Download Document 8894639

‫‪.2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪D‬‬
‫א( כאשר המפסק פתוח הקבלים מחוברים‬
‫בטור ולכן ‪ . q1 = q2 = q‬את המתח על‬
‫שני הקבלים יחדיו נמצא מחיבור‬
‫קבלים בטור‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪+‬‬
‫‪C1 C2‬‬
‫= ‪V = ∑V‬‬
‫ניתן לשים לב כי שני הקבלים‬
‫מחוברים במקביל לזוג הנגדים‪ ,‬כלומר‬
‫המתח על שני הנגדים שווה למתח על שני הקבלים‪ ,‬ושניהם שווים ל‪VCD -‬‬
‫)אפשר לראות זאת גם ע"י כך שהפוטנציאל בהארקה זהה לפוטנציאל‬
‫בתחתית קבל ‪ ,C2‬והפוטנציאל ‪ VC‬זהה לפוטנציאל בחלקו העליון של קבל‬
‫‪ .(C1‬מכאן‬
‫‪C1C2‬‬
‫‪= 144 µ C‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪q =V‬‬
‫ב( המשמעות של הנתון 'לאחר זמן רב' היא ש הזמן שעבר הוא גדול יותר מ‪5-‬‬
‫פעמים הזמן האופייני‪ ,‬כלומר שהקבלים התמלאו‪ .‬קבלים מלאים מתפקדים‬
‫כנתק )הזרם העובר דרך קבל דועך אקספוננציאלית(‪ ,‬ולכן הזרם החשמלי‬
‫יזרום רק דרך הנגדים‪ .‬ע"מ למצוא את המתח ‪ VAB‬נמצא את הפוטנציאל‬
‫אחרי הנגד ‪ R1‬ואחרי הקבל ‪.C1‬‬
‫‪VCD‬‬
‫‪V R‬‬
‫‪⇒ ∆VR1 = IR1 = CD 1 = 24V ⇒ VA = VC − VR1 = 12V‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪R1 + R2‬‬
‫= ‪RT = R1 + R2 = 18Ω ⇒ I‬‬
‫‪q‬‬
‫‪= 12V ⇒ VB = VC − VC1 = 24V‬‬
‫‪C1‬‬
‫= ‪∆VC1‬‬
‫מכאן ‪ , VAB = VA − VB = −12V‬כלומר ‪ VB‬נמצא בפוטנציאל גבוה יותר‪.‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C2‬‬
‫ג‪ .‬כאשר המפסק סגור‪ ,‬אחרי הרבה זמן‪ ,‬הזרם שוב יזרום רק דרך הנגדים‪ .‬כעת‪,‬‬
‫המתח על כל קבל יהיה זהה למתח על כל נגד כי כל קבל כעת מחובר‬
‫במקביל לכל נגד )החלק התחתון של כל קבל מחובר לחלק התחתון של כל‬
‫נגד(‪ .‬על כן )כבר חישבנו את ‪. VB = 12V (! ∆VR‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬נתבונן בקטע התיל בין הקבלים‪ .‬כאשר המפסק‬
‫פתוח‪ ,‬המטען הכללי הוא ‪ 0‬כי קטע התיל הנ"ל‬
‫מנותק מכל סביבה‪.‬‬
‫לאחר סגירת המפסק נמצא את המטענים על הלוח התחתון של קבל ‪ C1‬ועל‬
‫הלוח העליון של קבל ‪:C2‬‬
‫‪q1 = C1∆VC1 = C1∆VR1 = 288 µC , q2 = C2 ∆VC2 = C2 ∆VR2 = C2 IR2 = 72 µC‬‬
‫בשלב זה צריך לבדוק את הסימן של המטען בכל לוח‪ .‬כיוון המתח ב‪C1-‬‬
‫הוא כלפי מטה‪ ,‬לכן הסימן של המטען על הלוח התחתון של קבל ‪ C1‬הוא‬
‫שלילי )אם מסתכלים על ‪ I‬כזרם של מטענים חיוביים‪ ,‬אז הוא יוצא מהלוח‬
‫התחתון‪ ,‬כלומר יש שם חוסר של מטענים חיוביים‪ .‬אחרת אפשר לראות‬
‫זאת כך‪ :‬בכף העליונה יש פוטנציאל חיובי‪ ,‬כלומר האלקטרונים ימשכו‬
‫מהכף לתוך המוליך כלפי מעלה ולכן היא תהיה חיובית והכף התחתונה‬
‫שלילית(‪ .‬באופן דומה נקבל שהסימן של המטען על הלוח העליון של קבל‬
‫‪ C2‬הוא חיובי‪ .‬לכן נקבל ‪ . Q = ( −q1 ) + q2 = −216 µC‬סה"כ נכנס לקטע מטען‬
‫בסך ‪. ∆Q = Q − 0 = −216 µC‬‬
Electric Current
Submitted by: I.D. 039622568
The problem:
Given the values: ε1 = 1 V, ε2 = 0.5 V, ε3 = 0.6 V, R1 = R2 = 0.5 Ω, R3 = 1 Ω, R4 = 0.4 Ω,
R5 = R6 = 0.6 Ω, R7 = 0.7 Ω
1. Calculate the current flowing through each resistor, and the potential difference between B
and A when the switch is open.
