Download ידמימ דחה שיבגב : P

‫‪ .1‬נתבונן בפוטנציאל של אטום כלשהו הנמצא בנקודה ‪ P‬בגביש החד מימדי‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪P‬‬
‫‪+q -q‬‬
‫‪+q -q‬‬
‫‪+q -q‬‬
‫‪+q -q‬‬
‫כל אטום נמצא במרחק שהוא מספר שלם כפול ‪ , b‬על כן הפוטנציאל בנקודה‬
‫‪ P‬יהיה סכום הפוטנציאלים של האטומים‪:‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪kQ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪q ( −1‬‬
‫∑‪= 2‬‬
‫‪n =1 R‬‬
‫‪n =1 n ⋅ b‬‬
‫∑‪V = 2‬‬
‫המכפלה ב‪ 2-‬באה כי הסכום )מ‪ 1-‬עד אינסוף( מתאר את הפוטנציאל‬
‫מהאטומים בצידה האחד של נקודה ‪ . P‬נרשום את הסכום המפורש‪:‬‬
‫∞‬
‫‪k‬‬
‫⎛ ‪2kq‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪2kq ⎛ 1 1 1‬‬
‫‪n‬‬
‫⎞‬
‫⎞‬
‫= )‪q ( −1‬‬
‫‪⎜ −1 + − + − K ⎟ = −‬‬
‫⎟ ‪⎜1 − + − + K‬‬
‫⎝ ‪b‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫‪b ⎝ 2 3 4‬‬
‫⎠‬
‫⎠‬
‫‪n =1 n ⋅ b‬‬
‫∑‪2‬‬
‫נשתמש בטור טיילור של ‪: ln‬‬
‫‪x3 x4‬‬
‫‪− ....‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . ln(1 + x) = x − x‬מכאן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1 − + − .... = ln(1 + x) = 1 − + − .... = ln 2‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫‪x =1‬‬
‫הפוטנציאל‪ ,‬אם כן‬
‫‪kq‬‬
‫‪b‬‬
‫‪V = − ln 2‬‬
‫‪2‬‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית ‪ . U = qV = − ln 2 kq -‬קבלנו אנרגיה שלילית – וזה מה‬
‫‪b‬‬
‫שגורם לגביש לשמור על מבנהו )יש רווח אנרגטי!(‪ .‬ה‪ , ln2 -‬שהוא המקדם של‬
‫הפוטנציאל נקרא ‪) form factor‬או קבוע מדולונג( והוא פונקציה של מבנה‬
‫הגביש‪) FCC ,BCC -‬או סוג החומר הקרמי(‪.‬‬
‫‪ .4‬א( נמצא את הפוטנציאל מתוך העובדה שהשדה לא משתנה‪:‬‬
‫הקיבול יהיה‬
‫ב(‬
‫‪1V = V0 = Ed ⇒ V = E 2d = 2V0 = 2V‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C = ε0‬‬
‫‪= 2.76 pF‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪U 0 = C0V02 = 5.53 ×10−12 J‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪U = CV 2 = 1.1× 10−11 J‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ W = ΔU = 5.53 ×10−12 J‬ג(‬
‫העבודה היא חיובית‪ ,‬כלומר צריך להשקיע אנרגיה חיצונית‪.‬‬
‫נתייחס לנגד הגלילי כאל אוסף נגדים ברוחב אינפיטיסימלי‪ ,‬המחוברים בינהם במקביל‪ .‬כל נגד‬
‫איפיטיסימלי יהיה "פרוסה" מן הגליל‪ ,‬כלומר קליפה גלילית‪ ,‬אשר במבט מלמעלה תיראה כטבעת‪.‬‬
‫א( נסכום את כל הקליפות במקביל‪ ,‬על פי‬
‫‪1‬‬
‫‪RTotal‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫= ∑ ‪ .‬אורך כל נגד יהיה ‪ , 2π r‬כאשר ‪ r‬הוא רדיוס‬
‫כל "פרוסה"‪ ,‬ועוביו יהיה ‪) dr‬כך ששטח החתך יהיה ‪.( h ⋅ dr‬‬
‫לכל נגד‪:‬‬
‫‪ρ 2π r‬‬
‫‪h ⋅ dr‬‬
‫= ‪) dR‬לפי‬
‫‪ρl‬‬
‫‪A‬‬
‫מבט מלמעלה‬
‫= ‪.( R‬‬
‫כעת נסכום על הנגדים‪:‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫=‬
‫) ( ‪ln‬‬
‫= ‪[ln(r )]R1‬‬
‫‪r ρ 2π‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ρ 2π‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪hdr‬‬
‫‪R2‬‬
‫∫ ‪∫ ρ 2π r = ρ 2π‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪ρ 2π‬‬
‫‪R2‬‬
‫)‬
‫‪R1‬‬
‫(‪h ⋅ ln‬‬
‫=‬
‫‪R1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪RTotal‬‬
‫= ‪RTotal‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫ב( על ידי החיבור המתואר בשרטוט נוצר למעשה חיבור של שני נגדים במקביל )זאת מכיוון ששני‬
