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CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
DERIVATIVES (revision) - ANTIDERIVATIVES
Materiali preparati dal docente e/o adattati da testi originali
Materiali tratti da testi originali
Quiz dall’applicazione kahoot
Video della Khan Academy
Testo “Calculus” in pdf dal sito ck12 e video correlati
Alcuni siti di http://www. khanacademy.org
http://www.kahoot.it
riferimento
Bibliografia di Core 1 & 2, AdvancedMathematics, H. Neill – D. Quadling,
Cambridge
riferimento
Core 3 & 4, AdvancedMathematics, H. Neill – D. Quadling,
Cambridge
MATHS in English, F. Andriulli, Petrini
Materiali
Schema generale: ogni lezione comincia con la presentazione degli obiettivi della lezione e
dell’organizzazione della lezione in attività e relativi tempi e termina con la presentazione di ciò che
si farà nella lezione successiva e con l’assegnazione dei compiti a casa.
N lezione e N
attività
Lezione 1
10 min
Attività 1
20 min
(pag. 6)
Attività 2
25min
Descrizione attività
Presentazione dell’unità didattica:
Il docente, presenta i concetti chiave dell’unità sugli integrali e quali sono gli
obiettivi da raggiungere.
Presenta l’unità didattica di ripasso delle derivate in inglese come propedeutica a
quella sugli integrali.
Fornisce agli studenti il libro “Calculus” in pdf e presenta i video di Khan
Academy.
Attività sul glossario:
Il docente scrive alla lavagna la definizione di derivata, la derivata della funzione
x n e le formule di derivazione. Legge ad alta voce le formule.
In alternativa chiama alla lavagna gli studenti per scrivere le formule ed
enunciarle in inglese.
Vengono proiettate le pagine del testo “Calculus” relative alle formule di
derivazione e lette insieme
Quiz
Viene utilizzata l’applicazione kahoot per un quiz sulle derivate
Compito a casa:
- ripassare le formule di derivazione
- esercizi sul calcolo di derivate dal libro di testo
1
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
Lezione 2
(pag. 7)
Attività sul glossario:
Il docente scrive alla lavagna derivate di funzioni note e legge ad alta voce le
formule.
Vengono proiettate le pagine del testo “Calculus” relative a tali formule e lette
insieme.
Attività 4
35min
Esercizi
Vengono svolti esercizi presi dallo stesso testo ed altri dal testo in italiano.
Attività 3
25min
Compito a casa:
- esercizi sul calcolo di derivate dal libro di testo
- visione dei video di Khan Academy sulle derivate
Lezione 3
Attività 5
20min
(pag. 8)
Attività 6
35min
(pag. 9)
Test sulle derivate:
Viene somministrato un test molto semplice sulle sole formule di derivazione e
derivate di funzioni elementari con lo scopo che gli studenti abbiano imparato a
memoria tali formule. Questo faciliterà infatti il calcolo di integrali non
immediati.
Il test viene preparato in quattro versioni, mescolando l’ordine delle richieste
Definizione di integrale:
Il docente scrive alla lavagna la definizione di integrale, e ricava insieme agli
studenti gli integrali elementari.
In alternativa chiama alla lavagna gli studenti per scrivere le formule ed
enunciarle in inglese.
Compito a casa:
- esercizi sul calcolo di integrali dal libro di testo
Lezione 4
Consegna e correzione del test
Attività 7
10min
