Download ( )=ψ x( )P(t) =ψe

Survey
yes no Was this document useful for you?
   Thank you for your participation!

* Your assessment is very important for improving the workof artificial intelligence, which forms the content of this project

Document related concepts
no text concepts found
Transcript
Physics 220
Homework #2
Spring 2017
Due Wednesday, 4/12/17
1.
Griffith’s 1.8
We start with by adding V0 to the potential V to get V + V0 . The Schrödinger
dΨ
!2 d 2Ψ
=−
+ VΨ + V0 Ψ . Let Ψ ( x,t ) = ψ ( x ) P ( t ) = ψ P and
dt
2m dx 2
dP
! 2 P d 2ψ
=−
+ VPψ + V0 Pψ . Now
inserting this into the SWE we get: i!ψ
dt
2m dx 2
divide by ψ P and notice that both sides equal a constant. We call this constant the
equation reads: i!
energy, E . Thus we have i!
1 dP
! 2 1 d 2ψ
− V0 = −
+ V = E . From the left hand
P dt
2m ψ dx 2
side we get,
⎛ E+V0 ⎞
−i⎜
⎟t
1 dP
dP
⎛ E + V0 ⎞
⎛ E + V0 ⎞
i!
− V0 = E →
= −i ⎜
dt → ln P = −i ⎜
t → P(t) = e ⎝ ! ⎠ .
⎟
⎟
⎝ ! ⎠
⎝ ! ⎠
P dt
P
The right hand side gives the solutions to the time independent Schrödinger wave
equation. And we have that the wave function
V
V
⎛ E+V0 ⎞
−i 0t
−i⎜
t
⎡ −i E! t ⎤ − i !0 t
!
⎝ ! ⎠⎟
Ψ ( x,t ) = ψ ( x ) P(t) = ψ e
= ⎢ψ e ⎥ e , which picks up a phase factor e .
⎣
⎦
Since this is in the time component, the expectation values are unaffected by the
phase factor.
2.
Griffith’s 1.18
Quantum mechanics is important when the deBroglie wavelength of the particle λ is
greater than the characteristic size of the system d . Thus λ > d , where
h
h
. Or, d < λ =
. We can relate this to the temperature of the
λ=
3mkBT
3mkBT
system, d 2 <
h2
h2
. Thus when the temperature of the system is
→T <
3mkBT
3mkB d 2
h2
, quantum mechanics is relevant.
3mkB d 2
For electrons:
less than
a.
6.63 × 10 −34 Js )
(
h2
T<
=
= 1.3 × 10 5 K
3mkB d 2 3( 9.11× 10 −31 kg ) × 1.38 × 10 −23 KJ × ( 0.3 × 10 −9 m )2
2
and thus free electrons in a solid are always quantum mechanical.
b.
For sodium nuclei:
( 6.63 × 10−34 Js )
h2
T<
=
= 3.1K
3mNa kB d 2 3( 23 × 1.67 × 10 −27 kg ) × 1.38 × 10 −23 KJ × ( 0.3 × 10 −9 m )2
2
c.
and thus nuclei are most always not quantum mechanical.
For gasses we use the ideal gas law, where for one molecule ( N = 1 ) we
assume that the molecule takes up a volume of approximately d 3 . Thus
1
⎛k T⎞3
PV = Nk BT → P ( d ) = k BT → d = ⎜ B ⎟ and
⎝ P ⎠
3
2
3
5
h2
h2 ⎛ P ⎞
T<
=
→T 3 <
2
⎜
⎟
3mNa kB d
3mNa kB ⎝ kBT ⎠
h2
3mNa ( kB )
2
5
3
P 3 . Thus we have
3
5
1 ⎛ h 2 ⎞ 25
T< ⎜
P
kB ⎝ 3mNa ⎟⎠
For helium at atmospheric pressure:
5
2
−34
⎞ ⎛ ( 6.63 × 10 Js ) ⎞
1 ⎛ h ⎞ 25 ⎛
1
5
T< ⎜
P =⎜
⎟ 1.01× 10
−23 J ⎟ ⎜
⎟
−27
k B ⎝ 3m ⎠
⎝ 1.38 × 10 K ⎠ ⎜⎝ 3( 4 × 1.67 × 10 kg ) ⎟⎠
3
2
d.
