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Complex Numbers
The equation x2 + 1 = 0 has no real number
solutions since any solution must be a number
whose square is -1.
The equation x2 + 1 = 0 has no real number
solutions since any solution must be a number
whose square is -1.
x 1  0
2
The equation x2 + 1 = 0 has no real number
solutions since any solution must be a number
whose square is -1.
x 1  0
1 1
2
The equation x2 + 1 = 0 has no real number
solutions since any solution must be a number
whose square is -1.
x 1  0
1 1
2
x
2
The equation x2 + 1 = 0 has no real number
solutions since any solution must be a number
whose square is -1.
x 1  0
1 1
2
 1
x
2
In the set of real numbers,
all squares are nonnegative numbers because
In the set of real numbers,
all squares are nonnegative numbers because
x  0
2
In the set of real numbers,
all squares are nonnegative numbers because
x  0
2
the product of any two positive numbers is positive
In the set of real numbers,
all squares are nonnegative numbers because
x  0
2
the product of any two positive numbers is positive
3 3  9
In the set of real numbers,
all squares are nonnegative numbers because
x  0
2
the product of any two positive numbers is positive
&
3 3  9
the product of any two negative numbers is positive
In the set of real numbers,
all squares are nonnegative numbers because
x  0
2
the product of any two positive numbers is positive
&
3 3  9
the product of any two negative numbers is positive
 3 3  9
x
2
 1
x
2
 1
So we must define a number i so that
x
 1
2
So we must define a number i so that
i
2
 1
For any positive real number b
b i b
Write the number as a product of a real
number and the number i
Write the number as a product of a real
number and the number i
 100
Write the number as a product of a real
number and the number i
 100
i 100
Write the number as a product of a real
number and the number i
 100
i 100
10i
Write the number as a product of a real
number and the number i
Write the number as a product of a real
number and the number i
 36
Write the number as a product of a real
number and the number i
 36
i 36
Write the number as a product of a real
number and the number i
 36
i 36
6i
Write the number as a product of a real
number and the number i
Write the number as a product of a real
number and the number i
2
Write the number as a product of a real
number and the number i
2
i 2
Multiply
4  9
Multiply
4  9
i  2  i 3
Multiply
4  9
i  2  i 3
6i
2
Multiply
4  9
i  2  i 3
6i
2
6
Multiply
3 7
Multiply
3 7
i 3  i 7
Multiply
3 7
i 3  i 7
i
2
3 7
Multiply
3 7
i 3  i 7
i
2
3 7
 21
Multiply
 2  8
Multiply
 2  8
i 2  i 8
Multiply
 2  8
i 2  i 8
i
2
2 8
Multiply
 2  8
i 2  i 8
i
2
2 8
 16
Multiply
 2  8
i 2  i 8
i
2
2 8
 16
4
Multiply
5  6
Multiply
5  6
i 5 
6
Multiply
5  6
i 5 
i 30
6
Divide
 75
3
Divide
 75
3
i 75

i 3
Divide
 75
3
i 75
75


3
i 3
 75
Divide
3

75
3
i 75
75


3
i 3
 75
Divide
3

75
3
i 75
75


3
i 3
 25
 75
Divide
3

75
3
i 75
75


3
i 3
 25
5
Divide
 32
8
Divide
i 32
 32

8
8
Divide
i 32
 32

8
8
i
32
8
Divide
i 32
 32

8
8
i
32
8
i 4
Divide
i 32
 32

8
8
i
32
8
i 4
 2i
Add
2  3i  6  4i 
Add
2  3i  6  4i 
2  3i
Add
2  3i  6  4i 
2  3i
6
Add
2  3i  6  4i 
2  3i
6  4i
Add
2  3i  6  4i 
2  3i
6  4i
Add
2  3i  6  4i 
2  3i
6  4i
8
Add
2  3i  6  4i 
2  3i
6  4i
8  7i
Add
4  2i   3  i 
Add
4  2i   3  i 
4  2i
Add
4  2i   3  i 
4  2i
3
Add
4  2i   3  i 
4  2i
3  1i
Add
4  2i   3  i 
4  2i
3  1i
7
Add
4  2i   3  i 
4  2i
3  1i
7  1i
Add
4  2i   3  i 
4  2i
3  1i
7  1i
7i
Subtract
6  5i   3 2i 
Subtract
6  5i   3 2i 
6  5i
Subtract
6  5i   3 2i 

6  5i

Subtract
6  5i   3 2i 
6  5i




Subtract
6  5i   3 2i 
6  5i
 




Subtract
6  5i   3 2i 
6  5i
3 




Subtract
6  5i   3 2i 
6  5i
 3  2i




Subtract
6  5i   3 2i 
6  5i
 3  2i




Subtract
6  5i   3 2i 
6  5i
 3  2i
3




Subtract
6  5i   3 2i 
6  5i
 3  2i
3  3i




Subtract
7  3i   8  6i 
Subtract
7  3i   8  6i 
7  3i
Subtract
7  3i   8  6i 

7  3i

Subtract
7  3i   8  6i 
7  3i




Subtract
7  3i   8  6i 
7  3i
 




Subtract
7  3i   8  6i 
7  3i
 8  6i




Subtract
7  3i   8  6i 
7  3i
 8  6i




Subtract
7  3i   8  6i 
7  3i
 8  6i
1




Subtract
7  3i   8  6i 
7  3i
 8  6i
 1  3i




Subtract
 9  4i    9  8i 
Subtract
 9  4i    9  8i 
 9  4i
Subtract
 9  4i    9  8i 
 9  4i


