Download Physical interpretation of the Cosserat mechanics for a collection of

BULLETIN OF THE POLISH ACADEMY OF SCIENCES
TECHNICAL SCIENCES, Vol. 64, No. 2, 2016
DOI: 10.1515/bpasts-2016-0038
Physical interpretation of the Cosserat mechanics for
a collection of atoms
Dr hab. inż. Marek Sikoń
M. SIKOŃ*
Kraków 03. 06. 2016
Dr hab. inż. Marek
Sikoń
Kraków 03.
2016
Faculty
of Mechanics, Institute of Machine Design, Cracow University
of06.
Technology,
37 Jana Pawła II St., 31-866 Cracow
Poprawki do artykułu: “Physical interpretation of the Cosserat mechanics for
Poprawki
do
artykułu:
“Physical
interpretation
ofis the
Cosserat
a
collection
of atoms”.
Abstract. In this work, the Cosserat
medium
analyzed
as a mechanics
set of atoms.for
These atoms are under the action of a mechanical load. The statistical
analysis
is
preceded
by
a
description
of
a
single
atom
using
classical
mechanics and quantum mechanics. The behavior of the atoms in the field
a collection of atoms”.
generated by mechanical change
ofuwaga
the interatomic
is shown
as a phenomenon
which canżeby
explain
the Cosserat
mechanics in a continuum..
Ogólna
dotyczydistance
zapisu liczb
kwantowych.
Sugerowałem
liczby
te zapisywać
Ogólna
uwaga
dotyczy
zapisu
liczb
kwantowych.
żeby
te zapisywać
czcionką
(font)mechanical
OnyxSugerowałem
i takąquantum
czcionkę
dlaliczby
tych
liczb
używałem
przesłanejmatter.
do Pani pracy.
Key
words:
Cosserat
theory,
polar
atom,
number,
statistical
mechanics,wcondensed
czcionką (font) Onyx i taką czcionkę
dla tychdoliczb
używałem
w przesłanej
do Pani pracy.
W otrzymanej
korekty
pracy liczby
te w większości
zapisane są czcionką Ariel (ale nie
W otrzymanej do korekty pracy
liczby te Wolałbym
w większości
zapisane
czcionką
Ariel
nieujednolicić i wszędzie poprawić
wszędzie).
Onyx
ale jaksąnie
można (?)
to (ale
proszę
1. Introduction
2. Classical
wszędzie).
Wolałbym Onyx ale
nie można (?) to proszę ujednolicić i wszędzie
poprawićdescription
najak
Ariel.
na Ariel.
Cosserat mechanics [1] (1909) is inspired by the results of We analyze the set of atoms k =1, 2, 3, …N in the elementary
1. Rozdział 1: Introduction
experiments conducted by Voigt [2] in 1887. In Cosserat me- volume dV. In the first approximation, these atoms are analyzed
1. Rozdział 1: Introduction
- proponuje żeby w wierszu 6 i 7 wpisując wzory inaczej przedstawić ułamek,
chanics, we assume that the transmission of mechanical action as a set of balls (material points) [7] with vectors of position
- proponuje żeby w wierszu 6 i 7 wpisując wzory inaczej
dP przedstawić
dMo ułamek,
between two neighboring unit cells of jest:
the material
position) in the Cartesian coordinate system. These
p = lim by ,surface
m = lim rk (initial
,,
dP
dM
dF
o
dF →
→00 dF
dF →
→00 dF
element dFjest:
is held
by force, m
vector
vector dM.dF
balls are at a distance with value r=
rl o − rko . When we apply
p = lim
= limdP and
,, moment
kl
dF
→
00
dF
→
00 zapis: p =
nowy
,
P
m
=
M
d
dF
d
dF
dF
→
dF
→
dF
dF
lim
Independent of the vector of the force stress
, the lim
an0 external mechanical load to the set of atoms k =1, 2, 3, …N
dF →
dF
→ 00
dF →
→0
nowystress
zapis:vector
p = lim
P dF , m = lim dM dF .dFA solid
ddefined
couple
is
deforusing classical mechanics, we obtain for each atom k the resuldF
dF
→
description
dF →
→ 00 2. Rozdział 2:
dFClassical
→ 00
mation is described by a displacement vector u ( x, y, z ) and by tant force: P =−∑ ∇ U ( r ) , where: U (r kl ) is the diatomic potential
2. Rozdział 2: Classical description
, (gdyż jest powtórzone z wiersza
- w dziesiątym wierszu należy usunąć: l , l ≠
≠ kkthe
an independent vector of the polar rotation φ ( x, y, z ) [3]. The l , l of
distance between the atom k and successive atoms l, l ≠ k,
usunąć: ll ,, ll ≠
,
(gdyż
jest
powtórzone
z
wiersza
- w dziesiątym wierszu należydziewiątego).
k
≠ k through the theoretCosserat mechanics was elaborated mainly
∇ is the nabla operator. When we take into account the internal
dziewiątego).
3. Rozdział
Quantum
ical studies. So far we do
not know3:the
physicaldescription
interpretation structure of the atom k (electrons and nucleons in the shells)
SS
S
3. Rozdział
3:
Quantum
description
isassign
operator
of the
moment M
M
1, 2,3,...nk
of the Voigt experiments. - w pierwszym wierszu pod wzorem (11) jest:
[8–9],
to the
electron/nucleon
Mˆˆwe
Mˆˆ kkS number ζ k =
kk
SS
ˆ SS
P = ∑ P and then
- w pierwszym
wierszu
pod wzorem
jest: M
is operator
of the moment
M
In this work
we reference
the(11)
molecular
of elasticity.
a part
of
SS
SSˆ k the force according to relationship:
Mˆˆtheory
M
ˆ
kk
Mˆ kis operator of the moment M kk ..
ma być: M
This theory was inspired by Boscovich (1763)
[4], and finally reducekk the
force Pζ k from the central position C (atomic mass
ˆˆ SS is
M kkSS ..
ma
operator
of
the
moment
M
SS być:S
S
M
jest:
Ω kk =while
iω yyS −the
jkkωxxSmodern
(
)
formulated by Navier [5]- in
1821,
version center) to
the temporary location of the electron/nucleon, the
kk
SS
- jest:
= ( iω yySS − jby
ωxxSSEringen
wasΩdeveloped
(1967) [6]. Based
on the experiments electron/nucleon is additionally loaded by moment M ζcouple
(Fig
)kk
kk
k
ma być: Ω SSkk = ( iω yySS − jωxxSS )k , ( Ω bold).
k
carried out
noncentral
intermolecular interaction
was 1).
SS by Voigt,
SS
SS
ma być: Ω kk = ( iω yy − jωxx )k , -( Ω
bold).
trzeci
wiersz
pod wzorem
jest: Based on the moment operator (12)
introduced. Inspired by the
work
of
E. Cosserat
and F.(12)
Cosserat,
k
- trzeci
wiersz
pod
wzorem
(12)
jest:
Based
on
the
moment
operator
(12) on the moment operator (11).
być: Based
Eringen introduced a rotation of the molecule duringma
intermoma
być:(24)
Based
onmech
the moment
(11).JJ −
lecular interaction. The physical
interpretation
of
- wzór
jest:
=
JJ ,, −
JJrotation
+
mech
=−
−this
−operator
+ 1,...,
1,..., 0,...,
0,...,
−1
1,, JJ
has(24)
not jest:
beenmech
shown=
- wzór
−
JJ +
0,...,
JJ −
,
J
mech
= until
−JJ ,, −
−today.
+ 1,...,
1,...,ma
0,...,
−1
1
,
J
być:
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1,
mech = −J , −J + 1,..., 0,..., J − 1, JJ ..
For
analysis
of
the
Cosserat
medium
the
work presentma być: mech
.. and
mech =
=−
−JJ ,, −
−- JJpod
+ 1,...,
1,...,
0,..., JJ(24)
− 1,
1,inJJjest:
+
0,...,
−
wzorem
and J is the total atomic quantum number. Introducing
ed, the atomic structure of matter was chosen for two reasons:
- pod wzorem (24) jest: and
couple = ℏmech
and J is the total atomic quantum
J kk =number.
ℏ J ( J +Introducing
1) and J kkcouple
couple
couple = ℏmech
J kk = ℏofJthe
1) and Jstructure
( J +granular
● the atom is a particle
kk
ma
być: Jof ismatter,
the total atomic quantum number. Introducing
● the atom has polar properties.
couple = ℏmech .
ma być: J is the total atomic quantum Jnumber.
Introducing couple
.
kk = ℏ J ( J + 1) and J kk
couple
couple
J
=
ℏ
J
J
+
1
J
=
ℏmech
and
.
(
)
.
k
k
This paper studies kthe
polar atom,
where
the
mass center
4. Rozdział
4: Statistical
description
k
and center
of the action
of-the
Coulomb
are not lined
4. Rozdział
4: Statistical
description
trzeci
wiersz forces
tego rozdziału,
jest: up.
mech
mech =
=−
−JJ ,, −
−JJ +
+ 1,...,
1,..., 0,...,
0,..., JJ −
−1
1,, JJ
Thiswiersz
disturbed
the
action
arm
for
interatomic
- trzeci
tegosymmetry
rozdziału, creates
jest: mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1
,
J
mech = −J , −J + 1,...,ma
0,...,
J − 1mech
,J =
być:
mech
=−
−JJ ,, −
−JJ +
+ 1,...,
1,..., 0,...,
0,..., JJ −
− 1,
1, JJ ..
forces. The action arm generates
a couple
which
Fig. 1. Reduction of the interatomic interaction on the temporary
mech
= (27),
−JJ ,,moment,
−JJ(28)
+ 1,...,
1,...,
0,...,
−cre1, JJ centralnie.
wzory:
(26),=
proszę
wpisać
ma-być:
..
mech
−
−
+
0,...,
JJ −
1,
location of the electron/nucleon
ates the additional motion of the atom in the form of precession.
- wzory: (26), (27), (28) proszę- we
wpisać
centralnie.
wzorach:
(35),…., (38) oraz wzór (39) i (42) J trzeba zamienić na J ..
This precession is considered as a physical interpretation of the
- wetheory
wzorach:
(35),…., (38)
oraz wzór
of micropolar
elasticity
[6].(39) i (42) J trzeba zamienić na J .. This moment creates precession of the electron/nucleon of
couple
angular velocity ω ζ k . The moment takes the following form:
N
k
l ≠k
k
kl
nk
k
*e-mail: [email protected]
1
ζk =
ζk
M ζcouple
= ω ζcouple
× jζ k ,(1)
k
k
333
Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016
Brought to you by | Gdansk University of Technology
Authenticated
Download Date | 6/23/16 9:03 AM
W otrzymanej do korekty pracy liczby te
wszędzie).
Wolałbym Onyx ale jak nie m
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple

This
moment
creates
precession
of
the
electron/nucleon
angular
velocity
.
The




sion
ession
on
sionofofofThis
of
the
the
the
the
electron/nucleon
electron/nucleon
electron/nucleon
electron/nucleon
of
of
of
of
angular
angular
angular
angular
velocity
velocity
velocity
velocity
.
.
The
.
The
.
The
The
coupleofcouple

This
moment
creates
precession
of
the
electron/nucleon
of
angular
velocity
.
The
couple






na
Ariel.
k

k kk k k
k
 k .The
moment
creates
precession
of theof of
electron/nucleon
of angular
velocity
couple
couple
This
moment
creates
precession
electron/nucleon
angular
velocity
. The
This
creates
precession
thethe
electron/nucleon
of ofangular
velocity
 k . The


ates
tes precession
precession
of
ofmoment
the
the
electron/nucleon
electron/nucleon
of
of
angular
angular
velocity
velocity
.
.
The
The
k
 k k
couple
moment
takes
the following form:
M. Sikoń
orm:
orm:
m:
rm:
form:
moment
takes. the
thefollowing
following
form:
takes
of
angular
velocity
 k following
moment
takes takes
the
form:form:
moment
form:
moment
the The
following
following
ollowing form:
form:
1. Rozdział 1: Introduction
couple
couple
couple
couple
couple
couple couple
couple
couple
couple
couple
couple

 couple
 j k ,
(1) żeby w wierszu 6 i 7 w



kcouple

jjkjkk,jk, ,k ,
(1)
(1)
(1)
(1)
couple couple
couple 



j
(1)
couple
couple
- proponuje
, k
couple

kk k k
k



k
kk k k
  k 
   kk  
j k k, j j, k,
(1) (1)(1)
couple
couple
couple
couple

k
k
k (1)








j
j
,
,
(1)
k
k
k
 k k
momentum

where jζ kis
the angular
of the electron/nucleon, 3. Quantum description
k
dP
(1) k k
jest: p = lim
, m = lim
j
where
is
the
angular
momentum
of
the
electron/nucleon,
then
the
precession
energy:
then
the precession
energy:
mentum
entum
ntum
mentum
ofwhere
ofof
the
of
the
the
the
electron/nucleon,
electron/nucleon,
electron/nucleon,
electron/nucleon,
then
then
then
then
the
the
the
the
precession
precession
precession
precession
energy:
energy:
energy:
energy:
j
where
is
the
angular
momentum
of
the
electron/nucleon,
then
the
precession
energy:

dF
→
0
dF →
dF
k of the electron/nucleon, then the precession energy:
jwhere
thejisangular
momentum
k is
angular
momentum
of
electron/nucleon,
then
the
precession
energy:
where
thethe
angular
momentum
ofprecession
thethe
electron/nucleon,
then
the
precession
energy:
 k is
k electron/nucleon,
ngular
gular momentum
momentum
of
ofjthe
the
electron/nucleon,
then
then
the
the
precession
energy:
energy:
k
We assume elimination of the orbital angular
momentum
of
couple
nowy zapis: p = lim dS P dF , m =
then the
precession
energy:
 k = .−The
/nucleon
of angular
velocity
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple U couple  
U couple
ωζcouple
⋅ jζUkcouple
→0
,(2)
the
electron/nucleon,
and we
define the couple
couple
 j k ,
(2) momentdFM
k
UUU




