Survey
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project
BULLETIN OF THE POLISH ACADEMY OF SCIENCES TECHNICAL SCIENCES, Vol. 64, No. 2, 2016 DOI: 10.1515/bpasts-2016-0038 Physical interpretation of the Cosserat mechanics for a collection of atoms Dr hab. inż. Marek Sikoń M. SIKOŃ* Kraków 03. 06. 2016 Dr hab. inż. Marek Sikoń Kraków 03. 2016 Faculty of Mechanics, Institute of Machine Design, Cracow University of06. Technology, 37 Jana Pawła II St., 31-866 Cracow Poprawki do artykułu: “Physical interpretation of the Cosserat mechanics for Poprawki do artykułu: “Physical interpretation ofis the Cosserat a collection of atoms”. Abstract. In this work, the Cosserat medium analyzed as a mechanics set of atoms.for These atoms are under the action of a mechanical load. The statistical analysis is preceded by a description of a single atom using classical mechanics and quantum mechanics. The behavior of the atoms in the field a collection of atoms”. generated by mechanical change ofuwaga the interatomic is shown as a phenomenon which canżeby explain the Cosserat mechanics in a continuum.. Ogólna dotyczydistance zapisu liczb kwantowych. Sugerowałem liczby te zapisywać Ogólna uwaga dotyczy zapisu liczb kwantowych. żeby te zapisywać czcionką (font)mechanical OnyxSugerowałem i takąquantum czcionkę dlaliczby tych liczb używałem przesłanejmatter. do Pani pracy. Key words: Cosserat theory, polar atom, number, statistical mechanics,wcondensed czcionką (font) Onyx i taką czcionkę dla tychdoliczb używałem w przesłanej do Pani pracy. W otrzymanej korekty pracy liczby te w większości zapisane są czcionką Ariel (ale nie W otrzymanej do korekty pracy liczby te Wolałbym w większości zapisane czcionką Ariel nieujednolicić i wszędzie poprawić wszędzie). Onyx ale jaksąnie można (?) to (ale proszę 1. Introduction 2. Classical wszędzie). Wolałbym Onyx ale nie można (?) to proszę ujednolicić i wszędzie poprawićdescription najak Ariel. na Ariel. Cosserat mechanics [1] (1909) is inspired by the results of We analyze the set of atoms k =1, 2, 3, …N in the elementary 1. Rozdział 1: Introduction experiments conducted by Voigt [2] in 1887. In Cosserat me- volume dV. In the first approximation, these atoms are analyzed 1. Rozdział 1: Introduction - proponuje żeby w wierszu 6 i 7 wpisując wzory inaczej przedstawić ułamek, chanics, we assume that the transmission of mechanical action as a set of balls (material points) [7] with vectors of position - proponuje żeby w wierszu 6 i 7 wpisując wzory inaczej dP przedstawić dMo ułamek, between two neighboring unit cells of jest: the material position) in the Cartesian coordinate system. These p = lim by ,surface m = lim rk (initial ,, dP dM dF o dF → →00 dF dF → →00 dF element dFjest: is held by force, m vector vector dM.dF balls are at a distance with value r= rl o − rko . When we apply p = lim = limdP and ,, moment kl dF → 00 dF → 00 zapis: p = nowy , P m = M d dF d dF dF → dF → dF dF lim Independent of the vector of the force stress , the lim an0 external mechanical load to the set of atoms k =1, 2, 3, …N dF → dF → 00 dF → →0 nowystress zapis:vector p = lim P dF , m = lim dM dF .dFA solid ddefined couple is deforusing classical mechanics, we obtain for each atom k the resuldF dF → description dF → → 00 2. Rozdział 2: dFClassical → 00 mation is described by a displacement vector u ( x, y, z ) and by tant force: P =−∑ ∇ U ( r ) , where: U (r kl ) is the diatomic potential 2. Rozdział 2: Classical description , (gdyż jest powtórzone z wiersza - w dziesiątym wierszu należy usunąć: l , l ≠ ≠ kkthe an independent vector of the polar rotation φ ( x, y, z ) [3]. The l , l of distance between the atom k and successive atoms l, l ≠ k, usunąć: ll ,, ll ≠ , (gdyż jest powtórzone z wiersza - w dziesiątym wierszu należydziewiątego). k ≠ k through the theoretCosserat mechanics was elaborated mainly ∇ is the nabla operator. When we take into account the internal dziewiątego). 3. Rozdział Quantum ical studies. So far we do not know3:the physicaldescription interpretation structure of the atom k (electrons and nucleons in the shells) SS S 3. Rozdział 3: Quantum description isassign operator of the moment M M 1, 2,3,...nk of the Voigt experiments. - w pierwszym wierszu pod wzorem (11) jest: [8–9], to the electron/nucleon Mˆˆwe Mˆˆ kkS number ζ k = kk SS ˆ SS P = ∑ P and then - w pierwszym wierszu pod wzorem jest: M is operator of the moment M In this work we reference the(11) molecular of elasticity. a part of SS SSˆ k the force according to relationship: Mˆˆtheory M ˆ kk Mˆ kis operator of the moment M kk .. ma być: M This theory was inspired by Boscovich (1763) [4], and finally reducekk the force Pζ k from the central position C (atomic mass ˆˆ SS is M kkSS .. ma operator of the moment M SS być:S S M jest: Ω kk =while iω yyS −the jkkωxxSmodern ( ) formulated by Navier [5]- in 1821, version center) to the temporary location of the electron/nucleon, the kk SS - jest: = ( iω yySS − jby ωxxSSEringen wasΩdeveloped (1967) [6]. Based on the experiments electron/nucleon is additionally loaded by moment M ζcouple (Fig )kk kk k ma być: Ω SSkk = ( iω yySS − jωxxSS )k , ( Ω bold). k carried out noncentral intermolecular interaction was 1). SS by Voigt, SS SS ma być: Ω kk = ( iω yy − jωxx )k , -( Ω bold). trzeci wiersz pod wzorem jest: Based on the moment operator (12) introduced. Inspired by the work of E. Cosserat and F.(12) Cosserat, k - trzeci wiersz pod wzorem (12) jest: Based on the moment operator (12) on the moment operator (11). być: Based Eringen introduced a rotation of the molecule duringma intermoma być:(24) Based onmech the moment (11).JJ − lecular interaction. The physical interpretation of - wzór jest: = JJ ,, − JJrotation + mech =− −this −operator + 1,..., 1,..., 0,..., 0,..., −1 1,, JJ has(24) not jest: beenmech shown= - wzór − JJ + 0,..., JJ − , J mech = until −JJ ,, − −today. + 1,..., 1,...,ma 0,..., −1 1 , J być: mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1, mech = −J , −J + 1,..., 0,..., J − 1, JJ .. For analysis of the Cosserat medium the work presentma być: mech .. and mech = =− −JJ ,, − −- JJpod + 1,..., 1,..., 0,..., JJ(24) − 1, 1,inJJjest: + 0,..., − wzorem and J is the total atomic quantum number. Introducing ed, the atomic structure of matter was chosen for two reasons: - pod wzorem (24) jest: and couple = ℏmech and J is the total atomic quantum J kk =number. ℏ J ( J +Introducing 1) and J kkcouple couple couple = ℏmech J kk = ℏofJthe 1) and Jstructure ( J +granular ● the atom is a particle kk ma być: Jof ismatter, the total atomic quantum number. Introducing ● the atom has polar properties. couple = ℏmech . ma być: J is the total atomic quantum Jnumber. Introducing couple . kk = ℏ J ( J + 1) and J kk couple couple J = ℏ J J + 1 J = ℏmech and . ( ) . k k This paper studies kthe polar atom, where the mass center 4. Rozdział 4: Statistical description k and center of the action of-the Coulomb are not lined 4. Rozdział 4: Statistical description trzeci wiersz forces tego rozdziału, jest: up. mech mech = =− −JJ ,, − −JJ + + 1,..., 1,..., 0,..., 0,..., JJ − −1 1,, JJ Thiswiersz disturbed the action arm for interatomic - trzeci tegosymmetry rozdziału, creates jest: mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1 , J mech = −J , −J + 1,...,ma 0,..., J − 1mech ,J = być: mech =− −JJ ,, − −JJ + + 1,..., 1,..., 0,..., 0,..., JJ − − 1, 1, JJ .. forces. The action arm generates a couple which Fig. 1. Reduction of the interatomic interaction on the temporary mech = (27), −JJ ,,moment, −JJ(28) + 1,..., 1,..., 0,..., −cre1, JJ centralnie. wzory: (26),= proszę wpisać ma-być: .. mech − − + 0,..., JJ − 1, location of the electron/nucleon ates the additional motion of the atom in the form of precession. - wzory: (26), (27), (28) proszę- we wpisać centralnie. wzorach: (35),…., (38) oraz wzór (39) i (42) J trzeba zamienić na J .. This precession is considered as a physical interpretation of the - wetheory wzorach: (35),…., (38) oraz wzór of micropolar elasticity [6].