2. Calculate the current flowing through each resistor, and the potential difference between B
and C when the switch is closed.
The solution:
1. Since the switch is open we can disregard the middle branch of the circuit, leaving only a circuit
with resistors and voltage sources in series. By using Ohm’s Law we find:
Vt = ε1 + ε3 = 1 + 0.6 = 1.6 V
(1)
Rt = R1 + R2 + R3 + R6 + R7 = 0.5 + 0.5 + 1 + 0.6 + 0.7 = 3.3 Ω
ε1 + ε3
1.6
Vt
=
=
= 0.485 A
I =
Rt
R1 + R2 + R3 + R6 + R7
3.3
(2)
(3)
With the current moving counter clockwise because of the direction of the voltage sources.
Now in order to calculate the potential difference between B and A, all we have to do is calculate
the voltage between these points:
VBA = ε1 − I(R1 + R2 ) = 1 − I = 0.515 V
(4)
2. Now that the switch is closed we can no longer disregard the middle brance, and we have to use
Kirchhoff’s laws.
We will choose the right node as our junction and assume that I1 comes from above, I2 from below
and I3 flows to the left.
Now, our first path will be clockwise through R1 , ε1 , R2 , R3 , ε2 , R5 , R4 , and our second will be
likewise clockwise through R1 , ε1 , R2 , R3 , R7 , ε3 , R6 . giving us the following equations:
I1 + I2 = I3
(5)
I1 R1 + ε1 + I1 R2 + I1 R3 + ε2 + I3 R5 + I3 R4 = 0
(6)
I1 R1 + ε1 + I1 R2 + I1 R3 − I2 R7 + ε3 − I2 R6 = 0
(7)
1
Using simple math, we found the currents: I1 = −0.6 A, I2 = 0.3 A and I3 = −0.3 A, while the
negative sign signals that the direction in which these currents flow is opposite to the one we chose.
in order to find the potential difference between points B and C we calculate the voltage, keeping
in mind that I3 now has a new direction. thus:
VBC = I3 (R4 + R5 ) = 0.3(0.4 + 0.6) = 0.3 V
2
(8)
‫‪dU‬‬
‫אנו יודעים את הקשר בין ההספק לאנרגיה‪:‬‬
‫‪dt‬‬
‫לפי הציור‬
‫‪P‬‬
‫‪dU dEth‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן לראות ש‪:‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫בשביל למצוא את השיפוע נבחר את הערכים של ‪ Eth‬ב‪( t=5 -‬מתוך נוחות) ונקבל‪:‬‬
‫‪40mJ‬‬
‫‪P1 ‬‬
‫‪ 8mW  0.008W‬‬
‫‪5 sec‬‬
‫‪20mJ‬‬
‫‪P2 ‬‬
‫‪ 4mW  0.004W‬‬
‫‪5 sec‬‬
‫כעת ניתן לפתור את השאלה בשני דרכים‪:‬‬
‫‪ P ‬וזה בעצם שווה לשיפוע של הגרף‪.‬‬
‫א‪ .‬נוכיח שחיבור ההספקים שווה להספק על הבטרייה‪:‬‬
‫‪P  I V  I (V1  V2 )  I V1  I 2V2  P1  P2  0.008W  0.004W  0.012W‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נמצא את המתח על הבטרייה ונשתמש בנוסחה הידוע‬
‫‪0.008‬‬
‫‪P1  I 2V1  V1 ‬‬
‫‪ 0.002V‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0.004‬‬
‫‪P2  I 2V2  V2 ‬‬
‫‪ 0.001V‬‬
‫‪4‬‬
‫ומכאן המתח על הסוללה הינו‪:‬‬
‫‪Vbat  V1  V2  0.003V‬‬
‫וההספק‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Pbat  I Vbat  4 * 0.003  0.012W‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
1-,.
