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The essence of Particle Physics
Particles are actually not like balls but essentially more fields!
Well, not quite.
Field 場的觀念原來是來自一個粒子系統的連續極限！
y
描述一個粒子系統需要所有粒子的位置：
𝑦𝑖 𝑡 , i=1,2⋯ 𝑁
當粒子間隔區向無限小，離散足標趨向連續變數：
𝑦𝑖 𝑡 → 𝑦 𝑥, 𝑡
場是時間與空間的函數。
位置基本上是足標，與時間一樣都是數字！
ix
純量場 Scalar Field
時空的純量函數。
𝜙 𝑥, 𝑡 ≡ 𝜙 𝑥 𝜇
𝑦𝑖 𝑡
如同所有物理系統，純量場的運動方程式由最小作用量原則決定：
作用量是拉氏量Lagrange對時間的積分
𝑆=
𝐿 𝑑𝑡
拉氏量Lagrange是動力物理量及其微分的函數：例如單一粒子：
1
𝐿 = 𝐾 − 𝑉 = 𝑚𝑦 2 + 𝑉 𝑦
2
場的拉氏量自然是場與它的微分的函數：
𝐿 𝜙 𝑥, 𝑡 , 𝜕𝜇 𝜙 𝑥, 𝑡
𝐿 𝑦𝑖 𝑡 , 𝑦𝑖 𝑡
我們將從無到有，以幾個原則來建立純量場的拉氏量！
首先，場的拉氏量 L 可以分解為來自各地的貢獻：
所以 L 可以寫成一個拉氏密度 Lagrange Density (Lagrangian) ℒ 對空間的積分：
L= ℒ 𝑥 𝑑 3 𝑥
其次，一處拉氏密度 ℒ 是當地的場與場微分的函數，且函數型式各地皆同。
ℒ 𝑥 = ℒ 𝜙 𝑥 , 𝜕𝜇 𝜙 𝑥
如此作用量是拉氏密度對時空的積分：
𝑆=
𝐿 ∙ 𝑑𝑡 =
ℒ 𝜙 𝑥 , 𝜕𝜇 𝜙 𝑥
∙ 𝑑𝑡𝑑 3 𝑥 =
ℒ 𝜙, 𝜕𝜇 𝜙 ∙ 𝑑 4 𝑥
𝑑 4 𝑥 ≡ 𝑑𝑡𝑑 3 𝑥
第三：作用量要給出羅倫茲變換不變的運動方程式！
純量場的運動方程式由最小作用量原則決定：
如果作用量是一個羅倫茲變換不變量，運動方程式就是羅倫茲變換不變！
𝑆=
ℒ 𝜙, 𝜕𝜇 𝜙 ∙ 𝑑 4 𝑥
作用量是拉氏密度對時空的積分：
時空積分是羅倫茲變換不變： 𝑑 4 𝑥 = 𝑑 4 𝑥′
如果拉氏密度是羅倫茲變換不變量，作用量就是羅倫茲變換不變！
ℒ 𝜙, 𝜕𝜇 𝜙 = ℒ 𝜙′, 𝜕𝜇 𝜙′
最後，要求 ℒ 必須由場的平方組成（這是為了使 𝜙 的運動方程式是線性的）
並假設場是平滑的，場對空間的變化，也就是微分是不大的量。
場的微分越低次越好。
拉氏密度只取無微分，及兩次微分兩項。
（一次微分項違背羅倫茲不變性！）
1
1 2 2
𝜇
ℒ = 𝜕𝜇 𝜙 𝜕 𝜙 − 𝑚 𝜙
2
2
=
1 2 1
𝜙 − 𝛻𝜙
2
2
𝐾−𝑉
2
1
− 𝑚2 𝜙 2
2
𝜕𝜇 𝜙 ≡
𝜕𝜙
𝜕𝑥 𝜇
𝜕𝜇 𝜕𝜇 = 𝜕𝜇 𝑔𝜇𝜈 𝜕𝜈
= 𝜕0 𝜕0 − 𝛻 2
如何推導出純量場的運動方程式？