‫ה"נגדים" חולקים שני הדקים )"רגליים" משותפות(‪ ,‬כלומר נופל עליהם אותו מתח‪ .‬על פי השרטוט‬
‫אורכו של הנגד הקטן ) ‪ ( R1‬הוא רבע מההיקף‪ ,‬ואורכו של הנגד הגדול ) ‪ ( R2‬הוא שלושת רבעי ההיקף‪.‬‬
‫מכאן הנגד השקול יתקבל ע"י‪:‬‬
‫‪RTotal 3RTotal‬‬
‫⋅‬
‫‪3R 2 3R‬‬
‫‪R1 ⋅ R2‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪Req = R1 || R2‬‬
‫‪= 4‬‬
‫‪= Total = Total‬‬
‫‪R1 + R2 RTotal 3RTotal 16 RTotal‬‬
‫‪16‬‬
‫‪+‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫כאשר ‪ RTotal‬הוא הנגד השקול שחושב בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪R2‬‬
‫)‬
‫ועל פי חוק אוהם‪R1 :‬‬
‫(‪8hV ln‬‬
‫‪3πρ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪16V‬‬
‫= =‪I‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪R Req 3RTotal‬‬
‫‪dr‬‬
‫א( הכוח המגנטי שמניע את הרכבת הוא הכוח שפועל על הציר שמחבר בין הגלגלים ‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪F = iL × B‬‬
‫אם הזרם זורם בציר בכיוון היוצא מהדף ‪ ,‬על פי חוק יד ימין הכוח שמופעל על הציר הוא‬
‫בכיוון ̂‪ . − y‬אם לא אוהבים את החוק עם היד‪ ,‬ניתן לחשב את המכפלה הוקטורית ‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪F = iL( xˆ ) × Bzˆ = iLB (1,0,0) × (0,0,1) = iLB (− yˆ ) ⇒ F = iLB‬‬
‫מכאן ניתן לבודד את זרם הדרוש ‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪10.000 N‬‬
‫=‬
‫‪= 3.33 × 10 8 A‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪LB 3m ⋅ 10 × 10 T‬‬
‫=‪i‬‬
‫ב(‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪P = i 2 R = 3.33 × 10 8 A × 1Ω = 1.11 × 1017 Watt‬‬
‫ג ( ההספק שחישבנו בסעיף ב הוא האנרגיה שמתבזבזת על ההתנגדות של פסי הרכבת לכל ‪1Ω‬‬
‫לכל שנייה ‪ .‬אם האנרגיה הזאת תהפוך לחום ‪ ,‬אין חומר שיוכל להחזיק מעמד ‪ .‬לכן נכון להיום‬
‫הפרויקט הוא לגמרי לא מציאותי‪ ,‬אבל מי יודע ‪...‬‬
Energy of a disc and a rod
Submitted by: I.D. 040439358
The problem:
A disc of a radius R is charged uniformly with charge density σ. A rod of a length b is charged
uniformly with charge density λ. The rod is perpendicular to the disc (which is in the x − y plane)
and positioned on the axis of symmetry of the disc. The center of the rod is at z > 2b .
1. Calculate, from the direct integration of the field, the force between the objects.
2. What is the flux from the rod that is passing through the disc?
3. Find the mutual energy of the two objects and derive from it the expression for the force.
The solution:
1. The force between the objects
Let ~r1 , ~r2 be the positions of charge elements on the disc and the rod, respectively.
~r1 = (r cos θ, r sin θ, 0)
(1)
~r2 = (0, 0, z)
(2)
~r = ~r2 − ~r1 = (−r cos θ, −r sin θ, z)
(3)
Because of the symmetry of the problem the force is in the z direction only. The electric field due
to the charge element dq on the disc is
dq z
r3
dq = σdA = σrdrdθ
dEz = k
(4)
(5)
The electric field of the disc is
Z R Z 2π
Z R
Z 2π
rdr
kσrdrdθz
Ez =
= kσz
dθ
3
3
0
0
0 (r 2 + z 2 ) 2 0
((r cos θ)2 + (r sin θ)2 + z 2 ) 2 )
Z R
rdr
z
√
= 2πkσz
=
2πkσ
1
−
3
R2 + z 2
0 (r 2 + z 2 ) 2
(6)
(7)
The force acting on the rod is
F~ =
Z
z+ 2b
z− 2b

