
площадь треугольника А Б С , если
BF=2.
2288. На стороне В С треугольника
B C D выбрана точка £ , а на стороне
B D — точка F так, что угол B E F равен
у гл у В В С . Площадь круга, описанного
около треугольника C F D , в 5 раз мень­
ше площади круга, описанного около
треугольника B E F . Отношение пло­
щади четырехугольника C E F D к пло­
щади треугольника B E F равно
16
.
У гол F D E равен 45°. Найдите угол
СЕВ.
2289. В трапеции A B C D диагонали
А С и B D взаимно перпендикулярны,
Z В А С = Z C D B . Продолжения боко­
вых сторон А В и D C пересекаются в
точке К , образуя угол A K D , равный
30°. Найдите площадь треугольника
A K D , если площадь трапеции равна Р.
2290. В трапеции A B C D диагональ
А С перпендикулярна боковой стороне
C D , а диагональ D B перпендикулярна
боковой стороне А В . Продолжения бо­
ковых сторон А В и D C пересекаются в
точке К , образуя треугольник A K D с
углом 45° при вершине К . Площадь
трапеции АВС£) равна Р . Найдите пло­
щадь треугольника АйГХ).
2291. На продолжении основания
равнобедренного треугольника взята
точка. Докажите, что разность рас­
стояний от этой точки до прямых, со­
держащих боковые стороны треуголь­
ника, равна высоте, опущенной на бо­
ковую сторону.
2292. Остроугольный равнобедрен­
ный треугольник и трапеция вписаны
в окружность. Одно основание трапе­
ции является диаметром окружности,
а боковые стороны параллельны боко­
вым сторонам треугольника. Найдите
отношение площадей трапеции и тре­
угольника.
2293. В равнобедренном треуголь­
нике ABC точки М и N находятся на
боковых сторонах А В и ВС соответ­
ственно. Найдите площадь треуголь­
ника ABC, если известно, что A M = 5,
A V = 2л/37 , СМ = 11, CiV = 10.
2294. Диагонали трапеции равны 3
и 5, а отрезок, соединяющий середины
оснований, равен 2. Найдите площадь
трапеции.
2295. Диагонали трапеции взаимно
перпендикулярны. Одна из них равна
6 .
Отрезок, соединяющий середины
оснований, равен 4,5. Найдите пло­
щадь трапеции.
2296. Средняя линия трапеции рав­
на 5, а отрезок, соединяющий середи­
ны оснований, равен 3. У глы при боль­
шем основании трапеции равны 30° и
60°. Найдите площадь трапеции.
2297. Отношение оснований трапе­
ции равно 3 ; 2, а отношение боковых
сторон равно 5 : 3 . Точка пересечения
биссектрис углов при большем основа­
нии трапеции леж ит на меньшем осно­
вании. Найдите углы трапеции.
2298. В равнобедренной трапеции
A B C D углы при основании A D равны
30°, диагональ АС является биссект­
рисой угла B A D . Биссектриса угла
B C D пересекает основание A D в точке
М , а отрезок В М пересекает диагональ
АС в точке N . Найдите площадь тре­
угольника A/VM, если площадь трапе­
ции АВС£> равна 2 + J s .
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2299. В прямоугольной трапеции
A B C D (ВС параллельно AD , А В пер­
пендикулярно A D ) меньшее основание
A D равно 3, а боковая сторона CD рав­
на 6 . Точка Е, середина стороны CD,
соединена отрезком прямой с точкой
В. Известно, что Z СВЕ = а. Найдите
площадь трапеции АВС£).
2300. В параллелограмме A B C D
угол С — острый, сторона А В равна 3,
сторона ВС равна 6 . Из вершины С опу­
щен перпендикуляр СЕ на продолже­
ние стороны АВ. Точка Е , основание
перпендикуляра СЕ, соединена отрез­
ком прямой с точкой F, серединой сто­
роны A D . Известно, что Z A E F = а.
Найдите площадь четырехугольника
AECD.
2301. Прямая, параллельная осно­
ваниям трапеции, делит ее на две тра­
пеции, площади которых относятся,
как 1 : 2 . Найдите отрезок этой пря­
мой, заключенный внутри трапеции,
если основания равны а и fc.
2302. Вершины ромба расположе­
ны на сторонах параллелограмма, а
стороны ромба параллельны диагона­
лям параллелограмма. Найдите отно­
шение площадей ромба и параллело­
грамма, если отношение диагоналей
параллелограмма равно k.
2303. Через вершины А и В тре­
угольника Л В С проведена окруж­
ность, пересекающая стороны ВС и АС
в точках D и Е соответственно. П ло­
щадь треугольника CDE в семь раз
меньше площади четырехугольника
A B D E . Найдите хорду D E и радиус ок­
ружности, если А В = 4 и Z С = 45°.
2304. На стороне АС треугольника
AB C взята точка £ . Через точку Е про­
ведены прямая D E параллельно сторо­
не ВС и прямая E F параллельно сторо­
не А В (D а F — точки на сторонах тре­
угольника). Докажите, что S (B D E F ) =
= 2 J S (A D E )- S (E F C ).
2305. Трапеция ABC
разделена
прямой, параллельной ее основаниям
157
A D и ВС, на две равновеликие трапе­
ции. Найдите отрезок этой прямой, за­
ключенный между боковыми сторона­
ми, если основания трапеции равны а
и Ь.
2306. Точки Р h Q расположены на
стороне ВС треугольника ABC так, что
В Р : PQ : QC = 1 : 2 : 3 . Точка R делит
сторону АС этого треугольника так,
что AR : RC = 1 : 2 . Чему равно отно­
шение площади четырехугольника
P Q S T к площади треугольника ЛВС,
если iS и Г — точки пересечения пря­
мой BR с прямыми AQ и А Р соответ­
ственно?
2307. Площадь трапеции ABCD
равна 6 . Пусть Е — точка пересечения
продолжений боковых сторон этой
трапеции. Через точку Е и точку пере­
сечения диагоналей трапеции прове­
дена прямая, которая пересекает
меньшее основание ВС в точке Р , а
большее основание A D — в точке Q.
Точка F лежит на отрезке ЕС, причем
E F : FC = Е Р : EQ = 1 : 3 . Найдите пло­
щадь треугольника E P F .
2308. Внутри треугольника ЛВС
взята точка Р так, что площади тре­
угольников А В Р , В СР и А С Р равны.
Докажите, что Р — точка пересечения
медиан треугольника.
2309. Дан
выпуклый
четырех­
угольник площади S. Внутри него вы­
бирается точка и отображается сим­
метрично относительно середин его
сторон (рис. 92). Получаются четыре
вершины нового четырехугольника.
Найдите его площадь.
158
ПЛАНИМЕТРИЯ
2310. В треугольнике ABC биссект­
рисы A D и B E пересекаются в точке О.
Найдите отношение площади тре­
угольника А Б С к площади четырех­
угольника O DCE, зная, что ВС = а,
АС = Ь ,А В ^ с .
2311. Диагонали четырехугольни­
ка A B C D пересекаются в точке М , и
угол между ними равен а. Пусть О^,
Og, О3 и О4 — центры окружностей,
описанных соответственно около тре­
угольников А М Б , В С М , C D M и D A M .
Найдите отношение площадей четы­
рехугольников ABCD и OJO2 O3 O4 .
2312. В параллелограмме A B CD
угол B A D равен а. Пусть О — произ­
вольная точка внутри параллелограм­
ма, Oj, О 2 , 0 3 , 0 4 — точки, симметрич­
ные точке О относительно прямых АВ ,
ВС, CD и A D соответственно. Найдите
отношение площади четырехугольни­
ка О 1 О2 О 3 О4 к площади параллело­
грамма.
2313. Стороны
параллелограмма
равны 3 и 2, а угол между ними равен
arccos
16
. Две взаимно перпендику-
лярные прямые делят параллело­
грамм на четыре равновеликие части.
Найдите длины отрезков, на которые
эти прямые делят стороны паралле­
лограмма.
2314. Пусть Е , F , G — такие точки
на сторонах А В , ВС, СА треугольника
AB C, для которых А Е ; ЕВ = B F : FC =
= CG : GA = k, г д е О< А < 1. Найдите от­
ношение площади треугольника, об­
разованного прямыми A F , ВО и СЕ, к
площади треугольника ABC.
2315. Два треугольника А^Б^С^ и
А 2 В 2 С2 , площади которых равны
и
S 2 , расположены так, что лучи А^В^ и
А 2 В 2 , B^Ci и В 2 С 2 УC^Ai и С 2 А 2 парал­
лельны , но противоположно направ­
лены. Найдите площадь треугольника
с вершинами в серединах отрезков
A jA 2 , В 1 В 2 , C-jC2-
2316. Площадь треугольника ABC
равна 15^3- У гол ВАС равен 120°.
У гол ЛВС больше угла АСВ. Расстоя­
ние от вершины А до центра окружнос­
ти, вписанной в треугольникАВС, рав­
но 2. Найдите медиану треугольника
ABC, проведенную из вершины В.
2317. В трапеции ABCD основание
A D равно
. Диагонали АС и D B пе­
ресекаются в точке К . Известно, что
A K ^ 1 ,K D = 2 ,
ВАС = / 1 DAC. Най­
дите площадь треугольника ABC.
2318. В прямоугольнике ABCD сто­
рона A D вдвое больше стороны АВ.
Внутри прямоугольника расположена
точка М , причем A M = л/2 , В Ы = 2,
С М = 6 . Найдите косинус утла A M В и
площадь прямоугольника ABCD.
2319. В параллелограмме ABCD
угол А — тупой, A D > A B ,A -D = 7. Точ­
ка A j симметрична точке А относи­
тельно прямой B D , а точкаА 2 симмет­
рична точке A i относительно прямой
АС и леж ит на диагонали B D. Найдите
площадь параллелограмма ABCD, ес­
ли В А 2 = | b D .
2320. В треугольнике ABC извест­
но, что Z А = 60°, Z В = 45°. Продолже­
ния высот треугольника ABC пересе­
кают описанную около него окруж­
ность в точках М , N , Р . Найдите отно­
шение площадей треугольников ABC и
M NP.
2321. В круге проведены два пер­
пендикулярных друг другу диаметра
А Е и B F. На дуге E F взята точка С.
Хорды СА и СВ пересекают диаметры
B F н А Е в точках P n Q соответственно.
Докажите, что площадь четырех­
угольника A PQ B равна квадрату ради­
уса круга.
2322. Б равнобедренной трапеции
лежат две окружности. Одна из них, ра­
диуса 1 , вписана в трапецию, а вторая
касается двух сторон трапеции и пер­
вой окружности. Расстояние от верши­
159
ПЛАНИМЕТРИЯ
ны угла, образованного двумя сторона­
ми трапеции, касающимися второй ок­
ружности, до точки касания окружнос­
тей вдвое больше диаметра второй ок­
ружности. Найдите площадь трапеции.
2323. Дан угол, равный а. На его
биссектрисе взята точка L; Р и М —
проекции К на стороны угла. На отрез­
ке Р М взята точка А такая, что К А = а.
Прямая, проходящая через А перпен­
дикулярно К А , пересекает стороны у г­
ла в точках Б и С. Найдите площадь
треугольника ВКС.
2324. Площадь ромба A B C D равна
2. В треугольник A B D , образованный
сторонами А В , A D и диагональю B D
данного ромба, вписана окружность,
которая касается стороны А В в точке
К . Через точку К проведена прямая
K L , параллельная диагонали АС ром­
ба (точка L леж ит на стороне ВС). Най­
дите угол B AD, если известно, что пло­
щадь треугольника K L B равна а.
2325. В параллелограмме ABC-D ди­
агональ А С перпендикулярна стороне
АВ. Некоторая окружность касается
стороны ВС параллелограмма A B C D в
точке Р и касается прямой, проходя­
щей через вершины А и В этого же па­
раллелограмма, в точке А . Через точку
Р проведен перпендикуляр PQ к сторо­
не А В (точка Q — основание этого пер­
пендикуляра). Найдите угол AB C, ес­
ли известно, что площадь параллело­
грамма A B C D равна | , а площадь пя­
тиугольника Q PCDA равна S.
2326. Площадь
прямоугольника
A B C D равна 1. Некоторая окружность
касается диагонали А С прямоугольникаА В С В в точке Е и касается прямой,
проходящей через вершины С к В это­
го же прямоугольника, в точке D . Ч е­
рез точку Е проведен перпендикуляр
E F к стороне CD (точка F — основание
этого перпендикуляра). Найдите вели­
чину угла ВАС, если известно, что пло­
щадь трапеции A B f£ ) равна а.
2327. В треугольнике ABC сторона
АС равна 3, Z ВАС = 30° и радиус опи­
санной окружности равен 2. Докажи­
те, что площадь треугольника ABC
меньше 3.
2328. В треугольнике ABC длина
стороны А В равна 5, Z САВ = 30°, ра­
диус описанной окружности равен
2 J z . Докажите, что площадь тре­
угольника AB C строго меньше 5л/2.
2329. В четырехугольнике ABCD
сторона А В равна стороне ВС, диаго­
наль АС равна стороне CD, а Z.ACB =
= Z A C D. Радиусы окружностей, впи­
санных в треугольникиАСВ hACD, о т ­
н о с я т с я как 3 : 4 . Найдите отношение
площадей этих треугольников.
2330. (Формула Брахмагупты.) Дока­
жите, что если стороны вписанного че­
тырехугольника равны а, fc, с и d, то
его площадь < 8 может быть вычислена
по формуле
4 (p -a )(p -b )(p -c ){p -d ),
где р =
— полупериметр че­
тырехугольника.
2331. В круге проведены две взаим­
но перпендикулярные и пересекаю­
щиеся хорды А В и CD. Известно, что
А В = ВС = CD. Установите, что боль­
ше: площадь круга или площадь квад­
рата со стороной АВ.
2332. Окружность радиуса R, про­
веденная через вершины А , В и С пря­
моугольной трапеции A B C D ( Z A =
= А В ^ 90°), пересекает отрезки A D и
CD соответственно в точках M u N так,
что A M :A D = C N : C D = - 1 :3 (рис. 93).
Найдите площадь трапеции.
160
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2333. Стороны А В и CD четырех­
угольника A B C D перпендикулярны и
являются диаметрами двух равных
касающихся окружностей радиуса г.
Найдите площадь четырехугольника
A B C D , если ВС : A D = к.
2334. Равнобедренный
треуголь­
ник AB C {АВ = В С ) вписан в окруж­
ность. Диаметр CD пересекает сторону
А В в точке М . Отношение площади
треугольника М В С к площади тре­
угольника A M С равно к. Найдите
D M : DC.
2335. В треугольнике ABC биссект­
риса A f f пересекает высоты В Р и С Т в
точках К VL М соответственно, причем
эти точки лежат внутри треугольника.
Известно, что В К : К Р = 2 и М Г : К Р =
= 3 : 2 . Найдите отношение площади
треугольника РВ С к площади описан­
ного около этого треугольника круга.
2336. Через произвольную точку,
взятую внутри треугольника, проведе­
ны три прямые, параллельные сторо­
нам треугольника. При этом треуголь­
ник разбивается на три параллело­
грамма и три треугольника. Докажи­
те, что произведение площадей парал­
лелограммов в восемь раз больше про­
изведения площадей треугольников.
2337. В ромб A B C D вписана окруж­
ность радиуса R, касающаяся стороны
A D в точке М и пересекающая отрезок
М С в точке N такой, что M N = 2NC.
Найдите углы и площадь ромба.
2338. В трапеции основания равны
a v ib , диагонали перпендикулярны, а
угол между боковыми сторонами ра­
вен а. Найдите площадь трапеции.
2339. Боковые стороны А В и CD
трапеции АВС£) равны соответственно
8
и 10, а основание ВС равно 2. Бис­
сектриса угла ADC проходит через се­
редину стороны АВ . Найдите площадь
трапеции.
2340. Гипотенуза А В прямоуголь­
ного треугольника AB C является хор­
дой окружности радиуса 10. Вершина
С леж ит на диаметре окружности, ко­
торый параллелен гипотенузе. У гол
САВ равен 75°. Найдите площадь тре­
угольника ABC.
2341. В трапеции A B C D точки К и
М являются соответственно середина­
ми оснований А В = 5 и CD = 3. Найдите
площадь трапеции, если треугольник
A M В — прямоугольный, a D K есть вы­
сота трапеции.
2342. В трапеции AB C D (A D ||ВС)
угол A B D в два раза меньше угла А С В ;
ВС = АС = b ,A D = 6 . Найдите площадь
трапеции.
2343. В трапеции A B C D основание
ВС равно 13, а угол B AD острый и
вдвое больше угла ADC. Окружность с
центром на прямой ВС касается пря­
мых АС, A D и отрезка CD. Найдите
площадь трапеции АВС£>, если извест­
но, что радиус окружности равен 5.
2344. В треугольнике ABC проведе­
на биссектриса CQ. Около треугольни­
ка BCQ описана окружность радиуса
i , центр которой лежит на отрезке АС.
о
Найдите площадь треугольника ABC,
если A Q : А В = 2 : 3 .
2345. В трапеции АВС£) сторона A D
является большим основанием. И з­
вестно, чтоA D = CD = 4 - , Z B AD = 90°
3
и Z. BCD = 150°. На основании A D по­
строен треугольник АЕ£) так, что точ­
ки В и £ лежат по одну сторону от пря­
мой AD , причем А Е = D E . Длина высо­
ты этого треугольника, проведенная
О
из вершины £ , равна 1 - . Найдите плоО
щадь общей части трапеции ABCD и
треугольника A E D .
2346. Отрезки, соединяющие осно­
вания высот остроугольного треуголь­
ника, равны 5, 12 и 13. Найдите пло­
щадь треугольника.
2347. На сторонах АВ , ВС, CD и DA
параллелограмма ABCD взяты соот­
ветственно точки М , N , К и Ь , причем
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
A M :М В = СК :K D = 1 :2 ,a B N :N C =
= D L : L A = 1 : 3 . Найдите площадь
четырехугольника, вершины которо­
го — точки пересечения отрезков A N ,
В К , CL и D M , если площадь паралле­
лограмма ABCD равна 1.
2348. Площ адь треугольника ABC
равна S. Найдите площадь треуголь­
ника, стороны которого равны медиа­
нам треугольника ABC.
2349. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCZ) точка Е — пересечение ди­
агоналей. Известно, что площадь каж­
дого из треугольников А В £ и В С Е рав­
на 7, а площадь всего четырехугольни­
ка не превосходит 28; сторона A D рав­
на V5 . Найдите ВС.
2350. Дана трапеция M N P Q с осно­
ваниями M Q и N P . Прямая, парал­
лельная основаниям, пересекает боко­
вую сторону M N в точке А , а боковую
сторону P Q — в точке В . Отношение
площадей трапеций A N P B и M A B Q
р
равно - . Найдите А В , если N P = 4,
M Q=6.
2351. В четырехугольнике A N C D
острый угол между диагоналями ра­
вен а. Через каждую вершину прове­
дена прямая, перпендикулярная ди­
агонали, не содержащей эту вершину.
Найдите отношение площади четы­
рехугольника, ограниченного этими
прямыми, к площади четырехуголь­
ника ABCD.
2352. На сторонах А В , А С и БС пра­
вильного треугольника AB C располо­
жены соответственно точки С^, В^ иА^
так, что треугольник А^Б^С^ является
правильным. Высота B D треугольни­
ка AB C пересекает сторону А^С^ в точ­
ке О. Найдите отношение
AiB i
АВ
= п.
ВО
если
BD ’
161
и АС равно k. Найдите отношение пло­
щади этого четырехугольника к пло­
щади ромба, вершины которого лежат
на сторонах четырехугольника, а сто­
роны параллельны диагоналям четы­
рехугольника.
2354. Точка внутри правильного
2 п-угольника соединена с вершинами.
Возникшие 2п-треугольники раскра­
шены попеременно в голубой и крас­
ный цвет. Докажите, что сумма пло­
щадей голубых треугольников равна
сумме площадей красных: а) для п = 4,
б) для п = 3, в) для произвольного п.
2355. В треугольнике ABC дано:
Z АС Б = 60°, Z AB C = 45°. На продол­
жении А С за вершину С берется точка
К так, что АС = С К. На продолжении
ВС за вершину С берется точка М так,
что треугольник с вершинами С , М и К
подобен исходному. Найдите ВС : М К ,
если известно, что С М : М К < 1.
2356. Прямоугольный
треуголь­
ник AB C имеет периметр 54, причем
катет АС больше, чем 10. Окружность
радиуса 6 , центр которой леж ит на ка­
тете ВС, касается прямых А В и АС.
Найдите площадь треугольника АБС.
2357. Дана окружность, диаметр
M N которой равен 16. На касательной
к этой окружности в точке М отложен
отрезок М Р , длина которого больше,
чем 15. Из точки Р проведена вторая
касательная к окружности, пересе­
кающая прямую M N в точке Q. Най­
дите площадь треугольника MPQ, ес­
ли его периметр равен 72.
2358. Точки К , L, М , N, Р располо­
жены последовательно на окружности
радиуса 2 J 2 . Найдите площадь тре­
угольника K L M ,
если L M IIKN,
К М II NP, M N II LP, а угол L O M равен
45°, где О — точка пересечения хорд
LNnMP.
2359. Трапеции AB C D и A C D E с
2353.
В выпуклом четырехуголь­равными большими основаниями (со­
ответственно A D и А С ) вписаны в ок­
нике ABCZ) отношение диагоналей B D
6 С борн ик задач п о геометрии
162
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ружность (рис. 94). Чем у равен радиус
этой окружности, если площадь тре­
угольника A D E равна 1 + л/З , а угол
COD равен 60°, где О — точка пересе­
чения диагоналей трапеции ABCD.
DC = л/2 . Найдите площадь треуголь­
ника ABC.
2365. Точки К, L, М делят стороны
вы пуклого четырехугольника ABCD
в отношении А К : ВК = CL : BL =
= С М : D M = 1 : 2 . Радиус окружнос­
ти, описанной около треугольника
K L M , равен | , KL = 4 , L M = 3. Какова
площадь четырехугольника ABCZ), ес­
ли известно, что К М < KL?
2366. Дан прямоугольник ABCD, в
котором А В = 10. Окружность радиуса
4 — 2 V2 с центром в точке К касается
сторон А В и AD . Окружность радиуса
2360. Вокруг треугольника М К Н
описана окружность радиуса г с цент­
ром в точке О. Длина стороны Н М рав­
на а. Д ля сторон треугольника выпол­
нено соотношение Н К ^ - Н М ^ = Н М ^
- М К ^. Найдите площадь треугольни­
ка O L K , где L — точка пересечения
медиан треугольника М К Н .
2361. Докажите, что площадь тре­
угольника можно выразить по форму­
ле S = r j j ) - а), где г„ — радиус вневписанной окружности, касающейся сто­
роны, равной а, р — полупериметр
треугольника.
2362. Площ адь треугольника A B C
равна 2л/3 - 3, а угол ВАС равен 60°.
Радиус окружности, касающейся сто­
роны ВС и продолжения сторон А В и
АС, равен 1. Найдите углы A B C и АСВ
данного треугольника.
2363. Радиус вписанной в треуголь­
ник A B C окружности равен 4, причем
А С = ВС. На прямой А В взята точка D,
удаленная от прямых АС и ВС на рас­
стояния 11 и 3 соответственно. Найди­
те косинус угла ВВС.
2364. Хорда А В стягивает дугу ок­
ружности, равную 120°. Точка С ле­
жит на этой дуге, а точка D леж ит на
хорде А В . При этом A D = 2, B D = 1,
4 + 2 л/2 с центром в точке L , лежащей
на стороне CD, касается стороны A D и
первой окружности. Найдите площадь
треугольника CLM, если М — основа­
ние перпендикуляра, опущенного из
вершины В на прямую, проходящую
через точки К к L.
2367. В трапеции ABCD точки К и
М являются соответственно середина­
ми оснований А В и CD. Известно, что
A M перпендикулярно DK и СК пер­
пендикулярно ВМ , а угол CKD равен
6 0 °. Найдите площадь трапеции, если
ее высота равна 1.
2368. Дан ромб ABCD. Окружность
радиуса R касается прямых А В и A D в
точках B v iD соответственно и пересе­
кает сторону ВС в точке L так, что
4БХ = ВС. Найдите площадь ромба.
2369. Площадь треугольника ABC
равна 1, А С = 2ВС, точка — середина
стороны АС. Окружность с центром в
точке К пересекает сторону А В в точ­
ках М h N, при этом A M = M N = NB.
Найдите площадь части треугольника
ABC, заключенной внутри круга.
2370. Прямая, параллельная гипо­
тенузе А В прямоугольного треуголь­
ника ABC, пересекает катет АС в точке
D, а катет ВС — в точке Е, причем
DE = 2, а BE = 1. На гипотенузе взята
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точка F так, что B F = 1. Известно так­
же, что угол FCB равен а. Найдите
площадь треугольника ABC.
2371. На биссектрисе острого угла
АО С взята точка В . Через точку В про­
ведена прямая, перпендикулярная к
ОВ и пересекающая сторону А О в точ­
ке К , а сторону ОС — в точке L . Через
точку В проведена еще одна прямая,
пересекающая сторону А О в точке М
( М — между О я К ), сторону ОС — в
точке А? так, что Z. M O N = Z M N O . И з­
вестно, что М К = а, L N = ^ . Найдите
площадь треугольника M O N .
2372. Две окружности с центрамиЛ
и В и радиусами соответственно 2 и 1
касаются друг друга. Точка С леж ит на
прямой, касающейся каждой из ок­
ружностей, и находится на расстоя­
нии
от середины отрезкаАВ. Най2Л
дите площадь S треугольника ABC, ес­
ли известно, что S > 2.
2373. Через некоторую точку, взя­
тую внутри треугольника, проведены
три прямые, параллельные сторонам.
Эти прямые разбивают треугольник на
шесть частей, три из которых — тре­
угольники с площадями S j , Sg, Sg. Най­
дите площадь данного треугольника.
2374. На сторонах А В , ВС и А С тре­
угольника A B C взяты соответственно
точки Cj, A j и B i так, что АС^ : С^В =
= B A i : A iC = C B i : В^А = 2 : 1 . Найди­
те площадь треугольника, вершины
которого — попарные пересечения от­
резков A4.J, ВВ^, СС^, если площадь
треугольника AB C равна 1.
2375. Из точки Р , расположенной
внутри остроугольного треугольника
AB C, опущены перпендикуляры на его
стороны. Длины сторон и опущенных
на них перпендикуляров соответ­
ственно равны а и к, Ь и т, с п п . Най­
дите отношение площади треугольни­
ка AB C к площади треугольника, вер­
шинами которого служат основания
перпендикуляров.
163
2376. Дан параллелограмм ABCD.
Прямая, проходящая через вершину
С, пересекает прямые А В и A D в точ­
ках К VL L . Площади треугольников
К В С и C D L равны р n q . Найдите пло­
щадь параллелограмма ABCZ).
2377. В параллелограмме ABCD
острый угол B A D равен а. Пусть О^,
О 2 , О 3 , О 4 — центры окружностей,
описанных соответственно около тре­
угольников D AB , DAC, DBC, ABC.
Найдите отношение площади четы­
рехугольника 0 i 0 2 0 g0 4 к площади па­
раллелограмма ABCD.
2378. В равнобедренном треуголь­
нике AB C (АВ = В С ) медианы A D и ЕС
пересекаются в точке О. Отношение
радиуса окружности, вписанной в тре­
угольник АОС, к радиусу окружности,
вписанной в четырехугольник ODBE,
2
АС
равно - . Найдите отношение — .
3
ВС
2379. Продолжения сторон K N и
LM
выпуклого четырехугольника
K L M N пересекаются в точке Р , а про­
должения сторон K L и M N — в точке
Q. Отрезок P Q перпендикулярен бис­
сектрисе угла K Q N . Найдите сторону
M N , если K Q = 6 , N Q = 4, а площади
треугольника L Q M и четырехугольни­
ка K L M N равны.
2380. Пусть M n N — середины про­
тивоположных сторон ВС u A D выпук­
лого четырехугольника A B C D , отрез­
ки А М и B N пересекаются в точке Р , а
отрезки D M и C N — в точке Q. Дока­
жите, что сумма площадей треуголь­
ников А Р В и CQD равна площади че­
тырехугольника M P N Q .
2381. Пусть С^, A i, В^ — такие точ­
ки на сторонах А В , ВС, СА треуголь­
ника AB C, для которых
СВ,
АС,
В^А
CiB
_
А^С
Г. Найдите отношение
площади треугольника, образованно­
го прямыми АА^, ББ^ иСС^, кплощади
треугольника A B C .
164
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2382. На каждой стороне паралле­
лограмма взято по точке. Площадь че­
тырехугольника с вершинами в этих
точках равна половине площади па­
раллелограмма. Докажите, что хотя
бы одна из диагоналей четырехуголь­
ника параллельна одной из сторон па­
раллелограмма.
2383. Стороны остроугольного тре­
угольника A B C соответственно равны
а, Ь м с. Точка М находится внутри
треугольника. У глы А М В , В М С и
С М А равны между собой. Найдите
сумму отрезков A/Vf, В М и С М .
2384. В остроугольном треугольни­
ке AB C точка D выбрана на стороне А В
так, что Z D CA = 45°. Точка
сим­
метрична точке D относительно пря­
мой ВС, а точка Х> 2 симметрична точке
относительно прямой А С и лежит
на продолжении отрезка ВС за точку
С. Найдите площадь треугольника
ABC, если ВС = J z CD 2 , А В = 4.
2385. Две окружности пересекают­
ся в точках А и К”. И х центры располо­
жены по разные стороны от прямой, со­
держащей отрезок АК". Точки Б и С ле­
жат на разных окружностях (рис. 95).
2386. Пусть Р — середина стороны
АВ
выпуклого
четырехугольника
AB CD . Докажите, что если площадь
треугольника PD C равна половине
площади четырехугольника ABCZ), то
стороны ВС h A D параллельны.
2387. На плоскости дан угол вели­
чины § . Окружность касается одной
3
стороны этого угла, пересекает другую
сторону в точках А и Б и пересекает
биссектрису угла в точках С и £>. Хор­
да А В равна J6 , хорда CD равна
.
Найдите площадь круга, ограниченно­
го этой окружностью.
2388. В остроугольном треугольни­
ке AB C проведены высоты A M и CN,
О — центр описанной около ABC ок­
ружности. Известно, что Z AB C = Р, а
площадь четырехугольника N O M B
равна S. Найдите АС.
2389. В трапеции AB CD основание
A D вдвое больше основания ВС, угол А
равен 30°, угол D равен 60°. На диаго­
налях трапеции как на диаметрах по­
строены окружности, пересекающие­
ся в точках К и Ь . Найдите отношение
площадей четырехугольников, на ко­
торые хорда K L разбивает трапецию
A B CD .
2390. В остроугольном треугольни­
ке AB C с углом С, равным 30°, высоты
пересекаются в точке М . Найдите пло­
щадь треугольника А М В , если рас­
стояния от центра окружности, опи­
санной около треугольника ABC, до
сторон ВС и АС соответственно равны
72 и
Прямая, содержащая отрезок А В , ка­
сается одной окружности в точке А .
Прямая, содержащая отрезок АС, ка­
сается другой окружности также в точ­
ке А . Отрезок В К равен 1, отрезок СК
равен 4, а тангенс угла САВ равен
л/ГВ
Найдите площадь треугольника ABC.
2391. Сторона А В параллелограм­
ма ABCD равна 2, Z B A D = 45°. Точки
Е и F расположены на диагонали BD,
причем Z А Е В = Z CFD = 90°, B F =
= I B E . Найдите площадь параллелограмма.
2392. Вершина С прямоугольника
A B C D леж ит на стороне К М равно­
бедренной трапеции A B JlM {В К II A M ),
Р — точка пересечения отрезков A M и
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
CD. Найдите углы трапеции и отноше­
ние площадей прямоугольника и тра­
пеции, если А В = 2ВС, А Р = ЗВК.
2393. Вершина D квадрата A B CD
лежит на стороне E F равнобедренной
трапеции B C £ F (C £ ЦB F). Найдите уг­
лы трапеции и отношение площадей
трапеции и квадрата, если АСЕ = BF.
2394. На отрезке А В лежат точки С
и D , причем точка С — между точками
A m D . Точка М взята так, что прямые
A M и M D перпендикулярны и прямые
С М и M B тоже перпендикулярны.
Найдите площадь треугольника А М Б ,
если известно, что угол C M D равен а,
а площади треугольников A M D и С М В
равны S i и S 2 соответственно.
2395. Точки D n K расположены со­
ответственно на стороне А В и высоте
B E остроугольного треугольникаАВС.
Найдите площадь равностороннего
треугольника D K C , если известно, что
А Е = ^ , £ С = 2 , А 0 : 1 ) Б = 1 : 8.
8
2396. Равнобедренный
треуголь­
ник AB C (Z С = 90°) и треугольник
D E F расположены так, что точка D ле ­
жит на стороне А В , а точка Е — на про­
должении стороны А В за точку А . От­
резок K L является средней линией в
обоих треугольниках, и площадь че­
тырехугольника D K L B составляет
I площади треугольника ABC. Най8
дите угол D E F .
2397. Параллелограмм ABCD, в ко­
тором Z. B A D = arcsin - , и ромб B C E F
3
с острым углом СВЕ расположены так,
что точки E h F лежат на продолжении
стороны A D за точку D . Площадь че­
тырехугольника B D C E составляет
О
-- площади параллелограмма. Найди4
те углы ромба.
2398°. На окружности по разные
стороны от диаметра АС расположены
точки В п D . Известно, что А В =
,
CD = 1, а площадь треугольника ABC
165
втрое больше площади треугольника
BCD. Найдите радиус окружности.
2399°. Биссектрисы углов Б и С па­
раллелограмма A B C D пересекаются в
точке О. Найдите площадь параллелограмма, если Z А = 2 arcsin
2
Лз
О А = 2 j\ 0 , OD = 5. (Найдите все ре­
шения).
2400°. Стороны четырехугольника
равны а, Ь, с и d. Известно, что в этот
четырехугольник можно вписать ок­
ружность и около него можно описать
окружность. Докажите, что его пло­
щадь равна J a b c d .
2401°. На сторонах АВ , АС и ВС
правильного треугольника ABC распо­
ложены соответственно точки С^, В^ и
А^ так, что треугольник А^В-^С^ явля­
ется правильным. Отрезок ББ^ пересе­
кает сторону C^Aj в точке О, причем
= к. Найдите отношение площади
треугольника AB C к площади тре­
угольника А ]В jC j.
2402°. Продолжения сторон A D и
ВС
выпуклого
четырехугольника
A B CD пересекаются в точке М , а про­
должения сторон А В и CD — в точке О.
Отрезок М О перпендикулярен бис­
сектрисе угла A O D . Найдите отноше­
ние площадей треугольника AOZ) и че­
тырехугольника ABCZ), если ОА = 12,
O D = 8 ,C D = 2.
2403°. Через середину каждой диа­
гонали выпуклого четырехугольника
проведена прямая, параллельная дру­
гой диагонали; точка пересечения
этих прямых соединена с серединами
сторон четырехугольника. Докажите,
что четырехугольник разбивается та­
ким образом на четыре равновеликие
части.
2404°. Дан выпуклый пятиуголь­
ник ABCDE. Площадь каждого из тре­
угольников ABC, BCD, CDE, DEA,
E A B равна S. Найдите площадь данно­
го пятиугольника.
166
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2405°. На сторонах А В и CD выпук­
лого четырехугольника ABCD выбира­
ются произвольные точки Е и F соот­
ветственно. Докажите, что середины
отрезков A F , B F , СЕ и D E являются
вершинами выпуклого четырехуголь­
ника, причем его площадь не зависит
от выбора точек Е и Р .
2406. В трапеции A B C D точка К —
середина основания А В , М — середина
CD. Найдите площадь трапеции, если
известно, что D K — биссектриса угла
D ,B M — биссектриса угла В, н£1ибольший из углов при нижнем основании
равен 60°, а периметр равен 30.
2407. Две окружности пересекают­
ся в точках К к С. И х центры располо­
жены по одну сторону от прямой, со­
держащей отрезок К С . Т оч к и Л и В ле ­
жат на разных окружностях. Прямая,
содержащая отрезок А К , касается од­
ной окружности в точке К . Прямая,
содержащая отрезок В К , касается
другой окружности также в точке К .
Известно, что А К = 2, В К =
2410. Около треугольника ABC (Z. А
> 90°) описана окружность с центром
О. Продолжение биссектрисы A L этого
треугольника пересекает окружность в
точке F . Обозначим через Е точку пере­
сечения радиуса АО со стороной ВС.
Пусть А Н — высота треугольника
ABC. Найдите отношение площади че­
тырехугольника F O E L к площади тре­
угольника A E L , если известно, что А Н
= ^ , A F = 2V 3,ZA Ei/=30°.
2411. Два одинаковых правильных
треугольника AB C и CDE со стороной 1
расположены так, что имеют только
одну общую точку С и угол BCD мень­
ше, чем 60° (рис. 96). Точка К — сере­
дина АС, точка!/ — середина С£, точка
М — середина B D . Площадь треуголь/5
ника K L M равна ^ . Найдите BD.
5
л/З,
tg / L A K B =
i - . Найдите площадь
2 j2
треугольника ЛВС.
2408. Пусть а, Ь, с, d — последова­
тельные стороны четырехугольника.
Докажите, что если S — его площадь,
то S <
+
^причем равенство имеет
O E F L , если известно, что A L = А J2 ,
2412. В круг радиуса R с центром в
точке О вписана трапеция ABCD (ВС <
< A D и точка О лежит внутри трапе­
ции). Непараллельные стороны трапе­
ции А В и CD равны R. Точка К — сере­
дина радиуса ОА, точка L — середина
радиуса OD, точка М — середина сто­
роны ВС. Отношение площади трапе­
ции к площади треугольника K L M
равно 4. Найдите М С.
2413. У глы
треугольника
ABC
удовлетворяют
равенству cos^A +
-f cos^ В -f cos^ С = 1. Найдите площадь
этого треугольника, если радиусы
вписанной и описанной окружностей
А Н = J z S и Z .A E H = 60°.
равны V3 и 3 л/2 соответственно.
место только для вписанного четырех­
угольника, диагонали которого взаим­
но перпендикулярны.
2409. В окружность с центром О
вписан треугольник Л В С ( Z . A > 90°).
Продолжение биссектрисы A F угла А
этого треугольника пересекает окруж­
ность в точке L , а радиус А О пересека­
ет сторону ВС в точке Е . Пусть А Н —
высота треугольника AB C. Найдите
отношение площади треугольника
OAL к площади четырехугольника
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2414. Две прямые делят каждую из
двух противоположных сторон выпук­
лого четырехугольника на три равные
части. Докажите, что между этими
прямыми заключена треть площади
четырехугольника.
2415. В трапеции A B C D угол BAD
равен 60°, а меньшее основание ВС
равно 5. Найдите боковую сторону
CD, если площадь трапеции равна
\ {A D ■В С -¥ А В ■CD).
2416. Точка £ стороны БС и точка F
стороны A D выпуклого четырехуголь­
ника AB C D расположены так, что
B E = 2ЕС, A F = 2FD. На отрезке А Е
находится центр окружности радиуса
г, касающейся сторон А В , ВС и CD. На
отрезке B F находится центр окруж ­
ности такого же радиуса г, касающей­
ся сторон А В , A D и CD. Найдите пло­
щадь четырехугольника A B C D , зная,
что указанные окружности внешним
образом касаются друг друга.
2417. В остроугольном треугольни­
ке AB C (А В > ВС) проведены высоты
A M и CN. Точка О — центр описанной
около треугольника AB C окружности.
Известно, что угол AB C равен Р, а пло­
щадь четырехугольника N O M B равна
S. Найдите АС.
2418. Диагонали B D и А С выпукло­
го четырехугольника ABCD перпенди­
кулярны, пересекаются в точке О,
А О = 2, ОС = 3. Точка К леж ит на сто­
роне ВС, причем В К : К С = 1 : 2 . Тре­
угольник A K D — равносторонний.
Найдите его площадь.
2419. В треугольнике A B C извест­
но, что А В = АС и угол ВАС — тупой.
Пусть D — точка пересечения биссект­
рисы угла AB C со стороной АС, М —
основание перпендикуляра, опущен­
ного из А на сторону ВС, Е — основа­
ние перпендикуляра, опущенного из D
на сторону ВС. Через точку В проведен
также перпендикуляр к B D до пересе­
чения со стороной ВС в точке F. И з­
167
вестно, что M E = FC = а. Найдите пло­
щадь треугольника ABC.
2420. Из точки Р , расположенной
внутри остроугольного треугольника
AB C, опущены перпендикуляры на
стороны А В , ВС и СА. Длины перпен­
дикуляров соответственно равны I, т,
п. Вычислите площадь треугольника
A B C , если величины углов ВАС, ABC и
АСВ соответственно равны а, Р и у.
2421. Поделим каждую сторону
выпуклого четырехугольника ABCD
на три равные части и соединим отрез­
ками соответствующие точки на про­
тивоположных сторонах. Докажите,
что площадь «среднего» четырех­
угольника в 9 раз меньше площади че­
тырехугольника ABCD.
2422. Докажите, что прямая, деля­
щая пополам периметр и площадь тре­
угольника, проходит через центр его
вписанной окружности.
2423. Н а дуге окружности, стяги­
ваемой хордой K N , взяты точки L и М .
Биссектрисы углов K L M и L M N пере­
секаются в точке Р , лежащей на хорде
K N . Известно, что K L : K N = 2 : 5 .
Найдите:
а) отношение расстояний от точки
Р до прямых K L и M N ;
б) отношение площадей треуголь­
ников K L P и M P N .
2424. В остроугольном треугольни­
ке две высоты равны 3 и 2 ^2 , а их точ­
ка пересечения делит третью высоту в
отношении 5 : 1 , считая от вершины
треугольника. Найдите площадь тре­
угольника.
2425. Докажите, что прямая делит
периметр и площадь описанного много­
угольника в равных отношениях тогда
и только тогда, когда она проходит че­
рез центр вписанной окружности.
2426. Н аотрезкеА С взятаточкаБ и
на отрезках А В , ВС, СА как на диа­
метрах построены полуокружности
S i, S 2 , -Sg ПО одну сторону от АС. Най­
168
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
дите радиус окружности, касающейся
прямых дх + 2 у - 5 = 0 и х - З у + 2 = 0
всех трех полуокружностей, если из­
параллельно оси ординат.
вестно, что ее центр удален от прямой
2437. Найдите радиус и координа­
А С на расстояние, равное а.
ты центра окружности, заданной
2427.
Площадь трапеции ABCDуравнением:
равна S, отношение оснований —
а) (л: - 3)2-t-( у -f 2 ) 2 = 16;
A D : ВС = 2 : 1 . Отрезок M N располо­
б) х 2 -Ь у 2 - 2(х - Зу) - 1 5 = 0;
жен так, что он параллелен диагонали
в )х ^ + у^ = х + у + ^ .
B D , пересекает диагональ АС, а отре­
зок A M параллелен отрезку C N. Най­
2438. Дан
правильный
шести­
дите
площадь
четырехугольника
угольник A B C D E F. Известно, что
A M N D ,e c jm C N : A M = 3 : 1 , B D : M N =
А В — а , A F = Ь . Найдите векторы
= 6 : 1 . (Найдите все решения.)
—> — > —> — >
A D , B D , F D и В М , где М — середи­
на стороны E F .
11. К О О РД И Н АТЫ . ВЕКТОРЫ
2439. На рис. 97 данаточкаМ (-1,3).
Найдите координаты точки, симмет­
2428.
Точка М {х^, у^) — середина
ричной точке М относительно: а) оси х;
отрезка с концами в точках A(x^; у^) и
б) оси у; в) начала координат; г) точки
В (Х 2 ', Уг)- Докажите, что
К (3 ; 1); д) биссектрисы I и I I I коорди­
натных углов; е) биссектрисы I I и I V
Х-.+Х
Хп =
координатных углов.
2429. Пусть М — середина отрезка
А В , О — произвольная точка. Дока>
1
—> —>
жите, что О М = - (О А + О В ).
2430. Д аны точкиЛ(-1; 5)и Б (3; -7 ).
Найдите расстояние от начала коорди­
нат до середины отрезка АВ .
2431. Даны точкиЛ(3; 5), В(-6; -2 )
и С(0; ^ 6 ). Докажите, что треугольник
AB C — равнобедренный.
2432. Даны точкиЛ(2; 4), Б ( 6 ; - 4 ) и
С(—8 ; —1). Докажите, что треугольник
A B C — прямоугольный.
2433. Даны точкиЛ(0; -2 ), Б (-2 ; 1),
С(0; 0) и D(2; - 9 ). Укажите те из них,
которые лежат на прямой 2х —З у + 7 =
=
Р и с . 97
0.
2434. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку М (—3, 1 ) па­
раллельно: а) оси х; б) оси у.
2435. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку М (- 3 ; 2) па­
раллельно прямой 2х - Зу + 4 = 0.
2436. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку пересечения
2440. Найдите координаты вершин
треугольника, стороны которого лежат
на прямых 2 х 4 - у - 6 = 0, x - j / + 4 = 0
HJ/+ 1 = 0 .
2441. Даны точкиА(-2; 2), Б (-2 ; -2 )
и С ( 6 ; 6 ). Составьте уравнения прямых,
на которых лежат стороны треуголь­
ника ABC.
169
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2442. Даны точки А (4; 1), Б ( - 8 ; 0) и
С(0; —6 ). Составьте уравнение прямой,
на которой лежит медиана A M тре­
угольника A B C .
2443. Докажите, что то ч к и ^ -1 ; -2 ),
Б(2; - 1 ) и С( 8 ; 1) лежат на одной пря­
мой.
2444. Даны точки Л (- 2 ; 0), Б(1; 6 ),
С(5; 4) и В(2; —2). Докажите, что четы­
рехугольник ABCD — прямоугольник.
2445. Найдите расстояние между
точкой А(1; 7) и точкой пересечения
прямых x - j/ - 1 = 0 h x + 3 j/ - 1 2 = 0.
2446. Даны точки Л(0; 0), Б (-2 ; 1),
С(3; 3), £)(2 ; - 1 ) и окружность ( х - 1)2 4+ (г/ + 3)2 = 25. Выясните, где располо­
жены эти точки: на окружности, вну­
три или вне окружности.
2447. Точка М делит сторону ВС
треугольника AB C в отношении
ВМ
мс
Q
---------- ^
^
^
= - . Известно, что А В = а , А С = Ь .
5
Найдите вектор A M .
2448. Даны т о ч к и Л (-2 ; 1), Б(2; 5)
иС(4; -1 ). Т о ч к а !) лежит на продолже­
нии медианы A M за точку М , причем
четырехугольник A B D C — параллело­
грамм. Найдите координаты точки D.
2449. Окружность с центром в точ­
ке М (3 ; 1) проходит через начало коор­
динат. Составьте уравнение окруж­
ности.
2450. Пусть
ББ^, СС^ — меди­
аны треугольника AB C. Докажите,
2453. М^, M g, ..., M g — середины
сторон выпуклого шестиугольника
A i A z- . ^ q. Докажите, что существует
треугольник, стороны которого равны
и параллельны
отрезкам M^Mg,
М 3М 4 , М 5М 6 .
2454. Две взаимно перпендикуляр­
ные хорды А В и CD окружности с
центром О пересекаются в точке М .
Докажите, что
O N = | (О А 4- ^
+ ОС 4- ^ ) .
2455. Даны т о ч к и Л (- 6 ; -1 ), Б(1; 2)
и С (-3 ; -2 ). Найдите координаты вер­
шины М параллелограмма АВМ С.
2456. Докажите, что прямые, за­
данные уравнениями у = k^x + li п
у = fegX 4-1 2 , перпендикулярны тогда и
только тогда, когда
= - 1.
2457. Пусть М — точка пересече­
ния медиан треугольника ABC. Дока­
жите, что М А 4- М Б 4- М С = О .
2458.
Пусть М — точка пересече­
ния медиан АА^, ББ^ и СС^ треуголь­
ника ABC. Докажите, что
M A i 4- М Б 1 4- M C i = О .
2459. Даны два параллелограмма
A B C D пАуВуС-J)^, у которых О и
—
точки пересечения диагоналей. Дока­
жите равенство:
OOi = I
(^ 1
4-
4- C C i 4- Ш >-1).
что A A i 4- B B i + C C i = О .
2460. Даны точки А (0 ; 0), Б(4; 0) и
2451.
Пусть М — середина отрезкаС(0; 6 ). Составьте уравнение окруж­
А В , M l — середина отрезка А^Б^. Доности, описанной около треугольника
ABC.
кажите, что М М ^ = - (A A i 4- Б Б 1 ).
2461. На продолжениях сторон тре­
угольника
ABC взяты точки A j, Б 1 и Cj
2452.
Пусть М — точка пересече­
ния диагоналей АС и B D параллело­
грамма ABCZ), О — произвольная точ­
ка. Докажите, что
О М = \ {О А + О В + О С + O D ).
так, что А Б 1 = 2 А Б , Б С 1 = 2БС и
C A i = 2 А С . Найдите площадь тре­
угольника А^Б^С^, если известно, что
площадь треугольника ABC равна S.
170
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2462. Пусть точки
В^, С^ — се­
редины сторон ВС, АС и А В треугольникаАВС (рис. 98, а, б). Докажите, что
для любой точки О выполняется ра­
венство
О А] + O B i + O Ci = О А + O B + О С .
2463. Пусть М — точка пересече­
ния медиан треугольника AB C, О —
произвольная точка. Докажите, что
О М = 1 (О А + ОБ + ^ ) .
причемх^ФХ 2 П у 1 Фу 2 - Докажите, что
3
2464. Найдите длину хорды, кото­
рую на прямой у = 3х высекает окруж ­
ность (х -I-1)2 + ( у - 2)2 = 25.
2465. Докажите, что прямая Зх - 4i/ + 25 = О касается окружности
+
+ 1 / 2 = 25, и найдите координаты точки
касания.
2466. Составьте уравнение окруж­
ности, касающейся осей координат и
проходящей через точку Л ( 2 ; 1 ).
2467. Найдите координаты точек
пересечения окружностей (х - 2 ) 2 +
-t-(г/- 10)2 = 50 и х2 ч-Z/2+ 2(д: - 1/) - 18 =
=
пересечения медиан треугольника
ABC.
2470. Даны то ч к и А (-1 ; 3), Б(1; -2 ),
С( 6 ; 0) и Х)(4; 5). Докажите, что четы­
рехугольник AB C D — квадрат.
2471. Известно, что прямая с угло­
вым коэффициентом h проходит через
точку M ( xq, i/q). Докажите, что ее
уравнение имеет вид y —yQ = k {x ~ дсо).
2472. Известно, что прямая прохо­
дит через точки М{х-^-, i/j) и N^Xz', у^,
0.
2468. Даны т о ч к и Л (- 6 ; 1 )и Б (4 ; 6 ).
Найдите координаты точки С, деля­
щей отрезок А В в отношении 2 : 3 ,счи­
тая от точки Л .
2469. Даны точки Л (5 ; 5), Б ( 8 ; - 3 ) и
С(—4; 1). Найдите координаты точки
ее уравнение имеет вид У-У1
У2~У\
Х п — Хл
2473. Составьте уравнение окружпости, проходящей через точк и А (- 1 ; 1 ),
Б (9 ;3 )и С (1 ;7 ).
2474. Даны точки А (-2 ; 3), Б(2; 6 ),
С(6 ; - 1 ) и D (-3 ; -4 ). Докажите, что ди­
агонали четырехугольника ABCD вза­
имно перпендикулярны.
2475. Составьте уравнение прямой,
проходящей через точку М (- 1 ; 4) пер­
пендикулярно прямой я: - 2J/4- 4 = 0.
2476. Д аны точкиА ( 6 ; 1 ),Б (- 5 ;- 4 ),
С(—2; 5). Составьте уравнение прямой,
на которой леж ит высота треугольни­
ка ABC, проведенная из вершины А.
2477. С помощью метода координат
докажите, что суммы квадратов рас­
стояний от произвольной точки плос­
кости до противоположных вершин
прямоугольника равны между собой.
Рис. 98
ПЛАНИМ ЕТРИ Я
171
2478.
Пусть М и N — точки пересе­пересечения медиан треугольника
чения медиан треугольников ABC и
ABC.
P Q R соответственно. Докажите, что
2489. Даны точки А и В. Найдите
геометрическое место точек М , для ко­
M N = i ( A P + B Q + C R ).
торых A M = 2 В М .
3
2490. Даны точки А , В и положи­
2479. Докажите, что существует
тельное
число d. Найдите геометри­
треугольник, стороны которого равны
ческое
место
точек М , для которых
и параллельны медианам данного тре­
А М 2 + ВМ ^ = d.
угольника.
2491. На диагоналях А С и СЕ пра­
2480. Составьте уравнение прямой,
вильного шестиугольника A B C D E F
проходящей через точку А (0 ; 7) и ка­
сающейся окружности
взяты точки М и N соответственно та­
кие, что A M : АС = C N : СЕ = X. Из­
(x - 1 5 )2 + (z/ -2 ) = 25.
вестно, что точки В, М п N лежат на
2481. Даны точкиА(5; -1 ), В(4; - 8 ),
одной прямой. Найдите Л.
С(—4; —4). Найдите координаты точки
2492. Докажите, что при произ­
пересечения высот треугольника ABC.
вольном выборе точки О равенство
2482. С помощью метода координат
найдите геометрическое место точек
О С = k O A + (1 - k )O B является необ­
плоскости, разность квадратов рас­
ходимым и достаточным условием
стояний от которых до двух данных
принадлежности различных точек А,
точек постоянна.
В , С одной прямой.
2483. Докажите, что расстояние от
2493. Стороны
параллелограмма
точки M ( xq; i/q) до прямой, заданной
разделены по обходу в равных отноше­
ниях. Докажите, что точки деления
уравнением ах + by + с = О, равно
служат вершинами параллелограмма,
\ а Х о + Ь у о + с\
а центры этих параллелограммов сов­
Ja^ + b^
падают.
2484. Составьте уравнение окруж ­
2494. В четырехугольнике ABCD
ности с центром в точке М (3 ; 2), ка­
точка
Е — середина АВ , К — середина
сающейся прямой у = 2х + 6.
CD.
Докажите,
что середины отрезков
2485. Точка М леж ит на прямой
А
К
,
СЕ,
В
К
и
D
E являются вершина­
Зл: —4 у + 34 = О, а точка N — на окруж­
ми параллелограмма.
ности х^ +
- 8х + 2у - S = 0. Найдите
2495. На сторонах треугольника за­
наименьшее расстояние между точка­
даны точки, которые делят стороны в
ми М n N .
одном и том же отношении (в ка2486. Найдите расстояние между
ком-либо одном направлении обхода).
параллельными прямыми у = —Зл: + 5
Докажите, что точки пересечения ме­
и у = - З х - 4.
диан данного треугольника и тре­
2487. Даны две точки A (x i; у {) и
угольника, имеющего вершинами точ­
В {х 2 , У2) и неотрицательное число Л.
ки деления, совпадают.
Найдите координаты точки М луча
2496. В выпуклом пятиугольнике
А В , для которой A M : А В = X.
A B C D E с единичными сторонами сере­
2488. Даны треугольник Л В С и
дины Р , Q сторон А В , CD и середины S,
Т сторон ВС, D E соединены отрезками
точка М . Известно, что М А + M B +
PQ и S T . Пусть М W.N — середины от­
+ М С = О . Докажите, что М — точка
резков P Q и s r . Найдите отрезок M N .
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
172
2497.
Проведены четыре радиусатреугольника K M N — треугольник
PQ R. Докажите, что третий треуголь­
ОА, ОВ, ОС и OD окружности с цент­
ник подобен первому, и найдите коэф­
ром О. Докажите, что если
фициент подобия.
О А + О В + ОС + O D = Q ,
2503.
Из произвольной точки М
внутри
равностороннего
треугольника
то A B C D — прямоугольник.
опущены
перпендикуляры
МК-у,
2498. Дан квадрат ABCD, сторона
которого равна 4
. Точка О выбрана
в плоскости квадрата так, что ОВ = 10,
OD = 6 . Найдите угол между вектором
ОВ и вектором, направленным из точ­
ки О в наиболее удаленную от нее вер­
шину квадрата.
2499. Дан квадрат A B CD , сторона
которого равна 8 . Точка О выбрана в
плоскости квадрата так, что ОВ =
М К 2 , М К ^ на его стороны. Докажите,
что M K i + М К 2 + М К з = I М О , где
О — центр треугольника.
2504. Докажите, что сумма квадра­
тов расстояний от какой-нибудь точки
окружности до вершин правильного
вписанного треугольника есть величи­
на постоянная, не зависящая от поло­
жения точки на окружности.
= 10 л/2 , OD = 6 л/2 . Найдите угол меж­
2505. Даны т о ч к и 1/1 ), В (х 2 ; у 2 )
ду вектором ОВ и вектором, направ­
и прямая ax + by-\-c = Q. Известно, что
ленным из точки О в ближайшую к
a xi + Ъу1 -f с > О, а ajcg + Ъу2 + с < 0.
ней вершину квадрата.
Докажите, что точки А и Б располо­
2500. Пусть Н — точка пересече­
жены по разные стороны от этой пря­
ния высот треугольника ABC, О —
мой.
центр описанной окружности. Дока­
2506. Две окружности касаются
жите, что
внешним образом в точке А . Прямая,
проходящая через точку А , вторично
ОН = О А + О В + ОС.
пересекает окружности в точках В и С.
2501.
Точки М , К , N h L — середи­Найдите геометрическое место сере­
ны сторон А В , ВС, CD и D E пятиуголь­
дин отрезков ВС.
ника A B C D £, P h Q — середины отрез­
2507. О — центр правильного мно­
ков M N и K L (рис. 99). Докажите, что
гоугольника A iA 2 Ag...A„, X — произ­
вольная точка плоскости.
а) Докажите, что
OAi 4-... 4- ОАп — О .
б) Докажите, что
X A i + ... -Ь Х А п = п • Х о .
2508.
Найдите наименьшее значе­
ние выражения
Р и с . 99
|а + Ь| -t-
■
отрезок PQ в четыре раза меньше сто­
2509.
Точки К , N , L , М расположе­
роны А Е и параллелен ей.
ны соответственно на сторонах АВ,
2502.
Из медиан A 4 j, ВВ^ и СС^ тре­ВС, CD и A D выпуклого четырехуголь­
угольника AB C составлен треугольник
ника A B C D , причем А К
K M N , а из медиан КК^, М М ^ и
КВ
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
^
= p. Докажите, что точка
iWи
1уС/
пересечения Р отрезков K L и M N де­
лит их в тех же отношениях, т. е.
PN
=а
^
PL
=В
Р-
2510. Какую линию описывает се­
редина отрезка между двумя пешехо­
дами, равномерно идущими по пря­
мым дорогам?
2511. На сторонах треугольника
A B C во внешнюю сторону построены
подобные между собой треугольники
A D B , В ЕС и C FE ( ^
= BE ^ C F ^
ЕС
FA
\£)В
/L A B D = ^ ВЕС = Z CFA = а
. Дока­
жите, что:
1) середины отрезков АС, DC, ВС и
E F — вершины параллелограмма;
2 ) у этого параллелограмма два угла
равны а, а отношение сторон равно k.
2512. На координатной плоскости
нарисовали график функции у = х^, &
затем стерли оси координат. Восста­
новите их с помощью циркуля и л и ­
нейки.
2513. Назовем точку плоскости ра­
циональной, если ее обе координаты —
рациональные числа. Докажите, что
если на окружности х^‘ + у^‘ — R {R —
целое) есть хотя бы одна рациональная
точка, то на этой окружности беско­
нечно много рациональных точек.
12. ГЕОМ ЕТРИЧЕСКИЕ
П РЕО Б РА ЗО В АН И Я
2514. Докажите, что при централь­
ной симметрии окружность переходит
в окружность.
2515. Докажите, что при централь­
ной симметрии каждый луч переходит
в противоположно направленный луч.
2516. Пусть две прямые пересека­
ются под углом а. Докажите, что при
173
повороте на угол а (в одном из направ­
лений) относительно произвольной
точки одна из этих прямых перейдет в
прямую, параллельную другой.
2517. Докажите, что при повороте
окружность переходит в окружность.
2518. Докажите, что при парал­
лельном переносе окружность перехо­
дит в окружность.
2519. Докажите, что при гомотетии
окружность переходит в окружность.
2520. Верно ли следующее утверж­
дение: «Е сли четырехугольник имеет
ось симметрии, то это либо равнобед­
ренная трапеция, либо прямоуголь­
ник, либо ромб»?
2521. Равнобедренный
треуголь­
ник AB C с основанием ВС повернули
вокруг точки С так, что его вершинаА
оказалась в точке
на прямой ВС.
При этом вершина В перешла в неко­
торую точку В^, лежащую с точкой А
по одну сторону от прямой ВС. Дока­
жите, что прямые А В иВ^С параллель­
ны.
2522. На боковых сторонах А В и АС
равнобедренного треугольника ABC
построены вне его равные треугольни­
ки А М В vlA N C {A M = A N ). Докажите,
что точки М и N симметричны относи­
тельно биссектрисы угла ВАС.
2523. Существует ли фигура, не
имеющая осей симметрии, но перехо­
дящая в себя при некотором повороте?
2524. Докажите, что треугольник
ABC является правильным тогда и
только тогда, когда при повороте на
60° (либо по часовой стрелке, либо —
против) относительно точки А верши­
на В переходит в С.
2525. Равнобедренный треугольник
ABC с основанием ВС повернули во­
круг точки С так, что его вершина А
оказалась в точке А^ на прямой ВС.
При этом вершина В перешла в некото­
рую точку В^, лежащую с точкой А по
одну сторону от прямой ВС. Получен­
ный таким образом равнобедренный
треугольник А^В^С повернули вокруг
174
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
точки A j так, что вершина
перешла
в точку Eg на прямой ВС (рис. 100).
При этом вершина С перешла в некото­
рую точку Cg, также лежащую с точ­
кой А по одну сторону от прямой ВС.
Докажите, что CgBg параллельна АС.
2526. Докажите, что ось симмет­
рии а) треугольника; б) ( 2 й + 1 )-угольника проходит через его вершину.
2527. Докажите, что если ось сим­
метрии а) четырехугольника; б) 2 тугольника проходит через какую-ни­
будь его вершину, то она проходит и
через другую вершину.
2528. Докажите, что для любого на­
турального п cymiecTByeT выпуклый
многоугольник, имеющий ровно п
осей симметрии.
2529. Даны угол A B C и прямая Z.
Параллельно прямой I проведите пря­
мую, на которой стороны углаА Б С вы­
секают отрезок, равный данному.
2530. Докажите,
что
четырех­
угольник, имеющий центр симмет­
рии, является параллелограммом.
2531. В данный треугольник впи­
шите ромб так, чтобы один из его углов
совпал с углом треугольника.
2532. Докажите, что две касаю­
щиеся окружности гомотетичны отно­
сительно их точки касания.
2533. Две окружности касаются в
точке К . Прямая, проходящая через
точку К , пересекает эти окружности в
точках А и В. Докажите, что касатель­
ные к окружностям, проведенные че­
рез точки А и В, параллельны.
2534. Докажите, что точки, сим­
метричные произвольной точке отно­
сительно середин сторон квадрата, яв­
ляется вершинами некоторого квад­
рата.
2535. На каждом из оснований A D
и ВС трапеции A B C D построены вне
трапеции равносторонние треугольни­
ки. Докажите, что прямая, соединяю­
щая третьи вершины этих треугольни­
ков, проходит через точку пересече­
ния диагоналей трапеции.
2536. На плоскости даны точки А и
В и прямая I. По какой траектории
движется точка пересечения медиан
треугольников ABC, если точка С дви­
жется по прямой 1 1
2537. Вершины К и N треугольни­
ка K M N перемещаются соответствен­
но по сторонам А В и АС угла ВАС, а
стороны треугольника K M N соответ­
ственно параллельны трем данным
прямым. Найдите геометрическое
место вершин М .
2538. Точки А и В лежат по разные
стороны от прямой I. Постройте на
этой прямой точку М так, чтобы пря­
мая I д ели ла А М В пополам.
2539. Существует л и фигура, не
имеющая ни осей симметрии, ни цент­
ров симметрии, но переходящая в себя
при некотором повороте?
2540. На плоскости дан угол а с вер­
шиной в точке О. Докажите, что ком­
позиция симметрий относительно сто­
рон угла является поворотом вокруг
точки О на угол 2а.
2541. Через точку внутри данного
круга проведите хорду, отсекающую
от окружности дугу заданной угловой
величины.
2542. Постройте отрезок, равный и
параллельный данному так, чтобы его
концы леж али на данной прямой и на
данной окружности.
2543. Проведите через общую точ­
ку А окружностей
и ^ 2 прямую так,
чтобы эти окружности высекали на
ней равные хорды.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
175
2544. На каждом основании трапе­
ружность в точках А и В, вторую — в
ции A B C D построены вне трапеции
точках C n D . Докажите, что А В ||CD.
квадраты. Докажите, что эти квадра­
2553. На окружности фиксирова­
ты гомотетичны относительно точки
ны точки А и В, а точка С движется по
пересечения диагоналей трапеции.
этой окружности. Найдите геометри­
2545. Четырехугольник разрезан
ческое место точек пересечения меди­
диагоналями на четыре треугольника.
ан треугольников ABC.
Докажите, что точки пересечения ме­
2554. Дан ромб A B C D с острым уг­
диан этих треугольников образуют па­
лом А в 60°. Прямая M N отсекает от
раллелограмм.
сторон А В и ВС отрезки M B и N B , сум­
2546. Четырехугольник имеет ось
ма которых равна стороне ромба. До­
симметрии. Докажите, что он либо яв­
кажите, что треугольник M D N — рав­
ляется равнобедренной трапецией, л и ­
носторонний.
бо прямоугольником, либо симметри­
2555. Прямые, касающиеся ок­
чен относительно диагонали.
ружности в точках А и В, пересекают­
2547. На плоскости даны точки О,
ся в точке М , а прямые, касающиеся
М и прямая I, проходящая через точку
той же окружности в точках C n D , пе­
О. Прямую I повернули вокруг точки О ресекаются в точке N ,
причем
против часовой стрелки на угол а, по­
N C X М А и N D X M B . Докажите, что
лучив прямую Zj. Докажите, что точ­ A B ± C D или А В II CD.
ка, симметричная точке М относи­
2556. Лист бумаги согнут пополам.
тельно прямой 1 ^, получается из точ­
Докажите, что линия сгиба — прямая.
2557. Четырехугольник имеет две
ки, симметричной точке М относи­
неперпендикулярные оси симметрии.
тельно прямой I, поворотом вокруг
Верно ли, что это — квадрат?
точки о против часовой стрелки на
2558. Фигура имеет две перпенди­
угол 2 а.
кулярные оси симметрии. Верно ли,
2548. Две окружности радиуса R
что она имеет центр симметрии?
касаются в точке К . На одной из них
2559. Серединный перпендикуляр
взята точка А , а на другой — точка В,
к стороне А В треугольника AB C пере­
причем А А К Б = 90°. Докажите, что
секает сторону АС в точке К , причем
A B = 2R.
точка К делит ломаную АСВ на две
2549. Даны параллелограмм A B CD
части равной длины. Докажите, что
и точка М . Через точки А , В , С и D про­
треугольник AB C — равнобедренный.
ведены прямые, параллельные пря­
2560. Постройте хорду данной ок­
мым М С , M D , М А и M B соответствен­
ружности, равную и параллельную
но. Докажите, что они пересекаются в
данному отрезку.
одной точке.
2561. Постройте четырехугольник
2550. Через центр квадрата прове­
A B C D по четырем углам и сторонам
дены две перпендикулярные прямые.
А В = а и CD = Ь.
Докажите, что их точки пересечения
со сторонами квадрата образуют квад­
2562. Противоположные стороны
рат.
выпуклого шестиугольника попарно
2551. Постройте на сторонах ВС и
равны и параллельны. Докажите, что
CD параллелограмма ABCD точки М и
он имеет центр симметрии.
N так, чтобы угол при вершине А рав­
2563. Докажите, что противопо­
нобедренного
треугольника
MAN
ложные стороны шестиугольника, об­
имел данную величину а.
разованного сторонами треугольника
2552. Две окружности касаются в
и касательными к его вписанной ок­
точке К . Через точку К проведены две
ружности, параллельными сторонам,
прямые, пересекающие первую ок­
равны между собой.
176
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2564.
Ш естиугольник A B C D E F — 2571. Постройте треугольник по
правильный, К и М — середины отрез­
двум сторонам и разности углов, при­
ков B D и E F (рис. 101). Докажите, что
лежащих к третьей.
треугольник АМЛГ — правильный.
2572. Постройте треугольник ABC
по углам А и Б и разности сторон А С и
ВС.
2573. Прямые I и т пересекаются в
точке О, прямые 1-^ и
получены из
прямых Zи /тг поворотом на некоторый
угол относительно точки О. Докажи­
те, что композиция симметрий отно­
сительно г и /тг и композиция симмет­
рий относительно
— одно и то
2565. Рассмотрим все окружности,
касающиеся данной прямой и данной
окружности (внешним образом). В
каждом случае проведем прямую че­
рез точки касания. Докажите, что все
эти прямые проходят через одну и ту
же точку. (Это же верно и для случая
внутреннего касания окружностей.)
2566. Точки M n N расположены по
одну сторону от прямой I. Как из точки
М направить луч света, чтобы он, от­
разившись от прямой I, попал в точку
т
2567. Даны прямая I и точки А и В
по одну сторону от нее. Найдите на
прямой I точку М такую, чтобы луч
М А был биссектрисой угла между л у ­
чом M B и одним из лучей с вершиной
М , принадлежащих данной прямой I.
2568. Постройте треугольник по
данным серединам двух его сторон и
прямой, на которой лежит биссектри­
са, проведенная к третьей стороне.
2569. Постройте треугольник по
данным серединам двух его сторон и
прямой, на которой лежит биссектри­
са, проведенная к одной из этих сторон.
2570. Докажите, что всякий четы­
рехугольник с осью симметрии либо
вписанный, либо описанный.
же преобразование.
2574. На сторонах параллелограм­
ма построены квадраты по ту же сторо­
ну от его сторон, по которую располо­
жен сам параллелограмм (рис. 1 0 2 ).
Докажите, что центры этих квадратов
сами образуют квадрат.
2575. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E углы AB C и C D E равны по 90°,
стороны ВС, CD и А Е равны по 1 и
сумма сторон А В и D E равна 1. Дока­
жите, что площадь пятиугольника
равна 1 .
2576. Медианы A A i, ВВ^ и СС^ тре­
угольника AB C пересекаются в точке
М ; Р — произвольная точка. Прямая
проходит через точку А параллельно
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
прямой P A j, прямые 1 ,^ и 1 ^ определя­
ются аналогично. Докажите, что:
а) прямые
If, и
пересекаются в
одной точке Q;
б) точка М леж ит на отрезке PQ,
причем Р М : M Q = 1 : 2 .
2577. Впишите в треугольник две
равные окружности, каждая из кото­
рых касается двух сторон треугольни­
ка и другой окружности.
2578. В данный треугольник впи­
шите другой треугольник, стороны ко­
торого соответственно параллельны
трем данным прямым.
2579. На дуге ВС окружности, опи­
санной около равностороннего тре­
угольника A B C , взята произвольная
точка Р . Докажите, что А Р = Е Р + СР.
2580. Внутри острого угла даны
точки М и N . Как из точки М напра­
вить луч света, чтобы он, отразившись
последовательно от сторон угла, попал
в точку N ?
2581. На сторонах А В , ВС и СА ост­
роугольного треугольника ABC взяты
соответственно точки Сц А^ и В^. И з­
вестно, что луч света, пущенный из
точки А^ в точку В^, отразившись от
стороны АС, попадает в точку С^, за­
тем, отразившись от стороны А В , —
в точку A j, оттуда — снова в точку
и т. д. Докажите, что А^,
и
— ос­
нования высот треугольника ABC.
2582. A B C — разносторонний ост­
роугольный треугольник. Сколько на
плоскости существует точек D таких,
что множество {А, В , С, D} имеет ось
симметрии?
2583. Постройте треугольник ABC,
если известно, что A N = с, ВС —А С = а,
^ С = у.
2584. Докажите, что композиция
двух симметрий относительно парал­
лельны х прямых есть параллельный
перенос в направлении, перпендику­
лярном этим прямым, на величину,
равную удвоенному расстоянию меж­
ду ними.
177
2585. На плоскости даны прямая I и
точка М . Пусть M i — точка, симмет­
ричная точке М относительно прямой
I. При параллельном переносе прямой
I в перпендикулярном ей направлении
на расстояние h прямая I перешла в
прямую li- Докажите, что образ Mg
точки М при симметрии относительно
прямой li получается из точки M j па­
раллельным переносом в том же на­
правлении на расстояние 2 Л.
2586. На плоскости даны две парал­
лельные прямые I и т. И х параллель­
но перенесли на некоторое расстояние
h, получив прямые li и т^. Докажите,
что композиция симметрий относи­
тельно прямых I и т и композиция
симметрий относительно прямых Zj и
m-i — одно и то же преобразование.
2587. Внутри
прямоугольника
A B CD взята точка М . Докажите, что
существует выпуклый четырехуголь­
ник с перпендикулярными диагоналя­
ми, равными А В и ВС, стороны которо­
го равны A M , В М , С М , D M .
2588. Докажите, что выпуклый
п-угольник является правильным тог­
да и только тогда, когда он переходит
в себя при повороте на угол 360'’ отно­
сительно некоторой точки.
2589. Докажите, что середины сто­
рон правильного многоугольника об­
разуют правильный многоугольник.
2590. Пусть М и N — середины сто­
рон CD u D E правильного шестиуголь­
ника A B C D E F. Найдите угол между
прямыми A M и B N .
2591. В ромбе ABCD угол ABC равен
120°. На сторонах А В и ВС взяты точ­
ки Р и Q так, что А Р = BQ. Найдите уг­
лы треугольника PQ D .
2592. Постройте хорду данной ок­
ружности, которую два данных ради­
уса разделили бы на три равные части.
2593. На каждой из сторон тре­
угольника A B C построено по прямо­
178
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
угольнику так, что они попарно каса­
ются вершинами (рис. 103). Докажи­
те, что прямые, соединяющие верши­
ны треугольника A B C с соответствую­
щими
вершинами
треугольника
А^Б^С^, пересекаются в одной точке.
2599. Постройте отрезок, равный и
параллельный данному, так, чтобы
его концы леж али на двух данных ок­
ружностях.
2600. Постройте
равносторонний
треугольник ABC так, чтобы его вер­
шины леж али на трех данных парал­
лельны х прямых.
2601. Постройте равносторонний
треугольник, одна вершина которого
леж ала бы на данной окружности,
другая — на данной прямой, а
третья — в данной точке.
2602°. Постройте равносторонний
треугольник, у которого одна из вершин
была в данной точке, а две другие — на
2594. На стороне ВС равносторон­
двух данных окружностях.
него треугольника A B C как на диа­
2603°. Постройте равносторонний
метре внешним образом построена по­
треугольник, вершины которого ле ­
луокружность, на которой взяты точ­
жат соответственно на трех данных
ки ЛГ и L , делящ ие полуокружность на
концентрических окружностях.
три равные дуги. Докажите, что пря­
2604°. Впишите в данный паралле­
мые А К и A L делят отрезок ВС на рав­
лограмм прямоугольник с заданным
ные части.
углом между диагоналями.
2595. Окружности радиусов г и R
2605. Впишите квадрат в данный
касаются друг друга внутренним обра­
параллелограмм.
зом. Найдите сторону правильного
2606. Постройте квадрат, три вер­
треугольника, у которого одна верши­
шины которого леж али бы на трех па­
на находится в точке касания данных
раллельных прямых.
окружностей, а две другие лежат на
2607. Постройте равнобедренный
разных данных окружностях.
прямоугольный
треугольник, гипоте­
2696.
На листе прозрачной бумаги
нуза
которого
опиралась
бы на две дан­
нарисован четырехугольник. Какое
ные
окружности,
а
вершина
прямого
наименьшее число раз нужно согнуть
угла
леж
ала
бы
в
данной
точке.
лист, чтобы убедиться в том, что это
2608°. Дан
остроугольный
тре­
квадрат?
угольник
AB
C.
Постройте
точки
X
иУ
2597. Докажите, что композиция
на
сторонах
А
В
и
ВС
так,
что
В
Х
=
параллельного переноса в направле­
= Х У = УС.
нии, перпендикулярном некоторой
2609. Даны две концентрические
прямой, и симметрии относительно
окружности S i и S 2 . Проведите пря­
этой прямой есть осевая симметрия.
2598. Две окружности радиуса R
пересекаются в точках M u N . Пусть А
к В — точки пересечения серединного
перпендикуляра к отрезку M N с эти­
ми окружностями, лежащие по одну
сторону от прямой M N . Докажите, что
MiV2 4-А В 2 = 4Д2.
мую, на которой эти окружности высе­
кают три равных отрезка.
2610. Даны две концентрические
окружности. Проведите прямую, пе­
ресекающую эти окружности так, что­
бы меньшая хорда была равна полови­
не большей.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2611. Постройте треугольник, если
даны одна его вершина и три прямых,
на которых лежат его биссектрисы.
2612. Ф игура имеет ровно две оси
симметрии. Докажите, что они пер­
пендикулярны .
2613. Выпуклый
многоугольник
имеет центр симметрии. Докажите,
что сумма градусных мер его углов де­
лится на 360°.
2614. Точка М леж ит на диаметре
А В окружности. Хорда CD окружнос­
ти проходит через точку М и пересека­
ет прямую А В под углом в 45°. Дока­
жите, что величина СМ^ + D M ^ не за­
висит от выбора точки М .
2615. Равные окружности
и Sg
касаются внутренним образом окруж­
ности S в точкахА^ и А з (рис. 104); С —
некоторая точка окружности S, пря­
мые А^С и А 2 С пересекают окружности
и S 2 в точках
и Б 2 соответствен­
но. Докажите, что В^В 2 II А^Аз.
Рис. 104
2616. Постройте четырехугольник
A B C D по четырем сторонам, если из­
вестно, что его диагональ А С является
биссектрисой угла А .
2617. Может ли фигура иметь
центр симметрии и ровно одну ось сим­
метрии?
2618. Из точки О на плоскости вы­
ходят 2п прямых. Могут ли они слу­
жить серединными перпендикулярами
к сторонам некоторого 2 п-угольника?
2619. Докажите, что композиция
трех симметрий относительно прямых
179
li, I 2 и ig, пересекающихся в точке О,
есть осевая симметрия.
2620. Докажите, что композиция
трех симметрий относительно прямых
^1 , ^ 2 и ^ 3 есть осевая симметрия.
2621. Докажите, что композиция п
осевых симметрий относительно пря­
мых 1 ^, I 2 , ...,
проходящих через
точку О, есть: а) поворот, если п четно;
б) осевая симметрия, если п нечетно.
2622. Существует л и а) ограничен­
ная, б) неограниченная фигура на
плоскости, имеющая среди своих осей
симметрии две параллельные несовпа­
дающие прямые?
2623. Параллельно данной прямой
проведите прямую, на которой две
данные окружности высекали бы хор­
ды равной длины.
2624. На сторонах ВС и CD квадра­
та A B CD взяты точки М п К соответ­
ственно, причем Z. В А М = Z М А К . До­
кажите, что В М + K D = А К .
2625. Постройте треугольник по ос­
нованиям двух его биссектрис и пря­
мой, на которой леж ит третья биссект­
риса.
2626. Пусть S — окружность, опи­
санная около треугольникаАВС. Дока­
жите, что три окружности, симметрич­
ные S относительно сторон треугольни­
ка, пересекаются в одной точке.
2627°. Какое максимальное число
осей симметрии может иметь объеди­
нение трех отрезков на плоскости?
2628. Какое максимальное число
осей симметрии может иметь объеди­
нение трех отрезков на плоскости?
2629. Дан треугольник ABC; О —
центр описанной окружности; О^, О2 и
О3 — точки, симметричные точке О
относительно прямых А В , ВС и АС.
Докажите, что середины сторон тре­
угольника О^ОзОз лежат на окружнос­
ти девяти точек треугольника ABC.
2630. Даны прямая I и точка О на
ней. Докажите, что композиция пово­
рота вокруг точки О на угол а и сим­
180
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
метрии относительно прямой I есть
осевая симметрия относительно пря­
мой, проходящей через точку О и со­
ставляющей с прямой I угол I .
2631. Докажите, что композиция
симметрий относительно п параллель­
ных прямых 1 ^, I 2 , ...,
есть:
а) параллельный перенос, если п четно;
б) осевая симметрия, если п нечетно.
2632. В каком месте следует по­
строить мост M N через реку, разде­
ляющ ую две данные деревни А и В,
чтобы путь A M N B из деревни А в де­
ревню В был кратчайшим (берега реки
считаются параллельными прямыми,
мост предполагается перпендикуляр­
ным реке)?
2633. Параллельно данной прямой
проведите прямую, на которой две
данные окружности высекали бы хор­
ды, сумма (и ли разность) длин кото­
рых имела бы заданную величину а.
2634. Существуют фигуры, имею­
щие бесконечное множество центров
симметрии (например, полоса между
двумя параллельными прямыми). Мо­
жет ли фигура иметь более одного, но
конечное число центров симметрии?
2635°. Внутри квадрата A-^AzA^^
взята точка Р . Из вершины
опущен
перпендикуляр на AgP, из А 2 — на
А 3 Р , из Ад — на А 4 Р, из А 4 — на А^Р.
Докажите, что все четыре перпенди­
куляра (и ли их продолжения) пересе­
каются в одной точке.
2636°. На отрезке А Е по одну сторо­
ну от него построены равносторонние
треугольники ABC и CDE; М п Р — се­
редины отрезков A D и B E . Докажите,
что треугольник С Р М — равносторон­
ний.
2637. Даны точки А и В и окруж­
ность S. Постройте на окружности S
такие точки С и D , что АС ||B D и дуга
CD имеет данную величину а.
2638. Даны две точки и окруж­
ность. Проведите через данные точки
две секущие, хорды которых внутри
данной окружности были бы равны и
пересекались бы под данным углом а.
2639.
Дан треугольник ABC. На его
сторонах А В и ВС построены внешним
образом квадраты A B M N и BCPQ
(рис. 105). Докажите, что центры этих
квадратов и середины отрезков M Q и
А С образуют квадрат.
М
2640. Из вершины А квадрата
A B C D внутрь квадрата проведены
два луча, на которые опущены пер­
пендикуляры В К , B L , D M , D N из
вершин B u D . Докажите, что отрезки
K L и M N равны и перпендикулярны
друг другу.
2641. Точка Р расположена внутри
квадрата ABCZ) так, что А Р : В Р : СР =
= 1 : 2 : 3 . Найдите угол А Р В .
2642. Дан остроугольный треуголь­
ник АБС. Постройте точки X и Y на
сторонах А В и ВС так, что А Х = X Y =
= УС.
2643. Дан прямоугольный билли­
ард со сторонами 1 и J2 . Из его угла
под углом 45° к стороне выпущен шар.
Попадет ли он когда-нибудь в лузу?
(Л узы находятся в углах биллиарда.)
2644. Постройте четырехугольник
A B C D по двум сторонам А В и A D и
двум углам В и D , если известно, что в
него можно вписать окружность.
2645. Постройте треугольник ABC
по стороне А В = с, высоте СС^ = Л и раз­
ности углов ф = Z А —Z. В.
2646. Даны прямые 1^, I 2 и 1^, пере­
секающиеся в одной точке. Постройте
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
треугольник AB C, для которого дан­
ные прямые были бы серединными
перпендикулярами к его сторонам.
2647. Два квадрата BCDA и B K M N
имеют общую вершину В. Докажите,
что медиана B E треугольника А В К и
высота B F треугольника C B N лежат
на одной прямой. (Вершины обоих
квадратов перечислены по часовой
стрелке.)
2648. (Точка Торричелли.) На сторо­
нах треугольника AB C построены вне
треугольника равносторонние тре­
угольники B C A i, САВ^, A B C i и прове­
дены отрезки A A j, ВВ^ и СС^. Докажи­
те, что:
а) эти отрезки равны между собой;
б) эти отрезки пересекаются в од­
ной точке;
в) если эта точка находится внутри
треугольника AB C, то сумма ее рас­
стояний до трех вершин треугольника
равна длине каждого из отрезков A A j,
ВВ-^,
2649. Постройте треугольник, если
дана прямая, на которой лежит его
сторона, и две точки — основания бис­
сектрис, проведенных к двум другим
сторонам.
2650. (Прямая Эйлера.) Докажите,
что в любом треугольнике точка Н пе­
ресечения высот (ортоцентр), центр О
описанной окружности и точка М пе­
ресечения медиан (центр тяжести) ле ­
жат на одной прямой, причем точка М
расположена между точками О vl Н vl
М Н = 2М О .
2651. Постройте треугольник по
точке i? пересечения его высот, центру
О описанной окружности и прямой I,
на которой леж ит одна из его сторон.
2652. Дан угол между двумя полу­
прямыми. В угле, отражаясь от его
сторон, путешествует луч света. М о­
жет ли он отразиться бесконечное чис­
л о раз?
2653. Стороны выпуклого п-уголь­
ника занумерованы числами от 1 до п.
181
Л уч света, выйдя из точки А внутри
многоугольника, отразившись после­
довательно от первой, второй, ..., п-й
стороны, попал в точку В. Как, зная
только положение точек А ч В внутри
многоугольника, построить траекто­
рию луча?
2654.
На плоскости даны треуголь­
ник AB C и т о ч к а м (рис. 106). Извест­
но, что точки, симметричные точке М
относительно двух сторон треугольни­
ка ABC, попадают на окружность, опи­
санную около треугольника ABC. До­
кажите, что точка, симметричная точ­
ке М относительно третьей стороны,
также попадает на эту окружность.
2655. Существует ли фигура, имею­
щая ровно две оси симметрии, но не
имеющая центра симметрии?
2656. Четырехугольник имеет ров­
но две оси симметрии. Верно ли, что
он — либо прямоугольник, либо ромб?
2657. Может
ли
пятиугольник
иметь ровно две оси симметрии?
2658. Постройте треугольник ABC,
если даны его вершины А и В, прямая
I, на которой леж ит вершина С, и раз­
ность углов Z А —Z -В = ф.
2659. Постройте треугольник по
центру его описанной окружности и
двум прямым, на которых лежат высо­
ты треугольника.
2660. На плоскости даны прямые
li, I 2 , ...,
пересекающиеся в одной
точке. Блоха сидит в некоторой точке
М плоскости и прыгает через прямую
l i , попадая в точку
, так, что М п М ^
182
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
симметричны относительно прямой
2669. Дан вписанный 2п-угольник
далее — через прямую I 2 и т. д. Дока­
с углами Pi, Р2 . •••. Ргп- Докажите, что
жите, что если через 2 п прыжков бло­
Pi + Рз + ••• + Ргл-1 = Рг + Р4 + ••• + Рглха оказалась в точке М , то, начиная
Верно ли обратное?
