Download Metode Penelitian Dasar Poisson Distribution (1) (2)

Distribusi Poisson
01
History
Distribusi poisson disebut juga distribusi
peristiwa yang jarang terjadi. Peristiwa
ini ditemukan oleh Simeon Denis
History
Poisson (1781–1841), seorang ahli
matematika berkebangsaan Perancis.
Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis
yang memakai variabel random diskrit. Menurut
Walpole (1995), distribusi poisson adalah
distribusi peluang acak poisson X, yang
menyatakan banyaknya sukses yang terjadi
dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu.
02
Definitions
Sebuah variabel acak diskrit X dikatakan
Probabitily Mass
Function
terdistribusi Poisson apabila memiliki
parameter λ>0. Dengan fungsi massa
probabilitas yang diberikan oleh
persamaan berikut:
Bilangan real positif sama
dengan nilai harapan
(Expected) X dan juga
Keterangan:
variansnya.
k = Jumlah kemunculan k=0, 1, 2,
…
e = Bilangan Euler e=2,71828
Probabitily Mass
dapat
sistemFunction
Distribusi
Poisson
diterapkan
pada
dengan
jumlah
besar
kemungkinan
kejadian,
dengan masing-masing jarang
terjadi.
Banyaknya kejadian serupa
dengan durasi selang waktu
tertentu dan dalam keadaan
yang
tepat
merupakan
bilangan
acak
dengan
distribusi Poisson.
Persamaan dapat diadaptasi
jika jumlah rata-rata peristiwa
diberi laju rata-rata r dimana
peristiwa terjadi. Sehingga
λ=rt dan
•
Assumptions and
Validity
k adalah berapa kali suatu peristiwa terjadi
dalam suatu interval dan k dapat
mengambil nilai 0, 1, 2, …
•
Terjadinya satu peristiwa tidak
mempengaruhi probabilitas bahwa
peristiwa kedua akan terjadi. Artinya,
peristiwa terjadi secara independen.
Assumptions and
Validity
•
Tingkat rata-rata di mana peristiwa
terjadi tidak tergantung pada setiap
Jika kondisi ini benar, maka k adalah variabel
kejadian. Secara sederhana hal ini
acak Poisson dan distribusi k adalah
disebut konstan, tetapi dalam
distribusi Poisson. Distribusi Poisson juga
praktiknya mungkin berbeda dengan
waktu.
merupakan limit dari distribusi binomial, di
mana probabilitas keberhasilan untuk setiap
percobaan sama dengan dibagi dengan
jumlah percobaan.
•
Dua peristiwa tidak dapat terjadi pada
saat yang sama persis
Examples that Violate
the Poisson
Assumptions
•
CASE 1
Banyaknya siswa yang tiba di serikat siswa per
menit kemungkinan besar tidak akan mengikuti
distribusi Poisson, Hal ini dikarena lajunya tidak
konstan dan kedatangan siswa secara individu
tidak independen (siswa cenderung datang
berkelompok).
Examples that Violate the
Poisson Assumptions
Jumlah gempa bumi berkekuatan 5 magnitudo per tahun di suatu negara mungkin tidak
dapat mengikuti distribusi Poisson, Hal ini dikarenakan jika satu gempa besar
meningkatkan kemungkinan gempa susulan dengan magnitudo yang sama.
Hal tersebut adalah Contoh di mana setidaknya satu peristiwa dijamin tidak terdistribusi
Poisson; tetapi dapat dimodelkan menggunakan distribusi Poisson terpotong-nol
03
Properties
Descriptive
statistics

Nilai harapan dan varians dari
variabel acak terdistribusi Poisson
keduanya sama dengan 𝜆

Koefisien variasinya adalah𝜆−1/2 ,
sedangkan indeks dispersinya
adalah 1.

Deviasi absolut rata-rata dari
mean adalah.
2𝜆 𝜆 +1 𝑒 −𝜆
𝐸 𝑥−𝜆 =
𝜆!
Descriptive statistics
Modus variabel acak terdistribusi Poisson dengan non-integeral 𝜆 sama
dengan [𝜆], yang merupakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau
sama dengan 𝜆 . juga ditulis sebagai standar deviasi (λ). ketika 𝜆 adalah
bilangan bulat positif, modusnya adalah 𝜆 dan 𝜆 − 1 .
