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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos II
Examen 28—06—02
Una esfera de radio R y peso W cae por el eje de un tubo vertical de radio R + h0 (h0 ¿ R) lleno de un líquido de
densidad ρ y viscosidad μ. Se trata de calcular la velocidad límite de caída de la esfera, U , suponiendo que los efectos
viscosos son dominantes en el movimiento del líquido en la ranura axilsimétrica que queda entre la esfera y el tubo.
Para obtener la solución conviene usar un sistema de referencia ligado a la esfera, como se muestra en la figura, y
proceder como sigue:
1.- Mostrar que el espesor de la ranura entre esfera y tubo es
x2
para distancias x tales que h ¿ R.
2R
√
Obsérvese que h es del orden de h0 cuando x es del orden de Rh0 .
h = h0 +
2.- Estimar el orden de magnitud del cociente uc /U , donde uc es la velocidad característica del líquido en la ranura.
3.- Estimar, en términos de U , el orden de magnitud de la variación de presión p1 − p2 en la ranura, de longitud
√
característica Rh0 . Mostrar que p1 − p2 es mucho mayor que las variaciones de presión en el resto del campo fluido
(longitud característica R).
4.- Estimar, en términos de U , el orden de magnitud de los esfuerzos viscosos sobre la pared de la esfera.
5.- Estimar el orden de magnitud de la contribución a la fuerza vertical sobre la esfera de la variación de presión y
√
de los esfuerzos viscosos en la ranura (x ∼ Rh0 ) estimados en los apartados 3 y 4 respectivamente. Comprobar que
esta contribución es pequeña comparada con la debida a la diferencia de presiones p1 − p2 actuando sobre el resto de
la superficie de la esfera.
6.- Calcular la diferencia de presiones p1 − p2 en función de la velocidad U .
7.- Calcular la velocidad U de caída de la esfera.
8.- Dar el criterio para que los efectos viscosos sean dominantes en el movimiento del líquido en la ranura. Comprobar
si el criterio se cumple cuando el peso de la esfera es de 1 gramo, la relación h0 /R ∼ 10−3 y el líquido es agua.
2 ( R+h0 )
g
p2
x
R
p1
U
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Mecánica de Fluidos II
Examen 17—6—04
Una carcasa cilíndrica de radio R y longitud L (L ∼ R) rodea a un bulón infinitamente
largo de radio R1 (R − R1 ¿ R). La distancia entre los ejes paralelos de la carcasa y
bulón es e ∼ (R − R1 ). El bulón se desplaza longitudinalmente respecto a la carcasa
con velocidad U . En la película entre carcasa y bulón hay un líquido de densidad ρ y
viscosidad µ. La carcasa está tapada en sus extremos, permitiendo el deslizamiento del
bulón pero evitando la salida del líquido.
Se pide:
1.- Escribir la ecuación diferencial y condiciones de contorno que permiten determinar la
distribución de presiones, p (θ, x), en la capa líquida entre bulón y carcasa, suponiendo
que los efectos viscosos son dominantes.
2.- Obtengan la solución, p0 (x), cuando la excentricidad es nula (e = 0).
3.- A partir de la ecuación y condiciones de contorno del apartado 1, obtengan la ecuación
y condiciones de contorno que permiten determinar la corrección a la solución del apartado
2 cuando la excentricidad es pequeña pero no nula; e/ (R − R1 ) ¿ 1.
4.- Obtengan la solución del problema simplificado del apartado anterior.
L
h
R
U
R1
R1
x
e
θ
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Mecánica de Fluidos II
Examen 180912
Un disco de radio R gira con velocidad angular constante Ω0 . Concéntrico con él hay otro disco del
mismo radio, separado una distancia h R, y que inicialmente está parado. Entre ambos discos hay
un líquido de densidad ρ y viscosidad µ. Como consecuencia del arrastre generado por el giro del
primer disco, el segundo va adquiriendo una velocidad angular Ω (t) que se pretende determinar. Para
ello supongan:
- El movimiento del líquido entre ambos discos es con efectos
viscosos dominantes.