движение из любой точки плоскости,
2670. Даны
непересекающиеся
через 2 п прыжков блоха окажется на
хорды А В и CD некоторой окружнос­
прежнем месте.
ти. Постройте на этой окружности та­
2661. (Теорема Монжа.) Докажите,
кую точку X , чтобы хорды А Х и В Х
что прямые, проведенные через сере­
высекали на хорде C D отрезок E F , рав­
дины сторон вписанного четырех­
ный данному.
угольника перпендикулярно противо­
2671. На сторонах треугольника
положным сторонам, пересекаются в A B C внешним образом построены пра­
одной точке.
вильные треугольники AB C j, A B -fi и
2662. Пусть M u N — середины сто­ А^ВС. Пусть Р и Q — середины отрез­
рон CD и D E правильного шестиуголь­
ков AjB^ и A jC j. Докажите, что тре­
ник A B C D E F , Р — точка пересечения
угольник A P Q — правильный.
отрезков A M и B N . Докажите, что
2672. Докажите, что композиция
S {A B P ) = S {M D N P ).
двух поворотов на углы, в сумме не
2663°. Вокруг квадрата описан па­
кратные 360°, является поворотом. В
раллелограмм (вершины квадрата ле­
какой точке находится его центр и че­
жат на разных сторонах параллело­
му равен угол поворота? Исследуйте
грамма). Докажите, что перпендику­
также
случай, когда сумма углов пово­
ляры, опущенные из вершин паралле­
ротов
кратна
360°.
лограмма на стороны квадрата, обра­
2673.
Постройте
многоугольник с
зуют новый квадрат.
нечетным
числом
сторон,
зная середи­
2664.
На двух сторонах А В и ВС
ны
его
сторон.
правильного 2 п-угольника взято по
2674. Из центра О окружности про­
точке К VI N так, что угол K E N , где
ведено
п прямых {п нечетно). Построй­
Е — вершина, противоположная В,
те
вписанный
в окружность п-уголь­
равен 180 ° . Докажите, что N E — бис­
ник,
для
которого
данные прямые яв­
2л
ляются
серединными
перпендикуля­
сектриса угла K N C .
рами.
2665. Вписанная окружность тре­
2675. На сторонах произвольного
угольника ABC касается стороны АС в
выпуклого
четырехугольника внеш­
точке D ; D M — ее диаметр. Прямая
ним
образом
построены квадраты. До­
В М пересекает сторону АС в точке К .
кажите, что отрезки, соединяющие
Докажите, что АЙГ = DC.
центры противоположных квадратов,
2666. Постройте треугольник по
равны и перпендикулярны.
двум сторонам и биссектрисе угла
2676. К руг поделили хордой А В на
между ними.
два круговых сегмента и один из них
2667. Постройте треугольник ABC
повернули на некоторый угол. Пусть
по углу А и отрезкам А В + ВС и АС +
при этом повороте точка В перешла в
+ ВС.
точку D. Докажите, что отрезки, со­
2668. В четырехугольнике A B C D
единяющие середины дуг сегментов с
стороны А В и CD равны, причем лучи
серединой отрезка B D , перпендику­
А В и DC пересекаются в точке О. Дока­
лярны друг другу.
жите, что прямая, соединяющая сере­
2677. На плоскости расположены
дины диагоналей, перпендикулярна
три
окружности S j, S 2 , S 3 радиусов /-j.
биссектрисе угла AOD.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
183
треугольника прямой, проходящей че­
рез точку пересечения высот треуголь­
ника, пересекаются в одной точке.
ния внешних касательных к окруж­
2682. На плоскости дано п прямых
ностям
и S 2 проведены касательные
{п нечетно), пересекающихся в одной
к окружности S-, а из точки пересече­
точке. Постройте п-угольник, для кото­
ния внешних касательных к окруж­
рого эти прямые являются биссектри­
ностям S i и Sg проведены касательные
сами внешних или внутренних углов.
к окружности 8 2 - Докажите, что по­
2683. На плоскости даны 2п - 1
следние две пары касательных образу­
прямая, окружность и точка К внутри
ют четырехугольник, в который мож­
окружности. Впишите в окружность
но вписать окружность, и найдите ее
2 п-угольник, у которого одна сторона
радиус.
проходит через точку К , а остальные
2678.
На отрезках А В , ВС и СА тре­параллельны данным прямым.
2684. ABC — данный разносторон­
угольника A B C построены во внеш­
ний
треугольник, А^, В^,
— точки
нюю сторону прямоугольники А В В 1А 2 ,
касания его вписанной окружности со
ВСС^В2 и САА 1 С2 (рис. 107). Докажите,
сторонами ВС, АС, А В соответственно;
что перпендикуляры к отрезкам
А
2 ,
В 2 , С 2 — точки, симметричные
В^В 2 и С 1 С 2 , восставленные в их середи­
точкам A i, B i, C l относительно бис­
нах, пересекаются в одной точке.
сектрис соответствующих углов тре­
угольника AB C.
Докажите,
что
г2 ,
чем
— каждая вне двух других, при­
> Г2 и
> Гд. Из точки пересече­
А2С2 II А С .
2679. В данный сегмент вписыва­
ются всевозможные пары касающих­
ся окружностей. Д ля каждой пары ок­
ружностей через точку касания прово­
дится касающаяся их прямая. Дока­
жите, что все эти прямые проходят че­
рез одну точку.
2680. Даны прямая I и точки А п В
по одну сторону от нее. Постройте путь
луча из А в Б, который отражается от
прямой I по следующему закону: угол
падения на ф меньше угла отражения.
2681. Докажите, что три прямые,
симметричные относительно сторон
2685. Проведите через данную точ­
ку прямую, на которой две данные ок­
ружности высекали бы равные хорды.
2686. Даны окружность, две точки
Р к Q этой окружности и прямая. Най­
дите на окружности такую точку М ,
чтобы прямые М Р vl M Q отсекали на
данной прямой отрезок А В , равный
данному.
2687. Впишите в данную окруж­
ность п-угольник, стороны которого
соответственно параллельны п дан­
ным прямым.
2588.Б интервале (О, я) дано п
чисел « 1 , « 2 > •••»
при этом
+ «2
+ ... +
= п{п —2). Впишите в данную
окружность п-угольник, внутренние
углы которого равны соответственно
« 1 , « 2 > •••> “ п- Когда построение воз­
можно?
2689.
На плоскости даны 2п пря­
мых, окружность и точка К внутри
нее. Впишите в окружность (2п Ч- 1)угольник, одна сторона которого про­
ходит через точку К , а остальные сто­
роны параллельны данным прямым.
184
ПЛАНИМЕТРИЯ
2690. Через центр О окружности
проведено п прямых. Постройте опи­
санный
около
этой
окружности
п-угольник, вершины которого лежат
на этих прямых.
2691. (Задача Ферма.) Внутри остро­
угольного треугольника найдите точ­
ку, сумма расстояний от которой до
вершин минимальна.
2692. (Треугольник Наполеона.) На
сторонах произвольного треугольника
внешним образом построены правиль­
ные треугольники. Докажите, что их
центры образуют правильный тре­
угольник.
2693. На сторонах произвольного
треугольника внутренним образом по­
строены правильные треугольники.
Докажите, что их центры образуют
правильный треугольник.
2694. Пусть P , Q vlR — центры рав­
носторонних треугольников, постро­
енных внешним образом на сторонах
А В , БС и АС треугольника ABC, а М , N
ч К — центры равносторонних тре­
угольников, построенных на сторонах
треугольника ABC внутренним обра­
зом. Докажите, что разность площа­
дей треугольников P Q R и M N K равна
площади треугольника ABC.
2695. (Задача Тибо.) Пусть А^,
и
С^ — основания высот АА^, ВВ^ и CCj
непрямоугольного треугольника ABC.
Докажите, что прямые Эйлера тре­
угольников A B jC j, BAjC^ и CA^Bi пе­
ресекаются на окружности девяти то­
чек треугольника ABC.
13. ГЕОМ ЕТРИЧЕСКИЕ М ЕСТА
ТО ЧЕ К И З А Д А Ч И
Н А ПОСТРОЕНИЕ
2696. Постройте треугольник по
трем данным сторонам.
2697. Постройте угол, равный дан­
ному углу.
2698. Постройте треугольник по
двум сторонам и углу между ними.
2699. Постройте треугольник по
стороне и двум прилежащим углам.
2700. Постройте окружность дан­
ного радиуса, проходящую через две
данные точки.
2701. Дан угол в 30°. Постройте ок­
ружность радиуса 2,5, касающуюся
одной стороны этого угла и имеющую
центр на другой его стороне. Найдите
расстояние от центра окружности до
вершины угла.
2702. Найдите геометрическое мес­
то центров окружностей, имеющих
данный радиус и проходящих через
данную точку.
2703. Постройте окружность, про­
ходящую через две данные точкиА иВ
так, чтобы угол между радиусом кру­
га, проведенным в точку А, и хордой
А В был равен 30°.
2704. Постройте окружность дан­
ного радиуса, касающуюся данной
прямой в данной точке.
2705. Около данного круга опиши­
те равнобедренный прямоугольный
треугольник.
2706. Постройте на данной окруж­
ности точку, которая находилась бы на
данном расстоянии от данной прямой.
2707. Постройте на данной прямой
точку, равноудаленную от двух дан­
ных точек.
2708. Постройте параллелограмм
A B C D по А В , АС и А О .
2709. Найдите геометрическое мес­
то точек, равноудаленных от двух па­
раллельных прямых.
2710. Какую фигуру образует мно­
жество всех вершин равнобедренных
треугольников, имеющих общее осно­
вание?
2711. Постройте окружность, ка­
сающуюся сторон данного угла, при­
чем одной из них — в данной точке.
2712. В окружности, радиус кото­
рой 1,4, определите расстояние от
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
центра до хорды, если она отсекает ду­
гу в 1 2 0 °.
2713. Дан отрезок АВ . Найдите гео­
метрическое место точек М , для кото­
рых Z М А В = 70°.
2714. Найдите геометрическое мес­
то центров окружностей, проходящих
через две данные точки.
2715. Постройте треугольник, если
даны три точки, в которых вписанная
окружность касается его сторон.
2716. Постройте параллелограмм
по одной стороне и обеим диагоналям.
2717. На листе прозрачной бумаги
нарисован угол, вершина которого не­
доступна (находится вне чертежа).
Как без всяких инструментов постро­
ить биссектрису этого угла?
2718. На прозрачной бумаге нари­
сован треугольник. Без всяких инст­
рументов постройте центр его описан­
ной окружности.
2719. В данную окружность впи­
шите треугольник с двумя данными
углами.
2720. Около данного круга опиши­
те треугольник с двумя данными угла­
ми.
2721. Постройте треугольник, если
известны отрезки, на которые вписан­
ная окружность делит его сторону, и
радиус вписанной окружности.
2722. Найдите геометрическое мес­
то центров окружностей, касающихся
данной прямой в данной точке.
2723. Постройте треугольник по
высоте, основанию и медиане, прове­
денной к этому основанию.
2724. Впишите в данный треуголь­
ник
равнобедренный треугольник
данной высоты так, чтобы основание
его было параллельно одной из сторон
данного треугольника.
2725. Постройте окружность, про­
ходящую через данную точку А и ка­
сающуюся данной прямой в данной
точке Б.
2726. Постройте окружность с цент­
ром в данной точке на стороне данного
185
угла, которая на другой стороне угла
отсекала бы хорду данной длины.
2727.
Постройте окружность данно­
го радиуса, проходящую через данную
точку и касающуюся данной прямой.
2728°. Постройте прямоугольный
треугольник по гипотенузе и проек­
ции одного из катетов на гипотенузу.
2729°. Постройте равнобедренный
треугольник по основанию и радиусу
описанной окружности.
2730°. Постройте касательную к
данной окружности, параллельную
данной прямой.
2731°. Постройте треугольник по
углу, высоте и биссектрисе, проведен­
ным из вершины этого угла.
2732. Найдите геометрическое мес­
то середин отрезков с концами на двух
данных параллельных прямых.
2733. Постройте треугольник по
двум сторонам и высоте, проведенной
к одной из них.
2734. Постройте треугольник по
двум сторонам и высоте, опущенной
на третью.
2735. Постройте
прямоугольный
треугольник по гипотенузе и отноше­
нию катетов.
2736. Постройте
прямоугольный
треугольник по данному отношению
одного катета к гипотенузе и второму
катету.
2737. Между двумя параллельны­
ми прямыми дана точка. Постройте
окружность, проходящую через эту
точку и касающуюся данных прямых.
2738. Даны параллельные прямые
и секущая. Постройте окружность, ка­
сающуюся всех трех прямых.
2739. Найдите геометрическое мес­
то середин всех хорд данной окруж­
ности.
2740. Дан отрезок, равный 1. Пост­
ройте отрезки, равны л/ 2 , л/З , Vs .
2741. Постройте
прямоугольный
треугольник по отношению его катетов
и высоте, опущенной на гипотенузу.
186
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2742. Постройте ромб по данному
отношению диагоналей и данной сто­
роне.
2743. Постройте параллелограмм
по отношению диагоналей, углу меж­
ду диагоналями и стороне.
2744. На прозрачной бумаге нари­
сован треугольник. Без всяких инст­
рументов постройте центр его вписан­
ной окружности.
2745. Н а прозрачной бумаге дана
дуга некоторой окружности. Построй­
те без всяких инструментов центр этой
окружности.
2746. Найдите геометрическое мес­
то центров окружностей данного ради­
уса, касаюп^ихся данной прямой.
2747. Найдите геометрическое мес­
то центров окружностей, касающихся
данной окружности в данной на ней
точке.
2748. Постройте окружность дан­
ного радиуса, высекающую на сторо­
нах данного угла равные отрезки дан­
ной длины.
2749. В данную окружность впи­
шите прямоугольник с данным углом
между диагоналями.
2750. Найдите геометрическое мес­
то точек, из которых проведены каса­
тельные к данной окружности, имею­
щие заданную длину.
2751. Постройте точку, равноуда­
ленную от трех данных точек.
2752. Постройте окружность дан­
ного радиуса, проходящую через дан­
ную точку и касающуюся данной ок­
ружности.
2753. Постройте окружность дан­
ного радиуса, касающуюся двух дан­
ных прямых.
2754. Постройте такую касатель­
ную к данной окружности, от которой
данная прямая отсекала бы данный
отрезок.
2755. Найдите геометрическое мес­
то точек, равноудаленных от двух пе­
ресекающихся прямых.
2756. Постройте треугольник по уг­
л у и высотам, проведенным из вершин
двух других углов.
2757. Постройте треугольник по
стороне и высотам, проведенным к
двум другим сторонам.
2758. Через точку внутри угла про­
ведите прямую, отсекающую от сторон
этого угла отрезки, отношение кото­
рых равно данному.
2759. На плоскости даны две пря­
мые и точка М . Найдите на одной из
прямых точку X такую, что отрезок
M X делится другой прямой пополам.
2760. Найдите геометрическое мес­
то центров окружностей данного ради­
уса, касающихся данной окружности.
2761. Постройте окружность, кото­
рая касалась бы двух данных парал­
лельны х прямых и круга, находяще­
гося между ними.
2762. Постройте окружность дан­
ного радиуса, которая касалась бы
данной прямой и данной окружности.
2763. Постройте точку, равноуда­
ленную от трех данных прямых.
2764. Постройте точку, из которой
данные отрезки видны под данными
углами.
2765. Постройте треугольник по
стороне, прилежащему к ней у гл у и
радиусу вписанного круга.
2766. Постройте треугольник по
двум высотам и углу, из вершины ко­
торого проведена одна из них.
2767. Постройте треугольник по
стороне, медиане, проведенной к этой
стороне, и медиане, проведенной к од­
ной из двух других сторон.
2768. Найдите геометрическое мес­
то середин всех хорд данной окруж­
ности, имеющих данную длину, мень­
шую диаметра.
2769. Даны две точки А и В. Найди­
те геометрическое место оснований
перпендикуляров, опущенных из точ­
ки А на прямые, проходящие через
точку Б.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2770. Дана линейка с делениями
через 1 см. Постройте биссектрису
данного угла.
2771. Постройте треугольник по ос­
нованию, углу при вершине и меди­
ане, проведенной к основанию.
2772. На плоскости даны два отрез­
ка величиной а и Ь. Постройте точку,
из которой отрезок а был бы виден под
данным углом а, а отрезок Ь — под
данным углом р.
2773. Постройте окружность дан­
ного радиуса, проходящую через дан­
ную точку и высекающую на данной
прямой отрезок, равный данному.
2774. Даны точки А и В. С центром
в точке В проводятся окружности ра­
диусом, не превосходящим А В , а через
точку А — касательные к ним (рис. 108).
Найдите геометрическое место точек
касания.
2775. Постройте вписанный четы­
рехугольник по углу, прилежащей
стороне и обеим диагоналям.
2776. Постройте треугольник по у г­
лу, биссектрисе, проведенной из вер­
шины этого угла, и радиусу вписанной
окружности.
2777. Проведите через данную точ­
ку прямую, пересекающую две сторо­
ны данного треугольника так, чтобы
точки пересечения и концы третьей
стороны находились на одной окруж­
ности.
2778. Постройте треугольник по
стороне, высоте и медиане, проведен­
ным из конца этой стороны.
2779. Постройте окружность, каса­
тельную к двум данным концентриче­
187
ским окружностям и к данной пря­
мой.
2780. Постройте прямую, равно­
удаленную от трех данных точек (точ­
ки и прямая принадлежат одной плос­
кости).
2781. Найдите геометрическое мес­
то середин всех хорд, проходящих че­
рез данную точку окружности.
2782. На плоскости даны точки А и
В. Найдите геометрическое место про­
екций точки А на прямые, проходя­
щие через точку В.
2783. Даны прямая и окружность,
не имеющие общих точек. Постройте
окружность данного радиуса г, касаю­
щуюся их.
2784. Постройте треугольник по
высоте, опущенной на одну из сторон,
и медианам, проведенным к двум дру­
гим сторонам.
2785. Через
точку
пересечения
двух окружностей проведите секу­
щую, часть которой внутри окружнос­
тей была бы равна данному отрезку
(рис. 109). (Центры окружностей рас­
положены по разные стороны от общей
хорды.)
2786. Через данную точку внутри
круга проведите хорду, равную данно­
му отрезку.
2787. Постройте на сторонах АВ и
АС треугольника AB C такие точки X и
У , ч т о X Y II B C n X Y = X B + YC.
2788. П ользуясь только циркулем,
удвойте данный отрезок, т. е. построй­
188
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
те для данных точек А ч В такую точку
С, чтобы точки А , В , С леж али на одной
прямой (В между Л и С) и АС = 2АВ.
2789. С помощью циркуля и линей­
ки постройте биссектрису данного уг­
ла, вершина которого леж ит вне черте­
жа.
2790. Постройте окружность, кото­
рая проходила бы через данную точку
и касалась бы данной окружности в
данной точке.
2791. Постройте параллелограмм
по его у гл у и диагоналям.
2792. Постройте окружность дан­
ного радиуса, касающуюся двух дан­
ных окружностей.
2793. Постройте точку так, чтобы
касательные, проведенные из нее к
двум данным окружностям, были рав­
ны данным отрезкам.
2794. Постройте точку, из которой
две данные окружности были бы вид­
ны под данными углами.
2795. Постройте треугольник по
радиусу описанной окружности, сто­
роне и высоте, проведенной к другой
стороне.
2796. Постройте треугольник по
стороне, медиане, проведенной к этой
стороне, и высоте, проведенной к дру­
гой стороне.
2797. Постройте точку, из которой
данный круг и данный отрезок видны
под данными углами.
2798. На плоскости даны точки А и
В. Найдите геометрическое место то­
чек М , для которых разность квадра­
тов длин отрезков A M и В М постоян­
на.
2799. Постройте четырехугольник
A B C D по четырем сторонам и углу
между А В и CD.
2800. Постройте треугольник, если
заданы сторона, прилежащий к ней
угол и сумма двух других сторон.
2801. Впишите квадрат в данный
треугольник так, чтобы одна из сторон
квадрата леж ала на основании тре­
угольника.
2802. Найдите геометрическое мес­
то точек, сумма квадратов расстояний
от каждой из которых до двух данных
точек равна данному числу.
2803. Даны угол и точка внутри не­
го. Проведите через эту точку прямую,
отрезок которой, заключенный вну­
три данного угла, делился бы данной
точкой в заданном отношении.
2804. В данный треугольник впи­
шите прямоугольник с данным отно­
шением сторон так, чтобы две верши­
ны прямоугольника леж али на боко­
вых сторонах треугольника, а две
другие — на его основании.
2805. В данную окружность впи­
шите прямоугольный треугольник,
если известны один из его острых уг­
лов и точка на одном из катетов.
2806. Точка О леж ит на отрезке АС.
Найдите геометрическое место точек
М , для которых Z М О С = 2Z M AC.
2807. Дана линейка с параллель­
ными краями и без делений. Построй­
те биссектрису угла, вершина которо­
го недоступна (леж ит вне чертежа).
2808. Впишите в данный круг три
равных круга, которые касались бы
попарно между собой и данного круга.
2809. Даны окружность с центром
О и точка А внутри нее. Постройте ок­
ружность, проходящую через точки А и
О и касающуюся данной окружности.
2810. Около данной окружности
опишите ромб с данной стороной.
2811. Постройте треугольник по
радиусу описанной окружности и вы­
соте и медиане, проведенным из одной
вершины.
2812. Постройте параллелограмм
по у г л у и диагоналям.
2813. Найдите геометрическое мес­
то середин хорд данной окружности,
проходящих через данную точку.
2814. Постройте окружность с дан­
ным центром, касающуюся данной ок­
ружности.
2815. Постройте треугольник по
двум углам А, Б и периметру Р .
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2816. Внутри угла даны две точки А
и В. Постройте окружность, проходя­
щую через эти точки и высекающую
на сторонах угла равные отрезки.
2817. Постройте треугольник по
высоте и медиане, проведенным из од­
ной вершины, и высоте, проведенной
из другой вершины.
2818. Постройте треугольник, если
заданы сторона, прилежащий к ней
угол и разность двух других сторон.
2819. Постройте треугольник по
стороне, противолежащему у гл у и
сумме двух других сторон.
2820. Постройте треугольник по уг­
лу, противолежащей стороне и разнос­
ти двух других сторон.
2821. Даны две точки А и Б (рис.
110). Найдите геометрическое место
точек, каждая из которых симметрич­
на точке А относительно некоторой
прямой, проходящей через точку В.
2822. Даны окружность и точка А.
Найдите геометрическое место сере­
дин хорд, высекаемых данной окруж­
ностью на всевозможных прямых,
проходящих через точку А.
2823. Дан угол, равный 19°. П оль­
зуясь только циркулем, разделите его
на 19 равных частей (т. е. найдите точ­
ки так, чтобы лучи, проходящие через
вершину данного угла и эти точки,
разделили его 19 равных частей).
2824. Дан угол, равный 54°. П оль­
зуясь только циркулем, разделите его
189
на три равные части (т. е. найдите точ­
ки так, чтобы лучи, проходящие через
вершину данного угла и эти точки,
разделили его три равные части).
2825.
Даны два отрезка, равные 1
и а. Постройте отрезок:
а2-9 .
а) а^ + а - 2
б) Ja^ - 4а^ + За .
2826. Дан треугольник ABC. Най­
дите все такие точки Р , что площади
треугольников А В Р , В С Р и А С Р рав­
ны.
2827. Дана линейка с параллель­
ными краями и без делений. Построй­
те центр окружности, некоторая дуга
которой дана на чертеже.
2828. Постройте треугольник по
медиане и двум углам.
2829. Постройте окружность, на
которой стороны данного треугольни­
ка высекают три хорды, равные задан­
ному отрезку.
2830. Даны угол и две точки внутри
него. Постройте окружность, проходя­
щую через эти точки и высекающую
на сторонах угла равные отрезки.
2831. Постройте треугольник по
стороне и проведенной к ней высоте,
если известно, что эта сторона видна
из центра вписанной в треугольник
окружности под углом 135°.
2832. Найдите геометрическое мес­
то точек, из которых данный отрезок
виден: а) под острым углом; б) под ту­
пым углом.
2833. Постройте квадрат по его
центру и двум точкам, лежащим на
противоположных сторонах.
2834. Постройте параллелограмм
по вершине и серединам сторон, не со­
держащих эту вершину.
2835. Постройте треугольник по
стороне, противолежащему углу и ра­
диусу вписанной окружности.
2836. Постройте параллелограмм
по основанию, высоте и у гл у между
диагоналями.
190
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2837. Найдите геометрическое мес­
то середины отрезков, соединяющих
данную точку, лежащ ую вне данной
окружности, с точками этой окруж­
ности.
2838. Даны окружность S, точка А
на ней и прямая I. Постройте окруж ­
ность, касающуюся данной окружнос­
ти в точке А и данной прямой.
2839. Впишите в угол окружность,
проходящую через данную точку.
2840. Дан треугольник AB C. Най­
дите на сторонеЛС такую точку D , что­
бы периметр треугольника A B D был
равен стороне ВС.
2841. По данному отрезку а пост­
ройте отрезок Ь, где:
а ) а = Jb ,Ь = 1;
б) а = 7, Ь = 77 .
2842. По данным отрезкам а, h n т
постройте треугольник A BC со сторо­
ной ВС = а, высотой В Н = h vl медиа­
ной: а) В М = т; б) A M = т.
2843. Дана линейка постоянной
ширины (т. е. с параллельными края­
ми) и без делений. Постройте биссект­
рису данного угла.
2844°. Разделите данный отрезок
пополам с помощью линейки с парал­
лельными краями и без делений.
2845. На одной из сторон данного
острого угла леж ит точка А . Постройте
на этой же стороне угла точку, равно­
удаленную от второй стороны угла и от
точки А .
2846. Даны точки А и В. Найдите
геометрическое место точек, расстоя­
ние от каждой из которых до точки А
больше, чем расстояние до точки В.
2847. Точка А леж ит на окружнос­
ти. Найдите геометрическое место та­
ких точек М , что отрезок A M делится
этой окружностью пополам.
2848. Одним прямолинейным раз­
резом отрежьте от треугольника тра­
пецию, у которой меньшее основание
было бы равно сумме боковых сторон.
2849. На окружности фиксирова­
ны точки А и В , а точка С перемещает­
ся по этой окружности. Найдите мно­
жество точек пересечения биссектрис
треугольников ABC.
2850. Постройте треугольник по
стороне, противолежащему углу и ме­
диане, проведенной из вершины одно­
го из прилежащих углов.
2851. Постройте треугольник АБС,
зная положение трех точек А^,
С^,
являющихся центрами вневписанных
окружностей треугольника ABC.
2852. Постройте равнобедренный
треугольник, если заданы основания
его биссектрис.
2853. Проведите к данной окруж­
ности касательную, часть которой
между продолжениями двух данных
радиусов была бы равна данному от­
резку.
2854. Две равные окружности каса­
ются друг друга. Постройте трапецию
такую, чтобы каждая из окружностей
касалась трех ее сторон, а центры ок­
ружностей леж али на диагоналях тра­
пеции.
2855. Даны окружность, ее диа­
метр А В и точка С на этом диаметре
(рис. 111). Постройте на окружности
две точки X и У, симметричные относи­
тельно диаметра АВ , для которых пря­
мая УС перпендикулярна прямой Х А .
2856.
Даны прямая и точка А вне
ее. Опустите из точки А перпендику­
ляр на прямую, проведя не более трех
линий циркулем и линейкой (третьей
линией должен быть искомый перпен­
дикуляр).
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2857. Постройте точку М внутри
данного
треугольника
так,
что
S (A B M ) : S {B C M ) : S {A C M ) = 1 : 2 : 3 .
2858. На одной из сторон угла взя­
ты две точки А и В. Найдите на другой
стороне угла точку С такую, чтобы
угол АС В был наибольшим. Постройте
точку С с помощью циркуля и линей­
ки.
2859. Постройте треугольник по
двум сторонам так, чтобы медиана,
проведенная к третьей стороне, делила
угол треугольника в отношении 1 : 2 .
2860. Даны отрезки а и Ь . Построй­
те такой отрезок х, что
J x = 4а + ^
.
2861. На плоскости даны точки А и
В. Найдите геометрическое место то­
чек С, для которых Z С > Z В и тре­
угольник ABC:
а) остроугольный;
б) тупоугольный.
2862. Вершины А и В треугольника
A B C с прямым углом С скользят по
сторонам прямого угла с вершиной Р .
Докажите, что точка С перемещается
при этом по отрезку.
2863. Точка С леж ит внутри прямо­
го угла АОВ. Докажите, что периметр
треугольника AB C больше 20С.
2864. Постройте треугольник по у г­
л у и радиусам вписанной и описанной
окружностей.
2865. Два колеса радиусов r v iR ка­
таются по прямой т. Найдите геомет­
рическое место точек пересечения М
их общих внутренних касательных.
2866. Постройте треугольник ABC,
зная три точки A j,
и С^, в которых
продолжения его высот пересекают
описанную окружность.
2867. Постройте точки X и У на сто­
ронах А В и ВС треугольника AB C так,
что А Х = B Y и Х У НАС.
2868. Постройте треугольник AB C
по двум высотам, проведенным из вер­
шин В и С, и медиане, проведенной из
вершины А .
191
2869. Постройте треугольник по уг­
лу, медиане и высоте, проведенным из
вершины этого угла.
2870. Даны середины трех равных
сторон выпуклого четырехугольника.
Постройте этот четырехугольник.
2871. Постройте окружность, ка­
сающуюся двух данных окружностей,
причем одной из них — в данной точ­
ке.
2872. В данный параллелограмм
впишите ромб так, чтобы стороны
ромба были параллельны диагоналям
параллелограмма, а вершины ромба
леж али на сторонах параллелограмма.
2873. Постройте трапецию, если
даны отношение ее оснований, два уг­
ла при одном их этих оснований и вы­
сота.
2874. Через вершину треугольника
проведите прямую, делящую пери­
метр треугольника пополам.
2875. На плоскости заданы две пе­
ресекающиеся прямые (рис. 1 1 2 ), и на
них отмечено по одной точке (£) и F).
Постройте треугольник ABC, у которо­
го биссектрисы CD и A F лежат на дан­
ных прямых, а их основания — дан­
ные точки £) и F.
Рис. 112
2876. Дана полуокружность с диа­
метром АВ . Постройте хорду M N , па­
раллельную А В , так, чтобы трапеция
A M N B была описанной.
2877. Даны угол в 45° с вершиной О
и треугольник ABC, в котором А В = 6 ,
А С = 3. Вершины А и В треугольника
192
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
скользят по сторонам угла так, что
точки О и С находятся относительно
прямой АВ :
а) по разные стороны, причем
Z A C B = 135°;
б) по одну сторону, причем Z А С В =
= 45°.
Какое множество точек пробегает
при этом вершина С?
2878. Найдите геометрическое мес­
то точек X , леж ащ их внутри трапеции
A B C D {ВС II A D ) или на ее сторонах, ес­
ли известно, что S {X A B ) = S {X C D ).
2879. Постройте прямую, на кото­
рой две данные окружности высекают
хорды, равные заданным отрезкам.
2880. Даны две параллельные пря­
мые I и li- С помощью одной линейки
разделите пополам данный отрезок А В
прямой I.
2881. Т оч к и D u E — середины сто­
рон соответственно А В и ВС треуголь­
ника ЛВ С. Точка М лежит на стороне
АС, причем M E > ЕС. Докажите, что
M D<AD.
2882. Постройте треугольник ABC,
зная три точки А^, В^, С^, в которых
биссектрисы его углов пересекают
описанную окружность.
2883. Даны окружность S, прямая I
и точка А на ней. Постройте окруж­
ность, касающуюся данной прямой в
точке А и данной окружности.
2884. Постройте треугольник по
двум сторонам и биссектрисе, прове­
денным из одной вершины.
2885. Постройте четырехугольник
по трем сторонам и углам, прилежа­
щим к четвертой.
2886. Постройте треугольник ABC,
зная три точки А^,
и С^, симметрич­
ные центру О описанной окружности
этого треугольника относительно сто­
рон ВС, СА и АВ.
2887. Точка X движется по окруж­
ности с центром О. На каждом радиусе
О Х откладывается отрезок О М , длина
которого равна расстоянию от точки X
до заданного диаметра окружности.
Найдите геометрическое место точек М .
2888. (Теорема Мансиона.) Дока­
жите, что отрезок, соединяющий
центры вписанной и вневписанной ок­
ружностей треугольника, делится
описанной окружностью пополам.
2889. Постройте
прямоугольный
треугольник по гипотенузе и точке, в
которой ее касается вписанная окруж­
ность.
2890. У гол при вершине равнобед­
ренного треугольника равен 20°. До­
кажите, что боковая сторона больше
удвоенного основания, но меньше ут­
роенного.
2891. На окружности фиксирова­
ны точки А и В, а точка С перемещает­
ся по этой окружности. Найдите мно­
жество точек пересечения высот тре­
угольника ABC.
2892. Даны отрезок А В и на нем
точка С. Найдите геометрическое мес­
то точек пересечения двух равных ок­
ружностей, одна из которых проходит
через точки А и С, другая — через точ­
ки С и Б.
2893. Точки А , Б и С лежат на одной
прямой (точка В расположена между
точками А и С). Через точки А и В про­
водятся окружности, а через точку
С — касательные к ним. Найдите гео­
метрическое место точек касания.
2894. Даны прямая и на ней точки
А и Б. Найдите геометрическое место
точек касания окружностей, одна из
которых касается данной прямой в
точке А , другая — в точке В.
2895. Постройте треугольник по
биссектрисе, медиане и высоте, прове­
денным из одной вершины.
2896. Постройте
остроугольный
треугольник AB C по основаниям А^,
В^, С^ его высот.
2897. Постройте
трем высотам.
треугольник
по
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2898. Постройте ромб, две стороны
которого лежат на двух данных парал­
лельны х прямых, а две другие прохо­
дят через две данные точки.
2899. Постройте четырехугольник
по диагоналям, у гл у между ними и
двум каким-нибудь сторонам.
2900. Постройте выпуклый четы­
рехугольник по четырем сторонам и
отрезку, соединяющему середины
двух противоположных сторон.
2901. Даны три точки А , В и С.
Постройте три окружности, попарно
касающиеся в этих точках.
2902. Через
точку пересечения
двух окружностей проведена прямая,
вторично пересекающая окружности в
двух точках А и В. Найдите геометри­
ческое место середин отрезков АВ.
2903. Около данного треугольника
опишите треугольник, равный друго­
му данному треугольнику.
2904. В данный треугольник впи­
шите треугольник, равный другому
данному треугольнику.
2905. На стороне треугольника
постройте точку, сумма расстояний от
которой до двух других сторон равна
данному отрезку.
2906. Постройте треугольник АБС,
зная три точки
В^ и С^, симметрич­
ные точке пересечения высот (орто­
центру) треугольника относительно
сторон
ВС,
СА,
АВ
(оба
треугольника — остроугольные).
2907. Даны отрезки а и Ь. Построй­
те отрезок X , равный \1а‘^ + Ъ'^.
2908. Через точку К , данную на
стороне А В треугольника ABC, прове­
дите прямую так, чтобы она разделила
площадь треугольника пополам.
2909. Постройте
остроугольный
треугольник по основаниям двух его
высот и прямой, содержащей третью
высоту.
2910. Даны окружность S, точка А
на ней и точка Н внутри нее. Построй­
те на окружности точки В жС так, что­
7 С борн ик задач по геометрии
193
бы точка Н была точкой пересечения
высот треугольника ABC.
2911. Постройте треугольник по
двум сторонам и разности противоле­
жащих им углов.
2912. На окружности заданы две
точки А и В. Проводятся всевозмож­
ные пары окружностей, касающихся
внешним образом друг друга и касаю­
щихся внешним образом данной ок­
ружности в точках А и В. Какое мно­
жество образуют точки взаимного ка­
сания этих пар окружностей?
2913. Восстановите треугольник,
если на плоскости отмечены три точ­
ки: О — центр описанной окружности,
Р — точка пересечения медиан, Н —
основание одной из высот этого тре­
угольника.
2914. Постройте треугольник АБС,
если заданы его наименьший угол А и
отрезки длины d = А В - ВС и е = АС -В С .
2915. Дана линейка с делениями
через 1 см. Проведите какую-нибудь
прямую, перпендикулярную данной
прямой.
2916. Найдите геометрическое мес­
то точек, расположенных внутри дан­
ного угла, сумма расстояний от кото­
рых до сторон этого угла имеет данную
величину.
2917. Найдите геометрическое мес­
то точек, расположенных внутри дан­
ного угла, разность расстояний от ко­
торых до сторон этого угла имеет дан­
ную величину.
2918. Найдите геометрическое мес­
то точек, сумма расстояний от кото­
рых до двух данных прямых имеет
данную величину.
2919. Постройте квадрат по четы­
рем точкам, лежащим на четырех его
сторонах.
2920. Даны две параллельные пря­
мые I и 1^. С помощью одной линейки
проведите через данную точку М пря­
мую, параллельную прямым I и 1^.
194
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2921. В данный треугольник впи­
шите прямоугольник, имеющий за­
данную диагональ.
2922. В данный угол впишите ок­
ружность, касающуюся данной окруж­
ности.
2923. Дан отрезок А В . Найдите на
плоскости множество точек С таких,
что в треугольнике AB C медиана про­
веденная из вершины А , равна высоте,
проведенной из вершины В.
2924. П ользуясь только циркулем,
разделите пополам данный отрезок,
т. е. постройте для данных точек А и В
такую точку С, чтобы точки А , В, С ле­
ж али на одной прямой и А С = ВС.
2925. Даны прямая I и точки А и В
по разные стороны от нее. С помощью
циркуля и линейки постройте точку
М на прямой I такую, чтобы угол меж­
ду A M и I был в два раза меньше угла
между В М и I, если известно, что рас­
сматриваемые углы не имеют общих
сторон.
2926. Найдите геометрическое мес­
то точек, разность расстояний от кото­
рых до двух данных прямых- имеет
данную величину.
2927. Найдите геометрическое мес­
то точек М , леж ащ их внутри ромба
A B C D и обладающих тем свойством,
что Z. A M D +
В М С = 180°.
2928. На одной из сторон прямого
угла даны точки А и В. Постройте на
другой стороне такую точку X , чтобы
^АХ Б = 2 ^АВХ.
2929. Постройте треугольник по
центрам описанной, вписанной и од­
ной из вневписанных окружностей.
2930. Найдите геометрическое мес­
то точек, расстояния от каждой из ко­
торых до двух данных точек относят­
ся, как т : п.
2931. С помощью циркуля и линей­
ки восстановите выпуклый четырех­
угольник по четырем точкам — проек­
циям точки пересечения его диагона­
лей на стороны.
2932.
Даны прямая I и точки А ж В
по одну сторону от нее (рис. 113).
Пусть А^т В I — проекции этих точек
на прямую I. Постройте на прямой I та­
кую точку М , чтобы угол АМ А^ был
вдвое меньше у г л а ВМВ^.
2933. Постройте равнобедренный
треугольник, основание которого ле­
жало бы на одной стороне данного ост­
рого угла, вершина — на другой сторо­
не того же угла, а боковые стороны
проходили бы через две данные точки
внутри этого угла.
2934. Даны прямая I и точки А и В
по одну сторону от нее. С помощью
циркуля и линейки постройте на пря­
мой I точку X такую, что AX ' + В Х = а,
где а — данный отрезок.
2935. Даны прямая I и точки А и В
по разные стороны от нее. С помощью
циркуля и линейки постройте на пря­
мой I точку X такую, что А Х - В Х = а,
где а — данный отрезок.
2936. Через данную точку проведи­
те окружность, касающуюся данной
прямой и данной окружности.
2937. Стороны А В и CD выпуклого
четырехугольника A B C D площади S
не параллельны. Найдите геометриче­
ское место точек X , лежащ их внутри
четырехугольника, для которых
S {A B X ) + S { C D X )= ^ S .
2938. Даны две точки А и В и ок­
ружность S. Постройте окружность,
проходящую через точки А и В и ка­
сающуюся окружности S.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
14. ГЕОМ ЕТРИЧЕСКИЕ
Н Е РА В Е Н С ТВ А И З А Д А Ч И
Н А М А К С И М У М И М И Н И М УМ
2939. Докажите, что:
а) против большего угла треуголь­
ника лежит большая сторона;
б) против большей стороны тре­
угольника леж ит больший угол.
2940. Треугольники A B C и
таковы, что А В = А^Ву, А С = АС^, а
/ - А > /-Ау. Докажите, что ВС > В^Су.
Верно л и обратное?
2941. Стороны
равнобедренного
треугольника равны 1 и 3. Какая из
сторон является боковой?
2942. Может ли в треугольнике сто­
рона быть вдвое больше другой сторо­
ны и вдвое меньше третьей?
2943. У равнобедренного треуголь­
ника стороны равны 3 и 7. Какая из
сторон является основанием?
2944. Докажите, что любая хорда
окружности не больше диаметра и рав­
на ему только тогда, когда сама явля­
ется диаметром.
2945. Докажите, что площадь тре­
угольника ABC не превосходит ^А В -А С .
А
2946. В равнобедренном треуголь­
нике AB C на продолжении основания
ВС за точку С взята точка D (рис. 114).
Докажите, что угол AB C больше угла
ADC.
Р и с . 114
2947. Докажите, что любая диаго­
наль четырехугольника меньше поло­
вины его периметра.
195
2948. Пусть ABCZ) — выпуклый че­
тырехугольник. Докажите, что
A B + C D < A C + B D.
2949. Пусть с — наибольшая сторо­
на треугольника со сторонами а, Ь, с.
Докажите, что если
+ Ь^> с^, то тре­
угольник — остроугольный, а если
+ Ь^ <с^, то тупоугольный.
2950. В треугольнике ABC извест­
но, что А В < ВС < АС, а один из углов
вдвое меньше другого и втрое меньше
третьего. Найдите угол при вершинеА.
2951. Докажите, что сумма высот
треугольника меньше его периметра.
2952. В треугольнике две стороны
равны 3,14 и 0,67. Найдите третью
сторону, если известно, что она равна
целому числу.
2953. Среди всех треугольников с
заданными сторонами А В и АС найди­
те тот, у которого наибольшая пло­
щадь.
2954. Одна окружность находится
внутри другой. И х радиусы равны 28 и
1 2 , а кратчайшее расстояние между
точками этих окружностей равно 1 0 .
Найдите расстояние между центрами.
2955. Докажите, что каждая сторо­
на четырехугольника меньше суммы
трех других его сторон.
2956. Докажите, что высота нерав­
нобедренного прямоугольного тре­
угольника, проведенная из вершины
прямого угла, меньше половины гипо­
тенузы.
2957. Может ли основание равно­
бедренного треугольника быть вдвое
больше боковой стороны?
2958. Сколько можно составить
треугольников из отрезков, равных:
а ) 2 , 3 , 4, 5 ; б ) 2 , 3, 4, 5, 6 , 7?
2959. В треугольнике две стороны
равны 1 и 6 . Найдите третью сторону,
если известно, что ее длина равна це­
лом у числу.
2960. В треугольнике AB C угол А
равен среднему арифметическому
двух других углов. Укажите среднюю
по величине сторону треугольника.
196
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2961. Даны четыре точки А , В , С и
D . Докажите, что A D < А В + ВС + CD.
2962. Докажите, что сумма рас­
стояний от любой точки внутри тре­
угольника до его вершин больше поло­
вины периметра.
2963. Докажите, что площадь вы­
пуклого четырехугольника A B C D не
превосходит | (АВ ■В С +А 1> •DC).
2964. Внутри треугольника A B C
взята точка М . Докажите, что угол
В М С больше угла ВАС.
2965. Пусть СК — биссектриса тре­
угольника AB C и АС > ВС. Докажите,
что угол А К С — тупой.
2966. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника равны d i и dz- Какое на­
ибольшее значение может иметь его
площадь?
2967. Пусть АА^ и ВВ^ — медианы
треугольника ABC. Докажите, что
A A i+ B B i> |
а
В.
2968. Радиус окружности равен 10,
данная точка удалена от центра на рас­
стояние, равное 15. Найдите ее на­
именьшее и наибольшее расстояния от
точек окружности.
2969. Докажите, что в треугольни­
ке каждая сторона меньше половины
периметра.
2970. В треугольнике AB C на на­
ибольшей стороне ВС, равной Ь, выби­
рается точка М . Найдите наименьшее
расстояние между центрами окруж­
ностей, описанных около треугольни­
ков В А М и АС Ы .
2971. Существует
ли
четырех­
угольник со сторонами, равными; а) 1 ,
1 , 1 , 2 ; б ) 1 , 2, 3, 6 ?
2972. Докажите, что отрезок, со­
единяющий вершину равнобедренно­
го треугольника с точкой, лежащей на
основании, не больше боковой сторо­
ны треугольника.
2973. В треугольнике P Q R сторона
P Q не больше, чем 9, сторона P R не
больше, чем 12. Площадь треугольни­
ка не меньше, чем 54. Найдите его ме­
диану, проведенную из вершины Р .
2974. Существует ли треугольник,
у которого две высоты больше 1 м, а
площадь меньше 1 см^?
2975. Докажите, что в любом тре­
угольнике большей стороне соответст­
вует меньшая высота.
2976. Докажите, что в треугольни­
ке со сторонами а, Ь, с медиана т, про­
веденная к стороне с, удовлетворяет
неравенству т > i (а + &—с).
А
2977. Внутри треугольника ABC
найдите точку, из которой сторона АВ
видна под наименьшим углом.
2978. Найдите точку, сумма рас­
стояний от которой до вершин данного
выпуклого четырехугольника мини­
мальна.
2979. Наименьшее расстояние от
данной точки до точек окружности
равно а, а наибольшее равно Ь. Найди­
те радиус.
2980. Радиус окружности равен 10,
данная точка удалена от ее центра на
расстояние, равное 3. Найдите ее на­
именьшее и наибольшее расстояния от
точек окружности.
2981. Докажите, что из всех хорд,
проходящих через точку А , взятую
внутри круга, наименьшей будет та,
которая перпендикулярна диаметру,
проходящему через точку А .
2982. Окружность, вписанная в
треугольник ABC, касается его сторон
А В и А С соответственно в точках M u N
(рис. 115). Докажите, что B N > M N .
В
Р и с . 115
197
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
2983. Высота прямоугольного тре­
угольника, проведенная к гипотенузе,
делит прямой угол на два неравных у г­
ла. Докажите, что катет, прилежащий
к меньшему из них, меньше другого
катета.
2984. Основание D высоты A D тре­
угольника A B C лежит на стороне ВС,
причем
B A D > А CAD. Что больше:
А В или АС?
2985. Четыре дома расположены в
вершинах выпуклого четырехуголь­
ника. Где нужно вырыть колодец, что­
бы сумма расстояний от него до четы­
рех домов была наименьшей?
2986. Докажите, что каждая сторо­
на треугольника видна из центра впи­
санной окружности под тупым углом.
2987. Две прямые, проходящие че­
рез точку С, касаются окружности в
точках А и В . Может ли прямая, про­
ходящая через середины отрезков А С
и ВС, касаться этой окружности?
2988. Отрезок соединяет вершину
треугольника с точкой, лежащей на
противоположной стороне. Докажите,
что этот отрезок меньше большей из
двух других сторон.
2989. Докажите, что медиана тре­
угольника AB C, проведенная из вер­
шины А , меньше полусуммы сторон
АВиАС.
2990. Докажите, что сумма диаго­
налей выпуклого четырехугольника
меньше периметра, но больше полупериметра этого четырехугольника.
2991. У треугольника ABC угол
С — тупой. Докажите, что если точка
X лежит на стороне АС, то В Х < А В .
2992. Докажите, что большему из
двух острых вписанных углов соответ­
ствует большая хорда.
2993. Пусть B D — биссектриса тре­
угольника ABC. Докажите, что А В > A D
и СБ > CD.
2994. Площ адь треугольника рав­
на 1. Докажите, что средняя по длине
его сторона не меньше
4 2
.
2995. Докажите, что если а, Ь, с —
стороны произвольного треугольника,
тоа^ + Ь^> ^ .
2996. Пусть
и m 2 — медианы,
проведенные к сторонам а и Ъ тре­
угольника со сторонами а, Ъ, с. Дока2
2
Qr^
жите, что
+ mg > — .
О
2997. Все биссектрисы треугольни­
ка меньше 1. Докажите, что его пло­
щадь меньше 1 .
2998. Через
точку
пересечения
двух окружностей проведите прямую,
на которой окружности высекают
хорды, сумма которых наибольшая.
(Центры окруж ностей расположены
по разные стороны от их общей
хорды .)
2999. При каком значении высоты
прямоугольная трапеция с острым уг­
лом 30° и периметром 6 имеет наиболь­
шую площадь?
3000°. Возможен ли треугольник со
сторонами а = 7 и Ь = 2, если известно,
что высота, опущенная на третью сто­
рону этого треугольника, является
средним геометрическим двух других
высот?
3001°. Диагонали четырехугольни­
ка, вписанного в окружность, пересе­
каются в точке Е . На прямой АС взята
точка М , причем Z D M E = 80°, ^ A B D =
= 60°, ^ CBD = 7 0 °. Где расположена
точка М : на диагонали АС или на ее
продолжении? Ответ обоснуйте.
3002. Дана окружность с хордой и
касательной, причем точка касания
лежит на меньшей из двух дуг, стяги­
ваемых хордой. Найдите на касатель­
ной точку, из которой хорда видна под
наименьшим углом.
3003. Наименьшее
расстояние
между точками двух концентриче­
ских окружностей равно 2 , а наиболь­
шее равно 16. Найдите радиусы ок­
ружностей.
3004. Докажите, что медиана тре­
угольника AB C, проведенная из вер­
198
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
шины А , больше модуля полуразности
сторон А В и АС.
3005. У треугольника AB C угол
С — тупой. Докажите, что если точка
X лежит на стороне АС, а точка У — на
стороне ВС, то X Y < А В .
3006. В треугольнике AB C извест­
но, что ^ В > 90°. На отрезке ВС взяты
точки МиЛ^т а к, ч т о лучи A N и A M де­
лят угол ВАС на три равные части. Д о­
кажите, что В М < M N < N C .
3007°. Докажите, что если D — се­
редина основания ВС равнобедренного
треугольника ABC, а М — произволь­
ная точка наАС, то
D B -D M < А В -А М .
3008°. В трапеции A B C D углы при
основании A D удовлетворяют неравен­
ству A A < / L B < 90°. Докажите, что
тогда АС > B D .
3009. Берег реки — прямая линия.
Отгородите от него прямоугольным за­
бором общей длины/7 участок наиболь­
шей площади.
ЗОЮ. В треугольнике AB C сторона
АС не длиннее, чем 3, сторона ВС не
длиннее, чем 4, а его площадь не мень­
ше, чем 6 . Найдите радиус описанной
вокруг треугольника ABC окружности.
3011. Докажите, что наибольшее
расстояние между точками двух ок­
ружностей, леж ащ их одна вне другой,
равно сумме радиусов этих окружнос­
тей и расстояния между их центрами.
3012. Докажите, что кратчайшее
расстояние между точками двух ок­
ружностей, леж ащ их одна вне другой,
есть отрезок линии центров, заключен­
ный между окружностями (рис. 116).
3013°. Окружность радиуса 2 каса­
ется окружности радиуса 4 в точке В.
Прямая, проходящая через точку В,
пересекает окружность меньшего ра­
диуса в точке А , а большего радиуса —
в точке С. Найдите ВС, если АС = 3 л/2 .
3014. Биссектриса угла при основа­
нии ВС равнобедренного треугольни­
ка ABC пересекает боковую сторону
АС в точке К . Докажите, что
В К < 2СК.
3015. Две окружности радиусов г и
R { r < R ) пересекаются. Докажите, что
расстояние между их центрами мень­
ше, чем г + R, по больше, чем R - г.
3016. Дан выпуклый п-угольник,
все углы которого тупые. Докажите,
что сумма его диагоналей больше пе­
риметра.
3017°. Докажите, что в параллело­
грамме против большего угла лежит
большая диагональ.
3018°. В равнобедренной трапеции
диагональ равна 8 и является биссект­
рисой одного из углов. Может ли одно
из оснований этой трапеции быть
меньше 4, а другое равно 5?
3019°. В треугольнике AB C извест­
но, что А В = 6 , ВС = 9, АС = 10. Бис­
сектриса угла В пересекает сторону АС
в точке М . На отрезке В М взята точка
О так, что ВО : О М = 3 : 1 . Площадь
какого из треугольников А В О , ВСО
или АСО будет наименьшей?
3020. Докажите, что расстояние
между любыми двумя точками взяты­
ми на сторонах треугольника, не боль­
ше наибольшей из его сторон.
3021°. Дан треугольник ABC, CD —
медиана, проведенная к стороне АВ.
Докажите, что если А С > ВС, то угол
A C D меньше угла BCD.
3022.
В треугольнике AB C угол В
прямой или тупой. На стороне ВС взя­
ты точки М и N так, что В М = M N =
= N C . Докажите, что
ВАМ >
M A N > А NAC.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3023. Пусть а, Ь, с — стороны про­
извольного треугольника. Докажите,
что
< 2{аЬ + Ьс + ас).
3024. Пусть АА^ — медиана тре­
угольника ABC. Докажите, что угол А
острый тогда и только тогда, когда
A 4 i > | b C.
3025. Точки М v iN лежат на сторо­
нах А В и А С треугольника ABC, при­
чем A M = CiV и
= Б М (рис. 117).
Докажите, что площадь четырех­
угольника B M N C по крайней мере в
три раза больше площади треугольни­
ка АМЛ/'.
3026. Пусть
угольника, г —
и Л2 — высоты тре­
радиус вписанного
круга. Докажите, что
2г
hi
^2 ^
3027. Радиус вписанной окружнос­
ти треугольника равен \ . Докажите,
О
что наибольшая высота треугольника
не меньше 1 .
3028. Докажите, что среди всех
треугольников с данным основанием и
высотой, опущенной на это основание,
наибольшую величину противолежа­
щего угла имеет равнобедренный тре­
угольник.
3029. Проведите через вершину А
остроугольного треугольника ABC
прямую так, чтобы она не пересекала
сторону ВС и чтобы сумма расстояний
до нее от вершин В и С была наиболь­
шей.
199
3030. На сторонах прямого угла с
вершиной О лежат концы отрезка АВ
фиксированной длины а. При каком
положении отрезка площадь тре­
угольника АО В будет наибольшей?
3031. Середины высот треугольни­
ка A B C лежат на одной прямой. На­
ибольшая сторона треугольника А В =
= 10. Какое максимальное значение
может принимать площадь треуголь­
ника ABC?
3032. Площадь треугольника ABC
равна 10. Какое наименьшее значение
может принимать радиус окружности,
описанной около треугольника ABC,
если известно, что середины высот это­
го треугольника лежат на одной пря­
мой?
3033. В треугольнике АБ С со сторо­
ной А С = 8 проведена биссектриса B L.
Известно, что площади треугольников
A B L и B LC относятся, как 3 : 1 . Най­
дите биссектрису B L , при которой вы­
сота, опущенная из вершины В на ос­
нование АС, будет наибольшей.
3034. В треугольнике K L M с осно­
ванием К М = 6 проведена медиана LF.
Известно, что расстояния от точки Р
до боковых сторон K L и L M относятся,
как 1 : 2. Найдите медиану L P , при ко­
торой площадь треугольника K L M бу­
дет наибольшей.
3035. Расстояние между центрами
окружностей радиусов 2 и 3 равно 8 .
Найдите наименьшее и наибольшее из
расстояний между точками, одна из
которых лежит на первой окружнос­
ти, а другая — на второй.
3036°. В треугольнике AB C с осно­
ванием АС = 8 проведена биссектриса
BL. Известно, что площади треуголь­
ников A B L и BLC относятся, как 3 : 1 .
Найдите биссектрису B L, при которой
высота, опущенная из вершины В на
основание АС, будет наибольшей.
3037.
Докажите, что если точка М
лежит внутри треугольника AB C, то
МВ + М С<АВ+АС.
200
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3038. Докажите, что площадь че­
тырехугольника ABC.D не превосходит
\{А В ■D C + A D ■ВС).
3039. Докажите, что в любом тре­
угольнике сумма его медиан больше
I периметра, но меньше периметра.
3040. Существует ли треугольник,
все высоты которого меньше 1 , а пло­
щадь больше или равна 1 0 ?
3041. Докажите, что в любом тре­
угольнике большей стороне соответст­
вует меньшая медиана.
3042. Докажите, что если внутри
треугольника AB C существует точка
D , для которой A D = А В , то А В < А С .
3043. Пусть h i, /i2 . Лз — высоты
треугольника, г — радиус вписанной
окружности. Докажите, что
Л] + Лз + Лз > 9г.
3044. Высота прямоугольного тре­
угольника, опущенная на гипотенузу,
равна h. Какую наименьшую длину
может иметь медиана, делящая попо­
лам больший катет?
3045. В треугольнике ABC длина
стороны А В равна 4, Z САВ = 60°, а ра­
диус описанной окружности равен 2 , 2 .
Докажите, что длина высоты, опущен­
ной из вершины С наАВ, меньше 1 1 ^ .
5
3046. Биссектриса
треугольника
делит его сторону на два отрезка. До­
кажите, что к большей из двух других
сторон треугольника примыкает боль­
ший из них.
3047. Докажите, что сумма длин
диагоналей выпуклого пятиугольни­
ка ABCZ)£ больше периметра, но мень­
ше удвоенного периметра.
3048. На продолжении стороны А С
треугольника AB C отложен отрезок
CD = СВ. Докажите, что если А С > ВС,
то угол A B D — тупой.
3049. Докажите, что среди всех
треугольников A B C с фиксированным
углом Z А = а и площадью S наимень­
шую сторону ВС имеет равнобедрен­
ный треугольник с основанием ВС.
3050. Длины двух сторон треуголь­
ника 10 и 15. Докажите, что биссект­
риса угла между ними не больше 1 2 .
3051. Найдите среди всех треуголь­
ников с данным основанием и данной
площадью треугольник наименьшего
периметра.
3052. Среди треугольников K L M , у
которых радиус описанной окружнос­
ти равен 10, сторона K L равна 16, выOQ
сота М Н равна
. Найдите угол K L M
того треугольника, медиана M N кото­
рого наименьшая.
3053. Найдите радиус наибольшей
окружности, касающейся изнутри
двух пересекающихся окружностей с
радиусами i? и г, если расстояние меж­
ду их центрами равно а {а < R + г).
3054. Рассмотрим равнобедренный
треугольник с одними и теми же боко­
выми сторонами. Докажите, что чем
больше угол при вершине, тем меньше
высота, опущенная на основание.
3055. Рассмотрим равнобедренные
треугольники с одними и теми же бо­
ковыми сторонами. Докажите, что
чем больше основание, тем меньше
проведенная к нему высота.
3056. B D — биссектриса треуголь­
ника AB C, причем A D > CD. Докажи­
те, что А В > ВС.
3057. Постройте треугольник с на­
именьшим возможным периметром по
данным стороне и проведенной к ней
высоте.
3058. Постройте окружность на­
ибольшего радиуса, вписанную в дан­
ный
сегмент
данного
круга.
(Сегмент — это часть круга, отсекае­
мая от него хордой.)
3059. Хорда А В видна из центра
круга радиуса R под углом, равным
120°. Найдите радиусы наибольших
окружностей, вписанных в сегменты,
на которые хорда А В разбивает дан­
ный круг.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3060. в вершине А единичного
квадрата A B C D сидит муравей. Ему
надо добраться до точки С, где нахо­
дится вход в муравейник. Точки А и С
разделяет вертикальная стена, имею­
щая вид равнобедренного прямоуголь­
ного треугольника с гипотенузой B D.
Найдите длину кратчайшего пути, ко­
торый надо преодолеть муравью, что­
бы попасть в муравейник.
3061. В тупоугольном треугольни­
ке AB C на стороне А Б , равной 14, вы­
брана точка L , равноудаленная от пря­
мых АС и ВС, а на отрезке A L — точка
К , равноудаленная от вершин А и В.
Найдите синус угла АС.В, если K L = 1,
а Z САБ = 45°.
3062. Докажите, что сумма рас­
стояний от любой точки, лежащей
внутри треугольника, до его вершин
меньше периметра треугольника.
3063. На биссектрисе внешнего уг­
ла С треугольника АБ С взята точка М ,
отличная от С. Докажите, что
М А + М В > С А + СВ.
3064. Две высоты треугольника
равны 12 и 20. Докажите, что третья
высота меньше 30.
3065. В треугольнике АБ С A D —
биссектриса угла А . Через точку А про­
ведена прямая, перпендикулярная к
A D , и из вершины В опущен перпенди­
куляр ВВ^ на эту прямую (рис. 118).
Докажите, что периметр треугольни­
ка ВВ^С больше периметра треугольникаАБС.
201
3066. Докажите, что если в выпук­
лом четырехугольнике A B C D имеет
место неравенство А В > АС , то B D >
>DC.
3067. Сколько сторон может иметь
выпуклый многоугольник, все диаго­
нали которого равны?
3068. В четырехугольнике A B C D
углы А и Б равны, а Z £) > Z С. Дока­
жите, что тогда A D < ВС.
3069. Пусть M vlN — середины сто­
рон А Б и CD выпуклого четырехуголь­
ника АБСХ) и M N = I (AD + ВС). Дока­
жите, что A B C D — трапеция или па­
раллелограмм .
3070. Периметр выпуклого четы­
рехугольника равен 4. Докажите, что
его площадь не превосходит 1 .
3071. Пусть Е , F , G, Н — середины
сторон А Б , ВС, CD, D A выпуклого че­
тырехугольника A B C D . Докажите,
что S(A B C D ) < E G ■H F .
3072. Стороны треугольника не
превосходят 1. Докажите, что его пло/З
щадь не превосходит ^ .
3073. Две высоты треугольника
равны 10 и 6 . Докажите, что третья
высота меньше 15.
3074. Каждая сторона выпуклого
четырехугольника меньше а. Докажи­
те, что его площадь меньше а^.
3075. Точки М и расположены по
одну сторону от прямой I. Постройте
на прямой I такую точку К , чтобы сум­
ма М К -Ь N K была наименьшей.
3076. Точки М и расположены по
разные стороны от прямой I. Построй­
те на прямой I такую точку К , чтобы
разность отрезков М К и N K была на­
ибольшей.
3077. Пусть вписанная окружность
касается сторон АС и ВС треугольника
АБС в точках В^ и А^. Докажите, что
если АС > ВС, T o A A i > ВВ^.
3078. На плоскости даны прямая i и
две точки А и Б по одну сторону от нее.
202
mAHHMETJPHH
На прямой I выбраны точка М , сумма
расстояний от которой до точек А и В
наименьшая, и точка N , для которой
расстояния от А и Б равны: A N = B N .
Докажите, что точкиА, В, М , N лежат
на одной окружности.
3079. Две окружности радиусов г и
R с центрами в точках
и О касаются
внутренним образом в точке К . В точ­
ке А окружности радиуса г проведена
касательная, пересекающая окруж­
ность радиуса!? в точках В и С. Извест­
но, что АС : А В = p vL отрезок АС пере­
секает отрезок О К. Определите:
а) при каких условиях на г, R п р
возможна такая геометрическая кон­
фигурация;
б) отрезок ВС.
3080. В тупоугольном треугольни­
ке наибольшая сторона равна 4, а
наименьшая — 2. Может ли площадь
треугольника быть больше 2 V3 ?
3081. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD точка — пересечение ди­
агоналей. Известно, что площадь каж­
дого из треугольников А В £ и DCE рав­
на 1 , площадь всего четырехугольни­
ка не превосходит 4, A D = 3. Найдите
сторону ВС.
3082. Докажите, что биссектриса
треугольника не меньше высоты и не
больше медианы, проведенных из той
же вершины.
3083. Докажите, что расстояние
между серединами диагоналей выпук­
лого четырехугольника не меньше мо­
дуля полуразности пары его противо­
положных сторон.
3084. Через точку О пересечения
медиан треугольника ABC проведена
прямая, пересекающая его стороны в
точках М n N . Докажите, что
3086. В четырехугольнике ABCD
диагональ АС делит другую диагональ
пополам и ВС + CD = АВ + AD . Дока­
жите, что AB CD — параллелограмм.
3087. Известно, что в треугольнике
ABC угол А равен 60°. Докажите, что
АВ+АС<2ВС.
3088. В треугольник с периметром
2р вписана окружность. К этой окруж­
ности проведена касательная, парал­
лельная стороне треугольника. Най­
дите наибольшую возможную длину
отрезка этой касательной, заключен­
ного внутри треугольника.
3089. Докажите, что не существует
двух (отличных от параллелограмма)
трапеций таких, что боковые стороны
каждой из них соответственно равны
основаниям другой.
3090. Внутри угла даны точки М и
N . Постройте на сторонах угла точки
К ТА L так, чтобы периметр четырех­
угольника M K L N был наименьшим.
3091. На окружности, описанной
около треугольника ABC, найдите точ­
ку М такую, что расстояние между ее
проекциями на прямые АС и ВС мак­
симально.
3092. Докажите, что среди всех
четырехугольников с данной пло­
щадью наименьший периметр имеет
квадрат.
3093. На сторонах А В и АС угла
ВАС, равного 120°, как на диаметрах
построены полуокружности (рис. 119).
В общую часть образовавшихся полу­
кругов вписана окружность макси­
мального радиуса. Найдите радиус
этой окружности, если А В = 4, АС = 2.
N O < 2М О .
3085. Пусть A B CD и A^B^CiDi —
два выпуклых четырехугольника с со­
ответственно равными сторонами. До­
кажите, что если А А > Z. А^, то /L В <
< А В ^ ,А С > Z .C i,A D < A D ^ .
Рис. 119
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3094. Около данного треугольника
опишите равносторонний треуголь­
ник с наибольшим возможным пери­
метром.
3095. Пусть АВС£) — выпуклый че­
тырехугольник. Докажите, что если
периметр треугольника A B D меньше
периметра треугольникаАС£), то А В <
<АС.
3096. Даны угол X A Y и точка О
внутри него. Проведите через точку О
прямую, отсекающую от данного угла
треугольник наименьшей площади.
3097. Докажите, что из всех тре­
угольников с данным основанием и
данным углом при вершине наиболь­
ший периметр имеет равнобедренный
треугольник.
3098. Высота треугольника в два
раза меньше его основания, а один из
углов при основании равен 75°. Дока­
жите, что треугольник — равнобед­
ренный.
3099. На прямой, содержащей сто­
рону А В остроугольного треугольника
ABC, постройте точку М такую, что
расстояние между ее проекциями на
прямые АС и ВС минимально. Чему
равно это расстояние?
3100. От данного угла двумя пря­
мыми разрезами длиной 1 отрежьте
многоугольник наибольшего возмож­
ного периметра.
3101. В четырехугольнике ABCD
известно, что D O = 4, ВС = 5, /- A B D =
= 45°, где О — точка пересечения ди­
агоналей. Найдите ВО, если известно,
что площадь четырехугольника АВС£>
равна I (АБ • CD + ВС •A D ).
3102. Диагональ АС делит площадь
выпуклого четырехугольника ABCD
на две равные части. Докажите, что ес­
ли А Б > A D , то ВС < DC.
3103. На плоскости даны прямая in
две точки P n Q , лежащие по одну сто­
рону от нее. Найдите на прямой I та­
203
кую точку М , для которой расстояние
между основаниями высот треуголь­
ника P Q M , опущенных на стороны
Р М и Q M , наименьшее.
3104. Среди всех четырехугольни­
ков с данными диагоналями и данным
углом между ними найдите четырех­
угольник наименьшего периметра.
3105. Среди всех треугольников
ABC с данным углом С и стороной АВ
найдите треугольник с наибольшим
возможным периметром.
3106. От данного угла отрезком
данной длины отрежьте треугольник
наибольшего возможного периметра.
3107. Середины соседних сторон
выпуклого многоугольника соедине­
ны отрезками. Докажите, что пери­
метр многоугольника, образованного
этими отрезками, не меньше полови­
ны периметра исходного многоуголь­
ника.
3108. Докажите, что если треуголь­
ник не тупоугольный, то сумма трех
его медиан не меньше, чем учетверен­
ный радиус описанного круга.
3109. Пусть точка С — середина ду­
ги А В некоторой окружности, а D —
любая другая точка этой дуги. Дока­
жите, что АС + ВС > A D + B D.
3110. Докажите, что в любом тре­
угольнике имеет место неравенство
R > 2 г {R VL г — радиусы описанной и
вписанной окружностей), причем ра­
венство имеет место только для пра­
вильного треугольника.
3111. Через данную точку проведи­
те прямую, отсекающую от данного уг­
ла треугольник наименьшего возмож­
ного периметра.
3112. Докажите, что в любом тре­
угольнике большей стороне соответст­
вует меньшая биссектриса.
3113. Впишите в данный остро­
угольный треугольник ABC треуголь­
ник наименьшего периметра.
Раздел 2
КОНКУРСНЫЕ ЗАДАЧИ
3114. Впишите окружность в дан­
ный ромб.
3115. В прямоугольнике ABCD от­
резки А В и B D равны соответственно 2
и /У? (рис. 120). Точка М делит отре­
зок CD в отношении 1 : 2 , считая от
точки
— середина A D . Что боль­
ше: В К и л и А М ?
с, к
3116. В равнобедренном треуголь­
нике AB C основание АС равно 2^/7 , бо­
ковая сторона равна 8 . Точка К делит
высоту B D треугольника в отношении
2 : 3, считая от точки В. Что больше:
CJi: или АС?
3117. Плопладь треугольника АБС
равна S, /- ВАС = а, Z ВСА = у. Найди­
те АВ.
3118. Пятиугольник A B C D E впи­
сан в окружность. Известно, что
B D W A E к А САЕ = 2 Z СЕА, Z CBD —/- CDB = а. Найдите отношение пе­
риметра треугольника А С Е к радиусу
описанной около него окружности.
3119. В прямоугольном треуголь­
нике AB C из вершины А прямого угла
опуш;ена высота A fJ на гипотенузу ВС.
Известно, что АС = 5, Н С = 3. Найдите
плош;адь треугольника ABC.
3120. Основание АС равнобедрен­
ного треугольника ABC является хор­
дой окружности. Эта окружность ка­
сается прямых А В и ВС в точках А и С
соответственно. Известно, что Z ABC =
= 120°, АС = а. Найдите плош;адь той
части треугольника, которая лежит в
круге, ограниченном данной окруж­
ностью.
3121. На высоте СЕ, опуш;енной из
вершины С прямоугольного треуголь­
ника AB C на гипотенузу АВ , как на
диаметре построена окружность, кото­
рая пересекает катет ВС в точке К .
Найдите площ;адь треугольника В К Е ,
если катет ВС равен а и Z ВАС = а.
3122. Около трапеции АВС£) с осно­
ваниями A D и ВС описана окружность
радиуса 5. Центр описанной окруж­
ности леж ит на основании AD . Основа­
ние ВС равно 6 . Найдите диагональ АС
данной трапеции.
3123. В треугольнике ABC угол
ВАС — прямой, стороны А В и ВС рав­
ны соответственно 4 и 8 . Биссектриса
угла AB C пересекает сторону АС в точ­
ке I/, G — точка пересечения медиан
треугольника ABC. Что больше: B L
или CG7
3124. В прямоугольном треуголь­
нике ABC с равными катетами АС и БС
на стороне АС как на диаметре постро­
ена окружность, пересекаюплая сторо­
ну А В в точке М . Найдите расстояние
от вершины Б до центра этой окруж­
ности, если В М =
.
205
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3125. Дан треугольник ABC, в кото­
ром угол В равен 30°, А В = 4, ВС = 6 .
Биссектриса угла В пересекает сторо­
ну АС в точке £). Найдите площадь тре­
угольника A B D ,
3126. Точка С леж ит на стороне МЛ^
ромба K L M N , причем C N = 2СМ и
угол M N K равен 120°. Найдите отно­
шение косинусов углов C K N и C L M .
3127. В равнобедренном прямо­
угольном треугольнике радиус впи­
санной окружности равен 2. Найдите
расстояние от вершины острого угла
до точки, в которой вписанная окруж­
ность касается противолежащего это­
му углу катета.
3128. Пусть О — центр правильно­
го треугольника АБС, сторона которо­
го равна 10. Точка К делит медиану
В М треугольника ВОС в отношении
3 : 1 , считая от точки В. Что больше:
длина В О или длина ВК7
3129. На сторонах A D и DC парал­
лелограмма ABC.D взяты соответствен­
но точки К и М так, что D K : К А =
= 2 : 1, а D M : М С = 1 : 1 . Найдите от­
ношение площади треугольника D K M
к площади четырехугольника B C D K .
3130. Дан треугольник ABC, в кото­
ром А В = 6 , ВС = 7, АС = 5. Биссектри­
са угла С пересекает сторону А В в точ­
ке D. Найдите площадь треугольника
ADC.
3131. В прямоугольном треуголь­
нике AB C с прямым углом А биссект­
риса угла В пересекает сторону АС в
точке £). Известно, чтоА В = 6 , Б С = 10.
Найдите площадь треугольника DBC.
3132. В прямоугольный треуголь­
ник вписана окружность. Один из ка­
тетов делится точкой касания на от­
резки длиной 6 и 1 0 , считая от верши­
ны прямого угла. Найдите площадь
треугольника.
3133. На высоте CD, опущенной из
вершины С прямоугольного треуголь­
ника ЛВ С на гипотенузу А В , как на
диаметре построена окружность, кото­
рая пересекает катет А С в точке Е , а
катет ВС — в точке F (рис. 121). Най­
дите
площадь
четырехугольника
C FD E , если катет АС равен Ь, а катет
ВС равен а.
Рис. 121
3134. Диагональ B D четырехуголь­
ника A B C D является диаметром ок­
ружности, описанной около этого че­
тырехугольника. Вычислите диаго­
наль АС, если B D = 2, А В = 1,
Z ABD : Z BDC = 4 : 3 .
3135. Диагональ АС четырехуголь­
ника A B C D является диаметром ок­
ружности, описанной около этого че­
тырехугольника. Вычислите диаго­
наль B D, если АС = 4, CD = 2 ^ 2 ,
Z ВАС : Z CAD = 2 : 3 .
3136. В прямоугольный треуголь­
ник ЛВ С вписан квадрат так, что две
его вершины лежат на гипотенузе АВ,
а две другие — на катетах. Радиус кру­
га, описанного около треугольника
ABC, относится к стороне квадрата,
как 13 : 6 . Найдите углы треуголь­
ника.
3137. В окружность радиуса 3-1-2.^
вписан правильный шестиугольник
A B C D E K . Найдите радиус круга, впи­
санного в треугольник BCD.
3138. Средняя линия равнобедрен­
ной трапеции равна 10. Известно, что
в трапецию можно вписать окруж­
ность. Средняя линия трапеции делит
ее на две части, отношение площадей
гг
которых равно — . Найдите высоту
1 о
трапеции.
3139. В круге с центром О проведе­
на хорда А В . Вычислите площадь по­
206
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
лучившегося сегмента, если Z А О В =
= а, а радиус круга равен г.
3140. Пусть jEFGH — выпуклый че­
тырехугольник, а К , L , М , N — сере­
дины отрезков соответственно E F , FG,
G H , НЕ', О — точка пересечения от­
резков К М и L N . Известно, что
Z. L O M = 90°, К М — 3 L M , а площадь
четырехугольника K L M N равна S.
Найдите диагонали четырехугольни­
ка
3141. В треугольнике ABC угол
В — прямой, медианы A D и B E взаим­
но перпендикулярны. Найдите вели­
чину угла С.
3142. В прямоугольном треуголь­
нике ABC расположен прямоугольник
A D K M так, что его сторона A D лежит
на катете А В , сторона A M — на катете
AC, а вершина К — на гипотенузе ВС.
Катет А В равен 5, а катет АС равен 12.
Найдите стороны прямоугольника
A D K M , если его площадь равна ^ , а
О
диагональ меньше 8 .
3143. В треугольнике P Q R сторона
P R равна 3, сторона QR равна 4, а угол
при вершине Q равен 45°. Найдите
площадь треугольника, если расстоя­
ние от вершины Q до прямой P R мень­
ше, чем 2 JZ .
3144. В треугольнике AB C проведе­
на биссектриса CD, при этом углы ADC
и CDB относятся, как 7 : 5 . Найдите
A D , если известно, что ВС = 1, а угол
ВАС равен 30°.
3145. В треугольнике AB C угол
АСВ — прямой,
CD — биссектриса,
угол BDC равен 75°. Найдите B D , если
известно, что АС = J s .
3146. Диагонали равнобедренной
трапеции перпендикулярны. Найдите
высоту трапеции, если ее площадь рав­
на 25.
3147. Диагонали АС и B D выпукло­
го четырехугольника ABCZ), площадь
которого равна 28, пересекаются в точ­
ке О. Найдите площади треугольников
АО В , в о е , COD и DOA, если известно.
что площадь треугольника АО В в
2 раза больше площади треугольника
COD, а площадь треугольника ВОС в
18 раз больше площади треугольника
DOA.
3148. Точка D лежит на стороне АВ
треугольника ABC, точки Е и F — на
стороне ВС этого треугольника, а точ­
ка Р — на стороне АС. Отрезок A D со­
ставляет две трети стороны А В , отре­
зок B F составляет три пятых стороны
ВС, отрезок B E составляет одну пятую
стороны ВС, а точка Р делит сторону
АС пополам. Найдите отношение пло­
щади четырехугольника D E F P к пло­
щади треугольника ABC.
3149. А , В, С, D — последователь­
ные
вершины
параллелограмма
(AD II ВС). Точка Е лежит на стороне
АВ, причем отрезок А Е составляет ^
6
этой стороны. Точка F лежит на сторо­
не ВС, причем отрезок B F составляет
I этой стороны. На стороне A D лежит
точка Р , причем отрезок А Р составля­
ет I этой стороны. Найдите отношеО
ние площади треугольника E F P к пло­
щади параллелограмма.
3150. Точка D лежит на стороне АС
прямоугольного треугольника ABC
(Z С = 90°), причем А В = 6 , Z B DC =
= arccos -1- , A D = J6 . Найдите пло-
Л
щадь треугольника ABC.
3151. В треугольнике ABC извест­
ны стороны; А В = 3, ВС = 6 , cos А В =
= i , A D — биссектриса. Найдите ра­
диус R окружности, описанной около
треугольника A B D . Выясните, что
больше: R или 1,65.
3152. Сторона А В треугольника
ABC равна 24. Около треугольника
описана окружность радиуса 13. Най­
дите стороны АС и ВС треугольника,
если известно, что радиус ОС окруж­
ности делит сторону А В на два равных
отрезка.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3153. Площ адь трапеции A B C D с
основаниями A D и ВС (A D > ВС) равна
128, а площадь треугольника БОС, где
О — точка пересечения диагоналей
трапеции, равна 2. Найдите площадь
треугольника A O D .
3154. В треугольнике P Q R со сторо­
ной PQ == 3 из вершины Р к стороне QB
проведены медиана Р М = л/14 и высо­
та P H = л/б . Найдите сторону P R , если
известно, что
Q PR + Z. PR Q < 90°.
3155. Прямая, параллельная сто­
роне L M треугольника K L M , пересе­
кает сторону K L в токе А , а сторону
К М — в точке В. Площадь трапеции
A L M B в три раза меньше площади тре­
угольника АВ^Г. Найдите M B : М К .
3156. В треугольнике BCD извест­
но, что ВС = 3, CD = 5. Из вершины С
проведен отрезок С М (М е B D ), при­
чем Z В С М = 45° и Z M C D = 60°.
а) В каком отношении точка М де­
лит сторону BD1
б) Найдите отрезки В М и M D .
3157. В параллелограмме AB CD
точки Р и Q лежат соответственно на
сторонах ВС и CD, М — точка пересе­
чения прямых А Р и BQ, причем A M =
= З М Р , M Q = З В М . Найдите отноше­
ние В Р : PC.
3158. В окружность радиуса 6 с
центром в точке О вписан четырех­
угольник A B C D . Его диагонали АС и
B D взаимно перпендикулярны и пере­
секаются в точке К (рис. 122). Точки Е
и F являются соответственно середи­
нами АС и B D . Отрезок О К равен 5, а
207
площадь четырехугольника O E K F
равна 12. Найдите площадь четырех­
угольника АБС£>.
3159. Даны две непересекающиеся
окружности радиусов R и 2R. К ним
проведены общие касательные, кото­
рые пересекаются в точке А отрезка,
соединяющего центры окружностей.
Расстояние между центрами окруж­
ностей равно 2r JS . Найдите площадь
фигуры, ограниченной отрезками ка­
сательных, заключенными между
точками касания и большими дугами
окружностей, соединяющими точки
касания.
3160. Через вершины В и С тре­
угольника АБ С проведена окруж­
ность, которая пересекает сторону АВ
в точке К и сторону АС в точке Е.
Найдите А Е , зная, что А К = К В = а,
А
= а, Z СВЕ = р.
3161. Дан угол в 120° с вершиной С.
Вне угла, на продолжении его биссект­
век
рисы, взята точка О так, что ОС = — .
Л
С центром в точке О построена окруж­
ность радиуса 1. Найдите площадь фи­
гуры, ограниченной сторонами угла и
дугой окружности, заключенной меж­
ду ними.
3162. Внутри прямого угла с вер­
шиной С, на его биссектрисе, взята
точка О так, что ОС = -У2 . С центром в
точке О построена окружность ради­
уса 2. Найдите площадь фигуры, огра­
ниченной сторонами угла и дугой ок­
ружности, заключенной между ними.
3163. В параллелограмме PQRS
угол при вершине Q равен 1 1 0 °, а бис­
сектриса угла при вершине Р пересе­
кает сторону R S в точке L . Найдите ра­
диус окружности, касающейся отрез­
ка PQ и лучей QR и P L , если известно,
что PQ = 9.
3164. На плоскости даны две ок­
ружности радиусов 8 и 6 с центрами в
точках S i и S 2 , касающиеся некоторой
прямой в точках А^ nAg и леж ащ ие по
208
ПЛАНИМ ЕТРИ Я
одну сторону от этой прямой. Извест­
3169. В треугольнике ABC косинус
но, что S 1 S 2 - А 1 А 2 = л/З : 1. Найдите
S 1 S2 .
3165. На плоскости даны две ок­
ружности радиусов 5 и 2 с центрами в
точках S i и S 2 , касающиеся некоторой
прямой в точках и Ag и лежащие по
угла БАС равен i ,А В = 2, АС = 3. Точ-
вестно, что А 1 А 2 : S 1 S 2 = л/2 : 2. Най­
ка D леж ит на продолжении стороны
А С так, что С находится между А и D ,
CD = 3. Найдите отношение радиуса
окружности, описанной около тре­
угольника АБС, к радиусу окружнос­
ти, вписанной в треугольник АБ£).
3170. В треугольнике АБС косинус
дите А 1А 2 .
углаА С Б равен | , АС = 3, ВС = 9. Точ-
разные стороны от этой прямой. И з­
О
3166. В прямоугольнике A B C D ди­
агонали пересекаются в точке О, сто­
рона А Б равна 1, а угол ОАВ равен 60°.
Найдите площадь общей части кругов,
описанных около треугольников Л О В
иВ О С .
3167. Дан треугольник ABC. И з­
вестно, что А В = 4, АС == 2 и ВС = 3.
Биссектриса угла ВАС пересекает сто­
рону ВС в точке К . Прямая, проходя­
щая через точку В параллельно АС, пе­
ресекает продолжение биссектрисы
А К в точке М . Найдите К М .
3168. Дан квадрат A B C D , сторона
которого равна а, и построены две ок­
ружности. Первая окружность цели­
ком расположена внутри квадрата
A B CD , касается стороны А Б в точке Е,
а также касается стороны ВС и диаго­
нали А С . Вторая окружность имеет
центром точку А и проходит через точ­
ку Е (рис. 123). Найдите площадь об­
щей части двух кругов, ограниченных
этими окружностями.
ка D леж ит на стороне ВС так, что
CD = 3. Найдите отношение площади
круга, описанного около треугольни­
ка АС£>, к площади круга, вписанного
в треугольник A B D .
3171. В треугольнике АБ С на сторо­
нах А Б и ВС выбраны соответственно
точки A i и Cj так, что А^Б ; А Б = 1 : 2
и B C i : ВС = 1 : 4 . Через точки А^, Б и
C l проведена окружность. Через точку
А^ проведена прямая, пересекающая
отрезок ВС^ в точке D , а окружность —
в точке Е . Найдите площадь треугольникаА^С^Е, если БС^ = 6 , B D = 2, D E =
= 3, а площадь треугольника АБС рав­
на 32.
3172. ЧетырехугольникАВС£)вписан в окружность. Продолжение сто­
роны А Б за точку Б пересекается с про­
должением стороны DC за точку С в
точке Е . Найдите угол B AD, если А Б =
= 2, Б£) = 2 л/б , С£» = 5, Б £ : £С = 4 : 3.
3173. В выпуклом четырехуголь­
нике K L M N точки Е , F , G, Н — сере­
дины сторон соответственно K L , L M ,
M N , N K . Площадь четырехугольника
E F G H равна Q, А H E F = 30°, Z E F H =
= 90°. Найдите диагонали четырех­
угольника K L M N .
3174. В окружности проведены
хорды А Б иАС , причемАБ = 2, АС = 1,
Z САБ = 120°. Найдите длину той хор­
ды окружности, которая делит угол
САБ пополам.
3175. В прямоугольнике ABCD
сторона А£> равна 2. На продолжении
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
стороны A D за точку А взята точка Е,
причем Е А = 1, Z ВЕС = 30°. Найдите
DE.
3176. В трапеции A B C D
BAD =
= 90°, А A D C = 30°. Окружность,
центр которой леж ит на отрезке AD ,
касается прямых А В , ВС и CD. Найди­
те площадь трапеции, если известно,
что радиус окружности равен R.
3177. В выпуклом четырехуголь­
нике A B C D биссектриса угла B A D пе­
ресекает сторону ВС в точке М , а бис­
сектриса угла AB C пересекает сторону
A D в т о ч к е т а к , что В М = М С , 2AN =
= N D и A M перпендикулярно B N .
Найдите стороны и площадь четырех­
угольника A B C D , если его периметр
равен 14, а Z B A D = 60°.
3178. В равнобедренном треуголь­
нике K L M (K L = L M ) угол K L M равен
ф. Найдите отношение радиусов впи­
санной и описанной окружностей тре­
угольника K L M .
3179. Четырехугольник A B C D та­
ков, что в него можно вписать и около
него можно описать окружности. Раз­
ность сторон A D и ВС равна разности
длин сторон А В и CD. Докажите, что
диагональ А С — диаметр описанной
окружности,
3180. На боковой стороне A D трапе­
ции A B C D взята такая точка М , что
A M ; D M = 3 : 2 . На противоположной
стороне ВС взята такая точка N , что
отрезок M N делит трапецию на части,
одна из которых по площади вдвое
больше другой. Найдите отношение
C N : B N , если А В : CD = 3 : 2.
3181. На стороне А В треугольника
AB C взята точка D , а на стороне АС —
точка Е так, что отрезок А Е равен от­
резку B D и равен 2. Прямые B E и CD
пересекаются в точке О. Найдите пло­
щадь треугольника ВОС, если каждая
из сторон А В и ВС равна 5, а сторона
АС равна 6 .
