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Further Trigonometry
Sec 2: Basic Trigonometry in 1st
Quadrant (sin, cos, tan)
Sec 3: Trigonometric Ratios in 4
Quadrants, Simple Trigonometric Identities
Further Trigonometric
Identities
sin 
tan  
cos 
sin
tan
cos
cot
1
sec
cos 
cot  
sin 
cosec
sin 2   cos2   1, 1  cot 2   cosec2 , tan 2   1  sec2 
Further Trigonometry
Compound
Angle
Double
Angle
Factor
RFormulae
Addition Formulae
Also known as Compound Angle Formulae/Sum & Difference Formulae
The Proof:
adj
cos x 
 adj  cos x
1
sin x sin y
sin x y
1
x
sin x cos y
opp
sin x 
 opp  sin x
1
cos y 
adj
 adj  cos x cos y
cos x
opp
sin y 
 opp  cos x sin y
cos x
90°− y
cos x
cos x sin y sin y  opp  opp  sin x sin y
sin x
y
cos x cos y
adj
cos y 
 adj  sin x cos y
sin x
The Proof:
sin x sin y
sin x y
1
cos x
90°− y
x
x+y
y
cos x cos y
sin x cos y
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
cos x sin y
The Proof:
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
Replacing y by (−y), we get:
sin( x  y )  sin x cos( y )  cos x sin( y )
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos( y )  sin x sin( y )
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
The Proof:
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
sin x cos y  cos x sin y
tan( x  y) 
cos x cos y  sin x sin y
sin x cos y cos x sin y

cos x cos y cos x cos y

cos x cos y sin x sin y

cos x cos y cos x cos y
tan x  tan y

1  tan x tan y
The Proof:
tan x  tan y
tan( x  y ) 
1  tan x tan y
Replacing y by (−y), we get:
tan x  tan( y)
tan( x  y ) 
1  tan x tan( y)
tan x  tan y

1  tan x tan y
Sum and Difference Formulae
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos y sin x sin y
tan x  tan y
tan( x  y) 
1 tan x tan y
Find the exact value of cos 105  .
cos 105   cos  60  45 




 cos 60 cos 45  sin 60 sin 45
1 2
3 2
 


2 2
2 2
2
6
2 6



4
4
4
  
Find the exact value of sin    .
 12 

 


sin    sin  
 12
 4 3




 sin cos  sin cos
4
3
3
4
2 1
3 2

 

2 2 2 2
2
6
2 6



4
4
4
1
It is known that sin   ,  2     ;
2
1
and cos   ,  2     , find the exact
3
value of
(a) cos 
(b) sin 
(c) cos    
sin   cos   1
2
2
cos   1  sin    1  1 2
3
  1 1 4   3 4  
2
2
2
a b  r
2
2
( 1)  b  3
2
2 2
3

-1
2
2
b 8
2
b2 2
2 2
sin  
3
2
1
3
2 2
1
sin  
cos  
sin  
cos   
2
2
3
3
cos     cos cos   sin  sin 
3  1 1 2 2
     
2  3 2 3
3 2 2


6
6
32 2

6
Double Angle Formulae
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
sin( x  x)  sin x cos x  cos x sin x
sin 2x  2sin x cos x
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
cos( x  x)  cos x cos x  sin x sin x
cos 2 x  cos x  sin x
2
2
cos 2 x  cos 2 x  (1  cos 2 x)
cos 2 x  (1  sin 2 x)  sin 2 x
 2cos 2 x  1
 1  2sin 2 x
tan x  tan y
tan( x  y ) 
1  tan x tan y
tan x  tan x
tan( x  x) 
1  tan x tan x
2 tan x
tan 2 x 
2
1  tan x