Download x - no

TFY 4170 - Fysikk 2
Forelesning 13: Kvantemekanikk
Heisenberg’s uncertainty relationship. Wave-function and
Schrödinger equation.
Mansfield & O’Sullivan: 13.8,13.9,13.10
Quantum mechanics
!
Physics at the start of the
20st century
!
!
Radiation from black
bodies
!
!
The photoelectric effect.
!
!
The X-ray continuum.
!
Compton scattering.
Photons.
!
de Broglie hypothesis.
!
!
Wave-particle duality.
!
!
Heisenberg’s uncertainty.
!
!
!
Wave functions and
expectation values.
Schrødinger equation.
Free particles.
Time dependent
Schrødinger equation.
Particle in a box.
Quantum mechanical
reflection.
Tunnelling.
Quantum mechanical
worldview.
Repetisjon:
Bølgepakke
Repetisjon:
Bølgepakke
Repetition:
Wave-packets
En funksjon
vilkårlig
funksjon
(bølge)
medλperiode
λ kan
representeres
En vilkårlig
(bølge)
med
periode
kan
representeres
En arbitrary
function
(wave)
with
period
λ can
be
represented:
!
!
!
1 f (x)!= 1 a + a cos
2! n k = 2!
k
x
+
b
sin
k
x
(
)
(
)
"
"
f (x) = a0 + " an cos
k
x
+
b
sin
k
x
kn =
0 ( n )n " n n
n
n
( n )n
"
2
"
2
n=1
n=1
n=1
n=1
an :tilamplitude
til komponent n
an : amplitude
komponent
are the namplitudes of the nth components
a n bn
En ikke-periodisk funksjon
(bølgepakke)
kan tilsvarende
representeres
En ikke-periodisk
tilsvarende
representeres
A non-periodicfunksjon
function(bølgepakke)
(single wave kan
packet)
can be represented:
"
1 f "(x) = 1
f (k)exp(!ikx)dk
f (x) =
f (k)exp(!ikx)dk
#
#
2! !"
2! !"
f (k) : amplitude
til komponent
med
f (k) : amplitude
komponent
med bølgetall
k bølgetall k
f (k) til
: amplitude
as a function of wavenumber
en superposisjon
av et kontinuum
av bølgekomponenter.
dvs.i.e.
en superposisjon
avofeta kontinuum
av
bølgekomponenter.
advs.
superposition
continuum
of wave
components
Repetition: Wave-packets
Example:
f(k)
Δk
x
x
= width in real-space
k
= width in k-space
k
Repetition:
duality
Repetisjon: Wave-particle
Bølge-partikkel
dualitet
Electromagnetic
radiation:
Elektromagnetisk
stråling:
--Diffraksjon,
Diffraction, interference:
interferens
Wave
Bølge
--Den
The photoelectric
fotoelektriskeeffect,
effekt,Compton
Comptonscattering:
effekten
Particle
Partikkel
Wave-particle
duality!
Bølge-partikkel
dualitet!
de
de Broglie’s
Broglies hypothesis:
hypotese:
h
p
E
f=
h
!=
!
p = !k
!
E = !"
Matter
waves!
Materiebølger!
Wave-particle duality
!
Localised wave: Wave=packet
vgroup = vparticle
(amplitude)2 = P
!
Matter wave-packets = packets (regions) of particle probability
Uncertainty in the position of the particle = Δx
!
h
p = = ~k
l
From before:
px x
~/2
Heisenberg’s uncertainty principle
Example:
A person of weight 60kg travels along the x-axis, with a velocity 1.5 m/s.
Use Heisenberg’s uncertainty relationship to estimate the uncertainty in
the position of the person.
x
~
2 px
6.6 ⇥ 10 34 kg m2 s 1
⇡
2 ⇥ 2⇡ ⇥ 60 ⇥ 1.5 m s 1
⇡ 10
36
m
Heisenberg’s uncertainty principle
Example:
An electron travels with a velocity of 2.2x106 m/s in the x-direction.
Use Heisenberg’s uncertainty principle to estimate the uncertainty in the
position of the electron
x
~
2 px
6.6 ⇥ 10 34 kg m2 s 1
⇡
2 ⇥ 2⇡ ⇥ 9.11 ⇥ 10 31 ⇥ 2.2 ⇥ 106 m s
⇡ 10
10
m
1
=> similar to an atomic spacing!
Quantum mechanics is important in understanding atomic scale
phenomena in solid matter.
eisenbergs usikkerhetsrelasjon
Heisenberg’s
uncertainty principle
Heisenbergs
usikkerhetsrelasjon
nbergs usikkerhetsrelasjon: Energi, tid
Heisenbergs
usikkerhetsrelasjon:
Energi,and
tid time:
Heisenberg’s
relationship for energy
ning (beat):
Consider
a beating wave:
Svevning
(beat):
D tD t
TbTb
Modulation frequency:
lasjonsfrekvens:
Modulasjonsfrekvens:
Δωω = Δω
ωb = b
2
2
T=b Tb =1 1 =!! = 22!! = 22!!!!