Esercitazione sugli integrali immediati:
Vengono formati gruppi di 3/4 studenti equilibrati per conoscenze e capacità.
Dopo aver separato i banchi, l’insegnante fornisce ad ogni studente copia del test,
ma capovolto in modo che non sia visibile. Al “via” gli studenti devono scrivere
l’integrale delle funzioni il più velocemente possibile e consegnare il foglietto
all’insegnante che provvederà a dare al primo che consegna n punti quanti sono
gli studenti in classe, al secondo n-1, al terzo n-2 e così via.
Quando tutti hanno consegnato, vengono ridistribuiti i foglietti ma a studenti di
gruppi avversari. Si fa insieme la correzione e per ogni errore vengono tolti 2
punti. Vince il gruppo che totalizza il maggior numero di punti [se i gruppi non
hanno lo stesso numero di studenti, i gruppi da 3 moltiplicano la loro somma per
quattro terzi]
(pag. 10)
Attività 8
35min
(pag. 10)
Integrale come operatore lineare:
Il docente dimostra alla lavagna le proprietà che fanno dell’integrale un operatore
lineare.
Vengono svolti esercizi proposti dall’insegnante, anche presi dal libro di testo, in
applicazione di tali proprietà, prima alla lavagna e poi al posto autonomamente.
2
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
Attività 9
10min
Visione video
Si vede una videolezione della Khan Academy riguardo le prime proprietà
dell’integrazione
Compito a casa:
- esercizi sul calcolo di integrali dal libro di testo
- lettura della parte relativa alla lezione sul libro in inglese
- visione dei video della Khan Academy, utilizzando i sottotitoli in inglese
per scrivere sul quaderno frasi utili per parlare in inglese dell’argomento
integrali
Lezione 5
Attività 10
20min
Attività 11
35min
(pag. 11)
Correzione e condivisione del compito domestico
Vengono corretti alla lavagna gli esercizi che gli studenti non sono riusciti a
risolvere a casa.
Vengono scritte alla lavagna le frasi che gli studenti hanno individuato come utili
ascoltando i video della Khan Academy in modo che tutti possano copiarle sul
proprio quaderno.
Integrazione per sostituzione:
Il docente dimostra alla lavagna la proprietà che si deduce applicando l’operatore
di integrazione alla formula della derivata di funzione composta.
Si evidenzia quindi, senza dimostrazione, come un cambio di variabile risulti
spesso utile a semplificare la risoluzione di molti integrali.
Vengono svolti esercizi proposti dall’insegnante, anche presi dal libro di testo,
prima alla lavagna e poi al posto autonomamente.
Compito a casa:
- esercizi sul calcolo di integrali dal libro di testo
- lettura della parte relativa alla lezione sul libro in inglese
- visione dei video della Khan Academy
Lezione 5-6
Attività 12
15min
Attività 13
40min
Correzione e condivisione del compito domestico
Vengono corretti alla lavagna gli esercizi che gli studenti non sono riusciti a
risolvere a casa.
Esercitazione sull’integrazione per sostituzione:
Vengono svolti a gruppi esercizi proposti dall’insegnante, anche presi dal libro di
testo, prima alla lavagna e poi al posto autonomamente.
Compito a casa:
- esercizi sul calcolo di integrali dal libro di testo.
Lezione 7
Attività 14
15min
Correzione e condivisione del compito domestico
Vengono corretti alla lavagna gli esercizi che gli studenti non sono riusciti a
