Download KTS F.5 數學 2021-2022 (Ocean) 初中基礎課題練習 (3)

KTS F.5 數學 2021-2022 (Ocean)
初中基礎課題練習
各位同學，抱歉，老師的身體打敗仗，要休息一星期。但仍然希望同學可以幫我完成以下題目，這些
都是 DSE 會出在甲（一）、甲（二）以及 MC 的題目，往往 KTS 的同學都會忽略，以致失了許多冤
枉分。跟你們分享，老師考 DSE 時就是沒有注意到這些題目，失了幾分。這些題目，看似簡單，但
需要不斷操練。
自覺底子差的同學，理應邊做邊重溫這些課題（可在 YouTube 上找資源觀看，或是拿回初中的數學課
本再看一次）。
自覺數學好的同學，更加應該盡力完成，以免在考試失了這些無謂分，說實話，當年考 DSE 失了這
幾分，至今仍在耿耿於懷，哈哈。這些同學目標是求精準，確保 100% 唔會計錯數，做 10 題啱 10 題。
答案我不在群組公布。如需對答案或問問題，請自行 WhatsApp 我。這好讓我看看那位同學有認真完
成，沒有白廢這份練習。加油！
以下為 KTS 學生經常失分的課題：
1. 估算、誤差、百分法 （DSE 卷一：甲一、甲二部分大概考 3-6 分）
2. 坐標、對稱及變換（歷屆 KTS 學生致命傷，卷一卷二必考）
估算、誤差、百分法
(a) 估 算
三位小數
12.345 5
六位小數
12.346 (準確至三位小數)
12.346 (準確至五位有效數字)
0.001 234 (準確至六位小數)
0.001 234 (準確至四位有效數字)
0.001 234 4
五位有效
數字
四位有效
數字
例如：將 0.007 650 1 捨入至：
二位有效數字
0.007 7
三位有效數字
0.007 65
四位有效數字
0.007 650
五位小數
0.007 65
至最接近的整數
至最接近的十位
將 765.432 上捨入
766
770
將 765.432 下捨入
765
760
將 765.432 捨入
765
770
例如：
(b) 誤 差
(i)
(ii)
近似值與真確值之差 (取其正值)
絕對誤差
最大絕對誤差
1
´ 量度工具的刻度間距
2
(或最大誤差)
(iii)
下 限
量度值 - 最大絕對誤差
(iv)
上 限
量度值 + 最大絕對誤差
(v)
真確值的範圍
下限 £ 真確值 < 上限
(vi)
相對誤差
(vii)
百分誤差
絕對誤差
(在估算中)
真確值
最大絕對誤差
(在量度中)
量度值
相對誤差 ´ 100%
例如：一枚郵票的長度量得 3.2 cm 準確至最接近的 0.1 cm。
最大絕對誤差
3.1 cm
3.2 cm
3.15 cm
(下限)
真確值的範圍
量度值
3.3 cm
3.25 cm
(上限)
最大絕對誤差 =
相對誤差 =
´ 0.1 cm = 0.05 cm
= 0.015 625
百分誤差 = 0.015 625 ´ 100% = 1.562 5%
(c) 百 分 比
(i) A 較 B 多 k%。 Þ
Þ
P 較 Q 少 k%。
(ii) 百分數增減 =
A = B(1 + k%)
P = Q(1 - k%)
新值 - 原值
´ 100%
原值
(iii) 盈利 = 售價 - 成本
盈利 % =
盈利
´ 100%
成本
售價 = 成本 ´ (1 + 盈利 %)
(iv) 折扣 = 標價 - 售價
折扣 = 標價 ´ 折扣 %
(v)
單利息
PRT
100
利 息
I=
本利和
A=P+I
可以是正或負
虧蝕 = 成本 - 售價
虧蝕 % =
虧蝕
´ 100%
成本
售價 = 成本 ´ (1 - 虧蝕 %)
折扣 % =
折扣
´ 100%
標價
售價 = 標價 ´ (1 - 折扣 %)
複利息
I=A-P
R ö
A = P æç1 +
÷
è 100 ø
(vi) 若一個量 N 增加 x%，然後減少 y%，則
N 的最終值 = N(1 + x%)(1 - y%)
整體的百分數增減 =
最終值 - 原值
´ 100%
原值
n
I：利息
A：本利和
P：本金
R%：每期的利率
T：以年計算的時間
n：按複利息每期計算一次的期數
估算、誤差、百分法
練習：
1. (a) 將 1 412.085 下捨入至二位小數。
(b) 將 1 412.085 捨入至最接近的百位。
(c) 將 1 412.085 上捨入至二位有效數字。
2.