Semua kumulan dari distribusi Poisson sama dengan Nilai Harapan
(Expected Value) λ. faktorial ke-n dari distribusi Poisson adalah 𝜆𝑛 .
Median
Higher Moments
Momen tak terpusat yang lebih
Batas untuk median (v)
distribusi diketahui :
1
𝜆 − ln 2 ≤ 𝑣 < 𝜆 +
3
dari
tinggi, mk dari distribusi Poisson,
adalah polinomial Touchard di λ
𝑘
𝜆𝑖
𝑚𝑘 =
𝑖=0
𝑘
𝑖
Higher Moments
di mana tanda dalam kurung menunjukkan bilangan Stirling jenis kedua.
Koefisien polinomial memiliki arti kombinatorial. Faktanya, ketika nilai
yang diharapkan dari distribusi Poisson adalah 1, maka rumus Dobinski
mengatakan bahwa momen ke-n sama dengan jumlah partisi dari suatu
himpunan berukuran n.
Sebuah batas sederhana adalah
𝑚𝑘 = 𝐸
𝑋𝑘
𝑘
≤
𝑘
log + 1
𝜆
𝑘
≤
𝜆𝑘 𝑒𝑥𝑝
𝑘2
2𝜆
Sums of Poisson-distributed
random variables
Jika 𝑋𝑖 ∼ 𝑃𝑜𝑖𝑠 𝜆𝑖 untuk 𝑖 = 1, … , 𝑛 independen, maka
𝑛
𝑛
𝑋𝑖 ∼ 𝑃𝑜𝑖𝑠
𝑖=1
𝜆𝑖
𝑖=1
Kebalikannya adalah teorema Raikov, yang mengatakan bahwa jika jumlah dua
variable acak independen berdistribusi Poisson, makan kedua variabek acak
independen tersebut juga demikian.
Other Properties
01
02
Divergensi Kullback–Leibler terarah dari
𝑃𝑜𝑖𝑠 (𝜆0 ) dari 𝑃𝑜𝑖𝑠 (𝜆) diberikan oleh
Distribusi Poisson adalah
distribusi peluang yang habis
dibagi tak terhingga.
03
Batas untuk probabilitas ekor dari variabel acak
Poisson 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠 (𝜆) dapat diturunkan
menggunakan argumen terikat Chernoff :
04
Pertidaksamaan yang menghubungkan fungsi
distribusi dari variabel acak Poisson
𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠 (𝜆) ke fungsi distribusi normal standar
Φ(x) adalah sebagai berikut:
Poisson Races
Misalkan 𝑋 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠 𝜆 dan 𝑌 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠 𝜇 adalah variabel acak independen, dengan 𝜆 < 𝜇,
maka
2
𝑒 − 𝜇− 𝜆
𝑒 − 𝜆+𝜇
𝑒 − 𝜆+𝜇
−
−
≤ 𝑃 𝑋 − 𝑌 ≥ 0 ≤ 𝑒−
2
𝜆+𝜇
4𝜆𝜇
2 𝜆𝜇
𝜇− 𝜆
2
Batas atas dibuktikan dengan menggunakan standar Chernoff bound.
Batas bawah dapat dibuktikan dengan menuliskan bahwa 𝑃 𝑋 − 𝑌 ≥ 0 | 𝑋 + 𝑌 = 𝑖 adalah
probabilitas bahwa 𝑍 ≥
𝑖
,
2
di mana 𝑍 ~ 𝐵𝑖𝑛
𝜆
𝑖,
𝜆+𝜇
𝜆
, yang dibatasi oleh
di mana 𝐷 adalah entropi relatif. Maka didapatkan 𝑋 + 𝑌 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠 𝜆 + 𝜇 .
−𝑖𝐷 0.5∥
1
𝜆+𝜇
𝑒
𝑖+1 2
,
04
Related distribution
General
Distribusi Poisson dapat diturunkan sebagai kasus pembatas pada distribusi binomial, hal ini dikarenakan
jumlah percobaan menjadi tak terhingga dan jumlah keberhasilan yang diharapkan. Oleh karena itu,
dapat digunakan sebagai pendekatan distribusi binomial jika n cukup besar dan p cukup kecil.