risolvere a casa.
3
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
Attività 15
40min
(pag. 13)
Integrazione per parti:
Il docente dimostra alla lavagna la proprietà che si deduce applicando l’operatore
di integrazione alla formula di derivazione del prodotto di funzioni.
Svolge poi alla lavagna alcuni esempi di applicazione compresi quelli per
calcolare l’integrale di funzioni note (logaritmo, arctangente, il quadrato di senx,
exsenx).
Vengono svolti esercizi proposti dall’insegnante, anche presi dal libro di testo,
prima alla lavagna e poi al posto autonomamente.
Compito a casa:
- esercizi sul calcolo di integrali dal libro di testo
- lettura della parte relativa alla lezione sul libro in inglese
- visione dei video della Khan Academy
Lezione 8
Attività 16
15min
Attività 17
40min
Correzione e condivisione del compito domestico
Vengono corretti alla lavagna gli esercizi che gli studenti non sono riusciti a
risolvere a casa.
Esercitazione sull’integrazione per parti:
Vengono svolti a gruppi esercizi proposti dall’insegnante, anche presi dal libro di
testo, prima alla lavagna e poi al posto autonomamente.
Compito a casa:
- esercizi sul calcolo di integrali dal libro di testo
Lezione 9
Attività 18
15min
Attività 19
40min
Correzione e condivisione del compito domestico
Vengono corretti alla lavagna gli esercizi che gli studenti non sono riusciti a
risolvere a casa.
Esercitazione sull’integrazione:
Vengono svolti a gruppi esercizi proposti dall’insegnante, anche presi dal libro di
testo, prima alla lavagna e poi al posto autonomamente.
Compito a casa:
- esercizi sul calcolo di integrali dal libro di testo
Lezione 10
Attività 20
60min
(pag. 15)
Lezione 11
Attività 21
15min
(pag. 16)
Verifica
La verifica è solo sul calcolo di integrali.
Viene richiesta precisione nella scrittura, quindi il punteggio attribuito a ciascun
esercizio diminuisce se manca qualche parte formale nella scrittura, anche a
fronte della giustezza del calcolo (non devono cioè dimenticare dx, c (costante di
integrazione), parentesi, …)
Scrittura di una frazione algebrica come somma di frazioni
L’insegnante mostra come è possibile scomporre una frazione algebrica nella
somma di frazioni algebriche aventi a denominatore polinomi di primo grado o di
secondo irriducibili o potenze dei medesimi.
Vengono svolti alla lavagna esercizi relativi all’argomento.
4
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Attività 22
40min
(pag. 17)
Integrazione di frazioni algebriche:
Si applica quanto imparato nell’attività precedente al calcolo di integrali di
frazioni algebriche; vengono svolti esercizi alla lavagna.
L’insegnante mostra il metodo iterativo
Compito a casa:
- esercizi sul calcolo di integrali dal libro di testo
- lettura della parte relativa alla lezione sul libro in inglese
- visione dei video della Khan Academy
5
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
ATTIVITA’
ATTIVITA’ 1
DERIVATIVES RULES
The function f x  is differentiable at a point x0 of its domain when the limit
f  x0  h   f x0 
[“the limit as h approaches 0of … ”] exists and is finite. The value of the
h
limit is called derivative of f x  at x0 and it is indicated by one of the equivalent notations:

df
f ' x  , f 1 x  , x0  , Df x0  , f  x  .
dx
lim
h 0
Dk  f x  k  Df x
the derivative of a function multiplied by a
constant is equal to the product of the
constant and the derivative of the function
“the derivative of k times f of x is equal to k
times f prime of x”
D f x  g x  f ' x  g ' x
the derivative of the sum (difference) of two
functions is equal to the sum (difference) of
the derivative of the two functions
“the derivative of f of x plus/minus g of x is
equal to fprime of x plus/minus gprime of x”
D f x  g x  f ' xg x  f xg ' x
“the derivative of f of x times g of x is equal
to fprime of x times gof xplusfof x times
gprime of x”
 f x  f ' x g x   f x g ' x 
D

g 2 x 
 g x  
“the derivative of f of x divided by g of x is
equal to fprime of x times gof xminus fof x
times gprime of x, all overgsquared of x”
Df g x  f ' g x  g ' x
“the derivative of f of gof x is equal to fprime
of gof x times gprime of x”[derivative of a
composite function – chain rule]
Df x 
g x
f ' x 
g x 
 f x   g ' x  ln  f x   g x 
f x  

6
“the derivative of f of x to the power of gof x
is equal to the initial function multiplied by
the sum of gprime of x timesthe natural log of
x andgof x times fprime of x divided by f of x”
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
ATTIVITA’ 3
DERIVATIVES OF ELEMENTARY FUNCTIONS
Dk  0
“the derivative of a constant is equal to 0”
Dx n  nx n1
“the derivative of x to the n is equal to n multiplied by x to
the n-1”
De x  e x
“the derivative of e to the x is equal to e to the x”
Da x  a x  ln a
“the derivative of a to the x is equal to a to the x multiplied
by the natural log of a”
D ln x 
1
x
D log a x 
“the derivative of the natural log of x is equal to 1 over x”
“the derivative of the logarithm in base a of x is equal to 1
over x multiplied by the natural log of a ”
1
x  ln a
D sin x  cos x
“the derivative of sine of x is equal to cosine of x ”
D cos x   sin x
“the derivative of cosine of x is equal to negative sine of x ”
D tan x 
1
 1  tan 2 x
cos 2 x
1
D cotg x   2  1  cotg 2 x
sin x
D arcsin x 
1
1  x2
D arccos x  
D arctan x 
1
1  x2
1
1  x2
D arccotg x  
1
1  x2
“the derivative of tangent of x is equal to 1 over cosine
squared of x and also equal to 1 plus tangent squared of x ”
“the derivative of cotangent of x is equal to negative 1 over
sine squared of x and also equal to negative 1 minus
cotangent squared of x ”
“the derivative of arcsine of x (the inverse function of the
sine) is equal to 1 over the squared root of 1 minus x
squared”
“the derivative of arccosine of x (the inverse function of
the cosine) is equal to negative 1 over the squared root of 1
minus x squared”
“the derivative of arctangent of x (the inverse function of
the tangent) is equal to 1 over 1 plus x squared”
“the derivative of arccotangent of x (the inverse function
of the cotangent) is equal to negative 1 over 1 plus x
squared”
7
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
ATTIVITA’ 5
TABLE OF DERIVATIVES
d
(arctan x) 
dx
d
cf (x) 
dx
d
 f ( x ) g ( x) 
dx
d
(arccotg x) 
dx
d  f ( x) 

dx  g ( x) 
d
f ( g ( x)) 
dx
d
(x) 
dx
d
(arcsin x) 
dx
d
 f ( x)  g ( x) 
dx
d
(tan x ) 
dx
d
(cotg x) 
dx
d
(arccos x) 
dx
d
(cos x) 
dx
d
(sin x) 
dx
d x
a 
dx
d
g x
f x 

dx
d
 f ( x)  g ( x) 
dx
d
(ln x) 
dx
d n
(x ) 
dx
d x
e  ex
dx
d
(const .) 
dx
d
(log a x) 
dx
8
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
ATTIVITA’ 6
THE ANTIDERIVATIVES
The reverse of differentiating is antidifferentiating, and the result is called antiderivative.
A function F x  is an antiderivative of f on an interval I if F ' x   f x  for all x in I.
You can represent the entire family of antiderivatives of a function by adding a constant to a known
antiderivative. So if F x  is an antiderivative of f x , then the family of antiderivatives would be
F x   c .
The process of antidifferentiation is often called integration or indefinite integration. To indicate that the
2
3
antiderivative of f x   3x 2 is F x   x 3  c , we write 3x dx  x  c . And we say that “the

antiderivative or indefinite integral of 3x with respect to x equals x 3  c ”.
2
In general
Integral
Sign
 f x dx  F x   c
Integrand
Function
Variable of
Integration
Constant of
Integration
If we differentiate both sides, we obtain:
D  f  x dx  DF  x   c   F ' x   f x 
 f x dx is a kind of strange-looking notation. It’ll make more sense when we start doing definite integrals
and studying areas under curves and taking sums of rectangles in order to approximate the area of the
curve.
1
 x dx  ???
the function ln x  c is not broad enough: the domain for the original function that we’re
taking the antiderivative of, is all real number except for x equal 0 , while the domain of ln x is only
positive numbers. We’d like to find an antiderivative that has the same domain as the original function.
1
 x dx  ln x  c , and we can prove it by differentiating the right side.
[ ln x “the natural log of the absolute value of x ”]
9
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
ATTIVITA’ 7
THE ANTIDERIVATIVES’ TEST
2.

4. cos xdx 

6.

