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ESTÁTICA DE FLUIDOS
Introdução e Revisão de conceitos básicos
Em qualquer ponto da superfície de um corpo
submerso, a força exercida pelo fluido estático é
perpendicular à superfície do objecto.
A pressão exercida pelo fluido sobre o objecto
varia com a profundidade e é definida para um
dado ponto como a razão da força perpendicular
sobre a área em que é exercida: P = F/A.
A força que actua numa área infinitesimal será
dF = P dA, onde P é a pressão exercida na área
infinitesimal dA. A força total aplicada numa
determinada área será obtida por integração:
F = f P dA
Variação da pressão com a profundidade
Considere-se um liquido incompressível com massa
específica r (massa por unidade de volume) em
repouso.
Imagine-se uma amostra cilíndrica com altura h e área
da secção transversal A, desse líquido, localizada
desde a profundidade d até à profundidade d+h.
O liquido envolvente exerce forças em todos os pontos
desse cilindro perpendicularmente à sua superfície.
A pressão exercida pelo liquido na face inferior é P e a
pressão exercida na face superior é P0.
Impondo o equilíbrio estático, desse cilindro
idealizado, na direcção vertical j, obtém-se:
ĵ
î
Variação da pressão com a profundidade
cont.
Se a face superior desse cilindro estiver na superfície
livre do liquido, então P0 = pressão atmosférica.
A equação acima implica que a pressão é a mesma em
qualquer ponto localizado a uma dada profundidade,
independentemente da forma do corpo submerso.
Qualquer aumento na pressão P0 na superfície deve ser
transmitida a todos os pontos do fluido.
ĵ
î
Lei de Pascal (1623-1662):
Qualquer variação na pressão aplicada a um fluido é
integralmente transmitida a cada ponto do fluido e às
superfícies de qualquer corpo submerso.
Tabela de massas por unidade de volume de algumas
substâncias (PTN)
Exemplo de aplicação da Lei de Pascal:
Prensa hidráulica
A1∆x1 = A2 ∆x2
⇒
A2 ∆x1
=
A1 ∆x2
F1 F2
P=
=
A1 A2
⇒
A2 F2
=
A1 F1
Exemplo 1:
Determinar a força resultante exercida
pela água sobre o dique. O dique tem
uma largura w e a altura da superfície
livre da água é H.
Medição da pressão
Um instrumento normalmente usado para medir a pressão atmosférica
é o barómetro inventado por Torricelli (1608-1647).
Consiste num tubo longo fechado numa extremidade, cheio com
mercúrio e invertido numa tina de mercúrio. A extremidade fechada
tem uma pressão próxima do vácuo e assim a pressão no topo da
coluna de mercúrio pode tomar-se como P = 0.
A pressão no ponto A, devida à coluna de mercúrio, tem de ser igual à
pressão no ponto B, devida à pressão atmosférica P0. Se tal não fosse
verdade, então existiria uma força resultante que deslocaria o
mercúrio até que fosse atingido o equilíbrio.
A pressão em B será:
PB = P0 = PA = ρ Hg ⋅ g ⋅ h
A pressão atmosférica, P0=1 atm = 1.013×105 Pa, será:
P0 = ρ Hg ⋅ g ⋅ h → h =
P0
ρ Hg ⋅ g
=
1.013 × 105 Pa
(13.6 × 10 Kg / m )(9.8m / s )
3
3
2
= 0.760 m
Com base neste cálculo, uma atmosfera é definida como a pressão equivalente
a uma coluna de mercúrio com exactamente 0.760 m de altura a 0ºC.
Para a medição da pressão de um gás contido num reservatório,
pode ser usado o “manómetro de coluna de líquido” representado
na figura.
A pressão nos pontos A e B tem de ser
igual.
A pressão em A é a pressão do gás que se
pretende obter.
Assim:
P = P0 + ρ ⋅ g ⋅ h → P − P0 = ρ ⋅ g ⋅ h
A pressão P é denominada Pressão Absoluta, enquanto a
diferença P-P0 é denominada a Pressão Relativa ou também a
Pressão de Manómetro.
Pressão absoluta e relativa
Pressão positiva
manómetro
Atmosfera
normal
referencia PTN
Pressão relativa negativa
Pressão absoluta positiva
Atmosfera
Local
273,15 K (0 °C)
manómetro
manómetro (negativa)
absoluta
Pressão zero absoluto
P absoluta = P atmosférica + P relativa ou de manómetro
absoluto
Exemplo 2:
Determinar a intensidade e a localização da força resultante exercida
pela água sobre a tampa AB. A tampa AB tem uma largura w=1.5 m.
ragua=1000 Kg/m3.
Exemplo 3: Considere a comporta AB representada na figura,
com uma altura de 4 m e uma largura de 6 m (perpendicular ao
plano do papel). Esta comporta fecha o escoamento de um canal
de água doce com 3 m de profundidade. Sendo a comporta
articulada em A e fechando sobre o batente em B, calcule a força
exercida pela comporta em B.