(39) i (42) J trzeba zamienić na J .. This moment creates precession of the electron/nucleon of couple angular velocity ω ζ k . The moment takes the following form: N k l ≠k k kl nk k *e-mail: [email protected] 1 ζk = ζk M ζcouple = ω ζcouple × jζ k ,(1) k k 333 Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016 Brought to you by | Gdansk University of Technology Authenticated Download Date | 6/23/16 9:03 AM W otrzymanej do korekty pracy liczby te wszędzie). Wolałbym Onyx ale jak nie m couple couple couple couple couple couple couple This moment creates precession of the electron/nucleon angular velocity . The sion ession on sionofofofThis of the the the the electron/nucleon electron/nucleon electron/nucleon electron/nucleon of of of of angular angular angular angular velocity velocity velocity velocity . . The . The . The The coupleofcouple This moment creates precession of the electron/nucleon of angular velocity . The couple na Ariel. k k kk k k k k .The moment creates precession of theof of electron/nucleon of angular velocity couple couple This moment creates precession electron/nucleon angular velocity . The This creates precession thethe electron/nucleon of ofangular velocity k . The ates tes precession precession of ofmoment the the electron/nucleon electron/nucleon of of angular angular velocity velocity . . The The k k k couple moment takes the following form: M. Sikoń orm: orm: m: rm: form: moment takes. the thefollowing following form: takes of angular velocity k following moment takes takes the form:form: moment form: moment the The following following ollowing form: form: 1. Rozdział 1: Introduction couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple j k , (1) żeby w wierszu 6 i 7 w kcouple jjkjkk,jk, ,k , (1) (1) (1) (1) couple couple couple j (1) couple couple - proponuje , k couple kk k k k k kk k k k kk j k k, j j, k, (1) (1)(1) couple couple couple couple k k k (1) j j , , (1) k k k k k momentum where jζ kis the angular of the electron/nucleon, 3. Quantum description k dP (1) k k jest: p = lim , m = lim j where is the angular momentum of the electron/nucleon, then the precession energy: then the precession energy: mentum entum ntum mentum ofwhere ofof the of the the the electron/nucleon, electron/nucleon, electron/nucleon, electron/nucleon, then then then then the the the the precession precession precession precession energy: energy: energy: energy: j where is the angular momentum of the electron/nucleon, then the precession energy: dF → 0 dF → dF k of the electron/nucleon, then the precession energy: jwhere thejisangular momentum k is angular momentum of electron/nucleon, then the precession energy: where thethe angular momentum ofprecession thethe electron/nucleon, then the precession energy: k is k electron/nucleon, ngular gular momentum momentum of ofjthe the electron/nucleon, then then the the precession energy: energy: k We assume elimination of the orbital angular momentum of couple nowy zapis: p = lim dS P dF , m = then the precession energy: k = .−The /nucleon of angular velocity couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple U couple U couple ωζcouple ⋅ jζUkcouple →0 ,(2) the electron/nucleon, and we define the couple couple j k , (2) momentdFM k UUU (2) (2) (2) (2) couple j (2) k couple couple couple ,k couple kU kk k k k jjkjkk,jk,, k, , ζ k k k kcouple k kcouple U k UUkk j k ,k j j, k, (2) the couple (2)cross-product 2. Rozdział of 2: the Classical description angular frek k k UUk k couple jjk k , , (2) (2) in classical mechanics as(2) k k k k k couple (2) ofϕ angular couple angle of precession :couple quency and spin S k : - w dziesiątym wierszu należy usunąć: couple uple couple couple couple precession of the the electron/nucleon . The andcouple theζangle of velocity precession : k ouple : : : :and and andthe the angle ofprecession precession k k couple couple kle k :: k k k the angle of precession : couple couple and angle of j , (1) and: :the angle of precession k k : k dziewiątego). ecession cession k wing form:k k couple M kS = ω kS ×3.SRozdział k .(10) 3: Quantum description j ζ couple couple couple couple k couple j jcouple jkcouple jcouple j ,(3) couple couple ar = cos n/nucleon, then the j coupleprecession coupleϕζenergy: couple couple k couple couple couple couple couple k(1) k kk k couple j kj couple , couple j w pierwszym j , (3) wierszu pod wzorem (1 cos ar (3) (3) (3) kkk k k ar cos cos cos k, , , , jjk ar ar ar , (3) couple cos ar k(3) k cos jζkcouple kcosar Equation (10) can re-written in the form: (3)be (3) couple couple couple (3) k ar kk coscos, k k j, ,k(3) j j j j j k ar k , , (3) cos cos ar ar k k kk k k j k j j k k k e m k k (3)jjk k then(2)the precession energy: j k , S S ˆk r momentum of the electron/nucleon, couple ˆ where jζ iscothe of the precession. So the M k = Ω parameters S ,(11) S ple u p l eangular momentum = the jcok umomentum isparameters the angular momentum of So the physical where ( iω yS − jωxS )k momentum rmomentum omentum momentum ofofofthe of the the the precession. So So So the the the the physical physical physical physical parameters parameters parameters ofofof the of the the the co uprecession. pprecession. l eprecession. jpthe isSo angular of the precession. Sothe theprecession. physical parameters ofthe the k z - jest: Ω of k co l uke p l eangular jwhere isjuco momentum of the precession. So the physical parameters of the where is the angular momentum of the precession. So the physical parameters of where physical parameters of the electron/nucleon polar elasticity are j is the angular momentum of the precession. So the physical parameters of the where k k the he e angular angularmomentum momentum of theprecession. precession. So So the thecouple physical physical parameters parameters of ofthe the couple kof couple couple couple S couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple U couple j,U ,couple (2) ˆcouple U operator ,couple , , . moment ,ma and electron/nucleon elasticity written as: k , of M kSj,couple kkcouple jcouple jkcouple jcouple j couple być: U kkcouple Ω Sk.= ( iω yS − jωxS )k , ( Ω bold) written .. According where: is the the ,U ,U , ,, ,,elasticity ,, , written ,,kcouple ,,polar , and ,as: and ,and and . .,couple .Uare ty ticity city ity are are are are written written written written as: as: as: M couple couple couple So the physical parameters the jkof couple Ucouple electron/nucleon polar are written as: ,couple ,and , and and k as: k couple couple k couple couple kcouple elasticity k k k couple k ,,,couple k k k , couple k k k k kk polar k k k k couple k kk k kcouple k k k k couple k j , . electron/nucleon are couple couple couple couple couple couple couple j U electron/nucleon polar elasticity are written as: , , . j U , , , , and . electron/nucleon polar elasticity are written as: k k , , and k k k k jk j k k .k . kk k kk U U , , , , , , and olar olar elasticity elasticity are are written written as: as: to the principle ofthe mechanics, we and j, are thetheunit vectorscondition: parallel to thewiersz x, andpod y-axis, and(12) jest: B k k k k the following k k k k can formulate k k couple couple couple to the principle of we i,can formulate following mechanics, fmechanics, echanics, mechanics, we we we we can can can formulate formulate formulate formulate the the the following following following following condition: condition: condition: condition: - trzeci wzorem According tojthe the principle of mechanics, we canmechanics, formulate the following condition: U couple , couple ,can , and .According principle k to the According principle of mechanics, we can formulate the following ˆ k condition: According to principle of mechanics, we can formulate the following condition: k k k condition: According to the of mechanics, we can formulate the following condition: sion : S jcouple is the operator of the component of the spin in z-direction z rinciple inciple of of mechanics, mechanics, we we can can formulate formulate the the following following condition: condition: k k ma być: B , (3) couple couple couple couple he jfollowing couple (direction P k couple 0 , of quantization). (4) (4) PP P condition: couple 00,0,0, , (4) (4) (4) (4) couple P 0 , couple couple P k wzór (24) jest: k mech = − J , couple k kk k k k kk k k P k 0 P,(4) 0 , k 0,0 , couple P k k (4)(4) theory, the quantum couple mo- −J + 1,..., 0 According to the(4) quantum kk k PPk k couple 00, ,Pζ k ⋅ ω ζ k = (4) (4) k k k j couple ma być: mech = −J , −J + 1,..., 0 k (4) couple ment isprecession determined by solving the equation: couple couple couple couple couple couple , vector (3) P and and the cos ar couple and where the direction ofPthe force vector thecouple vector areeigenvalue perpendicular PP PkkP kforce orce ce ce evector vector vector vector and and the the the precession precession precession precession vector vector vector are are are are perpendicular perpendicular perpendicular perpendicular couple ecession. the physical parameters ofvector the kwhere the direction of the vector and the precession vector are perpendicular couple So k k k kthe k k k k k j k P k where direction of the force and the precession vector are perpendicular pod wzorem (24) jest: and J is the tota couple couple P where the direction of force vector and the precession vector perpendicular where the direction the force the where the direction of thethe vector and precession vector areare perpendicular k of k k k and PP P nof ofcouple the theforce force vector vector and the the precession precession vector vector are perpendicular perpendicular k k k and k kk k are S S couple couple couple couple couple ˆ to one another. to one another. kperpendicular Uvector another. M k Φ= M k Φ,(12) n vector ,are ,are , and j k to. one another. k perpendicular to,one Jk = ℏ J (J +1 to one k to k another. k another. one For thethe whole of theparameters atom weof have to of consider the sum ofnucleons. all electrons and nucleons. When kWhen we ewe we have have have have to to to consider to consider consider consider the the the the sum sum sum sum of of of all of all all electrons all electrons electrons electrons and and and and nucleons. nucleons. nucleons. nucleons. When When When For the whole the we have to consider the sum to consider the sum all electrons and When For the whole of atom k gular momentum of the precession. So physical the For the whole of theofatom wekhave to have consider the sum of allof electrons and nucleons. When k atom ormulate the following condition: we to consider the sum of all electrons and nucleons. When For the whole of the k For the whole the atom we have to consider the sum all electrons and nucleons. When S być:wave J is the total ehe atom atom we have have toto consider consider of all all electrons electrons and and nucleons. nucleons. When When kk we 22the 2the Mˆ kS and of all electrons and nucleons. When the number ofthe electrons is,...the is the 1, 2,of 3,...theisoperator 2isne2eigenvalue ( nenumber the number of Φma of electrons inof is2 not equal to nesum en number 1,couple 12,of ,21shells 23,in 3,,... 