- La presión en el contorno exterior de los discos,(r = R),
es la presión ambiente pa .
- La distancia entre ambos discos es una función conocida
del tiempo h = h (t) R.
- El efecto de las fuerzas másicas es despreciable en el movimiento del líquido.
- El momento de inercia alrededor del eje de giro del segundo
disco es I .
Para el desarrollo del ejercicio, determinen:
1.- Velocidad circunferencial vθ del líquido entre los discos.
2.- Velocidad radial vr del líquido en función de ∂p/∂r.
3.- Distribución de presiones p (r, t).
4.- Par con respecto al eje de giro, que ejercen los esfuerzo viscoso en el segundo disco, arrastrado por
el primero.
5.- Velocidad angular Ω (t) del segundo disco. El resultado lo pueden dejar en forma de una integral.
6.- Den la distribución de presiones, p (r, t), y la velocidad angular Ω (t) cuando h (t) = h0 constante.
NOTA 1.- Tengan en cuenta que el problema admite la solución con p independiente de θ.
NOTA 2.- Consideren que la coordenada y = 0 esta en el primer disco (el de velocidad Ω0 ) e y = h en
el segundo disco (de velocidad Ω).
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Mecánica de Fluidos II
Examen 19–09–2006
1. Un líquido de densidad ½ y viscosidad ¹ ‡uye por efecto de la gravedad alrededor de un hilo
vertical de radio a. El líquido forma una capa de radio exterior R sobre el hilo. Suponiendo
que el movimiento del líquido está dominado por la viscosidad, se pide:
(a) Distribución de velocidad y caudal Q en función de R y los demás parámetros del
problema.
(b) Simpli…car la expresión del caudal admitiendo que R À a.
2. Los resultados anteriores son válidos para un movimiento casi-unidireccional, para el que
el caudal, y con ello R, no son estrictamente constantes y uniformes. Procediendo por
analogía con la teoría de películas delgadas dominadas por la viscosidad, se pide:
(a) Escribir la ecuación de continuidad para un volumen de control limitado por dos
secciones horizontales in…nitamente próximas de la capa de líquido.
(b) Sustituir en esta ecuación la expresión simpli…cada del caudal para R À a y obtener
la ecuación hiperbólica que satisface R(x; t).
(c) Como aplicación de la ecuación anterior, determinar la solución para el caso en que
el caudal se disminuya bruscamente desde un valor Q1 a un valor Q2 < Q1, de forma
que los radios exteriores de la película estacionaria lejos aguas arriba y aguas abajo
de la transición sean R1 y R2 < R1.
r
g
a
R
x
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Mecánica de Fluidos II
Examen 21—9—05
Un depósito muy grande contiene un líquido de viscosidad cinemática ν. El líquido está
limitado por una pared vertical que está inicialmente en reposo y empieza a moverse
verticalmente hacia arriba con una velocidad V constante a partir de un cierto instante.
El movimiento de la pared arrastra líquido del depósito, que forma una película delgada
sobre la pared. Se pide estudiar el flujo en la película suponiendo que es aplicable la teoría
de la lubricación. Para ello:
1. Escribir la ecuación de Reynolds para el espesor h(x, t) de la película en un sistema
de referencia ligado a la pared móvil. Aquí x es la distancia vertical medida hacia
abajo desde el punto de la pared que inicialmente coincide con la superficie del
líquido.
2. Mostrar, sustituyendo en la ecuación del apartado anterior, que existe una solución
de semejanza del problema, de la forma h(x, t) = f (ξ), con ξ = x/t.