8. e x dx 
5. sin xdx 
11.
1
dx 
1
1
2
x
1 x
2
dx 

10. 0dx 
2
 sin
1


x
7. a dx 
x
 x dx 

3. cdx 
9.
1

1. x n dx 
dx 
ATTIVITA’ 8
12.
1
 cos
2
x
dx 
BASIC INTEGRATION RULES
If f x and g x are integrable functions, and k is a real constant, then:
 kf x dx  k  f x dx
  f x   g x dx   f x dx   f x dx
We can prove them simply differentiating both members of the formulas.
We can then say that the integral is a Linear Operator in the same way the derivative is.
 kf x   hg x dx  k  f x dx  h f x dx
10
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
ATTIVITA’ 11
Reverse of the Chain Rule
Df g x  f ' g xg ' x

f ' g x g ' x dx  f g x   c

Integration by substitution
In order to find the integral of a function f x  , it’s often useful substitute the variable x with a new
invertible function x  ht  , that is to say t  h 1 x  . Now we need to know what to substitute to dx into
the initial integral
 f x dx : the substitution we need is dx  h' t dt . We can obtain dx also by
differentiating both sides of t  h 1 x  : dt  Dh 1 x dx
We obtain
 f x dx   f ht h' t dt that could be a more simpler integral. When we have the solution
in t , we finally need to un-substitute and to come back to the original variable x .
Example 1.

3
5  3 x dx
We use the substitution 5  3x  t . Differentiating both sides we obtain 3dx  dt , from where we can
isolate dx 
1
dt . The initial integral will then be:
3
1

3
1
3
1
1
1
1
1 t3
1
1
4
5  3x dx   t dt   t 3 dt 
 c  3 t 4  c  3 5  3x   c .
3
3
3 1 1
4
4
3
Example 2. I 
2 ln 2 x  3 ln x  1
dx

x
In order to find a useful substitution we need to remember that D ln x 
1
.
x
We can follow these steps:
-
write the new variable t  ln x , and differentiate both sides dt 
-
substitute x and dx with the new expressions in t , I 
-
solve the integral with respect to t , I  2
-
 2t
2
1
dx
x

 3t  1 dt
t3
t2
3 t c
3
2
2 3
3 2
un-substitute the variable t with its expression in x , I  ln x  ln x  ln x  c
3
2
11
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
Example 3. I 
dx
 2  3x
2
In order to find a useful substitution we need to remember the integral
1
 1 x
2
dx  arctan x  c .
We want to write the denominator as the sum of 1 and the square of a new variable. We can so follow
these steps:
-
collect 2 at the denominator and use the basic rules I 
-
write the new variable t 
-
substitute x and dx with the new expressions in t
I 

dx
1
dx
 
 3  2  3 2
21  x 2 
1  x 
 2 
 2 
3
3
x , and differentiate both sides dt 
dx
2
2
dx
1
dx
1
1
 
 
 3  2  3 2  2 1 t2
21  x 2 
1  x 
 2 
 2 


2
1 2
1
dt 
dt

3
2 3 1 t2


1 2
arctan t  c
2 3
-
solve the integral with respect to t , I 
-
un-substitute the variable t with its expression in x , I 
1 2
3
arctan
xc
2 3
2

Example 4. tan xdx
We need to remember that tan x 
sin x
. To solve
cos x
sin x
 cos x dx
we use the substitution cos x  t .
Differentiating both sides we obtain  sin xdx  dt . The initial integral will then be
dt
  ln t  c  ln cos x  c
t
 tan xdx  
Example 5.
x
2
x 1
dx
 x 1
To solve this integral we can change the shape of the integrand function. We can always multiply and
divide by the same not zero number and add and subtract the same number. If we multiply and divide
2x  2
2x  1  1
2x  1
1
 2
 2
, that we can write as 2
. The integral of
x  x 1
x  x 1 x  x 1 x  x 1
f ' x 
dx  ln f  x   c . To integrate the second term we need to arrive,
the first term is of the kind 
f x 
by 2, we get
2
with a change of variable, to the integral
1
 1 t
2
12
dx that we already know how to solve.
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
Let’s write the polynomial at the denominator as
2
2
2