純量場的運動方程式由最小作用量原則決定：
由EOM的解，作任意無限小的變化 𝜙 𝑥 → 𝜙 𝑥 + 𝛿𝜙 𝑥 , 對應的作用量改變為零！
𝛿𝑆 = 0
作用量的改變是來自拉氏密度內場與場微分的變化：
場微分的變化是來自場的變化，因此：
𝛿 𝜕𝜇 𝜙 = 𝜕𝜇 𝛿𝜙
𝜕𝜇 𝛿𝜙
第二項作一部分積分，表面項為零：
對任意𝛿𝜙，都成立𝛿𝑆 = 0，因此上式中𝛿𝜙的係數在各地都為零！
Euler Equation 即是純量場𝜙 𝑥 必須滿足的運動方程式
將我們的 Lagrangian 代入Euler Equation:
1
1 2 2
𝜇
ℒ = 𝜕𝜇 𝜙 𝜕 𝜙 − 𝑚 𝜙
2
2
𝜕 𝑚2 𝜙 2
= 2𝑚2 𝜙
𝜕𝜙
𝜕 𝜕𝛼 𝜙 𝜕 𝛼 𝜙
𝜕 𝜕𝜇 𝜙
𝜕𝜇 𝜕𝜇 𝜙 𝑥
=
𝜕
𝜕𝛼 𝜙 𝑔𝛼𝛽 𝜕𝛽 𝜙
𝜕 𝜕𝜇 𝜙
+ 𝑚2 𝜙 𝑥 = 0
= 𝑔𝜇𝛽 𝜕𝛽 𝜙 + 𝜕𝛼 𝜙 𝑔𝛼𝜇 = 2𝜕𝜇 𝜙
Klein-Gordon Equation
滿足羅倫茲不變性的 𝜙 之最簡單的線性運動方程式
𝜕𝜇 𝜕𝜇 𝜙 𝑥
+ 𝑚2 𝜙 𝑥 = 0
𝜕𝜇 𝜕𝜇 + 𝑚2 𝜙 𝑥 = 0
𝜕 2 + 𝑚2 𝜙 𝑥 = 0
如果以時間與空間位置的微分來表示：
𝜕𝜇 𝜕𝜇 = 𝜕𝜇 𝑔𝜇𝜈 𝜕𝜈 = 𝜕0 𝜕0 − 𝛻 2
𝜕2
− 𝛻 2 + 𝑚2 𝜙 = 0
2
𝜕𝑡
這個方程式與古典的波方程式幾乎一樣，只是多了最後一項：
𝜕2𝑦
2𝛻2𝑦 = 0
−
𝑣
𝜕𝑡 2
𝜕 2 + 𝑚2 𝜙 𝑥 = 0
解任何波方程式的第一步：
將KG field作Fourier展開
𝑑 3 𝑝 𝑖𝑝∙𝑥
𝑒
𝜙 𝑝, 𝑡
2𝜋 3
𝜙 𝑥, 𝑡 =
代入Klein-Gordon Eq.:
𝜕2
− 𝛻 2 + 𝑚2 𝜙 = 0
2
𝜕𝑡
𝜕2
+ 𝑝
𝜕𝑡 2
2
+ 𝑚2
對空間微分等於動量乘積
∙ 𝜙 𝑝, 𝑡 = 0
𝜕2
+ 𝜔𝑝2 ∙ 𝜙 𝑝, 𝑡 = 0
2
𝜕𝑡
每一個Fourier Component 𝜙𝑝 都是一個 角頻率為 𝜔𝑝 的簡諧振盪器！
𝜔𝑝 =
𝑝
2
+ 𝑚2
KG Field is just a collection of SHO’s.
Each SHO is characterized by its k or p: “momentum”.
物體的變形可以被分類為一個一個特定的模式 Norm！
每一個模式都是一個簡諧運動
每一個模式，對應一個內在的特定的振動頻率！
物體的變形就是以以上模式或其疊加來進行！
這就是場：
KG Field is just a collection of SHO’s.
Each SHO is characterized by its k or p: “momentum”.
𝜔𝑝 = 𝐸 𝑝 =
𝑝
2
+ 𝑚2
這些 SHO 是量子彈簧，其能量的本徵值為一系列的 𝑛𝐸𝑝 ，
…….
