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数学的内容

数学科学按照其内容可分成五大学科:
1.
2.
3.
4.
纯粹(基础)数学 (Pure Mathematics)
应用数学 (Applied Mathematics)
计算数学 (Computation Mathematics)
运筹与控制 (Operations Research and
Control)
概率论与数理统计(Probability and
Mathematical Statistics)
5.
＊数学已有一百多个分支
数学的核心领域
 代数学: 研究数的理论
 几何学: 研究形的理论
 分析学: 沟通形与数且涉及极限运算的
部分
数学是什么?
 数学是一种语言,是一切科学的共同语言
 数学是一把钥匙,一把打开科学大门的钥
匙
 数学是一种工具,一种思维的工具
 数学是一种艺术,一门创造性艺术
 ……
大学数学的主要内容
 解析几何: 用代数方法研究几何
 线性代数: 研究如何解线性方程组及有关的
问题
 高等代数: 研究方程式的求根问题
 微积分: 研究变速运动及曲边形的求积问题
 概率论与数理统计: 研究随机现象, 依据数
据进行推理
数学的三大特点
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

抽象性
精确性
应用的极端广泛性
数学发展的四个时期
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
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第一个时期: 数学形成时期
第二个时期: 初等数学
第三个时期: 变量数学的时期
第四个时期: 现代数学
数学的魅力
 诱人的猜想
 神奇的预言
 美妙的和谐
 惊人的简洁
诱人的猜想
 哥德巴赫(C. Goldbach, 1690-1764)猜想
 费马(Fermat, 1601-1665)关于素数的猜想
 波利耶(G. Polya)猜想
 有阅兵式产生的正交拉丁方猜想
 哥尼斯堡七桥问题
神奇的预言
 海王星的发现
 “正电子”的存在
美妙的和谐
 黄金分割
 电磁波方程
 无理数的表示
惊人的简洁
 数学问题简洁
 数学语言简洁
 数学概念简洁
 数学的证明简洁
数学证明与科学证明
数学的证明
 经典的数学的证明方法是, 从一系列公
理、定理出发，通过逻辑论证，一步一
步地得到某个结论。 如果公理是正确
的 ，逻辑又没有缺陷，那么得到的结论
将是不可否定的。这个结论就是一个定
理。
科学的证明
 以物理学为例。在物理学中，一个假设
被提出来，用以解释某一类物理现象。
如果对物理现象的观察与这个假设相符，
就成为这个假设成立的证据。如果它再
次成功，那么就有更多的证据支持这个
假设。最终，证据的数量可能达到压倒
的程度，这个假设就作为一个理论而被
接受。
科学证明的缺陷
 科学的证明依赖于观察、试验和理解力，而
这两者都是容易出错的，从而它只能提供近
似真理的概念。即使人们最为普遍地接受了
的科学证明也总是存在着可疑的成分。而在
另一些场合，这种理论最终会被证明是错的，
这就导致科学上的革命，用一种新理论去代
替原以为正确的旧理论。这种新理论可能是
原有理论的深化，也有可能与原有理论完全
相反。
数学证明与科学证明的不同
 数学证明具有绝对的意义，是无可怀疑
的。比达哥拉斯公元前500年证明的定
理，今天依然正确。数学不依赖于容易
出错的试验数据，而是立足于逻辑。
数学史上的三次危机
 第一次数学危机(无理数的发现)
 第二次数学危机(微积分的产生）
 第三次数学危机(集合论中的悖论)
现代数学发展的新趋向
 从单变量到多变量
 从线性到非线性
 从局部到整体，从简单到复杂
 从连续到间断，从稳定到分岔
 从精确到模糊
 计算机的使用
各种能力的培养
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



抽象思维能力
逻辑推理能力
空间想象能力
熟练运算的能力
严谨自学的能力
综合运用所学知识与分析解决问题的能力
＊知识为本，能力为魂
大学学习的特点
 快节奏
 多内容
 粗线条
 重难点
建议：要钻研教材，看参考书，上
习题课，认真做练习