 3  2 
1 1
1  3 3 4 
1
1 

x  x  1  x  x    1   x       x    1  
 x     1 .
4 4
2  4 4  3 
2
2 


 4  3 
2
2
The substitution we need is t 
2 
1
2
dx . We obtain:
 x   , dt 
2
3
3
3
dt
x 1
2
dt
2
2
dx

 x2  x  1  3 2  3  t 2  1  3 arctan t  c
t 1
4


3
dt
x 1
2
dt
2
2 
1
dx   2


arctan
And we get  2
x c
2

3 2
x  x 1
2
3 t 1
3
3
t 1
4


ATTIVITA’ 15
Integration by parts
In order to find the integral of the product of two functions, it can be useful to use a formula that we derive
from the derivative of a product D f xg x  f ' xg x  f xg ' x .
We isolate the first product at the right side f ' xg x  D f xg x  f xg ' x and we integrate
both sides of the equation
 f ' x g x dx   D f x g x dx   f x g ' x dx , and we obtain the formula
for integration by parts:
 f ' x g x dx  f x g x    f x g ' x dx
We can say that if we have an integral of the form g x times the derivative of another function, it is equal
to the product of both functions minus the antiderivative of the product of the derivative of g x times
f x  .
Products that are integrable by parts are
Pn  x e x , Pn x  cos x , Pn x sin x ,
[we assign f ' x   e x , cos x, sin x and g x   Pn x  ]
Pn x  ln x , Pn x arctan x ,
[we assign f ' x   Pn x  and g x  ln x, arctan x ]
e x cos x , e x sin x
[we can assign f ' x   e x and g x   cos x, sin x or viceversa]
( Pn x  is a polynomial of degree n )
13
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
When we figure out what should be f x  and what should be g x , we follow this rule: the integral we
need to solve at the right side of the formula has to be simpler that the one we have at the right side.
If we take the functions of the first case , when we derivate the polynomial we obtain a polynomial of a
lower degree, and the antiderivative of the other function isn’t more complicated that the initial function.
Looking at the functions of the second case we take the derivative of the logarithm and the arctangent
because they are rational functions.
For the last case it doesn’t matter what we choose but we need to maintain that choice even the second
time we apply the formula, otherwise we’ll obtain an identity and we won’t be able to solve the integral.
 3x
Example 1. I 
2

 2 e x dx
We assign f ' x   e x and g x   3x 2  2 and we find f x   e x and g ' x  6 x .
Applying the formula of integration by parts we obtain I 
 3x
2



 2 e x dx  3x 2  2 e x   6 xe x dx
We repeat another time the integration by pats setting f ' x   e x and g x  6x and we find f x   e x
and g ' x  6 .







2
x
x
2
x
x
x
We obtain I  3x  2 e  6 xe dx  3 x  2 e  6 xe  6e dx





And finally we have the solution I  3x  2 e  6 xe  6e  c  3x  6 x  8 e  c
2
x
x
x
2
x

Example 2. I  ln xdx
We assign f ' x   1 and g x   ln x and we find f x   x and g '  x  

1
.
x

Applying the formula of integration by parts we obtain I  ln xdx  x ln x  x
that is I  xln x  1  c
1
dx  x ln x  x  c
x

2 x
Example 3. I  e sin xdx
We set f ' x   e 2 x and g x   sin x and we find f  x   
1 2 x
e and g ' x  cos x .
2
Applying the formula of integration by parts we obtain
1
1
1
1
I   e 2 x sin xdx   e 2 x sin x    e 2 x cos xdx   e 2 x sin x   e 2 x cos xdx
2
2
2
2
We apply another time the integration by pats assigning f ' x   e 2 x and g x  cos x and we find
1
f  x    e 2 x and g ' x   sin x .
2
14
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
We obtain I  
1 2 x
1 1
1

e sin x   e 2 x cos x    e 2 x  sin x dx 
2
2 2
2

1
1
1
sin xdx   e 2 x sin x  e 2 x cos x   e 2 x sin xdx
2
4
4
1
We only need to add to both sides  e  2 x sin xdx and we get
4
5 2 x
1
1
e sin xdx   e 2 x sin x  e 2 x cos x  c

4
2
4
e
2 x
Now we can solve for the original expression, multiplying both sides of the equation by
e
2 x
sin xdx 
4
:
5
4  1 2 x
1

 e sin x  e 2 x cos x  c 

5 2
4


2 x
That is to say I  e sin xdx  
2 2 x
1
e sin x  e 2 x cos x  c
5
5
ATTIVITA’ 20
VERIFICA
Calcola i seguenti integrali
e
1.
4.  3
7.
x
10.

x
sin xdx
(arcsin x) 2
1 x
2
2
cos xdx
ln x  1
dx
x ln x
 x3  8 
dx
3.  
x

2


2 x  15
2. 
dx
4 x2
dx
 (2 x  3)
5.
8.
 4x
11.
3
dx
1
dx
9
2
sin x
dx
1  cos x
6.

