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Mecânica Quântica
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física
Instituto de Física - UFRJ
1º período letivo de 2010
Plano do curso
1. A física clássica em dificuldades.
2. Os princípios da mecânica quântica: sistemas de dois
estados.
3. Sistemas de dois estados: aplicações.
4. Sistemas de N estados.
5. Partículas idênticas.
6. Simetrias.
7. Posição e momentum.
8. Equação de Schroedinger em 1 dimensão: aplicações.
9. A soma sobre caminhos.
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2
Leituras recomendadas
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•
•
•
•
•
M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge, 2006.
H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica,
Blucher, 2002.
R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III,
Bookman, 2008.
R.P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.
T.F. Jordan, Quantum Mechanics in Simple Matrix Form, Dover, 2005.
D.F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge, 2000.
J.S. Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics, USB, 2000.
O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.
A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.
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3
Sobre o ensino de mecânica quântica:
•
•
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•
•
•
M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da
mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências, 6 (2001) 29-56.
I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica
quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física, 33 (2001) 444.
R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American
Journal of Physics 70 (2002) 200; ver também a discussão em AJP 70 (2002) 887.
I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum
mechanics, International Journal of Science Education 20 (1998) 427-446.
I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an Emphasis on the Concept of Quantum States Enhance
Students’ Understanding of Quantum Mechanics?, Science & Education 12 (2003) 541–557.
D. F. Styer, Common Misconceptions Regarding Quantum Mechanics, American Journal of
Physics 64 (1996) 31-34.
C. R. Rocha, V. E. Herscovitz, M. A. Moreira, O Ensino de Mecânica Quântica sob a
Perspectiva dos Referenciais Teóricos da Aprendizagem Significativa e dos Campos
Conceituais, Anais do XVIII SNEF (2009).
L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate Quantum Mechanics Reform, arxiv.org: 0806.2628
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A física clássica em dificuldades
Charles Addams, New Yorker, 1940
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12
A Quantização da Energia
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13
Espalhamento inelástico
detector
E-ε
N
E
ε
alvo
projétil
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ε
14
Espalhamento por moléculas, átomos, ...
E-ε
N
E
ε
ε
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Quantização da energia.
O alvo ganha apenas
certas energias.
15
Espalhamento inelástico pela molécula de CO
e + CO
G. J. Schulz, Vibrational Excitation of N2, CO, and H2
by Electron Impact, Phys. Rev. 135, A988 (1964)
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16
Espalhamento inelástico pelo átomo de He
e + He
D.G. Truhlar, Differential and Integral Cross Sections for Excitation of the
21P State of Helium by Electron Impact, Phys. Rev. A 1, 778 (1970)
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17
Espalhamento inelástico pelo núcleo de 12C
B. Povh et al., Particles and Nuclei (Spriger, 2004) p.70
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20
Espalhamento inelástico pelo próton
F. Halzen, A.D. Martin, Quarks and Leptons (Wiley, 1984) p.180
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21
Em suma:
A energia de
- moléculas,
- átomos,
- núcleos atômicos,
- hádrons,
- ...
é quantizada.
