Download Slide 1

‫تقریب سازی معادالت جریان آبهای زیرزمینی‬
‫معادالت حاکم برآبهای زیرزمینی را می توان با تکنیک های عددی متفاوت شامل تفاضل محدود واملانهای‬
‫محدودی تقریب سازی نمود‪.‬‬
‫دراین بخش تکنیک تفاضل محدود موردبررس ی قرارمی گیرد‪.‬‬
‫واحداشباع به مجموعه ای ازشش وجهی شکسته می شود‪.‬‬
‫درشکل بعد پالن این چندوجهی هادیده می شود‪.‬‬
ci
rj
Aquifer Boundary
ci
Dimension of column i
rj
Dimension of row j
bi, j , k
Cell Thickness (saturated thickness in some cases)
‫تمام پارامترهای محیط متخلخل (‪S ،K‬وضخامت)برای هرسلول عمود برشبکه ثابت فرض می شود‪.‬‬
‫برای بسط معادالت تفاضل محدود‪،‬جریان ورودی وخروجی ازهرسلول موردبررس ی قرار می گیرد‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i+1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪Qu,i, j ,k‬‬
‫‪i-1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪Qb,i, j,k‬‬
‫‪k-1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪y‬‬
‫‪j-1‬‬
‫‪Qr,i , j, k‬‬
‫‪j‬‬
‫‪Ql,i , j ,k‬‬
‫‪Qd,i , j, k‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪j+1‬‬
‫‪Qf ,i, j ,k‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
.‫ بیان می شود‬i,j,k ‫جریان به سلول توسط قانون دارسی و مطابق شکل بازیرنویس‬
:‫جریان بین سلول مرکزی و سلول سمت چپ برابراست با‬
Ql ,i , j ,k  K l ,i , j ,k Al ,i , j ,k
hi 1, j ,k  hi , j ,k
ll ,i , j ,k
K l ,i , j , k Representa tive hydraulic conductivi ty between th e center cell and the cell on its left
Al ,i , j , k Cross - sectional area of flow between th e center cell and the cell on its left
ll ,i , j , k Distance between th e node in the center cell and the node of the cell on its left
hi , j , k
Head in cell (i, j, k ); the center cell
hi 1, j , k Head in cell (i-1, j, k ); the cell to the left of the center cell
‫معادالت مشابهی را می توان برای پنج جریان ورودی وخروجی دیگر به سلول مرکزی وخروجی از آن‬
.‫نوشت‬
Qr , i , j , k  K r , i , j , k Ar , i , j , k
Q f ,i , j , k  K f ,i , j , k Af ,i , j , k
Qb , i , j , k  K b , i , j , k Ab , i , j , k
Qu , i , j , k  K u , i , j , k Au , i , j , k
Qd , i , j , k  K d , i , j , k Ad , i , j , k
hi 1, j , k  hi , j , k
l r , i , j , k
hi , j 1, k  hi , j , k
l f , i , j , k
hi , j 1, k  hi , j , k
lb , i , j , k
hi , j , k 1  hi , j , k
lu , i , j , k
hi , j , k 1  hi , j , k
l d , i , j , k
K r ,i , j , k
Hydraulic conductivi ty between th e nodes of adjacent cells (center and right)
K f ,i , j , k
Hydraulic conductivi ty between th e nodes of adjacent cells (center and front)
K b,i , j , k
Hydraulic conductivi ty between th e nodes of adjacent cells (center and back)
K u ,i , j , k
Hydraulic conductivi ty between th e nodes of adjacent cells (center and up)
K d ,i , j , k
Hydraulic conductivi ty between th e nodes of adjacent cells (center and down)
Ar , i , j , k
Cross - sectional area between adjacent cells (center and right)
Af ,i , j , k
Cross - sectional area between adjacent cells (center and front)