而且可導出這些本徵態也同時是動量的本徵態，本徵值為 𝑛𝑝
𝑃
𝐸
4𝑝
4q
4𝐸𝑝
3q
3𝑝
3𝐸𝑝
2q
2𝑝
2𝐸𝑝
q𝑝
𝐸𝑝
0
13
𝑝
𝐸𝑝
𝜔𝑝 = 𝐸 𝑝 =
𝑝
2
+ 𝑚2
KG場的每一個傅立葉分析量子化後，就是一個多粒子系統。
一顆粒子的動量為𝑝，能量為𝐸𝑝 =
𝑝
2
+ 𝑚2 。這正是一顆相對論粒子。
量子化的KG場事實上對應可以產生消滅的相對論多粒子系統！
利用Hamiltonian Formalism來量子化 Canonical Quantization
先寫下純量場的 Hamiltonian Formalism
pi =
¶L
¶qi
H º å pi qi - L
i
對純量場𝜙 𝑥, 𝑡 來說，位置基本上是足標！
= d 3x
Conjugate Momentum
𝜕
𝜕𝜙 𝑥
ℒ 𝜙 𝑥 ,𝜙 𝑥
For Klein-Gordon Fields:
ℒ=
1
1
1
1
𝜕𝜇 𝜙 𝜕𝜇 𝜙 − 𝑚2 𝜙 2 = 𝜙 2 − 𝛻𝜙
2
2
2
2
Conjugate Momentum
𝐻=
ℋ∙
𝑑3𝑥
=
𝜋 𝑥 =
𝑑3𝑥
𝜕ℒ
𝜕𝜙
2
1
− 𝑚2 𝜙 2 ~𝐾 − 𝑉
2
=𝜙
1 2 1
∙ 𝜋 + 𝛻𝜙
2
2
2
1 2 2
+ 𝑚 𝜙 ~𝐾 + 𝑉
2
Now! Quantum Field Theory
Just copy the procedure of Quantization from classical mechanics to quantum mechanics:
Upgrade all observable to operators.
Impose a commutation relation between position and momentum:
Quantum Field Theory
𝜙 𝑥𝜇
𝜙 𝑥𝜇
For a quantum theory of field, the field is promoted to operators!
時間與空間依舊都是參數。
Particle Quantum Mechanics
x(t )
x̂(t)
時間還是參數。但空間位置已晉升為算子。兩者不易互相混合。
That is why Particle QM 一般來說 is not Lorentz invariant.
Upgrade fields to operators.
𝜙 𝑥𝜇 → 𝜙 𝑥𝜇
Impose a commutation relation between fields and their momenta:
x are actually indices!
ix
3
𝜙 𝑥, 𝑡 , 𝜋 𝑦, 𝑡
= 𝑖𝛿
𝑥−𝑦
𝜙 𝑥, 𝑡 , 𝜙 𝑦, 𝑡
= 𝜋 𝑥, 𝑡 , 𝜋 𝑦, 𝑡
=0
Canonical Commutation Relation or Canonical Quantization Condition
