Download LY THUYT and BAI TP MON GII TICH PHC

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC
(Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com )
Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm.
Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn giải ch
phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở
môn học mà ở… các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé. Sau đây là một
số dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập
I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1.1. Kiến thức bổ trợ
a. Đồng nhất số phức
Cho =
+
khi đó phương trình =
+
=
=
⇔
b. Căn thức
Số phức được gọi là căn bậc của số phức
đúng nghiệm được xác định bởi công thức
= √
cos
+2
+ sin
=
nếu
+2
,
(1) và phương trình (1) có
= 0,1, … , − 1
1.2. Bài tập mẫu
Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải các phương trình sau:
+
a.
d. +
+
=
=
b.
+
=
c.
= ( +
e.
+
=√
f.
= .
)
Giải:
a. 5
b.
+ 2 + 10 = 0 ⇔
+ 81 = 0 ⇔
=
=− +
=
=− −
= −81
Ta có −81 = 81(cos( ) + sin( ))
Khi đó căn bậc 4 của −81 được xác định bởi
= √81 cos
GIẢI TÍCH PHỨC
+2
4
+ sin
+2
4
= 3 cos
+2
4
+ sin
+2
4
,
= 0,1,2
01
√
= 3 cos + sin
=1⇒
= 3 cos
+ sin
=3 −
√
+
√
=2⇒
= 3 cos
+ sin
=3 −
√
−
√
=3⇒
= 3 cos
+ sin
=3
Vậy
,
,
,
=3
√
=0⇒
+
+2 ̅=
⇔
√
−
⇔
− =−
=− +
, khi đó
2−
⇔
1+3
3 =−
√
+ 81 = 0
là nghiệm của phương trình
c. 2 = (2 + 9 ) ⇔ 2 = −9 + 2 ⇔
d. Đặt =
+
Vậy
=−
e.
+ 1 = √3 ⇔
+
+ 2( −
)=
(2 − )(1 − 3 )
⇔3 −
10
=−
1
7
−
10 10
=−
=
+
= −1 + √3
Ta có −1 + √3 = 2 − +
√
= 2 cos
+ sin
Khi đó căn bậc 6 của −1 + √3 được xác định bởi
2
+2
= √2 cos 3
6
=0⇒
=1⇒
2
+2
+ sin 3
6
= √2 cos
+3
9
+ sin
+3
9
= √2 cos + sin
9
9
4
4
= √2 cos
+ sin
9
9
=2⇒
= √2 cos
7
7
+ sin
9
9
=3⇒
= √2 cos
10
10
+ sin
9
9
GIẢI TÍCH PHỨC
02
=4⇒
= √2 cos
13
13
+ sin
9
9
=5⇒
= √2 cos
16
16
+ sin
9
9
,
Vậy
,
,
,
,
là nghiệm của phương trình
+ 1 = √3 .
=
f.
Ta có = cos + sin
Khi đó căn bậc 2 của được xác định bởi
= cos 2
=0⇒
= cos
=1⇒
= cos
,
Vậy
+2
2
4
+ sin 2
+ sin
4
=
+2
= cos
2
+4
4
+ sin
+4
4
,
= 0,1.
+2
2
,
√2
√2
+
2
2
5
5
√2
√2
+ sin
=−
−
4
4
2
2
là nghiệm của phương trình
= .
Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình:
( −
)=
Giải:
(1 −
Xét 1 + 3√7 có
cos
sin
) = 16 ⇔
−
+ 16 = 0 ⇔
= 1 + 3√7
= 1 − 3√7
= √1 + 63 = 8
= =
=
=
√
= √8 cos
, khi đó căn bậc 2 của 1 + √63 được xác định bởi
+2
2
+ sin
+2
2
=0⇒
= 2√2 cos + sin
2
2
=1⇒
= 2√2 cos
GIẢI TÍCH PHỨC
= 2√2 cos
+2
+2
+ sin
2
2
+2
2
+ sin
= 0,1.
= −2√2 cos + sin
2
2
03
Ta có cos = ±
=±
Chọn cos = ; sin =
= 2√2
⎨
⎪
⎩
= −2√2
,
=±
3 √7
+
4
4
là nghiệm của phương trình
= 1 + 3√7
= 2√2
⎨
⎪
⎩
= −2√2
Suy ra
, khi đó
3 √7
−
4
4
là nghiệm của phương trình
,
√
3 √7
−
4
4
⎧
⎪
,
√
, khi đó
Làm tương tự với 1 − 3√7 trong đó chọn cos = ; sin = −
Vậy
=±
3 √7
+
4
4
⎧
⎪
Vậy
√
= ± và sin = ±
,
,
= 1 − 3√7
là nghiệm của phương trình
(1 −
) = 16
II. BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC
2.1. Kiến thức bổ trợ
Để m ảnh của một điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức
( , ) + ( , ), ta xác định mối liên hệ của , dựa trên miền cho trước
= ( )=
Ngược lại để m tạo ảnh của hàm ( , ), ( , ), ta xác định mối liên hệ của , .
2.2. Bài tập mẫu
Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường
=
qua ánh xạ phức
= .
= ( , )+
( , )
(Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16)
Giải:
Giả sử
=
+
GIẢI TÍCH PHỨC
, khi đó
= =
=
−
04
( , )=
+
⇒
( , )=−
+
Với
= 1, khi đó ( , ) =
⇒
+
=
1+
(1 +
)
=
và ( , ) = −
1
1+
=
⇔
−
+
=0⇔
−
1
2
+
=
1
4
= 1 là đường tròn tâm ( , 0), bán kính là .
Vậy ảnh của đường
Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh của đường tròn | −
ánh xạ phức = − .
|=
qua
Giải:
=
Giả sử
Ta có | −
=
+
,
=
|=
⇒
−2= (
+
= (−
−2−
+
−
=
)−2 =
sin ) + (
( , ) = − −2−
( , ) = + cos
⇒
⇒ ( +(
⇔
sin
+ 2) ) + ( −
=
+
, khi đó
+ (cos + sin ) − 2
+
+
cos ) = ( , ) +
⇔
sin = ( , ) +
cos = ( , ) −
( , )
+2
) =
Vậy ảnh của đường tròn | −
(− − 2, ), bán kính .
Bài 2.3: Cho hàm
=
|=
qua ánh xạ
=
− 2 là đường tròn tâm
. Tìm ảnh của:
a. Đường tròn | | = ,
b. Miền quạt <
< .
Giải:
a. Giả sử =
⇒
+
, khi đó
=
=( +
) =
−
+2
= ( , )+
( , )
( , )=
−
( , )=2
= 2 cos
Ta có phương trình tham số của đường tròn | | = 2 là:
= 2 sin
0≤ ≤2
GIẢI TÍCH PHỨC
05
Khi đó:
( , ) = (2 cos ) − (2 sin ) = 4(cos
( , ) = 2.2 cos . 2 sin = 4 sin 2
⇒
+
4
− sin
= cos 2 + sin 2 = 1 ⇔
4
+
) = 4 cos 2
= 16
Vậy ảnh của đường tròn | | = 2 trong mp( ) là đường tròn có tâm là gốc tọa đô, bán kính
là 4 trong mp( )
=
b. Đặt
Ta có
⇒0<
= (cos
<
+ sin ) ⇒
Ta coi miền quạt 0 <
=
=
(cos 2 + sin 2 ) ⇒
< được quét bởi a
=2
= , với biến thiên từ 0 đến
Theo chứng minh trên thì ảnh của a
= qua phép biến hình
2 . Khi biến thiên từ 0 đến thì 2 biến thiên từ 0 đến .
=
Vậy ảnh của miền quạt 0 <
< .
= , =
Bài 2.4: Cho hàm
< là nửa mặt phẳng trên 0 <
+
là a
=
. Tìm:
a. Ảnh của đường =
b. Tạo ảnh của đường = .
Giải:
a. Ta có:
=
1
( , )=
=
( , )=−
=
Vậy ảnh của đường
GIẢI TÍCH PHỨC
=
+
−
+
= ( , )+
( , )
+
= 0, khi đó
( , )=0
( , ) = − , ( ≠ 0) ⇒
+ Trường hợp
−
+
=
+
⇒
+ Trường hợp
1
+
=
=−
= 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
≠ 0, khi đó
06
( , )=
+
( , )=−
⇒
+
⇔
−
=
+
(
+
+
+
=
b.
⇔
)
=0⇔
−
=
Vậy ảnh của đường
1
+
=
1
2
=
+
=
1
4
, 0 , bán kình là
là đường tròn tâm
| |
, ( ≠ 0).
=
+ Trường hợp = 0 ⇒
=0
Vậy tạo ảnh của đường
= 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ
+ Trường hợp ≠ 0, khi đó
+
= ⇔
− +
Vậy tạo ảnh của đường
=0⇔
−
+
= là đường tròn tâm
=
, 0 , bán kình là
| |
, ( ≠ 0).
III. BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM PHỨC
3.1. Kiến thức bổ trợ
a. Giới hạn dãy số phức
{ }, =
Cho lim
=
→
+
= +
⇔
lim
=
lim
=
→
→
b. Giới hạn hàm phức
Cho
( )= ( , )+
( , ),
=
+
, =
lim
→
lim ( ) = ⇔
→
+
, khi đó
( , )=
→
lim
( , )=
→
→
Nếu khi xét → theo các hướng khác nhau thì có các kết quả khác nhau thì ta kết luận
không tồn tại giới hạn tại = .
GIẢI TÍCH PHỨC
07
c. Hàm liên tục
Cho ( ) xác định trong lân cận điểm
( ) liên tục tại
, khi đó:
+ ( ) á đị ℎ ạ
+ ồ ạ lim ( )
⇔
→
+ lim ( ) = ( )
→
( ) liên tục trên miền
nếu
liên tục tại mọi điểm thuộc .
3.2. Bài tập mẫu
Bài 3.1: Tính
(
→
+ )
Giải:
Giả sử
=
+
, khi đó
+ =( +
⇒
) + =
( , )=
−
;
( , )=2 +1
lim ( , ) = lim (
→
→
→
→
( , ) = lim (2
lim
→
→
→
+ (2
−
+ 1) = ( , ) +
( , )
=1+
)=0
−
+ 1) = 3
→
Vậy lim (
→
( , ) + lim ( , ) = 3
+ 1) = lim
→
→
→
→
Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh rằng
−
→
+
−
−
+
=
+
.
Giải:
= lim
3
→
= lim[3
→
−2
+8
−
+ (3 − 2)
−2 +5
= lim
( − )[3
→
+ (5 − 2 ) + 5 ] = 3
+ (3 − 2)
−
+ (3 − 2)
+ (5 − 2 ) + 5 ]
+ (5 − 2 ) + 5
= −3 − 3 + 2 + 5 + 2 + 5 = 4 + 4
Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính các giới hạn sau:
GIẢI TÍCH PHỨC
08
a.
b.
→
c.
→
→
(
)
Giải:
a. Đặt ( ) =
( )=
+ 1; ( ) =
+ 1 = 0; ( ) =
+ 1, khi đó
()
+ 1 = 0 và
=6
=6 ≠0
Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có
( )
′( )
10
= lim
= lim
→
→ 6
( )
′( )
lim
→
⇒ lim
→
+1 5
= .
+1
3
b. lim
= lim
→
⇒ lim
→
=
5
3
=
5
3
= lim
→
= 1 và lim
→
→
5
3
= lim
→
Ta có lim
= lim
→
=1
→
1 − cos
1
= .
sin
2
c. lim(cos ) =
→
Bài 3.4: Xét sự tồn tại giới hạn của
.
→
Giải:
Giả sử
=
+
, khi đó =
+ Cho
→ 0 theo hướng trục
̅
lim
→
+ Cho
̅
khi đó
= lim
→
+
−
→ 0 theo hướng đường thẳng
lim
→
GIẢI TÍCH PHỨC
̅
= lim
→
+
−
=0
= lim
→
= lim
1 = 1 (1)
→
=
= lim
→
+
−
= lim
→
1+
1−
= −1 (2)
09
Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim
̅
→
Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số ( ) =
không liên tục tại
̅
= 0.
Bài 3.5: Xét nh liên tục của hàm
−
−
( )=
ế | |≠
ạ
= ,
=
ế | |=
Giải:
= 1 ta có:
+ Tại
(1) = 3 và lim ( ) = lim
→
= lim (
→
+ + 1) = 3
→
Vậy lim ( ) = (1) nên hàm số liên tục tại
=1
→
=
+ Tại
( ) = 3 và lim ( ) = lim
→
= lim(
→
+ + 1) =
→
Vậy lim ( ) ≠ (1) nên hàm số gián đoạn tại
→
=
Bài 3.6: Cho các hàm
( )
a. ( ) =
b. ( ) = |
Có thể gán giá trị của hàm số tại
=
c. ( ) =
|
để nó trở thành hàm liên tục tại
( )
| |
=
hay không?
Giải:
a. Chọn 2 dãy
= và
∗
= , khi đó
,
∗
→ 0 khi
→∞
Xét
lim ( ) = lim
→
→
lim
( ∗ ) = lim
∗
∗
→
GIẢI TÍCH PHỨC
( )
→
1
= lim
→
( ∗)
∗
= lim
→
1
= lim 1 = 1
→
0
= lim 0 = 0
1
→
10
Suy ra không tồn tại lim ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm
→
= 0.
thành hàm liên tục tại
= và
b. Chọn 2 dãy
= 0 để nó trở
∗
= + , khi đó
,
∗
→ 0 khi
→∞
Xét
1
lim ( ) = lim
→
| |
→
= lim
→
1
= lim 1 = 1
→
1
∗
lim
( ∗ ) = lim
∗
∗
→
∗|
|
→
= lim
→
+
1
= lim
→
1
+
1+
√2
=
1+
√2
Suy ra không tồn tại lim ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm
→
= 0.
thành hàm liên tục tại
=
c. Giả sử
+
( )
Khi đó ( ) =
⇒
= 0 để nó trở
| |
=
⎧ ( , )=
⎪
+
⎨ ( , )=
⎪
⎩
+
(
)
=
= ( , )+
+
( , )
Ta có
0≤
≤
0≤
| |
= | | mà lim | | = 0 nên lim ( , ) = lim
→
→
≤
→
→
=
mà lim
→
→
Từ (1) và (2) suy ra lim ( ) = lim
→
→
Vậy có thể gán giá trị ( ) = 0 tại
( )
| |
→
→
= 0 (1)
= 0 nên lim ( , ) = lim
→
→
→
→
= 0 (2)
=0
= 0 để nó trở thành hàm liên tục tại
Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chứng minh rằng hàm ( ) =
= 0.
liên tục trên ℂ.
Giải:
Giả sử
=
+
GIẢI TÍCH PHỨC
, khi đó ( ) = ̅ =
−
= ( , )+
( , )
11
( , )=
( , )=−
⇒
Lấy tùy ý
=
∈ ℂ, khi đó ta có: ( ) =
+
−
Xét
lim
→
( , ) = lim
→
→
=
→
( , ) = lim
(− ) = −
lim
→
→
→
→
[ ( , )+
⇒ lim ( ) = lim
→
→
−
= ( )
→
Suy ra hàm số liên tục tại
Do
( , )] =
=
lấy tùy ý trong ℂ nên hàm ( ) liên tục trên ℂ.
Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) =
.
liên tục đều trên miền | | <
Giải:
Đặt : { : | | < 1}
Với , ′ ∈
ta có
| ( ) − ( )| = |
Vậy ∀ > 0, ∃ = , ∀ ,
Do đó ( ) =
− ′ | = | − ′|| + ′| ≤ | −
∈ :| −
|<
|(| | + | |) < 2| − ′|
⇒ | ( ) − ( )| < 2| −
|<2 =
liên tục đều trên : | | < 1.
Bài 3.9 (bài 11, SGK, tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) = không liên tục đều trên miền
| |< .
Giải:
IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC
4.1. Kiến thức bổ trợ
a. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng đại số)
Cho hàm ( ) = ( , ) +
GIẢI TÍCH PHỨC
( , ) có đạo hàm tại điểm
=
+
thì:
12
+ ( , ), ( , ) có đạo hàm riêng tại điểm ( , )
+ Các đạo hàm riêng của ( , ), ( , )thỏa mãn phương trình
=
à
=−
(1)
Ngược lại nếu ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm ( , ) và thỏa (1) thì
( ) = ( , ) + ( , ) có đạo hàm tại điểm = + và
( )=
( , )+
( , )ℎ ặ
( )=
( , )−
( , ).
b. Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng phức)
= cos ,
Ta có
= sin , =
+
,
= arctan
, khi đó điều kiện Cauchy-
Rieamann dạng phức là
=
1
à
=−
1
4.2. Bài tập mẫu
Bài 4.1: Khảo sát sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau:
a. ( ) =
b. ( ) = | |
Giải:
a. Giả sử =
( )=
⇒
+
, khi đó
=( +
) =
+ (3
−3
−
) = ( , )+
( , )
( , )=
−3
( , )=3
−
Suy ra
=3
⇒
=
−3
;
=3
=3
−3
−3
à
;
=−
= −6
;
=6
= −6
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
b. Giả sử =
( )=| | =
GIẢI TÍCH PHỨC
+
, khi đó
+
= ( , )+
( , )
13
( , )=
+
( , )=0
⇒
Suy ra
=2 ;
= 0;
=2 ;
=0
Hàm ( ) có đạo hàm khi
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩
=−
2 =0
⇔
2 =0
⇔
=
=0
Vậy hàm ( ) có đạo hàm tại điểm
= 0, không có đạo hàm tại mọi điểm
Bài 4.2 (bài 13,14, SGK, tr52): Chứng minh rằng
;
(
≠0
) không tồn tại tại mọi điểm
thuộc mặt phẳng phức.
Giải:
̅
+ Chứng minh
=
Giả sử
+
( )= ̅=
⇒
không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
, đặt ( ) = ,̅ khi đó
= ( , )+
−
( , )
( , )=
( , )=−
Suy ra
= 1;
= −1;
= 0;
= 1 ≠ −1 =
Rõ ràng
=0
nên ( ) không có đạo hàm tại mọi điểm
thuộc mặt phẳng
phức.
