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数学的内容 数学科学按照其内容可分成五大学科: 1. 2. 3. 4. 纯粹(基础)数学 (Pure Mathematics) 应用数学 (Applied Mathematics) 计算数学 (Computation Mathematics) 运筹与控制 (Operations Research and Control) 概率论与数理统计(Probability and Mathematical Statistics) 5. *数学已有一百多个分支 数学的核心领域 代数学: 研究数的理论 几何学: 研究形的理论 分析学: 沟通形与数且涉及极限运算的 部分 数学是什么? 数学是一种语言,是一切科学的共同语言 数学是一把钥匙,一把打开科学大门的钥 匙 数学是一种工具,一种思维的工具 数学是一种艺术,一门创造性艺术 …… 大学数学的主要内容 解析几何: 用代数方法研究几何 线性代数: 研究如何解线性方程组及有关的 问题 高等代数: 研究方程式的求根问题 微积分: 研究变速运动及曲边形的求积问题 概率论与数理统计: 研究随机现象, 依据数 据进行推理 数学的三大特点 抽象性 精确性 应用的极端广泛性 数学发展的四个时期 第一个时期: 数学形成时期 第二个时期: 初等数学 第三个时期: 变量数学的时期 第四个时期: 现代数学 数学的魅力 诱人的猜想 神奇的预言 美妙的和谐 惊人的简洁 诱人的猜想 哥德巴赫(C. Goldbach, 1690-1764)猜想 费马(Fermat, 1601-1665)关于素数的猜想 波利耶(G. Polya)猜想 有阅兵式产生的正交拉丁方猜想 哥尼斯堡七桥问题 神奇的预言 海王星的发现 “正电子”的存在 美妙的和谐 黄金分割 电磁波方程 无理数的表示 惊人的简洁 数学问题简洁 数学语言简洁 数学概念简洁 数学的证明简洁 数学证明与科学证明 数学的证明 经典的数学的证明方法是, 从一系列公 理、定理出发,通过逻辑论证,一步一 步地得到某个结论。 如果公理是正确 的 ,逻辑又没有缺陷,那么得到的结论 将是不可否定的。这个结论就是一个定 理。 科学的证明 以物理学为例。在物理学中,一个假设 被提出来,用以解释某一类物理现象。 如果对物理现象的观察与这个假设相符, 就成为这个假设成立的证据。如果它再 次成功,那么就有更多的证据支持这个 假设。最终,证据的数量可能达到压倒 的程度,这个假设就作为一个理论而被 接受。 科学证明的缺陷 科学的证明依赖于观察、试验和理解力,而 这两者都是容易出错的,从而它只能提供近 似真理的概念。即使人们最为普遍地接受了 的科学证明也总是存在着可疑的成分。而在 另一些场合,这种理论最终会被证明是错的, 这就导致科学上的革命,用一种新理论去代 替原以为正确的旧理论。这种新理论可能是 原有理论的深化,也有可能与原有理论完全 相反。 数学证明与科学证明的不同 数学证明具有绝对的意义,是无可怀疑 的。比达哥拉斯公元前500年证明的定 理,今天依然正确。数学不依赖于容易 出错的试验数据,而是立足于逻辑。 数学史上的三次危机 第一次数学危机(无理数的发现) 第二次数学危机(微积分的产生) 第三次数学危机(集合论中的悖论) 现代数学发展的新趋向 从单变量到多变量 从线性到非线性 从局部到整体,从简单到复杂 从连续到间断,从稳定到分岔 从精确到模糊 计算机的使用 各种能力的培养 抽象思维能力 逻辑推理能力 空间想象能力 熟练运算的能力 严谨自学的能力 综合运用所学知识与分析解决问题的能力 *知识为本,能力为魂 大学学习的特点 快节奏 多内容 粗线条 重难点 建议:要钻研教材,看参考书,上 习题课,认真做练习