Ab , i , j , k
Cross - sectional area between adjacent cells (center and back)
Au , i , j , k
Cross - sectional area between adjacent cells (center and up)
Ad , i , j , k
Cross - sectional area between adjacent cells (center and down)
lr , i , j , k
Distance between adjacent cell nodes (center and right)
l f , i , j , k
Distance between adjacent cell nodes (center and front)
lb , i , j , k
Distance between adjacent cell nodes (center and back)
lu , i , j , k
Distance between adjacent cell nodes (center and up)
ld , i , j , k
Distance between adjacent cell nodes (center and down)
hi , j 1, k
Head in cell (i, j+1, k )
hi 1, j , k
Head in cell (i+1, j, k )
hi 1, j , k
Head in cell (i-1, j, k )
hi , j , k 1
Head in cell (i, j, k-1)
hi , j , k 1
Head in cell (i, j, k+1)
‫برای ساده سازی از واژه جدیدی به نام کنداکتانس استفاده می شود‪:‬‬
‫‪hi1, j ,k  hi , j ,k‬‬
‫‪ll ,i , j ,k‬‬
‫‪Ql ,i , j ,k  K l ,i , j ,k Al ,i , j ,k‬‬
Li ,
Ri ,
Fi ,
j ,k
j ,k
j ,k
Bi ,
U i,
Di ,
j ,k
j ,k
j ,k






K l ,i ,
j ,k
Al ,i ,
ll ,i ,
K r ,i ,
j ,k
j ,k
Ar ,i ,
lr ,i ,
K
f ,i , j , k
l
K b ,i ,
,i , j , k
f ,i , j , k
j ,k
Ab ,i ,
j ,k
j ,k
j ,k
j ,k
Au ,i ,
lu ,i ,
K d ,i ,
j ,k
j ,k
Af
lb ,i ,
K u ,i ,
j ,k
j ,k
Ad ,i ,
l d ,i ,
j ,k
j ,k
j ,k
Li , j ,k
Conductanc e between adjacent cells (center and left)
Ri , j ,k
Conductanc e between adjacent cells (center and right)
Fi , j ,k
Conductanc e between adjacent cells (center and front)
Bi , j ,k
Conductanc e between adjacent cells (center and back)
U i , j ,k
Conductanc e between adjacent cells (center and up)
Di , j ,k
Conductanc e between adjacent cells (center and down)
:‫ معادالت قبل درمورد سلول مرکزی وشش سلول مجاورآن بصورت زیرنوشته می شود‬،‫بااین ساده سازی‬
Ql ,i , j ,k  Li , j ,k hi 1, j ,k  hi , j ,k
Qr ,i , j ,k  Ri , j ,k hi 1, j ,k  hi , j ,k
Qf
,i , j ,k
 Fi , j ,k hi , j 1,k  hi , j ,k
Qb ,i , j ,k  Bi , j ,k hi , j 1,k  hi , j ,k
Qu ,i , j ,k  U i , j ,k hi , j ,k 1  hi , j ,k
Qd ,i , j ,k  Di , j ,k hi , j ,k 1  hi , j ,k






‫جریان های دیگر ورودی به سلول ازمنابع خارجی که خاج از شبکه می باشند‪.‬‬
‫این جریانها ممکن است وابسته به بارهیدرولیکی (سطح آب) درسلول باشند‪.‬‬
‫اگر جریان بستگی به بارهیدرولیکی درسلول مرکزی نداشته باشد‪ ،‬شرایط مرزی‬
‫بصوت نیومن ‪ Neumann boundary‬می باشد‪.‬‬
‫چاه مثالی از شرایط مرزی نیومن می باشد‪.‬‬
‫آب می تواندواردچاه ویاازآن خارج شودبدون آنکه جریان از سلولهای مجاوربگذرد‪.‬‬
‫اگر جریان بستگی به جریان درسلول مرکزی داشته باشد‪ ،‬نشان دهنده مرز ‪ Cauchy boundary‬است‪.‬‬
‫روخانه ای که بسترآن متشکل ازموادکامال‪″‬متفاوت از آبخوانی است که رودخانه برروی آن واقع است‪ ،‬مثالی از‬
‫یک مرز کوچی است‪.‬‬
‫تقریب زمانی تفاضل محدود‬
Well drawdown in confined aquifer (Poisson's equation)
Poisson's equation
(3-10) can be used to take into account the influence of sinks and sources on
hydraulic head of confined aquifers. The problem under consideration is shown in
Fig. 3-10.