2 3,... ,,... 3the ,... 2nWhen 2ne2n2couple (electrons (e2n(the (nee,sum is is isthe isthe the number number number of of he nhe the the shells shells shells shells isnot isand not not not equal equal equal equal tototo2to couple couple 2shells 1M , 2,the ,k3,... (where the the number of shells is not equal e1 ee en e1is all electrons nucleons. number U ,the ,not and elasticity are written as: n.ne2e22nn(e21en,(2 ,n3e ,... 2jncouple (2to number of of ofof theisis number of electrons in the not toof 2the 2 , the n 2 3 is the number the number of in shells is equal to 1 , 2 , 3 ,... is the number the number of electrons shells is not equal to kelectrons kequal in kis e k k e , ,22, ,33,... ,...isis the in shells notequal equaltoto to22nn(4) thenumber number numberofof of function describing the quantum-mechanical state of the atom ectrons ctrons inin the thethe shells shells isisisnot not equal Jk = ℏ J (J + e e 11 e e (((nn 20 , nn inarenucleon electron shells) and the numbers nucleons shells are not equal to magic nnthe nshells) mbers bers ers mbers of ofof nucleons of inin nucleon inshells) nucleon nucleon nucleon shells shells shells shells are are are not not not not equal equal equal equal to to magic to magic magic nn ininof electron and theare numbers of nucleons nucleon shells nottoequal equal to magic magic 1nucleons ,nucleons 2nucleons , 3,...electron ( nof isnwe number of nnnn nin ple mechanics, can formulate the following condition: e electron and the numbers of nucleons in nucleon shells in the mechanical field. Based on the moment operator (11), nto electron shells) and the numbers of nucleons inmagic nucleon shells are not equal magic n nucleon shells are not to shells) and the numbers of nucleons n electron shells) and the numbers of nucleons in nucleon shells are not equal to magic n n n to 4. Rozdział 4: Statistical description nucleon shells shells are are not not equal equal to magic magic nd d the the numbers numbers of of nucleons nucleons nnnn inin nucleon are equal to magic numbers: ,,atom such the eigenvalue equation for the quantum couple takes the form: n,126 2and, ,and, 8and, ,and, 20 ,therefore, 50 , 82 ,126,... numbers: suchhas a model of atom has polar properties and, therefore, 2on 126 26 ,6precession 126 ,... ,... ,... ,,... ,such ,such ,such such aavector model amodel anot model model of of of atom of atom atom has has has polar polar properties properties properties properties therefore, therefore, therefore, couple natom 2, has ,,polar 8,82 ,polar 20 , 50 , 82 numbers: ,such such aof model ofatom polar properties and, therefore, shells are not equal to magic n ,... n couple are perpendicular n 2 , 8 , 20 , 50 , 126 ,... numbers: , such a model atom has polar properties and, therefore, - trzeci wiersz tego rozdziału, jest: me n 2 8 20 , 50 , 82 , 126 ,... numbers: , a model of has polar properties and, therefore, ,atom 50 , 82 ,has 126polar ,... , such atherefore, model of therefore, atom has polar properties and, therefore, numbers: n k nn P,k,such such n 20has ,8, 20 (4) 20 20, ,50 50, ,82 82,126 ,126 ,... ,... aamodel model of of atom has polar properties properties and, and, therefore, a model of k atom polar properties and, is liable isatomic liable toangular couples and moments. This atom described by the atomic angular momentum J k ments. ents. nts. ts. polar This This This This atom atom atom isisto isdescribed is described described described by by by the by the the the atomic atomic atomic angular angular angular momentum momentum momentum momentum JJkJ is liable to couples and moments. This atom is described bythe theis atomic angular momentum Jk as properties and, therefore, kkJ kby k the atomic ma być: mec isatom liable couples and moments. This atom is described angular momentum J k kS SˆJzk kΦ is liable to couples and moments. atom described atomic angular momentum J= Ω M kS Φ.(13) liable to couples and moments. This atom is is described byby the atomic angular momentum toiscouples and This atom isThis described by the atomic k and andmoments. moments. This This atom atom ismoments. isdescribed described by by the the atomic atomic angular angular momentum momentum J J k k couple . The total atomic moment coupled with the mechanical interactions between atoms must be: upled pled upled oupled with with with with the the the the mechanical mechanical mechanical mechanical interactions interactions interactions interactions between between between between atoms atoms atoms atoms must must must must be: be: be: be: . The total atomic moment coupled with the mechanical interactions between atoms must be: he sum of all electrons and nucleons. When wzory: (26), (27), (28) proszę wpisać c Patomic the atomic angular momentum the angular momentum The coupled total atomic moment coupled with he force vector andatomic the precession vector are perpendicular J moment . The moment with mechanical interactions between atomsatoms must be:must with k .coupled . The atomic coupled the mechanical interactions between atoms .total The total moment the mechanical interactions between must be:be: k total k with moment momentcoupled coupled with with the themechanical mechanical interactions interactions between between atoms atomsmust must be: be: S 2the mechanical M koraz wzór ( between atoms must be: According to the quantum mechanics, the eigenvalue - we wzorach: (35),…., (38) 1, 2, 3,... ne ( ne atoms isinteractions the of ual to 2between actions must be: number n n nnn n n is thecouple physical value of the moment action at the nanoscale. n couple n n couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple . k k . we have to consider sum to of magic all electrons and nucleons. When om k (5) .nn. the (5) (5) (5) couple (5) couple (5) in nucleon shells are. . not equal couple 1 couple k kk k k k k k kk k k nkcouple kcouple (5) operator: Applying the Pauli couple couple couple couple . (5) 1 . (5)(5) k k 1 k k . 11 1 1 2 . . (5) couple couple k k k kto 2n 1 is the 1, 2, 3,... ( ne M ns thehas shells not equaland, 1 1 number of e = M ,(5) of in atom polarisproperties (5)k therefore, 11 ζk 1 0 1 nthe ecribed numbers of nucleons nucleon are equal toelectrons magic and nucleons. n inmomentum where nshells totalnot number of Sˆzk = byand the atomic angular Jiskofthe electrons fof electrons electrons electrons and and and nucleons. nucleons. nucleons. nucleons. where n is total number electrons and nucleons. ,(14) where n is the total number of electrons and nucleons. where nand is the total number electrons and nucleons. where n is thenucleons. total number of of electrons and nucleons. 0 − 1 2 number number of of electrons electrons and nucleons. 50 , 82,126 ,...where , suchnbetween aismodel of atom hasbe: polar properties and, therefore, nical interactions atoms must the total number of electrons and nucleons. couple couple couple couple couple couple precession couple and Using frequency of the atomic we write the atomic couple moment J mic cicprecession precession precession precession and and and and we we we we write write write write the the the the atomic atomic atomic atomic couple couple couple couple moment moment moment moment J J J J couple Using frequency of the atomic precession and we write the atomic couple moment J k couple k kk k k k kkkthe k atomic precession k J and k we Using frequency of and weJ kwrite the atomic couple couple couple couple This atom is described the atomic angular of the atomic precession write couple Using frequency precession where , andmoment hmoment is the Planck constant. Using the wave JJkwe atomic = hk couple 2πmoment momentum Using frequency ofand theby atomic precession and write thethe atomic k k and k we k kcouple fmoments. the theatomic atomic precession precession and we we write write the the atomic atomic couple moment moment J J k k k k as: as: the atomic couple moment as: function: as: write the write atomic couple moment as: uple ent with the mechanical interactions .coupled as: (5) between atoms must be: k k ∑ couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple couple kcouple J k , kkcouple JJJ,J, , , M couple = ω (6) (6) (6) Jk ,k couple couple (6) 1 (6) (6)(6) couple couple 1 (6) × couple k kkk k k k k k k, kJ kcouple J(6) n k kkk k couple k k kk,(6) couple couple couplek J , J , k k k k k Φ ↑= for mech = , J J , , (6) (6) couple couple S k k k k k k 0 k .