Download Көпмүшеліктер

ІҮ Бөлім. Көпмүшеліктер алгебрасы.
4.1. Көпмүшеліктер сақинасы
𝐾 - қандай да бір сақина болсын. Біз 𝐾 сақинасына тиісті емес жаңа 𝑥 символы
арқылы 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝜈 𝑥 𝜈 түріндегі өрнектерді құрамыз. Мұндағы қосындылау 𝜈 ≥ 0
индекстерінің бүтін мәндерінің қандай да бір шекті жиыны бойынша жүргізіледі және 𝑎𝜈
«коэффициенттері» 𝐾 сақинасына тиісті, мысалы, 𝑓(𝑥) = 𝑎0 𝑥 0 + 𝑎3 𝑥 3 + 𝑎5 𝑥 5 .
Мұндай өрнектер көпмүшеліктер, ал 𝑥 символы айнымалы деп аталады. Басқаша
айтқанда, айнымалы - есептеудегі символ.
Анықтама 4.1.1. Екі көпмүшелікті тең деп атаймыз, егер олар бірдей құрама
қосылғаштардан тұратын болса және өз бетімен көпмүшелік өрнегінде
алынып
тасталынатынын және қосылатын нөлдік коэффициентіне дейінгі дәлдікпен тең болса.
Егер 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) екі көпмүшелігін әріптерді амалдаудың қарапайым ережесі бойынша
қосып және көбейтсе, мұндағы 𝑥–ті сақинаның алмастырылған элементі ретінде
қарастырамыз (𝑎𝑥 = 𝑥𝑎), сосын айнымалысы 𝑥 болатын барлық мүшелерді бірдей
дәрежелері бойынша топтасақ, онда ∑ 𝑐𝜈 𝑥 𝜈 түріндегі қандай да бір көпмүшелік шығады.
Қосу бойынша
𝑐𝜈 = 𝑎𝜈 + 𝑏𝜈
(4.1.1)
ал көбейтуде
𝑐𝜈 = ∑𝜎+𝜏=𝜈 𝑎𝜎 𝑏𝜏
(4.1.2)
(4.1.1) және (4.1.2) формулалар көмегімен екі көпмүшеліктің қосындысын және
көбейтіндісін анықтап, былай тұжырымдаймыз: Көпмүшеліктер сақина құрайды.
Қосудың қасиетін ешбір дәлелдеусіз анық байқауға болады, себебі олар 𝑎𝜈 , 𝑏𝜈
коэффицентінің қосу қасиетіне келтіріледі. Дистрибутивтіліктің бірінші заңы мына
теңдіктен шығады:
∑ 𝑎𝜎 (𝑏𝜏 + 𝑐𝜏 ) = ∑ 𝑎𝜎 𝑏𝜏 + ∑ 𝑎𝜎 𝑐𝜏
𝜎+𝜏=𝜈
𝜎+𝜏=𝜈
𝜎+𝜏=𝜈
Дистрибутивтіліктің екінші заңы осыған ұқсас алынады. Көбейтудің ассоциативті
заңы мынадан алынады:
∑ 𝑎𝛼 ( ∑ 𝑏𝛽 𝑐𝛾 ) =
𝜎+𝜏=𝜈
𝛽+𝛾=𝜏
∑ ( ∑ 𝑎𝛼 𝑏𝛽 )𝑐𝛾 =
𝜎+𝜏=𝜈 𝛼+𝛽=𝜌
∑
𝑎𝛼 𝑏𝛽 𝑐𝛾 ,
𝛼+𝛽+𝛾=𝜈
∑
𝑎𝛼 𝑏𝛽 𝑐𝛾 .
𝛼+𝛽+𝛾=𝜈
𝐾-дан алынған көпмүшеліктер сақинасын 𝐾[𝑥] арқылы белгілейміз. Егер 𝐾
коммутативті болса, онда 𝐾[𝑥] – те коммутативті.
Анықтама 4.1.2. Көпмүшеліктің нөлден өзгеше дәрежесі деп ең үлкен 𝜈 саны
аталады, мұнда 𝜈 ≠ 0. 𝜈 максимальді 𝑎𝜈 элементі көпмүшеліктің жоғарғы коэффициенті
деп аталады.
Нөлдік дәрежедегі көпмүшелік 𝑎0 𝑥 0 түрінде болады. Біз оларды 𝐾 негізгі сақинаның
𝑎0 элементтерімен теңестіреміз, олар негізгі сақинаның элементтері сияқты қосылады
және көбейтіледі, осының нәтижесінде нөлдік дәрежедегі көпмүшеліктер 𝐾 изоморфтық
сақинаның жүйесін құрайды. Осыдан 𝐾[𝑥] көпмүшеліктер сақинасы 𝐾 сақинаны құрайды.
𝐾-дан 𝐾[𝑥]–ке өту (сақиналы) 𝑥 айнымалысымен қосылған деп аталады.
Егер кез келген 𝐾 сақинасына тізбектей 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 айнымалыларын қоссақ және
𝛼
𝛼
𝐾[𝑥1 ][𝑥2 ] … [𝑥𝑛 ] құрсақ, онда мүмкін болатын ∑ 𝑎𝛼1 … 𝛼𝑛 𝑥1 1 … 𝑥𝑛 𝑛 түрдегі қосындылардан
тұратын 𝐾[𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ] сақинасы пайда болады.
𝛼
𝛼
Осындай әр көпмүшеде 𝑥1 1 , … , 𝑥𝑛 1 көбейткіштерінен тұратын кез келген алмастыру
бар болады. Осылай 𝐾[𝑥1 ][𝑥2 ] … [𝑥𝑛 ] көпмүшелік сақинасы айнымалыларды алмастыру
арқылы алынған көпмүшелік сақинасымен теңестіреміз. 𝑥𝑖 айнымалысының алмастыруы
қосынды мен көбейтінді анықтамасында көрсетілмегенімен, бұл теңестіру дұрыс
енгізілген. 𝐾[𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ] сақинасын 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝑛 айнымалылы көпмүшелік сақинасы
деп атайды.
Дербес жағдайда, егер 𝐾 сақинасы бүтін сақина болса, онда бүтін санды көпмүшелігі
деп айтылады.
Сақинаның кез келген элементімен айнымалыларды ауыстыру.
