Download SO PHUC - CHUONG 3 - MACLAURIN

Hàm Biến Số Phức
Mục Lục
CONTENTS
CHƯƠNG 3 CHUỖI TAYLOR – CHUỖI LAURENT .......................................................................................... 2
3.1 CHUỖI LŨY THỪA ................................................................................................................................... 2
3.1.1 : ....................................................................................................................................................................2
3.1.2 ĐỊNH LÝ ABEL..................................................................................................................................................2
 z  i  ...............................................................................2
VÍ DỤ: TÌM HÌNH TRÒN HỘI TỤ CỦA CHUỖI 
n 0  n  1 .4n

3.1.3
2 n 1
3.2 CHUỖI TAYLOR – MACLAURINT: .................................................................................................................. 3
3.2.1 ĐỊNH LÝ: ........................................................................................................................................................3
3.3 MỘT SỐ CHUỖI MACLAURINT THƯỜNG GẶP .................................................................................................. 3
1
Chương III
Hàm Biến Số Phức
CHƯƠNG 3
Chuỗi Taylor – Chuỗi Laurent
CHUỖI TAYLOR – CHUỖI LAURENT
3.1 CHUỖI LŨY THỪA
3.1.1
:

-
Dạng:
 Cn  z  a 
n 0
n
 C0  C1  z  1  ...  Cn  z  a   ... (I) a, Cn 
- Dạng chính tắc:
Đặt w  z  a
Dạng  I  có dạng chính tắc
n

 Cn w n  C0  C1w+...+Cn w n  ...
(II)
n 0
3.1.2
•
ĐỊNH LÝ ABEL
Nếu chuỗi (II) hội tụ tại w 0  0 thì (II) hội tụ tuyệt đối trong hình tròn w  w 0
và hội tụ đều trong mọi hình tròn w  r ; 0  r  w 0
•
Nếu (II) phân kì tại w1 thì (II) phân kỳ tại mọi điểm thuộc miền w  w1
•
•
Hình tròn w  R gọi là hình tròn hội tụ nếu chuỗi hội tụ trong hình tròn cà phân
kỳ trong miền w  R . Khi đó; R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (II) hoặc phân
kỳ
Note:: tại những điểm  đường tròn w  R chuỗi (II) có thể hội tụ hoặc phân kỳ
• Bán kính hội tụ của chuỗi (I) cũng chính là bán kính hội tụ của chuỗi (II)
•
Hình tròn hội tự của chuỗi (I) là z  a  R
•
Để tìm hình tròn hội tụ của chuỗi (I) , ta áp dụng tiêu chuyển D’Alembert
hoặc Cauchy cho chuỗi

dạng
 Cn  z  a 
n
n 0
Nếu Cn  0 với n   thì bán kính hội tụ R được xác định: R  lim
n
R  lim
1
n n
Cn
•
•
Nếu R  0 thì chuỗi (I) hội tụ tại z  a
Nếu R   thì chuỗi (I) hội tụ với z
 z  i
VÍ DỤ: Tìm hình tròn hội tụ của chuỗi 
n 0  n  1 .4n

3.1.3
Cn
hoặc
Cn  1
2 n 1
Bài giải

Chuỗi có dạng
 C n1  z  i 
n 0
R  lim
n n
2 n 1
với: C2 n  0  không áp dụng R  lim
n
1
Cn
2
Cn
hoặc
Cn  1
Chương III
Hàm Biến Số Phức
•
Chuỗi Taylor – Chuỗi Laurent
Mà áp dụng tiêu chuẩn D’Alembent cho chuối modul các số hạng, ta có:
 n 3
z i
z i
n  1 .4n
n 1 z  i
Un 1


.
lim

d  lim
 lim
.
n n  2
n U
n  n  2  .4n1 z  i 2 n1
4
4
n
2
2
2
 Mặt hội tụ của chuỗi là z  i  4  z  i  2
Thật vậy: Nếu z  i  2  U n1  U n với n  N nên chuỗi đã cho không thỏa điều kiện
hội tụ do đó phân kì
3.2 CHUỖI TAYLOR – MACLAURINT:
3.2.1
ĐỊNH LÝ:
Nếu f  z  giải tích trong hình tròn z  a  R thì z  hình tròn z  a  R hàm
f  z  khai triển được thành chuỗi Taylor tại a
•
•
•
•

f  z    Cn  z  a 
n
(1) Hội tụ (duy nhât)
n 0
 n
a 
f t 
1
dt
n!
2 i   t  a ni
 :là đường tròn z  a  r , với r  R
Cn 
f
Cn
1
hoặc R  lim
hoặc
n n C
n C  1
n
n
•
R  d (a, điểm gần nhất mà f  z  không giải tích )
❖ Đặt biệt: a  0 thì chuỗi (1) hình thành chuổi Maclaurin
•
R  lim
3.3 MỘT SỐ CHUỖI MACLAURINT THƯỜNG GẶP

zn
z2
zn
 1  z   ...   ... với  z  
2!
n!
n 0 n !
2 n1

z3 z5
z 2n1
n z
n
sin z    1
 z    ...   1 .
 ... với  z  
3! 5!
 2n  1!
 2n  1!
n 0
ez  
(1)
(2)

(3)
2n
z 2n
z2 z4
n z
cos z    1
 1    ...   1
 ... với  z  
2
n
!
2!
4!
2
n
!