懋麟、律希和儀媛分別有$38.2、$53.7 和$46.6。
(a) 下捨入每人所擁有的金額至最接近的元，估計他們所擁有的總金額。
(b) 這三人打算點選三道價錢是$45、$48 和 $42 的小菜作午餐。
懋麟宣稱他們沒有足夠的金錢支付該午餐。你是否同意？利用
(a) 部的結果，試解釋你的答案。
3.
若一瓶蘋果汁的體積量得 200 mL 準確至最接近的 mL，則稱它為一瓶可接受的蘋果汁。
(a) 求一瓶可接受的蘋果汁的最小可取體積。
(b) 120 瓶可接受的蘋果汁的總體積有沒有可能量得 23.9 L 準確至最接近的 0.1 L？試解釋你的答案。
4.
一張長方形紙卡的長度和闊度分別量得 5.4 cm 和 2.6 cm 準確至最接近的 0.1 cm。
(a) 求量得的長度的百分誤差準確至最接近的 0.01%。
(b) 求當計算該長方形紙卡的周界時其相對誤差。
5.
圖中，ABCDE 是一塊五邊形金屬片，其中所有的量度均準確至最接近的 cm。
D
E
8 cm
A
C
3 cm
B
F
12 cm
4 cm
(a) 求該些量度的最大絕對誤差。
(b) 求該金屬片的最小可取面積。
(c)
6.
CD 的長度可否大於 7.5 cm？試解釋你的答案。
平板電腦 A 的售價較平板電腦 B 的少 40%。平板電腦 B 的售價較
平板電腦 C 的多 40%。平板電腦 A 的售價是$2 520。
(a)
求平板電腦 B 的售價。
(b)
哪一部平板電腦的售價最低？試解釋你的答案。
7.
一個長方形的長度和闊度分別量得 15 cm 和 12 cm 準確至最接近的 cm。設 x cm2 為該長方形的實際面
積。求 x 值的範圍。
8.
A.
166.75 £ x < 193.75
B.
166.75 < x £ 193.75
C.
179.5 £ x < 180.5
D.
179.5 < x £ 180.5
信南擁有$120。嘉豪擁有的金額較信南擁有的多 40%。
(a) 求他們擁有的總金額。
(b) 一隻電視遊戲光碟的標價是$350，它現以其標價的八折售出。若信南和嘉豪欲購買該電視遊戲光碟，
他們會否有足夠的金錢購買該電視遊戲光碟？試解釋你的答案。
9.
一部相機的成本是$2 800。若該相機以其標價的八折售出，則盈利百分率是 40%。
(a) 求該相機的標價。
(b) 若該相機以其標價的六五折售出，會否虧蝕？試解釋你的答案。
10. 律希將$8 000 存入銀行，年利率為 r%，按單利息計算。
(a) 當 r = 3 時，求 7 個月後所得的利息。
(b) 若律希在 9 個月後可得利息$135，求 r 的值。
11. 在 △ABC 中，AB、AC 和 BC 的長度分別量得 5 cm、5 cm 和 8 cm。若該三個量度都準確至最接近的 cm，
求 △ABC 的最小可取周界。
A. 15 cm
B. 16.5 cm
C.
19.5 cm
D.
21 cm
12. 霆彥售出兩部手提電話，每部手提電話的售價均為$3 600，其中一部獲利 20%，而另一部則虧蝕 20%。完
成該兩項交易後，霆彥
A.
虧蝕$300。
B.
虧蝕$400。
C.
獲利$300。
D.