3182. На продолжении стороны А В
за точку В треугольника AB C отложен
отрезок A D так, что A D : А В = а. На
209
продолжении медианы B E отложен
отрезок E F так, что E F : B E = )3. Най­
дите отношение площадей треуголь­
ников B D F и ABC.
3183. В треугольнике ABC проведе­
ны биссектрисы D B и А Е . Найдите от­
ношение площадей треугольников ABC
и B D E , если А В = 5 ,В С = 8 , АС = 7.
3184. Точка D леж ит на стороне АВ
равнобедренного треугольника ABC
(АВ = СВ), причем A D = \ а В ,А ВАС =
(R
= arccos ^ , CD = 7. Найдите площадь
7б
треугольника ABC.
3185. Диагонали четырехугольни­
ка PQ R S, вписанного в окружность,
пересекаются в точке D . На прямой P R
взята точка А , причем /L SAD = 50°,
Z P Q S = 70°,
RQS = 60°. Где распо­
ложена точка А : на диагонали P R или
на ее продолжении? Ответ обоснуйте.
3186. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E диагонали АС и A D являются
биссектрисами углов при вершинах С
и D соответственно, А В = 25°, /- Е =
= 155°, а площадь пятиугольника
A B C D E равна 12. Найдите площадь
треугольника A C D .
3187. В выпуклом пятиугольнике
A B C D E диагонали АС и ЕС являются
биссектрисами углов при вершинах А
и Е соответственно, А В = 125°, A D =
= 55°, а площадь пятиугольника
A B C D E равна 14. Найдите площадь
треугольника А С Е .
3188. В ромб, одна из диагоналей
которого равна 2 0 , вписан круг ради­
уса 6 . Вычислите площадь части ром­
ба, расположенной вне круга. Будет
л и эта площадь больше 36? (Ответ обо­
сновать.)
3189. В треугольнике M N P угол
N — прямой, M N = 6 , N P = 3. Точка JS"
лежит на стороне М Р , А п В — точки
пересечения медиан соответственно в
треугольниках M N K и K N P . Найдите
площадь треугольника N A B .
210
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3190.
Четырехугольник АВС£) впи­а и углом при основании а. Кроме то­
сан в окружность с центром в точке О.
го, построена вторая окружность, ка­
Радиус А О перпендикулярен радиусу
сающаяся первой окружности и осно­
ОВ, а радиус ОС перпендикулярен ра­
вания треугольника, причем точка ка­
диусу OD (рис. 124). Перпендикуляр,
сания является серединой основания.
опущенный из точки С на прямую AD ,
Найдите радиус второй окружности.
равен 9; ВС в два раза меньше AD . Най­
Если решение не единственное, рас­
дите площадь треугольника ЛОБ.
смотрите все случаи.
3196. В прямоугольном треуголь­
нике с катетами 3 и 4 проведена высота
CD из вершины С прямого угла. Най­
дите расстояние между центрами ок­
ружностей, вписанных в треугольни­
ки AC.D и БС-D.
3197. В треугольнике ABC на сторо­
не ВС взята точка Р , а на стороне АС
взята точка М . Отрезки А Р и В М пере­
секаются в точке О. Известно, что тре­
Р и с . 124
угольники В О Р , А О М и ВОА подобны.
В М = 1, косинус угла ABC равен 0,6.
3191. В треугольнике A B C с пери­
Найдите площадь треугольника ABC.
метром 2р острый угол А Б С равен а и
3198. В треугольник ABC со сторо­
АС = а. В треугольник вписана окруж­
ной ВС, равной 11, вписана окруж­
ность с центром в точке О. Найдите
ность, касающаяся стороны А В в точке
площадь треугольника АОС.
D . Известно, что АС = CD и косинус уг­
3192. В окружность радиуса 10
ла ВАС равен ~ . Найдите сторону АС.
вписан четырехугольник, диагонали
6
которого перпендикулярны и равны
3199. В треугольнике PQ-R на сторо­
12 и 10л/3 . Найдите стороны четырех­
не P R взята точка S так, что отрезок
P S в три раза больше отрезка SR, а
угольника.
сумма углов Q PR и QRP равна углу
3193. В параллелограмме A B CD
PSQ . Найдите периметр треугольника
сторона A D равна 6 . Биссектриса угла
PQ S, если сторона P R равна 8 , а косиA D C пересекает прямую А В в точке Е.
QQ
В треугольник A D E вписана окруж­
нус угла PQ R равен —— .
ность, касающаяся стороны А Е в точ­
3200. В прямоугольном треуголь­
ке i f и стороны A D в точке Т; К Т = 3.
Найдите угол BAD.
нике AB C биссектриса B E прямого
угла В делится центром О вписанной
3194. Окружность с центром в точ­
окружности в отношении ВО : ОЕ =
ке О проходит через вершины А и В
треугольника А-ВС и пересекает сторо­
= V3 : л/2 . Найдите острые углы тре­
ну АС в точке М и сторону ВС в точке
угольника.
N . У глы А О М и B O N равны 60°. Рас­
3201. На сторону ВС ромба AB CD
стояния от точки N до прямой А В рав­
опущена высота D E . Диагональ АС
но 5 л/З . Длина отрезка M N в четыре
ромба пересекает высоту D E в точке F
раза меньше длины отрезка АВ . Най­
так, что D F : F E = 5. Найдите сторону
ромба, если известно, что А Е = 5.
дите площадь треугольника ABC.
3195. В окружность вписан равно­
3202. На сторону ВС ромба ABCD
бедренный треугольник с основанием
опущена высота D K . Диагональ АС пе­
211
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ресекает высоту D K в точке М так, что
D M : М К = 13 : 7. Найдите D K , если
известно, что А К = 1 7 .
3203. В прямоугольном треуголь­
нике ABC (zl С = 90°) проведены высо­
та CD и медиана СЕ. Площади тре­
угольников АС£) и ЕСВ равны соответ­
ственно 4 и 10. Найдите АВ.
3204. В треугольнике ABC биссект­
риса А Е относится к радиусу вписан­
ной окружности, как Л ' Л Л - 1 ).
Найдите углы В и С, если известно, что
угол А равен ^ .
О
3205. В прямоугольном треуголь­
нике AB C из вершины прямого угла С
проведены биссектриса CL = а и меди­
ана С М = Ъ. Найдите площадь тре­
угольника A B C .
3206. В треугольник со сторонами
А В = 8 , ВС = 6 , АС = 4 вписана окруж­
ность. Найдите отрезок D E , где D и
Е — точки касания этой окружности
со сторонами А В и АС соответственно.
3207. Вне
прямоугольного
тре­
угольника AB C на его катетах АС и ВС
построены квадраты A C D E и BCFG
(рис. 125). Продолжение высоты СН
1 : 4, а угол между ними равен 60°. Че­
му равен больший из отрезков, соеди­
няющих середины противоположных
сторон четырехугольника ABCJD, если
меньший равен 7 ^ ?
3209. Около треугольника ABC опи­
сана окружность. Продолжение бис­
сектрисы A D треугольника ABC пере­
секает эту окружность в точке Е , при­
чем А Е — диаметр данной окружнос­
ти. Найдите отношение отрезков ЕС и
А В , если косинус угла ABC равен i .
О
3210. Около треугольникаАВС опи­
сана окружность. Продолжение бис­
сектрисы В М треугольника ABC пере­
секает эту окружность в точке N , при­
чем B N — диаметр данной окружнос­
ти. Найдите отношение отрезков ВС и
A N , если косинус углаА С В равен i .
5
3211. В треугольнике ABC сторона
А В = 24,
ВАС = 60°, радиус описан­
ной окружности равен 13. Найдите
сторону АС.
3212. Точки К n L расположены на
стороне ВС треугольника ABC так, что
В К : К С = l : 3 u B L : L C = 1 :2 . Точки
М и N расположены на стороне АС
этого же треугольника, причем A M =
M N = N C. Найдите отношение площа­
ди четырехугольника K L P Q к площа­
ди треугольника ABC, если P n Q явля­
ются точками пересечения прямой B N
с прямыми M L и А К соответственно.
3213. В трапеции ABCD даны осно­
вания A D = 12 и ВС = 3. На продолже­
нии стороны ВС выбрана такая точка
М , что прямая A M отсекает от трапе­
ции треугольник, площадь которого
составляет три четверти площади тра­
пеции. Найдите С М .
3214. В трапеции A B C D даны осно­
вания A D = 16 и ВС = 9. На продолже­
треугольника ABC пересекает прямую
нии ВС выбрана такая точка М , что
D F в точке К . Найдите Н К , если кате­
С М = 3,2. В каком отношении прямая
ты равны 2 и 3.
A M делит площадь трапеции ABCJD?
3208.
В четырехугольнике A B CD 3215. Прямая СЕ пересекает сторо­
диагонали АС и B D относятся, как
ну А В треугольника ABC в точке Е , а
212
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
прямая B D пересекает сторону АС в
точке D . Прямые СЕ и B D пересекают­
ся в точке О. Площади треугольников
В О Е , в о е , COD равны соответственно
15, 30, 24. Найдите угол D O E , если из­
вестно, что ОЕ = 4, O D = 4^3 , а угол
В О Е — острый.
3216. В треугольнике ABC сторона
ВС равна 2, высота, опущенная из вер­
шины С на сторону А В , равна J2 , а ра­
диус окружности, описанной около
треугольника АБС, равен
. Найди­
те стороны А В и АС треугольника, ес­
ли известно, что угол ABC — острый.
3217. В треугольнике ABC сторона
А В равна 5, угол ABC равен 60°, а ради­
ус окружности, описанной около дан­
ного треугольника, равен
. НайдиО
те стороныАС и ВС треугольника ABC.
3218. В треугольник K L M вписана
окружность, которая касается сторо­
ны К М в точке А . Найдите отрезок A L ,
если известно, что отрезок А К равен
10, отрезок A M равен 4, а угол K L M
равен 60°.
3219. Окружности радиусов 3 и 2
касаются друг друга внешним обра­
зом. К этим окружностям проведены
общие касательные А В и CD таким об­
разом, что точки А и D принадлежат
окружности большего радиуса, а точ­
ки В и С принадлежат окружности
меньшего радиуса. Найдите радиус
окружности, касающейся отрезков
АВ , ВС и CD.
3220. Касательная, проведенная че­
рез вершину М вписанного в окруж­
ность треугольника K L M , пересекает
продолжение стороны K L за вершину
L в точке N . Известно, что радиус ок­
ружности равен 2, К М = J s
MNK +
+
K M L = 4zl L K M . Найдите каса­
тельную M N .
3221. Известно, что радиус окруж­
ности, описанной около треугольника
АБ С, равен стороне А В этого треуголь­
ника. Найдите высоту треугольника
АБС, проведенную из точки С, если
она меньше i , а две другие стороны
треугольника равны
и 2.
3222. В треугольнике ABC угол С
равен 120°, а биссектриса угла С равна
3. Длины сторон АС и СВ относятся,
как 3 : 2 соответственно. Найдите тан­
генс угла А и сторону ВС.
3223. Четырехугольник ABCD впи­
сан в окружность. Продолжение сторо­
ны А В за точку В пересекается с продол­
жением стороны CD в точке Е. Найдите
угол A D E , если CD = 2ВЕ, А В : ЕС =
п
= 7 : 2 и косинус угла EA D равен - .
8
3224. В трапеции AB CD боковая
сторона A D перпендикулярна основа­
ниям и равна 9. Основание CD равно
12, а отрезок АО, где О — точка пересе­
чения диагоналей трапеции, равен 6 .
Найдите площадь треугольника ВОС.
3225. Медиана A M и высота СН
равнобедренного треугольника ABC
(АВ = ВС) пересекаются в точке К .
Найдите площадь треугольника ABC,
е с л и С К = 5 ,К Н = 1 .
3226. В окружность вписан четы­
рехугольник M N P Q , диагонали кото­
рого взаимно перпендикулярны и пере­
секаются в точке F (рис. 126). Прямая,
проходящая через точку F и середину
стороны M N , пересекает сторону PQ в
точке Н . Докажите, что F H — высота
треугольника PFQ , и найдите ее длину,
если M N = 4, M Q = 7 и M P Q = а.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3227. Медиана A D и биссектриса
СЕ прямоугольного треугольника ABC
{/ -В = 90°) пересекаются в точке М .
Найдите площадь треугольника ABC,
если С М = 8 , M E = 5.
3228. Из вершины В равнобедрен­
ного треугольника A B C на его основа­
ние АС опущена высота B D. Каждая
боковая сторона А В и ВС треугольника
ABC равна 8 . В треугольнике B CD про­
ведена медиана D E . В треугольник
B D E вписана окружность, касающая­
ся стороны B E в точке К и стороны D E
в точке М . Известно, что К М = 2. Най­
дите угол ВАС.
3229. Окружность радиуса 3, впи­
санная в треугольник ABC, касается
стороны ВС в точке D . Окружность ра­
диуса 4 касается продолжения сторон
А В и АС и касается стороны ВС в точке
Е . Найдите E D , если Z, ВСА = 120°.
3230. В треугольнике ABC располо­
жены три окружности равных ради­
усов так, что каждая из окружностей
касается двух сторон треугольника.
Одна из этих окружностей (с центром
О 2 ) касается двух других (с центрами
O i и О 3 соответственно) и Z. O^OgOg =
= 120°. Установите, что больше: пло­
щадь круга, ограниченного окружно­
стью с центром O i, или шестая часть
площади треугольника ABC.
3231. Первая из двух окружностей
проходит через центр второй и пересе­
кает ее в точках А и В. Касательная к
первой окружности, проходящая через
точку А , делит вторую окружность в от­
ношении m : п ( т < п). В каком отноше­
нии вторая окружность делит первую?
3232. Две окружности с центрами
Oj и О 2 пересекаются в точках А п В.
Первая окружность проходит через
центр второй и ее хорда B D пересекает
вторую окружность в точке С и делит
дугу АС В в отношении АС : СВ = га. В
каком отношении точка D делит дугу
ADB1
213
3233. Радиус окружности, вписан­
ной в равнобедренный треугольник, в
4 раза меньше радиуса окружности,
описанной вокруг него. Найдите углы
треугольника.
3234. В равнобедренный треуголь­
ник с основанием а и углом при осно­
вании а вписана окружность. Кроме
того, построена вторая окружность,
касающаяся основания, одной из бо­
ковых сторон треугольника и вписан­
ной в него первой окружности. Найди­
те радиус второй окружности.
3235. В равнобедренную трапецию
A B C D вписана окружность, касаю­
щаяся нижнего основания A D в точке
Е . Верхнее основание ВС равно а,
Z. B AD = 60°. Вторая окружность, це­
ликом расположенная внутри трапе­
ции, касается внешним образом пер­
вой (вписанной) окружности в точке
К , касается основания A D в точке М и
боковой стороны DC. Найдите пло­
щадь фигуры К Е М , ограниченной
меньшей из дуг К Е , меньшей из дуг
М К и отрезков Е М .
3236. В треугольнике ABC биссект­
риса А Н делит медиану B E в отноше­
нии В К : К Е = 2, а угол АСВ равен 30°.
Найдите отношение площади тре­
угольника ВСЕ к площади описанного
около этого треугольника круга.
3237. В треугольнике ABC высота
В Н делит сторону АС в отношении
А Н : Н С ==4, а уго л Н В С вдвое меньше
угла ВАС. Биссектриса А Е угла ВАС
пересекается с В Н в точке М . Найдите
отношение площади треугольника
А В М к площади описанного около это­
го треугольника круга.
3238. Точки А , В, С делят стороны
выпуклого четырехугольника K L M N
в отношении А К : A L = В М : B L =
= С М : C N = 1 : 2 . Площадь K L M N
равна 9^3 , А В = ВС = 2 72 . Каков ра­
диус описанной окружности тре­
угольника A B C , если известно, что
АОАВ?
214
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3239. Площадь треугольника ABC
равна 2л/3 , сторона ВС равна 1, угол
ВАС равен 60°. Точка D стороны АВ
удалена от точки В на расстояние, рав­
ной 3, М — точка пересечения CD с ме­
дианой B E .
Найдите отношение
В М : M E.
3240. Точка D леж ит на стороне ВС
треугольника ABC, а точка О располо­
жена на отрезке A D так, что А О : 0 D =
= 9 : 4 . Прямая, проходящая через
вершину В и точку О, пересекает сто­
рону АС в точке Е , причем В О : ОЕ =
5 : 6 . Найдите отношение, в котором
точка £ делит сторону АС.
3241. В трапеции АВС£) углы А и D
при основании A D соответственно рав­
ны 60° и 90°. Точка 7Vлежит на основа­
нии ВС, причем B N : ВС = 2 : 3 . Точка
М леж ит на основании AD , прямая
M N параллельна боковой стороне А В и
делит площадь трапеции пополам.
Найдите А В : ВС.
3242. Основание
AD
трапеции
AB C D (A D II ВС, A D > ВС) является
диаметром окружности, которая каса­
ется прямой CD в точке D и пересекает
сторону А В в точке L так, что А В =
= 4 л/ЗA L . Радиус окружности равен R,
Z. CAD = 45°. Найдите площадь трапе­
ции.
3243. В параллелограмме A B CD
биссектриса угла А пересекает сторону
ВС в точке К , а биссектриса угла С пе­
ресекает сторону A D в точке N . П ло ­
щадь четырехугольника, образован­
ного пересечением биссектрис А К и
C N с отрезками B N и K D , равна 4.
Найдите площадь параллелограмма
A B C D , если ВС = ЗАВ.
3244. В окружность радиуса 5 впи­
сан четырехугольник ABCD, у которо­
го угол D прямой, А В : ВС = 3 : 4. Най­
дите
периметр
четырехугольника
AB CD , если его площадь равна 44.
3245. П устьА , B ,C ,D — последова­
тельные вершины квадрата, а точка О
расположена внутри квадрата. И з­
вестно, что ОС = O D = J lO и ОБ =
=
. Найдите площадь квадрата.
3246. В правильном треугольнике
ABC со стороной а точки D n E — сере­
дины сторон АВ и ВС соответственно.
Точка F лежит на отрезке DB . Точка К
лежит на стороне АС. Отргзки F K и DE
пересекаются в точке М . Найдите дли­
ну отрезка F M , если известно, что
D M : M E = 2 ; 3, а площадь четырех­
угольника
М ЕСК
составляет
п
- площади треугольника ABC.
5
3247. В остроугольном треугольни­
ке АБС проведены высоты С Н и АН^.
Известно, что АС = 2, площадь круга,
описанного
около
треугольника
Н ВН ^, равна ^ . Найдите угол между
О
высотой С Н и стороной ВС.
3248. Боковые стороны А В и CD
трапеции A B C D пересекаются в точке
К . Вокруг треугольника В С К описана
окружность, а касательная к этой ок­
ружности, проведенная в точке К , пере­
секает прямую A D в точке L (рис. 127).
Известно, что L K = а, A D = Ъ. Найдите
A L , если ВС < A D .
3249. В трапеции M N P Q даны ос­
нования M Q = 4, N P = 2 и углы M u Q
при основании, равные соответствен­
но arctg 5 и arctg i . Найдите радиус
окружности, касающийся диагоналей
М Р и N Q трапеции и основания M Q .
3250. В четырехугольнике ABCD,
вписанном в окружность, диагонали
АС и B D перпендикулярны и пересека­
ются в точке Q. Отрезок, соединяю­
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
щий вершину С серединой отрезка AD ,
равен 3. Расстояние от точки Q до от­
резка ВС равно 1, сторона A D равна 2.
Найдите AQ.
3251. В окружность радиуса R впи­
сан четырехугольник K L M N , Q —
точка пересечения его диагоналей,
K L = M N . Высота, опущенная из точ­
ки L на сторону K N , равна 6 , K N +
+ L M = 24, а площадь треугольника
L M Q равна 2. Найдите стороны четы­
рехугольника и радиус окружности R.
3252. В прямоугольном треуголь­
нике ABC точки D u Е лежат соответ­
ственно на катетах ВС и АС так, что
CD = СЕ = 1. Точка О есть точка пере­
сечения отрезков A D и B E . Площадь
треугольника А О Е меньше площади
треугольника B O D на | . Кроме того.
Cl
известно, что B E =
. Найдите пло­
щадь треугольника ABC.
3253. В прямоугольном треуголь­
нике AB C точки D u Е лежат соответ­
ственно на катетах ВС и АС так, что
CD = СЕ = 1. Точка О есть точка пере­
сечения отрезков A D и B E . Площадь
треугольника B O D больше площади
треугольника А О Е на - . Кроме того.
Cl
известно, что А В = 5. Найдите катеты
треугольника А В С.
3254. В трапеции K L M N известны
боковые стороны K L = 27, M N = 28,
верхнее основание L M
=
5 и
cos Z. L M N = - | . Найдите диагональ
КМ.
3255. В треугольнике ABC точка
О — центр описанной окружности, точ­
ка L леж ит на отрезке А В и A L = LB.
Описанная около треугольника A L O
окружность пересекает АС в точке К .
Найдите площадь треугольника ABC,
если
LO A = 45°, L K = - S , A K = 7 .
3256. В треугольнике ABC извест­
но, ч т о А В = 10, ВС = 12,АС = 8 . На сто­
роне А В взята точка К так, что
215
А К : К В = 2 : 3, а на стороне ВС — точ­
ка М так, что В М : М С = 2 : 1 . На от­
резке К М взята точка О так, что
К О : О М = 4 : 5 . Площадь какого из
треугольников АВ О , ВСО и АСО явля­
ется наименьшей?
3257. Точки Р и Q на стороне ВС
треугольника ABC выбраны так, что
В Р : P Q : QC = | : 1 : 1. Точка R на
продолжении стороны А В этого тре­
угольника выбрана так, что В принад­
леж ит отрезку A R и А В : B R = 1 : 2 .
Найдите отношение площади четы­
рехугольника PQ S R к площади тре­
угольника ABC, если S и Т являются
точками пересечения прямых AQ и А Р
с прямой CR соответственно.
3258. В трапеции ABCJD отрезки АВ
и CD являются основаниями. Диаго­
нали трапеции пересекаются в точке
К . Найдите площадь треугольника
A K D , если А В = 27, DC = 18, A D = 3,
ВС = 6 ^ 2 .
3259. В треугольнике ABC на сторо­
не АС взята точка К так, что А К = 1,
RC = 3, а на стороне А В взята точка L
так, чтоA L : L B = 2 : 3 . Пусть Q — точ­
ка пересечения прямых В К и CL. П ло­
щадь треугольника AQ C равна 1. Най­
дите высоту треугольника ABC, опу­
щенную из вершины В.
3260. Дана трапеция P Q R N с осно­
ваниями P N = 8 и QR = 4, боковой сто­
роной PQ =
и углом R N P , равным
60°. Через точку R проходит прямая,
делящая трапецию на две равновели­
кие фигуры. Найдите отрезок этой пря­
мой, находящейся внутри трапеции.
3261. В треугольнике ABC из вер­
шины А проведена прямая, пересе­
кающая сторону ВС в точке D , лежа­
щей между точками В и С, причем
B D : ВС = а (а < 1). Через точку D про­
ведена прямая, параллельная стороне
А В и пересекающая сторонуАС в точке
Е . Найдите отношение площадей тре­
угольников A B D и ECD.
216
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3262. Выпуклый четырехугольни­
ка ABCJ9 вписан в окружность. Сторо­
на А В равна стороне ВС, а угол ADC ра­
вен 60°. Диагональ ЛС = 7. Диагонали
АС и B D пересекаются в точке Р . Пло. щади треугольников A D P и С В Р отно­
сятся, как 3 : 1 . Найдите все стороны
четырехугольника ABCD.
3263. В треугольнике ЛВС точка М
делит сторону ВС пополам, а точка К
леж ит на стороне АС, причем отрезок
А К в 4 раза меньше стороныАС. Отрез­
ки A M и В К пересекаются в точке О.
Отрезок A/Vf равен 5, отрезок В К равен
10. Найдите отрезок М К , если угол
АО В равен 135°.
3264. В трапеции A B C D основание
A D равно 16, сумма боковой стороны
А В и диагонали B D равна 40, угол CBD
равен 60°. Отношение площадей тре­
угольников АВ О и в о е , где О — точка
пересечения диагоналей, равно 2 .
Найдите площадь трапеции.
3265. В прямоугольном треуголь­
нике ABC угол С — прямой, а угол А
равен 30°. Высота СС^, опущенная из
вершины прямого угла на гипотенузу
А В , равна 5 J2 . Из точки С] проведены
биссектрисы углов СС^А и СС^В, пере­
секающие стороныЛС и ВС в точках В^
и A j соответственно. Найдите длину
отрезка А^В^. Укажите ее приближен­
ное значение в виде десятичной дроби
с точностью до 0 ,0 1 .
3266. В окружность с центром О
вписана трапеция ABCD , в которой АВ
параллельна DC, А В = 5, DC = 1,
Z, ABC = 60°. Точка К леж ит на отрез­
ке АВ , причем А К ”= 2. Прямая С К пе­
ресекает окружность в точке F , отлич­
ной от С. Найдите площадь треуголь­
ника OFC.
3267. В окружность с центром О
вписана трапеция K L M N , в которой
K N параллельна L M , K N = 6 , L M = 4,
z:! K L M — 135°. Точка А леж ит на от­
резке K N , причем А К = 4. Найдите
расстояние от точки О до прямой B N .
3268. Отрезок А В является диа­
метром некоторой окружности. Через
его концы проведены две прямые, пе­
ресекающие окружность в точках С и
D , леж ащ их по одну сторону от пря­
мой АВ. Точка О, в которой пересека­
ются эти прямые, равноудалена от
концов диаметра АВ . Найдите радиус
окружности, если CD = 1 и
OCD =
= 60°.
3269. В треугольнике ABC угол
ВАС равен 30°. Через вершины А и С
проведены перпендикуляры к сторо­
нам ВС и А В соответственно. Точка пе­
ресечения этих перпендикуляров на­
ходится от вершин А и С на расстоя­
нии, равном 1. Найдите стороны тре­
угольника ABC.
3270. В окружности проведены хор­
ды K L , M N , P S . Хорды K L и P S пере­
секаются в точке С, хорды K L и M N
пересекаются в точке А , а хорды M N и
P S пересекаются в точке В, причем
A L = C K ,A M = M N , B A = 5, ВС - 4.
Найдите радиус окружности, если
ВАС = 5 .
4
3271. Диаметр M N п хорда PQ ок­
ружности пересекаются в точке R,
причем M N перпендикулярен PQ . Ка­
сательные к окружности в точках N и
Р пересекаются в точке L. Отрезки M L
и P R пересекаются в точке S. Найдите
диаметр окружности, если площадь
треугольника P L S равна 2 и M R = 1.
3272. Точка F леж ит на продол­
жении стороны ВС параллелограмма
A B C D за точку С. Отрезок A F пересе­
кает диагональ B D в точке Е , а сторону
CD — в точке G. Известно, что А Е = 2
и G F = 3. Найдите отношение площа­
дей треугольников В АЕ и ED G .
3273. Окружность, вписанная в
равнобедренный треугольник K L M ,
касается основания К М в точке N и бо­
ковой стороны K L в точке Р . Точка Q —
середина стороны K L , а точка R —
точка пересечения окружности и от­
резка Q N , отличная от N . Касательная
к окружности, проходящая через точ­
217
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ку R, пересекает сторону K L в точке Т.
Найдите угол L M K , если известно, что
Q T :T P = 3 :2 .
3274. В равнобедренном треуголь­
нике ABC равные стороны А В и СВ
продолжены за точку В и на этих про­
должениях взяты соответственно точ­
ки £) и £ . Отрезки А Е , E D и DC равны
между собой, а Z, B E D Ф Z, B D E . Най­
дите угол А В Е .
3275. В треугольнике K L M прове­
дена биссектриса К Р . Окружность,
вписанная в треугольник K L P , касает­
ся стороны K L в точке Q, причем LQ =
= а. На сторонах K L и L M выбраны
точки Е и R соответственно так, что
прямая E R проходит через центр ок­
ружности, вписанной в треугольник
K L M (рис. 128). Найдите длину бис­
сектрисы К Р , если известно, что E L +
+ L R = Ь, а отношение площадей тре­
угольников K L P и E L R равно а.
3278. В четырехугольник ABCD
можно вписать окружность. Пусть
К — точка пересечения его диагона­
лей. Известно, что А В > ВС > В К , В К =
= -/14 +
2
, cos Z в е к =
6
^ , апери-
метр треугольника ВКС равен 2 j l 4 +
+ 6 . Найдите DC.
3279. В треугольнике P Q L проведе­
на средняя линия А В , соединяющая
стороны PQ и QL. Сторона P L равна
^
, а синус угла P L Q равен i . ОкружО
ность, проведенная через точки А , В и
L, касается стороны PQ . Найдите ее
радиус.
3280. Вокруг треугольника K L M , у
которого K L = L M , L N — высота, опи­
сана окружность радиуса 10. Найдите
L N , если L N = ^ K M .
3281. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = 4,
ВАС = 60°, радиус
описанной окружности равен 2
.
Найдите среднюю линию, параллель­
ную стороне АС, и расстояние между
точками, в которых прямая, содержа­
щая эту среднюю линию, пересекает
описанную окружность.
Р и с . 128
3282. Через вершины А и В тре­
угольника ABC проведена окруж­
3276.
В четырехугольнике A B C D
ность, пересекающая стороны АС и ВС
сторона A D равна 6 , сторона CD равна
в точках D и Е соответственно. П ло­
5, косинус угла AD C равен | , синус угщадь треугольника CDE в 11 раз
меньше площади четырехугольника
ла ВСА равен | . Найдите сторону ВС,
A B E D . Найдите А В и радиус окруж­
ности, если D E = 1 и Z С = 30°.
если известно, что окружность, опи­
3283. В треугольнике ABC точка
санная около треугольника ABC, про­
О — центр описанной окружности,
ходит также и через точку D .
точка L лежит на отрезке А В и A L =
В четырехугольник A B C D
= L B . Описанная около треугольника
можно вписать окружность. Пусть
A L O окружность пересекает АС в точ­
К — точка пересечения его диагона­
ке К . Найдите площадь треугольника
лей. Известно, что В С > А В > В К , К С =
ABC, если Z. LO A = 45. L K = S , A K = 7.
= -У? - 1, cos
КВС =
^ , а пери­
3284. В прямоугольном треуголь­
нике ABC из вершины прямого угла С
метр треугольника ВЯ'С равен 2 л/7 + 4.
проведена медиана CD. В треугольник
AC D вписана окружность, а около тре­
Найдите DC.
218
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
угольника BCD описана окружность.
Найдите расстояние между центрами
этих окружностей, если ВС = 3, а ради­
ус описанной около треугольника ABC
окружности равен - .
2
3285. Дан ромб A B CD . Радиусы ок­
ружностей, описанных около тре­
угольников A B D и A C D , равны 3 и 4.
Найдите расстояние между центрами
этих окружностей.
3286. Сторона ромба ABCD равна 4.
Расстояние между центрами окруж­
ностей, описанных около треугольни­
ков A C D и A B D , равно 3. Найдите ра­
диусы этих окружностей.
3287. Дан ромб ABCD. Радиусы ок­
ружностей, описанных около тре­
угольников ABC и BCD, равны 1 и 2.
Найдите расстояние между центрами
этих окружностей.
3288. Окружность касается сто­
рон АС и ВС треугольника AB C в точ­
ках А и В соответственно. На дуге
этой окруж ности, леж ащ ей внутри
треугольника, расположена точка К
так, что расстояния от нее до сторон
А С и ВС равны 6 и 24 соответственно.
Найдите расстояние от точки К до
стороны АВ .
3289. В треугольнике ABC на сторо­
нах А В и АС расположены точки С и £
соответственно так, что CD — биссект­
риса треугольника ABC, D E — бис­
сектриса треугольника A C D , ЕС =
= E D = ~ , ВС = 1. Найдите CD и плоУ
щадь треугольника ABC.
3290. Около окружности описаны
ромб со стороной 3 и треугольник, две
стороны которого параллельны диаго­
налям ромба, а третья параллельна од­
ной из сторон ромба и равна 7. Найди­
те радиус окружности.
3291. В треугольнике ABC с пери­
метром 2р острый угол ВАС равен а.
Окружность с центром в точке О каса­
ется стороны ВС и продолжения сто­
рон А В и А С в точках К и L соответ­
ственно. Точка D леж ит внутри отрез­
ка А К , A D = а. Найдите площадь тре­
угольника D O K .
3292. Две окружности внутренне
касаются. Прямая, проходящая через
центр меньшей окружности, пересе­
кает большую окружность в точках А
и D, а меньшую — в точках В и С. Най­
дите отношение радиусов окружнос­
тей, если А В : ВС : CD = 2 : 4 : 3 .
3293. В прямоугольном треуголь­
нике ABC угол С — прямой, АС : А В =
= 3 : 5 . Окружность с центром на про­
должении катета АС за точку С касает­
ся продолжения гипотенузы А В заточ­
ку В и пересекает катет ВС в точке Р
так, что В Р : PC = 1 : 4 . Найдите отно­
шение радиуса окружности к катету
ВС.
3294. Около окружности описана
равнобедренная
трапеция
ABCD.
Меньшее основание ВС касается ок­
ружности в точке М , боковая сторона
CD — в точке N . Высота СЕ пересекает
отрезок M N в точке Р так, что
М Р : P N = 2.
Найдите
отношение
A D -.B C .
3295. Около треугольника ABC
описана окружность. Пусть A D и
B E — параллельные хорды. Известно,
что отрезки ВС и A D пересекаются,
^ EC D = a n Z . ВАС = 2Z. ABC. Найдите
отношение периметра треугольника
ABC к радиусу вписанной в него ок­
ружности.
3296. В равнобедренном треуголь­
нике М Р К с основанием Р М угол Р ра­
вен arctg
. Окружность, вписанная
в угол к , касается стороны К Р в точке
А и отсекает от основания отрезок Н Е .
Известно, что центр окружности уда1S
лен от вершины К на расстояние — и
с
А Р = 2 . Найдите площадь треугольниО
каЯАЕ.
3297. Б прямоугольном треуголь­
нике ABC угол С — прямой, а сторона
СА = 4. На катете ВС взята точка D так.
219
ПЛАНИМЕТРИЯ
что CD = 1. Окружность радиуса ^
проходит через точки С и £) и касается
в точке С окружности, описанной око­
ло треугольника ABC. Найдите пло­
щадь треугольника ABC.
3298. Дан треугольник ABC, у кото­
рого стороны А В = V I ? , ВС = 5, АС = 4.
На стороне А С взята точка D так, что
B D является высотой треугольника
ABC. Найдите радиус окружности,
проходящей через точки А и D и ка­
сающейся в точке D окружности, опи­
санной около треугольника BCD.
3299. В окружности радиусаR =
проведены хорда M N и диаметр М Р .
В точке N проведена касательная к ок­
ружности, которая пересекает продол­
жение диаметра М Р в точке Q под у г­
лом 60°. Найдите медиану QD тре­
угольника M Q N .
3300. Точка О делит отрезок А В на
отрезки длиной О А = 6 и ОБ = 4. С
центром в точке О проведена окруж­
ность, из А и В к ней проведены каса­
тельные, пересекающиеся в точке М ,
причем точки касания лежат по одну
сторону от прямой АВ . Найдите ради­
ус окружности, если О М = 1 2 .
3301. Окружность с центром в точ­
ке пересечения диагоналей К М и L N
равнобедренной трапеции K L M N ка­
сается меньшего основания L M и бо­
ковой стороны M N . Найдите периметр
трапеции K L M N , если известно, что ее
высота равна 36, а радиус окружности
равен 1 1 .
3302. Основание К М равнобедрен­
ного треугольника
является хор­
дой окружности, центр которой лежит
вне треугольника K L M . Прямые, про­
ходящие через точку L , касаются ок­
ружности в точках P n Q . Найдите пло­
щадь треугольника P L Q , если K L =
= LM =
K L M = 2 arcsin 4 = • а
JTo
радиус окружности равен 1 .
3303. Окружность, построенная на
стороне АС треугольника ABC как на
диаметре, проходит через середину
стороны ВС и пересекает в точке D
продолжение стороны А В за точку А
о
так, что A D = - АВ . Найдите площадь
О
треугольника ABC, если АС = 1.
3304. Квадрат A B C D и окружность
расположены так, что окружность ка­
сается прямой B D в точке D , а центр
окружности лежит по ту же сторону от
прямой B D , что и точка А (рис. 129).
Касательные к окружности, проведен­
ные из точки С, образуют угол 60°.
Найдите отношение площади квадра­
та к площади круга, ограниченного
данной окружностью.
Р и с . 129
3305. В равнобедренном треуголь­
нике ЛВС с основанием АС точка D де­
лит сторону ВС в отношении 3 : 1 , счи­
тая от вершины В, а точка Е —■середи­
на отрезка AD . Известно, что B E =
,
СЕ = 3. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника ABC.
3306. На катете ВС прямоугольно­
го треугольника ABC как на диаметре
построена окружность, пересекающая
гипотенузу А В в точке Р . Хорда PQ
220
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
параллельна катету ВС. Прямая BQ
пересекает катет АС в точке D. Извест­
но, что АС = Ь, DC = d. Найдите ВС.
3307. Вершины В, С, D четырех­
угольника A B C D расположены на ок­
ружности с центром О. Эта окруж ­
ность пересекает сторону A D в точке Е,
а сторону А В — в точке F . Известно,
что хорды B F, F E и E D равны, а также
равны между собой хорды ВС и CD.
Найдите угол ОВС, если известно, что
угол D A B — прямой.
3308. Высота прямоугольного тре­
угольника, проведенная к гипотенузе,
делит биссектрису одного из острых
углов на отрезки, отношение которых
равно 3 + 2 -Уз, считая от вершины.
Найдите острые углы треугольника.
3309. В треугольнике K L M прове­
дены биссектрисы L E и K F углов K L M
и L K M соответственно, которые пере­
секаются в точке О. Известно, что
K L = L E , периметр треугольника
равен 34, LO = 50Е . Найдите M L .
3310. A M — биссектриса треуголь­
ника ABC, В М = 2, С М = 3, £) — точка
пересечения продолжения A M с ок­
ружностью, описанной около данного
треугольника, M D = 2. Найдите A S .
3311. Прямая, проходящая через
точку пересечения медиан треугольни­
ка ASC , пересекает стороны В А и ВС в
точк ахА 'и С' соответственно. При этом
В А '< В А = 4:,ВС = 2 ,В А '- В С = 4. Най­
дите ВА'.
3312. Через центр О вписанной в
треугольник АБС окружности прове­
дена прямая, параллельная стороне
ВС и пересекающая стороны А В и АС
соответственно в точках М и N . П ло ­
щадь треугольника ABC равна
,
отрезок ВС равен 2, а отрезок А О в че­
тыре раза больше радиуса вписанной в
треугольник ABC окружности. Найди­
те периметр треугольника AM iV.
3313. В окружности проведены
хорды АС и B D , пересекающиеся в
точке Е , причем касательная к окруж­
ности, проходящая через точку В, па­
раллельна АС. Известно, что Е А : DA =
= 3 : 4 и S{D C B) = 16. Найдите пло­
щадь треугольника ВСЕ.
3314. В окружности проведены
хорды АС и B D , пересекающиеся в
точке Е , причем касательная к окруж­
ности, проходящая через точку D , па­
раллельна АС. Известно, что ЕС : ВС =
= 2 : 3 и S (A D E ) = 12. Найдите пло­
щадь треугольника ADB.
3315. Площ адь треугольника ABC
равна 16. На сторонах А_В, ВС и АС это­
го треугольника взяты соответственно
точки Р , Q и R так, что прямая PQ па­
раллельна АС, а прямая B R проходит
через точку пересечения прямых PC и
AQ. Известно, что S — точка пересече­
ния P Q и B R и на отрезке B S взята точ­
ка Т так, что В Т : T S : S R = 1 : 2 : 5 .
Найдите площадь треугольника Р Т В .
3316. Площ адь трапеции ABCD
равна 23. Точка М на боковой стороне
А В выбрана так, что 2 М В = М А . Точка
N на боковой стороне CD выбрана так,
что 3 D N = CD. Точка L — пересечение
прямых D M и A N . Найдите площадь
треугольника AL£), если A D = ЗВС.
3317. В трапеции A B C D (рис. 130),
где Z. B AD = 45°, Z, CDA = 60°, основа­
ние A_D равно 15, основание ВС равно
13, перпендикуляр к стороне A S , вос­
ставленный из точки М , являющейся
Р и с . 130
серединой стороны А В , пересекается с
перпендикуляром к стороне CD, вос­
ставленным из точки N , являющейся
серединой стороны CD, в некоторой
точке L . Найдите отношение площади
треугольника M N L к площади трапе­
ции ABCD.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3318. ЧетырехугольникАВС£)вписан в окружность. Диагонали АС и B D
перпендикулярны и пересекаются в
точке
Известно, чтоА О = 5, Б С = 10,
В К = 6 . Найдите площадь четырех­
угольника ABCD.
3319. На сторонах угла АБС взяты
точки D и Е так, что точка D лежит
между А и В , точка Е леж ит между В и
С, а отрезки А Е и DC пересекаются в
точке N . Известно, что A D = СЕ,
B D : ВС = k. Найдите отношение
A N -.N E .
3320. В некоторый угол В вписаны
две непересекающиеся окружности.
Окружность большего радиуса касает­
ся сторон этого угла в точках А и С,
меньшего — в точках
и
(точки А,
A i и С, C l лежат на разных сторонах
угла В ). Прямая АС^ пересекает ок­
ружности большего и меньшего ради­
усов в точках Е и F соответственно.
Найдите отношение площадей тре­
угольников АВС^ иА ф С ^, еслиА^В = 2 ,
E F = 1, а отрезок А Е есть среднее ариф­
метическое отрезков B C i и E F .
3321. В окружности проведены
хорды АС и B D , пересекающиеся в
точке Е , причем касательная к окруж­
ности, проходящая через точку В , па­
раллельна АС. Известно, 410 Е А : D A =
= 3 : 4 и S (D C B ) = 16. Найдите пло­
щадь треугольника ВСЕ.
3322. В окружности проведены
хорды АС и B D , пересекающиеся в
точке £ , причем касательная к окруж­
ности, проходящая через точку D , па­
раллельна АС. Известно, что ЕС : ВС =
= 2 : 3 и S (A D E ) = 12. Найдите пло­
щадь треугольника А_ОБ.
3323. Диагонали вписанного в ок­
ружность четырехугольника A B C D
пересекаются в точке М , причем
Z БАС = ^ ,АС = 6 иАВ •
= АХ) •МБ.
Л^
Найдите площадь четырехугольника
AB CD .
221
3324. В треугольнике M L N сторона
N L равна 6 , Z N M L = arcsin ^ . Хорда
1 о
A D окружности, описанной около тре­
угольника M L N , пересекает отрезки
M N и M L в точках Б и С соответствен­
но. Известно, что Z N L M = /L М ВС ,
площадь четырехугольника N LC B
равна 9, а ВС = 3. Найдите высоту тре­
угольника A M D , опущенную из вер­
шины М , и его площадь.
3325. Через центр О вписанной в
треугольник АБ С окружности прове­
дена прямая, параллельная стороне
ВС и пересекающая стороны А Б и АС
соответственно в точках М niV. П ло­
щадь треугольника АБС равна J i b ,
ВС = 2, а отрезок А О в четыре раза
больше радиуса вписанной в треуголь­
ник АБ С окружности. Найдите пери­
метр треугольника АБС.
3326. Две окружности пересекают­
ся в точках А и Б. Через точку Б прове­
дена прямая, пересекающая окруж­
ности в точках С и £), лежащих по раз­
ные стороны от прямой АБ . Касатель­
ные к этим окружностям в точках С и
D пересекаются в точке Е . Найдите
A C, если А Б = 12, A D = 21, А Е = 35.
3327. Две окружности пересекают­
ся в точках А и Б. Через точку Б прове­
дена прямая, пересекающая окруж­
ности в точках С и £), леж ащ их по раз­
ные стороны от прямой А Б . Касатель­
ные к этим окружностям в точках С и
D пересекаются в точке Е . Найдите
AD , если А В = 15, АС = 20, А Е = 24.
3328. В трапеции АБ С-Dс боковыми
сторонами А Б = 8 и CD = 5 биссектриса
угла Б пересекает биссектрисы углов А
и С в точках М ж N соответственно, а
биссектриса угла D пересекает те же
две биссектрисы в точках L к К , при­
чем точка L леж ит на основании ВС.
а)
В каком отношении прямая М К
делит сторону А Б , а прямая L N — сто­
рону A_D?
222
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
б)
Найдите отношение K L : M N , ес­
точке М вписана в треугольник ABC и
ли L M : iiTiV = 4 ; 7.
касается стороны АС в точке К , а сто­
3329. На стороне ВС треугольника
роны ВС — в точке N (рис. 131). Рас­
ABC взята точка D такая, что Z CAD =
стояние от точки М до прямой K N рав­
= 2Z. В А Я . Радиусы окружностей,
но 3. Найдите угол А О В .
вписанных в треугольники A D C и
A D B , равны соответственно 3 и 2, а
расстояние между центрами этих ок­
ружностей равно л/М . Найдите AD .
3330. В треугольнике ABC угол В
равен arccos Щ . На стороне АС взята
точка К так, что АйГ = 1 2 , К С = 4. Най­
дите радиус окружности, проходящей
через вершину В , касающейся сторо­
ны ЛС в точке К и касающейся окруж­
ности, описанной около треугольника
ABC.
3331. в треугольнике ABC угол А
равен arccos
13
, сторона ВС равна 12.
На продолжении СВ за точку С взята
точка М так, что С М = 6 . Найдите ра­
диус окружности, проходящей через
вершину А , касающейся прямой ВС в
точке М и касающейся окружности,
описанной около треугольника ABC.
3332. В окружность вписан четы­
рехугольник M N P Q , диагонали кото­
рого взаимно перпендикулярны и пе­
ресекаются в точке F . Прямая, прохо­
дящая через точку F и середину сторо­
ны N P , пересекает сторону M Q в точке
Н . Докажите, что F H — высота тре­
угольника M F Q , и найдите ее длину,
если P Q = 6 , N F = 5 ,A M Q N - а.
3333. Через вершины А и С тре­
угольника ABC проведена окружность
К , центр которой лежит на окружнос­
ти, описанной около треугольника
ABC. Окружность К пересекает сторо­
ну А В в точке М . Найдите угол ВАС,
если A M : А В = 2 : 7 , / . ABC = arcsin | .
5
3334. На окружности радиуса 12 с
центром в точке О лежат точки А и В.
Прямые АС и ВС касаются этой окруж­
ности. Другая окружность с центром в
3335. Длина стороны ромба ABCD
равна 5. В этот ромб вписана окруж­
ность радиуса 2,4. Найдите расстояние
между точками, в которых эта окруж­
ность касается сторон А В и ВС, если
диагональ АС меньше диагонали BD.
3336. Два равных ромба ABCD
{АВ II CD, A D II СВ) и A P Q R (А Р ||QR,
A R II P Q ) имеют общую вершину А и
лежат в одной плоскости. Известно,
что Z B A D = Z P A R = сх < - . Точка R
леж ит внутри ромба ABCD и угол RAD
равен р. Стороны ВС и QR пересекают­
ся в точке К . Найдите величину угла
ВАК.
3337. Два равных равнобедренных
треугольника ABC и B D F (АС = ВС =
= D B = B F ) имеют общую вершину В и
лежат в одной плоскости так, что точ­
ки С и D находятся по разные стороны
от прямой АВ , а отрезки АС и D F пере­
секаются в точке К . В каком отноше­
нии прямая В К делит угол ABC, если
/ 1 D B F = a ,Z . C BF = Р < а?
3338. В трапеции A B C D диагональ
АС перпендикулярна боковой стороне
CD, а диагональ D B перпендикулярна
боковой стороне АВ . На продолжени­
ях боковых сторон А В и DC за меньшее
основание ВС отложены отрезки В М и
C N так, что получается новая трапе­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ция B M N C , подобная трапеции АВС£).
Найдите площадь трапеции ABCD, ес­
ли площадь трапеции A/VfiV£) равна Р ,
а сумма углов CAD и B D A равна 60°.
3339. В трапеции A B C D диагонали
АС и D B взаимно перпендикулярны,
Z A B D = Z A C D. На продолжениях бо­
ковых сторон А В и DC за большее осно­
вание A D отложены отрезки A/W и D N
так, что получается новая трапеция
M A D N , подобная трапеции ABCD.
Найдите площадь трапеции M B C N ,
если площадь трапеции A B C D равна
Р , а сумма углов при большем основа­
нии равна 150°.
3340. В трапеции A B C D основание
A D равно 4, основание ВС равно 3, сто­
роны А В и CD равны. Точки М и N ле­
жат на диагонали B D , причем точка М
расположена между точками В и N , а
отрезки A M и C N перпендикулярны
диагонали B D . Найдите C N, если
B M :D N = 2 :3 .
3341. На гипотенузе А В прямо­
угольного треугольника ABC выбраны
точки Р и Q так, что Z А С Р = Z PCQ =
= Z QCB. Найдите углы треугольника
AB C, если известно, что 4СР = 3 л/З CQ.
3342. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АС — основание) на стороне
ВС находятся точки D u E так, что D E =
= ЕС = 2. Найдите периметр треуголь­
ника ABC, если известно, что А Е = 5,
A D = ТЗЗ.
3343. В равнобедренном треуголь­
нике ABC (АВ = В С ) на высоте B D как
на диаметре построена окружность.
Через точки А и С к окружности прове­
дены касательные A M и C N , продол­
жения которых пересекаются в точке
О. Найдите отношение А В : АС, если
О М : АС = й и высота B D меньше осно­
вания АС.
3344. В равнобедренной трапеции
A B C D углы при основании A D равны
45°, диагональ АС является биссект­
рисой угла B AD. Биссектриса угла
BCD пересекает основание A D в точке
К , а отрезок В К пересекает диагональ
АС в точке Q. Найдите площадь тре­
223
угольника ABQ, если площадь трапе­
ции ABCD равна 3 + 2 J2 .
3345. В треугольнике ABC стороны
А В и ВС равны. Прямая, параллель­
ная основанию АС, пересекает сторону
А В в точке D , а сторону ВС — в точке
Е , причем каждый из отрезков AD , ЕС
и D E равен 2. Точка F — середина от­
резка АС и точка G — середина отрез­
ка £ С соединены отрезком прямой.
Известно, что Z GFC = р. Найдите пло­
щадь треугольника ABC.
3346. В равнобедренной трапеции
K L M N {M L параллельно N K ) каждая
из сторон K L , L M и M N равна 1. Сто­
рона L M — меньшее основание трапе­
ции. Т очкаР, середина основания
и точка Q, середина стороны M N , со­
единены отрезком прямой. Известно,
что Z Q P N = р. Найдите площадь тра­
пеции K L M N .
3347. В прямоугольной трапеции
PQ R S (Q R параллельна P S , P Q перпен­
дикулярна P S ) меньшее основание QR
равно 2, а боковая сторона RS равна 4.
Точка Т, середина стороны RS, соеди­
нена отрезком прямой с точкой Р. Из­
вестно, что Z T P S = р. Найдите пло­
щадь трапеции PQ R S .
3348. В плоскости даны квадрат с
последовательно расположенными вер­
шинами А , B ,C ,D v i точка О. Известно,
что ОА = ОС = 10, OD = 6 л/2 и что сто­
рона квадрата не превосходит 3. Най­
дите площадь квадрата. Где располо­
жена точка О: вне или внутри квадрата?
3349. В квадрат площадью 24 впи­
сан прямоугольник так, что на каждой
стороне квадрата леж ит одна вершина
прямоугольника.
Стороны прямо­
угольника относятся, как 1 : 3 . Най­
дите площадь прямоугольника.
3350. В треугольнике K L M сторона
K L равна 24, биссектриса LiV равна 24,
а отрезок M N равен 9. Найдите пери­
метр треугольника L M N .
3351. Четырехугольник AB CD с
взаимно перпендикулярными диаго­
налями АС и B D вписан в окружность.
Найдите ее радиус, если А В = 4, CD = 2.
224
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3352. В треугольнике ABC точка D
леж ит на стороне ВС, прямая A D пере­
секается с биссектрисой угла АСВ в
точке О. Известно, что точки С, D и О
лежат на окружности, центр которой
находится на стороне А С , АС : А В =
= 4 : 3, а угол ВАС в три раза больше
угла DAB. Найдите косинус угла АСВ.
3353. В треугольнике ABC точка D
леж ит на стороне ВС, а точка О — на
отрезке A D . Известно, что точки С, -D и
О лежат на окружности, центр кото­
рой находится на стороне АС, А С =
= 2 J 2 A B , угол DAC в два раза больше
угла B AD, а угол ОСА в два раза мень­
ше угла ОСВ. Найдите косинус угла
АСВ.
3354. В прямоугольнике АВС£) сто­
рона А В втрое меньше стороны ВС.
Внутри прямоугольника расположена
точка F , причем B F = J \ 1 , CF = J2 ,
D F = 1. Найдите косинус угла D C F и
площадь прямоугольника АВС£).
3355. В прямоугольнике ABCD сто­
рона ВС вдвое меньше стороны CD.
Внутри прямоугольника расположена
точка Е , причем А Е = J2 , СЕ = 3,
D E = 1. Найдите косинус угла CDE и
площадь прямоугольника ABCD.
3356. В параллелограмме AB CD
угол А — острый, А В > A D , А В = 14.
Точка Cj симметрична точке С относи­
тельно прямой B D , а точка Cg симмет­
рична точке Cj относительно прямой
АС и леж ит на продолжении диагона­
ли B D за точку D (рис. 132). Найдите
площадь параллелограмма AB CD , ес­
ли BCg = ^ BD.
^
3
3357. Среди треугольников AB C, у
которых радиус описанной окружнос­
ти равен 5, сторонаАС равна 6 , высота
В Н равна ^ , найдите угол ABC того
треугольника, медиана BD которого
наименьшая.
3358. В треугольнике ABC точка D
лежит на стороне ВС, а точка О — на
отрезке AD . Известно, что точки С, D и
О лежат на окружности, центр кото­
рой находится на стороне АС, 4ЛС =
= 3 л/2 А В , угол DAC в два раза больше
угла B AD, а угол ОСА в два раза мень­
ше угла ОСВ. Найдите косинус угла
ABC.
3359. В треугольнике A B C точка D
лежит на стороне ВС, причем прямая
A D пересекается с биссектрисой угла
АСВ в точке О. Известно, что точки С,
D v iO лежат на окружности, центр ко­
торой находится на стороне АС,
АС : А В = 4 : 3, а угол DAC в три раза
больше угла£)АВ. Найдите косинус уг­
ла ABC.
3360. Внутри треугольника ABC
выбрана точка О так, что радиусы опи­
санных около треугольников АОС и
А О В окружностей равны соответ­
ственно 7 и 4. Известно, что расстоя­
ние между центрами этих окружнос­
тей равно 9, А В = 5, АС = 8 . Найдите
ОС.
3361. в выпуклом четырехуголь­
нике M N P Q диагональ N Q является
биссектрисой угла P N M и пересекает­
ся с диагональю Р М в точке S. Найди­
те N S , если известно, что около четы­
рехугольника M N P Q можно описать
окружность, P Q = 12, SQ = 9.
3362. Через точку D основания А В
равнобедренного треугольника ASC
проведена прямая CD, пересекающая
описанную около треугольника ABC
окружность в точке £ . Найдите АС, если С£ = 3 и D E = DC.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3363. Около квадрата BEFC описа­
на окружность радиуса 2 V2 . Из точки
Р , лежащей на продолжении стороны
ВС так, что P C < Е Р и PC = л/28 - 2,
проведена секущая Р А , пересекающая
окружность в точках D u А . Известно,
что внешняя часть секущей P D равна
4 (P D = 4), а угол ВАС — тупой. Найди­
те угол В РА.
3364. В параллелограмме лежат
две окружности. Одна из них, радиуса
3, вписана в параллелограмм, а вторая
касается двух сторон параллелограм­
ма и первой окружности (рис. 133).
Расстояние между точками касания,
лежащими на одной стороне паралле­
лограмма, равно 3. Найдите площадь
параллелограмма.
3365. Диагональ М Р выпуклого че­
тырехугольника M N P Q , вписанного в
окружность, является биссектрисой
угла N M Q и пересекается с диаго­
налью N Q в точке Т . Найдите N P , если
М Т = 5 , Т Р = 4.
3366. Площ адь
прямоугольника
A B C D равна 48, а длина диагонали
равна 10. В плоскости прямоугольни­
ка AB C D выбрана точка О так, что
ОВ = O D = л/(Й . Найдите расстояние
от точки о до ближайшей к ней верши­
ны прямоугольника.
3367. О треугольнике K L M извест­
но, что Z L K M = р, Z L M K = Y. К М = а.
На стороне K L взята точка N так, что
K N = 2 N L. Через точки L к N проведе­
на окружность, касающаяся стороны
К М или ее продолжения за точку М .
Найдите радиус окружности.
8 С борннк задач по геометрии
225
3368. На стороне угла с вершиной О
взяты точки B k D (B между O u D ) так,
ч т о 20В = 3BD. Через точки B u D про­
ведена окружность, касающаяся дру­
гой стороны угла в точке А . Между
точками О к А взята точка F. Известно,
что O F = 1 ,^ D O F = а, Z D F O = р. Най­
дите радиус окружности.
3369. Биссектриса А Е угла А рассе­
кает четырехугольник ABCD на равно­
бедренный треугольник А В £ (АВ = B E )
и ромб AECZ). Радиус круга, описанно­
го около треугольника ECD, в 1,5 раза
больше радиуса круга, вписанного в
треугольник А В Е . Найдите отноше­
ние периметров этих треугольников.
3370. В круге проведены три хорды
А В , ВС и CD одинаковой длины. Хор­
ды А В и CD пересекаются в точке Е,
А В ЕС = 120°. Установите, что боль­
ше: шестая часть площади круга или
площадь треугольника ВЕС.
3371. В окружность вписана трапе­
ция ABCD. Диаметр, проведенный че­
рез вершину А , перпендикулярен бо­
ковой стороне CD. Через вершину С
проведен перпендикуляр к основанию
AD, пересекающий отрезок A D в точке
М , а окружность — в точке N так, что
С М : M N = 5 : 2 . Найдите угол при ос­
новании трапеции.
3372. Две окружности радиусов 1 и
Л пересекаются в точке А . Расстоя­
ние между центрами окружностей
равно 2. Хорда АС большей окружнос­
ти пересекает меньшую окружность в
точке В и делится этой точкой попо­
лам. Найдите эту хорду.
3373. Стороны А В и CD четырех­
угольника A B C D перпендикулярны и
являются диаметрами двух равных
касающихся окружностей радиуса г.
Площадь четырехугольника AB CD
равна тг^. Найдите длины сторон ВС и
AD.
3374. Около треугольника ABC
описана окружность. Диаметр A D не-
226
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
ресекает сторону ВС в точке Е, при
этом А Е = АС и B E : СЕ = т. Найдите
D E :А Е .
3375. В выпуклом четырехуголь­
нике AB CD заключены две окружнос­
ти одинакового радиуса г, касающие­
ся друг друга внешним образом. Центр
первой окружности находится на от­
резке, соединяющем вершинуЛ с сере­
диной F стороны CD, а центр второй
окружности находится на отрезке, со­
единяющем вершину С с серединой Е
стороны АВ. Первая окружность каса­
ется сторон А В , A D и CD, а вторая ок­
ружность касается сторон А В , ВС и
CD. Найдите АС.
3376. На диагонали АС выпуклого
четырехугольника A B C D находится
центр окружности радиуса г, касаю­
щейся сторон А В , A D и ВС. На диаго­
нали B D находится центр окружности
такого же радиуса г, касающейся сто­
рон ВС, CD и A D (рис. 134). Найдите
площадь четырехугольника ABCD,
зная, что указанные окружности каса­
ются друг друга внешним образом.
Р и с . 134
3377. Радиус вписанной в треуголь­
ник P Q R окружности равен 5, причем
R P = RQ. На прямой P Q взята точка А ,
удаленная от прямых P R и QR на рас­
стояния 12 и 2 соответственно. Найди­
те косинус угла AQ R .
3378. Около треугольника A M В
описана окружность, центр которой
удален от стороны A M на расстояние
10. Продолжение стороны A M за вер­
шину М отсекает от касательной к ок­
ружности, проведенной через верши­
ну В, отрезок СВ, равный 29. Найдите
площадь треугольника С М В , если из90
вестно, что угол АСБ равен acrtg ^ .
3379. Центр окружности радиуса 6 ,
касающейся сторон А В , ВС и CD рав­
нобедренной трапеции ABCD, лежит
на ее большем основании AD . Длина
основания ВС равна 4. Найдите рас­
стояние между точками, в которых ок­
ружность касается боковых сторон АВ
и CD этой трапеции.
3380. На боковых сторонах K L и
M N равнобедренной трапеции K L M N
выбраны соответственно точки Р к Q
так, что отрезок P Q параллелен осно­
ванию трапеции. Известно, что в каж­
дую из трапеций K P Q N и P L M Q мож­
но вписать окружность и радиусы этих
окружностей равны R и г соответ­
ственно. Найдите основания L M h K N .
3381. Точка О — центр окружнос­
ти, вписанной в равнобедренную тра­
пецию A B C D (ВС IIA D ). Прямая АО
пересекает отрезок CD в точке К . Най­
дите углы и площадь трапеции, если
АО = 5 ,0 К = 3.
3382. В остроугольном треугольни­
ке ABC проведены биссектриса A D и
медиана B E . Точки М и N являются
ортогональными проекциями на сто­
рону А В точек D и Е соответственно,
причем A M : M B = 9 : 1 , A N : N B =
= 2 : 3 . Найдите отношение A D : BE.
3383. В трапеции M A^PQ(MQ ЦN P )
угол N Q M в два раза меньше угла
M P N ; iVP = М Р = ^ , M Q = 12. Найди­
те площадь трапеции.
3384. В треугольнике K L M сторо­
ны K L и L M равны. Высота, проведен17
ная из вершины L , равна — , а сторона
К М равна 2^ . Сторона К М является
О
большим
основанием
трапеции
K N P M , причем точки L v i N лежат по
одну сторону от прямой К М . Извест­
но, что К М = K N , A N P M = 90°,
227
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
Z K N P = 150°. Найдите площадь об­
щей части треугольника K L M и трапе­
ции
3385. Через точку С проведены две
прямые, касающиеся заданной ок­
ружности в точках А и В. На большей
из дуг взята точка D , для которой
CD = 3 и sin Z A C D ■ sin Z B CD = | .
Найдите расстояние от точки D до хор­
ды АВ.
3386. Периметр
прямоугольного
треугольника ЛВС равен 90, причем
катет АС больше, чем 20. Окружность
радиуса 1 0 , центр которой лежит на
катете ВС, касается прямых А В и АС.
Найдите площадь треугольника ABC.
3387. Из точки Р проведены две ка­
сательные к окружности, диаметр M N
которой равен 24. Одна из них касает­
ся окружности в точке М , а вторая пе­
ресекает прямую M N в точке Q, при
этом длина отрезка М Р больше, чем
25. Найдите площадь треугольника
M P Q , если его периметр равен 486.
3388. Трапеция A B C D с большим
основанием A D вписана в окружность.
Точка Е к этой окружности выбрана
так, что прямая B E перпендикулярна
АС. Чему равен радиус окружности,
если Е А II B D , ЕС II А В и площадь тре­
угольника B CD равна
4
L до прямой К В равно с. Найдите рас­
стояние от точки М до прямой AiV.
3391. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника A B C D пересекаются в
точке Е , А В = ВС, D B — биссектриса
угла D , А ABC = 100°, Z Б £ А = 70°.
Найдите угол CAD.
3392. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. Через точку В прове­
дена прямая, пересекающая окруж­
ности в точках C v iD , лежащих по раз­
ные стороны от прямой АВ. Касатель­
ные к этим окружностям в точках С и
D пересекаются в точке Е . Найдите
АС, е с л и А В = 1 2 ,A D = 2 1 ,A E = 35.
3393. Дана окружность с диа­
метром PQ . Вторая окружность с цент­
ром в точке Q пересекает первую ок­
ружность в точках S и Г, а диаметр
P Q — в точке А (рис. 135); А В — диа­
метр второй окружности. На дуге SB,
не содержащей точки Т , взята точка С,
отличная от точек S к В. Отрезок PC
пересекает первую окружность в точ­
ке D. Известно, что S D = п, DC = т.
Найдите D T .
?
3389. На окружности радиуса J6
расположены пять различных точек,
которые являются вершинами трех
трапеций: K L M N (с большим основа­
нием K N ), K M N P (с основанием К М ),
L M N P (с основанием L P ). Найдите пло­
щадь треугольника K L M , если извест­
но, что диагонали трапеции K M N P пе­
ресекаются под прямым углом.
3390. В трапеции K L M N известно,
что L M II K N , Z L M N == 90°. Прямая,
перпендикулярная стороне K L , пере­
секает сторону K L в точке А , а сторону
M N — в точке В. Известно также, что
К В = а, A N = Ь, а расстояние от точки
3394.
Дан треугольник ABC. На
стороне ВС взята точка Р , а на стороне
АС взята точка М так, что А А Р В =
= Z В М А = - . Отрезки А Р и В М пере4
секаются в точке О. Известно, что пло­
щади треугольников В О Р и А О М рав­
ны между собой, ВС = 1, ВО = ^ . Най­
дите площадь треугольника ABC.
228
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3395. Через центр О окружности,
описанной вокруг остроугольного тре­
угольника AB C, проведена прямая,
перпендикулярная ВО и пересекаю­
щая отрезок А В в точке Р , и продолже­
ние отрезка ВС за точку С в точке Q.
Вычислите В Р , если известны стороны
треугольника: А В = с, ВС ==а, а BQ = р.
3396. В треугольнике ABC извест­
но, что Z ВАС = а, Z ABC = Р, ВС = а,
A D — высота. На стороне А В взята
точка Р так, что А Р : Р В = 1 : 2 . Через
точку Р проведена окружность, касаю­
щаяся стороны ВС в точке D . Найдите
радиус этой окружности.
3397. Окружность, проведенная че­
рез вершины В и С треугольника ABC,
пересекает сторону А В в точке D , а сто­
рону АС — в точке Е . Площадь круга,
ограниченного этой окружностью, в
1 2 раз меньше площади круга, описан­
ного около треугольника A D E . Отно­
шение площади треугольника A D E к
площади четырехугольника BDEC
равна I I . У го л D B E равен 60°. Найди­
те уголА О С .
3398. Основание
MQ
трапеции
M N P Q (M Q II N P , M Q > N P ) является
диаметром окружности, которая каса­
ется прямой M N в точке М и пересека­
ет сторону PQ в точке К так, что P Q =
= 4 -Уз K Q . Радиус окружности равен
R, Z N Q M = 60°. Найдите площадь
трапеции.
3399. Площ адь треугольника ABC
о
равна 1, Z А = arctg 2 , точка О — сере­
дина стороны АС. Окружность с цент­
ром в точке О касается стороны ВС и
пересекает сторону А В в точках М к N ,
при этом A M = N B . Найдите площадь
части треугольника AB C, заключен­
ной внутри круга.
3400. В треугольнике ABC биссект­
риса A D , высота B E и медиана CF пе­
ресекаются в точке О. Найдите ^ А , ес­
ли A F = -Уз O F и Z А > 60°.
3401. В прямоугольном треуголь­
нике A S C угол АСВ — прямой. Пусть
Е — точка пересечения биссектрисы
угла ABC со стороной АС. Точка D —
середина стороны A S , О — точка пере­
сечения отрезков B E и CD. Через точ­
ку О проведен перпендикуляр к ВО до
пересечения со стороной ВС в точке F.
Известно, 4 ToFC = Ь, ОС = ^ . Найдите
площадь треугольника ABC.
3402. В треугольнике P Q R меди­
ана, проведенная из вершины Q, равна
4
. Окружности с центрами в вер-
шинах Р VI R VI радиусами соответ­
ственно 5 и 1 касаются друг друга, а
вершина Q леж ит на прямой, касаю­
щейся каждой из окружностей. Най­
дите площадь S треугольника PQ/?, ес­
ли известно, что S < 7.
3403. Продолжения сторон K N и
LM
выпуклого четырехугольника
K L M N пересекаются в точке Р , а про­
должения сторон K L и M N — в точке
Q. Отрезок P Q перпендикулярен бис­
сектрисе угла K Q N . Найдите сторону
K L , если K Q = 12, N Q = 8 , а площадь
четырехугольника K L M N равна пло­
щади треугольника L Q M .
3404. В треугольнике ABC сторона
АС равна 3 -Уз , сторона ВС равна J l3 .
Т о ч к а м лежит на стороне АС, точка iV
лежит на стороне ВС, причем прямые
M N и А В параллельны. Отрезок М С в
два раза длиннее отрезка A M . Бис­
сектриса угла ВАС пересекает прямую
M N в точке К , лежащей между точка­
ми М и iV, причем радиус окружности,
описанной около треугольника А М К ,
равен Jd + 3^3 . Найдите сторону АВ.
3405. В треугольникеАВ С угол С —
тупой, а точка D выбрана на продол­
жении стороны А В за точку В так, что
A A C D = 135°. Точка
симметрична
точке D относительно прямой ВС, а
точка £ > 2 симметрична точке
отно­
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
229
3409. На плоскости дан прямой
угол. Окружность с центром, располо­
женным вне данного угла, касается
ка ABC, если 4ъ ВС = CZ> 2 и А С = 6 .
биссектрисы прямого угла, пересекает
3406.
Продолжения сторонАО и ВС
одну из его сторон в точках А и В и пе­
выпуклого четырехугольника AB CD
ресекает продолжение другой стороны
пересекаются в точке М , а продолже­
в точках С и D . Хорда А В равна J l ,
ния сторон А В и CD — в точке О
(рис. 136). Отрезок М О перпендику­
хорда CD равна 1. Найдите радиус ок­
лярен биссектрисе утл&АОО. Найдите
ружности.
отношение площадей треугольников
3410. На плоскости дан прямой
A O D и в о е , если ОА = 6 , O D = 4,
угол. Окружность с центром, располо­
С £ )= 1.
женным вне этого угла, касается про­
должения одной из его сторон, пересе­
М
кает другую сторону в точках А и В и
пересекает биссектрису этого угла в
сительно прямой А С и лежит на пря­
мой ВС. Найдите площадь треугольни­
точках С и / ) . Хорда А В равна 4 J 2 ,
хорда CD равна 2. Найдите радиус ок­
ружности.
3411. Диагонали четырехугольни­
ка A B CD , вписанного в окружность,
пересекаются в точке М . Пусть Р и Q —
центры окружностей, вписанных в
треугольники А В М и СD M , К и L — се­
редины дуг А В и CD. Докажите, что
PQ II K L .
3412. Дана окружность с диа­
Р и с . 136
метром L M . Вторая окружность с
центром в точке М пересекает первую
3407.
Две окружности пересекают­
окружность в точках N n Q , а диаметр
ся в точках К n L . И х центры располо­
L M — в точке В. ВС — диаметр второй
жены по одну сторону от прямой, со­
окружности. На дуге N C , не содержа­
держащей отрезок K L . Точки А и В ле ­
щей точки Q, взята точка D , отличная
жат на разных окружностях. Прямая,
от точек iV и С. Отрезок L D пересекает
содержащая отрезок А К , касается од­
первую окружность в точке Е . Извест­
ной окружности в точке К . Прямая,
но, что E N = п, E D = т. Найдите QE.
содержащая отрезок В К , касается дру­
3413. В остроугольном треугольни­
гой окружности также в точке К . И з­
ке ABC угол С равен 60°. На медианах
вестно, что A L = 3, B L = 6 , tg Z А К В =
В М и C N как на диаметрах построены
1
окружности, пересекающиеся в точках
. Найдите площадь треугольника
2
P v iQ . Хорда P Q пересекает сторону ВС
АКВ.
3408.
В треугольнике A B C угол Вв точке D такой, что B D : DC = -УЗ .
Найдите угол В.
равен 45°, угол С равен 60°. На медиа­
3414. В треугольнике ABC угол С —
нах В М и C N как на диаметрах постро­
тупой, D — точка пересечения прямой
ены окружности, пересекающиеся в
D B , перпендикулярной к АВ , и пря­
точках Р и Q. Хорда PQ пересекает
мой DC, перпендикулярной к АС. Вы­
среднюю линию M N в точке F. Найди­
сота треугольника ADC, проведенная
те отношение N F : F M .
230
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
из вершины С, пересекает А В в точке
М . Известно, что A M = с, M B = Ь. Най­
дите ЛС.
3415. В ромб ABCD вписана окруж­
ность. Прямая, касающаяся этой ок­
ружности в точке Р , пересекает сторо­
ны А В , ВС и продолжение стороны A D
соответственно в точках N , Q v i M так,
что M N : N P : P Q = 7 : 1 : 2 . Найдите
углы ромба.
3416. В треугольнике ЛВС угол С
равен 60°, а радиус круга, описанного
вокруг этого треугольника, равен
ветственно на сторонах СА, А В и ВС,
причем А^Б^ перпендикулярно АС.
Найдите угол ABC.
3422.
Равнобедренные треугольни­
ки ABC (АВ = В С) и A^B-^Ci (А ф ^ =
= B jC j) подобны и ВС : В^С^ = 4 : 3
(рис. 137). Вершина Б^ расположена
на стороне АС, вершины А^ и С^ — со­
ответственно на продолжениях сторо­
ны Б А за точку А и стороны СВ за точ­
ку В , причем A^Cj перпендикулярно
2 л/З . На стороне А В взята точка D так,
ВС. Найдите угол ABC.
шины А^, Б^ и С^ расположены соот­
что A D = 2DB и при этом CD = 2 J2 .
Найдите площадь треугольника ABC.
3417. Сторона А В параллелограм­
ма
ABCD
равна
Jb,
Z BAD =
= arccos
. Точки E v iF расположены
v5
на диагонали B D , причем Z А Е В =
= Z CFD = 90°, B F = ЗБ£, Найдите
площадь параллелограмма.
3418. Вершины К , Е , М прямо­
угольника К С Е М лежат соответствен­
но на сторонах АВ , CD, A D равнобед­
ренной трапеции A B C D (ВС ||A D ).
Найдите углы трапеции и отношение
площадей трапеции и прямоугольни­
ка, если A M = ЗВС, К М = 4ii:C.
3419. Вершины К , Н , Е прямо­
угольника К В Н Е лежат соответствен­
но на сторонах А В , CD, A D равнобед­
ренной трапеции A B C D (ВС ЦA D ).
Найдите углы трапеции и отношение
площадей трапеции и прямоугольни­
ка, если В Ц = 5КВ, ВС = - А Е .
О
3420. В равнобедренную трапецию
A B C D (ВС IIA D ) вписана окружность
радиуса R, касающаяся основания A D
в точке Р и пересекающая отрезок В Р
в точке Q такой, что P Q —3BQ. Найди­
те углы и площадь трапеции.
3421. Равнобедренные треугольни­
ки AB C (АВ = В С ) и Аф^С^ ( ^ 1 ^ 1 =
= Б^С^) подобны и А В : А^Б^ = 2. Вер­
3423. В треугольнике ABC перпен­
дикуляр, проходящий через середину
стороны А В , пересекает сторону АС в
точке М так, что М А : С М = 3. Перпен­
дикуляр, проходящий через середину
стороны АС, пересекает сторону А В в
точке N так, что A N : B N = 2. Найдите
углы треугольника ABC.
3424. На гипотенузе L M прямо­
угольного треугольника L K M лежит
точка N . На прямой L M взята точка Р
так, что точка М находится между
точками N к Р , а угол N K P — прямой.
Найдите
площадь
треугольника
N K M , если известно, что угол L K P ра­
вен ф, а площади треугольников L K M
и N K P равны о и fc соответственно.
3425. Точки К VI М расположены
соответственно на стороне ВС и высоте
В Р остроугольного треугольника АБС.
Найдите площадь равностороннего
треугольника А М К , если известно,
что А Р = 3, PC = Ц ^ , В К : КС = 1 0 :1 .
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3426. Средняя линия K L равносто­
роннего треугольника ABC является
также средней линией треугольника
D E F , у которого вершина D лежит на
отрезке АС, а вершина F — на продол­
жении стороны АС за точку С. П л о ­
щадь четырехугольника DJTLC составО
ляет - площади треугольника D E F .
О
Найдите угол E D F .
3427. Ромб A B C D и параллело­
грамм B C FE с углом BCF = 120° распо­
ложены так, что точка Е лежит на от­
резке A D , а точка F — на продолжении
стороны A D за точку D. Площ адь чео
тырехугольника B C D E составляет -
4
площади ромба. Найдите углы ромба.
3428. На окружности по разные
стороны от диаметра А Б расположены
точки С и Z). Известно, что А С = 4,
B D = 4% , а площадь треугольника ABC
вдвое больше площади треугольника
CBD. Найдите радиус окружности.
3429. Биссектрисы углов М к N
трапеции K L M N (L M ||K N ) пересе­
каются в точке Q. Найдите M N и L M ,
если Z. K N M = 2 arccos ^ , Q L = Js ,
Л
QK = v n , K N = 2LM .
3430. Биссектрисы углов К к N па­
раллелограмма K L M N пересекаются в
точке Q. Найдите площадь параллел
лограмма, если Z. К = 2 arcsin - , Q L =
3
= л/й , Q M = 2 л/б . (Найдите все реше­
ния.)
3431. Б выпуклом четырехугольн и к еА В С !) сторона А В равна | , длина
О
QQ
стороны ВС равна 1 9 ^ , сторона A D
40
равна 12^. Известно, что угол DAB —
О
231
центром в точке О касается сторон ВС,
CD VI A D . Найдите OD.
3432. В выпуклом четырехуголь­
нике K L M N отрезок M S , соединяю­
щий вершину М с точкой S, располо­
женной на стороне K N , пересекает ди­
агональ L N в точке О. Известно, что
K L : К М = 7 : 9 , SO : O N = 2 : 3 и
Z. K L M + Z. K M N = 180°. Найдите от­
ношение стороны M N к отрезку M S .
3433. Две окружности пересекают­
ся в точках А и В. И х центры располо­
жены по разные стороны от прямой,
содержащей отрезок АВ . Точки К и N
лежат на разных окружностях. Пря­
мая, содержащая отрезок АйГ, касает­
ся одной окружности в точке А . Пря­
мая, содержащая отрезок AJV, касает­
ся другой окружности также в точке
А . Известно, что А К =
, A N = 2,
/о
tg Z. K A N = ^ . Найдите площадь треугольника K B N .
3434. Через середины сторон B D и
CD треугольника BCD проведены пря­
мые, перпендикулярные этим сторо­
нам. Эти прямые пересекают высоту
D H треугольника или ее продолжение
в точках К к М . Известно, что D K = k,
D M = т. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника BCD.
3435. Через вершину М треуголь­
ника L M N проведена прямая, перпен­
дикулярная стороне L N . Эта прямая
пересекает в точках А п В серединные
перпендикуляры к сторонам L M и
N M . Известно, что A M = с, а радиус
окружности, описанной около тре­
угольника L M N , равен R. Найдите
ВМ.
3436. В остроугольном треугольни­
ке ABC биссектриса A D перпендику­
лярна отрезку О Н , где О — центр опи­
санной окружности, Н — точка пере­
сечения высот. Известно, что АС =
острый, синус угла DAB равен - , коси-
= — -— , A D = 1 - 73 + л/2 . Найдите
нус угла AB C равен
радиус описанной около треугольника
ABC окружности.
5
65
. Окружность с
л/з + л/2
232
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3437.
В окружность вписан четы­ром О. Точка F является серединой
большей из дуг, стягиваемых хордой
рехугольник ABCD. Н а дуге уШ, не со­
ВС. Обозначим точку пересечения
держащей вершин Б и С, взята точка S
(рис. 138). Т оч к и Р , Q, M v iN являются
стороны ВС с радиусом А О через Е , а
с хордой A F — через Р . Пусть А Н —
основаниями перпендикуляров, опу­
высота треугольника AB C. Найдите
щенных из точки S соответственно на
отношение площади четы рехуголь­
стороны A D , ВС, А В и CD (и ли на про­
ника O E P F к площади треугольника
должения этих сторон). Известно, что
S P = d, а отношение площади тре­ А Р Н , если известно, что радиус опи­
угольника N Q S к площади треуголь­
санной окружности Д = 2 л/З , А Е = л/З
ника M P S равно т. Найдите SN .
и£Я=|.
3441. В выпуклом четырехуголь­
нике ABCD вершины А и С противопо­
ложны, А В = 3, А ABC = 45°, Z. BCD =
= 120°. Найдите сторону AD , если из­
вестно, что площадь четырехугольни­
3438. Продолжение общей хорды
А В двух пересекающихся окружнос­
тей радиусов R VI г пересекает их об­
щую касательную в точке С {А между
В к С , М VL N — точки касания). Най­
дите:
1 ) радиус
окружности, проходя­
щей через точки А , М n N ;
2 ) отношение расстояний от точки
С до прямых A/W к A N .
3439. В окружность с центром О
вписан треугольник ВАС с тупым уг­
лом при вершине А . Точка Р является
серединой большей из дуг, стягивае­
мых хордой ВС. Радиус ОА пересекает
сторону ВС в точке L , а хорда А Р пере­
секает сторону ВС в точке Q. Пусть
Д Р — высота треугольника ВАС. Най­
дите отношение площади треугольни­
ка А О Р к площади треугольника AQ F,
если известно, что биссектриса угла А
треугольника A L F равна
, А Р = Js
л/5
и Z .O P A = 30°.
3440. Около треугольника ABC
(А > 90°) описана окружность с цент­
ка равна i (АВ ■CD + ВС •A D ).
Zi
3442. В выпуклом четырехуголь­
нике A B C D вершины А и С проти­
воположны, ВС = 4, Z.A D C = 60°,
Z. B A D = 90°. Найдите сторону CD, ес­
ли площадь четырехугольника равна
^ (A B -C D + B C -A D ).
3443. Две окружности пересекают­
ся в точках Р и Q. Хорды M N первой
окружности и K L второй окружности
имеют общую точку О. Отрезок P Q в
пять раз больше отрезка O L. Отрезок
О К в два раза больше отрезка М О , ко­
торый, в свою очередь, в два раза боль­
ше отрезка OL. Какие значения может
принимать длина отрезка РО, если из­
вестно, что QO = 4, а отрезки М О и O N
равны?
3444. В тупоугольном треугольни­
ке K L M Z. K M L = 15°, а высота, опу­
щенная из вершины этого угла, равна
2 V2 . Найдите радиус описанной ок­
ружности, если известно, что пери­
метр треугольника K L M равен
8
V2 +
+ 4-Ь473.
3445. На дуге окружности, стяги­
ваемой хордой A D , взяты точки В п С .
Биссектрисы углов ABC и B CD пере­
233
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
секаются в точке Е , лежащей на хорде
3451.
Трапеция A E F G {EF\\AG)
расположена в квадрате A B C D со сто­
A D . Известно, что
= k. Найдите:
С-ХУ
роной 3 так, что точки Е , F u G лежат
1 )
отношение расстояний от точки
на сторонах А В , ВС и CD соответствен­
Е до прямых А В и CD;
но (рис. 139). Диагонали A F и EG тра­
пеции перпендикулярны, B F = 1. Най­
АВ
2 ) отношение
CD'
дите периметр трапеции.
3446. В прямоугольном секторе
А О В из точки В как из центра проведе­
на дуга ОС (С — точка пересечения
этой дуги с дугой А В ) радиуса ВО. Ок­
ружность S j касается дуги А В , дуги ОС
и прямой ОА, а окружность S j касается
дуги АВ , прямой ОА и окружности
Найдите отношение радиуса окруж­
ности S i к радиусу окружности S 2 .
3447. В треугольнике ABC перпен­
дикуляр, проходящий через середину
стороны АС, пересекает сторону ВС в
точке М , а перпендикуляр, проходя­
щий через сторону ВС, пересекает сто­
рону А С в точке N . Прямая M N пер­
3452. Диагонали B D и АС выпукло­
го четырехугольника AB CD перпенди­
кулярны, пересекаются в точке О,
пендикулярна А В и M N =
А О = - , ОС = 3. Точка N лежит на сто-
АВ . НайЛ
дите углы треугольника ABC.
3448. В остроугольном треугольни­
ке PQ R {PQ > Q R ) проведены высоты
Р Т и R S; Q N — диаметр окружности,
описанной около треугольника PQ R.
Известно, что величина острого угла
между высотами Р Т и R S равна а,
P R = а. Найдите площадь четырех­
угольника N S Q T .
3449. Из вершины М треугольника
K L M проведены высота М Н , равная h,
медиана М Р и биссектриса M N . Точка
N — середина отрезка P H . Расстояние
от вершины М до точки пересечения
высот треугольника K L M равно т.
Найдите биссектрису M N .
3450. В треугольнике JirLAf, все сто­
роны которого различны, биссектриса
угла K L M пересекает сторону К М в
точке iV. Через точку N проведена пря­
мая, пересекающая сторону L M в точ­
ке А такой, что M N = A M . Известно,
что L N = а, K L -I- K N = Ъ. Найдите A L .
Рис.
139
О
роне АВ , причем AiV : N B = 1 : 3 . Тре­
угольник D N C — равносторонний.
Найдите его площадь.
3453. В трапеции A B C D (A D II ВС)
угол BAD равен а, А В = 2ВС + A D , К —
точка на боковой стороне CD такая,
что СК : K D = 1 : 2. Найдите углы тре­
угольника А В К .
3454. В треугольнике ABC извест­
но, что А В = ВС. Пусть D — основание
перпендикуляра, опущенного из В на
С — точку пересечения биссектрисы
угла ВАС со стороной ВС. Через точку
Е проведен перпендикуляр к А Е до пе­
ресечения с пт, FC = ^ . Найдите пло4
щадь треугольника ABC.
3455. В треугольнике ABC точка
Р — центр вписанной окружности, а
точка Q — центр окружности, описан­
ной около треугольника ABC. Прямая
P Q перпендикулярна биссектрисе А Р
треугольника AB C. Известно, что
234
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
Z. PA Q = a. Найдите углы треуголь­
ника.
3456. Прямая, проходящая через
центры вписанной и описанной ок­
ружностей треугольника, перпенди­
кулярна одной из его биссектрис. И з­
вестно, что отношение расстояния
между центрами вписанной и описан­
ной окружностей к радиусу вписанной
окружности равно k. Найдите углы
треугольника.
3457. В окружность с центром О
вписана трапеция A B C D {ВС II A D ). В
этой же трапеции проведены диаметр
СЕ и хорда B E , пересекающая A D в
точке F . Точка Н — основание перпен­
дикуляра, опущенного из точки F на
СЕ, S — середина отрезка £ 0 , М — се­
редина отрезка B D. Известно, что ра­
диус окружности равен R , а С Н = — .
8
Найдите S M .
3458. Площадь трапеции A B CD
равна
S,
отношение
оснований
А В : ВС = 3 : 1 . Отрезок M N располо­
жен так, что он параллелен стороне
CD, пересекает сторону А В , а отрезок
A M параллелен отрезку B N . Найдите
площадь треугольника B NC , если
A M : B N = 3 : 2 , M N : CD = 1 : 3 (най­
дите все решения).