Fig. 3-10. Schematic representation of the
well drawdown example.
The confined aquifer is assumed to be of circular shape and the discharging well is located at
the center of the aquifer.
The radius of the homogenous, isotropic aquifer is 1100 m, the thickness b is 30 m and the
hydraulic conductivity is 13.3 m d-1, i.e. transmissivity T of Eq. (3-9)
T = Kb (3-9)
is in this case 400 m2 d-1. Pumping rate Q from the well is 2000 m3 d-1.
The hydraulic head along the circular boundary of the aquifer is 30 m and it is assumed to be
unaffected by the pumping.
The initial head in the aquifer before pumping is also 30 m. R equals -0.2 m2 d-1 (= - Q/1002).
Mathematically it is necessary to treat only one quarter of the problem due to symmetry(see
Fig. 3-11).
Fig. 3-11. Finite difference grid for the well drawdown problem.
Number of nodes is NX = NY = 12 and Dx = Dy = 100 m.
The fictitious nodes are located on west-side and south-side boundary.
Constant head is given on east-side and north-side boundary and also on those nodes,
where distance from the well exceed the radius 1100 m of the aquifer.
West-side and south-side boundary are no-flow boundaries.
Now it is necessary to develop finite difference approximation for the Poisson's equation
(3-10).
(3-33)
The west-side hand side of Eq. (3-10) is replaced by the approximation given in Eq. (3-22).
By solving Hi,j from (3-33) and rearranging terms and assuming that Dx = Dy we get:
In the case of sink (e.g. pumping from well) R is negative and R positive for source
(recharge from precipation).
The unit of R is m d-1, whereas the unit of pumping Q is m3 d-1
Recharge is a distributed source whereas pumping is a point sink.
However, mathematically Q can be consired to be divided over one grid cell area as
shown in Fig. 3-11
in such a way that
Q = -R Dx Dy where the negative sign is due to sink.
In the case of pumping from well recharge R can be calculated thus
R = -Q/ (Dx)2
(3-35)
R is zero for all the other nodes except the node(s) where the pumping well(s)
are.
The well drawdown problem was solved using EXCEL and SOR-method.
Example 3.5 (file SGH_E305.XLS)
The west-side and south-side zero-flow boundary conditions were treated using the
fictitious nodes as described in Example 3.2.
The Dirichlecht boundary conditions are simply given as constant values in the finite
difference grid.
For inner nodes without pumping the formula used in the EXCEL-cells is shown in
Example 3.3 and in Eq. (3-29)
:and for the pumping node the equation is as follows:
(3-36)
The reason for choosing a circular aquifer is simply that an analytical solution given by
the Thiem equation exists for the case and it is possible to compare the results of the
numerical solution to analytically calculated values.
The Thiem equation is :
(3-37)
where r is the distance from the pumping well (m),
rE is a so called effective radius (1100 m in this case) indicating that the static water level
remains unaffected for distances greater than rE m from the well,
Q is discharge from the well (m3 d-1) and T is transmissivity (m2 d-1).
The results of the computation are given in Table 3-5.
Analytical and numerical solutions are compared for the lowest grid-line (i=1,..NX; j=NY).
The deviation between the analytical and numerical solution is greatest near the well (0.06 m)
and gets smaller values when distance from the well is inreased.