(6) (5) 2 ons. 1 then then the atomic couple energy: (15) Φ =couple couple couple then the atomic couple energy: y: gy: : the atomic couple energy: (7) (7) UUcouple JJ ,, k then thethen atomic couple energy: kk kk kk atomic couple energy: thethe atomic couple energy: uple ple energy: energy:then Φ ↓ = 0 for mech = − 1 , and J k we write the atomic couple couplemomentcouple S 1 , , (7) (7) J Uk = −ω k ⋅ J k ,(7) mber of electrons and nucleons. kk 2 and andthe thecouple coupleangle angleof ofthe theatomic atomicprecession: precession: and the couple the atomic precession: where mechsS is the mechanical quantum number (which is analkcouple angle atomic precession and Jof k we write the atomic couple moment couple Jk , (6) ogous to Jthe magnetic quantum number). The eigenvalue equaJkcouple couple couple k ar ar cos cos .. (8) (8) k k couple tion takes the JJkk following form: Jk couple . ar . (8)cos kcouple kcouple ϕJk k , =(8) (6) (8) Jk Sˆzk Φ = mechS Φ,(16) We Weformulate formulatethe theperpendicularity perpendicularitycondition conditionas: as: energy: We fomulate the perpendicularity condition as: which is satisfied as identity. Given the analogy between Eqs. couple PPk(13) kcouple 00.. the eigenvalues for both sets of equations (9) (9) are the (16), k kand couple Pk ⋅(9) ω = 0 .(9) same. The solution of the unknown quantum value of the couple k (9) moment of the atom k can be written as: couple couple Mkkcouple,, UUkcouple The The physical physical parameters parameters of of the the atomic atomic polar polar elasticity elasticity can can be be denoted denoted as: as: M ,, k The physical parameters of the atomic polar elasticity can S S couple couple couple couple couple couple couple and JJkcouple M k Φ = Ω k mechS .(17) bedenoted denotedas: as: M ,, and ... Mkcouple city city can can be be denoted as: , ,UUkcouple , kk ,,,kk ,,and k k k 334 3.3.Quantum Quantumdescription description Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016 We We assume assumeBrought elimination elimination of the orbital orbital angular angular momentum of of the the electron/nucleon, electron/nucleon, and and we we to youof by |the Gdansk University of momentum Technology SS Authenticated kk inin classical define define the the couple couple moment moment classical mechanics mechanics as as the the cross-product cross-product of of the the angular angular mentum entum of of the the electron/nucleon, electron/nucleon, and and we we Download Date | 6/23/16 9:03 AM frequency frequencyand andspin spinSS :: hab. inż. Marek Sikoń Kraków 03. 06. 2016 Dr hab. inż. Marek Sikoń Kraków 03. 06. 2016 Dr hab. inż. DrMarek hab. inż. Sikoń Marek Sikoń Krakówof03. Kraków 06. 2016 03. 06. 2016 Poprawki do artykułu: “Physical interpretation of the for Physical interpretation of the Cosserat mechanics for Cosserat a collectionmechanics atoms prawki do artykułu: “Physical interpretation of the Cosserat mechanics for a collection of atoms”. Dr hab. inż. Marek Sikoń Kraków 03. 06. 2016 collection of atoms”. Poprawki do artykułu: “Physical interpretation of the Cosserat mechanics for ń Kraków 03. 06. 2016 DrDr hab. hab. inż. inż. Marek Marek Sikoń Sikoń Kraków 03. 06. 2016 Kraków Kraków 03.03. 06.06. 2016 2016 Marek Sikoń a collectiondue of to atoms”. The energy contribution the atomic spinliczb Sk under Ogólna uwaga dotyczy zapisu kwantowych. Sugerowałem żeby liczby te zapisywać mech couple Poprawki Poprawki do artykułu: do “Physical artykułu: “Physical interpretation interpretation ofinthe of themechanics Cosseratϕ mechanics for = a r cos for mechanical load is written the classical mechanics theCosserat ,(29) gólna uwaga dotyczy zapisu liczbin kwantowych. Sugerowałem żeby liczbyużywałem te zapisywać k czcionką (font) Onyx i taką czcionkę dla tych liczb w przesłanej pracy. ( ) Jfor Jdo + 1Pani a collection a collection of atoms”. of atoms”. following form: Poprawki do artykułu: “Physical interpretation of the Cosserat mechanics Ogólna uwaga zapisu liczb kwantowych. Sugerowałem żeby liczby te zapisywać Physical interpretation ofi the Cosserat mechanics for (font) Onyx taką czcionkę dladotyczy tych liczb używałem przesłanej do zapisane Pani pracy. ocionką artykułu: “Physical interpretation of the Cosserat mechanics for liczbyw W otrzymanej do korekty pracy te w większości są czcionką Ariel (ale nie aczcionką collection ofartykułu: Poprawki Poprawki artykułu: “Physical “Physical interpretation interpretation of of thethe Cosserat Cosserat mechanics mechanics forfordo Pani pracy. S dodo S atoms”. (font) Onyx i taką czcionkę dla tych liczb używałem w przesłanej of atoms”. otrzymanej do korekty pracy liczby te w większości zapisane są czcionką Ariel (ale nie U k = zapisu −ωWolałbym (18) which are oftethezapisywać mechanical quantumpoprawić numbers mech. wszędzie). Onyx alekwantowych. jakSugerowałem nie można (?) tofunctions proszę ujednolicić i wszędzie k ⋅S k .zapisu Ogólna uwaga Ogólna dotyczy uwaga liczb kwantowych. liczb Sugerowałem żeby liczby żeby liczby te zapisywać a collection aW collection ofdotyczy of atoms”. atoms”. otrzymanej do korekty pracy liczby te wBased większości zapisane sąassumption czcionką Ariel (ale nie on the fundamental of statistical mechanics zędzie). Wolałbym Onyx ale jak nie można (?) to proszę ujednolicić i wszędzie poprawić na Ariel. zapisu liczbzapisu kwantowych. Sugerowałem żeby liczby te zapisywać czcionką (font) czcionką Onyx (font) iSugerowałem taką Onyx czcionkę i taką dla czcionkę tych liczb dlaopertych używałem liczb używałem wSugerowałem przesłanej w przesłanej dożeby Pani[12], pracy. dowePani pracy. Ogólna uwaga dotyczy zapisu liczb kwantowych. liczby te zapisywać ga dotyczy liczb kwantowych. żeby liczby te zapisywać In the same way as for Eq. (10), we rewrite this in the and Boltzmann distribution obtain the canonical diswszędzie). Wolałbym Onyx ale jak nie można (?) to proszę ujednolicić i wszędzie poprawić ek Sikoń Kraków 03. 06. 2016 Ariel. S aką czcionkę tychUliczb używałem wużywałem przesłanej do Pani ˆW Wdla otrzymanej dokS ⋅korekty do pracy korekty liczby pracy tepracy. w liczby większości tekwantowych. w większości zapisane są zapisane czcionką sążeby Ariel czcionką (ale Ariel nie (ale nie =otrzymanej − ω Ŝuwaga form: and we obtain the eigenvalue equation tribution: nt) Onyx i ator taką czcionkę dla tych liczb w przesłanej do Pani pracy. czcionką (font) Onyx i taką czcionkę dla tych liczb używałem w przesłanej do Pani pracy. k Ogólna k Ogólna uwaga dotyczy dotyczy zapisu zapisu liczb liczb kwantowych. Sugerowałem Sugerowałem żeby liczby liczby te te zapisywać zapisywać na zapisane Ariel. są czcionką Ariel (ale nie ty liczby te watom’s większości Rozdział 1: Introduction for the energy as follows: ej pracy do korekty pracy liczby teW w1. większości zapisane czcionką (ale niew(?) wszędzie). wszędzie). Wolałbym Wolałbym Onyx ale jak Onyx ale można jakAriel nie (?)dla można todla proszę ujednolicić to proszę ujednolicić i wszędzie i poprawić wszędzie poprawić )pracy. U(mech otrzymanej do korekty pracy liczby te większości zapisane sąexp czcionką Ariel (ale nie czcionką czcionką (font) (font) Onyx Onyx i są taką inie taką czcionkę czcionkę tych tych liczb liczb używałem używałem ww przesłanej przesłanej Pani Pani pracy. Onyx ale jakOnyx nie można (?) tomożna proszę(?) ujednolicić i wszędzie poprawić − dodo Wolałbym ale jak nie to proszę ujednolicić i wszędzie poprawić . Rozdział 1: Introduction proponuje żeby w wierszu 6 i 7 wpisując wzory inaczej przedstawić ułamek, na Ariel. na Ariel. k T S S i wszędzie (ale wszędzie). Wolałbym Onyx ale jak nie można (?) to proszę ujednolicić poprawić WW otrzymanej otrzymanej dodo korekty korekty pracy pracy liczby liczby te te w w większości większości zapisane czcionką czcionką Ariel Ariel (ale nienie ykułu: “Physical interpretation of the Cosserat mechanics for 1. Rozdział 1: Introduction ω ) są ,(30) Π (zapisane mech = są k ⋅ Ŝ k Φ k Φ.(19) mech =J w −wierszu 6 i=7Uwpisując wzory ułamek, dP inaczej przedstawić d M ( ) mech U oms”. - proponuje żeby na Ariel. wszędzie). wszędzie). Wolałbym Onyx Onyx ale ale jakjak nie (?)(?) to,to proszę proszę ujednolicić ujednolicić i wszędzie poprawić poprawić p =w m , nie jest: − -Wolałbym proponuje żeby wierszu 6można i=można 7lim wpisując wzory inaczej przedstawić ułamek, lim ∑ i wszędzie dF →0 dF equa- dF →0 dF d P k T d M uction 1. Rozdział 1. 1: Rozdział Introduction 1: Introduction Equation (19) will now correspond to the Schrödinger mech = − J na na Ariel. Ariel. ał 1: Introductionjest: p = dP = lim dM ,m , te zapisywać lim zapisu kwantowych. Sugerowałem żeby liczby yotyczy w wierszu 6wiliczb 7wierszu wpisując inaczej przedstawić ułamek, tion [10] in p jest: nowy zapis: ,= m -written proponuje -0Rozdział proponuje żeby w wierszu żeby w 6pwierszu i==7lim wpisując 6P i, dF 7mwzory wpisując wzory inaczej przedstawić ułamek, ułamek, =inaczej dułamek, d, Mprzedstawić dF dF dF →0 dF dF lim ponuje żeby 6 i wzory 7 wpisując wzory inaczej przedstawić lim lim 1.