3459. Около треугольника ABC
описана окружность с центром в точке
О. Касательная к окружности в точке
С пересекается с прямой, делящей по­
полам угол В треугольника, в точке К ,
причем угол ВКС равен половине угла
С треугольника. Сторона А В на J3
длиннее стороны АС, а расстояние от
точки О до стороны АС на 1 больше
расстояния от точки О до стороны АВ.
Найдите радиус окружности.
3460. Около треугольника ABC
описана окружность с центром в точке
О. Касательная к окружности в точке
В пересекается с прямой АС в точке К ,
причем угол АЙГВ равен разности учет­
веренного угла А и угла В треугольни­
ка. Сторона А В в два раза длиннее сто­
роны АС, а расстояние от точки О до
стороны АС на 1 больше расстояния от
точки О до стороны АВ . Найдите ради­
ус окружности.
Раздел 3
ОЛИЛЛПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ
3461. В прямоугольном треуголь­
нике AB C из вершины С прямого угла
опущена высота C N на гипотенузу АВ .
Известно, что ВС = 5, C N = 4. Найдите
площадь треугольника ABC.
3462. В остроугольном треугольни­
ке ABC угол В равен 60°, A M и C N —
его высоты, aQ — середина стороны АС.
Докажите, что треугольник M N Q —
равносторонний.
3463. Из центра каждой из двух дан­
ных окружностей проведены касатель­
ные к другой окружности (рис. 140).
Докажите, что хорды, соединяющие
точки пересечения касательных с ок­
ружностями, равны между собой.
3464. От квадрата отрезан прямо­
угольный треугольник, сумма катетов
которого равна стороне квадрата. Д о­
кажите, что сумма трех углов, под ко­
торыми видна из трех оставшихся вер­
шин его гипотенуза, равна 90°.
3465. Биссектриса угла, смежного
с углом С треугольника ABC, пересе­
кает продолжение стороны А В за точ­
ку В в точке D , а биссектриса угла.
смежного с углом А, пересекает про­
должение ВС за точку С в точке Е . И з­
вестно, что DC = СА = А Е . Найдите уг­
лы треугольника ABC.
3466. Б треугольнике AB C проведе­
на прямая D E , параллельная АС (D и
Е — точки пересечения со сторонами
А В и ВС соответственно). Прямая,
проходящая через вершину В и точку
пересечения диагоналей трапеции
A D E C , пересекает сторону АС в точке
Р . На отрезке B D взята точка Q. Най­
дите площадь треугольника Q BP, если
известно, что площадь треугольника
D B E равна 8 и QB : A Q = D E : АС =
= 1:7.
3467. Б выпуклом четырехуголь­
нике ABCD верны равенства А В = ВС =
= CD, М — точка пересечения диаго­
налей, К — точка пересечения бис­
сектрис углов А к D . Докажите, что
точки А , М , К k D лежат на одной ок­
ружности.
3468. Две окружности касаются
друг друга внешним образом в точке
D . Прямая касается одной из этих ок­
ружностей в точке А и пересекает дру­
гую в точках В и С. Докажите, что точ­
ка А равноудалена от прямых B D и CD.
3469. Внутри остроугольного тре­
угольника AB C дана точка Р такая,
что А А Р В = А А С В + 60°, А ВРС =
= Z ВАС + 60°, Z. СРА = Z СБА + 60°.
Докажите, что точки пересечения про­
должений отрезков А Р , В Р и С Р (за
точку Р ) с описанной окружностью
треугольника AB C лежат в вершинах
равностороннего треугольника.
236
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3470. Пусть С М — медиана треугольникаАВС. Известно, что Z. САВ +
+ Z. М С В = 90°. Докажите, что тре­
угольник ABC — равнобедренный или
прямоугольный.
3471. Через точку О внутри выпук­
лого четырехугольника A B C D прове­
дены четыре окружности одинакового
радиуса, каждая из которых касается
двух смежных сторон четырехуголь­
ника. Докажите, что около четырех­
угольника A B C D можно описать ок­
ружность.
3472. В треугольнике AB C стороны
СВ и СА равны соответственно а и Ь.
Биссектриса угла АСВ пересекает сто­
рону А В в точке К , а описанную около
треугольника ABC окружность — в точ­
ке М . Окружность, описанная около
треугольника А М К , вторично пересе­
кает прямую СА в точке Р . Найдите А Р .
3473. Из середины каждой стороны
остроугольного треугольника опуще­
ны перпендикуляры на две другие сто­
роны. Докажите, что площадь ограни­
ченного ими шестиугольника равна
половине площади треугольника.
3474. Противоположные стороны
шестиугольника AB C D EF попарно па­
раллельны. Докажите, что треуголь­
ники А С £ и B D F равновелики.
3475. Точка О, лежащая внутри
треугольника ABC, обладает тем свой­
ством, что прямые АО , ВО и СО прохо­
дят через центры описанных окруж­
ностей треугольников ВСО, АСО и
А В О . Докажите, что О — центр впи­
санной
окружности
треугольника
ABC.
3476. Прямая I пересекает окруж­
ность с диаметром А В в точках С и D,
отличных от А и В. Из точек А и В к
прямой I проведены перпендикуляры
А Е и B F соответственно. Докажите,
что отрезки СЕ и D F равны.
3477. Пусть О — точка пересече­
ния диагоналей трапеции AB CD
{АВ II C D ), A j и B i — точки, симмет­
ричные точкам А VI В относительно
биссектрисы угла АОВ. Докажите, что
ААСА^ = /LBDB^.
3478. Сторона квадрата A B C D рав­
на 1. На сторонах А В и A D выбраны
точки Р и Q так, что периметр тре­
угольника A P Q равен 2. Докажите,
что Z PCQ = 45°.
3479. Окружность, вписанная в
треугольник ABC, касается сторон АВ,
ВС и АС в точках С^, А^ и В^ соответ­
ственно. Известно, что отрезки АА^,
B B i и CCj равны. Докажите, что тре­
угольник AB C — правильный.
3480. Докажите, что если аЬс =
= 4 R rri, где с, Ь, с — стороны тре­
угольника, R, г,
— радиусы описан­
ной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник —
прямоугольный.
3481. Известно, что в трапецию
можно вписать окружность. Докажи­
те, что круги, построенные на ее боко­
вых сторонах как на диаметрах, каса­
ются друг друга.
3482. Диагонали трапеции с осно­
ваниями A D и ВС пересекаются в точ­
ке О (рис. 141). Докажите, что окруж­
ности, описанные около треугольни­
ков AO D и в о е , касаются друг друга.
ПЛАНИМЕТРИЯ
3483. В прямоугольном треуголь­
нике ABC угол при вершине А равен
60°, О — середина гипотенузы А В , Р —
центр вписанной окружности. Найди­
те угол РОС.
3484. Через две вершины треуголь­
ника проведены прямые, разбиваю­
щие его на три треугольника и четы­
рехугольник.
а) М огут ли площади всех четырех
частей быть равны?
б) Какие три из этих частей могут
иметь равные площади? Во сколько
раз отличается от них площадь четвер­
той части?
3485. Каждая сторона выпуклого
четырехугольника разделена на 8 рав­
ных частей. Соответствующие точки
деления на противоположных сторо­
нах соединены друг с другом, и полу­
ченные клетки раскрашены в шахмат­
ном порядке. Докажите, что сумма
площадей черных клеток равна сумме
площадей белых клеток.
3486. Докажите, что если стороны
треугольника связаны неравенством
а^ + Ъ^> 5с^, то с — наименьшая сторо­
на.
3487. Вокруг
правильного
тре­
угольника A P Q описан прямоуголь­
ник ABCDy причем точки Р и Q лежат
на сторонах ВС и CD соответственно;
Pj и
— середины сторон А Р и AQ.
Докажите, что треугольники B Q jC и
CP^D подобны.
3488. Через произвольную точку К
квадрата ABCZ) проведена прямая, пе­
ресекающая его противоположные
стороны А В и CD в точках Р и Q. Дока­
жите, что отличная от К точка пересе­
чения окружностей, проходящих че­
рез точки К , В, Р к К , D , Q, лежит на
диагонали B D .
3489. Точки М к N на сторонах ВС
и А В равностороннего треугольника
AB C выбраны так, что площадь тре­
угольника А К С равна площади четы­
237
рехугольника
{R — точка пере­
сечения отрезков A M и C N ). Найдите
угол АйГС.
3490. П о стороне правильного тре­
угольника катится окружность ради­
уса, равного его высоте. Докажите,
что угловая величина дуги, высекае­
мой на окружности сторонами тре­
угольника, всегда равна 60°.
3491. На сторонах А В и A D квадра­
та ABCZ) взяты точки К и М так, что
ЗАйГ = 4 А М = АВ . Докажите, что пря­
мая К М касается окружности, впи­
санной в квадрат.
3492. На сторонах А В , ВС, CD, DA
прямоугольника ABCD соответствен­
но взяты точки К , L , М , N , отличные
от вершин. Известно, что K L ||M N и
К М -L N L . Докажите, что точка пере­
сечения отрезков К М и L N лежит на
диагонали B D прямоугольника.
3493. Докажите, что если в четы­
рехугольнике два каких-то угла ту­
пые, то диагональ, соединяющая вер­
шины этих углов, меньше другой ди­
агонали.
3494. В треугольнике AB C проведе­
ны медианы АА^, ВВ^, CCj и высоты
А А 2 , В В 2 , CCg. Докажите, что длина
ломаной
равна пери­
метру треугольника ABC.
3495. Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей,
угол между которыми меньше 7°.
3496. В выпуклом четырехуголь­
нике прямая, проходящая через сере­
дины двух противоположных сторон,
образует равные углы с диагоналями
четырехугольника. Докажите, что ди­
агонали равны.
3497. Докажите, что у выпуклого
многоугольника может быть не более
трех острых углов.
3498. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника делят его на четыре тре­
угольника. Известно, что радиусы ок­
ружностей, описанных около этих че­
238
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
тырех треугольников, равны между
собой. Докажите, что этот четырех­
угольник — ромб.
3499°. На сторонах
и
ромба
построены правильные тре­
угольники АйГ!) и
так, что точка
К лежит по ту же сторону от A D , что и
прямая
а точка
— по другую
сторону от
чем
(рис. 142). Д о­
кажите, что точки
лежат на
одной прямой.
AD DC
ABCD
ВМС
ВС,
DC,
М
АВ
в, к к М
3503. Высота, биссектриса и меди­
ана, выходящие из одной вершины
треугольника, соответственно равны
/Уз , 2 и
. Найдите радиус окруж­
ности, описанной около этого тре­
угольника.
3504. На сторонах А В , ВС и АС тре­
угольника ABC взяты точки С^, А^ и
В^. Известно, что отрезки АА^, ВВ^ и
ССу пересекаются в точке М . Докажи­
те, что суммаМА^ + M B i + MCy не пре­
восходит наибольшей стороны тре­
угольника АБС.
3505. Внутри треугольника ABC
взята точка М . Докажите, что
A M ■ВС + В М ■АС + С М ■А В > AS,
Рис. 142
3500. Пусть Н — точка пересече­
ния высот треугольника
Дока­
жите, что расстояние между середина­
ми отрезков
и
равно радиусу
описанной окружности треугольника
ABC.
ВС АН
ABC.
Q
3501. Пусть
— центр вписанной
окружности треугольника ABC. Дока­
жите, что центры описанных окруж­
ностей треугольников
и
лежат на описанной окружности
треугольника
3502°. Через точку пересечения
биссектрисы у г л а Л треугольника ABC
и отрезка, соединяющего основания
двух других биссектрис, проведена
прямая, параллельная стороне
До­
кажите, что меньшее основание обра­
зовавшейся трапеции равно полусум­
ме ее боковых сторон.
AQC
AQB, BQC
где S — площадь треугольника ABC.
3506. Внутри остроугольного тре­
угольника ABC выбрана точка М , яв­
ляющаяся:
а) точкой пересечения медиан;
б) точкой пересечения биссектрис;
в) точкой пересечения высот.
Докажите, что если радиусы ок­
ружностей, вписанных в треугольни­
ки А М В , В М С , А М С , равны, то тре­
угольник ABC — правильный.
3507. Продолжения сторон А В и CD
вписанного четырехугольника AB CD
пересекаются в точке Р , а продолже­
ния ВС vlAD — в точке (рис. 143). До­
кажите, что точки пересечения бис­
сектрис углов AQ B и В РС со сторонами
четырехугольника являются верши­
нами ромба.
Q
ABC.
ВС.
Q
П ЛАНИМ ЕТРИЯ
3508. Общая внутренняя касатель­
ная к окружностям с радиусами R n г
пересекает их общие внешние каса­
тельные в точках А и В и касается од­
ной из окружностей в точке С. Дока­
жите, что АС • СВ = R - г.
3509. На отрезке А В взята точка С.
Прямая, проходящая через точку С,
пересекает окружности с диаметрами
АС и ВС в точках K n L , a также окруж­
ность с диаметром А В — в точках М и
N . Докажите, что К М —L N .
3510. Из точки А проведены каса­
тельные А В и АС к окружности с цент­
ром О. Через точку X отрезка ВС про­
ведена прямая K L , перпендикулярная
Х О (точки К и L лежат на прямых А В
и АС ). Докажите, что К Х = X L .
3511. Из вершины В параллело­
грамма A B C D проведены его высоты
В К и В Н . Известны отрезки К Н = с и
B D = Ь. Найдите расстояние от точки В
до точки пересечения высот треуголь­
ника В К Н .
3512. Опустим из любой точки Р
биссектрисы угла А треугольника AB C
перпендикуляры РА^, РВ^, РС^ на его
стороны ВС, СА и А В соответственно.
Пусть R — точка пересечения прямых
P A j и В^С^. Докажите, что прямая A R
делит сторону ВС пополам.
3513. Бумажная
прямоугольная
полоска помещается внутри данного
круга. П олоску согнули (не обязатель­
но пополам). Докажите, что после сги­
бания полоску можно также размес­
тить в этом круге.
3514. Четыре окружности радиуса
R пересекаются по три в точках М и iV
и по две в точках А , В, С к В . Докажи­
те, что ABCD — параллелограмм.
3515. Вписанная окружность каса­
ется сторон А В и АС треугольника ABC
в точках М и N . Пусть Р — точка пере­
сечения прямой M N и биссектрисы у г­
ла В (или ее продолжения). Докажите,
что Z ВРС = 90°.
239
3516°. Известно, что в некотором
треугольнике медиана, биссектриса и
высота, проведенные из вершины С,
делят угол на четыре равные части.
Найдите углы этого треугольника.
3517. Докажите, что если в выпук­
лом пятиугольнике A B C D E имеют
место равенства А.AB C = /LADE и
А А Е С = ^ A D B , то А В А С ^ Z.D A E .
3518. В треугольникеАВС проведе­
на биссектриса А К . Известно, что
центры окружностей, вписанной в
треугольник А В К и описанной около
треугольника ABC, совпадают. Найди­
те углы треугольника ABC.
3519. Дан треугольник ABC. Ок­
ружность проходит через вершины А,
В и пересекает стороны АС и ВС в точ­
ках Р и Q соответственно. На стороне
А В взяты точки R u S так, что QR ||СА,
P S II СВ. Докажите, что точки Р, Q, R,
S лежат на одной окружности.
3520. Точка D леж ит на биссектри­
се угла АСВ. На луче СА выбрали точ­
ки A j и Ag, а на луче СВ — точки В^ и
Bg так, что четыре точки A j, С, B j, D
лежат на одной окружности и четыре
точки А 2 , С, В 2 , D тоже лежат на одной
окружности. Докажите, что AjA g =
= BjBg.
3521. Через вершину С квадрата
A B C D проведена прямая, пересекаю­
щая диагональ B D в точке К , а сере­
динный перпендикуляр к стороне
А В — в точке М { М между С и К ). Най­
дите Z D C K , если /- А К В = г! А М В .
3522. Внутри отрезка А В взята точ­
ка С. По одну сторону от прямой А В по­
строены равнобедренные треугольниK&ADC и СЕВ, причем A D = DC = СЕ =
= Е В . Точка F находится на расстоя­
нии, равном A D , от вершин D v iE v iJ ie
совпадает с точкой С. Докажите, что
AF=FB.
3523. Точки касания вписанного в
данный треугольник круга соединены
отрезками и в полученном треуголь­
240
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
нике проведены высоты. Докажите,
что прямые, соединяющие основания
этих высот, параллельны сторонам ис­
ходного треугольника.
3524. В выпуклом четырехуголь­
нике A B C D проведена диагональ АС,
A D = 7, ВС = 3, Z. A C D = 60°. Известно,
что точки А , В, С, D лежат на одной ок­
ружности и перпендикуляр, проведен­
ный из точки А к стороне CD, делит
угол Z_ B A D пополам. Найдите диаго­
наль АС.
3525. Внутри выпуклого четырех­
угольника расположены четыре ок­
ружности, каждая из которых касает­
ся двух соседних сторон четырех­
угольника и двух окружностей (внеш­
ним образом). Известно, что в четы­
рехугольник можно вписать окруж ­
ность. Докажите, что по крайней мере
две из данных окружностей равны.
3526. Пусть Q — центр вписан­
ной окружности треугольника AB C,
прямая A Q пересекает описанную ок­
ружность треугольника AB C в точке
D. Выразите отрезки A Q и QD через
Д и г (радиусы описанной и вписан­
ной окружностей треугольников AB C)
и у го л А .
3527. Взаимно перпендикулярные
прямые I и т пересекаются в точке Р
окружности так, что они разбивают
окружность на три дуги (рис, 144). От­
метим на каждой дуге такую точку,
что проведенная через нее касатель­
ная к окружности пересекается с пря­
мыми г и т о в точках, равноотстоящих
от точки касания. Докажите, что три
отмеченные точки являются вершина­
ми равностороннего треугольника.
3528. Основания трапеции равны о
и Ь. Известно, что через середину од­
ной из ее сторон можно провести пря­
мую, делящую трапецию на два четы­
рехугольника, в каждый из которых
можно вписать окружность. Найдите
другую боковую сторону трапеции.
3529. Имеются четыре окружнос­
ти. В первой проведена хорда АВ , при
этом расстояние от середины меньшей
из двух образовавшихся дуг до А В рав­
но 1. Вторая, третья и четвертая ок­
ружности расположены внутри боль­
шего сегмента и касаются хорды АВ.
Вторая и четвертая окружности каса­
ются изнутри первой и внешним обра­
зом третьей. Сумма радиусов трех по­
следних окружностей равна радиусу
первой окружности. Найдите радиус
третьей окружности, если известно,
что прямая, проходящая через центры
первой и третьей окружностей, не па­
раллельна прямой, проходящей через
центры двух других окружностей.
3530. Три прямые, параллельные
сторонам треугольника ABC и прохо­
дящие через одну точку, отсекают от
треугольника AB C трапеции. Три ди­
агонали этих трапеций, не имеющие
общих концов, делят треугольник на
семь частей, из которых четыре — тре­
угольники. Докажите, что сумма пло­
щадей трех из этих треугольников,
прилегающих к сторонам треугольни­
ка ABC, равна площади четвертого.
3531. Ш есть кругов расположены
на плоскости так, что некоторая точка
0 лежит внутри каждого из них. Дока­
жите, что один из этих кругов содер­
жит центр некоторого другого.
3532. Внутри квадрата со стороной
1 расположено п точек. Докажите, что
площадь одного из треугольников с
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
241
Постройте с помош;ью пятака четвер­
тую вершину параллелограмма ABCD
(пятак разрешается прикладывать к
1
2(п + 1 ) ‘
любым двум точкам и обводить каран­
3533.
Все биссектрисы треугольни­дашом).
3540. В треугольнике ABC угол С —
ка меньше 1. Докажите, что его плотупой. На стороне А В отмечены точки
1
ш,адь меньше
Е ш Н , на сторонах АС и ВС — точки К
7з
и М соответственно. Оказалось, что
3534. Даны п точек А^, Ag, ...,
и
А
Н = А С ,В Е = В С ,А Е = А К ,В Н = В М .
окружность радиуса 1. Докажите, что
Докажите,
что точки Е , Н , К , М лежат
на окружности можно выбрать точку
на
одной
окружности.
М так, что
3541. Дан правильный треуголь­
M A i + М А 2 + ... + М А „ > п.
ник ABC. Некоторая прямая, парал­
3535. Точка М леж ит на стороне АС
лельная прямой АС, пересекает пря­
остроугольного треугольника ABC.
мые А В и ВС в точках М и Р соответ­
Вокруг треугольников А В М и С В М
ственно. Точка D — центр правильно­
описываются окружности. При каком
го треугольника Р М Б , точка £ — сере­
положении точки М плош;адь обш;ей
дина отрезка А Р . Определите углы
части ограниченных ими кругов будет
треугольника DEC.
наименьшей?
3542. Биссектриса угла А треуголь­
3536. И з произвольной точки М ок­
ника ABC пересекает описанную око­
ружности, описанной около прямо­
ло треугольника окружность в точке
угольника, опустили перпендикуля­
К . Докажите, что проекция отрезка
ры М Р и M Q на две его противополож­ А К на прямую А В равна полусумме
ные стороны и перпендикуляры M R и
сторон А В и АС.
М Т — на продолжения двух других
3543. Три равные окружности
сторон. Докажите, что прямые P R и
5 2 , S 3 попарно касаются друг друга и
Q T перпендикулярны друг другу, а их
вокруг них описана окружность S, ко­
точка пересечения принадлежит диа­
торая касается всех трех. Докажите,
гонали прямоугольника.
что для любой точки М окружности S
3537. Внутри треугольника распо­
касательная, проведенная из точки М
ложены окружности а, Р, у, 5 одинако­
к одной из трех окружностей
S2 ,
вого радиуса так, что каждая из ок­
5
3 , равна сумме касательных, прове­
ружностей а, Р, Y касается двух сторон
денных из точки М к двум другим ок­
треугольника и окружности 5. Дока­
ружностям.
жите, что центр окружности 5 прина­
3544. Высота, опущенная из вер­
длежит прямой, проходяш;ей через
шины прямого угла на гипотенузу, де­
центры вписанной и описанной ок­
лит треугольник на два треугольника,
ружностей данного треугольника.
в каждый из которых вписана окруж­
3538. О выпуклом четырехуголь­
ность. Найдите углы и площадь тре­
нике A B C D известно, что окружность
угольника, образованного катетами
с диаметром А В касается прямой CD.
исходного треугольника и прямой,
Докажите, что окружность с диа­
проходящей через центры этих ок­
метром CD касается прямой А В тогда и
ружностей, если высота исходного
только тогда, когда прямые ВС и A D
параллельны.
треугольника равна Л.
3545. Втреугольнике ABC на сторо­
3539. Дан треугольник ABC, кото­
не ВС взята точка М так, что В М =
рый можно накрыть одним пятаком.
вершинами в этих точках или в вер­
шинах квадрата не превосходит
242
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
= 2М С , причем /^АМ В = 60°. Зная,
что /L ВАС = 60°, найдите углы Б и С
треугольника ЛВС.
3546. В прямоугольнике ABCD опу­
щен перпендикуляр В К на диагональ
АС. Точки М и
— середины отрезков
А К и CD соответственно. Докажите,
что угол B M N — прямой.
3547. Из некоторой точки окруж­
ности, описанной около равносторон­
него треугольника AB C, проведены
прямые, параллельные ВС, С А ш А В и
пересекающие прямые СА, А В и ВС в
точкахМ , N u Q соответственно. Дока­
жите, что точки М , N u Q лежат на од­
ной прямой.
3548. Окружности
и Sg пересека­
ются в точках А л В. Секущая, прохо­
дящая через точку А , пересекает эти
окружности вторично в точках М и N .
Касательные к окружностям
и Sg в
точке А пересекаются прямыми B N и
В М в точках Р и Q соответственно. Д о­
кажите, что прямые P Q и M N парал­
лельны.
3549. Пусть А — основание перпен­
дикуляра, опущенного из центра дан­
ной окружности на данную прямую I
(рис. 145). На этой прямой взяты еще
две точки В и С так, что А В ^ А С . Через
точки Б и С проведены две произволь­
ные секущие, из которых одна пересе­
кает окружность в точках Q и Р , вто­
рая — в точках М и N . Пусть прямые
Р М и Q N пересекают прямую I в точ­
ках i? и S. Докажите, что A R = AS.
3550°. Внутри треугольника име­
ются две точки. Расстояния от одной
из них до сторон треугольника равны
1, 3 и 15, а от другой (в том же
порядке) — 4, 5 и 11. Найдите радиус
окружности, вписанной в данный тре­
угольник.
3551. В равнобедренном треуголь­
нике ABC с основанием АС проведена
биссектриса CD. Прямая, проходящая
через точку D перпендикулярно DC,
пересекает АС в точке Е . Докажите,
что ЕС = 2AD.
3552. Рассмотрим два различных
четырехугольника с соответственно
равными сторонами. Докажите, что
если у одного из них диагонали пер­
пендикулярны, то и у другого тоже.
3553. Вписанная окружность тре­
угольника A^AgAg касается сторон
АгАд, AgAi и A^Ag в точках
Sg и Sg
соответственно. Пусть О^, Og и Од —
центры вписанных окружностей тре­
угольников A^SgSg, AgiSgiS^ и AgSjiSg
соответственно. Докажите, что пря­
мые O^iSi, O 2 S 2 и OgSg пересекаются в
одной точке.
3554. Центры трех окружностей,
попарно касающихся друг друга
внешним образом, расположены в вер­
шинах прямоугольного треугольника.
Эти окружности касаются изнутри
четвертой окружности. Найдите ради­
ус четвертой окружности, если пери­
метр прямоугольного треугольника
равен 2р.
3555. Пусть M vlN — середины сто­
рон A D и ВС прямоугольника ABCD.
Н а продолжении отрезка DC за точку
D взята точка Р ; Q — точка пересече­
ния прямых Р М и АС. Докажите, что
Z QNM = Z M NP.
3556. В равнобедренном треуголь­
нике ABC из середины Н основания ВС
опущен перпендикуляр Н Е на боко­
вую сторону АС; О — середина отрезка
Н Е . Докажите, что прямые А О и B E
перпендикулярны.
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3557. Расстояния от точки М до
трех вершин прямоугольника равны
(последовательно) 3, 5, 4. Найдите
площадь прямоугольника.
3558. На стороне треугольника взя­
ты четыре точки К , Р , Н и М , являю­
щиеся соответственно серединой этой
стороны, основанием биссектрисы
противоположного угла треугольни­
ка, точкой касания с этой стороной
вписанной в треугольник окружности
и основанием соответствующей высо­
ты. Найдите К Н , если К Р = а, К М = Ъ.
3559. Внутри
правильного тре­
угольника имеется точка, удаленная
от его вершин на расстояния 5, 6 и 7.
Найдите площадь этого правильного
треугольника.
3560. В некотором царстве, в неко­
тором государстве есть несколько го­
родов, причем расстояния между ни­
ми все попарно различны. В одно пре­
красное утро из каждого города выле­
тает по одному самолету, который
приземляется в ближайшем соседнем
городе. Может ли в одном городе при­
землиться более пяти самолетов?
3561. На диаметре А С некоторой
окружности дана точка Е . Проведите
через нее хорду B D так, чтобы пло­
щадь четырехугольника A B C D была
наибольшей.
3562. В треугольнике ABC углы
при вершинах Б и С равны 40°; B D —
биссектриса угла В. Докажите, что
B D + D A = ВС.
3563. На сторонах ВС и CD квадра­
та A B C D взяты точки Е ш F так, что
Z E A F = 45°. Отрезки А Е и A F пересе­
кают диагональ B D в точках Р и Q. Докажите, что | И | Й _
2
.
3564. Дан параллелограмм ABCD.
Вневписанная окружность треуголь­
ника A B D касается продолжений сто­
рон A D и А В в точках М и N . Докажи­
те, что точки пересечения отрезка M N
с ВС и CD леж ат на вписанной окруж­
ности треугольника BCD.
243
3565. ABC — данный остроуголь­
ный треугольник, Н — точка пересе­
чения высот. Положим А В = с, ВС = а,
СА = Ь, А Н = X , В Н = у , С Н = 2 . Дока­
жите, что a y z + b z x + с х у = а Ь с .
3566. В остроугольном треугольни­
ке A BC угол А равен 60°. Докажите,
что одна из биссектрис угла, образо­
ванного высотами, проведенными из
вершин Б и С, проходит через центр
описанной окружности этого тре­
угольника.
3567. На окружности взяты после­
довательно точки А , В, С и D, причем
А В = B D . Касательная к окружности в
точке А пересекается с прямой ВС в
точке Q; R — точка пересечения пря­
мых А В и CD. Докажите, что прямые
QR VIA D параллельны.
3568. Диагонали выпуклого четы­
рехугольника A B C D взаимно перпен­
дикулярны. Через середины сторон
А В и A D проведены прямые, перпен­
дикулярные противоположным сторо­
нам CD и СВ соответственно. Докажи­
те, что эти прямые и прямая АС имеют
общую точку.
3569. В окружность вписаны тре­
угольники T i и Tg, причем вершины
треугольника Tg являются середина­
ми дуг, на которые окружность разби­
вается вершинами треугольника T i
(рис. 146). Докажите, что в шести­
угольнике, являющемся пересечени­
ем треугольников
и Tg, диагонали,
соединяющие противоположные вер-
244
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
шины, параллельны сторонам тре­
угольника T j и пересекаются в одной
точке.
3570. Четырехугольник АВС£) впи­
сан в окружность; О^, О 2 , О 3 , О 4 —
центры окружностей, вписанных в
треугольники ABC, BCD, CDA и DAB.
Докажите, что О 1 О 2 О 3 О4 — прямо­
угольник.
3571. Внутри треугольника ABC, в
котором/. А = 50°, Z B = 60°, Z С = 70°,
дана такая точкаМ , что Z А М В = 110°,
Z В М С = 130°. Найдите Z М В С .
3572. В четырехугольнике ABCD,
вписанном в окружность, биссектри­
сы углов А и В пересекаются в точке Е,
лежащей на стороне CD. Известно, что
CD
— = m. Найдите:
1 ) отношение расстояний от точки
Е до прямых A D и ВС;
2 ) отношение
плош;адей треуголь­
ников A D £ и ВСЕ.
3573. Около окружности описан
многоугольник. Точки касания его
сторон с окружностью служат верши­
нами второго, вписанного в эту окруж­
ность многоугольника. Докажите, что
произведение расстояний от произ­
вольной точки М окружности до сто­
рон (и ли их продолжений) одного мно­
гоугольника равно произведению рас­
стояний от этой точки до сторон (или
их продолжений) второго.
3574. На стороне A D вписанного в
окружность четырехугольника AB CD
находится центр окружности, касаю­
щейся трех других сторон четырех­
угольника. Найдите A D , если А В = 2 и
сг» = з.
3575. В равносторонний треуголь­
ник АБС вписана полуокружность с
центром О на стороне АВ. Некоторая
касательная к полуокружности пере­
секает стороны ВС и СА в точках M u N
соответственно, а прямая, соединяю­
щая точки касания сторон А В и АС с
полуокружностью, пересекает отрез­
ки О М и O N в точках Р и Q. Докажите,
что M N = 2PQ.
3576. В треугольнике ABC извест­
но, что Z- В = 50°, Z С = 70°. Найдите
углы треугольника ОНС, где Н — точ­
ка пересечения высот, О — центр ок­
ружности, вписанной в треугольник
ABC.
3577. Дан квадрат АВС£). Точки Р и
Q лежат на сторонах А В и ВС соответ­
ственно, причем В Р = BQ. Пусть Н —
основание перпендикуляра, опущен­
ного из точки В на отрезок PC. Дока­
жите, что угол D H Q — прямой.
3578. На сторонах А В и A D квадра­
та A B C D взяты точки К vi N соответ­
ственно. При этом АК ” •AiV = 2ВК •D N .
Отрезки СК и CN пересекают диаго­
наль B D в точках L и М . Докажите,
что точки к , L , М , N и А лежат на од­
ной окружности.
3579. Дан треугольник ABC. На
прямых АВ , ВС и СА взяты точки С^,
A i и В^ соответственно, отличные от
вершин треугольника. Докажите, что
окружности, описанные около тре­
угольников АВ^С^, Аф^С^, А ф С 1 , пе­
ресекаются в одной точке.
3580. На сторонах АВ и ВС тре­
угольника ABC как на гипотенузах по­
строены вне его прямоугольные тре­
угольники А Р В и BQC с одинаковыми
углами Р при их общей вершине В.
Найдите углы треугольника P Q K , где
К — середина стороны АС.
3581. Пусть в выпуклом четырех­
угольнике A B C D нет параллельных
сторон. Обозначим через Е и F точки
пересечения прямых А В и DC, ВС и AD
соответственно (точка А леж ит на от­
резке B E , а точка С — на отрезке B F).
Докажите, что четырехугольник ABCD
является описанным тогда и только
тогда, когда Е А + A F = ЕС + CF.
3582. В равнобедренном треуголь­
нике AB C с основанием АС проведена
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
биссектриса CD угла С. На прямой АС
взята точка Е так, что Z. ED C = 90°.
Найдите ЕС, если A D = 1.
3583. Пусть AjB и CD — биссектрисы
треугольника ABC, Z B E D = 2 A A E D и
Z B D E = 2 Z ED C. Докажите, что тре­
угольник ABC — равнобедренный.
3584. Внутри треугольника ABC с
острыми углами при вершинах А и С
взята точка К так, что / .А К Б = 90°,
Z. С КВ = 180° - Z АСВ. В каком отно­
шении прямая В К делит сторону АС,
если высота, опущенная на АС, делит
эту сторону в отношении X, считая от
вершины А?
3585. В треугольнике ABC проведе­
ны биссектрисыA A i и ВВ^. Докажите,
что расстояние от любой точки М от­
резка А^Б^ до прямой А Б равно сумме
расстояний от М до прямых АС и ВС.
3586. Пусть р — полупериметр ост­
роугольного треугольника ABC, q —
полупериметр треугольника, образо­
ванного основаниями его высот. Дока­
жите, что р : q = R : г, где i? и г — ради­
усы описанной и вписанной окруж­
ностей треугольника АБС.
3587. На доске была начерчена тра­
пеция, в ней была проведена средняя
линия E F и опущен перпендикуляр
О К из точки О пересечения диагона­
лей на большее основание. Затем тра­
пецию стерли. Как восстановить чер­
теж по сохранившимся отрезкам E F и
ОК?
3588. Острый угол при вершине А
ромба АВС£) равен 40°. Через вершину
А и середину М стороны CD проведена
прямая, на которую опущен перпенди­
куляр В Н из вершины Б. Найдите
угол А Н В .
3589. Две окружности пересека­
ются в точках А и Б. Через точку А
проведена прямая, вторично пересе­
кающая первую окружность в точке
С, а вторую — в точке D . Пусть М и
N — середины дуг ВС и B D , не содер­
245
жащих точку А , а. к — середина от­
резка CD (рис. 147). Докажите, что
Z M K N = 90°. (М ож но считать, что
точки С и £) леж ат по разные стороны
от точки А .)
3590. Каждая диагональ выпукло­
го пятиугольника A B C D E отсекает от
него треугольник единичной площа­
ди. Вычислите площадь пятиугольни­
ка АВС£)£.
3591. На основании А В равнобед­
ренного треугольника АБС выбрана
точка D так, что окружность, вписан­
ная в треугольник BCD, имеет тот же
радиус, что и окружность, касающая­
ся продолжений отрезков СА и CD и от­
резка A D (вневписанная окружность
треугольника АС£>). Докажите, что этот
радиус равен | высоты треугольника,
опущенной на ее боковую сторону.
3592. Найдите углы остроугольно­
го треугольника АБС, если известно,
что его биссектриса A D равна стороне
АС и перпендикулярна отрезку ОН,
где О — центр описанной окружности,
Н — точка пересечения высот тре­
угольника А Б С.
3593. Известно, что А Е и CD — бис­
сектрисы треугольника АБС, Z CDE =
= 30°. Докажите, что один из углов
треугольника АБС равен 60° или 120°.
3594. Из вершины С прямого угла
прямоугольного треугольника АБС
проведена высота CD, и в треугольни­
ки A C D и BCD вписаны окружности с
246
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
центрами Р и Q. Общая внешняя каса­
тельная к этим окружностям пересе­
кает катеты А С и ВС в точках М и N ,
а высоту CD — в точке К . Докажите,
что:
а) треугольники C M N и СВА подоб­
ны;
б) точки С, М , N , P u Q лежат на од­
ной окружности с центром К , радиус
которой равен радиусу вписанной ок­
ружности треугольника ABC.
3595. В треугольнике ABC проведе­
ны высота A f f и биссектриса Б £ . Дока­
жите, что если Z. В Е А = 45°, то и
Z. Е Н С = 45°.
3596. Хорды А В и CD пересекаются
в точке Е внутри окружности. Пусть
М — внутренняя точка отрезка Е Е .
Касательная в точке Е к окружности,
проходящей через точки D , Е й М , пе­
ресекает прямые ВС и АС в точках F и
G соответственно. Пусть
АВ
= t. Най-
ЕС
дите —как функцию от t.
EF
3597. Через вершину А квадрата
A B C D проведены прямые
и I 2 , пере­
секающие его стороны. Из точек B u D
опущены перпендикуляры ВВ^, В В 2 ,
D D i, D D 2 на эти прямые. Докажите,
что отрезки -В1 -В2 ^ ^ 1 ^ 2 равны и пер­
пендикулярны .
3598. В треугольнике ABC с углом
А , равным 120°, биссектрисы АА^, ВВ^
и CCi пересекаются в точке О. Дока­
жите, что Z. А^С^О = 30°.
3599. Две окружности касаются
друг друга внутренним образом в точ­
ке А . Хорда БС в большей окружности
касается меньшей в точке D . Прямая
A D вторично пересекает большую ок­
ружность в точке М . Найдите M B , ес­
л и М А = а, M D = Ь.
3600. На сторонах ВС, СА и А В тре­
угольника взяты точки А^, B i, C i соот­
ветственно так, что радиусы окруж­
ностей, вписанных в треугольники
A^BCi, AB^Ci и А^В^С, равны между
собой и равны г. Радиус окружности,
вписанной в треугольник А^Б^С^, ра­
вен г^. Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник ABC.
3601. Докажите, что во всяком опи­
санном четырехугольнике середины
диагоналей и центр вписанной окруж­
ности расположены на одной прямой
(прямая Ньютона).
3602. Прямые PC и P D касаются
окружности с диаметром А В (С и £) —
точки касания). Докажите, что пря­
мая, соединяющая точку Р с точкой
пересечения прямых АС и Б1), перпен­
дикулярна А В .
3603. Д ля данной хорды M N ок­
ружности рассматриваются треуголь­
ники ABC, основаниями которых яв­
ляются диаметры А В этой окружнос­
ти, не пересекающие M N , а стороны
АС и БС проходят через концы М и N
хорды M N . Докажите, что высоты
всех таких треугольников AB C, опу­
щенные из вершины С на сторону АВ,
пересекаются в одной точке.
3604. Пусть М — точка пересече­
ния биссектрис внутреннего угла В и
внешнего угла С треугольника ABC, а
N — точка пересечения биссектрис
внешнего угла Б и внутреннего угла С
(рис. 148). Докажите, что середина от-
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
247
тили соответственно точки С^, А^ и В^,
резка M N леж ит на окружности, опи­
санной около треугольника ABC.
отличные от вершин треугольника.
3605.
В треугольнике ABC через се­Оказалось, что АС^ : С^Б = Б А ^ : А^С =
редину М стороны ВС и центр О впи­
= СБх : Б^А, а Z ВАС = Z В^А^С^. До­
санной в этот треугольник окружнос­
кажите, что треугольник с зелеными
ти проведена прямая М О , которая пе­
вершинами подобен треугольнику
ресекает высоту А Н в точке Е . Дока­ ABC.
жите, что отрезок А Е равен радиусу
3612. Дан вписанный четырех­
вписанной окружности.
угольник AB CD . Противоположные
3606°. Даны две непересекающиестороны А В и CD при продолжении пе­
ся окружности, к которым проведены
ресекаются в точке К , стороны ВС и
две общие внешние касательные. Рас­ A D — в точке L . Докажите, что бис­
смотрим равнобедренный треуголь­
сектрисы углов В К С и B LA пересека­
ник, основание которого леж ит на од­
ются на прямой, соединяющей середи­
ной касательной, противоположная
ны АС и B D.
вершина — на другой, а каждая из бо­
3613. Противоположные стороны
ковых сторон касается одной из дан­
четырехугольника, вписанного в ок­
ных окружностей. Докажите, что вы­
ружность, пересекаются в точках Р и
сота треугольника равна сумме ради­
Q. Найдите P Q , если касательные к ок­
усов окружностей.
ружности, проведенные из точек Р и
3607. Пусть А Е и CD — биссектри­
Q, равны с и Ь.
сы треугольника ABC. Докажите, что
3614. Около остроугольного тре­
если Z B D E : ED C = Z B E D : Z DE A ,
угольника AB C описана окружность.
то треугольник A B C — равнобедрен­
Касательные к окружности, проведен­
ный.
ные в точках А и С, пересекают каса­
3608. Три пары противоположных
тельную, проведенную в точке Б, соот­
сторон шестиугольника параллельны.
ветственно в точках М и N . В треуголь­
Докажите, что отрезки, соединяющие
нике ABC проведена высота БР. Дока­
их середины, пересекаются в одной
жите, что прямая В Р является бис­
точке.
сектрисой угла M P N .
3609. Продолжение
биссектрисы
3615. На сторонах А В , Б С и С А тре­
A D остроугольного треугольника ABC
угольника ABC взяты соответственно
пересекает описанную окружность в
точки С^, А^ и Б^ так, что прямые А А ^,
точке Е . Из точки D на стороны А В и
ББ^ и CCi пересекаются в точке М .
А С опущены перпендикуляры D P и
Докажите, что если а) два из этих че­
DQ . Докажите, что S(A B C ) = S (A P E Q ).
тырехугольников являются вписан­
3610. Пусть A ]A 2 ■..AJ^— правиль­
ными, то и третий также является
ный многоугольник с нечетным чис­
вписанным; б) два из этих четырех­
лом сторон, М — произвольная точка
угольников являются описанными,
на дуге А^А^ окружности, описанной
то и третий также является описан­
около многоугольника. Докажите, что
ным.
сумма расстояний от точки М до вер­
3616. На плоскости даны п крас­
шин с нечетными номерами равна сум­
ных и п синих точек, никакие три из
ме расстояний от М до вершин с чет­
которых не лежат на одной прямой.
ными номерами.
Докажите, что можно провести п от­
3611. На сторонах АВ , ВС и СА тре­
резков с разноцветными концами, не
имеющих общих точек.
угольника AB C зеленой краской отме­
248
ПЛАНИМ ЕТРИЯ
3617.
(Задача о бабочке.) Через сере­
что B A j = с, B C i = с, В К = В М и что
дину С произвольной хорды А В окруж­
отрезки А уМ и С ]К пересекаются на
ности (рис. 149) проведены две хорды
диагонали B D . Найдите В К и В М .
K L и M N (точки К и М лежат по одну
3620. В равнобедренном треуголь­
сторону от А В ). Отрезок K N пересекает
нике ABC угол при вершине В равен
А В в точке Р . Отрезок L M пересекает
20°. На боковых сторонах А В и СВ взя­
АВ в точке Q. Докажите, что PC = QC.
ты соответственно точки Q и Р так, что
3618. На основании АС равнобед­
ренного треугольника ABC взята точ­
ка D, а на отрезке B D — точка К так,
что A D : £)С = Z A K D : Z D K C = 2 : 1 .
Докажите, что Z A K D = Z ABC.
3619. Четырехугольник АВС£) впи­
сан в окружность, DC = т, D A = п. На
стороне В А взяты точки А ^ к К , а. на
стороне ВС — точки С^ и М . Известно,
Z QCA = 60°, а Z РАС = 50°. Найдите
AQPA.
3621. Окружность, построенная на
высоте A D прямоугольного треуголь­
ника ABC как на диаметре, пересекает
катет А В в точке К , а катет АС — в точ­
ке М . Отрезок К М пересекает высоту
A D в точке L . Известно, то отрезкиАК^,
A L и A M составляют геометрическую
прогрессию (т. е. А К : A L — A L : A M ).
Найдите острые углы треугольника
ABC.
3622. Докажите, что если A B CD вписанный четырехугольник, то сум­
ма радиусов окружностей, вписанных
в треугольники ABC иАС£), равна сум­
ме радиусов окружностей, вписанных
в треугольники BCD и BDA.
Стеоеометпия
Раздел 1
УЧЕБНЫЕ ЗАДАЧИ
1. ВЗАИМ НОЕ РАСП О ЛО Ж Е Н И Е
П Р Я М Ы Х И ПЛОСКОСТЕЙ.
ПАРАЛЛЕЛЬН О СТЬ
В П РО СТРАН СТВЕ
3623. Докажите, что через две па­
раллельные прямые можно провести
единственную плоскость.
3624. Докажите, что отрезки па­
раллельных прямых, заключенные
между двумя параллельными плос­
костями, равны.
3625. (Признак параллельности пря­
мой и плоскости.) Прямая с, не леж а­
щая в плоскости а, параллельна неко­
торой прямой этой плоскости. Дока­
жите, что прямая а параллельна плос­
кости а.
3626. Если через прямую а, парал­
лельную данной плоскости, проведена
плоскость, пересекающая данную, то
прямая пересечения плоскостей па­
раллельна прямой а.
3627. Докажите, что в пространст­
ве через точку, не лежащую на данной
прямой, можно провести единствен­
ную прямую, параллельную данной.
3628. Докажите, что две прямые,
параллельные одной и той же прямой,
параллельны.
3629. Прямая с леж ит в плоскости
а, а прямая Ь пересекает эту плоскость
в точке А , лежащей на прямой а. Дока­
жите, что с и Ь — скрещивающиеся
прямые.
3630. Прямые а VL Ъ параллельны.
Плоскость, проходящая через прямую
а, и плоскость, проходящая через пря­
мую Ъ, пересекаются по прямой с. До­
кажите, что прямая с параллельна
каждой из прямых с и Ь.
3631. (Признак параллельности плос­
костей.) Если две пересекающиеся пря­
мые одной плоскости соответственно
параллельны двум пересекающимся
прямым другой плоскости, то плос­
кости параллельны.
3632. Если две параллельные плос­
кости пересечь третьей, то прямые пе­
ресечения параллельны.
3633. Докажите, что через точку,
не лежащую на плоскости, можно про­
вести единственную плоскость, парал­
лельную данной.
3634. Докажите, что две плоскос­
ти, параллельные третьей, параллель­
ны между собой.
3635. Докажите, что плоскость, пе­
ресекающая одну из двух параллель­
ных плоскостей, пересекает и другую.
3636. Докажите, что если две пере­
секающиеся плоскости параллельны
некоторой прямой, то прямая их пере­
сечения параллельна этой же прямой.
3637. Точки А, Б, С и D не лежат в
одной плоскости. Докажите, что пря­
мые АВ и CD не пересекаются.
3638. Пусть А , В , С к D — четыре
точки, не лежащие в одной плоскости.
Докажите, что прямая АВ параллель­
на плоскости, проходящей через сере­
дины отрезков А2), B D и CD.
3639. Пусть А , В, С VL D — четыре
точки, не лежащие в одной плоскости.
Докажите, что плоскость, проходя­
щая через середины отрезков AD , B D и
CD, параллельна плоскости ABC.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3640. В пространстве проведены
две параллельные прямые и пересе­
кающие эти прямые две параллельные
плоскости. Докажите, что четыре точ­
ки пересечения прямых и плоскостей
служат вершинами параллелограмма.
3641. Пусть ABC — правильный тре­
угольник, В С К М — параллелограмм.
Найдите угол между прямыми А В и К М .
3642. Найдите сумму всех плоских
углов треугольной пирамиды.
3643. Докажите, что каждая пря­
мая, лежащая в одной из двух парал­
лельны х плоскостей, параллельна
другой плоскости.
3644. Пусть А , В, С ш D — четыре
точки в пространстве (рис. 150). Дока­
жите, что середины отрезков АВ, ВС,
CD и D A служат вершинами паралле­
лограмма.
3645. В основании пирамиды ле ­
жит многоугольник площади 6 . П лос­
кость, параллельная основанию, делит
высоту пирамиды в отношении 1 : 2 ,
считая от вершины. Найдите площадь
сечения пирамиды этой плоскостью.
3646. В пирамиде A B C D угол ЛВС
равен а. Найдите угол между прямы­
ми, одна из которых проходит через
середины ребер АС и ВС, а другая —
через середины ребер B D и CD.
3647. На одной из двух скрещиваю­
щихся прямых взяли различные точ­
ки А и Ах, на другой — различные точ­
ки Б и B i. Верно ли, что А В и А^В^ —
скрещивающиеся прямые?
3648. Рассмотрим прямоугольник
AB CD и точку Е , не лежащ ую в его
251
плоскости. Пусть плоскости А В Е и
C DE пересекаются по прямой I, а плос­
кости В С £ W.ADE — по прямой р. Най­
дите угол между прямыми l a p .
3649. Постройте изображение приз­
мы A B C A jB jC j, если даны изображе­
ния точек А , В, В^ и С^.
3650. Постройте изображение па­
раллелепипеда A B C D A iB ]C iD i, если
даны изображения точек А , В, D и A j.
3651. Постройте изображение па­
раллелепипеда ABCDAyBiCiD^, если
даны изображения точек А , В, С и D^.
3652. Пусть А — некоторая точка
пространства, не лежащая в плоскос­
ти а, М — произвольная точка плос­
кости а. Найдите геометрическое мес­
то середин отрезков A M .
3653. Докажите, что если сечение
параллелепипеда плоскостью являет­
ся многоугольником с числом сторон,
большим трех, то у этого многоуголь­
ника есть параллельные стороны.
3654. Основание
пирамиды
SABCD — произвольный четырех­
угольник ABCD. Постройте прямую
пересечения плоскостей A B S и CDS.
3655. Площадь основания пирами­
ды равна S. Через середину высоты пи­
рамиды проведена плоскость, парал­
лельная плоскости основания. Найди­
те площадь полученного сечения.
3656. Известно, что М vlN — точки
пересечения медиан граней A B D и
BCD тетраэдра ABCD (рис. 151). Най­
дите M N , если АС = а.
В
Рис. 151
252
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3657. На ребрах А В , ВС и B D пира­
миды A B C D взяты точки К , L vlM со­
ответственно. Постройте прямую пе­
ресечения плоскостей C D K и M L A .
3658. Сумма трех чисел, равных
количеству вершин, ребер и граней не­
которого многогранника, равна 1 0 2 .
Определите вид многогранника, если
известно, что это либо пирамида, либо
призма.
3659. Сумма трех чисел, равных
количеству вершин, ребер и граней не­
которого многогранника, равна 104.
Определите вид многогранника, если
известно, что это либо пирамида, либо
призма.
3660. Постройте изображение па­
раллелепипеда A B C D A iS jC iD i, если
даны изображения точек А , С,
и
3661. Основание
пирамиды
SABCD — параллелограмм АВС£). Ка­
кая фигура получится в сечении этой
пирамиды плоскостью А В М , где М —
точка на ребре SC?
3662. Прямые а к Ь пересекаются.
Докажите, что все прямые, парал­
лельные прямой Ь и пересекающие
прямую а, лежат в одной плоскости.
3663. Найдите геометрическое мес­
то середин всех отрезков, концы кото­
рых лежат в двух параллельных плос­
костях.
3664. Пусть А , В , С к D — четыре
точки пространства, не лежащие на
одной прямой. Докажите, что отрезок,
соединяющий середины А В и CD, пе­
ресекается с отрезком, соединяющим
середины A D и ВС. При этом каждый
из указанных отрезков делится точ­
кой пересечения пополам.
3665. Разрежьте треугольную приз­
му на три треугольные пирамиды.
3666. Может ли в сечении паралле­
лепипеда плоскостью получиться пра­
вильный пятиугольник?
3667. Докажите, что отрезки, со­
единяющие середины противополож­
ных ребер тетраэдра, пересекаются в
одной точке.
3668. Точка М — середина ребра
A D тетраэдра ABCD. Точка N лежит на
продолжении ребра А В за точку В,
точка К — на продолжении ребра АС
за точку С, причем B N = А В и СК =
= 2АС. Постройте сечение тетраэдра
плоскостью M N K . В каком отношении
эта плоскость делит ребра D B и DC?
3669. Пусть M vlN — точки пересе­
чения медиан граней A B D и BCD тет­
раэдра ABCD. Найдите М Ы , если из­
вестно, что АС = а.
3670. Дан тетраэдр ABCD. В каком
отношении плоскость, проходящая
через точки пересечения медиан гра­
ней ABC, A B D и BCD, делит ребро BD?
3671. У го л между противополож­
ными ребрами А В и CD пирамиды
AB CD равен а, А В = а, CD = Ь. Найдите
площадь сечения этой пирамиды плос­
костью, проходящей через середину
ребра ВС параллельно прямым А В и
CD.
3672. Прямая а параллельна плос­
кости а. Прямая Ъ, параллельная пря­
мой а, проходит через точку М плос­
кости а. Докажите, что прямая Ь ле ­
жит в плоскости а.
3673. Даны три попарно пересе­
кающиеся плоскости. Две из трех пря­
мых пересечения этих плоскостей пе­
ресекаются в точке М . Докажите, что
третья прямая проходит через точку М .
3674. Пусть А , В , С к D — четыре
точки, не лежащие в одной плоскости.
В каком отношении плоскость, прохо­
дящая через точки пересечения меди­
ан треугольников ABC, A B D vlBCD, де­
лит отрезок BD1
3675. Плоскость проходит через се­
редины ребер А В и АС пирамиды
AB CD и делит ребро B D в отношении
1 : 3. В каком отношении эта плос­
кость делит ребро CD?
3676. Найдите угол между прямы­
ми АС и B D , если расстояние между се­
рединами отрезков A D и ВС равно рас­
стоянию между серединами отрезков
ABnCD.
253
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3677. Н а ребрах А В , ВС и B D пира­
миды A B C D взяты точки К , L к М со­
ответственно. Постройте точку пересе­
чения плоскостей A C M , C D K vlA D L .
3678. На ребрах АВ , ВС и B D пира­
миды A B C D взяты точки К , Ь к М со­
ответственно. Постройте точку пересе­
чения плоскостей A M L , С К М и D K L .
3679. В пирамиде A B C D площадь
грани ABC в три раза больше площади
грани A B D . На ребре CD взята точка
М , причем С М : M D = 2. Через точку
М проведены плоскости, параллель­
ные граням AB C жA B D . Найдите отно­
шение площадей получившихся сече­
ний.
3680. Боковое ребро пирамиды раз­
делено на 1 0 0 равных частей и через
точки деления проведены плоскости,
параллельные основанию. Найдите от­
ношение площадей наибольшего и на­
именьшего из получившихся сечений.
3681. На боковом ребре А В пирами­
ды взяты точки К и М , причем А К =
= В М . Через эти точки проведены се­
чения, параллельные основанию пи­
рамиды. Известно, что сумма площадеи этих сечении составляет -2 площа3
ди основания пирамиды. Найдите от­
ношение К М : А В .
3682. В
треугольной
пирамиде
AB C D площади граней ABC k A B D рав­
ны 3 и 4. Через точку на ребре CD про­
ведены плоскости, параллельные ABC
и A B D и пересекающие пирамиду по
равновеликим треугольникам. В ка­
ком отношении эта плоскость делит
ребро CD?
3683. Постройте изображение приз­
мы ABCA^B^Cj, если даны изображения
середин отрезковАА^, ВС, СС^ и А^С^.
3684. Плоскость, проходящая че­
рез середины ребер А В и CD треуголь­
ной пирамиды A B C D , делит ребро A D
в отношении 3 : 1 , считая от вершины
А . В каком отношении эта плоскость
делит ребро ВС?
3685.
В
параллелепипеде
A B C D A iB ^ C iD i проведен отрезок, со­
единяющий вершину А с серединой
ребра CCi (рис. 152). В каком отноше­
нии этот отрезок делится плоскостью
BD Ai?
Р и с . 152
3686. Дана треугольная призма
ABCAxBjCi. Точки M , N к К — середи­
ны ребер ВС, АС и А В соответственно.
Докажите, что прямые М А^, NB^ и
K C i пересекаются в одной точке.
3687. Через вершину С тетраэдра
A B C D и середины ребер A D и BD про­
ведена плоскость. В каком отношении
эта плоскость делит отрезок M N , где
М VIN — середины ребер А В и CD соот­
ветственно?
3688. В призме АВСА^В^С^ медианы
основанийАВС иА^В^С! пересекаются
соответственно в точках О и О^. Через
середину отрезка ОО^ проведена пря­
мая, параллельная прямой СА^. Най­
дите длину отрезка этой прямой, ле­
жащего внутри призмы, если СА^ = а.
3689. Ос н о в а н и е
пирамиды
SABCD — параллелограмм ABCD;
М — середина А В , N — середина SC.
В каком отношении плоскость B SD де­
ли т отрезок M N 7
3690. Точки М и N лежат на реб­
рах ВС и A A i параллелепипеда
A B C D A ^B ]C iD i. Постройте точку пе­
ресечения прямой M N с плоскостью
основания A^BiC^Di.
254
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3691. Постройте сечения треуголь­
ной пирамиды ABCD плоскостью, про­
ходящей через середины М ш N ребер
АС и B D и точку К ребра CD такую, что
С К : K D = 1 : 2 . В каком отношении
эта плоскость делит ребро АВ?
3692. Докажите, что прямая, пере­
секающая одну из двух параллельных
плоскостей, пересекает и другую.
3693.В пространстве проведены
три прямые, не лежащие в одной плос­
кости, но при этом никакие две не яв­
ляются скрещивающимися. Докажи­
те, что все эти прямые проходят через
одну точку либо параллельны.
3694. Докажите, что через любую
из двух скрещивающихся прямых
можно провести плоскость, парал­
лельную другой прямой.
3695. Пусть А , В , С к D — четыре
точки, не лежащие в одной плоскости.
Через точку пересечения медиан тре­
угольника A B C проведена плоскость,
параллельная прямым А В и CD. В ка­
ком отношении эта плоскость делит
медиану, проведенную к стороне CD
треугольника ACD1
3696. На ребрах А В , CD и АС пира­
миды A B C D взяты точки К , М к Q со­
ответственно. Постройте точку пересе­
чения прямой К М с плоскостью BDQ.
3697. На ребрах А В , ВС, CD, DA,
B D и AC пирамиды A B C D взяты точки
К , L , M , Р , N и Q соответственно. Пост­
ройте точку пересечения плоскостей
A L M , CNP и DKQ.
3698. Точка К леж ит на ребре АВ
пирамиды A B C D . Постройте сечение
пирамиды плоскостью, проходящей
через точку К параллельно прямым
BCnAD.
3699. Два противоположных ребра
треугольной пирамиды равны о, два
других противоположных ребра рав­
ны Ь, два оставшихся — с. Найдите ко­
синус угла между ребрами, равными а.
3700. В тетраэдре A B CD проведены
медианы A M и D N граней ACD vlA D B .
На этих медианах взяты соответствен­
но точки E v iF так, что E F параллельна
ВС. Найдите отношение E F : ВС.
3701. Докажите, что диагональ ACj
параллелепипеда ABCDA^^BiC^Di про­
ходит через точки пересечения медиан
треугольников A iB D и CB^Di и делит­
ся ими на три равные части.
3702. Основание четырехугольной
пирамиды SABCD — параллелограмм
ABCD.
1) Постройте сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через сере­
дину ребра АВ параллельно плоскости
SAD.
2) Найдите площадь полученного
сечения, если площадь грани SAD рав­
на 16.
3703. Даны несколько прямых в
пространстве, каждые две из которых
пересекаются. Докажите, что либо все
эти прямые лежат в одной плоскости,
либо все проходят через одну точку.
3704. Рассмотрим две скрещиваю­
щиеся прямые а к Ь. Проведем через
прямую а плоскость, параллельную Ь,
а через Ь — плоскость, параллельную
а. Возьмем точку М , не лежащую в
проведенных плоскостях. Докажите,
что две плоскости, одна из которых
проходит через а к М , а вторая — че­
рез Ь и М , пересекаются по прямой, пе­
ресекающей прямые а и Ь.
3705. Плоскость проходит через се­
редины ребер АВ и CD пирамиды
A B C D и делит ребро B D в отношении
1 : 3. В каком отношении эта плос­
кость делит ребро АС?
3706. Д ан
параллелепипед
ABCDA^B^CiDi. На ребрах A D , A^D^ и
ByCi взяты соответственно точки М , L
и К , причем В^К =
A jL , A M = \ A i L.
О
Известно, что K L = 2. Найдите длину
отрезка, по которому плоскость K L M
пересекает параллелограмм ABCD.
3707. Найдите угол между прямымиАС иБХ), еслиАС = 6 , B D = 10, а рас­
5
СТЕРЕОМЕТРИЯ
стояние между серединами A D и ВС
равно 7.
3708. На ребрах A D , DC и ВС пира­
миды A B C D взяты точки К , L v i M со­
ответственно. Постройте прямую, про­
ходящую через точку М и пересекаю­
щую прямые В К u A L .
3709. В основании правильной тре­
угольной пирамиды леж ит треуголь­
ник площади S, площадь боковой гра­
ни равна Q. Найдите площадь сечения
этой пирамиды плоскостью, проходя­
щей через сторону основания и середи­
ну противоположного ребра.
3710. Разрежьте куб на три равные
четырехугольные пирамиды.
3711. Через точку на ребре тре­
угольной пирамиды проведены две
плоскости, параллельные двум гра­
ням пирамиды. Эти плоскости отсека­
ют две треугольные пирамиды. Раз­
режьте оставшийся многогранник на
две треугольные призмы.
3712. В
параллелепипеде
A B C D A iB ^ C iD i на прямых АС и ВА^
взяты точки К и М так, что К М ||D Bj
( рис. 153) . Н а й д и т е о т н о ше н и е
К М : D B i.
3713. Через данную точку про­
странства проведите прямую, пересе­
кающую две данные скрещивающиеся
прямые.
3714. Докажите, что через данную
точку можно провести единственную
плоскость, параллельную двум дан­
ным скрещивающимся прямым.
255
3715. Докажите, что выпуклый че­
тырехгранный угол можно пересечь
плоскостью так, чтобы в сечении полу­
чился параллелограмм.
3716. Докажите, что медианы тет­
раэдра (отрезки, соединяющие верши­
ны с точками пересечения медиан про­
тиволежащих граней) пересекаются в
одной точке и делятся ею в отношении
3 : 1 , считая от вершины.
3717. Дан тетраэдр ABCD. Точки
M , N k K лежат на ребрах AD , ВС и DC
соответственно, причем A M : M D =
= 1 : 3 , B N -.N C = 1 : 1 и C K : K D =
= 1 : 2 . Постройте сечение тетраэдра
плоскостью M N K . В каком отноше­
нии эта плоскость делит ребро АВ?
3718. Дана четырехугольная пира­
мида SABCD, основание которой —
трапеция A B C D . Отношение основа­
ний A D и ВС этой трапеции равно 2.
Постройте сечение пирамиды плоско­
стью, проходящей через точку D и се­
редины ребер SA и SB . В каком отно­
шении эта плоскость делит ребро SC?
3719. На ребрах А В , ВС и A D тет­
раэдра AB CD взяты точки К , N и М
соответственно, причем А К : К В =
= B N : N C = 2:1, A M : M D = 3:1.
Постройте сечение тетраэдра плоско­
стью, проходящей через точки К, М и
N . В каком отношении эта плоскость
делит ребро CD?
3720. Пусть М — точка пересече­
ния медиан основания AB C треуголь­
ной призмы АВСА^Б^Сх; N к К — точ­
ки пересечения диагоналей граней
A A f iiC и ВВ^С^С соответственно.
Плоскость M N K пересекает прямые
B^Ci и CCi в точках Р и Q соответствен­
но. Постройте сечение призмы плоско­
стью M N K и найдите отношения
В^Р : B ^ C i k C i Q : СС^.
3721. Через середины М к N ребер
AD
и
CCi
параллелепипеда
ABCDAiB^C^Di проведена плоскость
параллельно диагонали DB^. Построй­
те сечение параллелепипеда этой плос­
256
СТЕРЕОМЕТРИЯ
костью. В каком отношении она делит
ребро ВВ{1
3722. Дана четырехугольная пира­
мида SABCD, основание которой —
параллелограмм A BCD. Точки М , N и
К лежат на ребрах A S , B S и CS соответ­
ственно, причем A M : M S = 1 : 2 ,
B N : N S = l i Z , C K - . K S - l - . l . Пост­
ройте сечение пирамиды плоскостью
M N K . В каком отношении эта плос­
кость делит ребро SD?
3723. Дана четырехугольная пира­
мида SABCD, основание которой —
параллелограмм A B C D . Через середи­
ну ребра А В проведите плоскость, па­
раллельную прямым АС и SD . В каком
отношении эта плоскость делит ребро
SB7
3724. Пусть М — точка пересече­
ния медиан основания АБС треуголь­
ной призмыАВСА^Б^С^; N к К — точ­
ки пересечения диагоналей граней
AA^CjC и ВВ^С^С соответственно.
Плоскость M N K пересекает прямые
B^Ci и CCj в точках Р и Q соответствен­
но. Постройте сечение призмы плоско­
стью M N K и найдите отношения
В^Р i B i C i K C i Q :СС^.
3725. Через середину ребра А В куба
A D C D A ^ B iC iD i с ребром, равным а,
проведена плоскость, параллельная
прямым В £ > 1 иА^С^.
1) В каком отношении эта плос­
кость делит диагональ B D i?
2) Найдите площадь полученного
сечения.
3726. О с н о в а н и е
пирамиды
SABCD — параллелограмм ABCD.
Плоскость проведена через сторону
А В и середину М бокового ребра SC.
1) Постройте сечение пирамиды
этой плоскостью.
2) В каком отношении эта плос­
кость делит объем пирамиды?
3727. Три отрезка, не лежащие в
одной плоскости, пересекаются в од­
ной точке и делятся ею пополам. Дока­
жите, что существует ровно два тетра­
эдра, в которых эти отрезки соединя­
ют середины противоположных ребер.
3728. Докажите, что сумма квадра­
тов всех ребер тетраэдра равна учетве­
ренной сумме квадратов расстояний
между серединами его противополож­
ных ребер.
3729. На диагоналях A B j и
гра­
ней параллелепипеда ABCDAiBiC^Di
взяты точки М и N так, что отрезки
M N и А ]С параллельны (рис. 154).
Найдите отношение этих отрезков.
В,
Рис. 154
3730. Сколько различных пирамид
можно составить из шести отрезков
длиной 1, 2, 2, 3, 3, 3 (эти отрезки рав­
ны ребрам пирамиды)?
3731. Рассмотрим две треугольные
пирамиды, вершинами которых слу­
жат вершины данного параллелепипе­
да (каждая вершина параллелепипеда
является вершиной одной пирамиды).
Возможно ли, чтобы каждая вершина
одной из пирамид принадлежала плос­
кости грани другой пирамиды, и на­
оборот?
3732. Укаж ите все точки на диа­
гонали A C i параллелепипеда
A B C D A iB iC iD ^, через которые нельзя
провести прямую, пересекающую пря­
мые а) ВС и D D i; б) А^В и В^С.
3733. Постройте изображение па­
раллелепипеда A B C D A iB ]C iD i, если
даны изображения середин отрезков
А В ^ , B C i, C D v l A i D i -
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3734. Докажите, что если суммы
плоских углов при трех вершинах тре­
угольной пирамиды равны по 180°, то
все грани этой пирамиды — равные
треугольники (т. е. пирамида являет­
ся равногранной).
3735. В т р е у г о л ь н о й призме
АВСАф^С^ точки М и N — середины
боковых ребер A A j и СС^ соответствен­
но. На отрезках С М и АВ^ расположе­
ны соответственно точки Е и F так,
что E F II В М . На й д ит е отн ош ен и е
EF : BN.
3736. Дан произвольный трехгран­
ный угол. Рассматриваются три плос­
кости, каждая из которых проведена
через ребро и биссектрису противоле­
жащей грани. Верно ли , что эти три
плоскости пересекаются по одной пря­
мой?
3737. Постройте сечение треуголь­
ной призмы A BCA^B]Ci плоскостью,
проходящей через точки
и С парал­
лельно прямой B C j. В каком отноше­
нии эта плоскость делит ребро АВ?
3738. Через середины М к N ре­
бер A D и CCj параллелепипеда
A B C D A iB ^C iD i проведена плоскость
параллельно диагонали
Построй­
те сечение параллелепипеда этой плос­
костью. В каком отношении она делит
ребро B B i?
3739. Точки М , N к К лежат на реб­
рах ВС, A A i и C iD i параллелепипеда
АВСВАф^С^В^. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, прохо­
дящей через эти точки.
3740. Дан кубАВСВА^В^С^В^ с реб­
ром, равным а. На лучах С^С, С^В^ и
C jD i отложены соответственно отрезки
C j M , Cj^N и С^К, равные | а. Построй­
те сечение этого куба плоскостью, про­
ходящей через точки М , N , К , и най­
дите площадь полученного сечения.
3741. Найдите геометрическое мес­
то середин отрезков с концами на двух
заданных скрещивающихся прямых.
9 С борн ик задач по геометрии
257
3742. В пирамиде A B C D точки М , F
и К — середины ребер ВС, A D и CD со­
ответственно. На прямых A M и CF
взяты соответственно точки Р и Q,
причем PQ II В К . Найдите отношение
FQ : В К .
3743. В прямоугольнике A B CD да­
ны стороны А В = 3, ВС = 4. Точка К
удалена от точек А , Б и С на расстояния,
равные JT6 ,2 и 3 соответственно. Най­
дите угол между прямыми СК и BD.
3744. Постройте изображение па­
раллелепипеда A B C D A iB ^C iD i, если
даны изображения вершин А , В и
центров граней A iS iC ijD i и CDD^Ci3745. Д а н п а р а л л е л е п и п е д
A B C D A iB iC iD i- Точки М , N , К — се­
редины ребер А В , ВС и DDj соответ­
ственно. Постройте сечение паралле­
лепипеда плоскостью M N K . В каком
отношении эта плоскость делит ребро
CCi и диагональ
3746. В тетраэдре ABCD через серед и н уМ ребраА О , вершину С и точку
ребра B D такую, что B N : N D = 2 : 1 ,
проведена плоскость. В каком отноше­
нии эта плоскость делит отрезок, со­
единяющий середины ребер А В и CD?
3747. На ребре A D и диагонали A jC
параллелепипеда AB C D A ^B iC iD i взя­
ты соответственно точки М и N так,
что прямая M N параллельна плоскос­
ти B D C i к A M : A D = 1 : 5 . Найдите от­
ношение C N : CAi.
3748. На ребрах А В , ВС, CD, D A и
АС пирамиды A B C D взяты точки К , L,
М , P , N k Q соответственно. Постройте
прямую, по которой пересекаются
плоскости K L M и P N Q .
3749. Точки K v i M лежат на ребрах
соответственно CD и А В пирамиды
ABCD. Постройте сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через точки
К к М параллельно прямой AD.
3750. Через точку пространства про­
ведены четыре плоскости, никакие три
из которых не имеют общей прямой. На
сколько частей делят пространство эти
258
СТЕРЕОМЕТРИЯ
плоскости? Как называются образовав­
шиеся части пространства?
3751. Докажите, что квадрат мо­
жет служить разверткой некоторой
треугольной пирамиды.
3752. Плоскость пересекает ребра
АВуАС, DC и D B тетраэдра ABCD в точ­
ках М , N , Р VL Q соответственно, при­
чем A M : M B = т, A N : N C = п,
D P : PC = p. Найдите отношение
BQ : QB.
3753. В тетраэдре AS C D через сере­
дину М ребра A D , вершину С и точку N
ребра B D такую, что B N : N D = 2 : 1 ,
проведена плоскость. В каком отноше­
нии эта плоскость делит отрезок К Р ,
где К VI Р —• середины ребер А В и CD
соответственно?
3754. В
треугольной
призме
ABCA^B^Ci точки М W N — середины
ребер B B i и CCi- Через точку О пересе­
чения медиан треугольника ABC про­
ведена прямая, пересекающая пря­
мые M N и A B j в точках Р и Q соответ­
ственно. Найдите отношение PQ : OQ.
3755. Постройте сечение треуголь­
ной пирамиды плоскостью, проходя­
щей через три точки, лежащие в трех
гранях пирамиды.
3756. На трех гранях параллелепи­
педа взято по точке (рис. 155). Пост­
ройте сечение параллелепипеда плос­
костью, проходящей через эти точки.
3758. Плоский угол при вершине
правильной треугольной пирамиды
A B C D с основанием ABC равен а.
Правильная
усеченная
пирамида
ABCA^BiC^ разрезана по пяти ребрам:
А^В^, B^Ci, С^С, СА и АВ, после чего
эту пирамиду развернули на плос­
кость. При каких значениях а полу­
чившаяся развертка будет обязатель­
но накрывать сама себя?
3759. На плоскости даны три луча с
общим началом. Они делят плоскость
на три тупых угла, внутри которых
взято по точке. Постройте треуголь­
ник, вершины которого лежат на дан­
ных лучах, а стороны проходят через
данные точки.
2. П Е Р П Е Н Д И К У Л Я Р
К ПЛОСКОСТИ. ТЕОРЕМ А
О ТРЕХ П ЕРП ЕН ДИ КУЛЯРАХ
3760. Докажите, что прямая пер­
пендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна двум пересекаю­
щимся прямым этой плоскости.
3761. Боковые ребра пирамиды
равны между собой. Докажите, что
высота пирамиды проходит через
центр окружности, описанной около
основания.
3762. Докажите, что если одна из
двух параллельных прямых перпен­
дикулярна некоторой плоскости, то и
вторая прямая перпендикулярна этой
плоскости.
3763. Докажите, что две прямые,
перпендикулярные одной и той же
плоскости, параллельны.
3764. Докажите, что через данную
точку можно провести единственную
плоскость, перпендикулярную данной
прямой.
3757.
Докажите, что если у тетра­ 3765. Докажите, что две различные
эдра равны два противоположных реб­
плоскости, перпендикулярные одной
ра, а суммы плоских углов при двух
и той же прямой, параллельны.
вершинах равны по 180°, то все грани
3766. Докажите, что если прямая
тетраэдра — равные треугольники.
перпендикулярна одной из двух па­
СТЕРЕОМЕТРИЯ
раллельных плоскостей, то она пер­
пендикулярна и другой.
3767. Докажите, что через данную
точку можно провести единственную
прямую, перпендикулярную данной
плоскости.
3 7 6 8 . (Теорема о трех перпендикуля­
рах.) Докажите, что прямая, лежащая
в плоскости, перпендикулярна на­
клонной тогда и только тогда, когда
она перпендикулярна ортогональной
проекции этой наклонной на данную
плоскость.
3769. Докажите, что через одну из
двух перпендикулярных скрещиваю­
щихся прямых можно провести един­
ственную плоскость, перпендикуляр­
ную другой.
3770. (Необходимое и достаточное
условия перпендикулярности плоскос­
тей.) Докажите, что две плоскости пер­
пендикулярны тогда и только тогда,
когда одна из них проходит через пря­
мую, перпендикулярную другой.
3771. Точка А леж ит в плоскости а,
ортогональная проекция отрезка А В
на эту плоскость равна 1, А В = 2. Най­
дите расстояние от точки В до плоскос­
ти а.
3772. Верно л и утверждение, что
две прямые, перпендикулярные одной
и той же прямой, параллельны?
3773. Найдите диагональ единич­
ного куба.
3774. Дан куб A B C
с реб­
ром, равным а. Докажите, что АА-^ и
ВС — скрещивающиеся прямые, пост­
ройте их общий перпендикуляр и най­
дите расстояние между ними.
3775. Пусть А — некоторая точка
пространства, В — ортогональная про­
екция точки А на плоскость а, I — не­
которая прямая этой плоскости. Дока­
жите, что ортогональные проекции то­
чек А п В на эту прямую совпадают.
3776. Точка М находится на рас­
стоянии а от плоскости а и на расстоя­
нии Ь от некоторой прямой т этой
плоскости. Пусть
— ортогональная
259
проекция точки М на плоскость а.
Найдите расстояние от точки
до
прямой т.
3777. В пирамиде A B C D ребра AD,
В В и СВ равны 5, расстояние от точки
В до плоскости AB C равно 4. Найдите
радиус окружности, описанной около
треугольника A B C .
3778. Найдите расстояние от цент­
ра грани единичного куба до вершин
противоположной грани.
3779. Высота прямоугольного тре­
угольника ABC, опущенная на гипоте­
нузу, равна 9,6. Из вершины С прямо­
го угла восставлен к плоскости тре­
угольника A B C перпендикуляр С М ,
причем С М = 28. Найдите расстояние
от точке М до гипотенузы А_В.
3780. Точка М равноудалена от
вершин треугольника ABC. Докажи­
те, что ортогональная проекция точки
М на плоскость ABC есть центр опи­
санной около треугольника ABC ок­
ружности.
3781. Д о к а ж и т е , что в кубе
A B C B A ^ iC ^ B i прямые АС^ и В В пер­
пендикулярны (рис. 156).
Рис. 156
3782. Все боковые ребра пирамиды
равны Ь, а высота равна Л. Найдите ра­
диус описанной около основания ок­
ружности.
3783. Даны две неперпендикуляр­
ные скрещивающиеся прямые. Мож­
но ли через одну из них провести плос­
кость, перпендикулярную другой?
260
СТЕРЮ МЕТРИЯ
3784. Известно, что некоторая точ­
ка М в пространстве равноудалена от
вершин плоского многоугольника. До­
кажите, что этот многоугольник явля­
ется вписанным, причем центр его
описанной окружности есть ортого­
нальная проекция точки М на плос­
кость многоугольника.
3785. Дан кубАВСВАф^СхВ^ с реб­
ром, равным а. Найдите площадь сече­
ния этого куба плоскостью, проходя­
щей через вершины С,
3786. Дан кубA B C D A iS jC iD i с реб­
ром, равным а. Найдите площадь сече­
ния этого куба плоскостью, проходя­
щей через вершину С и середины ребер
С\В-^ и
3787. В прямоугольном параллеле­
пипеде ABCD AiB^CiD j диагоналиАС и
B D основания AJBCD пересекаются в
точке М , причем Z А М В = а. Найдите
площадь боковой поверхности парал­
лелепипеда, e c n u B iM = b , Z B M B i = р.
3788. Известно, что некоторая точ­
ка М равноудалена от двух пересекаю­
щихся прямых т и п . Докажите, что
ортогональная проекция точки М на
плоскость прямых т и п леж ит на бис­
сектрисе одного из углов, образован­
ных прямыми т и п .
3789. Прямая I проходит через точ­
ку, лежащую на окружности с цент­
ром О и радиусом г. Известно, что ор­
тогональной проекцией прямой I на
плоскость окружности является пря­
мая, касающаяся этой окружности.
Найдите расстояние от точки О до пря­
мой I.
3790. Все попарные расстояния
между четырьмя точками в простран­
стве равны 1. Найдите расстояние от
одной из этих точек до плоскости, оп­
ределяемой тремя другими.
3791. Диагональ прямоугольного
параллелепипеда равна 13, а диагона­
ли боковых граней равны 4^/10 и
3 J l 7 . Найдите его объем.
3792. Дан куб АВСВА^В^С^В^ с реб­
ром, равным а. Найдите расстояние
между прямыми A A j кВВ^ и построй­
те их общий перпендикуляр.
3793. Верно ли, что в пространстве
углы со взаимно перпендикулярными
сторонами равны или составляют в
сумме 180°?
3794. Найдите расстояние между
серединами двух скрещивающихся
ребер куба, полная поверхность кото­
рого равна 36.
3795. В
треугольной
пирамиде
A B C D найдите угол между прямыми
A D и ВС, если А В = АС и Z DAB =
= Z ВАС.
3796. В основании треугольной пи­
рамиды лежит прямоугольный тре­
угольник с катетами а и Ь. Боковые
ребра равны I. Найдите высоту пира­
миды.
3797. Диагонали трех различных
граней прямоугольного параллелепи­
педа равны т, п и р. Найдите диаго­
наль параллелепипеда.
3798. Через диагональ куба, ребро
которого равно а, проведена плос­
кость, параллельная диагонали одной
из граней куба. Найдите площадь по­
лученного сечения.
3799. Докажите, что прямая и
плоскость параллельны, если они пер­
пендикулярны одной и той же пря­
мой.
3800. Через каждую вершину еди­
ничного куба проведены плоскости,
перпендикулярные одной и той же
диагонали куба. На какие части де­
лится диагональ этими плоскостя­
ми?
3801. Точки А и В лежат в плоскос­
ти а, М — такая точка в пространстве,
для которой А М = 2, В М = 5 и ортого­
нальная проекция на плоскость а от­
резка В М в три раза больше ортого­
нальной проекции на эту плоскость от­
резка А М . Найдите расстояние от точ­
ки М до плоскости а.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
261
A A j = Ь, A D = с. Найдите отношение
3802.
В
треугольной
пирамиде
A B C D известно, что А В = 2, ВС = 3,
суммы квадратов сторон треугольника
K
L M к квадрату диагонали паралле­
B D = 4 , A D = 2 j 5 , C D = 5 (рис. 157).
лепипеда.
Докажите, что прямая B D перпенди­
3810. Даны скрещивающиеся пря­
кулярна плоскости ABC.
мые а и Ь и плоскость а, перпендику­
лярная прямой а и пересекающая ее в
D
точке А . Докажите что расстояние
между прямыми а к Ь равно расстоя­
нию от точки А до ортогональной про­
екции Ь' прямой Ь на плоскость а, а
угол между прямыми b u b ' дополняет
до 90° угол между прямыми а и Ъ.
3811. В правильной шестиуголь­
Рис. 157
ной пирамиде, у которой боковые сто­
роны — квадраты, проведите плос­
3803. Расстояния от концов отрез­
кость через сторону нижнего основа­
ка до плоскости равны 1 и 3. Чем у мо­
ния и противолежащую ей сторону
жет быть равно расстояние от середи­
верхнего основания. Найдите пло­
ны этого отрезка до той же плоскости?
щадь построенного сечения, если сто­
3804. Пусть А , В, С и D — четыре
рона основания равна а.
точки в пространстве. Докажите, что
3812. Даны три попарно перпенди­
если Л В = ВС и CD = D A, то прямые АС
кулярные прямые. Четвертая прямая
и B D перпендикулярны.
образует с данными прямыми углы а,
3805. В пирамиде A B C D медиана,
Р , Y соответственно. Докажите, что
проведенная к стороне A D треугольни­
cos^ а + cos^ Р + cos^ Y = 1ка A B D , равна половине A D , а меди­
ана, проведенная к стороне CD тре­
3813. Докажите, что прямая, лежа­
угольника BCD, равна половине CD.
щая в одной из двух перпендикуляр­
Докажите, что прямая B D перпенди­
ных плоскостей и перпендикулярная
кулярна плоскости ABC.
прямой пересечения этих плоскостей,
3806. Докажите, что геометриче­
перпендикулярна второй плоскости.
ское место точек, равноудаленных от
3814. Через точку, лежащую в од­
двух заданных точек пространства,
ной из двух перпендикулярных плос­
есть плоскость, перпендикулярная от­
костей, проведена прямая, перпенди­
резку с концами в этих точках и прохо­
кулярная второй плоскости. Докажи­
дящая через середину этого отрезка.
те, что эта прямая леж ит в первой
3807. Ортогональные проекции от­
плоскости.
резка на три попарно перпендикуляр­
3815. Высота треугольной пирами­
ные прямые равны 1, 2 и 3. Найдите
ды проходит через точку пересечения
длину этого отрезка.
высот треугольника основания. Дока­
3808. Найдите расстояние между
жите, что противоположные ребра пи­
серединами непараллельных сторон
рамиды попарно перпендикулярны.
разных оснований правильной тре­
3816. Верно ли, что высоты любого
угольной призмы, все ребра которой
тетраэдра пересекаются в одной точке?
равны 2.
3817. Высоты, проведенные из вер­
3809. Пусть К , L и М — середины
шин В и С тетраэдра ABCD, пересека­
ребер соответственно A D , AiB^ и СС^
ются. Докажите, что A D JL ВС.
прямоугольного
параллелепипеда
3818. Диагонали граней прямо­
ABCDA^B^C^D^, в котором А В = а.
угольного параллелепипеда равны а, Ь
262
СТЕРЕОМЕТРИЯ
и с. Найдите площадь его полной по­
верхности.
3819. Правильная треугольная пи­
рамида рассечена плоскостью, перпен­
дикулярной основанию и делящей две
стороны основания пополам. Найдите
площадь сечения пирамиды этой плос­
костью, если известно, что сторона ос­
нования равна 2 , а высота пирамиды
равна 4.
3820. Дан v.yQABCDA^B]C^D^ с реб­
ром а. Пусть М — середина ребра
D jC j. Найдите периметр треугольника
A ^D M , а также расстояние от верши­
ны D i до плоскости, проходящей через
вершины этого треугольника.
3821. Можно ли расположить в
пространстве четыре попарно перпен­
дикулярные прямые?
3822. Точка М находится на рас­
стояниях, равных 5 и 4, от двух парал­
лельны х прямых m и п и на расстоя­
нии, равном 3, от плоскости, проходя­
щей через эти прямые. Найдите рас­
стояние между прямыми т и п .
3823. Все ребра треугольной пира­
миды равны между собой. Найдите
расстояние между медианой одной из
ее граней и скрещивающимся с этой
медианой ребром пирамиды.
3824. Все плоские углы при верши­
не треугольной пирамиды — прямые.
Докажите, что ортогональная проек­
ция этой вершины на плоскость осно­
вания совпадает с точкой пересечения
высот основания.
3825. Три отрезка, не лежащие в
одной плоскости, имеют общую точку
и делятся этой точкой пополам. Дока­
жите, что концы этих отрезков служат
вершинами параллелепипеда.
3826. Ребра прямоугольного парал­
лелепипеда равны a,bvLC. Найдите уг­
лы между его диагоналями.
3827. Ребра прямоугольного парал­
лелепипеда равны а, Ь VI с. Найдите
угол между диагональю параллелепи­
педа и скрещивающейся с ней диаго­
налью грани со сторонами а и Ь.
3828. Расстояния от трех вершин
параллелепипеда до противополож­
ных граней равны 2, 3 и 4. Полная по­
верхность параллелепипеда равна 36.
Найдите площади граней параллеле­
пипеда.
3829. Каждое из боковых ребер пи­
рамиды равно ^
. Основание пирами-
ды — треугольник со сторонами 13,
14, 15. Найдите объем пирамиды.
3830. Дан куб A B C Z M iS iC iD j с реб­
ром, равным с. Найдите расстояние
между прямыми BD^ и DC^ и построй­
те их общий перпендикуляр.
3831. Существует
ли
четырех­
угольная пирамида, у которой две про­
тивоположные боковые грани перпен­
дикулярны плоскости основания?
3832. Концы отрезка А В принадле­
жат граням двугранного угла, равного
ф. Расстояния
и ВВ-^ от точек А и В
до ребра двугранного угла равны а и Ь
соответственно, А^В^ = с. Найдите АВ.