n 0
(4)
ln 1  z     1
n


n 0
n
n1
z n1
z2
n z
 z   ...   1
 ... với  z  1
n 1
2
n 1
1
  z n  1  z  z 2  ...  z n  ... với  z  1
1  z n 0
   1...  n  1 n
.z  ...
1  z   1   z  ... 
n!
• Với  là số phức: z  1 ;chọn nhánh 1  1
• Nếu   k  1thì chuỗi trở thành đa thức bậc k và gội tụ với z
(5)
(6)
Bài tập
1) Tìm khai triển maclaurin của các hàm số sau xác định miền hội tụ
a.
f  z   e z
2
3
Chương III
Hàm Biến Số Phức
Chuỗi Taylor – Chuỗi Laurent
Bài giải:
Áp dụng eu 
f  z   e z

un

n 0 n !
; mht  u  
 
2

 1n .z 2n
n 0
n!

n
 z2 
 ; mht   z 2  

n!
n 0

z z4 z6
 1     ...
1! 2! 3!
mht z  
b. f  z   1  z  .e 2 z
1  z  e
2 z

 2 z n
n 0
n!
 1  z  

mht 2z  
 1  z    1 .2n.z n
n
n 0


 1n .2n.z n 
n!
n 0
A
Xét B
Đặt N  n  1
Suy ra:


 1n1 2n.z n1
n 0
n!

B
n
0

N
1

B    1 .2 N 1 z N
N
N 1

 1n 2n z n
n1
n!
A 1 
Suy ra:
n1

  1n 2n  1n 2n1  n
n 2
 z  1    1
f  z   1  z  e  1   

2  n.z n

 n!
n!
 n  1! 
n1 
n1
n
n1
1  2  n .2n1 n

f  z  
.z ; z  
n
!
n 0
2 z
c.
f  z 

z
4  z2
4
Chương III
Hàm Biến Số Phức
Chuỗi Taylor – Chuỗi Laurent
z
1
z
1

z

.
  z 2  4    z 2  
4  z2
4 1    
1       
2




   2   
Áp dụng :
1
 1  u  u 2  ...  u n  ...
1 u
mht u  1
n
2
2n


1
n z
z 

   1       1 2 n
  z 2  n0 
2
 2   n0
1     
  2  

2
z
Mht    1  z  2
2
2n
2 n1

z
z 
n z
n z
 f  z 
   1 n    1 2n2 mht: z  2
4  z  4 n 0
2
2
n 0
2 n1

z
n z
Vậy f  z  
   1 n1 ; mht z  2
4  z 2 n
4
d. f  z   sin 2 z
sin 2 z 
1  cos 2z
2
2n
2z 

cos 2 z    1
 2 n !
n 0

n
mht 2z  
Suy ra :
2n
2n 

1 1 
1 1
n  2z 
n  2z 
f  z   sin z     1
  1   1

2 2 n 0
2
n
!
 2n ! 2 2  



n1
2n
1 
n  2z 
mht z  
    1
2 n1
 2 n !
2
e.
f  z 
3
1  z  2z2
1

1  z  2 z 2   z  1  z    2 
2

2 
 2
3
3  3
3  1  1





z 1 z  1
1  z  2 z 2 2  z  1 z  1 
2
2

5
Chương III
Hàm Biến Số Phức
 f  z 
Chuỗi Taylor – Chuỗi Laurent
1
2

1  z 1  2z

1
  z n mht: z  1
1  z n 0


2
n
n
n
 2  1 . 2 z     1 2n1 z n mht: 2 z  1
1  2z
n 0
n 0

 f  z    1   1 2

n 0
f.
n
f  z 
 z 1
1

z

mht:
z mht 

1

2
z 

2
n1  n
3z  1
 z  2 2


n
z
1
1  1 
1  z
1
Đặt g  z  
 
     mht

2
z  2 2 1 z 
2 n 0  2 
 2
 g z   

1
 z  2 2

1
 z  2
2

n

n1 2
n1
z
1  1
n1
mht
1
.
n
.
z

2
2 n1 2n
.z n1
Đặt N  n  1  n  N  1

1
 z  2 2
 f  z 

n 0
Xét A

N
0

N 1 N  n 1 n
 2N 2 .z   2n2 .z mht z  2
N 0
n 0
 z  2

1

3z  1

n
2

3z
 z  2
3  n  1 .z n1
2
n 2
2

 z  2 2

n 1 n
.z ; z  2
n 2
n 0 2

A
Đặt N  n  1  n  N  1
1
B
n
0

N
1

6
Chương III
Hàm Biến Số Phức

 A 
3  N  .z N
2 N 1
N 1

n.z n
 3 n1
n1 2
1  n 1 n
B  2   n  2 .z
2 n1 2
Suy ra:
1   3n n  1 n


z
4 n1  2n1 2n2 
f  z 
1  7n  1 n
   n 2 z ; z  2
4 n1 2
Vậy:

7n  1 n
z , mht z  2
n 2
2
n 0
f  z  
g. f  z  
z 2  2 z  19

2
 z  3 2  2 z  5   z  3  2

1
 2 z  5
1
1
1 
2z
n2

 .  1   z n ;
1
2z  5
5
 2 z  5 n 0
5
 
5 1  
5 

n

5
2n n
   1 n1 z ; z 
2
5
n 0
2
 z  3 2
n








1
2 1 
 1 
 2 

2






 z 3
 3  1  z   3 1  z 
  3  
 3

1
1
2
  n .z n ;
1 z  3
 z  n 0 3
3
1  
3



 1 
n n1   n  1 n


.z   n1 z
n
z 
3
n 0 3
 1   n1
3



2
 z  3
2

  n  1 .z n
n 2
3
n 0
.z n
n n  2  n  1 n
 f  z     1 n1 z   n2 z
5
n 0
n 0 3

n
7
Chuỗi Taylor – Chuỗi Laurent
Hàm Biến Số Phức
Chương III
Chuỗi Taylor – Chuỗi Laurent
5

  1n .2n 2  n  1  n
5
z 
2 z 
 
 n2  .z mht 
n1
2
3

n 0 
z 3
 5


8