3. Determinar la función f (ξ) e interpretar esta solución en términos de las características en el plano (x, t),
4. Calcular el espesor máximo de la película.
V
g
g
x
Vt
h(x,t)
ν
ν
t=0
t>0
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Mecánica de Fluidos II
Examen 08—06—2009
Un líquido de densidad ρ y viscosidad μ constantes, que está en presencia de un gas a la presión
constante pg , fluye sobre una superficie troncocónica de ecuación R (z) = R0 + z · senα (con
α ∼ 1), tal como se muestra en la figura. La superficie gira con velocidad angular ω constante,
alrededor de su eje. El líquido forma sobre la superficie una película delgada de espesor h (z),
con h (0) = h0 ¿ R0 , que se trata de determinar. Para la obtención de h (z) supongan unos ejes
(y, z, θ) ligados a la superficie, tal como se muestra en la figura. Supongan además que
ρh20 ω
ρvzc h20
¿1;
¿ 1,
μ
μR0
de modo que los efectos viscosos son dominantes en el movimiento de la película líquida (en la
expresión anterior vzc es la velocidad característica según z). Las fuerzas másicas, en ausencia
de gravedad, pueden escribirse en la"forma
#
2 (R(z) − ycosα)2
ω
f~m = ∇
− 2~
ω × ~v ,
2
donde ~v es la velocidad del líquido. Se pide:
1.- Admitiendo que las fuerzas másicas de Coriolis son despreciables frente al resto, obtener:
. 1.1.- Ecuaciones de cantidad de movimiento según ejes z e y, con v θ = 0 en esta aproximación.
. 1.2.- Determinen la presión motriz p + ρU en la capa líquida como función de h (z).
. 1.3.- Orden de magnitud de la velocidad característica según el eje z, vzc .
2.- En los puntos anteriores se ha supuesto que la aceleración de Coriolis es despreciable, sin
embargo, según el eje θ es del orden de ωvz y según el eje z del orden de ωv θ , introduciendo
términos de segundo orden que se pretenden estimar.
. 2.1.- Orden de magnitud de v θ como consecuencia de la fuerza de Coriolis y mostrar que es
pequeña frente a vz .
. 2.2.- Mostrar que la contribución de las fuerzas de Coriolis según el eje z es despreciable frente
al resto de las fuerzas másicas.
3.- Escriban la ecuación de Reynolds y obtengan la distribución de espesores de la capa h (z).
θ
h(z)
z
α
2 ⋅R 0
R0
y
pg
ω
y
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Mecánica de Fluidos II
Examen 14—06—10
La figura representa un depósito cilíndrico que contiene líquido (densidad ρ y viscosidad cinemática ν) en
condiciones de ingravidez. Con respecto a ejes inerciales, el depósito está girando alrededor de su eje con
velocidad Ω. El líquido se encuentra inicialmente en reposo con respecto al depósito, ocupando una capa
alrededor de su superficie de espesor h0 (h0 /R ¿ 1). En el instante inicial se abre una válvula que deja salir
un gasto volumétrico, por unidad de longitud, de valor 2q constante. Se trata de estudiar el movimiento de
la capa líquida en ejes ligados al cilindro. Para ello se supone que los efectos viscosos son dominantes, que la
¡
¢2
aceleración de Coriolis es despreciable frente a la centrífuga y que el parámetro adimensional ε = 3νq/ Ωh20
es muy pequeño. Se pide:
1.- Aplicar la ecuación de la continuidad en forma integral para determinar la evolución con el tiempo del
volumen, V , del líquido de la capa. Determinar también el tiempo, td , de descarga.
2.- Escriban la ecuación diferencial, condición inicial y condiciones de contorno que permiten determinar el
espesor h (x, t) de la capa de líquido, donde la coordenada x se define como x = Rθ.
3.- Deriven con respecto a x la ecuación diferencial del apartado anterior para obtener una ecuación para
∂h/∂x.
4.- A la vista de la condición de contorno en x = 0, muestren que si h/h0 ∼ 1 se obtiene ∂h/∂x ∼ εh0 /R ¿ 1
y, como consecuencia de ello, escriban ∂h/∂x = (εh0 /R) Φ con Φ ∼ 1. Sustituyan este valor de ∂h/∂x en la
ecuación del apartado 3 y muestren que los dos términos más importantes son los proporcionales a ∂Φ/∂t y
a ∂ 2 Φ/∂x2 .
