Download ילמיסיטיפניא בחורב םידגנ ףסוא לאכ ילילגה דגנל סחייתנ , ליבקמב םהניב םירבוחמה .

‫נתייחס לנגד הגלילי כאל אוסף נגדים ברוחב אינפיטיסימלי‪ ,‬המחוברים בינהם במקביל‪ .‬כל נגד‬
‫איפיטיסימלי יהיה "פרוסה" מן הגליל‪ ,‬כלומר קליפה גלילית‪ ,‬אשר במבט מלמעלה תיראה כטבעת‪.‬‬
‫א( נסכום את כל הקליפות במקביל‪ ,‬על פי‬
‫‪1‬‬
‫‪RTotal‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫= ∑ ‪ .‬אורך כל נגד יהיה ‪ , 2π r‬כאשר ‪ r‬הוא רדיוס‬
‫כל "פרוסה"‪ ,‬ועוביו יהיה ‪) dr‬כך ששטח החתך יהיה ‪.( h ⋅ dr‬‬
‫לכל נגד‪:‬‬
‫‪ρ 2π r‬‬
‫‪h ⋅ dr‬‬
‫= ‪) dR‬לפי‬
‫‪ρl‬‬
‫‪A‬‬
‫מבט מלמעלה‬
‫= ‪.( R‬‬
‫כעת נסכום על הנגדים‪:‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫=‬
‫) (‪ln‬‬
‫= ‪[ ln(r )]R1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪hdr‬‬
‫‪R2‬‬
‫∫ ‪∫ ρ 2π r = ρ 2π‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪ρ 2π‬‬
‫‪R2‬‬
‫)‬
‫‪R1‬‬
‫( ‪h ⋅ ln‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪RTotal‬‬
‫= ‪RTotal‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫ב( על ידי החיבור המתואר בשרטוט נוצר למעשה חיבור של שני נגדים במקביל )זאת מכיוון ששני‬
‫ה"נגדים" חולקים שני הדקים )"רגליים" משותפות(‪ ,‬כלומר נופל עליהם אותו מתח‪ .‬על פי השרטוט‬
‫אורכו של הנגד הקטן ) ‪ ( R1‬הוא רבע מההיקף‪ ,‬ואורכו של הנגד הגדול ) ‪ ( R2‬הוא שלושת רבעי ההיקף‪.‬‬
‫מכאן הנגד השקול יתקבל ע"י‪:‬‬
‫‪RTotal 3RTotal‬‬
‫⋅‬
‫‪R1 ⋅ R2‬‬
‫‪3R 2 3R‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪Req = R1 || R2‬‬
‫‪= 4‬‬
‫‪= Total = Total‬‬
‫‪R1 + R2 RTotal 3RTotal 16 RTotal‬‬
‫‪16‬‬
‫‪+‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫כאשר ‪ RTotal‬הוא הנגד השקול שחושב בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ועל פי חוק אוהם‪:‬‬
‫‪R2‬‬
‫)‬
‫‪R1‬‬
‫(‪8hV ln‬‬
‫‪3πρ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪V‬‬
‫‪16V‬‬
‫= =‪I‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪R Req 3RTotal‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪ .4‬א( נחלק את הגליל לדסקיות בעלות עובי אינפיניטסימלי מהבסיס הקטן לגדול‬
‫)כי הגיאומטריה של הגליל משתנה בכיוון ציר ‪.(x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪L‬‬
‫ההתנגדות של כל דסקה היא‬
‫‪dx‬‬
‫‪A‬‬
‫‪dR = ρ‬‬
‫כעת‪ ,‬צריך להביע את ש כפונקציה‬
‫של ‪.x‬‬
‫נתבונן בחתך של הגליל‪:‬‬
‫נשתמש בדמיון משולשים‪:‬‬
‫‪r b−a‬‬
‫‪b−a‬‬
‫=‬
‫=‪⇒r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫כמו"כ‪ . y = r + a = b − a x + a ,‬מכאן נבצע אינטגרציה על ‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪Lρ  1 1 ‬‬
‫‪b−a‬‬
‫→‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪ρ‬‬
‫∫ ‬
‫‪2‬‬
‫‪πy‬‬
‫‪π ( b − a )  a b ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪b−a‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫המעבר הזה הוא סתם לנוחות! לא חייבים‪.‬‬
‫ב( כאשר‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪= ρ ⇐a=b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪πa‬‬
‫‪R=ρ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪R = ∫ dR = ∫ ρ‬‬
‫‪= ∫ρ‬‬
‫‪A 0 π y2‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪Lρ ( b − a‬‬
‫‪L‬‬
‫‪=ρ‬‬
‫‪π ( b − a ) ab‬‬
‫‪π ab‬‬
‫=‬
Electric Current
Submitted by: I.D. 039622568
The problem:
Given the values: ε1 = 1 V, ε2 = 0.5 V, ε3 = 0.6 V, R1 = R2 = 0.5 Ω, R3 = 1 Ω, R4 = 0.4 Ω,
R5 = R6 = 0.6 Ω, R7 = 0.7 Ω
1. Calculate the current flowing through each resistor, and the potential difference between B
and A when the switch is open.
2. Calculate the current flowing through each resistor, and the potential difference between B
and C when the switch is closed.
The solution:
1. Since the switch is open we can disregard the middle branch of the circuit, leaving only a circuit
with resistors and voltage sources in series. By using Ohm’s Law we find:
Vt = ε1 + ε3 = 1 + 0.6 = 1.6 V
(1)
Rt = R1 + R2 + R3 + R6 + R7 = 0.5 + 0.5 + 1 + 0.6 + 0.7 = 3.3 Ω
ε1 + ε3
1.6
Vt
=
=
= 0.485 A
I =
Rt
R1 + R2 + R3 + R6 + R7
3.3
(2)
(3)
With the current moving counter clockwise because of the direction of the voltage sources.
Now in order to calculate the potential difference between B and A, all we have to do is calculate
the voltage between these points:
VBA = ε1 − I(R1 + R2 ) = 1 − I = 0.515 V
(4)
2. Now that the switch is closed we can no longer disregard the middle brance, and we have to use
Kirchhoff’s laws.
We will choose the right node as our junction and assume that I1 comes from above, I2 from below
and I3 flows to the left.
Now, our first path will be clockwise through R1 , ε1 , R2 , R3 , ε2 , R5 , R4 , and our second will be
likewise clockwise through R1 , ε1 , R2 , R3 , R7 , ε3 , R6 . giving us the following equations:
I1 + I2 = I3
(5)
I1 R1 + ε1 + I1 R2 + I1 R3 + ε2 + I3 R5 + I3 R4 = 0
(6)
I1 R1 + ε1 + I1 R2 + I1 R3 − I2 R7 + ε3 − I2 R6 = 0
(7)
1
Using simple math, we found the currents: I1 = −0.6 A, I2 = 0.3 A and I3 = −0.3 A, while the
negative sign signals that the direction in which these currents flow is opposite to the one we chose.
in order to find the potential difference between points B and C we calculate the voltage, keeping
in mind that I3 now has a new direction. thus:
VBC = I3 (R4 + R5 ) = 0.3(0.4 + 0.6) = 0.3 V
2
(8)