Vậy
̅
không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
+ Chứng minh
Giả sử
( )=
=
+
(
, đặt ( ) =
̅=( +
GIẢI TÍCH PHỨC
̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
) ( −
,̅ khi đó
)=
+
+(
+
) = ( , )+
( , )
14
( , )=
( , )=
⇒
+
+
Suy ra
=3
+
;
=
+3
;
=2
;
=2
Hàm ( ) có đạo hàm khi
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩
=−
⇔
3
2
+
=
= −2
+3
Suy ra hàm ( ) có đạo hàm tại điểm
(
Vậy
⇔
=
=0
= 0, không có đạo hàm tại mọi điểm
≠0
̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
( )=
Bài 4.3: Cho hàm ( , ) có
−
. Giả sử ( ) có đạo hàm, m ( ).
Giải:
Giả sử
=
+
, ( ) = ( , )+
Theo giả thiết ta có ( , ) =
−
( , )
⇒
=2 ;
= −2
Do ( )có đạo hàm nên ta có
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩
=−
⇔
= 2 (1)
⎨
⎩
= 2 (2)
=2 ⇒ ( , )=2
Từ (1):
2 +
⎧
( )=2 ⇔
Vậy ( ) =
−
+ ( )⇒
( )=0⇒ ( )=
+ (2
+ ) =( +
= 2 + ′( ) thay vào (2) ta được
=
) +
=
+
.
Bài 4.4: Tìm sao cho các hàm sau khả vi
a. ( ) =
−
b. ( ) =
+
GIẢI TÍCH PHỨC
−
+ (
−
+
)
15
| |>
| |≤
c. ( ) =
(đề thi môn GTP – K18)
Giải:
a. ( ) =
−
−2
( , )=
( , )=
⇒
−
−
+ (
−
+2
) = ( , )+
( , )
−2
+2
Suy ra
=2 −2 ;
⇒
=
=2 −2 ;
=2 −2
à
= −2 − 2 ;
=−
=2 +2
= −2 − 2
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa điều kiện
Cauchy-Riemann nên ( ) có đạo hàm hay khả vi tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức
b. Giả sử
( )=
= (cos + sin ), khi đó
+ ̅=
=(
cos 5 + cos ) + (
( , )=
( , )=
⇒
(cos 5 + sin 5 ) + (cos − sin )
sin 5 − sin ) = ( , ) +
( , )
cos 5 + cos
sin 5 − sin
Suy ra
=5
cos 5 + cos ;
= −5
sin 5 − sin ;
=5
sin 5 − sin
=5
cos 5 − cos
Rõ ràng
1
−
=
1
1
(5
cos 5 − cos ) = 5
1
= − (−5
cos 5 − cos
sin 5 − sin ) = 5
≠
sin 5 + sin
≠
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng không thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên ( )
không khả vi tại mọi .
c. + Tập
= { : | | > 3} là tập mở
GIẢI TÍCH PHỨC
16
Ta có ( ) = 2 = 2 + 0 = ( , ) +
( , )
( , )=2
( , )=0
⇒
Suy ra
= 0;
⇒
= 0;
=
= 0;
=0 à
=0
=−
=0
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập
nên ( ) có đạo hàm hay khả vi trên .
+ Tương tự với
= { : | | < 3} ta chứng minh được ( ) có đạo hàm hay khả vi trên
= { : | | = 3}, khi đó ( ) = 1
+ Xét
Xét dãy
= (1 + )
| |= 1+
1
| |= 1+
1
3>3⇒ ( )=2
Ta có
→ khi → ∞, tuy nhiên ( ) = 2 ≠ 1 = ( ) nên hàm ( ) không liên tục tại
mọi điểm trên . Do đó ( ) không khả vi tại mọi : | | = 3.
Bài 4.5 (đề thi môn GTP – Cao học 2008-2009): Cho
( )=
Hàm ( ) có đạo hàm tại
=
ớ | |≥
ớ | |<
nào?
Giải:
+ Xét tập
= { : | | > 1} là tập mở
Ta có ( ) =
⇒
=( +
) =
−
+2
= ( , )+
( , )
( , )=
−
( , )=2
Suy ra
=2 ;
GIẢI TÍCH PHỨC
=2 ;
= −2 ;
=2
17
⇒
=
=2
à
=−
= −2
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên
tập nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm trên .
+ Xét tập
= { : | | < 1} là tập mở
Ta có ( ) = 1 = 1 + 0 = ( , ) +
( , )
( , )=1
( , )=0
⇒
Suy ra
= 0;
⇒
=
= 0;
=0 à
= 0;
=0
=−
=0
Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên
tập nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm trên .
+ Xét
= { : | | = 1}, khi đó ( ) =
thì ( ) =
Với
±1
= ±1 thuộc
Với
≠ ±1. Xét dãy
= (1 − )
1
1
| |= 1−
| |= 1−
= 1 = 1 + 0 ta chứng minh được ( ) khả vi tại
=
1<1⇒ ( )=1
Ta có → khi → ∞, tuy nhiên ( ) = 1 ≠
= ( ) nên hàm ( ) không liên tục tại
mọi điểm trên \{±1}. Do đó ( ) không khả vi tại mọi trên \{±1}.
V. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA
5.1. Kiến thức bổ trợ
a. Hàm giải ch
+ ( ) giải ch trên miền mở
GIẢI TÍCH PHỨC
nếu
khả vi (tồn tại đạo hàm) tại mọi điểm thuộc
18
+ ( ) giải ch tại điểm
nếu khả vi trong lân cận của điểm
+ ( ) = ( , ) + ( , ) giải ch trong miền , các ( , ), ( , )có đạo hàm riêng liên
tục trên thì ( , ), ( , ) thỏa phương trình Laplace:
Φ
+
Φ
= 0.
b. Hàm điều hòa
+ Hàm thực hai biến có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa phương trình Laplace được gọi
là hàm điều hòa.
+ Hai hàm điều hòa ( , ), ( , ) sao cho ( ) = ( , ) +
hai hàm điều hòa liên hợp.
+ Hàm ( ) = ( , ) + ( , ) xác định trên miền
( , ), ( , ) là các hàm điều hòa trên .
+ ( , ) là hàm điều hòa trên
( , ) giải ch được gọi là
đơn liên và giải ch trên
thì tồn tại ( ) giải ch trên
sao cho
thì
( )= ( , )
5.2. Bài tập mẫu
Bài 5.1 (đề thi môn GTP – CH 2008-2009): Cho
a. Chứng tỏ là hàm điều hòa.
b. Tìm hàm giải ch ( ) sao cho
=
( , )=
( ). Tìm
−
−
+
−
+
( ).
Giải:
a. Chứng minh Φ là hàm điều hòa.
Φ
Φ
⇒
= 12
−4
− 1,
= 12
−4
+ 1,
Φ
+
Φ
= 12
Φ
Φ
− 12
= 12
− 12
= 12
− 12
+ 12
− 12
=0
Vậy hàm thực Φ hai biến có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa
phương trình Laplace nên Φ là hàm điều hòa (có thể gọi Φ là phần thực của hàm giải ch).
b. Tìm hàm giải ch
Giả sử hàm giải ch cần m có dạng: ( ) = Φ( , ) + iΨ( , ), với Ψ( , ) là hàm điều
hòa liên hợp với Φ( , ), khi đó Φ( , ), Ψ( , ) phải thỏa điều kiện Cauchy-Riemann
GIẢI TÍCH PHỨC
19
⎧ Φ= Ψ
⎪
⎧
⎨ Φ=− Ψ
⎪
⎩
4
=4
−4
− 12
− 12
= 12
+
Vậy ( ) = 6
+4
− 1 (2)
−1⇒Ψ=4
−4
+ ( )
−
+ ′( ) thay vào (2) ta có
( ) = −12
( ) = Ψ( , ) = 4
⇒
− 1 (1)
−4
⎨ Ψ
= −12
⎩
= 12
Từ (1):
⇒
⇔
Ψ
−
−
+4
−4
+
−
−
( ) = −1 ⇒ ( ) = − +
−1 ⇔
−
+
+ 1 + (4
−4
Bài 5.2 (đề thi môn GTP – K15): Cho ( , ) =
(
−
−
−
+ ).
)
a. Chứng tỏ ( , ) là hàm điều hòa trên một miền thích hợp.
b. Tìm một hàm giải ch ( ) = ( , ) + ( , ), giải ch trên miền .
c. Biểu diễn trong câu (b) theo biến
Giải:
a. Chứng minh ( , ) là hàm điều hòa.