FBinomial (k;n,p)  FPoisson (k; =np)
Distribusi Poisson merupakan kasus khusus dari distribusi Poisson majemuk diskrit (atau distribusi
Poisson gagap) dengan hanya memiliki sebuah parameter
General
Untuk nilai yang cukup besar, (misalnya λ>1000), distribusi normal dengan nilai rata-rata λ dan varians
λ (deviasi standar λ) merupakan bilangan prima mendekati distribusi Poisson. Jika nilainya lebih besar
dari 10, maka distribusi normal menggunakan pendekatan yang baik jika koreksi kontinuitas dilakukan.
FPoisson(x ; )  FNormal (x ; µ= , σ2=)
General
Transformasi penstabil varians, jika nilai X ~ Pois(λ) maka
Y=2X  Ɲ(2λ ;1) dan Y=X  Ɲ(2λ ;1/4)
Di bawah transformasi ini, konvergensi ke normalitas (sebagaimana λ bertambah) jauh lebih cepat
daripada variabel yang tidak diubah. Transformasi penstabil varians lain yang sedikit lebih rumit
tersedia, satu di antaranya adalah transformasi Anscombe.
Jika untuk setiap t > 0 jumlah kedatangan dalam selang waktu [0, t] mengikuti distribusi Poisson dengan
mean λ t, maka urutan waktu antar kedatangan adalah variabel acak eksponensial independen dan
berdistribusi identik dengan mean 1/λ.
General
Fungsi distribusi kumulatif dari Poisson dan distribusi chi-squared dapat ditulis dalam persamaan berikut
Dengan k adalah bilangan bulat
:
FPoisson(k ; ) = 1- Fx2 (2 ; 2(k+1)) dan Pr (X = k) = Fx2(2 ; 2(k+1))- Fx2(2 ; 2k)
Asumsikan
𝑋1 ~𝑃𝑜𝑖𝑠 𝜆1 , 𝑋2 ~𝑃𝑜𝑖𝑠 𝜆2 , . . . , 𝑋𝑛 ~𝑃𝑜𝑖𝑠 𝜆𝑛
dimana
𝜆1 + 𝜆2 +. . . +𝜆𝑛 = 1, lalu (𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 ) adalah
distribusi multinomial,
Poisson
Approximation
(𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 )~𝑀𝑢𝑙𝑡(𝑁, 𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 ) pada kondisi
𝑁 = 𝑋1 + 𝑋2 +. . . 𝑋𝑛
Artinya
bahwa untuk sembarang fungsi non negatif f(x1 , x2 , . . . , xn ),
jika (𝑌1 , 𝑌2 , . . . , 𝑌𝑛 )~𝑀𝑢𝑙𝑡(𝑚, 𝑝) terdistribusi secara
multinomial, kemudian
𝐸[𝑓(𝑌1 , 𝑌2 , . . . , 𝑌𝑛 )] ≤ 𝑒 𝑚 𝐸[𝑓(𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 )]
dimana (𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 )~𝑃𝑜𝑖𝑠(𝑝).
Bivariate Poisson Distribution
Distribusi ini merupakan perluasan dari kasus bivariate. Fungsi umum untuk distribusi ini adalah :
𝑔 𝑢, 𝑣 = exp (𝜃1 −𝜃12
𝑢 − 1 + 𝜃2 − 𝜃12 𝑣 − 1 + 𝜃12
Dengan θ1 ,θ2> θ12>0
Marginal Distribusi adalah Poisson (θ1) dan Poisson(θ2) dan koefisien korelasi adalah terbatas pada jangkauan
0 ≤ 𝜌 ≤ min
𝜃1 𝜃2
,
𝜃2 𝜃1
Bivariate Poisson Distribution
Hal tersebut merupakan Langkah sederhana untuk membentuk Poisson Bivaviate distribusi X1,X2 untuk
mengambil tiga Distribusi Poisson bebas Y1,Y2 Y3 yang bernilai λ1, λ2 λ3 dan mengatur X1=Y1+ Y3, X2=Y2+ Y3.
