Download P 0 = ρgh

Fluid Mechanics
A fluidis a collection of molecules that are randomly arranged and held together by weak
cohesive forces and by forces exerted by the walls of a container. Both liquids and gases
are fluids.
‫يعرف المائع على أن تجمع من الجزيئات تترتب مع بعضها بشكل عشوائى وترتبط فيما بينها بقوى تماسك ضعيفة‬
.‫ كل من الغازات والسوائل موائع‬.‫وبالقوى المبذولة بواسطة جدار الوعاء الذى يحوى المائع‬
First, we consider the mechanics of a fluid at rest—that is, fluid statics
PRESSURE‫الضغط‬
If F is the magnitudeof the force exerted on the piston and A is the surface area of the
piston , the the pressure P of the fluid at the level to which the device has been
submergedis defined as the ratio F/A:
To define the pressure at a specific point, we consider a fluid
acting on the device
shown in Figure 1. If the force exerted by the fluid over an
infinitesimal surface element of area dAcontaining the point in
question is dF, then the pressure at that point is
‫أى يمكن تعريف الضغط على أنة القوة المؤثرة عموديا على مساحة السطح ويقاس بوحدة تسمى الباسكال نسبة للعالم‬
‫المتر‬/‫نيوتن‬1 = ‫ باسكال‬1 ‫باسكال حيث‬
2
Example 1.
The mattress of a water bed is 2.00 m long by 2.00 m wide and 30.0 cm deep. (a) Find
the weight of the water in the mattress and the pressure exerted by the water on the floor
when the bed rests in its normal position. Assume that the entirelower surface of the bed
makes contact with the floor.
‫( الضغط المبذول على‬b) ‫( وزن الماء في الحمام‬a) ‫ أوجد‬. 30 cm‫وعمقة‬2 m ‫ وعرضة‬2 m ‫حمام من الماء طولة‬
.‫قاع الحمام‬
Solution
a-
b-
VARIATION OF PRESSURE WITH DEPTH
As divers well know, water pressure increases with depth. Likewise,
atmospheric pressure decreases with increasing altitude; it is for this
reason that aircraft flyingat high altitudes must have pressurized cabins.
Now let us consider a fluid of density ρ at rest and open to the atmosphere,
as shown in Figure 2 We assume that ρ is constant; this means that the fluid
is incompressible.
‫ وكما نعلم أن الضغط الجوى ينقص كلما ازداد االرتفاع‬.‫يعرف الغواصون أن ضغط الماء يزداد كلما ازداد العمق‬
‫عن سطح البحر ولهذا السبب فان الطائرات التى تطير على ارتفاعات كبيرة البد وأن تكون كبائنها مجهزة ومصممة‬
.‫لذلك‬
Let us select a sample of the liquid contained within an imaginary cylinder of crosssectional area A extending from the surface to a depth h. The pressure exerted by the
outside liquid on the bottom face of the cylinder is P, and the pressure exerted on the top
face of the cylinder is the atmospheric pressure P0 , That is, the pressure P at a depth h
below the surface of a liquid open to the atmosphere is greater than atmospheric pressure
by an amount ρgh:
In our calculations and working of end-of-chapter problems, we usuall take atmospheric
pressure to be P0 = 1 atm = 1.013×105 Pa
‫ عن قيمة‬ρgh ‫ من سطح الماء يزداد بمقدار‬h ‫نخلص من هذا الجزء الى أن الضغط الواقع على نقطة على عمق‬
‫ وأى زيادة فى الضغط تنقل لجميع نقاط السائل وكان أول من أدرك هذا المفهوم العالم‬.‫الضغط الجوى عند السطح‬
:‫ قاعدة باسكال والتى تنص على ما يلى‬, ‫باسكال حيث وضع قاعدة سميت باسمة‬
Pascal’s law: A change in the pressure applied to a fluid is transmitted undiminished to
every point of the fluid and to the walls of the container.