=−
=−
sin
(sin − sin + cos ) −
=
(sin − sin + cos )
sin
=
(−2 sin + sin − cos )
( cos − cos + sin )
=
(− sin + sin + sin + cos ) =
=
⇒
( sin − cos ) +
+
(2 sin − sin + cos )
=0
Vậy ( , ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa phương trình
Laplace nên ( , ) là hàm điều hòa.
b. Hàm ( ) = ( , ) +
Cauchy-Riemann:
GIẢI TÍCH PHỨC
( , ) giải ch trên miền
nên ( , ), ( , ) thỏa điều kiện
20
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩
=−
⇔
Từ (1):
(sin − sin + cos ) (1)
⎨
⎩
=
(− cos + cos − sin ) (2)
(− cos + cos + sin + cos ) + ( )
( cos + sin ) + ( )
=
( cos + sin ) +
=−
=
=
(sin − sin + cos )
=
⇒ ( , )=
⇒
⎧
cos +
( )
(cos − cos − sin ) + ′( )
Thay vào (2) ta được:
(cos − cos − sin ) +
⇔
( )=0⇔ ( )=
⇒ ( , )=
( )=
(− cos + cos − sin )
=
( cos + sin ) +
Vậy ( ) =
( sin
cos ) + (
−
( cos + sin ) + )
c. Biểu diễn ( ) ở câu b theo biến
( )=
( sin
=
−
cos ) + (
sin −
=(
( cos + sin ) + )
cos +
cos +
sin ) − (
sin +
=( +
)
sin − ( −
=( +
)
sin +
=( +
)
sin + ( +
=( +
)
(sin + cos ) +
=− ( +
= ( +
)
= ( +
)
= ( +
)
=
GIẢI TÍCH PHỨC
)
)
( −
cos −
sin +
cos ) +
cos +
)
)
cos +
cos +
(sin + cos ) +
(cos − sin ) +
+
(
)
+
+
21
VI. BÀI TOÁN TÌM VÀ PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG
6.1. Kiến thức bổ trợ
a. Điểm bất thường
+
được gọi là điểm bất thường của ( ) nếu ( ) không giải ch tại
.
+ được gọi là điểm bất thường cô lập của ( ) nếu tồn tại một lân cận bán kính
sao cho trong lân cận đó hàm ( ) không có điểm bất thường nào khác.
+
được gọi là điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại số
lim ( −
)
→
( )=
>0
nguyên dương sao cho
≠ 0.
được gọi là điểm bất thường bỏ được của của ( ) nếu lim ( ) tồn tại.
+
→
+ Điểm bất thường của ( ) tại
= ∞ là điểm bất thường của hàm
tại
= 0.
b. Điểm cực
+
của ( ) nếu tồn tại số
được gọi là điểm cực bậc
lim ( −
)
→
= 1 thì
+ Trường hợp
( )=
nguyên dương sao cho
≠ 0.
được gọi là điểm cực đơn.
6.2. Bài tập mẫu
Bài 6.1: Xác định các điểm bất thường của các hàm số sau:
a. ( ) =
b. ( ) =
c. ( ) =
√
√
Giải:
a. ( ) = (
)
=(
) (
)
Vậy hàm ( ) có 2 điểm bất thường = 2 và
= −2
+ Xét lim ( − 2 )
= lim
→
( ) = lim ( − 2 )
→
(
)
→
(
)
=
=
≠0
Do đó = 2 là điểm cực bậc 2 của ( ).
Tương tự = −2 cũng là điểm cực bậc 2 của ( ).
GIẢI TÍCH PHỨC
22
+ Xét điểm = 2 . Tồn tại lân cận của điểm = 2 , bán kính = 1 > 0 mà trong lân cận đó
không có điểm bất thường nào khác của hàm ( ) trừ điểm = 2 . Vậy = 2 là điểm bất
cô lập của ( ).
= −2 cũng là điểm bất thường cô lập của ( ).
Tương tự
b. Hàm ( ) =
GPT: cos = 0 ⇔ = +
=
Vậy
+ Xét
(
,
)
lim
→(
,
∈ℤ⇔
( )=
)
=
(
)
,
)
=
(
→(
=
+ Các điểm
,
)
lim
)
Do đó = (
=(
∈ℤ
∈ ℤ là các điểm bất thường của ( ).
−(
(
= 0 nên = 0 là điểm bất thường của ( )
không xác định tại
(
)
(
)
)
=
)
=
lim
→(
(
(
)
)
)
≠0
)
∈ ℤ là các điểm cực đơn của ( ).
(
)
là các điểm rời rạc được đặt trên trục thực trong một khoảng hữu
hạn chứa điểm 0. Do đó tại mỗi điểm tồn tại lân cận bán kính
điểm bất thường nào khác. Do đó
+ Do
=(
)
→ 0 khi
bất thường khác 0. Do đó
+ Xét lim( − 0)
lim( − 0)
→
)
→ ∞ nên với mọi
là các điểm bất thường cô lập.
> 0, mọi lân cận bán kính
luôn chứa điểm
= 0 không là điểm bất thường cô lập.
( ) = lim
→
=(
> 0 nào đó không chứa
= 0 ⇒ Không tồn tại
→
( ) ≠ 0. Do đó
nguyên dương thỏa mãn
= 0 là điểm bất thường cốt yếu của ( ).
= 0 là điểm bất thường của ( )
c.
+ lim ( ) = lim
→
→
√
√
= 1 . Do đó = 0 là điểm bất thường bỏ được của ( ).
Bài 6.2 (đề thi môn GTP – CH K18):
a. Xác định tất cả các điểm bất thường của hàm sau
( )=
GIẢI TÍCH PHỨC
+ +
.
( − ) ( + )
23
b. Xác định các điểm mà tại đó ( ) giải ch.
Giải:
Ta có ( )có hai điểm bất thường
+ Xét lim( − 1)
→
= 1 và = −
( ) = lim( − 1)
→
(
) (
)
= lim
(
→
)
=
≠0
Do đó = 1 là điểm cực bậc 3 của ( ).
+ Xét lim
+
( ) = lim
→
+
→
Do đó = −
(
) (
= lim
)
(
→
)
=−
≠0
là điểm cực bậc 2 của ( ).
+ Tại điểm = 1 tồn tại lân cận bán kính = 1 > 0 mà trong đó không chứa điểm bất
thường nào khác trừ điểm = 1. Do đó = 1 là điểm bất thường cô lập của hàm ( ).
Tương tự = − cũng là điểm bất thường cô lập của hàm ( ).
=∞
+ Xét tại
Đặt
⇒ ( )=
=
=
=
) (
)
= 0 là điểm bất thường của hàm
Rõ ràng
Xét lim ( − 0)
( ) = lim ( − 0)
→
→
(
) (
= 0 là điểm cực bậc 3 của hàm
Do đó
(
)
) (
→
)
= ≠0
hay = ∞ là điểm cực bậc 3 của hàm ( ).
b. Theo câu a thì ( ) sẽ giải ch tại mọi điểm :
Bài 6.3 (bài 28, SGK, tr54): CMR hàm ( ) =
= lim (
(
≠ 1, ≠ − , ≠ ∞
)
có hai điểm cực bậc 2 tại
=
±
và một cực điểm đơn tại vô cực.
Giải:
( )=
(
(
)
)
=(
(
)
) (
)
Hàm ( ) có 2 điểm bất thường = 1 + 2 và
+ Xét lim ( − 1 − 2 )
→
GIẢI TÍCH PHỨC
= 1−2
( ) = lim ( − 1 − 2 )
→
(
(
)
) (
)
24
= lim
→
(
(
)
)
=
(
)
=
( )
=−
−
≠0
Do đó = 1 + 2 là điểm cực bậc 2 của ( )
Tương tự ta cũng có
= 1 + 2 là điểm cực bậc 2 của ( ).
+ Tại = ∞.
Đặt
=
Rõ ràng
⇒ ( )=
(
=
)
(
)
= 0 là điểm bất thường của hàm
Xét lim ( − 0)
→
Do đó
=
= lim (
→
− 0)
= 0 là điểm cực đơn của
(
)
(
)
(
= lim
)
→ (
)
=1≠0
= ∞ là điểm cực đơn của hàm ( ).
hay
Bài 6.4 (bài 30,SGK, tr54): CMR hàm ( ) =
có một điểm bất thường cốt yếu ở vô cực.
Giải:
Đặt
=
⇒ ( )=
Rõ ràng
=
=
= 0 nên
không xác định tại
= 0 là điểm bất thường của hàm
Xét lim ( − 0)
= lim ( − 0)
Do đó không tồn tại
nguyên dương nào để lim ( − 0)
→
→
= lim
=0
→
≠ 0 nên
→
bất thường cốt yếu của hàm
hay
= 0 là điểm
= ∞ là điểm bất thường cốt yếu của hàm ( ).