Егер 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝜈 𝑥 𝜈 𝐾 сақинасындағы көпмүше, ал 𝛼 - 𝐾 сақинаның барлық
элементтерімен алмастырылған элементі ( 𝐾 сақина немесе 𝐾 сақинаны құрайтын сақина)
болса, онда 𝑓(𝑥) үшін барлық жерде дерлік 𝑥 – ті 𝛼 элементінің орнына қойып, келесідей
𝑓(𝛼) = ∑ 𝑎𝜈 𝑎𝜈 мәнін аламыз. Егер 𝑔(𝑥) кез келген көпмүше, ал 𝑔(𝛼)𝑥 = 𝛼 болғандағы
мәні болса, онда оның қосындысы мен көбейтіндісі
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑠(𝑥)
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = 𝑝(𝑥)
болады, 𝑥 = 𝛼 болғанда
𝑓(𝛼) + 𝑔(𝛼) = 𝑠(𝛼)
𝑓(𝛼) ∙ 𝑔(𝛼) = 𝑝(𝛼)
мәнін аламыз. Қосынды үшін айқын орындалады. Ал көбейту есептеулерін жүргізу үшін
(2) формуласын қолданамыз:
𝑝(𝛼) = ∑ 𝑐𝜈 𝑎𝜈 = ∑ ∑ 𝑎𝜆 𝑏𝜇 𝛼 𝜈 = ∑ ∑ 𝑎𝜆 𝑏𝜇 𝛼 𝜆+𝜇 = = (∑ 𝑎𝜆 𝑎 𝜆 ) (∑ 𝑏𝜇 𝛼 𝜇 )
𝜈 𝜆+𝜇=𝜈
𝜆
𝜇
= 𝑓(𝛼)𝑔(𝛼).
Теорема 4.1.1. 𝑥 элементін 𝐾 сақинаның кез келген элементтерімен алмастырғанда
қосқанда және көбейткенде 𝑓(𝑥), ..., 𝑔(𝑥), ... көпмүшеліктерінің қатынастары сақталады.
Бұл теорема көп айнымалы көпмүшеліктер үшін де орынды. Дербес жағдайда, егер 𝐾
коммутативті сақина болса, онда 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) көпмүшелігінің айнымалыларының орнына
𝐾 сақинаның кез келген элементін қоюға болады. Осыған орай, көпмүшеліктерді 𝑥1 , … , 𝑥𝑛
айнымалыларынан тәуелді бүтін рационалды функция деп атайды.
Тұрақты мүшелері жоқ бүтінсанды көпмүшеліктер үшін сақинаның элементтерімен
алмастыру мүмкіндігі көп: 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 орындарына кез келген сақинаның элементін
алмастыруға болады және ол сақина бүтін саннан тұра ма жоқ па оған тәуелді емес.
Теорема 4.1.2. Егер 𝐾 - бүтін сақина болса, онда 𝐾[𝑥] – бүтін сақина болады.
Дәлелдеуі. Егер 𝑓(𝑥) ≠ 0 және 𝑔(𝑥) ≠ 0, ал 𝑎𝛼 - 𝑓(𝑥) – тің бас коэффициенті, 𝑏𝛽 𝑔(𝑥) – тің бас коэффициенті болса, онда 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ≠ 0 болғандықтан, 𝑥 𝛼+𝛽
дәрежесіндегі 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) көпмүшесінің коэффициенті де 𝑎𝛼 𝑏𝛽 ≠ 0, яғни нөлдік
бөлгіштері жоқ.
Бұл дәлелдеуден мына салдар шығады:
Салдар 4.2.1. Егер 𝐾 - бүтін сақина болса, онда 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) көпмүшесінің дәрежесі
𝑓(𝑥) және 𝑔(𝑥) көпмүшелерінің дәрежелерінің қосындысына тең болады.
𝑛 айнымалы көпмүшеліктер үшін индукцияның көмегімен мына тұжырымдаманы
аламыз:
Егер 𝐾 - бүтін сақина болса, онда 𝐾[𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ] сақинасы да бүтін болады.
𝛼
𝛼
𝑎𝛼1 …𝛼𝑟 𝑥1 1 … 𝑥𝑟 𝑟 өрнегінің дәрежесі деп біз оның көрсеткіштерінен құралған
қосындыны ∑ 𝑎𝑖 -ды түсінеміз. Жоғарыдағы көрсетілген типтегі оның өрнектерінің
құраушыларының нөлден өзгеше ең үлкен дәрежесін айтады. Көпмүшелік біртекті немесе
форма деп аталады, егер өрнектердің құраушылары бірдей дәрежелі болса. Біртекті
көпмүшеліктердің көбейтіндісі біртекті көпмүшелікке тең және егер 𝐾 - бүтін сақина
болса, онда оның дәрежесі көбейткіш көпмүшеліктердің дәрежелерінің қосындысына тең.
Біртекті емес көпмүшеліктер әр түрлі дәрежелі біртекті құраушылардың қосындысы
түрінде берілуі ( бір ғана жолмен) мүмкін. Дәрежелері 𝑚 және 𝑛 болатын осындай 𝑓 және
𝑔 көпмүшеліктерін көбейтейік; егер 𝐾 бүтін сақина болса, онда жоғары дәрежелері
біртекті құрауыштардың көбейтіндісі 𝑚 + 𝑛 дәрежелі нөлдік емес форма болады. Басқа
барлық құрауыштардың 𝑓 ∙ 𝑔 көбейтіндісі кіші дәрежеге ие болады. Сондықтан, 𝑓 ∙ 𝑔
көпмүшесінің дәрежесі тағы да 𝑚 + 𝑛 – ге тең болады. Дәреже туралы жоғарыда
көрсеткен теорема («салдар») айнымалылардың санынан тәуелсіз кез келген көпмүшелік
үшін дұрыс болады.
Бөлу алгоритмі. 𝐾 - бірі бар сақина болсын; 𝑔(𝑥) = ∑ 𝑐𝜈 𝑥 𝜈 бас коэффициенті 𝑐𝑛 = 1
болатын кез келген көпмүшелік болсын және
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝜈 𝑥 𝜈
𝑚 ≥ 𝑛 дәрежелі кез келген көпмүшелік болсын, онда 𝑎𝑚 бас коэффициентін нөлге
айналдыруға болады, егер 𝑓–тан 𝑔 көпмүшелігінің еселігі 𝑎𝑚 𝑥 𝑚−𝑛 𝑔 көпмүшелігін алсақ.
Егер нәтижесінде дәрежесі 𝑛–нен үлкен не оған тең болса, онда бас коэффициентін 𝑔
көпмүшелігінің қандай да бір еселігін азайту арқылы тағы да нөлге айналдыруға болады.
Осы амалды жалғастырсақ, нәтижесінде дәрежесі 𝑛 – нен кіші болатын қалдықты аламыз:
𝑓 − 𝑞𝑔 = 𝑟,
(4.1.3)
мұндағы, 𝑟 - 𝑔 көпмүшесінің дәрежесінен кіші дәрежелі көпмүшелік және ол нөлдік
көпмүшелік болуы мүмкін. Мұндай амалдардың тізбегі бөлу алгоритмі деп аталады.
Егер, дербес жағдайда, 𝐾 - өріс және 𝑔 ≠ 0 болса, онда 𝑐𝑛 = 1 ұйғарымы артық,
себебі қажетінше, 𝑔 – ді 𝑐𝑛−1 – ге көбейту арқылы бас коэффициентінің 1–ге тең етіп алуға
болады.