!t
!t = =
=
=
2
2
f
"
" !E
2 2 f b " b !!"
!E
a continuousspekter:
spectrum: ( !E ) ( !t ) >= ! / 2
For For
et kontinuerlig
(!E ) (!t ) >= ! / 2
t kontinuerlig spekter:
b
b
Werner Heisenberg
Nobel-prisen i fysikk, 1932
Werner Karl Heisenberg
Germany
Leipzig University Leipzig, Germany
f.1901
d.1976
"for the creation of quantum
mechanics, the application of which
has, inter alia, led to the discovery
of the allotropic forms of hydrogen"
Wave function
Electromagnetic radiation:
(wave)
(particle)
wave-function:
- It tells us about the particle probability
- It is complex
- It is not directly measurable
I: intensity
A: amplitude
n: photon density
Probability
Square of the wavefunction:
- real
- measurable
- probability density
The probability of finding a particle in the unit of space between x and x
+Δx at time t is:
It is a normalised function
x
x+Δx
Expectation
value
Forventningsverdi
Forventningsverdi
Heisenberg’s
uncertainty
principle:
Heisenbergs
usikkerhetsrelasjon:
Heisenbergs
usikkerhetsrelasjon:
!x )!>=
/ 2! / 2
(!px()!p
(!xx ))(>=
Position
be bestemmes
found too
exactly
Posisjon
kan
nøyaktig
Posisjon
kancannot
ikkeikke
bestemmes
nøyaktig
Expectation
value (gjennomsnittet):
(average):
Forventningsverdien
(gjennomsnittet):
Forventningsverdien
"
"
"
"
!"
!"
!"
!"
2
2
x
=
x
!
(x,
t)dx
=
x
!
(x,
t) dx
x = # x !#(x, t)dx = # x !
# (x, t) dx
Example:
Eksempel:
Eksempel:
A exp
ψ ( xψ, t()x=, t )A=exp
(i ( kx(i (−kxωt−)ω) t ))
2
2 *
"
"
*
!"
*
ψ
(
x
,
t
)
=
ψ
x, t()xψ, t()x, t )
ψ ( x, t ) = ψ ( x, t()ψ
! *t)x
(x,!t)x
(x, t)dx
x =x # = !# (x,
(x,!t)dx
!"
Example:
A particle can move along the x axis between x=0 and x=1.
The particle’s wavefunction is ψ=Cx within this region and ψ=0
everywhere else. What is the probability that the particle is found
between x=0.4 and x=0.6? Also, find the expectation value of the
particles position.
Expectation value
Generally:
Expectation value of a physical variable Q(x,t)
The information is contained in the wave-function.
Schrødinger’s wave mechanics
Wave-equation
We consider a harmonic time-dependence:
Result: Helmholtz relationship (stationary wave equation)
Schrødinger used this as a motivation for his wave equation; the
“Schrødinger equation”.
Note: - the same equation is valid for waves and particles
- the wavelength is given via de Broglie’s hypothesis: λ=h/p.
Schrødingers
bølge-mekanikk
Schrødingers
bølge-mekanikk
Schrødinger’s
wave mechanics
hrødingers
bølge-mekanikk
Vi
får
2
2
Vi
2
"
%
Wefår
find:
2
!
2
"
p
2
2
"
%
!
2
"
p
!
+
"
%
'' !!==00
!
2" p 2 ! +$$
! + $ !x
## hh &&
2 =0
' !
# h !x
&
!x 2
p = !k
pp==!k
!k
Ikke-relativistisk
partikkel:
Ikke-relativistisk
partikkel: 2
elativistisk
partikkel:
Non-relativistic particles:
p2
p +U = E
: :potensiell
energi
p2
U: U
potential
energy
Uenergi
potensiell
energi
+U
=
E
U
:
potensiell
+U = E2m
E: total
energy
EE: :total
energi
2m
2m
total
energi
E : total energi
2
2
2
2
"
%
2
!
2
"
2
"
%
" 2"!%2 !!++$ 2"' 2m(E
!
(U)
!!==00
2m(E
(U)
$
'
!
+
2m(E
(U)
!
=
0
2
$
'
## hh &&
!x
# h!x&
!x 2
Schrødinger:
Gyldig
også
for potensial
som
posisjons-avhengig.
Schrødinger:
Gyldig
også
potensial
somiser
er
posisjons-avhengig.
dinger:
Gyldig også
for valid
potensial
som
er posisjons-avhengig.
Schrødinger:
Also
forfor
potential
which
spatially
varying.
Resultat:
Ikke-relativistisk
tidsuavhengig
Schrødinger-ligning:
Result:
Non-relativistic,
time-independent
Schrødinger equation:
Resultat:
Ikke-relativistisk
tidsuavhengig
Schrødinger-ligning:
at: Ikke-relativistisk
tidsuavhengig
Schrødinger-ligning:
!!22 !!22
! !
