Survey
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
TFY 4170 - Fysikk 2 Forelesning 13: Kvantemekanikk Heisenberg’s uncertainty relationship. Wave-function and Schrödinger equation. Mansfield & O’Sullivan: 13.8,13.9,13.10 Quantum mechanics ! Physics at the start of the 20st century ! ! Radiation from black bodies ! ! The photoelectric effect. ! ! The X-ray continuum. ! Compton scattering. Photons. ! de Broglie hypothesis. ! ! Wave-particle duality. ! ! Heisenberg’s uncertainty. ! ! ! Wave functions and expectation values. Schrødinger equation. Free particles. Time dependent Schrødinger equation. Particle in a box. Quantum mechanical reflection. Tunnelling. Quantum mechanical worldview. Repetisjon: Bølgepakke Repetisjon: Bølgepakke Repetition: Wave-packets En funksjon vilkårlig funksjon (bølge) medλperiode λ kan representeres En vilkårlig (bølge) med periode kan representeres En arbitrary function (wave) with period λ can be represented: ! ! ! 1 f (x)!= 1 a + a cos 2! n k = 2! k x + b sin k x ( ) ( ) " " f (x) = a0 + " an cos k x + b sin k x kn = 0 ( n )n " n n n n ( n )n " 2 " 2 n=1 n=1 n=1 n=1 an :tilamplitude til komponent n an : amplitude komponent are the namplitudes of the nth components a n bn En ikke-periodisk funksjon (bølgepakke) kan tilsvarende representeres En ikke-periodisk tilsvarende representeres A non-periodicfunksjon function(bølgepakke) (single wave kan packet) can be represented: " 1 f "(x) = 1 f (k)exp(!ikx)dk f (x) = f (k)exp(!ikx)dk # # 2! !" 2! !" f (k) : amplitude til komponent med f (k) : amplitude komponent med bølgetall k bølgetall k f (k) til : amplitude as a function of wavenumber en superposisjon av et kontinuum av bølgekomponenter. dvs.i.e. en superposisjon avofeta kontinuum av bølgekomponenter. advs. superposition continuum of wave components Repetition: Wave-packets Example: f(k) Δk x x = width in real-space k = width in k-space k Repetition: duality Repetisjon: Wave-particle Bølge-partikkel dualitet Electromagnetic radiation: Elektromagnetisk stråling: --Diffraksjon, Diffraction, interference: interferens Wave Bølge --Den The photoelectric fotoelektriskeeffect, effekt,Compton Comptonscattering: effekten Particle Partikkel Wave-particle duality! Bølge-partikkel dualitet! de de Broglie’s Broglies hypothesis: hypotese: h p E f= h != ! p = !k ! E = !" Matter waves! Materiebølger! Wave-particle duality ! Localised wave: Wave=packet vgroup = vparticle (amplitude)2 = P ! Matter wave-packets = packets (regions) of particle probability Uncertainty in the position of the particle = Δx ! h p = = ~k l From before: px x ~/2 Heisenberg’s uncertainty principle Example: A person of weight 60kg travels along the x-axis, with a velocity 1.5 m/s. Use Heisenberg’s uncertainty relationship to estimate the uncertainty in the position of the person. x ~ 2 px 6.6 ⇥ 10 34 kg m2 s 1 ⇡ 2 ⇥ 2⇡ ⇥ 60 ⇥ 1.5 m s 1 ⇡ 10 36 m Heisenberg’s uncertainty principle Example: An electron travels with a velocity of 2.2x106 m/s in the x-direction. Use Heisenberg’s uncertainty principle to estimate the uncertainty in the position of the electron x ~ 2 px 6.6 ⇥ 10 34 kg m2 s 1 ⇡ 2 ⇥ 2⇡ ⇥ 9.11 ⇥ 10 31 ⇥ 2.2 ⇥ 106 m s ⇡ 10 10 m 1 => similar to an atomic spacing! Quantum mechanics is important in understanding atomic scale phenomena in solid matter. eisenbergs usikkerhetsrelasjon Heisenberg’s uncertainty principle Heisenbergs usikkerhetsrelasjon nbergs usikkerhetsrelasjon: Energi, tid