VII. BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN
7.1. Kiến thức bổ trợ
a. Tích phân đường
+ Nếu ( ) = ( , ) +
( , ) thì ch phân đường của ( ) trên đường cong
( )
GIẢI TÍCH PHỨC
=
−
+
+
25
+ Nếu đường cong
= ( )
;
= ( )
có phương trình tham số
( )
{ [ ( ), ( )] +
=
≤ ≤
thì
[ ( ), ( )]}. [ ( ) +
( )]
b. Định lý Green (dạng phức)
( , )̅ , ( , ̅) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên miền , khi đó ta có:
∮
( , ̅)
+ ( , ̅)
̅=2 ∬
+
̅
,
biểu thị yếu tố diện ch
.
c. Định lý Cauchy cho miền đơn liên
Giả sử hàm giải ch trong miền đơn liên và ′ liên tục trong . Khi đó với mọi đường
cong đơn, đóng nằm trong , ta có:
∮
( )
= 0.
d. Định lý Cauchy-Goursat
Giả sử hàm
giải ch trong miền . Khi đó ta có:
∮
( )
= 0.
với mỗii đường cong đơn, đóng trong .
e. Các hệ quả của định lý Cauchy
+ Nếu hàm giải ch trong miền đơn liên và , là 2 điểm thuộc
phụ thuộc vào đường nối hai điểm và .
thì ∫
+ Cho giải ch trong miền giới hạn bởi hai đường cong kín ,
trên các đường cong này, khi đó:
(
∫
=
+ Tích phân ∮
+ Tích phân ∮
trong
(
)
0
2
=
khi =
khi =
2
0
( )
=∫
nằm ngoài
nằm trong
khi = 1
với
khi ≠ 1
( )
với
( )
không
nằm trong ) và
.
là đường cong đơn đóng.
là đường cong đơn đóng và
=
nằm
.
GIẢI TÍCH PHỨC
26
f. Công thức ch phân Cauchy
+ Giả sử là miền đa liên giới hạn bởi các đường cong
và các đường cong
nằm trong , ( ) giải ch trong và trên biên của nó, khi đó:
( )
∮
+ ( ) giải ch trong miền
đơn liên,
(
,…,
= 2 . ( ).
là đường cong đơn, đóng nằm trong , khi đó:
( )
∮
,
=
)
!
( )(
.
).
7.2. Bài tập mẫu
Bài 7.1: Tính ch phân = ∮ | |
trong đó
là biên của miền
| |=
( )=
Giải:
Chia
thành 2 đường
: | | = 1 và
+ Trên
ta có
:
=0
=
,0 ≤ ≤
⇒
Khi đó ∫ | | ̅
=∫
+ Trên
= , −1 ≤
≤1⇒
=∫ | |
= −∫
ta có
Khi đó ∫ | | ̅
Vậy = ∮ | | ̅
= ∫
=∫ | | ̅
Bài 7.2 (bài 3,SGK, tr86): Tính
được xác định bởi:
a.
= + .
b. Đường thẳng từ
=
=
=
=
+∫
+∫ | | ̅
=
.
=∫
từ
=
đến =
, rồi từ
=− + =0
đến
=
=
đến
+
=
dọc theo đường cong
.
Giải:
a. với = 0 ⇒ = 0 và
Ta có
=
+
⇒
=4+2 ⇒ =2
= (2 + )
Khi đó
=∫
̅
=∫ (
GIẢI TÍCH PHỨC
− )(2 + )
= ∫ (2
−
+ )
27
=
−
+
b. Giả sử =
+
Khi đó = ∫
̅
= 10 −
⇒
=
+
=∫ ( −
)(
)=∫
+
+
+ ∫
−
+ Đoạn thẳng đi từ = 0 đến = 2 tương ứng với đường thẳng đi từ điểm
(0,2), khi đó trên OA thì = 0, 0 ≤ ≤ 2.
⇒∫
+
+ ∫
−
=∫
=
(0,0) đến
=2
+Đoạn thẳng đi từ = 2 đến = 4 + 2 tương ứng với đường thẳng đi từ điểm (0,2)
đến điểm (4,2), khi đó trên AB thì = 2, 0 ≤ ≤ 4
⇒∫
+
+ ∫
−
=∫
−2 ∫
−2 | = 8−8
=
Vậy = 2 + (8 − 8 ) = 10 − 8 .
Bài 7.3 (bài 4,SGK, tr 86): Tính = ∫ | |
( , ), ( , ), ( , ), ( , ) .
dọc theo biên
của hình vuông có các đỉnh
Giải:
Giả sử
=
+
=∫ | |
=∫ (
⇒
=
=∫ (
+
)
+
+ Trên đoạn OA thì
⇒∫ (
+
)
+ Trên đoạn AB thì
⇒∫ (
+
)
+ Trên đoạn BC thì
⇒∫ (
+
Vậy = +
GIẢI TÍCH PHỨC
)
+
, khi đó
)(
+ ∫ (
≤1
+
= 1, 0 ≤
+ ∫ (
+ ∫ (
+ =1+
)
=∫
=
=
≤1
+
= 1, 0 ≤
)
+
= 0, 0 ≤
+ ∫ (
)
+
)
= ∫ (1 +
)
=
+
=
≤1
+
)
=∫(
+ 1)
=
+
=
.
28
(
Bài 7.4 (bài 5,SGK, tr86): Tính = ∫
)
+
trong các trường hợp sau:
a. Dọc theo đường thẳng nối hai điểm = và = − .
b. Dọc theo đường cong =
− , = + − .
Giải:
a. Giả sử =
=∫
(3
=∫
(9
+
⇒
)
+
)
−
=
+
=∫
(3
−6
, khi đó
) (
+
+
+ (9
6
∫
)
+
)
−
Đường thẳng đi từ = và = 2 − tương ứng với đường thẳng đi từ điểm (0,1) đến
điểm (2, −1), khi đó trên AB ta có: = − + 1, 0 ≤ ≤ 2
⇒ = ∫ (9
(− + 1 ) − (− + 1 ) )
+ ∫ 6 (− + 1)
= ∫ (2
−4
−
−5
=−
+
.
= ⇒ = 1 và
b. Tại điểm
Ta có
=
+5
−
− ∫ (2
−
−
−4
−5
− 15
+5
)
+ 10 − 1)
−
=2− ⇒ =2
= 2 − 2 + (1 + −
+
)+
(− + 1) − (− + 1) )(−
+ 10 − 1)
− 15
=
+ (9
− 6 (− + 1) (−
)⇒
= [2 + (1 − 2 )]
Khi đó
⇒ = ∫ [3(2 − 2)(1 + −
= ∫ [(−14
=
−
+9
= 20 +
= 27 +
+ 27
+ − 13) + (12
+
− 13
+
) ][2 + (1 − 2 )]
− 30
−
+ 10
+
+ 14 − 4)]
+7
−4
− −7 +
.
Bài 7.5: Tính ch phân = ∮
GIẢI TÍCH PHỨC
) + (1 + −
trong đó : ( − ) + ( − ) =
29
Giải:
Ta có ( ) =
không giải ch tại điểm
= 0 nhưng điểm
= 0 không nằm trong và trên
C. Vậy hàm ( ) giải ch trong và trên
Theo định lý Cauchy-Goursat ta có
=
Bài 7.6: Tính ch phân = ∫ (
− )
= 0.
, với
được cho như hình vẽ
Giải:
Ta có ( ) =4 − 1 giải ch trên toán mặt phẳng phức nên
áp dụng hệ quả 1 thì ch phân đã cho không phụ thuộc vào
đường nối 2 điểm = và
đoạn thẳng
nối 2 điểm
= ∫ (4 − 1)
= − nên ta có thể thay
= và
= ∫ ( 4 − 1)
Bài 7.7: Tính = ∮
, với
bằng
= − . Khi đó ta có
= ∫ (4 − 1)
= (2
− )|
= −2
8 −3
−
−
là chu tuyến như hình vẽ
Giải:
Ta có ( ) =
=
+
không là đường cong đơn nhưng có thể xem
của hai đường cong đơn, đóng
,
là hợp
như hình vẽ
Khi đó
8 −3
−
=
= 5∫
+
∫
+
+ 3∫
= 0 nằm trong
= 0 và ∫
= 1 nằm trong
GIẢI TÍCH PHỨC
=
8 −3
−
− 5∫
,
+
8 −3
−
=
8 −3
−
−3∫
= 1 nằm ngoài
nên theo hệ quả 5 ta có:
= 0 nằm ngoài
nên theo hệ quả 5 ta có:
=2
,
30
=2
∫
và ∫
=0
− 5.2
= −4 .
Vậy = 3.2
Bài 7.6: Tính = ∮
, với : | | = ; : | −
−
|=
Giải:
+ Với : | | = 5. Ký hiệu
Rõ ràng = − và
−
= 3∮
+
= 2 đều nằm trong
= − và
Bao hai điểm
1, khi đó
=∮
−∮
=2
= 2 lần lượt bởi các đường tròn
=∮
−
+ 3∮
−∮
= − nằm trong
∮
là miền bao bởi
= 2 nằm ngoài
,
= 2 nằm trong
∮
= 0 và ∮
Vậy = 3.2
= − nằm ngoài
,
−2
nên theo hệ quả 5 ta có:
là miền bao bởi
,
= 2 nằm trong
= 2 bởi đường tròn
−
=∮
Bài 7.7: Tính = ∮
a.
nên theo hệ quả 5 ta có:
=4
Rõ ràng = − nằm ngoài
=∮
−
=2
+ Với : | − 2 | = . Ký hiệu
Bao điểm
:| − 2 | =
=0
và ∮
+
+∮
: | + | = 1 và
(
)
:| − | =
: | − 2 | = , khi đó
−
= −∮
= −2
trong các trường hợp sau:
b.