Table 3-5. Calculated heads in the well drawdown problem and comparison to analytical solution of Thiem
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
29.91
29.92
29.92
29.93
29.96
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
29.83
29.83
29.84
29.86
29.89
29.92
29.96
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
29.73
29.73
29.75
29.78
29.81
29.85
29.90
29.95
30.00
30.00
30.00
30.00
29.62
29.63
29.65
29.69
29.73
29.78
29.84
29.89
29.95
30.00
30.00
30.00
29.50
29.51
29.54
29.59
29.64
29.71
29.77
29.84
29.90
29.96
30.00
30.00
29.35
29.37
29.41
29.47
29.55
29.63
29.71
29.78
29.85
29.92
30.00
30.00
29.17
29.20
29.26
29.35
29.45
29.55
29.64
29.73
29.81
29.89
29.96
30.00
28.94
28.99
29.10
29.22
29.35
29.47
29.59
29.69
29.78
29.86
29.93
30.00
28.60
28.72
28.91
29.10
29.26
29.41
29.54
29.65
29.75
29.84
29.92
30.00
28.03
28.38
28.72
28.99
29.20
29.37
29.51
29.63
29.73
29.83
29.92
30.00
26.78
28.03
28.60
28.94
29.17
29.35
29.50
29.62
29.73
29.83
29.91
30.00
Analytical
28.09
28.64
28.97
29.19
29.37
29.52
29.64
29.75
29.84
29.92
Error (m)
0.06
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.02
0.02
0.01
0.01
SOLUTION OF TIME DEPENDENT PROBLEMS
In many cases it is necessary to deal with the problems where heads change with time.
These so called time dependent problems are called transient problems, or unsteady
problems or nonsteady-state problems.
In the derivation of the equation for transient flow, the continuity equation has to be
modified in such a way that the volume outflow equals the volume of inflow rate plus
the rate of release of water from storage.
Therefore, we must introduce into continuity equation an expression for the rate of
release of water from the aquifer.
Therefore, we need to define the storage coefficient S,
which represents the volume of water released from storage per unit area of aquifer
per unit decline in head. Thus
S = (-DV)/( DxDyDH) (4-1)
where DV is the volume of water released from storage within a volume whose area is
DxDy and whose thickness is b.
When water is released from storage, DV is positive and DH is negative (S is positive).
When water is taken up into storage, DV is negative and DH is positive (S is positive).
The rate of release from storage DV/Dt can be written as
-SDxDy(DH/Dt) .
We can now calculate the water balance of a rectangular soil column (Dx by Dy) of
thickness b:
inflow -outflow =infl. of R + DV/Dt
q(x)DybDt+q(y)DxbDt -q(x+Dx)DybDt-q(y+Dy)DxbDt =R(x,y)DxDy-SDxDy(DH/Dt)
and by dividing through by DxDy we get:
(4-2)
By taking the limit (see Frame 3.1) and using the Darcy law and definition T = Kb,
we get the transient flow equation for confined flow:
(4-3)
which can also be written as
(4-4)
For unconfined aquifer with Dupuit assumptions, Eq. (3-18) can be modified as
shown below (basicly different symbol should be used for unconfined aquifer!)
(4-5)
where (H-HB) is the thickness of the water conducting layer (see also Fig. 3-3).
Frame 3-1. Definition of partial derivative Given a function H that depends on
both x and y,
the partial derivative of H with respect to x at any point (x,y) is defined as
and similarly the partial derivative with respect to y is defined as
Eq. (4-5) cannot be solved without iteration within each time step and also we need
iteration inside each iteration, i.e. iteration at several levels.
Numerical solution of the transient flow equation in 1-D case
Finite difference approximation in space and time
In transient flow problems we need to consider the change in head both in space and time.
For one-dimensional problem this can be clarified by Fig. 4-1.
Fig. 4-1. Example of space-time finite difference grid for one-dimensional transient
flow equation (i = index in x-direction and t in time).