(2)
(2)
(2)
(2)
couple 


j
(2)
k couple couple
couple
 ,k
couple
 kU
kk k k 
 k jjkjkk,jk,, k, , ζ k
k



k
kcouple
k kcouple
U  k UUkk 
j k ,k j j, k,
(2) the
couple
(2)cross-product
2. Rozdział of
2: the
Classical
description
angular
frek
k
k
UUk k couple
 jjk k , ,
(2)
(2) in classical mechanics as(2)
k
k
k
k k
couple
(2) ofϕ angular
couple
angle
of precession
:couple
quency and spin S k :
- w dziesiątym wierszu należy usunąć:
couple
uple
couple
couple
couple
precession
of the
the
electron/nucleon
. The

andcouple
theζangle
of velocity
precession
:
k 
ouple
: : : :and and
andthe
the
angle
ofprecession
precession
k k
couple
couple
kle
k ::
k k k

the
angle
of
precession
:
couple
couple

and
angle
of

j
,
(1)
and: :the angle of precession
 k   k :
k
dziewiątego).


ecession
cession
k
wing form:k k
couple
M kS = ω kS ×3.SRozdział
k .(10)
3: Quantum description
j
ζ
couple
couple
couple
couple
k
couple
j
jcouple
jkcouple
jcouple
j
,(3)
couple couple
ar
=
cos
n/nucleon,
then
the
j
coupleprecession
coupleϕζenergy:
couple



couple
k
couple
couple
couple
couple
couple
 k(1)
k
kk k
couple j
kj couple



,
couple
j
w
pierwszym
j
,
(3) wierszu pod wzorem (1


cos
ar

(3)
(3)
(3)
kkk k k 
ar
cos
cos
cos  k, , , , jjk
ar
ar
ar
,
(3)
couple
cos
ar
k(3)
 
k cos
jζkcouple
 kcosar
Equation
(10) can
re-written
in the form:
(3)be (3)
couple
couple
couple
(3)
k ar
kk

coscos, k k j, ,k(3)
j
j
j
j
j
 k  ar
k


,
,
(3)




cos
cos
ar
ar





k
k kk k k
j k j j k
 k k
e
m
k
k
(3)jjk k then(2)the precession energy:
j k ,
S
S ˆk
r momentum
of the
electron/nucleon,
couple
ˆ
where jζ
iscothe
of the precession. So the
M k = Ω parameters
S ,(11)
S
ple
u p l eangular momentum
= the
jcok umomentum
isparameters
the angular
momentum
of
So the physical
where
( iω yS − jωxS )k
momentum
rmomentum
omentum
momentum
ofofofthe
of
the
the
the
precession.
So
So
So
the
the
the
the
physical
physical
physical
physical
parameters
parameters
parameters
ofofof
the
of
the
the
the
co
uprecession.
pprecession.
l eprecession.
jpthe
isSo
angular
of
the
precession.
Sothe
theprecession.
physical
parameters
ofthe
the k z - jest: Ω of
k
co
l uke p l eangular
jwhere
isjuco
momentum
of
the
precession.
So
the
physical
parameters
of
the
where
is
the
angular
momentum
of
the
precession.
So
the
physical
parameters
of
where
physical
parameters
of
the
electron/nucleon
polar
elasticity
are
j
is
the
angular
momentum
of
the
precession.
So
the
physical
parameters
of
the
where
k

k the
he
e angular
angularmomentum
momentum
of
theprecession.
precession.
So
So
the
thecouple
physical
physical
parameters
parameters
of
ofthe
the couple
kof
couple
couple
couple
S
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple couple
couple
couple
couple couple
couple
couple
couple couple
couple
couple
U couple



j,U
,couple
(2)
ˆcouple

U operator
,couple
,
, . moment
,ma
and
electron/nucleon
elasticity
written
as: 
 k , of
M kSj,couple


kkcouple
jcouple
jkcouple
jcouple
j couple
być:
U
kkcouple
Ω Sk.= ( iω yS − jωxS )k , ( Ω bold)
written
.. According
where:
is
the
the
,U
,U
, ,,
,,elasticity
,,
, written
,,kcouple
,,polar
, and
,as:
and
,and
and
. .,couple
.Uare
ty
ticity
city
ity are
are
are
are
written
written
written
written
as:
as:
as:
M
couple
couple
couple
So
the
physical
parameters
the
jkof

couple
Ucouple
electron/nucleon
polar
are
written
as:
,couple
,and
, and
and
k as:
k
couple
couple
k
 couple
couple

kcouple
elasticity
k
k
k
couple
 k ,,,couple
 k k k , couple
k k k
k
kk polar
k k
k k couple
k 
kk k
kcouple k
k k
k couple
k


j

,
.
electron/nucleon
are
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple


j
U

electron/nucleon
polar
elasticity
are
written
as:
,
,
.
j


U

,
,
,
,
and
.
electron/nucleon
polar
elasticity
are
written
as:





k
k , , and
k k
 k  k jk j
k k
 .k . kk
 k kk




U
U


,
,
,
,
,
,
and
olar
olar
elasticity
elasticity
are
are
written
written
as:
as:
to
the
principle
ofthe
mechanics,
we
and
j, are thetheunit
vectorscondition:
parallel
to thewiersz
x, andpod
y-axis,
and(12) jest: B
 k k
 k k the following
 k k
 k k can formulate
k k
couple
couple
couple
to
the principle
of
we i,can
formulate
following
mechanics,
fmechanics,
echanics,
mechanics,
we
we
we
we
can
can
can
formulate
formulate
formulate
formulate
the
the
the
following
following
following
following
condition:
condition:
condition:
condition:
- trzeci
wzorem
According
tojthe
the
principle
of
mechanics,
we
canmechanics,
formulate
the
following
condition:

U
couple
, couple
,can
, and
.According
 principle
 k to the
According
principle
of
mechanics,
we can
formulate
the following
ˆ k condition:
According
to
principle
of
mechanics,
we
can
formulate
the
following
condition:
k
k
k condition:
According
to
the
of
mechanics,
we
can
formulate
the
following
condition:

sion
:
S
jcouple
is
the
operator
of
the
component
of
the
spin
in
z-direction

z
rinciple
inciple
of
of
mechanics,
mechanics,
we
we
can
can
formulate
formulate
the
the
following
following
condition:
condition:
k
k
ma być: B
,
(3)
couple
couple
couple
couple
he jfollowing
couple
(direction
P k  couple
 0 , of quantization). (4)
(4)
PP
P


condition:

couple


00,0,0, ,
(4)
(4)
(4)
(4)
couple
P



0
,
couple
couple
P
k
wzór
(24)
jest:
k
mech
=
−
J
,


couple
k
kk k k  k
kk k k
P k 0
P,(4)
0 , k  0,0 ,
couple
P k k

(4)(4) theory, the quantum couple mo- −J + 1,..., 0
According to the(4)
quantum
kk  
k
PPk k 
 couple
00, ,Pζ k ⋅ ω ζ k =
(4)
(4)
k
k k j couple
ma być:
mech = −J , −J + 1,..., 0
 k (4)
couple
ment
isprecession
determined
by solving
the
equation:
couple
couple
couple
couple
couple
couple
, vector
(3) P and
and
the
cos
ar
couple
and
where
the
direction
ofPthe
force
vector
thecouple
vector
areeigenvalue
perpendicular
PP
PkkP


kforce
orce
ce
ce
evector
vector
vector
vector
and
and
the
the
the
precession
precession
precession
precession
vector
vector
vector
are
are
are
are
perpendicular
perpendicular
perpendicular
perpendicular
couple
ecession.
the
physical
parameters
ofvector
the
kwhere

the
direction
of
the
vector
and
the
precession
vector
are
perpendicular
couple
So
k 
k


k kthe
k
k
k k k
j
k
P
k
where
direction
of
the
force
and
the
precession
vector
are
perpendicular
pod
wzorem
(24)
jest: and J is the tota
couple
couple
P

where
the
direction
of
force
vector
and
the
precession
vector
perpendicular
where
the
direction
the
force
the
where
the
direction
of
thethe
vector
and
precession
vector
areare
perpendicular
 k of
k 
 k   k
 and
PP
P
nof
ofcouple
the
theforce
force
vector
vector
and
the
the
precession
precession
vector
vector
are
perpendicular
perpendicular
k
 k k and
 k kk k are
S
S
couple
couple
couple
couple
couple
ˆ
to
one
another.
to
one
another.

  kperpendicular
Uvector
another.
M k Φ= M k Φ,(12)
n vector
,are
,are
, and j k to. one another.
k
 perpendicular
to,one
Jk = ℏ J (J +1
to
one
k to
k another.
k another.
one
For
thethe
whole
of
theparameters
atom
weof
have
to of
consider
the sum
ofnucleons.
all electrons
and nucleons. When
kWhen
we
ewe
we
have
have
have
have
to
to
to
consider
to
consider
consider
consider
the
the
the
the
sum
sum
sum
sum
of
of
of
all
of
all
all
electrons
all
electrons
electrons
electrons
and
and
and
and
nucleons.
nucleons.
nucleons.
nucleons.
When
When
When
For
the
whole
the
we
have
to
consider
the
sum
to
consider
the
sum
all
electrons
and
When
For
the
whole
of
atom
k
gular
momentum
of
the
precession.
So
physical
the
For
the
whole
of
theofatom
wekhave
to have
consider
the sum
of
allof
electrons
and nucleons.
When
k atom
ormulate
the
following
condition:
we
to
consider
the
sum
of
all
electrons
and
nucleons.
When
For
the
whole
of
the
k
For
the
whole
the
atom
we
have
to
consider
the
sum
all
electrons
and
nucleons.
When
S
być:wave
J is the total
ehe
atom
atom
we
have
have
toto
consider
consider
of
all
all
electrons
electrons
and
and
nucleons.
nucleons.
When
When
kk we
22the
2the
Mˆ kS and
of
all
electrons
and
nucleons.
When
the
number
ofthe
electrons
is,...the
is the
 1, 2,of
3,...theisoperator
2isne2eigenvalue
( nenumber
the number
of Φma
of
electrons
inof
is2 not
equal
to
nesum
en
number
1,couple
12,of
,21shells
23,in
3,,...
2
3,...
,,...
3the
,...
2nWhen
2ne2n2couple
(electrons
(e2n(the
(nee,sum
is
is
isthe
isthe
the
number
number
number
of
of
he
nhe
the
the
shells
shells
shells
shells
isnot
isand
not
not
not
equal
equal
equal
equal
tototo2to
couple
couple
2shells
1M
, 2,the
,k3,...
(where
the
the
number
of
shells
is not
equal
e1
ee en
e1is
all
electrons
nucleons.