→z-direction: 1: Introduction dF 00 dFpracy. dF →0where dF dF→ → dF → 0 k is the Boltzmann constant, T is temperature. The probOnyx idtaką dla tych liczb używałem w przesłanej do Pani P czcionkę d M dP p, = dRozdział M dIntroduction PSlim dP dM 6 i 7dwpisując M = lim = zapis: ,m nowy ,2: żeby wierszu wzory inaczej przedstawić ułamek, m = M dF dw dF lim 1. Rozdział 1: Introduction lim = lim mw =1. , te .(20) space actions (Rozdział − ωdSP, -)pproponuje S=ˆ zk1: Φ =zapis: U o korekty pracy liczby większości zapisane są Ariel nie, m = abilistic 2. Classical description pkczcionką = lim =dF dF →jest: 0 dF p jest: jest: ,Φm , dm , lim , dM dF →0 dF p0 == lim P(ale dF concerns the atoms where interatomic lim lim lim lim 0 z k nowy dF → dF →0 dF dF dF →0→dF couple dF → 0 dF → 0 dF → 0 dF → 0 dF → 0 dF → 0 dF dF dF dF ω ≈ ω couple , d P are almost equal: , and then we write: P ≈ P d M proponuje proponuje żeby żeby w w wierszu wierszu 6 i 6 7 i wpisując 7 wpisując wzory wzory inaczej inaczej przedstawić przedstawić ułamek, ułamek, łbym Onyx ale jak nie można (?) to proszę ujednolicić i wszędzie poprawić k k ,m =Rozdział = dP pdF d,Mmdescription dF dziesiątym wierszu należy, usunąć: jest powtórzone z wiersza - wdˆM l , lcouple ≠ ,k , (gdyż lim lim p = couple m = jest: wy zapis: = P = d dF dF 2: Classical ˆ lim lim lim lim U pcomply The operators and with the . Now we can write the average values of the M 2. Rozdział 2: Classical description nowy zapis: nowy ,conditions =zapis: m M =dF M dPp =dF dP dm dΩdF dF≈ Ω k dF → dF → d=0Plim ddF P ,commud0M lim lim lim S ˆ SUˆ S − Uˆ Snależy ˆdziewiątego). dF → 0 jest: dF= → 0 , (gdyż dF,→m 0,jest dF → 0 Cosserat p = p m = = , , jest: tation: . parameters in a canonicalz distribution: M M = 0 w dziesiątym wierszu usunąć: powtórzone z wiersza -2:description , l l ≠ k lim lim lim lim k k k k Classical description wierszu należy usunąć: wiersza - w dziesiątym l , l ≠ k , (gdyż jest powtórzone dF 0→ 0 d dFm →dF 0→ 0 dF dM dF nowy zapis: ,spin dF dF p dF=→lim P dF =dF lim zu należy usunąć: , (gdyż jest powtórzone z wiersza , l l ≠ k We find the quantum value of the precession energy of 3. Rozdział 3: Quantum description 2. Rozdział 2. 2: Rozdział Classical 2: Classical description description Introduction mech = J ątym wierszu należy usunąć: l , l ≠ k , (gdyż jest powtórzone z0 wiersza dF → dF → 0 dziewiątego). dziewiątego). couple the as dziesiątym before, and finally we obtain: nowy nowy zapis: zapis: , lm pusunąć: =pnależy = lim =, llim =≠jest M dułamek, dF dMdF dF S lim lim uje żeby w in wierszu 6 i 7way wpisując wzory inaczej przedstawić M =z wiersza Mofcouple Πmoment = Ω kcouple dziesiątym w należy wierszu (gdyż (gdyż powtórzone wiersza - wsame - 2. lP,dusunąć: lPdF ≠wzorem k, ,m k0 →d,jest: -wierszu w pierwszym wierszu (11) operator the Mˆ jest Mˆ JS BJ ,(31) go). ∑ kk ispowtórzone kz Rozdział 2: Classical description dF → dF 0 →pod 0 dF →dF 0 Rozdział 3: Quantum description Dr hab. inż. Marek Sikoń Kraków k03. 06. 2016 3. Rozdział 3: Quantum description m3:description mech = −J dP dM S S Quantum S dziewiątego). wierszu należy usunąć: ma powtórzone z wierszaM -,kw=dziesiątym l , l być: ≠ k , (gdyż p = lim description est: , m = lim 2.dziewiątego). Rozdział Rozdział 2: Classical Classical description description S S ˆ SS isjest U − 2: ω of mech ˆ ˆ operator of the the moment moment ˆ 2. ˆ M z S .(21) ˆ -szym wpodpierwszym wzorem (11) jest: is operator of the moment M M zu wzorem jest: is operator the moment M dF →0 dF(11)wierszu dF →M 0 dFpod k w pierwszym wierszu pod wzorem (11) jest: is operator of M Mˆ kkS . ˆ is operator of the moment ˆ k k k mech = J wierszu pod wzorem (11) jest: M M 3. Rozdział 3. 3: Rozdział 3: Quantum description description w-ddziewiątego). w dziesiątym dziesiątym wierszu wierszu należy należy usunąć: usunąć: , (gdyż jestjest powtórzone powtórzone z wiersza z wiersza - Quantum l , ll ,≠l do k≠,artykułu: k(gdyż Poprawki “Physical interpretation of couple the Cosserat mechanics for couple couple S S S pis: p = lim dP , mthe =Mˆlim M dFbyć: dF ΩofSby S S U = U Π = ω JS B ma isbyć: operator the S and ˆk. is operator ˆ a collection of atoms”. - motion, jest: imoment ω yS być: −of jto ωMsolutions Adding orbital analogy (17) ˆ isk = ∑ k) k k z J ( S S S S M ma of the moment . M ma być: is operator of the moment M M xM ma operator the moment . M ˆ isof ˆ ˆ kˆ kof the M k . ,(32) k jest: (11) koperator w pierwszym w pierwszym wierszu pod wierszu wzorem pod (11) wzorem jest: is operator the moment moment M M M 3. Rozdział 3: Quantum description dziewiątego). dziewiątego). k k k k mech = − J S (21), we can formulate the total atomic moment action and total lassical description S Ogólna uwaga dotyczy Szapisu liczb kwantowych. Sugerowałem żeby liczby teSzapisywać S S S S S ) S S3. = )(jest: iω S −Ωjωenergy S momentS M S (11) jest: S M 3. Rozdział Rozdział 3: 3: Quantum Quantum ma −description jωxSbyć: jest: Ω =Ω ˆ bold). (−iωjωdescription )k , ( ΩMma of in thebyć: following pierwszym pod wzorem isczcionkę operator of the = ( iω −precession jω ( iωSk =wierszu )ma y zx wiersza czcionką (font) i koperator takąthe dla liczb w przesłanej M M k . ˆdok Pani pracy. k powtórzone y form: być: is operator isˆof moment oftych the moment Mˆ kOnyx m- wierszu należy usunąć: (gdyż jest l ,xl )≠k k--,w k y mech =używałem Jk . k k S W otrzymanej do korekty pracy liczby te w większości zapisane są czcionką (ale nie −Ωjω= ) i,ω(SΩ− bold). S S Sˆ Ariel S couple couple ˆM ˆ is S ,(33) jω SS ) , ( Ω Sbold). S operator -w - Sw pierwszym pierwszym pod pod wzorem (11) (11) jest: jest: ismoment operator of the the moment moment M M ( Joperator =of Π =M ˆiJM S wierszu S wzorem S S trzeci S S wiersz S wierszu S Swzorem couple couple pod (12) jest: Based on operator (12) kˆ the k is k BJ k . poprawić wszędzie). Wolałbym Onyx ale (?) to J proszę ujednolicić wszędzie ∑ k jak nie można k moment ma być: of the M ma być: = i ω − j ω , ( bold). Ω Ω k k jest: -M jest: = ω −k(12) jω( x )ky ,(22) mech ma być: = ( iΩ ω yk =the − ω (operator Ω- Based Ω (jimoment (x imoment )ωkkbold). x ) )−onk=,kjthe y k xy Ω k zorem (12) jest: na Ariel. mech = −J uantum description S S Sˆ the S iersz pod wzorem (12) on jest: Based operator (12) k ma być: ˆon Based moment operator (11). M M ma ma być: być: is operator is operator of of the the moment moment . S S S M M k k . k k być:wzorem Based on the moment operator (11). S --jest: SΩ S= (Siω S − jω S ˆon ˆ bold). trzeci wiersz pod wzorem (12) jest:operator the moment operator (12) couple couple kmoment yof x )(11). m- wierszu pod (11) is the moment M M ma być: Based operator 1.Based Rozdział 1:on Introduction trzecimawiersz wzorem jest: on moment (12) mapod być: ma =być: i(12) ω−the −operator j= ω i)Based ω , ( − j ω bold). , ( Ωjest: Ω Ω Ω kthe ) ( ) U = mech ,(23) mech = J wzór mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1 , J k -( y(ω(24) k x jest: y x k z kS k S S S h) jest: = −J ,mech −J + 1,..., −1,..., 1, J-0,..., mech - proponuje couple żeby w wierszu 6 i 7 wpisując wzory inaczej przedstawić J ułamek, jest: - jest: =iωiSω−of j−ωjxSω S ma Based on the moment operator (11). = −J0,..., , −JJ+ma Jˆ Ω −ma 1isΩ ,kJ= ) Smoment S moment k( ( ySBased y the xk ) kthe cos ϕ−operator BJ ,(34) Π= być: on operator (11). Mjest: być: operator .Ωbyć: M dP ∑ dM k1, J . = k− ma być: = i ω − j ω , ( bold). Ω ( ) ma być: mech = − J J + 1,..., 0,..., J trzeci wiersz trzeci pod wiersz wzorem pod (12) wzorem jest: Based (12) on Based the moment on the moment (12) operator (12) couple y x k jest: p = lim , m = lim , .iω couple − jω couple )k , = −J ,mech −J + 1,..., 0,..., J+−1,..., 1,=J (0,..., ( ) ( ) 1 1 J J + J J + Ω where: mech = − J ahSbyć: . = − J , − J J − 1, J dF dF wzór (24) jest: mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1 , J k y x S Sk 0,..., SJ − 1 jest: mechquantum =ma Jbyć: ,− Jwzorem + 1,..., ,)and JxS ,) (być: ωt:wzór − jωJ S(24) być: =k(=ipod ω ω−być: j−ωjxSω bold). bold). Ω Ω Ω )jest: ma Based ma the Based moment on the operator moment operator (11). ( iySmech nowy zapis: ,m p quantum = moment = lim dM dF dFIntroducing and theand totalJ atomic number. lim dP(11). k Introducing ywzorem -−ma pod (24) jest: is total atomic number. J,Ω(on -atomic trzeci wiersz jest: Based on the operator (12) k k(12) em (24) is is the total quantum number. Introducing ma być: . = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1, J couple S S 2. Rozdział 2: Classical description ma być: . where: ,(24) mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1, J wzór (24) wzór jest: (24) jest: mech = − mech J , − J + = 1,..., J , 0,..., − J + J 1,..., − 1 , 0,..., J J − 1 , J couple = ℏ J J J = + 1 ℏ mech and couple = (Jiω − j ω , ( bold). Ω ( ) ma być: (11). ) J k = ℏ J ( Jk +-1)trzeci -and trzeci wiersz wiersz pod pod wzorem wzorem (12) jest: jest: Based on on thewierszu moment moment operator operator (12) (12) k = ℏmech J(12) J (Based Jtotal Jthe = ℏusunąć: +- w1dziesiątym mech and ) atomic należy l , l ≠ k , (gdyż jest powtórzone z wiersza k = k quantum - podJ kwzorem (24) jest: and number. Introducing J ℏis the dziewiątego). pod wzorem (24) jest: and is the total atomic quantum number. Introducing J ma być: ma być: . . mech = − mech J , − J + = 1,..., − J , 0,..., − J + J 1,..., − 1, 0,..., J J − 1, J wzór (24) jest: mech =Introducing , ma −być: J +być: 1,..., 0,..., −11)the , moment J moment yć: is total quantum number. Introducing ma Based Based operator operator (11). (11). podJwzorem (12) jest: on the moment operator (12) (JJ3:on Jtotal atomic Jon +the and is theBased totalatomic atomic quantum number. mathe być: the total quantum number. Introducing J atomic quantum k3.