5.- Escriban la ecuación simplificada, condición inicial y condiciones de contorno que permiten determinar
Φ. Escriban esta ecuación en forma adimensional utilizando las variables τ = t/td , η = x/R y ξ = h/h0 y
simplifíquenla para ε ¿ 1.
6.- Dado que (R/h0 ) (∂h/∂x) ¿ 1, determinen la variación con el tiempo del espesor de la capa h (0, t) en
x = 0. Obtengan la solución de la ecuación simplificada e indiquen el orden de magnitud de los periodos de
tiempo para los que esta solución no es válida.
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Mecánica de Fluidos II
Examen 02—03—1979
Un depósito cilíndrico de radio de la base R, contiene un líquido de densidad ρ y viscosidad µ. Inicialmente el depósito
está lleno hasta una altura H0 . En su base tiene una matriz porosa de espesor h y permeabilidad K. A su vez, la parte
exterior de la matriz porosa está tapada con un disco de radio R, que en el instante inicial se separa, paralelamente
a sí mismo, una distancia h de la matriz porosa, descargándose el líquido al exterior por la zona que queda entre el
medio poroso y el disco. Supongan que se puede aplicar la ley de Darcy en el medio poroso y que los efectos viscosos
son dominantes a través de la capa líquida (supongan H0 ∼ R, h ¿ R y KR2 /h4 ∼ 1). Se pide:
1.- Orden de magnitud de las velocidades en el depósito y en la matriz porosa, relativas a la velocidad característica
en la capa líquida inferior.
2.- Estimar el orden de magnitud de los incrementos de presión motriz en el depósito, mostrando que son pequeños
frente a los incrementos de presión en la matriz porosa y en la capa líquida.
3.- Orden de magnitud de los incrementos espaciales de presión en la matriz porosa (tanto radiales como verticales) y
en la capa líquida.
4.- Orden de magnitud de la velocidades radial y vertical en la capa líquida y en la matriz porosa.
5.- Mostrar que las variaciones de velocidad vertical en la matriz porosa son pequeñas frente a esta velocidad vertical.
Determinar esta velocidad vertical en la matriz porosa, vpz , en función de la presión, p, en la capa líquida.
6.- Ecuación diferencial y condiciones de contorno que determinan la distribución de presiones en la capa líquida.
Observen que esta ecuación se reduce a una que da ϕ = ϕ (η), siendo
p − pf = ρgH · ϕ (η) con η =
r
, siendo pf la presión en el fondo del depósito.
R
Escribir la ecuación diferencial que determina ϕ (η) y sus condiciones de contorno.
7.- Determinar la altura H de líquido en el depósito en función del tiempo. ¿Que necesitaría conocer de la función
ϕ (η) para determinar por completo H (t)?.
8.- Den el criterio para que los efectos viscosos sean dominantes en la capa líquida.
pa
g
H
pf
h
h
R
pa
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Mecánica de Fluidos II
Examen 25—6—07
A través de un tapón poroso de radio R y longitud 5R, pasa aire a una cavidad cilíndrica (de
radio 2R y longitud también 2R). Desde esta cavidad el aire sale al exterior por una ranura en
forma de corona circular de altura h ¿ R, como puede observarse en la figura adjunta.
La presión a la entrada del tapón poroso es p0 y a la salida de la ranura anular es pa < p0 . Para
el movimiento del aire en el tapón poroso supondremos que es aplicable la ley de Darcy y en
la ranura anular los efectos viscosos son dominantes.
La temperatura de las paredes, del tapón poroso y del aire es constante e igual a Ta . La
viscosidad del aire es μ y la permeabilidad del tapón poroso es K.