An important application of Pascal’s law is the hydraulic press illustrated inFigure. A
force of magnitude F1 is applied to a small piston of surface areaA1 . The pressure is
transmitted through a liquid to a larger piston of surface areaA2 . Because the pressure
must be the same on both sides,P = F1/A1 = F2/A2, Therefore, the force F2 is greater than
the force F1 by a factor A2/A1 , which iscalled the force-multiplying factor.
Example 2
In a car lift used in a service station, compressed air exerts aforce on a small piston that
has a circular cross section and aradius of 5.00 cm. This pressure is transmitted by a
liquid to apiston that has a radius of 15.0 cm. What force must the compressedair exert to
lift a car weighing 13 300 N? What airpressure produces this force?
‫ تبذل قوة على مكبس صغير له مقطع مستعرض دائرى‬, ‫في المكبس الهيدروليكى المستخدم في محطات السيارات‬
‫ ما هى القوة الالزمة لرفع‬. 15 cm ‫ ينتقل الضغط بواسطة السائل الى مكبس اخر نصف قطرة‬. 5 cm ‫نصف قطرة‬
‫ احسب ضغط الهواء الذى تولدة هذه القوة‬. 13300 N ‫سيارة تزن‬
Solution
PRESSURE MEASUREMENTS
1- The Open Tube Manometer ‫المانومتر ذو األنبوبة المفتوحة‬
One simple device for measuring pressure is the opentube manometer illustrated in figure 4. One end of a Ushaped tube containing a liquid is open to the
atmosphere,and the other end is connected to a system of
unknown pressure P.The difference in pressure is equal to
P-P0 = ρgh; hence, The pressureP= P0 +ρghis called the
absolute pressure, and the difference is called thegauge
pressure. The latter is the value that normally appears on
a pressuregauge. For example, the pressure you measure
in your bicycle tire is the gaugepressure.
‫المانومتر ذو االنبوبة المفتوحة يعتبر واحدا من الوسائل المستخدمة لقياس‬
‫ أحد‬. ‫ تحتوى على سائل‬U ‫الضغط ويتكون من أنبوبة على شكل حرف‬
‫طرفيها معرض للهواء بينما الطرف الثانى يوصل بالوعاء المراد قياس‬
‫ لذلك يكون الضغط‬P-P0 = ρgh ‫ضغطة فيكون فرق الضغط‬
P = P0 + ρgh
2- The Barometer ) ‫(الباروميتر‬
Another instrument used to measure pressure is the common barometer, which. The
barometer consists of a long, mercury-filled tube closed at one end and inverted into an
open container ofmercury (Fig.b). The closed end of the tube is nearly a vacuum, and so
itspressure can be taken as zero. Therefore, it follows that P0= ρgh where his theheight
of the mercury column.
‫الجهاز الثانى الذى يستخدم في قياس الضغط يسمى بالباروميتر وهو يتكون من أنبوبة طويلة مملوءة بالزئبق تنكس‬
‫ النهاية المغلقة لألنبوبة تقريبا فراغ لذلك يمكن اعتبار الضغط عندها مساويا الصفر‬.‫في وعاء مفتوح مملوء بالزئبق‬
.‫ هو ارتفاع عمود الزئبق‬h ‫ حيث‬P0 = ρgh ‫وعلى ذلك يكون‬
BUOYANT FORCES AND ARCHIMEDES’S PRINCIPLE
The upwardforce exerted by water on any immersed object is called a buoyant force.
The manner in which buoyant forces act is summarized by Archimedes’sprinciple,
which states that the magnitude of the buoyant force Balways equalsthe weight of the
fluid displaced by the object. The buoyant force acts verticallyupward through the
point that was the center of gravity of the displaced fluid.