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O quantum de Planck
Max Planck: the reluctant revolutionary
Helge Kragh, Physics World (Dec. 2000)
http://physicsworld.com/cws/article/print/373
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O quantum de Planck
Um oscilador harmônico de freqüência ν pode ter
apenas as energias
E = n hν , n = 0, 1, 2, K
hν = quantum de energia
h = constante de Planck = 6,626069×10−34 Js
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O quantum de Planck
E
E
hν
clássico
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quântico
26
h-cortado
h=
h
= 1,054 571 6 × 10 -34 Js
2π
ω = 2π ν
(constante de Planck reduzida)
hω = h ν
freqüência angular do oscilador
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Osciladores moleculares
CO ↔
Planck: ∆E = n ħω
e + CO
Energia ganha pela molécula (eV)
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n
G. J. Schulz, Vibrational Excitation of N2, CO, and H2 by Electron Impact, Phys. Rev. 135, A988 (1964)
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Osciladores moleculares
Planck:
p + H2
H2
m
k
2m
k
hω ( D2 )
m( H ) 1
=
=
≈ 0,7
hω ( H 2 )
m( D )
2
m
D2
p + D2
2m
ω = k/µ
Dados:
∆ E ( D2 )
≈ 0,8
∆E ( H 2 )
J.H. Moore and J.P. Doering, Ion-Impact Excitation of Pure Vibrational
Transitions in Diatomic Molecules, Phys. Rev. Lett. 23 564 (1969)
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29
Partículas de luz
Albert Einstein
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31
O efeito fotoelétrico
luz
elétrons
metal
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33
Energia máxima dos elétrons (eV)
O efeito fotoelétrico
Freqüência (1014 Hz)
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34
Fótons
Planck:
oscilador quantizado
E = n hν
hν
hν
hν
hν
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hν
Einstein:
n = número de fótons
hν = energia de um fóton
35
O efeito fotoelétrico
fóton:
E = hν
elétron:
E = hν − ∆
metal
∆min ≡ W ↔ função trabalho
Emax = hν − W
ν0 = W/h = freqüência de corte
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36
O efeito fotoelétrico
Sódio metálico
R.A. Millikan, A Direct Photoelectric Determination of
Planck's "h“, Physical Review 7, 355 - 388 (1916)
potencial de contato (Na-Cu) = 2,51 V
constante de Planck
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37
Massa do fóton
E=
p=
mc 2
1 − v 2 / c2
mv
E 2 = c 2 p2 + m 2c 4
1 − v 2 / c2
v=c ⇒ m=0 ⇒
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E = cp
38
Momentum do fóton
ν
E
p= =h
c
c
h
p=
λ
2π
k=
λ
p = hk
número de onda
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39
O efeito Compton
p’
p
fóton
elétron
p′ < p ⇒ λ ′ > λ
A. H. Compton, The Spectrum of Scattered X-Rays,
Physical Review 22 409 (1923)
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40
O efeito Compton
p’
p
fóton
θ
elétron
conservação da
energia e momentum
h
λ′ − λ =
(1 − cos θ)
mec
h/mec = comprimento de onda Compton = 0,024 Å
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41
Ondas de matéria
Louis de Broglie
(Louis-Victor-Pierre-Raymond,
7º duque de Broglie)
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42
Relações de de Broglie
onda
eletromagnética
Einstein
(1905)
ν
λ
partícula
E = hν
h
p=
λ
onda
partícula
de Broglie
(1923)
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E
p
E
ν=
h
h
λ=
p
44
Interferência de partículas
Experimento de Young
L1
L2
interferência construtiva:
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L1 − L 2 = n λ
45
Experimento de Young: elétrons
1 fenda
2 fendas
5 fendas
C. Jönsson, Electron diffraction at multiple slits, Am. J. Phys. 42, 4 (1974)
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46
Elétrons (um a um)
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up
of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
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47
Experimento de Young: nêutrons
R. Gähler, A. Zeilinger, Wave-optical experiments with
very cold neutrons, Am. J. Phys. 59, 316 (1991).
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48
Experimento de Young : átomos de neônio
F. Shimizu et al., Double-slit interference with ultracold
metastable neon atoms, Phys. Rev. A 46, R17 (1992)
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49
Experimento de Young : moléculas de C-60
O. Nairz, M. Arndt, A. Zeilinger, Quantum interference experiments
with large molecules, Am. J. Phys. 71 , 319 (2003).
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50
Em suma:
• Ondas eletromagnéticas podem ter
comportamento corpuscular
• Partículas podem ter comportamento
ondulatório
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51
Dois “mistérios”
• Quantização da energia
• Dualidade onda-partícula
Esses dois “mistérios” estão relacionados.
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52
A Dualidade Onda-Partícula e a Quantização
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53
A energia do átomo de hidrogênio
interferência construtiva
(onda estacionária)
2π r = nλ
elétron
próton
h
2π r = n
p
h
pr = n
= nh
2π
Momento angular quantizado!