Quantum Field Theory is done!
每一個傅立葉分量𝜙𝑝 就像一個頻率為ω的簡諧震盪子。
你可能預期量子彈簧的結果可以直接用在𝜙 𝑝, 𝑡 。
但𝜙 𝑝, 𝑡 是複數，因此量子彈簧的結果要修正一些。
𝜙 𝑝 =
†
𝑎𝑝 + 𝑎−
𝑝
2
𝑖 2
𝜙 𝑥 =
a  a
p
i 2
𝑑 3 𝑝 𝑖𝑝∙𝑥
𝑒
𝜙 𝑝
2𝜋 3
𝑑𝑑33𝑝𝑝 11
𝑖𝑖𝑝∙
𝑝∙𝑥𝑥
−𝑖
𝑖 𝑝∙
𝑝∙𝑥𝑥 ††
𝑒
𝑒
𝑎
𝑎
+
+
𝑒
𝑒
𝑎𝑎−𝑝𝑝
𝑝
𝑝
2𝜋
2𝜋 33 2𝜔
2𝜔𝑝𝑝
𝜙𝜙 𝑥,
𝑥,𝑡𝑡 ==
=
𝜋 𝑝 =
†
𝑎𝑝 − 𝑎−
𝑝
a  a
q
2
𝑑3𝑝
1
𝑖 𝑝∙𝑥 𝑎 + 𝑒 −𝑖 𝑝∙𝑥 𝑎 †
𝑒
𝑝
𝑝
2𝜋 3 2𝜔𝑝
這樣寫時，𝜙 𝑥, 𝑡 保證是實數。
𝜙†
𝑥, 𝑡 =
𝑑3𝑝
1
−𝑖𝑝∙𝑥 𝑎 † + 𝑒 𝑖 𝑝∙𝑥 𝑎
𝑒
𝑝 = 𝜙 𝑥, 𝑡
𝑝
2𝜋 3 2𝜔𝑝
Conjugate Momentum 共軛動量:
𝜋 𝑥, 𝑡 =
𝑑3𝑝
−𝑖
2𝜋 3
𝜔𝑝 𝑖𝑝∙𝑥
𝑒 𝑎𝑝 − 𝑒 −𝑖𝑝∙𝑥 𝑎𝑝†
2
由 Canonical Quantization Condition
𝜙 𝑥, 𝑡 , 𝜋 𝑦, 𝑡
= 𝑖𝛿
3
𝑥−𝑦
†
可以證明：𝑎𝑝 𝑎𝑝′
算子的對易關係正如量子彈簧的 𝑎 與 𝑎† 算子
†
𝑎𝑝 , 𝑎𝑝′
= 2𝜋 3 𝛿
3
𝑝 − 𝑝′
†
𝑎𝑝 , 𝑎𝑝′ = 𝑎𝑝† , 𝑎𝑝′
=0
†
𝑎𝑝 , 𝑎𝑝′
= 2𝜋 3 𝛿
3
𝑝 − 𝑝′
†
𝑎𝑝 , 𝑎𝑝′ = 𝑎𝑝† , 𝑎𝑝′
=0
為簡單起見，我們僅證明以上的對易關係可以導出 Canonical Commutation Relation
𝜙 𝑥, 𝑡 , 𝜋 𝑦, 𝑡
=
𝑑 3 𝑝 𝑑 3 𝑝′ 1
−𝑖
2𝜋 3 2𝜋 3 2𝜔𝑝
=
𝑑 3 𝑝 𝑑 3 𝑝′ −𝑖 𝜔𝑝′
†
†
𝑖 𝑝∙𝑥−𝑝′∙𝑦
−𝑖𝑝∙𝑥+𝑝′∙𝑦
−
𝑒
𝑎
,
𝑎
+
𝑒
𝑎
𝑝
𝑝′
𝑝 , 𝑎𝑝
2𝜋 3 2𝜋 3 2 𝜔𝑝
=
=𝑖
𝑑 3 𝑝 ∙ 𝑑 3 𝑝′
𝑑 3 𝑝 ∙ 𝑒 𝑖𝑝∙
𝜔𝑝′
2
†
𝑒 𝑖𝑝∙𝑥 𝑎𝑝 + 𝑒 −𝑖𝑝∙𝑥 𝑎𝑝† , 𝑒 𝑖𝑝′∙𝑦 𝑎𝑝′ − 𝑒 −𝑖𝑝′∙𝑦 𝑎𝑝′
−𝑖 𝜔𝑝′
− 𝑒 𝑖𝑝∙𝑥−𝑝′∙𝑦 𝛿
2 𝜔𝑝
𝑥−𝑦
=𝛿
3
𝑥−𝑦
3
𝑝 − 𝑝′ + 𝑒 −𝑖𝑝∙𝑥+𝑝′∙𝑦 𝛿
3
𝑝 − 𝑝′
將純量場的能量以𝑎𝑝 , 𝑎𝑝† 來表示：
𝐻=
𝑑3𝑝
1
†
𝜔 𝑎 𝑎 +
2𝜋 3 𝑝 𝑝 𝑝 2
純量場的能量也是一系列的量子彈簧
𝑎𝑝† 可以增加能量一個量子𝜔𝑝 。 𝑎𝑝 則降低能量一個量子𝜔𝑝 。
𝐻=
𝑑3𝑝
1
†
𝜔
𝑎
𝑎
+
2𝜋 3 𝑝 𝑝 𝑝 2
𝑎𝑝† 可以增加能量一個量子𝜔𝑝 。 𝑎𝑝 則降低能量一個量子𝜔𝑝 。
There is a conserved momentum.