B = Mg
Where Mg is the weight of the displaced liquid
‫ الطريقة التى تؤثر بها هذه القوة‬.‫ان القوة التى يؤثر بها الماء ألعلى على أى جسم مغمور تسمى قوة الطفو‬
:‫توصف بقاعدة أرشميدسوالتى تنص على ما يلى‬
.‫ وقوة الطفو تؤثر عموديا ألعلى‬.‫قيمة قوة الطفو تساوى دائما وزن السائل المزاح بواسطة الجسم المغمور‬
Case 1:Totally Submerged Object: When an object is totally submerged in afluid of
density ρf, the magnitude of the upward buoyant force is ρfV0g whereVo is the volume
of the object. If the object has a mass M and density ρo , its weightis equal to Fg = Mg
= ρoVogand the net force on it isB-Fg = (ρf – ρo)Vog. Hence, if the density of the object
is less than the density of the fluid, then thedownward force of gravity is less than the
buoyant force, and the unconstrainedobject accelerates upward (Fig. a). If the density
‫‪of the object is greater thanthe density of the fluid, then the upward buoyant force is‬‬
‫‪less than the downwardforce of gravity, and the unsupported object sinks (Fig. b).‬‬
‫‪ -1‬الحالة األولى الجسم المغمور كليا ‪ :‬عندما يغمر جسم بالكامل في مائع كثافتة‪ , ρf‬فان قيمة قوة الطفو تساوى‬
‫‪ ρfVog‬حيث ‪ Vo‬حجم الجسم‪ .‬فاذا كانت كتلة الجسم ‪M‬وكثافتة‪ρo‬فان وزنة يكون ‪Fg = Mg = ρoVog‬وتكون‬
‫محصلة القوة المئثرة علية‪ .B-Fg = (ρf-ρo)Vog‬فاذا كانت كثافة الجسم أقل من كثافة المائع لذلك تكون قوة‬
‫الجازبية المؤثرة ألسفل أقل من قوة الطفو المؤثرة ألعلى ويندفع الجسم متجها ألعلى‪ .‬أما ان كانت كثافة‬
‫الجسم أكبر من كثافة المائع فان قوة الجازبية المؤثرة ألسفل تكون أكبر من قوة الطفو ويسقط الجسم ألسفل‪.‬أى‬
‫أن اتجاه الحركة لجسم مغمور في مائع يعتمد على كل من كثافة الجسم وكثافة المائع‬
‫‪Case 2: Floating Object Now consider an object of volume Vo in static‬‬
‫‪equilibriumfloating on a fluid—that is, an object that is only partially submerged. In‬‬
‫‪this case, the upward buoyant force is balanced by the downward gravitational‬‬
‫‪forceacting on the object. If Vf is the volume of the fluid displaced by the object‬‬
‫‪(thisvolume is the same as the volume of that part of the object that is beneath thefluid‬‬
‫‪level), the buoyant force has a magnitude B = ρfVfg. Because the weight ofthe object is‬‬
‫‪Fg = Mg = ρoVog and because Fg = B we see that ρfVfg = ρoVog or:‬‬
‫الحالة الثانية الجسم الذى يطفو فوق السطح‪:‬‬
‫االن لنفترض جسما حجمة ‪ Vo‬في حالة اتزان استاتيكى يطفو فوق سطح مائع أى الجسم المغمور جزئيا‬
‫‪ ,‬في هذه الحالة فان قوة الطفو المؤثرة ألعلى تتزن مع قوة الجازبية المؤثرة ألسفل والموثره على الجسم‬
‫‪ .‬اذا كان ‪ Vf‬حجم السائل المزاح بواسطة الجسم ‪ ,‬فان قوة الطفو هى‪ .B = ρfVfg‬وحيث أن وزن الجسم‬
‫‪Fg = Mg = ρoVog‬ففى حالة الطفو يكون‪:‬‬
B = Fg
ρfVfg = ρoVog
FLUID DYNAMICS
Thus far, our study of fluids has been restricted to fluids at rest. We now turn
ourattention to fluids in motion. Instead of trying to study the motion of each particleof
the fluid as a function of time, we describe the properties of a moving fluid ateach
point as a function of time.
Because the motion of real fluids is very complex and not fully understood, wemake
some simplifying assumptions in our approach. In our model of an idealfluid, we make
the following four assumptions:
1. The fluid is nonviscous. In a nonviscous fluid, internal friction is neglected.An
object moving through the fluid experiences no viscous force.
2. The flow is steady. In steady (laminar) flow, the velocity of the fluid at eachpoint
remains constant.