Ноль дәрежелі көпмүшелік-ол K сақинасының элементі, нольден өзгеше. Сонымен
қатар көпмүшелік пен K -сақинасының нольі деп есептейміз. Мұндай көпмүшелік
нольдік көпмүшелік немесе жай ғана ноль деп айтамыз. Нольдік көпмүшелікте
көпмүшеліктің ешбір дәрежесі жазылмайды (кей кезде ноль дәрежелі көпмүшелік  -ке
тең деп ұйғарған жөн).
a 0 коэфициенті - f (х ) көпмүшелігініңең үлкен коэфициенті деп айтамыз, ал a0 х n
бір мүшелігі-ең үлкен мүшесі деп айтамыз. a n коэфициенті -бос мүшесі деп атаймыз.
Көпмүшеліктің ең үлкен коэфициенті бірге тең болса, онда оны нормаланған (унитарлы,
келтірілген) деп айтамыз.
Егер K сақинасы L сақинасының ішкі сақинасы болса, немесе L сақинасы K
сақинасының байытуы болса, онда коэфициентімен K -дан алынған кез келген
көпмүшелікті кофициенті L -дан алынған көпмүшелік деп қарастыруға болады. Сонымен
қатар L[x ] сақинасындағы коэфициенті K -дан алынған көпмүшелікке амалдар
қолданғанда, ол К [x] сақинасында қолданатын амалдар нәтижесін аламыз. Бұл дегеніміз
К [x] сақинасы L[x ] сақинасының ішкі сақинасы дегенді білдіреді. Бұл тұжырым, L[x ]
К [x] сақинасына да қолданылады дегенді білдіреді. Бұл
сақинасының дәлелдеуі
тұжырым көпмүшеліктер теориясының негізгі тұжырымдарының бірі болып табылады,
К [ x]  R[ x] (көпмүшеліктер сақинасы нақты сандар өрісінде), L[ x]  C[ x]
егер
(көпмүшеліктер сақинасы комплекс сандар өрісінде) болса.
Келесі теоремалар ақиқат.
Теорема 4.1.3. Тұтас облыстағы көпмүшеліктер сақинасының өзі тұтас облысқа
тиісті болады.
Теорема 4.1.4. Р өрісіне тиісті Р[x] көпмүшеліктер сақинасы басты идеалдардың
сақинасы болып табылады.
Теорема 4.1.5. Егер Р -өріс болса, онда Р[x] көпмүшеліктер сақинасы
факториалды болады.
Көпмүшеліктерге қолданылатын амалдардың екі қасиетін көрсетейік. Егер f (х) және
g (х ) –коэфициенті тұтас облысқа тиісті екі көпмүшелік болса, онда
1. f (х) және g (х ) көпмүшеліктерінің көбейтіндісінің дәрежесі көбейткіштердің
дәрежелерінің қосындысына тең: deg( f ( х)  g ( x))  deg f ( x)  deg g ( x) ;
2. f (х) және g (х ) көпмүшеліктерінің қосындысының дәрежесі қосылғыштардың
дәрежелеріненаспайды: deg( f ( х)  g ( x))  max{deg f ( x), deg g ( x)} .
Демек,
түрде
анықталған
көпмүшелікті
f ( х)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n
n
n 1
f ( х)  a0 x  a1 x  ...  an1 x  an түрінде жазуға болар еді, мүнда а0  0, n  0 болғанда,
f ( х)  a  P болар еді. Сонымен, f (х) түріндегі барлық көпмүшеліктердің жиынын Р[x]
түрінде белгілейміз. Енді Р[x] жиынында теңдік үғымын анықтаймыз.
Анықтама. f (х) және g (х ) көпмүшеліктері тең деп айтамыз, егер екі көпмүшеліктердің
дәрежелері сәйкес келсе және айнымалыларының дәрежелері тең болса.
Айтарлық
f ( х)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an ,
g ( х)  b0 x n  b1 x n1  ...  bn1 x  bn
болса, онда f (х)  g (х ) болуы үшін a0  b0 , a1  b1 ,..., an  bn теңдіктері қажетті және
жеткілікті.
f (х) және g (х )
Р[x] жиынында қосу жөне көбейту амаддарын анықтаймыз.
көпмүшеліктерінің бірінде жоқ мүше екіншісінде ноль коэффициентті деп қабылдануы
керек.
f ( х)  x 3  x 2  x
g ( х)  x 2  x  1 болса,
Мысал.
және
онда
f ( х)  x 3  x 2  x, g ( x)  0 * x 3  x 2  x  1
түрінде
қабылдауымыз
керек.
f ( х)  g ( x)  (0  1) x 3  (1  1) x 2  (1  1) x  (1  0)  x 3  2 x 2  2 x  1 түрінде жазуға болар еді.
Сонымен,
f ( х)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n ,
g ( х)  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n
жазылды деп қабылдаймыз, мұнда a n және bn коэффициенттерінің екеуі бірдей нольден
өзгеше немесе біреуі нольге тең болу мүмкін, ал екеуі де бірдей ноль түрінде жазбаймыз.
Р сандар өрісінде қосу және көбейту амалдары үшін орын ауыстыру заңы
орындалғандықтан, P[x] жиынында да орын ауыстыру зандары орындалады. P[x]
жиынында бірлік элементтің міндетін Р өрісіндегі бірлік элемент, ал нольдік- элементтің
міндетін Р өрісіндегі нольдік элемент атқарады.
Теорема 4.1.6. P[x] жиыны жоғарыда анықталған көпмүшеліктерді қосу және
көбейту амалдарына қарағанда коммутативтік сақина болады.
Дәлелдеуі. P[x] жиынында нольдік және бірлік элементтердің болатындығын
жоғарыда айттық, онымен бірге қосу жөне көбейту амалдарына қарағанда орын ауыстыру
заңдарыныңорындалатындығын ескерткенбіз.
Енді сақинаның қалған талаптарының орындалатындығын қарастыралық.
f ( х)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an көпмүшелігі h( х)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n көпмүшелігіне
қарама-қарсы элемент болатындығы түсінікті, өйткені f ( х)  h( x)  0 болады.
Сонымен, P[x] жиынында азайту амалы орындалады. P[x] жиынында қосу амалына
қарағанда топтау заңының орындалатындығын қөрсетелік.
f ( х)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n ,
g ( х)  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n ,
h( х)  c0  c1 x  c2 x 2  ...  cn x n
болсын. Сонда
( f ( x) g ( х)) h( x)  a0 b0 c0  (a0 b0 c1  a0 b1c0  a1b0 c0 ) x  ...  an bk x n m k .
f ( x)( g ( х)h( x))  (a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n )(b0 c0  (b0 c1  c0b1 ) x  ...  bm ck x m k ) 
 a0b0 c0  (a0b0 c1  a0 b1c0  a1b0 c0 ) x  ...  an bk x n m k .