number
U
,the
,not
and
elasticity
are
written
as:
n.ne2e22nn(e21en,(2
,n3e ,...
2jncouple
(2to
number
of of ofof
theisis
number
of
electrons
in
the
not
toof
2the
2 , the
n
2
3
is
the
number
the
number
of
in
shells
is
equal
to
1
,
2
,
3
,...
is
the
number
the
number
of
electrons
shells
is
not
equal
to
 kelectrons
 kequal
in
 kis
e
k
k
e
, ,22, ,33,...
,...isis the
in
shells
notequal
equaltoto
to22nn(4)
thenumber
number
numberofof
of function describing the quantum-mechanical state of the atom
ectrons
ctrons inin the
thethe
shells
shells
isisisnot
not
equal
Jk = ℏ J (J +
e e 11
e e (((nn
20 ,
nn inarenucleon
electron
shells)
and
the
numbers
nucleons
shells
are not equal to magic
nnthe
nshells)
mbers
bers
ers
mbers
of
ofof
nucleons
of
inin
nucleon
inshells)
nucleon
nucleon
nucleon
shells
shells
shells
shells
are
are
are
not
not
not
not
equal
equal
equal
equal
to
to
magic
to
magic
magic
nn ininof
electron
and
theare
numbers
of
nucleons
nucleon
shells
nottoequal
equal
to magic
magic
1nucleons
,nucleons
2nucleons
, 3,...electron
( nof
isnwe
number
of
nnnn
nin
ple
mechanics,
can
formulate
the
following
condition:
e 
electron
and
the
numbers
of
nucleons
in
nucleon
shells
in
the
mechanical
field.
Based
on
the
moment
operator
(11),
nto
electron
shells)
and
the
numbers
of
nucleons
inmagic
nucleon
shells
are
not
equal
magic
n
nucleon
shells
are
not
to
shells)
and
the
numbers
of
nucleons
n
electron
shells)
and
the
numbers
of
nucleons
in
nucleon
shells
are
not
equal
to
magic
n
n n to
4. Rozdział 4: Statistical description
nucleon shells
shells are
are not
not equal
equal
to magic
magic
nd
d the
the numbers
numbers of
of nucleons
nucleons nnnn inin nucleon
are
equal
to
magic
numbers:
,,atom
such
the
eigenvalue
equation
for
the quantum
couple takes the form:
n,126
2and,
,and,
8and,
,and,
20
,therefore,
50
, 82
,126,...
numbers:
suchhas
a model
of
atom has
polar
properties
and, therefore,
2on
126
26
,6precession
126
,...
,...
,...
,,...
,such
,such
,such
such
aavector
model
amodel
anot
model
model
of
of
of
atom
of
atom
atom
has
has
has
polar
polar
properties
properties
properties
properties
therefore,
therefore,
therefore,
couple
natom

2, has
,,polar
8,82
,polar
20
, 50
, 82
numbers:
,such
such
aof
model
ofatom
polar
properties
and,
therefore,
shells
are
not
equal
to
magic
n  ,...
n

couple
are
perpendicular
n

2
,
8
,
20
,
50
,
126
,...
numbers:
,
such
a
model
atom
has
polar
properties
and,
therefore,
- trzeci wiersz tego rozdziału, jest: me
n
2
8
20
,
50
,
82
,
126
,...
numbers:
,
a
model
of
has
polar
properties
and,
therefore,
,atom
50
, 82
,has
126polar
,...
, such
atherefore,
model
of therefore,
atom
has polar properties and, therefore,
numbers:
n k nn 
P,k,such
such
n 20has
,8, 20
(4)
20
20, ,50
50, ,82
82,126
,126
,...
,...
aamodel
model
of
of
atom
has
polar
properties
properties
and,
and,
therefore,
a model
of k atom
polar
properties
and,
is
liable
isatomic
liable
toangular
couples
and
moments.
This atom
described
by the
atomic
angular
momentum J k
ments.
ents.
nts.
ts. polar
This
This
This
This
atom
atom
atom
isisto
isdescribed
is
described
described
described
by
by
by
the
by
the
the
the
atomic
atomic
atomic
angular
angular
angular
momentum
momentum
momentum
momentum
JJkJ
is
liable
to
couples
and
moments.
This
atom
is
described
bythe
theis
atomic
angular
momentum
Jk
as
properties
and,
therefore,
kkJ
kby
k the atomic
ma być: mec
isatom
liable
couples
and
moments.
This
atom
is
described
angular
momentum
J k kS SˆJzk kΦ
is
liable
to
couples
and
moments.
atom
described
atomic
angular
momentum
J=
Ω
M kS Φ.(13)
liable
to
couples
and
moments.
This
atom
is is
described
byby
the
atomic
angular
momentum
toiscouples
and
This
atom
isThis
described
by
the
atomic
k
and
andmoments.
moments.
This
This
atom
atom
ismoments.
isdescribed
described
by
by
the
the
atomic
atomic
angular
angular
momentum
momentum
J
J
k
k
couple
.
The
total
atomic
moment
coupled
with
the
mechanical
interactions
between
atoms
must
be:
upled
pled
upled
oupled
with
with
with
with
the
the
the
the
mechanical
mechanical
mechanical
mechanical
interactions
interactions
interactions
interactions
between
between
between
between
atoms
atoms
atoms
atoms
must
must
must
must
be:
be:
be:
be:
.
The
total
atomic
moment
coupled
with
the
mechanical
interactions
between
atoms
must
be:
he
sum
of
all
electrons
and
nucleons.
When
wzory:
(26),
(27),
(28)
proszę
wpisać c
Patomic
the
atomic
angular
momentum
the
angular
momentum
The coupled
total
atomic
moment
coupled
with
he force
vector
andatomic
the
precession
vector
are
perpendicular
J moment
. The
moment
with
mechanical
interactions
between
atomsatoms
must
be:must
with
k .coupled
. The
atomic
coupled
the
mechanical
interactions
between
atoms
.total
The
total
moment
the
mechanical
interactions
between
must
be:be:
k total
k with
moment
momentcoupled
coupled
with
with
the
themechanical
mechanical
interactions
interactions
between
between
atoms
atomsmust
must
be:
be:
S
2the mechanical
M koraz wzór (
between
atoms must be:
According to the quantum mechanics,
the eigenvalue
- we wzorach:
(35),…., (38)
1, 2, 3,...
ne ( ne atoms
isinteractions
the
of
ual
to 2between
actions
must
be: number
n
n nnn n
n
is thecouple
physical value of the moment action at the nanoscale.
n couple n n
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
. k
  k .
we have
to
consider
sum to
of magic
all electrons
and
nucleons.
When
om
k
(5)



.nn. the
(5)
(5)
(5)
couple (5)
couple

(5)
in
nucleon
shells
are. . not
equal
couple
1

couple

k
kk k k 
k
k   
k
kk k k
nkcouple
kcouple
(5) operator:
Applying the Pauli
couple
couple
couple
couple
. (5)

1 .
(5)(5)

k 
k 
1
k k .
11
1
1
2




.
.
(5)
couple
couple




k
k
k kto 2n
1 is the
1, 2, 3,...
( ne  M
ns
thehas
shells
not equaland,
1 1 number of
e =
M
,(5)
of in
atom
polarisproperties
(5)k therefore,
11
ζk
 1 0 
1
nthe
ecribed
numbers
of
nucleons
nucleon
are
equal
toelectrons
magic and nucleons.
n inmomentum
where
nshells
totalnot
number
of
Sˆzk = 
byand
the
atomic
angular
Jiskofthe
electrons
fof
electrons
electrons
electrons
and
and
and
nucleons.
nucleons.
nucleons.
nucleons.
where
n
is
total
number
electrons
and
nucleons.
 ,(14)
where
n
is
the
total
number
of
electrons
and
nucleons.
where
nand
is
the
total
number
electrons
and
nucleons.
where
n is
thenucleons.
total
number
of of
electrons
and
nucleons.
0
−
1
2
number
number
of
of
electrons
electrons
and
nucleons.


50
, 82,126
,...where
, suchnbetween
aismodel
of atom
hasbe:
polar
properties
and, therefore,
nical
interactions
atoms
must
the total
number
of
electrons
and nucleons.
couple
couple
couple
couple
couple
couple precession  couple and
Using
frequency
of
the
atomic
we
write
the
atomic
couple
moment
J




mic
cicprecession
precession
precession
precession
and
and
and
and
we
we
we
we
write
write
write
write
the
the
the
the
atomic
atomic
atomic
atomic
couple
couple
couple
couple
moment
moment
moment
moment
J
J
J
J
couple

Using
frequency
of
the
atomic
precession
and
we
write
the
atomic
couple
moment
J
k
couple
k kk k k
k kkkthe
k atomic precession 
k J and
k we
Using
frequency
of
and
weJ kwrite
the
atomic
couple
couple
couple
 couple
This
atom
is 
described
the
atomic
angular
of
the
atomic
precession
write
couple
Using
frequency
precession
where
, andmoment
hmoment
is the Planck constant. Using the wave
JJkwe
atomic
= hk couple
2πmoment
momentum
Using
frequency
ofand
theby
atomic
precession
and
write
thethe
atomic
k
k and
k we
k kcouple

fmoments.
the
theatomic
atomic
precession
precession
and
we
we
write
write
the
the
atomic
atomic
couple
moment
moment
J
J
k
k
k
k
as:
as:
the
atomic
couple
moment as:
function:
as:
write
the write
atomic
couple
moment
as:
uple
ent
with
the
mechanical
interactions
.coupled as:
(5) between atoms must be:
k
k
∑
couple
couple
couple
couple
couple
couple couple
couple
couple
couple
couple
couple
couple
  kcouple J k ,



kkcouple
JJJ,J, , , M couple = ω
(6)
(6)
(6) Jk ,k
couple
couple 

(6)
 1 (6) (6)(6)
couple
couple
1 (6)
×
couple
k
kkk k 
k
k k 
k
k,
kJ
kcouple
J(6)
n k kkk k couple
k k 
kk,(6)
couple
couple
couplek



J
,



J
,
k
k
k
k

k
Φ
↑=
for
mech
=
,








J
J
,
,
(6)
(6)
couple
couple

S
k
k
k
k
k
k
 0
k
  
.(6)
(5)
2

ons.
 
1
then then
the atomic
couple
energy:
(15)
Φ =couple
couple
couple
then
the
atomic couple energy:
y:
gy:
:
the atomic
couple
energy:
(7)
(7)
UUcouple
JJ ,,
k
then thethen
atomic
couple
energy:
kk
kk
kk
atomic
couple
energy:
thethe
atomic
couple
energy:
uple
ple energy:
energy:then
 Φ ↓ =  0  for mech = − 1 ,
and
J k we write the atomic couple
couplemomentcouple
S
1
,
,
(7)
(7)
J
Uk
= −ω k
⋅ J k ,(7)
mber
of electrons and nucleons.

kk
2
 
and
andthe
thecouple
coupleangle
angleof
ofthe
theatomic
atomicprecession:
precession:
and the couple
the atomic precession:
where mechsS is the mechanical quantum number (which is analkcouple angle
atomic precession
and Jof
k we write the atomic couple moment
couple
 Jk ,
(6)
ogous to Jthe
magnetic quantum number). The eigenvalue equaJkcouple
couple
couple
k
ar
ar




