Download Probabilitas - Abdullah Basuki R – Informatics Department – UNIJOYO

Probabilitas
Abdullah Basuki R.,S.Si,M.T
http://www.abdullahbasuki.wordpress.com
[email protected]
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
Kuliah Statistika Dasar (TKC116)
1
Terminologi
 Teori Probabilitas – didasarkan pada konsep
dari suatu eksperimen random
 Random – fenomena/eksperimen dimana
keluaran individual tidak pasti tetapi ada
distribusi yg regular dari keluaran utk jumlah
pengulangan yang banyak
 Probabilitas – proporsi berapa kali suatu
keluaran spesifik akan muncul dlm suatu serie
pengulangan yang panjang dari suatu
eksperimen
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
2
Apakah Probabiltas?
 Frekuensi relatif jangka panjang
 Jika melempar coin, frekuensi relatif dari “head” tidak
menentu utk 2, 5 atau 10 pelemparan
 Jika pelemparan suatu coin dilakukan bbrp ribu kali,
frekuensi relatif tetap stabil
 Probabilitas matematis adalah idealisasi dari apa yg
terjadi thd frekuensi relatif setelah pengulangan
sejumlah tak hingga eksperimen random
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
3
Probabilitas dari “Head”
 Probabilitas didasarkan pd frekuensi relatif
jangka panjang
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
4
Model Probabilitas
 Sample Space - set dari semua keluaran
(outcomes) yg mungkin dari eksperimen
random (S)
 Event – suatu keluaran (outcome) atau satu
set outcomes dari suatu eksperimen
 Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau
fungsi yg memetakan dari events pada sample
space ke bilangan real antara 0 dan 1
 Probabilitas dari semua outcomes yg mungkin
(yaitu sample space) harus sama dg 1
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
5
Model Probabilitas
 Contoh: Pelemparan (toss) suatu dadu
 Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6}
 Event:
A = {muncul angka genap},
B = {muncul angka ganjil},
D= {muncul angka 2}
 Ukuran Probabilitas:
P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
6
Aturan-Aturan Probabilitas

Probabilitas dari sembarang event P(A) hrs memenuhi
0 < P(A) < 1

Complement Rule = complement dari sembarang event A
adalah event A tdk terjadi
 P(Ac) = 1 - P(A)
Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};
mis A = {2,4}, Ac = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1-1/3
= 2/3

Addition Rule = utk dua events A dan B yg terpisah/ disjoint
(no common outcomes)
P (A or B) = P(A) + P (B)
Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};
mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 +
1/2 = 2/3
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
7
Aturan-Aturan Probabilitas
 Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent,
jika diketahui bhw salah satu terjadi/muncul tdk mengubah
probabilitas yg lain muncul
P (A and B) = P(A)*P(B)
Contoh: Lempar sepasang dadu
S = {(1,1),(1,2),….(6,6)}  36 kemungkinan outcomes
mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}
Maka P(A) = 6/36 = 1/6;
P(B) = 6/36 = 1/6 dan
P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B)
= 1/36 = P(A) P(B)
 menunjukan independence
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
8
Aturan-Aturan Probabilitas
 Multiplication Rule
Contoh dari kasus Dependent: lempar sepasang dadu
S = {(1,1),(1,2),….(6,6)}  36 kemungkinan outcomes
mis A ={dadu pertama 6} =
{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
mis B = {jumlah dadu pertama & kedua =9} =
{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}
Maka P(A) = 6/36 = 1/6;
P(B) = 4/36 = 1/9 dan
P(dadu pertama 6, jumlah = 9) = P(A and B) = 1/36
tdk sama P(A) P(B) = 1/54
 menunjukan dependence
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
9
Aturan-Aturan Probabilitas
 Contoh: suatu web site memp tiga server A, B, dan C, yg
dipilih secara independent dg probabilitas:
P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼.
