Download ( ) ∑ ∫

‫‪ .1‬עבור כל תחום נבנה מעטפת גאוסית בעלת רדיוס ‪: r‬‬
‫בתוך הקליפה הפנימית‪: r < R1 ,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫חוק גאוס‪:‬‬
‫‪∫ E ⋅ ds = 4πk ∑ Q‬‬
‫במקרה זה‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪∫ E ⋅ ds = ∫ Eds = E ∫ ds = E (4πr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E=0‬‬
‫מאחר והקפנו ‪ 0‬מטען נקבל‪:‬‬
‫‪⇒ E 4πr 2 = 4πkQ1‬‬
‫בין הקליפות‪: R1 < r < R2 ,‬‬
‫‪KQ1‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪r2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫⇒ ‪E 4πr 2 = 0‬‬
‫‪∑Q = Q‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪KQ1‬‬
‫‪R12‬‬
‫=‪E‬‬
‫) ‪K (Q1 + Q2‬‬
‫‪R22‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R2‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪R1‬‬
‫מחוץ לקליפות‪: R2 < r ,‬‬
‫) ‪K (Q1 + Q2‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪r2‬‬
‫) ‪+ Q2 ⇒ E 4πr 2 = 4πk (Q1 + Q2‬‬
‫‪∑Q = Q‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪E‬‬
‫כעת נחשב את האנרגיה הדרושה על מנת להעביר אלקטרון מהקליפה הגדולה לאינסוף‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫∞‬
‫‪ - W = ∫ F ⋅ dr‬כאשר ‪ F‬הוא הכוח שצריך להפעיל על מנת להתגבר על כוח המשיכה בין‬
‫‪R2‬‬
‫האלקטרון והקליפות‪:‬‬
‫) ‪K (Q1 + Q2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪r2‬‬
‫= ‪F = Ee‬‬
‫נציב בנוסחת העבודה ונקבל‪:‬‬
‫‪K (Q1 + Q2 ) e‬‬
‫‪R2‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫⎤‪⎡ 1‬‬
‫= ⎥ ‪W = K (Q1 + Q2 ) e ∫ 2 dr = K (Q1 + Q2 ) e ⎢−‬‬
‫‪r‬‬
‫‪⎣ r ⎦ R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫* העבודה חיובית כלומר צריך להשקיע אנרגיה‪.‬‬
‫כדי למצוא את הצפיפות המתאימה‪,‬נדרוש שהשדה החשמלי יהיה קבוע‪.‬‬
‫שדה חשמלי בתוך כדור מלא תלוי רק בכמות המטען ‪ , Q‬הנמצא ברדיוס ‪ R‬שהוא קטן מהרדיוס המקורי‬
‫של הכדור )‪.(r‬‬
‫ולכן נכון לכתוב כי‪E = kQ / R 2 :‬‬
‫כאשר ‪ R‬הוא המרחק ממרכז הכדור של הנקודה בה אנו בודקים את השדה‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫בהתאם לכך‪Q = ∫ 4πr 2 ρ (r )dr ,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫ואנחנו התבקשנו להראות מצב בו מתקיים ‪:‬‬
‫‪E = (k / R 2 ) ∫ 4πr 2 ρ (r )dr = CONST‬‬
‫‪0‬‬
‫כלומר‪ ,‬ש‪ E-‬לא יהיה פונקציה של ‪.R‬‬
‫‪R‬‬
‫כעת‪ ,‬נדרוש תנאי חדש‪:‬‬
‫‪Q = ∫ 4πr 2 ρ (r )dr =C 1 R 2‬‬
‫כאשר ‪ C 1‬קבוע‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫מכיוון שרוצים שהתלות ב‪ R-‬בביטוי עבור השדה החשמלי ‪ E‬תצטמצם‪ ,‬נדרוש מ‪ ρ (r ) -‬לקיים‪:‬‬
‫‪ ρ (r ) = C 2 / r‬כאשר ‪ C2‬קבוע‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬נבצע בדיקה‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪E = (k / R 2 ) ∫ 4πr 2 ρ (r )dr = (k / R 2 ) ∫ 4πr 2 (C 2 / r )dr = (4πkC 2 / R 2 ) * (r 2 / 2) | = 2πkC 2 = Const‬‬
‫‪0‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
Energy of a disc and a rod
Submitted by: I.D. 040439358
The problem:
A disc of a radius R is charged uniformly with charge density σ. A rod of a length b is charged
uniformly with charge density λ. The rod is perpendicular to the disc (which is in the x − y plane)
and positioned on the axis of symmetry of the disc. The center of the rod is at z > 2b .
1. Calculate, from the direct integration of the field, the force between the objects.
2. What is the flux from the rod that is passing through the disc?
3. Find the mutual energy of the two objects and derive from it the expression for the force.
The solution:
1. The force between the objects
Let ~r1 , ~r2 be the positions of charge elements on the disc and the rod, respectively.
~r1 = (r cos θ, r sin θ, 0)
(1)
~r2 = (0, 0, z)
(2)
~r = ~r2 − ~r1 = (−r cos θ, −r sin θ, z)
(3)
Because of the symmetry of the problem the force is in the z direction only. The electric field due
to the charge element dq on the disc is
dq z
r3
dq = σdA = σrdrdθ
dEz = k
(4)
(5)
The electric field of the disc is
Z R Z 2π
Z R
Z 2π
rdr
kσrdrdθz
Ez =
= kσz
dθ
3
3
0
0
0 (r 2 + z 2 ) 2 0
((r cos θ)2 + (r sin θ)2 + z 2 ) 2 )
Z R
rdr
z
√
= 2πkσz
=
2πkσ
1
−
3
R2 + z 2
0 (r 2 + z 2 ) 2
(6)
(7)
The force acting on the rod is
F~ =
Z
z+ 2b
z− 2b