Se pide:
1.- Muestren, por estimaciones de órdenes de magnitud, que las variaciones espaciales de la
presión en la cavidad son pequeñas frente a las que se van a encontrar a lo largo de la ranura
anular (donde los efectos viscosos son dominantes) y, como consecuencia de ello, la presión p1
en la cavidad puede considerarse uniforme. Muestren también que la caída de presión en el
tapón poroso es comparable a la de la ranura anular si el parámetro RK/h3 es de orden unidad.
2.- Analizando el proceso en el tapón poroso, obtengan la relación existente entre p0 , la presión
en la cavidad p1 , el gasto de aire G y las demás magnitudes que intervienen en el problema.
3.- Obtengan la relación existente entre p1 , pa , G y las demás magnitudes que intervienen en
el problema, analizando el proceso en la ranura anular.
4.- Determinen la presión p1 en la cavidad y el gasto de aire G.
pa
h
4R
R
po
p1
2R
5R
2R
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Mecánica de Fluidos II
Examen 210911
Un recipiente cilíndrico de radio de la base R y altura también R, tiene la pared lateral y la base
superior de un material poroso de espesor e R y permeabilidad K . La base del cilindro no es porosa.
El recipiente tiene inicialmente una altura de agua (densidad ρ y viscosidad µ) igual a 3R/4 y el resto
es aire (ρa , µa µ) a la presión ambiente pa .
A partir de un cierto instante, que consideraremos como inicial, el agua se derrama por la pared lateral
porosa bajo la acción de la gravedad, permitiendo la entrada de aire por el resto de las paredes porosas.
Suponiendo que en el medio poroso es aplicable la ley de Darcy y que el aire en el interior del depósito
se mantiene a la presión ambiente, se pide:
1.- Orden de magnitud de las variaciones radiales y verticales de la presión motriz en la pared porosa
lateral donde hay agua.
2.- Estimen el orden de magnitud de la velocidad radial y vertical del agua en la matriz porosa lateral.
Muestren que a una altura z constante, la velocidad radial del agua apenas cambia al atravesar dicha
pared porosa.
3.- Estimen el orden de magnitud de la velocidad del aire al atravesar la pared porosa. Muestren que las
variaciones de presión del aire al atravesar la pared porosa son pequeñas frente a ρgR, lo que justica
la armación anterior de que la presión del aire en el interior del depósito es la ambiente en primera
aproximación.
4.- Teniendo en cuenta las estimaciones de los apartados anteriores, determinen la velocidad radial del
agua a través de la pared porosa lateral, en función de la altura de agua H en el interior del depósito
y de la coordenada vertical z .
5.- Determinen la evolución con el tiempo de la altura H del agua en el interior del depósito.
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Mecánica de Fluidos II
Examen 18—09—10
Un disco de radio R está separado de un medio poroso, de permeabilidad K, radio R y espesor e, una distancia h (e
y h son muy pequeños frente a R). El conjunto está sumergido en un líquido de densidad ρ y viscosidad μ. El líquido
se mueve en la ranura existente entre disco y medio poroso, y a través del medio poroso como consecuencia de que h
varía con el tiempo siguiendo la ley h = h0 (1 + βcosωt)con β < 1.
Suponiendo que los efectos viscosos son dominantes en el movimiento del líquido por la ranura y que en el medio
poroso es aplicable la ley de Darcy, se pide:
1.- Estimen el orden de magnitud de la velocidad radial del líquido en la ranura.
2.- Estimen el orden de magnitud de los incrementos radiales de presión en la ranura.
3.- Estimen el orden de magnitud de las velocidades radial y transversal al medio poroso. Estimen también el orden
de magnitud de las variaciones de velocidad transversal.
4.- Supuesta conocida la presión p (r, t) en la ranura, determinen la velocidad transversal vp al medio poroso.
5.- Escriban la ecuación de Reynolds, y las condiciones de contorno, que permiten determinar la distribución de
presiones, p (r, t), en la ranura.
