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Section 1.5
Complex Numbers
Why? (Part I – 4:36)
Why? (Part II – 10:16)
The Imaginary Unit (9:28)
Imaginary Number Recap
i  1
i2  1 1  1
i3  i2  i  i
i4  i2  i2  1
i42  i40i2  1 1  1
i37  i36  i  1 i   i
The Algebra of Imaginary Numbers
98  1 49 2  7i 2
27  1 9 3  3i 3
2i  3i 5i
7i  8i  i
 2i 3i 
6i2   6  1  6
3i 3

4i 4
5
5
5 i 5i
i
   2 
7
7i 7i i 7i
7  2i  14i
The Complex Number
a  bi
Real
Part
Imaginary
Part
The Algebra of Complex Numbers
 2  3i   7  4i  9  i
2  3  i
6  2i
 7  6i   2  3i  5  9i
2i  4  5i 
8i  10i2
10  8i
 7  i  i  7
 4  i 3  i
 6  i 6  i
 4  i
12  4i  3i  i2
13  i
36  i2
37
16  8i  i2
15  8i
2
The Conjugate
2 3
Conjugate  2  3
72 5
Conjugate  7  2 5
7  2i
Conjugate  7  2i
9  3i
Conjugate  9  3i
4  5i
Conjugate  4  5i
72 7
Conjugate  7  2 7
3 i 3
3
i
  
4i 4i i 4
2
2 3  i 6  2i 3 1



  i
3  i 3 i 3  i 9 1 5 5
6  i 6  i 2  i 12  8i  i2 11 8




 i
2i 2i 2i
4 1
5 5
3  2i 3  2i 4  5i 12  23i  10i2
2 23





i
4  5i 4  5i 4  5i
41
41 41
5  i 5  i 6  i 30  11i  i2 29 11





i
6 i 6i 6i
36  1
37 37
Now try these:
 7  6i   4  3i
 3  2i 2  8i
3  3i
6  20i  16i2
1  i1  i
3  4i
2
3  4i

3  4i 3  4i
6  8i
25
6
8

i
25 25
3  2i
5  2i
22  20i
3  2i 5  2i

5  2i 5  2i
 2  3i
 5  i 5  i
15  16i  4i2
29
11 16

i
29 29
2  3i
26
1
3

i
13 26
The Discriminant  b  4ac
2
b2  4ac  0
two unique real solutions
b2  4ac  0
one real solution...double root
b2  4ac  0
two complex answers
If b2  4ac is a perfect square, can factor.
2x 2  5x  6  0
 5 
2
 4  2  6   23
x 2  6x  10  0
 6 
2
6  4
2
5  23
2  2
5  i 23
x
4
 4 110   4
x
6  2i
 3i
2
Now try these…..(do discriminant first)
3x 2  2x  1  0
2x 2  5x  4  0
 2  4  3  1  16
5
2
 3x  1 x  1  0
1
x  , x 1
3
2x 2  6x  3  0
 6 
2
 4  2  3   12
62 3
3 3
x
x
4
2
x
2
 4  2  4   7
5  i 7
5 i 7
x

4
4
4
2x 2  5x  4  0
 5   4  2 4   57
2
x
5  57
4