(a) Cari probabilitas A atau B dipilih
P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4
(b) Cari probabilitas A tdk dipilih
P(Ac) = 1 – P(A) = ¾
(c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali
P(AA) = P(A)P(A) = 1/16
(d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA
P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) =
(1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
10
Conditional Probability
 Utk dua event A dan B probabilitas dari event A
diberikan bhw event B telah terjadi dinyatakan:
P(A|B) dan ditentukan dg
P (A|B) = P(A and B)/P(B)
Contoh: Lempar satu dadu S = {1,2,3,4,5,6}.
mis A ={2}, B={bil genap} = {2,4,6},
P(A|B) = P(A and B)/P(B) = (1/6)/(1/2) = 1/3
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
11
Bayes Rule
 Utk dua event A dan B yg mempartisi sample space,
yaitu (A atau B) = S dan event ketiga C ditentukan di
atas A dan B
Contoh: Lempar sepasang dadu S = {(1,1) (1,2), ….
(6,6)} 36 kemungkinan outcomes. Mis A ={jumlah
dadu 9 atau lebih besar},
A = {(6,3),(5,4), (4,5), (3,6), (6,4), (5,5), (4,6), (6,5),
(5,6), (6,6)}
B = Ac = {jumlah dadu 8 atau kurang} = {(1,1) , (1,2,)
….(6,2), …(2,6)} --cat P(A) = 10/36 dan P(B) = 26/36
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
12
Bayes Rule
 Mis C event jumlah dari dadu adalah bil genap
{2,4,6,8,10,12}, P(C|A) =4/10 dan P(C|B) =
14/26
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
13
Latihan Soal
1.
Suatu kantong berisi empat bola putih dan tiga bola hitam
sedangkan kantong kedua berisi tiga bola putih dan lima bola
hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama tanpa
melihatnya dan dimasukkan ke kantong kedua, berapakah
peluang mengambil sebuah bola hitam dari kantong kedua?
2.
Peluang seorang lelaki yg telah kawin menonton suatu film seri
di tv adalah 0.4 dan peluang seorang wanita yg telah kawin
menonton film yg sama 0.5. peluang seorang lelaki menoton
film tsb bila istrinya menonton adalah 0.7. hitunglah
a. Peluang sepasang suami istri menonton film tsb
b. Peluang seorang istri menonton film tsb bila suaminya menonton film
c. Peluang paling sedikit seorang dari sepasang suami istri menonton
film tsb
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
14
Random Variables
 Suatu random variable X adalah suatu variable
dimana harganya tergantung pd outcome dari
suatu eksperimen random didefinisikan pd
sample space S
 Contoh: Mis X, bilangan jumlah dari head pd
pelemparan dua coin yg fair. Sample space S
dari eksperimen adalah:
S ={(t,t),(t,h),(h,t),(h,h)}
dimana t menunjukan tail dan h menunjukan
head
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
15
Random Variables
 Suatu random variable X dikarakteristikan oleh
salah satu:
 probability density function (pdf): f(x)
 cumulative density function (cdf):
 Contoh: perhatikan random variable X, yg
merupakan jumlah head pd pelemparan dua coin
 f(x) diberikan dg P{X = 0} = .25; P{X=1} = .5 ;
P{X=2} = .25
 F(x) diberikan dg
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
16
Probability Density Function
 Formula matematis
 Memperlihatkan semua
harga, X, & frekuensi,
f(X)
 f(X) adalah probability
density function (pdf)
 Properties
 Area di bawah kurva = 1
 Mean (µ)
 Standard Deviation ()
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
17
Tipe-Tipe Random Variables
 Suatu random variable X adalah suatu variable
dimana harganya tergantung pd outcome dari
suatu eksperimen random didefinisikan pd
sample space S
 Jika S adalah terbatas (finite) atau dp dihitung
(countable)  X adalah suatu discrete random
variable (mis., jumlah head pd pelemparan dua
coin)
 Jika S adalah kontinyu  X adalah suatu random
variable kontinyu (mis., waktu antar queries ke
suatu server database)
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
18
Tipe-Tipe Random Variables
 Jika X discrete random variables maka
 Jika X continuous random variables maka
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
19
Discrete Random Variables
 Discrete Random Variables yg umum:
 Bernoulli, Geometric, Binomial dan Poisson