=Rozdział 2J + 1Introducing Quantum ω zcouple 2couple 1= ℏmech J +description ω zcouple 1 ma(11). być: the number. J= is J ℏ J J J + 1 and couple ( ) ma być: Based on the moment operator couple k k B = − ctgh ctgh wzór wzór (24) (24) jest: jest: mech mech = − = J − , J − , J − + J 1,..., + 1,..., 0,..., 0,..., J − J 1 − , J 1 , J ˆ ˆ the andtotal atomic the atomic quantum Introducing number. Introducing J1jest: Jtheisquantum J k J=k =ℏ J -J( Jpod == ℏmech .(24) (JJ++1=)1wzorem and we obtain forbyć: 1, - w pierwszym pod wzorem(11) jest: M is operatorof the moment M wierszu.couple Jnumber. k +J ℏjest: Jma(,and J[11], = ℏtotal mechquantum 2kT ) isand ℏ)and J -(JJJpod J kcouple =+ℏmech 1(24) and . Jk )k1wzorem k + 1,..., T 2 J 2 k 2 J t: mech = mula −J , −Jfor 0,..., J − , J J = ℏ J J J = + 1 ℏmech ˆ and . (and )−Jcouple polar rotation ofma the atom: ma być: MIntroducing is operator of the moment M . couple ma być: total atomic ma być: być: .J= .ℏk mech number. mech mech = − =and J1ℏ −), J−and JJthe 1,..., +Jthe 1,..., 0,..., 0,..., Jatomic 1,−J1,quantum al description - pod wzorem (24) jest: total quantum number. Introducing J,JJk−is(+is J = ℏ J J J = = J + + 1 ℏ mech ( ) 4: Statistical description k k k k ć: mech = −J , −J + 1,..., J −J1, Jis. the total atomic quantum number. ma0,..., być: - jest: ΩIntroducing = ( iω − jω ) mech ozdziału, mech = −J ,mech −-couple Jpod 1,..., 1(24) , J(24) couple 4. Rozdział 4: Statistical description couple -+ pod wzorem jest: jest: and is the isℏJthe total total atomic atomic quantum quantum number. number. J J iersz tegojest: rozdziału, = −a J0,..., , −cos JJ+−1,..., 0,..., JIntroducing −.(25) 1, Jand J = J J + 1 and .theIntroducing ( ) is a function analogous toIntroducing Brillouin function [11]. r =wzorem J = ℏ + 1 and k ( ) 24) jest: and totalϕatomic quantum number. J is thejest: ma być: = (kiωJ k− Introducing jω= , mech ( Ωℏmech bold).Introducing Ω J )ℏ= k couple ma być: ma is być: the total is the total quantum atomic number. quantum number. J J katomic ma być: mech . = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1, J J = ℏ J + 1 J = ℏmech and . ( ) ( ) J J + 1 trzeci wiersz tego rozdziału, jest: mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1of , Jatoms couple couple k−J , −J + 1,..., 0,..., J − 1, J . k Using the concentration N (12) = NF=dF, we obtain ma być: mech =couple trzeci wiersz pod wzorem (12) jest: Based on the moment operator J k J= ℏ=isℏJthe JJ(+total J1+) 1and Jquantum ℏ=mech ℏma mech andJ k couple )atomic Jwpisać = ℏmech4:JStatistical description ( J + 1) and4. JRozdział kJ1 k = k =ℏ J k ma być: number. 8) proszę centralnie. być: Based onIntroducing the moment operator (11). = ℏ)ma J((być: J J+kcouple =the J = 1mech ℏmech ℏmech and and . . ) statistical couple moment, energy of precession, precession k = ℏ J (JJk + k 26), (27), (28) proszę wpisać centralnie. =jest: −Jmech , −J= −+J ,1,..., 0,..., J − 1, J . Rozdział 4:isStatistical description - wzór (24) −J + 1,..., 0,..., JJ− 1−, J1, J trzeci wiersz tego rozdziału, jest: mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J trzeba zamienić na J . być: ., (38) oraz wzór (39) i (42) ma być: the total atomic quantum number. Introducing J couple moment of momentum and angle of precession in the form: ma ma być: is the is the total total atomic atomic quantum quantum number. number. Introducing Introducing J J trzeba zamienić naJ Jk = . ℏ J ( J + 1) ma J description ach: (35),…., oraz wzór (39) (42) J k = − J= and być: mech , −Jℏmech + 1,..., 0,..., J .− 1, J . 4.(38) Rozdział 4.rozdziału, 4: Rozdział Statistical 4: Statistical description - iwzory: (27), (28) proszę wpisać centralnie. - trzeci wiersz tego mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1 , J couplejest:(26), 4. Statistical description J is the0,..., total atomic quantum ma . number. Introducing J k = ℏ J ( J + 1) and J k = ℏmech . = −J(24) Jcouple −couple Jand + 1,..., couple. J. − 1, J couple Jdescription J=jest: = ℏ−Jbyć: J,Jjest: = 1-++pod 1(39) ℏmech and (+JJmech )=1,..., )wzorem - trzeci wiersz - 4. trzeci rozdziału, rozdziału, jest: mech =oraz mech J(,JJ−wzór − Jand ,0,..., −iJ(42) −=J1J ,=ℏmech 0,..., Jtrzeba J −and 1=, JN k(38) k ℏ k+ k1,..., na JJ B. J ,(35) -tego wewiersz wzorach: (35),…., Rozdział 4:tego Statistical ℏm J ( J + 1) zamienić J Ω = ℏkmech ma być: . mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1, J atistical description - wzory: (26), (27),of(28) proszę wpisać centralnie. k = 1 , 2 , 3 ,..., N We describe the probabilistic space as a set atoms ma być: J is the total atomic quantum number. Introducing F ma być: ma być: . ,J mech = jest: −mech J , −mech J +=1,..., −J=,0,..., −J ,+−J1,..., 0,..., J . couple J − 1,J J− 1 -Jtrzeci wiersz tego rozdziału, J−+1,1,..., 0,..., 4. 4. Rozdział Rozdział 4: 4: Statistical Statistical description description rozdziału, mech = area −proszę −dF. J+ 1,..., 0,..., J(35),…., −the 1, Jmechanical - tego wzory: (26), (27), (28) wpisać centralnie. in thejest: elementary The set of quantum na JJ.B. J ,(36) - ,we wzorach: (38) oraz wzór (39) i (42) J J trzeba NJω z=couple =U ℏ J ( J +zamienić 1)=and ℏmech -= trzeci wiersz wiersz tego rozdziału, jest: jest: mech mech = −=J−, J−,J−+J1,..., + 1,..., 0,..., 0,..., J −J1−, J11,, J . - wzory: (26), - wzory: (26), (28) (27), proszę (28) wpisać centralnie. ma być: ma być: mech −-(27), Jtrzeci , −Joraz + 1,..., 0,..., Jtego − 1, Jrozdziału, numbers comprises random 4.zamienić Rozdział 4: Statistical trzeba na Jdescription . Jwpisać we wzorach: (35),…., (38) wzór (39) i.proszę (42)centralnie. couple - trzeci wiersz tego rozdziału, jest: mech couple −J ,= − J J − 1, J numbers. Thecentralnie. events are(27), defined , Umech M JJcouple JJ. B.0,..., J, centralnie. trzeba na zamienić .−J=1, na - we wzorach: -elementary we-(35),…., wzorach: (38) (35),…., oraz wzór (38)as:ma oraz (39) ibyć: (42) i (42) ma być: .J+ 1,..., mech = −=J−, J−zamienić ,JJ −+Jtrzeba 1,..., + 1,..., 0,..., 0,..., −J1, (27), (28) proszę wpisać k (39) k wzór wzory: (26), (28) proszę wpisać J ,(37) couple couple couple ma być: mech = −J , −J + 1,..., 0,..., J − 1, J . ω k oraz , ϕwzór ,(39) andi J(42) .JWe writezamienić the random variables: k trzeba naproszę J(38) . oraz (35),…., (38) - wzory: (27), (28) wpisaćzamienić centralnie. J proszę trzeba na J . - kwe wzorach: (35),…., wzór (39)(26), i (42) - wzory: wzory: (26), (26), (27), (27), (28) (28) proszę wpisać wpisać centralnie. centralnie. couple (38) ϕ arccos BJ .. - we wzorach: (35),…., (38) oraz wzór= (39) i (42) J trzeba zamienić na couple couple trzeba zamienić zamienić nana J (.J + . 1) - we wzorach: (35),…., (38) (38) oraz oraz wzór wzór (39) (39) i (42) i (42)J Jtrzeba ,(26) M- kwe =wzorach: Ω k (35),…., mech dF → 0 dF → 0 dF → 0 S k S k dF → 0 ( ) S k S dFk → 0 dF → 0 x k y Sx k x k S k S k S k S k k y x k S k S k S k dF →0 y x y k dF →0 dF → 0 x dF → 0 k S k S k S S k S y S k x k S S y x k couple k k k ( ) U couple = − ω zcouple mech ,(27) k J couple = mech , k (28) S k S k couple k The statistical couple moment m couple and the angle of precession ϕ couple correspond to the vector of the moment stress and the polar rotation ϕ couple introduced in Cosserat mechanics. m couple 335 Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016 Brought to you by | Gdansk University of Technology Authenticated Download Date | 6/23/16 9:03 AM - w pierwszym wierszu pod wzorem (42) jest: J = escription 2 Kraków 03.Kraków 06. 2016 03. 06. 2016 terpretation należy usunąć:of , (gdyż jestmechanics powtórzone zfor wiersza l , lthe ≠ k Cosserat 1 Kraków 03. 06. 2016 ma być: J = . erpretation of the Cosserat mechanics for description 2 Kraków Kraków 03.03. 06.06. 2016 2016 M. Sikoń ˆ ˆ pod wzorem (11) jest: M is operator of the moment M bretation kwantowych. Sugerowałem liczby te03. zapisywać he Cosserat of themechanics Cosserat mechanics for żebyKraków for 06. 