𝑎𝑝† 可以增加動量一個量子𝑝 。 𝑎𝑝 則降低動量一個量子𝑝。
𝑎𝑝 0 = 0
從真空出發，
以𝑎𝑝† 一個一個產生粒子：
𝑎𝑝†
0 = 𝑝
𝑎𝑝†
𝑛
0 ∝ 𝑝, 𝑛
由能量與動量的本徵值可以看出粒子的數量！
𝐻 𝑝, 𝑛 = 𝑛𝐸𝑝 ∙ 𝑝, 𝑛
𝑃 𝑝, 𝑛 = 𝑛𝑝 ∙ 𝑝, 𝑛
𝑎𝑝† :Creation operator, 𝑎𝑝 :Annihilation operator
of a particle with momentum p and energy Ep
整個粒子空間可以用這兩個算子建立起來： Fock Space
𝑎𝑝† 𝑎𝑝† 𝑎𝑝† 0 = 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3
1
2
3
場就是𝑎𝑝† , 𝑎𝑝 的線性組合，場算子在Fock Space上的作用就可以計算
Every Fourier Component 𝜙𝑝 behaves like a SHO with ω
𝜔𝑝 = 𝐸 𝑝 =
𝑝
2
+ 𝑚2
這些 SHO 是量子彈簧，其能量的本徵值為一系列 𝑛𝐸𝑝 ，
…….
而可導出這些本徵態也同時是動量的本徵態，本徵值為 𝑛𝑝
𝑃
𝐸
4𝑝
4q
4𝐸𝑝
3q
3𝑝
3𝐸𝑝
2q
2𝑝
2𝐸𝑝
q𝑝
𝐸𝑝
0
27
量子彈簧的行為非常類似數目可改變的一種粒子
粒子最重要的就是不可分割性
量子彈簧最適合描述不可分割的基本粒子
因為不同動量的產生算子彼此對易
𝑎𝑝† 𝑎𝑝† = 𝑎𝑝† 𝑎𝑝†
1
2
2
1
將兩個粒子互換後的狀態，與互換前是同一個狀態！
𝑝1 , 𝑝2 = 𝑎𝑝†1 𝑎𝑝†2 0 = 𝑎𝑝†2 𝑎𝑝†1 0 = 𝑝2 , 𝑝1
自旋為零的KG粒子是遵守Bose統計的全同粒子。
Bose統計在量子力學是外加的假設，在量子場論卻是推導的結果。
多個Bose粒子的波函數在任兩個粒子互換下必須是對稱的！
Ψ 𝑥1 , 𝑥2 = Ψ 𝑥2 , 𝑥1
以上的討論可以推廣到複數場
拉氏量密度必須是實數，因此唯一自然的選擇是：
ℒ = 𝜕𝜇 Φ† 𝜕𝜇 Φ − 𝑚2 Φ† Φ
如果將此複數場分解為其實數部及虛數部兩個場：
Φ=
ℒ=
𝜙1 + 𝑖𝜙2
2
1
1
1
1
𝜕𝜇 𝜙1 𝜕𝜇 𝜙1 − 𝑚2 𝜙12 + 𝜕𝜇 𝜙2 𝜕𝜇 𝜙2 − 𝑚2 𝜙22
2
2
2
2
實數部與虛數部將分解為獨立的 Klein Gordon 場
可見實數部及虛數部皆滿足 KG 方程式
因此整個複數場也滿足 KG 方程式
 2  m 2  0
 2  m2  0
這個結果也可以用一個技巧來推導：
將Φ及Φ∗ 視為獨立變數，代入個別的 Euler Equation 即可
結果立刻可以看見，注意在 Lagrangian 中的項可以作部分積分而忽略表面項
ℒ = 𝜕𝜇 Φ† 𝜕𝜇 Φ − 𝑚2 Φ† Φ → − Φ† 𝜕𝜇 𝜕𝜇 Φ − 𝑚2 Φ† Φ