There are two very important aspects which need to be discussed.
1- In transient flow problems we must know at time t = 0 the head for all nodes i=1,..NX.
This is so called initial condition for the problem.
2- Moreover, we need to know the boundary conditions for the system In transient case we
need to define the boundary conditions as a function of time, i.e. it is possible that also
boundary conditions change with time .
The numerical solution of transient flow problems
we start from time t=0 and proceed forward in time one time step at a time.
Using the known initial condition at time t=0 we solve all the unknown nodal values
at time t=1 and so on.
in the numerical solution head values
are assumed to be known
and
are the unknown values to be solved using the numerical methods.
The next step is to have finite difference approximation of partial derivatives of head
both in space and time.
As an example we consider one-dimensional form of Eq. (4-3) without the recharge
term:
( 4-6)
The partial derivative of H with respect to time can be replaced by several approximation
Forward difference approximation
(4-7a)
Backward difference approximation
(4-7b)
Central difference approximation
The finite difference approximation of the second partial derivative of head with respect to
x can also done in several ways. In an explicit approximation we use head values from time
level t only
(4-8a)
In fully implicit approximation٬ we use values from unkown time level t+1
(4-8b)
and in a so called weighted approximation we use head values from both time level t and
time level t+1
where weighting parameter
is a so called coefficient of implicity.
In the special case that
=0, approximation (4-8c) is explicit,
if
=1 it is fully implicit and
when =0.5, it is called Crank-Nicolson approximation.
‫تفکیک زمانی روبه جلو(‪ )a‬وروبه عقب (‪)b‬درگره(‪ i‬و‪ ) j‬درشبکه دوبعدی تفاضل محدود‬
‫توضیح‬
‫• شکل ‪ 7-8‬تفکیک زمانی ومکانی رادرگره )‪ (i, j‬درشبکه دوبعدی تفاضل محدودنشان می دهد‪.‬‬
‫• دراین شکل دوراه حل ساده برای حل معادله حاکم برآبهای زیرزمینی ارائه شده است‪.‬‬
‫• درشکل (‪) a‬که مربوط به حل روبه جلو می باشد‪ ٬‬تمام مقادیرسطح آب درتمام گره های شبکه‬
‫درزمان ‪ N‬معلوم می باشد‬
‫•‬
‫وبااستفاده از آنهاسطح آب درکام زمانی ‪ n+1‬درگره )‪ (i, j‬توسط مشتق زمانی روبه جلو محاسبه‬
‫می شود‪.‬‬
‫• بنابراین درهرگام زمانی برای هر گره یک معادله تفاضل محدودوجودداردکه فقط سطح اب درگام‬
‫زمانی ‪ n+1‬درآن مجهول می باشد‪.‬‬
‫•‬
‫برای مثال معادله دوبعدی جریان آبهای زیرزمینی برای آبخوان ناهمگن وآنیزوتروپ بصورت‬
‫زیرنوشته می شود‪:‬‬
‫•‬
‫درمعادله آخر فقط یک مجهول وجود دارد‪.‬‬
‫•‬
‫که می توان آنرااز طریق حل روبه جلو(غیرتلویحی)بدست آورد‪.‬‬
‫• اگر گام زمانی بیش ازاندازه طوالنی باشد‪٬‬خطاهای کوچک منجر به خطاهای بزرگ درمراحل‬
‫بعدی محاسبات(گامهای زمانی بعدی) می شود‪.‬‬
‫• چرا؟‬
‫معادالت مشتق اول روبه جلو‪،‬روبه عقب ومرکزی بار هیدرولیکی‪:‬‬
)‫ (خطای بریدن‬Truncation error
:‫مفهوم ریاضی‬
.‫محدودکردن(قطع)تعدادعددهای سمت راست اعشارتوسط نادیده گرفتن اعدادغیرمهم‬
:‫مثال‬
consider the real numbers
5.6341432543653654
32.438191288
-6.3444444444444
To truncate these numbers to 4 decimal digits, we only consider the 4
digits to the right of the decimal point.