:| | =
c.
:
−
=
Giải:
a. Ta có = ∮
GIẢI TÍCH PHỨC
(
)
=∮
31
Đặt ( ) =
,
=3
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
= 2 . (3 ) = 2 .
b. Ta có = ∮
Đặt ( ) =
(
,
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có
=
.
=∮
)
=0
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
= 2 . (0 ) =
=−
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có
.
c. Ta thấy = 0 và = 3 đều nằm trong
liên và theo câu a, câu b ta có
=∮
(
)
=∮
(
)
Bài 7.8: Tính = ∮
a.
+∮
(
nên theo định lý Cauchy-Goursat cho miền đa
)
=
= (
−
− 1)
.
trong các trường hợp sau:
=
b.
=
c.
=
với : | | =
Giải:
= 1 ta có = ∮
a. Với
Đặt ( ) = cos ,
=0
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
(0) = 2 . cos 0 = 2
=2
.
= 2 ta có = ∮
b. Với
Đặt ( ) = cos ,
=0⇒
( ) = − sin
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
ta có:
=
c. Với
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có:
!
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy cho đạo hàm
(0) = −2 . sin 0 = 0 .
= 3 ta có = ∮
GIẢI TÍCH PHỨC
32
Đặt ( ) = cos ,
=0⇒
( ) = − sin ⇒
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
ta có:
=
(0 ) = −
!
. cos 0 = −
( ) = − cos
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy cho đạo hàm
.
Bài 7.9 (bài 17, SGK, tr87): Tính
a. = ∮
(
)(
b. = ∮
)
(
với : | | = .
)
Giải:
a. Nhận thấy = 1 và
miền đa liên ta có
=∮
Với
(
)(
=∮
)
: | − 1| = và
+ Tính
=∮
= 2 đều nằm trong
(
)(
Đặt ( ) =
(
)(
)
,
= 2 . (1) = 2
=∮
(
)(
)
,
= 2 . (2) = 2
b. = ∮
(
Đặt ( ) =
GIẢI TÍCH PHỨC
)(
)
=
+
=∮
=1
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có:
=∮
=2
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
+2
(
=2
Đặt ( ) =
Vậy = 2
+∮
)
: | − 2| =
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
+ Tính
nên áp dụng theo định lý Cauchy-Goursat cho
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có:
=2
=4 .
)
,
= −1 ⇒
( )=2
⇒
( )=4
⇒
( )=8
33
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
ta có:
=
!
(−1) =
.
.8
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy cho đạo hàm
=
.
Bài 7.10 (bài 21, SGK,tr88): CMR
=
∮
, nếu >
và : | | = .
Giải:
Đặt = ∮
=∮
= và
Nhận thấy
đường tròn
=∮
+ Tính
(
)(
=∮
Đặt ( ) =
(
)(
)
= − đếu nằm trong . Bao hai điểm
: | − | = và
)
=∮
(
)(
,
=
)
(
)(
)
Đặt ( ) =
(
)(
,
=−
Suy ra
=
)
=
+
.
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có:
=2 .
= (
= sin hay
)(
=∮
)
= 2 . (− ) = 2 .
−
(
nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có:
=2 .
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
Vậy =
+∮
=∮
=2 . ()=2 .
=∮
= − lần lượt bởi các
: | + | = . Khi đó ta có
Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên
+ Tính
= và
∮
−
=−
) = . 2 sin = 2
.
sin
= sin (đpcm)
VIII. BÀI TOÁN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
8.1. Kiến thức bổ trợ
GIẢI TÍCH PHỨC
34
Định lý Rouche:
đơn đóng. | ( )| < | ( )|, ∀ ∈
Cho ( ) và ( ) giải ch trong và trên đường cong
Khi đó ( ) + ( ) và ( ) có cùng số không điểm trong .
8.2. Bài tập mẫu
Bài 8.1 (câu 4, đề thi môn GTP – K18): Tìm số nghiệm của đa thức
( )=
a. Trong hình tròn | | < .
b. Trong hình vành khăn ≤
+
+
+
< .
Giải:
a. Đặt ( ) = 9 ; ( ) =
Trên
+2
+1
: | | = 1 ta có
| ( )| = |
+2
+ 1| ≤ | | + 2| | + 1 = 4 < 9 = | ( )|
Do đó theo địnhl ý Rouche thì ( ) + ( ) = + 2 + 9 + 1 = ( ) có cùng số không
điểm với ( ) = 9 trong : | | < 1. Mà ( ) có một không điểm trong nên suy ra ( )
cũng có một không điểm tức là có một nghiệm trong : | | < 1.
b. Đặt ( ) =
Trên
; ( )=2
+9 +1
: | | = 2 ta có
| ( )| = |2
+ 9 + 1| ≤ 2| | + 9| | + 1 = 27 < 2 = | ( )|
Do đó theo định lý Rouche thì ( ) + ( ) = + 2 + 9 + 1 = ( ) có cùng số không
điểm với ( ) =
trong : | | < 2. Mà ( ) có năm không điểm trong
nên suy ra
( ) cũng có năm không điểm tức là có năm nghiệm trong : | | < 2
Suy ra ( ) có 5 − 1 = 4 nghiệm trong hình vành khăn 1 ≤
< 2.
Bài 8.2: Tìm số nghiệm của đa thức
( )=
−
+
a. Trong hình tròn | | < .
b. Trong hình vành khăn ≤ | | < .
c. Trong hình vành khăn ≤ | | < .
Giải:
a. Đặt ( ) = −5 ; ( ) =
GIẢI TÍCH PHỨC
+1
35
Trên
: | | = 1 ta có
| ( )| = |
+ 1| ≤ | | + 1 = 2 < 5 = | ( )|
Do đó theo định lý Rouche thì ( ) + ( ) = − 5 + 1 = ( ) có cùng số không điểm
với ( ) = −5 trong : | | < 1. Mà ( ) có một không điểm trong
nên suy ra ( )
cũng có một không điểm tức là có một nghiệm trong : | | < 1.
b. Đặt ( ) =
Trên
; ( ) = −5 + 1
: | | = 3 ta có
| ( )| = |−5 + 1| ≤ 5| | + 1 = 16 < 3 = | ( )|
Do đó theo định lý Rouche thì ( ) + ( ) = − 5 + 1 = ( ) có cùng số không điểm
với ( ) =
trong : | | < 3. Mà ( ) có ba không điểm trong
nên suy ra ( ) cũng
có ba không điểm tức là có ba nghiệm trong : | | < 3
Suy ra ( ) có 3 − 1 = 2 nghiệm trong hình vành khăn 1 ≤
c. Đặt ( ) = −5 ; ( ) =
Trên
< 3.
+1
: | | = 2 ta có
| ( )| = |
+ 1| ≤ | | + 1 = 9 < 10 = | ( )|
Do đó theo định lý Rouche thì ( ) + ( ) = − 5 + 1 = ( ) có cùng số không điểm
với ( ) = −5 trong : | | < 2. Mà ( ) có một không điểm trong
nên suy ra ( )
cũng có một không điểm tức là có một nghiệm trong : | | < 2
Suy ra ( ) có 3 − 1 = 2 nghiệm trong hình vành khăn 2 ≤
< 3.
IX. BÀI TOÁN KHAI TRIỂN CHUỖI VÀ TÌM MIỀN HỘI TỤ
9.1. Kiến thức bổ trợ
Một số chuỗi Maclouren thường gặp
= 1+
1!
sin = −
+
3!
GIẢI TÍCH PHỨC
2!
+
+⋯=
5!
−⋯=
!
(−1)
(2 + 1)!
36
cos = 1 −
2!
+
4!
−⋯=
(−1)
( 2 )!
Miền hội tụ đối với các chuỗi trên là | | < ∞
1
1−
=1+ +
+⋯=
1
1−
=1− +
−⋯=
(−1)
Miền hội tụ đối với các chuỗi trên là | | < 1
9.2. Bài tập mẫu
−
Bài 9.1: Khai triển chuỗi Taylor của các hàm sau theo lũy thừa
tụ của chuỗi vừa m được
a. ( ) =
c. ( ) =
,
(
b. ( ) =
=
+
),
=−
,
d. ( ) =
. Xác định miền hội
=
,
=
Giải:
a. ( ) =
=
−
Ta có
=
=− .
=
= ∑
= .
⟹ ( )=
= −∑
=− ∑
Miền hội tụ:
=− ∑
= −∑
(−1)
( − 3) − ∑
( − 3)
= −∑
=∑
(
)
( − 3)
(
)
( − 3)
( − 3)
=− ∑
(
)
( − 3)
( − 3)
< 1 ⇔ | − 3| < 2.
b. ( ) =
Ta có
GIẢI TÍCH PHỨC
37
=
= ∑
=
=∑
(−1)
(
)
( − 2)
Đạo hàm 2 về ta có
−
(
=∑
⟹ ( )=
)
( − 2)
(
= −∑
(
=∑
)
)(
)(
)
( − 2)
( − 2)
< 1 ⇔ | − 2| < 2.
