Survey
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
Lecture 10: EE 221: Signals Analysis and Systems Instructor: Dr. Ghazi Al Sukkar Dept. of Electrical Engineering The University of Jordan Email: [email protected] Compact (Combined) trigonometric Form ๏ฏ For a periodic signal ๐ฅ(๐ก) with period ๐๐ the compact trigonometric form of Fourier series is: โ ๐ฅ ๐ก = ๐ด0 + ๐ด๐ cos ๐๐๐ ๐ก + ๐๐ ๐=1 ๏ฏ How? โ or ๐ โ = ๐ For real ๐ฅ(๐ก): ๐๐ = ๐โ๐ ๐ โ๐ But ๐๐ = ๐๐ ๐ ๐๐๐ = ๐๐ ๐ ๐โก๐๐ โน ๐โ๐ = ๐โ๐ ๐ ๐๐โ๐ = ๐๐โ = ๐๐ ๐ โ๐๐๐ Hence, ๐โ๐ = ๐๐ (The Magnitude spectrum is an even function of ๐) ๐โ๐ = โ๐๐ (The phase spectrum is an odd function of ๐) Spring 2014 2 Cont.. ๏ฏ From the exponential form โ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ก ๐ฅ ๐ก = ๐=โโ โ๐๐๐ ๐ก + ๐โ1 ๐ + ๐0 + ๐1 ๐ ๐๐๐ ๐ก + ๐2 ๐ ๐2๐๐๐ก + โฏ โน ๐โ๐ ๐ โ๐๐๐๐๐ก + ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก = ๐โ๐ ๐ ๐๐โ๐ ๐ โ๐๐๐๐ ๐ก + ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก = ๐๐ ๐ โ๐๐๐ ๐ โ๐๐๐๐ ๐ก + ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก 2 โ๐ ๐๐ ๐ก+๐ ๐ ๐๐ ๐ก+๐ ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐๐ ๐ +๐ × 2 = 2 ๐๐ cos ๐๐๐ ๐ก + ๐๐ ๐ฅ ๐ก = โฏ + ๐โ2 ๐ โ๐2๐๐ ๐ก โ โน ๐ฅ ๐ก = ๐0 + 2 ๐๐ cos ๐๐๐ ๐ก + ๐๐ ๐=1 The compact form is: โ ๐ฅ ๐ก = ๐ด0 + ๐ด๐ cos ๐๐๐ ๐ก + ๐๐ ๐=1 Hence: ๐ด0 = ๐0 (The average value) ๐ด๐ = 2 ๐๐ Spring 2014 3 Cont.. ๐ด๐ represents the single-sided magnitude spectrum. 2 ๐๐ = 4๐ ๐ 4๐ , ๐ ๐๐๐ ๐๐ 0, ๐ ๐๐ฃ๐๐ 4๐ 3๐ 4๐ 5๐ ๐๐ 2๐๐ 3๐๐ 4๐๐ 5๐๐ Spring 2014 โฆ ๐๐๐ 4 Trigonometric form of Fourier Series ๏ฏ The trigonometric form of a periodic signal ๐ฅ(๐ก) with period ๐๐ is: โ ๐ฅ ๐ก = ๐ด0 + ๐๐ cos ๐๐๐ ๐ก + ๐๐ sin ๐๐๐ ๐ก ๐=1 ๏ฏ How? Return back to the compact trigonometric form: โ ๐ฅ ๐ก = ๐0 + 2 ๐๐ cos ๐๐๐ ๐ก + ๐๐ ๐=1 From the trigonometric identity: cos ๐ผ + ๐ฝ = cos ๐ผ cos ๐ฝ โ sin ๐ผ sin ๐ฝ โ โน ๐ฅ ๐ก = ๐0 + โ ๐ฅ ๐ก = ๐0 + 2 ๐๐ cos ๐๐๐ ๐ก cos ๐๐ โ sin ๐๐๐ ๐ก sin ๐๐ ๐=1 2 ๐๐ cos ๐๐ cos ๐๐๐ ๐ก โ 2 ๐๐ sin ๐๐ sin ๐๐๐ ๐ก ๐=1 Spring 2014 5 Cont.. ๏ฏ But: ๐๐ = ๐๐ ๐ ๐๐๐ = ๐๐ cos ๐๐ + ๐ ๐๐ sin ๐๐ 2๐๐ = 2 ๐๐ ๐ ๐๐๐ = 2 ๐๐ cos ๐๐ + ๐2 ๐๐ sin ๐๐ Let ๐๐ = 2 ๐๐ cos ๐๐ and ๐๐ = โ2 ๐๐ sin ๐๐ โน 2๐๐ = ๐๐ โ ๐๐๐ โ ๐ฅ ๐ก = ๐0 + ๐๐ cos ๐๐๐ ๐ก + ๐๐ sin ๐๐๐ ๐ก ๐=1 โ ๐ฅ ๐ก = ๐ด0 + ๐๐ cos ๐๐๐ ๐ก + ๐๐ sin ๐๐๐ ๐ก ๐=1 โน ๐ด0 = ๐0 ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ = โ 2 2 โ๐๐ โ1 ๐๐ = tan ๐๐ Spring 2014 6 Cont.. 1 ๐๐ = 2 ๐๐2 + ๐๐2 ๏ฏ ๏ฏ ๐๐ = ๐ด๐ cos ๐๐ and ๐๐ = โ๐ด๐ sin ๐๐ ๏ฏ ๐ด๐ = ๐๐ = 1 ๐๐ ๐๐2 + ๐๐2 ๐ฅ(๐ก)๐ โ๐๐๐๐๐ก ๐๐ก = ๐๐ = ๐๐ ๐๐ = 1 ๐๐ 1 ๐๐ ๐ฅ(๐ก) cos ๐๐๐ ๐ก โ ๐ sin ๐๐๐ ๐ก ๐๐ ๐ฅ(๐ก) cos ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก โ ๐ ๐๐ ๐๐ก 1 ๐๐ ๐ฅ(๐ก) sin ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก ๐๐ But: ๐๐ ๐๐๐ ๐๐ = โ 2 2 2 โน ๐๐ = ๐ฅ(๐ก) cos ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก ๐๐ ๐๐ 2 ๐๐ = ๐๐ Spring 2014 ๐ฅ(๐ก) sin ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก ๐๐ 7 Cont.. ๏ฏ Example: Find the trigonometric form of Fourier series for ๐ฅ(๐ก). ๐ฅ(๐ก) 1 โฆ โฆ โ0.5 0.5 0 1 1.5 ๐ก โ1 โ ๐ฅ ๐ก = ๐ด0 + ๐๐ cos ๐๐๐ ๐ก + ๐๐ sin ๐๐๐ ๐ก ๐=1 ๐๐ = 2 โน ๐๐ = ๐ด0 = ๐ถ0 = Spring 2014 1 ๐๐ 2๐ =๐ 2 ๐ฅ ๐ก ๐๐ก = 0 ๐๐ 8 Cont.. ๐๐ = 2 2 1.5 0.5 ๐ฅ(๐ก) cos ๐๐๐ก ๐๐ก = โ0.5 1.5 2๐ก cos ๐๐๐ก ๐๐ก + โ0.5 โ2 ๐ก โ 1 cos ๐๐๐ก ๐๐ก 0.5 Integration by parts or from tables: ๐ ๐ 1 ๐ก cos ๐๐ก ๐๐ก = 2 cos ๐๐ก + ๐๐ก sin ๐๐ก |๐๐ ๐ โน ๐๐ = 0 ๐๐ = 2 2 1.5 0.5 ๐ฅ(๐ก) sin ๐๐๐ก ๐๐ก = โ0.5 1.5 2๐ก sin ๐๐๐ก ๐๐ก + โ0.5 โ2 ๐ก โ 1 sin ๐๐๐ก ๐๐ก 0.5 Again integration by parts of from tables: ๐ ๐ Spring 2014 1 ๐ก sin ๐๐ก ๐๐ก = 2 sin ๐๐ก + ๐๐ก cos ๐๐ก |๐๐ ๐ 9 Cont.. 0, ๐ ๐๐ฃ๐๐ 8 , ๐ = 1,5,9,13, โฆ ๐๐ 2 โน ๐๐ = 8 โ , ๐ = 3,7,11,15, โฆ ๐๐ 2 8 1 1 1 โน ๐ฅ ๐ก = 2 sin ๐๐ก โ sin 3๐๐ก + sin 5๐๐ก โ sin 7๐๐ก + โฏ ๐ 9 25 49 ๏ฏ To find the combined trigonometric form, we use the identity: ๐ ± sin ๐ฅ = cos ๐ฅ โ 2 โน๐ฅ ๐ก 8 ๐ 1 ๐ 1 ๐ 1 ๐ = 2 cos ๐๐ก โ + cos 3๐๐ก + + cos 5๐๐ก โ + cos 7๐๐ก + ๐ 2 9 2 25 2 49 2 โ 8 1 ๐ ๐+1 ๐ฅ ๐ก = 2 cos 2๐ + 1 ๐๐ก + โ1 ๐ 2๐ + 1 2 2 ๐=0 Spring 2014 10 Existence of Fourier Series (Dirichlet Conditions) ๏ฏ A periodic signal ๐ฅ(๐ก) can be expanded into a Fourier series if it satisfies Dirichlet conditions (sufficient but are not necessary): ๏ฎ ๏ฎ ๐ฅ(๐ก) has at most a finite number of discontinuities in one period. ๐ฅ(๐ก) has at most a finite number of maxima and minima in one period. ๏ฎ ๐ฅ(๐ก) is bounded or ๐๐ ๐ฅ(๐ก) ๐๐ก < โ (absolutely integrable) this will include the singularity functions. ๏ฏ If ๐ฅ(๐ก) satisfies the Dirichlet conditions then the corresponding Fourier series is convergent, i.e., โ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ฅ ๐ = ๐=โโ ๏ฎ At points of discontinuity, the series converges to the mean of the limits approached by ๐ฅ(๐ก) from the right and from the left, i.e., โ โ + ๐ฅ ๐ + ๐ฅ(๐ ) ๐ฅ(๐ก) ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ = 2 ๐=โโ Where: ๐ฅ ๐ โ = limโ ๐ฅ(๐ก) and ๐ฅ ๐ + = lim+ ๐ฅ(๐ก) ๐กโ๐ Spring 2014 ๐กโ๐ ๐ก ๐ 11 Cont.. ๏ฏ Example: ๐ฅ(๐ก) 1 โฆ โฆ โ2๐ ๏ฏ โ๐ โ 1 5 1 7 ๐ 2 ๐ 2 ๐ 2๐ ๐ก Using Fourier series 1 2 1 1 1 ๐ฅ(๐ก) = + cos ๐ก โ cos 3๐ก + cos 5๐ก โ cos 7๐ก + โฏ 2 ๐ 3 5 7 ๏ฎ 1 2 ๐ฅ 0 = + 1 3 1 5 2 ๐ 1 3 1โ + โ +โฏ 1 7 But 1 โ + โ + โฏ = ๐ 4 โน๐ฅ 0 = ๏ฎ ๐ฅ ๐ 2 1 2 = + 2 ๐ 0+0+โฏ = 1 2 ๐ + โ =1 2 ๐ 4 1 2 lim ๐ฅ(๐ก) = 1, lim + ๐ฅ(๐ก) = 0 ๐ โ ๐กโ ๐กโ 2 โน๐ฅ Spring 2014 ๐ 2 ๐ 1+0 1 = = 2 2 2 12