The result would be:
5.6341
32.4381
-6.3444
Note that in some cases, truncating would yield the same result as
rounding, but truncation does not round up or round down the digits; it
merely cuts off at the specified digit. The truncation error can be twice the
maximum error in rounding.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• Round off error is the error caused by
approximate representation of numbers.
• In exact differentiation, you need dx approaching
zero; in numerical differentiation we can only
choose dx=finite
‫• در شکل ‪ 7.8b‬مشتق زمانی حل روبه عقب بااستفاده ازسطح آب درزمان ‪ n – 1‬که معلوم می‬
‫باشند‪،‬نشان داده شده است‪.‬‬
‫•‬
‫بنابراین درهرگره هرمعادله تفاضل محدوددارای ‪5‬مجهول است‪.‬‬
‫•‬
‫درهرشبکه ‪ N‬گره ای‪ N،‬معادله با‪ N‬مجهول وجودخواهدداشت‪.‬‬
‫•‬
‫این سیستم معادالت رامی توان بطورهمزمان وباتوجه به شرایط مرزی حل کرد‪.‬‬
‫‪Alternating Direction Implicit (ADI) Method‬‬
‫• روش‪ ADI‬باتوجه به مالحظه مشتق اول مکانی بارهیدرولیکی درزمان ‪ n + 1‬ومشتق دوم‬
‫درزمان کنونی‪، n‬معادله جریان آب زیرزمینی بصورت زیرنوشته شده است‪:‬‬
‫دراینحالت سه مجهول درزمان ‪n+1‬ومقادیردیگردرزمان ‪ n‬وجوددارد‪.‬معادله فوق را می توان‬
‫بصورت زیربازنویسی کرد‪:‬‬
‫که در آن ‪ Bi‬و‪ Di‬مقادیرثابت بوده وبصورت زیرمحاسبه می شوند‪:‬‬
‫اگرمعادله ‪ 7-58‬به تمام گره ها درامتدادمحور‪ x‬ها(ستون‪) j‬اعمال شود‪،‬تعداد‪ k-2‬معادله همزمان‬
‫وجودخواهدداشت زیرا بارهیدرولیکی دردوگره خارجی باتوجه به شرایط مرزی معلوم می باشد‪.‬‬
‫‪ K‬تعدادگره ها درامتدادمحور‪ x‬می باشد‪.‬‬
‫بنابراین باحل این معادالت می توان بارهای هیدرولیکی در خطی بموازات محور‪ x‬حساب کرد‪.‬‬
‫ماتریس ضرائب این مجموعه از معادالت سه قطری است‪.‬‬
‫درگام زمانی بعد تقریب‬
‫درگام زمانی ‪n+1‬نگهداشته می شود‪.‬‬
‫درگام زمانی ‪ n+2‬بدست می آید‪،‬درحالی که‬
‫درزمان ‪ n+2‬سه مجهول وجودداردومقادیردیگردر زمان ‪ n+1‬معلوم می باشند‪.‬‬
‫معادله‪ 7-61‬رامی توان بصورت زیربازنویس ی کرد‪:‬‬
‫بااعمال معادلعه‪ 7-62‬برای تمام گره ها در امتداد محور‪ Y‬ها ‪ M-2 ،‬معادله همزمان‬
‫وجودخواهدداشت زیرا‬
‫مقداربارهیدرولیکی دردوگره بیرونی باتوجه به شرایط مرزی معلوم می باشد‪.‬‬