Probabilitas fungsi dari Distribusi Poisson Bivariate adalah
𝑘
Pr 𝑋1 = 𝑘1 , 𝑋2 = 𝑘2
𝑘 min(𝑘1 ,𝑘2 )
𝜆11 𝜆22
= exp(−𝜆1 − 𝜆2 − 𝜆3 )
𝑘1 ! 𝑘2 !
𝑘=0
𝑘1
𝑘
𝑘2
𝜆1
𝑘!
𝑘
𝜆2 𝜆3
𝑘
Distribusi poisson bebas yaitu distribusi poisson dengan
ukuran lompatan α dan tingkat λ muncul dalam teori
probabilitas bebas sebagai batas konvolusi bebas berulang.
λ
λ
1−
𝛿0 + 𝛿α
𝑁
𝑁
Free Poisson
Distribution
𝑁
Sebagai N -> ∞
Dengan kata lain, biarkan 𝑋𝑁 menjadi variabel acak
sehingga 𝑋𝑁 memiliki nilai dengan probabilitas
nilai 0 dengan probabilitas yang tersisa.
λ
𝑁
dan
Ukuran yang terkait dengan hukum Poisson bebas diberikan
oleh :
𝜇=
1 − λ 𝛿0 + 𝑣, 𝑖𝑓 0 ≤ λ ≤ 1
𝑣,
𝑖𝑓 λ > 1
Dimana
𝑣=
1
4λ 𝛼 2 − 𝑡 − 𝛼(1 + λ)
2𝜋𝛼𝑡
Didukung oleh 𝛼(1 − λ)2 , 𝛼(1 + λ)2
Sehingga cumulant bebasnya yaitu 𝑘𝑛 = λ𝛼 𝑛
2
𝑑𝑡
Free Poisson
Distribution
Weibull and Stable Count
Fungsi massa probabilitas poisson
dapat dinyatakan dalam bentuk yang mirip dengan
distribusi produk dari distribusi Weibull dan bentuk varian dari distribusi jumlah stabil .
Variabel
dapat dianggap sebagai kebalikan dari parameter stabilitas Lévy dalam
distribusi jumlah stabil:
05
Statistical Inference
Parameter Estimation
Misalkan X1,X2,…,Xn adalah sampel random yang berasal dari populasi terdistribusi poisson
dengan parameter 𝜆. Fungsi kepadatan peluang untuk distribusi poisson dengan parameter
𝜆 adalah
Langkah – langkah metode tersebut adalah sebagai berikut
-
Membuat fungsi likelihood distribusi poisson.
-
Membuat transformasi fungsi di atas ke dalam bentuk ln.
-
Membuat turunan fungsi tersebut terhadap parameter λ.
-
Menyamakan hasil turunannya dengan nol.
-
Dari hasil di atas diperoleh estimator parameter λ.
Confidence Interval
Selang kepercayaan untuk rata-rata dari distribusi Poisson dapat dinyatakan dengan menggunakan hubungan antara
fungsi distribusi kumulatif dari Poisson dan distribusi chi-kuadrat. Distribusi chi-kuadrat itu sendiri terkait erat
dengan distribusi gamma, dan ini mengarah pada ekspresi alternatif
Ketika kuantil dari distribusi gamma tidak tersedia, pendekatan yang akurat untuk interval yang tepat ini telah
diusulkan (berdasarkan transformasi Wilson-Hilferty):
k(1-19k-z/23k)3(k+1)(1-19k+1-z/23k+1)3
dengan z/2 menunjukkan simpangan normal standar dengan luas ekor atas lamda/2.
Untuk penerapan rumus ini dalam konteks yang sama seperti di atas (diberikan sampel n nilai terukur ki masingmasing diambil dari distribusi Poisson dengan rata-rata lamda).
Bayesian Inference
Dalam inferensi Bayesian, konjugat sebelumnya untuk parameter laju λ dari distribusi
Poisson adalah distribusi gamma.