Subtract
 9  4i    9  8i 
 9  4i




Subtract
 9  4i    9  8i 
 9  4i
 




Subtract
 9  4i    9  8i 
 9  4i
 9  8i




Subtract
 9  4i    9  8i 
 9  4i
 9  8i




Subtract
 9  4i    9  8i 
 9  4i
 9  8i
0




Subtract
 9  4i    9  8i 
 9  4i
 9  8i
0  4i




Subtract
 9  4i    9  8i 


 9  4i
 9  8i
0  4i
 4i


Multiply
4i2  3i 
Multiply
4i2  3i 
4i 2 
Multiply
4i2  3i 
4i 2   4i 3i 
Multiply
4i2  3i 
4i 2   4i 3i 
8i
Multiply
4i2  3i 
4i 2   4i 3i 
8i
 12  i
2
Multiply
4i2  3i 
4i 2   4i 3i 
8i
8i
 12  i
2
Multiply
4i2  3i 
4i 2   4i 3i 
8i
 12  i
8i
 12
2
Multiply
4i2  3i 
4i 2   4i 3i 
8i
 12  i
8i
 12
2
a  bi
Multiply
4i2  3i 
4i 2   4i 3i 
8i
 12  i
8i
 12
2
a  bi
12  8i
Multiply
3  5i 4  2i 
Multiply
3  5i 4  2i 
3
 5i
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4 
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i 
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4 
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12  6i
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12  6i
 20i
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12  6i
 20i  10i
2
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12  6i
12
 20i  10i
2
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12  6i
12  10
 20i  10i
2
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12  6i
12  10
 20i  10i
 20i
2
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12  6i
12  10
 20i  10i
 20i  6i
2
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12  6i
12  10
22
 20i  10i
 20i  6i
2
Multiply
3  5i 4  2i 
3 4  2i   5i 4  2i 
3 4   3  2i  5i 4   5i  2i 
12  6i
12  10
22
 20i  10i
 20i  6i
 14i
2
Multiply
2  3i 1  5i 
Multiply
2  3i 1  5i 
2
 3i
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
10i
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
10i

3i
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
10i

3i
 15i
2
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
2
10i

3i
 15i
2
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
2
10i
 15

3i
 15i
2
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
2
10i
 15
 3i
 3i
 15i
2
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
2
10i
 15
 3i  15i
 3i  10i
2
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
2
10i
 15
17
 3i  15i
 3i  10i
2
Multiply
2  3i 1  5i 
2 1 5i   3i 1 5i 
2
2
10i
 15
17
 3i  15i
 3i  10i

7i
2
Simplify
8  9i
5  2i
Simplify
8  9i
5  2i
8  9i   5  2i 
5  2i   5  2i 
Simplify
8  9i
5  2i
8  9i   5  2i 
5  2i   5  2i 
8 5
Simplify
8  9i
5  2i
8  9i   5  2i 
5  2i   5  2i 
8 5  8 2i 
Simplify
8  9i
5  2i
8  9i   5  2i 
5  2i   5  2i 
8 5  8 2i 9i 5
Simplify
8  9i
5  2i
8  9i   5  2i 
5  2i   5  2i 
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
Simplify
8  9i
5  2i
8  9i   5  2i 
5  2i   5  2i 
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5
Simplify
8  9i
5  2i
8  9i   5  2i 
5  2i   5  2i 
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 
Simplify
8  9i
5  2i
8  9i   5  2i 
5  2i   5  2i 
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5
Simplify
8  9i
5  2i
8  9i   5  2i 
5  2i   5  2i 
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
 18 i
2
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
25
 18 i
2
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
25  10i
 18 i
2
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
25  10i
 10i
 18 i
2
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
 18 i
25  10i
4 i
 10i
2
2
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
 18 i
25  10i
4 i
40 18
 10i
2
2
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
 18 i
25  10i
4 i
 10i
40 18  45i 16i
2
2
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
 18 i
25  10i
4 i
 10i
40 18  45i 16i
25
2
2
8 5  8 2i 9i 5 9i  2i 
5 5  5 2i 2i 5 2i  2i 
40  16i  45i
 18 i
25  10i
4 i
 10i
40 18  45i 16i
25  4
2
2
40 18  45i 16i
25  4
40 18  45i 16i
25  4
58
40 18  45i 16i
25  4
58  29i
40 18  45i 16i
25  4
58  29i
29
40 18  45i 16i
25  4
58  29i
29
29


29
40 18  45i 16i
25  4
58  29i
29
29
2

29
40 18  45i 16i
25  4
58  29i
29
29
2
 i
29

40 18  45i 16i
25  4
58  29i
29
29
2
 i
29

 2  i 
7.7 Numbers 1-68