Download АНАЛИЗ ФОРМУЛЫ Линдхарда

Теория Линдхарда
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теория Линдхард[1][2] — метод расчета эффекта экранировки электрического поля электронами в
твердом теле. Он базируется на квантовой механике (первый порядок теории возмущений) в
пpиближении случайной фазы.
Экранирование в модели Томаса — Ферми получается как частный случай более общей формулы
Линдхарда. В частности, экранирование Томаса-Ферми это не что иное как длинноволновое
приближение, а именно когда волновой вектор (величина, обратная характерной длины) намного
меньше, чем феpмиевский волновой вектор.[2]
В этой статье используется система единиц СГС.
Содержание
Формула
Анализ формулы Линдхард
Трёхмерный случай
Длинноволновой предел
Статический Предел
Двухмерный случай
Длинноволновой предел
Статический Предел
Одно Измерение
Эксперимент
Список литературы
Примечания
Формула
Для продольной диэлектрической функции формула Линдхарда задаётся выражением
Здесь
это
и
— функции распределения Ферми — Дирака (см. также
статистика Ферми-Дирака) для электронов в термодинамическом равновесии. Однако формула
Линдхарда справедлива и для неравновесных функций распределения.
Анализ формулы Линдхард
Чтобы понять формулу Линдхард, давайте рассмотрим несколько предельных случаев в 2 и 3
измерениях. 1-мерным случае считается другим способом.
Трёхмерный случай
Длинноволновой предел
Во-первых, рассмотрим предельный длины волны (
).
Для знаменателя формулы Линдхард, мы получаем
,
и для числителя формулы Линдхарда, мы получаем
.
Подставляя эти выражение в формулу Линдхарда и, взяв предел, получаем
,
где мы использовали
,
— фурье образ кулоновского потенциала,
.
(В единицах СИ, замените фактор
на
.)
Этот результат совпадает с классической диэлектрической функцией.
Статический Предел
Во-вторых, рассмотрим статический предел (
). Формула Линдхарда принимает вид
.
Вводя выше равенств для знаменателя и числителя, получаем
.
При условии равновесного распределения Ферми-Дирака, мы получаем
здесь мы использовали
и
.
Поэтому
Здесь
это трёхмерный волновой вектор отвечающий за экранирование определяемый как
.
Тогда, трёхмерный статический потенциал экранирования кулоновского потенциала задаётся
формулой
.
Преобразование Фурье-этой функции дает
известный как потенциал Юкавы. Обратите внимание, что в этом Фурье-преобразовании, которое
представляет собой сумму по всем мы использовали выражение для маленьких
для каждого
значения что неправильно.
Для
вырожденного
газа(Т=0),
энергия
Ферми определяется
Статически экранированный потенциал(верхняя криволинейная поверхность) и
потенциал кулона(нижняя криволинейная поверхность) в трех измерениях
,
так что плотность
.
При T=0,
таким образом
.
Подставляя это в выражение для 3D экранированного волнового вектора
.
Это выражение соответствует формуле для волноыого вектора экранировки Томаса-Ферми.
Для справки, экранировка Дебая-Хюккеля, которая описывает невырожденный предельный случай
приводит к результату
.
Двухмерный случай
Длинноволновой предел
Во-первых, найдём длинноволновой предел (
).
Для знаменателя формулы Линдхард,
,
и для числителя,
.
Подставляя их в формулу Линдхард и приняв предел мы получаем
где мы использовали
,
и
.
Статический Предел
Во-вторых, рассмотрим статический предел (
). Формула Линдхарда запишется в виде
.
Подставим теперь найденные выше выражения для знаменателя и числителя, получаем
.
При условии равновесной функции распределения Ферми-Дирака, мы получаем
здесь мы использовали
и
.
Поэтому
— это двумерный волновой вектор для экранирования (2D обратная длина экранирования)
определяется как
.
Тогда, в 2D статически экранированный Кулоновского потенциал дается
.
Известно, что химический потенциал 2-мерной Ферми-газа дается выражением
,
и
.
Так, в 2D волновой вектор экранирования
Обратите внимание, что этот результат не зависит от N.
Одно Измерение
На этот раз, рассмотрим некоторый обобщенный случай для уменьшения размерности. Чем ниже
размерность, тем слабее экранирующий эффект. В пространстве с низкой размерностью некоторые
силовые линии проходят через материал барьера, где экранировка отсутствует. Для 1-мерного
случая, мы можем предположить, что экранировка влияет только на линии поля, которые
располагаются очень близко к оси провода.
Эксперимент
В реальном эксперименте, мы должны также взять во внимание объемный эффект экранировки,
даже если мы имеем дело со случаем 1D. Д. Дэвис примененил теорию экранирования ТомасаФерми для электронного газа ограниченного одномерным каналом и коаксиальным цилиндром. Для
K2 Рt(СN)4 Cl0.32 ·2.6 Н2 0, было установлено, что потенциал в области между нитью и цилиндром
варьируется как
и его эффективная длина экранировки в 10 раз больше чем для
металлической платины.
Список литературы
Haug, Hartmut. Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors
(4th ed.) (англ.). — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2004. — ISBN 981-238-609-2.
Д. Дэвис Томаса-Ферми скрининг в одном измерении (http://prola.aps.org/abstract/PRB/v7/i
1/p129_1), физ. Откр. Б, 7(1), 129, (1973)
Примечания
1. Lindhard, J. On the properties of a gas of charged particles (http://gymarkiv.sdu.dk/MFM/kdvs/mf
m%2020-29/mfm-28-8.pdf) (неопр.) // Danske Matematisk-fysiske Meddeleiser. — Det
Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, 1954. — Т. 28, № 8. — С. 1—57.
2. N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976)
Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Теория_Линдхарда&oldid=104313347
Эта страница в последний раз была отредактирована 2 января 2020 в 16:20.
Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать
дополнительные условия.
Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации Wikimedia Foundation, Inc.