Сонымен,
( f ( x) g ( х)) h( x)  f ( x)( g ( х)h( x)) .
P[x] жиынында үлестіру заңы
( f ( x)  g ( х)) h( x)  f ( x)h( x)  g ( х)h( x) орындалатындығын тексеру де оңай. Олай болса,
P[x] жиыныкөпмүшеліктерді қосу және көбейту амалына қарағанда сақина болады.
Теорема дәлелденді.
К сақинасының х0 элементі f (х) көпмүшелігінің түбірі деп атаймыз, егер х0
нүктесінде нольге тең болса, яғни f ( х )  0 . Көпмүшеліктер теориясында түбір ұғым ең
негізгі ұғым болып табылады. Бұл ұғым көпмүшелікті бөлу теориясымен тығыз
байланысты.
4.2. Келтірілмейтін көпмүшеліктер
Анықтама 4.2.1. P[x] сақинасындағы f (x) көпмүшелігі дәрежелері f (x)
көпмүшелігінің дәрежесінен кіші P[x] сақинасындағы екі көпмүшеліктің көбейтіндісіне
жіктелсе, онда f (x) көпмүшелігі Р өрісінде келтірілетін көпмүшелік деп атаймыз.
Анықтама 4.2.2. Егер P[x] сақинасындағы дәрежесі бірден кем емес р(х)
көпмүшелік осы сақинада дәрежелері р(х) көпмүшелігінің дөрежесінен кіші болатын екі
көпмүшеліктің көбейтіндісіне жіктелмесе, онда р(х) көпмүшелігі Р өрісінде келтірілмейтін
көпмүшелік деп атаймыз.
Сонда Р өрісіндегі сандар келтірілетін жөне келтірілмейтін көпмүшелікке
жатпайды.
Сөйлем 4.2.1. P[x] сақинасындағы дәрежесі бірге тең көпмүшелік — келтірілмейтін
көпмүшелік.
Р өрісінде келтірілетін және келтірілмейтін үғымдар Р өрісімен байланысты.
Мысалы, p( x)  ( x 2  2) көпмүшелігі рационал сандар өрісінде — келтірілмейтін
көпмүшелікке жатады, ал нақты сандар өрісінде — келтірілетін көпмүшелік болады.
Шындығында, ( x 2  2)  ( x  2 )( x  2 ) .
Келтірілмейтін көпмүшеліктер туралы бірнеше сөйлемдер далелдейік.
Сөйлем 4.2.2. Егер p1 ( x) және p2 ( x) көпмүшеліктері Р өрісінде келтірілмейтін
көпмүшеліктер болса, онымен бірге p1 ( x) көпмүшелігі p2 ( x) көпмүшелігіне бөлінсе, онда
p1 ( x) және p2 ( x) көпмүшеліктері ноль дәрежелі көпмүшеліктің дөлдігіне дейін тең
көпмүшеліктер болады. Басқаша айтқанда p1 ( x)  cp2 ( x) , мүнда 0  c  P .
Шындығында, p1 ( x)  p2 ( x)q( x) болса, онда 0( p1 ( x))  0( p2 ( x))  0q( x) теңдігінен
және p1 ( x) көпмүшелігінің келтірілмейтіндігінен 0q( x)  0 . Олай болса, q(x)
көпмүшелігі Р өрісіндегі нольден өзгеше сан.
Сөйлем 4.2.3. P[x] сақинасының f (x) көпмүшелігі Р өрісінде келтірілмейтін р(х)
көпмүшелігіне қалдыксыз бөлінбеуіне қажетті және жеткілікті шарт: f (x) және р(х)
көпмүшеліктерінің өзара жай көпмүшеліктер болуы.
f (x)
Шындығында, р(х) көпмүшелігі Р өрісінде келтірілмейтіндіктен және
көпмүшелігі р(х) көпмүшелігіне бөлінбегендіктен, олардың ортақ болгіші Р өрісінің
нольден өзгеше сандары ғана болады. Сондықтан, f (x) және р(х) көпмүшеліктері өзара
жай көпмүшеліктер. Егер f (x) және р(х) көпмүшеліктері өзара жай болса, онда f (x)
көпмүшелігі р(х) көпмүшелігіне бөлінбейді, өйткені р(х) көпмүшелігінің дәрежесі бірден
кем емес.
Сөйлем 4.2.4. Егер P[x] сақинасындағы f (x) және g (x ) көп- мүшеліктерінің
көбейтіндісі / f ( x) g ( x) / осы сақинада келтірілмейтін немесе жіктелмейтін р(х)
көпмүшелігіне бөлінсе, онда р(х) көпмүшелігіне не f (x) , не g (x ) көпмүшелігі бөлінеді.
Шындығында, f (x) және g (x ) көпмүшеліктері келтірілмейтін р(х) көпмүшелігіне
бөлінбесе, онда олардың әрқайсысы р(х) көпмүшелігімен өзара жай көпмүшеліктер
болады. Сондықтан, f ( x) g ( x) көбейтіндісі де р(х) көпмүшелігіне бөлінбейді. Бүл —
қайшылық, сонымен, не f (x) , не g (x ) көпмүшелігі р(х) көпмүшелігіне бөлінеді.
Теорема 4.2.1. P[x] сақинасындағы дәрежесі бірден кем емес f (x) көпмүшелігі осы
сақинада келтірілмейтін көпмүшеліктердің көбейтіндісіне жіктеледі:
f ( x)  p1 ( x)... pk ( x) ,
мүнда рі(х) көпмүшеліктер Р өрісінде келтірілмейтін көпмүшеліктер. Бүл жіктелу
көбейткіштердің реті және ноль дәрежелі көпмүшеліктің дәлдігіне дейін бір-ақ түрде
болады.
Дәлелдеуі. P[x] сақинасынан дәрежесі бірден кем емес f (x) көпмүшелігі берілсін.
f (x) көпмүшелігі келтірілмейтін көпмүшелік болса, онда теорема дұрыс. Айталық, f (x)
көпмүшелігі Р өрісінде келтірілетін көпмүшелік. Онда
f ( x)  f1 ( x)... f k ( x) ,
мұнда
0( f1 ( x))  0( f 2 ( x))
0( f ( x))  0( f ( x)) .
2
Жоғарыдағы талдауды f1 ( x) көпмүшелікке қайталаймыз.Сонымен, ақырында
бөлінетін p1 ( x) көпмүшелігін табамыз.