cos
cos
..
(8)
(8)
k
k
couple
tion
takes
the
JJkk following form:
Jk
couple
.
ar
.
(8)cos
 kcouple   kcouple ϕJk k , =(8)
(6) (8)
Jk
Sˆzk Φ = mechS Φ,(16)
We
Weformulate
formulatethe
theperpendicularity
perpendicularitycondition
conditionas:
as:
energy:
We fomulate the perpendicularity condition as:
which is satisfied as identity. Given the analogy between Eqs.
couple
PPk(13)
kcouple
00.. the eigenvalues for both sets of equations
(9)
(9) are the
(16),
k 
kand 
couple
Pk ⋅(9)
ω
=
0
.(9) same. The solution of the unknown quantum value of the couple
k
(9)
moment of the atom k can be written as: couple
couple
Mkkcouple,, UUkcouple
The
The physical
physical parameters
parameters of
of the
the atomic
atomic polar
polar elasticity
elasticity can
can be
be denoted
denoted as:
as: M
,,
k
The physical parameters of the atomic polar elasticity can
S
S
couple
couple
couple
couple
couple couple
couple
and JJkcouple
M k Φ = Ω k mechS .(17)
bedenoted
denotedas:
as: M
,,
and
...
Mkcouple
city
city can
can be
be
denoted
as:
, ,UUkcouple
, kk ,,,kk ,,and
k
k
k
334
3.3.Quantum
Quantumdescription
description
Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016
We
We assume
assumeBrought
elimination
elimination
of the
orbital
orbital
angular
angular
momentum of
of the
the electron/nucleon,
electron/nucleon, and
and we
we
to youof
by
|the
Gdansk
University
of momentum
Technology
SS
Authenticated
kk inin classical
define
define the
the couple
couple moment
moment 
classical mechanics
mechanics as
as the
the cross-product
cross-product of
of the
the angular
angular
mentum
entum of
of the
the electron/nucleon,
electron/nucleon, and
and we
we
Download Date | 6/23/16 9:03 AM
frequency
frequencyand
andspin
spinSS ::
hab. inż. Marek Sikoń
Kraków 03. 06. 2016
Dr hab. inż. Marek Sikoń
Kraków 03. 06. 2016
Dr hab. inż.
DrMarek
hab.
inż.
Sikoń
Marek
Sikoń
Krakówof03.
Kraków
06. 2016
03. 06. 2016
Poprawki
do
artykułu:
“Physical
interpretation
of the
for
Physical
interpretation
of the
Cosserat
mechanics
for Cosserat
a collectionmechanics
atoms
prawki do artykułu: “Physical interpretation
of the Cosserat
mechanics
for
a collection
of atoms”.
Dr
hab. inż. Marek
Sikoń
Kraków 03. 06. 2016
collection
of
atoms”.
Poprawki
do
artykułu:
“Physical
interpretation of the Cosserat mechanics for
ń
Kraków
03.
06.
2016
DrDr
hab.
hab.
inż.
inż.
Marek
Marek
Sikoń
Sikoń Kraków 03. 06. 2016
Kraków
Kraków
03.03.
06.06.
2016
2016
Marek Sikoń
a collectiondue
of to
atoms”.
The energy contribution
the atomic
spinliczb
Sk under
Ogólna
uwaga
dotyczy
zapisu
kwantowych.
Sugerowałem
żeby
liczby
te
zapisywać
mech
couple
Poprawki Poprawki
do
artykułu:
do “Physical
artykułu:
“Physical
interpretation
interpretation
ofinthe
of themechanics
Cosseratϕ mechanics
for = a r cos
for
mechanical
load
is written
the classical
mechanics
theCosserat
,(29)
gólna uwaga
dotyczy
zapisu
liczbin
kwantowych.
Sugerowałem
żeby
liczbyużywałem
te zapisywać
k
czcionką
(font)
Onyx
i
taką
czcionkę
dla
tych
liczb
w
przesłanej
pracy.
(
)
Jfor
Jdo
+ 1Pani
a
collection
a
collection
of
atoms”.
of
atoms”.
following form: Poprawki
do
artykułu:
“Physical
interpretation
of
the
Cosserat
mechanics
Ogólna
uwaga
zapisu
liczb kwantowych.
Sugerowałem
żeby liczby te zapisywać
Physical
interpretation
ofi the
Cosserat
mechanics
for
(font)
Onyx
taką
czcionkę
dladotyczy
tych
liczb
używałem
przesłanej
do zapisane
Pani pracy.
ocionką
artykułu:
“Physical
interpretation
of the
Cosserat
mechanics
for liczbyw
W
otrzymanej
do
korekty
pracy
te
w
większości
są
czcionką
Ariel
(ale
nie
aczcionką
collection
ofartykułu:
Poprawki
Poprawki
artykułu:
“Physical
“Physical
interpretation
interpretation
of
of
thethe
Cosserat
Cosserat
mechanics
mechanics
forfordo Pani pracy.
S dodo
S atoms”.
(font)
Onyx
i
taką
czcionkę
dla
tych
liczb
używałem
w
przesłanej
of
atoms”.
otrzymanej
do korekty
pracy
liczby
te
w
większości
zapisane
są
czcionką
Ariel
(ale
nie
U k = zapisu
−ωWolałbym
(18)
which
are
oftethezapisywać
mechanical
quantumpoprawić
numbers mech.
wszędzie).
Onyx
alekwantowych.
jakSugerowałem
nie można
(?)
tofunctions
proszę
ujednolicić
i wszędzie
k ⋅S
k .zapisu
Ogólna uwaga
Ogólna
dotyczy
uwaga
liczb
kwantowych.
liczb
Sugerowałem
żeby
liczby
żeby
liczby
te
zapisywać
a collection
aW
collection
ofdotyczy
of
atoms”.
atoms”.
otrzymanej
do korekty
pracy
liczby
te wBased
większości
zapisane
sąassumption
czcionką Ariel
(ale nie
on
the fundamental
of statistical
mechanics
zędzie).
Wolałbym
Onyx
ale
jak
nie
można
(?)
to
proszę
ujednolicić
i
wszędzie
poprawić
na
Ariel.
zapisu
liczbzapisu
kwantowych.
Sugerowałem
żeby
liczby
te zapisywać
czcionką
(font)
czcionką
Onyx
(font)
iSugerowałem
taką
Onyx
czcionkę
i taką
dla
czcionkę
tych
liczb
dlaopertych
używałem
liczb
używałem
wSugerowałem
przesłanej
w przesłanej
dożeby
Pani[12],
pracy.
dowePani
pracy.
Ogólna
uwaga
dotyczy
zapisu
liczb
kwantowych.
liczby
te
zapisywać
ga
dotyczy
liczb
kwantowych.
żeby
liczby
te
zapisywać
In
the
same
way
as
for
Eq.
(10),
we
rewrite
this
in
the
and
Boltzmann
distribution
obtain
the
canonical
diswszędzie).
Wolałbym
Onyx
ale
jak
nie
można
(?)
to
proszę
ujednolicić
i
wszędzie
poprawić
ek
Sikoń
Kraków
03. 06. 2016
Ariel.
S
aką
czcionkę
tychUliczb
używałem
wużywałem
przesłanej
do
Pani
ˆW
Wdla
otrzymanej
dokS ⋅korekty
do
pracy
korekty
liczby
pracy
tepracy.
w
liczby
większości
tekwantowych.
w większości
zapisane
są
zapisane
czcionką
sążeby
Ariel
czcionką
(ale
Ariel
nie
(ale nie
=otrzymanej
−
ω
Ŝuwaga
form:
and
we
obtain
the
eigenvalue
equation
tribution:
nt) Onyx
i ator
taką
czcionkę
dla
tych
liczb
w
przesłanej
do
Pani
pracy.
czcionką
(font)
Onyx
i
taką
czcionkę
dla
tych
liczb
używałem
w
przesłanej
do
Pani
pracy.
k Ogólna
k
Ogólna
uwaga
dotyczy
dotyczy
zapisu
zapisu
liczb
liczb
kwantowych.
Sugerowałem
Sugerowałem
żeby
liczby
liczby
te
te
zapisywać
zapisywać
na zapisane
Ariel. są czcionką Ariel (ale nie
ty
liczby
te watom’s
większości
Rozdział
1: Introduction
for
the
energy
as
follows:
ej pracy
do korekty
pracy
liczby
teW
w1.
większości
zapisane
czcionką
(ale
niew(?)
wszędzie).
wszędzie).
Wolałbym
Wolałbym
Onyx
ale
jak
Onyx
ale
można
jakAriel
nie
(?)dla
można
todla
proszę
ujednolicić
to proszę
ujednolicić
i wszędzie
i poprawić
wszędzie
poprawić
)pracy.
U(mech
otrzymanej
do
korekty
pracy
liczby
te
większości
zapisane
sąexp
czcionką
Ariel
(ale
nie
czcionką
czcionką
(font)
(font)
Onyx
Onyx
i są
taką
inie
taką
czcionkę
czcionkę
tych
tych
liczb
liczb
używałem
używałem
ww
przesłanej
przesłanej
Pani
Pani
pracy.
Onyx
ale jakOnyx
nie można
(?)
tomożna
proszę(?)
ujednolicić
i wszędzie
poprawić
− dodo
Wolałbym
ale
jak
nie
to
proszę
ujednolicić
i
wszędzie
poprawić
. Rozdział
1:
Introduction


proponuje
żeby
w
wierszu
6
i
7
wpisując
wzory
inaczej
przedstawić
ułamek,
na
Ariel.
na
Ariel.
k
T
S
S
 i wszędzie
 (ale
wszędzie).
Wolałbym
Onyx
ale
jak
nie
można
(?) to proszę
ujednolicić
poprawić
WW
otrzymanej
otrzymanej
dodo
korekty
korekty
pracy
pracy
liczby
liczby
te te
w
w
większości
większości
zapisane
czcionką
czcionką
Ariel
Ariel
(ale
nienie
ykułu: “Physical interpretation
of
the
Cosserat
mechanics
for
1.
Rozdział
1:
Introduction
ω
) są
,(30)
Π (zapisane
mech
= są
k ⋅ Ŝ k Φ
k Φ.(19)
mech =J
w −wierszu
6 i=7Uwpisując
wzory
ułamek,
dP inaczej przedstawić
d
M
(
)
mech
U


oms”. - proponuje żeby
na
Ariel.
wszędzie).
wszędzie).
Wolałbym
Onyx
Onyx
ale
ale
jakjak
nie
(?)(?)
to,to
proszę
proszę
ujednolicić
ujednolicić
i wszędzie
poprawić
poprawić
p =w
m
, nie
jest:
−
-Wolałbym
proponuje
żeby
wierszu
6można
i=można
7lim
wpisując
wzory
inaczej
przedstawić
ułamek,
lim
∑ i wszędzie

dF →0 dF equa- dF →0 dF
d
P
k
T
d
M
uction
1.
Rozdział
1.
1:
Rozdział
Introduction
1:
Introduction
Equation
(19)
will
now
correspond
to
the
Schrödinger
mech = − J 
na
na
Ariel.
Ariel.
ał 1: Introductionjest: p =
dP
= lim
dM
,m
, te zapisywać
lim
zapisu
kwantowych.
Sugerowałem
żeby
liczby
yotyczy
w wierszu
6wiliczb
7wierszu
wpisując
inaczej
przedstawić
ułamek,
tion
[10]
in
p
jest:
nowy
zapis:
,= m
-written
proponuje
-0Rozdział
proponuje
żeby
w wierszu
żeby
w
6pwierszu
i==7lim
wpisując
6P i, dF
7mwzory
wpisując
wzory
inaczej przedstawić
ułamek, ułamek,
=inaczej
dułamek,
d, Mprzedstawić
dF
dF
dF
→0 dF
dF
lim
ponuje
żeby
6 i wzory
7 wpisując
wzory
inaczej
przedstawić
lim
lim
1.→z-direction:
1:
Introduction
dF
00 dFpracy.
dF →0where
dF
dF→
→
dF
→ 0 k is the Boltzmann constant, T is temperature. The probOnyx idtaką
dla
tych liczb używałem w przesłanej do
Pani
P czcionkę
d
M
dP p, =
dRozdział
M
dIntroduction
PSlim
dP
dM 6 i 7dwpisując
M
= lim
= zapis:
,m
nowy
,2:
żeby
wierszu
wzory
inaczej przedstawić ułamek,
m
=
M
dF
dw
dF
lim
1.
Rozdział
1:
Introduction
lim
= lim
mw
=1.
, te
.(20)
space
actions
(Rozdział
−
ωdSP, -)pproponuje
S=ˆ zk1:
Φ
=zapis:
U
o korekty
pracy
liczby
większości
zapisane
są
Ariel
nie, m = abilistic
2.
Classical
description
pkczcionką
=
lim
=dF
dF →jest:
0 dF p
jest:
jest:
,Φm
, dm
, lim
, dM
dF →0 dF
p0 == lim
P(ale
dF concerns the atoms where interatomic
lim
lim
lim
lim
0 z k nowy
dF →
dF →0 dF
dF dF
→0→dF
couple
dF
→
0
dF
→
0
dF
→
0
dF
→
0
dF
→
0
dF
→
0
dF
dF
dF
dF
ω
≈
ω couple ,
d
P
are
almost
equal:
,
and
then
we
write:
P
≈
P
d
M
proponuje
proponuje
żeby
żeby
w
w
wierszu
wierszu
6
i
6
7
i
wpisując
7
wpisując
wzory
wzory
inaczej
inaczej
przedstawić
przedstawić
ułamek,
ułamek,
łbym
Onyx
ale
jak
nie
można
(?)
to
proszę
ujednolicić
i
wszędzie
poprawić
k
k
,m
=Rozdział
=
dP pdF
d,Mmdescription
dF
dziesiątym
wierszu
należy, usunąć:
jest powtórzone z wiersza
- wdˆM
l , lcouple
≠ ,k , (gdyż
lim
lim
p
=
couple
m
=
jest:
wy
zapis:
=
P
=
d
dF
dF
2:
Classical
ˆ
lim
lim
lim
lim
U pcomply
The operators
and
with
the
. Now we can write the average values of the
M 2.
Rozdział
2: Classical
description
nowy
zapis:
nowy
,conditions
=zapis:
m
M =dF
M
dPp =dF
dP
dm
dΩdF
dF≈ Ω
k
dF
→
dF →
d=0Plim
ddF
P ,commud0M
lim
lim
lim
S
ˆ SUˆ S − Uˆ Snależy
ˆdziewiątego).
dF →
0 jest:
dF=
→
0 , (gdyż
dF,→m
0,jest
dF → 0 Cosserat
p
=
p
m
=
=
,
,
jest:
tation:
.
parameters
in a canonicalz distribution:
M
M
=
0
w
dziesiątym
wierszu
usunąć:
powtórzone
z
wiersza
-2:description
,
l
l
≠
k
lim
lim
lim
lim
k
k
k
k
Classical description
wierszu
należy
usunąć:
wiersza
- w dziesiątym
l , l ≠ k , (gdyż jest powtórzone
dF
0→
0 d
dFm
→dF
0→
0 dF dM dF
nowy
zapis:
,spin
dF
dF
p dF=→lim
P dF
=dF
lim
zu
należy
usunąć:
,
(gdyż
jest
powtórzone
z
wiersza
,
l
l
≠
k
We
find
the
quantum
value
of
the
precession
energy
of
3.
Rozdział
3:
Quantum
description
2.
Rozdział
2.
2:
Rozdział
Classical
2:
Classical
description
description
Introduction
mech = J
ątym wierszu należy usunąć: l , l ≠ k , (gdyż jest powtórzone
z0 wiersza
dF →
dF → 0
dziewiątego).
dziewiątego).
couple
the
as dziesiątym
before,
and
finally
we
obtain:
nowy
nowy
zapis:
zapis:
, lm
pusunąć:
=pnależy
= lim
=, llim
=≠jest
M
dułamek,
dF
dMdF
dF
S
lim
lim
uje
żeby w in
wierszu
6 i 7way
wpisując
wzory
inaczej
przedstawić
M
=z wiersza
Mofcouple
Πmoment
= Ω kcouple
dziesiątym
w
należy
wierszu
(gdyż
(gdyż
powtórzone
wiersza
- wsame
- 2.
lP,dusunąć:
lPdF
≠wzorem
k, ,m
k0 →d,jest:
-wierszu
w pierwszym
wierszu
(11)
operator
the
Mˆ jest
Mˆ JS BJ ,(31)
go).
∑
kk ispowtórzone
kz
Rozdział
2:
Classical
description
dF →
dF
0 →pod
0
dF →dF
0
Rozdział
3:
Quantum
description
Dr
hab.
inż.
Marek
Sikoń
Kraków k03. 06. 2016
3.
Rozdział
3:
Quantum
description
m3:description
mech = −J
dP
dM S
S
Quantum
S
dziewiątego).
wierszu
należy
usunąć: ma
powtórzone
z wierszaM
-,kw=dziesiątym
l , l być:
≠ k , (gdyż
p = lim description
est:
, m = lim
2.dziewiątego).
Rozdział
Rozdział
2:
Classical
Classical
description
description
S
S
ˆ SS isjest
U
− 2:
ω of
mech
ˆ
ˆ
operator
of the
the moment
moment
ˆ 2.
ˆ
M
z 
S .(21)
ˆ
-szym
wpodpierwszym
wzorem
(11)
jest:
is
operator
of
the
moment
M
M
zu
wzorem
jest:
is
operator
the
moment
M
dF →0 dF(11)wierszu
dF →M
0 dFpod
k
w
pierwszym
wierszu
pod
wzorem
(11)
jest:
is
operator
of
M
Mˆ kkS .
ˆ is operator of the moment
ˆ
k
k
k
mech
=
J
wierszu
pod
wzorem
(11)
jest:
M
M
3. Rozdział
3. 3:
Rozdział
3: Quantum
description
description
w-ddziewiątego).
w
dziesiątym
dziesiątym
wierszu
wierszu
należy
należy
usunąć:
usunąć:
, (gdyż
jestjest
powtórzone
powtórzone
z wiersza
z wiersza
- Quantum
l , ll ,≠l do
k≠,artykułu:
k(gdyż
Poprawki
“Physical
interpretation
of couple
the Cosserat
mechanics
for
couple
couple
S S S
pis: p = lim dP
, mthe
=Mˆlim
M
dFbyć:
dF ΩofSby
S
S
U
=
U
Π
=