 Bernoulli – memodelkan eksperimen spt toss
suatu coin
 X adalah suatu indicator function
 X = 1  sukses; X = 0  gagal
Spt coin toss dg probabilitas p mendpkan head, 1-p
mendpkan tail
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
20
Discrete Random Variables
 Geometric – memodelkan jumlah percobaan X
sampai sukses pertama pd suatu deretan
percobaan Bernoulli trials
P{X = x} = f(x) = (1-p)x-1p;
dimana x = 1,2,3, …
Mean = 1/p
Variance = (1-p)/p2
Sbg contoh, memodelkan jumlah tail yg terlihat
sblm head pertama pd suatu deretan coin tosses
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
21
Discrete Random Variables
 Binomial – memodelkan jumlah sukses X pd n
percobaan/trials. Mis p menyatakan probabilitas
sukses pd 1 trial, probabilitas dari k sukses
diberikan dg
Mean = np, Variance = np(1-p)
Tabel pd textbook memp macam-macam harga dari
P(X = k)
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
22
Contoh Continuous Random
Variable
Eksperimen
Random Variable
Harga Yg Mungkin
Berat mahasiswa ITB Berat
43.2, 78, … Kg
Umur hidup battery
900, 875.9, … jam
Jam
Lama panggilan
Lama panggilan
telepon
Waktu antar
Waktu antar
kedatangan paket ke
kedatangan
router
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
3.2, 1,53, … menit
0, 1.3, 2.78, … det
23
Contoh Continuous Random
Variable
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
24
Continuous Random Variable
 Continuous Random Variables yg umum:
 Exponential, Uniform, Normal
 Exponential – memodelkan waktu antar
kedatangan, lama waktu pelayanan (mis.,
waktu dari panggilan telepon), mis X suatu
exponential random variable dg mean a.
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
25
Continuous Random Variable
 Uniform – memodelkan kasus “equally likely”.
Mis. X uniform random variable antara a dan b –
yaitu X akan mempunyai harga antara a dan b
dengan kemungkinan “equally likely”
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
26
Continuous Random Variable
 Normal – Normal random variable memodelkan
fenomena random alamiah utk jumlah yg besar.
Mis X suatu normal random variable
 Standard Normal Z adalah kasus dimana:
Mean = 0, Variance = 1.
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
27
Z Scores & Probability
 Normal Distribution
 Hubungan langsung antara persentase dan
probabilitas
 Persentase dari kurva normal dp di- rephrased
sbg problem probabilitas
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
28
Z Scores & Probability
 Berapakah probabilitas
bhw pekerja pabrik yg
dipilih random akan
melaksanakan test
dibawah 81 seconds atau
diatas 75 seconds?
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
 Suatu konsultan
menyelidiki waktu
diperlukan pekerja pabrik
utk assemble suatu part
stlh mereka ditraining
 Konsultan menentukan
bhw waktu dlm detik
terdistribusi normal dg
mean µ = 75 seconds
dan standard deviation 
= 6 seconds.
P(X<x) = P(Z <z)
dimana z = (x- µ)/ 
29
P(75 < X < 81)
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
30
P(75 < X < 81)
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
31
Moments
 Ekspektasi E[x] atau mean atau first moment
dari suatu random variable X di definisikan dg
Moment lebih tinggi didp dg mengganti x dg xn
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
32
Variance, Mode, Quantile
 Variance didefiniskan sbg
 Mode adalah titik dimana f(x) adalah maximum
 Quantile –  quantile dari X ditulis x adalah titik pd
X dimana F(x) = 
 Cat. 0,5 quantile disebut median dimana 50%
harga pd kedua sisi
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
33
Aturan-Aturan untuk Random
Variables
 Aturan utk Means
 Suatu transformasi linier dari suatu random
variable menghasilkan suatu linear scaling dari
mean. Yaitu jika X adalah suatu random variable
dg mean µX dan a dan b adalah konstanta maka
jika Y = aX + b mean dari Y diberikan oleh µY =
aµX + b
 Mean dari sum dari suatu set dari random
variables adalah sum dari individual mean. Yaitu
jikaf X dan Y adalah random variables maka µX+Y
= µX + µY
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