9.
e
x
1
dx
 ex
1 

12.   tan x  2 dx
sin x 

x
 1  x dx
Punteggi
Ciascuna integrale vale 10 punti – per ogni mancanza nella scrittura dell’integrale e della soluzione (dx,
parentesi, costante di integrazione. … verrà tolto un punto)
Valutazioni
punti 0: voto 3 - punti 70: voto 6 - punti 120: voto 10
15
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
ATTIVITA’ 21
Partial fraction expansion
The whole idea about the partial fraction expansion (or decomposition), that is the fraction of two
polynomials, is to decompose it into simpler parts.
The first thing is to look at the degree of the two polynomials: if the degree of the numerator is grater or
equal to the degree of the denominator, we divide the two polynomials and we write the initial fraction as
the sum of the polynomial we obtain as the quotient (the degree of this polynomial is equal to the
difference of the degree of numerator and denominator) and a rational fraction that has the same
denominator and the remainder of the division as its numerator.
In this fraction the numerator has a lower degree than the denominator.
The second thing is to factorise the denominator into irreducible polynomials.
If you can factorise the denominator into polynomials of first degree, than you can write the whole fraction
as the sum of as many simpler fraction as the degree of the denominator. Let’s see it with an example.
Let’s expande the fraction
2x  3
. We can write it as the sum of three fractions that have at
x  22 x  1x  1
numerator a number and at the denominator one of the factors of the initial denominator:
2x  3
A
B
C
.



x  22 x  1x  1 x  2 2 x  1 x  1
In order to prove this we’ll show that we can solve for A, B, C in a way that actually add up to the
denominator of the first side.:
2x  3
A
B
C
A2 x  1x  1  Bx  2x  1  C x  22 x  1




x  22 x  1x  1 x  2 2 x  1 x  1
x  22 x  1x  1
If we expand the brackets and then we collect like terms in x 2 , like terms in x and constants, we have
2 A  B  2C x2   A  B  5C    A  2B  2C 
x  22 x  1x  1
2 A  B  2C  0

and it will be equal to the initial fraction for A, B, C that solve the system  A  B  5C  2
 A  2 B  2C  3

 1 8 5
The solution of the system is the tern   ; ;  . The initial fraction can be decomposed as
 9 9 9
8
1
5
2x  3
9
9
9 .



x  22 x  1x  1 x  2 2 x  1 x  1
If the denominator has also irriducible factors of second degree than the fraction can be expanded as the
sum of as many fractions as the factors at the denominator, in this way: for each factor we write a fraction
16
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
that has that factor as denominator and a constant as numerator if the factor is of first degree, but a first
degree polynomial as numerator if the factor is of second degree. Let’s see it with an example.
x2  x  1
Let’s expand the fraction
. We can write it as the sum of two fractions : the first is a
 x  2 x 2  x  1


number over the first degree factor and the second is a polynomial of first degree over the second degree
factor:

x2  x  1
A
Bx  C
A  B x 2   A  2B  C x  A  2C
.



 x  2 x 2  x  1  x  2 x 2  x  1
 x  2 x 2  x  1




A  B  1

We can find the value of A, B and C, solving the system  A  2 B  C  1 .
 A  2C  1

3 4
7 7
3
4 x2
x2  x  1
7  7
7.

2
2
x  2 x  x  1 x  2 x  x  1
2
7
The solution of the system is the tern  ; ;  . The initial fraction can be decomposed as

 

If the factorization of denominator has factors with multiplicity greater than one, we can again expande the
fraction in this way:
2x  3
x  2i 2 x2  x  1
j

Bj x  C j
A1
A2
AI
B1x  C1
B2 x  C2

 ... 


