Download Factor Formulae

Further Trigonometry
Sec 2: Basic Trigonometry in 1st
Quadrant (sin, cos, tan)
Sec 3: Trigonometric Ratios in 4
Quadrants, Simple Trigonometric Identities
Further Trigonometric
Identities
tan  
sin 
cos 
cot 
, sin  
, cos  
,...etc
cos 
cot 
cosec
sin
cos
cot  
tan
cosec 
cos 
sin 
tan 
, cos  
, sin  
,...etc
sin 
tan 
sec 
cot
1
1
1
1
, sec  
, cot  
sin 
cos 
tan 
sec
cosec
sin 2   cos2   1, 1  cot 2   cosec2 , tan 2   1  sec2 
Further Trigonometry
Compound
Angle
Double
Angle
Factor
RFormulae
Addition Formulae
Also known as Compound Angle Formulae/Sum & Difference Formulae
Derivation:
sin x sin y
sin x y
1
x
sin x cos y
adj
cos x 
 adj  cos x
1
opp
sin x 
 opp  sin x
1
cos y 
adj
 adj  cos x cos y
cos x
opp
sin y 
 opp  cos x sin y
cos x
90°− y
cos x
cos x sin y sin y  opp  opp  sin x sin y
sin x
y
cos x cos y
adj
cos y 
 adj  sin x cos y
sin x
Derivation:
sin x sin y
sin x y
1
cos x
90°− y
x
x+y
y
cos x cos y
sin x cos y
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
cos x sin y
Derivation:
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
Replacing y by (−y), we get:
sin( x  y )  sin x cos( y )  cos x sin( y )
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos( y )  sin x sin( y )
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
Derivation: sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
sin x cos y  cos x sin y
tan( x  y) 
cos x cos y  sin x sin y
sin x cos y cos x sin y

cos x cos y cos x cos y

cos x cos y sin x sin y

cos x cos y cos x cos y
tan x  tan y

1  tan x tan y
Derivation:
tan x  tan y
tan( x  y ) 
1  tan x tan y
Replacing y by (−y), we get:
tan x  tan( y)
tan( x  y ) 
1  tan x tan( y)
tan x  tan y

1  tan x tan y
Compound Angle Formulae
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
cos( x  y )  cos x cos y sin x sin y
tan x  tan y
tan( x  y) 
1 tan x tan y
Find all angles between 0 and 2 which
satisfy the equation
5cos x  sin x cos x
2
5cos x  sin x cos x  0
2
cos x(5cos x  sin x)  0
cos x  0 or
B. A 
x

2
 3
,
2 2
5cos x  sin x
tan x  5
B. A  1.3734...
x  1.37, 4.51
Find the exact value of cos 105  .
cos 105   cos  60  45





 cos 60 cos 45  sin 60 sin 45
1 2
3 2
 


2 2
2 2
2
6
2 6



4
4
4
  
Find the exact value of sin    .
 12 

 


sin    sin  
 12
 4 3




 sin cos  sin cos
4
3
3
4
2 1
3 2

 

2 2 2 2
2
6
2 6



4
4
4
1 
It is known that sin   ,
  ;
2 2
1 
and cos   ,
    , find the exact
3
2
value of
(a) cos 
(b) sin 
(c) cos    
cos   1  sin    1  1 2
3
  1 1 4   3 4  
2
2
2
( 1)  b  3
2
2 2
3

-1
2
b 8
2
b2 2
2 2
sin  
3
2
1
3
2 2
1
sin  
cos  
sin  
cos   
2
2
3
3
cos     cos cos   sin  sin 
3  1 1 2 2
     
2  3 2 3
3 2 2


6
6
32 2

6
Double Angle Formulae
sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y
sin( x  x)  sin x cos x  cos x sin x
sin 2x  2sin x cos x
Double Angle Formulae
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y
cos( x  x)  cos x cos x  sin x sin x
cos 2 x  cos x  sin x
2
Using the identity
2
cos 2 x  sin 2 x  1,
cos 2 x  cos 2 x  (1  cos 2 x)
cos 2 x  (1  sin 2 x)  sin 2 x
 2cos 2 x  1
 1  2sin 2 x
tan x  tan y
tan( x  y ) 
1  tan x tan y
tan x  tan x
tan( x  x) 
1  tan x tan x
2 tan x
tan 2 x 
2
1  tan x
sin 2 x  2sin x cos x
1
1
sin x  2sin x cos x
2
2
1
1
1
sin x  2sin x cos x ...etc
2
4
4
Use of Double Angle Formulae
cos 2 x  cos x  sin x
2 1
2 1
cos x  cos x  sin x
2
2
1
2 1
2 1
cos x  cos x  sin x ...etc
2
4
4
2
2
Use of Double Angle Formulae
2 tan x
tan 2 x 
1  tan 2 x
1
2 tan x
2
tan x 
2 1
1  tan x
2
1
2 tan x
1
4
tan x 
...etc
2
2 1
1  tan x
4
Use of Double Angle Formulae