3
5
(
and helium nuclei at atmospheric pressure is quantum mechanical.
For hydrogen in outer space:
)
2
5
6.63 × 10 −34 Js )
(
h2
T<
=
= 6.4 × 10 −14 K
3mNa k B d 2 3(1.67 × 10 −27 kg ) × 1.38 × 10 −23 KJ × ( 0.01m )2
2
and hydrogen in outer space is not quantum mechanical.
3.
N
m2
Griffith’s 2.3
There are two ways to answer this problem.
d 2ψ −2mE
=
ψ
2
!2
Method I: The SWE reads: dx
.
The two cases we have are:
Case 1:
d 2ψ
E = 0 → 2 = 0 → ψ = A + Bx
dx
BC ' s : ψ ( 0 ) = 0 = A + B ( 0 ) → A = 0
ψ (a) = 0 = B(a) → B = 0
∴ψ = 0
= 2.93K
Case 2:
d 2ψ
2mE
= − 2 ψ = k 2ψ → ψ = Aekx + Be− kx
2
dx
!
BC ' s : ψ ( 0 ) = 0 = A + B → A = −B → ψ = B ( ekx − e− kx )
E<0→
⎧⎪
B=0
ψ ( a ) = 0 = B ( eka − e− ka ) → ⎨ − ka
ka
2 ka
e = e → 1 = e → ln(1) = 0 = 2ka → k = 0
⎩⎪
∴ψ = 0
π 2!2
Method II: The lowest energy in the infinite square well is E1 =
. Why
2ma 2
p2
< 0 implies that
cannot the energy be zero or negative? For the case of E =
2m
the momentum is imaginary and a measurement would not yield a real value. For
the case of E = 0 , the uncertainty principle, the uncertainty in the position of the
!
!
particle is Δx ~ a and therefore ΔxΔp ≥ → Δp ≥
. But E = 0 if then
2
2a
p2
E=0=
→ Δp = 0 , which violates the uncertainty principle.
2m
4.
Griffith’s 2.9
First we normalize the wave function over the given region,
a
30
. The
a5
0
Mathematica code for the problem is below. To determine the expectation value of
the Hamiltonian, we perform
a
a
a
5! 2
2
2
*
*
*
! 2 d 2ψ
,
H = ∫ ψ Hψ dx = ∫ ψ − 2 m dx 2 dx = ∫ [ Ax(a − x)] ⎡⎣ − 2!m dxd 2 ( Ax(a − x)) ⎤⎦ dx =
ma 2
0
0
0
where the integral was done on Mathematica. See the code below.
P = 1 = ∫ A 2 x 2 (a − x)2 dx . On Mathematica we have that A =
(
)
5.
Consider a particle bound in a 1D potential with wave function given by
⎧ Ae5ikx cos ( 3π x )
− a2 ≤ x ≤ a2
⎪
a
ψ ( x) = ⎨
0
x > a2
⎪⎩
a. What is the normalization constant A?
To normalize the wave function we compute
a
P =1=
a
2
∫ ψ ψ dx =
*
−a 2
2
∫
−a 2
a
⎡⎣ Ae
−5ikx
cos(
3π
a
x) × Ae
5ikx
cos(
and we find that the normalization constant is A =
3π
a
x) ⎤⎦ dx =
2
∫A
2
cos 2 ( 3aπ x)dx
−a 2
2
. The normalization was
a
done on Mathematica. The code follows.
b. What is the probability of finding the particle between 0 ≤ x ≤ a4 ?