Miền hội tụ:
c. ( ) = sin(
+ 4 ) = sin(( + 2) − 4) = sin( + 2) cos 4 − sin 4 cos( + 2)
Ta có
(−1)
cos( + 2) =
(
(−1)
sin( + 2) = ∑
⟹ ( ) = cos 4
)
(
)!
( + 2)
(2 )!
(−1)
( + 2)
− sin 4
( 2 + 1 )!
(−1)
( + 2)
(2 )!
Miền hội tụ: | + 2| < ∞.
d. ( ) =
=
=
(
)
Ta có
(
)
(
=∑
)
!
⟹ ( )=
∑
(
)
!
Miền hội tụ: | − 2| < ∞.
Bài 9.2: Khai triển chuỗi Laurent của hàm ( ) =
(
)
tại
= , = , = ∞.
Giải:
+ Tại = 0
( )=
(
)
=−
=− ∑
= −∑
Miền hội tụ: 0 < | | < 1.
GIẢI TÍCH PHỨC
38
+ Tại = 1
( )=
(
)
=
∑
=
( − 1) = − ∑
( − 1)
Miền hội tụ: 0 < | − 1| < 1.
+ Tại = ∞
=
Đặt
⇒ ( )=
=
⇒ ( )=∑
=
=
∑
=
=∑
.
Bài 9.3: Khai triển chuỗi Laurent của các hàm ( ) =
a.
<| |<
(
)(
b.
(
)(
)
trong các hình vành khăn
<| − |<
Giải:
a. ( ) =
)
=3
−2
Ta có
=− ∑
=−
= −∑
= ∑
=
=∑
⇒ ( ) = −3 ∑
b. ( ) =
(
− 2∑
)(
)
=3
−2
Ta có
∑
=
=
=
=
=
= ∑
⇒ ( ) = 3∑
(
(
)
)
=∑
(−1)
−2∑
(
)
GIẢI TÍCH PHỨC
<| |<
(
(
)
)
)
( − 3)
( − 3) .
Bài 9.4: Khai triển chuỗi Laurent của các hàm ( ) =
a.
(
=∑
(−1)
b.
(
)(
)
trong các hình vành khăn
<| − |<
39
Giải:
a. ( ) =
(
)(
=
)
−2
Ta có
=− ∑
=−
=
= −∑
∑
=
=∑
⇒ ( ) = −∑
− 2∑
<1
Miền hội tụ:
b. ( ) =
<1
(
)(
)
| |<2
| |<2
| |<2
⇔
⇔
⇔ 1 < | | < 2.
| |>1
| |>1
| | >1
⇔
=
−2
Bài 9.5 (bài 19, SGK, tr118): Khai triển chuỗi Laurent của các hàm tại
a. ( ) =
(
)
(
)
,
b. ( ) = ( − )
=
,
=−
=
c. ( ) =
(
)
,
=
Giải:
a. ( ) =
(
=
)
(
)
Ta có
(
)
[ (
=∑
⇒ ( )=
)]
=∑
!
(
)
∑
!
!
( − 1)
( − 1) = ∑
!
( − 1)
Miền hội tụ: |2( − 1)| < ∞ ⇔ | − 1| < ∞
b. ( ) = ( − 3) sin
= ( + 2) sin
− 5 sin
Ta có
sin
=∑
(−1)
⇒ ( ) = ( + 2) ∑
GIẢI TÍCH PHỨC
(
)
(
)!
(
(
(
=∑
(
)
)! (
)
)
)! (
− 5∑
)
(
(
)
)! (
)
40
(
=∑
)! (
(
− 5∑
)
)
(
)! (
)
< ∞ ⇔ | + 2| > 0.
Miền hội tụ:
c. ( ) =
)
(
(
=
)
(
)
Ta có
=
= ∑
=
(
=∑
(−1)
)
( − 3)
Đạo hàm 2 vế ta có:
(
= −∑
⇒ ( )=−
)
(
)
( − 3)
∑
(
= −∑
)(
)
(
)(
)
( − 3) = ∑
( − 3)
(
)(
)
( − 3)
< 1 ⇔ | − 3| < 3.
Miền hội tụ:
Bài 9.6 (bài 21,SGK, tr 118): Khai triển chuỗi Laurent của hàm ( ) =
(
)(
)
trong các
miền đã chỉ ra:
a.
<| + |<
)(
)
b.
<| |<
Giải:
a. ( ) =
(
=
+
Ta có
=−
⇒ ( )=
=− ∑
− ∑
= −∑
( + 1)
( + 1) .
b.
Bài 9.7 (bài 22,SGK,tr 118): Khai triển chuỗi Laurent của hàm ( ) =
(
)(
)
trong các
miền đã chỉ ra
a.
<| − |<
b.
<| − |<
Giải:
GIẢI TÍCH PHỨC
41
a. ( ) =
(
)(
=
)
(
)
Ta có
=
=∑
⇒ ( )=
∑
a. ( ) =
(
(−1) ( − 2)
(−1) ( − 2) = ∑
)(
)
=
(
(−1) ( − 2)
)
Ta có
=
=−
⇒ ( ) = −(
)
(
∑
)
= −∑
( − 1)
( − 1) = − ∑
( − 1)
X. BÀI TOÁN PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG DỰA VÀO CHUỖI LAURENT
10.1. Kiến thức bổ trợ
Giả sử
là điểm bất thường cô lập của hàm ( ) và ( ) có khai triển chuỗi Laurent
( )=∑
( −
ầ
)
+∑
í
+ Nếu phần chính của chuỗi (1) bằng 0 (
( −
ầ
= 0, ∀ ) thì
(1)
ả í
là điểm bất thường bỏ được.
+ Nếu phần chính của chuỗi (1) có hữu hạn các số hạng thì
là điểm cực đơn).
+ Nếu phần chính của chuỗi (1) có vô hạn các số hạng thì
)
là cực điểm cấp
( = 1 thì
là điểm bất thường cốt yếu.
10.2. Bài tập mẫu
Bài 10.1 (câu 5, đề thi GTP – K18):
a. Khai triển chuổi Laurent của hàm sau trong lân cận của điểm
= :
( )=
Xác định miền hội tụ của chuỗi vừa m.
b. Phân loại các điểm bất thường của hàm ( ).
Giải:
GIẢI TÍCH PHỨC
42
a. Đặt
=
−2⇒
=
+ 2, khi đó:
2
( ) = ( + 2) =
=
= .
= .
!
=
2 1
!
Suy ra
2
( )=
1
=
! ( − 2)
+
2
2
+ ⋯+
+ ⋯ (1)
−2
! ( − 2)
< ∞ ⟹ | − 2| > 0
Miền hội tụ:
b. Ta thấy chuỗi Laurent (1) của hàm ( ) có phần chính gồm vô hạn các số hạng nên điểm
= 2 là điểm bất thường cốt yếu của hàm ( ).
Bài 10.2: Cho hàm số ( ) = ( − )
a. Khai triển chuỗi Laurent trong lân cận = − .
b. Phân loại các điểm bất thường của hàm ( ).
Giải:
a. Theo câu b bài 9.5 ta có
( )=∑
(
)
(
=1−
−
)! (
)
!(
)
(
− 5∑
+
!(
(
)
)
)! (
)
+⋯
(1)
b. ta thấy chuỗi (1) của hàm ( )có phần chính gồm vô hạn các số hạng nên điểm
điểm bất thường cốt yếu của hàm ( ).
= −2 là
XI. BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
11.1. Kiến thức bổ trợ
a. Công thức nh thặng dư
+ Nếu
là cực điểm đơn của hàm ( ) khi đó:
[ ( ), =
+ Nếu
là cực điểm cấp
GIẢI TÍCH PHỨC
] = lim [( −
→
) ( )]
của hàm ( ) khi đó:
43
[ ( ), =
]=
1
lim
( − 1)! →
[( −
)
( )]
b. Định lý thặng dư Cauchy
Giả sử là miền đơn liên, là đường cong đơn, đóng nằm trong . ( ) giải ch trong và
trên trừ một số hữu hạn cực điểm nằm trong , khi đó:
∮
c. Tích phân dạng ∫
( )
[ ( ), =
= 2 .∑
(sin , cos )
,
]
là hàm hữu tỷ
Phương pháp:
Đặt
=
→
=
sin
=
Khi
biến thiên từ 0 → 2 thì chạy một vòng trên đường tròn đơn vị : | | = 1
=
và cos
=
=
(sin
Tường tự với ch phân dạng ∫
( )
d. Tích phân suy rộng = ∫
, cos
,
)
.