3833. Прямоугольник ЛВС1) со сто­
ронами a v i b перегнули по диагонали
B D так, что плоскости треугольников
BAD и BCD стали взаимно перпенди­
кулярны. Найдите АС.
3834. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а.
Через одно из ребер основания прове­
дена плоскость, перпендикулярная
противоположному боковому ребру и
делящ ая это ребро в отношении т : п,
с ч и т а я от в е р ш и н ы о с н о в а н и я
(рис. 158). Найдите полную поверх­
ность пирамиды.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3835. В правильной треугольной
призме АВСАф^Сх проведено сечение
плоскостью, проходящей через сере­
дину М ребра Л В , точку
и точку К ,
лежащую на ребре АС и делящую его в
отношении А К : К С = 1 : 3 . Найдите
площадь сечения, если известно, что
сторона основания призмы равна а, а
высота призмы равна 2 а.
3836. В прямом параллелепипеде
ABCDAiB^C^D^ с основаниями ABCD и
Аф^С^В^ известно, что А В = 29, A D =
= 36, B D = 25, A A i = 48. Найдите пло­
щадь c&iewinAB^C^D.
3837. Пусть проекция вершины А
параллелепипеда АВСВАф^С^В^ на
некоторую плоскость лежит внутри
проекции на эту плоскость треуголь­
ника Aj^BD. Докажите, что площадь
проекции параллелепипеда в два раза
больше площади проекции треуголь­
ника А^БХ).
3838. Д ан
единичный
куб
A B C D A iB iC iD ^ , М — середина ВВ^.
Найдите угол и расстояние между пря­
мыми A B i и С М . В каком отношении
общий перпендикуляр этих прямых
делит отрезок СМ?
3839. Д ан
единичный
куб
A B C D A iB iC iD i, М — середина B B iНайдите угол и расстояние между пря­
мыми А^В и СМ . В каком отношении
общий перпендикуляр этих прямых
делит отрезок СМ?
3840. Д ан
единичный
куб
A B C D A iB iC iD i, М — середина ВВ^.
Найдите угол и расстояние между пря­
мыми A B j и D M . В каком отношении
общий перпендикуляр этих прямых
делит отрезок D M ?
3841. Через середину диагонали
куба перпендикулярно ей проведена
плоскость. Найдите площадь получен­
ного сечения, если ребро куба равно а.
3842. Основание пирамиды — пря­
моугольник со сторонами 6 и 8 . Одно
из боковых ребер перпендикулярно
плоскости основания и равно 6 . Най­
дите расстояние между этим ребром и
263
скрещивающемся с ним диагональю
основания, а также боковую поверх­
ность пирамиды.
3843. Основанием пирамиды
SABCD является равнобедренная тра­
пеция AB CD , в которой А В = ВС = а,
A D = 2а. Плоскости граней SAB и SCD
перпендикулярны плоскости основа­
ния пирамиды. Найдите высоту пира­
миды, если высота грани SAD, прове­
денная из вершины S, равна 2а.
3844. Известно, что в тетраэдре
A B C D ребро А В перпендикулярно реб­
ру CD, а ребро ВС перпендикулярно
ребру AD . Докажите, что реброАС пер­
пендикулярно ребру BD.
3845. Докажите, что противопо­
ложные ребра тетраэдра АБСХ) попар­
но перпендикулярны тогда и только
тогда, когда
АВ2 + СГ)2 = АС2 -t- BD^ = AD^ + ВС"^.
3846. Докажите, что все грани тет­
раэдра равны тогда и только тогда,
когда отрезки, соединяющие середи­
ны противоположных ребер, попарно
перпендикулярны.
3847. Основанием пирамиды SABC
является правильный треугольник,
сторона которого равна 2 ^/З . Основа­
нием высоты, опущенной из вершины
S, является точка О, лежащая внутри
треугольникаАВС. Расстояния от точ­
ки О до сторон А В , ВС и СА находятся
в отношении 2 : 1 : 3 . Площадь грани
SAB равна
. Найдите высоту пира­
миды.
3848. Точка М равноудалена от
трех прямых А В , ВС и АС . Докажите,
что ортогональная проекция точки М
на плоскость A B C является центром
вписанной окружности либо одной из
вневписанных окружностей треуголь­
никаАВС.
3849. Докажите, что если прямая р
образует равные углы с тремя попарно
пересекающимися прямыми плоскос­
ти, то прямая р перпендикулярна этой
плоскости.
264
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3850. В основании пирамиды
P ABCD лежит четырехугольник
A B C D , в котором А В = ВС = 5, A D =
= DC = А С = 2. Известно также, что
Р В = 6 , а ребро P D является высотой
пирамиды. Найдите P D .
3851. Д ан
единичный
куб
A B C D A iB ^ C iD ^ , М — середина ВВ^
(рис. 159). Найдите угол и расстояние
между прямыми АС^ и D M . В каком
отнош ен и и общ ий п ер п ен д и к уляр
этих прямых делит отрезок D M ?
3852. В
правильном
тетраэдре
A B C D с ребром, равным 1, М — сере­
дина А В . Найдите угол и расстояние
между прямыми A D и С М . В каком от­
ношении общий перпендикуляр этих
прямых делит отрезок СМ1
3853. В
правильном
тетраэдре
A B C D с ребром, равным 1, М — сере­
дина А В , N — середина ВС. Найдите
угол и расстояние между прямыми
С М и D N . В каком отношении общий
перпендикуляр этих прямых делит от­
резок D N ?
3854. В
правильном
тетраэдре
A B C D с ребром, равным 1, М — сере­
дина А В , К — середина CD. Найдите
угол и расстояние между прямыми
С М и В К . В каком отношении общий
перпендикуляр этих прямых делит от­
резок СМ?
3855. На продолжении ребра SE за
точку Е правильной четырехугольной
пирамиды S E F G H с вершиной S взята
точка Q так, что EQ = 5. Найдите рас­
стояние от точки Q до плоскости SFG,
если G if = 20, S H = 15.
3856. Докажите, что прямая пере­
сечения двух плоскостей, перпендику­
лярных третьей, перпендикулярна
третьей плоскости.
3857. В тетраэдре A B CD известно,
что A D ± ВС. Докажите, что высоты
тетраэдра, проведенные из вершин В и
С, пересекаются, причем точка их пе­
ресечения лежит на общем перпенди­
куляре скрещивающихся прямых AD
и ВС.
3858. В пирамиде A B CD даны реб­
ра: А В = 7, ВС = В, CD = 4. Найдите реб­
ро D A , если известно, что прямые АС и
BD перпендикулярны.
3859. Два ребра прямоугольного
параллелепипеда равны 1 и 2. Плос­
кость, параллельная этим ребрам, де­
лит параллелепипед на два неравных,
но подобных между собой параллеле­
пипеда. Найдите ребро, не параллель­
ное данным.
3860. Дано изображение призмы
АВСАф^С^. Постройте изображение
точки М пересечения плоскостей
А^ВС, A B jC и АВС^. Пусть высота
призмы равна h. Найдите расстояние
от точки М до оснований призмы.
3861. Основание четырехугольной
пирамиды PA B C D — параллелограмм
A B C D , М — основание перпендикуля­
ра, опущенного из точки А на B D. Из­
вестно, что В Р = D P . Докажите, что
расстояние от точки М до середины
ребра А Р равно половине ребра СР.
3862. Сторона основания правиль­
ной треугольной призмы АВСАф^С^
равна а, точки О и
— центры осно­
ваний ABC и A^B^Ci соответственно.
Проекция отрезка АО^ на прямую В^О
равна ^ . Найдите высоту призмы.
6
3863. Дан куб ABCDA^B^C^Di с реб­
ром, равным а. Найдите расстояние
между прямыми A jZ ) и DjC и построй­
те их общий перпендикуляр.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3864. Через середину диагонали
куба проведена плоскость, перпенди­
кулярная этой диагонали. Найдите
площадь полученного сечения, если
ребро куба равно а.
3865. Основание пирамиды — тре­
угольник со сторонами 10,13,13. П ло ­
щади боковых граней соответственно
равны 150, 195, 195. Найдите высоту
пирамиды.
3866. В правильной четырехуголь­
ной призме проведены два параллель­
ных сечения: одно проходит через се­
редины двух смежных сторон основа­
ния и середину оси, другое делит ось в
отношении 1 : 3 . Зная, что площадь
первого сечения равна 1 2 , найдите
площадь второго.
3867. Расстояния от вершин тре­
угольника до некоторой плоскости
равны 5, 6 и 7. Найдите расстояние от
точки пересечения медиан этого тре­
угольника до той же плоскости. У ка­
жите все возможности.
3868. Пусть А , В, С и D — четыре
точки в пространстве, для которых
АВ^ + CD^ = ВС^ + A D ^ . Докажите, что
прямые А С и B D перпендикулярны.
3869. Докажите, что если ортого­
нальная проекция одной из вершин
треугольной пирамиды на плоскость
противоположной грани совпадает с
точкой пересечения высот этой грани,
то это же будет иметь место для любой
другой вершины пирамиды.
3870. В четырехугольной пирами­
де SABCD основание A B CD — прямо­
угольник, SA = 2, SB = 3, SC = 4. Най­
дите SD .
3871. В
треугольной
пирамиде
SBCD угол B CD — прямой, SB = 4,
SC = 5, S D = 6 . Найдите расстояние от
вершины S до точки А такой, что
A B C D — прямоугольник.
3872. В равнобедренной трапеции
PQ R S (Q R II P S ) известны стороны
QR = 1, PS = 4. Точки Р ', Q', R ', S ' л е ­
жат по одну сторону от плоскости тра­
пеции, причем прямые Р Р ', QQ', ДД',
S S ' перпендикулярны этой плоскости.
265
Р Р ' = 1, QQ' = 7 ,R R ' = 2 ,S S '= 1 . Точки
К ' и и лежат на прямых P 'R ' и Q 'S' со­
ответственно. Найдите отрезок K 'L ',
если Р ’К ’ -.К 'К = 3 : 2 , Q 'L ': L 'S '=
= 2:3.
3873. Дана правильная треуголь­
ная пирамида SABC. Точка S — вер­
шина пирамиды ,АВ= 1,A S = 2 ,B M —
медиана треугольника ABC, A D —
биссектриса треугольника SAB. Най­
дите отрезок D M .
3874. Дана правильная треуголь­
ная пирамида SABC. Точка S — вер­
шина пирамиды, SA = 2 J3 , ВС = 3,
В М — медиана основания пирамиды,
A R — высота треугольника A SB . Най­
дите отрезок M R .
3875. Ребро куба ABCDA^BxC^D^
равно 12. Точка JiTлежит на продолже­
нии ребра ВС на расстоянии, равном 9,
от вершины С (рис. 160). Точка L ребра
А В удалена от А на расстояние, равное
5. Точка М делит отрезок А^С^ в отно­
шении 1 : 3 , считая от А^. Найдите
площадь сечения куба плоскостью,
проходящей через точки К , L , М .
3876. Докажите, что все грани тет­
раэдра равны тогда и только тогда,
когда точка пересечения медиан и
центр описанной сферы совпадают.
3877. В треугольной пирамиде бо­
ковые грани DBC и DCA взаимно пер­
пендикулярны и представляют собой
равные равнобедренные треугольники
с основанием CD = 2 и боковой сторо­
266
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ной, равной л/19 . Найдите ребро АВ , а
также площади тех сечений пирами­
ды, которые являются квадратами.
3878. Расстояния от подряд иду­
щих вершин параллелограмма до не­
которой плоскости равны 1, 3 и 5. Най­
дите расстояние от четвертой верши­
ны до этой плоскости.
3879. На ребрах
и
еди­
ничного куба ABCDA^BjC^Dy взяты
соответственно точки К и М так, что
А^К = A i M —X . Найдите х, если извест­
но, что при повороте куба вокруг ди­
агонали АС^ на угол а точка К перехо­
дит в точку м .
3880. Дан куб A B C D A iB iC ^ D i с реб­
ром, равным а. Точка Е — середина
ребра AD . Вершины М и N правильно­
го тетраэдра M N P Q лежат на прямой
ED^, а вершины Р и Q — на прямой,
проходящей через точку А^ и пересе­
кающей прямую ВС в точке R. Най­
дите:
а) отношение B R : ВС;
б) расстояние между серединами
отрезков M N и PQ .
3881. Основание четырехугольной
пирамиды — квадрат, а все боковые
грани — прямоугольные треугольни­
ки, у которых вершины прямых углов
лежат на основании пирамиды. Най­
дите объем пирамиды, если ее высота
равна 1 , а один из двугранных углов
при вершине равен 1 2 0 °.
3882. На прямой I в пространстве
последовательно расположены точки
А , Б и С так, что А В = 18 и ВС = 14.
Найдите расстояние между прямыми I
и т, если расстояния от точек А , В и С
до прямой т равны 12,15 и 20 соответ­
ственно.
3883. Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или
их продолжения) пересекаются в од­
ной точке. Докажите, что тетраэдр
A B C D ортоцентрический тогда и толь­
ко тогда, когда две пары его противо­
положных ребер перпендикулярны,
т. е .А В J_ CD и A D ± ВС (в этом случае
ребра третьей пары также перпенди­
кулярны, т. е. АС ± B D ).
3884. Противоположные ребра тет­
раэдра попарно перпендикулярны.
Докажите, что общие перпендикуля­
ры каждой пары противоположных
ребер пересекаются в одной точке.
3885. Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре общие перпендику­
ляра каждой пары противоположных
ребер пересекаются в одной точке.
3886. Высота пирамиды ABCD,
опущенная из вершины D , проходит
через точку пересечения высот треугольникаЛВС. Кроме того, известно,
что D B = Ь, DC = с, Z. BDC = 90°. Най­
дите отношение площадей граней AD B
и ADC.
3887. В основании пирамиды
SABCD лежит четырехугольник
A B C D , у которого стороны A D и ВС па­
раллельны, сторона А В равна 4, сторо­
на ВС равна 8 , а угол AB C равен 60°.
Ребро SB равно 8 J 2 . Найдите объем
пирамиды, если известно, что через
прямые A D и ВС можно провести две
плоскости, не совпадающие с основа­
нием пирамиды и пересекающие пира­
миду по равным четырехугольникам.
3888. Измерения прямоугольного
параллелепипеда равны а , Ь и с ( а < Ь <
< с). Некоторое его сечение является
квадратом. Найдите сторону этого
квадрата.
3889. Прямая I, параллельная ди­
а г о на ли A C i е д и ни ч но г о куба
A B C D A ^B iC iD i, равноудалена от пря­
мых B D , A j D j и СВ^. Найдите расстоя­
ния от прямой I до этих прямых.
3890. Дана треугольная пирамида
A B C D с вершиной D , грани которой
A B D и A C D — прямоугольные тре­
угольники, ребро A D перпендикуляр­
но медиане А К основания AB C и A D =
= А К . Сечением пирамиды плоско­
стью, не проходящей через середины
ребер A D и ВС, является равнобедрен­
ная трапеция E F G H с основаниями E F
СТЕРЕОМЕТРИЯ
и GH , причем точка Е делит ребро B D
пополам, а точка G леж ит на ребре АС
и A G = 3GC. Найдите отношение пло­
щади трапеции E F G H к площади осно­
вания ЛВС.
3891. Из точки вне окружности
проведены касательные и секущая,
причем точки касания и точки пересе­
чения секущей с окружностью явля­
ются вершинами некоторой трапеции.
Найдите отношение оснований трапе­
ции, если известно, что угол между ка­
сательными равен 60°.
3892. Докажите, что все грани тет­
раэдра равны тогда и только тогда,
когда площади всех граней равны.
3893. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, апофема равна ^ . Ортогональной
А
проекцией пирамиды на плоскость,
перпендикулярную одной из боковых
граней, является равнобедренная тра­
пеция. Найдите площадь этой трапе­
ции.
3894. Прямоугольные
проекции
плоского четырехугольника на две
взаимно перпендикулярные плоскос­
ти являются квадратами со сторона­
ми, равными 2. Найдите периметр че­
тырехугольника, зная, что одна из его
сторон равна V S .
3895. В правильном тетраэдре точ­
ки М и
— середины противополож­
ных ребер. Ортогональной проекцией
тетраэдра на плоскость, параллель­
ную прямой M N , является четырех­
угольник с площадью S, один из углов
которого равен 60°. Найдите площадь
поверхности тетраэдра.
267
угла между плоскостью проекции и
плоскостью проецируемого много­
угольника.
3897. Боковые грани треугольной
пирамиды образуют равные углы с
плоскостью основания. Докажите, что
высота пирамиды проходит либо через
центр окружности, вписанной в тре­
угольник основания, либо через центр
одной из вневписанных окружностей
этого треугольника.
3898. В прямоугольном треуголь­
нике AB C (ZL С = 90°) известно, что
А В = 4, Z А = 60°. Найдите ВС, АС.
3899. Какие углы образует диаго­
наль куба с его гранями?
3900. У го л между плоскостями ра­
вен а. Найдите площадь ортогональ­
ной проекции правильного шести­
угольника со стороной, равной 1 , ле­
жащего в одной из плоскостей, на дру­
гую плоскость.
3901. Нарисуйте изображение ку­
ба, полученное в результате ортого­
нального проецирования куба на плос­
кость, перпендикулярную: а) одному из
ребер; б) диагонали одной из граней.
3902. Площ адь треугольника ABC
равна 2. Найдите площадь сечения пи­
рамиды A B C D плоскостью, проходя­
щей через середины ребер AD , B D , CD
(рис. 161).
D
3. УГОЛ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ.
УГОЛ МЕЖДУ п лоск ост я м и
Р и с . 161
3896.
Докажите, что площадь орто­
гональной проекции плоского много­
угольника на некоторую плоскость
3903. Обязательно ли будут парал­
равна площади проецируемого много­
лельными две плоскости, перпендику­
угольника, умноженной на косинус
лярные одной и той же плоскости?
268
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3904. Пусть А — некоторая точка в
пространстве,
— проекция точки А
на плоскость а, АА^ = а. Через точку А
проходит плоскость, образующая угол
ф с плоскостью а и пересекающая
плоскость а по прямой I. Найдите рас­
стояние от точки A i до прямой I.
3905. В пирамиде A B C D угол ABC
равен а, ортогональная проекция точ­
ки D на плоскость ABC есть точка В.
Найдите угол между плоскостями
A B D и CBD.
3906. Все ребра пирамиды ABCD
равны между собой. Нарисуйте изо­
бражение пирамиды A B C D , получен­
ное в результате ортогонального про­
ецирования на плоскость: а) ABC;
б) перпендикулярную А В ; в) парал­
лельную Л В и CD.
3907. Докажите, что если боковые
ребра пирамиды образуют с плоско­
стью основания равные углы , то в ос­
новании леж ит вписанный много­
угольник, а высота пирамиды прохо­
дит через центр описанной окружнос­
ти этого многоугольника.
3908. Прямая I образует угол, рав­
ный а, с плоскостью Р . Найдите орто­
гональную проекцию на плоскость Р
отрезка, равного d и расположенного
на прямой I.
3909. В пирамиде A B CD грань
ABC — правильный треугольник со
стороной, равной а, A D = B D = CD = Ъ.
Найдите косинус угла, образованного
прямыми A D , B D и CD с плоскостью
ABC.
3910. Пусть прямая р перпендику­
лярна плоскости я. Докажите, что уг­
лы, образованные произвольной пря­
мой I с плоскостью л и прямойр, допол­
няют друг друга до 90°.
3911. В одной из граней двугранно­
го угла, равного ф, взята точка А на
расстоянии, равном а, от ребра. Най­
дите расстояние от точки А до плоскос­
ти другой грани.
3912. Стороны треугольника равны
5, 6 и 7. Найдите площадь ортогональ­
ной проекции треугольника на плос­
кость, которая образует с плоскостью
треугольника угол, равный наимень­
шему углу этого треугольника.
3913. Найдите двугранные углы
пирамиды AB C D , все ребра которой
равны между собой.
3914. В равнобедренном треуголь­
нике с боковой стороной, равной 4,
проведена медиана к боковой стороне.
Найдите основание треугольника, ес­
ли медиана равна 3.
3915. Основание равнобедренного
треугольника равно 4 72 , а медиана,
проведенная к боковой стороне, равна
5. Найдите боковые стороны.
3916. Основание правильной тре­
угольной пирамиды расположено в гра­
ни куба, одна из сторон основания сов­
падает с ребром куба, а вершина пира­
миды лежит в противоположной грани
куба. Найдите угол боковой грани пи­
рамиды с плоскостью ее основания.
3917. JX&nKyQABCDA^BiC^Di. Най­
дите углы между прямыми: a)A 4.i и
BD^; б) БХ?! и DC^; в) A D j и DC^.
3918. Плоскость прямоугольного тре­
угольника с катетами, равными 3 и 4,
образует с плоскостью Р угол, равный
а. Гипотенуза этого треугольника ле­
жит в плоскости Р . Найдите угол меж­
ду меньшим катетом и плоскостью Р.
3919. Стороны
прямоугольника
равны 1 и 2. Меньшая сторона прямо­
угольника лежит в плоскости Р , а ди­
агональ прямоугольника образует с
плоскостью Р угол, равный а. Найдите
угол между плоскостью прямоуголь­
ника и плоскостью Р.
3920. Дан трехгранный угол. Рас­
смотрим три плоскости, содержащие его
грани. Эти плоскости разбивают про­
странство на восемь трехгранных углов.
а)
Найдите плоские углы всех обра­
зовавшихся трехгранных углов, если
СТЕРЕОМЕТРИЯ
269
ного угла с плоскостями противопо­
плоские углы исходного трехгранного
ложных граней.
угла равны x , y u z .
б)
Найдите двугранные углы всех 3927. В основании пирамиды ле ­
жит многоугольник с периметром 2р,
образовавшихся трехгранных углов,
двугранные углы при основании рав­
если двугранные углы исходного трех­
ны а, высота пирамиды h. Найдите ее
гранного угла равны а, Р и уобъем.
3921. Диагонали прямоугольного
3928. Основание пирамиды — пря­
параллелепипеда равна I и образует с
моугольный треугольник с гипотену­
плоскостью основания угол, равный а.
зой, равной с, и углом 30° (рис. 162).
Найдите площадь боковой поверхно­
Боковые ребра пирамиды наклонены
сти параллелепипеда, если площадь
к плоскости основания под углом 45°.
его основания равна S.
Найдите объем пирамиды.
3922. Рассмотрим всевозможные
прямые, проходящ ие через точку А ,
не принадлежащую плоскости п, и
образующие равные углы с этой плос­
костью (углы , отличные от н уля).
Найдите геометрическое место точек
пересечения этих прямых с плоско­
стью п.
3923. Пусть А — некоторая точка в
пространстве, не принадлежащая плос­
кости а. Рассмотрим всевозможные
плоскости, проходящие через точку А
3929. Высота прямой призмы 1, ее
и образующие один и тот же угол с
основанием служит ромб со стороной 2
плоскостью а. Докажите, что все пря­
и острым углом 30°. Через сторону ос­
мые, по которым плоскости, проходя­
нования проведена секущая призму
щие через точку А , пересекаются с
плоскость, наклоненная к плоскости
плоскостью а, касаются одной окруж­
основания под углом 60°. Найдите
ности.
площадь сечения.
3924. На плоскости отмечены три
3930.
В п а р а л л е л е п и п е де
точки, служащие изображениями (па­
ABCDA^B^C^D]^ грань A B C D — квад­
раллельными проекциями) трех по­
рат со стороной 5. Ребро АА-^ также
следовательных вершин правильного
равно
5 и образует с ребрами А В и AD
шестиугольника. Постройте изобра­
углы
,
равные
60°. Найдите диагональ
жения остальных вершин шести­
B
D
i.
угольника.
3931. Основанием наклонного па­
3925. Ребро B D пирамиды A B CD
раллелепипеда служ ит ромб, сторона
перпендикулярно плоскости ADC. До­
которого равна 60. Плоскость диаго­
кажите, что сечением этой пирамиды
нального сечения, проходящая через
плоскостью, проходящей через точку
большую диагональ основания, пер­
D и середины ребер Л В и ВС, является
пендикулярна плоскости основания.
треугольник, подобный треугольнику
ABC. Чему равен коэффициент подо­
Площадь этого сечения равна 7200.
Найдите меньшую диагональ основа­
бия?
ния, если боковое ребро равно 80 и об­
3926. Все плоские углы трехгран­
разует с плоскостью основания угол
ного угла равны по 60°. Найдите углы ,
60°.
образованные ребрами этого трехгран­
270
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3932. На плоскости а даны три точ­
ки А , Б и С, не лежащ ие на одной пря­
мой. П усть М — такая точка в про­
странстве, что прямые М А , M B и М С
образуют равные углы с плоскостью
а. Найдите геометрическое место то­
чек М .
3933. Отрезки AD , B D и CD попар­
но перпендикулярны. Известно, что
площадь треугольника ЛВС равна S, а
площадь треугольника A B D равна Q.
Найдите площадь ортогональной про­
екции треугольникаЛВХ) на плоскость
АБС.
3934. Из точки М , расположенной
внутри двугранного угла, равного ф,
опущены перпендикуляры на его гра­
ни (имеются в виду лучи, выходящие
из точки М ). Докажите, что угол меж­
ду этими перпендикулярами равен
180°-ф .
3935. Все плоские углы при верши­
не D пирамиды Л В С !) равны 90°, D A =
= 1, D B = DC = J2 . Найдите двугран­
ные углы этой пирамиды.
3936. В плоскости одной из граней
двугранного угла взята фигура F. П ло ­
щадь ортогональной проекции этой
фигуры на другую грань равна S, а
площадь ее ортогональной проекции
на биссекторную плоскость равна Q.
Найдите площадь фигуры F.
3937. На плоскости нарисована л и ­
ния, являющаяся изображением (па­
раллельной проекцией на некоторую
плоскость) окружности. Постройте
изображение центра этой окружности.
3938. На плоскости даны изобра­
жение (параллельная проекция) пло­
ского четырехугольника A B C D и точ­
ки М , не лежащ ей в его плоскости.
Постройте изображение прямой, по
которой пересекаются плоскости А В М
h CDM.
3939. Докажите, что сечением пи­
рамиды A B C D плоскостью, парал­
лельной ребрам АС и B D , является па­
раллелограмм, причем для одной та­
кой плоскости этот параллелограмм
будет ромбом. Найдите сторону этого
ромба, если АС = а, B D = Ь.
3940. Найдите двугранные углы
трехгранного угла, плоские углы ко­
торого равны 90°, 90° и а.
3941. Все плоские углы трехгран­
ного угла равны 90°. Найдите углы
между биссектрисами плоских углов.
3942. Три последовательные сторо­
ны основания четырехугольной пира­
миды равны 5, 7 и 8 . Найдите четвер­
тую сторону основания, если известно,
что двугранные углы при основании
равны.
3943. Диагональ прямоугольного
параллелепипеда образует с его ребра­
ми углы а, Р и Y- Докажите, что
cos^ а + cos^ Р + cos^ Y = 13944. В прямоугольном параллеле­
пипеде диагональ, равная d, образует с
боковыми гранями углы Р и у. Найдите
объем параллелепипеда.
3945. Высота правильной треуголь­
ной пирамиды в два раза больше ради­
уса окружности, описанной около ее
основания. Объем пирамиды равен 36.
Найдите сторону основания пирамиды.
3946. Высота правильной четырех­
угольной пирамиды в два раза меньше
ее апофемы. Объем пирамиды равен
108. Найдите высоту пирамиды.
3947. Основание пирамиды — пря­
моугольник с диагональю, равной Ь, и
углом в 60° между диагоналями. Каж­
дое из боковых ребер образует с плос­
костью основания угол 45°. Найдите
объем пирамиды.
3948. На перпендикуляре к плос­
кости прямоугольника AB CD , прохо­
дящем через точку А , взята точка Р,
отличная от А. Докажите, что:
а) плоскость А Р В перпендикуляр­
на плоскости APD',
б) плоскость А Р В перпендикуляр­
на плоскости ВРС;
СТЕРЕОМЕТРИЯ
271
A B D , BCD и CAD равны соответствен­
в)
плоскость A P D перпендикуляр­
но
S 2 и S 3 . Площадь треугольника
на плоскости D PC .
3949. О с н о в а н и е п р и з м ы
A BC равна S. Докажите, что
A B C A iB ]C i — равносторонний тре­
S = S i cos tti + Sg cos ttg + S 3 cos аз
угольник A B C со стороной, равной а.
(некоторые из углов а^, tt2 и аз могут
Ортогональная проекция вершины A i
быть тупыми).
совпадает с центром основания АБС, а
3955. Площадь ортогональной про­
боковое ребро образует с плоскостью
екции круга радиуса, равного 1 , на
основания угол, равный 60°. Найдите
плоскость а равна 1. Найдите длину
боковую поверхность призмы.
ортогональной проекции этого круга
3950. Пусть ABC — прямоугольный
на прямую, перпендикулярную плос­
треугольник с гипотенузой А Б = а. На
кости а.
каком расстоянии от плоскости ABC
3956. Плоские углы при вершине D
находится т о ч к а м , если известно, что
пирамиды A B C D равны 90°. Обозна­
прямые М А , M B и М С образуют с
чим через S i, Sg, S 3 и Q площади гра­
плоскостью углы , равные а.
ней A B D , BCD, CDA и ABC, через а, |3
3951. Найдите сумму углов, кото­
и Y — двугранные углы при ребрах АБ,
рые произвольная прямая образует с
ВС и АС.
плоскостью и прямой, перпендику­
1) Выразите а, |3 и у через S^, Sg,
лярной этой плоскости.
S3 h Q.
3952. Через стороны равносторон­
2) Докажите, что
него треугольника проведены три
плоскости, образующие угол, равный
S^ -f S^ = Q 2 .
si
а, с плоскостью этого треугольника и
3) Докажите, что
пересекающиеся в точке, удаленной
на расстояние, равное d, от плоскости
треугольника. Найдите радиус окруж­
ности, вписанной в данный равносто­
ронний треугольник.
3953. Найдите двугранные углы
пирамиды АБСГ), в которой А Б = ВС =
=-CA = a ,A D = B D = C D -= b (рис. 163).
D
Рис. 163
3954. В пирамиде A B C D двугран­
ные углы с ребрами АБ , ВС и СА равны
а^, ttg и аз, а площади треугольников
cos^ a
+ cos^ P + cos^ у =
1■
3957. Все ребра пирамиды AB CD
равны между собой. Нарисуйте изо­
бражение пирамиды A B C D , получен­
ное в результате ортогонального про­
ецирования на плоскость, параллель­
ную А Б и CD.
3958. В основании треугольной пи­
рамиды леж ит правильный треуголь­
ник. Высота пирамиды равна ft. Все бо­
ковые грани наклонены к плоскости
основания под углом а. Найдите пло­
щадь основания. (Укажите все воз­
можности.)
3959. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро равно Ъ. Найдите высоту
пирамиды и двугранный угол между
боковыми гранями.
3960. В основании пирамиды ле ­
жит треугольник со сторонами 7, 8 , 9.
Боковые ребра пирамиды наклонены
272
СТЕРЕОМЕТРИЯ
к плоскости основания под углом 60°.
Найдите высоту пирамиды.
3961. Дан прямоугольный парал­
лелепипед АВСЛА^Б^С^!)!. Через пря­
мую B D i проведена плоскость, парал­
лельная прямой АС. Найдите угол
между этой плоскостью и плоскостью
основания параллелепипеда,
если
А В = а , В С - - Ъ , CCi = с.
3962. В
треугольной
пирамиде
SABC высота SO проходит через точку
О — центр круга, вписанного в основа­
ние ЛВ С пирамиды. Известно, что
Z SAC = 60°, Z SCA = 45°, а отношение
площади треугольника А О В к площади треугольника А Б С равно
1
2+ Л '
Найдите угол BSC.
3963. В четырехугольной пирами­
де OABCD плоскости боковых граней
ОАВ, ОВС, OCD, OAD образуют с плос­
костью основания углы , равные соот­
ветственно 60°, 90°, 45°, 90°. Основа­
ние A B C D — равнобедренная трапе­
ция, ребро А В равно 2, площадь осно­
вания равна 2. Найдите поверхность
пирамиды.
3964. Через вершину О треуголь­
ной пирамиды ОАВС проведено сече­
ние, пересекающее ребра А В и АС в
точках D и Е. Грани ОАВ и ОАС пер­
пендикулярны основанию, объем пи­
рамиды равен 16, ребро ОА равно 4,
ребро ВС равно 4, площадь сечения
равна 5. Найдите D E .
3965. Найдите сторону правильно­
го треугольника, являющегося орто­
гональной проекцией треугольника со
сторонами, равными 7б , 3 и V l4 , на
некоторую плоскость.
3966. В основании пирамиды л е ­
жит треугольник со сторонами 3 ,4 и 5.
Боковые грани наклонены к плоскос­
ти основания под углом 45°. Чему мо­
жет быть равна высота пирамиды?
3967. Основанием пирамиды SABC
является прямоугольный треуголь­
ник ЛВС (С — вершина прямого угла).
Все боковые грани пирамиды наклоне­
ны к ее основанию под одинаковым у г­
лом, равным arcsin ^ . Найдите пло1 о
щадь боковой поверхности пирамиды,
если SO — высота пирамиды, АО = 1,
в о ^ гЛ .
3968. У го л наклона всех боковых
граней пирамиды SABC одинаков и ра­
вен arctg J2 . Основанием пирамиды
является прямоугольный треуголь­
ник ABC {Z. АСВ = 90°); SO — высота
пирамиды. Найдите боковую поверх­
ность пирамиды, если ОВ = J 5 , а ра­
диус вписанной в треугольник ABC ок­
ружности равен 1 .
3969. В правильной треугольной
пирамиде S K L M площадь сечения,
проходящего через боковое ребро S K и
высоту SO, в два раза больше площади
основания пирамиды. Боковое ребро
равно >yi3 . Найдите площадь боковой
грани пирамиды.
3970. Через биссектрису прямого
угла прямоугольного треугольника
проведена плоскость, которая образу­
ет с плоскостью треугольника угол а.
Какие углы эта плоскость образует с
катетами треугольника?
3971. Каждая из боковых граней
треугольной пирамиды образует с
плоскостью основания угол в 60°. Сто­
роны основания равны 10,10,12. Най­
дите объем пирамиды.
3972. Основание пирамиды — ромб
с острым углом в 30°. Боковые грани
наклонены к плоскости основания под
углом в 60°. Найдите объем пирами­
ды, если радиус вписанного в ромб
круга равен г.
3973. В плоскости а проведены две
перпендикулярные прямые. Прямая I
образует с ними углы , равные 45° и
60°. Найдите угол прямой I с плоско­
стью а.
273
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3974. Дано изображение (парал­
лельная проекция на некоторую плос­
кость) треугольника и центра описан­
ной около него окружности. Построй­
те изображение точки пересечения вы­
сот этого треугольника.
3975. Каждое из ребер треугольной
пирамиды A B CD равно 1. Точка Р на
ребре А Б , точка Q на ребре ВС и точка
кие значения может принимать вели­
чина ft?
3981.
Б правильной треугольной
призме АВСАфт^С] {АА^ II ВВ^ ||СС^)
угол между прямыми
и
равен
а, A A i = 2 (рис. 164). Найдите АБ.
R на ребре CD взяты так, что А Р = | ,
B Q = CR = i . Плоскость P Q R пересека3
ет прямую A D в точке S. Найдите угол
между прямыми S P и SQ.
3976. В основании пирамиды ле ­
жит равнобедренный треугольник с
основанием а и боковой стороной Ъ
{а < Ь). Известно, что ее боковые ребра
равны, а боковые грани равновелики.
Найдите боковое ребро пирамиды.
3977. Основание пирамиды — па­
раллелограмм A B C D с площадью т^.
Известно, что B D перпендикулярно
A D . Двугранные углы при ребрах A D
и ВС равны 45°, а при ребрах А В и
CD — 60°. Найдите боковую поверх­
ность и объем пирамиды.
3978. Косинус угла между скрещи­
вающимися прямыми А В и CD равен
л/35
10
. Точки Е и F являются середина­
ми отрезков А Б и CD соответственно, а
прямая E F перпендикулярна прямым
А В и CD. Найдите угол АСВ, если из­
вестно, что А В = 2 л/5 , CD = 2 V? , E F =
= Л з.
3979. В пространстве взяты точки
A , B , C v i D , для которых A D = B D —CD,
Z -A D B = 90°, Z AD C = 50°, Z BDC =
= 140°. Найдите углы треугольника
ABC.
3980. Все двугранные углы при ос­
новании пирамиды равны а, а углы ,
образуемые боковыми ребрами с плос­
костью основания, равны |3. Известно,
что tg а = ft tg р. Сколько сторон имеет
основание пирамиды, если ft = 2? Ка­
Р и с . 164
3982. В правильной треугольной
пирамиде SABC с вершиной S проведе­
на высота SD . На отрезке S D взята точ­
ка К так, что S K : K D = 1 : 2 . Извест­
но, что двугранные углы между осно­
ванием и боковыми гранями равны ^ ,
6
а расстояние от точки К до бокового
ребра равно -%= . Найдите объем пираЛз
МИДЫ .
3983. В правильной треугольной
пирамиде SABC с вершиной S проведе­
на высота SD . На отрезке S D взята точ­
ка К так, что S K : K D = 1 : 3 . Извест­
но, что боковые ребра образуют с осно­
ванием угол ^ , а расстояние от точки
о
О
К до боковой грани равно
. Найдите
V7
объем пирамиды.
3984. Высота правильной четы­
рехугольной пирамиды SABCD {S —
верш ина) в а/З раз больш е ребра ос­
нования. Т о ч к а !? — сот еаинд апофе­
274
СТЕРЕОМЕТРИЯ
мы, леж ащ ей в грани A S B . Найдите
угол между прямой D E и плоскостью
ASC .
3985. У го л между скрещивающи­
мися прямыми А В и CD равен
arccos
. Точки Е и F являются се­
рединами отрезков А В и CD соответ­
ственно, а прямая E F перпендикуляр­
на прямым А В и CD. Найдите угол
АС В, если известно, что А В = 2 J b ,
CD = 2 j l h £ F = Т Г з .
3986. О ртогональной проекцией
равнобедренного
прям оугольного
треугольника на плоскость а яв ля­
ется правильный треугольник. Най­
дите уго л , образованный гипотену­
зой данного треугольника с плоско­
стью а.
3987. Пусть A B C — равносторон­
ний треугольник. Через прямые А В ,
ВС и АС проходят три плоскости, обра­
зующие угол, равный ф, с плоскостью
ABC и пересекающиеся в точке D^.
Кроме того, через эти же прямые про­
ходят плоскости, образующие угол,
равный 2ф, с плоскостью Л5С и пересе­
кающиеся в точке D 2 - Найдите ф, если
известно, что точки D^ и Dg находятся
на равных расстояниях от плоскости
ABC.
3988. Нарисуйте изображение к у­
ба, полученное в результате ортого­
нального проецирования куба на плос­
кость, перпендикулярную диагонали
куба.
3989. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде A B C D P угол между бо­
ковым ребром Р А и плоскостью осно­
вания A B C D равен у г л у между ребром
Р А и плоскостью РВ С. Найдите этот
угол.
3990. Через боковое ребро PC пра­
вильной треугольной пирамиды АВ С Р
проведена плоскость, параллельная
стороне А В основания. Боковое ребро
Р А образует с этой плоскостью угол,
/о
равный arcsin ^ . Найдите угол меж3
ду боковым ребром и плоскостью осно­
вания пирамиды.
3991. В пирамиде AB CD двугран­
ный угол при ребре АС равен 90°, А В =
= ВС = CD, B D = А С . Найдите двугран­
ный угол при ребре AD.
3992. Сторона основания ABC пра­
вильной
треугольной
призмы
АВСА^В^С] равна 6 , а высота равна
О
— . На ребрах АС, A -fii и ВВ^ располол/7
жены соответственно точки Р , F vi К
так, что А Р = 1, A^F = 3 и В К = КВ^.
Постройте сечение призмы плоско­
стью, проходящей через точки Р , F и
К . Найдите площадь сечения и угол
между плоскостью основания призмы
и плоскостью сечения.
3993. Правильная
треугольная
призмаАБСА^В^С^ пересечена плоско­
стью, проходящей через середины ре­
бер АВ , A jC i и B B i. Постройте сечение
призмы, найдите площадь сечения и
вычислите угол между плоскостью ос­
нования ABC и плоскостью сечения,
если сторона основания равна 4, а высота призмы равна
/42
.
3994. Длины ребер правильной тре­
угольной пирамиды принимают два
значения: 2 и 4. Найдите длину хорды
описанной около этой пирамиды сфе­
ры, проходящей через середины двух
ее противоположных ребер.
3995. Отрезок А В (АВ = 1), являю­
щийся хордой сферы радиуса 1 , рас­
положен под углом 60° к диаметру CD
этой сферы. Расстояние от конца С
диаметра до ближ айш его к нему
конца А хорды АВ равно J2 . Найдите
BD.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
3996. В п р а в и л ь н о й п р и з м е
АВСА^В^С^ боковое ребро равно 3. Точ­
ка М — середина ребра АС, точка N ле ­
жит на ребре В
, а точка Р принадле­
жит грани АА^В^В и удалена от плос­
кости АБС на расстояние 1. Известно,
что угол в 30° образуют: прямые Р М и
P N — с плоскостью
прямая
P N — с плоскостью ВВ] С] С. Найдите
объем призмы.
3997. Рассм отри м четы ре у г л а
между плоскостями граней правиль­
ного тетраэдра и некоторой фиксиро­
ванной плоскостью.
а) Докажите, что косинусам этих
углов можно приписать знаки так, что
их сумма будет равна нулю,
б) Докажите, что сумма квадратов
275
4. ЭЛЕМ ЕН ТЫ П Р А В И Л Ь Н Ы Х
ПИРАМ ИД
4001. Докажите, что в любой пра­
вильной пирамиде все боковые ребра
равны.
4002. Докажите, что в любой пра­
вильной пирамиде все боковые грани
образуют равные углы с плоскостью
основания.
4003. Докажите, что в любой пра­
вильной пирамиде углы между сосед­
ними боковыми гранями равны.
4004°. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а.
Боковое ребро образует с плоскостью
основания угол, равный 60° (рис. 165).
Найдите высоту пирамиды.
косинусов этих углов равна | .
О
3998. Площади граней треугольной
пирамиды равны 3, 4, 5 и 6 . Двугран­
ные углы при меньшей по площади
грани равны между собой. Найдите
двугранный угол между гранями пло­
щади 5 и 6 .
3999. Двугранный угол, образован­
ный полуплоскостями а и р , равен | .
3
Внутри этого угла расположен тре­
угольник АБС. Ортогональные проек­
ции треугольника АБС на полуплос­
кости а и Р есть треугольники АБ^С^ и
4005°. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а.
Боковое ребро образует с плоскостью
основания угол, равный 60°. Найдите
А В 2 С2 соответственно (Б^ и Б 2 — проек­
объем пирамиды.
ции точки Б; С^ и С2 — проекции точ­
4006. Сторона основания правиль­
ки С). Известно, что А В = 3 ^25 - 4^3 ,
ной четырехугольной пирамиды равна
а. Боковая грань образует с плоско­
А С = J 1 9 - 4 J 3 ,A B i = 9 j 2 ,AB2 = 6 j3 ,
стью основания угол, равный 45°.
A C i > ACg, Z Б 1А С 1 = Z Б 2 АС 2 = Л/12.
Найдите высоту пирамиды.
Найдите ВС.
4007. Сторона основания правиль­
4000.
Внутри трехгранного угла,ной четырехугольной пирамиды равна
все плоские углы которого прямые,
а. Боковая грань образует с плоско­
расположен многоугольник. Площади
стью основания угол, равный 45°.
проекций на грани этого угла равны 3,
Найдите объем пирамиды.
4 и 12. Найдите площадь этого много­
4008. Высота правильной шести­
угольника.
угольной пирамиды равна стороне ос­
276
СТЕРЕОМЕТРИЯ
нования. Найдите угол бокового ребра
с плоскостью основания.
4009. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна о,
боковая грань образует с плоскостью
основания угол 60°. Найдите высоту
пирамиды.
4010. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковая грань образует с плоскостью
основания угол 60°. Найдите объем
пирамиды.
4011°. Найдите высоту правильно­
го тетраэдра с ребром, равным а.
4012. Найдите объем правильного
тетраэдра с ребром, равным а.
4013. Найдите площадь полной по­
верхности правильного тетраэдра с
ребром, равным а.
4014°. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды равны а. Най­
дите высоту пирамиды.
4015. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды равны а. Най­
дите объем пирамиды.
4016. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды равны. Найди­
те угол между противоположными бо­
ковыми ребрами.
4017. Боковая грань образует с
плоскостью основания правильной
шестиугольной пирамиды угол, рав­
ный 60°. Найдите угол бокового ребра
с плоскостью основания.
4018. Боковое ребро правильной
треугольной пирамиды образует с
плоскостью основания угол, равный
60°. Найдите угол боковой грани с
плоскостью основания.
4019. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а.
Боковое ребро образует с плоскостью
основания угол, равный 60°. Найдите
площадь боковой поверхности пира­
миды.
4020°. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а. Боковая грань образует с плоско­
стью основания угол, равный 45°.
Найдите площадь боковой поверхно­
сти пирамиды.
4021°. Боковая грань правильной
четырехугольной пирамиды образует
с плоскостью основания угол, равный
45°. Найдите угол бокового ребра с
плоскостью основания.
4022. Сторона основания и высота
правильной шестиугольной пирами­
ды равны а. Найдите объем пирамиды.
4023. Высота правильной шести­
угольной пирамиды равна стороне ос­
нования. Найдите угол между боковой
гранью и плоскостью основания.
4024°. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а.
Боковая грань образует с плоскостью
основания угол, равный 60°. Найдите
площадь боковой поверхности пира­
миды.
4025. Боковая грань образует с
плоскостью основания правильной
треугольной пирамиды угол, равный
60°. Найдите угол бокового ребра с
плоскостью основания.
4026. В правильном тетраэдре най­
дите угол между ребром и плоскостью
грани, не содержащей это ребро.
4027. Найдите угол между гранями
правильного тетраэдра.
4028. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды равны. Найди­
те угол между соседними боковыми
гранями.
4029. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна
л/З , а угол боковой грани с плоскостью
основания равен 60°. Найдите высоту
пирамиды.
4030. Высота правильной четырех­
угольной пирамиды равна 8 , апофема
пирамиды равна 10. Найдите площадь
сечения пирамиды плоскостью, прове­
денной через середину высоты парал­
лельно плоскости основания.
4031. У го л боковой грани с плоско­
стью основания правильной треуголь­
ной пирамиды равен р. Найдите угол
СТЕРЕОМЕТРИЯ
277
ды равны а. Найдите площадь боковой
бокового ребра с плоскостью основа­
поверхности пирамиды.
ния.
4032.
Сторона основания правиль­ 4039. Найдите площадь сечения,
проведенного через высоту и одно из
ной шестиугольной пирамиды равна
ребер правильного тетраэдра, если
л/З , а угол боковой грани с плоскостью
ребро тетраэдра равно а.
основания равен 60° (рис. 166). Найди­
4040. Сторона основания правиль­
те объем пирамиды.
ной шестиугольной пирамиды равна
73 , а угол боковой грани с плоскостью
основания равен 60°. Найдите пло­
щадь полной поверхности пирамиды.
4041. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна
4033. У го л бокового ребра с плоско­
стью основания правильной треуголь­
ной пирамиды равен а. Найдите угол
боковой грани с плоскостью основания.
4034. У го л бокового ребра с плоско­
стью основания правильной четырех­
угольной пирамиды равен а. Найдите
угол боковой грани с плоскостью осно­
вания.
4035. У го л боковой грани с плоско­
стью основания правильной четырех­
угольной пирамиды равен р. Найдите
угол бокового ребра с плоскостью ос­
нования.
4036. У го л бокового ребра с плоско­
стью основания правильной шести­
угольной пирамиды равен а. Найдите
угол боковой грани с плоскостью осно­
вания.
4037. У го л боковой грани с плоско­
стью основания правильной шести­
угольной пирамиды равен р. Найдите
угол бокового ребра с плоскостью ос­
нования.
4038. Сторона основания и высота
правильной шестиугольной пирами­
л/З , а угол боковой грани с плоскостью
основания равен 60°. Найдите пло­
щадь сечения, проведенного через вер­
шину пирамиды, и меньшую диаго­
наль основания.
4042. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а. Найдите боковую поверхность и
объем пирамиды, если ее диагональ­
ное сечение равновелико основанию.
4043. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды равны о. Най­
дите расстояние между стороной осно­
вания и противоположной боксовой
гранью.
4044. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды равны а. Най­
дите радиус описанной сферы.
4045. Вычислите объем правильно­
го тетраэдра, если радиус окружности,
описанной около его грани, равен R.
4046. Боковое ребро правильной
треугольной призмы равно высоте ос­
нования, а площадь сечения, прове­
денного через это боковое ребро и вы­
соту основания, равна Q. Найдите
объем призмы.
4047. Боковая грань правильной
четырехугольной пирамиды образует
с плоскостью основания угол, равный
45°. Найдите угол между противопо­
ложными боковыми гранями.
4048. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды равны. Найди­
те угол между противоположными бо­
ковыми гранями.
278
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4049. Все ребра правильной четы­
4058. Сторона основания правиль­
рехугольной пирамиды равны. Найди­
ной треугольной пирамиды равна а.
Боковое ребро образует с плоскостью
те угол между боковой гранью и плос­
основания угол, равный 60°. Найдите
костью основания.
расстояние между противоположны­
4050. В правильной усеченной че­
ми ребрами пирамиды.
тырехугольной пирамиде высота рав­
4059. Боковое ребро правильной
на 2, а стороны оснований равны 3 и 5.
треугольной
пирамиды образует с
Найдите диагональ усеченной пира­
плоскостью основания угол, равный
миды.
60° (рис. 167). Найдите угол между бо­
4051. Высота правильной треуголь­
ковыми гранями пирамиды.
ной пирамиды вдвое больше стороны
основания. Найдите: а) угол между бо­
ковым ребром и плоскостью основа­
ния; б) угол между боковой гранью и
плоскостью основания.
4052. Высота правильной четырех­
угольной пирамиды вдвое больше сто­
роны основания. Найдите: а) угол
между боковым ребром и плоскостью
основания; б) угол между боковой
гранью и плоскостью основания.
4058.
Высота правильной треуголь­
ной пирамиды образует с боковой
гранью угол, косинус которого равен
о
4060. Боковая грань правильной
- . Найдите: а) угол боковой грани с
О
четырехугольной пирамиды образует
плоскостью основания; б) угол боково­
с плоскостью основания угол, равный
го ребра с плоскостью основания.
45°. Найдите угол между соседними
4054. Апофема правильной четы­
боковыми гранями.
рехугольной пирамиды вдвое больше
4061. Сторона основания и высота
стороны основания. Найдите: а) угол
правильной шестиугольной пирами­
бокового ребра с плоскостью основа­
ды равны а. Найдите радиус сферы,
ния; б) угол боковой грани с плоско­
описанной около пирамиды.
стью основания.
4062. Сторона основания правиль­
4055. Апофема правильной тре­
ной треугольной пирамиды равна а,
угольной пирамиды вдвое больше сто­
боковая грань образует с плоскостью
роны основания. Найдите: а) угол бо­
основания угол 60°. Найдите расстоя­
ковой грани с плоскостью основания;
ние между противоположными ребра­
б) угол бокового ребра с плоскостью ми.
основания.
4063. Боковая грань образует с
4056. Противоположные боковые
плоскостью основания правильной
грани правильной четырехугольной
треугольной пирамиды угол, равный
пирамиды взаимно перпендикуляр­
60°. Найдите угол между боковыми
ны. Найдите: а) угол бокового ребра с
гранями.
плоскостью основания; б) угол боко­
4064. Все ребра правильной четы­
вой грани с плоскостью основания.
рехугольной пирамиды равны а. Най­
4057. Докажите, что в правильной
дите расстояние между диагональю
треугольной пирамиде противополож­
основания и скрещивающимся с ней
ные ребра попарно перпендикулярны.
боковым ребром.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4065. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна
Л , а угол боковой грани с плоскостью
основания равен 60°. Найдите радиус
сферы, описанной около пирамиды.
4066. Боковое ребро правильной
шестиугольной пирамиды вдвое боль­
ше стороны основания. Найдите угол
боковой грани с плоскостью основания.
4067. Боковые грани правильной
треугольной пирамиды взаимно пер­
пендикулярны. Найдите угол боково­
го ребра с плоскостью основания.
4068. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро образует с плоскостью
основания угол 45°. Найдите радиус
описанной сферы.
4069. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
8 , а высота равна 3. Найдите площадь
сечения пирамиды плоскостью, про­
ходящей через одну из сторон основа­
ния и середину противоположного бо­
кового ребра.
4070. Все ребра правильной тре­
угольной призмы равны а. Найдите
площадь сечения этой призмы плоско­
стью, проходящей через ребро основа­
ния и середину не параллельного ему
ребра другого основания.
4071. Через вершину правильной
четырехугольной пирамиды и середи­
ны двух соседних сторон основания
проведена плоскость. Найдите пло­
щадь полученного сечения, если сто­
рона основания пирамиды равна а, а
боковое ребро равно 2а.
4072. У го л бокового ребра с плоско­
стью основания правильной треуголь­
ной пирамиды равен а. Найдите пло­
ский угол при вершине пирамиды.
4073. Плоский угол при вершине
правильной треугольной пирамиды
равен ф. Найдите угол бокового ребра с
плоскостью основания пирамиды.
4074. У го л боковой грани с плоско­
стью основания правильной треуголь­
279
ной пирамиды равен |3. Найдите пло­
ский угол при вершине пирамиды.
4075. Плоский угол при вершине
правильной треугольной пирамиды
равен ф. Найдите угол боковой грани с
плоскостью основания пирамиды.
4076. У гол бокового ребра с плоско­
стью основания правильной четырех­
угольной пирамиды равен а. Найдите
плоский угол при вершине пирамиды.
4077. Плоский угол при вершине
правильной четырехугольной пира­
миды равен ф. Найдите угол бокового
ребра с плоскостью основания пира­
миды.
4078. У го л боковой грани с плоско­
стью основания правильной четырех­
угольной пирамиды равен |3. Найдите
плоский угол при вершине пирамиды.
4079. Плоский угол при вершине
правильной четырехугольной пирами­
ды равен ф. Найдите угол боковой гра­
ни с плоскостью основания пирамиды.
4080. У го л бокового ребра с плоско­
стью основания правильной шести­
угольной пирамиды равен а. Найдите
плоский угол при вершине пирамиды.
4081. Плоский угол при вершине
правильной шестиугольной пирами­
ды равен ф. Найдите угол бокового реб­
ра с плоскостью основания пирамиды.
4082. У гол боковой грани с плоско­
стью основания правильной шести­
угольной пирамиды равен р. Найдите
плоский угол при вершине пирамиды.
4083. Плоский угол при вершине
правильной шестиугольной пирами­
ды равен ф. Найдите угол боковой гра­
ни с плоскостью основания пирамиды.
4084. Найдите боковую поверх­
ность правильной шестиугольной пи­
рамиды, если сторона основания рав­
на 1 , а боковая грань равновелика ди­
агональному сечению, проведенному
через большую диагональ основания.
4085. Плоские углы при вершине
правильной /г-угольной пирамиды
равны а. Найдите двугранные углы
при основании пирамиды.
280
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4086.
Имеются две правильныеды SABCD равна а, боковое ребро рав­
треугольные пирамиды с общим осно­
но Ь. Найдите площадь сечения пира­
ванием (рис. 168). Все плоские углы
миды плоскостью, проходящей через
при вершине одной из пирамид равны
прямую B D параллельно прямой AS.
4093. Сторона основания правиль­
60°, а у другой они равны 90°. Найдите
отношение высот этих пирамид.
ной треугольной пирамиды равна а,
высота пирамиды равна 2а. Найдите
расстояние между противоположны­
ми ребрами.
4094. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, высота пирамиды равна 2а. Найди­
те расстояние между диагональю осно­
вания и скрещивающимся с ней боко­
вым ребром.
4095. Высота правильной треуголь­
ной пирамиды равна а и образует с бо­
ковой гранью угол, косинус которого
О
равен - . Найдите расстояние между
5
4087. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а.
Боковое ребро образует с плоскостью
основания угол, равный 60°. Найдите
радиус сферы, описанной около пира­
миды.
4088. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а. Боковая грань образует с плоско­
стью основания угол, равный 45°.
Найдите расстояние между боковым
ребром и скрещивающейся с ним ди­
агональю основания.
4089. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а. Боковая грань образует с плоско­
стью основания угол, равный 45°.
Найдите радиус сферы, описанной
около пирамиды.
4090. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковая грань образует с плоскостью
основания угол 60°. Найдите радиус
сферы, описанной около пирамиды.
4091. Найдите расстояние между
противоположными ребрами правиль­
ного тетраэдра с ребром, равным а.
4092. Сторона основания A B C D
правильной четырехугольной пирами­
противоположными ребрами.
4096. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, апофема пирамиды равна 2а. Най­
дите расстояние между диагональю
основания и скрещивающимся с ней
боковым ребром.
4097. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
апофема пирамиды равна 2а. Найдите
расстояние между противоположны­
ми ребрами.
4098. Апофема правильной четы­
рехугольной пирамиды равна а, а про­
тивоположные боковые грани пира­
миды
взаимно перпендикулярны.
Найдите расстояние между диаго­
налью основания и скрещивающимся
с ней боковым ребром.
4099. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а.
Боковое ребро образует с плоскостью
основания угол, равный 60°. Найдите
радиус сферы, вписанной в пирамиду.
4100. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а. Боковая грань образует с плоско­
стью основания угол, равный 45°.
Найдите радиус сферы, вписанной в
пирамиду.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
281
4101.
Высота правильной шести­ 4109. Основание пирамиды совпа­
угольной пирамиды равна стороне ос­
дает с одной из граней куба, а
нования (рис. 169). Найдите угол меж­
вершина — с центром противополож­
ду соседними боковыми гранями.
ной грани. Найдите угол между сосед­
ними боковыми гранями пирамиды.
4110. Через середину ребра пра­
вильного тетраэдра проведена плос­
кость, перпендикулярная соседнему
ребру. Найдите площадь получен­
ного сечения, если ребро тетраэдра
равно а.
4111. Через вершину D правильно­
го тетраэдра АВС£) с ребром, равным а,
и середины ребер А В и АС проведена
плоскость. Найдите площадь получен­
ного сечения.
4112. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
4102. Сторона основания правиль­
боковое ребро равно Ъ. Найдите пло­
ной треугольной пирамиды равна а,
щадь сечения пирамиды плоскостью,
боковая грань образует с плоскостью
проходящей
через середины двух ре­
основания угол 60°. Найдите радиус
бер основания и середину одного из бо­
сферы, вписанной в пирамиду.
ковых ребер.
4103. Найдите радиус сферы, опи­
4113. Все ребра правильной четы­
санной около правильного тетраэдра с
рехугольной пирамиды равны а. Ч е­
ребром, равным а.
рез сторону основания и середину од­
4104. Найдите радиус сферы, впи­
ного из противоположных боковых ре­
санной в правильный тетраэдр с реб­
бер проведена плоскость. Найдите
ром, равным а.
площадь полученного сечения.
4105. Боковая грань образует с
4114. Через диагональ
грани
плоскостью основания правильной
и середину ребра DC пра­
шестиугольной пирамиды угол, рав­
ный 60°. Найдите угол между соседни­
вильной четырехугольной призмы
ми боковыми гранями.
ABCDA^B^C^D^ проведена плоскость.
4106. Высота правильной треуголь­
Найдите площадь сечения призмы
этой плоскостью, если А В = а, CCj = 2а.
ной пирамиды равна 6 ^ 6 , боковое реб­
4115. У го л бокового ребра с плоско­
ро образует с плоскостью основания
стью основания правильной треуголь­
угол 45°. Найдите расстояние от центра
ной пирамиды равен а. Найдите угол
основания пирамиды до боковой грани.
между боковыми гранями.
4107. Сторона основания правиль­
4116. У гол между боковыми граня­
ной четырехугольной пирамиды равна
ми правильной треугольной пирами­
а, боковая грань образует с плоско­
ды равен у. Найдите угол бокового реб­
стью основания угол 60°. Найдите ра­
диус вписанной сферы.
ра с плоскостью основания.
4117. У го л боковой грани с плоско­
4108. Высота правильной четырех­
стью основания правильной треуголь­
угольной пирамиды равна 8 , апофема
ной пирамиды равен р. Найдите угол
пирамиды равна 10. Найдите расстоя­
ние между диагональю основания и
между боковыми гранями.
скрещивающимся с ней боковым реб­
4118. У го л между боковыми граня­
ром.
ми правильной треугольной пирами­
282
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ды равен у. Найдите угол боковой гра­
ни с плоскостью основания.
4119. У го л между боковыми граня­
ми правильной треугольной пирами­
ды равен у. Найдите плоский угол при
вершине пирамиды.
4120. Плоский угол при вершине
правильной треугольной пирамиды
равен ф. Найдите угол между боковы­
ми гранями пирамиды.
4121. У гол бокового ребра с плоско­
стью основания правильной четырех­
угольной пирамиды равен а. Найдите
угол между соседними боковыми гра­
нями.
4122. У го л между соседними боко­
выми гранями правильной четырех­
угольной пирамиды равен у. Найдите
угол бокового ребра с плоскостью ос­
нования.
4123. У гол боковой грани с плоско­
стью основания правильной четырех­
угольной пирамиды равен р. Найдите
угол между соседними боковыми гра­
нями.
4124. У го л между соседними боко­
выми гранями правильной четырех­
угольной пирамиды равен у. Найдите
угол боковой грани с плоскостью осно­
вания.
4125. У го л между соседними боко­
выми гранями правильной четырех­
угольной пирамиды равен у. Найдите
плоский угол при вершине пирамиды.
4126. Плоский угол при вершине
правильной четырехугольной пира­
миды равен ф. Найдите угол между со­
седними боковыми гранями пирами­
ды.
4127. У гол бокового ребра с плоско­
стью основания правильной шести­
угольной пирамиды равен а. Найдите
угол между соседними боковыми гра­
нями.
4128. У го л между соседними боко­
выми гранями правильной шести­
угольной пирамиды равен у. Найдите
угол бокового ребра с плоскостью ос­
нования.
4129. У гол боковой грани с плоско­
стью основания правильной шести­
угольной пирамиды равен (3. Найдите
угол между соседними боковыми гра­
нями.
4130. У гол между соседними боко­
выми гранями правильной шести­
угольной пирамиды равен у. Найдите
угол боковой грани с плоскостью осно­
вания.
4131. У гол между соседними боко­
выми гранями правильной шести­
угольной пирамиды равен у. Найдите
плоский угол при вершине пирамиды.
4132. Плоский угол при вершине
правильной шестиугольной пирами­
ды равен ф. Найдите угол между сосед­
ними боковыми гранями пирамиды.
4133. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде SABCD через середины
сторон А В и A D основания проведена
плоскость, параллельная боковому
ребру SA (рис. 170). Найдите площадь
сечения, зная сторону основания а и
боковое ребро Ь.
4134. В правильную четырехуголь­
ную пирамиду SABCD вписан куб. Все
четыре вершины одной из граней куба
лежат на основании A B C D пирамиды.
Все четыре вершины противополож­
ной грани куба лежат на апофемах пи­
рамиды. Известно, что SA - А В = а,
т. е. боковое ребро пирамиды равно а и
равно стороне ее основания. Чему ра­
вен объем куба?
4135. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ной основания, равной а, и плоскими
углами при вершине, равными углам
боковых ребер с плоскостью основа­
ния.
4136. В правильную четырехуголь­
ную пирамиду вписана сфера, которая
касается основания и всех боковых
граней. Сфера делит высоту пирамиды
в отношении 9 : 7 , считая от вершины
пирамиды. Найдите объем пирамиды,
если сторона основания пирамиды
равна а.
4137. Высота правильной треуголь­
ной пирамиды вдвое больше стороны
основания. Найдите угол между боко­
выми гранями.
4138. Высота правильной четырех­
угольной пирамиды вдвое больше сто­
роны основания. Найдите угол между
соседними боковыми гранями.
4139. Высота правильной треуголь­
ной пирамиды образует с боковой
гранью угол, косинус которого равен
О
^ . Найдите угол между боковыми граО
нями.
4140. Апофема правильной четы­
рехугольной пирамиды вдвое больше
стороны основания. Найдите угол
между соседними боковыми гранями.
4141. Апофема правильной тре­
угольной пирамиды вдвое больше сто­
роны основания. Найдите угол между
боковыми гранями.
4142. Противоположные боковые
грани правильной четырехугольной
пирамиды взаимно перпендикуляр­
ны. Найдите угол между соседними
боковыми гранями.
4143. Через середину ребра пра­
вильной треугольной пирамиды про­
ведено сечение, параллельное двум ее
скрещивающимся ребрам. Найдите
площадь этого сечения, если сторона
основания пирамиды равна а, а боко­
вое ребро равно Ь.
4144. Покажите, что в кубе можно
выбрать четыре вершины, являющие­
ся вершинами правильного тетраэдра.
283
причем сделать это можно двумя спо­
собами.
4145. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро равно Ь. Найдите радиус
описанного шара.
4146. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, боковое ребро равно Ь. Найдите ра­
диус описанного шара.
4147. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна
а, боковое ребро равно Ь. Найдите ра­
диус описанного шара.
4148. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
ной основания, равной а, и углом меж­
ду соседними боковыми гранями, рав­
ным у.
4149. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с высо­
той, равной Л, и углом между соседни­
ми боковыми гранями, равным у.
4150. Сторона основания и высота
правильной шестиугольной пирами­
ды равны о. Найдите радиус сферы,
вписанной в пирамиду.
4151. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды равны а. Най­
дите радиус вписанной сферы.
4152. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна
л/З, а угол боковой грани с плоскостью
основания равен 60°. Найдите радиус
сферы, вписанной в пирамиду.
4153. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро образует с плоскостью
основания угол 45°. Найдите радиус
вписанной сферы.
4154. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, боковая грань образует с плоско­
стью основания угол 60°. Найдите ра­
диус описанной сферы.
4155. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а, а
расстояние между противоположными
284
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ребрами равно ^ . Найдите радиус
О
описанной сферы.
4156. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, а расстояние между диагональю ос­
нования и скрещивающимся с ней бо­
ковым ребром равно | . Найдите ради­
ус описанной сферы.
4157. В правильной треугольной
пирамиде РАВ С с вершиной Р сторона
основания равна 2 (рис. 171). Через
сторону основания ВС проведено сече­
ние, которое пересекает ребро РА в
точке М , причем Р М : М А = 1 : 3 , а
площадь сечения равна 3. Найдите вы­
соту пирамиды.
Рис. 171
4158. Найдите объем параллелепи­
педа, все грани которого — равные
ромбы со стороной, равной а, и острым
углом 60°.
4159. В шар вписана правильная
четырехугольная пирамида. Радиус
шара равен 1. Плоский угол при вер­
шине пирамиды равен 45°. Найдите
площадь боковой поверхности пира­
миды.
4160. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, высота пирамиды равна 2а. Найди­
те радиусы описанной и вписанной
сфер.
4161. Высота правильной треуголь­
ной пирамиды равна а и образует с бо­
ковой гранью угол, косинус которого
О
равен - . Найдите радиусы описанной
О
и вписанной сфер.
4162. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, апофема пирамиды равна 2а. Най­
дите радиусы описанной и вписанной
сфер.
4163. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
апофема пирамиды равна 2а. Найдите
радиусы описанной и вписанной сфер.
4164. Апофема правильной четы­
рехугольной пирамиды равна а, а про­
тивоположные боковые грани пира­
миды
взаимно перпендикулярны.
Найдите радиусы описанной и вписан­
ной сфер.
4165. Докажите, что пирамида с
равными боковыми ребрами и с рав­
ными двугранными углами при осно­
вании является правильной.
4166. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро равно Ь. Найдите радиус
вписанного шара.
4167. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, боковое ребро равно Ь. Найдите ра­
диус вписанного шара.
4168. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна
а, боковое ребро равно Ь. Найдите ра­
диус вписанного шара.
4169. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро равно Ь. Найдите радиус
шара, касающегося всех ребер пира­
миды.
4170. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, боковое ребро равно Ь. Найдите ра­
диус шара, касающегося всех ребер
пирамиды.
4171. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна
а, боковое ребро равно Ь. Найдите ра­
диус шара, касающегося всех ребер
пирамиды. '
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4172. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро равно Ъ. Найдите радиус
шара, касающегося сторон основания
и продолжений боковых ребер пира­
миды.
4173. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, боковое ребро равно Ь. Найдите ра­
диус шара, касающегося сторон осно­
вания и боковых ребер пирамиды.
4174. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна а,
боковое ребро равно Ь. Найдите радиус
шара, касающегося сторон основания и
продолжений боковых ребер пирамиды.
4175. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро равно Ь. Найдите радиус
шара, касающегося плоскости основа­
ния и боковых ребер пирамиды.
4176. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, боковое ребро равно Ь. Найдите ра­
диус шара, касающегося плоскости ос­
нования и боковых ребер пирамиды.
4177. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна
а, боковое ребро равно Ь. Найдите ра­
диус шара, касающегося плоскости ос­
нования и боковых ребер пирамиды.
4178. Боковое ребро правильной
четырехугольной пирамиды равно Ь, а
плоский угол при вершине равен а
(рис. 172). Найдите радиус сферы,
описанной около пирамиды.
285
4179. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с радиусом
вписанной сферы, равным г, и пло­
ским углом при вершине, равным ф.
4180. Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна
а, а расстояние между диагональю ос­
нования и скрещивающимся с ней бо­
ковым ребром равно - . Найдите ради4
ус вписанной сферы.
4181. Сторона основания правиль­
ной ч е т ы р е х у г о л ь н о й п и р а ми д ы
A B C D P (Р — вершина) равна 4 л/2 , а
угол между соседними боковыми гра­
нями равен 120°. Найдите площадь се­
чения пирамиды плоскостью, прохо­
дящей через диагональ B D основания
параллельно боковому ребру СР.
4182. Правильную четырехуголь­
ную пирамиду пересекает плоскость,
проходящая через вершину основания
перпендикулярно противоположному
боковому ребру. Площадь получивше­
гося сечения в два раза меньше площа­
ди основания пирамиды. Найдите от­
ношение высоты пирамиды к боково­
му ребру.
4183. Правильную четырехуголь­
ную пирамиду SABCD с вершиной S
пересекает плоскость, проходящая че­
рез середины ребер SB и SC и перпен­
дикулярная грани SAD. Площадь ос­
нования пирамиды восемь раз больше
площади получившегося сечения.
Найдите угол между боковой гранью и
плоскостью основания пирамиды.
4184. На гранях правильного тет­
раэдра с ребром, равным а, как на ос­
нованиях построены правильные тет­
раэдры. Докажите, что новые верши­
ны построенных тетраэдров являются
вершинами правильного тетраэдра.
Найдите его ребро.
4185. Площадь основания правиль­
ной /г-угольной пирамиды равна S, а
площадь боковой грани равна Q. Най­
дите двугранные углы при основании
этой пирамиды.
286
СТЕРЮ МЕТРИЯ
4186. Найдите ребро куба, одна
грань которого леж ит в плоскости ос­
нования правильной треугольной пи­
рамиды, а четыре оставшиеся верши­
ны — на ее боковой поверхности, если
стороны основания пирамиды равны
а, а высота пирамиды равна h.
4187. Через сторону основания пра­
вильной четырехугольной пирамиды
проведена плоскость, отсекающая от
противоположной грани треугольник
с площадью а^. Найдите боковую по­
верхность пирамиды, которая отсече­
на проведенной плоскостью от данной
пирамиды, если боковая поверхность
данной пирамиды равна Ь^.
4188. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
боковое ребро образует с плоскостью
основания угол а. Найдите радиус
описанного шара.
4189. Сторона основания и высота
правильной четырехугольной пира­
миды равны а. Найдите радиус впи­
санного шара.
4190. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а, а
расстояние между противоположны­
ми ребрами равно ^ . Найдите радиус
О
вписанной сферы.
4191. Вершины пирамиды K L M N
расположены в точках пересечения
медиан граней некоторой правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования а и боковым ребром Ъ. Найди­
те полную поверхность пирамиды
KLM N.
4192. Найдите радиус сферы, ка­
сающейся всех ребер правильного тет­
раэдра с ребром, равным а.
4193. Все грани параллелепипеда —
равные ромбы со стороной, равной а, и
острым углом 60°. Найдите высоту па­
раллелепипеда.
4194. Двугранный угол при основа­
нии правильной п-угольной пирамиды
равен р. Найдите двугранный угол
между соседними боковыми гранями.
4195. На продолжении ребра S K
правильной четырехугольной пира­
миды S K L M N с вершиной S взята точ­
ка А так, что расстояние от точки Л до
плоскости S M N равно 24. Найдите
К А , если S L = 2 7 4 1 , a M N = 16.
4196. На продолжении ребра SD
правильной четырехугольной пира­
миды SABCD с вершиной S взята точ­
ка N так, что D N = 1 1 . Найдите рас­
стояние от точки N до плоскости SAB,
если А В = 6 , а SB = 5.
4197. Высота правильной треуголь­
ной пирамиды вдвое больше стороны
основания. Найдите угол между апо­
фемой и соседней боковой гранью.
4198. Высота правильной четырех­
угольной пирамиды вдвое больше сто­
роны основания. Найдите угол между
апофемой и соседней боковой гранью.
4199. Высота правильной треуголь­
ной пирамиды образует с боковой
гранью угол, косинус которого равен
I . Найдите угол между апофемой и соО
седней боковой гранью.
4200. Апофема правильной четы­
рехугольной пирамиды вдвое больше
стороны основания. Найдите угол
между апофемой и соседней боковой
гранью.
4201. Апофема правильной тре­
угольной пирамиды вдвое больше сто­
роны основания. Найдите угол между
апофемой и соседней боковой гранью.
4202. Противоположные боковые
грани правильной четырехугольной
пирамиды взаимно перпендикуляр­
ны. Найдите угол между апофемой и
соседней боковой гранью.
4203. На гранях правильного тет­
раэдра с ребром, равным а, как на ос­
нованиях построены равные правиль­
ные пирамиды. Плоские углы в этих
пирамидах при вершинах, противоле­
жащих граням тетраэдра, прямые.
Рассмотрите многогранник, образо­
ванный тетраэдром и построенными
СТЕРЕОМЕТРИЯ
пирамидами (рис. 173). Сколько гра­
ней у этого многогранника? Как он на­
зывается?
287
4211. Боковая грань правильной
четырехугольной пирамиды образует
с плоскостью основания угол 60°. Най­
дите угол апофемы с соседней боковой
гранью.
4212. Расстояние между противо­
положными ребрами правильной треО
угольной пирамиды равно - ее боковоО
Рис. 173
4204. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде SABCD боковое ребро
SA и диагональ B D основания образу­
ют равные углы плоскостью боковой
грани SBC. Найдите угол между реб­
ром SA и плоскостью грани SBC.
4205. Боковое ребро правильной
треугольной пирамиды образует с
плоскостью основания угол, равный
60°. Найдите угол апофемы с плоско­
стью соседней грани.
4206. Боковая грань правильной
четырехугольной пирамиды образует с
плоскостью основания угол, равный
45°. Найдите угол между апофемой пи­
рамиды и плоскостью соседней грани.
4207. Высота правильной шести­
угольной пирамиды равна стороне ос­
нования. Найдите угол между апофе­
мой и плоскостью соседней боковой
грани.
4208. Боковая грань образует с
плоскостью основания правильной
треугольной пирамиды угол, равный
60°. Найдите угол между апофемой и
плоскостью соседней боковой грани.
4209. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды равны. Найди­
те угол между апофемой и плоскостью
соседней боковой грани.
4210. Боковое ребро правильной
треугольной пирамиды образует с
плоскостью основания угол, равный
45°. Найдите угол между апофемой
пирамиды и соседней боковой гранью.
го ребра. Найдите угол апофемы с со­
седней боковой гранью.
4213. Расстояние между диаго­
налью основания и скрещивающимся с
ней боковым ребром правильной четы­
рехугольной пирамиды равно четверти
стороны основания. Найдите угол апо­
фемы с соседней боковой гранью.
4214. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
угол апофемы с соседней боковой
гранью равен 45°. Найдите радиусы
вписанной и описанной сфер.
4215. Дан правильный тетраэдр с
ребром, равным а. Найдите объем мно­
гогранника, полученного в пересече­
нии этого тетраэдра со своим образом
при симметрии относительно середи­
ны высоты.
4216. Два правильных тетраэдра
A B CD и M N P Q расположены так, что
плоскости BCD и N P Q совпадают, вер­
шина М леж ит на высоте А О первого
тетраэдра, а плоскость M N P проходит
через центр грани AB C и середину реб­
ра B D. Найдите отношение ребер тет­
раэдров.
5. СФ ЕРА. К А С А Т Е Л Ь Н А Я
ПЛОСКОСТЬ К СФЕРЕ.
К АСАЮ Щ И Е СЯ СФЕРЫ .
В П И С А Н Н А Я И О П И С А Н Н АЯ
СФЕРЫ
4217.
Докажите, что около пира­
миды можно описать сферу тогда и
только тогда, когда около основания
этой пирамиды можно описать ок­
ружность.
288
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4218. Найдите площадь сечения
шара радиуса 3 плоскостью, удален­
ной от его центра на расстояние, рав­
ное 2 .
4219. Найдите ребро куба, вписан­
ного в сферу радиуса R.
4220. В шаре проведены диаметр
А В и две равные хорды A M и A N , каж­
дая под углом а к диаметру. Найдите
угол между хордами, если отрезок M N
виден из центра шара под углом р.
4221. Докажите, что если около па­
раллелепипеда можно описать сферу,
то этот параллелепипед — прямо­
угольный.
4222. Сторона основания правиль­
ной треугольной призмы равна 1. Най­
дите боковое ребро призмы, если из­
вестно, что в нее можно вписать сферу.
4223. Найдите радиус шара, опи­
санного около правильной /г-угольной
призмы с высотой h и стороной основа­
ния а.
4224. Внутренняя точка А шара ра­
диуса г соединена с поверхностью ша­
ра тремя отрезками, равными I и про­
веденными под углом а друг к другу.
Найдите расстояние точки А от центра
шара.
4225. Даны плоскость а и перпен­
дикулярная ей прямая I. Найдите гео­
метрическое место центров шаров ра­
диуса г, касающихся одновременно
плоскости а и прямой I.
4226. Через точку А , расположен­
ную вне сферы, проведены две пря­
мые. Одна из них касается сферы в
точке Б, а вторая пересекает ее в точ­
ках C vlD (рис. 174). Докажите, что
A B ^ = A C -A D .
4227. Известно, что около некото­
рой призмы можно описать сферу. До­
кажите, что основание призмы — мно­
гоугольник, около которого можно
описать окружность. Найдите радиус
этой окружности, если высота призмы
равна h, а радиус описанной около нее
сферы равен R.
4228. Внутри единичного куба рас­
положены восемь равных шаров. Каж­
дый шар вписан в один из трехгран­
ных углов куба и касается трех шаров,
соответствующих соседним вершинам
куба. Найдите радиусы шаров.
4229. Три сферы попарно касаются
внешним образом, а также касаются
некоторой плоскости в вершинах пря­
моугольного треугольника с катетом,
равным 1 , и противолежащим углом в
30°. Найдите радиусы сфер.
4230. Основание пирамиды — пра­
вильный треугольник со стороной 6 .
Одно из боковых ребер перпендику­
лярно плоскости основания и равно 4.
Найдите радиус шара, описанного во­
круг пирамиды.
4231. Поверхность шара радиуса г
проходит через вершину правильной
шестиугольной пирамиды. Ребра пи­
рамиды пересекают поверхность шара
на расстоянии I от вершины. Найдите
угол между соседними ребрами, выхо­
дящими из вершины пирамиды.
4232. Даны два шара радиусов 2 и 3 с
центрами Л. и В соответственно, А В = 7.
Плоскость, касающаяся шаров, пере­
секает прямую А В в точке М . Найдите
AM.
4233. Найдите геометрическое мес­
то всех шаров данного радиуса, касаю­
щихся граней данного двугранного
угла.
4234. Основанием пирамиды слу­
жит многоугольник, около которого
можно описать окружность. Докажи­
те, что около этой пирамиды можно
описать сферу. Найдите радиус этой
сферы, если радиус окружности, опи­
санной около основания пирамиды,
СТЕРЕОМЕТРИЯ
равен г, высота равна h, а основание
высоты совпадает с вершиной основа­
ния пирамиды.
4235. Радиус сферы, касающейся
всех ребер правильного тетр£1эдра, ра­
вен 1. Найдите ребро тетраэдра.
4236. Боковые ребра треугольной
пирамиды попарно перпендикулярны
и равны а, Ь и с. Найдите радиус опи­
санной сферы.
4237. О с н о в а н и е
пирамиды
ABCD — треугольник A B C со сторона­
ми АС = 6 , ВС = 8 , А В = 10. Все боковые
ребра равны 5 л/2 . Найдите:
а) радиус сферы, описанной около
пирамиды A B C D ;
б) расстояние между прямыми D M
и АС и прямыми D M и ВС, где D M —
высота пирамиды ABCD.
4238. Основание пирамиды —
квадрат со стороной, равной а, высота
пирамиды проходит через середину
одной из сторон основания и равна
. Найдите радиус описанной сферы.
4239. Основание пирамиды — пря­
моугольник со сторонами а и 2а. Высо­
та пирамиды проходит через середину
меньшей стороны основания и равна
а. Найдите радиус сферы, описанной
около пирамиды.
4240. Основание пирамиды — пря­
моугольный треугольник с гипотену­
зой, равной а, и острым углом 30°. Вы­
сота пирамиды проходит через середи­
ну наименьшей из сторон основания и
равна а. Найдите радиус описанной
сферы.
4241. В
треугольной
пирамиде
SABC две равные боковые грани A S B и
CSB перпендикулярны плоскости ос­
нования, а грань A SC наклонена к
плоскости основания под углом р.
Найдите радиус шара, описанного
около пирамиды, если радиус окруж­
ности, описанной около основания,
равен г и Z. АБС = а.
С бор н и к задач по геометрии
289
4242. В треугольной пирамиде SABC
известно, что А В = АС = 10, ВС = 16.
Высота пирамиды, опущенная из вер­
шины S, проходит через вершину В и
равна 4. Найдите полную поверхность
пирамиды и радиус шара, вписанного
в пирамиду.
4243. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а,
высота пирамиды равна 2а. Найдите
радиусы описанной и вписанной сфер.
4244. Стороны треугольника равны
а, Ь и. с. Три шара попарно касаются
друг друга и плоскости треугольника в
его вершинах. Найдите радиусы ша­
ров.
4245. Докажите, что в любую тре­
угольную пирамиду можно вписать
единственную сферу.
4246. Плоскость проходит на рас­
стоянии а от центра единичной сферы.
Найдите ребро куба, одна грань кото­
рого лежит в этой плоскости, а верши­
ны противоположной грани находятся
на сфере.
4247. В т р е у г о л ь н о й пи р а мид е
A B C D известно, что А В = а и Z. АСВ =
= A A D B = 90°. Найдите радиус сфе­
ры, описанной около этой пирамиды.
4248. Через центр сферы радиуса R
проведены три попарно перпендику­
лярные плоскости. Найдите радиус
сферы, касающейся всех этих плос­
костей и данной сферы.
4249. Два шара касаются друг дру­
га и граней трехгранного угла, все пло­
ские углы которого прямые. Найдите
отношение радиусов этих шаров.
4250. Докажите, что если в четы­
рехгранный угол можно вписать сфе­
ру, то суммы противоположных пло­
ских углов этого четырехгранного уг­
ла равны.
4251. Дан трехгранный угол ОАВС
с вершиной О, в котором
ВОС = а,
СОА = Р, Z АО В = у. Пусть вписан­
ная в него сфера касается грани ВОС в
точке К . Найдите угол В О К .
290
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4252.
Докажите, что если суммы
ния и равна ^ . Найдите радиус сфепротивоположных плоских углов че­
ры, описанной около пирамиды.
тырехгранного угла (рис. 175) равны,
4259. Дан куб АВСВА^В^С^В^ с реб­
то в него можно вписать сферу.
ром, равным а. Точки М и К — середи­
ны ребер А В и CD соответственно. Най­
дите радиус сферы, проходящей через
точки М , К ,
и Cj.
4253. Внутри правильного тетраэд­
ра с ребром а расположены четыре рав­
ных шара. Каждый шар касается трех
других и трех граней тетраэдра. Най­
дите радиусы шаров.
4254. Два противоположных ребра
треугольной пирамиды равны а, два
других противоположных ребра рав­
ны Ь, два оставшихся — с. Найдите ра­
диус описанной сферы.
4255. Три шара радиуса R попарно
касаются между собой и некоторой
плоскости. Найдите радиус шара, ка­
сающегося данных и той же плоскости.
4256. Через центр сферы радиуса R
проведена плоскость. Три равных ша­
ра касаются сферы, проведенной плос­
кости и между собой. Найдите ради­
усы шаров.
4257. Два шара одного радиуса и
два — другого расположены так, что
каждый шар касается трех других и
одной плоскости. Найдите отношение
радиуса большего шара к радиусу
меньшего.
4258. Основание пирамиды — пра­
вильный треугольник со стороной,
равной а. Высота пирамиды проходит
через середину одной из сторон основа­
4260. Около шара описан прямой
параллелепипед, у которого диагона­
ли основания равны а
Ь. Найдите
полную поверхность параллелепипеда.
4261. Ш ар радиуса R касается
плоскости а. Рассмотрим всевозмож­
ные шары радиуса г, касающиеся дан­
ного шара и плоскости а. Найдите гео­
метрические места центров этих ша­
ров и точек их касания с плоскостью и
данным шаром.
4262. В правильной треугольной
пирамиде SABC S — вершина, SO —
высота, SA = 4, А В = 2. Через точки S,
А , В проведена сфера так, что прямая
SO лежит в касательной плоскости к
сфере. Найдите радиус сферы.
4263. Внутри сферы расположены
четыре шара радиуса г. Каждый из
этих шаров касается трех других и по­
верхности сферы. Найдите радиус сфе­
ры.
4264. На сфере радиуса й взята точ­
ка М и из нее проведены три равные
между собой хорды М Р , M Q и М Т ,
причем P M Q = Z. Q M T = /L Т М Р = а.
Найдите эти хорды.
4265. Дан правильный тетраэдр
РАВС с ребром, равным с. Через точки
С, Е , М , Р , где Е — середина АВ , а
М — середина АС, проведена сфера.
Найдите ее радиус.
4266. Ш ар радиуса г касается всех
боковых граней треугольной пирами­
ды в серединах сторон ее основания.
Отрезок, соединяющий вершину пи­
рамиды с центром шара, делится попо­
лам точкой пересечения с основанием
пирамиды. Найдите объем пирамиды.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4267. Основание пирамиды — ромб
со стороной 2 и острым углом 45°. Шар
радиуса л/ 2 касается каждой боковой
грани в точке, леж ащ ей на стороне
основания пирамиды. Докажите, что
высота пирамиды проходит через точ­
ку пересечения диагоналей ромба, и
найдите объем пирамиды.