Exemplo 4-a:
Uma comporta AB com 0.5 m x 0.8 m está localizada no fundo de um tanque com
água, como ilustrado na figura.
A comporta está articulada em A e encosta num apoio B sem atrito.
Determinar as reacções em A e B quando o cabo BCD está sem tensão.
Exemplo 4-b:
Uma comporta AB com 0.5 m x 0.8 m está localizada no fundo de um tanque com
água, como ilustrado na figura.
A comporta está articulada em A e encosta num apoio B sem atrito.
Determinar a menor força de tracção no cabo BCD, necessária para abrir a
comporta.
Forças de impulsão e o Principio de Arquimedes
I
Enunciado do Principio de Arquimedes: A intensidade da força de
impulsão é igual ao peso do fluido deslocado pelo objecto submerso.
Para se perceber a origem da força de impulsão,
considere-se um cubo imerso num liquido, como
ilustrado na figura.
A pressão no topo inferior do cubo Pi é superior à
pressão no topo superior Ps , diferindo na quantidade
I
Pi − Ps = ρ liquido gh
Assim esta diferença de pressões causa uma força
vertical de baixo para cima, que é a força de Impulsão:
I = ( Pi − Ps ) A = (ρ liquido gh) A = ρ liquido ⋅ g ⋅ V
sendo A a área das faces inferior e superior do cubo e V
o volume de liquido deslocado pelo cubo.
Uma vez que
ρ liquidoV = M
é a massa de liquido deslocado pelo cubo, temos:
I = Mg
em que Mg é o peso do liquido deslocado.
Mg
(a) Um objecto totalmente
submerso que é menos denso
que o liquido no qual está
submerso, experimenta uma
força resultante de baixo
para cima.
(b) Um objecto totalmente
submerso que é mais denso
que o liquido no qual está
submerso, experimenta uma
força resultante de cima
para baixo e vai afundar-se.
I = Mg
(c) Um objecto que flutua na
superfície livre de um liquido
está em equilíbrio sob a acção
das duas forças, o seu peso e a
força de impulsão.
I
I
Mg
I
Mg
0
0
a)
b)
I
a) Quando a massa (coroa) está suspensa no ar, o dinamómetro mede o seu
peso verdadeiro, uma vez que para equilíbrio estático: T1 = Fg
b) Quando a massa está submersa em água, a força de Impulsão I altera a
medição efectuada pelo dinamómetro para um valor inferior, pois para
equilíbrio estático: T2 = Fg - I
Exemplo:
Conta uma lenda que, supostamente, Arquimedes foi consultado para
determinar se a coroa do rei era de ouro puro ou se era maciça.
Supostamente, Arquimedes terá resolvido este problema pesando a coroa,
suspensa de um dinamómetro, livremente no ar e, também, submersa em
água, conforme ilustrado na figura anterior.
Suponhamos que a leitura do peso da coroa no ar foi: 7.84 N,
e que a leitura do peso com a coroa totalmente submersa em água foi: 6.84 N.
Qual a conclusão que Arquimedes deve ter obtido?
Qual a
fracção
submersa
de um
iceberg?
O peso do iceberg é dado por:
Pice = ρ iceVice g , ρ ice = 917 Kg / m
Dado que:
ρ ice V ice g = ρ agua V agua g
3
a fracção de iceberg abaixo da
superfície será:
O volume Vice é o volume total do iceberg.
A força de impulsão será igual ao peso do
volume de água deslocada:
I = ρ agua V agua ⋅ g , ρ agua mar = 1030 Kg / m
O volume Vagua é o volume do iceberg abaixo
do nível de água.
f =
3
=
Vagua
Vice
=
ρ ice
=
ρ agua
917kg / m 3
1030 Kg / m
3
= 0.890 ou 89%
Aplicação à Estabilidade de navios:
I
I
B – centróide do
volume de água
deslocado: centro de
impulsão
I
A resultante das
forças exercidas sobre
o casco do navio, pela
água, é a força de
Impulsão representada
por I ,
que passa por B e é
igual e oposta ao peso
do navio W (Fig.a).
Se o casco do navio for obrigado a rodar um ângulo a (Fig.b), o volume de água
deslocado altera-se, devido à forma do casco, e o centro de impulsão muda para o
ponto B’.
O ponto de intersecção da linha vertical que passa pelo novo ponto B’ com a
linha de simetria da secção transversal do casco, é designado por Metacentro - M
e a distancia h , de M ao centro de massas G , é designada altura do Metacentro.
Equilibrio
Estável
Equilibrio
Instável
I
I
Para a maior parte das formas de cascos, h permanece praticamente constante para
ângulos de inclinação lateral até cerca de 20º.
Quando M está acima de G (Fig. b) existe claramente um “momento endireitante”
que tende a equilibrar o navio e repor a posição horizontal: condição de
estabilidade.
Quando M está abaixo de G (Fig. c) o momento criado pela inclinação lateral tem
o efeito de aumentar a inclinação. Esta é claramente uma condição de instabilidade
e tem de ser evitada no projecto de navios.