Ez ẑλdz = 2πkσλ b +
s
b
R2 + z −
2
s
2
−
b
R2 + z +
2
2

 ẑ
(8)
The force acting on the disc is the same but in the opposite direction.
2. What is the flux from the rod that is passing through the disc?
The force acting on the disc is
Z
Z
~
~
F = Eσda = σ Ez da
The requested flux is
Z
Φ = Ez da
(9)
(10)
1
Then

Φ=
F
= 2πkλ b +
σ
s
R2 + z −
b
2
s
2
−
R2 + z +
b
2
2


(11)
3. The mutual energy of the two objects
The potential due to the disc on the z-axis is (z > 0)
p
φ(z) = 2πkσ( R2 + z 2 − z)
(12)
The mutual energy of the disc and the rod is
Z z+ b
Z z+ b
p
2
2
0
0
U =λ
φ(z )dz = 2πkσλ
dz 0 ( R2 + z 02 − z 0 )
(13)
z− 2b
z− 2b
But writing in a different way
Z z+ b
2
U=
dz 0 f (z 0 )
(14)
z− 2b
Then
dU
b
b
= f (z 0 = z − ) − f (z 0 = z + )
dz 
2
2

s
2 s
2
b
b

= 2πkσλ b + R2 + z −
− R2 + z +
2
2
Fz = −
2
(15)
(16)
Electric dipole
Submitted by: I.D. 306137555
The problem:
1. Find the dipole moment of the following system: a rod of length l is uniformly charged with the
charge q, and a point charge −q at the distance r0 perpendicular to the end of the rod.
2. Find the potential for r l.
The solution:
1. The charge density on the rod is λ = ql .
The electric dipole is defined as
Z
p~ = ~rdq
(1)
Since the total charge of the system is zero, the dipole does not depend on the choice of the origin.
Let us set the coordinates with the rod on the y-axis from (0, 0) to (0, l) and the point charge on the
x-axis at the distance r0 from origin, therefore: ~r = (−r0 , y). Substituting ~r and dq to the integral
gives:
Z
Z l
p~ =
(−r0 , y)dq =
(−r0 , y)λdy = λ(−r0 l, l2 /2) = λl(−r0 , l/2)
(2)
0
and remembering that q = λl we get:
l
p~ = q(−r0 , l/2) = q −r0 x̂ + ŷ
2
(3)
2. Let ~r = xx̂ + y ŷ be the point at which we measure the potential. Then the electric potential of
the dipole at r r0 (to the second order) is
φ=k
p~ · ~r
−r0 x + ly/2
= kq 2
|~r|3
(x + y 2 )3/2
(4)
The direct way to calculate the above result is to find the potential at some point due to the rod
and the point charge and expand it up to the second order in r0 /r.
1
Electric dipole and capacitors
Submitted by: I.D. 039409040
The problem:
An infinite wire is placed on the z-axis and is homogeneously charged with charge linear density of
λ. An electric dipole p~ = pb
y is positioned at (x, 0, 0).
1. What is the torque acting on the dipole?
2. What is the energy of the dipole in the field of the wire?
3. What is the energy of the wire in the field of the dipole?
4. Find the force acting on the dipole.
The solution:
~ = p~ × E
~
1. We know that the torque acting on a dipole is: N
2kλ
2λ
2λ
= k 2 ~r = k 2
(xx̂ + y ŷ)
r
r
x + y2
p~ = pŷ
~ = p~ × E
~ = −k 2λ pxẑ
N
x2 + y 2
~ =
E
(1)
(2)
(3)
We can find the torgue at y = 0:
~ (y = 0) = − 2kpλ ẑ
N
x
(4)
2. The energy of the dipole in the field of the wire
U
~ = −pEy = −k
= −~
p·E
2λ
py
x2 + y 2
(5)
(6)
3. The energy of the wire in the field of the dipole is equal to the energy of the dipole in the field
of the wire.
~
4. We can derive the force from the energy by: F~ = −∇U
∂U
2x
F~x = −
= 2kλpy 2
∂x
(x + y 2 )2
(7)
F~x (y = 0) = 0
(8)
x2
y2
∂U
−
F~y = −
= −2kλp 2
∂y
(x + y 2 )2
−2kλp
F~y (y = 0) =
x2
(9)
(10)
~ = ~r × F~ .
And finally we can check ourselves by verifying that N
1
Lorenz Force
Submitted by: I.D. 303464531
The problem:
Proton with a velocity vx̂ comes in between two parallel metal plates positioned perpendicular to
the z axis. The distance between the plates is d. The upper plate is grounded and the lower one is
connected to a potential V .
~ that as a result of the presence of the two fields B
~ and E,
~
1. Can we find a magnetic field B,
~
the proton will continue its motion in a straight line? If so, find B.
2. Explain schematically what would happen if an electron with the same momentum would
enter between those conductor plates, while the field you have found is activated?
The solution:
1. The electric force is in the ẑ direction, so in order to cancel it, the magnetic field should be in
~ × B).
~ From the condition F~b = F~e ,we get
−ŷ direction (the Lorenz Force V
qV By = qEz
(1)
* We do not want forces in ŷ direction, so Bz has to be equal zero. Bx can get any value, since the
magnetic field in the direction of the motion makes no contribution to the force acting on q, hence
we can choose it zero.
Ez
~
B = 0,
,0
(2)
V
2. An electron’s mass is 1840 times smaller that one of a proton, so it’s velocity would be that much
bigger, so the magnetic force will be bigger and the electron will deviate in ẑ direction.
Because of the opposite charge of the electron, the electric field will act in −ẑ direction, so the
magnetic field was taken in −ŷ direction.
1