là hàm hữu tỷ
 Nếu ( ) là hàm hữu tỷ thỏa:
+ Bậc mẫu lơn hơn bậc tử ít nhất 2 đơn vị
+ ( ) có hữu hạn cực điểm , … , nằm trong nửa mặt phằng trên
+ ( ) không có cực điểm nằm trên trục thực
( ) =2 ∑
[ ( ), = ]
⟹ =∫
 Nếu ( ) là hàm hữu tỷ thỏa:
+ Bậc mẫu lơn hơn bậc tử ít nhất 2 đơn vị
+ ( ) có hữu hạn cực điểm , … , nằm trong nửa mặt phằng trên
+ ( ) có cực điểm , … , nằm trên trục thực
( ) =2 ∑
( ), =
[ ( ), = ] + ∑
⟹ =∫
( ) cos
e. Tích phân dạng = ∫
và = ∫
( ) sin
Theo công thức Euler ta có:
=∫
( ) cos
=
∫
( )
=∫
( ) sin
=
∫
( )
GIẢI TÍCH PHỨC
44
 Nếu ( ) là hàm hữu tỷ thỏa:
+ Bậc mẫu lơn hơn bậc tử ít nhất 1 đơn vị
+ ( ) có hữu hạn cực điểm , … , nằm trong nửa mặt phằng trên
+ ( ) không có cực điểm nằm trên trục thực
( )
[ ( )
⟹∫
=2 ∑
, = ]
 Nếu ( ) là hàm hữu tỷ thỏa:
+ Bậc mẫu lơn hơn bậc tử ít nhất 1 đơn vị
+ ( ) có hữu hạn cực điểm , … , nằm trong nửa mặt phằng trên
+ ( ) có cực điểm , … , nằm trên trục thực
( )
⟹
[ ( )
=2
( )
]+
, =
, =
11.2. Bài tâp mẫu
Bài 11.1 (bài 10, SGK, tr 137): Tính = ∫
(
)
bằng phương pháp thặng dư.
Giải:
Ta có ( ) = (
) (
=(
)
) (
) (
)(
)
Hàm ( ) có 2 cực điểm cấp hai là = , = − và 2 cực điểm đơn = −1 + , = −1 −
nhưng chỉ có cực điểm cấp hai = và cực điểm đơn = −1 + nằm trong nửa mặt
phẳng trên. Khi đó ta có:
=∫
(
) (
)
[ ( ), = ] =
(
= lim
(
→
=
(
)
)
(
(
[( − )
lim
)! →
) (
[ ( ), = ] +
=2 {
(
= lim
→
)
(
(
(
) (
( − )
( )] = lim
→
)
[ ( ), = −1 + ]}
) (
)
=
)
(
)
) (
(
) (
) (
= lim
(
=−
)
→
⟹ =2
(
) (
=−
)
+
→
(
= ((
)
+
)
) (
−
)
=
=(
)
)
+
[ ( ), = −1 + ] = lim ( + 1 − ) ( ) = lim ( + 1 − )
→
)
)
=
(
) (
)
−
.
Bài 11.2 (bài 12, SGK, tr 137): Chứng tỏ rằng:
GIẢI TÍCH PHỨC
45
a. = ∫
(
=
)
b. = ∫
=
.
Giải:
a. Đặt
=
⟹
(
)
− 10
+3=0⇔
=∫
GPT: 3
=
; sin
=∫
Hàm ( ) = (
=
=
=− ∫
)
(
(
)
=3
=
=3, =
có hai cực điểm cấp 2 là
)
nhưng chỉ có điểm
=
nằm trong hình tròn : | | = 1 và nẳm trong nửa mặt phẳng trên. Khi đó ta có
∫
(
( ), =
=2 .
)
( ), =
=(
lim
= lim
(
→
⟹∫
(
Vậy = − ∫
(
)
)
=−
=−
=−
)
(
→
=2 . −
)
( ) = lim
−
)! →
−
=
.
b. Làm tương tự như câu a
Bài 11.3: Tính = ∫
(
)(
)
bằng phương pháp thặng dư.
Giải:
Ta có ( ) =
(
)(
)
=
(
)(
)(
)(
)
Hàm ( ) có 4 cực điểm đơn nhưng chỉ có
Khi đó ta có:
=∫
(
)(
)
=2 {
= và
[ ( ), = ] +
[ ( ), = ] = lim( − ) ( ) = lim( − )
→
→
= 3 nằm trong nửa mặt phẳng trên.
[ ( ), = 3 ]}
(
)(
[ ( ), = 3 ] = lim ( − 3 ) ( ) = lim ( − 3 )
→
GIẢI TÍCH PHỨC
→
(
)
)(
= lim
→ (
)
)(
= lim
→
)
(
=
)(
)
=−
46
⟹ =2
−−
=
.
Bài 11.4: Tính = ∫
bằng phương pháp thặng dư.
Giải:
=∫
= ∫
Ta có ( ) =
=
(
=
)(
(do hàm
∫
)
Hàm ( ) có 2 cực điểm đơn nhưng chỉ có
có:
[ ( )
=2 .
∫
→
= 2 . lim
→
=
∫
= 3 nằm trong nửa mặt phẳng trên. Khi đó ta
, = 3 ] = 2 . lim ( − 3 ) ( )
= 2 . lim ( − 3 )
Vậy =
là hàm lẻ)
→
=2 .
=
.
Bài 11.5 (câu 6, đề thi GTP – K18): Dùng thặng dư để nh ch phân: = ∫
Giải:
=∫
= ∫
Đặt ( ) =
Giải phương trình
+1 = 0 ⇔
= −1
Ta có −1 = cos + sin . Khi đó căn bậc 6 của −1 được xác định bởi:
= cos
+ sin
,
= 0,1,2,3,4,5
√
+
=0⇒
= cos + sin =
+
=1⇒
= cos + sin =
+
=2⇒
= cos
+ sin
=−
√
+
+
=3⇒
= cos
+ sin
=−
√
−
+
=4⇒
= cos
+ sin
=−
GIẢI TÍCH PHỨC
+
47
=5⇒
+
,
Vậy
= cos
,
,
,
+ sin
,
√
=
−
+1=0
là nghiệm của phương trình
Hay hàm ( ) có 6 điểm cực đơn nhưng chỉ có 3 điểm cực đơn
phẳng trên. Khi đó ta có
( ), = √ +
=2
∫
,
+2
[ ( ), = ] + 2
√
( ) = lim
,
nằm trong nửa mặt
( ), = − √ +
Trong đó
( ), = √ +
= lim
→
=
lim
→
=
√
=
√
−
√
√
−
→
(√
=
)
( √
)
[ ( ), = ] = lim( − ) ( ) = lim
→
=
lim
→
=
lim
→
=
√
⇒∫
=
√
=2
−
Vậy = ∫
√
√
=
−
=−
( )=
lim
→
( √
+2
+
√
√
=
→
( ), = − √ +
=−
√
)
=
−
(√
+2
)
=
√
√
√
=
= .
Bài 11.6 (câu 5, đề thi GTP – niên học 2008-2009): Tính bằng thặng dư
.
∫
Giải:
=∫
= ∫
Đặt =
+
Đổi cận:
= − ⇒ = 0;
= ∫
GIẢI TÍCH PHỨC
⇒
(
=
)
(
)
=
= ∫
⇒ = 2 , khi đó:
=− ∫
48
=
Đặt
⇒
= − ∮|
=
; cos =
=
|
Hàm ( ) =
(
)
=
∮|
=
|
(
(
)(
)
)
Nhận thấy hàm ( ) có 3 cực điểm đơn nhưng chỉ có 2 cực điểm
= 0, = nằm trong
miền | | = 1 khi đó ta có:
=
[ ( ), = 0] +
.2
( ), =
=
[ ( ), = 0] = lim( − 0) ( ) = lim
→
( ), =
−
( ) = lim
→
⇒ =
−
→
( ), =
=
→
= lim
[ ( ), = 0] +
(
)
=−
=− .
Bài 11.7 (câu 6, đề thi GTP – niên học 2008-2009) : Tính thặng dư
∫
Giải:
Xét ( ) =
GPT:
+1=0⇔
= −1
Ta có −1 = cos + sin . Khi đó căn bậc 6 của −1 được xác định bởi:
= cos
+ sin
,
= 0,1,2,3,4,5
√
+
=0⇒
= cos + sin =
+
=1⇒
= cos + sin =
+
=2⇒
= cos
+ sin
=−
√
+
+
=3⇒
= cos
+ sin
=−
√
−
GIẢI TÍCH PHỨC
+
49
+
=4⇒
= cos
+
=5⇒
= cos
,
Vậy
,
,
,
+ sin
=−
+ sin
,
=
√
−
+1=0
là nghiệm của phương trình
Hay hàm ( ) có 6 điểm cực đơn nhưng chỉ có 3 điểm cực đơn
phẳng trên. Khi đó ta có
−
( ), = √ +
=2
∫
√
,
,
nằm trong nửa mặt
[ ( ), = ] + 2
+2
( ), =
+
Trong đó
√
( ), = √ +
= lim
→
√
=
=
√
−
( ) = lim
→
√
lim
→
−
√
√
√
(
)
=
(√
)
(√
(
[ ( ), = ] = lim( − ) ( ) = lim
→
=
)
→
)
√
√
.
=−
√
=
=
=−
=−
√
( ), = −
√
+
=
lim
√
=
(
√
)
⇒∫
Vậy = ∫
GIẢI TÍCH PHỨC
=
( √
)
( √
=2
=
)
.
−
( )=
lim
→
√
− − −
=
+
√
→
√
√
=−
√
=−
=
.
50