𝛽 𝛼 𝛼−1 −𝛽𝜆
𝑔 𝜆 𝛼, 𝛽 =
𝜆 𝑒
𝑓𝑜𝑟 𝜆 > 0
Γ 𝛼
kemudian diberikan sampel yang sama dari 𝑛 nilai diukur 𝑘𝑖 seperti sebelumnya, dan
sebelum Gamma (α, β) distribusi posterior adalah
𝑛
𝜆 ~ 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎
𝛼+
𝑘𝑖 , 𝛽 + 𝑛
𝑖=1
Simultaneous Estimation of Multiple
Posson means
Misalkan X1, X2 … , Xp ialah sebuah set variabel acak independen dari sebuah set p distribusi
Poisson, dengan tiap parameter λi untuk i=1, …., p, kita dapat memperkirakan parameter
tersebut. Clevenson dan Zidek menunjukkan bahwa dibawah kuadrat error ternormalisasi,
sebesar 𝐿 𝜆, 𝜆 =
𝑝
−1
𝑖=1 𝜆𝑖
2
𝜆𝑖 − 𝜆𝑖 , untuk 𝑝 > 1 , seperti pada Stein’s example untuk
normal means, estimator MLE, 𝜆𝑖 = 𝑋𝑖 , tidak dapat diterima.
Pada kasus ini, estimator minimax digunakan untuk 0 < 𝑐 ≤ 2 𝑃 − 1 dan 𝑏 ≥ (𝑝 − 2 +
06
Occurrence and
Application
Law of Rare Events
Dalam kasus distribusi Poisson, diasumsikan bahwa terdapat subinterval yang cukup kecil
sehingga probabilitas suatu peristiwa terjadi dua kali "diabaikan". Dengan asumsi ini,
distribusi Poisson dapat diturunkan dari distribusi Binomial, yang diberikan hanya informasi
jumlah yang diharapkan dari total kejadian di seluruh interval.
Sekarang, asumsikan bahwa kemunculan suatu peristiwa di seluruh interval dapat dilihat
sebagai urutan n percobaan Bernoulli, dimana percobaan Bernoulli ke-I dengan melihat
apakah suatu peristiwa terjadi pada subinterval Ii dengan probabilitas λ/n. Jumlah yang
diharapkan dari total kejadian dalam n percobaan tersebut akan menjadi (jumlah yang
diharapkan dari total kejadian di seluruh interval). Oleh karena itu, untuk setiap subdivisi
interval, kita telah memperkirakan kemunculan peristiwa sebagai proses Bernoulli dalam
bentuk B(n, λ/n).
Poisson Point Process
Poisson point adalah hamburan titik secara acak, tersebar secara acak sehubungan dengan beberapa hukum
distribusi. Poisson point process adalah contoh mendasar dari proses titik yang digunakan untuk memodelkan
berbagai fenomena yang berbeda dan berfungsi sebagai dasar dari proses yang lebih rumit. Jika X adalah variabel
acak Poisson dengan mean jika memiliki fungsi massa probabilitas yang diberikan adalah:
Z adalah variabel acak eksponensial dengan mean (laju λ=1/μ) jika itu adalah variabel acak kontinu dengan fungsi
kepadatan probabilitas yang diberikan adalah:
Distribusi poisson
Distribusi poisson adalah kemungkinan model yang
tepat untuk jenis percobaan tertentu. Variabel acak
diskrit X dikatakan mempunyai distribusi poisson
jika fungsi peluangnya.
Untuk harga e dapat dicari dengan
menggunakan kalkulator atau dengan
melihat daftar harga e yang dapat anda
lihat dari berbagai sumber di internet.
Distribusi poisson mempunyai
parameter:
berbentuk:
px=PX=x
Dengan x = 1,2,3,....
e = bilangan konstan = 2,7183
Regresi Poisson dan regresi binomial negatif
berguna untuk analisis di mana variabel
dependen (respons) adalah jumlah (0, 1, 2,
...) dari jumlah kejadian atau kejadian dalam
A (dibaca lamda) = bilangan tetap.
suatu interval.
Other Application In Science
Jika Nilai Probabilitas dan Jumlah Inti dalam sampel dapat diketahui , maka
Sebagaimana
yang
telah
dijelaskan
pada
poin
jumlah rata-rata peluruhan yang diharapkan dalam dua menit dapat dihitung.