ω
JS B
ma
isbyć:
operator
the
S and
ˆk. is operator
ˆ
a collection
of atoms”.
- motion,
jest:
imoment
ω yS być:
−of jto
ωMsolutions
Adding
orbital
analogy
(17)
ˆ isk =
∑
k)
k
k
z
J
(
S
S
S
S
M
ma
of
the
moment
.
M
ma
być:
is
operator
of
the
moment
M
M
xM
ma
operator
the
moment
.
M
ˆ isof
ˆ
ˆ
kˆ
kof the M
k . ,(32)
k jest: (11)
koperator
w
pierwszym
w
pierwszym
wierszu
pod
wierszu
wzorem
pod
(11)
wzorem
jest:
is
operator
the
moment
moment
M
M
M
3.
Rozdział
3:
Quantum
description
dziewiątego).
dziewiątego).
k
k
k
k
mech
=
−
J
S
(21),
we
can
formulate
the
total
atomic
moment
action
and
total
lassical
description
S
Ogólna uwaga dotyczy Szapisu liczb kwantowych. Sugerowałem żeby liczby teSzapisywać
S S
S
S
S )
S
S3.
= )(jest:
iω S −Ωjωenergy
S momentS M
S (11) jest:
S M
3.
Rozdział
Rozdział
3:
3:
Quantum
Quantum
ma
−description
jωxSbyć:
jest:
Ω
=Ω
ˆ bold).
(−iωjωdescription
)k , ( ΩMma
of
in
thebyć:
following
pierwszym
pod
wzorem
isczcionkę
operator
of
the
= ( iω
−precession
jω
( iωSk =wierszu
)ma
y zx wiersza
czcionką
(font)
i koperator
takąthe
dla
liczb
w przesłanej
M
M k . ˆdok Pani pracy.
k powtórzone
y form:
być:
is operator
isˆof
moment
oftych
the
moment
Mˆ kOnyx
m- wierszu
należy
usunąć:
(gdyż
jest
l ,xl )≠k k--,w
k
y
mech
=używałem
Jk .
k
k
S
W
otrzymanej
do
korekty
pracy
liczby
te
w
większości
zapisane
są
czcionką
(ale nie
−Ωjω= ) i,ω(SΩ− bold).
S
S
Sˆ Ariel
S
couple
couple
ˆM
ˆ is
S ,(33)
jω SS ) , ( Ω Sbold).
S operator
-w
- Sw
pierwszym
pierwszym
pod
pod
wzorem
(11)
(11)
jest:
jest:
ismoment
operator
of
the
the
moment
moment
M
M
(
Joperator
=of
Π =M
ˆiJM
S wierszu
S wzorem
S
S trzeci
S
S wiersz
S wierszu
S Swzorem
couple
couple
pod
(12)
jest:
Based
on
operator
(12)
kˆ the
k is
k BJ
k . poprawić
wszędzie).
Wolałbym
Onyx
ale
(?)
to J
proszę
ujednolicić
wszędzie
∑
k jak nie można
k moment
ma
być:
of
the
M
ma
być:
=
i
ω
−
j
ω
,
(
bold).
Ω
Ω
k
k
jest:
-M
jest:
=
ω
−k(12)
jω( x )ky ,(22)
mech
ma być:
= ( iΩ
ω yk =the
−
ω
(operator
Ω- Based
Ω
(jimoment
(x imoment
)ωkkbold).
x )
)−onk=,kjthe
y
k xy Ω
k
zorem
(12)
jest:
na Ariel.
mech = −J
uantum
description
S S
Sˆ the
S
iersz
pod
wzorem
(12) on
jest: Based
operator
(12) k ma być:
ˆon
Based
moment
operator
(11).
M
M
ma
ma
być:
być:
is
operator
is
operator
of
of
the
the
moment
moment
.
S
S
S
M
M
k k .
k
k
być:wzorem
Based
on
the
moment
operator
(11).
S --jest:
SΩ
S= (Siω
S − jω
S
ˆon
ˆ bold).
trzeci
wiersz
pod
wzorem
(12)
jest:operator
the
moment operator (12)
couple
couple
kmoment
yof
x )(11).
m- wierszu
pod
(11)
is
the
moment
M
M
ma
być:
Based
operator
1.Based
Rozdział 1:on
Introduction
trzecimawiersz
wzorem
jest:
on
moment
(12)
mapod
być:
ma
=być:
i(12)
ω−the
−operator
j=
ω
i)Based
ω
,
(
−
j
ω
bold).
,
(
Ωjest:
Ω
Ω
Ω
kthe
)
(
)
U
=

mech
,(23)
mech
=
J
wzór
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1
,
J
k -(
y(ω(24)
k
x jest:
y
x
k
z
kS
k
S S
S
h) jest:
= −J ,mech
−J + 1,...,
−1,...,
1, J-0,...,
mech
- proponuje couple
żeby w wierszu 6 i 7 wpisując
wzory inaczej przedstawić J
ułamek,
jest:
- jest:
=iωiSω−of
j−ωjxSω
S
ma
Based
on
the moment
operator
(11).
= −J0,...,
, −JJ+ma
Jˆ Ω
−ma
1isΩ
,kJ=
)
Smoment
S moment
k( ( ySBased
y the
xk ) kthe
cos
ϕ−operator
BJ ,(34)
Π=
być:
on
operator
(11).
Mjest:
być:
operator
.Ωbyć:
M
dP ∑ dM
k1, J . =
k−
ma
być:
=
i
ω
−
j
ω
,
(
bold).
Ω
(
)
ma
być:
mech
=
−
J
J
+
1,...,
0,...,
J
trzeci
wiersz
trzeci
pod
wiersz
wzorem
pod
(12)
wzorem
jest:
Based
(12)
on
Based
the
moment
on
the
moment
(12)
operator
(12)
couple
y
x k
jest: p = lim
, m = lim
,
.iω couple − jω couple )k ,
= −J ,mech
−J +
1,...,
0,...,
J+−1,...,
1,=J (0,...,
(
)
(
)
1
1
J
J
+
J
J
+
Ω
where:
mech
=
−
J
ahSbyć:
.
=
−
J
,
−
J
J
−
1,
J
dF
dF
wzór
(24)
jest:
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1
,
J
k
y
x
S Sk 0,...,
SJ − 1
jest:
mechquantum
=ma
Jbyć:
,−
Jwzorem
+ 1,...,
,)and
JxS ,) (być:
ωt:wzór
− jωJ S(24)
być:
=k(=ipod
ω
ω−być:
j−ωjxSω
bold).
bold).
Ω
Ω
Ω
)jest:
ma
Based
ma
the
Based
moment
on
the
operator
moment
operator
(11).
( iySmech
nowy
zapis:
,m
p quantum
= moment
= lim dM
dF
dFIntroducing
and
theand
totalJ atomic
number.
lim dP(11).
k Introducing
ywzorem
-−ma
pod
(24)
jest:
is
total
atomic
number.
J,Ω(on
-atomic
trzeci
wiersz
jest:
Based
on
the
operator
(12)
k k(12)
em
(24) is
is the total
quantum
number.
Introducing
ma
być:
.
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1,
J
couple
S
S
2.
Rozdział
2:
Classical
description
ma
być:
.
where:
,(24)
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1,
J
wzór
(24)
wzór
jest:
(24)
jest:
mech
=
−
mech
J
,
−
J
+
=
1,...,
J
,
0,...,
−
J
+
J
1,...,
−
1
,
0,...,
J
J
−
1
,
J
couple
=
ℏ
J
J
J
=
+
1
ℏ
mech
and
couple
= (Jiω
−
j
ω
,
(
bold).
Ω
(
)
ma
być:
(11).
) J k = ℏ J ( Jk +-1)trzeci
-and
trzeci
wiersz
wiersz
pod
pod
wzorem
wzorem
(12)
jest:
jest:
Based
on
on
thewierszu
moment
moment
operator
operator
(12)
(12)
k
= ℏmech
J(12)
J (Based
Jtotal
Jthe
= ℏusunąć:
+- w1dziesiątym
mech
and
) atomic
należy
l , l ≠ k , (gdyż jest powtórzone z wiersza
k =
k quantum
- podJ kwzorem
(24) jest: and
number.
Introducing
J ℏis the
dziewiątego).
pod
wzorem
(24)
jest:
and
is
the
total
atomic
quantum
number.
Introducing
J
ma
być:
ma
być:
.
.
mech
=
−
mech
J
,
−
J
+
=
1,...,
−
J
,
0,...,
−
J
+
J
1,...,
−
1,
0,...,
J
J
−
1,
J
wzór
(24)
jest:
mech
=Introducing
, ma
−być:
J +być:
1,...,
0,...,
−11)the
, moment
J moment
yć:
is
total
quantum
number.
Introducing
ma
Based
Based
operator
operator
(11).
(11).
podJwzorem
(12)
jest:
on
the
moment
operator
(12)
(JJ3:on
Jtotal
 atomic
Jon
+the
and
is
theBased
totalatomic
atomic
quantum
number.
mathe
być:
the
total
quantum
number.
Introducing
J atomic
 quantum
k3.=Rozdział
 2J + 1Introducing
Quantum
 ω zcouple 
2couple
1= ℏmech
J +description
ω zcouple  1
ma(11).
być:
the
number.
J= is
J
ℏ
J
J
J
+
1
and
couple
(
)
ma
być:
Based
on
the
moment
operator
couple
k
k


B
=
−
ctgh
ctgh
wzór
wzór
(24)
(24)
jest:
jest:
mech
mech
=
−
=
J
−
,
J
−
,
J
−
+
J
1,...,
+
1,...,
0,...,
0,...,
J
−
J
1
−
,
J
1
,
J
ˆ
ˆ
the
andtotal
atomic
the
atomic
quantum
Introducing
number.
Introducing
J1jest:
Jtheisquantum
J k J=k =ℏ  J -J( Jpod
==
ℏmech
.(24)
(JJ++1=)1wzorem
and
we
obtain
forbyć:
1,
- w pierwszym
pod
wzorem(11) jest:
M is operatorof the moment M 
wierszu.couple
Jnumber.
k +J
ℏjest:
Jma(,and
J[11],
= ℏtotal
mechquantum
 2kT 
) isand
ℏ)and
J -(JJJpod
J kcouple
=+ℏmech
1(24)
and
. Jk
)k1wzorem
k + 1,...,
T
2
J
2
k
2
J
t: mech = mula
−J , −Jfor
0,...,
J
−
,
J



