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Contents
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On the Roots of Fuzzy Sets. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 A Genesis of Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 L-Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Opposite, Negate, and Middle . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Antonyms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Negations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Antonyms and Negations . . . . . . . . . . .
1.2.4 Medium Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 AND/OR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 AND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 OR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Qualified, Modified, and Constrained Predicates
1.4.1 Qualified Predicates . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Linguistic Modifiers . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Constrained Predicates . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Group Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Synonims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Linguistic Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Fuzzy Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 A Note on Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Algebras of Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . .
2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Cartesian Product. . . . . . . .
2.1.2 Extension Principle . . . . . .
2.1.3 Preservation of the Classical
2.1.4 Resolution . . . . . . . . . . . .
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2.2 The Concept of an ‘Algebra of Fuzzy Sets’. . . .
2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Algebras of Fuzzy Sets. . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Non-contradiction and Excluded-Middle .
2.2.4 Decomposable Algebras . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Standard Algebras of Fuzzy Sets . . . . . .
2.2.6 Strong Negations . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Continuous T-Norms and T-Conorms . . .
2.2.8 Laws of Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 On Aggregating Imprecise Information . . . . . . .
2.3.1 Aggregation Functions . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Ordered Weighted Means . . . . . . . . . . .
2.3.3 More on Aggregations . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Reasoning and Fuzzy Logic . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 What Does It Mean “Logic”? . . . . . . . . . . .
3.1.1 Logic and Consequence Operators . . .
3.1.2 Conjecturing . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Reasoning with Conditionals: Representation .
3.2.1 What is a Conditional? . . . . . . . . . . .
3.2.2 The Case of Boolean Algebras . . . . .
3.2.3 Fuzzy Conditionals . . . . . . . . . . . . .
3.3 Short Note on Other Modes of Reasoning . . .
3.4 Inference with Fuzzy Rules . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Finite Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Inference with Several Rules . . . . . . .
3.4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Deffuzification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Rules and Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Two Final Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Fuzzy Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 What Is a Fuzzy Relation? . . . . . . . . . . . . .
4.2 How to Compose Fuzzy Relations? . . . . . . .
4.3 Which Relevant Properties Do Have a Fuzzy
Binary Relation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 The Concept of T-State. . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Fuzzy relations and -cuts . . . . . . . . . . . . .
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T-Preorders and T-Indistinguishabilities . . . . . . .
5.1 Which Is the Aim of This Section? . . . . . . . .
5.2 The Characterization of T-Preorders . . . . . . . .
5.3 The Characterization of T-Indistinguishabilities
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Fuzzy Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Fuzzy Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Operations with Fuzzy Numbers . . . . . . . .
6.2.2 Operations with Triangular Fuzzy Numbers.
6.2.3 Note. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 A Note on the Lattice of Fuzzy Numbers . . . . . . .
6.3.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 A Note on Fuzzy Quantifiers . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Quantified Fuzzy Statements . . . . . . . . . . .
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Fuzzy Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 The Concept of a Measure . . . . . . . .
7.3 Types of Measures . . . . . . . . . . . . . .
7.4 -Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Measures of Possibility and Necessity.
7.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Probability, Possibility and Necessity .
7.8 Probability of Fuzzy Sets . . . . . . . . .
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An Introduction to Fuzzy Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Note. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Revising Conditional and Implications in Fuzzy Control .
8.2.1 Inference from Imprecise Rules . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Takagi-Sugeno of Order 1. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Control of Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 State-Space Representation . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Takagi-Sugeno Models for Control
of Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Stability Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.4 Parallel Distributed Compensation . . . . . . . . . . .
8.3.5 Piecewise Bilinear Model . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.6 Vertex Placement Principle . . . . . . . . . . . . . . . .
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