= − Φ† ∙ 𝜕 2 Φ − 𝑚2 Φ
對 Φ† 變分， Lagrangian 與場微分無關，因此只須考慮：
𝜕 2 Φ − 𝑚2 Φ = 0
𝜕ℒ
𝜕Φ†
Complex KG field不需要是實數，自由度是 Real KG Field的兩倍。
𝑑3𝑝
1
𝑒 𝑖𝑝∙𝑥 𝑎𝑝 + 𝑒 −𝑖𝑝∙𝑥 𝑎𝑝†
3
2𝜋
2𝜔𝑝
𝜙 𝑥, 𝑡 =
這個係數不需要是 𝑎𝑝 的複數共軛，可以是獨立的。
𝑑3𝑝
1
𝑖 𝑝∙𝑥 𝑎 + 𝑒 −𝑖 𝑝∙𝑥 𝑏 †
𝑒
𝑝
𝑝
2𝜋 3 2𝜔𝑝
Φ 𝑥, 𝑡 =
它的共軛動量可以寫成：
Π 𝑥, 𝑡 =
Φ†
𝑑3𝑝
−𝑖
2𝜋 3
=
𝜔𝑝 𝑖𝑝∙𝑥
𝑒
𝑏𝑝 − 𝑒 −𝑖𝑝∙𝑥 𝑎𝑝†
2
算子的對易關係！以下可以嚴格證明。
Φ 𝑥, 𝑡 , Π 𝑦, 𝑡
Φ 𝑥, 𝑡 , Φ 𝑦, 𝑡
= 𝑖𝛿
3
= Π 𝑥, 𝑡 , Π 𝑦, 𝑡
𝐻=
†
†
𝑎𝑝 , 𝑎𝑝′
= 𝑏𝑝 , 𝑏𝑝′
= 2𝜋 3 𝛿
𝑥−𝑦
𝑑3 𝑝
∙
2𝜋 3
=0
𝑝
2
3
𝑝 − 𝑝′
𝑎𝑝 , 𝑎𝑝′ = 𝑎𝑝 , 𝑏𝑝′ = 𝑏𝑝 , 𝑏𝑝′ = 0
+ 𝑚2 ∙ 𝑎𝑝 𝑎𝑝† + 𝑏𝑝 𝑏𝑝†
消滅與產生算子有兩組。
The creation operator b+ can create another particle!
𝐻=
𝑑3𝑝
∙
2𝜋 3
𝑃=
𝑑3𝑝
†
†
∙
𝑝
∙
𝑎
𝑎
+
𝑏
𝑏
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
2𝜋 3
𝑄=
𝑑3𝑝
†
†
∙
𝑎
𝑎
−
𝑏
𝑏
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
2𝜋 3
𝑝
2
+ 𝑚2
∙
𝑎𝑝 𝑎𝑝†
+
𝑏𝑝 𝑏𝑝†
=
𝑑3𝑝
∙ 𝜔𝑝 ∙ 𝑎𝑝 𝑎𝑝† + 𝑏𝑝 𝑏𝑝†
3
2𝜋
The particle b+ create has the same mass but opposite charge.
b+ create an antiparticle.
Φ 𝑥, 𝑡 =
𝑑3𝑝
1
𝑖 𝑝∙𝑥 𝑎 + 𝑒 −𝑖𝑝∙𝑥 𝑏 †
𝑒
𝑝
𝑝
2𝜋 3 2𝜔𝑝
The terms in Φ can either annihilate a particle or create an antiparticle!
Φ†
𝑥, 𝑡 =
𝑑3𝑝
1
𝑖 𝑝∙𝑥 𝑏 + 𝑒 −𝑖 𝑝∙𝑥 𝑎 †
𝑒
𝑝
𝑝
2𝜋 3 2𝜔𝑝
The terms in Φ† its conjugate either annihilate an antiparticle or create a particle!
The charge difference a field operator generates is always the same!