J
=
ℏ
J
J
J
=
+
1
ℏmech
ˆ
and
.
(and
)−Jcouple
polar rotation ofma
the
atom:
ma być: MIntroducing
is operator of the moment M .
couple
ma
być:
total
atomic
ma
być:
być:
.J=
.ℏk mech number.
mech
mech
=
−
=and
J1ℏ
−), J−and
JJthe
1,...,
+Jthe
1,...,
0,...,
0,...,
Jatomic
1,−J1,quantum
al
description
- pod wzorem
(24)
jest:
total
quantum
number.
Introducing
J,JJk−is(+is
J
=
ℏ
J
J
J
=
=
J
+
+
1
ℏ
mech
(
)
4:
Statistical
description
k
k
k
k
ć: mech = −J , −J + 1,...,
J −J1, Jis. the total atomic quantum number.
ma0,...,
być:
- jest: ΩIntroducing
= ( iω − jω )
mech
ozdziału,
mech = −J ,mech
−-couple
Jpod
1,...,
1(24)
, J(24)
couple
4.
Rozdział
4:
Statistical
description
couple
-+ pod
wzorem
jest:
jest:
and
is
the
isℏJthe
total
total
atomic
atomic
quantum
quantum
number.
number.
J
J
iersz
tegojest:
rozdziału,
=
−a
J0,...,
, −cos
JJ+−1,...,
0,...,
JIntroducing
−.(25)
1, Jand
J
=
J
J
+
1
and
.theIntroducing
(
)
is
a function
analogous
toIntroducing
Brillouin function [11].
r
=wzorem
J
=
ℏ
+
1
and
k
(
)
24) jest:
and
totalϕatomic
quantum
number.
J is thejest:
ma
być:
= (kiωJ k− Introducing
jω=
, mech
( Ωℏmech
bold).Introducing
Ω J
)ℏ=
k
couple
ma
być:
ma
is
być:
the
total
is
the
total
quantum
atomic
number.
quantum
number.
J
J
katomic
ma być: mech
.
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1,
J
J
=
ℏ
J
+
1
J
=
ℏmech
and
.
(
)
(
)
J
J
+
1
trzeci
wiersz
tego
rozdziału,
jest:
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
− 1of
, Jatoms
couple
couple
k−J , −J + 1,..., 0,..., J − 1, J . k
Using
the
concentration
N (12)
= NF=dF, we obtain
ma być: mech =couple
trzeci
wiersz
pod
wzorem
(12)
jest:
Based
on
the
moment
operator
J k J=
ℏ=isℏJthe
JJ(+total
J1+) 1and
Jquantum
ℏ=mech
ℏma
mech
andJ k couple
)atomic
Jwpisać
= ℏmech4:JStatistical
description
( J + 1) and4. JRozdział
kJ1
k =
k =ℏ J
k
ma być:
number.
8) proszę
centralnie.
być: Based
onIntroducing
the moment
operator
(11).
=
ℏ)ma
J((być:
J J+kcouple
=the
J
=
1mech
ℏmech
ℏmech
and
and
.
.
)
statistical
couple
moment,
energy
of
precession,
precession
k = ℏ J (JJk +
k
26),
(27),
(28)
proszę
wpisać
centralnie.
=jest:
−Jmech
, −J= −+J ,1,...,
0,...,
J − 1, J .
Rozdział
4:isStatistical
description
- wzór (24)
−J + 1,...,
0,..., JJ− 1−, J1, J
trzeci
wiersz
tego
rozdziału,
jest:
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
trzeba
zamienić
na
J
. być:
.,
(38)
oraz
wzór
(39)
i
(42)
ma
być:
the
total
atomic
quantum
number.
Introducing
J
couple
moment
of
momentum
and
angle
of
precession
in
the
form:
ma
ma
być:
is
the
is
the
total
total
atomic
atomic
quantum
quantum
number.
number.
Introducing
Introducing
J
J
trzeba zamienić
naJ Jk =
. ℏ J ( J + 1) ma
J description
ach: (35),….,
oraz wzór
(39)
(42)
J k = − J=
and
być: mech
, −Jℏmech
+ 1,..., 0,..., J .− 1, J .
4.(38)
Rozdział
4.rozdziału,
4:
Rozdział
Statistical
4: Statistical
description
- iwzory:
(27),
(28)
proszę
wpisać
centralnie.
- trzeci wiersz
tego
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1
,
J
couplejest:(26),
4.
Statistical
description
J is the0,...,
total atomic quantum
ma
. number. Introducing
J k = ℏ J ( J + 1) and J k
= ℏmech .
= −J(24)
Jcouple
−couple
Jand
+ 1,...,
couple. J. − 1, J couple
Jdescription
J=jest:
=
ℏ−Jbyć:
J,Jjest:
=
1-++pod
1(39)
ℏmech
and
(+JJmech
)=1,...,
)wzorem
- trzeci wiersz
- 4.
trzeci
rozdziału,
rozdziału,
jest: mech
=oraz
mech
J(,JJ−wzór
−
Jand
,0,...,
−iJ(42)
−=J1J ,=ℏmech
0,...,
Jtrzeba
J −and
1=, JN
k(38)
k ℏ
k+
k1,...,
na JJ B. J ,(35)
-tego
wewiersz
wzorach:
(35),….,
Rozdział
4:tego
Statistical
ℏm
J ( J + 1) zamienić
J Ω
= ℏkmech
ma
być:
.
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1,
J
atistical description
- wzory:
(26),
(27),of(28)
proszę
wpisać
centralnie.
k
=
1
,
2
,
3
,...,
N
We describe the
probabilistic
space
as
a set
atoms
ma
być:
J
is
the
total
atomic
quantum
number.
Introducing
F
ma
być:
ma
być:
. ,J
mech
= jest:
−mech
J , −mech
J +=1,...,
−J=,0,...,
−J ,+−J1,...,
0,...,
J . couple
J − 1,J J− 1
-Jtrzeci
wiersz
tego
rozdziału,
J−+1,1,...,
0,...,
4. 4.
Rozdział
Rozdział
4:
4:
Statistical
Statistical
description
description
rozdziału,
mech
= area
−proszę
−dF.
J+
1,...,
0,...,
J(35),….,
−the
1, Jmechanical
- tego
wzory:
(26),
(27),
(28)
wpisać
centralnie.
in thejest:
elementary
The
set of
quantum
na JJ.B. J ,(36)
- ,we
wzorach:
(38) oraz
wzór (39) i (42) J J trzeba
NJω z=couple
=U
ℏ J ( J +zamienić
1)=and
ℏmech
-= trzeci
wiersz
wiersz
tego
rozdziału,
jest:
jest:
mech
mech
= −=J−, J−,J−+J1,...,
+ 1,...,
0,...,
0,...,
J −J1−, J11,, J .
- wzory:
(26),
- wzory:
(26),
(28)
(27),
proszę
(28)
wpisać
centralnie.
ma
być:
ma
być:
mech
−-(27),
Jtrzeci
, −Joraz
+
1,...,
0,...,
Jtego
− 1,
Jrozdziału,
numbers
comprises
random
4.zamienić
Rozdział 4: Statistical
trzeba
na Jdescription
.
Jwpisać
we wzorach:
(35),….,
(38)
wzór
(39)
i.proszę
(42)centralnie.
couple - trzeci wiersz tego rozdziału, jest: mech
couple
−J ,=
−
J
J − 1, J
numbers.
Thecentralnie.
events
are(27),
defined
, Umech
M
JJcouple
JJ. B.0,...,
J, centralnie.
trzeba
na
zamienić
.−J=1,
na
- we
wzorach:
-elementary
we-(35),….,
wzorach:
(38)
(35),….,
oraz
wzór
(38)as:ma
oraz
(39)
ibyć:
(42)
i (42)
ma
być:
.J+ 1,...,
mech
=
−=J−, J−zamienić
,JJ −+Jtrzeba
1,...,
+ 1,...,
0,...,
0,...,
−J1,
(27), (28) proszę
wpisać
k (39)
k wzór
wzory:
(26),
(28)
proszę
wpisać
J ,(37)
couple
couple
couple
ma być: mech = −J , −J + 1,..., 0,..., J − 1, J .
ω k oraz
, ϕwzór
,(39)
andi J(42)
.JWe
writezamienić
the random
variables:
k
trzeba
naproszę
J(38)
. oraz
(35),…., (38)
- wzory:
(27), (28)
wpisaćzamienić
centralnie.
J proszę
trzeba
na J .
- kwe
wzorach:
(35),….,
wzór
(39)(26),
i (42)
- wzory:
wzory:
(26),
(26),
(27),
(27),
(28)
(28)
proszę
wpisać
wpisać
centralnie.
centralnie.
couple
(38)
ϕ
arccos
BJ ..
- we wzorach: (35),…., (38)
oraz wzór=
(39)
i (42) J trzeba zamienić na
couple
couple
trzeba
zamienić
zamienić
nana
J (.J +
. 1)
- we
wzorach:
(35),….,
(38)
(38)
oraz
oraz
wzór
wzór
(39)
(39)
i (42)
i (42)J Jtrzeba
,(26)
M- kwe
=wzorach:
Ω k (35),….,
mech
dF → 0
dF → 0
dF → 0
S
k
S
k
dF → 0
( )
S
k
S
dFk → 0
dF → 0
x
k
y
Sx
k
x
k
S
k
S
k
S
k
S
k
k
y
x
k
S
k
S
k
S
k
dF →0
y
x
y
k
dF →0
dF → 0
x
dF → 0
k
S
k
S
k
S
S
k
S
y
S
k
x
k
S
S
y
x
k
couple
k
k
k
(
)
U couple
= − ω zcouple mech ,(27)
k
J couple
= mech ,
k
(28)
S
k
S
k
couple
k
The statistical couple moment m couple and the angle of precession ϕ couple correspond to the vector of the moment stress
and the polar rotation ϕ couple
introduced in Cosserat mechanics.
m couple
335
Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016
Brought to you by | Gdansk University of Technology
Authenticated
Download Date | 6/23/16 9:03 AM
- w pierwszym wierszu pod wzorem (42) jest: J =
escription
2
Kraków
03.Kraków
06. 2016
03. 06. 2016
terpretation
należy usunąć:of
, (gdyż
jestmechanics
powtórzone
zfor
wiersza
l , lthe
≠ k Cosserat
1
Kraków 03. 06. 2016
ma być: J = .
erpretation
of
the
Cosserat
mechanics
for
description
2
Kraków
Kraków
03.03.
06.06.
2016
2016 M. Sikoń
ˆ
ˆ
pod wzorem (11) jest: M is operator of the moment M
bretation
kwantowych.
Sugerowałem
liczby te03.
zapisywać
he
Cosserat
of themechanics
Cosserat
mechanics
for żebyKraków
for
06. 2016
ˆ is operator of the moment M S .
ma
być:
M
k pracy.
kę
dla tychof
liczb
w przesłanej
do Pani
ℏ
 2J + 1 ωzcouple
rpretation
the używałem
Cosserat mechanics
ω for

<
< 1te hyperbolic
couple = 1
In room
temperature,żeby
when liczby
<<1,
cotangent
kwantowych.
Sugerowałem
zapisywać
lim
ctgh
wzór
(48)
jest:
kT