Сонда
f ( x)  p1 ( x)  f 3 ( x),
мұнда
0( p1 ( x)  0( f ( x))
0( f 3 ( x))  0( f ( x))
Осылайша талдай отырып,
f ( x)  p1 ( x)  ...  pn ( x)
f1 ( x )
жіктелуін аламыз, мұнда
pi (x) көпмүшеліктері — Р
көпмүшеліктер. Сонымен, теореманың бір бөлігі дәлелденді.
Айталық,
f ( x)  p1 ( x)  p2 ( x)...  pk ( x)
өрісінде
f ( x)  q1 ( x)  q2 ( x)...  qk ( x)
келтірілмейтін
(4.2.1)
(4.2.2)
Мұнда pi (x) және q j (x ) көпмүшеліктері – Р өрісінде келтірілмейтін көпмүшеліктер.
(4.2.2) және (1) тендіктерден алатынымыз:
p1 ( x)  p2 ( x)...  pk ( x)  q1 ( x)  q2 ( x)...  qk ( x)
(4.2.3)
Жоғарыда дәлелденген сөйлем 4.2.4 пайдалансақ,
көпмүшеліктерінің бірі бөлінеді.
pi (x) көпмүшелігіне q j (x)
q j (x ) келтірілмейтін болғандықтан, сөйлем 4.2.2
бойынша, q j (x ) көпмүшеліктерінің бірі с1 p1 ( x) түрінде болуы керек.
q1 ( x)  с1 p1 ( x), c1  0
деп қабылдауға болады. Сонда төмендегі теңдікті алуға болады:
p2 ( x)...  pk ( x)  c1q2 ( x)...  qt ( x)
(4.2.4)
Осылайша талқылай береміз. Сонда k  t деп жорамалдауға болар еді. Жоғарыдағы
талдаудан
q1 ( x)  с1 p1 ( x),..., qk ( x)  ck  pk ( x)
(4.2.5)
теңдігіне келуге болады.
Сонда
1  с1c2    ck qk 1 ( x)...qt ( x)
теңдігіне келеміз.
Сонымен, qk 1 ( x)...qt ( x) көпмүшелігінің дәрежесі нольден жоғары бола алмайды.
Олай болса, k  t .
Теорема толық дәлелденді.
f ( x)  p1 ( x) p2 ( x)...  pk ( x)
жіктелуінде келтірілмейтін көпмүшелік бірнеше рет қатысуы мүмкін.
Сонда


f ( x)  cp1 1 ( x)...  pr r ( x) ,
мұнда  i — натурал сандар және p1 ( x), p2 ( x)...  pr ( x) — әртүрлі Р өрісінде
келтірілмейтін көпмүшеліктер. f (x) көпмүшелігі нольден өзгеше көпмүшелік болғанда с
саны нольден өзгеше.  i саны pi (x) көпмүшелігінің еселігі деп аталады.
4.3. Көпмүшеліктерді бөлу
Айтарлық f (x) және g (x ) -коэфициенті К тұтас облыстан алынған екі көпмүшелік
болсын. f (x) көпмүшелігі g ( x )  0 көпмүшелігіне бөлінеді деп айтамыз, егер келесідей
теңдікті қанағаттандыратындай q(x) көпмүшесі бар болса:
f ( x)  g ( x)  q( x)
Егер f ( x)  g ( x) –ке бөлінсе, онда біз оны f ( x)  g ( x) түрінде де жаза аламыз.
Р[x] сақинасында көбейту амалына кері болу амалы әрдайым орындала бермейді.
Бірақ бір көпмүшелікті екінші бір нольден өзгеше көпмүшелікке қалдықпен бөлуге
болатындығын көрсетеміз.
Теорема 4.3.1. Р[x] сақинасындағы f (x ) көпмүшелігін нольден өзгеше g (x )
көпмүшелігіне қалдықпен бөлуге болады. Басқаша айтқанда Р[x] сақинасынан
f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x)
(4.3.1)
тендігі орындалатын q(x) және r (x ) көпмүшеліктері табылады. Мұнда r (x )
көпмүшелігінің дәрежесі g (x ) көпмүшелігінің дәрежесінен кіші. Нольдік көпмүшеліктің
дәрежесін ноль деп қабылдаймыз.
Дәлелдеуі. f ( х)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an ,
g ( х)  b0 x m  b1 x m1  ...  bm1 x  bm , b0  0 болсын.
q( х)  0, r ( x)  f ( x) деп қабылдаймыз. Егер
Егер
болса, онда
f ( х)  0
0( f ( х))  0( g ( x)) немесе п < т болса да, онда q( х)  0, r ( x)  f ( x) деп қабылдаймыз.
a0 nm
x g ( x) көпмүшелігін аламыз.
b0
Егер т  п болса, онда f (х) көпмүшелігінен
f ( x) 
a0 nm
x g ( x )  f1 ( x )
b0
немесе
(a0 x n  a1 x n 1  ...  a n 1 x  a n ) 
a0 nm
x (b0 x m  b1 x m1  ...  bm )  (a1 x n 1  ...  a n 
b0
a0
(b0 x n 1  ...  bm x n m ))  f1 ( x)
b0
көпмүшелігі пайда болады. Бұл жағдайда
санынан артық емес. Егер
f1 ( x) көпмүшелігінің дәрежесі (п-1)
f1 ( х)  a01 x n1  a11 x n2  ...  an0 / 1
көпмүшелігінің дәрежесі g (x ) көпмүшелігінің дәрежесінен кем болмаса, онда
жоғарыдағы әдісті қайталаймыз. Сонда калдыктың дәрежесі g (x ) көпмүшелінің
дәрежесінен кем болатын жағдайға кездесеміз. Сонымен, төмендегі теңдіктерге келеміз.
a0 nm

 f ( x )  b x g ( x )  f1 ( x )
0


a01 nm1
x
g ( x)  f 2 ( x)
 f1 ( x ) 
b0

....................................................

a0 k

 f k ( x)  b g ( x)  r ( x), (k  n  m)
0

(4.3.2)
(2) тендеулер жүйесіндегі тендеулердің бәрін қоссақ:
1
f ( x)  (a0 x nm  a01 x nm1  ...  a0 k ) g ( x)  r ( x)
b0
немесе
1
тендігіне келеміз.
b0
q(x) және r (x ) көпмүшеліктерінің коэффициенттері Р өрісінде болатындығы түсінікті.
Сонымен r (x ) көпмүшелігінің дәрежесі g (x ) көпмүшелігінің дәрежесінен кіші, ягни
0(r ( x))  0( g ( x)) .
Теорема дәлелденді.
f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x),0(r ( x))  0( g ( x))
шартымен анықталған q(x) көпмүшелігін толық емес бөлінді, ал r (x ) көпмүшелігін
калдық депатайды.
f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x) , мүнда q( x)  (a0 x nm  a01 x nm1  ...  a0 k )
Теорема 4.3.2. Р[x] сақинасында
f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x),0(r ( x))  0( g ( x)) шартымен анықталған q(x) және r (x )
көпмүшеліктері табылу әдістеріне тәуелді емес, басқаша айтқанда, бір-ақ түрде болады.