Ez ẑλdz = 2πkσλ b +
s
b
R2 + z −
2
s
2
−
b
R2 + z +
2
2

 ẑ
(8)
The force acting on the disc is the same but in the opposite direction.
2. What is the flux from the rod that is passing through the disc?
The force acting on the disc is
Z
Z
~
~
F = Eσda = σ Ez da
The requested flux is
Z
Φ = Ez da
(9)
(10)
1
Then

Φ=
F
= 2πkλ b +
σ
s
R2 + z −
b
2
s
2
−
R2 + z +
b
2
2


(11)
3. The mutual energy of the two objects
The potential due to the disc on the z-axis is (z > 0)
p
φ(z) = 2πkσ( R2 + z 2 − z)
(12)
The mutual energy of the disc and the rod is
Z z+ b
Z z+ b
p
2
2
0
0
U =λ
φ(z )dz = 2πkσλ
dz 0 ( R2 + z 02 − z 0 )
(13)
z− 2b
z− 2b
But writing in a different way
Z z+ b
2
U=
dz 0 f (z 0 )
(14)
z− 2b
Then
dU
b
b
= f (z 0 = z − ) − f (z 0 = z + )
dz 
2
2

s
2 s
2
b
b

= 2πkσλ b + R2 + z −
− R2 + z +
2
2
Fz = −
2
(15)
(16)
Energy of a disc and a rod
Submitted by: I.D. 040439358
The problem:
A disc of a radius R is charged uniformly with charge density σ. A rod of a length b is charged
uniformly with charge density λ. The rod is perpendicular to the disc (which is in the x − y plane)
and positioned on the axis of symmetry of the disc. The center of the rod is at z > 2b .
1. Calculate, from the direct integration of the field, the force between the objects.
The solution:
1. The force between the objects
Let ~r1 , ~r2 be the positions of charge elements on the disc and the rod, respectively.
~r1 = (r cos θ, r sin θ, 0)
(1)
~r2 = (0, 0, z)
(2)
~r = ~r2 − ~r1 = (−r cos θ, −r sin θ, z)
(3)
Because of the symmetry of the problem the force is in the z direction only. The electric field due
to the charge element dq on the disc is
dq z
r3
dq = σdA = σrdrdθ
(4)
dEz = k
(5)
The electric field of the disc is
Z R Z 2π
Z R
Z 2π
kσrdrdθz
rdr
Ez =
= kσz
dθ
3
3
0
0
0 (r 2 + z 2 ) 2 0
((r cos θ)2 + (r sin θ)2 + z 2 ) 2 )
Z R
z
rdr
1− √
= 2πkσz
3 = 2πkσ
R2 + z 2
0 (r 2 + z 2 ) 2
(6)
(7)
The force acting on the rod is
F~ =
Z
z+ 2b
z− 2b

Ez ẑλdz = 2πkσλ b +
s
R2 + z −
b
2
s
2
−
R2 + z +
The force acting on the disc is the same but in the opposite direction.
1
b
2
2

 ẑ
(8)
, ?r
".,..1.>
;; ;-.V-;-"/"
tl'''i/,t
flr?:J
/",I/n
7" .-,..../-
.?
/c
-=;J-E-{l) + ;f11) ~
:?Tlry: ()= z
'/
-7
E(?);'2/17{/f(i~.d
z}
"2-'