6.- Se sabe que el parámetro adimensional ε = KR2 /eh30 es pequeño. Cuando ε ¿ 1 un término de la ecuación obtenida
en el apartado 5 es despreciable frente al resto. ¿Cual es el significado físico de esta simplificación?. Obtengan la
solución de la ecuación simplificada.
h
pa
y
R
pa
r
pa
pa
e
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Mecánica de Fluidos II
Examen 21—06—08
Por una ranura bidimensional de altura h constante y longitud L, se mueve un gas (de viscosidad μ) como consecuencia
de que la presión aguas arriba de la ranura es pe y aguas abajo ps (pe > ps ), ambas constantes.
La base de la ranura es una pared porosa de permeabilidad K y espesor e. Se supone que e ∼ h ¿ L y que K ¿ eh.
La presión en la cara del medio poroso opuesta a la capa de gas es también ps (véase figura adjunta).
Suponiendo que los efectos viscosos son dominantes en el movimiento del gas por la ranura; que en el medio poroso es
aplicable la ley de Darcy, y que la temperatura del gas y la de las paredes es T0 constante; se pide:
1.- Escriban la ecuación que determina la distribución de presiones en el medio poroso y simplifíquenla estimando el
orden de magnitud de cada uno de sus términos y comparándolos entre sí. Determinen la distribución de presiones en
el medio poroso, pp (x, y), en función de la coordenada y y en función de x a través de la presión p (x) en la capa de
gas.
2.- Determinen el gasto másico por unidad de área a través del medio poroso, ρvp , en función de la presión p (x) en la
capa de gas de la ranura.
3.- Ecuación y condiciones de contorno que determinan la presión p (x) a lo largo de la capa de gas. Adimensionalicen
esta ecuación utilizando las variables ϕ = p/ps y ξ = x/L.
4.- Obtengan, en primera aproximación, la solución ϕ (ξ) y vp (ξ) cuando el parámetro adimensional
α=
12KL2
,
eh3
es muy pequeño. Determinen el gasto por la capa de gas y el gasto a través de la pared porosa (gastos por unidad de
longitud ya que el problema es bidimensional). Expliquen el significado físico de esta solución.
5.- En el límite opuesto, α À 1, la solución es ϕ = 1 en la mayor parte de la distancia L, excepto en una pequeña
región en las proximidades de x = 0. Estimen el orden de magnitud de esta distancia y comprueben que sigue siendo
grande frente a h.
y
L
pe
h
e
vp
ps
x
ps
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ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
Mecánica de Fluidos II
Examen 201012
Un pistón cilíndrico de radio R está situado a una distancia h (t)conocida de una supercie horizontal.
El pistón está limitado por un anillo de material poroso de radio R, espesor e y permeabilidad K e2 .
Se sabe que e h R, y que el parámetro adimensional eh2 /KR es de orden unidad.
Tanto en la cavidad de espesor h (t), como en el medio poroso y en el exterior hay un líquido de
densidad ρ y viscosidad µ constantes y la presión en el exterior es la ambiente pa .
Como consecuencia del movimiento del
pistón, el líquido es forzado a atravesar el anillo poroso. Suponiendo que los
efectos viscosos son dominantes en el
movimiento del líquido en la capa de
espesor h, que en el medio poroso es
aplicable la ley de Darcy y que los efectos de las fuerzas másicas son despreciables, se pide:
1.- Orden de magnitud de la velocidad radial en la capa líquida y en el medio poroso.
2.- Orden de magnitud de las variaciones radiales de presión en la capa líquida.
3.- Orden de magnitud de los incrementos de presión a través del medio poroso.
4.- Distribución de presiones, p (r, t), en la capa líquida, en función de la presión en el centro p (0, t).
5.- Gasto volumétrico por unidad de longitud circunferencial en la capa líquida.
6.- Distribución de presiones en el medio poroso, pp (x, t) en función de p (0, t). La distancia x está
medida en el medio poroso tal que x = r − R, de modo que varía entre 0 y e.