4268. Дана правильная треуголь­
ная пирамида РАВ С (Р — вершина) со
стороной основания а и боковым реб­
ром Ь(Ь < а). Сфера лежит над плоско­
стью основания AB C, касается этой
плоскости в точке А и, кроме того, ка­
сается бокового ребра Р В . Найдите ра­
диус этой сферы.
4269. Четыре сферы радиуса 1 по­
парно касаются. Найдите радиус сфе­
ры, касающейся всех четырех сфер.
4270. Высота пирамиды равна 5, а
основанием служит треугольник со
сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера
касается плоскостей всех боковых гра­
ней пирамиды в точках, лежащ их на
сторонах основания. Найдите радиус
сферы.
4271. Дана правильная треугольная
пирамида SABC (S — вершина) со сто­
роной основания а и боковым ребром
а л/2 . Сфера проходит через точку А и
касается боковых ребер SB и SC в их се­
рединах. Найдите радиус этой сферы.
4272. Даны четыре точки А , B ,C ,D ,
не лежащие в одной плоскости. Сфера
касается прямых А В и A D в точке А и
прямых ВС и CD в точке С. Найдите
площадь поверхности сферы, если из­
вестно, что А В = 1, B D = 2, /.AB C =
= Z B A D = 90°.
4278. Ребро правильного тетраэдра
291
противоположной боковой грани и ос­
нования.
4275. Два равных касающихся ша­
ра вписаны в двугранный угол, рав­
ный а. Первый шар касается первой
грани двугранного угла в точке А , а
второй шар касается второй грани в
точке В. Какая часть отрезка А В нахо­
дится вне шаров?
4276. Ребро АС треугольной пира­
миды SABC (S — вершина) перпенди­
кулярно грани SAB. Шар касается
грани ASC в точке S, а грани ABC — в
точке В. Найдите радиус шара, если
АС = 1, Z АСВ = Z BCS = 60°.
4277. Ребро куба ABCDA^B-^C^Di
равно а. Точки M u N лежат на отрез­
ках B D и CCi соответственно (рис. 176).
Прямая M N образует угол 45° с плос­
костью A B C D и угол 30° с плоскостью
ВВ^С^С. Найдите: а) отрезок
б) ра­
диус шара с центром на отрезке M N , ка­
сающегося плоскостей АВС£) и ВВ^С^С.
Сг
А
Рис. 176
4278.
Высота правильной треуголь­
ной призмы АВСА^В^С^ равна Л. Точка
D расположена на ребре А В . Прямая
C^D образует угол 30° с плоскостью
равно л/1. Найдите радиус шара, по­
верхность которого касается всех ре­
о
бер тетраэдра.
АА^С^С и угол arcsin - с плоскостью
4274.
Сторона основания правиль­
ной четырехугольной пирамиды равна ABC. Найдите: а) сторону основания
призмы; 6 ) радиус шара с центром на
а, двугранный угол при основании ра­
отрезке C^D, касающегося плоскостей
вен 60°. Найдите радиус сферы, касаю­
АВСтлАА^С^С.
щейся двух соседних боковых ребер.
292
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4279. В правильной треугольной
пирамиде расположен шар радиуса 1 .
В точке, делящей пополам высоту пи­
рамиды, он касается внешним образом
полушара. Полушар опирается на
круг, вписанный в основание пирами­
ды, шар касается боковых граней пи­
рамиды. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды и угол между
боковыми гранями пирамиды.
4280. Три шара радиуса г лежат на
нижнем основании правильной тре­
угольной призмы, причем каждый из
них касается двух других шаров и
двух боковых граней призмы. На этих
шарах леж ит четвертый шар, который
касается всех боковых граней и верх­
него основания призмы. Найдите вы­
соту призмы.
4281. Центры четырех сфер ради­
уса г (г < 1 ) расположены в вершинах
равнобедренного прямоугольного тре­
угольника с катетами, равными 2 , и в
середине его гипотенузы. Найдите ра­
диус сферы, касающейся этих четырех
шаров.
4282. В
треугольной
пирамиде
SABC боковое ребро SC равно ребру А В
и наклонено к плоскости основания
ABC под углом 60°. Известно, что вер­
шины А , В, С и середины боковых ре­
бер пирамиды расположены на сфере
радиуса 1. Докажите, что центр этой
сферы леж ит на ребре А В , и найдите
высоту пирамиды.
4283. В треугольной пирамиде про­
тивоположные ребра попарно равны.
Докажите, что центры описанной и
вписанной сфер совпадают.
4284. Сфера радиуса г касается всех
ребер треугольной пирамиды. Центр
этой сферы лежит на высоте пирами­
ды. Докажите, что пирамида правиль­
ная, и найдите ее высоту, если извест­
но, что центр сферы удален от верши­
ны пирамиды на расстояние г^З .
4285. На сфере радиуса 11 располо­
жены точки А , A j, В, B j, С и Cj. П ря­
мые A A j, B B j и CCj взаимно перпенди­
кулярны и пересекаются в точке М ,
отстоящей от центра сферы на рас­
стоянии J59 . Найдите отрезок A 4 j,
если известно, что B B j = 18, а точка
М делит отрезок CCj в отношении
(8 + 7 2 ) : (8 - 72 ).
4286. В кубе A B C D A iB ^C iD i ребро
равно 1. Одна сфера радиуса | касает­
ся плоскости ABC в точке А ; другая
сфера касается плоскости А^В^С^ в
точке E l, лежащей на отрезке B^Cj,
причем B^Ei : Ej Cj = 2 : 1 . Известно,
что эти сферы касаются друг друга
внешним образом и точка их касания
лежит внутри куба. Найдите расстоя­
ние от точки касания сфер до точки D.
4287. Высота пирамиды равна 2,
основание пирамиды есть ромб, пло­
щадь которого равна 8 , а острый угол
равен g . Шар касается плоскости каж­
дой боковой грани пирамиды в точке,
лежащей на стороне основания пира­
миды. Докажите, что прямая, соеди­
няющая вершину пирамиды с цент­
ром шара, проходит через точку пере­
сечения диагоналей основания пира­
миды. Найдите объем шара.
4288. В основании четырехуголь­
ной пирамиды SABCD лежит ромб
A B CD с острым углом при вершине А.
Высота ромба равна 4, точка пересече­
ния его диагоналей является ортого­
нальной проекцией вершины S на
плоскость основания. Сфера радиуса 2
касается плоскостей всех граней пира­
миды. Найдите объем пирамиды, если
расстояние от центра сферы до прямой
АС равно ^ ^ А В .
3
4289. Три шара радиусов 1, 2 и 5
расположены так, что каждый из них
касается двух других шаров и двух
данных плоскостей. Найдите расстоя­
ние между точками касания первого
из этих шаров с плоскостями.
293
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4290. В основании прямой призмы
ABCDA^B^C^D^ лежит ромб A B C D с
углом B AD, равным 2 arccos ^ . Сфера
О
касается
всех
звеньев
ломаной
A B C C jA j и пересекает ребро ВВ^ в точ­
ках
и М . Найдите объем призмы и
радиус сферы, если Вф 1 = 1 .
4291. В
треугольной
пирамиде
A B C D известно, что DC = 9, D B = A D ,
а ребро АС перпендикулярно грани
A B D . Сфера радиуса 2 касается грани
АБ С, ребра DC, а также грани D A B в
точке пересечения ее медиан. Найдите
объем пирамиды.
4292. В трехгранный угол, все пло­
ские углы которого равны а, помеще­
на сфера так, что она касается всех ре­
бер трехгранного угла. Грани трех­
гранного угла пересекают сферу по ок­
ружностям радиуса г. Найдите радиус
сферы.
4293. Основанием треугольной пи­
рамиды A B C D является треугольник
AB C, в котором Z A = | , Z C = g , ВС =
= 2л/2 . Ребра A D , B D , CD равны меж­
ду собой. Сфера радиуса 1 касается ре­
бер A D , B D, продолжения ребра CD за
точку D и плоскости ABC. Найдите от­
резок касательной, проведенной из
точки А к сфере.
4294. Основанием пирамиды явля­
ется треугольник ABC, в котором
/_А = — ,А В = А С = 1. Верш ина!)пи3
рамиды равноудалена от точек А и В.
Сфера касается ребра CD, продолже­
ний ребер A D , B D за точку D и плос­
кости AB C. Точка касания с плоско­
стью основания пирамиды и ортого­
нальная проекция вершины D на эту
плоскость лежат на окружности, опи­
санной вокруг треугольника ABC.
Найдите ребра A D , B D , CD.
4295. Сфера радиуса R делит каж­
дое из ребер SA, SC, А В и ВС треуголь­
ной пирамиды SABC на три равные
части и проходит через середины ребер
АС и SB. Найдите высоту пирамиды,
опущенную из вершины S.
4296. Дан кубABCDA^B^CiDi. Сфе­
ра касается ребер A D , DD^, CD и пря­
мой B C i. Найдите радиус сферы, если
ребро куба равно 1 .
4297. В кубе ABCDA^B^CiDi ребро
равно 1. Одна сфера радиуса i касаетО
ся плоскости ABC в точке Б; другая
сфера касается плоскости А^В^С^ в
точке E l, лежащей на отрезке C^D^,
причем
: E^D^ =1 : 2. Известно,
что эти сферы касаются друг друга
внешним образом и точка их касания
лежит внутри куба. Найдите расстоя­
ние от точки касания сфер до точки С.
4298. Основание четырехугольной
пирамиды SABCD — прямоугольник
ABCD. Известно, что A S = 7, B S = 2,
CS = 6 . Найдите ребро DS.
4299. Два противоположных ребра
треугольной пирамиды равны а, два
других противоположных ребра рав­
ны Ь, два оставшихся — с. Найдите ра­
диусы описанной и вписанной сфер.
Докажите, что их центры совпадают.
4300. Дана пирамида A B CD . Сфера
касается плоскостей D AB , D M C и DBC
в точкахK , L u M соответственно. При
этом точка К находится на стороне А В ,
точка L — на стороне АС, точка М —
на стороне ВС. Известно, что радиус
сферы равен 3, A A D B = 90°, Z BDC =
= 105°, /LADC = 75°. Найдите объем
пирамиды.
4301. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде SABCD боковое ребро
равно а и равно диагонали основания
A B CD . Через точку А параллельно
прямой B D проведена плоскость Р , об­
разующая с прямой A D угол, равный
/2
arcsin — . Найдите площадь сечения
4
пирамиды плоскостью Р и радиус ша­
ра, касающегося плоскости Р и четы­
рех прямых, которым принадлежат
боковые ребра пирамиды.
294
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4302. В куб ABCDA^BiCiD^ со сто­
роной 1 вписана сфера. Точка Е распо­
ложена на ребре СС^, причем С^Е = | .
О
Из точки Е проведена касательная к
сфере, пересекающая грань куба
AA^D^D в точке К так, что Z. К Е С =
= arccos I . Найдите К Е .
4303. Сфера радиуса 4 с центром в
точке Q касается трех параллельных
прямых в точках F , G и Н (рис. 177).
Известно, что площадь треугольника
QG H равна 4 72 , а площадь треуголь­
ника F G H больше 16. Найдите угол
G FH .
угольника. Сколько существует раз­
личных плоскостей, касающихся од­
новременно трех шаров, если их ради­
усы равны: а) 7, 7, 7; б) 1,1,1; в) х, х, х.
4306. Четырехугольная пирамида
SABCD вписана в сферу. Основание
этой пирамиды — прямоугольник
ABCD. Известно, что A S = 7, B S = 2,
CS = 6 , Z SAD = Z S B D = Z SCD. Най­
дите ребро DS.
4307. Вокруг пирамиды ABCD опи­
сана сфера. Вторая сфера радиуса 1 ка­
сается первой внутренним образом в
точке D , а также касается плоскости
ABC. Известно, A D = 3, cos Z ВАС = ^ .
Л
Найдите объем пирамиды ABCD.
4308. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды SABCD равны
2 +
Сфера касается плоскости
A B C D , а также боковых ребер SA, SB,
SC и SD в точках А^, В^, Cj и
соот­
ветственно. На SA взята точка Е.
Плоскость EB^D^ пересекает ребро SC
в точке F. Площадь ортогональной про­
екции четырехугольника EB^FDi на
Рис. 177
плоскость АВС£) равна | . Найдите SE.
3
4309. Четырехугольная пирамида
4304.
Дана треугольная пирамидаSABCD вписана в сферу, центр кото­
ABCD. Точка F взята на ребре A D , а
рой леж ит в плоскости основания
точка N взята на ребре B D так, что
A B C D . Диагонали АС и B D основания
D N : N B = 1 : 2 . Через точки F , N и
пересекаются в точке Н , причем S H —
точку пересечения медиан треуголь­
высота пирамиды. Найдите ребра CS и
ника AB C проведена плоскость, парал­
CD, если С Н = 4, A S = 3.
лельная плоскости A D B и пересекаю­
4310. Две сферы радиуса R касают­
щая ребра СА и CD в точках L v iK соот­
ся друг друга. Через точку М проведе­
ны две прямые, касающиеся данных
ветственно. Известно, что
НВ
сфер. Первая прямая касается сфер в
и что радиус шара, вписанного в пира­
точках А и В, вторая — в точках C k D,
миду C H L K , равен R . Найдите отно­
точки А и С лежат на одной сфере. И з­
шение площади треугольника A BC к
вестно, что Z B M D = 60°, А В = 3CD и
сумме площадей всех граней пирами­
M B > М А . Найдите CD.
ды A B C D , если длина перпендикуля­
4311. Сфера касается плоскости ос­
ра, опущенного из вершины D на плос­
нования и всех боковых ребер пра­
кость ABC, равна Л.
вильной шестиугольной пирамиды
4305.
Сторона правильного тре­SA B C D EF (S — вершина). Найдите
угольника равна 11. Центры трех ша­
объем пирамиды, если радиус сферы
ров находятся в вершинах этого тре­
равен R,a/L SAB = а.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
295
Плоскость проходит через точку S,
пересекаются в одной точке (такой
тетраэдр называется ортоцентричекасается указанной сферы и пересека­
ским). Докажите, что точка пересече­
ет прямые B E и A D соответственно в
ния медиан, высот и центр описанной
точках М и N {Е М > В М , A N > D N ).
сферы лежат на одной прямой.
Найдите:
4817. Дана треугольная пирамида
а) отношение D N : A D , если В М =
ABCD. Скрещивающиеся ребра АС и
= DN;
B D этой пирамиды перпендикулярны.
б) отношение
D N : AD,
если
Также перпендикулярны скрещиваю­
В М : B E -= 3 :2 2 .
4312.
В куб ABCDA^B^CiDi со сто­щиеся ребра A D и ВС, а А В = CD. Все
ребра этой пирамиды касаются шара ра­
роной 1 вписана сфера. Точка F распо­
диуса
г. Найдите площадь грани ABC.
ложена на продолжении ребра ВВ^ за
4818. Сфера касается ребер A S , BS,
точку В^, причем FB^ = | . И з точки F
ВС и АС треугольной пирамиды SABC
в точках К , L , М и N соответственно.
проведена касательная к сфере, пере­
Найдите K L , если M N = 7, N K = 5,
секающая грань куба CC^DiD в точке
L N = 2 л/ ^ и isTL = L M .
Е так, что Z E F B i = arccos | . Найдите
4819. Сфера касается ребер AS, CS,
А В и ВС треугольной пирамиды SABC
EF.
4818.
В правильной треугольнойв токах Р , Q, R и Т соответственно.
Найдите Q T, если Q T = 7, P Q = P R = 8 ,
пирамиде SABC (S — вершина) точка
Р — середина апофемы S B , лежащей в
Р Т = JS2 и Q T на 7 больше, чем В Т.
грани SBC. На ребре А В взята точка М
4820. Даны треугольник ABC, в ко­
так, что M B : А В = 2 : 7 . Сфера, центр
тором А В = 3, АС = 4, и два шара ради­
которой лежит на прямой М Р , прохо­
усов 2 и 3 с центрами в точках В и С.
дит через точки А , С и пересекает пря­
Через точку А проходит прямая, ка­
мую ВС в точке Q так, что CQ = т. Най­
сающаяся первого шара в точке М , а
дите объем пирамиды SABC, если из­
второго — в точке К . Найдите М К , ес­
вестно, что радиус сферы равен
.
Л
4814. Основание Н высоты S H тре­
угольной пирамиды SABC принадле­
жит грани ABC, S H =
V 21
, SA = 1,
SB = 2, Z .A S B = 120°, /LACB = 60°.
Найдите радиус сферы, описанной
около пирамиды SABC.
4815. Основанием
пирамиды
SABCD является трапеция A B C D с ос­
нованиями ВС и A D такими, что
ВС : A D = 2 : 5 . Диагонали трапеции
пересекаются в точке Е , а центр О впи­
санной в пирамиду сферы леж ит на от­
резке S E и делит его в отношении
SO : ОЕ = 7 : 2 . Найдите площадь пол­
ной поверхности пирамиды, если пло­
щадь боковой грани SBC равна 8 .
4816. {Прямая Эйлера ортоиентри-
ческого тетраэдра.) В ы со ты тетраэдра
ли а) ВС = 2; б) ВС = 5; в) ВС = 6 .
4821. Сторона правильного тре­
угольника равна 11. Центры трех ша­
ров находятся в вершинах этого тре­
угольника. Сколько существует раз­
личных плоскостей, касающихся од­
новременно трех шаров, если радиусы
шаров равны 3, 4, 6 ?
4822. В шаре радиуса 7 через точку
S проведены три равные хорды A A j,
B B j и CCi так, что A S = 8 , A^S = 3, B S >
> B^S, CS > CjS. Найдите радиус сфе­
ры, описанной около пирамиды SABC.
4828.
В
треугольной
пирамиде
A K L M выполнено А К = A L = А М , K L =
^ Ь М = М К , tg Z .A K M = 4 - . Сфера
Л
радиуса 2 J s касается луча LA , касает­
ся плоскости A f f M и касается плоскос­
ти
в точке, лежащей на луче ХМ.
296
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Найдите наименьшее возможное зна­
чение длины отрезка L M .
4824.
Сфера с центром в точке
проходит через вершины А , В и С тре­
угольной пирамиды A B C D и пересека­
ет прямые A D , B D и CD в точках К , L
и М соответственно. Известно, что
A D = 10, БС : В£) = 3 : 2 и А В : CD =
=
: 11. Проекциями точки О на
плоскости AB D , BCD и CAD являются
середины ребер А В , ВС и АС соответ­
ственно. Расстояние между середина­
ми ребер А В и CD равно 13. Найдите
периметр треугольника K L M .
4325. Дана треугольная пирамида
AB CD . На ребре АС взята точка F так,
что CF : F A = 2 : 9; на ребре CD взята
точка М так, что A M — биссектриса
угла DAC. Через точки F , М и точку
пересечения медиан треугольника
D A B проведена плоскость, пересекающ;ая ребро D B в точке Н . Известно, что
^
.АХ/
ti а
+ 1. Известно также, что от-
ношение площади треугольника A D B
к сумме площадей всех граней пира­
миды ABCD равно/), а перпендикуляр,
опущенный из вершины С на плоско­
сть AB D , равен h. Через точку Н прове­
дена плоскость, параллельная плос­
кости АС В и пересекающая ребра CD и
D A в точках К vi L соответственно.
Найдите радиус шара, вписанного в
пирамиду D K L H .
4326. Сфера радиуса 13 касается
граней A B C D , AA^D^D и АА^В^В куба
ABCDA^B^CiDi. Вторая сфера радиуса
5 касается граней A B CD ,
и
CC^D^D куба и касается первой сферы.
На ребре ВС взята точка F , на продол­
жении ребра DC за точку С — точка Е
так, что СЕ = CD. Плоскость C^EF пе­
ресекает первую сферу по окружнос­
ти, радиус которой в 2 , 6 раза больше
радиуса окружности, по которой эта
плоскость пересекает вторую сферу.
Найдите отношение B F : FC.
4327. Сфера радиуса - вписана в
О
О
четырехугольную пирамиду SABCD, у
которой основанием служит ромб
A B C D такой, что Z B A D = 60°; высота
пирамиды, равная 1 , проходит через
точку К пересечения диагоналей ром­
ба. Докажите, что существует единст­
венная плоскость, пересекающая реб­
ра основания А В и A D в некоторых
точках М VI N таких, что M N =
5
,
касающаяся сферы в точке, удаленной
на равные расстояния от точек M u N ,
и пересекающая продолжение отрезка
S K за точку К в некоторой точке Е.
Найдите длину отрезка SE.
4328. На гранях двугранного угла с
ребром A D лежат точки В и С. Отрезок
D E параллелен плоскости треугольни­
ка ABC. В пирамиду BCDE вписан
шар. Отношение расстояния от его
центра до прямой D E к расстоянию от
прямой D E до плоскости ABC равно k.
Пусть точка В' — проекция точки В на
плоскость
CDE.
Известно,
что
tg Z- B 'D E : tg z B D E = I. Через сере­
дину отрезка A D проведена плоскость
Р , параллельная плоскости ABC. Най­
дите площадь сечения плоскостью Р
многогранника A B C D E , составленно­
го из треугольных пирамид AB C D и
BCDE, если известно, что площадь
грани ABC равна S, а сумма площадей
всех граней пирамиды BCDE равна о.
4329. В основании пирамиды SABC
лежит правильный треугольник ABC
со стороной 2л/3 и SA = SB = SC = л/7 .
В трехгранный угол при вершине С
вписана сфера S j. Сфера Sg, радиус ко­
торой втрое больше, чем у сферы S^,
касается сферы S j, плоскостей SAC и
ABC. При этом отрезок прямой SB, за­
ключенный внутри сферы Sg, равен
— . Найдите радиус сферы S 2 .
■Л
СТЕРЕОМЕТРИЯ
297
Найдите радиус сферы, опи­
4330.
На плоскости а, проходящей 4335.
санной около конуса с радиусом осно­
через центр шара радиуса R, задана
окружность с центром Oj и радиусом
вания г и высотой л.
4386.
Боковая поверхность конуса
Г], расположенная внутри шара. Все
вдвое
больше
площади его основания.
точки этой окружности соединены
Найдите
угол
в развертке боковой по­
прямыми с точкой А , принадлежа­
верхности
конуса.
щей шару и удаленной от плоскости а
4337. Два равных конуса имеют об­
на расстояние R . Множество отлич­
щую
высоту. Плоскости их оснований
ных отА точек пересечения этих пря­
параллельны.
Докажите, что объем
мых с поверхностью шара является
общей
части
конусов
равен четверти
окружностью радиуса rg, плоскость
объема каждого из них.
которой образует уго л ф с плоскостью
4338. Осевым сечением конуса яв­
а. Найдите расстояние между точка­
ляется равнобедренный прямоуголь­
ми А и Oj.
ный треугольник с гипотенузой, рав­
ной 2. Через вершину конуса проведе­
но сечение, образующее угол а с плос­
6 . КРУГЛЫ Е ТЕЛА
костью основания. Найдите площадь
сечения.
4331. Высота конуса равна Л, а об­
4889.
Найдите площадь осевого се­
разующая равна I. Найдите радиус ос­
чения
тела,
полученного при враще­
нования и площадь осевого сечения.
нии
правильного
треугольника со сто­
4332. Определите вид тела, полу­
роной
а
вокруг
прямой,
проходящей
ченного в результате вращения квад­
через
его
центр
параллельно
одной из
рата вокруг его диагонали.
сторон.
4333. Найдите угол при вершине
4840. Радиус основания цилиндра
осевого сечения конуса, если образую­
равен г. Плоскость пересекает боко­
щая конуса в два раза больше его высо­
вую поверхность цилиндра, не пересе­
ты.
кает его оснований и образует угол а с
4334. В правильную четырехуголь­
плоскостью
основания. Найдите пло­
ную пирамиду вписан конус (рис. 178).
щадь
сечения
цилиндра этой плоско­
Найдите отношение площади полной
стью.
поверхности конуса к площади его бо­
4841. Найдите радиус сферы, впи­
ковой поверхности, если сторона осно­
санной
в конус с радиусом основания г
вания пирамиды равна 4, а угол между
и
высотой
h.
высотой пирамиды и плоскостью боко­
4342.
Докажите,
что объем конуса
вой грани равен 30°.
равен третьей части произведения бо­
ковой поверхности на расстояние от
центра основания до образующей.
4848. В полушар радиуса R вписан
куб так, что четыре его вершины ле­
жат на основании полушара, а другие
четыре вершины расположены на его
сферической поверхности. Найдите
объем куба.
4844.
Найдите объем конуса, у ко­
торого площадь боковой поверхности
298
равна
СТЕРЕОМЕТРИЯ
а расстояние от центра
основания до образующей равно — .
Ifn
4345. Высота конуса равна 20, ра­
диус основания равен 25. Найдите
площадь сечения, проведенного через
вершину, если его расстояние от цент­
ра основания конуса равно 1 2 .
4346. Квадрат со стороной, равной
а, вращается вокруг прямой I, парал­
лельной его плоскости. Расстояние от
прямой I до плоскости квадрата равно
Л, причем ортогональная проекция
прямой I на плоскость квадрата прохо­
дит через середины его противополож­
ных сторон. Опишите тело вращения.
Найдите площадь осевого сечения.
4347. Осевым сечением конуса яв­
ляется равносторонний треугольник
со стороной, равной 4. Ш ар касается
плоскости основания конуса в точке М
и боковой поверхности конуса. Найди­
те радиус шара, если расстояние от
точки М до оси конуса равно; а) 1; б) 3.
4348. Осевым сечением цилиндра
является единичный квадрат. Найди­
те радиус наименьшей сферы, прохо­
дящей через центр квадрата и касаю­
щейся боковой поверхности цилиндра.
4349. Найдите ребро куба, одна
грань которого принадлежит основа­
нию конуса, а остальные расположены
на его боковой поверхности, если ра­
диус основания конуса равен г, а высо­
та равна Л.
4350. Осевым сечением конуса яв­
ляется равносторонний треугольник
со стороной, равной 1. Найдите радиус
сферы, касающейся оси конуса, его ос­
нования и боковой поверхности.
4351. Из круга вырезан сектор,
представляющий собой четверть кру­
га. И з этого сектора и из оставшейся
части круга изготовлены боковые по­
верхности двух конусов. Найдите от­
ношение высот этих конусов.
4352. Осевым сечением конуса яв­
ляется правильный треугольник со
стороной, равной а. Через ось конуса
проведены две перпендикулярные
плоскости, которые делят конус на че­
тыре части. Найдите радиус сферы,
вписанной в одну из этих частей.
4353.
Две противоположные верши­
ны единичного куба совпадают с цент­
рами оснований цилиндра, а осталь­
ные вершины расположены на боко­
вой поверхности цилиндра (рис. 179).
Найдите высоту и радиус основания
цилиндра.
4354. Найдите площадь осевого се­
чения цилиндра, вписанного в еди­
ничный куб так, что ось цилиндра ле­
жит на диагонали куба, а каждое осно­
вание касается трех граней куба в их
центрах.
4355. Площадь сечения конуса
плоскостью, проходящей через вер­
шину конуса под углом 30° к его оси,
равна площади осевого сечения. Най­
дите угол при вершине осевого сече­
ния конуса.
4356. Четыре сферы радиуса 1 по­
парно касаются. Найдите высоту ци­
линдра, содержащего эти сферы так,
что три из них касаются одного осно­
вания и боковой поверхности, а
четвертая — другого основания ци­
линдра.
4357. Найдите угол при вершине
осевого сечения конуса, если известно,
что на его поверхности можно провес­
ти три попарно перпендикулярные об­
разующие.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4858. Два противоположных ребра
единичного куба лежат на основаниях
цилиндра, а остальные вершины — на
боковой поверхности цилиндра. Одна
из граней куба образует с основаниями
цилиндра угол а (а < 90°). Найдите вы­
соту цилиндра.
4359. Конус и цилиндр имеют рав­
ные основания и равные высоты. И х
основания лежат в одной плоскости и
касаются друг друга. Две сферы ради­
усов, равных радиусам оснований ко­
нуса и цилиндра, касаются между со­
бой, боковых поверхностей конуса и
цилиндра, а также плоскости, содер­
жащей другое основание цилиндра и
вершину конуса. Найдите угол при
вершине осевого сечения конуса.
4360. Высота цилиндра равна Л. В
каждое основание вписан правильный
треугольник со стороной, равной а,
причем один из этих треугольников
повернут относительно своего центра
на угол, равный 60°. Найдите объем
многогранника, вершинами которого
являются все вершины этих треуголь­
ников.
4361. Конус с вершиной S вписан в
треугольную пирамиду SPQ R так, что
окружность основания конуса вписа­
на в основание P Q R пирамиды. И з­
вестно, что Z. P S R = 90°, Z SQ R = 45°,
Z. P S Q = 105°. Найдите отношение
площади боковой поверхности конуса
к площади основания PQ R.
4362. Через ребро ВС треугольной
пирамиды РАВ С и точку М — середи­
ну ребра Р А — проведено сечение В С М .
Вершина конуса совпадает с вершиной
Р пирамиды, а окружность основания
вписана в треугольник В С М , касаясь
стороны ВС в ее середине. Точки каса­
ния окружности с отрезками В М и С М
являются точками пересечения меди­
ан граней А Р В и А Р С . Высота конуса в
два раза больше радиуса основания.
Найдите отношение площади боковой
поверхности пирамиды к площади ос­
нования пирамиды.
299
4363. У гол при вершине осевого се­
чения конуса равен 60°. Внутри кону­
са расположены три сферы радиуса 1 .
Каждая сфера касается двух других,
основания конуса и его боковой по­
верхности. Найдите радиус основания
конуса.
4364. Вершины А и В призмы
ABCA^BiC^ лежат на оси цилиндра, а
остальные вершины — на боковой по­
верхности цилиндра. Найдите в этой
призме двугранный угол с ребром АВ.
4365. Основания трех равных кону­
сов расположены в одной плоскости и
касаются друг друга. Осевым сечени­
ем каждого конуса является правиль­
ный треугольник со стороной, равной
а. Найдите радиус шара, касающегося
боковой поверхности каждого конуса
и плоскости, в которой расположены
их основания.
4366. Плоское сечение SAB, прохо­
дящее через вершину S конуса, имеет
площадь 60. Точки А и Б, лежащие на
окружности основания конуса, делят
ее длину в отношении 1 : 5 . Найдите
объем конуса, если угол SAB равен
arccos
2
4367. На высоте конуса как на диа­
метре построена сфера. Площадь час­
ти поверхности сферы, лежащей вне
конуса, равна площади основания ко­
нуса. Найдите угол в осевом сечении
конуса.
4368. Вершины А , В vl
куба
АВСВАф^С^В^ лежат на боковой по­
верхности цилиндра, ось которого па­
раллельна прямой DCj. Найдите ради­
ус основания цилиндра, если ребро ку­
ба равно а.
4369. Правильная
треугольная
призма A B C A jB jC j описана около ша­
ра радиуса R. Точки М и N — середи­
ны ребер B B i и CCj. В шар вписан ци­
линдр так, что его основание лежит в
плоскости A M N . Найдите объем ци­
линдра.
300
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4370. Три конуса, радиусы основа­
ния которых равны R и составляют
О
- ВЫ СОТЫ , расположены по одну сто4
рону от плоскости а, а их основания
лежат в этой плоскости. Окружности
оснований каждых из этих двух кону­
сов касаются. Найдите радиус шара,
лежащего между конусами и касаю­
щегося как плоскости а, так и всех
трех конусов.
4371. Цилиндр описан около шара
радиуса R. Точка Р расположена вну­
три цилиндра на его оси и удалена на
Оп
—
4
от нижнего основания. Через эту
точку проведена плоскость а, имею­
щая с окружностью основания только
одну общую точку, в шар вписан ко­
нус, основание которого лежит в плос­
кости а, а вершина расположена выше
этой плоскости. Найдите объем кону­
са.
4372. В
правильной
пирамиде
РАВС сторона основания ABC равна а,
боковое ребро равно 2а. Точки Р , В и С
лежат на боковой поверхности конуса,
имеющего вершину в точке А . Найди­
те угол при вершине осевого сечения
конуса.
4373. Вершина А правильной приз­
мы АВСА^В^С^ совпадает с вершиной
конуса, вершины В и С лежат на боко­
вой поверхности этого конуса, а вер­
шины B j и Cj — на окружности его ос­
нования. Найдите отношение объемов
конуса и призмы, если A B j : А В = 5 : 1.
4374. Вершина А основания A B CD
правильной пирамиды PA B CD совпа­
дает с вершиной конуса, вершины В, D
лежат на его боковой поверхности,
вершина Р — на окружности основа­
ния этого конуса, а вершина С — в
плоскости его основания. Найдите от­
ношение объема конуса к объему пи­
рамиды.
4375. Четыре сферы радиуса 1 по­
парно касаются друг друга. Найдите
высоту конуса, содержащего эти сфе­
ры так, что все они касаются боковой
поверхности и три из них — основа­
ния конуса.
4376. В конус помещены пять рав­
ных шаров. Четыре из них лежат на
основании конуса, причем каждый из
этих четырех шаров касается двух
других, леж ащ их на основании, и бо­
ковой поверхности конуса. Пятый
шар касается боковой поверхности и
остальных четырех шаров. Найдите
объем конуса, если радиус каждого
шара равен R.
4377. На плоскости изображены
окружность и две точки А и В^, причем
точка А лежит внутри окружности
(рис. 180). Известно, что окружность
является окружностью основания не­
которого конуса, точка А лежит на ос­
новании этого конуса параллельно его
основанию. Постройте проекцию (изо­
бражение) точки, в которой отрезок
А В пересекает боковую поверхность
конуса.
В,
4378. Внутри цилиндра лежат два
шара радиуса г и один шар радиуса ^
так, что каждый шар касается двух
других и боковой поверхности ци­
линдра, причем первые два равных
шара касаются нижнего основания, а
третий шар касается верхнего основа­
ния цилиндра. Найдите радиус осно­
вания цилиндра, если его высота рав­
на 4г.
4379. Радиус основания цилиндра
равен г, а высота равна 5г. Около ци­
линдра описан параллелепипед, отно­
301
СТЕРЕОМЕТРИЯ
шение объема которого к объему ци­
линдра равно
- . Найдите отрезок
71
большей диагонали параллелепипеда,
лежащий внутри цилиндра.
4380. Два равных конуса с общей
вершиной касаются друг друга и неко­
торой плоскости а. Пусть I — прямая,
по которой пересекаются основания
конусов. Найдите угол между прямой
I и плоскостью а, если высота каждого
конуса равна 2 , а радиус основания ра­
вен 1 .
4381. Правильная четырехуголь­
ная пирамида вращается вокруг пря­
мой, проходящей через ее вершину па­
раллельно плоскости основания. Най­
дите площадь осевого сечения полу­
чившегося тела вращения, если сторо­
на основания пирамиды равна а, а вы­
сота равна h.
4382. Основания цилиндра и конуса
имеют радиус R , лежат в плоскости а и
касаются друг друга. Высота каждого
из них равна 2R. Сфера радиуса R каса­
ется боковых поверхностей цилиндра и
конуса, а также плоскости а. Найдите
радиус сферы, касающейся данной сфе­
ры, боковых поверхностей цилиндра и
конуса, а также плоскости а.
4383. Вершины двух конусов с об­
щим основанием радиуса R и высота­
ми, равными H u h , расположены по
разные стороны от основания. Найди­
те угол и расстояние между двумя об­
разующими этих конусов, если извест­
но, что их концы на окружности осно­
вания ограничивают четверть окруж­
ности.
4384. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде PA B C D сторона основа­
ния равна а, боковое ребро равно ~ .
Одно основание цилиндра лежит в
плоскости Р А В , другое вписано в сече­
ние пирамиды. Найдите площадь бо­
ковой поверхности цилиндра.
4385. Высота цилиндра равна Зг.
Внутри цилиндра расположены три
сферы радиуса г так, что каждая сфера
касается двух других и боковой по­
верхности цилиндра. Две сферы каса­
ются нижнего основания цилиндра, а
третья сфера — верхнего основания.
Найдите радиус основания цилиндра.
4386.В
правильной
призме
ABCAiB^Ci каждое ребро равно а. Вер­
шины А и
лежат на боковой поверх­
ности цилиндра, плоскость БСС^ каса­
ется этой поверхности. Ось цилиндра
параллельна прямой В^С. Найдите ра­
диус основания цилиндра.
4387. Две противоположные боко­
вые грани четырехугольной пирами­
ды SABCD перпендикулярны основа­
нию, высота пирамиды равна Jb . В ос­
новании пирамиды лежит равнобед­
ренная трапеция A B C D {AD = ВС),
описанная около окружности и такая,
что А В =
6
, Z B AD = - . Найдите расО
стояние от точки D до плоскости SAB.
Внутри пирамиды расположен ко­
нус так, что окружность его основания
вписана в треугольник SCD, а верши­
на принадлежит грани SAB. Найдите
объем конуса.
4388. Три шара, среди которых
имеется два одинаковых, касаются
плоскости Р и, кроме того, попарно ка­
саются друг друга. Вершина конуса
принадлежит плоскости Р , а ось кону­
са перпендикулярна этой плоскости.
Все три шара лежат вне конуса, при­
чем каждый из них касается некото­
рой образующей конуса. Найдите ко­
синус угла между образующей конуса
и плоскостью Р , если известно, что в
треугольнике с вершинами в точках
касания шаров с плоскостью один из
углов равен 150°.
4389. Внутри конуса, касаясь осно­
вания, лежат три шара радиусов 4, 4 и
5. Каждый из них касается двух дру­
гих шаров и некоторой образующей
конуса. Найдите радиус основания ко­
нуса, если известно, что угол между
302
СТЕРЕОМЕТРИЯ
плоскостью основания и образующей
равен
2
arctg - .
4
4390. Точка F леж ит на ребре A D
правильной четырехугольной пирами­
ды SABCD (S — вершина), A F : A D =
= 1 ; 10. Цилиндр касается боковой
поверхностью плоскостей SAB и SAD,
одно иэ оснований цилиндра проходит
через точку F , второе основание имеет
общую точку с ребром SD . Боковая по­
верхность цилиндра имеет с высотой
S H пирамиды общую точку О, причем
SO = О Н . Найдите отношение объемов
цилиндра и пирамиды.
4391. В четырехугольной пирами­
де SABCD основанием является трапе­
ция A B C D
{ВС WAD), ВС
lA D ,
/L A S D = /_ CDS = I . Все вершины пирамиды леж ат на окружностях осно­
ваний цилиндра, высота которого рав­
на 2, а радиус основания равен | . Най3
дите объем пирамиды.
4392. Два равных конуса имеют об­
щую вершину и касаются по общей об­
разующей. У гол в осевом сечении каж­
дого из косинусов равен 60°. Найдите
угол между двумя плоскостями, каж­
дая из которых касается конусов, но
не проходит через общую образую­
щую.
4393. На плоскости леж ат три рав­
ных конуса с общей вершиной. Каж ­
дый из них касается двух рядом леж а­
щих. Найдите угол при вершине каж­
дого конуса.
4394. Сторона основания правиль­
н ой ч е т ы р е х у г о л ь н о й п и р а м и д ы
SAB C D (S — вершина) равна 10. Точ­
ки Е и Р расположены на ребрах DC и
ВС соответственно, причем СЕ = 6 , CF
= 9. Известно, что для данной пира­
миды сущ ествует единственный ко­
нус, верш ина которого совпадает с
точкой Е , центр основания леж ит на
прямой SA, а отрезок E F является од­
ной из образующ их. Найдите объем
этого конуса.
4395. В правильной треугольной
пирамиде SABC (S — вершина) извест­
но, что А В = 4, высота SO пирамиды
равна
. Точка D лежит на отрезке
SO, причем SD : DO = 2 : 9 . Цилиндр,
ось которого параллельна прямой SA,
расположен так, что точка D — центр
его верхнего основания, а точка О ле­
жит на окружности нижнего основа­
ния. Найдите площадь части верхнего
основания цилиндра, лежащей вну­
три пирамиды.
4396. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде SABCD ребро А В вдвое
больше высоты пирамиды. По одну
сторону от плоскости грани ABCD рас­
положен цилиндр, окружность осно­
вания которого проходит через центр
этой грани. Ортогональные проекции
цилиндра на плоскости SCD и SBC —
прямоугольники с общей вершиной в
точке С. Найдите отношение объемов
цилиндра и пирамиды.
4397. Внутри единичного куба на­
ходятся 8 равных шаров, каждый из
которых касается трех соседних гра­
ней куба и трех других шаров. Найди­
те радиус шара, касающегося всех
данных 8 шаров.
4398. В правильной четырехуголь­
ной призме AB C D A ]B ]C iD y боковое
ребро равно JHa , сторона основания
A B C D призмы равна 6 . Окружность ос­
нования конуса вписана в треугольник
BC^D, а вершина конуса лежит в плос­
кости АВС^. Найдите объем конуса.
4399. Окружность основания ци­
линдра вписана в боковую грань SAB
правильной четырехугольной пира­
миды SABCD {S — вершина), центр
другого основания цилиндра лежит в
плоскости SBC. Найдите объем ци­
линдра, если А В = 6 , SB = 5.
4400. Все вершины правильной пи­
рамиды PA B C D лежат на боковой по­
303
СТЕРЕОМЕТРИЯ
верхности цилиндра, ось которого
перпендикулярна
плоскости
РА В
(рис. 181). Найдите радиус основания
цилиндра, если А В = а.
4401. На сфере, радиус которой ра­
вен 2 , расположены три окружности
радиуса 1 , каждая из которых касает­
ся двух других. Найдите радиус ок­
ружности меньшей, чем данная, кото­
рая также расположена на данной сфе­
ре и касается каждой из данных ок­
ружностей.
4402. Даны правильная четырех­
угольная пирамида SABCD и ци­
линдр, центр симметрии которого ле ­
жит на прямой SO {SO — высота пира­
миды). Точка F — середина ребра SD ,
точка Е принадлежит апофеме S T , л е ­
жащей в грани Б5С, причем Т Е = 3ES.
Прямоугольник, являющийся одним
из осевых сечений цилиндра, располо­
жен так, что две его вершины лежат на
прямой А В , а одна из двух других вер­
шин леж ит на прямой E F . Найдите
объем цилиндра, если SO = 3, А В = 1.
4403. Два конуса имеют общую вер­
шину, и образующая первого конуса
является высотой второго. У гол при
вершине осевого сечения первого ко­
нуса равен arccos | , а второго —
3
1 2 0
°.
Найдите угол между образующими, по
которым пересекаются боковые по­
верхности конусов.
4404. Три равных конуса с углом а
(а < 1 2 0 °) при вершине осевого сече­
ния имеют общую вершину и касают­
ся друг друга внешним образом по об­
разующим к, I, т. Найдите угол между
In k .
4405. Два равных конуса с общей
вершиной лежат на плоскости а. У гол
между высотой и образующей каждо­
го конуса равен у, угол между высота­
ми конусов равен Р, причем Р -Ь у < 90°.
Найдите угол между образующей, по
которой один из конусов касается
плоскости а, и плоскостью основания
другого конуса.
4406. Одна вершина правильного
тетраэдра расположена на оси цилинд­
ра, а другие вершины — на боковой
поверхности этого цилиндра. Найдите
ребро тетраэдра, если радиус основа­
ния цилиндра равен R.
4407. Два равных конуса с общей
вершиной D расположены по разные
стороны от плоскости а и касаются
этой плоскости по образующим D E и
D F соответственно. Известно, что угол
D E F равен ф, а угол между прямой пе­
ресечения оснований конусов и плос­
костью а равен р. Найдите угол между
высотой и образующей каждого конуса.
4408. Можно ли точку в простран­
стве закрыть четырьмя шарами?
7. ОБЪЕМ. П Л О Щ А Д Ь
ПОВЕРХНОСТИ
4409, На боковых ребрах РА , РВ ,
PC (и ли на их продолжениях) тре­
угольной пирамиды РА В С взяты точ­
ки М , N , К соответственно. Докажите,
что отношение объемов пирамид
P M N K и РАВ С равно P M . P N . P K
РА
РВ
PC
4410, Известно, что в некоторую
пирамиду можно вписать шар. Дока­
жите, что объем этой пирамиды равен
i произведения радиуса этого шара на
О
полную поверхность пирамиды.
4411, Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
304
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ной основания, равной а, и высотой,
равной h.
4412. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды со стороной
основания, равной а, и высотой, рав­
ной h.
4413. Найдите объем правильной
треугольной призмы, все ребра кото­
рой равны 1 .
4414. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования, равной а, и высотой, равной h.
4415. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования, равной а, и боковым ребром,
равным Ь.
4416. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
ной основания, равной а, и боковым
ребром, равным Ь.
4417. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды со стороной
основания, равной а, и боковым реб­
ром, равным Ь.
4418. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования, равной а, и углом бокового
ребра с плоскостью основания, рав­
ным а.
4419. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования, равной а, и углом боковой
грани с плоскостью основания, рав­
ным р.
4420. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с боковым реб­
ром, равным Ь, и углом бокового ребра
с плоскостью основания, равным а.
4421. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с высотой, рав­
ной h, и углом бокового ребра с плоско­
стью основания, равным а.
4422. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
ной основания, равной а, и углом боко­
вого ребра с плоскостью основания,
равным а.
4423. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
ной основания, равной а, и углом боко­
вой грани с плоскостью основания,
равным р.
4424. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с боко­
вым ребром, равным Ь, и углом боко­
вой грани с плоскостью основания,
равным р.
4425. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с высо­
той, равной h, и углом боковой грани с
плоскостью основания, равным р.
4426. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды со стороной
основания, равной а, и углом бокового
ребра с плоскостью основания, рав­
ным а.
4427. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды со стороной
основания, равной а, и углом боковой
грани с плоскостью основания, рав­
ным р.
4428. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с боковым
ребром, равным Ь, и углом боковой
грани с плоскостью основания, рав­
ным р.
4429. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с боковым
ребром, равным Ь, и углом боковой
грани с плоскостью основания, рав­
ным р.
4430. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с боко­
вым ребром, равным Ь, и высотой, рав­
ной h.
4431. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с боковым реб­
ром, равным Ь, и высотой, равной h.
4432. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с боковым
ребром, равным Ь, и высотой, равной h.
4433. Стороны основания прямого
параллелепипеда равны а и fc и образу­
ют угол в 30°. Боковая поверхность
равна /S. Найдите объем параллелепи­
педа.
4434. Основание призмы — квад­
рат со стороной, равной а. Одна из бо-
СТЕРЕОМЕТРИЯ
новых граней — также квадрат, дру­
гая — ромб с углом 60° (рис. 182). Най­
дите полную поверхность призмы.
4435. Высота пирамиды, в основа­
нии которой леж ит правильный шес­
тиугольник, равна 8 . На расстоянии,
равном 3, от вершины проведена плос­
кость, параллельная основанию. П ло ­
щадь полученного сечения равна 4.
Найдите объем пирамиды.
4436. Найдите объем параллелепи­
педа, две грани которого — ромбы со
стороной 1 и острым углом 60°, а ос­
тальные грани — квадраты.
4437. Объем
параллелепипеда
ABCDA^B]C^D^ равен V. Найдите
объем пирамиды ABCCj.
4438. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования, равной а, и площадью боко­
вой грани, равной Q.
4439. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
ной основания, равной а, и площадью
боковой грани равной Q.
4440. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды со стороной
основания, равной а, и площадью бо­
ковой грани, равной Q.
4441. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с боко­
вым ребром, равным Ь, и углом боково­
го ребра с плоскостью основания, рав­
ным а.
4442. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с высо­
305
той, равной h, и углом бокового ребра
с плоскостью основания, равным а.
4443. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с боковым
ребром, равным Ь, и углом бокового
ребра с плоскостью основания, рав­
ным а.
4444. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с высотой,
равной h, и углом бокового ребра с
плоскостью основания, равным а.
4445. Пустьp , q n r — площади трех
граней прямоугольного параллелепи­
педа. Найдите его объем.
4446. Диагональ прямоугольного
параллелепипеда равна d и образует
углы, равные 60° и 30°, с двумя из его
ребер. Найдите объем параллелепипе­
да.
4447. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды, сторона ос­
нования которой равна 1 , а боковое
ребро равно 2 .
4448. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с высотой, рав­
ной h, и углом боковой грани с плоско­
стью основания, равным р.
4449. Найдите объем прямоуголь­
ного параллелепипеда, если его диаго­
наль равна d, а ребра, исходящие из
одной вершины,
относятся,
как
т : п : р.
4450. Основанием прямой призмы
служит ромб с острым углом, равным а.
Найдите объем призмы, если ее боль­
шая диагональ равна I и образует с
плоскостью основания угол, равный |3.
4451. В основании прямоугольного
параллелепипеда леж ит квадрат со
стороной 2 JS . Диагональ боковой гра­
ни образует с плоскостью соседней бо­
ковой грани угол, равный 30°. Найди­
те объем параллелепипеда.
4452. Основанием прямой призмы
служ ит ромб с острым углом а. Боль­
шая диагональ призмы равна d и со­
ставляет с плоскостью основания угол
р. Найдите объем призмы.
306
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4453. Развертка боковой поверхно­
сти цилиндра есть квадрат со сторо­
ной, равной 2?/п . Найдите объем ци­
линдра.
4454. Основания трапеции равны 8
и 2. У глы , прилежащие к большему
основанию, равны по 45°. Найдите
объем тела, образованного вращением
трапеции вокруг большего основания.
4455. На боковом ребре пирамиды
взяты две точки, делящие ребро на три
равные части. Через них проведены
плоскости, параллельные основанию.
Найдите объем части пирамиды, за­
ключенной между этими плоскостя­
ми, если объем всей пирамиды равен 1 .
4456. Боковые ребра треугольной
пирамиды попарно перпендикулярны
и равны а, fe и с. Найдите объем пира­
миды.
4457. Найдите объем правильной
четырехугольной призмы, если ее ди­
агональ образует с плоскостью боко­
вой грани угол 30°, а сторона основа­
ния равна с.
4458. В основании прямого парал­
лелепипеда леж ит параллелограмм со
сторонами 1 и 4 и острым углом 60°
(рис. 183). Большая диагональ парал­
лелепипеда равна 5. Найдите его
объем.
Р и с . 183
4459. Найдите
объем
октаэдра
(правильного восьмигранника), ребро
которого равно о.
4460. Основанием параллелепипе­
да служит квадрат. Одна из вершин
верхнего основания равноудалена от
всех вершин нижнего основания и на­
ходится на расстоянии, равном Ь, от
этого основания. Сторона основания
равна о. Найдите полную поверхность
параллелепипеда.
4461. Стороны основания прямо­
угольного параллелепипеда равны а и
Ь. Диагональ параллелепипеда накло­
нена к плоскости боковой грани, со­
держащей сторону основания, равную
Ь, под углом 30°. Найдите объем па­
раллелепипеда.
4462. Стороны основания прямо­
угольного параллелепипеда равны с и
Ь. Диагональ параллелепипеда накло­
нена к плоскости основания под углом
60°. Найдите боковую поверхность па­
раллелепипеда.
4463. Найдите объем наклонной
треугольной призмы, основанием ко­
торой служит равносторонний тре­
угольник со стороной, равной а, если
боковое ребро призмы равно стороне
основания и наклонено к плоскости
основания под углом 60°.
4464. Сторона основания правиль­
ной шестиугольной пирамиды равна
а. Найдите объем пирамиды, если из­
вестно, что ее боковая поверхность в
1 0 раз больше площади основания.
4465. В основании прямой призмы
леж ит равносторонний треугольник.
Плоскость, проходящая через одну из
сторон нижнего основания и противо­
положную вершину верхнего основа­
ния, наклонена к плоскости нижнего
основания под углом, равным ф. П ло­
щадь полученного сечения равна Q.
Найдите объем призмы.
4466. Диагонали граней прямо­
угольного параллелепипеда равны
73 , ^5 и 2. Найдите его объем.
4467. В вершинах А , Б и С равно­
стороннего треугольника AB C со сто­
роной, равной 1 , восставлены к его
плоскости перпендикуляры и на них
B i и С^, находящиеся
взяты точки
по одну сторону от плоскости ABC,
причем АА^ = 4 , ВВ^ = 5 и СС^ = 6 .
Найдите
объем
АВСА-^В-^С-^,
многогранника
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4468. Плоскость, параллельная ос­
нованию пирамиды, делит ее объем на
две равные части. В каком отношении
эта плоскость делит боковые ребра пи­
рамиды?
4469. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с ради­
усом вписанной сферы, равным г, и уг­
лом боковой грани с плоскостью осно­
вания, равным р.
4470. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с радиусом
вписанной сферы, равным г, и углом
боковой грани с плоскостью основа­
ния, равным р.
4471. Объем пирамиды A B C D ра­
вен 1. Н а ребрах A D , B D , CD взяты со­
ответственно точки К , L ш М , причем
2АК = K D , B L = 2 LD и 2С М = 3 M D .
Найдите
объем
многогранника
ABCKLM .
4472. Найдите объем наклонной
треугольной призмы, у которой пло­
щадь одной из боковых граней равна
S, а расстояние от плоскости этой гра­
ни до противолежащего ребра равно d.
4473. В прямом параллелепипеде
стороны основания равны а и 6 , ост­
рый угол между ними равен 60°. Боль­
шая диагональ основания равна мень­
шей
диагонали
параллелепипеда.
Найдите объем параллелепипеда.
4474. Основание наклонной приз­
мы — параллелограмм со сторонами 3
и 6 и острым углом 45°. Боковое ребро
призмы равно 4 и наклонено к плос­
кости основания под углом 30°. Най­
дите объем призмы.
4475. Наибольшая диагональ пра­
вильной шестиугольной призмы равна
d и составляет с боковым ребром приз­
мы угол 30°. Найдите объем призмы.
4476. В правильной треугольной
призме плоскость, проходящая через
Сторону одного основания и противо­
положную ей вершину другого основа­
ния, образует с плоскостью основания
угол, равный 45°. Площадь сечения
равна S. Найдите объем призмы.
307
4477. В наклонном параллелепипе­
де проекция бокового ребра на плос­
кость основания равна 5, а высота рав­
на 12. Сечение, перпендикулярное бо­
ковому ребру, есть ромб с площадью,
равной 24, и диагональю, равной 8 .
Найдите боковую поверхность и объем
параллелепипеда.
4478. В основании призмы лежит
трапеция. Найдите объем призмы, ес­
ли площади параллельных боковых
граней равны
и S^, а расстояние
между ними равно h.
4479. Основанием прямого парал­
лелепипеда служ ит параллелограмм,
один из углов которого равен 30°. П ло­
щадь основания равна 4. Площади
двух боковых граней параллелепипе­
да равны 6 и 12. Найдите объем парал­
лелепипеда.
4480. Основанием прямого парал­
лелепипеда служ ит параллелограмм с
углом 120° и сторонами, равными 3 и
4. Меньшая диагональ параллелепи­
педа равна большей диагонали осно­
вания. Найдите объем параллелепи­
педа.
4481. Ромб, меньшая диагональ ко­
торого равна его стороне, равной 1 ,
вращается около прямой, проходящей
через конец большей диагонали перпен­
дикулярно этой диагонали (рис. 184).
Найдите объем полученного тела вра­
щения.
4482. М еталлический шар радиуса,
равной ?Д б , перелит в конус, боковая
поверхность которого в три раза боль­
ше площади основания. Найдите вы­
соту конуса.
308
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4483.
Диагональ прямоугольного 4491. Найдите отношение объемов
параллелепипеда равна d и образует с
параллелепипеда ABCDA^B^C^D^ и
двумя из его граней углы , равные а и Р
тетраэдра ACB^D^.
(рис. 185). Найдите объем параллеле­
4492. Ребро Р А пирамиды РАВС
пипеда.
перпендикулярно плоскости основа­
4484. Каркас куба изготовлен из де­
ревянных брусьев, сечением которых
является квадрат со стороной 1. Ребро
куба равно 8 . Найдите объем каркаса.
4485. Площадь основания пирами­
ды равна 3, объем пирамиды также ра­
вен 3. Проведены две плоскости, па­
раллельные основанию пирамиды.
Площади получившихся сечений рав­
ны 1 и 2. Найдите объем части пирами­
ды, расположенной между плоскостя­
ми.
4486. Объем
параллелепипеда
ABCDAiB^C^Di равен V. Найдите
объем пирамиды
4487. Объем параллелепипеда ра­
вен V. Найдите объем многогранника,
вершинами которого являются цент­
ры граней данного параллелепипеда.
4488. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с боковым реб­
ром, равным Ъ, и плоским углом при
вершине пирамиды, равным ф.
4489. Нусчъ ABCDA^B^C^D-^ — еди­
ничный куб. Найдите объем общей
части треугольных пирамид
и
А ^С ф В .
4490. Докажите, что объем тре­
угольной призмы равен половине про­
изведения площади боковой грани на
расстояние между плоскостью этой
грани и противолежащим ей боковым
ребром.
ния AB C и равно 1. В треугольнике
ABC угол при вершине А — прямой, а
каждый из катетов А В и АС равен 2.
Точки М vlN — середины АС и ВС со­
ответственно. Найдите радиус сферы,
вписанной в пирамиду P M N C .
4493. Основанием прямого парал­
лелепипеда служ ит ромб. Плоскость,
проведенная через одну из сторон
нижнего основания и противополож­
ную сторону верхнего основания, об­
разует с плоскостью основания угол,
равный 45°. Полученное сечение име­
ет площадь, равную Q. Найдите боко­
вую поверхность параллелепипеда.
4494. Основание пирамиды — рав­
нобедренный треугольник с основани­
ем 6 и высотой 9. Каждое боковое ребро
равно 13. Найдите объем пирамиды.
4495. В треугольной пирамиде бо­
ковые ребра взаимно перпендикуляр­
ны и равны л/ТО ,
и
■Найди­
те объем и площадь основания пира­
миды.
4496. Основание прямого паралле­
лепипеда — ромб, площадь которого
равна Q. Площади диагональных сече­
ний равны iSj и ^ 2 . Найдите объем па­
раллелепипеда.
4497. Основание наклонной приз­
мы — правильный треугольник со сто­
роной, равной а. Одна из боковых гра­
ней призмы перпендикулярна плос­
кости основания и представляет собой
ромб, диагональ которого равна Ь.
Найдите объем призмы.
4498. Основание пирамиды — рав­
нобедренный прямоугольный тре­
угольник, катет которого равен 8 .
Каждое из боковых ребер пирамиды
равно 9. Найдите объем пирамиды.
4499. В шаре радиуса г проведены
диаметр А В и три равные хорды АС,
СТЕРЕОМЕТРИЯ
A D VIA F под углом а друг к другу. Най­
дите объем тела, ограниченного плос­
костями треугольников ACD, A D F ,
AC F, BCD, B D F и BCF.
4500°. В
правильную
четырех­
угольную пирамиду SABCD вписан
куб (рис. 186). Все четыре вершины
одной из граней куба лежат на основа­
нии A B C D пирамиды. Вершины про­
тивоположной грани куба лежат на бо­
ковых ребрах пирамиды. Известно,
что SA = А В = а, т. е. боковое ребро пи­
рамиды равно а и равно стороне ее ос­
нования. Чему равен объем куба?
Р и с . 186
4501. В правильную треугольную
пирамиду SABC вписана правильная
треугольная призмаЬМНЬ^М^Н^. Все
три вершины основания L M N призмы
леж ат на боковых ребрах пирамиды.
Известно, что LL^ = L M , т. е. высота
призмы равна стороне ее основания.
Кроме того, SA = А В = а, т. е. каждое
ребро пирамиды равно а. Чему равен
объем призмы?
4502. Площадь основания прямой
треугольной призмы равна 4, площади
боковых граней равны 9, 10 и 17. Най­
дите объем призмы.
4503. Основанием прямой призмы
служ ит равнобедренная трапеция
A B C D , в которой А В = CD = 13, ВС =
= 11, A D = 21. Площ адь диагонально­
го сечения призмы равна 180. Найдите
площадь полной поверхности призмы.
4504. Основанием параллелепипе­
да служ ит ромб со стороной, равной а.
309
и острым углом в 30°. Диагональ одной
боковой грани перпендикулярна плос­
кости основания, а боковое ребро со­
ставляет с плоскостью основания угол
в 60°. Найдите полную поверхность и
объем параллелепипеда.
4505°. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна а, а
высота, опущенная из вершины осно­
вания на противоположную ей боко­
вую грань, равна Ь. Найдите объем пи­
рамиды.
4506. Основания параллелепипе­
да — квадраты со стороной Ь, а все бо­
ковые грани — ромбы. Одна из вершин
верхнего основания одинаково удале­
на от всех вершин нижнего основания.
Найдите объем параллелепипеда.
4507. Каждое ребро наклонной тре­
угольной призмы равно 2. Одно из бо­
ковых ребер образует со смежными
сторонами основания углы , равные
60°. Найдите объем и площадь полной
поверхности призмы.
4508. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды, боковые ребра
которой наклонены к плоскости осно­
вания под углом, равным а, и удалены
от середины противоположной сторо­
ны основания на расстояние, равное I.
4509. Около шара радиуса, равного 1,
описан конус, высота которого вдвое
больше диаметра шара. Найдите отно­
шение полной поверхности конуса к
поверхности шара.
4510. Внутри шара проведены две
параллельные плоскости по одну сто­
рону от центра на расстоянии 3 друг от
друга. Эти плоскости дают в сечении
два малых круга, радиусы которых со­
ответственно равны 9 и 12. Найдите
объем шара.
4511°. Около правильного тетраэд­
ра описан цилиндр так, что два проти­
воположных ребра тетраэдра являют­
ся диаметрами оснований цилиндра.
Найдите отношение объема цилиндра
к объему тетраэдра.
4512.
Двугранный угол при боко­
вом ребре правильной треугольной пи­
310
СТЕРЕОМЕТРИЯ
рамиды равен 2а. Высота пирамиды
равна h. Найдите объем конуса, опи­
санного около пирамиды.
4513. В правильную четырехуголь­
ную пирамиду вписана сфера, которая
касается основания и всех боковых
граней. Сфера делит высоту пирамиды
в отношении 1 : 3 , считая от вершины
пирамиды. Найдите объем пирамиды,
если апофема пирамиды равна а.
4514. Высота пирамиды равна 3,
площадь основания равна 9. Найдите
объем призмы, одно основание кото­
рой принадлежит основанию пирами­
ды, а противоположное основание яв­
ляется сечением пирамиды плоско­
стью, проходящей на расстоянии, рав­
ном 1 , от вершины.
4515. В
вершинах
единичного
квадрата восставлены к его плоскости
перпендикуляры и на них по одну сто­
рону от плоскости квадрата взяты точ­
ки на расстояниях 2, 4, 6 и 5 от этой
плоскости (в порядке обхода). Найди­
те объем многогранника, вершинами
которого являются указанные точки и
вершины квадрата.
4516°. Найдите объем прямоуголь­
ного параллелепипеда, площади ди­
агональных сечений которого равны
Л З , 2 -Д о иЗл/5.
4517. На ребре единичного пра­
вильного тетраэдра взята точка, кото­
рая делит это ребро в отношении 1 : 2 .
Через эту точку проведены две плос­
кости, параллельные двум граням тет­
раэдра. Эти плоскости отсекают от тет­
раэдра две треугольные пирамиды.
Найдите объем оставшейся части тет­
раэдра.
4518. Центр шара единичного ра­
диуса расположен на ребре двугранно­
го угла, равного а. Найдите радиус ша­
ра, объем которого равен объему части
данного шара, находящейся внутри
двугранного угла.
4519. Найдите объем треугольной
пирамиды, пять ребер которой равны
2
, а шестое равно /Уб .
4520. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования, равной а, и радиусом описан­
ной сферы, равным R.
4521. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования, равной а, и радиусом вписан­
ной сферы, равным г.
4522. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с боковым реб­
ром, равным Ь, и радиусом описанной
сферы, равным R.
4523. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с боковым реб­
ром, равным Ъ, и площадью боковой
грани, равной Q.
4524. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с высотой, рав­
ной Л, и радиусом описанной сферы,
равным R.
4525. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с высотой, рав­
ной Л, и радиусом вписанной сферы,
равным г.
4526. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с высотой, рав­
ной h, и площадью боковой грани, рав­
ной Q.
4527. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
ной основания, равной а, и радиусом
описанной сферы, равным R.
4528. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
ной основания, равной а, и радиусом
вписанной сферы, равным г.
4529. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с боко­
вым ребром, равным Ъ, и радиусом
описанной сферы, равным JR.
4530. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с боко­
вым ребром, равным Ь, и площадью бо­
ковой грани,равной Q.
4531. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с высо­
той, равной Л, и радиусом описанной
сферы, равным R.
4532. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с высо­
СТЕРЕОМЕТРИЯ
той, равной h, и радиусом вписанной
сферы, равным г.
4533. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с высо­
той, равной h, и площадью боковой
грани,равной Q.
4534. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды со стороной
основания, равной а, и радиусом опи­
санной сферы, равным R.
4535. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды со стороной
основания, равной а, и радиусом впи­
санной сферы, равным г.
4536. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с боковым
ребром, равным Ь, и радиусом описан­
ной сферы, равным R.
4537. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с боковым
ребром, равным Ь, и площадью боко­
вой грани, равной Q.
4538. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с высотой,
равной Л, и радиусом описанной сфе­
ры, равным R.
4539. Haйдиte объем правильной
шестиугольной пирамиды с высотой,
равной h, и радиусом вписанной сфе­
ры, равным г.
4540. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с высотой,
равной h, и площадью боковой грани,
равной Q.
4541. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования, равной а, и углом между бо­
ковыми гранями, равным у.
4542. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды со стороной ос­
нования, равной а, и плоским углом
при вершине пирамиды, равным ф.
4543. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с боковым реб­
ром, равным Ь, и углом боковой грани
с плоскостью основания, равным р.
4544. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с боковым реб­
ром, равным Ь, и углом между боковы­
ми гранями, равным у.
311
4545. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с высотой, рав­
ной h, и углом между боковыми граня­
ми, равным у.
4546. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с высотой, рав­
ной h, и плоским углом при вершине
пирамиды, равным ф.
4547. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с радиусом
описанной сферы, равным R, и углом
бокового ребра с плоскостью основа­
ния, равным а.
4548. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с радиусом
описанной сферы, равным R, и углом
боковой грани с плоскостью основа­
ния, равным р.
4549. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с радиусом
вписанной сферы, равным г, и углом
боковой грани с плоскостью основа­
ния, равным р.
4550. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды со сторо­
ной основания, равной а, и плоским
гулом при вершине, равным ф.
4551. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с боко­
вым ребром, равным Ь, и углом между
соседними боковыми гранями, рав­
ным у.
4552. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с боко­
вым ребром, равным ft, и плоским уг­
лом при вершине, равным ф.
4553. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с высо­
той, равной h, и плоским углом при
вершине, равным ф.
4554. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с ради­
усом описанной сферы, равным R, и
углом бокового ребра с плоскостью ос­
нования, равным а.
4555. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с пло­
щадью боковой грани, равной Q, и уг­
лом бокового ребра с плоскостью осно­
вания, равным а.
312
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4556. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с пло­
щадью боковой грани, равной Q, и у г­
лом боковой грани с плоскостью осно­
вания, равным р.
4557. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды со стороной
основания, равной а, и углом между
соседними боковыми гранями, рав­
ным у.
4558. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды со стороной
основания, равной а, и плоским углом
при вершине, равным ф.
4559. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с боковым
ребром, равным Ь, и углом между сосед­
ними боковыми гранями, равным ф.
4560. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с боковым
ребром, равным Ь, и плоским углом
при вершине, равным у.
4561. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с высотой,
равной Л, и углом между соседними бо­
ковыми гранями, равным у.
4562. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с высотой,
равной Л, и плоским углом при верши­
не, равным ф.
4563. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с радиусом
описанной сферы, равным R, и углом
бокового ребра с плоскостью основа­
ния, равным а.
4564. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с площадью
боковой грани, равной Q, и углом бо­
кового ребра с плоскостью основания,
равным а.
4565. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с площадью
боковой грани, равной Q, и углом бо­
ковой грани с плоскостью основания,
равным р.
4566. Ребро CD пирамиды A B CD
равно 1 и перпендикулярно плоскости
ABC. Известно также, что А В = 2, ВС =
= 3 и Z ABC = 90°. Найдите радиус ша­
ра, вписанного в пирамиду ABCjD.
4567.
Объем тетраэдра A B C D ра­
вен V. На ребрах CD, DB шАВ взяты точ­
ки /(Г, L и М соответственно (рис. 187),
причем 2СК = CD, SDL = D B , 5В М =
= 2АВ. Найдите объем тетраэдра
KLM D.
D
Р и с . 187
4568. На ребрах АВ, ВС viAD тетра­
эдра A B C D объема V взяты соответ­
ственно точки K , L k N , причем 2АК =
= АВ , 3BL = ВС, 5 D N -= A D . Найдите
объем тетраэдра N K L B .
4569. На ребрах ВС, CD и A D тетра­
эдра A B C D объема V взяты соответ­
ственно точки L , M W.N, причем 3BL =
= ВС, 4СМ = CD и 5DN = A D . Найдите
объем тетраэдра N M L B .
4570. На ребрах АВ , CD и A D тетра­
эдра A B C D объема V взяты соответ­
ственно точки/iT, М и iV, причем 2АК =
= А В , 4СМ = CD и 5D N = A D . Найдите
объем тетраэдра K N M B .
4571. На ребрах АВ, ВС и CD тетра­
эдра AB CD объема V взяты соответ­
ственно точки K ,L v i М , причем 2ЛК =
= АВ , 3BL = ВС и 4СЛ^ = CD. Найдите
объем тетраэдра K L M B .
4572. Дан
правильный
шести­
угольник A B C D E F со стороной, рав­
ной а. Отрезок M N параллелен одной
из сторон шестиугольника, равен его
стороне и расположен на расстоянии,
равном h, от его плоскости. Найдите
объем многогранника ABCD£FMA^.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4573. В конус вписан шар. Отноше­
ние объемов конуса и шара равно 2 .
Найдите отношение полной поверхно­
сти конуса к поверхности шара.
4574. Докажите, что из боковых
граней четырехугольной пирамиды,
основанием которой служит паралле­
лограмм, можно составить треуголь­
ную пирамиду, причем ее объем вдвое
меньше объема исходной четырех­
угольной пирамиды.
4575. Высота Р О правильной четы­
рехугольной пирамиды PA B CD равна
4, а сторона основания A B CD равна 6 .
Точки М и К — середины отрезков ВС
и CD. Найдите радиус шара, вписанно­
го в пирамиду Р М К С .
4576. На ребре DC треугольной пи­
рамиды A B C D взята такая точка 7V,
что C N = 2D N , а на продолжениях ре­
бер СА и СВ за точки А и В соответ­
ственно — точки К и М , причем АС =
= 2АК и M B = 2ВС. В каком отноше­
нии плоскость, проходящая через точ­
ки М , N, К , делит объем пирамиды
ABCD?
4577. Основание пирамиды — па­
раллелограмм со сторонами, равными
10 и 18, и площадью, равной 90. Высо­
та пирамиды проходит через точку пе­
ресечения диагоналей основания и
равна 6 . Найдите боковую поверх­
ность пирамиды.
4578. Сфера радиуса л/б с центром
в точке О касается всех сторон тре­
угольника ABC. Точка касания N де­
лит сторону А В пополам. Точка каса­
ния М делит сторону АС так, что A/Vf =
= ^М С.
Найдите
объем
пирамиды
ОАВС, если известно, что A N = N B = 1.
4579. Плоскость проходит через
вершину А основания треугольной пи­
рамиды SABC, делит пополам меди­
ану S K треугольника SAB, а медиану
S L треугольника SAC пересекает в
точке D такой, что S D : D L = 1 : 2. В
каком отношении делит эта плоскость
объем пирамиды?
313
4580. Правильная треугольная пи­
рамида пересечена плоскостью, про­
ходящей через вершину основания и
середины двух боковых ребер. Найди­
те отношение боковой поверхности пи­
рамиды к площади основания, если
известно, что секущая плоскость пер­
пендикулярна одной из боковых гра­
ней (укажите, к какой именно).
4581. Основанием пирамиды слу­
жит прямоугольник, площадь которо­
го равна S. Две боковые грани перпен­
дикулярны плоскости основания, а
две другие наклонены к ней под угла­
ми, равными 30° и 60°. Найдите объем
пирамиды.
4582. Основание пирамиды — рав­
нобедренный треугольник с углом а
при вершине. Все двугранные углы
при основании пирамиды равны |3.
Найдите объем пирамиды, если ради­
ус окружности, описанной около тре­
угольника основания, равен R, а высо­
та пирамиды проходит через точку,
лежащую внутри треугольника.
4583. Точка К расположена на реб­
ре A D тетраэдра A B C D , точка N — на
продолжении ребра А В за точку В, а
точка М — на продолжении ребра АС
за точку С, причем А К : K D = 3 : 1 ,
B N = АВ и С М : АС = 1 : 3 . Постройте
сечение тетраэдра плоскостью, прохо­
дящей через точки К , М , N . В каком
отношении эта плоскость делит объем
тетраэдра?
4584. Точка М расположена на реб­
ре CD тетраэдра AB C D , точка N — на
продолжении ребра АС за точку А, а
точка К — на продолжении ребра СВ
за точку В, причем D M : М С = 1 : 3 ,
A N : А С = = 1 : 4 и В К : ВС = 1 :8 . Пост­
ройте сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки К , М , N . В
каком отношении эта плоскость делит
объем тетраэдра?
4585. Точка М расположена на реб­
ре A D тетраэдра AB CD , точка N — на
продолжении ребра АС за точку С, а
точка К — на продолжении ребра АВ
за точку В, причем D M : А М = 1 : 2 ,
314
СТЕРЕОМЕТРИЯ
C N = ЗАС и В К : А В = 1 : 2 . Постройте
вписанной сферы, равным г, и углом
бокового ребра с плоскостью основа­
сечение тетраэдра плоскостью, прохо­
ния, равным а.
дящей через точки К , М , N . В каком
4591. Найдите объем правильной
отношении эта плоскость делит объем
треугольной
пирамиды с площадью
тетраэдра?
боковой
грани,
равной Q, и углом бо­
4586.
Точка N расположена на реб­
кового
ребра
с
плоскостью
основания,
ре B D тетраэдра A B C D , точка М — на
равным
а.
продолжении ребра А С за точку С, а
4592. Найдите объем правильной
точка К — на продолжении ребра А В
треугольной
пирамиды с площадью
за точку В (рис. 188), причем B N : N D =
боковой
грани,
равной Q, и углом бо­
= 2 : 1 , А С = ЗМС и В К = А В . Построй­
ковой
грани
с
плоскостью
основания,
те сечение тетраэдра плоскостью, про­
равным
р.
ходящей через точки K , M , N . B каком
4593. Найдите объем правильной
отношении эта плоскость делит объем
треугольной
пирамиды с площадью
тетраэдра?
боковой грани, равной Q, и углом меж­
ду боковыми гранями, равным у.
D
4594. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с площадью
боковой грани, равной Q, и плоским
К
углом при вершине, равным ф.
4595. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с ради­
усом описанной сферы, равным R, и
углом боковой грани с плоскостью ос­
нования, равным р.
Р и с . 188
4596. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с ради­
4587. Известно, что в заданную
усом описанной сферы, равным R, и
призму можно вписать сферу. Найди­
углом между соседними боковыми
те площадь ее боковой поверхности,
гранями, равным у.
если площадь основания равна S.
4597. Найдите объем правильной
4588. Внутри куба с ребром, рав­
четырехугольной пирамиды с ради­
ным 1 0 , рассматриваются следующие
усом описанной сферы, равным R, и
множества точек:
плоским углом при вершине, равным ф.
а) точки, удаленные на расстояние,
4598. Найдите объем правильной
не превьш1 ающее 1 , от трех граней куба;
четырехугольной пирамиды с ради­
б) точки, удаленные на расстояние,
усом вписанной сферы, равным г, и уг­
не превышающее 1 , от двух граней куба;
лом бокового ребра с плоскостью осно­
в) точки, удаленные на расстояние,
вания, равным а.
не превьш1 ающее 1 , от одной грани куба.
4599. Найдите объем правильной
Найдите объем тел, состоящих из
четырехугольной пирамиды с ради­
этих точек.
усом вписанной сферы, равным г, и уг­
4589. Найдите высоту треугольной
лом между соседними боковыми гра­
пирамиды, боковые ребра которой по­
нями, равным у.
парно перпендикулярны и равны 2, 3
4600. Найдите объем правильной
и 4.
четырехугольной пирамиды с ради­
4590. Найдите объем правильной
усом вписанной сферы, равным г, и
плоским углом при вершине, равным ф.
треугольной пирамиды с радиусом
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4601. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с пло­
щадью боковой грани, равной Q, и у г­
лом между соседними боковыми гра­
нями, равным у.
4602. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды с пло­
щадью боковой грани, равной Q, и плос­
ким углом при вершине, равным ф.
4603. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с радиусом
описанной сферы, равным R, и углом
боковой грани с плоскостью основа­
ния, равным р.
4604. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с радиусом
описанной сферы, равным R, и углом
между соседними боковыми гранями,
равным у.
4605. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с радиусом
описанной сферы, равным R, и пло­
ским углом при вершине, равным ф.
4606. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с радиусом
вписанной сферы, равным г, и углом
бокового ребра с плоскостью основа­
ния, равным а.
4607. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с радиусом
вписанной сферы, равным г, и углом
между соседними боковыми гранями,
равным у.
4608. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с площадью
боковой грани, равной Q, и углом меж­
ду соседними боковыми гранями, рав­
ным у.
4609. Найдите объем правильной
шестиугольной пирамиды с площадью
боковой грани, равной Q, и плоским
углом при вершине, равным ф.
4610. В каком отношении делит
объем куба плоскость, перпендику­
лярная его диагонали и делящая ди­
агональ в отношении: а) 2 : 1; б) 3 ; 1?
4611. В п рям оугольнике A B C D
А В = 2, ВС = 3. Отрезок К М парал­
лелен А В и расположен на рассто­
315
янии 1 от плоскости A B C D и К М = 5
(рис. 189). Найдите объем многогран­
ника АВ С£)ХМ .
Рис. 189
4612. Пусть P v iQ — площади двух
граней тетраэдра, а — длина общего
ребра, а — двугранный угол между
этими гранями, V — объем тетраэдра.
Докажите, что
|
3
о
“ .
4613. Объем треугольной пирами­
ды 1. Найдите объем пирамиды с вер­
шинами в точках пересечения медиан
граней данной пирамиды.
4614. На диагонали единичного ку­
ба взяты точки М и Л^, а на скрещиваю­
щейся с ней диагонали грани — точки
Р и Q. Известно, что M N = ^ , а PQ = i .
2
3
Найдите объем тетраэдра M N P Q .
4615. Объем тетраэдра AB CD равен
V. На ребре А В взяты точки М и Л^, а на
ребре CD — точкиP vlQ. Известно, что
M N = а • А В , PQ = Р • CD. Найдите
объем тетраэдра M N P Q .
4616. Даны прямоугольник ABCD
и прямая M N , параллельная А В и уда­
ленная от плоскости прямоугольника
на расстояние, равное h. Известно, что
А В = а, ВС = Ь, M N = с. Найдите объем
многогранника A B C D M N .
4617. В
треугольной
пирамиде
SABC на ребре SB взята точка М , деля­
щая отрезок SB в отношении 3 : 5 , счи­
тая от точки S. Через точки А и М па­
раллельно медиане B D треугольника
ABC проведена плоскость. В каком от­
ношении эта плоскость делит объем
пирамиды?
4618. Противоположные ребра тет­
раэдра попарно равны. Основание тет­
316
СТЕРЕОМЕТРИЯ
раэдра — треугольник со сторонами а,
Ь, с. Найдите объем тетраэдра.
4619. Основание пирамиды — квад­
рат. Две боковые грани перпендику­
лярны плоскости основания, а две дру­
гие наклонены к ней под углом 45°.
Среднее по величине боковое ребро
равно I. Найдите объем и полную по­
верхность пирамиды.
4620. В четырехугольной пирамиде
OABCD основанием является трапеция
AB CD , а боковые грани OAD и ОВС пер­
пендикулярны основанию. Площадь
грани ОАВ равна 9, площадь грани
OCD равна 20, ребро А В равно 3, ребро
CD равно 5. Найдите объем пирамиды.
4621. В
треугольной
пирамиде
ОАВС боковые грани ОАС и ОАВ пер­
пендикулярны основанию. Через вер­
шину О под углом 45° к основанию
проведено сечение, пересекающее реб­
ро А В в точке D и ребро АС в точке Е,
причем D E параллельно ВС. Площадь
сечения O D E равна 1, площадь грани
ОВС равна 6 , ребро ВС равно 4. Найди­
те объем пирамиды.
4622. Основанием пирамиды SABC
является правильный треугольник
ABC, сторона которого равна J s . Ос­
нованием высоты, опущенной из вер­
шины S, является точка О, лежащая
внутри треугольника ABC. Расстояние
от точки О до стороны А С равно 1. Си­
нус угла ОВА относится к синусу угла
ОВС, как 2 : 1 . Площадь грани SAB
равна
. Найдите объем пирамиды.
4623. В шаре радиуса, равного J s ,
просверлено цилиндрическое отвер­
стие; ось цилиндра проходит через
центр шара, а диаметр основания ци­
линдра равен радиусу шара. Найдите
объем оставшейся части шара.
4624. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с радиусом
описанной сферы, равным Е , и углом
между боковыми гранями, равным у.
4625. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с радиусом
описанной сферы, равным Е, и пло­
ским углом при вершине, равным ф.
4626. На ребрах АА^ и СС^ куба
A B C D A iB ^C iD i
отмечены
соответ­
ственно точки Е и F такие, что А Е =
= 2А^Е, CF = 2C]F. Через точки В ,Е к
F проведена плоскость, делящая куб
на две части. Найдите отношение объ­
ема части, содержащей точку В^, к
объему всего куба.
4627. Основание
пирамиды
PA B C D — параллелограмм ABCD.
Точка N — середина ребра А Р , точка
К — середина медианы P L треуголь­
ника В РС, точка М лежит на ребре РВ,
причем Р М = 5М В . В каком отноше­
нии плоскость, проходящая через точ­
ки М , N , К , делит объем пирамиды
PABCD?
4628. Основание
пирамиды
PA B C D — параллелограмм ABCD. На
ребрах А В и PC взяты соответственно
точки К и М , причем А К : К В =
= С М : М Р = 1 : 2 . В каком отношении
плоскость, проходящая через точки
и М параллельно прямой B D , делит
объем пирамиды PABCD1
4629. Если поверхность тетраэдра
A B C D разрезать вдоль ребер A D , B D и
CD, то его разверткой на плоскость
ABC будет квадрат со стороной, равной
а. Найдите объем тетраэдра.
4630. Дана правильная четырех­
угольная пирамида PAB CD {Р — вер­
шина) со стороной основания а и боко­
вым ребром а. Сфера с центром в точке
О проходит через точку А и касается
ребер Р В и P D в их серединах. Найдите
объем пирамиды OPCD.
4631. Основание пирамиды — тре­
угольник со сторонами, равными 6 , 5
и 5. Боковые грани пирамиды образу­
ют с плоскостью ее основания двугран­
ные углы , равные 45°. Найдите объем
пирамиды.
317
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4632. Даны четыре точки К , L , М ,
N , не лежащие в одной плоскости.
Сфера касается плоскостей K L M и
K L N в точках М и N соответственно.
Найдите площадь поверхности сферы,
если известно, что M L = 1, К М = 2,
/1 M N L = 60°, Z K M L = 90°.
4633. О с н о в а н и е
пирамиды
PA B C D — параллелограмм
ABCD.
Т о ч к а — середина ребра А Р , точка N
расположена на ребре СР, причем
C N : N P = 1 : 3 , точка М расположена
на продолжении ребра ВС за точку В,
причем В М = 2ВС. Постройте сечение
пирамиды плоскостью, проходящей
через токи К , М , N . В каком отноше­
нии эта плоскость делит объем пира­
миды?
4634. О с н о в а н и е
пирамиды
PA B C D — параллелограмм ABCD.
Точка М расположена на ребре PC,
причем Р М : М С = 1 : 2 . Постройте се­
чение пирамиды плоскостью, прохо­
дящей через точку М параллельно
прямым А Р и B D . В каком отношении
эта плоскость делит объем пирамиды?
4635. О с н о в а н и е
пирамиды
PAB CD — параллелограмм ABCD.
Точки М VI К расположены на ребрах
А В и СР соответственно (рис. 190),
причем A M : M B = 1 ; 3 и Р К : КС =
= 2 : 3 . Постройте сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через точки
М и К параллельно прямой B D. В ка­
ком отношении эта плоскость делит
объем пирамиды?
4636. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с радиусом
вписанной сферы, равным г, и углом
между боковыми гранями, равным у.
4637. Найдите объем правильной
треугольной пирамиды с радиусом
вписанной сферы, равным г, и пло­
ским углом при вершине, равным ф.
4638. Объем пирамиды равен 1. Две
плоскости, параллельные А В и CD, де­
лят ребро ВС на три равные части.
Найдите объем части пирамиды, рас­
положенной между этими плоскостя­
ми.
4639. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде SBCDE с вершиной S бо­
ковое ребро равно Ъ, а двугранный угол
между боковыми гранями равен а.
Найдите объем пирамиды, отсекаемой
от данной пирамиды плоскостью, про­
ходящей через диагональ B D основа­
ния и середину бокового ребра SC.
4640. В правильной треугольной
пирамиде отношение бокового ребра к
/г
стороне основания равно ^ , а радиус
шара, вписанного в эту пирамиду, ра­
вен 1. Найдите объем пирамиды.
4641. Две грани треугольной пира­
миды — равносторонние треугольник
со стороной, равной а. Две другие гра­
ни — равнобедренные прямоугольные
треугольники. Найдите радиус впи­
санного в пирамиду шара.
4642. Д а н
параллелепипед
A B C D A iB iC iD i. На лучах С^С,
и
C iD i отложены отрезки С-^М, C iN и
С^К,
равные соответственно
ICjBi,
В
|ССх,
I C jjDj . в каком отношении
плоскость, проходящая через точки
М , N , К , делит объем параллелепипе­
да AB C£)AiBiCi£)i?
4643. На скрещивающихся пря­
мых 1тлт взяты отрезки А В и CD соот­
ветственно. Докажите, что объем пи­
рамиды A B C D не зависит от положе­
318
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ния отрезков А В и CD на этих прямых.
Найдите этот объем, если А В = а, CD =
= ft, а угол и расстояние между прямы­
ми Iv im равны соответственно а и с.
4644. Докажите, что плоскость, пе­
ресекающая боковую поверхность
правильной 2 п-угольной призмы, но
не пересекающая ее оснований, делит
ось призмы, ее боковую поверхность и
объем в одном и том же отношении.
4645. Не ребрах А В , ВС, CD и A D
тетраэдра A B C D объема V взяты соот­
ветственно точки К , L , М и N , причем
2иАК = А В , 3BL = ВС, ACM ^ CD и
5D N = A D . Найдите объем тетраэдра
K LM N.