2016 ˆ is operator of the moment M S . ma być: M k pracy. kę dla tychof liczb w przesłanej do Pani ℏ 2J + 1 ωzcouple rpretation the używałem Cosserat mechanics ω for < < 1te hyperbolic couple = 1 In room temperature,żeby when liczby <<1, cotangent kwantowych. Sugerowałem zapisywać lim ctgh wzór (48) jest: kT ω couple couple ω ℏ zby te wof większości zapisane są czcionką (ale nie only retation rpretation of the Cosserat Cosserat mechanics mechanics for Ariel >1 U T <1K , z in B function takes the form offor a power series. Leaving =2 N kzT ,(55) J the ę dla tych liczb używałem w przesłanej do Pani pracy. kT 2 S można the firstżeby two terms, we nie (?) to proszę poprawić Sugerowałem antowych. Sugerowałem liczbyujednolicić żeby te obtain: zapisywać liczbyitewszędzie zapisywać jpretation ω bold). )te, (wΩwiększości couple of the Cosserat mechanics for Ariel zby zapisane są czcionką (ale nie 2 2 couple 2J + 1 ω ℏ brem aużywałem tych liczb w używałem przesłanej wcouple do przesłanej pracy. do Pani ω (1ω)zcouple (zpracy. )) ω zcouple kwantowych. Sugerowałem żeby liczby couple 2Pani couple lim ctghJcouple = N z ,(56) jest: (?) Based on the moment ma być: = 1. (+Jte1+)zapisywać =ujednolicić Ncouple Ω U U =operator N = N2 Ji(2(12) Jwszędzie ,(39) nie (12) można tom proszę poprawić ωzcouple ℏ 2 k T 2 ≫1 T <1K , zości te w tych większości zapisane są zapisane czcionką są czcionką (ale nie Ariel ma być: Based on the moment operator (11). 3kkT3Tpracy. knie T dla liczb używałem wAriel przesłanej do Pani 3(ale kwantowych. antowych. Sugerowałem Sugerowałem żeby żeby liczby liczby te te zapisywać zapisywać kT 2 (ale nie =można −te J ,tych − J większości +(?) 1,..., J −zapisane 1, Jujednolicić couple to proszę ujednolicić to0,..., proszę i wszędzie ipoprawić wszędzie poprawić ωzcouple ℏ by w są czcionką Ariel la dla tych liczb liczb używałem używałem w w przesłanej przesłanej do do Pani Pani pracy. pracy. 5większości” 4,7 o ( ) ωtez zapisywać ≫ 1 , w miejsce zn (w oznaczeniu granicy znak „silnej wantowych. Sugerowałem żeby liczby couple 2 couple kT ) Ariel = N przedstawić J (J +i 1wszędzie ,(40) ϕ = .(57) =ie Ji ,7−Jwpisując + 1,..., 0,..., J −U1, J .inaczej 6−te wzory ułamek, można (?) to proszę ujednolicić poprawić o by te w w większości większości zapisane zapisane są są czcionką czcionką Ariel (ale (ale nie nie 3kPani T pracy. 125ℏ,3 dla tych liczb używałem w przesłanej do and J is the total atomic quantum number. Introducing ωzcouple d M ie można można (?) (?) to to proszę proszę ujednolicić ujednolicić i wszędzie i wszędzie poprawić poprawić couple lim ctgh - wzór (49), jest: y6J te w większości zapisane są czcionką Ariel (ale nie =1 couple couple i= 7 wpisując wzory inaczej przedstawić ułamek, m , ω ω ℏ lim couple 2 z J ( J + 1) and J Jk == ℏmech z k T k =ℏ 1 , 1 < > T K ,(41) N J (J + 1) dF →0 dF kT e można (?) to proszę ujednolicić i wszędzie dtotal M atomic 3kT poprawić 5. Polarization of the couple atoms in a mechanical field ć: is the quantum number. Introducing J 7wzory wpisując wzory inaczej przedstawić ułamek, ułamek, 2 2 m ,= m =inaczej F d, Mprzedstawić dF lim lim ωz ℏ couple couple couple dF →0 dF couple dF → 0 (ωω(ω ) ) lim ctgh 1 =dM ℏ J ( J + 1wzory Jinaczej =couple ℏmech . 2 ) and ma być: i J7k wpisując k of=the the macroscopic vector moment of momentum U couple U =przedstawić N = N2J (J (+J1+)ułamek, 1) zz z .(42) We define ϕ couple = arccos ω couple ℏ k T , dM dF ≫1 T <1K , z n, m = lim Fdescription lim 33k3TkT kT dF in the form: on the surface → 7dFi wpisując 70 wpisując wzory inaczej inaczej przedstawić przedstawić ułamek, ułamek, dFddFM→0 wzory 11 = limjest: sunąć: (gdyż powtórzone l , l mech ≠,Ink ,the działu, = −particular J , −Jjest + 1,..., 0,...,when J − 1, JJ ==z wiersza case formulas (39), (tak …, (41) samo jak poprzednio proszę poprawić znak „większości” na znak „ → 0M dF d d M ni 7dF M m =dFwpisując M d dF 22ułamek, lim 1 NF wzory inaczej przedstawić we write: = , , dF → 0 ma być: . mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1, J lim lim J =poprawić J kJ. na J . (58) - we wzorach (50),…,(53) proszę ∑ → dF0 = →dF 0lim unąć: ld,dF l ≠dkM, (gdyż ,dFm dF jest powtórzone z wiersza couple d F M k = 1 ω proszę wpisać centralnie. couple 2 couple dF → 0 z on 1 ,(43) m = N Ω lim ,= m m = =0 lim dM d, M dFdF J = lim w pierwszym wierszu pod wzorem (53) jest: zamienić na 4Jk. T Jz trzeba (38) oraz wzór (39) i Sjest (42) powtórzone dF → dF S (gdyż ć: jest , powtórzone (gdyż wiersza z wiersza , l l ≠ k When the system of the atoms k = 1, 2,23, …, NF is not → dF0 →jest: 0 rem dF (11) Mˆ k is operator of the moment Mˆ k on 2 1 couple loaded, the vectors of the atomic moment of momentum Jk are m = M d dF nąć: , (gdyż jest powtórzone z wiersza lim , l l ≠ k ) ,(44) - w pierwszym pod wzorem jest:ˆ JSS = couple 2 (ω z (42) 1 dF → 0 ˆ SSwierszu = N U oriented in space in a completely M ma być: . em (11) jest: is operator of the moment M M 2 ma disordered być: J = way. and the total 1 kk jest kk nąć: ć: l , l ,≠l-k≠w,k(gdyż ,pierwszym (gdyż jest powtórzone powtórzone z wiersza z wiersza 4 k T macroscopic moment of momentum is equal to wierszu pod wzorem (42)S jest: J = 2 zero J = 0. At 1 S S ˆ S is operator of ˆ S moment SM 2 couple M ˆ ˆ ˆ the time of application of the external load, the macroscopic ma być: the . M n couple (11) is jest: operator is of operator the moment of the moment M M M J = k ma być: . k nąć: jest powtórzone z zwiersza l , l ≠ k , k(gdyż k k2ω k ℏΩ couple couple couple J vector J increases from zero to the value as on formula ,(45) J = N 2 wzór (54) jest: m = N S S 1 ˆ nˆmSbold). S moment (11) jest: is operator ofM the 1 J = . (37) and is set in a direction ˆ SMˆis 4kT M SM k operator k być: ma 2 Ω perpendicular to the average direcma is być: operator of the moment of the moment . . M M k k -k w pierwszym Sˆ S wierszu pod wzorem (42) jest: Sˆ S J = 2 ˆkM ˆM couple S Sis is couple m (11) (11) jest: jest: operator operator of of the the moment moment tion of the interatomic action. This process lasts for the time T, M M ˆ 2 k k k k ℏΩ maBased być: on operator of the moment M ktheismoment 3(12) ω z coupleM k . couple couple operator jest: bold). ma być: ( bold). m = N Ω 2 J + 1 ω ℏ arccos ϕ = described by the formula: .(46) z Sˆ SS = 1 1 Sˆ SS lim - ma wzór (48)Mˆon jest: 2 m (11) jest: ismoment operator of moment M M 6(11). 3kM Tbyć: ma być: być: ofctgh thethe moment kkis operator być: Based operator k .kk couple k the J. =ℏ . ma ωzcouple ℏ 2 k T couple 2 J + 1 ω 1 , 1 < > T K est: Based on the moment operator (12) z ld). d Jjest: k T 2 low temperature and very strong Smechanical - pierwszy k−=J 1, 2,3,...N F S lim ctgh = 1inter- wiersz pod wzorem J(58) -być: wzór jest: + 1,..., 0,..., JIn −ˆ(48) 1very , J .(59) M = ma is operator of the moment . M couple k k ω ℏ z być: Based on the moment (11). 2 k T actions between the (in range), where couple ,operator 1 elastic > T <1Katoms bold). d t T ℏ kT 2J + 1 ω Based moment on Jthe operator (12) operator ma być: k = 1, 2,3,..., N F . z +he 1,..., 0,..., −11,moment J . lim couple ctgh ω(12) = 1. ma być: 1,..., 0,..., J − , J couple couple couple zJ +1 ω bold). ld). ω ℏ 2 ℏ z 2 2>Jz>kT he Based moment on the operator moment st: Based on the moment (12) Solving (59), [11], write theułamka dependence of TkToperator <≫number. 1operator +1,(47) 1 ω z= 1 -ℏ we 1K , T <1K , (11). wzsorze (60) znak equation minus zlewa sięwe zecan znakiem w funkcji exp total(48) atomic quantum lim ctgh (11). -he wzór jest: lim ctgh = 1. kIntroducing T ma . być: 1,..., 0,..., J − 1, J couple the macroscopic moment of momentum on the time: ω ℏ couple z 2 k T .,st: JBased 0,..., J on − 1on , Jthe yć: Based moment (11). ℏ (12) couple bold). 1 ωz >operator T <1K , the moment operator (12) 2 k T ω ℏ couple umieścić między znakiem minus a ułamkiem, tak jak poniżej: ≫1 T <1K , większości” z ≫ 1„odstęp” we obtain: granicy znak „silnej , w miejsce znaku większości) Jtotal J kquantum = ℏkTmech +(w 1) oznaczeniu kT and (Based kT he atomic number. Introducing t 1,..., 0,..., J − 1 , J yć: Based on on the the moment moment operator operator (11). (11). . . ., J 0,..., J − 1, J couple − st: Based on the moment operator ωzcouple ℏ couple 2znak J(12) +ω1couple ω ℏ T Introducing couple ≫ 1 , w miejsce J (w oznaczeniu granicy „silnej znaku większości) z ℏ większości” t = J 1 − e . ( ) e total atomic quantum number. k T .(60) (48) ctghIntroducing = 1,. J-0,..., J,JkJjest: =lim +0,..., 1)Jma ℏnumber. mech and z − 1−,być: 1 Jthe (.,quantum .moment 1,..., J(49), 1, otal atomic number. quantum Introducing couple lim ctgh = 1 ć: Based on operator (11). wzór ωz ℏ couple 2 k T couple T <1K , kT ω ℏ ωz≫1 ℏ 1kKT ,ℏmech > 1 . T <= J1total J0,..., J=. kcouple +atomic 1mech ouple couple .Jquantum )JJwzór 1,..., .,total 0,..., 1, − number. Introducing kT −and 1J1,,quantum number. Introducing w wierszu When a Cosserat8-mym: medium is subjected to mechanical loads, lim ctgh z 1ωcouple ℏ 95, zdanie = +e,..., ℏJatomic ℏ mech and -J− (49), jest: )(0,..., k -=strona z ωzcouple ℏ k T ≫ 1 , w the (w oznaczeniu granicy znak „silnej miejsce znaku większości) couple > 1 couplewiększości” T <1K , Introducing polarization of the macroscopic moment of momentum J couple eJotal total atomic atomic quantum quantum number. number. Introducing k T on J and − J1,kJJ.k = ℏ= 1)+ 1and mechℏmech J...,+(atomic J0,..., . kT ωz ℏ = 1,(49) occurs. This polarization can be characterized by the statistical )number. al uantum quantum Introducing number. Introducing lim ctgh ma być: couple couple in the above analysis, the general phenomenon which can ωzcouple ℏ st: J, − 1,..., 0,..., J −Introducing 1,JωkzT ω ℏcouple ℏ As was shown total J−couple =Jℏ=+ +Jotal 1+mech 1and mech andJ=kcouple ) atomic ≫1 <1mech Tℏ K , number. angle of precession ϕ couple written in formula (38). During this k quantum number. Introducing z =1 lim ctgh kT . -+)wzór (49), jest: Jon J kcouple = Jquantum = 1)atomic ℏmech ℏmech and . lim ctgh = 1 kcouplema być:ωzcouple ℏ couple at the scale ofenergy: the electron/nucleon distances is the pre Cosserat mechanics process the mechanical ć:+mech . kT kT znak mech =quantum −quantum Jjak ,couple −JJ=poprzednio +ℏnumber. J poprawić 1J <1K , 0,..., >ω T1,..., z −ℏ1, ≫ ,J 1 Jt: J 1 mech and ) al otal atomic atomic number. Introducing (tak samo proszę „większości” na znak „silnej większości”). = − J , − + 1,..., 0,..., − 1 , J kTT<1K Introducing k J J = + 1 ℏmech and . k T ( ) and formulas (35–38) take the following forms: electrons/nucleons shell under the action of the mechanical field. k wpisać centralnie. couple couple couple -otal we wzorach (50),…,(53) proszę poprawić J na J .znak „większości” na znak (t ) = −większości”). U couple ω couple ⋅ J (t ),(61) ć: .couple mech = − J , − J + 1,..., 0,..., J − 1, J (tak samo jak poprzednio proszę poprawić „silnej ω ℏ atomic quantum number. Introducing J J J J = = + 1 + 1 ℏmech ℏmech and and . . ( ) ) z couple k k mech J + 1,..., =(39) −J0,..., , i−(42) Jbyć: J+ 1,..., − 1J, Jtrzeba 0,..., 1=, JNΩ na J ,(50) n−wzór lim ctgh ma m J− zamienić kT poprawić . = 1 ωzcouple ℏ couple T <1(50),…,(53) we wzorach proszę . J1 na J poprawić pisać centralnie. ≫ , 1 K na: until the macroscopic moment of momentum J reach−, − J J,J−kJ+Jwierszu Jwzorem decreases Jw+pierwszym =J0,..., 11,..., ℏmech . −J1,. J (53) jest: J = proszę n-−(mech . 0,..., mech =) −=and J0,..., 1,..., −+1,1,..., 1, kpod TJ − couple couple 2 1 U Jzamienić = es a value J couple corresponding to the new state of equilibrium. J1,..., trzeba na J ,(51) . wzór i, −(42) mech =- samo − 0,..., 1−pod ,N 1 J,JJωwzorem (tak(39) znak na znak „silnej większości”). . zpoprawić =J−pierwszym J ,Jjak −+J 1,..., +poprzednio 0,..., −Jproszę 1, J = w wierszu (53) jest:„większości” e.ćmech centralnie. 1 2 couple -isać we wzorach J naJ = J. . mech mech =i=−=(42) J−−,JJ−zamienić 1,..., 1,..., 0,..., 0,..., J1,, na Jpoprawić . J ,(52) trzeba na zamienić .J−J 1, . ma być: J centralnie. JJ+J trzeba JJproszę ór )mech (39) ,,J−−(50),…,(53) ++1,..., 0,..., −−1= J.N 2 1 1 trzeba zamienić na . J J wzór (39) i (42) J = . 6. Conclusion ma być: ać isać centralnie. centralnie. couple couple . = −J , −Jwierszu + 1,..., 0,..., J − 1, J J = -mech w pierwszym pod wzorem (53) jest: ,(53) ϕ =ℏarccos Ω 2 couple - wzór jest: mtrzeba =zamienić N 2 ( J Jtrzeba zamienić nanaJcouple .J + . 1) wzór ór (39) i(54) (42) i (42) Voigt could not explain the results of his experiments because sać(39) centralnie. 2 ℏΩ couple knowledge about the atom was not sufficient at that time 11 1 wzór (54) jest: m = N couple J == particular case when : zamienić na2 JJma . 2 być: zór (39) iNow, (42)forJ thetrzeba J= . ℏΩ couple (Thomson model). We also do not have such a description in 2 ma być: m ( Ω bold). =N 2 couple contemporary works of interatomic interactions, even though 2 ℏΩ couple ℏΩ=couple ,(54) the planetary model of the atom has been present in physics ma być: ( bold). N Ω couple m -- wzór (54) wiersz jest: mpod = N pierwszy wzorem (58) jest: k = 1, 2,3,...N F 2 2 - pierwszy wiersz pod wzorem (58)kjest: k = 1, 2,3,...N ma być: = 1, 2,3,..., NF . F ℏΩ couple couple 336 Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016 ma być: ( Ωmabold). mznak= minus N - we wzsorze (60) zebyć: znakiem wFfunkcji exponens, proszę więc . k = 1,ułamka 2,3,..., N 2zlewa się Brought to you by | Gdansk University of Technology między znakiem minus asię ułamkiem, tak jak poniżej: - we„odstęp” wzsorze (60) znak minus zlewa ze znakiem ułamka w funkcji exponens, proszę więc Authenticated -umieścić pierwszy wiersz pod wzorem (58) jest: k= 1, 2,3,...N F t Download Date | 6/23/16 9:03 AM − umieścić „odstęp” międzyma znakiem tak jak poniżej: couple minus T a ułamkiem, być: . S k S k k x k couple z S k Physical interpretation of the Cosserat mechanics for a collection of atoms since 1913. The planetary structure of the atom is not taken into account in the mechanical interactions in the first studies using quantum mechanics [10, 14], and is not taken into account in attempts to provide the mechanical stress and force at the quantum level [15]. As was shown in the above analysis, the general phenomenon which can explain the Cosserat mechanics by the scale electron/nucleon is the precession of the electron/nucleon shell in the field induced by mechanical change of the interatomic distance. The atom precession occurs as a result of the asymmetrical construction of the atom. For a set of atoms we can describe phenomena of the polarization of atoms. The results of the analysis in a different scale correspond to the basic of the condensed matter enunciated by P. W. Anderson [13]. The physical interpretation of the Cosserat mechanics (moment action, energy of precession, moment of momentum of precession and angle of precession) is derived on the basis of the electron/nucleon structure of the matter, the quantum properties of the matter and the Boltzmann distribution. This analysis can explain the results of the Voigt experiment, the rotation of the molecule introduced ad hoc in the micropolar elasticity and the polar properties of the materials introduced ad hoc in the nonsymmetrical elasticity. The quantum volume of the energy association with disturbance of the electron/nucleon in the field generated by mechanical action can become an inspiration to carry on experiments in resonance spectrometers EPR and NMR in order to confirm the above theory. Appendix. The average values of the cos ϕ kcouple for atoms k = 1, 2, 3, …, NF location on interaction area in canonical distribution Π take the following form: ω couplemech mech exp z kT mech J mech = −J .(A1) Π= mech = J ω zcouplemech J (J + 1) J (J + 1) ∑ exp kT mech = −J mech = J cosϕ kcouple = Expression ω zcouple kT mech = J ∑ mech = −J ∑ is a variable, so formula (A1) can be written as: cosϕ couple k mech = J ω zcouplemech J d = lln n ∑ exp .(A2) kT J (J + 1) ω zcouple mech = −J d kT The sum in (A2) takes the form: ω zcouplemech ω zcouple(− J ) ω zcouple[− (J − 1)] exp = exp + exp + ,... ∑ kT kT kT mech = −J ,(A3) couple 2 couple 2 ( ( ω zcouple ) couple 2 ωz ) couple couple 2 U ω = N(J (−J1+) 1) U ω=z NJ (J + 1) ..., + exp z 3kT 3kT + exp kT kT mech = J and after transformation: ω zcouplemech ω zcouple(− J ) ω zcouple + ,... = + exp exp 1 exp ∑ kT kT mech = −J kT 2 2 .(A4) ( ( ω zcouple ω zcouple ) couplecouple 2 couple) couple 2 ( ) U ω = N2J (−J1+ 1) U ω z = N2J (J + 1) ..., + exp z 3kT 3kT + exp kT kT mech = J Using the sum of a power series formula (A4) we write in the form: ω zcouple(2J + 1) 1 exp − mech = J kT ω zcouplemech ω zcouple(− J ) ,(A5) exp ∑ = exp couple k T k T ω mech = −J 1 − exp z kT 337 Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016 Brought to you by | Gdansk University of Technology Authenticated Download Date | 6/23/16 9:03 AM M. Sikoń and after transformation: ω zcouple(2J + 1) 1 exp − mech = J kT ω zcouplemech ω zcouple(− J ) .(A6) = exp exp ∑ couple kT kT ω mech = −J 1 − exp z kT Substituting (A6) to formula (A2) and counting derivative, we finally obtain: cosϕ couple k 2J + 1 2J + 1 ω zcouple 1 ω zcouple J − .(A7) = ctgh ctgh kT 2J J (J + 1) 2J 2 2 kT References [1] E. Cosserat and F.Cosserat, Théorie des corps déformables, A. Hermann, Paris 1909. [2] W. Voigt, Theoretishe Studien über die Elastizitätsverhältnisse der Kristalle, Abh. Ges.Wiss. Göttning, 43, 1887. [3] W. Nowacki., Theory of the nonsymmetrical elasticity, Polish Academy of Sciences, PWN, Warsaw 1981. [4] R. J. Boscovich, Philosophie naturalis, Venezia 1763. [5] C. L. Navier, Mémoire sur les lois de l’éqilibre mouvement des corps solides élastiques, Mém. Inst. Natl., 1824. [6] A. C. Eringen, Theory of micropolar elasticity, Princeton University, Princeton, New Jersey, 1967. [7] M. P. Allen, Introduction to molecular dynamics simulation, John von Neumann Inst. For Comput., vol. 23, 2004. [8] N. Bohr, Studies on the Electron Theory of Metals, University of Copenhagen, Copenhagen 1911. [9] J. H. Bartlett, Nuclear structure, Nature, 130, 165, 1932. [10] E. Schrödinger, Collected Papers on Wave Mechanics, Blackie, Glasgow, 1928. [11] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed. Jon Willey & Sons, Inc., New York 2005. [12] L. D. Landau J. M. Lifszyc, Statistical physics, PWN, 2011. [13] P. W. Anderson, Basic Notions of Condensed Matter Physics. Reading: Addison-Wesley, 1997, ISBN 0‒201‒32830‒5. [14] R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands, Feynman Lecture on Physics, Volume III, Reading, MA: Addison-Wesley, 1963. [15] O. H. Nielsen, R. M. Martin, Quantum-mechanical theory of stress and force, Physical Review B, Volume 32, Nr 6, 1985. [16] M. Sikoń, Analysis of the Cosserat medium on the basis of the atomic structure of the matter, Monograph, Publ. Cracow University of Technology, Cracow 2012. 338 Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016 Brought to you by | Gdansk University of Technology Authenticated Download Date | 6/23/16 9:03 AM