獲利$400。
OCEAN 提示
留意兩部手提電話的成本不同。小心計算盈利/虧蝕。
13. 烯雯以$3 000 購入某音樂播放器，之後她將該音樂播放器售予嘉沛並虧蝕 10%。嘉沛應以甚麼價錢出售該
音樂播放器才可獲利 10%？
A. $2 430
B. $2 970
C. $3 000
D. $3 240
14. 若某住宅單位的價值減少 30%且隨後增加 80%，求該住宅單位的價值的百分數增減。
A. -76%
B. -50%
C.
26%
D.
50%
OCEAN 提示
若 A 增加 r%，則 A 的新值是 A(1 + r%)。
若 B 減少 r%，則 B 的新值是 B(1 - r%)。
15. 若一個直立圓柱體的底半徑和高分別增加 20%和 k%使其體積增加 116%，則 k =
A. 20。
B. 30。
C. 40。
D. 50。
OCEAN 提示
確保使用正確的公式來求直立圓柱體的體積。
16. 在某學校中，55%的學生是男生。若 60%的男生和 50%的女生是家中獨生孩子，求屬家中獨生孩子的學生
所佔的百分數。
A. 54.5%
B. 55.5%
C.
56.5%
D.
57.5%
OCEAN 提示
設 x 為該學校的學生人數。
17. 存款$30 000，年利率 5%，年期 2 年，複利計算，每季一結。求利息，準確至最接近的元。
A. $3 135
B. $3 128
C. $3 075
D. $3 000
OCEAN 提示
求利息前，先求本利和。
18. 存款$25 000，年利率 3%，年期 4 年，複利計算，每月一結。求本利和，準確至最接近的元。
A. $28 000
B. $28 138
C. $28 175
D. $28 183
坐標、極坐標
(a) 坐 標
(i)
兩點之間的距離及直線的斜率
y
L
 AB =
B(x2 , y2)
A(x1 , y1)
ƒ 設 q 為直線 L 與正 x 軸以逆時針方向所量得的夾
x2 - x1
q
(其中 x1 ¹ x2)
‚ 直線 L 的斜率 m =
y2 - y1
x
O
角。
L 的傾角 = q ，其中 L 的斜率 = tan q。
(ii) 平行線及垂直線
y
L1：斜率 = m1
L1：斜率 = m1
ƒ 若 L1 ^ L2，
則 m1 ´ m2 = -1。
則 m1 = m2。
L2：斜率 = m2 ‚ 若 m1 = m2，
x
則 L1 // L2。
O
y
 若 L1 // L2，
„ 若 m1 ´ m2 = -1，
O
x
L2：斜率 = m2
(iii) 中點公式
y
若 M(x , y) 是線段 AB 的中點，則：
B(x2 , y2)
x=
M(x , y)
A(x1 , y1)
O
(iv) 截點公式
y=
x
則 L1 ^ L2。
(b) 極坐標
(i)
90°
120°
60°
150°
P
30°
r
180°
q
0°
1 2 3 4 X
O
330°
210°
240°
270°
300°
P 的極坐標
= (r , q)
P
極徑
r
極角
q
O
極點
X
極軸
(ii) 把直角坐標轉換為極坐標
y
y
P(h , k)
r
q
k
b
s
x
h
O
a
O
x
-b
Q(a , b)
r=
s=
tan q =
tan b =
P 的極坐標
Q 的極坐標
= (r , q)
= (s , 360° - b)
坐標、極坐標
練習：
1.
在某極坐標系中，O 是極點。點 P 及點 Q 的極坐標分別是 (20 , 20°) 及 (20 , 260°)。設 L 為 △OPQ 的反
射對稱軸。L 與 PQ 相交於 R。
(a) 描述 L 與ÐPOQ 之間的幾何關係。
(b) (i)
求ÐQOR。
(ii) 求 R 的極坐標。
2.
在某極坐標系中，點 A、點 B 及點 C 的極坐標分別是 (16 , 123°)、(12 , 213°) 及 (9 , 303°)。
(a) 設 O 為極點。A、O 與 C 是否共線？試解釋你的答案。
(b) 求△ABC 的周界。
3.