3. The fluid is incompressible. The density of an incompressible fluid is constant.
4. The flow is irrotational. In irrotational flow, the fluid has no angular
momentumabout any point. If a small paddle wheel placed anywhere in the fluid
doesnot rotate about the wheel’s center of mass, then the flow is irrotational.
‫تحدثنا في الجزء الماضى عن خواص الموائع الساكنة واالن سوف نواصل الحديث ولكن عن الموائع في حالة‬
:‫الحركة ولتبسيط دراسة الموائع المتحركة علينا أن نضع الفروض االتية‬
‫ نفترض ان المائع غير لزج أن أى ينساب بسهولة حيث تهمل قوى االحتكاك‬-1
‫ يكون السريان ثابتا أى أن سرعة المائع عند أى نقطة تظل ثابتة‬-2
‫ كثافة المائع ثابتة‬.‫ المائع غير قابل لألنضغاط‬-3
STREAMLINES AND THE EQUATION OF CONTINUITY
The path taken by a fluid particle under steady flow is called a
streamline. The velocityof the particle is always tangent to the
streamline, as shown in Figure ( ).A set of streamlines like the
ones shown in Figure 15.16 form a tube of flow.Consider an ideal
fluid flowing through a pipe of nonuniform size, as illustratedin
Figure 15.17. The particles in the fluid move along streamlines in
steadyflow. In a time t, the fluid at the bottom end of the pipe
moves a distance Δx1 = v1t. If A1 is the cross-sectional area in this
region, then the mass of fluidcontained in the left shaded region in
Figure 15.17 is m1 = ρA1Δx1 = ρA1v1twhere ρ is the (nonchanging)
density of the ideal fluid.
Similarly, the fluid thatmoves through the upper end of the pipe in the time t has a
mass m2 = ρA2v2t. However, because mass is conserved and because the flow is
steady, the mass thatcrosses A1 in a time t must equal the mass that crosses A2 in the
time t. That is,
A1v1 = A2v2 = constant
This expression is called the equation of continuity. It states that
the product of the area and the fluid speed at all points along the pipe is a constantfor
an incompressible fluid.
The product Av, which has the dimensionsof volume per unit time, is called either the
volume flux or the flow rate.
‫معادلة برنولى‪:‬‬
‫معادلة برنولى نسبة ألول من صاغها وطورها وهو العالم دانيل برنولى ‪ 1738‬وهى ال تعد اكتشافا جديدا ولكنها‬
‫صيغة لحفظ الطاقة في معادلة تجعلة مفيدة لحل مسائل الموائع ‪ .‬فاذا افترضنا مائعا يدخل أحد طرفى األنبوبة‬
‫بسرعة ‪ v1‬وكان الضغط ‪ P1‬واالرتفاع عن سطح األرض ‪ y1‬ثم يرتفع األنبوب في الجهة الخرى الى ‪ y2‬حيث‬
‫يتدفق المائع بسعة ‪ v2‬عند ضغط ‪ P2‬فقد وجد برنولى أن‪:‬‬
‫أو يمكن كتاب المعادلة على الصورة‪:‬‬