Solve 3 cos x – 4 sin x = 0

Solve 3 cos x – 4 sin x = 1

With R-Formulae, we can combine Trigo
Functions of the same angle
R-Formulae
2cos(  60 )  2 cos  cos 60  2sin  sin 60
 1cos   3 sin 
1cos   3 sin   2 cos(  60 )
a cos   b sin   R cos(   )
1cos   3 sin   2 cos(  60 )
a cos   b sin   R cos(   )
2 1 
2
2
2
3
 3
R  a b
2
2
2
2
R  a 2  b2
1
Relationship between a, b and R
1cos   3 sin   2 cos(  60 )
a cos   b sin   R cos(   )
tan 60 
2
3
tan  
60°
1
3
1
b
a
  tan 1
b
a
Relationship between a, b and α
R-Formulae:
a cos   b sin   R cos(   )
Where R  a  b
2
2
b
and   tan
a
Condition: R>0, α is acute
Use R-Formulae when the angle (  ) is the same
1
a cos   b sin   R cos(   )
a cos   b sin   R(cos cos   sin  sin  )
 R cos  cos   R sin  sin 
a  R cos   (1)
b  R sin   (2)
(2)  (1) :
(1)2 +(2)2 :
b
tan  
a
R  a 2  b2
R 2 (sin 2   cos 2  )  a 2  b 2
Mathematical Proof
a cos   b sin   R cos(   )
a cos   b sin   R cos(   )
a sin   b cos   R sin(   )
a sin   b cos   R sin(   )
Similarly…

R-Formulae is used to combine Trigo
Functions of the same angle
sin x + cos x = 2 sin( x  45 )

Factor Formulae is used to combine Trigo
Functions of different angles
sin 5x + sin 3x =?
Factor Formulae
sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B
sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B
Adding the two equations above,
sin( A  B)  sin( A  B)  2sin A cos B
  A  B   A  B 
  A  B   A  B 
sin( A  B)  sin( A  B)  2sin 
 cos 

2
2




In other words,
X Y
X Y
sin X  sin Y  2sin
cos
2
2
Factor Formulae
sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B
sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B
Subtracting the two equations above,
sin( A  B)  sin( A  B)  2 cos A sin B
  A  B   A  B    A  B   A  B 
sin( A  B)  sin( A  B)  2cos 
 sin 

2
2

 

In other words,
X Y
X Y
sin X  sin Y  2 cos
sin
2
2
Factor Formulae
5
x

3
x
5
x

3
x
cos
sin5x  sin3x  2sin
2
2
sin5x  sin3x  2sin 4x cos x
How about sin3x  sin5x ?
Example
3
x

5
x
3
x

5
x
cos
sin3x  sin5x  2sin
2
2
sin 5 x  sin 3x  2sin 4 x cos( x)
sin5x  sin3x  2sin 4x cos x
cos( x)  cos x
Example
cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B
cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B
Adding the two equations above,
cos( A  B)  cos( A  B)  2 cos A cos B
  A  B   A  B 
  A  B   A  B 
cos( A  B)  cos( A  B)  2cos 
 cos 

2
2




In other words,
X Y
X Y
cos X  cos Y  2 cos
cos
2
2
Factor Formulae
cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B
cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B
Subtracting the two equations above,
cos( A  B)  cos( A  B)  2sin A sin B
  A  B   A  B    A  B   A  B 
cos( A  B)  cos( A  B)  2sin 
 sin 

2
2

 

In other words,
X Y
X Y
cos X  cos Y  2sin
sin
2
2
Factor Formulae
5
x

3
x
5
x

3
x
sin
cos5x  cos3x  2sin
2
2
cos5x  cos3x  2sin 4x sin x
How about cos3x  cos5x ?
Example
3
x

5
x
3
x

5
x
sin
cos3x  cos5x  2sin
2
2
cos 3x  cos 5 x  2sin 4 x sin( x)
sin( x)   sin x
cos3x  cos5x  2sin 4x sin x
What if  cos5x  cos3x ?
Example
 cos 5 x  cos 3 x  (cos 5 x  cos 3 x)
 (2sin 4 x sin x)
 2sin 4x sin x
Example
X Y
X Y
sin X  sin Y  2sin
cos
2
2
X Y
X Y
sin X  sin Y  2 cos
sin
2
2
X Y
X Y
cos X  cos Y  2 cos
cos
2
2
X Y
X Y
cos X  cos Y  2sin
sin
2
2
Summary
  A  B   A  B 
  A  B   A  B 
sin( A  B)  sin( A  B)  2 sin 
 cos 

2
2




  A  B   A  B 
  A  B   A  B 
1
sin( A  B)  sin( A  B)  sin 
 cos 

2
2
2




Reverse