!!(x)
"U(x)
((EE(x)
))!!(x)
(x)+)+!
"U(x)
(x)==00
2"U(x)
!
(x)
+
E
=
0
2
(
2m
2m!x
!x
2m !x 2
2
2
Schrødingers
bølge-mekanikk
Schrødingers
bølge-mekanikk
Schrødinger’s
wave mechanics
Rettferdiggjørelse:
Ligningen
gir resultater
som
stemmer
Rettferdiggjørelse:
Ligningen
girgives
resultater
stemmer
Justification: The
equation
resultssom
which
agree
with experiments:
eksperimenter.
medmed
eksperimenter.
Alternativ
måte
å utlede
Schrødinger-ligningen
på:
Alternativ
måte
å way
utlede
Schrødinger-ligningen
på:
An alternative
to “derive”
the Schrødinger
equation
is:
-Total
energi
(Hamilton-funksjonen)
-Total
energi
(Hamilton-funksjonen)
- Total
energy
(Hamilton function)
2
p2 p
+U(x)
H ( p,Hx)( p,
= x) =+U(x)
=E =E
2m 2m
-Multipliser
begge
sider
bølgefunksjonen
-Multipliser
begge
sider
med
bølgefunksjonen
- Multiply
both
sides
by med
the
wave
function
2
p 2 p ! (x) +U(x)! (x) = E! (x)
! (x) +U(x)! (x) = E! (x)
2m 2m
-Introduser
en
for
- Introduce
an operator
operator
for impulsen
the momentum
p:
-Introduser
en operator
for impulsen
p p
"!i! "
p
=
px,op =x,op
!i!
"x "x
Time dependent Schrødinger
Tidsavhengig Schrødinger-ligning
Schrødinger-ligning
equation:
Tidsavhengig
Elektromagnetisk stråling:
Elektromagnetisk
stråling:
Electromagnetic radiation:
E = hf
-Einsteins foton:
E
= hf
--Einsteins
Einstein’sfoton:
photon:
c= fλ
-Lysfarten:
c= fλ
--Lysfarten:
speed of light:
-De Broglies hypotese
λ = h/ p
--De
De Broglies
Broglie’shypotese
hypothesis λ = h / p
Bølgeligningen
Bølgeligningen
Wave equation:2
2
E = pc ⇒ E 22 = p22c22
E = pc ⇒ E = p c
Repetisjon – forelesning 13
!
2 !
!22 f (x, t) = v2 !22 f (x, t)
!t 2 f (x, t) = v !x 2 f (x, t)
!t
!x
Tidsuavhengig Schrødinger-ligning
Schrødingerligningen
Schrødinger
equation:
Schrødingerligningen
! 2 2 !2 2
!2 !2 2! (x) + ( E "U(x)) ! (x) = 0
! ( x ) + E "U ( x ) ! ( x ) = 0
2m! !x! 2 !
2m !x 2 ( x ) + E "U ( x ) ! ( x ) = 0
2m !x
Tidsavhengig Schrødinger-ligning
# !22 "22
&
"
2
2
# #%!!! "" 2 +U(x)&&(! (x, t) = i!"" ! (x, t)
+U(x)(!
(x,t)t)==i!i! "t!!(x,
(x,t)t)
%$! 2m "x2 2+U(x)
('!(x,
%!
2m"x
"x
"t"t
$ $ 2m
''
((
))
"
px,op = !i! "
px,op = !i! "x
"x
"
Eop = i! "
Eop = i! "t
"t
Schrødinger-equation:
Repetition
Repetisjon–––forelesning
forelesning13
13
Repetisjon
forelesning
13
Time
independent
Schrødinger equation:
Tidsuavhengig
Schrødinger-ligning
Tidsuavhengig
Schrødinger-ligning
2
2
!!2 !!2 ! (x) + E "U(x) ! (x) = 0
2! (x) + ((E "U(x)))! (x) = 0
2
2m!x
!x
2m
Tidsavhengig
Schrødinger-ligning
Tidsavhengig
Schrødinger-ligning
Time
dependent
Schrødinger equation:
## !!22 ""22
&&
"" ! (x, t)
!
+U(x)
!
(x,
t)
=
i!
+U(x)((! (x, t) = i! ! (x, t)
%%!
22
2m"x
"x
"t
"t
$$ 2m
''
The
squareav
of bølgefunksjonen
the wave-function
the
probability density:
Kvadratet
av
bølgefunksjonen
eris
en
sannsynlighetstetthet:
Kvadratet
er
en
sannsynlighetstetthet:
22
(x,t)t)== !!(x,
(x,t)t)
!!(x,
The
expectation valuetil
ofen
a fysisk
physical
quantity
Q(x,t) is:
Forventningsverdien
til
en
fysisk størrelse
størrelse
Q(x,t):
Forventningsverdien
Q(x,t):
""
Q == ## !!**(x,
(x,t)Q(x,
t)Q(x,t)t)!!(x,
(x,t)t)
Q
!"
!"