Download A1 U4 Cálculo Multivariado y Algebra lineal. Facultad de Economia. UNAM

Licenciatura en Economía
Cálculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Unidad IV. Sistema de ecuaciones
Prof. Jorge Mendoza Alvarez
Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
I.
Define los siguientes conceptos:
a) Ecuación lineal: es una igualdad que tiene una o más variables elevadas a
la primera potencia, resolverlas significa encontrar el valor de las variables
con los que se cumple la igualdad.
b) Concepto de solución (de una ecuación lineal): Una solución de una
ecuación es una asignación de valores a las incógnitas de forma que se
verifique la igualdad.
c) Ecuación inconsistente: es aquel sistema de ecuaciones que no tiene
ninguna solución.
d) Ecuación homogénea: son aquellas ecuaciones lineales que tienen
constantes iguales a cero.
e) Sistema de ecuaciones lineales: son aquellos en los que todas las
ecuaciones son de primer grado y se llaman así porque su representación
gráfica es una línea recta.
f) Tamaño, orden o dimensión de un sistema: el tamaño de un sistema de
ecuaciones está determinado por el número de ecuaciones y el número de
variables.
g) Sistema de orden nxm y sistema de orden nxn:
a. nxm: Se llama matriz de orden mxn a un conjunto de mxn números
(o letras que representan números) dispuestos en m filas y n
columnas y encerrado entre paréntesis o corchetes.
b. nxn: Se dice que una matriz es cuadrada si y sólo si tiene el mismo
número de filas que de columnas. Así una matriz cuadrada de orden
n tiene n filas y n columnas
h) Sistema consistente: es aquel que tiene alguna solución, en este caso
además puede distinguirse entre:
Sistema compatible o consistente determinado cuando tiene una
solución. Esta recibe el nombre de solución trivial
Sistema compatible o consistente indeterminado cuando admite
un conjunto infinito de soluciones.
i) Sistema inconsistente: es aquel que no tiene ninguna solución.
j) Solución trivial: se le llama así a una solución que tienen una estructura
muy simple, pero que por completitud no pueden ser ignoradas.
k) Operaciones elementales del método de Gauss-Jordan: El método de
Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de
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ecuaciones de n numero de variables. Para aplicar este método solo hay
que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a
toda la columna en su caso. El objetivo de este método es tratar de
convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables
en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de
suma, resta y multiplicación
II.
a)
b)
c)
d)
Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
realiza lo siguiente:
Grafica cada sistema en un plano cartesiano
Determina la pendiente y la ordenada al origen en cada sistema
Con la información anterior identifica cada sistema. Consistente de solución
única, consistente de solución múltiple o inconsistente.
Para los sistemas que tienen solución única determina su solución.
1)
5 x+ 2 y=9
−7 x+ y=−5
Pendiente y ordenada al origen.
M=-5/2
M=7
B=9/2
B=-5
Consistente independientes
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2)
5 x +3 y=16
−3 x+2 y=−2
Pendiente y ordenada al origen.
M= -5/3
M= 3/2
B= -16/3
B= -1
Consistentes independientes
3)
5 x+2 y=3
−15 x+6 y =2
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Pendiente y ordenada al origen.
M= -5/2
M= 5/2
B= 3/2
B= 1/3
Consistentes independientes
4)
x−2 y=3
5 x−3 y=−6
Pendiente y ordenada al origen.
M= 1/2
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Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
M= 5/3
B= -3/2
B= 2
Consistentes independientes.
5)
x− y=0
−x+ y=−5
Pendiente y ordenada al origen.
M= 1
M= 1
B= 0
B= -5
Inconsistente.
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6)
3 x −5 y =0
−9 x+ 15 y =0
Pendiente y ordenada al origen.
M= 3/5
M= 3/5
B= 0
B= 0
Consistentes dependientes.
7)
6 x+ 3 y=6
2 x+ y=2
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Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
Pendiente y ordenada al origen.
M= -2
M= -2
B= 2
B= 2
Consistentes dependientes.
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Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
I.
Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
identifica si es consistente de solución única, consistente de
solución múltiple o inconsistente, mediante el método de GaussJordan.
5 x+ 2 y =3
−7 x+ y=6
1.
1
2
x
5
-7
y
2
1
3
6
1
2
x
1
-7
y
2/5
1
3/5
6
1
2
x
1
0
y
2/5
19/5
3/5
51/5
1
2
x
1
0
y
2/5
1
1
2
x
1
0
y
0
1
X= -9/19
Y=51/19
2.
x+5 y=11
4 x −2 y =22
3/5
51/1
9
-9/19
51/1
9
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Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
1
2
x
1
4
y
5
-2
11
22
1
2
x
1
4
y
5
-2
11
22
1
2
x
1
0
y
5
-2
11
22
1
2
x
1
0
y
5
1
11
1
1
2
x
1
0
y
0
1
6
1
X=6
Y=1
3.
1
2
3
x +2 y−z=−2
x +4 y−z=−4
4 x +8 y + z=−8
x
1
1
4
y
2
4
8
z
-1
-1
1
b
-2
-4
-8
x
y
z
b
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Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
1
2
3
1
1
4
2
4
8
-1
-1
1
-2
-4
-8
1
2
3
x
1
0
0
y
2
2
0
z
-1
0
5
b
-2
-2
0
1
2
3
x
1
0
0
y
2
1
0
z
-1
0
5
b
-2
-1
0
1
2
3
x
1
0
0
y
0
1
0
z
-1
0
5
b
0
-1
0
1
2
3
x
1
0
0
y
0
1
0
z
-1
0
1
b
0
-1
0
1
2
3
x
1
0
0
y
0
1
0
z
0
0
1
b
0
-1
0
z
b
X=0
Y=-1
Z=0
4.
4 x +6 y −5 z =2
x +2 y+ z=0
5 x−3 y +3 z=2
x
y
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Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
1
2
3
4
1
5
6
2
-3
-5
1
3
2
0
2
1
2
3
x
1
4
5
y
2
6
-3
z
1
-5
3
b
0
2
2
1
2
3
x
1
0
0
y
2
-2
-13
z
1
-9
-2
b
0
2
2
1
2
3
x
1
0
0
y
2
1
-13
z
1
9/2
-2
b
0
-1
2
1
2
3
x
1
0
0
y
0
1
0
z
-8
9/2
113/2
b
2
-1
-11
1
2
3
x
1
0
0
y
0
1
0
z
-8
9/2
1
b
2
-1
-22/113
1
2
3
x
1
0
0
y
0
1
0
z
0
0
1
b
50/113
-14/113
-22/113
X=50/113
Y=-14/113
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Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
Z=-22/113
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Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
I.
Aplicaciones. Resuelve los siguientes problemas mediante el
método de Gauss-Jordan.
100 p=−7 q +65
100 p=8 q+ 50
1. Si para un bien
y
son
respectivamente sus ecuaciones de oferta y demanda. Determina el
punto de equilibrio del mercado.
100p+7q= 65
100p+8q= 50
100
100
7
8
65
50
1
100
0.07
8
0.65
50
1
0
0.07
1
0.65
-15
1
0
0
1
1.7
-15
P=1.7
Q= -15
2. Una persona tiene dos inversiones: una pagando 4% de interés y la
otra un 5%. Su ingreso anual por concepto de dichas inversiones es
$420. Si la inversión al 4% pagará lo que la inversión al 5% y viceversa,
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Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
la persona hubiese tenido un ingreso anual de $425. ¿Cuánto dinero
es invertido en cada una de estas inversiones?