Дәлелдеуі.
f ( x)  g ( x)q1 ( x)  r1 ( x),0(п( x))  0(r1 ( x))
және
f ( x)  g ( x)q2 ( x)  r2 ( x),0(п( x))  0(r2 ( x))
болсын. Бүл тендіктерден
g ( x)(q1 ( x)  q2 ( x))  r2 ( x)  r1 ( x)
теңдігін аламыз. Егер q1 ( x)  q2 ( x) болса, онда
0( g ( x)(q1 ( x)  q2 ( x)))  0(r2 ( x)  r1 ( x)) .
Бүл — қайшылық. Сондықтан q1 ( x)  q2 ( x) , r2 ( x)  r1 ( x) қала берді.
Теорема дәлелденді.
Анықтама 4.3.1.. Егер f ( x)  g ( x)q( x)  r ( x),0( g ( x))  0(r ( x)) теңдігіндегі r (x ) =0
болса, онда f (x) көпмүшелігі g (x ) көпмүшелігіне қалдықсыз бөлінеді деп атаймыз.
f ( x)  cg ( x), c  0 болса, онда
f (x) және
g (x )
Анықтама 4.3.2. Егер
көпмүшеліктерін нольдік дәрежедегі көпмүшеліктің дәлдігіне дейінгі тең көпмүшеліктер
деп атаймыз. Мұндай көпмүшеліктер бір-біріне қалдықсыз бөлінеді.
Сөйлем 4.3.1. Р[x] сақинасындағы кез-келген нольден өзгеше f (x) көпмүшелігі
өзіне-өзі бөлінеді.
Шындығында, f ( x)  f ( x) *1  0 .
f (x) , g (x ) көпмүшеліктері һ(х)
Сөйлем 4.3.2. Егер Р[x] сақинасындағы
көпмүшелігіне бөлінсе, онда f ( x)  g ( x), f ( x)  g ( x) көпмүшеліктері һ (х) көпмүшелігіне
бөлінеді.
Шындығында,
f ( x)  h( x)q1 ( x),
g ( x )  h( x ) q 2 ( x )
болса, онда
( f ( x)  g ( x))  h( x)(q1 ( x)  q2 ( x)) .
Сөйлем 4.3.3. Егер Р[x] сақинасындағы f1 ( x),..., f k ( x) көпмүшеліктер
көпмүшелігіне бөлінсе, онда
c1 f1 ( x)  ...  ck f k ( x)
көпмүшелігі g (x ) көпмүшелігіне бөлінеді. Мүнда ci сандары Р өрісінде.
g (x )
Сөйлем 4.3.4. Егер Р[x] сакинасындағы f1 ( x) көпмүшелігі g (x ) көпмүшелігіне
бөлінсе, онда f1 ( x), f ( x) көпмүшелігі g (x ) көпмүшелігіне бөлінеді, мұнда f ( x)  P[ x] .
Сөйлем 4.3.5. Егер Р[x] сақинасындағы f (x) көпмүшелігі һ (х) көпмүшелігіне бөлінсе,
ал осы сақинадағы һ (х) көпмүшелігі g (x ) көпмүшелігіне бөлінсе, онда f (x) көпмүшелігі
g (x ) көпмүшелігіне бөлінеді.
Шындығында,
олай
болса,
f ( x)  h( x)q( x), q( x)  P[ x], h( x)  g ( x)q1 ( x) ,
f ( x)  g ( x)(q( x)q1 ( x)) .
Сөйлем 4.3.6. Р[x] сақинасындағы кез-келген f (x) көпмүшелігі Р өрісінің кез-келген
нольден өзгеше санына бөлінеді.
f ( x)
f ( x)
) мұнда (
)  P[ x] .
Шындығында, f ( x)  c(
c
c
Евклид алгоритмі әдісін, натурал сандар жиынында ең үлкен ортақ бөлгішті табудағы
сияқты, Р[x] сакинасында қолданамыз.
Анықтама 4.3.3. f (x) және g (x ) көпмүшеліктерінің ең үлкен дәрежедегі ортақ
бөлгішін олардың ең үлкен ортақ бөлгіші деп атаймыз. Оны [ f ( x), g ( x)] түрінде
белгілейміз.
Теорема 4.3.3. Р[x] сақинасындағы кез-келген f (x) және нольден өзгеше g (x )
көпмүшеліктердің ең үлкен ортақ бөлгішін Евклид алгоритмінен табуға болады.
 f ( x)  g ( x)q ( x)  r ( x)
 g ( x)  r ( x)q ( x)  r ( x)
1
1

 ....................................
(4.3.3)
r ( x )  r ( x ) q ( x )  r ( x )
k 1
k
k
 k 2

rk 1 ( x)  rk ( x)qk 1 ( x)
Мұнда 0( g ( x)  0(r ( x)  ...  0(rk ( x)).
Анықтама 4.3.4. Егер f (x) және g (x ) көпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлгіші
ноль дәрежелі көпмүшелік немесе Р өрісінің элементі болса, онда f (x) , g (x )
көпмүшеліктерін өзара жай көпмүшеліктер деп атаймыз, оны [ f ( x), g ( x)]  1 түрінде
белгілейміз.
Теорема 4.3.4. Егер D(x) көпмүшелігі Р[x] сақинасындағы f (x) және g (x )
көпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлгіші болса, онда
f ( x) ( x)  g ( x) ( x)  D( x)
(4.3.4)
теңдігі орындалатын Р[x] сақинасынан  (x ) және  (x) көпмүшеліктерін таңдап алуға
болады.
Сөйлем 4.3.7. Егер f (x) және g (x ) көпмүшеліктер өзара жай көпмүшеліктер болса,
онда
f ( x) ( x)  g ( x) ( x)  с болады, мұнда 0  c P , одан
f ( x) ( x)  g ( x) ( x)  1
қатынасы алынады.
Сөйлем 4.3.8. Егер Р[x] сақинасындағы f (x) және g (x ) көпмүшеліктер осы
сақинадағы һ(х) көпмүшелікпен өзара жай көпмүшеліктер болса, Онда олардың
көбейтіндісі де һ(х) көпмүшелігімен өзара жай.
ІІІындығында, f (x) , һ (х) көпмүшеліктері өзара жай болғандықтан,
f ( x) ( x)  g ( x) ( x)  1
болатын  ( x)  P[ x], ( x)  P[ x] көпмүшеліктерін табамыз. Жоғарыдағы теңдікті g (x )
көпмүшелігіне көбейтеміз. Өйткені g (x ) көпмүшелігі нольден өзгеше деуге болады.