4646. Основанием
прямой
тре­
угольной призмы ABCAiB^Ci служит
треугольник ABC, у которого А В = 3,
АС = 2, А ВАС = 45°. Через точки Е , F
и G, лежащие наА^В^,
и А В соот­
ветственно, проведено сечение, при­
чем А^Е = 2, A^F = 1, AG = 1. Найдите
объем той части призмы, которая со­
держит ребро B B j, если ВВ^ = 4.
4647. Радиус шара, вписанного в
правильную треугольную пирамиду,
равен г, а двугранный угол при боко­
вом ребре равен а. Найдите объем пи­
рамиды, вершины которой находятся
в центре вписанного шара и точках его
касания с боковыми гранями исход­
ной пирамиды.
4648. О с н о в а н и е п и р а м и д ы
SABCD — параллелограмм ABCD,
точки М и N — середины ребер SC и
S D соответственно. Прямые SA, B N и
C N попарно перпендикулярны. Най­
дите объем пирамиды, если SA = а,
В М = b ,C N = с.
4649. Докажите, что плоскость,
проходящая через середины двух про­
тивоположных ребер любой треуголь­
ной пирамиды, делит ее объем попо­
лам.
4650. Точки М n N — середины ре­
бер A A i и CCi параллелепипеда
A B C D A iB iC iD ^ . Прямые А^С, В^М и
B N попарно перпендикулярны. Най­
дите объем параллелепипеда, если из­
вестно, что А^С = а, В^М = Ь, B N = с.
4651. В треугольной пирамиде два
противоположных ребра равны 12 и 4,
а остальные ребра равны 7. В пирами­
ду вписана сфера. Найдите расстоя­
ние от центра этой сферы до ребра,
равного 1 2 .
4652. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде SABCD (S — вершина)
А В = Зл/2 , высота пирамиды равна 8 .
Сечения пирамиды двумя параллель­
ными плоскостями, одна из которых
проходит через току А , а другая — че­
рез точки В и £), имеют равные площа­
ди. В каком отношении делят ребро SC
плоскости сечений? Найдите расстоя­
ние между плоскостями сечений и
объемы многогранников, на которые
пирамида разбивается этими плоскос­
тями.
4653. Точки М , N , К — середины
ребер А В , ВС, DD^^ параллелепипеда
ABCDA^B^C^D^.
1) Проведите сечение параллелепи­
педа плоскостью, проходящей через
точки М , N , К .
2) В каком отношении эта плос­
кость делит ребро СС^ и диагональ
£ )B i?
3) В каком отношении эта плос­
кость делит объем параллелепипеда?
4654. Объем пирамиды A B C jD равен
5 . Через середины ребер A D и ВС про­
ведена плоскость, пересекающая реб­
ро CD в точке М . При этом D M : М С =
= 2 : 3 . Найдите площадь сечения пира­
миды указанной плоскостью, если рас­
стояние от нее до вершины А равно 1.
4655. На ребрах ВС и DC треуголь­
ной пирамиды A B C D взяты соот­
ветственно точки N и К , причем CN =
= 2BN, D K : К С = 3 : 2 . Известно, что
М — точка пересечения медиан тре­
угольника A B D . В каком отношении
плоскость, проходящая через точки М ,
N , К , делит объем пирамиды АВС£)?
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4656. В пирамиде ABCjD через сере­
дины К и N ребер A D и ВС проведена
плоскость, пересекающая ребро А В в
точке М , а ребро CD — в точке L. П ло­
щадь четырехугольника K L M N равна
16, а отношение отрезка A/Vf к отрезку
М Б равно 0,5. Вычислите расстояние
от вершины А до плоскости K L M N , ес­
ли объем многогранника N A C L K ра­
вен 8 .
4657. Дана правильная треуголь­
ная пирамида SABC (S — вершина) со
стороной основания а и боковым реб­
ром Ь. Первая сфера с центром в точке
касается плоскостей SAB и SAC в
точках Б и С„ а вторая сфера с центром
в точке О 2 касается плоскостей SAC и
SBC в точкахЛ и В. Найдите объем пи­
рамиды S 0 iB 0 2 4658. Точки К , M u N расположены
соответственно на ребрах ВС, CD и A D
тетраэдра A B C D (рис. 191), причем
В К -.К С = 2 : 3 , С М : M D = 1 : 2 и
A N : N D = 3 : 1 . Постройте сечение
тетраэдра плоскостью, проходящей
через точки К , М , N . В каком отноше­
нии эта плоскость делит объем тетра­
эдра?
319
= ^ АС. Известно, что E F L M — равно­
бедренная трапеция с основанием EF,
равным л/7 . Найдите объем пирамиды.
4660. На ребре SB пирамиды SABC
выбраны точки D и Е так, что S D =
= D E = 1, B E = 2. Сечения пирамиды
плоскостями,
перпендикулярными
ребру SB и проходящими через точки
D и Е , имеют площади 5 и 16 соответ­
ственно, причем первое из этих сече­
ний — треугольник, одна из вершин
которого делит ребро SA в отношении
2 : 1 , считая от вершины S. Найдите
объем пирамиды.
4661. На продолжении за точку А^
ребра A A i правильной треугольной
призмы АВСА^Б^С^ {ABC — основа­
ние) взята точка М . Через точку М и
точку iiT — середину ребра ВС — прове­
дена плоскость а, пересекающая ребро
АС в точке
так, что Z К К ^ М =
= arctg
. Известно, что сечение
призмы плоскостью а — пятиуголь•7
ник K K iK 2 K^K^, у которого
i >
кк^ =
43,
2
>
2
/!
б
g
Найдите
объем призмы.
4662. В
треугольной
пирамиде
A B C D суммы трех плоских углов при
каждой из вершин Б и С равны 180° и
A D = ВС. Найдите объем пирамиды,
если площадь грани B CD равна 100, а
расстояние от центра описанного шара
до плоскости основания AB C равно 3.
4663. В
основании
пирамиды
PQ RST
лежит
четырехугольник
Q R ST, у которого стороны Q T и R S па­
раллельны, сторона S T равна 4, сторо­
на R S равна 2, а угол R S T равен 60°.
Ребро P S равно 4 J2 . Найдите объем
4659.
В
правильной
пирамидепирамиды, если известно, что через
SABC (S — вершина) точка Е — сере­
прямые Q T и RS можно провести две
дина апофемы, лежащей в грани SBC,
плоскости, не совпадающие с основа­
а точки F, L vlM лежат на ребрах А В ,
нием пирамиды и пересекающие пира­
А С и SC соответственно, причем A L =
миду по равным четырехугольникам.
320
СТЕРЕОМЕТРИЯ
треугольной
пирамиде
4664.
Основанием
четырехуголь­ 4668. В
ной пирамиды SABCD является па­ A B CD известно, что CD = а, а перпен­
дикуляр, опущенный из середины реб­
раллелограмм A B C D , точка пересече­
ния диагоналей которого есть ортого­
ра А В на CD, равен Ь и образует равные
нальная проекция вершины S на плос­
углы а с гранями AC D и BCD. Найдите
кость AB CD . Точки Е и F выбраны на
объем пирамиды.
ребрах B S и ВС соответственно так,
4669. Объем тетраэдра АВС£) равен
V. На ребрах АВ , ВС, CD и D A взяты со­
1
что В-Е = I B S, B F = ^ ВС. Точки P u Q
ответственно точки К , L , М и N , при­
расположены на прямых А Е и S F так,
чем А й := 1 а в , b l = \ в с , с м = \ c d ,
3
4
5
что прямая PQ перпендикулярна
плоскости основания пирамиды. П л о ­
D N = - DA. Найдите объем тетраэдра
щадь параллелограмма ABCjD равна 3,
6
PQ = 12. Найдите объем пирамиды.
KLM N.
4665.
Треугольная
п р и з м а 4670. В пирамиде A B C D прямая,
A B C A jB iC i с нижним основанием ABC
пересекающая ребра АС и B D и пер­
и боковыми ребрами
B B j и СС]
пендикулярная им, проходит через се­
редину ребра B D. Грань A D B равнове­
рассечена плоскостью , проходящ ей
лика грани BDC, а площадь грани ADC
через точки Е , F , С, где Е — середина
в два раза больше площади грани BDC.
ребра A4.J, точкам лежит на ребре ВВ^,
Внутри пирамиды есть точка М , сум­
причем
= i . Найдите объем части
ма расстояний от которой до вершин В
FBi
2.
и D равна сумме расстояний до всех
пр и з мы
з а кл юч е н но й
граней пирамиды. Найдите расстоя­
между секущей плоскостью и нижним
ние от точки М до вершины В, если
основанием призмы, если известно,
А С = J g ,&b d =\.
что объем призмы равен V.
4671. В пирамиде ABCD грани ADC
4 6 6 6 . Основанием пирамиды
и
BDC
равновелики, а сумма площа­
SABCD является трапеция A B C D с ос­
дей граней A D B и ABC в три раза боль­
н о в а н и я м и В С и A D т а к и м и , что
ше площади грани ADC. Радиус шара,
ВС -.AD = 2 : 3 . Диагонали трапеции
вписанного в пирамиду, в восемь раз
пересекаются в точке Е , а центр О впи­
меньше суммы расстояний от центра
санной в пирамиду сферы лежит на от­
шара до вершин А и В. Найдите дву­
резке S E и де л ит его в отнош ении
SO : О Е = 5 : 2 . Найдите площадь пол­
гранный угол, образованный гранями
ной поверхности пирамиды, если пло­ A D B u A B C .
щадь боковой грани SBC равна 12.
4672. Объем правильной призмы
4667.
На ребре АС правильной тре­
ABCAiB^Ci равен V. Точка N — центр
угольной призмы A B C A jB jC i взята
грани BBjCjC. Вторая призма симмет­
1
О
рична
призме A B C A iB jC j относитель­
точка-JL так, чтоАйГ = - , С К = - . Через
4
4
но прямой A N , и объем общей части
точку К проведена плоскость, обра­
2V
этих призм равен — . Найдите отнозующая с плоскостью ABC угол
5
у
шение
A
A
j
:
А
В
,
если
известно, что
arctg - и рассекающая призму на два
6
многогранника, площади поверхно­
стей которые равны. Найдите объем
призмы, если известно, что около од­
ного из этих многогранников можно
описать сферу, а около другого — нет.
A A i < -УЗАВ.
4673. В пирамиде AB CD проведено
сечение K M L N так, что точка К лежит
на ребре A D , точка М — на ребре DC,
точка N — на ребре А В , точка L — на
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ребре БС, О — точка пересечения диа­
гоналей K L и M N четырехугольника
K M L N . Сечение K M L N делит пирами­
ду на две части. Найдите отношение
объемов этих частей, если известны
следу 1 рщие соотношения между дли­
нами отрезков;
4 0 L = ZO K , 2bON = 240М ,
D K - N A ~ K A - B N = K A - NA.
4674. Все высоты пирамиды ABCD,
грани которой являются остроуголь­
ными треугольниками, равны между
собой. Известно, что А В = 9, ВС = 13, а
угол AD C равен 60°. Найдите ребро BD.
4675. Отрезок P Q параллелен плос­
кости, в которой лежит прямоугольник
K L M N , причем K L = 1, PQ = 3. Все сто­
роны прямоугольника K L M N и отрезки
К Р , L P , N Q , M Q , PQ касаются некото­
рого шара. Найдите объем этого шара.
4676. Отрезок E F параллелен плос­
кости, в которой леж ит прямоуголь­
ник ABCD, причем E F = 3, ВС = 5. Все
стороны прямоугольника A B C D и от­
резки А Е , B E , CF, D F , E F касаются не­
которого шара. Найдите плош;адь по­
верхности этого шара.
4677. Объем пирамиды SABC ра­
вен V. Через точки М и N , лежаш;ие на
ребрах A S и А В соответственно, и внут­
реннюю точку Р грани Л ВС проведена
плоскость, пересекаюш;ая прямую CS
вточкеХ (рис. 192). Пусть £) и £ — точ-
321
ки пересечения прямых А Р и В Р с реб­
рами БС и АС соответственно. Извест­
но, что АЛГ = N C , A M = M S , А Р = 3PD
и В Р = 2РЕ. Найдите объем пирамиды
ACLN.
8
. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.
МЕТОД К О О РД И Н АТ
4678. Через точку М { -2 ; 0; 3) про­
ведите плоскость, параллельную плос­
кости 2х - у - 3z + 5 = 0.
4679. Найдите угол между прямой,
проходяш;ей через точки А (-3 ; 0; 1) и
Б(2; 1; -1 ), и прямой, проходяш;ей че­
рез точки С (-2 ; 2; 0) и D (l; 3; 2).
4680. Даны точки А (-3 ; 0; 1),
Б(2; 1; -1 ), С (-2 ; 2; 0) и/)(1; 3; 2). Най­
дите угол между прямыми А в и CD.
4681. Даны точки А (2 ; -1 ; 0),
Б(3; 2; 1), С(1; 2; 2) и D (-3 ; 0; 4). Най­
дите угол между прямыми А В и CD.
4682. Найдите острый угол между
плоскостями 2 x - y - 3 z + 5 = 0 n x + y -
- 2 = 0.
4683. Через середину отрезка с кон­
цами в точках Р (- 1 ; 2; 5) и Q(3; -4 ; 1)
проведите плоскость, перпендикуляр­
ную прямой, проходяш;ей через точки
А (0 ;- 2 ;- 1 )и Б (3 ;2 ;- 1 ).
4684. Ребра прямоугольного парал­
лелепипеда равны 2, 3 и 4. Найдите
угол между его диагоналями.
4685. Высота АА^ прямоугольного
пa.paллeлeпшIeдaABCDAlBlClDl вдвое
больше каждой из сторон основания.
Найдите угол между прямыми BD^ и
A M , где М — точка пересечения диаго­
налей грани DCC^D^.
4686. Даны три вектора а , Ъ и с .
Докажите, что вектор с перпендику­
Р и с . 192
11 С борн ик задач по геометрии
лярен вектору(Ь • с )а —(а • с ) Ь .
4687. Даны три некомпланарных
вектора. Суш;ествует л и четвертый
вектор, перпендикулярный трем дан­
ным?
322
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4688. Дан прямоугольный парал­
лелепипед A B C U A iS iC iD j, в котором
А В = 4 ,A D = 2, A4.J = 6 . Точка N — се­
редина ребра CD, тока М расположена
на ребре CCj, причем С^М : С М = 1 : 2 ,
К — точка пересечения диагоналей
грани АА^В^р. Найдите угол между
прямыми К М viA-^N.
4689. Дан прямоугольный парал­
лелепипед A B C D A iB iC iD i, в котором
А В = 4, A D = 6 , A A i = 2. Точки F и К
расположены на ребрах A D и
соответственно,
причем A F : F D =
= С^К : K B i = 1 : 2 , Р — точка пересе­
чения диагоналей грани AB CD . Най­
дите угол между прямыми Р К и B^F.
4690. Дан тетраэдр AB CD . Все пло­
ские углы при вершине D — прямые;
D A = 1, D B = 2, DC = 3. Найдите меди­
ану тетраэдра, проведенную из верши­
н ы !).
4691. Дан куб A B C D A jB iC iD i. На
отрезках A B j и ВС^ взяты точки P n Q ,
причем А Р : РВ^ = C^Q : QB = 2 : 1 . До­
кажите, что отрезок P Q перпендику­
лярен прямым A B j и С^В, найдите его
длину, если ребро куба равно а.
4692. Проведите плоскость через
точкиА(-3; 0; 1), Б(2; 1; - 1 ) и С (-2 ; 2; 0).
4693. Даны
точки
А(1; 0; 1),
Б (-2 ; 2; 1), С(2; 0; 3). Найдите уравне­
ние плоскости ABC.
4694. Даны
точки
А(1; 0; 1),
Б (-2 ; 2; 1), С(2; 0; 3) и2)(0; 4; -2 ). Най­
дите уравнение плоскости, проходяш,ей через точку D параллельно плос­
кости ABC.
4695. Даны
точки
А (1 ; 0; 1),
Б (-2 ; 2; 1), С(2; 0; 3) и D(0; 4; -2 ). Най­
дите расстояние от точки D до плоскос­
ти ABC.
4696. Даны
точки
А (1 ; 0; 1),
Б (-2 ; 2; 1), С(2; О, 3) и D(0; 4; -2 ). Най­
дите острый угол между плоскостями
ABC VI BCD.
4697. Даны
точки
М (2 ; -5 ; 0),
N ( Z ; 0; 4), К { -2 ; 2; 0). Найдите уравне­
ние плоскости M N K .
4698. Даны
точки М (2; -5 ; 0),
N (3 ; 0; 4), К (- 2 ; 2; 0) и Д З ; 2; 1). Най­
дите уравнение плоскости, проходя­
щей через точку L параллельно плос­
кости M N K .
4699. Даны
точки М (2 ; -5 ; 0),
iV(3; 0; 4), К (-2 \ 2; 0) и Д З ; 2; 1). Най­
дите расстояние от точки L до плоскос­
ти M N K .
4700. Даны
точки М (2 ; -5 ; 0),
N(Z-, 0; 4), К (-2 \ 2; 0) и Д З ; 2; 1). Най­
дите острый угол между плоскостями
M N K и NKL.
4701. Даны
точки А (- 3 ; 0; 1),
Б(2; 1; -1 ), С (-2 ; 2; 0). Найдите урав­
нение плоскости ABC.
4702. Даны
точки А (- 3 ; 0; 1),
Б(2; 1; - 1 ), С (-2 ; 2; 0) и D (l; 3; 2). Най­
дите расстояние от точки D до плоскос­
ти ABC.
4703. Даны
точки А (-3 ; 0; 1),
Б (2; 1; -1 ), С (-2 ; 2; 0) и1)(1; 3; 2). Най­
дите острый угол между плоскостями
ABC и BCD.
4704. Даны
точки
А (-3 ; 0; 1),
Б(2; 1; -1 ), С (-2 ; 2; 0 )и£)(1; 3; 2). Най­
дите уравнение плоскости, проходяш;ей через точку D параллельно плос­
кости ABC.
4705. Даны точки А (- 3 ; 0; 1) и
D{1; 3; 2). Найдите параметрические
уравнения прямой AD ,
4706. Даны
точки
А (2 ; -1 ; 0),
Б(3; 2; 1), С(1; 2; 2). Найдите уравне­
ние плоскости ABC.
4707. Даны
точки
А (2 ; -1 ; 0),
Б(3: 2; 1), С(1; 2; 2) и £ )(-3 ; 0; 4). Най­
дите расстояние от точки D до плоскос­
ти ABC.
4708. Даны
точки
А (2; -1 ; 0),
Б(3; 2; 1), С(1; 2; 2) и £)(-3; 0; 4). Най­
дите острый угол между плоскостями
ABC и BCD.
4709. Даны
точки
А (2 ; -1 ; 0),
Б(3; 2; 1), С(1; 2; 2) и £ )(-3; 0; 4). Най­
дите уравнение плоскости, проходяш;ей через точку D параллельно плос­
кости ABC.
4710. Даны точки А (2 ; -1 ; 0) и
D (—3; 0; 4). Найдите параметрические
уравнения прямой AD.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4711. Ребра прямоугольного парал­
лелепипеда равны а, Ъ VI с. Найдите
угол между скрещивающимися диаго­
налями двух граней с общим ребром а.
4712. В тетраэдре A B C D известно,
что А В = 3, БС = 4, АС = 5, A D = £)Б = 2,
D C = 4. Найдите медиану тетраэдра,
проведенную из вершины D .
4713. (Формула Лейбнииа.) Пусть
М — точка пересечения медиан тре­
угольника AB C, О — произвольная
точка пространства. Докажите, что
ОМ2 =
1
(0
^ 2
-ь ОВ^ + ОС2 ) -
О
- U a B^ + ВС^ + АС^).
у
4714. Непересекающиеся диагона­
л и двух смежных граней прямоуголь­
ного параллелепипеда наклонены к
плоскости основания под углами а и р.
Найдите угол между этими диагоналя­
ми.
4715. Дан тетраэдр A B CD , в кото­
ром А В = B D = 3, А С = CD = 5, A D =
= ВС = 4. Найдите A M , где М — точка
пересечения медиан грани BCD.
4716. Известно, что а , Ь и с — не­
компланарные векторы. Докажите,
что векторы m = - З а + 4 , 5 Ь - 7с , п =
= а - 2 Ь + З с и р = - - 2 а + Ь - 2с
компланарны.
323
4720. Найдите расстояние от точки
Х)(1; 3; 2) до плоскости, проходящей
через точки А (- 3 ; 0; 1), Б(2; 1; - 1 ) и
С (-2 ; 2; 0).
4721. Составьте параметрические
уравнения прямой пересечения плос­
костей 2х —у —Зг + 5 = 0 и х + у —2 = 0.
4722. Даны
точки
А(1; 0; 1),
Б (-2 ; 2; 1), С(2; 0; 3) и£)(0: 4; -2 ). Най­
дите угол между прямой А В и плоско­
стью BCD.
4723. Даны
точки М (2 ; -5 ; 0),
Щ З; 0; 4), К { -2 ; 2; 0) и Д З ; 2; 1). Най­
дите угол между прямой M N и плоско­
стью N K L .
4724. В кубе ABCDA^B^C^D^^, где
A A j, ВВу, ССх и DD^ — параллельные
ребра, плоскость Р проходит через ди­
агональ A j C j грани куба и середину
ребра DD^. Найдите расстояние от се­
редины ребра CD до плоскости Р , если
ребро куба равно 4.
4725. В кубе ABCDA^B^C^D^^, где
A A j, ВВу, C C j и DD^ — параллельные
ребра, плоскость Р проходит через
противоположные вершины A j, С и се­
редину ребра D]C]^. Найдите расстоя­
ние от вершины
до плоскости Р , ес­
ли ребро куба равно 6 .
4726. Ос н ов а н и е м пирамиды
H P Q R явл яе т с я равносторонний
треугольник P Q R , сторона которого
равна 2 л/2 . Боковое ребро H R перпен­
дикулярно плоскости основания и рав­
но 1. Найдите угол и расстояние между
что векторы т
а -Ь скрещивающимися прямыми, одна из
которых проходит через точку Н и се­
+ Ь - с и р = 2 а + Ь + З с также не­
редину ребра QR, а другая проходит че­
компланарны.
рез точку R и середину ребра PQ.
4718.
Докажите, что для любых че­ 4 7 2 7 . О с н о в а н и е м п и р а м и д ы
тырех точек пространства верно равен­ H P Q R является равнобедренный пря­
моугольный треугольник PQ R , гипо­
ство А Б - C D + А С - D B + A D - В С = 0 .
4717. Известно, что а , Ь и с — не­
компланарные векторы. Докажите,
4719.
Составьте параметрическиетенуза P Q которого равна 2 л/2 . Боко­
уравнения прямой, проходящей через
вое ребро H R перпендикулярно плос­
точку М (- 2 ; 0; 3) перпендикулярно
кости основания и равно 1. Найдите
плоскости, проходящей через точки
угол и расстояние между скрещиваю­
А (- 3 ; 0; 1), Р (- 1 ; 2; 5) и Q(3; -4 ; 1).
щимися прямыми, одна из которых
324
СТЕРЕОМЕТРИЯ
проходит через точку Н и середину
ребра РД, а другая проходит через точ­
к у Д и середину ребра PQ.
4728°. Каждое ребро треугольной
пирамиды РАВ С равно 1; B D — высо­
та треугольника ABC. Равносторон­
ний треугольник B D E леж ит в плос­
кости, образующей угол фс ребромАС,
причем точки Р к Е лежат по одной
сторону от плоскости ABC. Найдите
расстояние между точками Р п Е .
4729. Найдите угол между прямой
пересечения плоскостей 2х - у - 3z +
+ 5 = 0 и х + у — 2 = 0 и плоскостью,
проходящей через точки М (- 2 ; 0; 3),
Л ^ ( 0 ; 2 ; 2 ) и Щ З ; - 3 ; 1).
4730. На диагоналях D^A, А^В,
В^С, C^D граней куба АВСВА^В^С^В^
взяты соответственно точки М , N , Р ,
Q, причем D jM : D^A = B N : ВА^ =
= E jP : В^С = D Q : DC^ = pi, a прямые
M N и P Q взаимно перпендикулярны.
Найдите pi.
4731. Через прямую
л:-1
проведите плоскость, параллельную
прямой пересечения плоскостей 4х +
+ 5z ~ 3 = О п 2х + у + 2z = 0.
4732. Найдите расстояние между
прямой, проходящей через точки
А (- 3 ; 0; 1) и Б(2; 1; -1 ), и прямой,
проходящей через точки С (-2 ; 2; 0) и
D{ 1 ; 3 ; 2 ) .
4733. В прямоугольном параллеле­
пипеде ABCDA^BiC^Di известно, что
А В = 3, ВС = 2, CCj = 4. На ребре А В
взята то ч к а м , причем A M : М В = 1 : 2;
К — точка пересечения диагоналей
грани CCjD iD . Найдите угол и рас­
стояние между прямыми D jM и В^К.
4734. Даны
точки
А (1 ; 0; 1),
Б (-2 ; 2; 1), С(2; 0; 3) и D(0; 4; -2 ). Най­
дите расстояние между прямыми А В
и CD.
4735. Даны
точки
М (2 ; - 5 ; 0),
N(3-, 0; 4), Щ -2 ; 2; 0) и Д З ; 2; 1). Най­
дите расстояние между прямыми M N
nKL.
4736. Даны
точки
А (-3 ; 0; 1),
Б(2; 1; - 1 ), С (-2 ; 2; 0) и£)(1; 3; 2). Най­
дите расстояние между прямыми АВ и
CD.
4737. Даны
точки
А (2; -1 ; 0),
Б(3; 2; 1), С(1; 2; 2) и £ )(-3 ; 0; 4). Най­
дите расстояние между прямыми АВ
nCD.
4738. Найдите расстояния между
скрещивающимися медианами двух
граней правильного тетраэдра со сто­
роной а.
4739. Через точку М (- 2 ; 0; 3) про­
ведите прямую, пересекающую пря­
мые
X
= 2-t,
у = 3,
Z = - 2+ ^
2 х - 2у -
Z
- 4 = О,
x + 3 y + 2 z + l = 0.
4740. Даны
точки
А (1 ; 0; 1),
Б (-2 ; 2; 1), С(2; 0; 3) и2)(0; 4; -2 ). Най­
дите параметрические уравнения пря­
мой, проходящей через начало коор­
динат и пересекающей прямые А В и
CD.
4741. Даны
точки М (2 ; -5 ; 0),
ЩЗ-, 0; 4), К (-2 -, 2; 0) и Д З ; 2; 1). Най­
дите параметрические уравнения пря­
мой, проходящей через точку Р ( 1 ; 0 ; 1 )
и пересекающей прямые
x - y - z - 2 = О,
2х + у = О,
Z
= - 2+t
X
= 1 + 2^,
У = 0.
4742.
В
правильной
призме
АВ С А 1 Б 1 С 1 сторона основания равна
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4а, боковое ребро равно а . Точки D
и £ — середины ребер
и N C . От­
резок M N с концами на прямых АС и
B B i пересекает прямую D E и перпен­
дикулярен ей. Найдите длину этого от­
резка.
4743. На ребрах A4.J, А В , Ej Cj и ВС
единичного куба АВСОА^В^С^В^ взя­
ты точки К , L , М и N соответственно
так, что A L = | , В ^М = | , C N = ^ . Оп­
ределите, какое из ребер, А В или A D ,
пересекает плоскость, параллельную
отрезку M L и содержащую отрезок
K N . В каком отношении это ребро де­
лится плоскостью?
4744. Найдите угол между двумя
скрещивающимися медианами двух
граней правильного тетраэдра (рис. 193,
о, б).
б)
Р и с . 193
9. ГЕОМ ЕТРИЧЕСКИЕ
Н Е РА В Е Н С ТВ А И З А Д А Ч И
Н А М А К С И М У М И М И Н И М УМ
4745. Докажите, что общий пер­
пендикуляр двух скрещивающихся
прямых есть наименьшее из расстоя­
ний между точками этих прямых.
4746. Докажите, что угол наклон­
ной с плоскостью есть наименьший из
углов, образованных этой наклонной с
прямыми плоскости.
4747. Докажите, что сумма двух
плоских углов трехгранного угла
больше третьего.
325
4748. Докажите, что сумма пло­
ских углов выпуклого многогранного
угла меньше 360°.
4749. Дан куб с ребром 1. Докажи­
те, что сумма расстояний от произ­
вольной точки до его вершин не мень­
ше 4 л/З .
4750. Сфера радиуса 2 пересечена
плоскостью, удаленной от центра на
расстояние, равное 1. Найдите длину
кратчайшего пути по поверхности
сферы между двумя наиболее удален­
ными точками сечения.
4751. Найдите длину кратчайшего
пути по поверхности единичного куба
между его противоположными верши­
нами.
4752. Докажите, что плоский угол
выпуклого
четырехгранного
угла
меньше суммы трех остальных.
4753. Рассматриваются всевозмож­
ные прямоугольные параллелепипе­
ды, основания которых являются
квадратами, а каждая из боковых гра­
ней имеет периметр 6 . Найдите среди
них параллелепипед с наибольшим
объемом и вычислите этот объем.
4754. Найдите высоту и радиус ос­
нования цилиндра наибольшего объ­
ема, вписанного в сферу радиуса R.
4755. Рассматриваются всевозмож­
ные прямоугольные параллелепипе­
ды, объем каждого из которых равен
4, а основания являются квадратами.
Найдите среди них параллелепипед с
наименьшим периметром боковой гра­
ни и вычислите этот периметр.
4756. Р а с с м а т р и в а ют с я в севоз­
можные прям оугольны е п ар аллеле­
пипеды, объем каж дого из которых
равен I , а одна из боковых граней яв­
ляется квадратом. Найдите среди них
параллелепипед с наименьшим пери­
метром основания и вычислите этот
периметр.
4757. Найдите наибольший воз­
можный объем цилиндра, вписанного
326
СТЕРЕОМЕТРИЯ
в конус, высота которого равна 27 и ра­
диус основания равен 9.
4758. Найдите наибольший объем
конуса с образующей, равной а.
4759. Найдите радиус основания
цилиндра наибольшего объема, впи­
санного в конус, радиус основания ко­
торого равен 3.
4760. И з куска металла, имеюш;его
форму треугольной пирамиды, боко­
вые грани которой образуют равные
двугранные углы с плоскостью основа­
ния, а высота проходит внутри пира­
миды, выточен круговой конус макси­
мального объема с той же вершиной.
Найдите объем сточенного металла,
если стороны основания пирамиды
равны 13, 14 и 15, а высота равна 24.
4761. В каких пределах может из­
меняться плоский угол трехгранного
угла, если два других плоских угла со­
ответственно равны: а) 70° и 100°;
б) 130° и 150°?
4762. Радиус основания и высота
цилиндра равны соответственно г и Л.
Найдите длину кратчайшего по боко­
вой поверхности цилиндра между ди­
аметрально противоположными точ­
ками разных оснований.
4763. Пусть а, Ъ \i с — стороны па­
раллелепипеда, d — одна из его диаго­
налей. Докажите, что
ем этого треугольника вокруг основа­
ния, был наибольшим?
4767.
Все плоские углы трехгран­
ного угла прямые (рис. 194). Докажи­
те, что любое его сечение, не проходя­
щее через вершину, есть остроуголь­
ный треугольник.
4768. В пирамиде PA B C D с основа­
нием A B C D известны плоские углы
при вершине Р : Z А Р В = 30°, Z Е Р С =
== 40°, Z С РВ = 50°, Z, D P A = 80°. В ка­
ких пределах могут меняться углы
/ LA PC vljL B P D I
4769. Найдите длину кратчайшего
пути по поверхности единичного пра­
вильного тетраэдра между серединами
его противоположных ребер.
4770°. Радиус основания конуса и
образующая равны соответственно |
О
-Ь
+ ^2 > 1
4764. В пространстве рассматрива­
ются два отрезка А В и CD, не лежащие
в одной плоскости. Пусть М и К — се­
редины этих отрезков. Докажите, что
M K < \ { A D + B C).
4765. Докажите, что площадь лю ­
бой грани тетраэдра меньше суммы
площадей трех остальных его граней.
4766. Периметр равнобедренного
треугольника равен Р . Каковы долж ­
ны быть длины его сторон, чтобы
объем фигуры, полученной вращени­
и 2. Найдите длину кратчайшего зам­
кнутого пути, пересекающего все об­
разующие конуса и проходящего че­
рез конец одной из них, принадлежа­
щий основанию.
4771. Существует ли треугольная
пирамида, высоты которой равны 1 , 2 ,
Зиб?
4772. В сферу радиуса R вписан ци­
линдр. Найдите наибольшее значение
боковой поверхности цилиндра и отно­
шение его высоты к радиусу сферы в
этом случае.
4773. Вокруг сферы радиуса г опи­
сан прямой круговой конус. Найдите
СТЕРЕОМЕТРИЯ
наименьшее значение объема конуса и
отношение его высоты к радиусу сфе­
ры в этом случае.
4774. Ребро куба ABCDAyB^C^D^
равно а. На диагоналях D^A viA^B взя­
ты соответственно точки М и N , при­
чем D ^M : D^A = N B : А^В = 1 : 3 . Най­
дите расстояние от вершины С до пря­
мой M N .
4775. Ребро правильного октаэдра
равно а. Найдите кратчайшее расстоя­
ние по поверхности октаэдра между се­
рединами двух его параллельных ребер.
4776. Докажите, что сумма углов
пространственного четырехугольника
не превосходит 360°.
4777. Найдите высоту и радиус ос­
нования конуса наибольшего объема,
вписанного в сферу радиуса R.
4778. Сторона основания AB C пра­
вильной пирамиды РАВ С равна а, бо­
ковое ребро равно Ъ. На каком расстоя­
нии от прямой ВС следует провести се­
чение пирамиды, параллельное реб­
рам ВС и Р А , чтобы площадь его была
наибольшей из возможных?
4779. В сферу радиуса R вписана
правильная четырехугольная пира­
мида. Каков наименьший возможный
объем этой пирамиды?
4780. В основании треугольной пи­
рамиды N K L M леж ит правильный
треугольник K L M . Высота пирамиды,
опуш;енная из вершины N , проходит
через середину ребра L M . Известно,
что K L = а, K N = Ь. Пирамиду пересе­
кает плоскость Р, параллельная ребрам
K N и L M . На каком расстоянии от вер­
шины N должна находится плоскость
Р, чтобы площадь сечения пирамиды
этой плоскостью была наибольшей?
4781. Сколько существует различ­
ных пирамид, все ребра которых рав­
ны 1 ?
4782. Докажите, что сумма пло­
ских углов трехгранного угла меньше
360°.
4783. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде расположены два оди­
327
наковых шара радиуса г, центры кото­
рых находятся на оси симметрии пи­
рамиды. Один из шаров касается всех
боковых граней пирамиды, а второй —
основания пирамиды и первого шара.
Найдите высоту пирамиды, при кото­
рой объем пирамиды наименьший.
4784.
Ребро А В тетраэдра ABCD яв­
ляется диагональю основания четы­
рехугольной пирамиды, ребро CD па­
раллельно другой диагонали этого ос­
нования, и концы его лежат на боко­
вых ребрах пирамиды. Найдите на­
именьший возможный объем пирами­
ды, если объем тетраэдра равен V.
4785°. Конус описан около куба
следующим образом: четыре верши­
ны куба леж ат в плоскости основания
конуса, а четыре другие вершины —
на его боковой поверхности (рис. 195).
Какой наименьший объем может
иметь такой конус, если ребро куба
равно а?
4786. Около шара объема F описана
правильная треугольная пирамида.
Каков наименьший возможный объем
этой пирамиды?
4787. В конусе расположены два
шара единичного радиуса, центры ко­
торых находятся на оси симметрии ко­
нуса. Один из шаров касается боковой
поверхности конуса, а другой — осно­
вания конуса и первого шара. Найдите
угол между образующей конуса и ос­
нованием, при котором объем конуса
наименьший.
328
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4788. Докажите, что в любой тре­
угольной пирамиде найдется верши­
на, при которой все плоские углы ост­
рые.
4789. Ребро правильного тетраэдра
равно а. Чем у равно наибольшее зна­
чение плош;ади ортогональной проек­
ции этого тетраэдра на плоскость?
4790. В пирамиде A B C D грань ABC
представляет собой правильный тре­
угольник, ребро D A равно стороне это­
го треугольника. Все плоские углы
при вершине D равны между собой.
Чему могут быть равны эти углы ?
4791. Через вершину конуса прове­
дено сечение наибольшей площади.
Оказалось, что плош,адь сечения в два
раза больше плош;ади осевого сечения
конуса. Найдите угол при вершине
осевого сечения конуса,
4792. Найдите длину кратчайшего
пути по поверхности единичного куба
между серединой его ребра и наиболее
удаленной от нее точки поверхности
куба.
4793. Боковое ребро правильной
четырехугольной пирамиды равно Ъ, а
плоский угол при вершине равен а.
Найдите длину кратчайшего замкну­
того пути по поверхности пирамиды,
начинаюш,егося и заканчивающегося
в вершине основания и пересекающе­
го все боковые ребра пирамиды.
4794. В основании четырехуголь­
ной пирамиды SABCD лежит ромб
AB CD , в котором ^ B A D = 60°. Извест­
но, что SA = SC, S D = SB = А В . На реб­
ре DC взята точка Е так, что площадь
треугольника B S E наименьшая среди
площадей всех сечений пирамиды, со­
держащих отрезок B S и пересекаю­
щ их отрезок DC. Найдите отношение
D E : ЕС.
4795. В основании четырехуголь­
ной пирамиды леж ит ромб ABCD, в ко­
тором Л B A D = 60°. Известно, что SA =
= SC, S D = S B -= A B . На ребре £)С взята
точка Е так, что площадь треугольни­
ка B S E наименьшая среди площадей
всех сечений пирамиды, содержащих
отрезок B S и пересекающих отрезок
DC. Найдите отношение D E : ЕС.
4796. Противоположные ребра тре­
угольной пирамиды попарно равны.
Докажите, что все грани этой пирами­
ды — равные остроугольные треуголь­
ники.
4797. Верно ли, что у любого трех­
гранного угла есть сечение, являю­
щееся правильным треугольником?
4798. Каким может быть ребро ку­
ба, одна грань которого леж ит в плос­
кости основания правильной четырех­
угольной пирамиды, а четыре остав­
шиеся вершины — на ее боковой по­
верхности, если стороны основания
пирамиды равны а, а высота пирами­
ды равна Л?
4799. Сторона основания правиль­
ной треугольной призмы равна а, бо­
ковое ребро равно Ь. Найдите кратчай­
шее расстояние по поверхности приз­
мы между вершиной одного основания
и серединой противоположной ей сто­
роны другого основания.
4800. Докажите, что сумма внут­
ренних двугранных углов трехгранно­
го угла больше 180° и меньше 540°.
4801. Пусть М С — перпендикуляр
к плоскости треугольника ABC. Верно
ли, что Z. А М В < Z. АСВ1
4802. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде расположены два оди­
наковых шара радиуса г, касающиеся
основания пирамиды в точках, прина­
длежащих отрезку, соединяющему се­
редины противоположных сторон ос­
нования. Каждый из шаров касается
боковой грани пирамиды и другого
шара. Найдите высоту пирамиды, при
которой объем пирамиды наимень­
ший.
4803. В вершине А прямоугольника
A B C D со сторонами А В = а, ВС = Ь си­
дит паук, а в противоположной верши­
не — муха. И х разделяет вертикаль­
ная стенка в виде равнобедренного
треугольника B M D с основанием B D и
329
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4807. Конус леж ит на горизонталь­
углом а при вершине М . Найдите дли­
ной плоскости а, касаясь ее боковой
ну кратчайшего пути от паука к мухе,
если известно, что паук может дви­
поверхностью. Плош;адь основания
гаться лиш ь по той части плоскости
конуса равна S j, плош;адь боковой
прямоугольника, где находится стена
поверхности — S 2 . На какой высоте
(включая границу прямоугольника),
(над плоскостью а ) находится наивыс­
и по самой стене.
шая точка конуса?
4804.
Все ребра правильной тре­ 4808. Сторона основания ABCD
угольной призмы A B C A iB jC j равны а.
правильной четырехугольной пира­
Рассматриваются отрезки с концами
миды A 8 CZ)P равна а, а боковые ребра
на диагоналях ВС^ и CAj боковых гра­
равны 2а (рис. 196). Рассматриваются
ней, параллельные плоскости A B E jA i.
отрезки с концами на ребрах A D и PC,
а) Один из этих отрезков проведен
через точку М диагонали ВС^ такую,
параллельные плоскости РА В .
что В М : B C i = 1 : 3 . Найдите его дли­
ну.
б) Найдите наименьшую длину
всех рассматриваемых отрезков.
4805°. Ребро куба A B C D A iB iC iD i
равно а. На ребрах А В и CCj взяты со­
ответственно точки М и N так, что
^В
прямая M N образует угол § с плоско6
стью A B C D и угол arcsin | с плоско3
Р и с . 196
стью ВВ^С^С. Найдите:
а) Один из этих отрезков проведен
а) длину отрезка M N\
через точку М ребра A D такую, что
б) радиус шара с центром на от­
A M : A D = 3 : 4 . Найдите его длину.
резке M N , касающегося плоскостей
б) Найдите наименьшую длину рас­
AB C D и B S jC jC .
сматриваемых отрезков.
4806.
Высота правильной четырех­ 4809. Все ребра правильной тре­
угольной пирамиды вдвое больше ди­
угольной призмы A B C A iB jC i равны а.
агонали ее основания, объем пирами­
Рассматриваются отрезки с концами
ды равен V. Рассматриваются пра­
на прямых A B j иВС^, перпендикуляр­
вильные четырехугольные призмы,
ные прямой A C j. Найдите наимень­
вписанные в пирамиду так, что их бо­
шую длину таких отрезков.
ковые ребра параллельны диагонали
4810. Ребро правильного тетраэдра
основания пирамиды, одна боковая
равно
а. Через вершину тетраэдра про­
грань принадлежит этому основанию,
ведено
сечение, являющееся треуголь­
вершины противоположной боковой
ником. Докажите, что периметр Р се­
грани лежат на боковой поверхности
пирамиды. Найдите;
чения удовлетворяет неравенствам
а) объем той пирамиды, плоскость
2а<Р<За.
боковой грани которой делит высоту
4811. Дан куб AB C ВА^В^С^В^ с реб­
пирамиды в отношении 4 : 1 , считая от
ром,
равным 4. На середине ребра ВС
вершины;
взята
точка М , а на ребре A^D^ на рас­
б) наибольшее значение объема
стоянии 1 от вершиныи4 . 1 взята точкаЛ^.
рассматриваемых пирамид.
330
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Найдите длину кратчайшего пути
между точками М и iV по поверхности
куба.
4812. На какое наименьшее число
непересекаюш;ихся трехгранных уг­
лов можно разбить пространство?
4813. В прямоугольном параллеле­
пипеде ABCDA^B^CiDy известно, что
А В =А А у = 12 h A D = 30. Точка М рас­
положена в грани ABB^Ai на расстоя­
нии, равном 1 , от середины А В и на
равных расстояниях от вершин Aw. В.
Точка N леж ит в грани DCC^D^ и рас­
положена симметрично точке М отно­
сительно центра параллелепипеда.
Найдите длину кратчайшего пути по
поверхности параллелепипеда между
точками M vlN.
4814. В тетраэдре A B C D двугран­
ные углы при ребрах А В ,А С и B D пря­
мые. Один из отрезков, соединяющих
середины противоположных ребер тет­
раэдра, равен а, а другой равен Ол/б.
Найдите наибольшее ребро тетраэдра.
4815. Основанием прямоугольного
параллелепипеда АВСВА^В^С^В^ яв­
ляется квадрат A B C D . Найдите на­
ибольший возможный угол между
прямой B D i и плоскостью BDC^.
4816. В тетраэдре AB CD все пло­
ские углы при вершине А равны по
60°. Докажите, что
А В + А С + A D < B C + CD + DB.
4817. Можно ли в кубе вырезать от­
верстие, сквозь которое пройдет куб
того же размера?
4818. В правильной треугольной
пирамиде SABC (S — вершина, SA = 4)
точка D леж ит на ребре SC, CD = 3, а
расстояние от точки А до прямой B D
равно 2. Найдите объем пирамиды.
4819. Вершины двух трехгранных
углов совпадают, при этом ребра одно­
го из них расположены целиком вну­
три другого. Докажите, что сумма
плоских улов первого трехгранного
угла меньше суммы плоских углов
второго.
4820. Найдите наибольшее значе­
ние плош;ади ортогональной проекции
прямоугольного параллелепипеда с
измерениями а, Ъ и с на некоторую
плоскость.
4821. Высота цилиндра равна h, ра­
диус основания равен г. Найдите на­
ибольшее значение площади ортого­
нальной проекции этого цилиндра на
плоскость.
4822. Ш ар радиуса R касается не­
которой плоскости. Какое наибольшее
число шаров радиуса ^ могут одновременно, не пересекаясь, касаться дан­
ного шара и плоскости?
4823. Точка D — середина ребра
Aj Cj правильной треугольной призмы
АВСА^В^С^. Правильная треугольная
пирамида S M N P расположена так,
что плоскость ее основания совпадает
с плоскостью ABC, вершина М лежит
на продолжении АС, причем С М =
=
ребро SA/^проходит через точку
D , а ребро S P пересекает отрезок ВВ^.
В каком отношении отрезок ВВ^ де­
лится точкой пересечения?
4824. Д л и н а
ребра
куба
ABCDA^B^CiDi равна а. Точки £ и F —
середины ребер ВВ^ и СС^ соответ­
ственно. Рассматриваются треуголь­
ники, вершинами которых служат
точки пересечения плоскостей, парал­
лельны х основаниям куба, с прямыми
A C i, СЕ и D F. Найдите:
а) площадь
того
треугольника,
плоскость которого проходит через се­
редину отрезка CF;
б) наименьшее возможное значе­
ние площади рассматриваемых тре­
угольников.
4825. Основаниями усеченной пи­
рамиды являются правильные тре­
угольники ABC viA^B]Ci со сторонами
3 и 2 соответственно. Отрезок, соеди­
няющий вершину Cj с центром О осно­
вания ABC, перпендикулярен основа-
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ниям; С^О = 3. Через вершину В и се­
редины ребер A jjB i и
проведена
плоскость. Рассматриваются цилинд­
ры, расположенные внутри много­
гранника A B C A j M A ^ ^ C i , с основанием в
грани
Найдите:
а) наибольшее значение объема та­
ких цилиндров с данной высотой Л;
б) наибольшее значение объема
среди всех рассматриваемых цилинд­
ров.
4826. В о с н о в а н и и п и р а м и д ы
SABCD леж ит прямоугольник ABCD,
в котором А В = 1, ВС = 3. Высота пира­
миды проходит через точку О пересе­
чения диагоналей прямоугольника.
Точка Е — середина ребра ВС, точка F
леж ит на ребре SA, причем S F : F A =
= 1 : 7,EF=
16
. Найдите объем пира-
Из всех плоскостей, проходя­
щих через прямую E F , выбрана та
плоскость Р , проекция на которую от­
резка SO имеет минимальную длину.
В каком отношении плоскость Р делит
отрезок АС?
4827. В правильной треугольной пи­
рамиде SABC (S — вершина, SA = 4)
точка D лежит на ребре SC, CD = 3, а
расстояние от точки А до прямой B D
равно 2. Рассматриваются всевозмож­
ные правильные тетраэдры M N P Q та­
кие, что точки М-и. N лежат на прямой
B D , а прямая PQ касается сферы ради­
уса 1 с центром в точке А в одной из то­
чек отрезка PQ. Найдите наименьшее
значение длины ребра рассматривае­
мых тетраэдров.
4828. Точка D является серединой
ребра ВВ^ правильной тр еугольн ой
призмы АБСАхВ^С^. На боковой грани
АА^С^С взята точка Е , на основании
AB C — точка F так, что прямые ЕВ-^^ и
F D параллельны. Какой наибольший
объем может иметь призма АВСАхВ^С^,
МИДЫ .
еслиЕВ! = 1, F D = 5 , £ F = ^
?
4
2jb
4829. Все грани треугольной пира­
миды — равные равнобедренные тре­
331
угольники, а высота пирамиды совпа­
дает с высотой одной из ее боковых
граней. Найдите объем пирамиды, ес­
ли расстояние между наибольшими
противоположными ребрами равно 1 .
4830.
Один выпуклый многогран­
ник леж ит внутри другого. Докажите,
что площадь поверхности внешнего
многогранника больше площади по­
верхности внутреннего.
4831°. В правильной
пирамиде
S M N P Q (S — вершина) точки Н и F —
середины ребер M N и N P соответ­
ственно, точка-Е лежит на отрезке SH ,
причем S H = 3, S E = - . Расстояние от
4
точки S до прямой E F равно
. Най­
дите объем пирамиды.
Дана сфера радиуса 1 с центром в
точке S. Рассматриваются всевозмож­
ные правильные тетраэдры A B C D та­
кие, что точки С и D лежат на прямой
E F , а прямая А В касается сферы в од­
ной из точек отрезка А В . Найдите
наименьшее ребро рассматриваемых
тетраэдров.
4832.
Через центр единичного куба
проведена плоскость, делящая его на
два многогранника (рис. 197). Дока­
жите, что в каждом из получившихся
многогранников найдется диагональ,
длина которой не меньше | .
Р и с . 197
4833. Можно ли расположить в
пространстве 13 равных шаров так,
чтобы они не пересекались и при этом
1 2 из них касались одного шара?
4834. Сторона основания правиль­
ной треугольной призмы АВСА^В^С^
332
СТЕРЕОМЕТРИЯ
равна 4, а боковое ребро равно 3. На
ребре
взята точка F , а на ребре
CCi — точка G, причем B^F = 1, CG =
О
кает отрезок S H в точке О. Точки Р и
Q расположены на прямых A S и СЕ со­
ответственно так, что прямая PQ каса­
= - . Точки £ и D — середины ребер АС
ется сферы радиуса ^
и
соответственно. Найдите на­
именьшее возможное значение суммы
Е Р + PQ , где точка Р принадлежит от­
резку
а точка Q — отрезку FG.
4835. В основании пирамиды SABC
леж ит остроугольный равнобедрен­
ный треугольник A BC (А В = ВС) пло­
щади 2. Ребро SA является высотой
пирамиды. Рассматриваются проек­
ции пирамиды SABC на всевозможные
плоскости, проходящие через прямую
А В . Наибольшая из площадей таких
проекций равна 2,5, а наименьшая —
точке О. Найдите наименьшую длину
отрезка PQ.
4838. Найдите наибольшее значе­
ние объема пирамиды SABC при сле­
дующих ограничениях; S A < 4, SB > 7,
SC>9,AB=5,BC<6,AC<8.
4839. Основанием
пирамиды
А В С Е Н служ ит выпуклый четырех­
угольник А Б С £, который диагональю
B E делится на два равновеликих тре­
угольника. Известно, что А Б = 1, ВС =
3
О
— . Найдите объем пирамиды.
//5
4836. О с н о в а н и е м п и р а м и д ы
А В С Е Н служ ит выпуклый четырех­
угольник ABCJS, который диагональю
B E делится на два равновеликих тре­
угольника. Ребро А В равно 1, ребра J3C
и СЕ равны между собой. Сумма ребер
А Н и Е Н равна J2 . Объем пирамиды
равен i . Найдите радиус шара, имею6
щего наибольший объем среди всех
шаров, помещающихся в пирамиде
АВСЕН.
4837. В правильной шестиуголь­
ной пирамиде SA B C D E F (S — верши­
на) сторона основания равна 2 JB , вы­
сота пирамиды S H равна 6 . Через точ­
ку Е перпендикулярно прямой A S
проходит плоскость, которая пересе­
с центром в
= СЕ, А Н 4- Е Н = J2 . Объем пирами­
ды равен i . Найдите радиус шара,
6
имеющего наибольший объем среди
всех шаров, помещающихся в пирами­
де A B C E ff.
4840. О с н о в а н и е м п и р а м и д ы
М В К Н Е служ ит выпуклый четырех­
угольник М В К Н , в котором угол при
вершине М равен | , угол, образован­
ный диагональю В Н и ребром В К , ра­
вен 5 , ребро MJ3 равно 1. Площ адь тре4
угольника В К Н в два раза больше пло­
щади треугольника М В Н . Сумма ре­
бер B E и Н Е равна 73 . Объем пирами­
ды равен i . Найдите радиус шара,
имеющего наибольший объем среди
всех шаров, помещающихся в пирами­
де М В К Н Е .
Раздел 2
КОНКУРСНЫЕ ЗАДАЧИ
4841. Найдите объем прямой приз­
мы, основанием которой служит пря­
моугольный треугольник с острым уг­
лом а, если боковое ребро призмы рав­
н о / и образует с диагональю большей
боковой грани угол, равный р.
4842. Боковое ребро правильной
треугольной пирамиды равно J E , а
высота пирамиды равна 1. Найдите
двугранный угол при основании.
4843. Найдите боковую поверх­
ность правильной треугольной пира­
миды, если ее высота равна 4, а апофе­
ма равна 8 .
4844. Боковое ребро правильной
треугольной пирамиды наклонено к
плоскости основания под углом 45°.
Найдите сторону основания, если
объем пирамиды равен 18.
4845. Основание равностороннего
треугольника леж ит в плоскости Р , а
боковая сторона образует с плоско­
стью Р угол, равный а. Найдите угол,
который образует плоскость треуголь­
ника с плоскостью Р .
4846. Дан прямоугольный парал­
лелепипед АВСВА^В^С^В^, в котором
А В = 2, A D = 4, ВВ^ = 12. Т оч к и М и К
расположены на ребрах СС^ и A D соот­
ветственно, причем С М : M C i = 1 : 2 ,
А К = K D . Найдите угол между прямы­
ми A/Vf и
4847. Диагональ прямоугольного
параллелепипеда равна а и составляет
с одной гранью угол 30°, а с другой —
угол 45°. Найдите его объем.
4848. Двугранный
угол
между
смежными боковыми гранями пра­
вильной четырехугольной пирамиды
равен а, а сторона основания равна Ъ.
Найдите объем пирамиды.
4849. Основание пирамиды ABCD —
треугольник ABC со сторонами ЛС =10,
ВС = 24, А В = 26. Все боковые ребра
наклонены к плоскости основания под
углом 45°. Найдите:
а) радиус сферы, описанной около
пирамиды A B C D ;
б) расстояние между прямыми D M
и А С и прямыми D M и ВС, где D M —
высота пирамиды ABCD.
4850. Высота Р О правильной четы­
рехугольной пирамиды PA B C D равна
4, а стороны основания ABCD равны 6 .
Точки M u N являются серединами от­
резков ВС и CD. Найдите радиус сфе­
ры, вписанной в пирамиду P M N C .
4851. Ребро Р А четырехугольной
пирамиды PA B C D перпендикулярно
плоскости основания ABCD и равно 6 .
Основание A B C D — квадрат со сторо­
ной 8 . Точки М-и. N — середины отрез­
ков A D и CD. Найдите радиус сферы,
вписанной в пирамиду S D M N .
4852. Рассматриваются всевозмож­
ные прямоугольные параллелепипе­
ды, у которых одна из боковых граней
является квадратом, а периметр ниж­
него основания равен 12. Найдите сре­
ди них параллелепипед с наибольшим
объемом и вычислите этот объем.
4853. В правильную четырехуголь­
ную пирамиду SABCD вписана пра­
вильная четырехугольная пирамида
O L M N P . Все четыре вершины основа­
ния вписанной пирамиды лежат на
апофемах пирамиды SABCD. Верши­
334
СТЕРЕОМЕТРИЯ
на вписанной пирамиды — точка О —
совпадает с центром основания A B C D
пирамиды SABCD. Известно, что OL =
= L M , т. е. боковое ребро вписанной
пирамиды равно стороне ее основания.
Кроме того, SA = А В = о, т. е. каждое
ребро пирамиды SABCD равно а. Чему
равен объем вписанной пирамиды?
4854. Ребра параллелепипеда рав­
ны а, Ь и с. Ребра, равные а и Ь, взаим­
но перпендикулярны, а ребро, равное
с, образует с каждым из них угол, рав­
ный 60°. Найдите объем параллелепи­
педа.
4855. Основанием прямой призмы
служ ит равнобедренная трапеция с
острым углом, равным а. Боковая сто­
рона трапеции и ее меньшее основание
равны. Найдите объем призмы, если
ее диагональ равна а и образует с плос­
костью основания угол, равный р.
4856. Диагональ боковой грани
правильной треугольной призмы, рав­
ная 6 , составляет угол 30° с плоско­
стью другой боковой грани (рис. 198).
Найдите объем призмы.
Рис. 198
4857. Тангенсы двугранных углов
при основании правильной треуголь­
ной пирамиды равны 3. Найдите отре­
зок, соединяющий середину стороны
основания с серединой противополож­
ного ребра, если сторона основания
пирамиды равна 73 .
4858. Дан v.yQABCDAyB^C^Dy с реб­
ром а. Пусть М — такая точка на ребре
A jD i, что A iN : M D^ = 1 : 2 . Найдите
периметр треугольника АВ^М , а так­
же расстояние от вершины
до плос­
кости, проходящей через вершины
этого треугольника.
4859. Найдите объем правильной
четырехугольной пирамиды, боковое
ребро которой равно I и двугранный
угол между смежными боковыми гра­
нями равен р.
4860. Основанием пирамиды явля­
ется прямоугольный треугольник,
площадь которого равна S. Боковые
ребра пирамиды равны между собой.
Двугранные углы при катетах ее осно­
вания равны а и р. Найдите объем пи­
рамиды.
4861. В правильную четырехуголь­
ную пирамиду вписана сфера, которая
касается основания и всех боковых
граней. Сфера делит высоту пирамиды
в отношении 4 : 5 , считая от вершины
пирамиды. Найдите объем пирамиды,
если сторона основания пирамиды
равна о.
4862. В правильную четырехуголь­
ную пирамиду вписана сфера, которая
касается основания и всех боковых
граней. Сфера делит высоту пирамиды
в отношении 1 : 8 , считая от вершины
пирамиды. Найдите объем пирамиды,
если апофема пирамиды равна а.
4863. Сторона основания ABCD
правильной четырехугольной пира­
миды SAB C D равна а, боковое ребро
равно Ь. Найдите площадь сечения пи­
рамиды плоскостью, проходящей че­
рез середину ребра АВ параллельно
прямым B D и AS.
4864. В правильной треугольной
пирамиде РАВ С с вершиной Р сторона
основания равна 2. Через сторону ос­
нования ВС проведена плоскость, пе­
ресекающая ребро Р А в точке М . Из­
вестно, что Р М : М А = 1 : 3, а площадь
сечения равна 3. Найдите объем пира­
миды РАВС.
4865. Дан тетраэдр AB CD , в кото­
ром А Б = АС = 5, A D = ВС = 4, B D =
= CD = 3. Найдите D M , где М — точка
пересечения медиан грани АБС.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4866. Дан тетраэдр A B C D , в кото­
ром А В = Q, А С = 1, A D = г , ВС = S,
B D = 4, CD = 5. Найдите С М , где М —
точка пересечения медиан грани ADJ3.
4867. Основание наклонной приз­
мы — равносторонний треугольник со
стороной, равной а. Одно из боковых
ребер равно Ь и образует с прилежащи­
ми сторонами основания углы , равные
45°. Найдите боковую поверхность
призмы.
4868. Сфера радиуса | имеет центр
в точке N . Из точки К , находящейся
на расстояния
от центра сферы,
проведены две прямые K L и К М , ка­
сающиеся сферы в точках L v i M соот­
ветственно. Найдите объем пирамиды
K L M N , если известно, что M L = 2.
4869. Плоскость пересекает боко­
вые ребра SA, SB и SC треугольной пи­
рамиды SABC в точках K , L u M соот­
ветственно. В каком отношении делит
эта плоскость объем пирамиды, если
известно, что SJiT : K A = S L : L B = 2 : 1,
а медиана S N треугольника SBC де­
лится этой плоскостью пополам?
4870. Основанием наклонного па­
раллелепипеда A B C D A ^ iC ^ D i слу­
жит ромб ABCD со стороной, равной а,
и острым углом 60°. Ребро АА^ также
равно а и образует с ребрами А В и A D
углы 45°. Найдите объем параллеле­
пипеда.
4871. Расстояние между любыми
двумя боковыми ребрами наклонной
треугольной призмы равно а. Боковое
ребро равно I и наклонено к плоскости
основания под углом 60°. Найдите
площадь полной поверхности призмы.
4872. В треугольной пирамиде,
каждое боковое ребро которой равно а,
один плоский угол при вершине —
прямой, а каждый из остальных равен
60°. Найдите объем пирамиды.
4873. Основанием пирамиды с лу ­
жит параллелограмм, смежные сторо­
ны которого равны 9 и 10, а одна из ди­
335
агоналей равна 11. Противоположные
боковые ребра равны и каждое из боль­
ших ребер равно 10,5. Найдите объем
пирамиды.
4874. Основание пирамиды — рав­
нобедренный треугольник с углом ф
при вершине. Все боковые ребра пира­
миды равны а. Найдите объем пира­
миды, если радиус окружности, впи­
санной в треугольник основания, ра­
вен г.
4875. В основании пирамиды ле­
жит квадрат со стороной, равной а =
= /УЙ . Высота пирамиды проходит
через середину одного из ребер основа­
ния и равна
. Найдите радиус ша-
ра, описанного около пирамиды.
4876. Ребро правильного тетраэдра
равно 4 л/б . Найдите радиус шара, ка­
сающегося боковых граней тетраэдра
в точках, леж ащ их на сторонах осно­
вания.
4877. Основание пирамиды — пра­
вильный треугольник со стороной,
равной 6 . Одно из боковых ребер пер­
пендикулярно плоскости основания и
равно 4. Найдите радиус шара, опи­
санного около пирамиды.
4878. Основанием пирамиды слу­
жит прямоугольный треугольник с ги­
потенузой, равной 6 , и острым углом
15°. Все боковые ребра наклонены к
плоскости основания под углом 45°.
Найдите объем пирамиды.
4879. Боковые грани пирамиды на­
клонены к плоскости основания под
углом 60°. В основании пирамиды ле­
жит треугольник со сторонами 8 , 9,
11. Найдите объем пирамиды.
4880. В основании треугольной пи­
рамиды P Q R S леж ит правильный тре­
угольник QRS. Высота пирамиды,
опущенная из вершины Р , проходит
через середину ребра R S. Известно,
что P Q = т, QR = п. Пирамиду пересе­
кает плоскость а, параллельная реб­
рам P Q и RS. На каком расстоянии от
вершины Q должна находиться плос­
336
СТЕРЕОМЕТРИЯ
кость а, чтобы площадь сечения пира­
сторона которого равна 2. Основанием
миды этой плоскостью была наиболь­
высоты, опущенной из вершины S, яв­
шей?
ляется точка О, лежащая внутри тре­
4881.
Правильную четырехуголь­
угольника ABC. Известно, что синус
ную пирамиду P Q R S T с вершиной Р
угла ОАВ относится к синусу угла
пересекает плоскость, проходящая че­
ОАС, как 2 : 3, а синус угла ОСВ отно­
рез основание М высоты Р М , перпен­
сится к синусу угла ОСА, как 4 : 3 .
дикулярная грани S P T и параллель­
Площадь грани SAC равна
. Най­
ная ребру S T (рис. 199). Высота Р М в
два раза больше ребра S T . Найдите
дите высоту пирамиды.
отношение площади получившегося
4885. В кубе АВСВА^В^С^В^, где
сечения к площади основания пира­
АА^, ВВ^, CCi и DD^ — параллельные
миды.
ребра, плоскость Р проходит через ди­
агональ A i C j грани куба и середину
ребра A D . Найдите расстояние от сере­
дины ребра А В до плоскости Р , если
ребро куба равно 3.
4886. В кубе ABCDAyB^C^D^, где
\Т—
ZT
4882. Правильную четырехуголь­
ную пирамиду P K L M N с вершиной Р
пересекает плоскость, проходящая че­
рез вершину основания L и перпенди­
кулярная ребру P N . Площадь полу­
чившегося сечения в три раза меньше
площади основания пирамиды. Най­
дите отношение отрезка Р К к высоте
пирамиды.
4883. Основанием пирамиды SABC
является правильный треугольник,
сторона которого равна 1. Основанием
высоты, опущенной из вершины S, яв­
ляется точка О, лежащая внутри тре­
угольника ABC. Расстояние от точки О
до стороны СА равно ^ , а расстояние
4
от о до А В относится к расстоянию от
О до ВС, как 3 : 4 . Площ адь грани SBC
равна 2 ^ . Найдите объем пирамиды.
28
4884. Основанием пирамиды SABC
является правильный треугольник.
A A j, ВВ^, СС^ и DD^ — параллельные
ребра, плоскость Р проходит через точ­
ку D и середины ребер A-^D^ и C-J)^.
Найдите расстояние от середины ребра
АА-^ до плоскости Р, если ребро куба
равно 2 .
4887. Из середины высоты пра­
вильной треугольной пирамиды опу­
щены перпендикуляры на боковое
ребро и на боковую грань. Эти перпен­
дикуляры равны соответственно а и Ь .
Найдите объем пирамиды. При вся­
ких ли а и Ь задача имеет решение?
4888. Дан куб АВСВА^В^С^В^ с ос­
нованиями A B C D и А^В^С^В^. Точка
М — середина ребра АВ , К — середина
ребра CD. Найдите радиус сферы, про­
ходящей через точки М , К , А^, Сi, ес­
ли ребро куба равно 7 4 1 .
4889. Куб ABCDAiB^C^D^ рассечен
на две части плоскостью, проходящей
через вершину В , середину ребра В^С^
и точку М , лежащ ую на ребре АА^,
так, что A M = 2А^М. Найдите отноше­
ние объема части, содержащей точку
В^, к объему всего куба.
4890. О с н о в а н и е п и р а м и д ы
A B CS — равносторонний треугольник
СТЕРЕОМЕТРИЯ
AB C со стороной 4 J2 . Боковое ребро
SC перпендикулярно плоскости осно­
вания и равно 2. Найдите угол и рас­
стояние между скрещивающимися
прямыми, одна из которых проходит
через точку S и середину ребра ВС, а
другая проходит через точку С и сере­
дину ребра A S .
4891. Сфера радиуса 73 касается
плоскостей всех боковых граней неко­
торой пирамиды в точках, лежащих
на сторонах основания. Найдите высо­
ту пирамиды, если ее основанием слу­
жит треугольник со сторонами 5 , 6 и 9.
4892. На продолжении ребра S T за
точку Т правильной четырехугольной
пирамиды S P Q R T с вершиной S взята
точка В так, что расстояние от этой
точки до плоскости S P Q равно
.
Найдите В Т , если Q R = 12, а S R = 1 0 .
4893. На продолжении ребра S E за
точку Е правильной четырехугольной
пирамиды S E F G H с вершиной S взята
точка Q так, что E Q = 5. Найдите рас­
стояние от точки Q до плоскости SFG,
если G H = 20, S H = 15.
4894. Дана правильная четырех­
угольная пирамида SABCD (S — вер­
шина) со стороной основания а и боко­
вым ребром Ь ( Ь > а). Сфера с центром
в точке О леж ит над плоскостью осно­
вания A B C D , касается этой плоскости
в точке А и, кроме того, касается боко­
вого ребра SB . Найдите объем пирами­
ды OABCD.
4895. О с н о в а н и е п и р а м и д ы
PA B C D — параллелограмм ABCD.
Точка М — середина ребра СР, точка
N расположена на ребре А Р , причем
A N : N P = 2 : 3 , точка К расположена
на ребре В Р , причем Р К = 2КВ. Пост­
ройте сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через точки К , М , N . В
каком отношении эта плоскость делит
объем пирамиды?
4896. О с н о в а н и е п и р а м и д ы
PA B C D — параллелограмм AB CD .
Точка М расположена на ребре Р В ,
337
причем В М : М Р = 1 : 2 , точка N — се­
редина ребра P D , точка К расположе­
на на ребре PC , причем СК : К Р = 1 : 5 .
Постройте сечение пирамиды плоско­
стью, проходящей через точки К , М ,
N . В каком отношении эта плоскость
делит объем пирамиды?
4897. О с н о в а н и е п и р а м и д ы
PA B C D — параллелограмм ABCD.
Точка М расположена на продолже­
нии ребра ВС за точку В , причем В М =
= ВС, точка N расположена на ребре
PC, причем P N : N C = 1 : 2 , точка К
расположена на ребре А Р , причем
А К : К Р = 1 : 3 . Постройте сечение пи­
рамиды плоскостью, проходящей че­
рез точки К , М , N . В каком отношении
эта плоскость делит объем пирамиды?
4898. О с н о в а н и е п и р а м и д ы
PABCD — параллелограмм ABCD.
Точка К — середина ребра СР, точка
М расположена на ребре А В , причем
A M : M B = 1 : 2 . Постройте сечение
пирамиды плоскостью, проходящей
через точки К и М параллельно пря­
мой BD. В каком отношении эта плос­
кость делит объем пирамиды?
4899. О с н о в а н и е п и р а м и д ы
PA B C D — параллелограмм ABCD.
Точка М расположена на ребре АВ,
причем A M : M B = 4 : 1 . Постройте се­
чение пирамиды плоскостью, прохо­
дящей через точку М параллельно
прямым B D -и. А Р . В каком отношении
эта плоскость делит объем пирамиды?
4900. Дан конус объемом 18я. Ч е­
рез его вершину S проведено плоское
сечение SCD, отсекающее на окруж­
ности основания дугу CD, длина кото­
рой в 3 раза меньше длины всей ок­
ружности. У го л SCD равен arcsin
.
Найдите площадь сечения SCD.
4901. В основании четырехуголь­
ной пирамиды SABCD лежит ромб
A B C D , в котором Z B A D = 60°. Извест­
но, что S D = SB , SA = SC = А В . На реб­
ре D C взята точка Е так, что площадь
треугольника B S E наименьшая среди
338
СТЕРЕОМЕТРИЯ
площадей всех сечений пирамиды, со­
держащих отрезок B S и пересекаю­
щих отрезок DC. Найдите отношение
D E ; ЕС.
4902. Основание пирамиды — тре­
угольник со сторонами 10,10,12. П ло ­
щадь боковых граней соответственно
равны 100, 100, 120. Найдите высоту
пирамиды.
4903. Ребро куба ABCDA^B^C^Dy
равно а. На ребрах А В и СС^ взяты со­
ответственно точки М и N так, что
прямая M N образует угол 30° с плос­
1) Один из этих отрезков проведен
через точку М диагонали ВС^ такую,
что В М : ВС^ = 1 : 3 . Найдите его длину.
2) Найдите наименьшую длину
всех рассматриваемых отрезков.
костью AB CD и угол arcsin - с плоско3
стью ВВ^С^С. Найдите:
а) отрезок MiV;
б) радиус шара с центром на отрез­
ке M N , касающегося плоскостей
A B CD и BB^CiC.
4904. Сторона основания A B CD
правильной призмы АВСВАф-^С^В^
равна 2а, боковое ребро равно а. Рас­
сматриваются отрезки с концами на
диагонали AD^ грани AA^D^D и диаго­
нали D B i призмы, параллельные
плоскости
а) Один из таких отрезков проведен
через точку М диагонали AD^ такую,
что A M :A D ^ = 2 : 3 . Найдите его
длину.
б) Найдите наименьшую длину
всех рассматриваемых отрезков.
4905. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде расположены два шара
и © 2 * Ш ар Qj вписан в пирамиду и
имеет радиус 2, шар Qg касается внеш­
ним образом шара
и боковых граней
пирамиды. Его радиус равен 1. Найди­
те площадь боковой поверхности пи­
рамиды и угол между соседними боко­
выми гранями.
4906. Все ребра правильной тре­
угольной призмыABCAiB^Ci (рис. 2 0 0 )
равны а. Рассматриваются отрезки с
концами на диагоналях ВС^ и СА^ бо­
ковых граней, параллельные плоскос­
ти АВВ^А^.
Р и с . 200
4907. Сторона основания AB CD
правильной пирамиды SABCD равна
а, боковое ребро равно 2а. Рассматри­
ваются отрезки с концами на диагона­
ли B D основания и боковом ребре SC,
параллельные плоскости SAD.
1) Один из этих отрезков проведен
через точку М диагонали B D такую,
что D M : D B = 1 : 3 . Найдите его длину.
2) Найдите наименьшую длину
всех рассматриваемых отрезков.
4908. На диагонали A C j параллеле­
пипеда ABCDAiB^CiDi взята точка М ,
а на прямой В^С — точка N так, что от­
резки M N и B D параллельны. Найди­
те отношение этих отрезков.
4909. В основании четырехуголь­
ной пирамиды лежит ромб AB C D , в
котором Z B A D = 60°. Известно, что
S D = SB, S A = SC = А В . На ребре DC
взята точка Е так, что площадь тре­
угольника B S E наименьшая среди
площадей всех сечений пирамиды, со­
держащих отрезок B S и пересекаю­
щих отрезок DC. Найдите отношение
D E : ЕС.
4910. Высота треугольной пирами­
ды AB CD , опущенная из вершины D,
проходит через точку пересечения вы­
СТЕРЕОМЕТРИЯ
сот треугольника ABC. Кроме того, из­
вестно, что D B = 3, DC = 2, Z BDC =
= 90°. Найдите отношение площади
грани A D B к площади грани ADC.
4911. В
треугольной
пирамиде
A B C D известно, что А В = 8 , CD = 12,
расстояние между прямыми А В и CD
равно 6 , а объем пирамиды равен 48.
Найдите угол между прямыми А В и
CD.
4912. В правильной четырехуголь­
ной пирамиде радиус вписанного шара
равен г, а двугранный угол при боко­
вом ребре равен а. Найдите объем пи­
рамиды, вершинами которой служат
центр вписанного шара и точки его ка­
сания с боковыми гранями исходной
пирамиды.
4913. В равнобедренной трапеции
A B C D (A D II В С ) известны стороны
A D = 10, ВС = 2. Точки А ', В ', С', D '
леж ат по одну сторону от плоскости
трапеции, причем прямые А А ', В В ',
СС', D D ' перпендикулярны этой
плоскости, А А ' = 1, В В ' = 2, СС' = 2,
D D ' = 4. Точки М ' и N ' лежат на пря­
мых А 'С ' и B 'D ' соответственно. Най­
дите отрезок M 'N ', если А ' М ' : М 'С ' =
= 2 : 1 , B 'N : N 'D ' = 1 : 2 .
4914. Внутри цилиндра лежат два
шара радиуса г и один шар радиуса ^
так, что каждый шар касается двух
других, нижнего основания цилиндра
и его боковой поверхности. Найдите
радиус основания цилиндра.
4915. В
треугольной
пирамиде
РА В С боковое ребро Р В перпендику­
лярно плоскости основания ABC, Р В =
= 6 , А В = ВС = -Д б , АС = 2л/3 . Сфера,
центр О которой леж ит на грани А В Р ,
касается плоскостей остальных гра­
ней пирамиды. Найдите расстояние от
центра О сферы до ребра АС.
4916. В
треугольной
пирамиде
SABC известны плоские углы при вер­
шине S: Z B SC = 90°, Z A SC = Z A S B =
= 60°. Вершины А , S и середины ребер
SB , SC, А В , АС лежат на поверхности
шара радиуса 3. Докажите, что ребро
339
SA является диаметром этого шара, и
найдите объем пирамиды.
4917. В
треугольной
пирамиде
SABC боковое ребро SB перпендику­
лярно плоскости основания ABC и рав­
но 2 73 . Ребра А В и ВС равны JE , а
ребро АС равно 2. Найдите расстояние
от центра вписанной в пирамиду сфе­
ры до вершины S.
4918. В
треугольной
пирамиде
РАВ С боковое ребро Р В перпендику­
лярно плоскости основания ABC и рав­
но 12, А В = ВС = 7, АС = 4. Сфера,
центр О которой лежит на ребре АВ,
касается плоскостей граней РАС и
РВ С. Найдите расстояние от центра О
до ребра РВ .
4919. В конусе расположены два
одинаковых шара радиуса г, касаю­
щиеся основания конуса в точках,
симметричных относительно центра
основания. Каждый из шаров касает­
ся боковой поверхности конуса и дру­
гого шара. Найдите угол между обра­
зующей конуса и основанием, при ко­
тором объем конуса наименьший.
4920. Отрезки A 4 i, ВВ^ и СС^, кон­
цы которых лежат на сфере радиуса
1 0 , попарно перпендикулярны и пере­
секаются в точке М . Известно, что
А4^ = 12, B B i = 18. Найдите расстоя­
ние от центра сферы до точки М , если
C M : M C i = l l :3 .
4921. Через точку К , расположен­
ную внутри сферы, проведены три вза­
имно перпендикулярные прямые.
Первая прямая пересекает сферу в
точках А и А^, вторая — в точках В и
B j, третья — в точках С и С^, причем
А4^ = 22, CCi = 20, а точка К делит отре­
зок BB j в отношении (9 -I- V 2 ) : (9 - л/2).
Найдите радиус сферы, если известно,
что точка К отстоит от центра сферы
на расстоянии ^ 6 5 .
4922. В основании пирамиды ле ­
жит равнобедренный треугольник
AB C с основанием АС = 2 и боковой сто­
роной, равной J7 . Грань A C D перпен­
340
СТЕРЕОМЕТРИЯ
дикулярна плоскости основания и
представляет собой правильный тре­
угольник. Найдите ребро B D , а также
площади всех тех сечений пирамиды,
которые являются квадратами.
4923. В кубе АВСВА^В^С^В^ длина
ребра равна 1. Одна сфера радиуса \
3
касается плоскости ABC в точке В;
другая сфера касается плоскости
A-^B-fi-^ в точке JSj, лежащей на отрезке
причем
= 1 : 2 . И з­
вестно, что эти сферы касаются друг
друга внешним образом и точка их ка­
сания леж ит внутри куба. Найдите
расстояние от точки касания сфер до
точки с.
4924. В кубе АВСВАф^С^В^ длина
ребра равна 1. Одна сфера радиуса -
3
касается плоскости A B C в точке Б;
другая сфера касается плоскости
A jB iC j в точке Е , лежащей на отрезке
C jD i, причем С^Е : ED^ = 1 : 2 . Извест­
но, что эти сферы касаются друг друга
внешним образом и точка их касания
леж ит внутри куба. Найдите расстоя­
ние от точки касания сфер до точки А.
4925. Три шара радиусов 1, 3 и 4
расположены так, что каждый из них
касается двух других шаров и двух
данных плоскостей. Найдите расстоя­
ние между токами касания первого из
этих шаров с плоскостями.
4926. Дан прямоугольный парал­
лелепипед A B C D A jB iC iD i, у которого
А В : ВС = 2 : 3 . Точки РиР-^ — середи­
ны ребер ВС и B^Ci соответственно.
Сфера касается всех звеньев ломаной
A F B D ^A i и пересекает отрезок Р^Р в
точках Р ^ и Е . Найдите объем паралле­
лепипеда и радиус сферы, если P-^^E = | .
4927. Ребро SA пирамиды SABC
перпендикулярно плоскости AB C,
А В = 2, АС = 1, Z ВАС = 120°, SA = 3 72 .
Сечения пирамиды двумя параллель­
ными плоскостями, одна из которых
проходит через точку С и середину реб­
ра А В , а другая — через точку В, име­
ют равные площади. В каком отноше­
нии делят ребро SA плоскости сече­
ний? Найдите объемы многогранни­
ков, на которые разбивают пирамиду
плоскости сечений, а также расстоя­
ние между этими плоскостями.
4928. В основании треугольной пи­
рамиды A B C D лежит прямоугольный
треугольник ABC с катетами АС = 15 и
ВС = 20. Боковое ребро DC перпенди­
кулярно плоскости основания. Сфера
касается основания ABC, ребра CD и
боковой грани A B D в точке Р , которая
леж ит на высоте треугольника ABD,
опущенной из точки D. Известно, что
D P = 6 . Найдите объем пирамиды.
4929. На прямой I в пространстве
последовательно расположены точки
А , В и С так, что А В = 10 и ВС = 22.
Найдите расстояние между прямыми I
и т, если расстояния от точек А , В и С
до прямой т равны 12,13 и 20 соответ­
ственно.
4930. На прямой р в пространстве
последовательно расположены точки
А , В и С такие, что А В = 27 и ВС = 18.
Найдите расстояние между прямыми
p n q , если расстояния от точек А , В и С
до прямой q равны 17, 1 0 и 8 соответ­
ственно.
4931. Дана
пирамида
ABCD
(рис. 201). Через середины K u N ребер
А В и CD пирамиды проведена плос­
кость, пересекающая ребра ВС и A D
341
СТЕРЕОМЕТРИЯ
соответственно в точках L и М . Найди­
те объем пирамиды A B C D , если пло­
щадь треугольника M N K равна 3, от­
ношение объемов пирамид A C D L и
A B C D равно 0,9, а расстояние от вер­
шины D до плоскости K L M N равно 3.
4932. Дана пирамида ABCZ). Через
середины К и М ребер А В и CS пирами­
ды проведена плоскость, пересекаю­
щая ребра ВС и A D соответственно в
точках L u N . Расстояние от вершины
В до этой плоскости равно 2. Диагона­
ли четырехугольника K L M N пересе­
каются в точке Q, причем отношение
отрезка K Q к отрезку Q M равно 0,2.
Вычислите площадь четырехугольни­
ка K L M N , если известно, что объем
пирамиды В К М С равен 12.
4933. Основанием пирамиды P Q R S
является прямоугольный треуголь­
ник PQ R , в котором гипотенуза QR
равна 2 и катет P Q равен 1. Ребра P S ,
QS, R S равны между собой. Сфера ра/о
диуса ^ касается ребра R S, продолжений ребер P S , QS за точку S и плос­
кости PQ R . Найдите отрезок касатель­
ной, проведенной из точки Q к сфере.
4934. Основанием пирамиды явля­
ется треугольник PQ R , в котором
Р Д = 2 , Z Q = 5 , Z i ? = | . Вершина S
пирамиды равноудалена от точек Р и
Q. Сфера касается ребер P S и QS, про­
должения ребра R S за точку S и плос­
кости PQ R . Точка касания с плоско­
стью основания пирамиды и ортого­
нальная проекция вершины S на эту
плоскость лежат на окружности, опи­
санной вокруг треугольника P Q R .
Найдите ребра P S , QS, RS.
4935. Дана правильная четырех­
угольная пирамида SABCD {S — вер­
шина) со стороной основания а и боко­
вым ребром Ь. Первая сфера с центром
в точке O i касается плоскостей SAD и
SBC в точках А и В, а вторая сфера с
центром в точке О 2 касается плоскос­
тей SAB и SCD в точках В и С . Найдите
объем пирамиды ABOjOg.
4936. Точки P , Q , R k S расположе­
ны в пространстве так, что середины
отрезков SQ и P R леж ат на сфере ради­
уса а, а отрезки P S , PQ , QR и SR делят­
ся сферой на три части в отношении
1 : 2 : 1 каждый. Найдите расстояние
от точки Р до прямой QR.
4937. Дан кубЛВСВЛ^В^С^О^. Сфе­
ра касается прямых АС, В^С, АВ^ и
продолжения ребра ВВ^ за точку В.
Найдите радиус сферы, если ребро ку­
ба равно 1 , а точка касания с прямой
АС принадлежит грани куба.
4938. В кубе АВСВА^В^СхВ^ ребро
равно 1. Одна сфера радиуса | касает­
ся плоскости AB C в точке А ; другая
сфера касается плоскости А^В^С^ в
точке Е^, лежащей на отрезке ВуСу,
причем ВуЕу : ЕуСу = 2 : 1 . Известно,
что эти сферы касаются друг друга
внешним образом и точка их касания
леж ит внутри куба. Найдите расстоя­
ние от точки касания сфер до точки D.
4939. В кубе ABCDAyByC^Dy ребро
равно 1. Одна сфера радиуса \ касает3
ся плоскости АБ С в точке В; другая
сфера касается плоскости AyDyCy в
точке Еу, лежащей на отрезке C^Dy,
причем СуЕу : E^D^ = 1 : 2 . Известно,
что эти сферы касаются друг друга
внешним образом и точка их касания
лежит внутри куба. Найдите расстоя­
ние от точки касания сфер до точки А.
4940. Точки К , M u N расположены
соответственно на ребрах ВС, A D и CD
тетраэдра AB C D , причем В К : КС =
= 1 : 3 , A M : M D = 3 : 1 и СЛ^: ЛГ£» =
= 1 : 2 . Постройте сечение тетраэдра
плоскостью, проходящей через точки
К , М , N . В каком отношении эта плос­
кость делит объем тетраэдра?
4941. Точки K , M n N расположены
соответственно на ребрах А В , CD viAD
тетраэдра A B C D , причем А К = К В ,
C M -.M D = 3 : 2 к A N : N D = 1 : 4 .
Постройте сечение тетраэдра плоско­
стью, проходящей через точки К , М ,
342
СТЕРЕОМЕТРИЯ
N . В каком отношении эта плоскость
делит объем тетраэдра?
4942. Дана пирамида АВС£>. Сфера
касается плоскостей ABC, A C D и A D B
в точках К , Ь и М соответственно. При
этом точка-ЙГ находится на стороне ВС,
точка L — на стороне CD, точка М —
на стороне D B . Известно, что радиус
сферы равен J s , /_ ВАС = 90°, CAD =
= 75°, Z D A B = 75°. Найдите объем пи­
рамиды.
4943. П р а в и л ь н а я т р е у г о л ь н а я
призма АВСА^Б^С^ пересечена плоско­
стью, проходящей через середины ре­
бер АВ , А-^Су и ВВ^. Постройте сечение
призмы, найдите площадь сечения и
вычислите угол между плоскостью ос­
нования A B C и плоскостью сечения,
если сторона основания равна 2 , а вы/7
сота призмы равна ^ .
4944. Сторона основания A B C пра­
вильной
треугольной
призмы
АВСАф^С^ равна 1 2 , а высота равна
4946. Три шара касаются плоскос­
ти Р в точках В^, В 2 , Bg и, кроме того,
попарно касаются друг друга. РадиО
усы двух из них одинаковы и равны - ,
о
а радиус третьего шара больше. Вер­
шина конуса находится между плос­
костью Р и плоскостью основания. Все
три шара лежат вне конуса, причем
каждый из них касается его некоторой
образующей. У гол между плоскостью
основания конуса и его образующей
О
равен arctg - . Найдите расстояние от
вершины конуса до плоскости Р , если
известно, что в треугольнике
имеется пара сторон, отношение кото­
рых равно ^ .
4947. У го л между плоскостью осно­
вания и образующей конуса равен
arccos
13
. Вне конуса, касаясь плос-
кости основания в точках В^, В 2 , В 3 ,
лежат три шара, каждый из которых
б7б . На ребрах АС,
и А В располо­
касается двух других шаров и некото­
77
рой образующей конуса. Радиус мень­
жены соответственно точки Р , F vl Е
шего шара равен 1. Кроме того, извест­
так, что А Р = 2, A-^F = 6 и А Е = 6 . Пост­
но, что радиусы двух шаров равны
ройте сечение призмы плоскостью,
между собой. Известно также, что тре­
проходящей через точки Р , F к Е . Най­
угольник B^BgBg — прямоугольный.