點 A 的直角坐標是 (- 3 , 1)。若 A 對 y 軸反射至 B，求 B 的極坐標。
4.
點 P 的直角坐標是 ( 5 , 5 )。若 P 繞原點 O 順時針方向旋轉 90°至 Q，求 Q 的極坐標。
(答案以根號「√」表示。)
5.
點 A 的坐標是 (-7 , -1)。A 繞原點 O 逆時針方向旋轉 270°至 B。M 是 AB 的中點。
(a)
求 M 的坐標。
(b) OM 是否垂直於 AB？試解釋你的答案。
(c)
6.
求△OAB 的面積。
點 A 及點 B 的坐標分別是 (-2 , 1) 及 (-4 , -5)。A 繞原點逆時針方向旋轉 90°至 A¢。B 向右平移 2 單位至
B¢。
(a)
寫出 A¢ 及 B¢ 的坐標。
(b) 鎮宇宣稱 AB 並不平行於 A¢B¢。你是否同意？試解釋你的答案。
7.
點 P 及點 Q 的坐標分別是 (2 , -8) 及 (5 , -4)。P 繞原點 O 逆時針方向旋轉 90°至 P¢。Q 向上平移 10 單位
至 Q¢。
(a) 寫出 P¢ 及 Q¢ 的坐標。
(b) PQ 的長度及 P¢Q¢ 的長度是否相等？試解釋你的答案。
(c) 堡煒宣稱 PQ¢垂直於 P¢Q。你是否同意？試解釋你的答案。
8.
點 A 的坐標是 (-8 , -10)。A 繞原點 O 順時針方向旋轉 90°至 B。C 為 A 對 y 軸的反射影像。
(a)
寫出 B 及 C 的坐標。
(b) B、O 與 C 是否共線？試解釋你的答案。
(c) A 垂直平移至 D 使ÐBCD = 90°。求 D 的坐標。
9.
若直線 L 通過 C(-1 , 3 ) 及 D(-2 , 0)，則 L 的傾角是
A. 30°。
B. 60°。
C. 120°。
D. 150°。
10. 若點 A 的極坐標是 (4 , 240°)，則 A 的直角坐標是
A. (2 , 2 3 )。
B. (2 3 , 2)。
C. (–2 , –2 3 )。
D. (–2 3 , –2)。
11. 若點 P 及點 Q 的極坐標分別是 (12 , 112°) 及(16 , 292°)，則 P 與 Q 之間的距離是
A. 4。
B. 20。
C. 25。
D. 28。
12. 若點 (-4 , 7) 繞原點 O 逆時針方向旋轉 270°，則它的像的坐標是
A. (-4 , -7)。
B. (-7 , -4)。
C.
(4 , 7)。
D.
(7 , 4)。
13. 若點 (-5 , -1) 對一條通過 (3 , 0) 的鉛垂線作反射，則它的像的坐標是
A. (-5 , 5)。
B. (-5 , 7)。
C.
(5 , -1)。
D.
(11 , -1)。
14. 點 C 的坐標是 (–2 , 3)。L 是一條通過 (0 , –1) 的水平線。若 C 向右平移 6 單位至點 D，則 D 對 L 的反射影
像的坐標是
A. (4 , –5)。
B. (4 , –3)。
C.
(-8 , -5)。
D.
(-8 , -3)。
15. 點 P 的直角坐標是 ( 2 , - 2 )。若 P 繞原點 O 順時針方向旋轉 90°，則它的像的極坐標是
A. (2 , 45°)。
B. (2 , 225°)。
C. (4 , 45°)。
OCEAN 提示
D. (4 , 225°)。
先寫出像的直角坐標。
16. 點 R 的直角坐標是 (-1 , – 3 )。若 R 對 y 軸作反射，則它的像的極坐標是
A. (1 , 300°)。
B. (1 , 330°)。
C.
(2 , 300°)。
D.
(2 , 330°)。
17. 點 P 的直角坐標是 (- 3 , –1)。若 P 對 x 軸作反射，則它的像的極坐標是
A. (2 , 120°)。
B. (2 , 150°)。
C. (3 , 120°)。
D. (3 , 150°)。