ω
couple
couple
ω
ℏ
zby
te wof
większości
zapisane
są czcionką
(ale
nie only
retation
rpretation
of
the
Cosserat
Cosserat
mechanics
mechanics
for Ariel
>1 U 
T <1K , z
in
B
function
takes
the
form
offor
a power
series.
Leaving
=2 N kzT ,(55)
J the
ę dla
tych
liczb
używałem
w
przesłanej
do
Pani
pracy.
kT
2
S można
the
firstżeby
two
terms,
we
nie
(?)
to
proszę
poprawić
Sugerowałem
antowych.
Sugerowałem
liczbyujednolicić
żeby
te obtain:
zapisywać
liczbyitewszędzie
zapisywać
jpretation
ω
bold).
)te, (wΩwiększości
couple
of the Cosserat
mechanics
for Ariel
zby
zapisane
są czcionką
(ale
nie
2
2
couple
 2J + 1 ω ℏ 
brem
aużywałem
tych liczb
w
używałem
przesłanej
wcouple
do
przesłanej
pracy.
do Pani
ω
(1ω)zcouple
(zpracy.
))
ω zcouple
kwantowych.
Sugerowałem
żeby
liczby
couple
2Pani
couple
lim
ctghJcouple = N z ,(56)
jest: (?)
Based
on
the moment
ma być:
 = 1.
(+Jte1+)zapisywać
=ujednolicić
Ncouple
Ω
U
U
=operator
N
= N2 Ji(2(12)
Jwszędzie
,(39)
nie (12)
można
tom
proszę
poprawić
ωzcouple ℏ
2
k
T
2
≫1
T <1K ,


zości
te
w tych
większości
zapisane
są
zapisane
czcionką
są
czcionką
(ale
nie
Ariel
ma
być:
Based
on
the moment
operator
(11).
3kkT3Tpracy.
knie
T
dla
liczb
używałem
wAriel
przesłanej
do
Pani
3(ale
kwantowych.
antowych.
Sugerowałem
Sugerowałem
żeby
żeby
liczby
liczby
te
te
zapisywać
zapisywać
kT
2 (ale nie
=można
−te
J ,tych
−
J większości
+(?)
1,...,
J −zapisane
1, Jujednolicić
couple
to
proszę
ujednolicić
to0,...,
proszę
i wszędzie
ipoprawić
wszędzie
poprawić
ωzcouple ℏ
by
w
są
czcionką
Ariel
la
dla
tych
liczb
liczb
używałem
używałem
w
w
przesłanej
przesłanej
do
do
Pani
Pani
pracy.
pracy.
 5większości”
4,7 o
(
)
ωtez zapisywać
≫ 1 , w miejsce zn
(w
oznaczeniu
granicy
znak
„silnej
wantowych. Sugerowałem
żeby
liczby
couple
2
couple
kT
) Ariel
= N przedstawić
J (J +i 1wszędzie
,(40)
ϕ
=
.(57)
=ie
Ji ,7−Jwpisując
+ 1,...,
0,...,
J −U1, J .inaczej
6−te
wzory
ułamek,
można
(?)
to
proszę
ujednolicić
poprawić
o
by
te
w
w
większości
większości
zapisane
zapisane
są
są
czcionką
czcionką
Ariel
(ale
(ale
nie
nie
3kPani
T pracy.
125ℏ,3
dla tych liczb używałem w przesłanej do
and J is the total atomic quantum number. Introducing
 ωzcouple

d
M
ie
można
można
(?)
(?)
to
to
proszę
proszę
ujednolicić
ujednolicić
i
wszędzie
i
wszędzie
poprawić
poprawić
couple
lim
ctgh
- wzór (49), jest:
y6J te
w
większości
zapisane
są
czcionką
Ariel
(ale
nie

 =1
couple
couple
i=
7
wpisując
wzory
inaczej
przedstawić
ułamek,
m
,
ω
ω
ℏ
lim
couple
2
z
J ( J + 1) and J
Jk
==
ℏmech
z
k
T
k =ℏ
1
,
1
<
>
T
K


,(41)
N J (J + 1)
dF →0 dF
kT
e można
(?)
to proszę ujednolicić i wszędzie
dtotal
M atomic
3kT poprawić
5.
Polarization
of the couple
atoms in a mechanical field
ć:
is
the
quantum
number.
Introducing
J
7wzory
wpisując
wzory
inaczej przedstawić
ułamek, ułamek, 2 2
m
,= m
=inaczej
F
d, Mprzedstawić
dF
lim
lim
 ωz ℏ 
couple
couple
couple
dF →0 dF
couple
dF
→
0
(ωω(ω ) )
lim
ctgh 
1
=dM
ℏ J ( J + 1wzory
Jinaczej
=couple
ℏmech
. 2
) and
ma być:
i J7k wpisując
k
of=the
the
macroscopic
vector
moment of momentum
U couple
U
=przedstawić
N
= N2J
 (J (+J1+)ułamek,
1) zz z .(42) We define
ϕ couple
= arccos
ω couple
ℏ
k
T
, dM dF
≫1
T <1K , z


n, m = lim
Fdescription
lim
33k3TkT
kT dF in the form:
on the surface
→
7dFi wpisując
70 wpisując
wzory
inaczej
inaczej
przedstawić
przedstawić
ułamek,
ułamek,
dFddFM→0 wzory
11
= limjest:
sunąć:
(gdyż
powtórzone
l , l mech
≠,Ink ,the
działu,
= −particular
J , −Jjest
+ 1,...,
0,...,when
J − 1, JJ ==z wiersza
case
formulas (39), (tak
…, (41)
samo jak poprzednio proszę poprawić
znak „większości” na znak „
→
0M
dF
d
d
M
ni 7dF
M
m
=dFwpisując
M
d
dF
22ułamek,
lim
1 NF
wzory
inaczej
przedstawić
we
write:
=
,
,
dF
→
0
ma
być:
.
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1,
J
lim
lim
J =poprawić
J kJ. na J .
(58)
- we wzorach (50),…,(53) proszę
∑
→
dF0 =
→dF
0lim
unąć:
ld,dF
l ≠dkM, (gdyż
,dFm
dF jest powtórzone z wiersza
couple
d
F
M
k
=
1
ω
proszę
wpisać
centralnie.
couple
2
couple
dF
→
0
z
on
1
,(43)
m
= N Ω
lim
,=
m
m
=
=0 lim
dM
d, M
dFdF
J
=
lim
w
pierwszym
wierszu
pod
wzorem
(53)
jest:
zamienić
na 4Jk. T
Jz trzeba
(38)
oraz
wzór
(39)
i Sjest
(42) powtórzone
dF →
dF
S
(gdyż
ć:
jest
,
powtórzone
(gdyż
wiersza
z
wiersza
,
l
l
≠
k
When the system of the atoms k = 1, 2,23, …, NF is not
→
dF0 →jest:
0
rem dF
(11)
Mˆ k is operator of the moment Mˆ k
on
2
1
couple
loaded,
the vectors of the atomic moment of momentum Jk are
m
=
M
d
dF
nąć:
,
(gdyż
jest
powtórzone
z
wiersza
lim
,
l
l
≠
k
) ,(44)
- w pierwszym
pod wzorem
jest:ˆ JSS =
couple
2 (ω z (42)
1
dF → 0
ˆ SSwierszu
=
N

U
oriented
in space in a completely
M
ma
być:
.
em
(11)
jest:
is
operator
of
the
moment
M
M
2
ma disordered
być: J = way. and the total
1
kk jest
kk
nąć:
ć: l , l ,≠l-k≠w,k(gdyż
,pierwszym
(gdyż
jest
powtórzone
powtórzone
z
wiersza
z
wiersza
4
k
T
macroscopic moment of momentum is equal to
wierszu pod wzorem (42)S jest: J =
2 zero J = 0. At
1
S
S ˆ S is operator of ˆ
S moment
SM
2
couple M
ˆ
ˆ
ˆ
the
time
of
application
of
the
external
load,
the
macroscopic
ma
być:
the
.
M
n
couple
(11)
is
jest:
operator
is
of
operator
the
moment
of
the
moment
M
M
M
J
=
k
ma być:
.
k
nąć:
jest powtórzone
z zwiersza
l , l ≠ k , k(gdyż
k
k2ω
k
ℏΩ
couple
couple
couple
J
vector
J
increases
from
zero
to
the
value
as
on formula
,(45)
J
=
N

2
wzór
(54)
jest:
m
=
N
S
S
1
ˆ
nˆmSbold).
S moment
(11)
jest:
is operator
ofM
the
1 J = . (37) and is set in a direction
ˆ SMˆis
4kT M SM
k operator
k być:
ma
2
Ω
perpendicular
to
the
average
direcma
is
być:
operator
of
the
moment
of
the
moment
.
.
M
M
k
k
-k w pierwszym
Sˆ S wierszu pod wzorem (42) jest:
Sˆ S J =
2
ˆkM
ˆM
couple
S
Sis is
couple
m
(11)
(11)
jest:
jest:
operator
operator
of
of
the
the
moment
moment
tion
of
the
interatomic
action.
This
process
lasts
for
the
time
T,
M
M
ˆ
2
k
k
k
k
ℏΩ
maBased
być: on
operator
of the moment
M ktheismoment
3(12)
ω z coupleM k .
couple
couple operator
jest:
bold).
ma
być:
(
bold).
m
=
N
Ω
2
J
+
1
ω
ℏ


arccos
ϕ
=
described
by
the
formula:
.(46)
z
Sˆ SS = 1 1
Sˆ SS
lim
- ma
wzór
(48)Mˆon
jest:
2
m
(11)
jest:
ismoment
operator
of
moment
M
M
6(11).
3kM
Tbyć:
ma
być:
być:
ofctgh
thethe
moment
kkis operator
być:
Based
operator
k .kk couple
k the
J. =ℏ  .
ma
ωzcouple ℏ
2
k
T
couple
2
J
+
1
ω
1
,
1
<
>
T
K



est: Based on
the
moment
operator
(12)
z
ld).
d
Jjest:
k
T
2
low temperature
and
very strong Smechanical
- pierwszy
k−=J 1,
2,3,...N F
S
lim
ctgh
= 1inter- wiersz pod wzorem J(58)
-być:
wzór
jest:
+ 1,...,
0,...,
JIn
−ˆ(48)
1very
,
J
.(59)
M


=
ma
is
operator
of
the
moment
.
M
couple
k
k
ω
ℏ
z
być:
Based
on the
moment
(11).
2
k
T
actions
between
the
(in
range),
where
couple
,operator
1 elastic
>
T <1Katoms


bold).
d
t
T
ℏ
kT  2J + 1 ω
Based
moment
on Jthe
operator
(12)
operator
ma być: k = 1, 2,3,..., N F .
z
+he
1,...,
0,...,
−11,moment
J . lim
couple
ctgh ω(12)
= 1.
ma
być:
1,...,
0,...,
J
−
,
J
couple


couple
couple
zJ +1 ω
bold).
ld).
ω
ℏ
2
ℏ


z
2  2>Jz>kT
he
Based
moment
on
the
operator
moment
st:
Based
on
the
moment
(12)
Solving
(59), [11],
write theułamka
dependence
of
TkToperator
<≫number.
1operator
+1,(47)
1 ω z= 1 -ℏ we
1K ,
T <1K , (11).
 wzsorze (60)
znak equation
minus zlewa
sięwe
zecan
znakiem
w funkcji
exp
total(48)
atomic
quantum
lim
ctgh (11).
-he
wzór
jest:
lim
ctgh
= 1.
kIntroducing
T 
ma

. być:
1,...,
0,...,
J
−
1,
J
couple
the
macroscopic
moment
of
momentum
on
the
time:

ω
ℏ
couple
z
2
k
T
.,st:
JBased
0,...,
J on
− 1on
, Jthe
yć:
Based
moment
(11).
ℏ  (12)
couple
bold).
1 ωz
>operator
T <1K ,
the
moment
operator
(12)

2
k
T
ω
ℏ
couple
umieścić
między
znakiem
minus a ułamkiem, tak jak poniżej:
≫1
T <1K ,
 większości”
 z ≫ 1„odstęp”
we obtain:
granicy
znak
„silnej
, w miejsce
znaku
większości)
Jtotal
J kquantum
= ℏkTmech
+(w
1) oznaczeniu
kT
and
(Based
kT
he
atomic
number.
Introducing
t
1,...,
0,...,
J
−
1
,
J
yć:
Based
on
on
the
the
moment
moment
operator
operator
(11).
(11).
.
.
.,
J
0,...,
J
−
1,
J
couple
− 
st: Based on
the
moment operator
ωzcouple ℏ
couple 
2znak
J(12)
+ω1couple
ω
ℏ
T
 Introducing
couple
≫ 1 , w miejsce J
(w
oznaczeniu
granicy
„silnej
znaku
większości)
z ℏ  większości”
t
=
J
1
−
e
.
(
)

e
total
atomic
quantum
number.
k
T

 .(60)
(48)
ctghIntroducing
= 1,.
J-0,...,
J,JkJjest:
=lim
+0,...,
1)Jma
ℏnumber.
mech
and
z
−
1−,być:
1
Jthe
(.,quantum
.moment
1,...,
J(49),
1,
otal
atomic
number.
quantum
Introducing


couple
lim
ctgh
=
1
ć:
Based
on
operator
(11).
wzór


ωz
ℏ couple


2
k
T
couple
T <1K ,
  kT  ω  ℏ 
ωz≫1 ℏ
1kKT ,ℏmech
> 1 .
T <=
J1total
J0,...,
J=. kcouple
+atomic
1mech
ouple
couple
.Jquantum
)JJwzór
1,...,
.,total
0,...,
1,
−
number.
Introducing
kT
−and
1J1,,quantum
number.
Introducing
w wierszu
When
a Cosserat8-mym:
medium is subjected to mechanical loads,
lim
ctgh  z
1ωcouple ℏ 95, zdanie
=
+e,...,
ℏJatomic
ℏ
mech
and
-J−
(49),
jest:
)(0,...,
k
 -=strona
z
ωzcouple ℏ
k
T
≫ 1 , w the
(w
oznaczeniu
granicy
znak
„silnej
miejsce
znaku
większości)
couple
> 1 couplewiększości”
T <1K , Introducing
polarization
of
the
macroscopic moment of momentum J


couple
eJotal
total
atomic
atomic
quantum
quantum
number.
number.
Introducing
k
T
on
J and
− J1,kJJ.k = ℏ=
1)+ 1and
mechℏmech
J...,+(atomic
J0,...,
. kT  ωz ℏ  = 1,(49) occurs. This polarization can be characterized by the statistical
)number.
al
uantum
quantum
Introducing
number.
Introducing
lim
ctgh
ma
być:
couple
couple
in the above analysis, the general phenomenon which can
ωzcouple
ℏ
st:
J, −
1,...,
0,...,
J −Introducing
1,JωkzT  ω
ℏcouple ℏ  As was shown
total
J−couple
=Jℏ=+
+Jotal
1+mech
1and
mech
andJ=kcouple
) atomic
≫1
<1mech
Tℏ
K , number.
angle of precession ϕ couple written in formula (38). During this
k quantum
number.
Introducing
z =1
lim
ctgh
kT .
-+)wzór
(49),
jest:
Jon
J kcouple
=
Jquantum
=
1)atomic
ℏmech
ℏmech
and
.
lim
ctgh
=
1

kcouplema być:ωzcouple ℏ couple 
at the
scale ofenergy:
the electron/nucleon distances is the pre
 Cosserat mechanics
process the
mechanical
ć:+mech
. kT kT znak
mech
=quantum
−quantum
Jjak
,couple
−JJ=poprzednio
+ℏnumber.
J poprawić
1J
<1K , 0,...,
>ω
T1,...,
z −ℏ1,
≫
,J
1
Jt:
J
1
mech
and