дите площадь сечения и угол между
Найдите радиус основания конуса.
плоскостью основания призмы и плос­
4948. В правильной треугольной
костью сечения.
призме АВСА^В^С^ сторона основания
4945.
В основании четырехуголь­
равна а, боковое ребро равно 2 . Точка
ной пирамиды S K L M N леж ит равно­
Ci
бедренная трапеция K L M N , описан­
D является ортогональной проекцией
ная около окружности и такая, что
середины ребра А-^Су на плоскость
K N = L M = 4, M N > K L и угол между
АВ^С, а точка Е — ортогональной про­
прямыми K N и L M равен | . Две проекцией точки D на плоскость AA^BjB.
О
Найдите объем пирамиды А^В^^Я.
тивоположные боковые грани перпен­
дикулярны основанию и S M = 12.
4949. Три параллельные прямые
Найдите расстояние от точки М до
касаются в точках А , В и С сферы ради­
плоскости S K L .
уса 4 с центром в точке О. Найдите
Внутри пирамиды расположен ко­
угол ВАС, если известно, что площадь
нус так, что окружность его основания
треугольника ОВС равна 4, а площадь
вписана в треугольник S M N , а верши­
треугольника ABC больше 16.
на принадлежит грани S K L . Вычисли­
4950. В основании пирамиды
те высоту конуса.
P Q R S T лежит четырехугольник
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Q R S T, у которого стороны QR и S T па­
раллельны, сторона QR равна 6 , сторо­
на Q T равна 4, а угол R Q T равен 120°.
Ребро P Q равно 2 аД л . Найдите объем
пирамиды, если известно, что через
прямые QR и S T можно провести две
плоскости, не совпадающие с основа­
нием пирамиды и пересекающие пира­
миду по равным четырехугольникам.
4951. В о с н о в а н и и п и р а м и д ы
SA B C D л е ж и т ч е т ы р е х у г о л ь н и к
A B C D , у которого стороны А В и CD па­
раллельны, сторона A D равна 6 , сторо­
на CD равна 8 , а угол ADC равен 120°.
Ребро S D равно 5
. Найдите объем
пирамиды, если известно, что через
прямые А В и CD можно провести две
плоскости, не совпадающие с основа­
нием пирамиды и пересекающие пира­
миду по равным четырехугольникам.
4952. В правильной треугольной пи­
рамиде SABC (S — вершина, SA = 2)
точка D — середина ребра SB. Расстоя­
ние от точки С до прямой A D равно J | .
Найдите объем пирамиды.
Дана сфера радиуса — с центром в
Л
точке С. Рассматриваются всевозмож­
ные правильные тетраэдры M N P Q
такие, что точки Р n Q лежат на пря­
мой AD , а прямая M N касается сферы
в одной из точек отрезка M N . Найдите
наименьшее ребро рассматриваемых
тетраэдров.
4953. В четырехугольной пирами­
де SABCD основание A B C D имеет сво­
ей осью симметрии диагональАС, рав­
ную 9, а точка Е пересечения диагона­
лей четырехугольника АВС£) делит от­
резок А С так, что отрезок А Е меньше
отрезка ЕС. Через середину бокового
ребра пирамиды SABCD проведена
плоскость, параллельная основанию и
пересекающаяся с ребрами SA, SB,
SC, S D соответственно в точках А^, В^,
C l, D^. Получившийся многогранник
A B C D A iB y C iD i, являющийся частью
пирамиды SABCD, пересекается плос­
343
костью а по правильному шестиуголь­
нику, сторона которого равна 2. Най­
дите площадь треугольника AB-D, если
плоскость а пересекает отрезки ВВ^ и
D D i.
4954. Дана треугольная пирамида
A B CD . На ребре АС взята точка F так,
что C F : F A = 2 : 9, на ребре CD взята
точка М так, что A M — биссектриса
угла DAC. Через точки F , М к. точку
пересечения медиан треугольника
DAB проведена плоскость, пересекаю­
щая ребро D B в точке N . Известно, что
+ 1. Известно также, что от­
ношение площади треугольника A B D
к сумме площадей всех граней пира­
миды A B C D равно р, а длина перпен­
дикуляра, опущенного из вершины С
на плоскость АВ£), равна Л. Через точ­
ку N проведена плоскость, параллель­
ная плоскости АС В и пересекающая
ребра CD и D A в точках К и Ь соответ­
ственно. Найдите радиус шара, впи­
санного в пирамиду D K L N .
4955. Дана треугольная пирамида
A B C D . Точка F взята на ребре AD, а
точка N — на ребре D N так, что
D N : N B = 1 : 2 . Через точки F , N ш
точку пересечения медиан треуголь­
ника A B C проведена плоскость, пере­
секающая ребро СВ в точке Н . Через
точку Н проведена плоскость, парал­
лельная плоскости A D B и пересекаю­
щая ребра СА и CD в точках Lw^K соот­
ветственно. Известно, что С Н : Н В =
= (A F : FD)^ и что радиус шара, впи­
санного в пирамиду C H L K , равен R.
Найдите отношение площади тре­
угольника AB C к сумме площадей всех
граней пирамиды A B C D , если длина
перпендикуляра, опущенного из вер­
шины D на плоскость ABC, равна h.
4956. Точки K k N расположены со­
ответственно на ребрах А В и A D тетра­
эдра A B C D , причем А К = 5КВ,
D N : N A = 1 : 4 . Точка М — середина
медианы D P треугольника BCD. Пост­
ройте сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки К , М , N . В
344
СТЕРЕОМЕТРИЯ
каком отношении эта плоскость делит
объем тетраэдра?
4957. Четырехугольная пирамида
SABCD вписана в сферу. Основание
этой пирамиды — прямоугольник
AB C D . Известно, что SA = 4, SB = 8 ,
S n = 7, Z SAC = Z. SBC = Z SDC. Най­
дите B D.
4958. Вокруг
пирамиды A B C D
описана сфера. Вторая сфера радиуса
1
касается первой внутренним обра­
зом в точке С, а также касается плос­
кости A B D . Известно, что CD = 3,
cos Z. AD B = i , cos Z A D C = cos Z. BDC =
5
= — . Найдите объем пирамиды ABCD.
J3
4959. Все ребра правильной четы­
рехугольной пирамиды S K L M N рав­
ны 2 + л/ 2 . Сфера касается плоскости
K L M N , а также касается ребер S K ,
S L , S M и S N пирамиды в точках К^,
L^, M l и N I соответственно. На ребре
S K взята точка Р . Через точки Р , L iv i
проведена плоскость, пересекаю­
щая ребро S M в точке Q. Найдите S P ,
если площадь ортогональной проек­
ции четырехугольника P L^ Q N i на
плоскость K L M N равна | .
4960. Четырехугольная пирамида
SABCD вписана в сферу, центр кото­
рой леж ит в плоскости основания
A B C D . Диагонали АС и B D основания
пересекаются в точке Н , причем S H —
высота пирамиды. Найдите ребра D S и
A D , если B S
4, D H = 1 ^ , A B = 6, CD =
5
= cs.
4961. Четырехугольная пирамида
SABCD вписана в сферу, центр кото­
рой леж ит в плоскости основания
A B C D . Диагонали АС и B D основания
пересекаются в точке Н , причем S H —
высота пирамиды. Найдите ребра A S и
А В , если CS = 3, А Н = 3.
4962. Две противоположные боко­
вые грани четырехугольной пирами­
ды SABCD перпендикулярны основа­
нию, расстояние от вершины S до пря­
мой А В равно 4 л/2 . В основании пира­
миды леж ит равнобедренная трапе­
ция ABCD (AD = В С ), описанная около
окружности и такая, что CD = 2,
Z A D C = ^ . Найдите расстояние от
3
точки с до плоскости SAB.
Внутри пирамиды расположен ко­
нус так, что окружность его основания
вписана в треугольник SCD, а верши­
на принадлежит грани SAB. Найдите
объем конуса.
4963. В основании четырехуголь­
ной пирамиды S K L M N лежит равно­
бедренная трапеция K L M N { L M = K N ),
описанная около окружности радиуса
-Уз , Z. M L K = ^ . Две противоположО
ные боковые грани перпендикулярны
основанию, высота пирамиды равна
6л/3 . Найдите расстояние от точки N
до плоскости S K L .
Внутри пирамиды расположен ко­
нус так, что окружность его основания
вписана в треугольник S M N , а верши­
на принадлежит грани S K L . Вычисли­
те высоту конуса.
4964. В четырехугольной пирами­
де A B C D E основание A B C D — парал­
лелограмм, а грани A D £ и ВСЕ — пря­
моугольные треугольники. Ребро ВС
перпендикулярно медиане Е Р грани
CDE и ВС = Е Р . Сечением пирамиды
плоскостью является равнобедренная
трапеция G K H L , вершины которой G,
К , Н , L лежат соответственно на реб­
рах А Е , B E , СЕ, D E , причем GE = 3GA
и G H = Е Н . Найдите отношение пло­
щади трапеции G K H L к площади гра­
ни А В £ .
4965. О с н о в а н и е м п и р а м и д ы
SABCD является трапеция A B C D с
основаниями ВС и A D такими, что
ВС : A D = 3 : 5 . Диагонали трапеции
пересекаются в точке Е, а центр О впи­
санной в пирамиду сферы леж ит на от­
резке SE и делит его в отношении
SO : ОЕ = 8 : 3 Найдите площадь пол­
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ной поверхности пирамиды, если пло­
щадь боковой грани SBC равна 9.
4966. О с н о в а н и е м п и р а м и д ы
SABCD является трапеция A B C D с ос­
нованиями ВС и A D такими, что
ВС :A D = 3 : 4 . Диагонали трапеции
пересекаются в точке Е , а центр О впи­
санной в пирамиду сферы леж ит на от­
резке S E и делит его в отношении
SO : ОЕ = 7 : 5 . Найдите площадь пол­
ной поверхности пирамиды, если пло­
щадь боковой грани SBC равна 9.
4967. Боковое ребро правильной
треугольной пирамиды SABC равно
^ и составляет с плоскостью основаО
ния ABC угол, равный arctg
4
. Ци-
линдр расположен так, что окруж­
ность одного из его оснований прохо­
дит через середину ребра АС и не пере­
секает грань SAB. Ортогональные про­
екции цилиндра на плоскости SAB и
SBC — прямоугольники с общей вер­
шиной в точке S. Найдите объем ци­
линдра.
4968. Сфера, касающаяся нижнего
основания цилиндра, имеет единст­
венную общую точку с окружностью
его верхнего основания и делит ось ци­
линдра в отношении 1 : 6 : 2 , считая от
центра одного из оснований. Найдите
объем цилиндра, если известно, что
сфера касается двух его образующих,
находящихся на расстоянии 8 друг от
друга.
4969. В основании прямой призмы
A B C A iB iC i леж ит треугольник AB C со
сторонами А-В = А С = 25, ВС = 40. На
ребре А-В взята точка М так, что В М =
= 15. Через точку М проведена плос­
кость, образующая с плоскостью Л ВС
угол arctg
15
и рассекающая призму
на два многогранника, площади по­
верхностей которых равны. Найдите
объем призмы, если известно, что око­
ло одного из этих многогранников
можно описать сферу, а около дру­
гого — нет.
345
4970. В
правильной
пирамиде
S M N P Q {S — вершина) точки K vlF —
середины ребер PQ и Q M соответствен­
но, точка Е леж ит на отрезке S K , приQ
чем S K = 4 , S E = | . Расстояние от точО
ки S до прямой E F равно
. Найдите
объем пирамиды.
4971. Сфера касается ребер BS, CS,
СА К.АВ треугольной пирамиды SABC
в точках D , Е , G VL Н соответственно.
Найдите Е Н , если D E = EG = 8 , О Н =
= 6 , H D = 4.
4972. Сфера касается ребер A S , CS,
А В и ВС треугольной пирамиды SABC
в точках D , Е , F VL G соответственно.
Найдите FG, если D E = D F = 8 , DG =
= з 7 П и FG на 2 больше, чем GE.
4973. На ребрах А^В^, А В , A^D^ и
D D i единичного куба АВСВА^В^С^В^
взяты точки К , L , М vlN соответствен­
но так, что А ^К = I , A L = - , А ^ М = | .
О
О
О
Определите, какое из ребер, A^D^ или
D^C^, пересекает плоскость, парал­
лельную отрезку M L и содержащую
отрезок K N . В каком отношении это
ребро делится плоскостью?
4974. В шаре радиуса 9 через точку
S проведены три равные хорды ААу,
B B i и CCi так, 4T oA S = 4 , A^S = 8 ,B S <
< B^S, CS < C^S. Найдите радиус сфе­
ры, описанной около пирамиды SABC.
4975. Сторона основания правиль­
ной треугольной пирамиды равна 2 ,
высота равна 3. Вершина А куба
A B C D A ^B iC iD i находится в центре ос­
нования пирамиды, вершина С — на
высоте пирамиды, а отрезок ВС^ ле ­
жит в плоскости одной из боковых гра­
ней пирамиды. Найдите ребро куба.
4976. В
треугольной
пирамиде
SABC выполнено SA = SB = SC, А В =
= ВС = А С , tg Z SAC =
Л
. Сфера ради-
уса лУз касается луча A S , касается
плоскости SBC и касается плоскости
346
СТЕРЕОМЕТРИЯ
AB C в точке, лежащей на луче АС.
Найдите наименьшее возможное зна­
чение длины отрезка АС.
4977. Сфера с центром в точке О
проходит через вершины К , Ь к М тре­
угольной пирамиды K L M N и пересе­
кает ребра K N , L N и M N в точках А , В,
С соответственно. Известно, что N L =
= 14, K N = 16 к M N : K L =
: 3.
Проекциями точки О на плоскости
K L N , L M N и K M N являются середи­
ны ребер K L , L M и К М соответствен­
но. Расстояние между серединами ре­
бер K L и M N равно
. Найдите пе­
риметр треугольника ABC.
4978. В пирамиде SABC грани ASC,
BSC, A S B равновелики. Сумма рас­
стояний от середины ребра ВС до гра­
ней A S B и ASC в полтора раза меньше
высоты пирамиды, опущенной из вер­
шины S. Внутри пирамиды есть точка
М , полусумма расстояний от которой
до вершин А , В, С равна сумме расстоя­
ний до всех граней пирамиды. Найди­
те площадь полной поверхности пира­
миды, если длина ребра A S равна
— .
V II
4979. В пирамиде SABC прямая,
пересекающая ребра SC и А В и перпен­
дикулярная им, проходит через сере­
дину ребра SC. Площ адь грани ASC в
два раза меньше площади грани ABC.
Н а грани B SC есть точка М , сумма рас­
стояний от которой до вершин S и С
равна сумме расстояний до всех ос­
тальных граней пирамиды. Найдите
объем пирамиды, если А В = 2 л/З ,A S =
= J35.
4980. В
основании
пирамиды
SABCD леж ит параллелограмм ABCZ).
Известно, что плоскости SAC и SB D
перпендикулярны. Площади граней
SAB, SBC и SCD соответственно равны
В, 7 и 1. Найдите площадь грани SDA.
4981. В трапеции A B C D угол B A D
прямой, уго лА Б С равен arctg 2 иА_В =
= A D . Квадрат K L M N расположен в
пространстве так, что его центр совпа­
дает с серединой отрезка АВ . Точка А
лежит на стороне L K viA L < А К , точка
М равноудалена от точек А к D . Рас­
стояние от L до ближайшей к ней точО
ки трапеции АБС13 равно - , а расстояние от М до ближайшей к ней точки
трапеции A B C D равно л/б. Найдите
площадь трапеции A-BCZ) и расстояние
от точки М до плоскости ABCD.
4982. Сферы с центрами в точках
O i и О 2 радиусов 3 и 1 соответственно
касаются друг друга. Через точку М ,
удаленную от О 2 на расстояние 3, про­
ведены две прямые, каждая из кото­
рых касается обеих сфер, причем точ­
ки касания лежат на прямых по одну
сторону от точки М . Найдите угол
между касательными, если известно,
что одна из них образует с прямой
0 ^ 0 2 угол в 45°.
4983. Ортогональные
проекции
треугольника AB C на две взаимно пер­
пендикулярные плоскости являются
правильными треугольниками со сто­
ронами, равными 1. Найдите пери­
метр треугольника AB C, если извест­
но, что А-В = ^ .
4984. Все грани пирамиды PQ RS
являются остроугольными треуголь­
никами, а длины перпендикуляров,
опущенных из вершин Р , Q, R, S на
противоположные грани, равны. Из­
вестно, что S P = 6 , Z SRQ = 75°, а
Z S P R = 45°. Найдите ребро PQ .
4985. Сфера с центром в точке О
проходит через вершины А , Вт С тре­
угольной пирамиды A-BCD и пересека­
ет прямые A D , B D и CD в точках К , L
и М соответственно. Известно, что
A D = 10, ВС : Б£> = 3 : 2 и А В : С£) =
= 4л/3 : 11. Проекциями точки О на
плоскости АВ£), BCD и CAD являются
середины ребер А В , ВС и А С соответ­
ственно. Расстояние между середина­
ми ребер А В и CD равно 13. Найдите
периметр треугольника K L M .
347
СТЕРЕОМЕТРИЯ
4986. Отрезок P Q параллелен плос­
кости, в которой леж ит прямоуголь­
ник isTLMT^, причем K L = 4, PQ = 6 . Все
стороны прямоугольника K L M N и от­
резки К Р , L P , N Q , M Q , P Q касаются
некоторого шара. Найдите площадь
поверхности этого шара.
4987. Отрезок E F параллелен плос­
кости, в которой леж ит прямоуголь­
ник ABCD, причем E F = 2, А В = 4. Все
стороны прямоугольника A B C D и от­
резки А Е , B E , CF, D F , E F касаются не­
которого шара. Найдите объем этого
шара.
4988. В правильную треугольную
пирамиду SABC с вершиной S и осно­
ванием АБ С вписан шар единичного
радиуса; двугранный угол между ос­
нованием пирамиды и боковой гранью
равен 60°. Докажите, что существует
единственная плоскость, пересекаю­
щая ребра основания А В и ВС в некото­
рых точках М v iN таких, что M N = 5,
касающаяся шара в точке, удаленной
на равные расстояния от точек M u N ,
и пересекающая продолжение высоты
пирамиды S K за точку К в некоторой
точке D . Найдите SD.
4989. Отрезок
FG
параллелен
плоскости выпуклого пятиугольника
A B C D E , причем точки А и G лежат по
разные стороны от плоскости CBF. В
треугольную пирамиду BCFG вписан
шар. Отношение расстояния от его
центра до прямой F G к расстоянию от
прямой FG до плоскости АВС£)£ равно
к. Двугранный угол пирамиды BCFG с
ребром B F равен а. Известно, что
sin Z CFB : sin Z CFG = I. Через сере­
дину отрезка A F проведена плоскость,
параллельная
плоскости
ABCDE.
Найдите площадь сечения плоскостью
Р многогранника A B C D E FG , состав­
ленного из пирамиды FA B C D E с вер­
шиной F и треугольной пирамиды
BCFG, если известно, что площадь
пятиугольника A B C D E равна S, а
сумма площадей всех граней пирами­
ды BCFG равна а.
4990. Докажите, что если сущ ес­
твует шар, вписанный в многогран­
ник, то любая плоскость, делящая
его объем и поверхность в одинако­
вом отношении, содержит центр это­
го шара.
4991.
В
правильной
пирамиде
S M N P Q (S — вершина) точки K v iF —
середины ребер P Q и Q M соответ­
ственно, точка Е леж и т на отрезке
S K , причем S K = 4, S E
Рас­
стояние от точки S до прямой E F рав­
но л/7. Рассматриваются всевозмож­
ные правильные тетраэдры A B C D
такие, что точки А и Б леж ат на
прямой E F , а прямая CD касается
сферы радиуса 1 с центром в точке S
в одной из точек отрезка CD.
Найдите наименьшее ребро рассмат­
риваемых тетраэдров.
4992. О с н о в а н и е м п и р а м и д ы
М В К Н Е служит выпуклый четырех­
угольник М В К Н , в котором угол при
вершине М равен ^ , угол, образованCi
ный диагональю В Н и ребром В К , ра­
вен 5 , ребро М Б равно 1. Площадь тре4
угольника В К Н в два раза больше пло­
щади треугольника М В Н . Сумма ре­
бер B E и Н Е равна л/З . Объем пирами­
ды равен i . Найдите радиус шара,
4
имеющего наибольший объем среди
всех шаров, помещающихся в пирами­
де М В К Н Е .
4993. В правильную треугольную
пирамиду SABC вписан шар единич­
ного радиуса; двугранный угол меж­
ду основанием пирамиды и боковой
гранью равен 60°. Д окаж ите, что су­
ществует единственная плоскость,
пересекающая ребра основания А В и
ВС в некоторых точках M u N , таких,
что M N = 5, касающаяся шара в точ­
ке, удаленной на равные расстояния
от точек М h N , h пересекающая про­
должение высоты пирамиды S K за
точку К в некоторой точке D . Най­
дите SD .
348
4994. Длины
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ребер
правильного
тетраэдра/ГМЬЛ^ равны 2л/б . Сфера
с центром в точке
касается граней
M N L , K M L , K N L . Сфера S 2 с центром
в точке С> 2 касается сферы
и плос­
костей K M L , M N L . Найдите радиус
сферы
если отрезок 0 ^ 0 2 ®
раза
больше диаметра сферы
а расстоя­
ние от точки О 2 до ребра K N равно ^ 7 .
4995. Объем пирамиды SABC ра­
вен V. Через точки M u N , лежащие на
ребрах A S и А В соответственно, и внут­
реннюю точку Р грани A B C проведена
плоскость, пересекающая прямую CS
в точке L. Пусть D vlE — точки пересе­
чения прямых А Р и В Р с ребрами ВС и
АС соответственно. Известно, что N C =
= 2AN, A M = 2 M S , А Р = SPD а В Р =
= 4 РЕ. Найдите объем пирамиды
ACLN.
4996. Объем пирамиды SABC равен
V. Через точки М и N , лежащие на реб­
рах A S и А В соответственно, и внут­
реннюю точку Р грани AB C проведена
плоскость, пересекающая прямую CS
в точке L. Пусть D n E — точки пересе­
чения прямых А Р и В Р с ребрами ВС и
АС соответственно. Известно, чтоA N =
= N C , M S = 2A M , А Р = 4 P D и В Р ==
= ЗРЕ. Найдите объем пирамиды
ACLN.
4997. В
треугольной
пирамиде
AKLM
известно, что выполнено
АК = AL = AM , KL
LM = МК,
tg/L.AK M =
Сфера радиуса 2л/3
Л
касается луча L A , касается плоскости
А К М и касается плоскости K L M в точ­
ке, лежащей на луче L M . Найдите на­
именьшее возможное значение длины
отрезка L M .
4998. О с н о в а н и е м п и р а м и д ы
Т Н Р С К служ ит выпуклый четырех­
угольник Т Н Р С , который диагональю
Н С делится на два равновеликих тре­
угольника. Известно, что Т Н = 4,
ctg Z. Н С Р = J 2 , T K + C K = А. Объем
пирамиды равен 5 1 . Найдите радиус
3
шара, имеющего наибольший объем
среди шаров, помещающихся в пира­
миде Т Н Р С К .
4999. О с н о в а н и е м п и р а м и д ы
А В М С Р служит выпуклый четырех­
угольник А В М С , в котором угол при
вершине А равен ^ , А В = 1. Площадь
6
треугольника В М С в два раза больше
площади треугольника ABC, В Р + СР =
= /У? . Объем пирамиды равен | . Най­
дите радиус шара, имеющего наимень­
ший объем среди всех шаров, поме­
щающихся в пирамиде А В М С Р .
5000. На плоскости а, проходящей
через центр шара радиуса R, задана
окружность с центром
и радиусом
г^, расположенная внутри шара. Все
точки этой окружности соединены
прямыми с точкой А , принадлежащей
шару и удаленной от плоскости а на
расстояние й. Множество отличных от
А точек пересечения этих прямых с по­
верхностью шара является окруж­
ностью с центром О 2 и радиусом rg.
Найдите расстояние от точки О2 до
плоскости а, если расстояние между
точками А и
равно а.
Приложения
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОЛЛЕТРИИ
ПЛАНИЛЛЕТРИЯ
1. П ризнаки равенства треуголь­
ников.
1) Если две стороны и угол между
ними одного треугольника соответ­
ственно равны двум сторонам и углу
между ними другого треугольника, то
треугольники равны.
2 ) Сторона и два прилежащих к ней
угла одного треугольника соответ­
ственно равны стороне и двум приле­
жащим к ней углам другого тре­
угольника, то треугольники равны.
3) Если три стороны одного тре­
угольника соответственно равны трём
сторонам другого треугольника, то
треугольники равны.
2. Основные свойства и признаки
равнобедренного треугольника.
1) У глы при основании равнобед­
ренного треугольника равны.
2 ) Медиана
равнобедренного тре­
угольника, проведенная из его вер­
шины, является биссектрисой и вы­
сотой.
3) Если два угла треугольника рав­
ны, то он равнобедренный.
4) Если медиана треугольника яв­
ляется его высотой, то треугольник
равнобедренный.
5) Если биссектриса треугольника
является его высотой, то треугольник
равнобедренный.
6 ) Если медиана треугольника яв­
ляется его биссектрисой, то тре­
угольник равнобедренный.
3. Геометрическое место точек,
равноудаленных от концов отрезка,
есть прямая, перпендикулярная этому
отрезку и проходящая через его
середину (серединный перпендикуляр
к отрезку).
4. Признаки и свойства парал­
лельных прямых.
1) Аксиома параллельных. Через
данную точку можно провести не более
одной прямой, параллельной данной.
2) Если при пересечении двух пря­
мых третьей образуются равные внут­
ренние накрест лежащие углы , то пря­
мые параллельны.
3) Если две прямые параллельны
одной и той же прямой, то они парал­
лельны между собой.
4) Две прямые, перпендикулярные
одной и той же прямой, параллельны.
5) Если две параллельные прямые
пересечь третьей, то образованные при
этом внутренние накрест лежащие
углы равны.
5. Теорема о сумме углов треуголь­
ника и следствия из нее.
1) Сумма внутренних углов тре­
угольника равна 180°.
2) Внешний угол треугольника ра­
вен сумме двух внутренних не смеж­
ных с ним углов.
3) Сумма внутренних углов выпук­
лого /г-угольника равна 180° • (п —2 ).
4) Сумма внешних углов /г-уголь­
ника равна 360°.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
351
5)
У глы со взаимно перпендику­ 17. Гипотенуза
прямоугольного
лярными сторонами равны, если они
треугольника больше катета.
оба острые или оба тупые.
18. Если из одной точки проведены
6 . Если
биссектрисы углов Б и С
к прямой перпендикуляр и наклон­
треугольника А Б С пересекаются в
ные, то
1 ) перпендикуляр
короче наклон­
точке М , то Z В М С = 90° + | Z Л.
ных;
2 ) большей
наклонной соответ­
7. У гол
между
биссектрисами
ствует большая проекция и наоборот.
смежных углов равен 90°.
. Биссектрисы внутренних одно­
сторонних углов при параллельных
прямых и секущей перпендикулярны.
8
9. Признаки равенства
прямо­
угольных треугольников:
1 ) по двум катетам;
2 ) по катету и гипотенузе;
3) по гипотенузе и острому углу;
4) по катету и острому углу.
10. Геометрическое место внутрен­
них точек угла, равноудаленных от его
сторон, есть биссектриса угла.
11. Катет
прямоугольного
тре­
угольника, лежащий против угла в
30°, равен половине гипотенузы.
1 2 . Йели катет прямоугольного тре­
угольника равен половине гипотену­
зы, то угол, противолежащий этому
катету, равен 30°.
13. Неравенство
треугольника.
Сумма двух сторон треугольника
больше третьей стороны.
14. Следствие из неравенства тре­
угольника.
Сумма звеньев ломаной больше от­
резка, соединяющего начало первого
звена с концом последнего.
15. Против большего угла тре­
угольника леж ит большая сторона.
16. Против большей стороны тре­
угольника леж ит больший угол.
19. Параллелограммом называется
четырёхугольник, противоположные
стороны которого попарно параллель­
ны.
Признаки и свойства параллело­
грамма.
1) Диагональ разбивает параллело­
грамм на два равных треугольника.
2) Противоположные стороны па­
раллелограмма попарно равны.
3) Противоположные углы парал­
лелограмма попарно равны.
4) Диагонали параллелограмма пе­
ресекаются и делятся точкой пересе­
чения пополам.
5) Если противоположные стороны
четырёхугольника попарно равны, то
этот четырёхугольник — параллело­
грамм.
6 ) Если две противоположные сто­
роны четырёхугольника равны и па­
раллельны, то этот четырёхугольник —
параллелограмм.
7) Если диагонали четырёхуголь­
ника делятся точкой пересечения
пополам, то этот четырёхугольник —
параллелограмм.
20. Прямоугольником называется
параллелограмм с прямым углом.
Признаки и свойства прямоуголь­
ника.
1) Диагонали прямоугольника рав­
ны.
2) Если диагонали параллелограм­
ма равны, то этот параллелограмм —
прямоугольник.
352
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
21. Ромбом называется четырёх­
угольник, все стороны которого рав­
ны.
Признаки и свойства ромба.
1) Диагонали ромба перпендику­
лярны.
2) Диагонали ромба делят его углы
пополам.
3) Если диагонали параллелограм­
ма перпендикулярны, то этот паралле­
лограмм — ромб.
4) Если диагонали параллелограм­
ма делят его углы пополам, то этот
параллелограмм — ромб.
22. Квадратом называется прямо­
угольник, все стороны которого рав­
ны.
23. Геометрическое место точек,
равноудаленных от данной прямой, —
две параллельные прямые.
24. Теорема Ф алеса. Если на одной
стороне угла отложить равные отрез­
ки и через их концы провести парал­
лельные прямые, пересекающие вто­
рую сторону угла, то на второй стороне
угла отложатся также равные отрез­
ки.
25. Отрезок, соединяющий середи­
ны двух сторон треугольника назы­
вается средней линией треугольника.
Теорема о средней линии треуголь­
ника. Средняя линия треугольника
параллельна стороне треугольника и
равна её половине.
26. Свойство середин сторон че­
тырёхугольника.
Середины сторон любого четырёх­
угольника являются вершинами па­
раллелограмма.
27. Теорема о медианах треуголь­
ника. Медианы треугольника пересе­
каются в одной точке и делятся ею в
отношении 2 : 1 , считая от вершины.
28. а) Если медиана треугольника
равна половине стороны, к которой
она проведена, то треугольник — пря­
моугольный.
б)
Медиана прямоугольного тре­
угольника, проведённая из вершины
прямого угла, равна половине гипоте­
нузы.
29. Трапецией называется четы­
рёхугольник, у которого только две
противоположные стороны (основа­
ния) параллельны. Средней линией
трапеции называется отрезок, соеди­
няющий середины непараллельных
сторон (боковых сторон).
Теорема о средней линии трапе­
ции. Средняя линия трапеции парал­
лельна основаниям и равна их полу­
сумме.
30. Отрезок, соединяющий середи­
ны диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
31. Трапеция называется равнобед­
ренной, если её боковые стороны
равны.
Свойства и признаки равнобедрен­
ной трапеции.
1) У глы при основании равнобед­
ренной трапеции равны.
2) Диагонали равнобедренной тра­
пеции равны.
3) Если углы при основании трапе­
ции равны, то она равнобедренная.
4) Если диагонали трапеции рав­
ны, то она равнобедренная.
5) Проекция
боковой
стороны
равнобедренной трапеции на основа­
ние равна полуразности оснований, а
проекция диагонали — полусумме ос­
нований.
32. Окружностью называется гео­
метрическое место точек плоскости,
удаленных от данной точки, называе­
мой центром окружности, на одно и то
же положительное расстояние.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Свойства окружности.
1) Диаметр,
перпендикулярный
хорде, делит её пополам.
2) Диаметр, проходящий через се­
редину хорды, не являющейся диа­
метром, перпендикулярен этой хорде.
3) Серединный перпендикуляр к
хорде проходит через центр окружнос­
ти.
4) Равные хорды удалены от центра
окружности на равные расстояния.
5) Хорды окружности, удаленные
от центра на равные расстояния, рав­
ны.
6 ) Окружность симметрична отно­
сительно любого своего диаметра.
7) Дуги окружности, заключённые
между параллельными хордами, рав­
ны.
8 ) Из двух хорд больше та, которая
менее удалена от центра.
9) Диаметр есть наибольшая хорда
окружности.
33. Замечательное свойство ок­
ружности. Геометрическое место то­
чек М , из которых отрезок А В виден
под прямым углом { А А М В = 90°), есть
окружность с диаметром А В без точек
А и В.
34. Геометрическое место точек М ,
из которых отрезок А В виден под
острым углом (/ _А М В < 90°), есть
внешность круга с диаметром А В без
точек прямой АВ.
35. Геометрическое место точек М ,
из которых отрезок А В виден под
тупым углом {/LAM B > 90°), есть внут­
ренность круга с диаметром А В без
точек отрезка АВ .
36. Свойство серединных перпен­
дикуляров к сторонам треугольника.
Серединные перпендикуляры к сторо­
нам треугольника пересекаются в од­
ной точке, которая является центром
окружности, описанной около тре­
угольника.
12 С бор н и к за,эдч ни геометрии
353
37. Линия центров двух пересекаю­
щихся окружностей перпендикуляр­
на их общей хорде.
38. Центр окружности, описанной
около прямоугольного треугольника, —
середина гипотенузы.
39. Теорема о высотах треугольни­
ка. Прямые, содержащие высоты тре­
угольника, пересекаются в одной точ­
ке.
40. Прямая, имеющая с окружнос­
тью единственную общую точку, на­
зывается касательной к окружнос­
ти.
1) Касательная перпендикулярна
радиусу, проведённому в точку каса­
ния.
2 ) Если прямая I, проходящая че­
рез точку на окружности, перпендику­
лярна радиусу, проведённому в эту
точку, то прямая I — касательная к
окружности.
3) Если прямые, проходящие через
точку М , касаются окружности в точ­
ках А и Б, то М А = M B .
4) Центр окружности, вписанной в
угол, лежит на биссектрисе этого угла.
5) Теорема о биссектрисах тре­
угольника. Биссектрисы треугольни­
ка пересекаются в одной точке, кото­
рая является центром окружнорти,
вписанной в треугольник.
41. Радиус г окружности, вписан­
ной в прямоугольный треугольник с
катетами а, Ь л гипотенузой с, равен
а-\-Ь-с
2
42. Если М — точка касания ок­
ружности, вписанной в треугольник
ABC со стороной АС, то A M = р - ВС,
где р — полупериметр треугольника.
43. Окружность касается стороны
ВС треугольника ABC и продолжений
сторон А В и АС. Тогда расстояние от
354
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
вершины А до точки касания окруж­
ности с прямой А В равно полупериметру треугольника ЛВС.
44. Окружность с центром О, впи­
санная в треугольник ABC, касается
сторон А В , ВС и А С соответственно в
точках К , L vl М . Если Z K L M = а, то
Z ВАС = 180° - 2а.
45. Даны окружности радиусов г и В
(В > г). Расстояние между их центрами
равно а (а > i? -I- г). Тогда отрезки об­
щих внешних и общих внутренних ка­
сательных, заключенные между точ­
ками касания, равны соответственно
7 а 2 - (Д - г )2 и 7 а 2 - (Д + г )2 .
46. Если в четырёхугольник можно
вписать окружность, то суммы его
противоположных сторон равны. Если
суммы противоположных сторон вы­
пуклого четырёхугольника равны, то
в четырёхугольник можно вписать ок­
ружность.
47. Касающиеся окружности. Го­
ворят, что две окружности касаются,
если они имеют единственную общую
точку (точка касания).
1) Точка касания двух окружнос­
тей леж ит на их линии центров.
2) Окружности радиусов г и R с
центрами
и Og касаются внешним
образом тогда и только тогда, когда
В + г = О^Ог3) Окружности радиусов г и Д
( r < R ) с центрами
и О 2 касаются
внутренним образом тогда и только
тогда, когд аВ - г = О 1 О 2 .
4) Окружности с центрами
и О2
касаются внешним образом в точке К.
Некоторая прямая касается этих ок­
ружностей в различных точках А и В и
пересекается с общей касательной,
проходящей через точку К , в точке С.
Тогда Z А К Б = 90° и Z О^СО^ = 90°.
48. Углы, связанные с окружнос­
тью.
1) Угловая величина дуги окруж­
ности равна угловой величине цен­
трального угла.
2) Вписанный угол равен половине
угловой величины дуги, на которую он
опирается.
3) У гол между пересекающимися
хордами равен полусумме противопо­
ложных дуг, высекаемых хордами.
4) У гол между двумя секущими ра­
вен полуразности дуг, высекаемых се­
кущими на окружности.
5) У гол между касательной и хор­
дой равен половине угловой величины
дуги, заключённой между ними.
49. Вписанные углы , опирающиеся
на одну и ту же дугу, равны.
50. Геометрическое место точек, из
которых данный отрезок виден под
данным углом, есть две дуги равных
окружностей.
51. Если четырёхугольник можно
вписать в окружность, то сумма его
противоположных углов равна 180°.
52. Если сумма противоположных
углов четырёхугольника равна 180°,
то около него можно описать окруж­
ность.
53. Если в трапецию можно вписать
окружность, то боковая сторона трапе­
ции видна из центра окружности под
прямым углом.
54. Если М — точка на отрезке АВ,
причем Л М : В М = а : Ь, то
A M : А В = а : (а + Ь),
В М :А В = Ь : { а + Ь}.
55. Теорема о пропорциональных
отрезках. Параллельные прямые, пе­
ресекающие стороны угла, высекают
на них пропорциональные отрезки.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
56. Признаки подобия треуголь­
ников.
1) Если две стороны одного тре­
угольника соответственно пропорцио­
нальны двум сторонам другого, а
углы , заключённые между этими сто­
ронами, равны, то треугольники по­
добны.
2) Если два угла одного треуголь­
ника соответственно равны двум уг­
лам другого, то треугольники подоб­
ны.
3) Если три стороны одного тре­
угольника соответственно пропорцио­
нальны трём сторонам другого, то тре­
угольники подобны.
57. Отношение
соответствующих
линейных элементов подобных фигур
равно коэффициенту подобия.
58. Замечательное свойство тра­
пеции. Точка пересечения диагоналей
трапеции, точка пересечения продол­
жений боковых сторон и середины ос­
нований лежат на одной прямой.
59. Свойство биссектрисы тре­
угольника. Биссектриса треугольника
делит его сторону на отрезки, пропор­
циональные двум другим сторонам.
60. Произведение основания на
высоту для данного треугольника по­
стоянно.
61. Если В М и C N — высоты тре­
угольника AB C, то треугольник A N M
подобен треугольнику AB C, причем
коэффициент подобия равен |cos А|.
62. Произведения отрезков пересе­
кающихся хорд окружностей равны.
355
2)
Произведение всей секущей на её
внешнюю часть для данной точки и
данной окружности постоянно.
64. Тригонометрические соотно­
шения в прямоугольном треуголь­
нике.
1) Катет прямоугольного треуголь­
ника равен произведению гипотенузы
на синус противолежащего или на
косинус прилежащего к этому катету
острого угла.
2) Катет прямоугольного треуголь­
ника равен другому катету, умножен­
ному на тангенс противолежащего или
котангенс прилежащего к этому кате­
ту острого угла.
65. Теорема Пифагора. Квадрат ги­
потенузы прямоугольного треуголь­
ника равен сумме квадратов катетов.
6 6 . Теорема, обратная теореме Пи­
фагора. Если квадрат стороны тре­
угольника равен сумме квадратов
двух других его сторон, то треуголь­
ник — прямоугольный.
67. Средние пропорциональные в
прямоугольном треугольнике. Высота
прямоугольного треугольника, прове­
денная из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное проекций
катетов на гипотенузу, а каждый ка­
тет есть среднее пропорциональное ги­
потенузы и своей проекции на гипоте­
нузу.
6 8 . Если в трапецию можно вписать
окружность, то радиус окружности
есть среднее пропорциональное отрез­
ков, на которые точка касания делит
боковую сторону.
63. Теорема о касательной и секу­
69. Отрезок общей внешней каса­
щей и следствие из нее.
тельной к двум касающимся окруж­
1)
Если из одной точки проведены к
ностям радиусов г и Д равен отрезку
окружности касательная и секущая,
общей внутренней касательной, за­
то произведение всей секущей на её
ключенному между общими внешни­
внешнюю часть равно квадрату каса­
ми. Оба эти отрезка равны 2 J W r.
тельной.
356
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
70. Метрические соотношения в
треугольнике.
1) Теорема косинусов и следствия
из неё. Квадрат стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других
сторон без удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между
ними.
2) Сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадра­
тов всех его сторон.
3) Ф ормула для медианы треуголь­
ника: если т — медиана треуголь­
ника, проведённая к стороне с, то
т = J2a^ + 2Ъ^ -
,
окружностей равностороннего
угольника со стороной а. Тогда
I,
СГл/З с
(1^fJS t>
тре­
cL^Js ^
73. Формулы площади параллело­
грамма.
1) Площадь параллелограмма равна
произведению основания на высоту.
2) Площадь параллелограмма равна
произведению его соседних сторон на
синус угла между ними.
3) Площадь прямоугольника равна
произведению двух его соседних сторон.
4) Площадь ромба равна половине
произведения его диагоналей.
где а и Ь — остальные стороны тре­
угольника.
4 ) Теорема синусов. Стороны тре­
угольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
5) Обобщенная теорема синусов.
Отношение стороны треугольника к
синусу противолежащего угла равно
диаметру окружности, описанной око­
ло треугольника.
74. Площадь трапеции равна про­
изведению полусуммы оснований на
высоту.
71. Формулы площади треугольни­
77. Если в многоугольник можно
вписать окружность, то его площадь
равна произведению полупериметра
многоугольника на радиус этой ок­
ружности.
ка.
1) Площадь треугольника равна по­
ловине произведения основания на
высоту.
2) Площадь треугольника равна по­
ловине произведения двух его сторон
на синус угла между ними.
3) Площадь треугольника равна
произведению его полупериметра на
радиус вписанной окружности.
4) Площадь треугольника равна
произведению трёх его сторон, делен­
ному на учетверённый радиус описан­
ной окружности.
5) Ф орм ула Герона.
72. Элементы
равностороннего
треугольника со стороной а.
Пусть h, S , r , R — высота, площадь,
радиусы описанной и вписанной
75. Площадь
четырёхугольника
равна половине произведения его диа­
гоналей на синус угла между ними.
76. Отношение площадей подобных
треугольников равно квадрату коэф­
фициента подобия.
М
78. Если
— точка на стороне ВС
треугольника ABC, то
S(AMB)
S(AMC)
^ БМ
СМ ■
79. Если Р и Q — точки на сторонах
А В и АС (или на их продолжениях)
треугольника ABC, то
SjAPQ) _ А Р .AQ
S(ABC) АВ АС ■
80. Длина окружности радиуса R
равна 2nR.
81. П лощ адь круга радиуса R рав­
на nR^.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
357
СТЕРЕОЛЛЕТРИЯ
Факты, непосредственно связан­
ные с аксиомами.
1. Аксиомы стереометрии.
2. Через прямую и точку, не леж а­
щую на этой прямой, проходит един­
ственная плоскость.
3. Через две параллельные прямые
проходит единственная плоскость.
4. Через точку, не лежащую на дан­
ной прямой, проходит единственная
прямая, параллельная данной.
щимся прямым другой плоскости, то
плоскости параллельны.
10. Если две параллельные плос­
кости пересечены третьей, то прямые
пересечения параллельны.
11. Транзитивность
параллель­
ности плоскостей. Если плоскость а
параллельна плоскости р, а плоскость
Р параллельна плоскости у, то плос­
кость а параллельна плоскости у.
12. Отрезки параллельных пря­
мых, заключённые между параллель­
ными плоскостями, равны.
Параллельность в пространстве.
5. П ризнак параллельности пря­
мой и плоскости. Если прямая а па­
раллельна некоторой прямой плоскос­
ти а, то прямая а параллельна плос­
кости а.
6 . Если через прямую с, параллель­
ную плоскости а, провести плоскость,
пересекающую плоскость а по прямой
Ъ, то прямые а и Ь параллельны.
7. Если прямые а и Ь параллельны
а плоскость, проходящая через пря
мую а, пересекается с плоскостью
проходящей через прямую Ь, то пря
мая пересечения плоскостей парал
лельна прямым а и Ь.
. Транзитивность параллельнос­
ти прямых в пространстве. Если
прямая а параллельна прямой Ъ, а
прямая Ъ параллельна прямой с, то
прямая а параллельна прямой с.
8
9. П ризнак параллельности плос­
костей. Если две пересекающиеся
прямые одной плоскости соответ­
ственно параллельны двум пересекаю­
13. Через точку, не лежащую в
плоскости, проходит единственная
плоскость, параллельная данной.
14. Свойства граней и диагоналей
параллелепипеда. Противоположные
грани параллелепипеда равны и па­
раллельны. Диагонали параллелепи­
педа пересекаются и делятся точкой
пересечения пополам.
15. Теорема о медианах тетраэдра.
Медианы тетраэдра (отрезки, соеди­
няющие вершины тетраэдра с точками
пересечения медиан противолежащих
граней) пересекаются в одной точке и
делятся ею в отношении 3 : 1 , считая
от вершины.
16. Диагональ АС^ параллелепипе­
да АВСЛА^Б^С^Х)! проходит через точ­
ку пересечения медиан треугольника
A^BD и делится ею в отношении 1 : 2 ,
считая от точки А .
17. Если пересечь пирамиду плос­
костью, параллельной основанию, то в
сечении образуется многоугольник,
подобный данному.
358
ОСНОВНЫЕ СВЕЩЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Скрещивающиеся прямые.
18. Признак скрещивающихся пря­
мых. Если прямая а лежит в плоскости
а, а прямая Ь пересекает эту плоскость
в точке, не леж ащ ей на прямой а, то
а и Ь — скрещивающиеся прямые.
19. Через две скрещивающиеся
прямые проходит единственная пара
параллельных плоскостей.
20. Геометрическое место середин
отрезков с концами на двух скрещи­
вающихся прямых есть плоскость, па­
раллельная этим прямым и проходя­
щая через середину одного из таких
отрезков.
21. У го л между скрещивающими­
ся прямыми (уго л между пересекаю­
щимися в произвольной точке М пря­
мыми, соответственно параллельны­
ми данным) не зависит от выбора точ­
ки М .
22. Д ля любых двух скрещиваю­
щихся прямых существует единствен­
ный общий перпендикуляр (отрезок с
концами на этих прямых, перпенди­
кулярный обеим прямым).
П араллельное проектирование.
23. Прямая, непараллельная про­
ектирующей, переходит в прямую.
24. Пара параллельных прямых,
непараллельных проектирующей, пе­
реходит в пару параллельных пря­
мых.
25. Сохраняется отношение отрез­
ков, леж ащ их на одной прямой или на
параллельных прямых.
26. Наклонная пересекает плос­
кость в точке, лежащей на любой её
параллельной проекции на эту плос­
кость.
27. Площадь ортогональной проек­
ции плоского многоугольника на
плоскость равна произведению пло­
щади проектируемого многоугольни­
ка на косинус угла между плоскостью
этого многоугольника и плоскостью
проекций.
Координаты
странстве.
и
векторы
в про­
28. Координаты
вектора равны
разности соответствующих координат
конца и начала данного вектора.
29. Д ля того, чтобы векторы а т
а. Ъ
были коллинеарны, необходимо и до­
статочно, чтобы а = k ■ Ь , где k — не­
которое число.
30. Д ля того, чтобы три вектора бы­
ли компланарны, необходимо и доста­
точно, чтобы один из них можно было
представить в виде линейной комби­
нации двух других (а = х • Ь + у
где X , у — некоторые числа).
31. Любой вектор можно единст­
венным образом разложить по трём
некомпланарным векторам.
32. Если М — середина АВ , то
О М = \ {О А + О В ).
33. Если М — середина А В , а N —
середина CD, то
M N = I (А С + B D ) .
34. Если М — точка пересечения
медиан треугольника ABC, то
О М = = | (О А + О В + О С ).
35.
Если М — точка пересечения
диагоналей параллелограмма ABCD,
то
ОМ - U o A
+ О В + О С + O D ).
359
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
36. Координаты середины отрезка
равны средним арифметическим координат его концов.
^ ( а ; Ь; с) (направляющий
х - х р = a t,
37. Свойства скалярного произве­
дения векторов.
a) а ■ Ь = Ь • а ;
У -У о =
Z - Z q = c t.
42. Прямая как пересечение двух
плоскостей задаётся системой
б )а а ■ Ь = а (а ■ Ъ);
+ В ^ у C^z +
b) а ■(Ъ + с ) = а ■ Ъ + а ■ с \
= О,
А 2 Х + В 2 У + C 2 Z + D 2 = О,
г) |а|= л / Р ;
где
д) (а + Ь)^ =
+ 2 • (а • Ъ )+ Ъ^~,
е) (а • Ь < а 2 • Ь причём равен­
ство достигается тогда и только тогда,
а
43. Если ф — угол между плоскос­
тями, заданными уравнениями
когда векторы а и Ь коллинеарны;
ж ) ненулевые векторы а и Ь пер­
пендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно нулю.
38. Расстояние
между точками
М х х , У\, 2 i) и В (Х 2 , У2 , 22) равно
J { X 2 - X i ) 2 -I- ( 1/2 - l/ i)2 +
(22
- 2 i)2 .
39. Если ф — угол между ненулевыненулевь
ми векторами а (a^i; у-^; z{) и Ь (х 2 ,У 2 ; 2 2 ),
то
+
С08ф=
Я 2 + У2 + г 2 ^лГ~2 + У2 + г2
1
1
:2
2
2
40. Уравнение плоскости, прохо­
дящей через точку M q(X q; у^; Zq) пер­
пендикулярно
ненулевому
вектору
п (а ; Ь; с) (вектор нормали), имеет
вид:
а(х - л:о) + Ч у - Уо) + Ф
~ ^о) = 0.
41. Параметрические
уравнения
прямой, проходящей через точку
■^0 (^ 0 ! Уо! ^о) параллельно ненулевому
\ ^ в 1 + с \ ф о -аа \ + в1 + с \ ^ о .
A jX + В^у + CjZ +
£>1
=
0
и
А 2 Х + В 2 У + Cg2 + + £>2 =
0
,
то
COS ф =
44. Уравнение плоскости «в отрез­
к а х». Если плоскость пересекает оси
координат в точках А(р; 0; 0), В(0; д; 0)
и С(0; 0; г) {р, q, г Ф 0), то её уравнение
можно представить в виде
S + ^ + 5=
р
q
1
г
.
45. Если р — расстояние от точки
^, Z q) д о плоскости А х + By +
-\- Cz -\- D = О, то
M
q( x q ; у
|^Уо + -В^о + Сго + Д|
7 ^ 2
+ £ 2 + С2
Перпендикулярность
плоскости.
прямой
и
46. Признак перпендикулярности
прямой и плоскости. Если прямая
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
360
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
47. Если две прямые перпендику­
лярны одной плоскости, то они парал­
лельны.
48. Если одна из двух параллель­
ных прямых перпендикулярна плос­
кости, то вторая прямая также пер­
пендикулярна этой плоскости.
49. Две плоскости, перпендикуляр­
ные одной прямой, параллельны.
50. Если прямая и плоскость пер­
пендикулярны одной прямой, то они
параллельны.
51. Через данную точку проходит
единственная плоскость, перпендику­
лярная данной прямой.
52. Через данную точку проходит
единственная прямая, перпендику­
лярная данной плоскости.
53. Теорема о трёх перпендикуля­
рах. Прямая, лежащая в плоскости,
перпендикулярна наклонной к плос­
кости тогда и только тогда, когда она
перпендикулярна ортогональной про­
екции наклонной на эту плоскость.
54. Если из одной точки проведены
к плоскости перпендикуляр и наклон­
ные, то
а) перпендикуляр короче наклон­
ных;
б) равные наклонные имеют рав­
ные ортогональные проекции;
в) большей наклонной соответст­
вует большая ортогональная проек­
ция;
г) из двух наклонных больше та,
ортогональная
проекция
которой
больше.
55. Теорема об угле прямой с плос­
костью. У гол между наклонной и её
ортогональной проекцией на плос­
кость меньше угла между этой наклон­
ной и любой другой прямой плоскос­
ти.
56. Геометрическое место точек,
равноудалённых от концов отрезка,
есть плоскость, перпендикулярная
этому отрезку и проходящая через его
середину.
57. Геометрическое место точек,
удаленных на данное расстояние от
данной плоскости, есть две параллель­
ные плоскости.
58. Геометрическое место точек,
равноудалённых от вершин треуголь­
ника, есть прямая, проходящая через
центр описанной окружности тре­
угольника перпендикулярно его плос­
кости.
59. Если боковые рёбра пирамиды
равны, то её высота проходит через
центр окружности, описанной около
основания.
Двугранный угол.
60. Линейный угол двугранного уг­
ла (сечение двугранного угла плоскос­
тью, перпендикулярной его ребру) не
зависит от выбора точки на ребре дву­
гранного угла.
61. Геометрическое место внутрен­
них точек двугранного угла, равноуда­
ленных от его граней, есть биссекторная плоскость двугранного угла.
62. Необходимое и достаточное
условие перпендикулярности плос­
костей. Две плоскости перпендику­
лярны (образуют прямой двугранный
угол) тогда и только тогда, когда одна
из них проходит через перпендикуляр
к другой.
63. Если две пересекающиеся плос­
кости перпендикулярны третьей, то
они пересекаются по прямой, также
перпендикулярной этой плоскости.
64. Если боковые грани треуголь­
ной пирамиды образуют равные дву­
361
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
гранные углы с плоскостью основа­
ния, то высота пирамиды проходит
либо через центр вписанной окруж­
ности, либо через центр одной из
вневписанных окружностей основа­
ния.
Многогранные углы.
65. Плоский угол трёхгранного
угла меньше суммы двух других его
плоских углов.
6 6 . Сумма плоских углов выпукло­
го многогранного угла меньше 360°.
67. Свойства диагоналей прямо­
угольного параллелепипеда.
а) Диагонали прямоугольного па­
раллелепипеда равны.
б) Квадрат диагонали прямоуголь­
ного параллелепипеда равен сумме
квадратов трёх его измерений (длин
трёх рёбер с общей вершиной).
Сфера. Касательная
Касающиеся сферы.
плоскость.
6 8 . Сечение
сферы плоскостью,
удаленной от центра сферы на расстоя­
ние, меньшее радиуса, есть окруж­
ность. Основание перпендикуляра,
опущенного из центра сферы на секу­
щую плоскость, есть центр этой ок­
ружности.
72. Отрезки касательных прямых,
проведённых к сфере из одной точки,
равны между собой.
73. Линия центров касающихся
сфер (имеющих единственную общую
точку) проходит через их точку каса­
ния.
74. Если две различные сферы
имеют более одной общей точки, то
они пересекаются по окружности.
Плоскость этой окружности перпен­
дикулярна линии центров данных
сфер.
Правильная пирамида.
75. Если ABCZ) — правильная тре­
угольная пирамида с вершиной D,
высотой D M и стороной основания а, а
A i,B ^ viC x — середины сторон соответ­
ственно ВС, АС и А В , то
а) Z D A M = Z. D B M = Z D C M —
угол бокового ребра с плоскостью ос­
нования;
б) Z DA^M = Z D B iM = Z D C iM —
линейный угол двугранного угла боко­
вой грани с плоскостью основания;
в) Z A F B (где F — основание пер­
пендикуляра, опущенного из вершины
А основания на боковое ребро D C ) —
линейный угол между боковыми гра­
нями пирамиды;
г) A A i = ВВ^ = CCi =
69. Касательная плоскость к сфере
(плоскость, имеющая со сферой един­
ственную общую точку) перпендику­
лярна радиусу сферы, проведённому в
точку касания.
70. Касательная прямая к сфере
(прямая, имеющая со сферой един­
ственную общую точку) перпендику­
лярна радиусу сферы, проведённому в
точку касания.
71. Центр сферы, вписанной в дву­
гранный угол, леж ит в биссекторной
плоскости этого угла.
— высота
треугольника основания пирамиды;
д )А М = В М = С М =
_
=
a j3 — ортогональная проекция бо­
кового ребра на плоскость основания;
e ) A iM
__ a
2j3
_
= B iM
= C iM = I a A i =
3
aj3 — ортогональная проек6
ЦИЯ а п о ф е м ы н а п л о с к о с т ь о с н о в а н и я .
ж ) А 1 ^ — общий перпендикуляр
противоположных рёбер А В и CD.
362
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
76. Противоположные ребра прави­
льной треугольной пирамиды взаимно
перпендикулярны.
77. Высота правильного тетраэдра с
ребром а равна а
.
78. Если PA B C D — правильная
четырёхугольная пирамида с верши­
ной Р , высотой Р М и стороной осно­
вания а, а А-у, В^,
и D j — середины
сторон соответственно А В , ВС, CD
A D , то
а) А Р А М = А Р В М = А Р С М
= /- P D M — угол бокового ребра
плоскостью основания;
б) Z РА ^М = Z РВ ^ М = Z P C iM
и
=
ного угла боковой грани с плоскостью
основания;
в) Z B F D (где F — основание пер­
пендикуляра, опущенного из вершины
В основания на боковое ребро А Р ) —
линейный угол между соседними бо­
ковыми гранями пирамиды;
г) /_ A^PCi = Z B ^PD i — линейный
угол двугранного угла между противо­
положными боковыми гранями;
р )А М = В М = С М = D M = I d B =
z,
2
80. Боковая поверхность призмы
равна произведению периметра пер­
пендикулярного сечения призмы на
боковое ребро.
81. Боковая поверхность правиль­
ной пирамиды равна площади её осно­
вания, делённой на косинус угла боко­
вой грани с плоскостью основания.
Объёмы многогранников.
=
с
= Z P D ^ M — линейный угол двугран­
=
Площ адь поверхности многогран­
ника.
= — — ортогональная проек71
ция бокового ребра на плоскость осно­
вания;
е )A ^ M = B iM = C iM = D i M = l a —
82. Объём прямоугольного парал­
лелепипеда равен произведению трёх
его измерений.
83. Объём наклонной призмы равен
произведению площади перпендику­
лярного сечения на боковое ребро.
84. Объём призмы равен произведе­
нию площади основания на высоту.
85. Объём треугольной призмы ра­
вен половине произведения площади
боковой грани на расстояние между
этой гранью и противолежащим ей бо­
ковым ребром.
8 6 . Объём
пирамиды равен трети
произведения площади основания на
высоту.
87. Пирамиды с равными высотами
и равновеликими основаниями равно­
велики.
ортогональная проекция апофемы на
плоскость основания;
ж ) F M — общий перпендикуляр
диагонали B D основания и скрещи­
вающегося с ней бокового ребра А Р .
8 8 . Плоскость,
проходящая через
вершину пирамиды и прямую, лежа­
щую в основании, делит объём пира­
миды в том же отношении, в котором
прямая делит площадь основания.
79. Боковое ребро правильной че­
тырехугольной пирамиды перпенди­
кулярно скрещивающейся с ним диа­
гонали основания.
боковых рёбрах соответственно DA,
D B и DC треугольной пирамиды АВС£)
или на их продолжениях, то объём
89. Если точки
В^ и Су лежат на
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
пирамиды
относится
к
объёму пирамиды A B C D как произвеU Ю
Ал DUi DCi
дение отношении
^
^
^
DA
DB
DC
90. Отношение объёмов подобных
многогранников равно кубу коэффи­
циента подобия.
91. Произведение площади основа­
ния на высоту тетраэдра постоянно.
92. Объём тетраэдра равен шестой
части произведения длин двух проти­
воположных рёбер на расстояние меж­
ду ними и на синус угла между ними,
т. е. F = i abc ■sin ф.
6
93. Объём тетраэдра равен двум
третям произведения площадей двух
граней на синус угла между ними,
делённому на их общее ребро, т. е.
2 Р ■Q ■sin ф
3
а
363
Объёмы и поверхности круглых
тел.
95. Объём цилиндра равен произве­
дению площади его основания на вы­
соту.
96. Объём конуса равен трети про­
изведения площади его основания на
высоту.
97. Объём шара радиуса R равен
In R K
98. Объём шарового сегмента высо­
той h шара радиуса R равен
п к Н к -\ Н
V
3
99. Боковая поверхность цилиндра
с высотой h и радиусом основания г
равна 2nrh.
100. Боковая поверхность конуса с
образующей I и радиусом основания г
равна Tirl.
94. а) Объём тетраэдра равен трети
произведения его полной поверхности
101. Поверхность сферы радиуса R
на радиус вписанной сферы.
равна 4пЕ^.
б)
Объём многогранника, в кото­
рый можно вписать сферу, равен трети
102. Сферическая поверхность ша­
произведения полной поверхности
рового сегмента высотой h шара ради­
многогранника на радиус сферы.
уса R равна 2nRh.
ОТВЕТЫ
ПЛАНИМЕТРИЯ
Раздел 1
9 1 .1 4 0 °. 92.
1а а Л
а А+1/.С,АВ+1/.С
и т. д. 94. 30°, 100°, 50°. 95. 90°; 40°; 50° и
§ 1
90°; 40°; 50°. 96. 50°, 110°, 20°. 101.
1.
3 : 2; 2 : 5; 2 : 3. 2. 12. 3. I ; у
■ 4. 6. 5. 2.
6.
105°, 75°. 7. 45°, 135°. 8. 41°; 139°; 139°.
9.
8 и л и 2. 10. - . 11. В лю б о й точке отрезка
- Z С, 90° -I- i Z В . 102. 150°. 104. 24°. 24°,
132°. 1 0 5 .7 0 °. 1 0 7 .9 0 °. 1 0 8 .9 0 °. 1 0 9.5 0 °.
А В . 14. 4 и л и 12. 15. 2 : 1; 1 : 2; 1 : 4. 16. 4; 2.
17.
30°; 20°; 40°. 18. 3 : 7; 4 : 7. 19. У средней
и збы . 23. 2 : 7 и 5 : 7; 2 : 3 и 5 : 3. 25. 1, 3, 5
т : {т + n)un : (т + п); т : {п- т)
т)- т: {т - п) и п\{т - п).
30. A D : £)С = 2 : 3. 33. 6°; 0 ,5 °. 34. DE : ЕС =
= 3 : 5 . 35. 45°, 45°, 135°, 135°. 36. П у с т ь М
и ск ом ая точка, а) Л и б о М л е ж и т на отрезке
АВ и AM : MB = 2 : 1 , л и б о В — середина от ­
р езк а Л М ; б ) л и б о М л е ж и т на отрезке АВ и
AM : MB = 1 : 3 , ли б о А л е ж и т на отрезк е MB
и л и 7. 29.
и п : (п
-
112. 7 : 6 : 5 .
540°/7, 5 4 0 °/ 7 .154. 2 5 .1 5 5 . М ож н о. 157. Об­
ратное утверж д ен и е неверно. 160. 36°. 161. 7
и ли 9 .163. Z ВАС= 110°, Z В С А = 30°, Z DCA=
= 60°,
Л ю б а я то ч к а на отрезк е
ВС. 41. Н а л у ч е с
н ач алом в середине отрезк а А В , содерж ащ ем
5
то ч к у А . 43. 13 ч 5 —
45.
П усть
Ml
и
12
м ин, т. е. через — часа.
М2 —
то ч к и , в к отор ы х у к а ­
занное отн ош ен и е равно 2. а ) В се о тли ч н ы е от
В то ч к и м еж ду М
А DAC = 80°.
203.
2а.
206. ^ . 207. 36°, 36°, 108° и 72°,
28
72°, 36°. 208. 70°. 209. Н ет. 210. 90°. 211. 30°,
60°, 90°. 212. 4°, 88°, 88°. 213. а ) 60° < а <
< 180°; б ) 0° < а < 60°; в ) 0° < а < 90°. 214. 2.
2 1 5 .3 0 °.
2 1 7 .5 0 °.
2 2 1 .3 6 °,
36°,
108°.
222. 75°. 223. 70°. 224. 85°. 227. 54°.
j и М 2; б ) все то чк и прям ой,
а ) Да. б ) Н ет.
1 7 2 .1 3 5 °.
2 0 0 .6 0 °, 60°. 2 0 1 .4 0 °, 90°, 50°. 2 0 2 .3 6 0 °.
§3
не ле ж а щ и е на отрезк е М 1М 2. 47. В точке А .
48.
1 6 9.4 0 °.
173. 45°. 178. а) 360°; б ) 540°; в) 180° • {п - 2).
181. Z А = Z В и л и Z А -t- Z В = 120°. 183. Н ет.
186. 4. 187. 1 : 2 . 188. 36°, 36°, 108° и л и 60°,
60°, 60°. 189. Ч етвер ть окруж ности. 194. 180°.
и Л М : А В = 1 : 2. 38. 62 ,5 °. 39. 1° и л и 179°.
40.
117. 30°. 118. 2 и 6. 119. 70°,
55°, 55°. 124. 6 .1 2 5 . А В : А С = 1 : 2 .1 2 6 . 5; 4.
1 3 3 .1 . 1 3 5 .3 0 °, 60°. 136. Н ет. 1 4 3 .3 7 ,5 °.
1 4 4 .2 5 °. 1 4 5 .2 0 °. 146. Да. 1 4 7 .4 0 °. 148. а
и л и 180° - а. 150. 30° и л и 150°. 153. 180°/7,
233. 60°. 234. 120°. 235.
R.
237. 10. 238.
2R.
г.
2 3 9 .0 ,5 . 2 4 0 .8 . 2 4 1 .1 6 . 2 4 3 .1 . 2 4 4 .р -
§2
62.
10. 78. 18,5. 80. 75°, 65°, 40°. 88. 20°, 30°,
130°. 90. 105°; 180° -
^
2
; 155°; 90° -I- 1
2
245. 3, 6, 9, 6. 251. 60°, 60°, 60°. 253. 1.
254. Д - г .
2 5 6 .2 .
2 5 7 .4 .
2 5 8 .6 :5 .
259. Ц ен тр круга. 261. 8. 263. 2. 267. R, 60°.
268. 9. 269. 60. 270. 45°, 45°, 90°. 271. 30°,
30°, 120°. 272. 2 и 4. 273.
2 7 6 .4 5 °.
278. а) 90°;
R.
274. 2. 275.
6 )1 2 0 °.
2R.
2 7 9 .1 .
365
ОТВЕТЫ
283.
2{r + R).
284. 80°.
288. 125°.
291. 6.
и ли
Ь, а + Ь, Ь, а + Ь. 500.
В точке пересечения
ди а гон а лей . 506. 1 : 2. 511. 60°, 60°, 120°,
292. 60°, 60°, 60°. 293. ^ . 294. 3r. 295. 2.
О
b).
299. I (a +
120°. 512. 8. 513. — . 514. 2. 515. 4; 8. 516. 4;
301. 1. 302. 1. 303. 3 : 1, 3 : 2,
2 : 1 . 304. 60°. 308. 8 и 6. 313. 1 ; 3, считая от
то ч к и О . 315. 60°, 120°. 317. 30°. 319. 60°.
a - b + c - d+e. 327. 90° - а .
2R. 346. R - г. 347. 40°. 348. 18. 350. 2.
320. 8. 326.
339.
351. - . 352. а ) к асаю тся; б ) одна внутри дру-
Z,
Л
8; 4; 8. 518. 6. 519. 20. 520. 4. 525. Е сли
то
CD; е с ли а<Ь,ю ВС.
чен и я ди а гон а лей . 529.
~ а. 530.
2
i
о
а. 531.
60°.
358. 55°. 359. 1 : 3. 360. 120°.
369. а. 370. а. 374.
368. 4.
\{а + с-Ь), h a + b-c).
541. 5. 542. 9. 543. 6. 551. i
555. Н ет.
5 5 6 .6 .
а.
554. Верно.
90° -
ip ,
2
378. i |а -
90° -
^
iy .
2
Ь\.
379. 90° -
3 8 3 .3 6 °, 36°,
1 а.
108°.
‘
560. Н ет.
а~Ь
561.
563. 1 : 2. 567. 60°, 120°. 568. 1 : 3, считая от
Ь).
верш ины С. 5 7 1 .3 . 572. ^ (а +
576. 16. 583.
Ь\.
377. 1 |а -
12.
532. 1. 533. 2. 534. 9. 535. 15. 538. 32. 540. 5.
го й ; в) одна вне д р уго й . 353. 30°, 30°, 150°,
150°. 354. 24. 355. О к р уж н ость с диам етром
АВ без то ч ек А и В. 356. 30°, 60°. 357. 30°,
а>Ь,
528. В точке пересе­
а + Ь.
589. 2а. 590. i
4
данной.
585.
а + Ь + с.
5 7 4 .2 .
588. 2а.
а. 591. П р я м ая , п ар аллельн а я
592. 1.
5 9 3 .9 0 °.
5 9 4 .8 ;
2;
3.
599. 8 реш ений: 1) 1 и 5; 2) 4 и 5; 3 ) 3 и 7; 4) 4
386. 15— У . 387. 2. 389. Т о ч к а пересечения
и 7; 5) 3 и 8; 6) 5 и 8; 7) 5 и 7; 8 ) 2 и 7. 606. 5.
607. 6. 609.
- (Ь + d - a - c ) .
611. 45°. 614. 5;
биссектрис т р е у г о л ь н и к а А В С . 392. - (е - d +
Z,
а.
4U
3. 620. 20°. 624. 30° и л и 150°. 625. i
+
с —Ь+ а),
i ( a —e + d —с + Ь). 393. а. 395. 1 .
396. 2. 397. 60°. 398. 3 : 2 и л и 1 : 2. 402. 16.
403. 75°, 75°, 105°, 105°. 404. 36°, 36°, 108°.
411. Верно. 413. Ь+р.
§4
§5
636. Д у ги
двух
равны х
638. 100°.
639. 145°.
641. 37°30'.
642. 67°30'.
окруж ностей.
6 4 0 .7 0 °,
110°.
6 4 3 .1 0 5 °.
6 4 4 .1 .
645. 40°, 140°, 4 0 °, 140°. 646. 40°. 647. 45°.
431. 3; 9; 3; 9 .4 3 2 . 65°, 115°, 65°, 115°. 433. 4;
648. 20°.
4;
651. 100°.
8;
8.
4 3 8 .6 0 °,
434. 14.
120°.
436. 12.
4 3 9 .1 5 0 °.
437. 7;
10;
11.
442. А с. 4 4 4 .3 .
649. 110°,
652. 143°,
250°.
37°,
6 5 0 .33°20'.
143°,
37°.
653. а) Да; б ) нет. 6 5 4 .4 5 °, 90°, 135°, 90°.
ЛВС =112°, А BCD =77°, А CDA= 68°,
DAB = 103°. 656. 140°. 657. 52,5°; 82,5°;
655. Z
448. 12. 449. 25 и 10; 18,75 и 7,5. 450. 1) па­
р а лл е ло гр а м м ; 2) п а р а лле ло гр а м м ; 3) ромб;
4 ) п р я м о уго л ьн и к ; 5 ) квадрат; 6 ) п а р а л л е л о ­
гр ам м . 454. 2; 4 ; 2; 4. 456. 20°, 8 0 °, 80°.
457.
а + Ь. 461. а + Ь. 462.
56. 463. 45°. 465. а.
466. 4 ,3 0 °, 120°. 467. 3 .4 6 8 . 1 ( а - Ь ) , | (а + Ь).
Z
45°. 658. 100°. 659. 40°. 660. 60°. 661. 45° - ^ .
4
662. 80°, 10°. 663. 91°. 664. 108°, 85° и ли 45°.
МАВ = А NAC = 40° и ли
АМАВ = ^NAC = 140°. 6 6 8 .5 0 °, 130°.
666. 154°. 667. Z
669. 105°, 115°, 140°. 670. 105°, 35°. 671. П о ­
469. 40°; 140°; 40°; 140°; 5; 5; 5; 5. 470. 25.
п олам ;
471. 3; 2; 3. 472. 14; 8 .4 7 4 . 1 4 .4 7 5 . а. 477. 2а.
673. а) 40°, 6 )3 6 ° . 6 7 4 .9 0 °,
478. 4. 479. 18. 480. 16. 481. 3; 5; 3; 5; 90°;
675. 18°. 676. 35° и л и 55°. 679. 40°. 680. 40°,
90°; 90°; 90°. 4 8 3 .1 2 и 4. 484. 5. 486. 1 (а -НЬ).
40°, 100°. 681. 78°45'. 682. 144°. 684. 50°, 60°,
492. - . 493. 10. 494. 1. 497.
5
а, а + Ь, а, а + Ь
на
три
равные
части.
90°,
6 7 2 .7 °.
90° -
а.
70°. 688. 72°. 690. Вне. 692. 90°, 45°, 45°.
696.
.
2
697.
.
698.
P+Y-«
2
366
6 9 9
ОТВЕТЫ
180°
m°
gp o
g jo
^
^
^
885.
3 ,5.
. 886. R(j2
rv
2
~ 1).
887. 80. 888. 20.
705. H a ди а гон а ли A C . 708. l e e » , 105°.
889.
7 1 2 .1 .
7 1 6 .9 0 °.
717. ?
^ ++ a.
718. 5
2
892.
722. 80°. 723. 90°. 727.
— . 730.
60°. 732. 50°.
2n + 1.
| 9^^ 9. 9 ^
735. u M A : u A B
~ .
775. 45°.
7 8 3 .1 8 0 ° 8 0 4 .9 0 °,
777.
„,R
904.
763. 50°.
II
2
2 a. 790. 60° и л и 30°. 800. 58°.
60°,
30°.
805. Н ет.
11. 899.5.
901. 3 Js . 902. 6 .9 0 3 . ^ sin a.
.
- Ja^ + 6ab + b^ .
R
9 0 7 .9 .
„,R
. 778.
a -P
8 9 7 .2 5 и ли
8
„nr, 2 J 4 - c o s 2 a
765. Д и ам етр ок р уж н ости . 767. —2^—------- — .
cos a
773. 45°.
m; mJS-
Js .
= (1 - n ) : ( 3 n + 1). 738. 30°, 40°, 110°. 749.
756. 52°. 757. a ) 1; 6) 1. 761.
2a. 891. 2m;
2R sin a cos a = R sin 2a. 893. 4 Js , 2 Jl9 .
8 9 4 .1 0 . 896. a 7 3 .
Л
734. u M C : u C B
R sin
• 890.
a.
2
a* + 4h^
9 0 9 .^ .
8
910. -
T —
8й
6rjs
906.
. 9 1 1 .3 9 ,
.
9.
912. 65. 913. 20. 914. 13,44. 915. J K * + Зг^ .
916.
\
+ b^
2
808. 17.
816. 90°, 30°, 60°. 820. 45°. 821. 60°. 827. 75°.
905. 2.
919.
.
9 1 7 .1 ,4 .
BN < CL.
91S. BL>BG.
920. — . 921. a sin a cos^
5
a,
831. 1 ,Ь + 1.
a cos a
sin^ a . 9 2 2 . ---- —
§6
8 3 7 .3 7 .
841.
8 3 8 .1 2 .
sin a
2 C -1
8 3 9 .7 7 .
8 4 0 .6 1 .
924.
12.
: a c tg a . 842. 13. 843. 24. 844. 12.
929. 10.
8 4 5 .3 ; 4.
8 4 6 .2 4 .
8 4 7 .2 ^ .
849. 8 7 2 . 850. 6. 851.
с cos a
. 853. 21. 854. 6.
sin a = i с sin 2a. 857. ^
2
858. 7 a ( a +
860. 40.
b) , Jb(a + b) .
8 6 1 .3 6 ;
54.
930. 14.
i
859. 1 (a^ -
4
> 2. 866. 3 7 3 0 .8 6 7 .
J3.
9 3 5 .9 ,
938. ^
~ .
8
873.
ЗШ .
870.
b^).
864. 50.
872.
4
.
~ .
д и к у л я р из верш ины туп ого у г л а трапеции на | 9 5 1 .---- .952.
2cos|
ее б о льш ее основание. 877. 18 и 98. 878. 29.
879.
п
/^т- п
;
т
!^т- п
881. 7 7 .8 8 2 . я 7 5 , Rj2
. 8 8 0 .1 5 ;
15; 30; 30.
. 883. ^
. 884. 20
2
3
Jl5 + 6j3 ■ 944.
4
.
946. 2a,
д р у ги х его сторон, то т р е у го л ь н и к прямо-
Ла(а + Ь)
3
9 3 7 .4 0 .
тр е у го л ьн и к а равен сум м е квадратов двух
9 /7ч
/Тп Й-7А г; о /Га г»
2 л/13 ; л/10 . 876. 5; 2 л/13 • О пустите перпен-
6
9 3 6 .4 2 ,5 .
948. Е с ли квадрат стороны
О
у го л ь н ы й . 949.
__________
2
| 7 l + 3 cos^a ,
Л , 2(3 + J3), 3 + 3j3 -
10.
. 875. 3 7 2 :
2
. 874.
.
25.
942. 8, 25, 15. 943.
JIrR . 868.
871. 2
Ja^ + 3b^ .
. 939. 15. 940. 38, 22. 941. 39, 26.
2a 77 . 947.
869.
931. - ,
928.
71 + 3 sin ^ a . 932. 12; 20. 933. 7, 25, 24.
945. 3 +
865.
927. 5.
.
73
863.
926. ^ .
5
8 4 8 .8 .
9 3 4 .6 ,8 .
855. 7,5.856.
. 923. 5 7 2 , 12 72 .
953.7;
J2b{a + b) , J2{a + Ь){2а + Ь)
_________________
,
J2{a + b)(2b + а) .
J2a(a + Ь)
25. 954.97В
957_
и ли
J2b(a + Ь).
и 8710.
9 5 3
(а 2 + Ь 2 + аЬ)2
^
950. 6.
955.672.
959
20- 4 ^
V
3
367
ОТВЕТЫ
9 6 0 .2 7 6 .
9 6 1 .8 ,
962. V a b .
965_8Л^_
R
964.
15.
V2 + 1 '
”
9 6 7 .Л Т З (2
-
■
7 3 ).
5
9
9 6 3 .— ,
4
1028. 2 7 5 . 1029. 30°. 1030. ^
. 1031. 11 ; 1.
g6 _a^ + 4r2
■
1032. a 7 7 5 - 2 .
4r
9 6 8 .9 , 4. 9 6 9 .4 8 , 30.
1034.
1 0 3 3 .^ ;
dJm^ + 1 ; mdJm^ + 1 .
.
1035. ^
J^r.
974.
975. | . 9 7 6 .9 , 12, 15. 9 7 7 .6 0 .
О
978. 5, 12, 13.
1 0 4 3 . 2 4 ,2 1 ,2 5 ,2 8 .
27 з + 1
=
11
- 1 ).
982.
7з + 1
=
2R sin
984. i? sin a ,
2 a.
основание.
ab .
,________
992.
7
^2
7
с7 Г Г Р
999.
2m^
74m^ -
1000.
1003.
993. 73 .
.
7 4
-
. 1051. 2(a2 +
« 2
1 0 0 4 .6 .
1052. 7 8 4 8 + 1 6 7 ^ ,
7 4
-
« 2
1 0 0 5 .4i?2,
8i?2
- - 1 ) . 1007.
va
J
2jrR . 1008. 3 7 2
1056.
^2-Л =
.
J2mn - n, n + m 1059. ^
^
-
72^
1062. Z В АС. 1063. a
73
1017. 14.
1020.
a 7 2 (l± s in a )
cos a
7 fl2 - Ь2
3 'I
- I j; а(2 7 з - 3).
12,5;
1067. 2; 15; 3; 10.
ab ; M + ab . 1069.
29,4;
16,9
1072.
cm .
1075.
7l 7
2i?(2 + 72 ).
1077.
1021.
35. 1070. 14;
25
.
1 0 73.1.
2Rj2 , 2Rj2 , 2RJ2 ,
2|cos PI •
7 ■
г
b+ m+ mn ^I Jn
Jm n
} -n J
1
1018. arcsin
2 sin a
. 1058. 7 4 * 2 -/2
1066. 7a2 - Ь2 .
cos a ). 1014. 73 . 1015. 2
7
1024.
.
J2mn - m,
■1061.
1079. 3 ,1 2 , 8 , 8 .1 0 8 0 .
JQ22
1055.
1057.
. 1060.
1074.
^ . 1010. 5 .1 0 1 1 .4 75 .1012.
1 + sin ?
1019. 2,4.
R^).
1002. 2 7 б
1 - sin 5
1016. 10.
.
3
7308±167Ш .
1054. 1 a tg3 I .
1068. 7a2 +
1013. 1 a (t g I
(r^ + R^Y
3
2mn
1001. 2 710 .
90°.
mn
998.
2m^
« 2
9 9 5 .1 2
7145
1009.
1049. — . 1050.
1053. 7.
- 1). 991. —
5
994. 4c.
kc 7 Г Г Р
;
24
1006. arcsin
- 9 .1 0 4 8 .
7 2
^
997.
- 1), 7 2 ( 7 3
1046. 7a2 - (i? + r)2 ,
J l,
986. — . 987. —
. 988. 4 ^ 5 , 8 ^ 5 . 989.
5
2V3
2 V 7 . 9 9 0 .2 (7 3
1 0 44.8.
J a ^ - ( R - r f . 1047. 2 7 ^
4 Л sin a cos a =
985. М ен ьш ее
lO i?
,
— ^
‘ . 983. A (c tg Р + c tg y ) sin Р, Л (c tg Р +
273 + 1
+ c tg y ) sin Y-
.
980. 8.
1045. ----- — ------ .
981. -
3
1036. 3: 4; 5. 1037. 16. 1040. 60. 1042.
4i?, 2Л.
~ J2).
979. | ( 7 б
^
3
970. 175, 600. 971. 25. 972. 1. 973. 27, 64.
IO
1081.
196
1082.
2r
1083.
12
2-
2
{
Sin a
1084. tg2 “
4U
1023. Вне
1025.(76 - 7 2 )a.
5 7 3
1085. ? .
3
Jr^
+ ar sin a
------------------
1086.
.
-
1087.
a cos^ -a - r
2 sin a
.
368
ОТВЕТЫ
1090. — ------- %
------------- .
2 sm а (1 + cos а )
1088. 73 .
1091.
2 (Л
1092. a(cos
- 1), 7 2 ( 7 з
и±
- ,
1153. 3 : 4 : 5 . 1154.
|а - Ь| cos - ,
,2 + Л .
1094 . ' ^ 7 ' ^
1096. 23.
R+r
- 1).
sin а cos (а + Р )).
1093. |а - Ь| sin
sin 2 - sin 1151. 2 arcsin ----- ----------1 1 5 2 . .
2
Ь\.
|а-
1 0 0 -4 8 7 3
1095.
1097. — .
4
90°.
+
1098. — .
8
1 1 5 7 .^ .
i 10 +6
7
1155. 1. 1156. 30°,
5
1 1 5 8 .6 .
0
+
6
—.
1 1 6 0 .(5 7 2
)= (У5 + V2)(3 + -^j
6j2
0 7 2
+
1161.
1162.
XX
2
1099. 2 arcsin
^ .
Л09
1100. 2 arcsin
.
. 1164.
1163.
7 ^
2
1101. a rc tg f ,a rc ctg - . 1102. — . 1103.
4
4
5
Л -1104.
= QR = PR =
.
j
73 ^
1110. sin
2a
jjp g
О
4^2
;
1109.
RЛ
;
R.
1166. a) — g j < - < _ p !— ;
4 (p + l )
Д
2 (p + l )
7 4 (р + 1 )Д г - р 2 Д 2
p + 1
1167.
120°, 30°, 30°.
^
PQ =
. 1105.
5473
- (4 7 2 - 5). 1165.
0 0 . 2
6)BC=
1106. 1 : 3 .1 1 0 7 . ^/g.6
+
12
. 1168.
7
~
23
. 1170. Щ.(ЬЛ±
2
± 4 7 3 ) . 1173. i ( 7 ± 2 7 6 ) . 1174. Z A = ^ ,
D
1111. a cos a .
1112. ^ .
1 1 1 4 .2 7 2 . 1115. a) ? и | ; б ) | : в ) ?
1116.
~
.
О
1 1 1 3 .6 + 2 7 2
и A
Z C = ^ . 1175.
12
. 1177. 4 5 .117&
2/1
,
2
1 1 1 7 . 8 ^ . 1 1 18 .4 : 5. 1 119.3 : 5
7 l7
a
1120. 6. 1121.
J4p^-q^ . 1122. 5,
20, ^
r
c t g - a r
2 + cos a ’
2
c
t
g
«
2 + cos a
^
§7
JJ23 Д sin ( g + P ) g cos ( a + P)
■ cos ( 2 a + P ) ’ cos ( 2a + P ) '
1124.
Rr
(JR + J r f
1126. 4 = • 1127.
Л
1125.
72
1 1 3 0 .1 7 ; внутри.
1134.
1137. 77 .
1 1 4 0 .8 .
Л
Л
^
Л'
75’
Л
В. 1187. ВК < АС.
1133. 7 "i^ +
1 1 3 5 .3 0 °.
1138. 4.
1141.
.
2,4.
1191. 15; 20.
1 1 9 6 .1 0 ,1 4 .1 1 9 7 . а ) — ; б ) —
5
5
. 1198.
— .
7 1
з
1 1 3 6 .4 5 °.
1139. 7r2 + ( p - a ) 2 .
1 1 4 2 .4 5 °,
lR^ + b^-2Rbcos-.
2 a]
1 1 8 9 .3 ;
В.
1192. I I . 1193. 8. 1194. 50. 1 1 9 5 .1 6 , 20, 20.
135°.
1199. а(2
2
-
Л).
1201 .
— . 1203. Л я ■1204.
. 1205.10;
Ь+с
a+h
18.
1206. 12.
1207.
1 1 4 7 .3 0 °,
60°. 1148. 4 : 7 l 3 . 1149. 84 + 5 7 3 4 . 1150. 7.
'.
1200.
1202.
8 7 оБ
1143. cos ^
1 1 8 8 .1 .
1190. 2 : 1, считая от то ч к и
. 1128. 5/8. 1129. 7 7 2 1 .
1 1 3 2 .8 .
j4R^-n^.
1181. 3 0 0 .1 1 8 2 . 4 .1 1 8 4 . 4; 8; 12; 1 6 .1 1 8 5 . 4;
8; 12; 16; 20; 24. 1186. 1 : 2, считая от точки
1209. 5
6
+
,
а+ Ь
.
5 7т2 +
4
1208,
.
а + 2с
1210. 4.
869
ОТВЕТЫ
1211.
, ЗТВ . 1212 .1 0 , 26. 1213.
3
1214. 42. 1215.
а+ Ь
1 2 2 2 .3 .
1 2 2 4 .2 4 .
1240. 12,4.
CD.
(а-г)^
1 2 27 .1 2
. 1232. — ,
ш+1
—
7
7
1238. 1 ; 2. 1239. 42; 56
1241. ^
9
1304.
1 3 0 8 .5 .
. 1242. ^ . 1243. 30°
7
1245. ^ .
1247. 6.
5
2.
1250.
.
25
12
4
40°,
80°.
28
3
1312.
± . 1314. arctg (2п + 1). 1315. 2аЬ
1317.
. 1318