Bohr (1913)
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L = nh
54
A energia do átomo de hidrogênio
v 2 e2
2
2
mecânica clássica (F = ma): m
= 2 ⇒ mv r = e
r
r
2
e 1
v=
h n
mv 2 r = e 2 ⎫
⎬ ⇒
mvr = nh ⎭
h2 2
r=
n
2
me
2
e
1
2
E = mv −
2
r
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⇒
1 me 4 1
E=−
2
2
2 h n
55
A energia do átomo de hidrogênio
1 me 4 1
E=−
2 h2 n2
13,6 eV
=−
n2
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56
O espectro do hidrogênio
fóton com energia hν = Ei - Ef
Ei
Ef
1 me 4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜ 2 − 2⎟
hν =
2 ⎜
2 h ⎝ nf
n i ⎟⎠
Bohr, 1913
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1 1 me 4 ⎛ 1
1 ⎞
⎜ 2 − 2⎟
=
3 ⎜
λ 2 h c ⎝ nf
n i ⎟⎠
57
O espectro do hidrogênio
espectro visível
Balmer:
Bohr:
⎛ 1
1
1 ⎞
= R H ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟
λ
ni ⎠
⎝2
1 me 4
RH =
2 h 3c
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RH = 109,677 cm-1
constante de Rydberg
m = massa reduzida e-p
58
O espectro do hidrogênio
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59
Partícula em uma caixa
m
p
L
de Broglie:
h
p=
λ
h
pn =
n
2L
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L
onda estacionária:
λ
L=n
2
p2n
h2 2
En =
=
n
2
2m 8mL
60
Partícula em um potencial V(x)
V(x)
E
x
p2
E=
+ V ( x)
2m
p = ± p(x )
p( x ) = 2m[ E − V ( x )]
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61
Partícula em um potencial V(x)
E
h
h
=
λ ( x) =
p( x )
2m[ E − V ( x )]
p( x )
2m
=
[ E − V ( x )]
2
h
h
k ( x) =
a
b
Caixa:
Potencial:
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∫
b
a
L
λ
=
n
2
dx
n
=
λ ( x) 2
kL = nπ
∫
b
a
k ( x ) dx = nπ
62
Regra de quantização de Bohr-Sommerfeld
p
+ p(x)
∫
b
a
a
b
− p(x)
k ( x ) dx = nπ
x
∫
b
a
nh
p( x ) dx = nπ h =
2
∫ pdx = nh
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63
Regra de quantização de Bohr-Sommerfeld
p
área = n h
x
p
órbitas
permitidas
∫ pdx = nh
área = h
área no espaço
de fase = “ação”
x
a ação é quantizada
h é o quantum de ação
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64
Oscilador harmônico via Bohr-Sommerfeld
1
V ( x) = K x 2
2
E
-A
A
x
p2 1
2
E=
+ Kx
2m 2
p2
x2
p2 x2
+
= 2 + 2 =1
A
2mE 2 E / K B
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elipse no
espaço de fase
65
Oscilador harmônico via Bohr-Sommerfeld
p
∫ pdx = nh
elipse
B
área da elipse = π A B = nh
A= 2 E / K
A
-A
-B
postulado de Planck
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B = 2mE
x
π
m
2E
2mE = 2π
E = nh
K
K
h K
E=n
= nhω
2π m
66
Momento angular via Bohr-Sommerfeld
∫ pdq = nh
p e q: variáveis “conjugadas”
∫ L dθ = nh
L × 2π = nh
L = nh
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postulado de Bohr
67
Partícula quicando via Bohr-Sommerfeld
p2
E = mgH =
+ mgz
2m
z
H
∫ pdz = nh
g
4
2m 2 g H 3 / 2 = nh
3
1/ 3
⎛ 9h ⎞ 1 / 3
H =⎜
n
2 ⎟
⎝ 32m g ⎠
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68
Nêutrons no campo gravitacional da Terra
H = an
2/3
⎛ 9h ⎞
a=⎜
2 ⎟
⎝ 32m g ⎠
2
1/ 3
a = 16,5 µ m
H 1 = 16,5 µ m
H 2 = 26,2 µ m
H 3 = 34,3 µ m
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69
Nêutrons no campo gravitacional da Terra
V. V. Nesvizhevsky et al., Quantum states of neutrons in the
Earth's gravitational field, Nature 415, 297-299 (2002).