34
Aturan-Aturan untuk Random
Variables
 Aturan utk Variances
 Suatu transformasi liniear dari suatu random
variable menghasilkan suatu squared scaling
dari variance. Yaitu jika X adalah suatu random
variable dg variance x2 dan a dan b adalah
konstanta maka jika Y = aX + b variance dari Y
diberikan oleh y2 = a2 x2
 Variance dari sum dari suatu set dari
independent random variables adalah sum dari
individual variances. Yaitu jika X dan Y adalah
random variables maka x+y2 = x2 + y2
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
35
Statistical Inference
 Menggunakan teori probabilitas utk membuat
kesimpulan mengenai suatu populasi dari data
sampel
 Tdk dp memperoleh data dari setiap anggota
populasi maka menguji suatu sampel random dari
populasi dan berdasarkan statistik dari sampel
menyimpulkan mengenai parameter dari populasi
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
36
Statistical Inference
 Statistical Inference: menggunakan statistik dari
suatu sampel random utk menyimpulkan mengenai
parameter dari suatu populasi
 Sbg contoh menguji mean x dari sampel utk
menyimpulkan mean dari populasi µ
 Perlu mengerti bagaimana perubahan statistik
dengan tiap sampel
 Sample Distribution: distribusi probabilitas dari
suatu statistik (spt mean, standard deviation) dari
semua sampel yg mungkin dari ukuran yg sama
dari suatu populasi
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
37
Distribusi Sampel dari
Counts dan Proportions
 Perhatikan suatu sampel random tetap (fixed)
ukuran n dari observasi independen dari suatu
populasi. Tiap observasi jatuh kedalam satu dari dua
kategori, “sukses” atau “gagal”
 Probabilitas suatu “sukses” (p) sama utk tiap
observasi
 Probabilitas suatu “gagal” (1-p)
 Mis X menyatakan count dari jumlah sukses dalam
suatu sampel ukuran n. X memp distribusi Binomial
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
38
Distribusi Sampel dari
Counts dan Proportions
 Ingat distribusi Binomial memodelkan jumlah
sukses X dlm n percobaan Bernoulli dan
memp.
Mean = np, Variance = np(1-p)
 Dg n bertambah besar distribusi dari X
mendekati distribusi Normal dg mean dan
variance
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
39
Distribusi Sampel dari
Counts dan Proportions
 Utk estimasi probabilitas atau proportion dari suatu
populasi p kita uji sample proportion:
dimana X adalah jumlah dari “sukses” dlm suatu sampel
ukuran n

adalah estimasi unbiased dari population proportion p.
 Jika ukuran sampel n besar,
mendekati suatu distribusi
Normal dg
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
40
Sample Distribution of Means
 Perhatikan suatu sampel random ukuran tetap n dari
suatu populasi dg mean µ dan standard deviation .
Distribusi dari sample mean x (jika dihasilkan dari
repeated random samples) memp. mean = µ dan
standard deviation
 Jika populasi memp. distribusi Normal maka distribusi
dari sample mean adalah Normal
 Dari Central Limit Theorem – distribusi dari suatu sum
dari random variables mendekati distribusi Normal jika
jumlah terms dlm sum menjadi besar
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
41
Central Limit Theorem
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
42
Central Limit Theorem
 Central limit theorem menyatakan bhw dg
bertambah besarnya ukuran sampel n, tdk
tergantung pd distribusi populasi, distribusi dari
sample mean mendekati distribusi Normal utk
ukuran sampel yg besar, dg mean = µ dan
standard deviation =
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
43
Tipe-Tipe Statistical Inference
 Confidence Intervals: mengestimasi harga suatu
parameter populasi dg suatu harga rentang
 Berapakah mean IQ dari mahasiswa SIT ITB?
 Berapakah proporsi dari switches pd suatu network
perlu perbaikan?
 Hypothesis Testing: menilai bukti yg disediakan data
menyetujui suatu claim mengenai populasi
 Apakah mean IQ dari mhs SIT ITB sama dg dg IQ
populasi secara umum?
 Apakah proporsi switches yg memerlukan perbaikan
pd jaringan Telkom berbeda dg proporsi pd jaringan
Indosat?