+
,....... (
_ r
:;.. Y"
.,.
Of
_
(rz , -1"(2 J -;;-0
)-
1fn_!2,.2-)
(2
I,
(;rv
-¥
I, 12,
12/
::: ~ (
.l/J ~
i?~)
(of'
of {,
:a.
fZ>
--
~( f~
of
(2-( -+ f.,.) (2,
( Q, -r
II~){
;}-r -J.(2( f2;)
:r'--rr
"'I,..:)"
.N",,~
~(2 -- J,
-r-)-
Q,
'l ~)
i,~ ~~
-+ (2, 1Z~ (
:::
J
T'\l
_ 0,
1
?[4f2,.
J-Y"
(2/ f.,.) f2;).
+
--
([( ~I.J [2(
( rz, ~ Q). ) ( frY ~ t2, l?-J
r1,
l1nt J1212, :: If]
,
(1/
~~
\~\~
~
If.] ~ J~
~, \N~
r:.~t~
Q.
-4
1::
J'> •••••\~
y
'¥
-
rV~
1')5\.;)
f~'
~
fl,.
\'~
\
I
~\.2
ft-'~
~;'\~'f"")
J1-~
,1-
)L,
yo-
-
l,
-=-0
1(-~_
\{'b -=- I Q).
_
(2., -£7) f2~
try -t12~
~~=--
\c(..\
\~I
- ...! G [/J..
U -J-
\~f' ~ )\(
J
::,' ~"'J'('~'
)J'J
""\,",,'
~
J 17:1- - I
,
~t) \
t
1) Q = V · C = V0 C(1 − e− τc )
V0 = 5[V ]
C = 3[F ]
τc = RC = 18[ΩF ] = 18[sec]
0.5
Q(t = 0.5[sec]) = 15(1 − e 18 ) ≈ 0.41[C]
2) Q(t = ∞) = 15[C]
3)Considering a new starting time that swith 1 was on and swith 2 was o
at t = −∞, then at t = 0 swith 1 if o and swith 2 is on:
t
Q(t) = Qt=0 · e− τc
Qt=0 = 15[C]
τc = RC = 6[ΩF ] = 6[sec]
t
10 = 15e− 6 ⇒ t = 6ln 25 ≈ 5.5[sec]
1
‫כוח לורנץ‬
‫‪ .1‬הכוח החשמלי הוא בכיוון 𝑧 ‪,‬כך שעל מנת לבטלו הכוח המגנטי צריך להיות בכיוון‬
‫𝑧‪.−‬‬
‫הכוחות צריכים להיות זהים בגודלם‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪.i‬‬
‫𝑚𝐹 = 𝑒𝐹‬
‫הכוח המגנטי מתקבל לפי‪:‬‬
‫‪.ii‬‬
‫𝐵 × 𝑣𝑞 = 𝑚𝐹‬
‫ולכן השדה המגנטי צריך להיות בכיוון 𝑦‪.−‬כי החלקיק נע בכיוון 𝑥‪.‬‬
‫‪.iii‬‬
‫𝑦𝐵𝑣𝑞 = 𝑧𝐸𝑞‬
‫איננו רוצים כוח בכיוון 𝑦 ולכן 𝒛𝑩 חייב להיות אפס‪.‬‬
‫‪- 𝑩𝒙 .‬לעומת זאת יכול להיות בכל ערך‪ ,‬מכיוון שהשדה בכיווןהתנועה לא משפיע כלל‪.‬‬
‫נבחר מטעמי נוחות שגם הוא יתאפס‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪.iv‬‬
‫𝟎‪,‬‬
‫𝒛𝑬‬
‫𝒗‬
‫‪𝑩 = 𝟎,‬‬
‫‪ .2‬מבחינת כיוונים‪ ,‬המטען השלילי הופך הן את כיוון כוח השדה החשמלי‪ ,‬והן את‬
‫כיוון הכוח המגנטי‪ .‬עם זאת‪,‬מסת האלקטרון קטנה פי בערך ‪ 1840‬ממסת‬
‫הפרוטון‪ .‬אם התנע שלהם שווה‪ ,‬אז מהירותו צריכה להיות גדולהבהרבה ‪ ,‬ולכן‬
‫הכוח המגנטי יהיה גדול בהרבה‪ ,‬והאלקטרון לא ינוע בקו ישר‪.‬‬
‫א( הכוח המגנטי )כוח לורנץ( הפועל על האלקטרונים הוא‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪FB = −ev × B‬‬
‫כוח לורנץ תמיד מאונך למהירות ולכן )אם המהירות ההתחלתית של האלקטרונים מאונכת לשדה( הוא‬