7.- Determinen la presión en el centro p (0, t).
(Nota: den las estimaciones de órdenes de magnitud con dh/dt en lugar de poner una altura característica dividida por un tiempo característico)
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ESCUELA DE INGENIERIA AERONAUTICA Y DEL ESPACIO
Mecánica de Fluidos II
Examen 16-01-2013
La figura muestra el corte transversal del sistema de drenaje de una pista de aterrizaje sobre
la que está lloviendo con intensidad q0 (caudal por unidad de superficie horizontal). El
drenaje desde el plano de simetría vertical de la pista puede modelarse como un medio
poroso de porosidad K, con espesor H y longitud L (H/L<<1), que descarga en un canal de
desagüe y que está limitado en su base por una superficie impermeable. Para una
determinada intensidad de lluvia q0, el agua ocupa parte del medio poroso con una
distribución de alturas h(x), de modo que h(0)=h0<H. Se desea analizar la capacidad de
desagüe del sistema. Para ello se pide:
1. Determinar el orden de magnitud de las velocidades del agua a través del medio
poroso en la dirección vertical y horizontal, en función de q0, h0 y L. Asumiendo que
el movimiento en el medio poroso puede ser descrito mediante la ley de Darcy,
determinar asimismo las variaciones de presión motriz en la dirección vertical y
horizontal, determinando la relación entre ambas.
2. A la vista del resultado anterior, escribir la ley que proporciona, en cada estación x,
la velocidad horizontal del agua en el medio poroso para una estación arbitraria x en
función del gradiente de presión motriz en la dirección x, así como el caudal que pasa
por dicha estación, relacionándolo con la intensidad de lluvia q0.
3. Integrar la expresión anterior en la dirección x entre x=0 y x=L para obtener la altura
h0. Determinar el valor máximo de la intensidad de lluvia q0max antes de que la pista
comience a encharcarse.
4. Escribir la ecuación diferencial y condición de contorno que proporciona la
distribución de alturas h(x) para un valor q0<q0max. Obtener su solución.
pa

g
q0
z
H
h0
x
L
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Mecánica de Fluidos II
Examen 010713
Por una placa bidimensional de espesor e, inclinada un ángulo α ∼ 1, discurre una capa de un líquido de
densidad ρ y viscosidad µ bajo la acción de la gravedad. El movimiento de la capa líquida es con efectos
viscosos dominantes.
A partir de una cierta sección, que tomaremos como x = 0, la placa es porosa de permeabilidad K e2 ,
permitiendo que el líquido se ltre. Se supone que es aplicable la ley de Darcy en el medio poroso. Para x < 0
la placa no es porosa y el espesor de la capa líquida es h0 ∼ e. La presión del aire en la entrefase de la capa
líquida y por la parte inferior de la placa es pa . Los efectos de tensión supercial son despreciables.
Para x > 0 el espesor de la capa líquida va disminuyendo como consecuencia de su ltración a través del
medio poroso, de modo que a una distancia x = ` e la capa líquida desaparece. Se pide:
1.- Orden de magnitud de los incrementos de presión motriz, ∆ (p + ρU ), a lo largo de la capa líquida y a
través de la misma.
2.- Orden de magnitud de los incrementos de presión motriz en el medio poroso.
3.- Orden de magnitud de la velocidad longitudinal en la capa líquida.
4.- Orden de magnitud de la velocidad longitudinal en la pared porosa
5.- Orden de magnitud de la velocidad transversal a la pared porosa, mostrando que la velocidad transversal
apenas varía en el espesor e.
6.- Orden de magnitud de la longitud `, mostrando que es grande frente a e.
7.- Velocidad de ltrado a través del medio poroso en función de h (x).
8.- Caudal en la capa líquida en función de h (x).
9.- Ecuación de Reynolds que permite determinar el espesor h (x) de la capa líquida.
10.- Determinar h (x) y por lo tanto `.