Сонда
g ( x) f ( x) ( x)  g ( x)h( x) ( x)  g ( x)
(4.3.5)
тендікті аламыз. Айталық, g ( x) f ( x) көбейтіндісі және һ (х) көпмүшеліктерінің ортақ
бөлгіші d (x ) көпмүшелігі болсын. (4.3.5) тендіктің екі мүшесі d (x ) көпмүшелігіне
бөлінгендіктен, g (x ) көпмүшелігі де бөлінуі керек. Сонда d (x ) көпмүшелігі ноль
дәрежелі көпмүшелік болуы керек, өйткені g (x ) және һ(х) көпмүшеліктері өзара жай
көпмүшеліктер.
Сонымен, сөйлем 4.3.5 дәлелденді.
Сөйлем 4.3.9. Егер Р[x] сақинасындағы f1 ( x), f 2 ( x),..., f k ( x) көпмүшеліктері осы
сақинадағы һ (х) көпмүшелігімен өзара жай болса, онда f1 ( x), f 2 ( x),..., f k ( x) көбейтіндісі
де һ (х) көпмүшелігімен өзара жай.
Дәлелдеуі математикалық индукция әдісімен жүргізіледі.
Анықтама арқылы көпмүшеліктің толық емес бөліндісі мен қалдықты анықтай аламыз,
яғни (1) формуласымен. Тәжірибеде есепті шығару барысында «бұрышпен бөлу» әдісін
қолдану арқылы көпмүшеліктің толық емес бөліндісі мен қалдығын табуға болады.
4.4. Көпмүшеліктердің түбірлері.
Безу теоремасы
Көпмүшеліктер теориясында бұл әдіс теңдеудің рационал, дербес жағдайда бүтін,
түбірлері бар болған жағдайда қолайлы болып табылады. Оның мәні теңдеудің сол жақ
бөлігіндегі көпмүшені рационал түбірлері арқылы көбейткіштерге жіктеу.
Бұл әдісті меңгерту үшін француз математигі Безу (1730-1783) есімімен аталатын
теореманы және көпмүше түбіріне байланысты негізгі тұжырымдарды берейік.
Айталық, Р( х)  a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an көпмүшесі берілсін.
Теорема
4.4.1.. (Безу
теоремасы). Р[x]
көпмүшелігін ( х  а ) екімүшесіне
бөлгендегі қалдық Р[x] -тің х  а болғандағы мәнінетең.
Анықтама 4.4.1. Р[x] сақинасындағы f (x) көпмүшелігінің түбірі деп х  а
болғанда f (a )  0 болатын а санын айтамыз.
Дәлелдеуі:
Р[x] көпмүшелігін қалдықпен ( х  а ) көпмүшелігіне бөлейік:
f ( x)  ( х  а)  q( x)  R( х)
deg R( x)  deg( x  a)  1
болғандықтан R (x ) —дәрежесі
0-ден
аспайтын
көпмүшелік. х  а
екендігін табамыз.
дегенді
қойып,
(a  а)  q( x)  0
болғандықтан P(a )  R(a )
Сонда f ( x)  ( х  а)  q( x)  R болса,
мұндағы R  P (a ) .
Көпмүшелік
коэффициенттері
белгілі
бір коммутативті бірлігі
бар сақинада (мысалы, нақты
сандар немесе комплекс сандар өрісінде) жатыр деп саналады.
Теорема 4.4.2. Р[x] көпмүшесінің х  а екімүшесіне қалдықсыз бөлінгенде, a саны
Р[x] көпмүшесінің түбірі болады.
Яғни Р[x] көпмүшесін f ( x)  ( х  а)  q( x)
түрінде көбейткіштерге жіктеуге
болады. Мұндағы q(x) дегеніміз (n-1)-ші дәрежелі бөлінді көпмүше, ол Р[x] -ті x-a
екімүшеге бөлгенде пайда болады.
Осылайша Р[ x ]  0 теңдеуі х  а түбірі табылғаннан кейін q( x)  0 теңдеуін
шешуге келтіріледі.
Егер теңдеу бүтін коэффициентті болса, онда оның рационал түбірлерін табу үшін
келесі теоремаға сүйенеміз.
p
Теорема 4.4.3. Егер
қысқартылмайтын бөлшегі бүтін коэффициентті
q
a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an  0 теңдеуінің түбірі болса, онда p саны a n бос мүшенің
бөлгіші, ал q саны a 0 бас коэффициенттің бөлгіші болады.
Бұл теоремадан келесі екі салдар айқындалады.
Салдар 4.4.1. Бүтін коэффициентті теңдеудің кез келген бүтін түбірі бос мүшенің
бөлгіші болады.
Салдар 4.4.2. Бүтін коэффициентті келтірілген ( a0  1 ) теңдеудің рационал түбірі
бар болса, онда ол бүтін сан болады.
Салдар 4.4.3. К тұтас облысындағы кез келген Р[x] көпмүшелігі
ха
екімүшесіне бөлінеді сонда тек сонда, егер а  К саны оның түбірі болса.
Салдар 4.4.4. Егер 1 ,  2 ,...,  k  K , K тұтас облысқа тиісті f (x) көпмүшелігінің
әртүрлі түбірлері болса, онда f (x) көпмүшелігі ( x  1 )( x   2 )...( x   k ) көбейтінділеріне
бөлінеді. Яғни,
(4.4.1)
f ( x)  ( x  1 )( x   2 )...( x   k )
Салдар 4.4.5. Нольден өзгеше көпмүшеліктің әртүрлі түбірлерінің саны, берілген
көпмүшеліктің дәрежесінен аспайды.
Дәлелдеуі: f (x) -нольдік емес көпмүшелік және deg( f ( x))  n болсын. f (x) көпмүшелігі
әртүрлі k түбірінен тұрады деп ұйғарайық және 1 , 2 ,..., k –оның түбірлері болсын. Онда
3
салдар
бойынша
және
f ( x)  ( x  1 )( x   2 )...( x   k )q( x)
немесе
deg f ( x)  deg( x  1 )  deg( x   2 )  ...  deg( x   k )  deg q( x)  k  deg q( x)
n  k  deg q( x) болады. Себебі deg q( x)  0 , онда k  n .
Горнер схемасы
Алдымен, f (x) көпмүшелігін (х-а) екі мүшелікке бөлуді қарастыралық
f ( x )  ( х  а )  q ( x )  r , a  P, r  P
(4.4.2)
болуы керек. Осы тендікте q(x) көпмүшелігі мен r қалдык санын табуға Горнер әдісін
қолданалық.
q(x) көпмүшелігінің дәрежесі f (x) көпмүшелігінің дәрежесінен бірге кем болуы керек.
Айталық,
0( f ( x))  n,
онда
0(q ( x))  n  1.
Сонымен,
q( х)  b0 x n1  b1 x n2  ...  bn1
болуы керек.