From the normalized wavefunction we can calculate the probability and
a
a
2
2
⎡ 2
⎤
2 5ikx
1 1
*
P = 1 = ∫ ψ ψ dx = ∫ ⎢ e−5ikx cos( 3aπ x) ×
e cos( 3aπ x) ⎥ dx = −
= 0.197
a
a
4 6π
⎦
−a 2
−a 2 ⎣
The integral was done on Mathematica and the code follows.
c. What are the expectation values of x , p , x 2 , & p 2 ?
a
−a 2
a
x
2
−a 2
x ψ dx =
* 2
⎡ 2 −5ikx
⎤
⎛ 3π 2 − 2 ⎞ 2
2
e
cos( 3aπ x)x 2 e5ikx cos( 3aπ x) ⎥ dx = ⎜
a
a
a
⎝ 36π 2 ⎟⎠
⎦
−a 2
2
∫ ⎢⎣
2
⎡ 2 −5ikx
⎞⎤
d⎞
d ⎛ 2 5ikx
*⎛
∫−a ψ ⎜⎝ −i! dx ⎟⎠ ψ dx = −i! −∫a ⎢⎢ a e cos( 3aπ x) dx ⎜⎝ a e cos( 3aπ x)⎟⎠ ⎥⎥ dx = 5!k
⎦
2
2⎣
a
a
2
2
2
⎡ 2
⎞⎤
⎛ 9π 2
⎞
d ⎞⎛
d⎞
d ⎛ 2 5ikx
⎛
= ∫ ψ * ⎜ −i! ⎟ ⎜ −i! ⎟ ψ dx = −! 2 ∫ ⎢ e−5ikx cos( 3aπ x) 2 ⎜
e cos( 3aπ x)⎟ ⎥ dx = ! 2 k 2 ⎜ 2 2 + 25 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
dx
dx
dx ⎝ a
⎝k a
⎠
⎠ ⎥⎦
−a
−a ⎢
⎣ a
a
p =
p2
2
∫ ⎢⎣
a
2
∫ψ
=
⎡ 2 −5ikx
⎤
2
e
cos( 3aπ x)x e5ikx cos( 3aπ x) ⎥ dx = 0
a
a
⎦
−a 2
a
2
*
∫ ψ xψ dx =
x =
a
2
2
2
6. Determine the odd solutions to the finite square well. Determine the energy of the
single bound state with E < V0 . Normalize your solutions in each region to determine
the unknown coefficient A in each region. Plot your solution for ψ 2 (x) .
The mathematica code and plots are given in the attached file.
7. Determine the normalization coefficients for the second energy state of the even
solutions to the finite square well. That is, renormalize the solutions and determine
B in each region for E3 . Plot your solution for ψ 3 (x) , along with the solutions for
ψ 2 (x) from above and ψ 1 (x) from class.
The mathematica code and plots are given in the attached file.
���������
(* ���� ����������� �������� �� ������������ ��� �������
#� �� �������� ��� #�� �� ��� ���� �� ���� ��� ������� #� ��
�������� ��� #� �� ����� ������ ���� �� ������ �� ��� ��� ����
������� #� �� ��� ������ �� ��� ���� �������� ��� ���� �������� *)
��������[��������*�]
���������
(* ������� #�
*)
(* ���� ������� ������� ��� ��� ������ ���� �������������
��� ���� ��������� ���� ���� ��� ������ ��� ���� ���� ��
��� ��� ����� ������� �� ��������� �� ���������� ��� ��
��� ������������� ������������ *)����������� �= ���������
� * ���[� * � / �] * ���[������ * � / �] * ���[������ * �] � �� {�� - ��������� - � / �}
����������� �= ���������� * ���[� * �] � �� {�� - � / �� � / �}
����������� �= ���������
- � * ���[� * � / �] * ���[������ * � / �] * ���[- ������ * �] � �� {�� � / �� ��������}
����������� + ����������� + �����������
���������
���������
���������
���������������������
�����
�� ��� ��� 
������
� → -  �  
� →  �  
�
+
�
�
�
+
������
�� � -
 �+
 �+
�� ��� ��� 
�
�
���[� �]
�
-
���[� �]
������
� ��� ��� 
������
���[� �]
�
�
�
-
�
⩵ �� �
�
� ��� ��� 
�� � -
���[� �]
�

� ��[������] > �
2 ���
FiniteWell_HW2_S17.nb
���������
(* �� ��������� ��� ��������� �������� �� ��� ���
����� ����� �� ���� � ���� ��� ��� ��� �������� ��������
*)
�����[�� �� �]