‫גורם לתנועה מעגלית‪ .‬אם נשים את השדה המגנטי בכיוון היוצא מהדף ) ̂‪ ,( x‬הכוח יהיה רדיאלי ותנועת‬
‫האלקטרונים תהיה מעגלית בכיוון שמראה הציור‪ .‬אם השדה יהיה בכיוון הפוך‪ ,‬תנועת האלקטרונים תהיה‬
‫גם מעגלית אבל בכיוון הפוך )כלפי מטה(‪ .‬הכוח ההתחלתי הוא‪:‬‬
‫‬
‫ˆ‪FB = −evyˆ × Bxˆ = −evB( yˆ × xˆ ) = −evB(− zˆ ) = evBz‬‬
‫)מאונך למהירות כלפי מעלה‪ .‬כשהמהירות משנה כיוון גם הכוח משנה כיוון כך שהוא נשאר ניצב לה‬
‫לאורך כל התנועה(‪ .‬על מנת שהאלקטרונים לא יגיעו לקיר‪ ,‬צריך שרדיוס המעגל יהיה קטן מהמרחק ‪.d‬‬
‫נחשב את רדיוס המעגל‪:‬‬
‫‪mv 2 mv 2 mv‬‬
‫=‪⇒ R‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪≤d‬‬
‫‪FB‬‬
‫‪evB eB‬‬
‫‪2mK‬‬
‫‪≤d‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪2K 1‬‬
‫=‬
‫‪m‬‬
‫‪B‬‬
‫‪m‬‬
‫‪eB‬‬
‫=‪⇒ R‬‬
‫‪2K‬‬
‫‪m‬‬
‫‬
‫‪v2‬‬
‫‪FB = Fr = ma r = m‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪⇒ v‬‬
‫‪2mK‬‬
‫‪e2d 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪mv 2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪K‬‬
‫≥‪⇒ B‬‬
‫ב( כפי שאמרנו השדה צריך להיות בכיוון ̂‪) x‬יוצא מהדף( אם רוצים שהאלקטרונים ינועו כמו בציור‪.‬‬
‫אם שמים אותו בכיוון ̂‪ , − x‬האלקטרונים גם לא יגיעו לקיר אבל ינועו במעגל כלפי מטה‪.‬‬
‫א( הכוח המגנטי שמניע את הרכבת הוא הכוח שפועל על הציר שמחבר בין הגלגלים‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪F = iL × B‬‬
‫אם הזרם זורם בציר בכיוון היוצא מהדף‪ ,‬על פי חוק יד ימין הכוח שמופעל על הציר הוא בכיוון ̂‪ . − y‬אם‬
‫לא אוהבים את החוק עם היד‪ ,‬ניתן לחשב את המכפלה הוקטורית‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪F = iL( xˆ ) × Bzˆ = iLB (1,0,0) × (0,0,1) = iLB (− yˆ ) ⇒ F = iLB‬‬
‫מכאן ניתן לבודד את זרם הדרוש‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪10.000 N‬‬
‫‪= 3.33 × 10 8 A‬‬
‫=‬
‫‪−6‬‬
‫‪LB 3m ⋅ 10 × 10 T‬‬
‫=‪i‬‬
‫ב(‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪P = i 2 R = 3.33 × 10 8 A × 1Ω = 1.11 × 1017 Watt‬‬
‫ג( ההספק שחישבנו בסעיף ב הוא האנרגיה שמתבזבזת על ההתנגדות של פסי הרכבת לכל ‪ 1Ω‬לכל‬
‫שנייה‪ .‬אם האנרגיה הזאת תהפוך לחום‪ ,‬אין חומר שיוכל להחזיק מעמד‪ .‬לכן נכון להיום הפרויקט הוא‬
‫לגמרי לא מציאותי‪ ,‬אבל מי יודע‪...‬‬