‫‪ M‬تعدادگره ها در امتدادمحور‪Y‬هامی باشد‪.‬‬
‫بنابراین باحل ‪m-2‬معادله می توان بارهای هیدرولیکی در خط موازی بامحور‪ Y‬هارا محاسبه کرد‪.‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫دوچاه کامل دریک آبخوان تحت فشاردر شکل زیرنشان داده شده است‪.‬چاه ‪1‬و‪ 2‬بترتیب‬
‫بادبی ‪90‬و‪60‬لیتردرثانیه پمپاژم شوند‪.‬سطح پتونسیومتری اولیه افقی وهم سطح آب رودخانه‬
‫است‪.‬تغییرات مکانی سطح پتونسیومتری راپس از یک روز پمپاژچاه ها تعیین کنید‪.‬‬
‫آبخوان ازیک طرف محدود به رودخانه وازدوطرف محدود به مرزهای نفوذناپذیراست‪.‬‬
‫یک طرف باقیمانده نیزنیمه محدوداست ولی یک عرض ‪900‬متری برای جریان‬
‫درنظرگرفته شده است‪.‬‬
‫حل‪:‬‬
‫شبکه در شکل ‪ 7-10‬نشان داده شده است‪.‬شرایط اولیه بصورت سطح آب ‪20‬متردرزمان‪ t=0‬است‪.‬‬
‫مرز تغذیه بصورت زیر می باشد‪:‬‬
‫مرزهای نفوذناپذیر‪:‬‬
‫دراولین گام زمانی‬
‫مساوی نصف روز است‬
‫بعلت آنکه هیچگونه پمپاژی دراولین ردیف وجودندارد ‪،‬بارهای هیدرولیکی(پتونسیومتری)دراولین گام زمانی‬
‫تغییرنمی کند‪.‬دردومین ردیف‬
‫خواهیم داشت‪:‬‬
‫درردیف‪ 2‬درگره (‪2‬و‪)3‬پمپاژوجودداردواثرپمپاژبصورت فالکس (دبی برواحدسطح سلول )می باشد‬
‫‪q=Q/A‬‬
‫مقدار‪ q‬بایداز‪ D3‬کم شود‪:‬‬
‫درگره(‪2‬و‪) 2‬وگره(‪4‬و‪) 2‬‬
‫برای گره‪2‬‬
‫برای گره ‪3‬‬
‫برای گره ‪4‬‬
‫باجایگذاری ‪B‬و‪ D‬وشرایط مرزی خواهیم داشت‪:‬‬
‫مقدار بارهیدرولیکی در ردیف ‪ 3‬بطریق مشابه حل می شود‪.‬‬
‫ردیف ‪ 4‬غیرقابل نفوذاست وبارهیدرولیکی آن مشابه بارهیدرولیکی ردیف ‪3‬می باشد‪.‬‬
‫مقادیربارهیدرولیکی گره هادرگام اول در شکل زیرنشان داده شده است‪:‬‬
‫گام زمانی دوم‪ :‬نتایج گام اول به عنوان بارهای هیدرولیکی اولیه گام دوم مورداستفاده قرار می گیرد‪.‬‬
‫دراین مرحله محاسبات ستون به ستون صورت می گیرد‪.‬‬
‫برای ستون ‪:) i=2( 2‬‬
‫بعلت آنکه‬
‫بعلت آنکه آبخوان در این جهت ذر ماوراءمرز گسترش دارد‪ ٬‬بارهیدرولیکی خارج از مرزنیزدرنظرگرفته می شودو‬
‫مساوی شرایط اولیه ‪20‬متردرنظرگرفته می شود‪.‬‬
‫برای گره‪ 2‬داریم‪:‬‬
‫برای گره ‪ 3‬داریم‪:‬‬
‫باجایگذاری ‪ D ٬ B‬وشرایط اولیه خواهیم داشت‪:‬‬
‫با حل معادالت خواهیم داشت‪:‬‬
‫بارهای هیدرولیکی گره های ستونها به روش مشابه حل خواهد شد‪.‬‬
‫مقادیرگره های بارهیدرولیکی پس از یک روز در شکل ‪7/12‬‬