����[{- � * ���[�]� ����[�� - � � �]}� {�� �� ��}]
��������[- � * ���[�] == ����[�� - � � �]� {�� ���}]
15
10
5
���������
2
4
6
8
10
-5
-10
-15
���������
{� → �������}
(*
������ ��� ���� ��� ��� ��������� ��� � ������ ���� ���� � = ��
*)
�����[�� ������ �� ����� ����� ���������� ������������
����������� ����������� ������������� �����������]
(* ������ ��� ������������� ������������ ��� ���� �� ����� ����
���������� ��� ��� ������������� ����������� ��� ����� �� ������ *)
� �= ����[� / ����] * ���[�����] � �  ���� + � - ���[� * �����]  (� * �����) � (- � / �)
(* ������ ������ �����
� ��� ��� ����� �� ��� �����
���� ��� ���� ��� ������ �� -�/� �� �/��
����� ��� ����� ����� ��� ���� �� ��� �������� ����� �����������
�� �������� ��� ���������� ��� �� ��� ������� ��� ������� ���
������������� ����������� ���� �� ��������� ������� ��� ����
�� ��������� ����� ��� ��� ��� �������� ��� ����� �� ����� *)
(* ��� �� ��� ��� ����� �� � ��� ����������� ����� ��� ������ �� �� ������*)
����� �= ������
� �= �
���� �= ����[� � � - ����� � �]
���� �= �
�
(* ���� ������� ��� ������������ �� ���� �� ��� �����
�������� ������� �� ��� ����������� �� ��� ���� �� ��� �����
��������� �� ��� ������������ �� ��� �����
��� �������� �� ��� ������������ �� ��� ����� �� ��� ����� ��� ����
�� ����� ���� ����������� ��� ��� ������������� �� ���� �������*)
��������� �= - � * ���[����] * ���[�����] * ���[� * ���� * � / ����]
FiniteWell_HW2_S17.nb
����������� �= � * ���[� * ����� * � / ����]
���������� �= � * ���[����] * ���[�����] * ���[- � * ���� * � / ����]
(* ����� ��� �� �������� ������� ��� ���� �������� ��� ���� �� ��� ����� ������
�� ��� ���� �� ��� ����� �� ��� ����� ��� �� ��� ����� �� ��� ����
�� ���� �� ��� ������ ���� ����� ��� ���� �� ���� ���� ��������� *)
���������� �= ����[���������� {�� - ����� - ���� / �}� ��������� → ����]
������������ �= ����[������������ {�� - ���� / �� ���� / �}� ��������� → ����]
����������� �= ����[����������� {�� ���� / �� ����}� ��������� → ����]
(* ��� ���� ������� ���� ��� ���� ���� �� ��� ���������
��� ���� ������� �� ��� ���� ������ ��� ���� ������ ����������
����� ����������� �� ��� ��� ���� ������ ����� �� ��� ����������� �� ���
������ ��������� �������� ��� ���� ���������� ��� ����� �� -�/� ��� +�/��
����[ ����������� ������������� ������������ ��������� → ����������
��������� → {{{- ���� / �� {������ �����}}� {���� / �� {������ �����}}}� ����}�
��������� → {���� �ψ�}]
���������
�������
ψ
1.0
0.5
���������
-0.5
-0.5
-1.0
0.0
0.5
1.0
x
*)
���
3
4 ���
FiniteWell_HW2_S17.nb
���������
(* ������� #� *)
(* ���� ����� ��� ������������� ��������� ��� ��� ����
���������� ���� �� ��� ���� ���� ���� � ���� �� ����� *)
�����[�� �� �� �� �����]
����������� �= ���������
� * ���[� * � / �] * ���[������ * � / �] * ���[������ * �] � �� {�� - ��������� - � / �}
����������� �= ���������[(� * ���[� * �]) � �� {�� - � / �� � / �}]
����������� �= ���������
� * ���[� * � / �] * ���[������ * � / �] * ���[- ������ * �] � �� {�� � / �� ��������}
����������� + ����������� + �����������
���������
���������
���������
���������������������
�����
�� ��� ��� 
�
+
� →  �  
�
�� � � + ���[� �]
+
��
������
�� � � + ���[� �]
��
������
� → -  �  
�� ��� ��� 
 �+
 �+
� ��� ��� 
�
+
⩵ �� �
���[� �]
������
� ��� ��� 
������
� ��[������] > �
�
�
�
+
���[� �]

�
(* ��� ��� ������ ���� ��������� �� ��� ������ �����
*)
FiniteWell_HW2_S17.nb
���������
(* �� ��������� ��� ��������� �������� �� ��� ������ ����
����� ����� �� ���� � ���� ��� ��� ��� �������� �������� *)
�����[�� �� �]
����[{� * ���[�]� ����[�� - � � �]}� {�� �� ��}]
��������[� * ���[�] == ����[�� - � � �]� {�� ���}]
15
10
5
���������
2
-5
-10
-15
���������
{� → ������}
4
6
8
10
���
5
6 ���
FiniteWell_HW2_S17.nb
���������
(*
������ ��� ���� ��� ������ ���� �������� ��� � ������ ���� ���� � = ��
*)
�����[�� ������ �� ����� ����� ���������� ������������
����������� ����������� ������������� �����������]
(* ������ ��� ������������� ����������� ���� ��� ���������� ����� *)
� �= ����[� / ����] * ���[�����] � �  ���� + � - ���[� * �����]  (� * �����) � (- � / �)
(* ������ ������ �����
� ��� ��� ����� �� ��� �����
���� ��� ���� ��� ������ �� -�/� �� �/�� *)
(* ��� �� ��� ��� ����� �� � ��� ����������� ����� ��� ������ �� �� ������*)
����� �= ������
� �= �
���� �= ����[� � � - ����� � �]
���� �= �
�
(* ���� ������� ��� ������������ �� ���� �� ��� �����
�������� ������� �� ��� ����������� �� ��� ���� �� ��� �����
��������� �� ��� ������������ �� ��� �����
��� �������� �� ��� ������������ �� ��� ����� �� ��� ����� ��� ����
�� ����� ���� ����������� ��� ��� ������������� �� ���� �������*)
��������� �= � * ���[����] * ���[�����] * ���[� * ���� * � / ����]
����������� �= � * ���[� * ����� * � / ����]
���������� �= � * ���[����] * ���[�����] * ���[- � * ���� * � / ����]
(* ����� ��� �� �������� ������� ��� ���� �������� ��� ���� �� ��� ����� ������
�� ��� ���� �� ��� ����� �� ��� ����� ��� �� ��� ����� �� ��� ����
�� ���� �� ��� ������ ���� ����� ��� ���� �� ���� ���� ��������� *)
���������� �= ����[���������� {�� - ����� - ���� / �}� ��������� → �����]
������������ �= ����[������������ {�� - ���� / �� ���� / �}� ��������� → �����]
����������� �= ����[����������� {�� ���� / �� ����}� ��������� → �����]
���������
�������
FiniteWell_HW2_S17.nb
���������
(* ��� ���� ������� ���� ��� ���� ���� �� ��� ���������
��� ���� ������� �� ��� ���� ������ ��� ���� ������ ����������
����� ����������� �� ��� ��� ���� ������ ����� �� ��� ����������� �� ���
������ ��������� �������� ��� ���� ���������� ��� ����� �� -�/� ��� +�/��
����[ ����������� ������������� ������������ �����������
������������� ������������ ��������� → ����
��������� → {{{- ���� / �� {������ �����}}� {���� / �� {������ �����}}}� ����}�
��������� → {���� �ψ�}]
ψ
1.5
1.0
0.5
���������
-0.5
-0.5
-1.0
-1.5
0.0
0.5
1.0
x
*)
���
7
Related documents