‫حيث ‪ ρ‬كثافة المائع و ‪ A1‬و ‪ A2‬مساحة مقطع األنبوب عند النقطة ‪ 1‬والنقطة ‪.2‬‬
‫من هذه المعادلة يمكن استنتاج أن الضغط ينقص كلما ازدادت سرعة المائع وكلما ازداد االرتفاع عن سطح‬
‫األرض‪ .‬وهناك الكثير من التطبيقات التى تبنى أساسا على معادلة برنولى نذكر منعها األمثلة االتية‪:‬‬
‫‪ -1‬مقياس فينتورى‬
‫يمكن استخدام هذا المقياس لقياس سرعة تدفق مائع عند نقطة مثل نقطة ‪ 2‬بداللة فرق الضغط بين هذه النقطة‬
‫ونقطة أخرى مثل ‪ 1‬كما يتضح من الشكل‪.‬‬
‫وحيث أن األنبوبة أفقية فهذا يعنى أن ‪ y1 = y2‬وعلية يكون‪:‬‬
‫ومن معادلة االستمرارية‪:‬‬
‫خزان الماء المثقوب وعالقة تورشيلى‪:‬‬
‫شكل ( ) يبين خزان يحتوى على سائل كثافتة ‪ ρ‬مثقوب ثقبا ضيقا عند نقطة تبعد مسافة ‪ y1‬عن قاع الخزان‪ .‬ثقب‬
‫الخزان يعرض للضغط الجوى بينما سطح الخزان ضغطة ‪ P‬ويبعد مسافة ‪ h‬عن سطح الثقب بينما يبعد مسافة ‪y1‬‬
‫عن قاع الخزان‪.‬‬
‫وحيث أن ‪ A2‬أكبر بكثير من ‪ A1‬فان المائع عند المنطقة ‪ 2‬يعتبر في حالة سكون بالنسبة للمائع عند نقطة ‪1‬‬
‫أى أن ‪ v2‬تساوى صفر ‪ .‬من معادلة برنولى نجد أن‪:‬‬
‫وكن ‪ y2-y1 = h‬نجد أن‪:‬‬
‫واذا كان الخزان مفتوحا فان ‪ P = P0‬وعلى ذلك نجد أن‪:‬‬
‫‪𝑣1 = √𝜌𝑔ℎ‬‬
‫مسائل متنوعة‬
‫‪ -1‬احسب الضغط المؤثر على دبوس رسم دفع بقوة ‪ 25 N‬خالل السبورة الخشبية علما بأن مساحة رأس‬
‫الدبوس ‪0.1 mm2‬‬
‫‪ -2‬أوجد الضغط الكلى وكذلك القوى الضاغطة الكلية المؤثرة على قاع حوض به ماء مالح كثافتة ‪1030‬‬
‫‪ kg/m3‬اذا كانت مساحة مقطع الحوض ‪ 1000 cm2‬وارتفاع الماء به ‪ 1 m‬وكان سطح الماء في‬
‫الحوض معرضا للهواء الجوى وعجلة الجازبية الرضية ‪.10 m/s2‬‬
‫‪ -3‬غواصة مصممه بحيث تتحمل ضغط أقصاه ‪ 11.793×105 N/m2‬أوجد أقصى عمق يمكن أن‬
‫تغوص الية دون أن تتجاوز حد الضغط األقصى‪ .‬ثم اوجد القوة التى يتأثر بها باب القمرة التى أبعادة‬
‫‪ 80 cm×50cm‬عند هذا العمق علما بان الضغط الجوى ‪ 1.013×105 N/m2‬وكثافة الماء ‪1000‬‬
‫‪ kg/m3‬وعجلة الجازبية األرضية ‪9.8 m/s2‬‬
‫‪ -4‬اوجد كتلة الهواء في غرفة أبعادها ‪ 2.8 m ×3.5 m×4m‬اذا علمت أن كثافة الهواء ‪1.3 kg/m3‬‬
‫‪ -5‬اذا كان الضغط في قاع اناء اسطوانى به زيت هو ‪ 15×103 N/m2‬احسب القوة الكلية المؤثرة على‬
‫قاعدة االناء اذا كان قطر القاعدة ‪8 m‬‬
‫‪ -6‬قاعدة حوض أسماك مساحتها ‪ 1000 cm2‬وكان الحوض يحتوى على ماء وزنة ‪ 4000 N‬احسب‬
‫ضغط الماء على قاع الحوض‪.‬‬
‫‪ -7‬اذا كان الضغط الجوى عند سطح ماء في بحيرة هو‪ . 1.013×15 N/m2‬ما عمق البحيره اذا كان‬
‫الضغط عند قاعها ‪ 3 atm‬علما أن كثافة الماء ‪ 1000 kg/m3‬وعجلة الجازبية األرضية ‪9.81 m/s2‬‬
‫‪ -8‬اوجد الفرق في الضغط الجوى بين سطح البحر في منطقة جيزان ومدينة أبها التى تقع على ارتفاع ‪2.7‬‬
‫‪ km‬عن سطح البحر بفرض أن كثافة الهواء ثابتة وتساوى ‪1.3 kg/m3‬‬