Heisenbergs usikkerhetsrelasjon: Energi,and tid time: Heisenberg’s relationship for energy ning (beat): Consider a beating wave: Svevning (beat): D tD t TbTb Modulation frequency: lasjonsfrekvens: Modulasjonsfrekvens: Δωω = Δω ωb = b 2 2 T=b Tb =1 1 =!! = 22!! = 22!!!! !t !t = = = = 2 2 f " " !E 2 2 f b " b !!" !E a continuousspekter: spectrum: ( !E ) ( !t ) >= ! / 2 For For et kontinuerlig (!E ) (!t ) >= ! / 2 t kontinuerlig spekter: b b Werner Heisenberg Nobel-prisen i fysikk, 1932 Werner Karl Heisenberg Germany Leipzig University Leipzig, Germany f.1901 d.1976 "for the creation of quantum mechanics, the application of which has, inter alia, led to the discovery of the allotropic forms of hydrogen" Wave function Electromagnetic radiation: (wave) (particle) wave-function: - It tells us about the particle probability - It is complex - It is not directly measurable I: intensity A: amplitude n: photon density Probability Square of the wavefunction: - real - measurable - probability density The probability of finding a particle in the unit of space between x and x +Δx at time t is: It is a normalised function x x+Δx Expectation value Forventningsverdi Forventningsverdi Heisenberg’s uncertainty principle: Heisenbergs usikkerhetsrelasjon: Heisenbergs usikkerhetsrelasjon: !x )!>= / 2! / 2 (!px()!p (!xx ))(>= Position be bestemmes found too exactly Posisjon kan nøyaktig Posisjon kancannot ikkeikke bestemmes nøyaktig Expectation value (gjennomsnittet): (average): Forventningsverdien (gjennomsnittet): Forventningsverdien " " " " !" !" !" !" 2 2 x = x ! (x, t)dx = x ! (x, t) dx x = # x !#(x, t)dx = # x ! # (x, t) dx Example: Eksempel: Eksempel: A exp ψ ( xψ, t()x=, t )A=exp (i ( kx(i (−kxωt−)ω) t )) 2 2 * " " * !" * ψ ( x , t ) = ψ x, t()xψ, t()x, t ) ψ ( x, t ) = ψ ( x, t()ψ ! *t)x (x,!t)x (x, t)dx x =x # = !# (x, (x,!t)dx !" Example: A particle can move along the x axis between x=0 and x=1. The particle’s wavefunction is ψ=Cx within this region and ψ=0 everywhere else. What is the probability that the particle is found between x=0.4 and x=0.6? Also, find the expectation value of the particles position. Expectation value Generally: Expectation value of a physical variable Q(x,t) The information is contained in the wave-function. Schrødinger’s wave mechanics Wave-equation We consider a harmonic time-dependence: Result: Helmholtz relationship (stationary wave equation) Schrødinger used this as a motivation for his wave equation; the “Schrødinger equation”. Note: - the same equation is valid for waves and particles - the wavelength is given via de Broglie’s hypothesis: λ=h/p. Schrødingers bølge-mekanikk Schrødingers bølge-mekanikk Schrødinger’s wave mechanics hrødingers bølge-mekanikk Vi får 2 2 Vi 2 " % Wefår find: 2 ! 2 " p 2 2 " % ! 2 " p ! + " % '' !!==00 ! 2" p 2 ! +$$ ! + $ !x ## hh && 2 =0 ' ! # h !x & !x 2 p = !k pp==!k !k Ikke-relativistisk partikkel: Ikke-relativistisk partikkel: 2 elativistisk partikkel: Non-relativistic particles: p2 p +U = E : :potensiell energi p2 U: U potential energy Uenergi potensiell energi +U = E U : potensiell +U = E2m E: total energy EE: :total energi 2m 2m total energi E : total energi 2 2 2 2 " % 2 ! 2 " 2 " % " 2"!%2 !!++$ 2"' 2m(E ! (U) !!