)
al
otal
atomic
atomic
number.
Introducing
(tak
samo
proszę
„większości”
na
znak
„silnej
większości”).
=
−
J
,
−
+
1,...,
0,...,
−
1
,
J
kTT<1K Introducing
k
J
J
=
+
1
ℏmech
and
.
k
T
( ) and formulas
(35–38) take the following forms: electrons/nucleons shell under the action of the mechanical field.
k
wpisać
centralnie.
couple
couple
couple
-otal
we
wzorach
(50),…,(53)
proszę
poprawić
J na J .znak „większości” na znak
(t ) = −większości”).
U couple
ω couple ⋅ J (t ),(61)
ć:
.couple
mech
=
−
J
,
−
J
+
1,...,
0,...,
J
−
1,
J
(tak
samo
jak
poprzednio
proszę
poprawić
„silnej
ω
ℏ


atomic
quantum
number.
Introducing
J
J
J
J
=
=
+
1
+
1
ℏmech
ℏmech
and
and
.
.
(
)
)
z
couple
k
k
mech
J + 1,...,
=(39)
−J0,...,
, i−(42)
Jbyć:
J+ 1,...,
− 1J, Jtrzeba
0,...,
1=, JNΩ na J ,(50)
n−wzór
lim
ctgh
ma
m J−
zamienić
 kT poprawić
. = 1
ωzcouple ℏ
couple T <1(50),…,(53)
we
wzorach
proszę
.
J1 na J poprawić
pisać
centralnie.
≫
,
1
K


na: until the macroscopic moment of momentum J reach−, −
J J,J−kJ+Jwierszu
Jwzorem
decreases
Jw+pierwszym
=J0,...,
11,...,
ℏmech
. −J1,. J (53) jest: J = proszę
n-−(mech
. 0,...,
mech
=) −=and
J0,...,
1,...,
−+1,1,...,
1,
kpod
TJ −
couple
couple
2
1
U Jzamienić
=
es a value J couple corresponding to the new state of equilibrium.
J1,...,
trzeba
na J ,(51)
.
wzór
i, −(42)
mech
=- samo
−
0,...,
1−pod
,N
1
J,JJωwzorem
(tak(39)
znak
na znak „silnej większości”).
. zpoprawić
=J−pierwszym
J ,Jjak
−+J 1,...,
+poprzednio
0,..., −Jproszę
1,
J =
w
wierszu
(53)
jest:„większości”
e.ćmech
centralnie.
1
2
couple
-isać
we
wzorach
J naJ =
J. .
mech
mech
=i=−=(42)
J−−,JJ−zamienić
1,...,
1,...,
0,...,
0,...,
J1,, na
Jpoprawić
. J ,(52)
trzeba
na
zamienić
.J−J 1,
. ma być:
J centralnie.
JJ+J trzeba
JJproszę
ór
)mech
(39)
,,J−−(50),…,(53)
++1,...,
0,...,
−−1=
J.N
2
1
1
trzeba
zamienić
na
.
J
J
wzór
(39)
i
(42)
J = . 6. Conclusion
ma
być:
ać
isać
centralnie.
centralnie.
couple
couple
.
= −J , −Jwierszu
+ 1,...,
0,...,
J
−
1,
J
J
=
-mech
w pierwszym
pod
wzorem
(53)
jest:
,(53)
ϕ
=ℏarccos
Ω
2
couple
- wzór
jest:
mtrzeba
=zamienić
N
2
(
J Jtrzeba
zamienić
nanaJcouple
.J +
. 1)
wzór
ór
(39)
i(54)
(42)
i (42)
Voigt could not explain the results of his experiments because
sać(39)
centralnie.
2 ℏΩ
couple
knowledge about the atom was not sufficient at that time
11
1
wzór
(54)
jest:
m
=
N
couple
J ==
particular
case
when
:
zamienić
na2 JJma
. 2 być:
zór (39) iNow,
(42)forJ thetrzeba
J= .
ℏΩ
couple
(Thomson model). We also do not have such a description in
2
ma być: m
( Ω bold).
=N
2
couple
contemporary works of interatomic interactions, even though
2
ℏΩ
couple
ℏΩ=couple
,(54)
the planetary model of the atom has been present in physics
ma
być:
(
bold).
N
Ω
couple m
-- wzór
(54) wiersz
jest: mpod =
N
pierwszy
wzorem
(58) jest:
k = 1, 2,3,...N F
2
2
- pierwszy wiersz pod wzorem
(58)kjest:
k = 1, 2,3,...N
ma być:
= 1, 2,3,...,
NF . F
ℏΩ couple
couple
336
Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016
ma być:
( Ωmabold).
mznak= minus
N
- we wzsorze
(60)
zebyć:
znakiem
wFfunkcji
exponens, proszę więc
.
k = 1,ułamka
2,3,..., N
2zlewa się
Brought to you by | Gdansk University of Technology
między
znakiem
minus
asię
ułamkiem,
tak
jak poniżej:
- we„odstęp”
wzsorze
(60)
znak
minus
zlewa
ze znakiem
ułamka
w funkcji exponens, proszę więc
Authenticated
-umieścić
pierwszy
wiersz
pod
wzorem
(58) jest:
k=
1, 2,3,...N
F
t
Download
Date
| 6/23/16 9:03 AM
−
umieścić „odstęp” międzyma
znakiem
tak jak poniżej:
couple  minus
T a ułamkiem,
być:
.
S
k
S
k
k
x
k
couple
z
S
k
Physical interpretation of the Cosserat mechanics for a collection of atoms
since 1913. The planetary structure of the atom is not taken
into account in the mechanical interactions in the first studies
using quantum mechanics [10, 14], and is not taken into account
in attempts to provide the mechanical stress and force at the
quantum level [15].
As was shown in the above analysis, the general phenomenon which can explain the Cosserat mechanics by the scale
electron/nucleon is the precession of the electron/nucleon shell
in the field induced by mechanical change of the interatomic
distance. The atom precession occurs as a result of the asymmetrical construction of the atom. For a set of atoms we can
describe phenomena of the polarization of atoms. The results
of the analysis in a different scale correspond to the basic of the
condensed matter enunciated by P. W. Anderson [13].
The physical interpretation of the Cosserat mechanics (moment action, energy of precession, moment of momentum of
precession and angle of precession) is derived on the basis of
the electron/nucleon structure of the matter, the quantum properties of the matter and the Boltzmann distribution. This analysis can explain the results of the Voigt experiment, the rotation
of the molecule introduced ad hoc in the micropolar elasticity
and the polar properties of the materials introduced ad hoc in
the nonsymmetrical elasticity.
The quantum volume of the energy association with disturbance of the electron/nucleon in the field generated by mechanical action can become an inspiration to carry on experiments
in resonance spectrometers EPR and NMR in order to confirm
the above theory.
Appendix. The average values of the cos ϕ kcouple for atoms k = 1, 2, 3, …, NF location on interaction area in canonical distribution
Π take the following form:
 ω couplemech 
mech exp  z

kT
mech
J
mech = −J

 .(A1)
Π=
mech = J
 ω zcouplemech 
J (J + 1)
J (J + 1)
∑ exp kT

mech = −J


mech = J
cosϕ kcouple =
Expression
ω zcouple 
kT
mech = J
∑
mech = −J
∑
is a variable, so formula (A1) can be written as:
cosϕ
couple
k
mech = J
 ω zcouplemech 
J
d
=
lln
n ∑ exp 
 .(A2)
kT
J (J + 1)  ω zcouple  mech = −J



d 
 kT 
The sum in (A2) takes the form:
 ω zcouplemech 
 ω zcouple(− J ) 
ω zcouple[− (J − 1)]
exp
=
exp
+
exp

 + ,...
∑




kT
kT
kT
mech = −J






,(A3)
couple 2
couple 2
(
(
ω zcouple ) couple 2
ωz )
couple couple 2
U  ω = N(J (−J1+) 1) U ω=z NJ (J + 1)
..., + exp  z
3kT
3kT


 + exp
kT


 kT 
mech = J
and after transformation:
 ω zcouplemech 
 ω zcouple(− J ) 
 ω zcouple 

 + ,...
=
+
exp
exp
1
exp
∑




kT
kT
mech = −J




 kT 
2
2 .(A4)
(
(
ω zcouple
ω zcouple )
couplecouple
2
couple) couple 2





(
)
U ω = N2J (−J1+ 1) U ω z = N2J (J + 1)

..., + exp  z
3kT
3kT
 + exp
kT
kT




mech = J
Using the sum of a power series formula (A4) we write in the form:
 ω zcouple(2J + 1) 
1
exp
−


mech = J
kT
 ω zcouplemech 
 ω zcouple(− J ) 

 ,(A5)
exp 
∑
 = exp 

couple
k
T
k
T


ω

mech = −J




1 − exp  z

 kT 
337
Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016
Brought to you by | Gdansk University of Technology
Authenticated
Download Date | 6/23/16 9:03 AM
M. Sikoń
and after transformation:
 ω zcouple(2J + 1) 
1
exp
−


mech = J
kT
 ω zcouplemech 
 ω zcouple(− J ) 

 .(A6)
= exp 
exp 
∑


couple
kT
kT
ω

mech = −J




1 − exp  z

 kT 
Substituting (A6) to formula (A2) and counting derivative, we finally obtain:
cosϕ
couple
k
 2J + 1
 2J + 1 ω zcouple  1
 ω zcouple 
J
−
 .(A7)
=
ctgh
ctgh

kT  2J
J (J + 1)  2J
 2
 2 kT  
References
[1] E. Cosserat and F.Cosserat, Théorie des corps déformables,
A. Hermann, Paris 1909.
[2] W. Voigt, Theoretishe Studien über die Elastizitätsverhältnisse
der Kristalle, Abh. Ges.Wiss. Göttning, 43, 1887.
[3] W. Nowacki., Theory of the nonsymmetrical elasticity, Polish
Academy of Sciences, PWN, Warsaw 1981.
[4] R. J. Boscovich, Philosophie naturalis, Venezia 1763.
[5] C. L. Navier, Mémoire sur les lois de l’éqilibre mouvement des
corps solides élastiques, Mém. Inst. Natl., 1824.
[6] A. C. Eringen, Theory of micropolar elasticity, Princeton University, Princeton, New Jersey, 1967.
[7] M. P. Allen, Introduction to molecular dynamics simulation, John
von Neumann Inst. For Comput., vol. 23, 2004.
[8] N. Bohr, Studies on the Electron Theory of Metals, University
of Copenhagen, Copenhagen 1911.
[9] J. H. Bartlett, Nuclear structure, Nature, 130, 165, 1932.
[10] E. Schrödinger, Collected Papers on Wave Mechanics, Blackie,
Glasgow, 1928.
[11] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed. Jon Willey
& Sons, Inc., New York 2005.
[12] L. D. Landau J. M. Lifszyc, Statistical physics, PWN, 2011.
[13] P. W. Anderson, Basic Notions of Condensed Matter Physics.
Reading: Addison-Wesley, 1997, ISBN 0‒201‒32830‒5.
[14] R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands, Feynman Lecture
on Physics, Volume III, Reading, MA: Addison-Wesley, 1963.
[15] O. H. Nielsen, R. M. Martin, Quantum-mechanical theory of
stress and force, Physical Review B, Volume 32, Nr 6, 1985.
[16] M. Sikoń, Analysis of the Cosserat medium on the basis of the
atomic structure of the matter, Monograph, Publ. Cracow University of Technology, Cracow 2012.
338
Bull. Pol. Ac.: Tech. 64(2) 2016
Brought to you by | Gdansk University of Technology
Authenticated
Download Date | 6/23/16 9:03 AM