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
44
Point Estimation
 Menyediakan harga tunggal/single value, mis.,
sample mean, sample proportion
 Berdasarkan observasi dari 1 sample
 Tdk memberikan informasi mengenai seberapa
dekat harga point estimate thd parameter populasi
yg tdk diketahui
 Contoh: Sample mean X = 22.9 adalah point
estimate dari mean populasi yg tdk diketahui µ
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
45
Interval Estimation
 Menyediakan nilai interval (a, b) dimana parameter
populasi µ diprediksi berada
 Interval berdasarkan observasi dari 1 sampel
 Memberikan informasi mengenai seberapa dekat
dari estimasi ke parameter populasi yg tdk diketahui
 Dp dinyatakan sbg
 Atau dinyatakan dlm terms probabilitas, (confidence
level)
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
46
Level of Confidence
 Nilai  adalah probabilitas bhw parameter
tidak berada dalam interval (a,b)
 100(1 - ) % adalah confidence level dan
adalah kemungkinan bhw parameter populasi
yg tdk diketahui jatuh dlm interval (a,b)
 Nilai tipikal adalah  = .1, .05, .01 yg
memberikan confidence levels masing-masing
90%, 95%, dan 99%
 Contoh: Mean populasi yg tdk diketahui
terletak antara 50 & 70 dg 95% confidence
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
47
Element Kunci dari
Interval Estimation
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
48
Confidence Interval Process
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
49
Confidence Interval utk
Population Mean
 Asumsi
 Standard deviation populasi  diketahui
 Ukuran sampel n cukup besar shg hasil central
limit theorem dp diaplikasikan dan sample mean
distribution dp diperkirakan dg distribusi normal.
Aturan umum (Rule of thumb) utk ukuran sampel
adalah (n ≥ 30)
 100(1-) % confidence interval pd sample
mean diberikan oleh
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
50
Confidence Interval for
Population Mean
 Catatan
 x adalah sample mean.
 Z(1-/2) adalah nilai standard normal value
dimana /2 adalah tail ke sebelah kanan dari
nilai Z
  adalah standard deviation populasi
 n adalah ukuran sampel
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
51
Contoh: Confidence Interval utk
Population Mean
 Suatu retailer e-commerce spt Amazon.com, ingin
melakukan studi waktu rata-rata (mean time) yg
diperlukan utk memproses dan mengapalkan pesanan.
Suatu random sample dari waktu utk proses dan
mengapalkan 33 pesanan dikumpulkan dan dinyatakan
sbg n dlm jam di bawah. Dari data yg lalu standard
deviation dari populasi  = 9
{23, 33, 14, 15, 42, 28, 33, 45, 23, 34, 39, 21, 36,
23, 34, 36, 25, 9, 11, 19, 35, 24, 31, 29, 16, 23, 34,
24, 38, 15, 13, 35, 28}
 Tentukan 90% confidence interval dari rata-rata waktu
proses dan pengapalan pesanan.

sample mean x adalah = 26.9091, ukuran sampel n = 33
pd 90% confidence level Z(1-/2) = Z.95 = 1.645
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
52
Contoh: Confidence Interval utk
Population Mean
 Krnnya confidence interval adalah
menghasilkan
Cat margin of error kadang-kadang diekspresikan
sbg persentase dari estimasi. Utk contoh ecommerce:
margin of error % = 100 * (2.577 / 26.9091) =
9.57%
 Juga confidence interval dp diekspresikan sbg
(24.332, 29.486) yg dp diinterpretasikan sbg
P(24.332 < µ < 29.486) = .9
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
53
Confidence Intervals
 Trade off antara confidence level 100(1-) % dan
margin of error
 Lebih tinggi confidence  lebih tinggi harga Z  lebih
besar margin of error
 Contoh proses dan pengiriman pemesanan ecommerce. Suatu 95% confidence interval memp. Z
= 1.96 (dimana 90% memp Z = 1.645) dan sbg
hasil
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
54
Confidence Intervals
 Margin of error juga tergantung pd ukuran sampel n,
lebih besar n makin kecil margin of error
 Utk confidence interval pd population mean, margin of
error berkurang setengahnya utk tiap pertambahan faktor
4 pd ukuran sampel
 Utk contoh e-commerce jika utk 90% confidence interval
ukuran sample adalah 4 kali lebih besar (yaitu 132) dg
mean dan standard deviation yg sama interval akan
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
55
Confidence Intervals
 Cat utk margin of error yg diinginkan m kita dp tentukan