Akan tetapi pada praktiknya peluruhan mungkin berbeda dari jumlah rata-rata
sebelumnya, yakni Distribusi Poisson dapat diterapkan
yang diharapkan. Jika Eksperimen dilakukan berkali-kali, distribusi yang
pada sistem dengan sejumlah besar kemungkinan
digunakan salah satunya adalah Distribusi Poisson, dimana jika terdapat
kejadian yang masing-masing jarang terjadi, dan kejadian
sejumlah “n” inti, dan probabilitas dari setiap satu inti yang meluruh adalah p,
maka
probabilitas peluruhan inti keseluruhan v
merupakan probabilitas
tersebut terjadi dalam selang waktu tertentu. Salah Satu
peluruhan inti v yang diharapkan sukses di setiap n percobaan. Sehingga dapat
Aplikasi Sains yang menggunakan Distribusi Poisson,
dirumuskan dengan :
yakni Pada Kasus Radiasi, dimana diberikan suatu
sampel dari material radioaktif .dan digunakan suatu
detector yang cocok untuk menentukan jumlah dari v
Dimana : μ adalah peluruhan tiap waktu, v adalah peluruhan inti
yang diharapkan sukses.
partikel peluruhan yang dikeluarkan dalam interval 2
menit.
07
Computational Methods
Menghitung P(k; λ) untuk k dan λ adalah persoalan
mudah
yang
menggunakan
dapat
definisi
diselesaikan
standar
P(k;
dengan
λ)
dalam
eksponensial, pangkat, dan fungsi faktorial. Untuk
stabilitas
numerik,
fungsi
massa
probabilitas
Poisson harus dievaluasi sebagai:
f(k;λ)= exp[k lnλ−λ−lnΓ(k+1)
Yang ekuivalen secara matematis tetapi stabil
secara numerik.
Evaluating the Poisson
distribution
Logaritma dasar dari fungsi Gamma dapat diperoleh
dengan menggunakan fungsi lgamma di pustaka
standar C (versi C99) atau R, fungsi gammaln di
MATLAB atau SciPy, atau fungsi log_gamma di
Fortran 2008 dan yang lebih baru.
Beberapa bahasa komputasi menyediakan fungsi
bawaan untuk menghitung nilai distribusi Poisson,
yaitu:
• R: function dpois(x, lambda) ;
• Excel: function POISSON( x, mean, cumulative),
• Mathematica: univariate Poisson PoissonDistribution[λ]
Bivariate Poisson MultivariatePoissonDistribution[θ12, { θ1 -
θ12 , θ2 - θ12 ]}
Evaluating the Poisson
distribution
Tugas yang tidak terlalu mudah adalah
mendapatkan bilangan bulat acak dari
distribusi Poisson dengan lambda. Untuk
itu, diberikan solusi:
1.R: function rpois(n, lambda) ;
2.GNU Scientific Library (GSL): function
gsl_ran_poisson
Fungsi ini mengembalikan bilangan bulat
acak dari distribusi Poisson dengan mean
mu.
Random Drawing From the Poisson
Distribution
08
Problems Example
•Ketika Pengukuran yang dilakukan secara teliti didapati jika sampel dari radioaktif thorium memancarkan
partikel alfa setiap 1.5 tiap menit. Jika kita menghitung jumlah partikel alfa yang terpancar selama 2 menit,
Berapa Hasil Rerata yang diharapkan ? Berapa Probabilitas kita akan mendapatkan angka ini ? Berapa
Probabilitas untuk setiap v = 0,1,2,3,4 , dan v 5 ?
Jawab :
Rerata Hitungan yang diharapkan adalah rerata dari pancaran yang dihasilkan (R = 1.5 tiap menit)
dikalikan dengan waktu selama dilakukannya observasi (T = 2 menit), sehingga :
•Jika diketahui Rerata Peluruhan tiap waktu yang diharapkan dari pancaran suatu partikel beta adalah sebesar 64 ( μ = 64).
Berapa Probabilitas peluruhan inti yang diharapakan sukses sebanyak 72 (v=72)?
Jawab :
Kasus ini dapat diselesaikan dengan menggunakan Distribusi Poisson
Thanks!
CREDITS: This presentation template was created by
Slidesgo, and includes icons by Flaticon and
infographics & images by Freepik