複數Klein-Gordon場的對稱性
ℒ = 𝜕𝜇 Φ† 𝜕𝜇 Φ − 𝑚2 Φ† Φ
定義一個變換為將場算子乘上一個 phase factor
Φ 𝑥 → 𝑒 −𝑖𝜃 Φ 𝑥
在量子力學中，複數物理量的 phase 是無法觀測的！
此拉氏量密度在此變換下是不變的！因此系統有此對稱性。
Φ† Φ → Φ† 𝑒 𝑖𝜃 ∙ 𝑒 −𝑖𝜃 Φ = Φ† Φ
𝜕𝜇 Φ† 𝜕𝜇 Φ → 𝜕𝜇 Φ† 𝑒 𝑖𝜃 ∙ 𝑒 −𝑖𝜃 𝜕𝜇 Φ = 𝜕𝜇 Φ† 𝜕𝜇 Φ
這個對稱變換是由一個連續變數 𝜃 標定。
任意兩個變換彼此都是對易的。
U(1) Abelian Symmetry
有兩個質量一樣的複數KG純量場𝐻1 , 𝐻2 ，寫成一個 doublet: 𝐻 =
其拉氏量密度為兩個 Klein-Gordon ℒ 的和，
ℒ=
𝜕𝜇 𝐻1† 𝜕𝜇 𝐻1 − 𝑚2 𝐻1† 𝐻1 +
將 𝐻1 , 𝐻2 互換， ℒ 自然是不變的。
但 ℒ 的對稱性不只如此：
ℒ 可以寫成矩陣形式：
ℒ = 𝜕𝜇 𝐻 † 𝜕𝜇 𝐻 − 𝑚2 𝐻† 𝐻
𝜕𝜇 𝐻2† 𝜕𝜇 𝐻2 − 𝑚2 𝐻2† 𝐻2
𝐻1
𝐻2
可以定義一個SU(2)變換，為在 doublet 𝐻上乘一2 × 2的unitary矩陣𝑈
𝐻 → 𝐻′ = 𝑈𝐻
 H1 xa  b   H1  x  
     U  

U






H
x
H
x
 2  c d   2 
U U  1
detU  1
3
𝑈 = exp −𝑖
𝑖=1
𝜎𝑖
∙𝜃
2 𝑖
ℒ = 𝜕𝜇 𝐻 † 𝜕𝜇 𝐻 − 𝑚2 𝐻† 𝐻
ℒ 在此SU(2)變換下是不變的！因此系統有此對稱性。
ℒ → 𝜕𝜇 𝐻† 𝑈 † ∙ 𝑈 𝜕𝜇 𝐻 − 𝑚2 𝐻† 𝑈 † ∙ 𝑈𝐻 = 𝜕𝜇 𝐻 † 𝜕𝜇 𝐻 − 𝑚2 𝐻† 𝐻= ℒ
此SU(2)是兩個性質相同的量子場的unitary變換
任意兩個變換彼此不一定是對易的。
SU(2) Non-Abelian Symmetry
兩種粒子的量子態是由此兩個複數場產生，
此SU(2)也是兩個性質相同的粒子的unitary變換
𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
→
𝑎′𝑝1
𝑎′𝑝2
=𝑈
𝑎𝑝1
𝑎𝑝2
如同自旋的電子將𝐻的量子態以行向量表示： 𝑐1
𝑐2
𝑐1
𝑐′1
𝑐1
→
=𝑈
𝑐2
𝑐′2
𝑐2
這正是isospin SU(2)的變換形式！
因此可以定義Isospin SU(2)變換，所有的doublet 量子場以一樣的方式變換！
 H1 ( x ) 


H
(
x
)
 2 
 H1  x  
 H x  

  U   1 
 H 2  x 
 H 2 x 
 u x  
 u x  

  U  





d
x
d
x




SU(2)是兩個性質相同的量子場的unitary線性變換
同樣的討論可以推廣到𝑁個複數場
Assume there are N fields with identical masses:
 1 



 2
   3 


  
 
 n
Φ → Φ′ = 𝑈Φ
𝑛
𝜕𝜇 Φ𝑖† 𝜕𝜇 Φ𝑖 − 𝑚2 Φ𝑖∗ Φ𝑖 ≡ 𝜕𝜇 Φ† 𝜕𝜇 Φ − 𝑚2 Φ† Φ
ℒ=
𝑖=1
此拉氏量密度在此SU(N)變換下是不變的！因此系統有此對稱性。
ℒ → 𝜕𝜇 Φ† 𝑈 † 𝑈 𝜕𝜇 Φ − 𝑚2 Φ† 𝑈 † 𝑈Φ = 𝜕𝜇 Φ† 𝜕𝜇 Φ − 𝑚2 Φ† Φ= ℒ
If the 𝑁 particles have identical masses, the free theory has a SU(N) symmetry!
SU(N) Non-Abelian Symmetry
如果量子物理系統有一個連續對稱性 SU(N)：
所有的能量本徵態都可以對稱SU(N)的 Representation來分類！
一個 Representation 在SU(N)變換下是封閉的 closed！
一個Representation中的所有狀態性質相同。