ukuran sampel yg diperlukan n utk mencapai m. Kita
mendpkan
 Utk contoh e-commerce pd 90% confidence level jika
diinginkan margin of error 3%, m.x = .03 x 26.9091=
.80727 dan selesaikan utk ukuran sampel n
Cat perlu 337-33= 304 tambahan observasi
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
56
Confidence Interval utk
Proportion of population
 Dari aproksimasi Normal pd distribusi Binomial
kita dapatkan 100(1- )% confidence interval
pd suatu population proportion sbg
dimana Z1-  /2 adalah /2 critical point dari
standard distribusi Normal
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
57
Confidence Interval utk
Proportion of population
 Contoh: Perhatikan suatu link komunikasi satelit. Spy dp
mengestimasi packet error rate pd link kita transmit 5000
packets dan observasi bhw 23 diterima error. Tentukan
90% confidence interval pd packet error probability. Dari,
Z.95 = 1.645, n = 5000,
 Krnnya 90% confidence interval utk packet error
probability diberikan oleh (.0030, .0062)
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
58
Confidence Interval utk
Quantile of population
 Quantile: Harga xq dimana CDF mempunyai harga q
disebut q-quantile atau 100-q-percentile
 50-percentile (atau 0.5-quantile) disebut median
 Posisi dari suatu harga q-quantile value dari suatu
sorted order list x1, x2, x3, …, xn adalah
* dibulatkan ke integer terdekat
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
59
Confidence Interval utk
Quantile of population
 100(1-)% confidence interval pd suatu
harga populasi q-quantile xq adalah
dimana
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
60
Confidence Interval utk
Quantile of population
 Contoh: 45 titik data (n=45)
 6, 6, 7, 8, 8.5, 9, 11, 13, 15, 24, 29, 30, 32, 34,
37, 39, 41, 42, 42, 43, 46, 47, 47.5, 49, 50, 52,
54, 55, 59, 62, 63, 66, 68, 71, 81, 83, 84, 88, 93,
97, 103, 108, 111, 116, 134
Cari 90% c.i. pd 0.5 quantile.
Posisi dari 0.5 quantile = (45-1)*0.5 + 1 = 23 
x0.5 = 47.5
 Krnnya, 90% c.i. pd x0.5 = (41, 59)
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
61
Tugas (kumpulkan minggu depan)
1. Perhatikan N mobile phones dlm suatu cell. Tiap
phone mungkin berusaha utk transmit data pd suatu
kanal shared time slot. Tiap transmisi terjadi tepat pd
satu slot, dan tdk ada pencegahan collision digunakan
serta tiap phone akan transmit dlm suatu slot dg
probabilitas p, independen thd phone lainnya.
a). Berapakah probabilitas suatu time slot kosong,
yaitu tdk ada usaha dari sembarang phone?
b). Berapakah probabilitas suatu transmisi sukses,
yaitu secara tepat satu phone berusaha transmit.
c). Berapakah probabilitas collision pd suatu slot,
yaitu dua atau lebih phone berusaha transmit pd
slot yg sama?
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
62
Tugas (cont.)
2.
Dlm suatu access switched data network, user bisa request suatu
koneksi utk di-set up utk suatu transfer data. Jika suatu call-setup
request tiba, suatu access network node akan menentukan apakah
menerima permintaan atau menolak berdasarkan ketersediaan
resources. Jika permintaan ditolak, user akan mengulang usaha
sampai 10 kali sblm menyerah. Asumsikan bhw tiap permintaan
call-setup memp. probabilitas 0.02 utk diterima dan usaha
permintaan panggilan adalah independent.
a). Berapakah probabilitas suatu permintaan panggilan diberikan pd
usaha pertama?
b). Berapakah probabilitas bhw suatu panggilan pertama diterima
adalah usaha yg ke-empat?
c). Berapakah probabilitas bhw memerlukan lebih dari lima usaha
bagi user utk koneksi?
d). Berapakah probabilitas bhw user akhirnya menyerah?
e). Berapakah rata-rata jumlah usaha panggilan diperlukan utk
koneksi?
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
63
Tugas (cont.)
3. Perhatikan waktu transaksi pd suatu aplikasi
web-based, dari 3000 transaksi terdistribusi
normal dg mean 66 sec dan standard deviation
3 sec. jika 80 sampel masing-masing terdiri
dari 25 transaksi didapat,
a). berapakah mean dan standard deviation yg
diharapkan sbg hasil dari mean dari
distribusi sampling?
b). Dalam berapa banyak sampel kita bisa
mengharapkan mean: (i) antara 64.8 dan
66.3 sec dan (ii) kurang dari 64.4 sec?
Informatics Engineering Dept
Trunojoyo University
64