болсын. (1) теңдік орындалуы үшін
a0 x n  a1 x n1  ...  an1 x  an  ( x  a)(b0 x n  b1 x n1  ...  bn1 x  bn )  r
болуы керек. Осы теңдікті ықшамдап, x 0 , x1 ,..., x n белгісіздерінің
коэффициенттерін теңестірсек:
a0  b0 , a1  b1  ab0 , a2  b2  ab1 ,..., an1  bn1  abn2 , an  r  abn1
теңдіктерін аламыз.
Бұл теңдіктерден
b0  a0 , b1  a1  ab0 , b2  a2  ab1 ,..., bn1  an1  abn2 , r  an  abn1
b0 , b1 ,..., bn1 және r сандарын табуға төмендегі Горнер әдісі қолданылады.
a
a0
a1
a2
a3
a0
ab0  a1
ab1  a2
ab2  a3
...
алдындағы
an1
an
abn2  an1
abn1  an
Төмендегі жолда q(x) көпмүшелігінің r  abn1  an коэффициенттері бар.
4.5. Еселік көбейткіштерді бөліктеу
Бұл параграфта f (x) көпмүшелігінің көбейткіштерін бөлектеу әдісін көрсетеміз.
Теорема 4.5.1. Р өрісінде келтірілмейтін р(х) көпмүшелігі P[x] сакинасындағы
f (x) көпмүшелігінің жіктелуінде  еселікпен қатысса, онда р(х) көпмүшелігі f (x)
көпмүшелігінің бірінші туындысында (  -1) еселікпен қатысады.
Дәлелдеуі. Теореманың шарты бойынша,
(4.5.1)
f ( x)  p  ( x) q ( x) ,
мұнда q(x) көпмүшелігі р(х) көпмүшелігіне бөлінбейді.
f ( x)  p 1 ( x) p( x)q( x)  p  ( x)q( x) 
 p  1 ( x)(p( x)q( x)  ( x)q( x)) 
 p  1 ( x)h( x)
мұнда h( x)  p( x) g ( x)  p( x)q( x) .
q(x) көпмүшелігі Р өрісінде келтірілмейтін р(х) көпмүшелігіне бөлінбегендіктен және
р'(х) көпмүшелігінің дәрежесі р(х) көпмүшелігінің дәрежесінен кіші болғандықтан, һ(х)
көпмүшелігі р(х) көпмүшелігіне бөлінбейді.
Сондықтан р(х) көпмүшелігі f (x ) көпмүшелігінің жіктелуінде (   1 ) еселікте ғана
болады.
Теорема дәлелденді.
f (x) көпмүшелігі келтірілмейтін
Анықтама 4.5.1. P[x] сақинасындағы
көпмүшеліктердің көбейтіндісіне жіктегенде, р(х) келтірілмейтін көпмүшелігі бірінші
дәрежеде ғана кездессе, оңда оны жай көбейткіш деп атайтын боламыз.
Сөйлем. Р[х] сақинасындағы f (x) көпмүшелігінің жіктелуінде Р өрісінде
келтірілмейтін көпмүшеліктер тек қана жай көбейткіштер болып қатысуына қажетті жөне
жеткілікті шарт: f (x) көпмүшелігінің өзінің бірінші туындысымен өзара жай
көпмүшеліктер болуы.
Шындығында,
f ( x)  p1 ( x) p2 ( x)
болсын делік, мұнда p1 ( x) және p2 ( x) әртүрлі келтірілмейтін көпмүшеліктер.
Сонда


f ( x)  p1 ( x) p2 ( x)  p2 ( x) p1 ( x)
өрнегінен байқайтынымыз, f (x ) көпмүшелігі әрі p1 ( x) , әрі p2 ( x) көпмүшеліктеріне
бөлінбейді. Сондықтан, f (x) және f (x ) көпмүшеліктері өзара жай көпмүшеліктер
болады.
Сөйлем. Егер

(4.5.2)
f ( x)  cp11 ( x) p2 2 .... pkk ( x) ,
pi (x) — келтірілмейтін көпмүшеліктер және p1 ( x),...., p k ( x) — әртүрлі, 0  c  P болса,
онда f (x) көпмүшелігі және оның бірінші туындысының ең үлкен ортақ бөлгіші
D( x)  c1 p1 1 ( x).... pk k 1 ( x), c  0
болады.
Шындығында,
f ( x)  p1 1 ( x).... pk k 1 ( x) ( x) .
 (x ) көпмүшелігі p1 ( x),...., pk ( x) көпмүшеліктерінің біріне де бөлінбейді. Сондықтан да
сөйлем 2 дұрыс.
Егер
1   2  ...   k  1
болса, онда D( x)  c1  P болады және
f ( x)  cp1 ( x)  p2 ( x).... pk ( x), c  P, c  0 .
Бұл жағдайда [ f ( x), f ( x)]  1 .
Сөйлем. Егер f (x) көпмүшелігінің жіктелуі (4.5.2) түрінде
болса, онда
f ( x)  cx1 x22 ..xtt
(4.5.3)
түрінде жазуға болады, мұнда
— көпмүшелігінің барлық жай көбейткіштерінің көбейтіндісі.
x1  f ( x)
x22  f ( x) көпмүшелігінің барлық екі еселікті көбейткіштерінің көбейтіндісі.

x1  f ( x) көпмүшелігінің барлық t еселікті көбейткіштерінің көбейтіндісі.
Қаңдай да болмасын бір еселікті көбейткіш болмаса, онда оны бір деп аламыз.
f (x) көпмүшелігін (4.5.3) түрінде қабылдасақ, онда f (x) және f (x ) көпмүшеліктерінің
ең үлкен ортақ бөлгіші
D( x)  c1 x2 x32 ...xtt 1
түрінде болады.
Енді D(x) пен D(x ) көпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлгіші
D1 ( x)  c2 x3 x42 ...xtt 2
болар еді. Осылайша жалғастыра берсек,
Dt 2 ( x)  ct 1 xt ,
Dt 1 ( x)  ct  1
болады.
Енді
f ( x)
c
E1 
 d1 x1 x2 ...xt (d1   P )
D( x)
c1
E2 
c
f ( x)
 d 2 x2 ...xt (d 2  1  P)
D( x)
c2
.......................................................
D ( x)
Et  t  2
 d t xt (d t  ct 1  P)
Dt 1 ( x)
мәндерін табамыз. Бұдан кейін
E
E1
E
 t1 x1 , 2  t 2 x2 ,..., t 1  t t 1 xt 1 , Et  tt xt
E2
E3
Et
d
мұнда t1  1 ,.., tt  d t .
d2
Сонда
f ( x)  (t1 x1 )(t 2 x2 ) 2 ...(tt xt ) t
Сонымен, x1 , x2 ,..., xt көбейткіштерді бөлектедік.