 ... 
2
i
2
j
2
 x  2  x  2
 x  2 2 x  x  1 2 x 2  x  1
2 x2  x  1

 


ATTIVITA’ 22
Integration of rational fractions
A
A
a
A 1
A
A
1)
 ax  b dx  a  ax  b dx  a  t dt  a ln t  c  a ln ax  b  c
2)
A
A
a
A 1
A t  n 1
A
ax  b  n 1  c
dx

dx

dt


c

n
 ax  b n


n
a ax  b 
a t
a  n 1
a n  1
3) To solve
a.
Bx  C
dx when   b 2  4ac  0 we need to follow these steps
2
 bx  c
 ax
Bx  C
Bx
C
dx   2
dx   2
dx 
2
 bx  c
ax  bx  c
ax  bx  c
 ax
17

CONTE MONICA – A.S. 2015/2016

B
ax  b
bC
B 1
bC
dx   2
dx   dt   2
dx 

2
a ax  bx  c
ax  bx  c
a t
ax  bx  c

B
bC
B
1
ln t   2
dx  ln ax2  bx  c    b  C  2
dx
a
ax  bx  c
a
ax  bx  c
b. The integral
 ax
2
1
dx can have as its denominator a second degree complete or
 bx  c
incomplete polynomial. In both cases we need to transform the function in order to get
1
 1  t 2 dt . Look at these examples:

1
1
1
1
1
1
1
2
1 1
dx

dx

dx

dx

dt 
2
2
 9  4x2




9 1 4 x2
9
6
6 1 t 2
2 
2  3
1  x
1  x
9
3 
3 
2 
 arctan t  c  arctan x   c
3 

1
1
1
1
dx

dx

dx

 3  4x  4x2
 2  1  4x  4x2
 2  1  2 x 2

2

c.
1

2
1
 1  2x 
1 

 2 
2
1
dx 
2
 1  2x 
1 

 2 
1
1
1
1
1
1  2x 
dx 
dt 
arctan t  c 
arctan
c

2
2
2 1 t
2
2
 2 
We only need to add the solution of the second integral to the first part to obtain the
antiderivative we wanted.
4) In order to solve integrals J n 
1
 1  x 
2 n
dx , with n  2 , we need a recursive formula.
First of all we follow the step of the integration by parts. Let f ' x   1 and g x  
we get f x   x and g ' x   n
2x
1  x 
Jn  
2 n 1
1
1  x 
2 n
, and we can write
dx 
x
1  x 
2 n
18
 2n 
x2
1  x 
2 n 1
dx .
1
1  x 
2 n
, from which
CONTE MONICA – A.S. 2015/2016
We can add and subtract 1 to the numerator of the integrand function and we obtain
Jn 
x
1  x 
2 n
 2n
x2  1  1
x
1  x 
2 n
1  x 
1  x 
2
Using the initial notation we call J n 1 
Jn 
x
dx 
n 1
2 n
1
 1  x 
2 n 1

x2  1
1
 2n  
dx  
n

1
1  x2
 1  x 2




n 1

dx 

dx , and we obtain


x2  1
1 
x 
,
from
which
 2n  
dx

J


J

2
n

1
J



n 1
n 1
n
n
2 n 1
2n 
1  x 2 
 1  x




This recursive formula let us calculate every integral J n 
We actually know that J1 
1
 1 x
2
1
 1  x 
2 n

dx with n  2 .
dx  arctan x  c , and from this we can calculate J n for every
n N .
n 1
J2 
1
2  1J1  x 2   1 arctan x  x 2   c

2
1 x  2 
1 x 
n2
J3 
1
x
4  1J 2 
4 
1 x2


2
 1
x 
x
 1

  3 arctan x 
2
1 x  1 x2
 4 
 2

etc. etc.
We can verify the correctness of this formula by calculating the derivative of
We’ll indeed find D J n  
1
1  x 
2 n
.
19
Jn .

2


c