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70
Mais Consequências da Dualidade Onda-Partícula
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73
Tunelamento
V(x)
V1
E
V0
x
p0 = 2m( E −V 0)
p1 = 2m( E − V1 ) = i 2m(V1 − E )
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momentum imaginário,
energia cinética negativa:
proibido “classicamente”
74
Tunelamento
p0 = 2m( E −V 0)
k 0 = 2m( E −V 0) / h
onda de de Broglie = A sen( k 0 x ) + B cos(k 0 x )
p1 = 2m( E − V1 )
k1 = 2m( E − V1 ) / h = iκ 1 , κ 1 = 2m(V1 − E ) / h
onda de de Broglie = A sen( k1 x ) + B cos(k1 x )
= A' exp(ik1 x ) + B ' exp( −ik1 x )
= A' exp( −κ 1 x ) + B ' exp(κ 1 x )
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75
Tunelamento
A onda de de Broglie penetra em regiões onde, pela
física clássica, a partícula não poderia ir.
senóide
V1
exponencial
E
exponencial
V0
x
penetração na região
classicamente proibida
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h
∆ x = 1 / κ1 =
2m(V1 − E )
76
Tunelamento
V
E
m
a
x
atenuação da onda
de de Brolglie:
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⎛ a 2m(V − E ) ⎞
~ exp( −κ a ) = exp⎜ −
⎟
h
⎠
⎝
77
Decaimento alfa
Z, A
α
Z, A
α
Z, A
α
Z+2, A+2
2 Ze 2
V (r) =
r
E α << V (R )
Eα
R
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r
78
Decaimento alfa
H
v
v << 2 gH
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79
Microscopia de tunelamento
ponta de prova
V
superfície do material
e
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80
Microscopia de tunelamento
vácuo
superfície
W
ponta de prova
E
-eV
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81
Microscopia de tunelamento
superfície de níquel
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
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82
Microscopia de tunelamento
ondas de elétrons em
superfície de cobre
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
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83
Elétrons numa caixa circular
“curral” feito com 48 átomos de ferro sobre uma superfície de cobre
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
84
Elétrons numa caixa retangular
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
85
O único mistério
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
88
Experimento de dupla fenda com partículas
N1
1
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
89
Experimento de dupla fenda com partículas
1
2
N2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
90
Experimento de dupla fenda com partículas
Partículas “clássicas”
1
N1
2
N2
Cada partícula passa ou pela fenda 1 ou pela fenda 2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
N
⇒
N = N1 + N2
91
Partículas clássicas
Cada partícula passa ou pela fenda 1 ou pela fenda 2
⇒
N = N1 + N2
N1(x)
x
apenas a fenda 1 aberta
N2(x)
x
apenas a fenda 2 aberta
N ( x ) = N1 ( x ) + N 2 ( x )
N(x)
x
fendas 1 e 2 abertas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
92
Experimento de dupla fenda com partículas
Elétrons, nêutrons,
átomos, ...
1
N
2
N ≠ N1 + N2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
93
Experimento de dupla fenda com partículas
Elétrons, nêutrons, átomos, ...
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
94
Elétrons, nêutrons, átomos, ...
N1(x)
x
apenas a fenda 1 aberta
N2(x)
x
apenas a fenda 2 aberta
N(x)
N ( x ) ≠ N1 ( x ) + N 2 ( x )
x
fendas 1 e 2 abertas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
95
Elétrons, nêutrons, átomos, ...
N(x) ≠ N1(x) + N2(x)
A afirmativa
“cada partícula passa ou pela fenda 1 ou pela fenda 2”
é falsa.
… a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain
in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics.
In reality, it contains the only mystery.
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
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96
E se observarmos por onde passa a partícula?
1
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
97
E se observarmos por onde passa a partícula?
1
2
A interferência desaparece!
-- complementaridade -C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
98
E se observarmos por onde passa a partícula?
N ( x ) = N1 ( x ) + N 2 ( x )
N(x)
x
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
99
Experimento sobre a complementaridade
molas
Desenhos: Niels Bohr
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
100
Experimento sobre a complementaridade
impulso no
anteparo
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
M = massa do
anteparo superior
101
Experimento sobre a complementaridade
M→∞
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
102
Experimento sobre a complementaridade
M→0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
103
Experimento sobre a complementaridade
diferença de caminhos (ajustável)
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
104
Experimento sobre a complementaridade
•M=0
• caminho
identificado
• não há padrão de
interferência
N ↔ massa M
•M→∞
• caminho não
identificado
• padrão de
interferência
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
106
Experimento sobre a complementaridade
impossível determinar
o caminho
interferência
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
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Próximos passos (não estão em ppt)
2. Os princípios da mecânica quântica: sistemas de dois
estados.
3. Sistemas de dois estados: aplicações.
4. Sistemas de N estados.
5. Partículas idênticas.
6. Simetrias.
7. Posição e momentum.
8. Equação de Schroedinger em 1 dimensão: aplicações.
9. A soma sobre caminhos.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2010
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