==00 2m(E (U) $ ' ! + 2m(E (U) ! = 0 2 $ ' ## hh && !x # h!x& !x 2 Schrødinger: Gyldig også for potensial som posisjons-avhengig. Schrødinger: Gyldig også potensial somiser er posisjons-avhengig. dinger: Gyldig også for valid potensial som er posisjons-avhengig. Schrødinger: Also forfor potential which spatially varying. Resultat: Ikke-relativistisk tidsuavhengig Schrødinger-ligning: Result: Non-relativistic, time-independent Schrødinger equation: Resultat: Ikke-relativistisk tidsuavhengig Schrødinger-ligning: at: Ikke-relativistisk tidsuavhengig Schrødinger-ligning: !!22 !!22 ! ! !!(x) "U(x) ((EE(x) ))!!(x) (x)+)+! "U(x) (x)==00 2"U(x) ! (x) + E = 0 2 ( 2m 2m!x !x 2m !x 2 2 2 Schrødingers bølge-mekanikk Schrødingers bølge-mekanikk Schrødinger’s wave mechanics Rettferdiggjørelse: Ligningen gir resultater som stemmer Rettferdiggjørelse: Ligningen girgives resultater stemmer Justification: The equation resultssom which agree with experiments: eksperimenter. medmed eksperimenter. Alternativ måte å utlede Schrødinger-ligningen på: Alternativ måte å way utlede Schrødinger-ligningen på: An alternative to “derive” the Schrødinger equation is: -Total energi (Hamilton-funksjonen) -Total energi (Hamilton-funksjonen) - Total energy (Hamilton function) 2 p2 p +U(x) H ( p,Hx)( p, = x) =+U(x) =E =E 2m 2m -Multipliser begge sider bølgefunksjonen -Multipliser begge sider med bølgefunksjonen - Multiply both sides by med the wave function 2 p 2 p ! (x) +U(x)! (x) = E! (x) ! (x) +U(x)! (x) = E! (x) 2m 2m -Introduser en for - Introduce an operator operator for impulsen the momentum p: -Introduser en operator for impulsen p p "!i! " p = px,op =x,op !i! "x "x Time dependent Schrødinger Tidsavhengig Schrødinger-ligning Schrødinger-ligning equation: Tidsavhengig Elektromagnetisk stråling: Elektromagnetisk stråling: Electromagnetic radiation: E = hf -Einsteins foton: E = hf --Einsteins Einstein’sfoton: photon: c= fλ -Lysfarten: c= fλ --Lysfarten: speed of light: -De Broglies hypotese λ = h/ p --De De Broglies Broglie’shypotese hypothesis λ = h / p Bølgeligningen Bølgeligningen Wave equation:2 2 E = pc ⇒ E 22 = p22c22 E = pc ⇒ E = p c Repetisjon – forelesning 13 ! 2 ! !22 f (x, t) = v2 !22 f (x, t) !t 2 f (x, t) = v !x 2 f (x, t) !t !x Tidsuavhengig Schrødinger-ligning Schrødingerligningen Schrødinger equation: Schrødingerligningen ! 2 2 !2 2 !2 !2 2! (x) + ( E "U(x)) ! (x) = 0 ! ( x ) + E "U ( x ) ! ( x ) = 0 2m! !x! 2 ! 2m !x 2 ( x ) + E "U ( x ) ! ( x ) = 0 2m !x Tidsavhengig Schrødinger-ligning # !22 "22 & " 2 2 # #%!!! "" 2 +U(x)&&(! (x, t) = i!"" ! (x, t) +U(x)(! (x,t)t)==i!i! "t!!(x, (x,t)t) %$! 2m "x2 2+U(x) ('!(x, %! 2m"x "x "t"t $ $ 2m '' (( )) " px,op = !i! " px,op = !i! "x "x " Eop = i! " Eop = i! "t "t Schrødinger-equation: Repetition Repetisjon–––forelesning forelesning13 13 Repetisjon forelesning 13 Time independent Schrødinger equation: Tidsuavhengig Schrødinger-ligning Tidsuavhengig Schrødinger-ligning 2 2 !!2 !!2 ! (x) + E "U(x) ! (x) = 0 2! (x) + ((E "U(x)))! (x) = 0 2 2m!x !x 2m Tidsavhengig Schrødinger-ligning Tidsavhengig Schrødinger-ligning Time dependent Schrødinger equation: ## !!22 ""22 && "" ! (x, t) ! +U(x) ! (x, t) = i! +U(x)((! (x, t) = i! ! (x, t) %%! 22 2m"x "x "t "t $$ 2m '' The squareav of bølgefunksjonen the wave-function the probability density: Kvadratet av bølgefunksjonen eris en sannsynlighetstetthet: Kvadratet er en sannsynlighetstetthet: 22 (x,t)t)== !!(x, (x,t)t) !!(x, The expectation valuetil ofen a fysisk physical quantity Q(x,t) is: Forventningsverdien til en fysisk størrelse størrelse Q(x,t): Forventningsverdien Q(x,t): "" Q == ## !!**(x, (x,t)Q(x, t)Q(x,t)t)!!(x, (x,t)t) Q !" !"